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Módulo VIII

Anualidades. Formación por Competencias

Por: Víctor Garro Martínez

MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL


DEFINICIÓN Hummel y Seebeck, definen Anualidad como una secuencia

R

de pagos o renta, t, por lo general iguales, que se hacen durante varios intervalos de tiempo, t, de igual duración. El periodo de tiempo, entre dos pagos consecutivos se denomina Intervalo o periodo de pago de la anualidad, m, y puede ser de cualquier duración.

n

El término o plazo de la anualidad, , es el tiempo que va desde la fecha del primer pago hasta la fecha del último pago

Por: Víctor Garro

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Definición 2


Ejemplos usuales:

•Pagos de cuotas hipotecarias para la cancelación de un préstamo destinado al compra flotilla •Los salarios mensuales por jornada laboral que se pagan en una institución •Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida. •Las cotizaciones a la pensión complementaria. •Ahorros mensuales en un fondo de Inversión de crecimiento patrimonial. •Pagos mensuales que recibe un menor de edad como consecuencia de la pensión que recibe de parte de la C.C.S.S., a consecuencia del fallecimiento de su padre, cotizante del sistema de I.V.M. Por: Víctor Garro

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Ejemplos 3


Ejemplos usuales: •

•¿Qué otros ejemplos podríamos encontrar en una institución pública?

Por: Víctor Garro

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Ejemplos 4


Anualidades Ciertas: son aquellas cuando el término de una anualidad es fijo, es decir que las fechas de pago son fijas y se predeterminan de antemano. Ejemplo: Los pagos mensuales que se hacen por la compra a crédito de un activo para la organización.

Anualidad Eventual o Contingente: Cuando el término de una anualidad depende de un evento incierto, o que no se sabe con certeza cuando va ocurrir como sucede con los derechos que da una póliza de vida de un cliente del INS y por lo tanto no se conoce ni la fecha del primer o el último pago.

Anualidades Ordinarias o Vencidas:

Son aquellas donde los pagos se inician a la fecha de pago siguiente luego de formalizada una operación, y los pagos se hacen al final de cada intervalo de pago, son las más usuales. Por: Víctor Garro

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Tipos de anualidad 5


Anualidades Anticipadas: se denomina de esta forma las anualidades donde el pago se hace al inicio del intervalo de tiempo. Anualidades simples: son aquellas cuyo período de pago coincide con el periodo de capitalización. Por el ejemplo el pago mensual de una deuda donde el cálculo de intereses se hace mensualmente. Anualidades Generales: Las que cuyo periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo pago de una pensión semestral con intereses al 30% anual capitalizable mensualmente. Por: Víctor Garro

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Tipos de anualidad 6


El valor presente, A, de una anualidad, R, es definido como la suma equivalente al día de hoy - valor actualde un conjunto de pagos hechos durante el término de esa anualidad a una tasa determinada. R1

R2

R3

VALOR PRESENTE –A- y MONTO –SDE UNA ANUALIDAD, Rt Rn

Monto de la anualidad, La

magnitud

Presente,

A,

tanto

el

Valor

como el Monto, -

S,

dependerá de la tasa de interés empleada en la ecuación de valor. Por: Víctor Garro

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S , es definida como la suma equivalente al final del término de una anualidad,R, del conjunto de pagos a una tasa determinada Valores actual y futuro

7


Ejemplo:

Encuentre el valor presente y el monto de una anualidad ordinaria que consiste de 5 pagos de R = $ 100 cada uno a un tasa de 100 100 100

0

1

2

3

j2 = 4%.

100 100

4

5

A

S

A = 100(1.02)-1 + 100(1.02)-2 +100(1.02)-3 +100(1.02)-4 + 100(1.02)-5 = 471.35

S= 100+ 100(1.02)1 + 100(1.02)2 +100(1.02)3 +100(1.02)4 + 100(1.02)-5 = 520.40 Por: Víctor Garro

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Valor actual y futuro 8


Ejemplo: ¿Qué cantidad de dinero se acumularía en un semestre si se depositan ¢ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente Sol: R = 100,000, i = 0.36/12=0.03

S= 100,000+ 100,000(1.03)1 + 100,000(1.03)2 +100,000(1.03)3 +100,000(1.03)4 + 100,000(1.03)5 = 100,000 +103,000+ 106,090 +109,273 +112,551+ 115,923= S = ¢ 646, 841 Verifique dicha suma con el valor que da la tabla de valores futuros y presentes que puede encontrar el texto de Gitman o Besley o en algún texto de Matemática Financiera Por: Víctor Garro

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Valor Futuro 9


Cálculo simplificado del valor presente de una anualidad. Sea A el valor presente de una anualidad ordinaria simple de n pagos de ¢1, sea i la tasa de interés para el intervalo de pago y sea A el valor presente de esa anualidad. ¢1

A

¢1

¢1

¢1

¢1

S

…….

Para encontrar A se escribe la ecuación de equivalencia, así:

A= 1(1.i)-1 + 1(1.0i)-2 +1(1.i)-3 +… +1(1.i)-n como lo anterior es una progresión geométrica de n términos cuyo primer término es 1 y cuya razón de cambio es (1+i), luego la solución es

A = 1* [1-(1+i)-n]/i = 1*an ¬ i Por: Víctor Garro

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Valor actual

10


Cálculo simplificado del valor presente de una anualidad. Así si en lugar de calcular el monto de un colón se tiene R colones, luego la solución simplificada sería

A = R[1-(1+i)-n]/i = Ran ¬ i Donde

an ¬

i

se lee a ángulo n en i, es una función que representa el valor

futuro de una anualidad de ¢1 durante n períodos a la tasa i.

Por: Víctor Garro

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Valor Actual 11


Cálculo simplificado del valor presente de una anualidad Ejemplo: ¿Cuál es el valor de la cocina que compró la Sra. Caperucita de Feroz, si entregó una prima de ¢ 1400 y luego hizo 7 pagos mensuales vencidos por ¢ 160 y un último pago de ¢ 230 y a tasa de interés del 27% anual con capitalización mensual? Sol: i =0.27/12= 0.0225, luego

A = 1400 + 160* [1-(1+0.0225)-7]/0.0225 + 230(1+0.0225)-8 =

El valor actual de los flujos de efectivo o del “valor de uso de un bien”, es precio de ese activo.

A = 1400+160*6.410246+230*0.836938= A = ¢ 2 618.34 Por: Víctor Garro

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Valor actual v12


Cálculo simplificado del monto de una anualidad. Sea R el monto de una anualidad ordinaria simple de n pagos de ¢1, sea i % la tasa de interés para el intervalo de pago y sea S el valor presente de esa anualidad. A

¢1

¢1

¢1 ¢1

¢1

S

……. Para encontrar S se escribe la ecuación de equivalencia, así: S= 1+ 1(1.i)1 + 1(1.0i)2 +1(1.i)3 +… +1(1.i)n-1 como lo anterior es una progresión geométrica de n términos cuyo primer término es 1 y cuya razón de cambio es (1+i), luego la solución es S

1]/i

= 1* sn¬i Por: Víctor Garro

= 1* [(1+i)n -

(que es la función S ángulo n, i)

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Valor Actual 13


Cálculo simplificado del monto de una anualidad. Si en lugar de calcular el monto de un colón se tiene R colones, luego la solución simplificada sería

S = R[(1+i)n -1]/i = Rsn ¬ i donde

sn ¬ i

se lee s ángulo n en i, que representa el valor futuro de una

s

anualidad de ¢1 durante n períodos a la tasa i. El valor de la función n ¬ i se puede obtener de las tablas usuales o directamente de aplicar la fórmula supra mencionada o se puede obtener con la función Valor Futuro del Excel. VF.

Por: Víctor Garro

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Valor Futuro 14


Cálculo simplificado del monto de una anualidad. Ejemplo: ¿Qué cantidad de dinero se acumularía en un semestre si se depositan ¢ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente

Sol: R = 100,000, i = 0.36/12=0.03

S = 100,000[(1+0.03)6 -1]/0.03 S= 100000*6.468409= ¢646,841, o bien S = 100000 s6 ¬ 0.03 = 100000*6.46840988 = S = 646,841 Por: Víctor Garro

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Valor Futuro 15


Tablas de valor presente y valor futuro. Con el cálculo simplificado se pueden emplear tablas de valor presente

an ¬

i

y de valor futuro

sn ¬

i

referidas a un colón, y que

muestran dichos valores para distinto s períodos y tasas. En lugar de lugar de aplicar la fórmulas respectivas se aplican los valores dados en los libros de tablas usuales. También Usted puede emplear las funciones del Excel para encontrar el valor futuro y el valor actual de una anualidad , el período de la anualidad, el número de pagos y la tasa de interés de la misma

Por: Víctor Garro

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Tablas de vallor 16


Ejemplos:

Si el Sr. Brenes depositará $ 25 al final de cada trimestre en un fondo de ahorro que paga una tasa de interés del 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuándo tendría al final de 10 años si a- El no tiene hoy nada en su cuenta, b- si tiene depositado $1000. Sol. Ubique el diagrama S

0

25

25

25

25

25

1

2

3

39

40

Observe que el diagrama se hace para 40 intervalos de pago, y S representa el monto al final de 40-ésimo intervalo de pago

Por: Víctor Garro

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A-R = $25, i =0.12%/4 por intervalo y n = 40, con lo cual:

S=

Rsn ¬ i  25 s40 3% = 25* 46.44648164= $1161.16

Sol. B. Si tenía en la cuenta un monto inicial de $ 1000 por que en este caso se tendría :

S = 1000(1 + .12/3)40 +

1000

0

Por: Víctor Garro

1

25 s40 3% = ?

25

25

2

3

25

25

39

25

40

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18


3

¿Cuál es el valor actual de la anualidad en la situación a) R = $25, i = % por intervalo y n = 40, y se busca a40 3% en la tabla XIII el valor respectivo que es 34.44693844, con lo cual: A = Ran  i 

25a40 3% = 25*34.44693844= $861.17

Sol. B. Si tenía en la cuenta un monto inicial de $ 1000 por que en este caso se tendría : A = 1000+

25a40 3% = $1000+ 861.17 =$1861.17 1000 0

Por: Víctor Garro

1

25

25

2

25

3

25

39

25

40

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Función de Valor Actual, = VA( ) El valor actual es el valor que tiene actualmente la suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro. Por ejemplo, cuando pide dinero prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista. Sintaxis VA(tasa;nper;pago;vf;tipo) Tasa es la tasa de interés por período. Por ejemplo, si obtiene un préstamo para un automóvil con una tasa de interés anual del 10 por ciento y efectúa pagos mensuales, la tasa de interés mensual será del 10%/12 ó 0,83%. En la fórmula escribiría 10%/12, 0,83% ó 0,0083 como tasa. Nper es el número total de períodos en una anualidad. Por ejemplo, si obtiene un préstamo a cuatro años para comprar un automóvil y efectúa pagos mensuales, el préstamo tendrá 4*12 (ó 48) períodos. La fórmula tendrá 48 como argumento nper. Por: Víctor Garro

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20


Función de Valor Actual, = VA( )

Pago es el pago que se efectúa en cada período y que no cambia durante la vida de la anualidad. Por lo general, el argumento pago incluye el capital y el interés pero no incluye ningún otro cargo o impuesto. Por ejemplo, los pagos mensuales sobre un préstamo de 10.000 $ a cuatro años con una tasa de interés del 12 por ciento para la compra de un automóvil, son de 263,33 $. En la fórmula escribiría -263,33 como el argumento pago. Por: Víctor Garro

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Función de Valor Actual, = VA( ) Vf es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo, el valor futuro de un préstamo es 0). Si desea ahorrar 50.000 $ para pagar un proyecto especial en 18 años, 50.000 $ sería el valor futuro. De esta forma, es posible hacer una estimación conservadora a cierta tasa de interés y determinar la cantidad que deberá ahorrar cada mes.

Por: Víctor Garro

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Función de Valor Actual, = VA( ) Tipo es el número 0 ó 1 e indica el vencimiento de los pagos. Defina tipo como 0 si los pagos vencen al final del período. 1 al inicio del período. Observaciones: Mantenga uniformidad en el uso de las unidades con las que especifica los argumentos tasa y nper. Si realiza pagos mensuales sobre un préstamo de 4 años con un interés anual del 12 por ciento, use 12%/12 para el argumento tasa y 4*12 para el argumento nper. Si realiza pagos anuales sobre el mismo préstamo, use 12 por ciento para el argumento tasa y 4 para el argumento nper.

Por: Víctor Garro

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Valor Futuro: Devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)

Por: Víctor Garro

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Suponga que desee comprar. una póliza de seguros que pague 500 $ al final de cada mes durante los próximos 20 años. El costo de la anualidad es 60.000 $ y el dinero pagado devengará un interés del 8 por ciento. Para determinar si la compra de la póliza es una buena inversión, use la función VA para calcular que el valor actual de la anualidad es: VA(0,08/12; 12*20; 500; ; 0) es igual a -$59.777, El resultado es negativo, ya que muestra el dinero que pagaría (flujo de caja negativo). El valor actual de la anualidad (59.777,15 $) es menor que lo que pagaría (60.000 $) y, por tanto, determina que no sería una buena inversión. Por: Víctor Garro

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Ejemplos VF(0,5%; 10; -200; -500; 1) es igual a $2.581,40 VF(1%; 12; -1000) es igual a $12.682,50

VF(11%/12; 35; -2000; ; 1) es igual a $82.846,25 Supongamos que desee ahorrar dinero para un proyecto especial que tendrá lugar dentro de un año a partir de la fecha de hoy. Deposita $1.000 $ en una cuenta de ahorros que devenga un interés anual del 6%, que se capitaliza mensualmente (interés mensual de 6%/12 ó 0,5%). Tiene planeado depositar 100 $ el primer día de cada mes durante los próximos 12 meses. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al final de los 12 meses? VF(0,5%; 12; -100; -1000; 1) es igual a 2301,40 $

Por: Víctor Garro

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= PAGO ( ) Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de interés constante. Sintaxis

PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo) El pago devuelto por PAGO incluye el capital y el interés, pero no incluye impuestos, pagos en reserva ni los gastos que algunas veces se asocian con los préstamos. Por: Víctor Garro

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Sugerencia Para encontrar la cantidad total que se pagó durante la duración del préstamo, multiplique el valor devuelto por PAGO por el argumento nper. Ejemplos La siguiente fórmula devuelve el pago mensual de un préstamo de 10000 $ con una tasa de interés anual del 8 por ciento pagadero en 10 meses:

PAGO(8%/12; 10; 10000) es igual a 1.037,03 $ Por: Víctor Garro

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Usando el mismo préstamo, si los pagos vencen al comienzo del período, el pago es:

PAGO(8%/12; 10; 10000; 0; 1) es igual a 1.030,16 $ La siguiente fórmula devuelve la cantidad que se le deberá pagar cada mes si presta 5.000 $ durante un plazo de cinco meses a una tasa de interés del 12 por ciento:

PAGO(12%/12; 5; -5000) es igual a $1030,20 Por: Víctor Garro

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Puede utilizar PAGO para determinar otros pagos anuales. Por ejemplo, si desea ahorrar 50.000 $ en 18 años, ahorrando una cantidad constante cada mes, puede utilizar PAGO para determinar la cantidad que debe ahorrar. Asumiendo que podrá devengar un 6 por ciento de interés en su cuenta de ahorros, puede usar PAGO para determinar qué cantidad debe ahorrar cada mes. PAGO(6%/12; 18*12; 0; 50000) es igual a -129,08 $ Si deposita 129,08 $ cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 6 por ciento de interés, al final de 18 años habrá ahorrado 50.000 $.

Por: Víctor Garro

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=PAGOINT ( ). Devuelve el interés pagado en un período específico por una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante. Para obtener una descripción más completa de los argumentos de PAGOINT y más información acerca de las funciones de anualidades, vea VA. Sintaxis: PAGOINT(tasa;período;nper;va;vf;tipo)

En todos los argumentos el efectivo que paga, por ejemplo depósitos en cuentas de ahorros, se representa con números negativos; el efectivo que recibe, por ejemplo cheques de dividendos, se representa con números positivos.

Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

31


Ejemplos La fórmula siguiente calcula el interés que se pagará el primer mes por un préstamo de 8.000 $, a tres años y con una tasa de interés anual del 10 %: PAGOINT(0,1/12; 1; 36; 8000) es igual a 66,67 $ La fórmula siguiente calcula el interés que se pagará el último año por un préstamo de 8.000 $, a tres años, con una tasa de interés anual del 10 % y de pagos anuales: PAGOINT(0;1; 3; 3; 8000) es igual a -292,45 $ Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

32


=TASA ( ). Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad.TASA se calcula por iteración y puede tener cero o más soluciones. Si los resultados consecutivos de TASA no convergen en 0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM! Sintaxis: TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar) donde: el argumento estimar se omite, se supone que es 10 por ciento. Si TASA no converge, trate de usar diferentes valores para el argumento estimar. TASA generalmente converge si el argumento estimar se encuentra entre 0 y 1. Anualidades. Víctor Garro 33

Por: Víctor Garro


Ejemplo Para calcular la tasa de un préstamo de 8.000 $ a cuatro años con pagos mensuales de 200 $: TASA(48; -200; 8000) es igual a 0,77 por ciento Esta es la tasa mensual ya que el período es mensual. La tasa anual es 0,77%*12, que es igual a 9,24 por ciento.

Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

34


Ejemplo:

Si un municipio debe cancelar por una deuda con el IFAN la suma de $ 5000 cada seis meses. La tasa de interés del préstamo según el respectivo contrato es j2 = 5%, ¿Cuál es el capital inicial de la deuda? si:

a-Se requieren hacer 30 pagos para cancelarlos. Sol. R = 5000, i = 5%/2=0.0275%, n= 30 por lo que 5000a30 0.0275 , el valor respectivo de la tabla para ese plazo y esa tasa es a30 0.0275 =20.93029259, luego: A = Ran  i 

A = 5000* 20.24930130 = $101,246.5065

Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

35


b-Si adicionalmente al último de pago de $5000, deberá cancelar $2000, medio año después: Sol. R = 5000, i = 5%/2=0.0275%, n= 30 por lo que A = Ran ¬ i + 2000(1.0275)-31  A = 5000* 20.24930130+ 2000(1.0275)-31 = $101,246.51 +862.57 = $102,109.08 Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

36


Ejemplo: ¿Cuánto deberás pagar mensualmente por una P.C., el Gallo Más Gallo te ofrece la venta a 4 pagos para un total de $975? La letra de cambio que firmaste indica un 3.5% de intereses mensual. Sol. C = 975 975 =

R=?

,i = 0.035 n= 4

Ra4 ¬ 0.035

975 = R *3.67307921 975/ 3.67307921 = R 265.44 =R Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

37


Ejemplo: ¿Por cuántos meses deberás pagar $94.76 al final de mes, por haber comprado un combo de P.C. Con un valor de $850 en COOPEUN R.L. Si das $350 de prima y acuerdas pagar un interés 45.6% capitalizable mensualmente sobre el saldo? Sol. C = 850- 350=500 0.038 n= ?

R =94.76

i = 0.456/12 =

500 = 94.76 [{1 - (1+0.0 38) -n } /0.038] {500*0.038}/94.76 = 1 - (1+0.0 38) -n 0.200506 -1 = -(1+0.0 38) -n n = ln 1.250788/ ln 1.038 = 6 Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

38


Una anualidad vencida consiste en un conjunto de pagos periódicos hechos al inicio del respectivo período de pago donde el término de la anualidad inicia en la fecha del primer pago y termina un período después del último pago. R R

-1 0

2

R R ......... R

3

4 ....,

n-2 n-1 n

A Por: Víctor Garro

R

S Anualidades. Víctor Garro

39


Resolución para calcular Valor Presente Método 1: Para obtener el valor presente se parte de un período antes a fecha de inicio de los pagos, tal que:

A(1+ i)-1 = Ran ¬ i Método 2: Para obtener el valor presente considerar el primer pago R como un pago de efectivo y los restantes n-1 pagos como una anualidad ordinaria

A=R+ Ran-1 ¬ i = R(1+Ran-1 ¬ i ) Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

40


Resolución para encontrar el Monto Método 1: Para obtener el monto se parte de una ecuación de equivalencia, usando la fecha del último pago como fecha de comparación. Así en esa fecha se puede generar una anualidad ordinaria.

S(1+ i)-1 = Rsn ¬ i Método 2: El monto se puede hallar como el caso de una anualidad ordinaria, solo que restando un pago R.

S=R(sn+1 ¬ i - 1) Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

41


Encuentre el valor en efectivo de un refrigerador que pude ser comprado con pagos de ¢ 4,000 al comienzo de cada mes durante año y medio si se carga j12 =3 6%. Sol: R = 4000, i = 3% n= 18

4

4

4

4.......

4

-1 0

2

3

4 ....,

16 17 18

A Por: Víctor Garro

4

S Anualidades. Víctor Garro

42


Si se aplica el método 1 para el valor presente, debemos suponer que que estamos frente a una anualidad ordinaria de 18 pagos y traemos al periodo previo al inicio del término el valor de A.

A(1+ i)-1 = Ran ¬ i A(1+ 0.03)-1 = 4000a18 ¬.03 A = 4000*13.75351308*1.03 A= 56,664.47 Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

43


Si se aplica el método 2 para el valor presente, debemos suponer que que estamos frente a una anualidad ordinaria de 18 pagos y traemos al periodo previo al inicio del término el valor de A.

A(1+ i)-1 = Ran ¬ i A(1+ 0.03)-1 = 4000 a18 ¬.03 A = 4000*13.75351308*1.03 A= 56,664.47 Por: Víctor Garro

Anualidades. Víctor Garro

44


Formación por Competencias

Valor presente Halle el valor actual de $ 5000 pagaderos en 5 años, a la tasa de 6% de capitalización trimestral Sol: S = 5000, m = 4, j = 0.06 n=5

C = S * ( 1+jm/m)-n C = 5000 ( 1+0.06/4)-5 = 3712.35

Por: Víctor Por:Garro Víctor Garro

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Intenres compuesto.  Página 45I


Bibliografía  Samuelson, P. Nordhaus. Economía con aplicaciones a Latinoamérica. Edicación Mc Graw Hill. 19 edición. México. 2010

Formación por Competencias E--Mail:

www.eap.ucr.ac.cr Esta presentación se ha publicado en la pagina Web de la Escuela de Administración Pública de la Universidad de Costa Rica / Campus Bimodal. Derechos Reservados 2012

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Por: Por: Víctor Garro

Víctor Garro Martínez

MÓDULO VIIII GESTIÓN DE RECURSOS PÚBLICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN SOCIAL


Anualidades y Tabla de Amortización