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ÍNDICE 1.- Descripción del modelo 2.- Cálculos: 2.1.- Vigueta. Cálculo manual. Cálculo por CYPE. Reflexión. 2.2.- Viga. Cálculo manual. Cálculo por CYPE. Reflexión. 2.3.- Pilar. Cálculo manual. Cálculo por CYPE. Reflexión. 2.4.- Distribución de tensiones. 2.5.- Viento + excentricidad.

3.- Cuadro de estructuras:

4.- Reflexión:


1.- Descripción del modelo: La casa Farnsworth, casa en el campo para pasar los fines de semana encargada por Edith Farsnworth en 1945 a Mies, suponía una ocasión perfecta para aplicar la manera de entender Mies la arquitectura, al poseer un programa con unas mínimas restricciones funcionales y un aislamiento total del emplazamiento. La casa se eleva 1'6m del suelo para disponer de una posición de dominio sobre terreno y para evitar las crecidas del río Fox. Tanto esta elevación de 1'6 metros como la disposición ante el claro del bosque donde se sitúa y la configuración de los cerramientos acristalados. Hace de esta pieza de arquitectura una de las mas transparentes y puras de las realizadas por Mies. “La naturaleza también debería tener su vida propia. Deberíamos cuidarnos de no perturbarla con el colorido de nuestras casas y el mobiliario interior, sino que deberíamos intentar conseguir una mayor armonía entre la naturaleza, las casas y el ser humano. Cuando se mira la naturaleza a través de las paredes de vidrio de la casa Farnsworth, ésta adquiere un significada mas profundo que cuando uno está fuera. De esta manera se realza la naturaleza, que pasa a formar parte de un todo mayor” Mies van der Rohe en conversación con Chiristian Norberg-schultz, en Baukunst und werkform, 11 de noviembre de 1958 La casa tiene una superficie total de 198'2 m2 con una altura de 2'9 m. Al volumen principal se accede desde una plataforma desde donde despues de girar 90 grados se encuentra con el porche de acceso. En el interior solo nos encontramos con un volumen de servicios longitudinal ligeramente desplazado hacia la cara norte dejando mas espacio a la sala de estar, que alberga la cocina, un aseo con ducha, una aseo para invitados y un pequeño cuarto de instalaciones. A pesar de no tener mas divisione interiore que ese núcleo y un armario para separar la cama, los espacios interiores quedan perfectamente diferenciados por los materiales usados. Techo de escayola blanco, vidrios reflectantes de una hoja de 6 mm de espesor, pavimento de losas de travertino italiano, contrachapado de pino primavera para el recubrimiento del núcleo de servicios y teca para el armario que separa la cama, pilares pulidos y pintados en blanco, y cortinas blancas.

2.1.- Vigueta. Cálculo por CYPE. Reflexión.

manual.

Cálculo

· Modelo simplificado para

cálculo manual de


viguetas Estudiaremos una vigueta interior. En este caso, por zona de influencia, la vigueta soporta una carga correspondiente a una superficie de: S = 1,68 . 8,84 = 14,85 m2

- VIGUETA DE FORJADO INFERIOR A) Cargas

Por lo tanto, la vigueta soportaría una carga total de: qt = qinf . S = 11,775 . 14,85 = 174,86 KN Al ser una carga continua en una vigueta de longitud Lvigueta = 8,84 m, la carga lineal sería de: q = qt / Lvigueta = 174,86 / 8,84 = 19,78KN/m

Peso propio – 6,5 KN/m2 Sobrecarga de Uso – 2 KN/m2 Coeficientes de seguridad -

Peso propio: ɣ = 1,35 Sobrecargas: ɣ = 1,5

Carga total – qinf = 1,35 . 6,5 + 1,5 . 2 = 11,775 KN/m2


B)

Diagramas de esfuerzos

Por superposición de estados, obtenemos:

- Ecuaciones de equilibrio Σ Fv = 0 -> RA + RB =q . L

ΣM (A) = 0 -> RB . L – q . L . (L /2) = 0 -> RB = q . L / 2 = 19,78 . 8,84 / 2 = 87,43 KN RA = RB = q . L / 2 = 19,78 . 8,84 / 2 = 87,43 KN

Debe cumplirse que:

En el caso de la biempotrada, al considerar la simetría, el grado hiperestático (GH=1), y el giro en el centro es 0. Liberamos ambos vínculos y obtenemos las siguientes condiciones de deformación: Θ(A) = θ(B) = 0 ; f(A) = f(B) =0 (biapoyada)

Θ(A)= θ(A)1 – θ(A)2 = 0 θ(A)1 = q.L3 /24.E.I ; θ(A)2 q.L3 /24.E.I – M.L/2.E.I = 0 M =qL2/12

= M.L/2.E.I

Ahora conocemos los momentos y las reacciones que se producen de manera más sencilla. Tenemos una viga isostática equivalente. MA = MB = qL2/12 = 128,81 KNm M+ =qL2/24 = 64,4 KNm


C) Predimensionado - VIGUETA DE FORJADO SUPERIOR La tensión máxima del acero elegido (S275) es σmax = 275000 KN/m W = Mmax / σmax = 128,81 / 275000 = 4,68 . 10-4 m3 = 468 cm3

A) Cargas

Nos vamos al prontuario de perfiles y obtenemos un perfil IPN 280

D) Flecha

Nuestra flecha máxima debe ser: fmax = L/500 = 8,84/500 = 0,01768 m = 17,68 mm Para nuestra vigueta, con el perfil IPN280, la flecha sería: f = q.L4 / 384.E.Ix = 19,78 . 8,844 / 384 . 210000 . 103 . 7590 . 10-8 = 0,0197 m = 19,7 mm Por flecha, no nos cumple con el perfil obtenido mediante el predimensionado por tensiones, por lo que tendremos que tomar uno superior: IPN 300 – f = 0,0152 m = 15,2 mm ---------- Elegimos un perfil IPN 300

Peso propio – 4 KN/m2 Sobrecarga de Uso – 2 KN/m2 Coeficientes de seguridad -

Peso propio: ɣ = 1,35 Sobrecargas: ɣ = 1,5

Carga total – qsup = 1,35 . 4 + 1,5 . 2 = 8,4 KN/m2


Estudiaremos una vigueta interior. En este caso, por zona de influencia, la vigueta soporta una carga correspondiente a una superficie de:

B) Diagramas de esfuerzos - Ecuaciones de equilibrio Σ Fv = 0 -> RA + RB =q . L

S = 1,68 . 8,84 = 14,85 m2 Por lo tanto, la vigueta soportaría una carga total de: qt = qsup . S = 8,4 . 14,85 = 124,74 KN Al ser una carga continua en una vigueta de longitud Lvigueta = 8,84 m, la carga lineal sería de: q = qt / Lvigueta = 124,74 / 8,84 = 14,11 KN/m

ΣM (A) = 0 -> RB . L – q . L . (L /2) = 0 -> RB = q . L / 2 = 14,11 . 8,84 / 2 = 62,37 KN RA = RB = q . L / 2 = 14,11 . 8,84 / 2 = 62,37 KN

En el caso de la biempotrada, al considerar la simetría, el grado hiperestático (GH=1), y el giro en el centro es 0. Liberamos ambos vínculos y obtenemos las siguientes condiciones de deformación: Θ(A) = θ(B) = 0 ; f(A) = f(B) =0 (biapoyada)

Por superposición de estados, obtenemos:


C) Predimensionado La tensión máxima del acero elegido (S275) es σmax = 275000 KN/m W = Mmax / σmax = 91,89 / 275000 = 3,34 . 10-4 m3 = 334 cm3 Nos vamos al prontuario de perfiles y obtenemos un perfil IPN 300

D) Flecha Debe cumplirse que : Θ(A)= θ(A)1 – θ(A)2 = 0  θ(A)1 = q.L3 /24.E.I ; θ(A)2 q.L3 /24.E.I – M.L/2.E.I = 0  M =qL2/12

= M.L/2.E.I

Ahora conocemos los momentos y las reacciones que se producen de manera más sencilla. Tenemos una viga isostática equivalente. MA = MB = qL2/12 = 91,98 KNm M+ =qL2/24 = 45,94 KNm

Nuestra flecha máxima debe ser: fmax = L/500 = 8,84/500 = 0,01768 m = 17,68 mm Para nuestra vigueta, con el perfil IPN240, la flecha sería: f = q.L4 / 384.E.Ix = 14,11 . 8,844 / 384 . 210000 . 103 . 4250 . 10-8 = 0,0251 m = 25,1 mm Por flecha, no nos cumple con el perfil obtenido mediante el predimensionado por tensiones, por lo que tendremos que tomar uno superior: IPN 260 – f = 0,018 m = 18 mm IPN 280 – f = 0,014 m = 14 mm ----------> Elegimos un perfil IPN 280


-

Comparación de resultados entre cálculo simplificado manual y programa cype

Cuando metemos los datos en CYPE, el perfil obtenido es el mismo que en el cálculo manual (IPE300 en las viguetas inferiores, IPE280 en las viguetas superiores). En los diagramas de esfuerzos, obtenemos resultados mayores a los del cálculo simplificado manual. Creemos que esto es debido a que CYPE, además del peso propio y la sobrecarga de nieve introducida, también tiene en cuenta el peso del propio perfil, que lo introduce aparte. En cuanto a la flecha, también obtenemos resultados muy parejos a los del cálculo manual. En las viguetas del forjado inferior, manualmente obtenemos una flecha de 15,2 mm, mientras que en CYPE es de 16,96 mm. En las viguetas del forjado superior, manualmente obtenemos una flecha de 14 mm, mientras que en CYPE es de 15,62 mm.


2.3.- Viga. Cálculo manual. Cálculo por CYPE. Reflexión.

simplificando los vuelos.

- MODELO SIMPLIFICADO PARA CÁLCULO MANUAL: · Diagramas a estima

1. VIGA FORJADO INFERIOR A) Cargas Peso propio

= 6,5 KN/m2

Sobrecarga de Uso

= 2 KN/m2

Coeficientes de seguridad -

Peso propio: ɣ = 1,35 Sobrecargas: ɣ = 1,5

q1= ((qpp*γ)+ (qsc*γ))*d q1= (6.5 KN/m²*1.35) + (2 KN/m²*1.5) = 11.775 KN/m²*4.42m q1=52.04 KN/m B) Diagramas de esfuerzos YA = q1*Vl1 = 52.04 KN/m*3.35m= 174.33 KN YB = q1*Vl2 = 52.04 KN/m*1.71m= 88.99 KN MA = (q1*Vl1²)/2 = (52.04 KN/m*3.35²m)/2=292.01 KN*m Al ser la viga simétrica, la cortamos por la mitad para realizar los cálculos. Simplificamos la estructura. Hemos utilizado varios métodos de cálculo (dejando los vuelos, superposición de estado…) para reacciones y esfuerzos ya que al compararlo con los resultados de cype nos daba unos cortantes diferentes. Al final nos quedamos con el método de mayor aproximación,

MB = (q1*Vl2 ²)/2= (52.04 KN/m*1.71²m)/2=76.08 KN*m MD= (q1*L ²)/16= (52.04 KN/m*6.70²m)/16= 146 KN*m - Ecuaciones de equilibrio Fv = 0 -> YA+ YB + q1*L= RA + RB RA = 359.1 KN


Σ M (A) = 0 -> 0= MA – MD + RB*L – (q1*L ²)/2 – MB – YB*L

- VIGA FORJADO SUPERIOR

RB = 252.88 KN

A) Cargas Peso propio – 4 KN/m2 Sobrecarga de Uso – 2 KN/m2 Coeficientes de seguridad -

Peso propio: ɣ = 1,35 Sobrecargas: ɣ = 1,5

q2= ((qpp*γ)+ (qsc*γ))*d q2= (4 KN/m²*1.35) + (2 KN/m²*1.5) = 8.4 KN/m²*4.42m q2=37.13 KN/m B) Diagramas de esfuerzos YA = q2*Vl1 = 37.13 KN/m*3.35m= 124.38 KN YB = q2*Vl2 = 37.13 KN/m*1.71m= 63.5 KN MA = (q2*Vl1²)/2 = (37.13 KN/m*3.35²m)/2=208.34 KN*m MB = (q2*Vl2 ²)/2= (37.13 KN/m*1.71²m)/2=54.28 KN*m MD= (q2*L ²)/16= (37.13 KN/m*6.70²m)/16= 104.17 KN*m

C) Predimensionado: viga inferior La tensión máxima del acero elegido (S275) es σmax = 275000 KN/m W = Mmax / σmax = 146 / 275000 = 5.31 . 10-4 m3 = 531 cm3 Obtenemos un perfil UPN 300


-

ANÁLISIS POR EL ORDENADOR DE LAS VIGAS VIGA FORJADO INFERIOR Cortante máximo en A =247.605 KN Cortante máximo en B =234.319 KN Momento máximo en A = 293.27 KN*m Momento máximo en B = 107.03 KN*m

Los momentos calculados manualmente son muy aproximados a los resultados del cálculo a ordenador, sin embargo los resultados del cortante varia bastante.

VIGA FORJADO SUPERIOR - Ecuaciones de equilibrio Fv = 0 -> YA+ YB + q2*L= RA + RB RA = 256.21 KN Σ M (A) = 0 -> 0= MA – MD + RB*L – (q2*L ²)/2 – MB – YB*L RB = 180.44 KN C) Predimensionado: viga inferior

Cortante máximo en A =178.31 KN Cortante máximo en B =165.86 KN Momento máximo en A = 214.24 KN*m Momento máximo en B = 77.21 KN*m En la viga superior sucede lo mismo que en la viga inferior. Los momentos calculados manualmente son muy aproximados a los resultados del cálculo a ordenador, sin embargo los resultados del cortante varia bastante.

La tensión máxima del acero elegido (S275) es σmax = 275000 KN/m

- CONCLUSIÓN DE LOS RESULTADOS

W = Mmax / σmax = 104.17 / 275000 = 3.78 . 10-4 m3 = 378 cm3

Los momentos y cortantes en la viga inferior son mayores que la viga superior, tanto en el cálculo manual como a ordenador.

Obtenemos un perfil UPN 280


- FLECHA MÁXIMA EN VIGAS

De este modo la limitación de flecha será la siguiente:

LIMITACIÓN DE LA FLECHA

fADM = L / 500 = 6,7m / 500 = 0,013m = 1,3cm

Limitamos la flecha máxima a la luz entre 500. Utilizamos esta restricción ya que los cerramientos de la casa Farnsworth son rígidos. Con esta limitación de flecha evitamos posibles roturas de vidrios o desajustes en las carpinterías. CÁLCULO DE LA FLECHA EN VANO MÁS DESFAVORABLE La flecha máxima en la vigas se dará en los vanos extremos. Para simplificar el cálculo, cortamos la estructura por los apoyos en un vano extremo y consideramos una viga biempotrada con carga uniforme. Consideramos carga de peso propio más sobrecarga. Flecha en viga inferior (IPN-300): fMAX = (qxL4) / (384 x E x I) fMAX = (37,57 Kn/m x 6,704m) / 384 x 210 x 106kn/m2 x 8,03 x 10-5m4 = 0,011m fMAX = 1,1cm –> CUMPLE PARA IPNIPN-300 Flecha en viga superior (IPN-280): fMAX = (qxL4) / (384 x E x I) fMAX = (26,52 Kn/m x 6,704m) / 384 x 210 x 106kn/m2 x 6,28 x 10-5m4 = 0,010m fMAX = 1,0cm 1,0cm –> CUMPLE PARA IPNIPN-280


COMPARACIÓN DE RESULTADOS ENTRE CÁLCULO SIMPLIFICADO MANUAL Y PROGRAMA CYPE Resultados de flecha máxima calculados por CYPE: Viga superior: f. máxima = 1,37cm Viga inferior: f. máxima = 1,01 cm Resultados de flecha máxima por cálculo simplificado manual: Viga superior: f. máxima = 1,00cm Viga inferior: f. máxima = 1,10 cm

Los resultados obtenidos por ambos métodos son muy aproximados. En la viga superior podemos apreciar un ligero incremento de flecha en el cálculo de CYPE, esto puede ser debido a que CYPE considera también el peso propio de la viga. Teniendo en cuenta que el peso sobre la viga inferior es mayor al peso sobre la viga superior, vemos que la flecha es mayor en la superior. Esto puede ser debido a que el vuelo del forjado inferior, más pesado, contrarresta la flecha del vano extremo.


2.3.- Pilar. Cálculo manual. Cálculo por CYPE. Reflexión. -

MODELO SIMPLIFICADO PARA CÁLCULO MANUAL DE PILAR

2.4.- Distribución tensional en las secciones más significativas Pilar HEBHEB-180

El pilar soporta las tensiones del axil provocado por las dos vigas y las tensiones de flexión que se producen por la excentricidad de la carga en el pilar. - DIMENSIONADO DE PILAR SOMETIDO SOLO A ESFUERZO AXIL En primer lugar hemos dimensionado el pilar solo considerando el esfuerzo axil, sin tener en cuenta la excentricidad. P = N1 + N2 = 337,21 Kn + 315,57 Kn = 652,74 Kn σADM = 275000 Kn/m2

P= N1+N2 = 315,53 Kn + 337,21 Kn = 652,74 Kn

Excentricidad m Excentricidad=0,09 tricidad

σ = N / A -> A = N / σADM

MY= 652,74 Kn x 0,09 m = 58,74 Knxm

A = 652,74 Kn / 275000 Kn/m2 = 2,37 x 10-3m2

σ1= P/A= 652,74 Kn / 6,53 x 10-3 m2 = 99960,18 Kn/m2

A = 23,7cm -> HEBHEB-100

σ2= M/Wx = 58,74 Knxm / 4,26 x 10-4m3 = 137887,32 Kn/m2 σMAX = σ1+ σ2 = 237847,50 kn/m2 < 275000 kn/m2 -> CUMPLE


Viga UPNUPN-300 Forjado inferior

Vigueta IPNIPN-280 en forjado inferior

El esfuerzo predominante en la viga es la flexión, vamos a comprobar la tensión máxima en el punto más desfavorable.

Las viguetas tendrán que resistir esfuerzos de flexión debido a las cargas que transmite el forjado.

Momento positivo en el vano central -> MD= 146 Knxm

Momento positivo máximo en vigueta MMAX_V= 64,4 Knxm

σMAX= MD / W = 146 Knxm / 5,35 x 10-4m = 272897 Kn/m2

σMAX= MMAX_V / W = 64,4 Knxm / 5,42 x 10-4m = 118819,19 Kn/m2


Caso 1: P贸rtico con cerramiento original:

A1=[[ 1.71+3.36] . 0.30 ]. 0.5 =0.760 kn A2=[[1.71+3.36] . 0.28] . 0.5 =0.709 kn A3=[[6.72 . 1.945]+[6.72 . 0.28]]. 0.5 =7.475 kn A4= [[6.72 . 1.945]+[6.72 . 0.30]]. 0.5 =7.50 kn

Caso 2: Cerramiento en la totalidad del p贸rtico:

A1= [[1.71+3.36] . 0.30 +[1.945 . 5.07]]. 0.5 =5.69 kn A2= [[1.71+3.36] . 0.28 +[1.945 . 5.07]]. 0.5 =5.64 kn A3= [[6.72 . 1.945]+[6.72 . 0.28]]. 0.5 =7.475 kn A4= [[6.72 . 1.945]+[6.72 . 0.30]]. 0.5 =7.50 kn


Vemos que en los pilares del voladizo en el caso 2, aumentan los valores de las cargas puntuales que actúan y en los pilares centrales no varían. Se podría considerar que la diferencia con o sin cerramiento en la totalidad del pórtico es mínima. En relación con el resto de cargas que actúan sobre el pórtico, la acción del viento puede llegar a ser casi despreciable. No son determinantes del diseño.

- MODELO SIMPLIFICADO PARA CÁLCULO EN CYPE DE VIENTO. VIENTO Observamos las leyes al introducir el viento en el modelo de cype:

Las leyes que obtenemos de cype, apenas varían en el cálculo y diagramas de esfuerzos, ya que el viento no introduce una elevada carga. Vemos un mayor desplazamiento horizontal en la dirección x del pórtico de 2.4mm en el pilar central del pórtico, en la parte superior, quedando apenas sin desplazamiento en la base cuando sólo actúa la carga de viento. Si desactivamos la carga de viento, los desplazamientos son prácticamente nulos y en el caso de viento + excentricidad ocurre lo mismo, apenas son considerables estos valores.


- COMPARATIVA CÁLCULO MANUAL Y CYPE:

- DIMENSIONADO DE PILAR SOMETIDO A AXIL MÁS MOMENTO PRODUCIDO POR EXCENTRICIDAD

En ambos casos, observamos que el viento no es un factor dominante, ni determinante, en el cálculo del pórtico en 2d. Con o sin cerramiento en su totalidad, las cargas varían prácticamente poco, lo que quiere decir que no son determinantes del diseño. Los valores obtenidos de cype ofrecen una mayor idea de la actuación de estas cargas, ya que podemos comprobar en el momento las leyes y ver el comportamiento con los desplazamientos.

En el cálculo anterior no hemos tenido en cuenta el momento producido por la excentricidad de la carga sobre el pilar. Necesitaremos un perfil HEBHEB-180 P = N1 + N2 = 337,21 Kn + 315,57 Kn = 652,74 Kn My1 = 337,21 Kn x 0,09 m = 30,34 Knxm My2 = 315,57 Kn x 0,09 m = 28,40 Knxm MR = 58,74 Knxm σTotal = σN + σM σN = N / A = 652,74 Kn / 6,53 x 10-3 m2 = 99960,18 Kn/m2 σM =MR /W= 58,74 Knxm / 4,26 x 10-4m3 = 137887,2Kn/m2 σTotal = 237847,18 Kn/m2 -> CUMPLE


Estructura obtenida con el cรกlculo manual

Tabla comparativa de resultados obtenidos

simplificado

Estructura obtenida mediante el programa informรกtico CYPE

Calculo manual

CYPE

Vigueta superior

IPN 280

IPN 280

Viga superior

UPN 280

UPN 350

Vigueta inferior

IPN 300

IPN 300

Viga inferior

UPN 300

UPN 400

Pilares

HEB 180

HEB 250


4.- Reflexión: Después de los resultados obtenidos tanto de el cálculo manual como del cálculo por ordenador, podemos deducir que el cálculo manual que hemos planteado para realizar la práctica se asemeja mas al que se ha podido usar para dimensionar el proyecto original de Mies. Nos salen perfiles de dimensiones parecidas e incluso coincidentes con los planos de ejecución encontrados. El cálculo por ordenador por defecto trabajo con una condiciones mucho mas desfavorables; considera el peso de los perfiles, etc.. y por ello siempre nos salen valores mayores en los diagramas y en algunos casos perfiles mayores. A nivel de esfuerzos en la estructura; el planteo de una estructura simétrica simplifica notablemente los cálculos manuales; La utilización de los vuelos se traduce a una disminución de momentos en la estructura y con ello una disminución de la flecha de y la posibilidad de usar perfiles mas reducidos; Y la ejecución de la unión pilar-forjado hace que sólo puedan apareces excentricidades en un solo eje haciendo así mas facil aún el cálculo y tanto la eleccion y la disposición de los perfiles. Encontramos en el proyecto original una clara intención con respecto al dimensionado de la estructura. Mies utiliza las limitaciones de flecha para determinar las luces efectivas de la casa farnsworth, por ello encontramos unas luces tan dispares como 8,84m ó 6,7m, utiliza esas luces para conseguir homogeneidad en el canto del forjado y asi poder materializar la pureza de volúmenes por la que, entre muchas otras, cosas podemos definir la arquitectura de este clásico del movimiento moderno. Pureza de volúmenes, transparencia, relación con el entorno,


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