Cap´ıtulo IV
Divisibilidad en dominios ´ıntegros El concepto de divisibilidad es uno de los m´ as importantes en el estudio de los n´ umeros. A partir de ´el se plantean los m´ as interesantes y variados problemas cuyo estudio ha ocupado a los matem´ aticos durante milenios. Aqu´ı desarrollaremos la teor´ıa b´ asica al respecto. En cap´ıtulos posteriores profundizaremos m´ as en ella.
4.1
Conceptos b´ asicos
Definici´ on 4.1 Sea A un dominio ´ıntegro y a, b dos elementos de A. Diremos que a divide a b, o que a es un divisor de b, o que b es un m´ ultiplo de a (y lo representaremos a | b) si existe un elemento c de A tal que b = ac. Por ejemplo en Z es f´ acil ver que 3 divide a 15, pero no a 16. Es obvio que si a | b y b | c entonces a | c. Si u es una unidad, cualquier elemento a de A se expresa como a = u(u−1 a), luego las unidades dividen a todo elemento de A. Por otra parte si u es una unidad y a | u, entonces existe un b en A tal que u = ab, luego 1 = abu−1 , es decir, a es una unidad. En otras palabras, los divisores de las unidades son las unidades. Por el contrario 0 no divide a nadie salvo a s´ı mismo. Diremos que dos elementos a y b de A son asociados si a | b y b | a. Por ejemplo en Z se cumple que 3 y −3 son asociados. Ser asociado es una relaci´ on de equivalencia. Si dos elementos son asociados tienen los mismos m´ ultiplos y divisores. La asociaci´ on est´ a estrechamente relacionada con la existencia de unidades. En efecto, si a y b son asociados no nulos, entonces a = ub y b = va, para ciertos u y v del anillo A. Por lo tanto a = uva, de donde uv = 1, o sea, u y v son unidades. As´ı pues, si dos elementos son asociados, uno se obtiene del otro 29