Issuu on Google+

‫مقدمة في النحدار الخطي‬ ‫البسيط‬ ‫بفرض عينة عشوائية من الحجم ‪ n‬ممثلة بأزواج المشاهدات‬ ‫}‪ . {( x i , yi ); i = 1,2,..., n‬لعينات متكررة فإننا سوف نأخذ بالضبط قيم ‪x‬‬ ‫ونتوقع تغير في قيم ‪ . y‬وعلى ذلك قيمة ‪ y i‬في الزوج المرتب ) ‪( x i , y i‬‬ ‫تمثل قيمة لمتغير عشوائي ‪ . Yi‬أي أن النتيجة التي يأخذها ‪ Yi‬غير‬ ‫مؤكدة ‪ uncertain‬ول يمكن السيطرة عليها بواسطة الباحث ‪ .‬سوف‬ ‫ُنعرف ‪ Y | x‬لتمثل متغير عشوائي ‪ Y‬يقابل قيمة ثابتة ‪ ، x‬ونعرف‬ ‫متوسطة بالرمز ‪ µY| x‬وتباينه بالرمز ‪ . σ2Y| x‬من الواضح أنه عندما ‪x = x i‬‬ ‫فإن الرمز ‪ Y | x i‬يمثل المتغير العشوائي ‪ Yi‬بمتوسط ‪ µ Y| x‬وتباين ‪σ2Y| x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫أن النحدار الخطي البسيط يعني أن‬ ‫بمعادلة انحدار المجتمع التالية ‪:‬‬

‫‪µY| x‬‬

‫‪i‬‬

‫ترتبط خطيا بـ ‪x‬‬

‫‪µY| x = β0 + β1x‬‬

‫حيث معاملت النحدار ‪ , β0 , β1‬يمثلن معلمتين مطلوب تقديرهما من‬ ‫مشاهدات العينة حيث ‪ b 0‬تقدير للمعلمة ‪ β0‬و ‪ b1‬تقدير للمعلمة ‪. β1‬‬ ‫أي أننا نقدر ‪ µY| x‬بـ ˆ‪ y‬من انحدار العينه أو خط النحدار المقدر التالي ‪:‬‬ ‫‪yˆ = b 0 + b1 x .‬‬

‫شكل النتشار‬ ‫السلوب المفيد لبدء تحليل النحدار هو تمثيل البيانات بيانيا وهو ما‬ ‫يعرف بشكل النتشار ‪ scatter plot‬وذلك من فئة المشاهدات‬ ‫‪ . ( x i , y i), i = 1,2,..., n‬للحصول على شكل النتشار يخصص محور ‪x‬‬ ‫)المحور الفقي( للمتغير للمستقل بينما يخصص محور ‪ ) y‬المحور‬ ‫الرأسي ( للمتغير التابع ‪ .‬لكل زوج )‪ ( x , y‬من أزواج المشاهدات التي‬ ‫عددها ‪ n‬نقوم بتوقيع نقطة على الرسم ‪ .‬تتوفر كثير من برامج الحاسب‬ ‫اللي الجاهزة والخاصة بالنحدار مثل برنامج ‪ SPSS‬و ‪ Statistica‬و‬ ‫‪ Minitab‬للحصول على أشكال النتشار‪ .‬يفيد شكل النتشار فيما‬ ‫يلي ‪:‬‬

‫}‬

‫{‬

‫) أ ( يوضح عموما فيما إذا كانت هناك علقة ظاهرة بين المتغيرين أم‬ ‫ل‪.‬‬


‫)ب( عند وجود علقة يوضح شكل النتشار فيما إذا كانت العلقة خطية‬ ‫أم ل ‪.‬‬ ‫)ج ( إذا كانت العلقة خطية فإن شكل النتشار يوضح فيما إذا كانت‬ ‫سالبة )عكسية( أو موجبة )طرديه(‪.‬‬ ‫مثال‬ ‫في إحدى التجارب وزن قرون عدد من الغزلن المختلفة العمار‬ ‫وكانت النتائج كما هي معطاة في الجدول التالى‪ .‬المطلوب رسم شكل‬ ‫النتشار وتحديد شكل العلقة بين المتغيرين ‪.‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪69‬‬

‫‪55‬‬

‫‪53‬‬

‫‪46‬‬

‫‪43‬‬

‫‪42‬‬

‫‪34‬‬

‫‪30‬‬

‫‪22‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0.49‬‬

‫‪0.48‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.35‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.26‬‬

‫‪0.20‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0.0‬‬ ‫‪8‬‬

‫العمر‬ ‫‪x‬‬ ‫الوزن‬

‫الحل‬ ‫يتضح من شكل التالى أن النقط عموما ‪ ،‬ليس بالضبط ‪ ،‬تقع على‬ ‫خط مستقيم‪ .‬هذا يجعلنا نقترح أن العلقة بين المتغيرين يمكن وصفها‬ ‫) كتقريب أولي( بمعادلة خط مستقيم ‪.‬‬

‫‪y‬‬


‫نموذج النحدار الخطي‬ ‫البسيط‬ ‫في حالة الحنحدار الخطي البسيط حيث يوجد متغير مستقل واحد ‪ x‬ومتغير تابع ‪Y‬‬

‫}‬

‫{‬

‫فإن البياحنات تمثل بأزواج المشاهدات ‪ . ( x i , y i), i = 1,2,..., n‬سحنعرف كل متغير‬

‫عشوائي‬

‫‪Yi = Y | x i‬‬

‫كل المتوسطات‬

‫بحنموذج إحصائي ‪ Statistical model‬وذلك تحت فرض أن‬

‫‪µ Y| x i‬‬

‫ذلك فإن كل متغير‬

‫‪Yi‬‬

‫تقع على خط مستقيم كما هو موضح في الشكل التالى‪ .‬وعلى‬ ‫يمكن وصفه بحنموذج احنحدار بسيط كالتالي‪:‬‬

‫)‪(1-1‬‬ ‫حيث المتغير‬

‫العشوائي ‪εi‬‬

‫‪Yi = µ Y|xi + ε i = β 0 + β 1x i + ε i ,‬‬

‫‪ ،‬خطأ الحنموذج ‪ ،‬لبد أن يكون له متوسط يساوي صفر‪.‬‬


‫تشير المعلمة ‪ β1‬في نموذج النحدار )‪) (1-1‬والتي هي ميل خط‬ ‫النحدار( إلى التغير في متوسط التوزيع الحتمالي للمتغير التابع ‪ Y‬لكل‬ ‫وحدة زيادة في ‪ .x‬أما المعلمة ‪ β0‬فتمثل التقاطع الصادي لخط‬ ‫النحدار‪ .‬وإذا احتوى مدى النموذج على القيمة ‪ x = 0‬فان ‪ β0‬تعطي‬ ‫متوسط التوزيع الحتمالي لمتغير ‪ Y‬عندما ‪ . x = 0‬وليس للمعلمة ‪ β0‬أي‬ ‫تفسير خاص بها كحد منفصل في نموذج النحدار إذا لم يتضمن مجاله‬ ‫القيمة ‪. x = 0‬‬ ‫يقال عن النموذج )‪ (1-1‬انه بسيط وخطي في المعالم وخطي في‬ ‫المتغير المستقل‪ .‬فهو بسيط لنه يستخدم متغيرا مستقل واحدا فقط‪،‬‬ ‫وخطي في المعالم لنه ل تظهر أي معلمه كأس أو مضروبة بمعلمه‬ ‫أخرى‪ ،‬وخطي في المتغير المستقل لن هذا المتغير ل يظهر إل مرفوعا‬ ‫للس الواحد‪ .‬أيضا يعرف النموذج )‪ (1-1‬بالنموذج من الرتبة الولى‬ ‫والذي يختلف عن النموذج البسيط التالي‪:‬‬ ‫‪Yi = β0 + β1x 2 + εi‬‬

‫والذي يكون خطي في المعالم وغير خطي في المتغير المستقل لن‬ ‫هذا المتغير يظهر مرفوعا للس ‪ 2‬ويمثل نموذج خطي في المعالم‬ ‫ومن الرتبة الثانية في ‪.x‬‬ ‫كل مشاهدة‬

‫) ‪( x i , yi‬‬

‫في عينة عشوائية من الحجم ‪ n‬تحقق العلقة ‪:‬‬ ‫‪y i = β 0 + β1 x i + e *i‬‬

‫حيث ‪ e *i‬قيمة مفترضة للمتغير ‪ εi‬عندما ‪ Yi‬تأخذ القيمة ‪ . y i‬المعادلة‬ ‫السابقة ينظر إليها كنموذج لمشاهده مفرده ‪ . y i‬بنفس الشكل ‪،‬‬ ‫باستخدام معادلة خط النحدار المقدرة فإن ‪:‬‬ ‫‪yi = b 0 + b1x i + ei ,‬‬

‫حيث ‪ ei = yi − yˆi‬تسمى الباقي ‪ residual‬والذي يصف خطأ في توفيق‬ ‫النموذج عند نقطة المشاهدة رقم ‪ . i‬الفرق بين ‪ e i‬و ‪ e*i‬و موضح في‬ ‫الشكل التالى‪ .‬يوضح الشكل التالى الخط المقدر من فئة البيانات‬ ‫والمسمى ‪ yˆ =b 0 +b1x‬وخط النحدار الحقيقي ‪ . µY|x = β0 + β1x‬الن‬ ‫بالطبع ‪ β0 , β1‬معلمتين غير معلومتين‪ .‬يعتبر الخط المقدر تقدير للخط‬ ‫‪ . µY| x‬ومما يجدر الشارة إليه أن ‪ e i‬يمكن ملحظتها‪ ،‬أما ‪ e *i‬فل يمكن‬ ‫ملحظتها لن الخط ‪ µY| x‬مفترض وغير معروف‪.‬‬


‫فروض نموذج النحدار الخطي‬ ‫البسيط‬ ‫لتقدير معالم نموذج النحدار ) ‪ ( 1– 1‬توضع الفروض التالية لحد‬ ‫الخطأ ‪ εi‬والمسماة فروض جاوس ـ ماركوف ‪Gauss-Markov.‬‬ ‫‪E(εi ) = 0 ,‬‬ ‫‪E (εi2 ) = σ2 , E (εi εj ) = 0‬‬ ‫حيث ‪ i ≠ j‬لكل ‪i, j =1,..., n‬‬

‫أي‬

‫أن ‪εj , εi‬‬

‫غير مرتبطتين‪.‬‬

‫وعلى ذلك‪:‬‬ ‫‪E (Yi ) = β0 + β1 x i , Var(Yi ) = σ 2 .‬‬

‫هناك فروض أخرى نحتاج لها عند إجراء فترات ثقة واختبارات‬ ‫فروض تخص المعلمتين ‪ β0 , β1‬وهي أن ‪ εi‬يتبع التوزيع الطبيعي‬ ‫بمتوسط صفر وتباين ‪ ، σ2‬أي أن‪:‬‬ ‫‪εi ~ N (0, σ2 ) .‬‬

‫توزيع‬

‫‪εi‬‬

‫موضح في الشكل التالى ‪.‬‬


‫طريقة المربعات الصغرى‬ ‫‪The method of least squares‬‬ ‫بالرغم من وجود العديد من الطرق للحصول على تقديرات‬ ‫للمعلمتين ‪ β0 ,β1‬إل أن أفضل هذه الطرق هي طريقة المربعات‬ ‫الصغرى‪ .‬ترجع هذه الطريقة إلى عالم الرياضيات اللماني كارل‬ ‫فريدريكس جاوس ‪ . Carl Friedrich Gauss‬وبما أن الخط المطلوب‬ ‫يكون لغراض التنبؤ لذلك من المناسب أن يكون الخط من الدقة بحيث‬ ‫تكون أخطاء التقدير صغيرة‪ .‬والمقصود هنا بأخطاء التقدير الفروق‬ ‫بين القيم المشاهدة ‪ y i‬والقيم المناظرة ‪) yˆ i‬البواقي(على الخط‬ ‫المستقيم‪ .‬أي أن أخطاء التقدير هي ‪ . ( y i - yˆ i ) , i =1,2,..., n‬أخطاء‬ ‫التقدير موضحه في الشكل ‪ a b‬بأجزاء الخطوط الراسية التي تصل بين‬ ‫النقاط والخط المستقيم‪ .‬النقطة الواقعة فوق الخط تعطي خطأ‬ ‫)باقي( موجب والنقطة الواقعة تحت الخط تعطي خطأ سالب‪ .‬واحد‬ ‫‪n‬‬ ‫من الطرق لتقليل الخطاء هو جعل ) ‪ ∑ ( y i − yˆ i‬أقل ما يمكن ‪ ،‬ولكن‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫جعل ) ‪ ∑ ( y i − yˆ i‬اقل‬ ‫‪i =1‬‬

‫ما يمكن ل يعني الحصول على توفيق جيد‪ .‬ففي‬ ‫‪n‬‬

‫شكل ‪ a‬ثلثة أخطاء واحد موجب والخرين سالبين حيث ‪. ∑ ( y i − yˆ i ) = 0‬‬ ‫في هذه الحالة بتقليل الخطأ فإننا حصلنا على توفيق يبدو جيد‪.‬‬

‫‪i =1‬‬


‫الن بالنظر إلى شكل ‪ b‬فإن خط النحدار أدى إلى جعل‬ ‫‪− yˆ ) = 0‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ∑ ( yi‬وبالرغم‬ ‫‪i =1‬‬

‫من ذلك يتضح أن التوفيق ردئ‪ .‬الن ماذا يحدث‬ ‫‪n‬‬

‫عند إهمال الشارة وإيجاد الخط المقدر الذي يجعل ‪ ∑ y i − yˆ i‬أقل ما‬ ‫‪i =1‬‬

‫يمكن ؟ مرة أخرى لم نضمن أن الخط يمثل أفضل توفيق‪ .‬في الشكل‬ ‫التالى يتضح أن الخط في )‪ (a‬أفضل من الخط في )‪ (b‬بالرغم من أن‬ ‫الخط في )‪ (b‬جعل‬

‫‪n‬‬

‫‪∑ y i − yˆ i‬‬

‫‪i =1‬‬

‫أقل من )‪(a‬‬

‫وعلى ذلك نجد أن استخدام القيم المطلقة ليس مناسبا في‬ ‫المعالجة الرياضية ولذلك فإن هذه الصعوبة يمكن تلفيها بأن نطلب أن‬ ‫يكون مجموع مربعات الخطاء صغيرا بقدر المكان‪ .‬قيم المعالم هذه‬


‫التي تقلل إلى أقصى حد مجموع مربعات الخطاء تحدد ما يعرف‬ ‫بأفضل خط مستقيم يوفق النقاط المشاهدة من جهة نظر المربعات‬ ‫الصغرى‪ .‬ومما يجدر الشارة إليه أن طريقة المربعات الصغرى لتوفيق‬ ‫خط مستقيم لمجموعه من النقاط يمكن تطبيقها سواء كانت قيم ‪x‬‬ ‫حددت مسبقا أو تمثل قيم لمتغير عشوائي‪ ،‬أي إذا كان المتغير المستقل‬ ‫والمتغير التابع يمثلن متغيرات عشوائية‪ .‬وفي هذه الحالة تطبق طريقة‬ ‫المربعات الصغرى إذا تحقق الشرطان التاليان ‪-:‬‬ ‫‪ .1‬التوزيعات الشرطية للمتغيرات التابعة ‪ Yi‬علما بأن ‪ x i‬معطاة‬ ‫تمثل توزيعات طبيعية مستقلة لها متوسط شرطي ‪ β0 + β1x i‬وتباين‬ ‫شرطي ‪. σ2‬‬ ‫‪ .2‬المتغيرات ‪ X i‬هي متغيرات عشوائية مستقلة وتوزيعها الحتمالي‬ ‫) ‪ g( x i‬ل يحتوي على المعالم ‪. σ2 , β0 , β1‬‬ ‫الن سوف نوضح طريقة المربعات الصغرى بالمثال التالي وبدون‬ ‫الدخول فى كيفية الحصول على تقديرات المربعات الصغرى‬ ‫مثال‬ ‫نفرض أنه تم دراسة العلقة بين مصاريف العلن لسلعة ما )‪£‬‬ ‫‪ x(000‬والمبيعات للسلعة )‪ m)Y£‬والبيانات موضحة في الجدول التالى‪.‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪900‬‬ ‫‪840‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪510‬‬ ‫‪348‬‬ ‫‪644‬‬ ‫‪540‬‬ ‫‪665‬‬ ‫‪465‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪340‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪255‬‬

‫‪10000‬‬ ‫‪11025‬‬ ‫‪8100‬‬ ‫‪6400‬‬ ‫‪6400‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪7569‬‬ ‫‪8464‬‬ ‫‪8100‬‬ ‫‪9025‬‬ ‫‪8649‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪7225‬‬ ‫‪4900‬‬ ‫‪7225‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪7072‬‬

‫‪117532‬‬

‫‪78‬‬

‫ومن الجدول السابق يمكن حساب قيمة‬ ‫التالية ‪:‬‬

‫‪1322‬‬

‫‪b 0 , b1‬‬

‫باتباع الخطوات‬


‫‪n‬‬

‫‪78‬‬ ‫‪= 5.20 .‬‬ ‫‪15‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬

‫‪∑ yi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1322‬‬ ‫‪= 88.133‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫‪∑ xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫حيث ‪ x, y‬يرمزان للوسط الحسابي للعينة للمتغير المستقل ‪x‬‬ ‫والمتغير التابع ‪ Y‬على التوالي‪.‬‬

‫يمكن حساب‬

‫‪b1‬‬

‫كالتالى‪:‬‬ ‫‪SXY‬‬ ‫‪SXX‬‬

‫= ‪b1‬‬

‫حيث‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( ∑x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,���‬ ‫‪n‬‬ ‫‪∑ x i ∑ yi‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪SXX = ∑ x i2‬‬

‫‪SXY = ∑ x i yi −‬‬

‫‪b0 = y − b1x ,‬‬ ‫لحساب‬

‫‪b 0 , b1‬‬

‫سوف نحسب القيم التالية‪:‬‬ ‫‪∑ x i ∑ yi‬‬

‫‪n‬‬

‫‪(1322)( 78) = 197.6‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪SXY = ∑ x i y i −‬‬ ‫‪= 7072 −‬‬

‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫) ‪∑ xi‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪n‬‬

‫‪= ∑ x i2‬‬

‫‪SXX‬‬


‫‪= 1019.73‬‬

‫‪(1322 ) 2‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪= 117532 −‬‬

‫‪SXY‬‬ ‫‪197.6‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.193776,‬‬ ‫‪SXX 1019.73‬‬ ‫‪b 0 = y − b1x = 5.2 − ( 0.193776 )( 88.1333) = −11.8781.‬‬ ‫= ‪b1‬‬

‫وعلى ذلك معادلة النحدار المقدرة سوف تكون ‪:‬‬ ‫‪ˆ = −11.8781 + 0.19378 x‬‬ ‫‪y‬‬

‫أو بصورة بسيطة‪..‬‬ ‫‪ˆ = −11.9 + 0.19 x.‬‬ ‫‪y‬‬

‫والموضحة بيانيا في الشكل التالى مع شكل النتشار‪.‬‬

‫وتسمى معادلة انحدار ‪ y‬على ‪ x‬وعلى ذلك عندما ننفق ‪£ 75000‬‬ ‫على العلن فإننا نرغب في التنبؤ بالمبيعات وذلك بوضع ‪x=75‬‬ ‫)باللف( في معادلة النحدار أي أن ‪:‬‬ ‫‪yˆ = −11.8781 + ( 75)( 0.1938) = 2.6569 = £ 2656900 .‬‬

‫ماذا يعني هذا التنبؤ ؟ من الواضح أن هذا ل يعني أنة في كل مرة‬ ‫ننفق ‪ £ 75000‬على العلن سوف نبيع بالضبط ‪2656900£‬في‬ ‫الحقيقة فان التقدير للمبيعات يمثل قيمة متوسطة‪ .‬عندما يتم إيجاد‬ ‫معادلة النحدار المقدرة من القيم المشاهدة لـ ‪ x‬والتي تتراوح بين‪£‬‬ ‫‪ 70.000‬و ‪ £ 105000‬ثم نستخدم المعادلة المقدرة في حساب‬


‫مستوى المبيعات الناتج من إنفاق إعلنات قيمتها ‪ .75000£‬في هذه‬ ‫الحالة فان القيمة للمتغير المستقل في هذه الحالة تقع في مدى القيم‬ ‫المشاهدة وتسمى العملية في هذه الحالة تقع بين ‪interpolation‬او )‬ ‫‪ (.placing between‬السؤال الن ماذا عن القيم المقدرة لمبيعات من‬ ‫إنفاق على العلنات يساوي ‪:£ 120000‬‬ ‫‪ˆ = −11.8781 + ( 0.1938)(120 ) = 11377900 .‬‬ ‫‪y‬‬

‫هنا استخدمنا قيمة لـ ‪ x‬خارج مدى القيم المشاهدة‪ .‬تسمى العملية‬ ‫في هذه الحالة )تقع خارج ‪ placing outside‬أو )‪ .extrapolated‬كل‬ ‫التقديرين يتعرضان لخطأ ولكن التقدير الذي يقع خارج مدى القيم‬ ‫المشاهدة يكون أقل كفاءة من الذي يقع داخل مدى القيم المشاهدة‪.‬‬ ‫هذا يرجع لن داخل مدى القيم المشاهدة من ‪ x‬فإننا نعرف سلوك‬ ‫البيانات وكيف يمكن توفيق الخط المستقيم‪ ,‬أما خارج مدى المشاهدات‬ ‫فل نعرف سلوك البيانات وفي هذه الحالة قد ل يكون الخط المستقيم‬ ‫توفيق جيد لتلك القيم من ‪ .x‬والمثال على ذلك موضح في الشكللتالى‬ ‫والذي يجعلنا نتخذ الحذر عند الحصول على تقديرات خارج المدى لقيم‬ ‫‪.x‬‬

‫النحدار خلل نقطة الصل‬ ‫‪Regression through the orign‬‬


‫في كثير من التطبيقات يتطلب حذف ‪ β0‬من نموذج النحدار )‪،(1-1‬‬ ‫أي أن الخط يمر خل ل ‪ . x=0 , y=0‬هذه الحالة تطبق عند تحليل‬ ‫البيانات في مجال الكيمياء أو في العمليات الصناعية‪ .‬على سبيل‬ ‫المثال‪ ,‬الستجابة في عمليه كيميائيه تساوي صفر عندما تشغل العملية‬ ‫عند درجة حرارة صفر‪ .‬النموذج في هذه الحالة ل يكون له جزء‬ ‫مقطوع من المحور الرأسي ‪ y‬ويأخذ الشكل التالي ‪:‬‬ ‫‪Yi = β x i + ∈i .‬‬

‫)‪(1-2‬‬ ‫نفرض أن لدينا ‪ n‬من أزواج‬ ‫‪β0 = 0‬‬

‫المشاهدات ‪( x i , y i ) ; i = 1,2,..., n‬‬

‫وبما أن‬

‫وعلى ذلك تقدير المربعات الصغرى للميل هو‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪∑ x i yi‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪∑ xi‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪b1‬‬

‫ونموذج النحدار المقدر يأخذ الشكل التالي‪:‬‬ ‫‪yˆ = b1x .‬‬

‫مثال‬

‫فيما يلي عدد لوحات الطباعة لمخطوطه )‪ (x‬والتكلفة الكلية بالدولر‬ ‫لتصحيح الخطاء المطبعية ) ‪ (y‬وذلك لعينه عشوائية من الطلبات‬ ‫الحديثة التي تعهدتها شركه متخصصة في مخطوطات تقنيه‪ .‬وبما أن ‪Y‬‬ ‫ينطوي على متغير تكاليف فقد رغب باحث في تحديد ما إذا كان نموذج‬ ‫النحدار عبر نقطه الصل )‪ ( 2 -1‬ملئما لدراسة العلقة بين المتغيرين‪.‬‬ ‫والبيانات معطاة في الجدول التالى ‪.‬‬


‫‪xy‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪642‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪1770‬‬ ‫‪5832‬‬ ‫‪11425‬‬ ‫‪16200‬‬ ‫‪11150‬‬ ‫‪3500‬‬ ‫‪1780‬‬ ‫‪1910‬‬ ‫‪2556‬‬ ‫‪896‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪196‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪107‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪177‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪540‬‬ ‫‪446‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪191‬‬ ‫‪213‬‬ ‫‪128‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪57961‬‬

‫‪3215‬‬

‫‪3086‬‬

‫‪171‬‬

‫الحـل‬ ‫من البيانات في الجدول السابق نحصل على‪:‬‬ ‫‪57961‬‬ ‫‪= 18.0283 .‬‬ ‫‪3215‬‬

‫=‬

‫‪n‬‬ ‫‪∑ x i yi‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪∑ xi‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫= ‪b1‬‬

‫ومعادلة النحدار المقدرة سوف تكون‬ ‫‪ˆ = 18.0283x ,‬‬ ‫‪y‬‬

‫والممثله بيانيا في الشكل التالى مع شكل النتشار‪.‬‬


‫‪y‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪30‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫يتضح من الشكل السابق أن شكل النتشار يؤكد أن معادله النحدار‬ ‫المقدرة تمر بنقطة الصل‪.‬‬ ‫معامل‬ ‫التحديد‬ ‫للنموذج )‪ (1-1‬فإن معامل التحديد يأخذ الشكل التالي ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪− y) 2‬‬ ‫‪− y) 2‬‬

‫‪ˆi‬‬ ‫‪∑(y‬‬ ‫‪∑ ( yi‬‬

‫= ‪R2‬‬

‫فى حالة النموذج )‪ (2-1‬فإن معامل التحديد يأخذ الشكل التالي ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪ˆi‬‬ ‫‪∑y‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪∑ yi‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫= ‪R 02‬‬

‫الحصاء ‪ R 02‬يوضح نسبة الختلف )التغير( حول نقطه الصل ))‬ ‫‪ 0,0‬والناتج من النحدار‪.‬‬ ‫تحت فرض العتدال لحد الخطأ فإن يمكن الحصول على فترات‬ ‫ثقة وفترات تنبؤ واختبارات فروض لنموذج النحدار الذي ل يحتوي على‬ ‫الجزء المقطوع ‪.‬‬


الانحدار خلال نقطة الاصل