Issuu on Google+

‫اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﺗﺟﺎﻧس ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن‬ ‫واﺣد ﻣن اﻟﻔ روض اﻷﺳﺎﺳ ﯾﺔ ﻟﻛ ل ﻣ ن اﻟﻧﻣ وذج اﻟﺛﺎﺑ ت واﻟﻧﻣ وذج اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ھ و أن اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟ ذى‬ ‫ﯾﻌود اﻟﻰ اﻟﺧطﺄ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ داﺧل ﻛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻣﺗﺟﺎﻧس وھو ﻣﺎ ﯾطﻠق ﻋﻠﯾ ﮫ‬ ‫ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن او ﺗﺳﺎوى اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪ ،‬أي أن ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪H 0 : 1   22  ...   2k  2 .‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪.‬‬ ‫‪H1:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫ھﻧﺎك اﻟﻌدﯾد ﻣن اﻟطرق اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ اﻟﺗ ﻰ ﺗﺳ ﺗﺧدم ﻟﻠﻛﺷ ف ﻋ ن ﺗﺟ ﺎﻧس اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻧ ذﻛر ﻣﻧﮭ ﺎ اﻟط رق‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫)‪ (١‬اﺧﺗﺑﺎر ھﺎرﺗﻠﻰ ‪Hartlry‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‪:‬‬

‫‪H 0 : 12   22  ...   2k .‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪H1:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫وذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n‬ﺛﺎﺑﺗﮫ ﻟﻛل اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻓﻲ اﻟﺗﺟرﺑﺔ )أى ﺗﺳﺎوى ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‬ ‫اﻟﺗﻰ ﻋددھﺎ ‪ (k‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪S2l arg est‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ssmallest‬‬

‫‪Fmax ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ Ssmallest‬ھ و أﺻ ﻐر ﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫ﺣﯾ ث ‪ Sl2arg est‬ھ و اﻛﺑ ر ﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻌ دد ‪ k‬ﻣ ن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت و‬

‫ﻟﻌ دد ‪ k‬ﻣ ن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت‪ .‬ﺗﺣ ت اﻟﻔ رض ‪ 12   22  ...   2k‬ﻓ ﺈن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻰ‬ ‫ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ]‪) Fmax,  [ k , n  1‬ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣﺳ ﺗﻘﻠﮫ وﺗ م ﺳ ﺣﺑﮭﺎ ﻣ ن‬ ‫ﺗوزﯾﻌ ﺎت طﺑﯾﻌﯾ ﺔ( ﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق )‪ .(٤‬اﻟﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ﻟﮭ ذا اﻟﺗوزﯾ ﻊ ھﻣ ﺎ ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ‪ k‬وﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ )‪ .(n-1‬ﻧ رﻓض ‪ H0‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗزﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ ‪F‬‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻋن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫] ‪Fmax,  [ k , n - 1‬‬ ‫ﺣﯾث ] ‪ Fmax,  [ k , n - 1‬ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ Fmax‬ﻣن اﻟﺟدول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق )‪ .(٤‬ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺗوﺿﯾﺢ ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪:(١‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ اھﺗم اﺣد اﻟﻣﮭﻧدﺳﯾن ﺑﻣﻌدل اﻣﺗﺻﺎص اﻟرطوﺑﺔ ﻓﻲ اﻻﺳ ﻣﻧت ﻟﺧﻣ س ﻛﺗ ل‬ ‫اﺳ ﻣﻧﺗﯾﮫ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ‪ .‬ﻋرﺿ ت اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟ ﻰ اﻟرطوﺑ ﺔ ﻟﻣ دة )‪ (48‬ﺳ ﺎﻋﺔ و ﻗ رر اﻟﺑﺎﺣ ث ﻓﺣ ص ﺳ ت‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺎت ﻟﻛ ل ﻛﺗﻠ ﺔ واﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ اﻟﻣطﻠ وب اﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر ھ ﺎرﺗﻠﻰ ﻻﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔ رض ‪ ،‬ﻋﻧ د ‪ ،   0.01‬أن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻟﻼﻧ واع اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻛﺗ ل اﻻﺳ ﻣﻧﺗﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﻌﻧوﯾﺔ‪.‬‬

‫‪١‬‬


‫‪16 854‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪563‬‬ ‫‪631‬‬ ‫‪522‬‬ ‫‪613‬‬ ‫‪656‬‬ ‫‪679‬‬ ‫‪3664‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪417‬‬ ‫‪449‬‬ ‫‪517‬‬ ‫‪438‬‬ ‫‪415‬‬ ‫‪555‬‬ ‫‪2791‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪639‬‬ ‫‪615‬‬ ‫‪511‬‬ ‫‪573‬‬ ‫‪648‬‬ ‫‪677‬‬ ‫‪3663‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪595‬‬ ‫‪580‬‬ ‫‪508‬‬ ‫‪583‬‬ ‫‪633‬‬ ‫‪517‬‬ ‫‪3416‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪551‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪731‬‬ ‫‪499‬‬ ‫‪632‬‬ ‫‪3320‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪561.80‬‬

‫‪610.67‬‬

‫‪465.17‬‬

‫‪610.50‬‬

‫‪569.33‬‬

‫‪553.33‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫اﻟﺣل‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‬

‫‪s i2‬‬

‫‪ Yi. ) 2‬‬ ‫‪, i  1, 2, 3, 4, 5,‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪ (Yij‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪si2 ‬‬

‫‪s12  12134 , s 22  2303 , s 32  3594 , s 24  3319, s 52  3455.‬‬ ‫وﺑﻘﺳﻣﮫ اﻛﺑر ﺗﺑﺎﯾن ﻋﻠﻰ أﺻﻐر ﺗﺑﺎﯾن ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌددﯾﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ Fmax‬ھﻲ‪:‬‬

‫‪12134‬‬ ‫‪ 5.269.‬‬ ‫‪2303‬‬ ‫ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ Fmax‬ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق )‪ (٤‬ﻓ ﺈن ‪ Fmax, 0.01[5,5]  33.0‬وﺑﻣ ﺎ أن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫‪Fmax ‬‬

‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ Fmax‬اﺻﻐر ﻣن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.01‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل‬ ‫ﺗﺳﺎوى ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﻌﺎﻟﺟﺎت‪.‬‬

‫)‪ (٢‬اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻛران ‪Cochran‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺑﺳﯾط ﻧﺳﺑﯾﺎ ً ﻻﺧﺗﺑﺎر ﺗﺟﺎﻧس اﻟﺗﺑﺎﯾن‪ .‬ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض ‪:‬‬

‫‪H 0 : 12   22  ....   2k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H 1 :‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻹﺣﺻﺎء‪:‬‬

‫‪s2‬‬ ‫‪l arg est‬‬

‫‪k 2‬‬ ‫‪ si‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪٢‬‬


‫ﺣﯾث ‪ s l arg est‬ھو اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻷﻛﺑر‪ .‬اﻟﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ ھﻣﺎ ﻋ دد اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ‪ k‬ودرﺟ ﺔ اﻟﺣرﯾ ﺔ‬ ‫ﻟﻛل ﺗﺑﺎﯾن )‪ . (n-1‬اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﮫ ‪ 95‬و اﻟﻣﺋ ﯾن ذو اﻟرﺗﺑ ﮫ ‪ 99‬ﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻹﺣﺻ ﺎء ‪ C‬ﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﻣﻠﺣق )‪ .(٥‬ﻧرﻓض ‪ H0‬ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﮫ ‪ α‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗزﯾد ﻗﯾﻣﺔ ‪ C‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﻋ ن ‪C1-‬‬ ‫)‪ α (k, n-1‬وھو اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑ ﮫ ‪ 95‬أو اﻟﻣﺋ ﯾن ذو اﻟرﺗﺑ ﮫ ‪ 99‬ﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻹﺣﺻ ﺎء ‪ C‬و ‪ c‬ھ و‬ ‫ﻗﯾﻣﺔ ﻋددﯾﺔ ﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ .C‬ﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺢ اﺧﺗﺑﺎر ﻛوﻛران ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢‬‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق واﻟﺧﺎص ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل )‪ ١‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪s12  12134 , s 22  2303 , s 32  3594 ,‬‬ ‫‪s 24  3319 , s 52  3455 ,‬‬ ‫‪12134‬‬ ‫‪ 0.4892.‬‬ ‫‪24805‬‬

‫‪c‬‬

‫ﻟﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﮫ ‪   0.01‬ﻓ ﺈن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺣرﺟ ﮫ ھ ﻲ ‪ . C 0.99 (5,5)  .5875‬وﺑﻣ ﺎ أن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ )‪ (c = 0.4892‬أﺻﻐر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﻧﺗﺞ ﻣﻧﺎﺳ ﺑﺔ اﻟﻔ رض ان اﻟﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻓﺈن اﺧﺗﺑﺎر ھ ﺎرﺗﻠﻰ وﻛ وﻛران ﯾؤدﯾ ﺎن اﻟ ﻰ ﻧﻔ س اﻟﻘ رار وﺑﻣ ﺎ ان‬ ‫اﺧﺗﺑ ﺎر ﻛ وﻛران ﯾﺳ ﺗﺧدم ﻣﻌﻠوﻣ ﺎت اﻛﺛ ر ﻣ ن ﻣﺷ ﺎھدات اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻓﻌﻣوﻣ ﺎ ﯾﻛ ون اﻛﺛ ر ﺣﺳﺎﺳ ﯾﺔ ﻣ ن‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ھﺎرﺗﻠﻰ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺣﺎﻻت اﻟﺗﻲ ﯾﻛون ﻓﯾﮭﺎ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت ﻏﯾ ر‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ وﻟﻛن ﻣﺗﻘﺎرﺑﺔ ﻓﺈن أﻛﺑر ‪ n i‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﻣﻛﺎن ‪ n‬وذﻟك ﻟﺗﻘدﯾر درﺟﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﺿرورﯾﺔ ﻻﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول‪.‬‬

‫)‪ (٣‬اﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎرﻟت ‪Bartlett's Test‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣن أﻗدم اﻻﺧﺗﺑﺎرات ﻟﻠﻛﺷف ﻋن ﺗﺟ ﺎﻧس اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ .‬وﻧظ را ً ﻟﺻ ﻌوﺑﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺎت‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ ﻟﮭذا اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓﻌﺎدة ﻻ ﯾوﺻ ﻰ ﺑﺈﺳ ﺗﺧداﻣﮫ‪ .‬ﻓ ﻲ ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻻ ﯾﺷ ﺗرط ان ﯾﻛ ون ﺣﺟ وم‬ ‫اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ‪ ،‬ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﻋ ددھﺎ ‪ ، k‬ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ‪ ،‬ﻋﻠ ﻰ اﻻ ﯾﻘ ل ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫‪ i  1,2,...., k , n i‬ﻋن ﺛﻼﺛﺔ ‪ . n i  3 ،‬وﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض‪:‬‬

‫‪H 0 : 12   22  ...   2k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1:‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣ د اﺧﺗﺑ ﺎر ﺑﺎرﻟ ت ﻋﻠ ﻰ إﺣﺻ ﺎء ﻟ ﮫ ﺗوزﯾ ﻊ ﻋﯾﻧ ﻰ ﯾﻌط ﻰ ﻗ ﯾم ﺣرﺟ ﮫ ﻣﺿ ﺑوطﺔ ﻋﻧ دﻣﺎ ﺣﺟ وم‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬اﻟﻘ ﯾم اﻟﺣرﺟ ﮫ ﻟﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺧداﻣﮭﺎ‬ ‫ﻻﯾﺟﺎد ﺗﻘرﯾﺑﺎت ﻋﺎﻟﯾﮫ اﻟدﻗﺔ ﻟﻠﻘﯾم اﻟﺣرﺟﮫ وذﻟ ك ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻐﯾ ر اﻟﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ اﻟﺣﺟ م‪ .‬وﻓﯾﻣ ﺎ‬ ‫ﯾﻠﻲ ﺧطوات اﻻﺧﺗﺑﺎر‪:‬‬ ‫أوﻻ‪ :‬ﻧﺣﺳ ب اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ s12 , s 22 ,..., s 2k‬ﻟﻌ دد ‪ k‬ﻣ ن اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ذات اﻟﺣﺟ م ‪ n 1 , n 2 ,..., n k‬ﺣﯾ ث‬ ‫‪k‬‬

‫‪. N   ni‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺛﺎﻧﯾﺎ‪ :‬ﻧﺣﺳب اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ أي‪:‬‬

‫‪٣‬‬


‫‪k‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (n i  1)s i‬‬

‫‪Nk‬‬

‫‪s 2p  i 1‬‬

‫اﻵن‪:‬‬ ‫) ‪1 /( N  k‬‬ ‫‪ 2 n 1 1 2 n 2 1 2 n k 1 ‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪... s k‬‬ ‫‪ s1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪s 2p‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷ واﺋﻲ ‪ B‬ﻟ ﮫ ﺗوزﯾ ﻊ ﺑﺎرﻟ ت‪ .‬ﻟﻠﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﻋﻧ دﻣﺎ ‪، n 1  n 2  ....  n k‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪ ‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧ رﻓض ‪ H0‬ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪ α‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ b‬اﺻ ﻐر ﻣ ن ) ‪ b k ( ; n‬ﺣﯾ ث‬ ‫) ‪ b k (; n‬ﻗﯾﻣﮫ ﺣرﺟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﻟت واﻟﺗﻰ اﻟﻣﺳﺎﺣﮫ ﻋﻠ ﻲ ﯾﺳ ﺎرھﺎ ﺗﺳ ﺎوى‬ ‫‪ . α‬ﯾﻌط ﻰ اﻟﺟ دول ﻓ ﻲ اﻟﻣﻠﺣ ق )‪ (٦‬اﻟﻘ ﯾم اﻟﺣرﺟ ﮫ ) ‪ b k ( ; n‬وذﻟ ك ﻟﻘ ﯾم ‪  0.01, 0.05‬‬ ‫وﻗﯾم ‪ k =2,3,…,10‬وﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ‪ n‬ﻣن ‪ 3‬اﻟﻰ ‪.100‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﮫ ‪ ،‬ﻓﺈن ﻓرض اﻟﻌدم ﯾ رﻓض ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى‬ ‫ﻣﻌﻧوﯾﮫ ‪ α‬ﻋﻧدﻣﺎ‪:‬‬ ‫‪b  b k (; n 1 , n 2 ,..., n k ),‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫) ‪n b (; n 1 )  n 2 b k (; n 2 )  ...  n k b k (; n k‬‬ ‫‪b k (; n 1 , n 2 ,..., n k )  1 k‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻣ ره اﺧ رى ﻛ ل ) ‪ b(; n‬ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺎت ذات اﻻﺣﺟ ﺎم ‪ n 1 , n 2 ,...., n k‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن‬ ‫اﻟﺟدول ﻓﻲ اﻟﻣﻠﺣق )‪.(٦‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪:(٣‬‬ ‫ﻓﻲ دراﺳﺔ ﺗﻣت ﻓﻲ ﻣﻌﮭد اﺑﺣﺎث ﺻﻣﻣت ﺗﺟرﺑﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻟﻣﺳ ﺗوى اﻟﻧﺷ ط ﻟﻣرﻛ ب ‪alkaline‬‬ ‫‪ phosphates‬ﻓ ﻲ ﺳ ﯾرم اﻟ دم وذﻟ ك ﻟﻼطﻔ ﺎل اﻟ ذﯾن ﯾﺗﻠﻘ ون اﻟﻌ ﻼج ﻟواﺣ د ﻣ ن أرﺑﻌ ﺔ أدوﯾ ﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﻧﺷط ﻟﻠﻣرﻛب ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﺧﺗﺑﺎر ﺑﺎرﻟت ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض ‪ ،‬ﻋﻧد ‪ ،   0.01‬أن ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻟﻠﻣﺟ ﺎﻣﯾﻊ‬ ‫اﻻرﺑﻌﺔ ﻣن اﻻدوﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫‪G-1‬‬ ‫‪G-2‬‬ ‫‪G-3‬‬ ‫‪G-4‬‬ ‫‪49. 20‬‬ ‫‪97.50‬‬ ‫‪97.07‬‬ ‫‪62.10‬‬ ‫‪110.60‬‬ ‫‪44.54‬‬ ‫‪105.00‬‬ ‫‪73.40‬‬ ‫‪94.95‬‬ ‫‪57.10‬‬ ‫‪45.80‬‬ ‫‪58.05‬‬ ‫‪68.50‬‬ ‫‪142.50‬‬ ‫‪117.60‬‬ ‫‪95.84‬‬ ‫‪86.60‬‬ ‫‪91.85‬‬ ‫‪53.00‬‬ ‫‪77.71‬‬ ‫‪30.10‬‬ ‫‪58.35‬‬ ‫‪106.60‬‬ ‫‪175.00‬‬ ‫‪150.00‬‬ ‫‪36.50‬‬ ‫‪72.80‬‬ ‫‪0.57‬‬ ‫‪79.50‬‬ ‫‪82.90‬‬ ‫‪82.30‬‬ ‫‪116.70‬‬ ‫‪0.79‬‬ ‫‪29.50‬‬ ‫‪111.50‬‬ ‫‪87.85‬‬ ‫‪45.15‬‬ ‫‪0.77‬‬ ‫‪78.40‬‬ ‫‪105.00‬‬ ‫‪70.35‬‬ ‫‪0.81‬‬ ‫‪127.50‬‬ ‫‪95.22‬‬ ‫‪77.40‬‬

‫‪٤‬‬


‫اﻟﺣل‪:‬‬

‫‪H 0 : 12   22  ....   2k‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪H1:‬‬ ‫‪  0.01‬‬ ‫‪n1  20, n 2  9, n 3  9, n 4  7,‬‬

‫‪k4‬‬

‫‪N  45 ,‬‬

‫ﺳوف ﻧرﻓض ‪ H0‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪:‬‬

‫)‪b  b 4 (0.01 , 20, 9, 9, 7‬‬ ‫اﻷن‪:‬‬ ‫)‪(20) (0.8586)  (9) (0.6892)  (9)(0.6892)  (7) (0.6045‬‬ ‫‪b 4 (.01,20,9,9,7) ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ 0.7513.‬‬ ‫وﺑﻣﺎ ان ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s1  662.862 , s 2  2219.781 , s 3  2168.434 , s 4  946.032,‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪(19) (662.862)  (8)(2219.781)  (8) (2168.434)  (6) (946.032‬‬ ‫‪s 2p ‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪ 1301.861.‬‬ ‫اﻷن‪:‬‬

‫‪[(662.862)19 ( 2219.781)8 ( 2168.434)8 (946.032) 6 )1 / 41‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1301.861‬‬ ‫‪ 0.8557.‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن )‪ (b= 0.8557‬أﻛﺑر ﻣن ‪ b4(.01 , 20 , 9, 9, 7) = 0.7513‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫وﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻟﻣﺟﺎﻣﯾﻊ اﻻدوﯾﺔ اﻻرﺑﻌﺔ ﻏﯾر ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن ﻣﻌﻧوﯾﺎ‪.‬‬

‫)‪ (٤‬اﺧﺗﺑﺎر ﺷﯾﻔﯾﮫ ‪Scheffe‬‬ ‫ﻟ ﺗﻛن ‪ n1 , n 2 ,..., n i ,. .., n k‬ﺗرﻣ ز ﻟﺣﺟ وم اﻟﻌﯾﻧ ﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟ ﺎت اﻟﺗ ﻰ ﻋ ددھﺎ ‪ .k‬ﺗﻘﺳ م‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ اﻟﻰ ﻋﯾﻧﺎت ﺟزﺋﯾﮫ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪. n i1, n i 2 ,..., n ij , ..., n ip i‬‬ ‫ﺣﯾث ﻋدد اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺟزﯾﺋﺔ ﯾﻛون اﺧﺗﯾﺎرﯾﺎ وﯾﻔﺿ ل ان ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺟزﺋﯾ ﮫ ذات ﺣﺟ وم ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬ﻟﻛل ﻋﯾﻧﮫ ﺟزﺋﯾﮫ ﯾﺗم ﺣﺳ ﺎب اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ‪ . s ij2‬ﻟ ﯾﻛن ‪ . x ij  ln s ij2‬إن ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﯾ ﺗم‬ ‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ x ij‬ﻛﻣﺷ ﺎھدات اﺳﺎﺳ ﯾﺔ ﻛ ل ‪ x ij‬ﯾﻛ ون ﻟﮭ ﺎ ‪ f ij  n ij  1‬درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ‪ .‬ﺗﺣﻠﯾ ل‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ھﻧﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣ رﺟﺢ‪ .‬اﻟﺗ رﺟﯾﺢ ھﻧ ﺎ ﯾ ﺗم ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ . f ij‬ﯾﻔﺗ رض ان ‪ x ij‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ‬ ‫ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ .‬ﻻﯾﺟﺎد ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺗم اﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ Yi. , f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪x ij , Y.. ‬‬

‫‪pi‬‬ ‫‪ f ij‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪, Yi. ‬‬

‫‪pi‬‬ ‫‪ f ij‬‬ ‫‪j1‬‬

‫‪fi ‬‬


‫‪(1)  Y..2 / f ,‬‬ ‫‪(2)    f ij x 2ij ,‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪(3)   Yi2. / f i ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت ﻟﻠﻣﻌﺎﻟﺟﺎت ﺳﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪SSTr = (3) - (1).‬‬ ‫ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺧطﺄ ﺳﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪SSE = (2) - (3).‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض‬

‫‪12   22  ....   2k‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻹﺣﺻﺎء اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫)‪SSTr /(k  1‬‬ ‫)‪SSE / (p i  1‬‬ ‫إذا ﻛ ﺎن اﻟﻔ رض اﻟﻣ راد اﺧﺗﺑ ﺎره ﺻ ﺣﯾﺢ ﻓ ﺈن ‪ F‬ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﺗﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﮫ‬ ‫‪F‬‬

‫‪k‬‬

‫)‪. k  1,  (p i  1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻛﻣﺛ ﺎل ﻟﺗطﺑﯾ ق ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ‪ ،‬ﺑﻔ رض أن ‪ k=5‬و ‪ n=12‬ﻣﺷ ﺎھدة ﺗﺣ ت ﻛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻘﺳﯾم )ﻋﺷواﺋﯾﺎ( ﻛل ﻓﺋﮫ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻰ ﻋددھﺎ ‪ 12‬اﻟ ﻰ ‪ pi = 3‬ﻋﯾﻧ ﺎت ﺟزﺋﯾ ﮫ وﻛ ل‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ . n ij  4‬ﺗﺣ ت ظ روف ﻛ ل ﻣﻌﺎﻟﺟ ﺔ ﺳ وف ﯾﻛ ون ھﻧ ﺎك ﺛ ﻼث ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت‪.‬‬ ‫درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ F‬ﺳ وف ﺗﻛ ون )‪ . k  1, ( p i  1‬ﻟ ﯾس ﻣ ن اﻟﺿ رورى ان ﯾﻛ ون‬ ‫ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺣت ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻏﯾ ر ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ﻓﮭ ذا ﯾ ؤدى اﻟ ﻰ‬ ‫ان ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺟزﺋﯾﺔ داﺧل ﻛل ﻣﻌﺎﻟﺟﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‪ ،‬وﻟﻛن ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﺟزﺋﯾ ﮫ ﻻ ﺑ د ان ﯾﻛ ون‬ ‫ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ 3‬او اﻛﺛر‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪:(٤‬‬ ‫ﯾﻌطﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ درﺟﺎت ﺳﻣﮫ اﻻﻧﺑﺳﺎطﯾﮫ ﻟدى أرﺑﻊ ﻣﺟﻣوﻋﺎت‬ ‫واﻟﻣطﻠوب‪:‬‬ ‫اﺳ ﺗﺧدام اﺧﺗﺑ ﺎر ﺷ ﯾﻔﯾﮫ ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض ‪   0.01‬ان ﺗﺑﺎﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻟﻼﺟﻧ ﺎس‬ ‫اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪.‬‬ ‫أﻣرﯾﻛﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓرﻧﺳﯾون ‪:‬‬ ‫اﻧﺟﻠﯾز ‪:‬‬ ‫ﯾﺎﺑﺎﻧﯾون‪:‬‬

‫‪5, 4, 7, 3, 8, 2, 8, 6, 4‬‬ ‫‪7, 5, 5, 4, 8, 3, 11, 9‬‬ ‫‪6, 12, 8, 14, 5, 13, 9, 9, 8, 7‬‬ ‫‪11, 8, 3, 16, 9, 4, 10, 5, 8, 7, 11, 6‬‬

‫اﻟﺣل‪:‬‬ ‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‬

‫‪H 0 : 12   22  ....   2k‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪٦‬‬


H1: ‫اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﺎت ﻟﯾﺳت ﻛﻠﮭﺎ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫ ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ رض‬.‫اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺟزﺋﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﻣﻌط ﺎه ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‬ :‫اﻟﻌدم ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‬ D ‫اﻣرﯾﻛﯾـون‬ D2 D1 7 5 8 4 2 3 6 8 4 n11 n12 5 4 2 2 s11 s12 5.8 4.67 2 2 ln s11 ln s12

1.76

1.54

x 11 x 12 f 12 f11 4 3 f1  7 43 2

C ‫ﻓرﻧﺳﯾـون‬ C2 C1 7 5 5 4 8 3 9 11 n 21 4 s 221 2.92 ln s 221

n 22 4 s 222 12.92 ln s 222 1.07 2.56 x 21 x 22 f 21 f 22 3 3 f2  6  3 3 2

B ‫اﻧﺟﻠﯾـز‬ B2 6 8 13 9 8 n 31 5 2 s 31 6.70 2 ln s 31

B1 12 14 5 9 7 n 32 5 2 s 32 13.3 2 ln s 32

1.90

2.59

x 31 f 31

x 32 f 32

4

4 f3  8 44 2

A3 16 3 9 10

n 41 4 s 241 28.33 ln s 241 3.34 x 41 f 41 3 f4

A ‫ﯾﺎﺑﺎﻧﯾـون‬ A2 8 7 11 6

A1 8 11 4 5

n 43 n 42 4 4 s 242 s 243 4.67 10 ln s 242 ln s 243 1.54 2.3 x 42 x 43 f 42 f 43 3 3 9  33 3 3

Y1.   f1 j x 1j

Y2.   f 2 j x 2j

Y3.   f 3 j x 3j

Y4.   f 4 j x 4j

 11.66

 10.89

 17.96

 21.54

j1

j1

j1

4

Y..   Yi.  62.05. i 1

(1) 

Y..2

(62.05) 2 /f   128.34 30

(2)  f ij x ij2  12.39  7.11  3.43  19.66  14.44  26.83  33.47  7.11  15.87  140.31

٧

j1


‫‪(11 .66) 2 (10.89) 2‬‬ ‫‪/ fi ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ (Yi.2‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪(17.96) 2 (21.54) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 19.42  19.77  40.32‬‬ ‫‪ 51.55  131.06.‬‬ ‫‪SSTr  (3)  (1)  131.06  128.34  2.72,‬‬ ‫‪SSE  (2)  (3)  140.31  131.06  9.25,‬‬ ‫‪SSTr 2.72‬‬ ‫‪MSTr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.91,‬‬ ‫‪k -1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪MSE ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.85.‬‬ ‫‪(p i  1) 1  1  1  2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ F‬ھﻰ‪:‬‬ ‫‪0.91‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ 0.49.‬‬ ‫‪1.85‬‬ ‫اﻣ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻋﻧ د ﻣﺳ ﺗوى ﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ‪   0.01‬ﻓﮭ ﻰ ‪ . F.01 [3, 5] = 12.06‬وﺑﻣ ﺎ أن‬ ‫اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ أﺻ ﻐر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل ﻓ رض اﻟﻌ دم ﻋﻧ د ‪   0.01‬ﺑﺗﺳ ﺎوى‬ ‫ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻟﻼﺟﻧﺎس اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪.‬‬

‫‪٨‬‬


اختبارات التجانس للتباين