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‫أﻣﺜﻠﺔ وﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺼﺎءات اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﯿﺔ‪:‬‬ ‫اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﺤﯿﺎة‪:‬‬ ‫ﺗﺴــﺘﺨﺪماﻹﺣﺼــﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴــﺔ ﰲ اﻟﻜﺜــﲑ ﻣــﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘــﺎت وﳍــﺎ أﳘﻴــﺔ ﺑــﺎرزة ﰲ اﺧﺘﺒــﺎرات اﳊﻴــﺎة‪ ،‬ﻣــﺜﻼً‬ ‫إذا ﻛــﺎن ﻟــﺪﻳﻨﺎ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸ ـﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜــﻞ زﻣــﻦ اﳊﻴــﺎة ﻟـ ـ ‪ n‬ﻣــﻦ اﻟﻮﺣــﺪات ﻓــﺈن اﻹﺣﺼــﺎء‬ ‫اﻟﱰﺗﻴﱯ ‪ Y1‬ﳝﺜﻞ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟﻠﻮﺣﺪة اﻟﱵ ﺗﻔﺸﻞ أوﻻً و ‪ Y2‬زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟﻠﻮﺣﺪة اﻟﱵ ﺗﻔﺸﻞ ﺛﺎﻧﻴﺎً وﻫﻜﺬا‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 6‬وﺣﺪات وﺗﻘﻮم اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺗﺴﺠﻴﻞ زﻣﻦ اﻟﻔﺸﻞ ﻟﻜﻞ وﺣـﺪة وﺗﻨﺘﻬـﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑـﺔ ﺑﻔﺸـﻞ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺴﺎدﺳﺔ وﻛﺎﻧﺖ اﳌﺸﺎﻫﺪات ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪5 , 7 ,12 ,15 ,17 , 20.‬‬

‫ﻻﺣﻆ إن زﻣﻦ اﳊﻴﺎة اﻟﻜﻠﻲ ﳉﻤﻴﻊ اﻟﻮﺣﺪات ‪ 76‬وﺣﺪة زﻣﻨﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪17‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪y6‬‬

‫‪y5‬‬

‫‪y4‬‬

‫‪y3‬‬

‫‪y2‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪y 6  y5‬‬

‫‪y5  y4‬‬

‫‪y 4  y3‬‬

‫‪y3  y 2‬‬

‫‪y 2  y1‬‬

‫‪y1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻻﺣﻆ إن اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﰲ اﻟﻔﱰة اﻷوﱃ ‪ ny1  (6)(5)  30‬ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺗﻌﻤﻞ ﰲ‬ ‫ﻫﺬﻩ اﻟﻔﱰة‪.‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد )‪ (n  1‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة ‪ y 2  y1‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪(n  1)(y 2  y1 )  (5)(2)  10.‬‬

‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد )‪ (n  2‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة ‪ y 3  y 2‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪(n  2)(y3  y 2 )  (4)(5)  20.‬‬

‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد )‪ (n  3‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة ‪ y 4  y3‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪(n  3)(y 4  y 3 )  (3)(3)  9.‬‬

‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد )‪ (n  4‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة ‪ y 5  y 4‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪١‬‬


‫‪(n  4)(y5  y 4 )  (2)(2)  4.‬‬

‫اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﺤﻴﺎة ﻟﻌﺪد )‪ (n  5‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﰲ اﻟﻔﱰة ‪ y 6  y 5‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪(n  5)(y 6  y5 )  (1)(3)  3.‬‬

‫وﳝﻜﻦ ﲤﺜﻴﻞ ذﻟﻚ ﺑﺎﳉﺪول اﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

‫‪20‬‬

‫‪17‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫اﻟﻔﺘﺮة‬

‫‪30‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ny1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫) ‪(n  1)(y 2  y1‬‬ ‫) ‪(n  2)(y3  y 2‬‬ ‫) ‪(n  3)(y 4  y3‬‬ ‫) ‪(n  4)(y5  y 4‬‬ ‫) ‪(n  5)(y 6  y 5‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮع‬

‫‪76‬‬

‫وﳝﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر ) ‪ z i  (n  i  1)(y i  yi1‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﳌﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﲤﺜﻞ زﻣﻦ اﳊﻴﺎة اﻟﻜﻠﻲ‬ ‫ﺧﻼل اﻟﻔﱰة ﻣﻦ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة ‪ i  1‬إﱃ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة ‪ َ i‬وﺗﻜﺘﺐ ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ‪:‬‬ ‫‪Zi  (n  i  1)(Yi  Yi 1 ) , i  1,2,...,n , Y0  0‬‬

‫وﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺘﺎﱄ ﺳﻨﱪﻫﻦ إن ﻫﺬﻩ اﳌﺘﻐﲑات ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻲ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ X1 , X 2 ,, X n‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺣﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬ﻣﺴﺤﻮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ أﺳﻲ ﲟﺘﻮﺳﻂ ‪ ‬ﺣﻴﺚ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x)  exp( ) ;   0 , x  0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﻜﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟﻺﺣﺼﺎءات اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ اﻟﻌﻴﻨﺔ ﺗﻌﻄﻰ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬

‫) ‪g(y1 , y 2 ,..., y n )  n!f (y1 )f (y 2 )f (y n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ n! n exp(‬‬ ‫‪) ; 0  y1  y 2    y n  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢‬‬


‫ﻧﻌﺘﱪ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻷﺣﺎدﻳﺔ‪:‬‬ ‫‪Z1  n Y1‬‬ ‫) ‪Z2  (n  1)(Y2  Y1‬‬ ‫) ‪Z3  (n  2)(Y3  Y2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Zi  (n  i  1)(Yi  Yi1 ) , i  1,2,...,n , Y0  0‬‬

‫واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Zi‬‬ ‫‪ 2  ... ‬‬ ‫‪, i  1,2,,n,‬‬ ‫‪n n 1‬‬ ‫‪n  i 1‬‬

‫‪Yi ‬‬

‫وﻣﻨﻬﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z n‬‬

‫‪‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z 2‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪z1‬‬

‫‪y 2‬‬ ‫‪z n‬‬

‫‪‬‬

‫‪y 2‬‬ ‫‪z 2‬‬

‫‪y 2‬‬ ‫‪J  z1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪y n‬‬ ‫‪z 2‬‬

‫‪y n‬‬ ‫‪z1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪y n‬‬ ‫‪z n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻻﺣﻆ إن ‪،  Yi   Zi‬ﻟﺬا ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل اﳌﺸﱰﻛﺔ ﻟـ ‪ Zi‬و )‪ (i  1,2,,n‬ﺗﻌﻄﻰ‬ ‫ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] ‪h(z1 ,z 2 ,...,z n )  n exp[  i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   exp[ i ]  , 0  z i  ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫ﳑﺎ ﻳﻌﲏ إن اﳌﺘﻐﲑات ‪ Zi‬ﻣﺘﻐﲑات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ وﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ وﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﺑﺎﳌﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫اﻷﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫وﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻻﺣﻘﺎ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل ﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﺰوم اﻹﺣﺼﺎﺋﻴﺎت اﻟﱰﺗﻴﺒﻴﺔ ﰲ ا ﳊﺎﻟﺔ ّ‬ ‫اﻵن ﻣﺎذا ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﻘﻮم ﻋﻠﻰ اﺧﺘﺒﺎر زﻣﻦ اﳊﻴﺎة ﻟـ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﲝﻴﺚ ﻧﺴﺘﺒﺪل ﻛﻞ وﺣﺪة‬ ‫ﺗﻔﺸﻞ ﺑﻮﺣﺪة أﺧﺮى‪) .‬ﺳﺤﺐ ﺑﺈرﺟﺎع( ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻓﺈن ﻫﻨﺎك ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﺗﻌﻤـﻞ ﰲ ﻛـﻞ ﻓـﱰة وزﻣـﻦ اﳊﻴـﺎة‬ ‫اﻟﻜﻠﻲ ﰲ اﻟﻔﱰة ﻣﻦ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة ‪ i  1‬إﱃ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة ‪ i‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪Zi  n (Yi  Yi 1 ) , i  1, 2,..., n , Y0  0.‬‬ ‫‪٣‬‬


‫ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺈرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﺘﻐﲑات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪Wi  Yi  Yi 1 , i  1,2,...,n , Y0  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ (i,i,d) Wi‬وﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻻﺳﻲ ﲟﻌﻠﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺪون إرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﳝﻜﻦ اﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ ﺗﻮزﻳﻊ ‪ Zi‬واﺳـﺘﺨﺪام اﻟﺘﺤﻮﻳﻠـﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴـﺔ ﰲ إﳚـﺎد‬

‫اﻟﺘﻮزﻳﻊ‬

‫‪i  1,2,..., n, Wi‬‬

‫ﺣﻴﺚ‪:‬‬

‫‪Zi‬‬ ‫‪, i  1,2,...,n ,‬‬ ‫‪n  i 1‬‬

‫‪Wi ‬‬

‫وﻫﻲ ﲢﻮﻳﻠﺔ أﺣﺎدﻳﺔ واﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﳍﺎ ﻫﻲ‪:‬‬

‫‪, i  1,2,...,n.‬‬

‫‪Zi  (n  i  1)Wi‬‬

‫وﻣﻨﻬﺎ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﺟﺎﻛﻮﺑﻴﺎن اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ‪:‬‬ ‫‪0  0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 0 n  1  0‬‬ ‫!‪  n‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ h Z (z1 ,z 2 ,...,z n )  exp(z1 / ) exp( z 2 / ) exp( z n / ),‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫)‪h W (w1 , w 2 ,..., w n )  exp( nw1 / ‬‬ ‫‪exp( (n  1)w 2 / )‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪exp( w n / ).‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﳑــﺎ ﻳﻌــﲏ إن اﳌﺘﻐـﲑات ‪ W1 , W2 , , Wn‬ﻣﺘﻐ ـﲑات ﻋﺸـﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴــﺘﻘﻠﺔ وﻛــﻞ ﻣﻨﻬــﺎ ﻳﺘﺒــﻊ اﻟﺘﻮزﻳــﻊ اﻻﺳــﻲ‬

‫وﻟﻜﻨﻬﺎ ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ ﺣﻴﺚ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪).‬‬ ‫‪n  i 1‬‬

‫(‪Wi ~ E xp‬‬

‫ﻻﺣﻆ إن ﻫﻨﺎك ﻓﺮق آﺧﺮ ﺑﲔ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺈرﺟﺎع أو ﺑﺪون إرﺟﺎع‪ .‬ﻓﺎﻟﺰﻣﻦ اﻟﻜﻠﻲ ﳊﻴـﺎة اﻟﻮﺣـﺪات‬ ‫ﻣﻦ ﺑﺪاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ وﺣﱴ ﻓﺸﻞ اﻟﻮﺣﺪة ‪ k‬ﰲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺪون إرﺟﺎع ﻫﻮ‪:‬‬ ‫‪n Y1  (n  1)(Y2  Y1 )    (n  k  1)(Yk  Yk 1 ) .‬‬ ‫أﻣﺎ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ إﺟﺮاء اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺑﺈرﺟﺎع ﻓﺈﻧﻪ ﻳﺴﺎوي‪:‬‬ ‫‪n Y1  n(Y2  Y1 )    n(Yk  Yk 1 )  nYk .‬‬

‫‪٤‬‬

أمثلة وتطبيقات على الإحصاءات الترتيبية