Issuu on Google+

‫ﻣﺣﺎﺿرة ﻓﻰ اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‬ ‫‪Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode‬‬

‫ﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل‪ ٠‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن ‪ 50%‬ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل )‪٠(١‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪x‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال=اﻟوﺳﯾط=اﻟوﺳط‬

‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫ﺷﻛل )‪(١‬‬ ‫أﯾﺿﺎ ﻧﻼﺣظ ﻣن ﺷ ﻛل )‪ (١‬أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ‪) unimodal‬وﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال( وأن‬ ‫اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال‪ ٠‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل )‪ (٢‬ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟوﺳ ط‬ ‫اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط واﻟﻣﻧ وال ﺣﯾ ث اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر‪ ٠‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل )‪ (٣‬ﻧﺟد أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ < اﻟوﺳ ﯾط < اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن‪ ٠‬وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻛﻣ ﺎ‬ ‫أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة‪٠‬‬


‫اﻟﻣﻧوال‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط‬

‫اﻟوﺳط‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺷﻛل )‪(٢‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺷﻛل )‪(٣‬‬

‫ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ‬ ‫‪Some Measures of Skewness and Kurtosis‬‬

‫أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء‪ ،‬ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون‬ ‫ﻟﻼﻟﺗواء ‪ Pearsonian coefficient for skewness‬ﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪-:‬‬ ‫~ ‪3( x ‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪Sk ‬‬


‫ﺣﯾث ‪ x‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ‪ ~x‬اﻟوﺳﯾط و ‪ s‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‪ .‬ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن ‪  3‬إﻟﻰ ‪.  3‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ Sk  0‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل‪ .‬وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫‪ Sk‬ﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻣﻠﺗوﯾﺎ وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ‪ .‬وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ Sk‬ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا‬ ‫ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ‪10‬ﻗوارب ﻟﻠﺻﯾد ‪ ،‬ﻗﺎﻣ ت اﻟﺷ رﻛﺔ ﺑﺗﺳ ﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر(‬ ‫وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‪.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼ ﻟﺗواء ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪5905‬‬ ‫‪ 590.5.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.‬‬ ‫‪505  506‬‬ ‫‪ 505.5.‬‬ ‫‪2‬‬

‫~‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫)‪3(x  x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪Sk ‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( x) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(5905)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(3808497‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 189.03.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪s‬‬


‫)‪3(590.5  505.5‬‬ ‫‪ 1.3489.‬‬ ‫‪189.031‬‬

‫‪Sk ‬‬

‫أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ ﺷ ﻛل ) ‪ (٢‬وﺷ ﻛل ) ‪٣‬‬ ‫( وھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ داﺋﻣﺎ‪ .‬وﻟذﻟك ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌ زم اﻟﻣﻘ در ﻣ ن‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫اﻟﻌزم ‪ r‬ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ x1 , x 2 ,..., x n‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ x)r‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪mr ‬‬

‫اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ، a1  0‬ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a1  0‬ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب‬ ‫اﻹﻟﺗواء‪ ٠‬وإذا ﻛﺎن ‪ a1  0‬ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ ‪-:‬‬ ‫‪m4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s4‬‬

‫‪a2 ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ، a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن ‪ a 2  3‬ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬


‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 10‬ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت‬ ‫اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ‪ 18,22,26,25, 27,26,19,17,22,20 :‬أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪:‬اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ –‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪ -‬ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ‪ a1‬وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪. a 2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪18  22  26  25  27  26  19  17  22  20‬‬ ‫‪ 22.2‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x i )2 ‬‬ ‫‪1 n 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x i  i 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪s  3.64.‬‬

‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪a1  3‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪15.84‬‬ ‫‪ 1.58 ,‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ x)3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m3 ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1.584‬‬ ‫‪a1 ‬‬ ‫‪ 0.0327.‬‬ ‫‪(3.645)3‬‬

‫أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬


‫‪m4‬‬ ‫‪a2  4 ,‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ x) 4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m4 ‬‬

‫‪2179.95‬‬ ‫‪ 217.9 ,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪217.9‬‬ ‫‪a2 ‬‬ ‫‪ 1.234.‬‬ ‫‪176.510‬‬ ‫‪‬‬

‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن ‪. 3‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺗوزﯾ ﻊ ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎرﯾﻊ اﻟﻣﻧﻔ ذة ﺷ ﮭرﯾﺎ ﺧ ﻼل ﻋ ﺎم ‪1995‬ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﺑﺗ رول‪:‬‬ ‫‪ 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13‬اﺣﺳب ‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء ‪ a1‬وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ‪ -‬ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪111‬‬ ‫‪ 9.25.‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻹﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻧوﺟد أوﻻ اﻟﺗﺑﺎﯾن‬

‫‪x‬‬


‫‪(x i  x) 2 98.25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.9318.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪s ‬‬

‫إذن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‬

‫‪7.178  2.9886.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻟﺑﯾرﺳون‬

‫)‪3(9.25  8.5‬‬ ‫‪ 0.7530 .‬‬ ‫‪2.988‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرﺿﻰ اﻟذﯾن ﯾﺗم اﻟﻛﺷف ﻋﻠﯾﮭم ﯾوﻣﯾﺎ ﻓ ﻲ ﻣﺳﺗﺷ ﻔﻰ ﺧ ﺎص ﻣ ن ﻗﺑ ل‬ ‫‪ 10‬أطﺑﺎء ‪ ،15,8,6,9,15,18,21,39,5,7 :‬أوﺟ د اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري –‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x  14.3,‬‬

‫‪ 10.25,‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x i )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x i 2  i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(x i  x ) 4‬‬

‫‪(x i  x ) 3‬‬

‫‪(x i  x ) 2‬‬

‫)‪(x i  x‬‬

‫‪.2401‬‬

‫‪.343‬‬

‫‪.49‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1575.2961‬‬

‫‪ 250.047‬‬

‫‪39.69‬‬

‫‪ 6.3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4745.8321‬‬

‫‪ 571.787‬‬

‫‪68.89‬‬

‫‪ 8.3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪789.0481‬‬

‫‪ 148.877‬‬

‫‪28.09‬‬

‫‪ 5.3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪.2401‬‬

‫‪.343‬‬

‫‪.49‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪15‬‬

‫‪xi‬‬


‫‪187.4161‬‬

‫‪50.653‬‬

‫‪13.69‬‬

‫‪3.7‬‬

‫‪18‬‬

‫‪2015.1121‬‬

‫‪300.763‬‬

‫‪44.89‬‬

‫‪6.7‬‬

‫‪21‬‬

‫‪372209.81‬‬

‫‪15069.223‬‬

‫‪610.09‬‬

‫‪24.7‬‬

‫‪39‬‬

‫‪7480.5201‬‬

‫‪ 804.357‬‬

‫‪86.49‬‬

‫‪ 9.3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2839.8241‬‬

‫‪ 389.017‬‬

‫‪53.29‬‬

‫‪ 7.3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪391843.3389‬‬

‫‪13257.24‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪a1  3 .‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ x) 13257.24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1325.724 ,,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪1325.724‬‬ ‫‪ 1.2355.‬‬ ‫‪1076.890625‬‬

‫‪(x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪m3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣوﺟب اﻻﻟﺗواء‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪m4‬‬ ‫‪a2  4‬‬ ‫‪s‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪ x) 4 391843.3389‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 39184.33389‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪39184.33389‬‬ ‫‪ 3.5.‬‬ ‫‪11038.12891‬‬ ‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ‪.‬‬

‫‪a2 ‬‬

‫‪(x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪m4‬‬


‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗم ﺳؤال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 10‬ﻋﻣ ﺎل ﻋ ن اﻟﻣﺳ ﺎﻓﺔ )ﺑﺎﻷﻣﯾ ﺎل ( اﻟﺗ ﻲ ﯾﻘطﻌوﻧﮭ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻰ‬ ‫اﻟﻣزرﻋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻌﻣﻠون ﺑﮭﺎ وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‪ . 25,6,1,2,4,8,5,6,5, 4 :‬أوﺟ د ‪ :‬ﻣﻘﯾ ﺎس ﻟﻼﻟﺗ واء‬ ‫وآﺧر ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ھو ‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪a1  3‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪(x i  x ) 4‬‬

‫‪(x i  x ) 3‬‬

‫‪(x i  x ) 2‬‬

‫)‪(x i  x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪114622.8736‬‬

‫‪6229.504‬‬

‫‪338.56‬‬

‫‪18.4‬‬

‫‪25‬‬

‫‪.1296‬‬

‫‪ .216‬‬

‫‪.36‬‬

‫‪ .6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪983.4496‬‬

‫‪ 175.616‬‬

‫‪31.36‬‬

‫‪ 5.6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪447.7456‬‬

‫‪ 97.336‬‬

‫‪21.16‬‬

‫‪ 4.6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪45.6976‬‬

‫‪ 17.576‬‬

‫‪6.76‬‬

‫‪ 2.6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3.8416‬‬

‫‪2.744‬‬

‫‪1.96‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6.5536‬‬

‫‪ 4.096‬‬

‫‪2.56‬‬

‫‪ 1.6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.1296‬‬

‫‪ .216‬‬

‫‪.36‬‬

‫‪ .6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6.5536‬‬

‫‪ 4.096‬‬

‫‪2.56‬‬

‫‪ 1.6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪45.6976‬‬

‫‪ 17.576‬‬

‫‪6.76‬‬

‫‪ 2.6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪116162.672‬‬

‫‪5815.52‬‬

‫ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو‪:‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬


‫‪  45.8222‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪848  435.6‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪( x i ) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪ x i ‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪s  6.7692.‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪m4‬‬ ‫‪3  4 .‬‬ ‫‪S‬���

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ‪ a1‬وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪ a 2‬ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪٠ 2,4,6,8,13,15‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﺳﮭل ﻋﻣﻠﯾﺔ اﻟﺣﺳﺎب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪-:‬‬

‫‪( x i  x ) ( x  x) 2 ( x i  x) 3 ( x i  x) 4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1296‬‬

‫‪-216‬‬

‫‪36‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪256‬‬

‫‪-64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪16‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪625‬‬

‫‪125‬‬

‫‪25‬‬

‫‪5‬‬

‫‪13‬‬

‫‪2401‬‬

‫‪343‬‬

‫‪49‬‬

‫‪7‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4594‬‬

‫‪180‬‬

‫‪130‬‬

‫‪0‬‬

‫‪48‬‬

‫‪n‬‬

‫‪48‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ xi‬‬ ‫‪‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪x  i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ ( xi  x)  180‬‬

‫‪130‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 26 ,‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‪ ( xi  x‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪s2  i  1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪، s3  (26)(5.09902)  132.5745 , s4  676 ،‬‬

‫‪i 1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ‪-:‬‬


‫‪n‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪ 30.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‪ ( x i  x‬‬

‫‪‬‬

‫‪m 3  i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫وﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ‪-:‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪ 0.226288.‬‬ ‫‪132.5745‬‬

‫‪m3‬‬

‫‪‬‬

‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻗرﯾب ﻣن اﻹﻋﺗدال‪٠‬‬ ‫وﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪ a 2‬وذﻟك ﺑﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪4594‬‬ ‫‪ 765.667 ،  ( x i  x) 4  4594 ٠‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪4‬‬ ‫)‪ ( xi  x‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪-:‬‬

‫‪765.667‬‬ ‫‪ 113264‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪676‬‬ ‫وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻔﻠطﺢ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪m4‬‬ ‫‪s4‬‬

‫‪a2 ‬‬

‫‪m 4  i 1‬‬


محاضرة فى الالتواء والعلاقة بين الوسط الحسابي والوسيط والمنوال