Issuu on Google+

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد‬

‫)‪ (١‬ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﻣﺳﺗﻘل واﺣد‬

‫)‪ (١-١‬ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط‬

‫ﻓ ــﻲ ﺣﺎﻟ ــﺔ اﻻﻧﺣ ــدار اﻟﺧط ــﻲ اﻟﺑﺳ ــﯾط ﺣﯾ ــث ﯾوﺟ ــد ﻣﺗﻐﯾ ــر ﻣﺳ ــﺗﻘل واﺣ ــد ‪ x‬وﻣﺗﻐﯾ ــر‬

‫ﺗـﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻓـﺈن اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﺗﻣﺛـل ﺑــﺄزواج اﻟﻣﺷـﺎﻫدات‪(x i , yi), i  1,2,..., n‬‬

‫‪.‬ﺳــوف‬

‫ﻧﻌــرف ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ Yi  Y | x i‬ﺑﻧﻣــوذج إﺣﺻــﺎﺋﻲ ‪Statistical model‬‬ ‫وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن ﻛل اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ‪  Y|x i‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ‬

‫ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻛــل ﻣﺗﻐﯾــر ‪ Yi‬ﯾﻣﻛــن وﺻــﻔﺔ ﺑﻧﻣــوذج اﻧﺣــدار ﺑﺳــﯾط‬

‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫)‪(١-١‬‬

‫‪Yi   Y|xi   i   0  1x i   i ,‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ،  i‬ﺧطﺄ اﻟﻧﻣوذج ‪ ،‬ﻻﺑد أن ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬

‫‪١‬‬


‫ﺗﺷ ﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ 1‬ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار )‪ ،(١-١‬وھ ﻰ ﻣﯾ ل ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار إﻟ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻟﻛ ل وﺣ دة زﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ ‪ .x‬أﻣ ﺎ‬ ‫اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪  0‬ﻓﺗﻣﺛ ل اﻟﺗﻘ ﺎطﻊ اﻟﺻ ﺎدي ﻟﺧ ط اﻻﻧﺣ دار‪ .‬وإذا اﺣﺗ وى ﻣ دى اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ x  0‬ﻓ ﺎن ‪ 0‬ﺗﻌط ﻲ ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪ . x  0‬وﻟﯾس ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  0‬أي ﺗﻔﺳﯾر ﺧﺎص ﺑﮭﺎ ﻛﺣ د ﻣﻧﻔﺻ ل ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار‬ ‫إذا ﻟم ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﺎﻟﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪. x  0‬‬ ‫ﯾﻘ ﺎل ﻋ ن اﻟﻧﻣ وذج )‪ (١-١‬اﻧ ﮫ ﺑﺳ ﯾط وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘل‪ .‬ﻓﮭو ﺑﺳﯾط ﻷﻧﮫ ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾرا ﻣﺳﺗﻘﻼ واﺣدا ﻓﻘط‪ ،‬وﺧطﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ﻷﻧ ﮫ‬ ‫ﻻ ﺗظﮭر أى ﻣﻌﻠﻣﮫ ﻛ ﺄس أو ﻣﺿ روﺑﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﮫ أﺧ رى‪ ،‬وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻻ ﯾظﮭ ر إﻻ ﻣرﻓوﻋ ﺎ ﻟ ﻸس اﻟواﺣ د‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻌ رف اﻟﻧﻣ وذج )‪(١-١‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻷوﻟﻰ‬

‫)‪ (٢-١‬أﺳﻠوب ﺗﺣﻠﯾل اﻻﻧﺣدار‬ ‫‪Analysis of variance approach‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻹﺣﺻﺎء ‪ T‬ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 : 1  0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل‬ ‫‪ H 0 : 1  0‬و ذﻟ ك ﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺟ ودة ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ در‪ .‬ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﯾﺟ رى اﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺄﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﺣﯾ ث ﯾﺟ زئ اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﺗﺎﺑﻊ إﻟﻰ ﻣﻛوﻧﺎت ذات ﻣﻌﻧﻰ ‪ .‬ﺑﻔرض ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ n‬ﻧﻘ ﺎط اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﻌ ﺎدي ) ‪ ( x i , yi‬واﻧ ﮫ ﺗ م ﺗﻘ دﯾر ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار‪ .‬ﻓ ﻲ أﺳ ﻠوب ﺗﺣﻠﯾ ل اﻷﻧﺣ دار‬ ‫ﺳوف ﻧﺑدأ ﺑﺎﻟﻣﺗﺑﺎﯾﻧﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)‪(٢-١‬‬

‫‪( yi  y)  ( yˆi  y)  ( yi  yˆi ) .‬‬ ‫‪٢‬‬


‫واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ً ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫ﺑﺗرﺑﯾﻊ طرﻓﻲ )‪ (٢-١‬واﻟﺟﻣﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪ n‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫) ‪ y) 2   ( yˆ i  y) 2   ( yi  yˆ) 2  2  ( yˆ i  y)( yi  yˆi‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ ( yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫)‪(٣-١‬‬ ‫اﻟﺣد اﻟﺛﺎﻟث ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣن ﻣن )‪ (٣-١‬ﯾﻣﻛن إﻋﺎدة ﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫) ‪2  ( yˆi  y)( yi  yˆi )  2  yˆ i ( yi  yˆi )  2 y  ( yi  yˆ i‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ 2  yˆi ei  2 y  ei  0 .‬‬

‫وذﻟ ك ﻷن ﻣﺟﻣ وع اﻟﺑ واﻗﻲ داﺋﻣ ﺎ ً ﺗﺳ ﺎوي ﺻ ﻔر وﻣﺟﻣ وع اﻟﺑ واﻗﻲ اﻟﻣ رﺟﺢ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم‬ ‫اﻟﻣﻘدرة ‪ yˆi‬أﯾﺿﺎ ً ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪(٤-١‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ y) 2   ( yˆ i  y) 2   ( y i  yˆi ) 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ ( yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﺳ ر ﻣ ن )‪ (٤-١‬ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﻣﺻ ﺣﺢ ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ‪yi‬‬ ‫)‪ ، SYY ، (corrected sum of squares‬واﻟ ذي ﯾﻘ ﯾس اﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﻛﻠ ﻲ ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ .yi‬اﻟﻣﻛوﻧﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن )‪ (٤-١‬ﯾﻘﯾﺳ ﺎن ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ ﻛﻣﯾ ﺔ‬ ‫اﻻﺧﺗﻼف ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ yi‬اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺧط اﻻﻧﺣدار واﻻﺧ ﺗﻼف اﻟﺑ ﺎﻗﻲ واﻟ ذي ﻟ م‬ ‫ﯾﻔﺳر ﺑﺧط اﻻﻧﺣدارﺣﯾث ‪ y) 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ˆi‬‬ ‫‪ (y‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ SSR ‬ﯾرﻣز ﻟﻣﺟﻣ وع ﻣرﺑﻌ ﺎت اﻻﻧﺣ دار‬

‫‪٣‬‬


‫‪ the regression sum squares‬و أﻣ ﺎ ‪ yˆi ) 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ ( yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ SSE ‬ﻓﯾرﻣ ز ﻟﻣﺟﻣ وع‬

‫ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺑواﻗﻲ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك )‪ (٣-١‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٥-١‬‬

‫‪SYY  SSR  SSE .‬‬

‫أن ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺗﺟزﺋ ﺔ درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﺗ ﺗم ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ‪ .‬اﻟﻣﺟﻣ وع ‪ SYY‬ﻟ ﮫ ‪ n-1‬درﺟ ﺎت‬ ‫ﺣرﯾ ﺔ وذﻟ ك ﻻن درﺟ ﺔ ﺣرﯾ ﺔ واﺣ ده ﻓﻘ دت ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﻟﻠﻘﯾ د ‪ y)  0‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ (yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻋﻠ ﻰ‬

‫اﻻﻧﺣراﻓﺎت ‪. yi  yi‬اﻟﻣﺟﻣوع ‪ SSR‬ﻟﮫ درﺟﺔ ﺣرﯾ ﺔ واﺣ ده وذﻟ ك ﻷن ‪ SSR‬ﯾﻘ در‬ ‫ﻛ ﺎﻣﻼ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﺔ واﺣ ده وھ ﻲ ‪ . b1‬وﻓ ﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾ ﺔ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻌﻠ م ﺳ ﺎﺑﻘﺎ ً أن ‪ SSE‬ﻟﮭ ﺎ ‪n-2‬‬ ‫درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ وذﻟ ك ﻟوﺟ ود ﻗﯾ دﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻻﻧﺣراﻓ ﺎت ‪ yi  yˆi‬ﻓ ﻲ ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺗﻘ دﯾر‬ ‫‪. b 0 , b1‬وﻷن درﺟ ﺎت اﻟﺣرﯾ ﺔ ﻟﮭ ﺎ ﺧﺎﺻ ﯾﺔ اﻟﺗﺟﻣﯾ ﻊ ﻓ ﺈن )‪ . n-1=1+(n-2‬ﻻﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫اﻟﻔرض ‪ H 0 : 1  0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ H1 : 1  0‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﻠ م أﻧ ﮫ ﺗﺣ ت ﻓ رض‬ ‫اﻟﻌ دم ﯾﻣﻛ ن أﺛﺑ ﺎت أن ‪ SSE /  2‬و ‪ SSR /  2‬ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن ﻣرﺑ ﻊ‬ ‫ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ n-2‬و‪ 1‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ ‪.‬أﯾﺿ ﺎ ً ‪ SYY /  2‬ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﯾﺗﺑ ﻊ‬ ‫ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ . n-1‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻔ رض اﻟﺳ ﺎﺑق ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﺧدم‬ ‫اﻹﺣﺻﺎء ‪ F‬واﻟذي ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫)‪(٦-١‬‬

‫‪SSR / 1‬‬ ‫‪MSR MSR‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪SSE /(n  2‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫‪S2‬‬

‫‪F‬‬

‫وﺑﻣ ﺎ أن ‪ MSR‬و ‪ MSE‬ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن وﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫‪ H 0 : 1  0‬ﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈن اﻹﺣﺻﺎء ‪ F‬ﻓﻲ )‪ (٦-١‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪n-‬‬ ‫‪ 2‬و‪ . 1‬إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﺈن ھ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ أن اﻟﻣﯾ ل ‪ . 1  0‬وﻋﻠ ﻰ‬ ‫ذﻟك ﻹﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض ‪ H 0 : 1  0‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻼﺣﺻ ﺎء ‪ F‬وﻧ رﻓض ‪ H 0‬إذا‬ ‫ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﺗزﯾد ﻋ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪F‬‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻣظﻠﻠﮫ ﻓﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻋ ﺎدة ﺗﻠﺧ ص اﻟﺣﺳ ﺎﺑﺎت ﻓ ﻲ ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن أو أﺧﺗﺻ ﺎرا ً ﺟ دول ‪ANOVA‬‬ ‫واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪٤‬‬


‫‪Mean‬‬ ‫‪Squares‬‬ ‫‪MS‬‬

‫‪F‬‬

‫‪Degrees Of‬‬ ‫‪Freedom‬‬ ‫‪df‬‬

‫‪Source Of‬‬ ‫‪Variance‬‬ ‫‪S.O.V‬‬

‫‪Sum Of‬‬ ‫‪Squares‬‬ ‫‪SS‬‬

‫‪SSR‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻻﻧﺣدار‬

‫‪SSE‬‬

‫‪n-2‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬

‫‪SST‬‬

‫‪n-1‬‬

‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﺑﻌﺎت‬

‫‪MSR / s 2‬‬

‫‪MSR‬‬

‫‪SSE‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫درﺟﺎت اﻟﺤﺮﻳﺔ‬

‫ﻣﺼﺪر اﻻﺧﺘﻼف‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﺗﻛﺎﻟﯾف ﺻﯾﺎﻧﺔ ﺳﯾﺎرات اﻟﺷﺣن ﺗزﯾد ﻣﻊ ﻋﻣر اﻟﺳﯾﺎرة ‪.‬اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﻘدﯾر ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدر اﻟﺧطﻲ‬ ‫)ب( اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪ H 0 : 1  0‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪H1 : 1  0‬‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪6.0‬‬

‫‪6.0‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪5.5‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪4.0‬‬

‫‪5.0‬‬

‫‪4.0‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪619 1049 1033 495 723 681 890 1522 987 1194 163 182 764‬‬

‫‪y‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫‪64‬‬ ‫‪ 4.92308,‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪10302‬‬ ‫‪ 792.462 ,‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪٥‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x ‬و ‪n  13‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪y‬‬

‫‪4.5‬‬


n

n

n

SXY   x i yi   x i  yi  50648.5  i 1

i 1 i 1 n (  xi )2 i 1

(64)(10302)  69.0385 , 13

(64) 2 SXX    320   4.92308 , n 13 SXY  69.0385 b1    14.0234 , SXX 4.92308 b 0  y  b1x  792.464  ( 14.0234)(4.92308)  861.5 . n 2  xi i 1

: ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ھﻲ‬ yˆ  861.5  14.0234 x .

.‫واﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‬ 1600 1400 1200 1000 800 600 400 2

3

4

5

6

7

: ‫اﻵن ﻧﺣﺳب‬ n

, SYY

n   yi2 i 1

(  yi ) 2 

i 1

n

(10302) 2  9933940   1.77001  10 6 13

(SXY) 2 ( 69.0385) 2 , SSR  b1SXY    968.157 SXX 4.92308 ,

:‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬SYY ‫ ﻣن‬SSR ‫وﺑطرح‬

SSE  SSY  SSR  1.77001 106  968.157  1.76904  106 SSR 968.157 MSR    968.157 , 1 1 SSE 1769040 MSE    160821 .8 . n2 11 ٦


‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫وﺑﻣﺎ أن ﻗﯾﻣﺔ ‪، F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣ ن اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق أﻗ ل ﻣ ن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ وھ ﻰ ‪:‬‬ ‫‪ F0.05 (1,11)  4.84‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘﺑ ل ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ . H 0 : 1  0‬و ﯾﺟ ب اﻟﺗﻧوﯾ ﮫ ھﻧ ﺎ أﻧ ﮫ‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ أﻗل ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘﺑل ﻓرض اﻟﻌ دم ﺑ دون‬ ‫اﻟﻧظر إﻟﻰ ﻗﯾﻣﺔ ‪ F‬اﻟﺟدوﻟﯾﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪F , t‬‬ ‫وﻋﻧد اﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫‪H 0 : 1  0 ,‬‬

‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪:‬‬ ‫‪H1 : 1  0 ,‬‬

‫اﺧﺗﺑﺎر ‪ t‬ﯾﻛﺎﻓﺊ اﻻﺧﺗﺑ ﺎر اﻟ ذي ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن اﻟﻣﻌط ﻰ ﻓ ﻰ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﻟﻔرض ﺑدﯾل ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن ﺣﯾث اﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان ‪:‬‬ ‫‪MSR‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪MSE‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﺑﯾن ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬وﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ ‬و‬ ‫‪1‬ﺣﯾث ‪   n  2‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪t2 ‬‬

‫‪t 2 / 2 ()  F [1, ] .‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘ ﺔ ‪ ،‬إن اﺧﺗﺑ ﺎر ‪ t‬ﯾﺳ ﻣﺢ ﺑﺎﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ن ﺟﺎﻧ ب واﺣ د ﺑﯾﻧﻣ ﺎ اﺧﺗﺑ ﺎر ‪ F‬ﻣﻔﯾ د ﻓ ﻲ‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر ذو ﺟﺎﻧﺑﯾن ‪.‬‬

‫)‪ (٣-١‬ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد‬ ‫‪Coefficient of determination‬‬ ‫ﻋﻠﻣﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﻧد اﻟﺳﺎﺑق أن ‪:‬‬ ‫‪SYY =SSE + SSR‬‬ ‫‪٧‬‬


‫وﺑﻘﺳﻣﺔ طرﻓﻲ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ SYY‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪SSE SSR‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪SYY SYY‬‬

‫‪1‬‬

‫أي ان‪:‬‬ ‫‪SSR‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪= 1‬‬‫‪SYY‬‬ ‫‪SYY‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد واﻟذى ﻣ ن اﻟﺳ ﮭل ﺣﺳ ﺎﺑﮫ ﻣ ن ﺟ دول ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺗﺑ ﺎﯾن وﯾﻌﺗﺑ ر ﻣ ن اﻛﺛ ر‬ ‫اﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟوﺻ ﻔﯾﺔ ﺷ ﯾوﻋﺎ ﻟوﺻ ف اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻟﺧطﯾ ﺔ ﺑ ﯾن ‪ x‬و‪ Y‬وﺧﺻوﺻ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد‪ ٠‬ﺑﻣﺎ ان ‪ 0  SSE  SYY‬ﻓ ﺎن ھ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ ان ‪، 0  R 2  1‬‬ ‫وﻗﯾﻣﺔ ‪ R 2‬اﻟﻘرﯾﺑ ﺔ ﻣ ن ‪ 1‬ﺗﻌﻧ ﻲ ان ﻣﻌظ م اﻟﺗﻐﯾ ر ﻓ ﻲ ‪ y‬ﯾﻔﺳ ر ﻣ ن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار‪٠‬‬ ‫ﯾﻣﺛ ل ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻧﺳ ﺑﺔ ﻣﺳ ﺎھﻣﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﻓ ﻲ ﺗﻔﺳ ﯾر او ﺷ رح‬ ‫اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم ‪ y‬ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ ، y‬او اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن اﻻﻧﺣراﻓﺎت‬ ‫اﻟﻣوﺿﺣﺔ إﻟﻰ اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ‪٠‬ﻓﻣ ﺛﻼ ﻟ و ﻛﺎﻧ ت ‪ R 2  0.9‬ﻓﮭ ذا ﯾﻌﻧ ﻲ ان ‪90%‬‬ ‫ﻣن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم ‪ y‬ﺗم ﺷرﺣﮭﺎ او ﺗﻔﺳﯾرھﺎ ﺑواﺳطﺔ ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫‪ x‬أو ان ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﻘ درة ﺗﻘ در‪ 90%‬ﻣ ن اﻻﻧﺣراﻓ ﺎت اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ﻓ ﻲ ﻗ ﯾم ‪ y‬وان‬ ‫‪10%‬ﻣن اﻻﻧﺣراﻓﺎت اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻻ ﺗزال ﻏﯾر ﻣوﺿﺣﺔ اذ ﻣن اﻟﻣﺣﺗﻣل ان ﺑﻌ ض اﻟﻌواﻣ ل‬ ‫ﻟ م ﺗؤﺧ ذ ﻓ ﻲ اﻻﻋﺗﺑ ﺎر ﻓ ﻲ ﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻧﻣ وذج اﻟﻣﻘﺗ رح أو أن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻣﻘﺗرﺣ ﺔ ھ ﻲ‬ ‫ﺑﺎﻷﺻ ل ﻏﯾ ر ﻣﻼﺋﻣ ﺔ ﻟﻠﺗﻌﺑﯾ ر ﻋ ن اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻣﻣ ﺎ ﯾ ؤدي اﻟ ﻰ وﺟ ود‬ ‫اﻧﺣراﻓ ﺎت ﻏﯾ ر ﻣوﺿ ﺣﺔ ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻘ ﻊ ﻛ ل ﻗ ﯾم ‪ y i‬ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار‬ ‫‪ ( yi  yˆi ) e i‬ﺳ وف ﺗﺳ ﺎوي ﺻ ﻔر وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻓ ﺎن ‪ SSE=0‬و‬ ‫اﻟﻣﻘ درة ﻓ ﺎن ﻛ ل‬ ‫ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪SSR=SYY – SSE = SYY .‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪SSR SYY‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.‬‬ ‫‪SYY SYY‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﺎﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺧط اﻧﺣدار ﻣﺿﺑوط ‪.‬‬ ‫‪6.5‬‬

‫‪5.5‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪6.5‬‬

‫‪5.5‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪3.5‬‬

‫‪X‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪3.5‬‬


‫وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﺧرى ﻓﺎن ‪ R 2  0‬ﺗﺣدث ﻋﻧدﻣﺎ ﻻﺗوﺟد ﻋﻼﻗﺔ اﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن‬ ‫)ﺣﯾ ث ‪ yˆ i  y‬ﻟﻛ ل ‪ ( i‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ SSR=0‬و ﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻓ ﺎن ‪ SSE‬ﺳ وف ﺗﺳ ﺎوي‬ ‫‪ SYY‬وﻣﻧﮭﺎ ‪ SSR= SYY - SSE = 0‬و ﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪SYY‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة ﺳ وف ﺗﻛ ون ﻣوازﯾ ﺔ ﻟﻠﻣﺣ ور اﻻﻓﻘ ﻲ ‪،‬‬ ‫أي ان ‪ b1  0‬ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫ﻋﺎدة ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾق ‪ R 2‬ﺗﻘﻊ ﺑﯾن ‪ 0‬و‪ ٠ 1‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻘﺗرب ‪ R 2‬ﻣـن ‪ 1‬ﻓﻬـذا ﯾﻌﻧـﻲ ان ﻫﻧـﺎك‬ ‫درﺟ ــﺔ ﻣ ــن اﻟﻌﻼﻗـ ــﺔ اﻟﺧطﯾ ــﺔ اﻻﺣﺻـ ــﺎﺋﯾﺔ ﻓ ــﻲ اﻟﻣﺷـ ــﺎﻫدات‪ ٠‬ﻛﻣ ــﺎ ﯾﺗﺿـ ــﺢ ﻣ ــن ﺷـ ــﻛل‬

‫اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ‪ R 2  0.9025‬ﺣﯾ ــث ﺗﻘﺗ ــرب اﻟﻣﺷ ــﺎﻫدات ﺑدرﺟ ــﺔ ﻛﺑﯾـ ـرة ﻣ ــن ﻣﻌﺎدﻟ ــﺔ‬ ‫اﻻﻧﺣـ ــدار اﻟﻣﻘـ ــدرة وذﻟـ ــك ﺑﺎﻟﻣﻘﺎرﻧـ ــﺔ ﻣـ ــﻊ اﻟﻣﺷـ ــﺎﻫدات ﻓـ ــﻲ اﻟﺷـ ــﻛل اﻟﺗـ ــﺎﻟﻰ ﻟـ ــﻪ ﺣﯾـ ــث‬ ‫‪٠ R 2  0.3249‬‬

‫‪٩‬‬


‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر ‪ R 2‬ﻣﺟرد ﻣﻘﯾﺎس وﺻﻔﻲ ﺣﯾث ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺑﺎﺣﺛﯾن ان اﻟﻘﯾم اﻟﻛﺑﯾرة ﻣﻧﮫ دﻟﯾل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺟودة اﻟﺗوﻓﯾق ﻟﺧط اﻻﻧﺣ دار واﻟﻘ ﯾم اﻟﺻ ﻐﯾرة ﻣ ن ‪ R 2‬ﺗﻌﻧ ﻲ رداءة ﻓ ﻲ اﻟﺗوﻓﯾ ق‬ ‫‪٠‬وﻟﻛن ھذا ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻛل اﻻﺣوال ‪٠‬وﯾﺟب اﺳﺗﺧدام اﻻﺣﺻﺎء ‪ R 2‬ﺑﺷﻲء ﻣن‬ ‫اﻟﺣذر ﻻﻧ ﮫ ﻣ ن اﻟﻣﻣﻛ ن ﺟﻌ ل ‪ R 2‬ﻛﺑﯾ ر ﺑﺎﺿ ﺎﻓﺔ ﺣ دود ﻛﺎﻓﯾ ﺔ اﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج‪ ٠‬وﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟ رﻏم ﻣ ن أن ‪ R 2‬ﯾزﯾ د ﺑﺎﺿ ﺎﻓﺔ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل اﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج ﻓ ﺈن ھ ذا ﻻﯾﻌﻧ ﻲ‬ ‫ﺑﺎﻟﺿرورة ان اﻟﻧﻣ وذج اﻟﺟدﯾ د اﻛﻔ ﻰء ﻣ ن اﻟﻧﻣ وذج اﻟﻘ دﯾم ‪٠‬اﯾﺿ ﺎ ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ R 2‬ﺗﻌﺗﻣ د‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ‪ ٠‬ﻋﻣوﻣﺎ ‪ R 2‬ﺳوف ﯾزﯾد ﻛﻠﻣﺎ زاد اﻧﺗﺷﺎر ﻗﯾم ‪ x‬وﯾﻘل‬ ‫ﻛﻠﻣﺎ ﻗل اﻧﺗﺷﺎر ﻗﯾم ‪٠ x‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ F‬و ‪R 2‬‬

‫‪١٠‬‬


‫ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ F‬و ‪ R 2‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻹﺣﺻﺎء ‪ F‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪SSR‬‬ ‫)‪SSE ( n  2‬‬

‫‪F‬‬

‫ﺣﯾث اﻹﺣﺻﺎء ‪ F‬ﻟﮫ درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ n-2‬و ‪. 1‬‬ ‫و ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﺑﺳط و اﻟﻣﻘﺎم ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ SYY‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫)‪(SSR SYY‬‬ ‫)‪(SSE SYY) (n  2‬‬ ‫‪SSR SYY‬‬ ‫‪SSR‬‬ ‫‪(1 ‬‬ ‫)‪) (n  2‬‬ ‫‪SYY‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫)‪(1  R 2 ) ( n  2‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ‪ R 2‬ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1.76904 10‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪R 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0.000548 .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪SYY‬‬ ‫‪1.77001 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ (٢‬ﻣﻌﺎﻣ ل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻰ‬ ‫وﺟود اﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل‬

‫)‪ (١-٢‬ﻣﻘدﻣـﺔ‬

‫ﻓﻲ اﻟﻐﺎﻟب ﺗﻛون اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﺳواء اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ أو اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ أو اﻟﺳﯾﺎﺳﯾﺔ ﻣﻌﻘدة‬ ‫ﯾﻣﺛل ﻓﯾﮭﺎ ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﺗﺎﺑﻊ وﻋدد ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪ .‬وﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﻌدﯾدة ﻋﻠﻰ‬ ‫ذﻟك ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻻﻗﺗﺻﺎد ﻧﺟد أن اﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﮭﻠﻛﺔ ﻣن ﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺳﻌر اﻟﺳﻠﻌﺔ‬ ‫‪١١‬‬


‫ذاﺗﮭﺎ ﻋﻼوة ﻋﻠﻰ أﺳﻌﺎر اﻟﺳﻠﻊ اﻟﺑدﯾﻠﺔ وأﯾﺿﺎ ً ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذوق اﻟﻣﺳﺗﮭﻠك‪ .‬ﻛذﻟك‬ ‫ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺗﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻌﻣل ورأس اﻟﻣﺎل واﻟﻣوارد اﻟوﺳﯾطﯾﺔ وﻏﯾرھﺎ ﻣن ﻋﻧﺎﺻر‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎﺟﯾﺔ‪ .‬وﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺗﺄﻣﯾن ﯾﺗوﻗف اﻟﻘﺳط اﻟﺗﺄﻣﯾﻧﻲ ﻋﻠﻰ ﻋﻣر اﻟﻣؤﻣن ودﺧﻠﮫ‬ ‫وﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺛﯾﻘﺔ وطول ﻓﺗرات اﻟﺗﺄﻣﯾن‪.‬‬ ‫ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟذي ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ﯾﺳﻣﻰ ﻧﻣوذج‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد‪..‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ x 1 , x 2 ,  , x k‬ﻓﺈن ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺗﻐﯾر‬ ‫‪ Y | x1, x 2 ,..., x k‬ﯾﻌطﻰ ﺑﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)‪(١-٢‬‬

‫‪ Y|x1 ,x 2s ...,x k   0  1x1   2 x 2     k x k‬‬

‫ﺣﯾث ‪  0‬ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‪ Y‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‬ ‫ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر وﯾﺻﻌب ﺗﻔﺳﯾر ‪  0‬إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫ﻣوﺟﺑﺔ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﻣﻌﺎﻣل ‪  i‬ﯾﻣﺛل اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻋن‬ ‫ﺗﻐﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ‪ x i‬ﺑﺎﻓﺗراض ﺛﺑﺎت ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻷﺧرى ‪ x i‬و ‪. i   i‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار ‪)  i‬ﺣﯾث ‪ ( i  1,2,  , k‬ﺗﺳﻣﻰ ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻣﻌﺎﻣﻼت‬ ‫اﻻﻧﺣدار اﻟﺟزﺋﯾﺔ‪.‬‬ ‫إن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ ﻟﻠﻧﻣوذج )‪ (١-٢‬ھو ﺳطﺢ ذو أﺑﻌﺎد ‪ k  1‬ﺣﯾث ‪ k‬ﺗﻣﺛل‬ ‫ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪ .‬ﻓﻔﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ) ‪ ( k  2‬ﻓﺈن اﻟﺳطﺢ‬ ‫اﻟﻣﻼﺋم ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ھو ﺳطﺢ ذو ﺛﻼﺛﺔ أﺑﻌﺎد ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪١٢‬‬


‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻻﺳﺗﺟﺎﺑﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻣن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪yˆ  b 0  b1x 1    b k x k ,‬‬

‫ﺣﯾث ﻛل ﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ i‬ﺗﻘدر ﺑواﺳطﺔ ‪ bi‬ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﮫ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى‪.‬‬

‫)‪ (٢-٢‬ﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻋﻧد ﺗوﻓﯾق ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﻣﺗﻌدد وﺧﺻوﺻﺎ ً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾزﯾد ﻋدد‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﺛﻧﯾن ‪ ،‬ﻓﺈن ﻣﻌﻠوﻣﺗﻧﺎ ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن أن ﺗﺳﮭل‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‪ .‬ﺑﻔرض أن اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻟدﯾﮫ ‪ k‬ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‬ ‫‪ x 1 , x 2 ,  , x k‬و‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ y1 , y 2 ,  , y n‬وﻛل ﻣﺷﺎھدة ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر‬ ‫ﻋﻧﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٢-٢‬‬

‫‪y j  b 0  b1x 1j  b 2 x 2 j    b k x kj  e j , j  1,2,..., n‬‬

‫ھذا اﻟﻧﻣـوذج ﯾﻣﺛل ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻻت‪ .‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﻣوز اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت ﯾﻣﻛن ﻛﺗـﺎﺑﺔ‬ ‫اﻟﻧﻣـوذج )‪ (٢-٢‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(٣-٢‬‬

‫‪y  Xb  e,‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪1 x11  x k1 ‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12  x k 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x1n  x kn ‬‬ ‫‪b 0 ‬‬ ‫‪e1 ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b   ,‬‬ ‫‪e   2 .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e n ‬‬ ‫‪b k ‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ ً ‪ y ،‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ n  1‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات و ‪ X‬ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣن ﻣﺳﺗوﯾﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ p  k  1 n  p‬ﺣﯾث ‪ p‬ﻋدد اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻓﻲ‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪y   2 ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪y n ‬‬

‫‪١٣‬‬


‫اﻟﻧﻣوذج و ‪ b‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ p  1‬ﻣن ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار و ‪ e‬ﻣﺗﺟﮫ ﻣن اﻟدرﺟﮫ‬ ‫‪ n  1‬ﻣن اﻟﺑواﻗﻲ ‪ .‬ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﻟﻠﻣﺗﺟﮫ ‪ ‬ھو‪:‬‬ ‫‪b  XX 1 Xy ,‬‬

‫)‪(٤-٢‬‬

‫ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻣﺻ ﻔوﻓﺔ ‪ X X 1‬ﻣوﺟ ودة ﺣﺗ ﻰ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺣ ل‬ ‫وﺣﯾد‪ .‬إن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X X 1‬داﺋﻣﺎ ً ﺗﻛون ﻣوﺟودة ﻓﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم وﺟ ود أي ﻋﻣ ود‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻛﺗرﻛﯾﺑﺔ ﺧطﯾﺔ ﻣن اﻷﻋﻣ دة اﻟﺑﺎﻗﯾ ﺔ‪.‬وﺑﺻ ورة‬ ‫أﺧرى اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X X‬ﯾﻛون ﻟﮭﺎ ﻣﺣدد ﻻ ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﺗﺄﺛر ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﺑﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر ‪ x1‬وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد اﻟﻣﺳﺗﺧدم ‪. x 2‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻓﯾق ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار ﺧطﻲ ﻣﺗﻌدد ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻛﻣﯾﺔ‬ ‫اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﻛﻣﺗﻐﯾرات ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪.‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪1100‬‬ ‫‪1050‬‬ ‫‪1150‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪950‬‬ ‫‪1300‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪510‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪475‬‬ ‫‪515‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪490‬‬ ‫‪510‬‬ ‫‪525‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪22‬‬

‫اﻟﺣـل‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﻘدرة‬ ‫‪yˆ  b 0  b1x1  b 2 x 2 , .‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ ‪ X‬واﻟﻣﺗﺟﮫ ‪ y‬ﯾﻛوﻧﺎن‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪١٤‬‬


1 1  1  1 1  X  1 1  1 1  1 1 

16 510  22 450  23 500   13 425 ��� 13 450   25 475 18 515   20 500  21 490   19 510  22 525 

‫و‬

1000  450    1200   700   800    y  110  1050   1150  1000   950  1300  

:‫ ﺳﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‬X X ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ 1 16 510 1 1  1   1 22 45    , X X  16 22  22        510 450 525   1 22 525  10700  X ' y   213250  .   6 5.2652  10 

:‫ﺗﻘدﯾرات اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺻﻐرى ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬ bˆ  X X 1 X y .

:‫أي‬ 216 5350  b 0   11   b    216 4363 105410   1   6  b 2  5350 105410 2.6124  10 

١٥

1

 10700   213250    6 502652  10 


‫‪ 0.0271387‬‬ ‫‪ 0.0460394  ‬‬ ‫‪10700‬‬ ‫‪ 23.0157‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0.0271387‬‬ ‫‪0.0092292‬‬ ‫‪ 0.000316848   213250 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  0.0460394  0.000316848 0.000107453  5026525  106 ‬‬ ‫‪  1928.24‬‬ ‫‪  9.61221  .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5.57653 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد اﻟﻣﻘدرة ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪yˆ  1928.24  9.61221x1  5.57653x 2 .‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﻔﺳﯾر اﻟﺗﻘدﯾر ‪ b 0‬ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﯾﻣﺛل اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻘدرة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫ﺗﻛون ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺗﺳﺎوي اﻟﺻﻔر‪ .‬وﻓﻲ اﻟواﻗﻊ ﻓﺈن ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻏﯾر‬ ‫ﺻﺣﯾﺢ ﻓﻲ ﻛل اﻟﺣﺎﻻت‪ .‬ﻓﺑﺈﺗﺑﺎع ھذا اﻟﺗﻔﺳﯾر ﻧﺟد أن ﻣﺣﺻول اﻟﻔراوﻟﺔ ﯾﻛون ﺳﺎﻟﺑﺎ ً‬ ‫‪  1928.24‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻛﻣﯾﺔ اﻷﻣطﺎر ﺗﺳﺎوي ﺻﻔر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﺳﻣﺎد ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‬ ‫وھذا ﻏﯾر ﻣﻧطﻘﻲ‪ .‬ﻛﻣﺎ أن ﻣﺷﺎھدات اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﺻﻔرﯾﺔ ﻟﻛل ﻣن ﻛﻣﯾﺔ‬ ‫اﻷﻣطﺎر وﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﺣﺻول‪.‬‬

‫)‪ (٣-٢‬اﺧﺗﺑ ﺎر ﯾﺧ ص ﺟﻣﯾ ﻊ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت اﻻﻧﺣدار اﻟﺟزﺋﯾﺔ‬ ‫ﯾﻘ در اﺧﺗﺑ ﺎر اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ ﻓﯾﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺧطﯾ ﮫ ﺑ ﯾن ﻣﺗﻐﯾ ر اﻻﺳ ﺗﺟﺎﺑﺔ ‪ Y‬وأي ﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ x 1 , x 2 ,..., x k‬وﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى ھل ھﻧﺎك ﺗﺄﺛﯾر ﻣﻌﻧوي ﻟﺟﻣﯾﻊ )أو ﺑﻌض ( اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬

‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪Y‬‬

‫‪.‬‬

‫اﻟﻔرض اﻟﻣﻧﺎﺳب ھو ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2  ...   k  0‬‬ ‫ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻟﯾﺳت ﻛل ‪ i i  1,.., k ‬ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﯾوﺟد واﺣد ﻣن ‪ x 1 , x 2 ,..., x k‬ﯾرﺗﺑط ﻣﻌﻧوﯾﺎ ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ‪ .‬ﯾﻌﺗﺑ ر ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺗﻌﻣ ﯾم ﻟﻼﺧﺗﺑ ﺎر‬ ‫‪ . H1‬رﻓ ض‬

‫‪H 0 : i  0‬‬

‫ﯾﻌﻧ ﻲ أﻧ ﮫ‬

‫اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻓﻲ اﻻﻧﺣدار اﻟﺧطﻲ اﻟﺑﺳﯾط‪ .‬ﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﻛﻠ ﻲ ﯾﺟ زئ إﻟ ﻰ ﻣﺟﻣ وع اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﺗﻌ ود إﻟ ﻰ‬ ‫اﻻﻧﺣدار وﻣﺟﻣوع اﻟﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﻌود إﻟﻰ اﻟﺧطﺄ )ﻣﺟﻣوع ﻣرﺑﻌﺎت اﻟﺑواﻗﻲ ( ‪ .‬أي أن ‪:‬‬

‫‪SYY= SSR +SSE‬‬ ‫ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ‪ .‬ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم‬

‫‪H 0 : i  0‬‬

‫ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﮫ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪:‬‬ ‫‪١٦‬‬


‫‪MSR‬‬ ‫‪MSE‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻧ رﻓض‬

‫‪H0‬‬

‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪SSR‬‬

‫)‪( n  k 1‬‬

‫‪SSE‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ أﻛﺑ ر ﻣ ن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ‬

‫ﻣن ﺟدول ‪ F‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ‬

‫]‪F [ k, n  k  1‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪F‬‬

‫‪MS‬‬

‫‪MSR/MSE‬‬

‫‪SS‬‬

‫‪df‬‬

‫‪S.O.V‬‬

‫‪MSR=SSR/k‬‬

‫‪SSR‬‬

‫‪k‬‬

‫اﻻﻧﺣدار‬

‫‪MSE=SSE/n-k‬‬‫‪1‬‬

‫‪SSE‬‬

‫‪n-k-l‬‬

‫‪SYY‬‬

‫‪n-1‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق اﺧﺗﺑر ﻣﻌﻧوﯾﺔ اﻻﻧﺣدار ؟‬

‫اﻟﺣـل‬

‫‪( y j ) 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪SYY  y y ‬‬

‫‪(10700) 2‬‬ ‫‪ 11000000 ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 591818 ,‬‬

‫‪( y j ) 2‬‬

‫‪SSR  b X' y ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ 1077942708  10408181 .8‬‬ ‫‪ 371246 ,‬‬

‫‪SSE  y y  b X' y‬‬

‫‪ SYY  SSR‬‬ ‫‪ 591818  371246‬‬ ‫‪ 220572 .‬‬ ‫ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫‪١٧‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬

‫اﻟﻛﻠﻲ‬


‫‪F‬‬

‫‪MS‬‬

‫‪SS‬‬

‫‪df‬‬

‫‪S.O.V‬‬

‫‪6.73243‬‬

‫‪185623.‬‬

‫‪371246.‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻻﻧﺣدار‬

‫‪-‬‬

‫‪27571.5‬‬

‫‪220572.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪591818.‬‬

‫‪10‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‬ ‫اﻟﻛﻠﻲ‬

‫ﻻﺧﺗﺑﺎر ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬

‫‪H 0 : 1   2  0 .‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﮫ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ F‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪MSR 185623‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6.73243‬‬ ‫‪MSE 27571.5‬‬

‫‪F‬‬

‫وﺑﻣ ﺎ أن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﻣﺣﺳ وﺑﺔ ﺗزﯾ د ﻋ ن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ F‬اﻟﺟدوﻟﯾ ﺔ اﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪F‬‬ ‫‪   0.05‬و ‪ ، F.05 [2,8]  4.46‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺗﻧﺗﺞ أن ‪ Y‬ﺗ رﺗﺑط ﻣ ﻊ ‪ x1‬و )أو( ‪x 2‬‬ ‫ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﻓﺈن ھذا ﻻﯾﻌﻧﻲ أن ھذه اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻠﺗﻧﺑؤ ﺑﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻛداﻟﮫ ﻓﻲ‬

‫‪x 2 , x1‬‬

‫ﻋﻧ د‬ ‫‪ .‬ﻓﻲ‬

‫‪.‬‬

‫)‪ (٤-٢‬ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد‬ ‫‪Coefficient of Multiple Determination‬‬ ‫ﯾﻘﯾس ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﺑﺎﯾن أو اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬اﻟﺗ ﻲ ﺗﻔﺳ رھﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ‬ ‫‪ ، x 1 , x 2 ,..., x k‬أي أﻧ ﮫ ﯾﻘ ﯾس ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻓ ﻲ ‪ Y‬اﻟﺗ ﻲ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻔﺳ ﯾرھﺎ ﺑﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻻﻧﺣ دار اﻟﻣﺗﻌ دد‬

‫اﻟﻣﻘدرة‪ .‬وﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻻﻧﺣدار اﻟﺑﺳﯾط ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾ د ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ‪k‬‬

‫ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﯾﺣﺳ ب ﻣ ن‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪SSR‬‬ ‫‪SSE‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪SYY‬‬ ‫‪SYY‬‬

‫‪R2 ‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﺗﻌدد ﻓﻲ ﺗﻘﯾﯾم ﺟودة ﺗوﻓﯾق ﺧط اﻧﺣدار اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻘﯾم ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ‪Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬ﻛﻣﺎ ھو اﻟﺣ ﺎل ﻓ ﻲ اﻻﻧﺣ دار اﻟﺧط ﻲ اﻟﺑﺳ ﯾط ﻓ ﺈن ‪ . 0  R  1‬ﻓ ﻲ ﺑﻌ ض اﻷﺣﯾ ﺎن ﻓ ﺈن ﻛﺑ ر ‪ R‬ﻻﯾﻌﻧ ﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺿرورة أن ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار ﺟﯾد‪ .‬إن إﺿﺎﻓﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل إﻟﻰ اﻟﻧﻣوذج داﺋﻣﺎ ﯾؤدى إﻟﻰ زﯾ ﺎدة ‪ R‬ﺑﺻ رف‬ ‫اﻟﻧظر ﻋن ﻣﺎ إذا ﻛﺎن ھذا اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺿروري ﻟﻠﻧﻣوذج أم ﻻ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻣ ن اﻟﻣﻣﻛ ن ﻟﻠﻧﻣ ﺎذج اﻟﺗ ﻲ ﺑﮭ ﺎ ﻗ ﯾم ‪R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺎﻟﯾﺔ أن ﺗﻛون ﻧﻣ ﺎذج ردﯾﺋ ﺔ‪ .‬اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ﻲ ﻟ ـ ‪ R‬ھ و ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟﻣﺗﻌ دد ﺑ ﯾن ‪ Y‬وﻓﺋ ﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪. x1 , x 2 ,...x k‬‬ ‫أي أن‪:‬‬

‫‪١٨‬‬


‫‪R   R2‬‬ ‫أى أن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﻣﺗﻌدد ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﻏﯾر ﺳﺎﻟﺑﮫ وھو ﯾﺧﺗﻠف ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺻ ﻔﺔ ﻋ ن ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط اﻟﺑﺳ ﯾط‬ ‫اﻟذي ﯾﻣﻛن ان ﯾﺎﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺳﺎﻟﺑﮫ ‪ ،‬أي أن‪:‬‬

‫‪0  R 1‬‬

‫ﺣﯾث ‪ R‬ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻘوة اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻟﺧطﯾ ﺔ ﺑ ﯾن ‪ Y‬و ‪ . x 1 , x 2 ,...x k‬و ‪R 2‬‬ ‫ﻣﺗﺟﮫ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ y‬وﻣﺗﺟﮫ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻘدرة ˆ‬ ‫‪.y‬‬

‫ھ و ﻣرﺑ ﻊ ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن‬

‫وﯾﻔﺗرض ‪ R 2‬اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ 0‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛ ون ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﻘ ﺎدﯾر ‪i  1,2,...p  1, b i  0‬‬ ‫وﯾﺄﺧ ذ ‪R 2‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬

‫‪ 1‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻘ ﻊ ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﺷ ﺎھدات ‪y‬‬

‫ﻣﺳ ﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻ ﻔر‬

‫ﻋﻠ ﻰ ﺳ طﺢ اﻻﺳ ﺗﺟﺎﺑﺔ اﻟﺗ وﻓﯾﻘﻲ ﻣﺑﺎﺷ رة‪ ،‬أي ﻋﻧ دﻣﺎ‬

‫‪2‬‬ ‫ﯾﻛون ‪ˆ i‬‬ ‫‪ y i  y‬ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪ . i‬وﻷن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ‪ R‬داﻟﺔ ﺗزاﯾدﯾﺔ ﻟﻌدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈﺿﺎﻓﺔ أي‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ﻟﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﺗزﯾ د ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﻌﺎﻣ ل ﺑﻐ ض اﻟﻧظ ر ﻋ ن ﻣﺳ ﺎھﻣﺔ ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻓ ﻲ ﺗﻔﺳ ﯾر ﺗﺑ ﺎﯾن‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ‪ .‬وﻟذا وﻟﻐرض اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس أﻓﺿل ﻟﻘﯾﺎس ﻣ دى ﻗﺎﺑﻠﯾ ﺔ ﻣﺟ ﺎﻣﯾﻊ ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات‬ ‫ﻟﺗﺣﻠﯾل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻗﯾد اﻟدراﺳﺔ وﻓﻲ ﻧﻔس اﻟوﻗت إذ ﯾﺄﺧذ ﻓﻲ اﻻﻋﺗﺑﺎر ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج ﻓﺈﻧﮫ ﻗ ﯾم ﺣﺳ ﺎب‬ ‫ﻣﺎ ﯾﻌرف ﺑﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل ‪ adjust coefficient‬واﻟذي ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪SSE / n  k  1‬‬ ‫‪SYY / n  1‬‬

‫‪R2  1‬‬

‫ﺣﯾث ‪ k‬ﻋدد اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺑﺳﮭوﻟﺔ اﺷﺗﻘﺎق ﺻﯾﻐﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن‬

‫‪SSE / n  k  1‬‬ ‫‪SYY / n  1‬‬ ‫)‪(٥-٢‬‬

‫)‪SYY  SSR  /(n  k  1‬‬ ‫‪SYY / n  1‬‬

‫‪, R2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ R‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪R2  1‬‬

‫‪1‬‬

‫وﺑﺣل )‪ (٥-٢‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫)‪(٦-٢‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1  R 2 n  1‬‬ ‫‪R 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n  k  1 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﯾﻣﻛن أن ﯾﺻﺑﺢ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل اﺻﻐر ﻋﻧ د إدﺧ ﺎل ﻣﺗﻐﯾ ر آﺧ ر إﻟ ﻰ اﻟﻧﻣ وذج ﻻن اﻟ ﻧﻘص ﻓ ﻲ‬

‫‪SSE‬‬

‫ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون اﻛﺑر ﻣن أن ﯾﻌوض ﻋن ﻧﻘص درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ واﺣ دة ﻓ ﻲ اﻟﻣﻘ ﺎم ‪ .n-p‬ﯾﻼﺣ ظ اﻵﺗ ﻲ ﻓ ﻲ ﻣﻌﺎﻣ ل‬ ‫اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل‪:‬‬

‫‪‬‬

‫ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ أﻗل ﻣن ﻗﯾم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻏﯾر اﻟﻣﻌدل‪.‬‬

‫‪‬‬

‫ﯾﻣﻛن أن ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺎ ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﻲ ﺣﯾن ﻧﺟد أن ﻗﯾم ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ﻏﯾر اﻟﻣﻌدل ﺗﻛون داﺋﻣﺎ ﻣوﺟﺑﺔ‪.‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ‪R 2‬‬

‫ﺗﺣﺳب ﻣن ﺟدول ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺣﯾث‪:‬‬

‫‪SSR 371246‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .627.‬‬ ‫‪SYY 591818‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪R2 ‬‬


‫أي أن ﺣ واﻟﻲ ‪ 0.627‬ﻣ ن اﻻﺧﺗﻼﻓ ﺎت اﻟﻣوﺟ ودة ﻓ ﻲ ‪ Y‬ﺗرﺟ ﻊ أﺳ ﺑﺎﺑﮭﺎ إﻟ ﻲ ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن‬ ‫‪. x1 , x 2‬‬ ‫أﻣﺎ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد اﻟﻣﻌدل ﻓﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪SSE / n  k  1‬‬ ‫‪SYY / n  1‬‬ ‫‪220572 / 8‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪591818 / 10‬‬ ‫‪ 0.534.‬‬

‫‪R2  1‬‬

‫أي أن ‪ 0.534‬ﻣن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻓﻲ‪ Y‬ﺗرﺟﻊ إﻟﻰ ﺗﺄﺛﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪. x1 , x 2‬‬

‫ﻛﺛﯾرا ﻣن ﺑراﻣﺞ اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد ﺗﺣﺳب ﻛل ﻣن ‪R 2 , R 2‬‬ ‫‪R2‬‬

‫ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر أﻓﺿل اﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻓﻲ اﻟﻧﻣوذج‪.‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪ .‬اﯾﺿﺎ ﯾﺗﺿﺢ أھﻣﯾﺔ‬


معامل التحديد