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J

9

LEY D E AMPERE 9 1

LEY DE AMPERE ~

La relación cuantitat iva entre la corriente T y el campo magnético B es

Donde.

La integral es en trayectoria circular (ci rculación) ~

,

El vector di es siempre tangente a la trayectoria de integración con la m isma dirección de B Po 8S la consta nte de permeab ilidad y su va lor es 4., 10 7 T mtA i es la corriente total que pasa a través del área lim itada po r la t rayectoria circula, ~

92

Direcc ión de 8

,

Para encontrar la direcc ión de B cerca de un alambre que lleva una corriente " ¡" se coge el alambre con la mano derecha, co n el pulgar apunta ndo en la dirección de la comente,

,

entonces la curvatura de los otros dedos alrededo r del alambre Ind ica el sentido de

93

B

La Ley de Bial y Savart Es una general izac ión de la I~y de Ampere y es 'ap licab le a cualquier dist ribución de corrientes Esta ley se expresa as í

dB -=

~ 4,

diSenO

,,

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En forma vectori al : ~ dB ::: _" 0 _I

~

d' · r

.-

4.

... ...

Donde:

x _ •••••-

~

_. - --~

o

~

~

r . es el vector posición del punto ' P'

dB

-->

x

o

al elemento d r ~ es el ángulo entre r Yd /

El campo resultante en ' P" es:

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p

--> B=

~

JdB

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LEY DE AMPERE Se tiene un arrollamiento plano, de modo que contiene un gran número de espiras por unidad de longitud a lo largo del radio ( ver figura ) Los radios son a y b, además la corriente que circula por el alambre es " j'; calcular la inducción magnética en el centro. Siendo "n" el número grande de espiras por unidad de longitud . Solución Sabemos que el campo magnético producido por una espira en su centro es !lo . i

B = -2R

Para este caso, la espira será un diferencial de ancho ( dr ) del disco con hueco, luego:

R = r

-+ di ( la corriente que circula por dr es di )

.. dB = Il o · di

2,

(.1

Pero ' n' es el número de espiras por unidad de longitud . enlonces di

= ind r

(BI

En donde ' ndr" es el número de vueltas que hay en la longitud ' dr"

luego reemplazando ( Il ) en ( a l' dB = Ilo indr.

2,

B

• Il o in =

2

.

f~,

- I n (b _) B• -".,n 2 a

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SI una carga puntual de magnit ud +q y rapidez V está localizada a una dista ncia d del eje del alambre recto y largo que tra nsport a una cOrri ente I y viaja perpendicularmente al eje del alambre. (.Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre la ca rga SI ésta se mueve a) hacia él ó b) alejándose del alambre Solución

8

o. q

j

al Cuando la carga 'q" se hacerca tenemos

v

Sa bemos que F

=

qvB

(1)

Además

• •

8

x

(2)

. Reemplazando (2) en (1) tenemos

b)

~

F

Cuando la carga "q" se aleja tenem os ~

F¿;

F =q V~ 1 •

3

Un alambre recto y largo tra nsporta una corriente de SOA Un elect rón viaja a 1,0 101m/s. se encuentr a a 50 c m del alam bre (. Cual es la fuerza que actúa sobre el electrón SI su velocida d está dirig ida

a) haci a el alam bre b) paralela al alambre y c) perpendicular a las dlrécclo nes definidas en (a) y en (b)?

Solución Como datos tenemos 1

252

= 50A.

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V = 10 7 m/s .

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Por definición sabemos que la fuerza ejercida por el cam po mag nét ico sobre una carga q ue se mueve es ~ ~ ~ F=qv - 8 ( 1) De esta fórmula lo único que nos falla saber es B q ue lo ca lcu lamos as í:

(4' 10-') (50) ',(5 10 ')

Luego para los diferentes casos tenemos a)

En este caso

,

~

v y B son perpend iculares, lueg o de (1) tenemos

F ::: ( 1,610- 19 ) ( 107 ) (21O-~) Sen 90°

I F:::3,210

16

NI

La fuerza es para lela al alambre y en el sent ido de la corriente.

b)

En este caso , la magn it ud de la fu erza

~B ~~ te -::

es igual al del acáp lte (a), ést a f uerza está diri gida ra dlalment e hacia afu era.

En este caso

~

~

v y B son pa ralela s por lo que en (1) tenemos: ~

~

F ::: q

4.

V

Un alambre largo de cobre est á compuesto por un cil ind ro sólido de radio R y tra nsporta una COrriente "¡ ' distribuida de un modo unifo rme a t ravés de la sección t ransversal del ~

alamb re Hacer un dibujo del campo magnét iCO B en fu nción de la d istancia r al eje del alamb re cuando' a) r

<:

R

b) r > R

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Solución

a)

Aplicando la ley de Am pere para r < R, tenemos: ~

~B

~

d t= ll oi

Siendo i la corriente encerrad a po r la curva e , para nuestro caso defi nimos:

Curvas de AMP ER

(uniforme)

Entonces:

QBd f == ll o $J . ds

B ( 2.'Tr ) = 1-10

( ¡¡~2 J.

01>

ds

B(2..r)

De donde: ~

B

en coordenad as cilfndricas es:

donde

b)

~

a~

es el vecto r unitario tangente a la curva e en todo instante_

Aplicando la ley de Am pere pa ra r;:. R:

B(2 1tr) =

¡.to~

nR

(ltR 2 )

B = 11 0 i 2Jtr • Como vector tenemos:

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Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus SecCIOnes transversales forman un cuadrado de 20 cm de lado. Por ca da alambre circula una co-

a } -- - --{,

,

rriente de 20 A en el sentido mostrado en la

...,

figura. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección

de

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,

B en el centro del cu adrado?

Solución

a

,

,D

..., ...,

Tomando cada alambre independ iente lene-

p

B

,

producidos por cada alambre

se indican en la siguiente figura:

, ,

B

Los campos

Bo B,.,

~~ Bs Be

,

...,

mas que:

= B, = B, = B, = B,

B

e

Además:

.. (1)

Donde'

i ::: 20A .

, = , -./2 ""

O, 1J2m

)Jo

= 4 1t , 10

-, T.m/A

2

Luego reemplazando valores en (1) tenemos que

( 4Jt 10-

B

=

7

)(20)

2'(0 ../2)

Ahora en el punto ' p. tenemos que:

8, ::: Bs

+

Bo = 40/2 . 10- 6 T

/ /

/ /

..., Componiendo

..., ( B, ,

...,

8 , con 8 2 ten emos que

,,

,

/

/ /

p

la dirección y sentido es como se indica en la figura

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Un alambre coaxial largo consta de dos conductores concéntriCos con las dimensiones mostradas en la figura Sobre estos conductores circulan cOrrientes iguales y opuestas "i" a) Encontrar el campo ma gnético B pa ra puntos r con tenidos dentro del conductor inlerno ( r < a ) b)

Encontrar B para puntos entre los dos conductores ( a < r < b ),

c)

Encontrar B dentro del conductor externo ( b < r < c )

d)

Encontrar B fuera del conductor externo ( r

:>

C)

Sol ución

Partiendo de la ley de Ampere tenemos ~

~

oBdf= J.l o lo

(1 )

Luego B en cada caso será a)

Para r < a La IntenSidad de comente se distribuye proporcionalmente al área de la seCCión, as¡

-,.,

(2)

Reemplazando (2) en (1) tendremos r---~

b)

Para a < r < b En este caso, de acuerdo al gráfico Lu ego en (1)

lo

= I

'"' 8] B : 2n:r

el Pa ra b < r < c En este caso tenem os dos cOrrientes, en el co nductor interior, circula una corriente i y en el extenor para .las condiciones dadas ( b < r < c ) tendremos una corriente fraCCiona da dirigid a en sentido contrari o al mterior, luego la corriente neta lo es

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Reemplazando esta comen te en (1) obtenemos ~o

I

[ ' '] c

- [

S = -,-, 2ftr c - b d) Para r>c

En este caso la comente neta es la intern a mas la externa, pero por ser de sentidos opuestos y de Igual magn itud i, la com ente neta es nu la

B :: O

7

Dos alambres larg05, separados una dista ncia d transportan corrientes iguales y antlpa ralelas "'. , como se muestra en la figu ra

a)

Demostrar que B en el punto P, que equidista de los dos alambres, está dada por"

S

21-10 Id

=

n I~

~

b)

¿Cuál es la dirección de B ?

Sofuc ió n al

R

~

p

Veamos lo que ocurre en P con los campos creados por los alambres

f~

y

•O

~

S'y

- - - - -..;

,

~

'

8', '

,

1

, ~

I

' O

R

~

, O

,

~,

S'x

,

' s,

,

~ S , Sy - - - - _ 001

~O

,

Observamos que las componentes verticales , se anulan y s610 las hOrizontales Contribuyen al campo

B :: 2B'x = 28'C050

,,,

= 11 0 '

Pero.

S'

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www.librospdf1.blogspot.com Luego:

B =

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2[~l Cos O

~

B =

2"

Cos O

(1 )

"

En la figura tenemos que: y

d Cas O :: - , --'--

",

( 2,, ]"2

2 R +-

4

Luego reemplazamos estas exp resio nes en ( 1 j, tenernos

d

B

, b)

8

Como podem os observar en la fig ura, B sig ue la dirección de la perpendicular que pasa por el punto P y el punto med iO de la lin ea que une a los dos alam bres

La figura m uestra a un co nductor cil índrico hueco, cuyos rad ios son a y b, que t ransporta una cOrriente " j" distribuida un iformement e en toda su sección tra nsversa l a)

Demostrar que el ca m po magnétiCO B en los puntos intern os al cuerpo del cond uctor ( esto es, en a < r < b ) está dada po r

B

o

Comp robar está fó rm ula en el caso limite en el que a b)

o

O

,,

Hacer una grá fica aproxi mada del comportam iento general de 8( r ) desde r :: O hasta r -4 ""

Soluc ión al

258

Sea lo la corr iente en el Ci li ndro de radio r, entonces por la Ley de A mpere tenemos

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De donde

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Para calcular lo lo haremos por proporciones, de acuerdo al área de sección que abarca De la figura tenemos

(2)

Reemplaza ndo (2) en (1) tend remos

, ,

, -a

Acomodando

En el caso limit e en el que a

= O se tiene que polr B - -- 2nb 2

y

además

r

=

B= ~

. que es la expresión del campo m agnético 2nb en la superficie de un conduct or cilln drlCO de rad io b SI

b

=

4

b)

B

a

g

b

Un cuerpo conductor consiste en un número infinito de alambres adyacentes. todos ellos 4

de longitud inflf1lta y qlle transportan una COrri ente '( Oemostrar que ta s líneas de B serán las represen tadas en la flg llra y que B en tol!!os los punt os enfrente de la 11O)a de corriente mflnlta estará aado por

B

= 259

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en donde n es el numero de conductores por unidad de IOfl9itud

B B

~

dSSenO

Con el numero infinito de alam bres co nd uctores, formamos una lámi na ( ver la sigu iente fig ura) donde dx corresponde a un nú mero de alambres

dBCos8

"

Tomamos un eje ficticio y observamos que para un dx, se prod uce un cam po perpen dicular a r, además las componentes vertica les d8 SenO se anulan por compensación y la s componentes horizonta les dB ,Cos () son las que se suman al campo. b

:.8 == I d B Cos O

(1)

Además tenemos que' dB

(2)

di

= indx

(3 )

Reemplazando (2) Y (3) en ( 1) tenemos' b

. d

JPoln a 2n r

B =

X .

Cos O

(4 )

También en la figura vemos que

x

= R Tg O

dx

= RSec2 O dO

(5)

Además en la figura tenemos que. r

= RSec O

(6)

Reemplazando (6) y (5) en (4) ten em os ' • 2

B = j~oi nR Sec O (Cos O) d9 21t(R Sec a)

a b

.

B=J lJoln

d8

a 2TI

(7)

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Ahora viendo los limites de integración establecemos que ( lámina mfinlta )

e

www.1FISICA.blogspot.com va desde - lt 12 hasta 1t 12

Por lo tanto en (7) tenemos

B

10

=

JlI'l

J

- Jl 12

1.1 in -"-d9 211

Un conductor largo rectilíneo llene una sección transversal de radio R y transporta una comente I Dentro del conductor hay un onficlO cillndnco de radio "a" con su eje paralelo al eje del conductor y a una distanCia "b' de él Utilizando las Ideas de superposición ~

encontrar una expresión para el campo magnético B

en el mterior del orificio

So lució n En primer lugar encontramos la densidad superficial de corriente. R

J =

.'

SI no eXistiera el orifiCIO, el campo magnético en el interior del cilindro de ra dio R es

• El cam po magnético en un cllmdro de radio ' a" es

• Fmalmente el campo magnéltco en el mterior dE-! orificIO es, por superposició n:

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www.1FISICA.blogspot.com 30A

La figura muestra a un alambre largo que transporta una corriente de 30 A La espira rectangular transporta una cOrriente de 20A Calcular la fuerza resultante que actúa sobre la espir3 Suponer que a = 1,0 cm, b 8,0 cm y

a

=

20A

b

l =30cm 1

Soluc ión

En forma general, dicho campo magnético será

-

~

1

B

,

=

(1)

F, donde

aS r s a+b

Para hallar la fuerza magnética sobre la espira aplicamos F

o-- ji

B

Donde el sentido de las fuerzas magnéticas parciales sobre cada lado de la espi ra queda indicado en la figura Además

1-;

~

por lo que se equilibran, luego las úmcas

)-<1

fuerzas magnéticas que actúan en la espira son

~

~

Fr y F2 que lo determinamos asf

Luego reemplazando los valores de (1) en (2) para Fr tendremos

o,~91

(4"0-')(30) [ 1 FT

=

(20) ( 0,3 )

2/t

0,01

,-------, Como F,

12.

;>

F2 entonces FT

esta dirigido hacia el alambre

Supóngase que, en la figura todas las COlri entes están en el mis mo sentido l,Cuál es la, fuerza por unidad de long itud ( N/m, en magnitud y dirección) sobre uno o cualqUiera de los alambres? Es el caso análogo en el que las partículas cargadas en un plasma se mueven paralelamente el efecto se conoce com o efecto de tenaza

8

a

,

a

a

,

a

,

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Solución ~

Primero determinemos el campo 8 conductor debido a los otros tres asr

,

a

en un

Xl-------fX~

_ J-loi 8 -

a

2rra

a

El ca mpo total es ~

(8 ~ +

Pero

-,

~

8 3)

//

B, Y de módu lo

18, + 8,1 ~

~

o

~

J2

2rr a

luego

8 =

Po I

i.fi

,,,

1-10

+---

2rta.fi

=

31-1 0 1.fi

B

4"

Por lo tanto la fuerza por unidad de long itud es

F, = iB

~

4 rr a

Reemp laza ndo va lores tenemos·

N 84,6 m

Diagrama vectorial

8" 13

Dos alambres largos, pa ralelos, de radios insignifica nt es , se encuentran sepa rados una distancia "d" Sobre los alambres circulan corrient es Iguales i a)

en la misma direCCión

b)

en direCC iones opuestas

Si r es la distanc ia perpendicular del cen tro de uno de los alam bres, determ ina r la mag nitud B del campo magnético en la regi ón comp rend ida entre los ala mbres en ros puntos sobre el plano que los contiene

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Soluc ión

al

Debemos observa r que los campos creados po r cada alambre tienen sent idos opuestos

i !

lueg o el campo tolal es la diferencia de ellos, luego:

B

B

,)------1

= ~_

~loi

21lf

21t(d - r)

= 211r(r~I oi-

- '-·~.¡-' I .. o--d - r

. (d - 2r)

,

,

, --~

!...

d)

Nota: El sentido depende de r b)

Cuando las cOrrientes está n en sentidos opuestos los campos tien en el mismo sentido, luego

B = _,~,~o~'',---2/tf (d - r)

21l(d-r)

Un toroide de 15 cm de ra dio interno y cuya sección t ransversal es de 5 )( 5 cm , t iene 500 vuelt as de un alambre que transporta un a corriente de O,8A.

14.

~

al

¿Cuál es el campo magnético B en el centro de este toroide (esto es, pa ra un ra dio de 17,5 cm )

b)

¿Cuál es el flujo magnético a través de su sección transversal?

' S

Solución a)

Sabemos que para un toroide' 8

=

,. ___ .. ...

~

).loiN

B

=

l~ .~ ' · -'¡, ~® . , '. ".- ) " '.

,

,

r es el radio medio, es decir'

= 9,8A,

CURVADE AMPER

, 0

2rrc

Reemplazando. i

~

,

N

=

r = 17,5 cm = 17,5.1O-2m

500 v1J eltas,

4 < 10' (0,8)( 500)

IB

= 0,457,1O·3 T

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,

www.librospdf1.blogspot.com b)

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El fluJ o magnético a travéz de su sección transversal es

:.1 15

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(1)

= 114310 7 weber

I

Un alambre recto, de radiO a, transporta una corriente constante I

al

ConS idérese un circulo hipotét ico de rad iO 2a, concéntrico con el alamb re, cuyo plano sea perpen dicular al mismo alam bre ¿Cuál es el fluj o magnético (I)B que pasa a través de est e círculo?

b)

SI se duplicase [a comente i, "qué ocurnrra con este flUJO?

Solució n Debemos recordar que el campo magnéltco para puntos !nleriores de un alambre es

B

=

y para puntos exteriores es

Pero siempre su sentido es tangencial a la curva circular por 10 tanto al Ninguna linea de fu erza atravleza al cIrculo de radio "2a", luego el fl UJO es CERO

b) SI duplicamos la comente esto no mod ifi ca el sentido del campo, luego el fluJo es CERO H- - a - M

16

Se forma un Exágono de lado "a" con un alambre conductor, por dicho conductor circula una com enle " j" Encontra r la Inducción magnética en el cenlro del exágono

• p

Solución

En primera Insta ncia, ha llamos el cam po producido por un so lo lado en el punto P, luego multiplicamos por el numero de lados para hallar el campo lot al en P Por la ley de Blol y Savart tenemos dB

11 I = -'-

dx Sen e

"

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(1)

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Como: Sen8 = Sena = b /r

r

y

n

o

d,

L __________ : 0

En la ecuación ( 1) tenemos: dX.b

dB = ~o i 4n

,, , ,,

dS "

"

J-Ioib dx --""=c:,M

( ' ,)3/2

4 ft x + b

Por lo tanto'

lu ego.

B = 6Bi =

3~oi 'C-C-~'~7U' nb

Ahora sabiendo qu e:

b

=-.[3 ,

( a ' + 4b ' ) '"

tenemos:

2

s "

17.

(a ' + 4 b ')'"

Un alambre la rg o de cobre transporta una corriente de 10A Calcular el flujo magnético por m etro de alambre en una superficie plana S dentro del alambre, tal como se muestra en la figura

--

- ~ --

s

Solución

Por definición del fl ujo magnético sabem os que: (1 )

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En la figura para r < a t enemos que: (2) Como

.... .... B y ds

, tienen la misma dirección en S, reemplazando (2) en (1) tenemos

"', =

"< lid,

J(2..

(3)

Considerando, los limites de r en (3) tendremos que

4, luego reemplazando va lores tendremos

. ' , = ("

10 ')(10)

<1'8

-=110

,

" 18

--e Weber

--

m

Dos alambres de cobre (diámetro = 0,127 cm) largos y paralelos. transportan cOrrientes de 10A en sentidos opuestos Si sus centros se encuentran separa dos 2,0 cm al

Calcular el flujo por metro de conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres

b)

¿Q ué fracció n del fluJo se encuentra dentro de los alam bres?

el

Repetir el cálculo de (a) para comentes del mismo sentido

Solución al

Sabemos que"

(1 ) Donde ).l o i

$ 9 "' -

Y ds =f dr

2" Luego reemplazando en (1) tenemos pa ra un al am bre' $ S1 :::

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J ,,, ~oi

f dr

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donde r va desde 0,00127 m hasta 0,02 m enl onces 11 0il [

(ll a 1

--

JO,02

/ n r 0.00127

2, Evaluando y reemplazando dat os tenemos

5. 5 1

1 0~

W.

(2)

m

Aplicando la regla de la mano derecha. vemos que los cam pos m ag nét icos producidos por los alambres. se suman, ( entrando a la página ) por lo que el l luJo total debe ser el doble del prodUCido por un s610 alambre, por lo tanto de (2)

r

~

- 11,02

10~

r b)

Wb m

Para hallar el nUJO entre las superfi cies de los alambres, reem plazamos en (1), temendo para un alambre

donde r va de 0,00127 m hasta 0,01873 m; ent onces

(l l

evaluando '1 reemplazando dal os tenemos

-

B1

~ [rnr J001 &73 000124 2, . W

=

r

5,38 10-{!' m

Empleando el mismo racIOcinio del acápite (a), tendremos que el flUJO total por unidad de longitud es

Ahora para ha lla r el flUJO a través de ,loS alam bres , re st and o el fl ujo entre las superficies de los alambres de el flujo entre los ejes de los ala mbres, así (I)SAlAMB

= (

11 ,02 10-8 - 10,76 10.6 )

= 0,26 10.6 W b/m

2H8

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Luego la fracción de fluJO será 0,26 .10

-6

W¡,/ m

= 0,024

1\02 .10-6 Wb 1m cl

19

SI aplicamos la regla de la mano derecha a cada alambre, vem os que los campos creados son opuestos y por ser del mismo valor, se anulan, por lo que el fluJo resultan te se hace CERO

(--.---'-b-

Un alambre se dobla para formar una "horquilla" larga como la m ostrada en la fi gura Si por ella Circula una comen te de 10A, ¿Cuá les son la dirección y la m agnitud de

\ ,¿( ~

~

8 en el punto "a"?, ¿yen el punto "b"? ConSiderar que R = 0,50 cm

- - -

.

Soluci ón

al

El campo magnético en el punto "a" es producido por la parte circular y las dos partes lineales ~

8 producido por la parte circular; segun la ley de 8101 y Savart tenemos

d8

=

• donde'

O

= 90°

Integrando tenemos B

f

=~ 1 4nR

. donde di

df

= Rd

(!

da

Luego

~jRda = ~[o: J~

8 =

4 /t R

4 nR

o

B

De donde

=

~ 4R I

8 producido por la parte recta, segun la ley de 810t y ·Savart tenemos : _

"' 0_

4/tr

2

R dr Sen

a

a ,,

di

~

d8 =

'-

(1 )

d, . o -

,, ,

'. 269

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De la figura tenemos

Reemplazando va lores en (1) e integ rando tenemos

B =

~ o iR

=

_:-d-;'"",-

(2)

,')"

(

4, Haciendo, l

f_.• R, .

R TgB. luego resolviendo y eval uando

~

B =

4r.:R

Luego el campo total en "a" será

Ba

.2J:L =~ 4R 4 JtR

Ba '"

~ 2R

(212) 2

It

Reemp lazando valores tenemos

_(4' Ba -

10 ')(10)

2 ( 0,510- 2 )

:. I Ba

(.!.+.!.) 2

1I

'" 1,028 1O.3 T

I ~

Por la regla de la mano derecha , establecem os que la dirección de dicular a la hOJa y saliente

b)

B~

es perpen-

Para el punto "b" el ca r:np o total es producido por las partes rectilíneas solamente, luego

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Reemplaza ndo valores

IBb Por la regla de la mano derecha

20

=8 10

4

T

-->

Bb es perpendicular a la hOJa y sa liente de ella

En la figura uti lizar la ley de Blot y Savart para

-->

calcular el campo magnético B en el punto C, q ue es el centro común de los arcos semicirculares AD y HJ, cuyos radiOS son. respectivamente, R2 y R" Y que forman parte del CirCUito AHJDA por el cual Circula una com ente I

H

A

e

J

D

Solució n

Por la ley de Blol y Sava rt sabemos qu e' dB == ~ 411

df Sen G (2

donde ij es el ángulo entre dl '--> y ( , luego para hallar el cam po en el pu nto C. conSideramos que en el semicircu lo mayor y menor, Sen 9 = 1, para tos segmentos AH yJA, Sena=O • Apl icando la ley de Biat y Savart en el semicirculo menor, tenemos

dB ,

e

di ,

=~ 4, R',

Además'

dl,

= R, da

(11 (2)

donde "((" va desde ,T hasta O en sentido horariO Reemplazando (2) en (1) e Integran do con sus respectivos Ifmrtes para ((, tenemos B

,= "o' 0

B, = - 4 R,

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* Aplicando la ley de Bio! y Savart en

el semicírculo m (3)

Además:

d~

= R2 dP-.

(4)

donde 13 va desde O hasta

."T

en sentido antihorario.

Reemplazando (4) en (3) e mtegrando con sus respectivos límites para 11, tenemos'

B, Como 8 1 > 8 2 en valor absoluto , predomina el campo 8 1 , Por lo tanto el cam po resultant e en el punto

21

e es:

Considérese el circuito mostrado en la figura. Los se g m entos curvos son pa rt e de circuns ferencia cuyos radios son "a" y ' b" Los segmentos rectos están a lo largo de los radios

a

B

Determinar el campo m agnético en P, suponiendo que en el circuito c ircula una corrient e i.

p

Soluc ió n

di' • B

,

En primer lugar AS y CD no contribuyen al

-

~

~

campo puesto que en AB, dl Y r forman 00

, , •• , ,

yen CD en 180 0 y así en la ecuación

/

A\

,,

,,

b ,"

"

D

d B == ~

,/ r-~' ,, ,, \f--."

4 ¡¡

dI Se na r

2

=)

SenO = O

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• • En el t ramo DA , aplica ndo la ley de Biol y Sava rt, t enemos

dB,

dl Sen O

I

b'

J

[

notar qu e O = 90 "

Luego:

8, =

~ 4 11: b"

f

df

Pero { :: (lb

• •• En el tramo Be, ap lica ndo la ley de Biol y Savart, tene rn os

P¡[diSenO] , notar que

= -'-

dB

2

4rr,

2

a

o

90 °

luego: Pero

f

=

(l

a

Final mente el cam po to tal en el punto P es ( 8 1 que B\ > 8 2

-

8 2 ) sa liendo del plano de la hOJa, puesto

~IO I O'.

4 rr

22.

El alambre mostrado en la figura trans porta ~n a com ente i. ¿Cuál es el cam po mag nético B en el centro e de la semicircu nsfe rencla proveni ent e de: a ) cada uno de los segmentos rectos de longitud r,

--•

/

• . _

f

b) del segmento sem icircular de rad iO R y e) del alam bre com pleto?

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So/tlcíó n Por la ley de Bio! y Savart establecemos que-

dB

= ~ 4,

di SenO

,

(1)

" -~

e

, -

f

-~

donde () es el ángulo entre d! y r (dist ancia dirigida entre di y el punto do nde se va hallar el camp o magnét ico) a)

De la figura podemos deducir que O :: O rad para el segmento recto de la izqUler. da y O :: :1 rad para el segmento de la derecha en am bos casos tenemos que

-,

Sen O = O, por lo que al reemplazar en (1) obtenemos que B en e provocado por estos segmentos rectos es CERO b)

Para la semicircunsferencI3 de radio R, aplicando (1 l. tenemos

dI Sen 9

(2)

R' Donde 0= rr/2rad y d i

Rdo..

o: va desde

It

hasta Orad

luego reemplazando estos valores en (2) e Integrando en los límites, tenemos

B=_o-r

IJ i o

B =- ~

da

4R

4nR ro

IIB I =~ e)

23

I

Del alambre completo será equivalente al de la semlClrcunsferencia, por lo que

En el cirCUit o cerrado que aparece en la figura

y por el c ual circula una corriente 1, en donde los rad ios de las secciones sem ici rculares so n

a yb ~

a)

¿Cuál es la magnitud y la dirección de B en el punto P?

b)

Determinar el momento dlpolar del cirCUi to

p

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So lución a) Aplica ndo la ley de 8101 y Savart para la sern icircunsferencia de radio "b" tenemos'

dB, __

~' [ dr s~nO " l 411

pero 0=90"

y

P=

p

rtb

b

Entonces despu és de Integrar-

B

=

~ 4b

( HAC IA ADENTRO, perpendicular a la hoja)

Aplicando Biol y Savart para la semicircunsferencla de radio "a" te nemos

dBl

B

Po i

2

= -

4a

-~9 _1 4,

[ df S~n • e

1

pero 0=90 "

,

y

r=

rr

(HAC IA ADENTRO , perpendicu lar a la hoja) ~

~

Fina lmente como B, y 8 2 están en el m ismo senti do, el cam po en el punt o P es

8p = B + B 1

b)

=

2

~ 4

[2 .2.] a

+

b

Sabemos que el moment o dipolar en el circuito es.

donde ~ es el vector normal a la superficie cuyo módu lo es el area

Entonces para el semicirculo de rad io "b"

m, =

I.(,;b,)

y pa ra el sem icirculo de radio "a"

[, ,]. 1;8

m,

.

Ambos entrando a la pág ina

Luego

2

("+ b' ll

hac ia adentro.

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Un disco metálico de radio R gira con una velocidad angular úl en una reglón donde eXiste

~

~

B

un campo magnético uniforme B paraleJo al eje del disco Demostrar que la diferenCia de potencial entre el centro del disco y su borde es:

.,

< --

1

V :: - wBR2 2 Solución ~

Determinarnos el campo eléctnco E generado por el mOVimiento de rolaclón de las cargas eléctricas del disco baJo la Influencia del campo m agnét ico Este campo eléctrico estará dado por la relación

,

)-~

E '" v 8

Pero

-)

v =

Entonces E

~

---}

úl

T ~

~

(rn r)

~

B

-+ -+---}

-t-+ .....

(r,) B)r -( r BlI')

~~

Pero

r y B son perpendiculares entre si , entonces )

-+

E ",

III

-'f

Br

Luego podemos concluir que E tiene una dirección radial, y su magnitud es E :: !llBr También sabemos que

E =

dV

:: (llBr

d' dV

::

v ::

(o)

Br dr

f UJBrdr 1

V", -{,. SR 2

V=úlBJrdr

25

,

Un segmento rectllineo de alambre de longitud ( transporta una corriente i ~

a)

Demostrar que el campo magnético B asociado con este seg mento, a distanci a R del segmento y a lo larg~ de la bisectriz perp1=:ndicular ( veáse la fi gura), está dado en magnitud por

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www.librospdf1.blogspot.com b)

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ti

¿Se reduce está exp resión a alguna

1T ~...

expresión esperada cuando ( ---) ""?

,

Solución

R

ti a) De acuerdo a la ley de 8iol y Sava rt, t omamos un d ( y r, éste d i aporta un dB cuya exp resión es

t

il2

t

'12

~

d8 ::

R

I----'-'--~~ p

t ()

dond e:

!l e l. dP Sen O

SenO :::

(1)

R

Luego de (1) tenemos

8

Haciendo la su stitució n

b)

f

:::

2R Tg 0, desa rrolla mos la integral, obteniendo:

Si hacemos

( indeterm inado )

Levantando la IndetermmaClón ( diVidiendo entre r ) tenemos:

B "

2

2rrR

ahora SI, reemplazamos

f::

00 ,

r1+ 4~-1 \ '"

tenemos

'1'2

qu~

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Una espira cuadrada de alam bre, de lado ' a", transporta una comente I Demostrar que el valor de B en el centro de la espira est谩 dado por

B

=

So luci贸 n De acuerdo a la ley de Blol y Savart, tenemos que: (1 )

d1 f De donde

(2)

Adem谩s

(3)

f

1

Reemp lazando (2) Y (3) en (1) tenemos

dB, a Integrando entre

2

y

a 2 8, =

4n

(' t

+R

,)92

tenemos

f dB,

HaCiendo la sustituci贸n 1 = R T9 O Y evaluando, considerando Que R

= al2,

obtenemos

Este ultimo resultado es s610 para un lado, de manera de que pa ra los 4 lados tendremos

que

B= 48, '" 4(,fi,,,P IJ O

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www.1FISICA.blogspot.com Una espira cuadrada de alambre, de lado "a" tra nsporta una cOrrien te i a)

Demostrar que B en puntos sobre el eje de la espira, y colocados a una distanCia x de su extremo, está dado por

b)

¿Se comporta la esp ira cua drada como un di po lo para puntos tales que x » ser asi , ¿cuál es el momento di polar?

a? De

Solució" a)

El campo magnético provocado por un alambre de longitud ( que transporta una corriente 1. a una distanCia R, a lo largo de la blsectr[z perpendicular, es

x

B.

B =~ 2,R para nuestro caso, reemplazando valores pa ra un lado de la espira cuadrada, tenemos (1)

De la figu ra podemos deducir que (2)

También tenemos que el campo lotal de la espira es 4 veces el campo hallado para un lado. además las únicas componentes que colaboran con el cam po son las hOrizontales, por lo que ST

=

4 9 Sen

a

(3)

Reem plazando (1) Y (2) en ,(3), tenemos:

4x + 2a ,)"2 ( , ' )('

n 4)( + a

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www.librospdf1.blogspot.com b)

Si

a,

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la exp resión hallada en el acá pite (a) se t ransforma en:

.

,

B, = ~

",(li , ' )

B,

Pe ro en una espira' Luego, si , se comporta como un di polo y su momento di pola r es'

I .ll

-

18

2

I

28 al

Oemostra r que en el centro de un rectángu lo de longitud "(' y ancho "d ' , que t ransporta una corriente T , el valor de B queda determinado po r

(i ' + d ' )"

B = 2.ll o i

,

b)

id

¿A qué va lor se re duce B cuando 1»

d? ¿Se tra ta de un resultado esperado?

Soluc ió n

'1

El campo mag nético provocado por un alambre de long itud

que transporta

(

una corriente i, a una dist ancia R, a lo largo de la bi sectriz perpend icu lar,

B

'" 2,R

= -"-,

( (2 +4R 2f 2

"

,

1-

r ji 1 d

'1

~

d /2 ' /2

--

il

i

para nuestro caso , podemos est ablecer qu e el camp o crea do en e por un lado de lon gitud f es:

B

=

_-"""OCi_

Entonces el campo cr.eado por los dos lados de longitud f t enemos:

(1 I

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Haciendo un anahsls Similar para los lados de longitud d tenemos:

,.,

2p. id

n:1(d Luego el cam po l ol al en el pu nto

'f~

7

e es

De (1) Y (2) ten emos que v'

(, 'd')·

211 I

B

d

,

bJ

Cuando

»d

B

se red uce a

Q ue es un re su ltado es perado, ya que viene a ser el cC:lI"npo creado en el centro de dos con ductores largos y rectos y que t ransportan com entes Iguales y ant ipara lelas

29 al

Un alambre q ue tiene ta forma de un pol igono reg ular de n lados. se encuentra InSCrito en una Clrcuns ferencla de radiO "a· SI por el alam bre Circula una comente I demostrar que la magnitud del campo magnét iCO B en el cen tro de la clrcu nsferenCla queda determin ada po r

s

11 ni - ' - T9(I1 / n)

2" b)

Demostrar que este resultado se apróxlma al de una espira circular con forme n

Solució n a)

Sabemos que por la ley de Biol y Savart que dS

O

,uoidx SenO

1.

(1)

~-,-

4 ;¡

d,

,)

r

r '" n

R

Don de Sen O ::: Sen (:1" - O)

- I tR -,x 2

2

También

*

"---

R --

.

2M I

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Reemplazando e integrando en (1 l, tenemos: B_

dB _ 110 l 路

- I

R dx

- -4 11:~.I ( )( ' +R ')'" '"

).l o

IX

(2)

2nRr

Del gr谩fico. tenemos

,

Clga = -

(3)

R Reemplazando (3) en (2) y r

= a, tenemos (4 )

Pero

Ctg O = Tga

Reemplazando (5) en (4), tenemos路

8 = j.l oi Tga

2" Tambi茅n:

Tga =

T9( ~: ) = T9(~), entonces

B=

!J o ' 2n: 8

T9[-"-] n

Luego pa ra n lados tendremos: ,------;--cC"l

B= -""-'-" TO[-"-] 2n 8 n b)

Si

n, _,

.

aplicando la reg la de LH'Hospita l, t enemos que:

11mB

lim n --+_

).I oi n

[,)

2 n:a

n

- - T9 -

=

lloi 2a

Que es semejante al de una espira circular.

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~

3D.

Calcular el campo magnét ico B

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,

aproxi-

,•

mad o en el punto P de la figura Suponer

,

,

que i = 10A Y que a = 8,0 cm.

í•

p

1

Soluc ió n

El campo magnético en el punto P es la sumatoria de los cam pos prod ucidos por cada lado del cuadra do. (1 )

Haremos el an álisis para un alam bre cualquiera que va desde x, hasta x 2-

" -----.-

di

Por ley de Bi c! y Savart

o

dB

1

1-'-----,,----------"0 P

dx Sen e

=~

,

(2)

2

4,

Donde R

Sen O = Sen (.T - O)

"

"

=

X2

+

=

Jx2 + R2

y

R2

Reemplaza ndo estos valores en (2):

dB =

~ 4,

Rd'

(, ' +R ')'"

Re solviendo esta integral tenemos:

(3)

A hora usando la ecuación (3 ) t enemos : • B.... e en el punto ' P"

¡l o j

4 rr{a /4)

X

r(i

2

'" ]

-33/ 4

+ R f 2 -33/4

.[10. a 14

1 283

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Bec en el punto · P·

4;t/~:l f4)[íx'.:,)"

r

l

33 / 4

,H

-38 14

/ 103/ 4

3,{ia/4

",-,'( 1+./5] 3;:8 \

J10

8.: 0 en el pu nto 'p.

BCD

=

4rc~I~"";'-'1-4-)

l

,33/4

(X2 ! :2(2

j

)

. , 14 ,J1Oa/4

-3/4

B _ .,' ['-./5] J10 CD -

3:ra

BOA en el punto · P"

BD, • --,-,,-",' [ 4)'( I a 14 )

,

(

. 2 __ R2 \I112 ,,

l'·"

)

• 314

Luego reemplazando en ( 1), tenemos que

B:: '&": ( 20+8.[5 ] .'la

\

3{10

Reemplazando los valores nu méricos conocido s:

7 ( 4' 10. )110) B·

\ 810

2)

./5] [20-• 3J1fi 4

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j

1

ley de ampere  

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