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SECONDE BAC PRO MODULE EG 4

MATHÉMATIQUES Antoine Guid


Note de l’auteur

Ce manuel doit permettre à chaque jeune en classe de Seconde Professionnelle Agricole de s’approprier les notions indispensables à la formation mathématique en baccalauréat professionnel. Chaque chapitre s’accompagne d’exercices pour lesquels des solutions sont proposées qui faciliteront l’évaluation de la progression des acquisitions. Les éléments essentiels à ne pas oublier sont mis en évidence, ce qui facilite leur mémorisation. Ils sont indispensables. Ils sont ici exposés clairement avec un langage simple, à la portée de chaque lecteur, élève ou soutien qui auront ainsi toute facilité pour se les approprier. Le cahier d’exercices permettra un travail en autonomie qui imprimera définitivement toutes ces acquisitions et autorisera une évaluation objective de la progression de chacun.

ISBN 978-2-35497-066-6


SOMMAIRE CHAPITRE I : Activités algébriques............................ P. 4

CHAPITRE II : Les statistiques................................... P. 7

CHAPITRE III : Introduction à la probabilité...............P. 30

CHAPITRE IV : Les fonctions....................................P. 34

CHAPITRE V : La proportionnalité.............................P. 52

CHAPITRE VI : Equations, inéquations, systèmes d’équation..........................P. 65

CHAPITRE VII : La géométrie...................................P. 80

CHAPITRE VIII : Les vecteurs...................................P. 98


chapitre I

Avant de commencer les divers chapitres à étudier au cours de cette classe seconde, il est toujours utile de revoir ou redécouvrir quelques outils I - Définition de indispensables à tous nos travaux. Il sera toujours utile de les compléter avec l’outil informatique que nous utiliserons aussi très souvent et de plus en plus. L’important est aussi de bien utiliser l’outil calculette dont nous disposons et en connaître les principales règles de fonctionnement.

II - LES PRIORITÉS DANS LES CALCULS Tout comme sur la route, la règle concernant les priorités dans les calculs est primordiale. Ne pas la respecter entraîne des conséquences fâcheuses.

a×b-c +d×e=f prioritaire

prioritaire

Si nous prenons par exemple le calcul suivant : 2 × 3 - 5 + 6 = ? Nous constaterons que notre calculette nous indique 7 comme résultat.

(a × b) - c + (d × e) = f

Elle a priorisé la multiplication sur les autres opérations « + » et « - ». Cela donne avec les parenthèses : (2 × 3) - 5 + 6 = 6 - 5 + 6 = 7 A noter qu’il en va de même pour la division. Elle est aussi prioritaire sur l’addition et la soustraction. Il faudra donc faire attention lorsqu’une division comprend plusieurs nombres au dénominateur. 20 + 4 =? 2×3 Si nous effectuons avec notre calculette les opérations de cette manière : 20 + 4 ÷ 2 × 3 Nous trouvons 26, ce qui est loin d’être le résultat souhaité. En effet, la calculette privilégie la division et le produit. Elle va donc faire : 20 + [(4 ÷ 2) × 3] = 20 + (2 × 3) = 20 + 6 = 26 En fait, nous devons poser :




20 + 4 / (2 × 3) =

24 =4 6

Lorsque nous hésitons, il convient de décomposer le calcul afin d’éviter toute erreur préjudiciable.

III - LES PUISSANCES ET LES RACINES Toutes nos calculettes sont équipées d’une touche « puissance » de x. On la retrouve sur la touche portant le symbole xy

le plus souvent.

Avec cette fonction, nous pouvons établir toutes les valeurs élevées à toutes les puissances dont nous avons besoin. Par exemple : 25 = (2 xy

5) = 32

Nous pouvons même travailler avec des puissances décimales : 31,7 = (3 xy

1, 7) = 6, 473…

Notre calculette peut aussi nous extraire toutes les racines dont nous avons besoin avec cette même touche si l’on se souvient qu’une racine est aussi une puissance fractionnaire. 3

√x = x

à la puissance

1 3

et

√x =

x à la puissance

1 2

Nous pouvons ainsi retrouver par exemple : 5

√17 = 17 à la puissance

1 5

[17

(1 ÷ 5)] = 1,7623...

Cela nous sera souvent très utile de se souvenir de cette faculté de nos calculettes.

IV - LES PUISSANCES DE 10 Nous aurons en mathématiques et en sciences très souvent l’occasion d’utiliser des nombres présentés avec une puissance de 10. Par exemple : 2,45.10³ Nous savons que la puissance 3 de 10 indique les milliers.

10³ = (10 × 10 × 10 = 1 000)

Ce nombre correspond donc à : 2 450 soit 2,45 × 1 000 Nos calculettes disposent toutes d’une touche correspondant à cette fonction. Elles portent les mentions EXP ou EE

ou encore 10x

.




Attention ! Cette touche ne doit être utilisée que lorsque la puissance de 10 est un nombre entier, positif ou négatif. Lorsque ce nombre comporte une décimale, cette touche ne correspond pas et il nous faut revenir à la touche x y que nous utilisons pour les autres puissances. Vérifions avec l’exemple suivant : 14 × 102,3 = (14 × 10

xy

2,3) = 2 793, 367...

Le résultat ne correspond pas si nous effectuons ce calcul avec la touche des puissances de 10.

Sur l’ordinateur, la calculatrice windows ® supprime la virgule et donne le résultat suivant : 14 suivit de vingt-trois 0 !!




chapitre II

Nous sommes tous les jours confrontés à des statistiques. C’est vrai dans tous les domaines, et les médias nous relaient sans cesse des résultats obtenus par des organismes qui passent leur temps à «faire des statistiques» sur tout et à propos de tout. Dans tous les métiers, les statistiques sont utilisées pour analyser finement un grand nombre de phénomènes dont on a besoin d’apprécier l’impact ou les tendances. • De quoi s’agit-il au juste ?

I - Définition

Pour faire simple, on acceptera l’idée que les statistiques sont la science des grands nombres. Elles permettent d’étudier des phénomènes parfois complexes en leur donnant une forme et une présentation plus abordables pour chacun d’entre nous. Quelques exemples nous permettront d’illustrer cette idée :  Jennifer a 12, 4 de moyenne générale au premier trimestre

 Dans notre région, il a fait 17° Celsius cet après-midi. Le revenu moyen par habitant de ce Pays saharien est de 1 200 € par an. Dans le premier énoncé, on prend en compte l’ensemble des notes de Jennifer au cours de tout le premier trimestre. On les range par matière ou module et on leur attribue un éventuel coefficient. Ensuite on extrait par un calcul cette célèbre moyenne que chacun de nous connaît. Il se peut cependant que Jennifer ait eu des notes nombreuses au cours du trimestre mais nous ne le savons pas. Elle peut avoir des coefficients ou non, cette moyenne ne l’indique pas. Y a-t-il eu des notes dans chacune des matières ? Rien ne permet d’en être certain. En revanche, chacun de nous a cependant une idée personnelle sur ce que

représente une moyenne de 12,4 dans cette classe. Sommes nous tous d’accord ? Rien n’est moins sûr ! En effet, nos appréciations sont subjectives dans la plupart des cas. Les statistiques fournissent des données objectives que nous interprétons. On demandera donc aux statistiques de nous fournir des données ou éléments indiscutables qui nous permettront d’analyser ou d’étudier un ou plusieurs phénomènes. Très souvent, nous prendrons des décisions qui nous semblent logiques à la suite de ces informations.

Dans le second exemple qui concerne la température, on a relevé un grand nombre d’informations sur une zone connue (canton, département, région) On a ensuite extrait la moyenne de ces données. Chacun de nous comprend cependant que cette valeur de 17° donne une idée globale de la température de l’après-midi mais que des variations plus ou moins importantes ont du être notées autour de cette valeur. Pour une simple information, cela nous suffit, mais certaines professions

auront besoin de davantage de précisons sur une zone plus petite ou plus vaste selon les besoins exprimés. L’hiver par exemple, EDF exige beaucoup de précisons pour réguler la distribution d’électricité en fonction des températures locales.




Le troisième exemple provient d’un nombre important de données puisque le Pays compte probablement plusieurs millions d’habitants. Cette valeur moyenne (1 200 €) permet de comparer avec le niveau de vie moyen d’un pays développé qui présente à la même

date un revenu moyen de 21 000 € par an par habitant. Une fois de plus, cette moyenne de 1 200 € cache une répartition qui peut être plus ou moins bien distribuée sur le Pays.

C’est ce que nous allons développer dans cette partie de notre programme, à savoir découvrir quelques indicateurs qui vont permettre une analyse des données, la représentation graphique que l’on pourra en faire. Mais avant cela, il convient de classer les données qui nous sont utiles avec méthode.

II - CLASSEMENT DES DONNÉES Ce classement nécessite une démarche en deux temps. Il convient tout d’abord d’effectuer un relevé correct des données puis ensuite d’en effectuer un classement qui permette de simplifier le travail.

1) le Relevé des données • C’est le point de départ de toutes les études statistiques. Il s’agit d’une phase importante car elle est déterminante pour la suite de toute étude et analyse. Choisissons pour expliquer la méthode un exemple sportif que chacun comprendra : Monsieur Morgan enseigne les activités sportives à une classe de 20 jeunes. Aujourd’hui, il développe auprès d’eux l’apprentissage du lancer du poids. Il va ensuite accorder à chaque élève 3 lancers pour évaluer le groupe et ses performances. Plusieurs méthodes sont utilisables sans tenir compte de la technologie d’enregistrement qu’il utilise :



- Il peut noter par exemple chacune des performances au fur et à mesure des lancers et en extraire une moyenne générale (60 notations).  - Il peut aussi opter pour un tableau qui prend en compte chacun des lancers en les regroupant en 3 séries de 20 performances. 

- Il peut encore travailler par élève et obtenir 20 groupes de 3 performances.  Dans tous les cas, il enregistre 60 lancers mais il analysera différemment selon la méthode d’enregistrement qu’il aura choisie. Tout dépend donc de l’objectif qu’il s’est fixé avant cette séance. Va-t-elle servir à évaluer chaque jeune ou souhaite-t-il enregistrer la progression générale entre les trois lancers successifs ? On voit à partir de cet exemple que l’enregistrement des données n’est pas sans conséquences sur l’étude statistique qui en découle.




La nature même des données enregistrées a aussi toute son importance puisque le caractère observé (ici, le caractère est la longueur du lancer) peut être quantifiable ou non. C’est-à-dire que l’on peut lui attribuer une valeur chiffrée ou pas. Dans l’exemple des lancers, on indiquera une longueur en mètres ou centimètres, donc il s’agit bien là d’un caractère quantifiable. On parlera de caractère quantitatif. Si Monsieur Morgan veut étudier la qualité du geste du lancer, il indiquera alors des caractères comme «vitesse de rotation», «dynamisme», «position du poids» ou «développement du geste». Ce sont des exemples de critères sur lesquels il pourra juger du lancer et de la progression d’un élève ou du groupe. Mais il s’agit de caractères qui ne sont pas quantifiables et qui posent problème dans une étude statistique. On y remédie souvent en attribuant une cotation à ce type de caractères (Par exemple, une note de 0 à 5 ou de 0 à 10 ou 20). La

médecine attribue par exemple une échelle à la douleur ! (1- peu douloureux ; 5 - moyennement douloureux ; 10 - insupportable). On comprend sur cet exemple que ce procédé, s’il est pratique, demeure très subjectif ! Les médias nous interpellent souvent sur ce qu’ils appellent le «baromètre du moral d’une population». Il serait intéressant d’en connaître les divers paramètres et surtout de savoir qui attribue les notations !!

• Pour ce qui nous concerne, nous travaillerons presque exclusivement sur des caractères quantitatifs qui restent indiscutables. Un caractère quantitatif peut prendre deux formes :

une forme continue

Une forme discontinue

Le caractère peut prendre une infinité de valeurs dans des intervalles déterminés. Les lancers de poids des élèves de Monsieur Morgan en sont un exemple. On regroupera donc ces caractères dans des classes dont on définira la grandeur ou amplitude. Les performances notées 8,17 m, 8,43 m et 8,29 m peuvent par exemple se retrouver ensemble dans une classe notée [8,00 ; 8,50[ si Monsieur Morgan souhaite les regrouper pour simplifier son travail de calculs.

Le caractère ne peut pas prendre des valeurs intermédiaires dans une classe. Si l’on souhaite effectuer une étude sur le nombre d’enfants par famille au sein d’une population, on enregistrera des valeurs entières (fort heureusement). Cela n’empêchera pas le nombre moyen calculé d’être un décimal. On parlera pour cette étude d’un caractère discret ou discontinu.

Les données enregistrées seront ensuite reportées dans un tableau que l’on nommera tableau statistique. C’est l’outil de base pour toute analyse ou étude statistique. Il se composera de plusieurs colonnes dont les deux premières indiqueront la nature du caractère observée et le nombre d’observation par caractère ou classe de caractères (effectifs).

Les lancers des élèves de Monsieur Morgan donneront ceci :

Caractère xi

Effectif ni

Longueur du lancer (en mètres)

nombre de lancers

[06,00 ; 06,50[

1

[06,50 ; 07,00[

6

[07,00 ; 07,50[

12

[07,50 ; 08,00[

18

[08,00 ; 08, 50[

13

[08,50 ; 09,00[

6

[09,00 ; 10,00[

3

[10, 00 ; 11,00[

1

Total population

60




Les lancers sont regroupés par classes. On remarque que les classes choisies par Monsieur Morgan ne sont pas toutes de même amplitude. Il a choisi des amplitudes d’un mètre pour les deux dernières alors qu’il semble souhaiter davantage de précision pour les 6 autres qui ont une amplitude de 0,5 mètre. Le total des effectifs porte le nom de population. Ce sera toujours vrai, quel que soit le caractère observé, même s’il ne s’agit pas d’êtres vivants. On parlera en statistiques d’une population à propos de tous les caractères observés. Cette population a toute son importance en statistiques car plus elle est importante numériquement, plus les conclusions des études seront fiables. Les sportifs comprennent bien que l’on puisse avoir de la chance ou pas lors de matchs de coupe alors que le hasard existe

peu sur le classement qui prend en compte toute la durée d’un championnat. On retrouvera cette notion dans le chapitre concernant les probabilités.

Dans notre tableau, la troisième classe notée [07,00 ; 07,50[ correspond à un effectif de 12 lancers. Cela veut dire que sur les 60 lancers effectués par les élèves de Monsieur Morgan, 12 ont été enregistrés entre 7 mètres et 7, 5 mètres. Ce rapport de 12 sur 60 sera nommé fréquence et noté fi. 12 = 0,2 60

On pourra aussi exprimer cette fréquence sous forme de pourcentage, soit 20 % dans l’exemple concerné.

La somme totale des fréquences correspondra à 1 ou à 100 % Caractère xi

Fréquence fi

Longueur du lancer (en mètres)

nombre de lancers

Fréquence fi

[06,00 ; 06,50[

1

0,017

01,7

[06,50 ; 07,00[

6

0,100

10,0

[07,00 ; 07,50[

12

0,200

20,0

[07,50 ; 08,00[

18

0,300

30,0

[08,00 ; 08,50[

13

0,217

21,7

[08,50 ; 09,00[

6

0,100

10,0

[09,00 ; 10,00[

3

0,050

05,0

(pourcentage)

[10,00 ; 11,00[

1

0,017

01,7

Total

60

1,001

100,1

On note que les valeurs arrondies aboutissent à un résultat proche de 1 ou de 100 %. Ce sera souvent observé dans les séries et il s’agit d’un excellent outil pour vérifier nos calculs. Quelquefois, nous aurons besoin d’effectuer le total progressif des effectifs ou des fréquences d’une série. Nous parlerons d’effectifs cumulés ou de fréquences cumulées. Voyons ce que cela donne pour les lancers de notre tableau. F

10

Effectif ni

Nous pouvons l’observer dans le tableau suivant.

Caractère xi Longueur du lancer (en mètres)

Effectif ni nombre de lancers

Effectifs cumulés

Fréquences fi

Fréquences cumulées

[06,00 ; 06,50[

1

1

0,017

0,017

[06,50 ; 07,00[

6

7

0,100

0,117

[07,00 ; 07,50[

12

19

0,200

0,317

[07,50 ; 08,00[

18

37

0,300

0,617

[08,00 ; 08,50[

13

50

0,217

0,834

[08,50 ; 09,00[

6

56

0,100

0,934

[09,00 ; 10,00[

3

59

0,050

0,984

[10,00 ; 11,00[

1

60

0,017

1,001

Total

60


Nous venons de voir que cette série présente l’observation d’un caractère continu «longueur d’un lancer». Monsieur Morgan a regroupé ses observations en classes d’amplitude 0,5 mètre ou de 1 mètre. • Que doit-il faire lorsqu’il observe un lancer de 8,50 mètres ou de 7 mètres ?

[8,00 ; 8,50[ Crochet fermé

Crochet ouvert

8,00 compris dans la classe.

Il notera le lancer de 8,50 mètres dans la classe [8,50 ; 9,00[ car le crochet est fermé sur la valeur de 8,50, ce qui veut 8,50 exclu de la classe. dire que cette valeur est comprise dans la classe. Il ne doit pas l’enregistrer dans la classe [8,00 ; 8,50[ car le crochet est ouvert sur la valeur 8,50 et cette valeur n’appartient donc pas à la classe. Monsieur Morgan enregistrera donc le lancer de 7 mètres dans la classe [7,00 ; 7, 50[. Généralement, les classes se présenteront avec les crochets ouverts et fermés tels que le montre le tableau de Monsieur Morgan.

2) Enregistrement des données • Quelquefois il nous revient de mettre en forme le tableau statistique qui devra ensuite être étudié. Il existe une méthode simple pour éviter de se tromper et d’avoir tout à recommencer lors de cette prise de note. Prenons un exemple qui va nous permettre d’effectuer cet enregistrement sans erreur. - Lors d’un inventaire, un rayon de chaussures de sport indique les stocks de pointures suivantes : 38

42

37

40

43

39

43

39

44

38

38

41

42

39

44

38

41

43

42

41

37

43

44

39

37

42

43

37

41

42

38

42

39

40

37

38

39

40

38

42

39

40

43

42

44

42

42

43

38

41

44

38

40

39

41

44

38

41

39

38

43

42

39

43

43

38

38

43

42

39

42

39

39

42

44

42

39

42

37

44

La première étape consiste à recenser (noter et compter) pour chaque pointure le nombre (effectif) qui existe en stock. Un simple lecture du tableau au cours de laquelle on effectue une croix pour la pointure concernée nous donnera ceci si nous prenons bien la peine de regrouper ces croix par 5. Xi pointure 37 38 39 40 41 42 43 44 Total

Croix enregistrées xxxxx x xxxxx xxxxx xxx xxxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxxx xx xxxxx xxxxx xxxxx x xxxxx xxxxx x xxxxx xxx

Effectifs ni 6 13 14 5 7 16 11 8 80

Il s’agit d’un caractère discret (pointures exprimées en nombres entiers) Effectuons ce pointage seul à partir du premier tableau et vérifions la fiabilité de la méthode qui nous permet un relevé correct.

11


Voici un tableau représentant les prix constatés dans de nombreux magasins pour un article identique. Le travail demandé consiste à regrouper ces données dans un tableau statistique de classe d’amplitudes régulières de 0,50 € qui débutent à la valeur de 18 €.

19,30

19,70

18,70

19,85

20,00

18,40

19,40

19,50

18,70

19,75

19,40

18,15

19,55

18,50

19,35

19,25

19,10

18,65

20,40

19,65

19,20

19,60

19,05

20,00

19,50

19,95

19,65

18,15

19,90

19,35

20,30

18,65

20,45

18,10

19,80

20,60

18,85

19,10

19,55

20,90

19,45

19,60

19,10

19,35

19,95

18,70

19,50

19,40

20,45

18,20

On utilisera la méthode précédente.

On trouvera les effectifs suivants : 5, 7, 14, 16, 6 et 2 On remarque cependant qu’il convient de rester bien attentifs si l’on souhaite ne pas commettre d’erreurs. Nous bénéficions de prix arrondis aux 5 centimes ou 10 centimes et les classes choisies sont d’amplitudes égales. Le travail est ainsi simplifié. L’intérêt de cet enregistrement des données paraît évident pour la suite des calculs. La question se pose de savoir si le choix des classes et de leur amplitude a des conséquences sur les résultats des calculs que nous aurons à effectuer. La réponse est oui mais les modifications sont relativement faibles si on les compare à la simplification des calculs dont nous avons

besoin. Il faut envisager les amplitudes de manière raisonnable et en concordance avec les besoins en terme de précision de notre analyse. Si l’on reprend l’exemple des lancers de la classe de Monsieur Morgan, on peut bien sûr regrouper les performances dans des classes de plus grande amplitude.

Cela peut donner par exemple : Caractère xi (mètres) Longueur du lancer

Effectifs ni

[06,00 ; 07,50[ [07,50 ; 09,00[ [09,00 ; 11,00[ population

1+ 6 = 7 12 + 18 + 13 = 43 6 + 3 + 1 = 10 60

Les résultats vont se trouver modifiés inévitablement mais la question principale reste de savoir si Monsieur Morgan peut regrouper un lancer de 8,95 mètres avec un autre de 7,51 mètres. Au niveau de la performance pure et du barème, cela peut être discutable. Souvenons nous que l’objectif du tableau statistique doit rester celui de présenter une synthèse la plus objective des observations enregistrées. Il est établi pour simplifier les travaux de calculs dans la mesure du raisonnable.

III - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES SÉRIES STATISTISQUES Les statistiques ont pour objet de montrer, de visualiser, de rendre compréhensible, d’aider à l’analyse de phénomènes représentant des grands nombres de données. Elles ont souvent recours à des représentations visuelles 12

(graphiques) pour atteindre ces objectifs. Un simple regard sur nos journaux ou toutes formes de médias nous en apportera la démonstration quotidienne. Nous sommes nourris de tableaux, de graphes, diagrammes de toutes sortes et


tous genres. Nos travaux vont porter sur les graphes les plus usuels que nous sommes amenés à rencontrer. Nous verrons que des

choix judicieux doivent s’opérer pour faire correspondre à une série ou un phénomène le graphe le mieux adapté.

1) Le diagramme en bâtons On place sur l’axe des abscisses les caractères xi rangés en ordre et sur celui des ordonnées les valeurs croissantes des effectifs. Chacun des caractères est affecté d’un segment vertical (bâton) correspondant à son effectif. Les hauteurs de ces bâtons vont visualiser la répartition des effectifs (ou des fréquences) de la série. Choisissons de représenter la série suivante correspondant à des tailles de vêtements de sport.

Caractère xi taille

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

Effectifs ni

4

8

21

26

18

30

32

19

15

6

45

xi tailles

ni effectifs

32 28 24 20 16 12 8 4 36

37

38

39

40

41

42

43

44

Représentons la série suivante sous forme d’un diagramme en bâtons. Elle représente le nombre de pièces des logements d’un échantillon de population dans un quartier. Il faut tout d’abord établir la série, car les données sont présentées sans classement. 2

6

3

4

6

2

5

1

3

6

2

3

4

2

6

1

7

5

5

2

1

6

3

4

6

2

2

2

5

4

3

1

4

2

5

6

2

4

7

5

4

2

4

4

6

5

2

4

6

3

4

4

2

3

6

5

2

7

4

2

2

4

5

3

1

4

5

1

2

3

1

2

2

4

6

3

5

2

4

2

3

5

2

6

3

5

2

3

4

3

5

1

3

7

5

2

3

4

3

6

2

5

3

4

1

2

2

1

3

4

1

2

1

3

5

1

5

4

5

2

Bien entendu, ce diagramme bâtons est utilisé pour représenter des caractères discrets (discontinus). Sur l’axe des abscisses, on indique toutes les valeurs existant entre le plus petit caractère et le plus grand, même si un ou plusieurs des caractères manquent dans la distribution. Il n’y aura pas de segment pour ce ou ces caractères. Les ignorer fausserait la lecture du diagramme. Réponses proposées (ni) dans le désordre : 4 ; 13 ; 13 ; 19 ; 20 ; 22 ; 29

13


2) L’histogramme «secteurs» Ce type de représentation ou graphe est très utilisé car il est bien adapté aux caractères présentés en «classes» dans une série. Au lieu d’un simple trait, on figurera la classe par un rectangle dont l’aire sera proportionnelle à l’effectif ou la fréquence. • Choisissons un exemple :

ni

La série suivante concerne les rendements en quintaux par hectare dans 200 exploitations d’une même région et pour une même céréale. Caractère xi

Effectif ni

Rendement de la céréale (en quintaux par hectare)

nombre d’exploitations

[50  ; 60[ [60  ; 70[ [70  ; 80[ [80  ; 90[ [90  ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 120[ Total

4 23 42 78 31 16 6 200

70 60 50 40 30 20 10 50

60

70

80

90

100 110 120

xi

Tout comme le diagramme en bâtons, il visualise très clairement la série, comme on peut le constater dans cet exemple. Il faut cependant faire attention lorsque les amplitudes des classes ne sont pas régulières. En effet, nous l’avons vu, c’est l’aire des rectangles qui est proportionnelle aux effectifs des classes concernées. Or nous savons que l’aire d’un rectangle se calcule de la manière suivante : Longueur × largeur Si nous considérons que la largeur de nos rectangles se situe sur l’axe des abscisses, il faudra ajuster la hauteur de nos rectangles pour que les aires soient réellement proportionnelles aux effectifs concernés. • Choisissons un exemple pour comprendre : Dans la série suivante, on a relevé les âges d’un groupe de touristes dans un car :

Caractère xi

14

Âge en années

Effectifs ni

[10 ; 20[

5

[20 ; 30[

11

[30 ; 50[

20

[50 ; 70[

16

[70 ; 80[

9

population

61

On constate que les deux premières classes et la dernière ont la même amplitude de 10 ans. La troisième et la quatrième classe ont une amplitude de 20 ans. Sur l’axe des abscisses, la largeur de ces deux classes sera deux fois plus importante. Il convient donc de faire attention lors de la réalisation de l’histogramme. Les hauteurs de ces deux classes seront deux fois plus petites que ne l’annoncent les effectifs. On comprend pourquoi sur l’histogramme suivant si on compte les rectangles unitaires.


ni

11

11

10 10

10

9

9

8

8

8 Calculons les aires de nos rectangles 1 à 5

7

Aire du rectangle N°  Aire du rectangle N°  Aire du rectangle N°  Aire du rectangle N°  Aire du rectangle N° 

6

5

5 4

1×5=5 1 × 11 = 11 2 × 10 = 20 2 × 8 = 16 1×9=9

3 2 1

  10

20

30

40

 50

60

 70

80 50

xi

Âge

Nous trouverons ces résultats en comptant les rectangles unitaires (ici des carrés ) qui composent l’histogramme. Les aires sont donc bien proportionnelles aux effectifs et non les hauteurs.

Voici une série dont les classes sont tout sauf régulières. Présentons la sous la forme d’un histogramme qui tient compte de ces amplitudes variées.

Caractère xi

Effectifs ni

[1 ; 3[

4

[3 ; 4[

4

[4 ; 6[

12

[6 ; 9[

18

[9 ; 13[

12

[13 ; 15[

2

population

52

Si nous avons choisi 4 comme hauteur pour la classe [3 ; 4[, nous devons tracer les hauteurs respectives suivantes pour les autres classes : 2, 6, 6, 3 et 1. Vérifions ce que nous avons tracé. L’histogramme ne présente aucune autre difficulté et il s’adapte à de nombreuses séries qu’il permet de percevoir d’un simple coup d’œil.

3) Le diagramme circulaire Il porte aussi le nom de fromages (aux noms variable selon les régions !) car il est présenté sous forme de parts ou secteurs circulaires. L’angle au centre du disque est proportionnel à l’effectif de la classe que la part représente. Ils peuvent visualiser des séries à caractères discrets ou continus.

15


Parfois, on les utilise sur un demi disque. C’est souvent le cas pour les représentations d’assemblées élues qui ont cette forme géométrique dans leur conception. Le lecteur visualise ainsi la représentation des élus de ces assemblées.(Conseil général, Conseil régional, Assemblée nationale, Sénat, Parlement

européen, etc.) Pour tracer un diagramme circulaire, il suffit de connaître l’angle au centre proportionnel à l’effectif. Sachant que l’angle au centre total est de 360°, il suffit d’effectuer le produit de ce nombre par la fréquence du caractère ou de la classe de caractères. Le Parlement européen

• Prenons un exemple qui traite de la hauteur des arbustes d’une pépinière. Hauteur xi en mètres

Effectif ni

Fréquence fi

fi × 360°

[0,6 ; 0,8[

53

0,058

20,9

[0,8 ; 1,0[

108

0,119

42,8

[1,0 ; 1,2[

157

0,172

61,9

[1,2 ; 1,4[

210

0,230

82,8

[1,4 ; 1,6[

180

0,198

71,3

[1,6 ; 1,8[

162

0,178

64,1

[1,8 ; 2,0[

41

0,045

16,2

Total

911

1,000

360

1) Complétons le tableau suivant : Marques de véhicules sur un parking

Caractère xi

Effectifs ni

A

134

B

161

C

283

D

78

E

123

F

58

Autres marques

43

TOTAL

880

Fréquence fi

Angle au centre

2) Effectuons le diagramme semi-circulaire de la série suivante concernant le résultat des élections législatives d’une circonscription. Souvenons-nous que l’angle total doit mesurer 180°. Candidats xi Michel Lecanez

2 615

Odile Suvena

17 314

Gérard Cynade

12 810

Anne Immocar

9 483

Suzanne Pochain

7 322

Totaux

16

Nombre de voix ni

Fréquences fi

Angle au centre


4) Graphes et couleurs On portera une attention particulière au choix des couleurs que nous utiliserons pour nos diagrammes si elles s’avèrent utiles ou nécessaires. En effet, on se souvient que les statistiques ont pour objet principal d’analyser des phénomènes et de nous les représenter de manière simplifiée et très visuelle. Chacun de nous doit s’y retrouver, donc les couleurs ne sont pas sans conséquence pour la compréhension. A l’ère des médias visuels, des logos et des lignes graphiques, nous n’ignorons plus l’impact du visuel sur la perception des choses qui nous sont proposées. Les publicitaires le savent bien. Nous étudions par exemple une série traitant des productions agricoles suivantes : céréales, lait, viande et légumes. On privilégiera le choix du jaune pour représenter les céréales, le blanc pour le lait, le rouge pour la viande et le vert pour les légumes. Nous savons cependant que tous les légumes ne sont pas verts, que des viandes peuvent être blanches et que les céréales ne sont pas toujours au stade doré de la moisson. Il n’empêche que par convention, nous interprèterons le diagramme qui portera ces couleurs représentatives sans difficulté.

Après des élections nationales, les médias nous proposent une représentation semi circulaire avec des couleurs traditionnelles des partis qui composent les assemblées, à savoir le rouge pour les partis de gauche et le bleu pour les partis de droite. Les nuances dans les couleurs permettent au lecteur de voir s’il s’agit d’un parti situé aux extrêmes ou davantage vers le centre de l’assemblée. Les verts depuis quelques décennies représentent les partis de l’écologie au sein de ces assemblées.

iv - les indicateurs de tendance centrale Ce sont des paramètres qui donnent une indication précise et indiscutable sur la série statistique observée. Nous en étudierons trois qui fournissent chacun un élément intéressant pour l’analyse. Observés de façon isolée, ils ne suffisent pas à l’étude. Nous l’avons vu avec la moyenne de Jennifer au début de ce chapitre. Cette moyenne ne fournit qu’une indication

sur son travail et ses résultats. Pour évaluer ce premier trimestre, la note moyenne de 12,4 ne permet pas de conclure quoi que ce soit de définitif. Nous allons voir successivement trois indicateurs intéressants que sont le mode, la moyenne et la médiane d’une série.

1) Le mode Le mode d’une série ou la classe modale est le caractère (ou la classe de caractères) représenté par l’effectif le plus nombreux. Pour exemple, nous étudierons cette nouvelle série qui observe la couleur des yeux d’un groupe de personnes (caractère qualitatif)

Caractère xi

Effectifs ni

marron

21

vert

4

bleu

18

gris

3

noir

12

Couleur des yeux

Ici, le mode est «yeux couleur marron» puisque c’est le caractère représenté par l’effectif le plus important (21)

17


Dans le cas d’une série présentée sous forme de classes, c’est celle qui a l’effectif le plus important que l’on nommera «classe modale». • Dans la série suivante, on a demandé à des jeunes de 16 à 25 ans le nombre de films qu’ils ont vu au cinéma dans l’année. Nombre de films vus

xi

Effectifs ni

[0 ; 5[

7

[5 ; 10[

15

[10 ; 15[

38

[15 ; 20[

21

[20 ; 25[

9

Ici la classe modale est [10 ; 15[. Elle correspond à l’effectif de 38 qui est le plus important de la série. Ce mode ou cette classe modale donne une indication précieuse dans l’analyse d’une série.

Si nous devons gérer un stock de chaussures, il est important de prévoir le stock le plus important dans la ou les pointures modales de nos clients. On peut trouver bien des exemples probants sur ce sujet même si la presse ne cite que très rarement cet indicateur important. Elle nous inonde davantage de statistiques ne contenant que le paramètre que nous allons étudier maintenant : la moyenne.

2) La moyenne C’est l’indicateur le plus connu et le plus utilisé. On le retrouve au quotidien dans tous les domaines. (salaire moyen, température moyenne, moyenne d’age, etc.).

Cet indicateur se calcule au moyen de la formule suivante :

]x n g x=/ i # i / ni

On prononce «x barre» qui veut dire moyenne des xi. Le signe ∑ se prononce «sigma» et veut dire «somme des» Au dénominateur, on reconnaît ∑ ni qui correspond à la somme des ni . Il s’agit donc de la population de la série.

• Retenons deux séries différentes pour effectuer des calculs de moyennes. Une série se présentera sous forme de caractères discrets et la seconde sous forme de classes.



xi

ni

xi × n i

2 3 4 5 6 7 8

10 21 34 60 42 18 4 189

20 63 136 300 252 126 32 929

_ 929 Moyenne = x = = 4,92 189

xi

ni

[0 ; 10[

3

[10 ; 20[

15

[20 ; 30[

xi central 0 + 10

xi × n i

= 5

15

= 15

225

27

25

675

[30 ; 40[

48

35

1 680

[40 ; 50[

32

45

1 440

[50 ; 60[

6

55

330

2 10 + 20 2

131

_ 4 365 Moyenne = x = = 33,32 131

18

4 365


1) Calculons la moyenne de ces séries :

xi caractère

Effectif ni

30

[0 ; 20[

31

14

67

[20 ; 40[

74

19

80

[40 ; 50[

139

22

54

[50 ; 60[

92

27

26

[60 ; 80[

63

30

3

[80 ; 100[

42

xi

ni

3

13

10

Total

Moyennes proposées : 13,38 ; 17,50 ; 18,34 et

46,31 ; 48,12 ; 49,97

Cette moyenne ne pose pas trop de difficultés pour son calcul. Nous venons de le vérifier plusieurs fois. C’est un peu plus délicat en ce qui concerne l’indicateur suivant, la médiane.

3) La médiane a) Calcul La médiane d’une série, c’est la valeur du caractère de l’individu situé au milieu de la série. 50% INDIVIDUS

0

50% INDIVIDUS

MÉDIANE

TOTAL POPULATION

SÉRIE

Plusieurs cas peuvent se présenter pour trouver l’individu du milieu. La série peut présenter des caractères discrets ou continus. EXEMPLE : Si nous disposons de 5 données qui sont : 8, 10, 11, 13 et 15. A l’évidence, celui qui est au milieu est le 11 car il est le troisième et qu’il y a deux valeurs avant lui et deux valeurs après lui. Nous calculerons donc sa position de la manière suivante :

MÉDIANE =

Population + 1 2

En effet, 5 + 1 = 6, et la moitié de 6 nous donne 3. (Le troisième de la série). Ce sera vrai avec toutes les populations.

19


1) • Exerçons-nous encore en calculant la médiane de ces séries :

2)

xi

ni

ni cumulés

8

3

3

11

9

3+9 = 12

15

24

12 + 24 = 36

18

37

73

21

28

101

22

13

114

26

4

118

30

1

119

Total

119

3)

119 + 1 = 120 = 60 2 2 ème Le 60 individu a pour caractère 18. Il se situe après le 36ème et avant le 73ème.

xi

ni

3

2

7

7

11

11

12

12

15

6

17

2

Total

40

xi

ni

120

4

135

15

170

21

200

32

210

12

230

3

Total

87

ni cumulés

ni cumulés

On dira que la médiane de cette série est 18. • Maintenant, la série présente des caractères continus en classes. xi

Effectif

caractère

ni

[2 ; 5[

1

[5 ; 8[

3

[8 ; 11[

5

[11 ; 14[

12

[14 ; 17[

5

Total

26

1) Si nous effectuons le calcul 26 + 1 = 13,5 2 Il s’agit des notes obtenues en anglais par une classe de 26 élèves. C’est donc le 13,5ème élève qui est au rang médian. Le travail consiste donc à retrouver sa note qui sera la note médiane de la série.

2) Dressons à nouveau ce tableau avec les effectifs cumulés :

20

xi

Effectif

caractère

ni

Effectifs cumulés

[2 ; 5[

1

1

[5 ; 8[

3

4

[8 ; 11[

5

9

[11 ; 14[

12

21

[14 ; 17[

5

26

Total

26

Le 13,5ème est après le 9ème. Il appartient donc à la classe [11 ; 14[. Dans cette classe, il se trouve être le : 13,5 - 9 = 4,5ème individu. Cette classe compte un effectif de 12 individus. Il est donc le 4,5ème parmi ces 12. 4,5 = 0,375 On effectuera le calcul : 12 La classe progresse de 3 points entre 11 et 14, mais elle débute à la note de 11. On calculera : (0,375 × 3) + 11 = 12,125 La médiane de cette série est donc la note de 12,125 / 20.


Rang de la médiane : = 246 + 1 = 123,5ème 2 Le 123,5ème appartient à la classe [300 ; 500[ Rang dans la classe : 123,5 - 90 = 33,5

ème

xi

Effectif

caractère

ni

[0 ; 100[

12

12

[100 ; 200[

31

43

[200 ; 300[

47

90

[300 ; 500[

68

158

[500 ; 700[

54

212

[700 ; 800[

23

235

[800 ; 900[

9

244

[900 ; 1 000[

2

246

Total

246

Effectifs cumulés

Il est le 33,5ème de sa classe parmi un effectif de 68 individus. 33,5 = 0,49 68 Cette classe progresse de 200, entre 300 et 500. Elle a débuté à 300 : (0, 49 × 200) + 300 = 398,5 La médiane de cette série est : 398,5.

- Essayons encore : xi

Effectif

xi

Effectif

caractère

ni

caractère

ni

[20 ; 50[

7

[0 ; 4[

12

[50 ; 80[

28

[4 ; 6[

58

[80 ; 100[

53

[6 ; 8[

123

[100 ; 120[

91

[8 ; 12[

217

[120 ; 140[

45

[12 ; 14[

109

[140 ; 170[

31

[14 ; 16[

46

[170 ; 200[

6

[16 ; 20[

15

Effectifs cumulés

Réponses proposées pour la médiane : 109,3 ; 109,5 ; 110,6 ; 111,0

Effectifs cumulés

Réponses proposées pour la médiane : 8,9 ; 9,2 ; 9,5 ; 9,8

21


b) Représentation graphique Retrouvons graphiquement la médiane d’une série d’heures travaillées sur une récolte par des ouvriers agricoles.

ni cumulés

heures xi

nombre d’ouvriers ni

ni cumulés croissant

[0 ; 20[

30

30

[20 ; 40[

60

90

[40 ; 60[

130

220

[60 ; 80[

80

300

[80 ; 100[

40

340

Total

340

340 320

300 280 260 240

220 200 180

170 160 140 120 100

• 80 60 40

• 20

52,30 10

22

20

30

40

50

60

70

80

90

100

xi heures


v - les indicateurs de dispersion Ils servent à mettre en évidence les écarts qui existent dans les séries statistiques. Les paramètres centraux que nous venons d’étudier ne disent rien ou presque des écarts existant entre les valeurs de la série. Celles-ci se dispersent de part et d’autre de la moyenne ou de la médiane. La dispersion peut être

faible ou au contraire très forte autour de ces deux valeurs. Si nous observons les allures générales que peuvent prendre les diagrammes (bâtons ou histogrammes), nous pourrons retrouver ces formes diverses : 0

1

2

3

4

5

6

7

La forme générale représente un dôme bien symétrique. La série est correctement centrée autour de ses paramètres ou indicateurs centraux. Ce n’est pas toujours le cas. On connaît des séries qui présentent des asymétries ou des allures en « doubles bosses » comme nous le voyons ici :

Ce sont des séries dont la répartition n’est pas homogène sur l’ensemble des caractères, ni regroupée de manière symétrique autour des valeurs centrales (moyenne et médiane). Même les séries qui se présentent bien symétriques peuvent avoir des formes bien différentes graphiquement : La série  est nettement mois resserrée autour de ses paramètres centraux que la série  .



L’indicateur très simple qui nous le montrera est l’étendue, comme nous allons l’étudier :

23


1) L’étendue On nomme ainsi la différence qui existe entre le caractère le plus grand de la série et le plus petit. Par exemple, pour une notation de devoirs, un professeur dispose d’une étendue de 20 points, mais il préfère très nettement ne pas l’utiliser complètement et qu’elle soit réduite au maximum, ce qui démontre

que les élèves ont atteint globalement le même objectif. A l’évidence, plus cette dispersion est décalée vers les notes fortes, plus les acteurs seront satisfaits (professeur et élèves !).

Prenons deux exemples : xi

ni

2

4

3

12

5

18

7

21

9

13

10

3

L’étendue de cette série est ainsi calculée : 10 - 2 = 8

71

xi

Effectif

caractère

ni

[30 ; 50[

7

[50 ; 70[

23

[70 ; 100[

41

[100 ; 130[

56

[130 ; 150[

38

[150 ; 170[

10 175

L’étendue de cette série est calculée de la manière suivante : 170 - 30 = 140

On constate donc qu’il s’agit d’un indicateur simple à calculer mais qui fournit une indication très pertinente sur la dispersion des caractères de la série dans sa globalité. Nous verrons que c’est un élément non négligeable pour la comparaison de plusieurs séries.

2) Les quartiles et l’écart inter-quartiles Les quartiles sont les caractères correspondant aux deux individus situés au premier quart et au troisième quart de la série. 25 %

25 %

0 1

ER

Q1 QUARTILE

25 %

25 %

Q2 MÉDIANE

3

ÈME

Q3 QUARTILE

100

On simplifiera les calculs en trouvant leur position de la manière suivante : Rang du premier quartile = rang de Q1 =

Rang du troisième quartile = rang de Q3 =

population 4

population × 3 4

Ensuite, pour obtenir la valeur de ces caractères, on effectuera les calculs similaires à celui de la médiane qui n’est en fait que le Q2 de la série. DEUXIÈME QUARTILE = MÉDIANE

24


Tout comme pour la médiane, on pourra rechercher la valeur des quartiles sur la courbe des efffectifs cumulés en utilisant la même méthode. Ainsi, pour l’exemple des ouvriers agricoles, on trouve : • Q1 (85 ; 38,3) et • Q3 (255 ; 68,75)

ni cumulés

340 320

300 280 260 255 240

220 200 180

170 160 140 120 100

82,5 80 60 40

• 20

52,30

38,3 10

20

30

40

Q1

50

60

68,75 70

Q3

80

90

100

xi heures

25


• Prenons quelques exemples : xi

ni

ni cumulés

4

5

5

6

8

13

10

15

28

12

20

48

14

13

61

18

7

68

20

2

70

Premier quartile Q1 = 70 = 17,5ème 4 Troisième quartile Q3 = 70 × 3 = 52,5ème 4 Le 17,5ème a 10 pour caractère donc Q1 = 10 Le 52,5ème a 14 pour caractère donc Q3 = 14 L’écart qui sépare les quartiles se calcule donc de la manière suivante : Q3 - Q1 = 14 - 10 = 4 On dira que l’écart interquartile de cette série est de 4.

xi

Effectif

caractère

ni

Effectifs cumulés

[10 ; 30[

3

3

[30 ; 50[

21

24

[50 ; 100[

34

58

[100 ; 150[

19

77

[150 ; 180[

8

85

[180 ; 200[

1

86

Total

86

Rang de Q1 = 86 = 21, 5 4 Rang de Q2 = 86 × 3 = 64,5 4 Q1 = (21,5 - 3 ) × 30 + 30 = 47,6 21 Q3 = (64,5 - 58) × 50 + 100 = 117,1 19 Ecart interquartile : 117,1 - 47,6 = 69,5

Calculons Q1 et Q3 pour les séries suivantes.



xi

ni

xi

ni

xi

ni

xi

ni

10

2

20

12

[0 ; 20[

1

[1 000 ; 1 200[

31

15

10

30

32

[20 ; 50[

13

[1 200 ; 1 500[

212

18

41

40

56

[50 ; 100[

37

[1 500 ; 2 000[

143

21

37

50

28

[100 ; 150[

24

[2 000 ; 3 000[

82

25

18

60

17

[150 ; 180[

8

[3 000 ; 3 500[

27

32

4

70

4

[180 ; 200[

2

[3 500 ; 4 000[

5

Réponses proposées

    26

Q1

15 ; 18 ; 21

Q3

18 ; 21 ; 25

Q1

20 ; 30 ; 40

Q3

50 ; 60 ; 70

Q1

56,2 ; 59,8 ; 60,3

Q3

126,6 ; 127,2 ; 128,3

Q1

1 333 ; 1 342 ; 1 317

Q3

1 961,5 ; 1 412 ; 1 500,4


• Que pouvons-nous calculer ou déduire grâce à ces deux indicateurs ? Pour comprendre effectuons les calculs sur les deux séries suivantes :



xi

ni

xi

ni

[10 ; 20[

1

[10 ; 20[

8

[20 ; 30[

4

[20 ; 30[

15

[30 ; 40[

20

[30 ; 40[

13

[40 ; 50[

35

[40 ; 50[

12

[50 ; 60[

7

[50 ; 60[

16

[60 ; 70[

3

[60 ; 70[

6

70

70



Rang de Q1 et Q3 70 = 17,5 4

Rang de Q1 et Q3 70 × 3 = 52,5 2

70 = 17,5 4

70 × 3 = 52,5 2

Q1 = (17,5 - 5) × 10 + 30 = 36,25 20

Q1 = (17,5 - 6) × 10 + 20 = 26,33 15

Q3 = (52,5 - 25) × 10 + 40 = 47,86 35

Q3 = (52,5 - 48) × 10 + 50 = 52,81 16

• Comparons leurs deux écarts Q3 - Q1 (écart interquartiles)  Q3 - Q1 = 47,86 - 36,25 = 11,61

 Q3 - Q1 = 52,81 - 26,33 = 26,48

On voit que la population de la série  est bien d’avantage regroupée autour des valeurs centrales puisque l’on retrouve la moitié des effectifs compris entre Q1 et Q3 qui se répartissent sur 11,61 en valeur de caractère alors qu’ils s’étalent sur plus du double dans la série  (26,48).

27


• Comparaison de deux séries : Pour effectuer la comparaison entre deux ou plusieurs séries statistiques, plusieurs moyens sont maintenant à notre disposition : 1) - Les graphiques et diagrammes ; 2) - Les indicateurs de tendance centrale ; 3) - Les indicateurs de dispersion. • Modèle de 2 roues allant du scooter de petite cylindrée à la moto puissante de 1 100 cm³ dans deux concessions différentes. Concession A

32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

Concession B

xi

ni

xi

ni

[0 ; 50[

3

[0 ; 50[

27

[50 ; 125[

9

[50 ; 125[

8

[125 ; 250[

13

[125 ; 250[

11

[250 ; 500[

22

[250 ; 500[

7

[500 ; 750[

31

[500 ; 750[

15

[750 ; 1 100[

6

[750 ; 1 100[

20

total

84

total

88

Concession A

6 3

5,2

4,4

6,2 0,86

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1 050 1 000 1 100 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

27

Concession B

5,3

4,4 1,4

3

2,85

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1 050 1 000 1 100

28


Déjâ les histogrammes n’ont que peu de comparaisons possibles. Les populations sont proches, 84 et 88, donc l’importance des concessions n’est pas en cause mais la répartition semble très différente. Vérifions les différents indicateurs que nous regroupons dans le tableau suivant. concession 1

concession 2

mode

[500 ; 750[

[0 ; 50[

moyenne x

434,2 cv

385,7 cv

médiane

448,9 cv

233,0 cv

étendue

1 100 cv

1 100 cv

Q1

211,5 cv

40,7 cv

Q3

629,0 cv

716,7 cv

Q3 - Q1

417,5 cv

676 cv

L’ensemble des paramètres étudiés sur ces deux séries nous indique à l’évidence : - la concession A propose des modèles globalement plus puissants, ce qui est confirmé par les parmètres MODE, MOYENNE, et MEDIANE - par ailleurs, la concession A a regroupé davantage ses modèles autour des valeurs centrales. C’est ce qu’indiquent très nettement les quartiles Q1 et Q3 et leur écart inter-quartile. - Deux paramètres ici peuvent induire en erreur. Il s’agit des moyennes qui sont relativement proches et des étendues qui sont identiques. Ce sont donc deux concessions bien différentes, bien qu’elles proposent toutes deux des modèles allant de 0 à 1 100 cm³ et qu’elles en présentent un nombre similaire en exposition (84 et 88). Nous venons de vérifier que l’ensemble des paramètres est utile pour une analyse comparative objective.

29


chapitre III

Jusqu’à présent, nous avons étudié des séries dont toutes les valeurs (caractères et effectifs) sont connues et certaines. Toutes ces valeurs appartiennent déjà au passé mais nous avons vu aussi que les statistiques devaient permettre de se tourner vers l’avenir afin d’apporter une aide véritable à la décision. Mais cette décision concerne l’avenir. Les utilisateurs veulent aller dans ce sens mais chacun sait que l’avenir est plus ou moins incertain et il reste soumis aux aléas du hasard. Par exemple, lorsque nous étudions une série concernant le montant des ventes d’une entreprise ou le nombre de clients, c’est surtout pour prévoir et anticiper ce qui devrait se produire dans un proche avenir pour cette

entreprise. Les statistiques peuvent permettre de se projeter dans cet avenir mais avec des méthodes qui considèrent que les habitudes et tendances actuelles vont se poursuivre sans modification. Chacun de nous sait que les valeurs réelles prévues vont s’écarter de ce que nous avons calculé. Il va donc falloir induire une technique complémentaire qui prenne en compte cette incertitude en analysant la probabilité qu’un phénomène se reproduise. Cela parviendra d’une analyse très fine des événements du passé. Il conviendra ensuite de généraliser les résultats de l’expérience à un univers soumis aux lois du hasard. Ce sera tout l’objet de la théorie des probabilités.

I - L’ECHANTILLONAGE Il existe plusieurs techniques d’échantillonage. Un échantillon est une partie d’un univers considéré (une classe est un échantillon d’un établissement et 4 élèves constituent par exemple un échantillon d’une classe) qui représente l’ensemble de cet univers. La taille de l’échantillon est déterminante car elle permet d’éviter la subjectivité du choix (l’échantillon doit être représentatif). Pour bien comprendre la dimension nécessaire d’un échantillon, il faut d’abord admettre que les résultats que l’on obtiendra avec lui comporteront une marge d’erreur que l’on souhaite cependant connaître. Dans la majeure partie des études économiques, on admet des marges d’erreur de l’ordre de 4 à 6 %, ce qui permet d’envisager une taille raisonnable pour l’échantillon prélevé ou choisi.

30


Vérifions avec le tableau suivant : Erreur admise, incertitude UNIVERS

4%

6%

8%

10 %

12 %

10 000 000

2 400

1 067

600

384

267

100 000

2 345

1 056

597

383

266

50 000

2 291

1 045

593

381

265

5 000

1 622

878

536

357

253

500

414

341

273

217

174

• Que dit ce tableau ? Il montre que lorsqu’on étudie une population importante et que l’on accepte une incertitude assez forte (12 %). La taille de l’échantillon est très faible par rapport à l’univers observé. 267 = 0,0000267 10 000 000 Par contre si l’univers est plus petit (500) la taille de l’échantillon est grande en proportion :

174 = 0,348 500

Les techniciens du sondage connaissent bien ce principe car pour analyser les goûts, choix ou opinions d’une population adulte comme celle de la France, il suffit de sonder un échantillon d’environ 100 personnes en acceptant une marge d’incertitude de 6 %. (3 % de part et d’autre du chiffre probable). Ces résultats pourront sembler satisfaisants pour une étude économique. Ce ne le sera pas nécessairement pour les résultats de sondages en prévision d’un suffrage où les scores s’annoncent très serrés autour de 50 % pour chacun des deux candidats. Dans ce dernier cas, une incertitude de 6 % est énorme et même 4 % ne sont pas acceptables.

II - PROBABILITÉ, HASARD ET TIRAGE AVEC REMISE Nous connaissons tous quelques événements et leur probabilité d’arriver lors d’un tirage. Un premier exemple consiste dans le lancer d’une pièce ou d’un jeton qui possède deux côtés pile ou face ou de couleurs différentes. Nous admettons que lorsque nous lançons une pièce en l’air, elle retombe en nous exposant son côté pile une fois sur deux et le côté face une fois sur deux. Lorsque nous dirons que l’événement «pile» a une probabilité de 1/2, l’autre événement a une probabilité complémentaire de 1/2 car ces deux événements sont équiprobables, c’est-à-dire qu’il peut advenir l’une ou l’autre lors de chaque lancer. Si nous lançons 3 fois de suite une pièce en l’air, nous obtiendrons : n = 2 × 2 × 2 = 2³ ou 8 éventualités équiprobables.

31


Si nous représentons les épreuves selon un arbre, nous obtenons : 1ER LANCER

2EME LANCER

3EME LANCER PILE

PILE

PILE

FACE

FACE

PILE FACE PILE

FACE

PILE

FACE

FACE

PILE FACE

       

Chacune de ces successions d’événements a la même probabilité de s’être produite. Le PILE - PILE - PILE  a la même probabilité que le FACE - FACE - PILE  à savoir : 1 1 1 1 × × = 8 2 2 2

Si nous souhaitons les probabilités des événements suivants. -P(a) : obtenir 3 fois pile lors de ces tirages, nous obtenons : 1 × 1 × 1 = 1 2 2 2 8

C’est le chemin 

- P(b) : obtenir 2 fois face. Sur l’arbre il s’agit des voies  PILE - FACE - FACE  FACE - PILE - FACE  FACE - FACE - PILE

La somme des trois probabilités nous donne 3 ×

1 3 = 8 8

1) Après 4 lancers de pièce, calculons la probabilité des événements suivants : P (a) = obtenir 2 «PILE» P (b) = obtenir au moins 3 «FACE» P (c) = obtenir 1 «FACE»

Réponses proposées : 3 ; 4 ; 5 ; 6 16 16 16 16

2) Si nous lançons un dé à 6 faces. Calculons les probabilités des événements suivants : - P (a) : obtenir un chiffre pair ; - P (b) : obtenir un 2 ; - P (c) : ne pas obtenir le 1 ou le 2.

Réponses proposées : 1 ; 1 ; 1 ; 2 6 3 2 3

3) Nous tirons au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Recherchons les probabilités des événements suivants : • P(a) : obtenir un coeur • P(b) : obtenir une carte rouge Réponses proposées : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 1 • P(c) : obtenir une figure (valet, dame, roi) 32 16 8 4 8 2 • P(d) : obtenir un roi rouge

32


Tout cela parait simple car nous n’évaluons la probabilité que sur un seul événement et que nous produisons une seule fois. La fréquence du résultat sur lequel nous comptons sera d’autant plus vraie que nous reproduisons l’épreuve un grand nombre de fois. («lancer de dés», «tirer une carte», «lancer une pièce», etc.) Dans la pratique, nous constaterons que plus ce nombre d’épreuves (d’expériences) est élevé, plus la probabilité se réalise. Chacun de nous peut en faire l’expérience. Ici nous observons les résultats d’une expérimentation effectuée avec un lancer de dés : • Dans la première expérience, il a été lancé 30 fois, puis 300 fois dans la seconde et 1 200 fois dans la troisième.



 Numéro obtenu

nombre de sorties

fréquence (%)

Numéro obtenu

nombre de sorties

fréquence (%)

1

5

16,7

1

48

16,0

2

4

13,3

2

51

17,0

3

7

23,3

3

46

15,3

4

6

20,0

4

49

16,3

5

5

16,7

5

54

18

6

3

10,0

6

52

17,3

Total

30

Total

300

Numéro obtenu

nombre de sorties

fréquence (%)

1

199

16,6

2

203

16,8

3

197

16,4

4

196

16,3

5

204

17,0

6

201

16,8

Total

1 200

Avec la troisième série qui concerne un grand nombre de lancers, on remarque que la probabilité théorique de sortie de chaque numéro est presqu’atteinte : 1 6 = 16,66 %. Ce n’est pas le cas avec le nombre de lancers limité de la première série.

33


chapitre IV

Une fonction est avant tout une relation entre deux grandeurs communes. La dimension de la grandeur «x» entraîne une autre grandeur «f(x)» par cette relation spécifique que l’on nomme fonction. Dans le langage courant, on utilise ce mot lorsque deux grandeurs ou propositions ont (ou semblent avoir) un lien entre elles : ‘’Je vais m’habiller en fonction du temps’’ ‘’Nous allons dépenser en fonction de notre budget’’ Dans la première proposition, il s’agit d’un paramètre non mesurable, à savoir la météo. Selon qu’il va pleuvoir ou pas, faire froid ou chaud, avec ou sans soleil… Voila ce que sous entend l’expression «en fonction de». Nous aurons plus souvent à traiter les fonctions dans le sens qu’induit la seconde proposition. Elle met en jeu des paramètres tout à fait mesurables (par exemple en euros) que sont le budget et les dépenses. On pourra effectivement considérer que les dépenses «f(x)» doivent correspondre à la dimension de «x» à savoir notre budget.

I - Définition

On dira par exemple que nous devons On pourra aussi envisager de ne On pourra encore considérer devoir respecter exactement le budget afin dépenser que 75% de ce budget lors conserver 20 € à la suite de nos qu’il corresponde aux dépenses : achats : de nos achats : b) ƒ2(x) = 3x 4

a) ƒ1(x) = x

c) ƒ3(x) = x - 20

Graphiquement, nous retrouverons les représentations suivantes pour les trois situations évoquées. x 0 100 ƒ1(x) 0 100

x 0 100 ƒ2(x) 0 75

y

y

y

ƒx

ƒx

100

100

x

x

O

100

x

ƒx

80

75

O

34

x 20 100 ƒ3(x) 0 80

x

O

20

100

x

x


II - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Nous venons de visualiser trois fonctions qui se présentent graphiquement sous forme de demi-droites. En effet, le budget ne peut pas être négatif, la fonction ne s’exprime pas dans R-. On parlera de fonctions linéaires et affines. Les fonctions linéaires telles que ƒ1(x) et ƒ2(x) passent par le point d’origine du repaire qui a pour coordonnées (0 ; 0). La fonction affine ƒ3(x) ne passe pas par ce point. Nous étudierons d’autres types de fonctions qui sont représentées par des graphes bien différents. Ce sont en fait des courbes qui présentent toutes la particularité essentielle des fonctions :

Pour une valeur de «x», il ne peut y avoir qu’une seule valeur pour «ƒ(x)» • On parle d’image pour ƒ(x) et d’antécédent pour x. • Donc soit «x» n’a pas d’image ƒ(x), soit il en a une seule. • Jamais il ne peut y avoir plusieurs images par une fonction. Graphiquement, lorsque nous traçons la représentation d’une fonction, il peut nous arriver d’avoir à lever le crayon, mais il est impossible de revenir de la droite vers la gauche. - Prenons quelques exemples pour comprendre :

ƒ1

ƒ2

ƒ3

ƒ4

ƒ5

ƒ6

Sur ces graphes, on peut affirmer que ƒ1, ƒ2, ƒ3 et ƒ6 sont des fonctions mais que ƒ4 et ƒ5 ne le sont pas. En effet, lorsque x = 0, nous trouvons deux valeurs ou plus pour ƒ(x) sur ces deux tracés. Or, cela n’est pas possible dans le cas d’une fonction. Nous pourrons vérifier cette propriété dans toutes les situations.

35


III - TABLEAU DES VALEURS D’UNE FONCTION C’est le travail indispensable que nous devrons effectuer avant de tracer le graphe d’une fonction. Il consiste à retrouver et noter les valeurs de ƒ(x) correspondant à un certain nombre de valeurs de x choisies. • Prenons un exemple : ƒ(x) = 2 x² + 1 Si nous cherchons à étudier et tracer la courbe représentant cette fonction dans un intervalle [- 3 ; + 4], nous allons calculer les valeurs suivantes : x = - 3 x = - 2

ƒ(x) = 2x (-3)² + 1 = 19 ƒ(x) = 2x (-2)² + 1 = 9

En poursuivant ainsi, nous pouvons dresser le tableau suivant : x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ƒ(x)

19

9

3

1

3

9

19

33

Cela nous permettra d’effectuer un tracé précis de qualité. y 20

18 16 14 12 10

• 8 6 4

• 2

• -3

36

-2

-1

O

1

2

3

4

x


Il est à noter que lorsqu’il s’agit de l’étude d’une droite, la recherche de deux points suffit pour effectuer le tracé. Le tableau de valeurs ne comprendra que les coordonnées (abscisse et ordonnée) des deux points. • Prenons un exemple : ƒ(x) = - 3x + 2

x

-3

4

ƒ(x)

11

-10

y 12 10 8 6 4 2

-6

-5

-4

-3

-2

O

-1

1

2

3

4

5

6

x

-2 -4 -6 -8 -10 -12

- A nous : dressons le tableau de valeurs de la fonction suivante sur [-5 ; 6] ƒ(x) = x³ - 2 x² + x - 1 x

ƒ(x)

-5

-2

-1

0

3

4

6

g(x) = x² + 3x + 2 sur [- 4 ; 5] 2 x

-4

-1

0

1

3

-1

0

1

2

5

g(x)

h(x) = 2x + 1 sur [-3 ; 2] x+2 x

-3

h(x)

37


IV - COMPORTEMENT D’UNE FONCTION 1) Domaine d’existence de la fonction Une fonction peut exister sur un intervalle ou un ensemble d’intervalles dans lequel ou lesquels se situe la variable x. On parle alors du domaine de définition d’une fonction. Ce domaine peut être représenté par la totalité de l’ensemble R qui va de - ∞ à + ∞ (moins l’infini à plus l’infini) sans exclusion. Mais quelquefois, le domaine de la fonction peut être restreint à certains intervalles. Il peut aussi exclure une ou plusieurs valeurs. - Prenons quelques exemples pour bien comprendre :

a) ƒ(x) = 2x + 3 Ici, il s’agit d’une fonction affine (droite) et le domaine de définition sera R puisque cette droite est infinie, donc aucune valeur n’en est exclue. Quelle que soit la valeur attribuée à l’antécédent x, on retrouvera une valeur image par ƒ(x). x = - 50 ƒ(x) = 2 × - 50 + 3 = - 97 Ces deux points existent, bien sûr, et il est possible de tracer le graphe de cette droite à partir de leurs coordonnées. x = 1 000 ƒ(x) = 2 × 1 000 + 3 = 2 003

b) g(x) = xx +- 23 Nous avons ici une fonction qui présente un dénominateur. Nous savons depuis longtemps qu’une fraction ne peut avoir un dénominateur nul. Il convient donc de chercher pour quelle valeur ce dénominateur s’annule, cette valeur sera exclue du domaine d’existence de la fonction g(x). On pose x - 2 = 0 → x = 2 Donc g(x) existera toujours sauf pour la valeur x = 2. Pour cette abscisse, il n’existe aucune image par g(x). La calculette nous indiquera «error» (ou E.) car elle ne peut effectuer ce calcul. Graphiquement, on sera obligé de lever le crayon à cette abscisse (+ 2). On notera le domaine de définition : R -{+2} Nous étudierons dans ce chapitre ce type de fonctions dites homographiques ou hyperboliques.

c) h(x) = √ x - 4 Nous savons qu’une expression sous racine doit être positive ou nulle. Il convient donc de poser : x - 4 ≥ 0 x ≥ 4 Nous observons que le domaine de la fonction h(x) débutera avec la valeur de x = 4 et qu’il se poursuivra ensuite jusqu’à l’infini. Aucun antécédent avant 4 ne trouvera d’image par h(x).

38


2) Domaine concret et intervalle d’étude Quelquefois une fonction existe sur un intervalle précis dont nous connaissons l’encadrement. Cette restriction de domaine peut provenir de plusieurs causes liées à l’antécédent ou à l’image. Nous venons de voir que certaines fonctions ont un domaine d’existence restreint car mathématiquement cela s’impose (fractions, racines). On peut aussi rencontrer des fonctions qui n’existent que sur un intervalle logique. - Prenons quelques exemples : Si nous étudions une fonction correspondant à la prime d’assurances versée pour un véhicule en fonction de l’âge du conducteur, la variable x (âge) pourra évoluer entre 18 et 100 ans (soyons optimistes !) En effet, les conducteurs ne peuvent souscrire un contrat qu’à partir de 18 ans. L’intervalle d’étude sera le suivant : [18 ; 100]. L’étude suivante porte sur la conservation d’un plat préparé en fonction de la température ambiante dans les pièces d’un logement. Il est vraisemblable que l’intervalle d’étude se situera entre 5° et 40° si l’étude est faite en France car nous avons rarement des températures plus basses ou plus hautes dans nos logements.

Généralement, on nous indiquera l’intervalle d’étude pour les fonctions car l’essentiel de ce qui concerne cette fonction se passe sur cet intervalle. On nous fournira des indications précises dans le sujet comme celle-ci : «Une étude porte sur la fonction ƒ(x) sur l’intervalle [-3 ; +5] dont on tracera…» Mettons en relation les fonctions proposées avec les domaines qui correspondent. a) ƒ(x) = 2x - 3

1) R - {1} ou x ≠ 1

1 b) g(x) = x - 1

2) R - {0} ou x ≠ 0

c) h(x) = √ 2x - 4

3) R

d) j(x) = x² - 3x + 2 x

4) [2 ; + ∞[

ou x ≥ 2

39


V - CROISSANCE / DÉCROISSANCE D’UNE FONCTION On dira qu’une fonction ƒ(x) est CROISSANTE entre x1 et x2 lorsque :

ƒ(x2) - ƒ(x1) > 0

Graphiquement, on observera que la courbe «monte» de la gauche vers la droite du tracé.

avec x2 > x1

On dira qu’une fonction f(x) est décroissante sur [x1 ; x2] lorsque :

La courbe «descend» de la gauche vers la droite du tracé.

ƒ(x2) - ƒ(x1) < 0 avec x2 > x1

y

O

x

y

O

x

Nous allons étudier cette croissance ou décroissance à partir d’exemples de fonctions que nous découvrons, à savoir les fonctions affines, carrées et homographiques.

1) La fonction affine Il s’agit, comme nous l’avons vu, d’une droite. Sur l’ensemble de son tracé, une droite ne peut que «monter», «descendre» ou encore rester parallèle à l’axe des abscisses ou des ordonnées. Elle ne peut correspondre qu’à une seule de ces situations. • Prenons les trois cas de figures correspondant. y ƒ1(x) ; y = 2x - 1

12

x

-2

4

ƒ1(x)

-5

7

ƒ2

10

8

ƒ2(x) ; y = - 2x + 3 x

-3

4

ƒ1(x)

9

-5

4

ƒ3

ƒ3(x) ; y = 2 x

-3

4

ƒ1(x)

2

2

On constate sur ce graphe : - ƒ1(x) est croissante. Son coefficient directeur «a» est positif (2) -ƒ2(x) est décroissante. Son coefficient directeur «a» est négatif (-2) - ƒ3(x) est parallèle à l’axe des abscisses. Son coefficient directeur est nul.

40

6

• -4

-3

2 -2

O

-1

1

2

3

4

-2

ƒ1

-4 -6 -8

5

x


Après avoir recherché les coordonnées de deux points pour chaque fonction, traçons sur un même graphe les droites représentées par les fonctions suivantes et indiquons si elles sont croissantes ou décroissantes : ƒ1(x) ; y = x + 2

ƒ2(x) ; y = 4 - 2x

ƒ3(x) ; y = - x - 3

Indication : deux sont décroissantes parmi les trois.

• Recherche de l’équation d’une droite à partir de deux points Soient deux points A (-3 ; -7) et B (3 ; 5) par lesquels passe une droite D1. Quelle est l’équation de cette droite ? Si nous reprenons ce que nous venons de voir, nous pouvons écrire : x1 = -3 et ƒ(x1) = -7 et x2 = 3 et ƒ(x2) = 5 ƒ(x2)- ƒ(x1) 5 + 7 12 Effectuons le calcul suivant : x2 - x1 = 3 + 3 = 6 = 2 Nous venons d’obtenir le coefficient directeur «a» de notre fonction ax + b. Si nous prenons les coordonnées d’un des deux points et que nous transposons l’équation de notre fonction, nous obtenons : ƒ(x1) = a × x1 + b soit -7 = 2 × -3 + b → -7 = -6 + b → -7 + 6 = b → b = -1 Notre équation recherchée est donc la suivante : y = 2x - 1 - Soient deux points A (-2 ; 10) et B (3 ; -5) par lesquels passe une droite D1. Quelle est l’équation de cette droite ? - Soient deux points C (-4 ; -7) et D (2 ; 5) par lesquels passe une droite D2. Quelle est l’équation de cette droite ? - Soient deux points E (-4 ; 2) et F (4 ; 6) par lesquels passe une droite D3. Quelle est l’équation de cette droite ? 1 x + 4 Réponses proposées : -3x + 4 - 3x + 1 2x + 1 2x + 4 2 De même avec les coordonnées d’un seul point et la connaissance du coefficient directeur de la droite, nous pouvons retrouver l’équation complète. Par exemple, une droite D passe par le point de coordonnées (2 ; 10) et elle a pour coefficient directeur a = 2. En reprenant l’équation : y = a × x + b, nous obtenons 10 = 2 x 2 + b 10 = 4 + b 10 - 4 = b

6 = b ou b = 6 L’équation complète est donc : y = 2x + 6

Nous retrouverons en fin de chapitre des exercices qui vont nous permettre de maîtriser ces aspects des fonctions affines.

41


2) Les fonctions carrées

Ce sont des fonctions dont l’équation générale est la suivante : ƒ(x) ; y = a × x² + b × x + c On simplifiera en écrivant : y = ax² + bx + c a, b et c sont des valeurs numériques de l’ensemble . R • Prenons un exemple. Soit la fonction f(x) ; y = x² - x - 6

Ici, a, b et c ont pour valeurs respectives 1, -1 et -6.

Cherchons à présenter cette fonction sous forme d’un produit de facteurs du premier degré. - Pourquoi souhaitons nous factoriser cette expression ? En fait, cette fonction du second degré sera représentée graphiquement par une parabole qui pourra intercepter l’axe des abscisses en un ou deux points. Quelquefois, il n’y aura pas d’intersection avec cet axe, la courbe se situant entièrement au dessus ou au dessous de l’axe. La factorisation permettra de trouver facilement les coordonnées des points d’intersection s’ils existent. Dressons un tableau de valeurs pour notre fonction : x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

14

6

0

-4

-6

-6

-4

0

6

Nous observons deux valeurs pour lesquelles la fonction s’annule (la courbe traverse l’axe des abscisses). Il s’agit de x1 = -2 et de x2 = 3 Nous pouvons factoriser notre expression de la manière suivante : x² - x - 6 = a (x - x1) (x - x2)

= 1 (x + 2) (x - 3) = (x + 2) (x - 3)

Il est donc normal que y soit nul pour x = - 2 et x = 3. Les deux valeurs annulent chacune un binôme du produit et rendent ainsi le produit global nul. Effectuons le tracé de cette courbe.

42


y 14 12 10 8 axe de symétrie de la courbe 6 4 2 -5

-4

-3

-2

O

-1

1

2

3

4

5

6

x

-2 -4 -6 -8

Nous observons donc que la courbe représentative de la fonction ƒ(x) intercepte l’axe des abscisses en -2 et en 3. On remarque aussi une symétrie de cette courbe par rapport à la droite verticale qui passe par le point d’abscisse 0,5 sur l’axe. Cette droite d’équation x = 1 est axe de symétrie de la parabole. 2 Ce point (0,5 ; 0) se situe au milieu des deux points ou la courbe traverse l’axe des abscisses. En effet : - 2 + 3 = 0,5. 2 Les fonctions paraboliques présentent toujours un axe de symétrie qui intercepte la courbe représentative au point extremum (Minimum ou maximum). Dans notre exemple, il s’agit d’un minimum de coordonnées (0,5 ; - 6,25) Retrouvons les points d’intersection (x1 et x2) des courbes représentatives des fonctions suivantes avec l’axe des abscisses et les équation des axes de symétrie de ces courbes et les coordonnées des extremum. ƒ1(x) = x² - 6x + 5 sur [-1 ; 6] ƒ2(x) = x² - 4x sur [-2 ; 5] ƒ3(x) = 4x² - 4x - 3 sur [-3 ; 2] Réponses proposées : - Coordonnées de x1 et x2 : (0 ; 0) et (4 ; 0) (2 ;0) et (4 ;0)

( -3 ; 0) et ( 1 ; 0) 2 2 (1 ;0) et (5 ;0)

(-1 ;0) et (2 ;0)

43


-Coordonnées des extremum : (3 ;-4)

(2 ;7)

(1 ; -4) 2

(1 ;5)

(2 ;4)

(3 ; -1) 2

On pourra ainsi, avant même de tracer la courbe, dresser ce que l’on appelle un tableau de variation de la fonction qui donne déjà une idée du graphe et du comportement de la courbe. Si nous reprenons l’exemple de ƒ(x)= x² - x - 6, nous pouvons obtenir le tableau de variation suivant : x

- 4

0,5

ƒ(x) 14

+4

Nous signalons la décroissance de la fonction entre - 4 et 0,5 par une flèche descendante et nous notons par une simple flèche montante la croissance de la fonction entre 0,5 et 4. Les coordonnées complètes des points d’abscisse - 4 et 0,5 apparaissent dans le tableau car ce sont les points situés aux bornes de l’intervalle d’étude. On notera les valeurs essentielles afin de ne pas alourdir le tableau qui doit rester très visuel. Il vient compléter et éclairer les informations déjà connues avec le tableau de recherche de points.

6

- 6,25

minimum

- Voyons maintenant deux autres exemples : • Etude de la fonction ƒ(x) = - x² + 8x - 7 sur [-2 ; 8] x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ƒ(x)

-27

-16

-7

0

5

8

9

8

5

0

-7

Voici le tableau que nous pouvons établir : x - 2 ƒ(x)

1 0

4 9 maximum

7

-27

8

0 - 7

• Etude de la fonction ƒ(x) = -2x² + 8x - 6 sur [0 ; 5]

44

x

0

1

2

3

4

5

ƒ(x)

-6

0

2

0

-6

-16

x 0 ƒ(x)

1 0

2 2 maximum

3

-6

5

0 -16

a) Etudions la fonction ƒ(x) = 2x² + 9x - 5

sur [-6 ; 3]

b) Etudions la fonction ƒ(x) = x² - 5x + 6

sur [0 ; 4]

c) Etudions la fonction ƒ(x) = x² + 4x + 4

sur [-5 ; 1]


3) Les fonctions inverses et homographiques a) La fonction inverse La fonction inverse est la fonction telle que ƒ(x) =

1 x

x =y 0

Bien entendu, nous le savons et nous y portons attention, elle existe pour toutes les valeurs de sauf 0 que nous appelons *. R R En effet, la valeur 0 annule le dénominateur de la fraction et la rend impossible. 1 1 Si x est négatif, alors l’est aussi. Donc est négative sur R x x

IMPOSSIBLE

Ce sera le contraire si x est positif, mais la fonction reste décroissante sur l’ensemble de son domaine. La courbe qui la représente est une hyperbole. C’est une courbe qui admet un centre de symétrie. Dans le cas de 1 le centre de symétrie sera le point O, origine du repaire de coordonnées (0 ; 0) notre fonction inverse , x Recherchons quelques valeurs sur [- 4 ; 4]. -4

ƒ(x) - 0,25

-3

-2

-1

1

2

3

4

- 0,33

- 0,5

-1

1

0,5

0,33

0,25

Tableau de variations : x - 4 -0,25 ƒ(x)

0

+4

0,25

Les deux traits sous l’abscisse 0 signifient que la fonction n’a pas d’image en ce point et que son tracé est interrompu en ce point. y •

x

1 0,75

• •

0,33

0,25

On observe sur ce graphe la symétrie de centre O de cette courbe hyperbolique.

-4

-3

-2

O

-1

1

2

3

0,5

4

x

- 0,25

- 0,33

- 0,5 - 0,75

• -1

45


b) La fonction homographique

Les fonctions homographiques ont pour équation générale :

ax + b ƒ(x) = cx + d

a, b, c et d sont des valeurs numériques de . R Elles présentent les mêmes caractéristiques que la fonction inverse, à savoir : - Elles ont une valeur exclue de leur domaine de définition. Ce sera la valeur de x qui rend le dénominateur nul, telle que : cx + d = 0 soit x = - d c - Elles sont soit croissantes, soit décroissantes sur l’ensemble de leur domaine de définition. x-2 Choisissons un exemple : ƒ(x) = sur [-4 ; 4] x + 1 x + 1 ≠ 0 donc x ≠ -1 x ≠ - 1 est la valeur exclue de l’étude. • Tableau de valeurs x

-4

-3

-2

- 1, 5

0

0,5

1

2

3

4

ƒ(x)

2

2, 5

4

7

-2

-1

- 0, 5

0

0, 25

0, 4

• Tableau de variation x ƒ(x)

- 3 2,5

7

- 1

+4 0,4

6 5

4 3 2 1 -3

-2

O

-1 -1

Nous pouvons effectuer le graphe représentatif de cette fonction. asymptote verticale pour x = - 1

-2 -3 -4

46

1

2

3

4


Prenons un autre exemple d’étude. Etude de ƒ(x) = 2x - 4 sur [-2 ; 5] x-1 Valeur exclue : x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 • Tableau de valeurs x

-2

-1

0

2

3

4

5

f(x)

2,67

3

4

0

1

1,33

1,5

• Tableau de variation x ƒ(x)

- 2

1

2,67

+5 1,5

Indiquons les valeurs exclues du domaine de définition et recherchons les variations des fonctions homographiques suivantes : x+4 x+3

sur [-5 ; 1]

ƒ2(x) =

2x - 1 ƒ3(x) = x - 2

sur [-1 ; 6]

-x+3 ƒ4(x) = 4 - x

ƒ1(x) =

2x + 2 -x + 1

sur [-4 ; 5] sur [1 ; 7]

47


VI - EXERCICES D’APPLICATION ) Reconnaître parmi les équations suivantes celles qui représentent des fonctions linéaires et affines : ƒ1(x) = 3x + 2 - (2x + 2) ƒ2(x) = 2x - 4 - (3 + x) ƒ3(x) = x - 1 + (2x - 2) - (2x + 3) 3x - 4 2-x ƒ4(x) = + 6 3

Indications 2 fonctions sont linéaires et 2 sont affines.

) Indiquez parmi les fonctions suivantes celles qui sont affines et indiquez leur coefficient directeur «a». 3x - 1 ƒ1(x) = 2 + 2 -x √2 ƒ2(x) = 2 Réponses proposées 4 ƒ3(x) = + 2 3x 3 de ces fonctions sont affines, une est linéaire. ƒ4(x) = (2 + x) (1 - √ 2) 2x - 4 8 + 2x Coefficients directeurs proposés ƒ5(x) = + 1 3 6 - 0,707 ; - 0,414 ; ; 1 et 1, 5. 2

) Indiquez les coefficients directeurs des fonctions affines suivantes : x+3 4-x 2x - 1 2+x 1+x ƒ1(x) = 4 ƒ2(x) = √ 2 ƒ3(x) = 2 ƒ4(x) = - 3 2 Réponses proposées : - 0,5 ; - 0,25 ; - 0,167 ; 0 ; 0,5 et 0, 707

) Retrouvez l’équation de la droite affine telle que : a = 2 et ƒ(0) = - 4

) Retrouvez l’équation de la droite affine telle que :

) Retrouvez l’équation de la droite affine telle que :

) Soient 3 points : A (-1 ; 2) ; B (0 ; 3) ; C (2 ; 3)

ƒ(1) = 3 et ƒ(4) = - 3

48

ƒ(-1) = -11 et ƒ(6) = 10

- Indiquez les équations des droites AB, AC et BC - Calculez les coordonnées du point d’intersection de AB et BC


) Soient 3 points : A (-2 ; 1) ; B (1 ; 4) ; C (2 ; 3) - Indiquez les équations des droites AB, AC et BC - Calculez les coordonnées du point d’intersection de AB et BC ) Parmi les graphes suivants, indiquez ceux qui représentent une fonction.

a

b

c

) Complétez le tableau de valeurs de la fonction suivante : ƒ(x) = 2x² - x + 3 x

-5

-1

0

1

2

) Complétez le tableau de valeurs de la fonction suivante : ƒ (x) = - x² + 3x - 1

4

x

ƒ(x)

-4

-3

-2

0

1

3

5

ƒ(x)

) Complétez le tableau de valeurs de la fonction suivante : ƒ (x) = 2x + 14 x-2 x

d

-4

-2

-1

0

1

2

) Complétez le tableau de valeurs de la fonction suivante : ƒ (x) = 2x + 1 x-2

3

x

ƒ(x)

-3

-2

-1

0

1

3

4

ƒ(x)

) Indiquez, lorsque c’est le cas, la ou les valeurs exclues des fonctions suivantes : ƒ(x) =

x+2 x-3

ƒ(x) =

2x - 1 (x + 2)(x - 1)

ƒ(x) = x² - 2x

ƒ(x) =

ƒ(x) = (2x - 1)(x + 2)

1 x

ƒ(x) = 2 x + 3 ƒ(x) = (x - 2) ×

1 x+1

49


) Indiquez, lorsque c’est le cas, la ou les valeurs exclues des fonctions suivantes : (x + 3)(x + 2) 1 ƒ(x) = x + 4 ƒ(x) = - x + 4 ƒ(x) = (x + 3) ƒ(x) =

50

2x - 3 4

(x + 4) ƒ(x) = (x - 2)(x + 2)

1 ƒ(x) = (x - 2) × x

) Indiquez si les foncions suivantes sont croissantes ou décroissantes sur les intervalles proposés.

) Indiquez si les fonctions suivantes sont croissantes ou décroissantes sur les intervalles proposés.

ƒ(x) = x² - x + 3

sur [2 ; 5]

ƒ(x) = 2x² - 4x + 1

sur [- 5 ; - 2]

ƒ(x) = - x + 10

sur [- 2 ; 2]

sur [3 ; 7]

ƒ(x) =

sur [3 ; 4]

(3x - 4) ƒ(x) = x -2 (x + 3) ƒ(x) = (x + 3)(x - 3)

sur [4 ; 8]

) Présentons les fonctions suivantes sous forme d’un produit :

) Présentons les fonctions suivantes sous forme d’un produit:

ƒ(x) = x² - 5x + 6

ƒ(x) = x² - 4x + 4

ƒ(x) = 2x² - 3x - 2

ƒ(x) = x² - 1

ƒ(x) = 2x² - 4x - 6

ƒ(x) = x² - 5x + 6

ƒ(x) = - x² + 3x - 2

ƒ(x) = 4x² + 4x + 1

) - Retrouvez les coordonnées des points d’intersection des fonctions suivantes avec l’axe des abscisses. - Retrouvez l’abscisse du point extremum de la courbe représentant ces fonctions.

) - Retrouvez les coordonnées des points d’intersection des fonctions suivantes avec l’axe des abscisses. - Retrouvez l’abscisse du point extremum de la courbe représentant ces fonctions.

ƒ(x) = x² - 6x + 9

ƒ(x) = x² + 2x + 6

ƒ(x) = x² + 2x - 3

ƒ(x) = - x² + 1

ƒ(x) = 2x² - 12x + 10

ƒ(x) = x² - 2x - 8

ƒ(x) = x² + 10x + 24

ƒ(x) = x² - 2x + 1


) Recherchez les coordonnées complètes des extremums des fonctions suivantes :

) Recherchez les coordonnées complètes des extremums des fonctions suivantes :

ƒ(x) = x² - 6x + 9

ƒ(x) = x² + 2x + 6

ƒ(x) = x² + 2x - 3

ƒ(x) = - x² + 1

ƒ(x) = 2x² - 12x + 10

ƒ(x) = x² - 2x - 8

ƒ(x) = x² + 10x + 24

ƒ(x) = x² - 2x + 1

) Etablir le tableau de variations de la fonction suivante :

) Etablir le tableau de variations de la fonction suivante :

ƒ(x) = x² + 2x - 3 sur [- 5 ; 4]

ƒ(x) = 4x² + 16x + 16 sur [- 6 ; 2]

) Etablir le tableau de variations de la fonction suivante : 2x - 1 ƒ(x) = x + 2 sur [-4 ; 4]

) Etablir le tableau de variations de la fonction suivante : 2x - 1 ƒ(x) = 1 - x sur [-3 ; 2]

51


chapitre V

I

Une proportion est un rapport (une fraction) qui existe entre deux - Définition grandeurs mesurées. Ce rapport est constant. Il représente un coefficient entre ces deux grandeurs. On dira que deux grandeurs sont proportionnelles entre elles s’il existe un coefficient invariable entre elles. Ce rapport ou coefficient est appelé «k» et c’est donc une constante.

• Prenons un exemple : Une double série de nombres est ainsi composée : Série a

7,2

8,64

10,2

12,72

15,6

3

3,6

4,25

5,3

6,5

Série b

Y a-t-il une relation de proportionnalité entre ces deux séries de nombres ? Cela sera vrai si les fractions suivantes sont toutes égales : 7,2 8,64 10,2 12,72 15,6 3

3,6

4,25

5,3

6,5

Nous pouvons vérifier que chaque fraction équivaut à 2,4, il s’agira donc du coefficient de proportionnalité (k = 2,4) de ces deux séries. Ces deux séries sont donc proportionnelles.

II - TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ On dressera pour chaque série un tableau très simple et identique à celui que nous venons de voir. On mettra en évidence le rapport «k» s’il existe. Dans le cas contraire, les deux séries ne seront pas proportionnelles. Voyons quelques séries :



  52

Série a

2,325

3,72

4,96

10,075

15,5

Série b

0,75

1,2

1,6

3,25

5

Série a

3,2

4,8

7,2

7,8

9,6

12,8

Série b

2

3

4,5

5

6

8

Série a

202,12

443,36

749,8

1 193,16

1 304

3 325,2

Série b

3,1

6,8

11,5

18,3

20

51


Le tableau  ne représente pas des séries proportionnelles car tous les quotients ne sont pas identiques et égaux à 1,6. Ce rapport est de 1,56 pour la fraction 7,8 . Une seule fraction différente entraîne la non proportionnalité 5 de l’ensemble. Le tableau  présente un rapport ou coefficient k = 3,1 et le tableau  un coefficient k = 65,2.

Complétons les valeurs manquantes dans les séries suivantes qui représentent des proportionnalités.



Série a

14, 7

Série b

2, 1

Série a

18, 25

Série b

2, 5

23, 8

54, 25

4, 2

10, 5 109, 5

153, 3

12

Série a

46

10, 56

Série b

1, 5

18, 48

2, 4

3, 1

5, 6

III - LA QUATRIEME PROPORTIONNELLE

Si on dresse un tableau de proportionnalité du type suivant :

a

b

c

x

a×x=c×b

Trois des valeurs a, b et c sont connues, on recherche la valeur de x que l’on nomme la quatrième proportionnelle. C’est la règle du «produit en croix» qui nous indique la solution :

x= b×c a

• Effectuons le calcul sur quelques exemples :



2

4

3

x

2×x=4×3 x= x =6

12 2

4

3

x

9

3×x=4×9 x=

36 3

x = 12

x

4

16

8

8 × x = 16 × 4 x=

64 8

x=8

53


Nous pouvons résoudre un certain nombre de problèmes avec ce rapport de proportionnalité. Choisissons deux exemples : a) Un véhicule consomme 6,7 litres de carburant aux 100 kilomètres. - Quelle quantité de carburant sera nécessaire pour effectuer 750 Kilomètres ? - Avec une consommation de 80,4 litres, quelle distance a-t-il parcourue ?

 Posons le tableau correspondant à la première interrogation : 6,7 100 x

750

100x = 6,7 × 750 100x = 5 025 x=

5 025 100

 Pour répondre à la seconde interrogation, on pose : 6,7 100 80,4

x

6,7 x = 80,4 × 100 6,7 x = 8 040 8 040 6,7

x =

x = 50,25 litres

x = 1 200 kilomètres.

b) Pour préparer un cocktail de jus de fruits, il faut 2, 5 litres de jus d’orange pour 7 litres de cocktail - Combien peut on préparer de cocktail avec 8 litres de jus d’orange ? - Pour 12 litres de cocktail, combien faut-il de jus d’orange ?

2,5

7

8

x

2,5 x =

7 x 8

2,5 x = 56 x = x

=

56 2,5 22, 4 litres de cocktail.

2,5

7

x

12

7x = 2,5 × 12 7x = 30 x=

30 7

x ≈ 4,3 litres de jus d’orange.

IV - POURCENTAGES, TAUX D’ÉVOLUTION Ce sont aussi des proportionnalités, mais elles sont très adaptées à notre perception. En effet, nous avons tous appris le calcul en base 10. On parle de système décimal et nombre de nos outils sont basés dessus : la monnaie, les distances, les poids, etc. Le rapport est dans ce cas de 100 et on parlera donc de pourcentage. Nous y sommes très habitués. Vérifions le sur cet exemple : • 212 427 personnes parmi 348 765 interrogées pensent que… Reconnaissons que cela ne nous parle pas franchement. Par contre si on nous dit que parmi 348 765 personnes interrogées, 60, 9 % pensent que… nous y voyons déjà un peu plus clair ! Or il s’agit de la même proposition mais présentée sous une forme proportionnelle (pourcentage) que nous percevons mieux.

54


a) La TVA est une taxe qui s’applique à l’ensemble des produits ou services vendus. Le taux général est actuellement de 19,6 %. Cela veut dire que l’on applique ce taux à un prix hors taxes (HT) et qu’on lui ajoute ce résultat pour aboutir au prix TTC (Toutes taxes comprises). Prix hors taxes = 100 TVA = 19, 6 Prix total TTC = 119,6 On pourrait bien sûr établir un tableau de proportionnalité entre des prix HT et des prix TTC. On travaillera avec un rapport k qui nous permettra de passer très facilement de l’un à l’autre. Ce rapport sera tout simplement de 1,196 (100 % + 19, 6%) Nous obtenons donc : Prix HT × 1,196 = Prix TTC

Ou encore

Prix TTC 1,196

= Prix HT

• Vérifions sur un tableau comprenant quelques prix en euros. Prix HT (€)

20

20,90

22,10

22,58

Prix TTC (€)

23,92

25

26,43

27,01

b) Depuis le début ce siècle, nous utilisons une monnaie qui a remplacé le franc. Le taux de change entre ces deux monnaies est le suivant : 1 € = 6,55957 F - A quel prix en euros a été acheté un bien immobilier payé 752 000 F en 1999 ? - Un salarié perçoit une rémunération de 1 640 €. Combien percevrait-il en francs si cette monnaie existait encore ? 752 000 - Prix du bien immobilier en euros : = 114 641, 66 € 6,55957 - Salaire correspondant en Francs : 1 640 × 6,55957 = 10 757,69 F Nous pouvons dresser un tableau de proportionnalité : F

10 757, 69

752 000

1 000 000

6 559 570

1 640

114 641, 66

152 449, 02

1 000 000

V - LES ÉCHELLES OU FORMATS Ce sont des outils simples qui permettent selon le besoin d’agrandir ou de réduire des dimensions chiffrées. Un bon exemple est la carte géographique ou routière que nous utilisons pour nos déplacements. Il y a sur ces documents un rapport proportionnel entre les distances lues sur la carte et les distances réelles qu’elles représentent. Nous choisissons le rapport (l’échelle) qui nous convient selon notre déplacement. Pour une randonnée pédestre, une échelle au 20 000ème sera plus utile et surtout beaucoup plus précise que la carte au 1 200 000ème que nous consulterons pour joindre Brest à Nice. La carte au 20 000ème met en correspondance 1 cm sur la carte avec 20 000 cm dans la réalité soit 200 mètres alors que celle au 1 200 000ème fait correspondre 1 cm et 12 kilomètres.

55


Prenons pour exemple une carte régionale à l’échelle 1 / 150 000 ou encore au 150 000ème. - Quelle sera la longueur sur cette carte entre deux villes situées à 42 km l’une de l’autre ? Deux sites touristiques sont éloignés de 3,5 cm sur la carte. - A quelle distance se trouvent-ils dans la réalité ? 42 000 = 0,28 mètre soit 28 cm entre les deux villes sur la 150 000 carte 3,5 × 150 000 = 525 000 cm = 5,25 km entre les deux sites touristiques. Nous pouvons compléter ce tableau de proportionnalité concernant cette carte : Distance sur la carte (cm)

1

3, 5

28

66, 67

Distance réelle ((km)

1, 5

5, 25

42

100

Un plan d’architecte est à l’échelle 1/50 ou au 50ème. - Quelles dimensions aura une salle de séjour de 6,5 m × 4 m sur ce plan ? Le terrain sur lequel est construit cette maison est un rectangle de 60 cm × 44 cm sur le plan. Quelles ont ses dimensions réelles ? Réponses proposées :

Séjour

7 cm × 13 cm

8 cm × 13 cm

9 cm × 12 cm

Terrain

22 m × 30 m

25 m × 30 m

25 m × 32 m

VI - LES INDICES SIMPLES

Un indice est un nombre que l’on utilise pour comparer deux situations distantes dans le temps. Il permet de visualiser très simplement l’évolution de cette situation au cours du temps entre deux ou plusieurs dates. C’est une fois de plus un coefficient de proportionnalité qui est utilisable par tous et dans de nombreuses situations. • Prenons un exemple que chacun comprendra puisqu’il nous concerne tous. Un loyer est une valeur qui varie au cours du temps et il convient de le réajuster périodiquement, généralement chaque année. Pour réactualiser le montant d’un loyer, le propriétaire ne fait pas ce qu’il veut, il utilise le plus souvent un indice calculé par les professionnels de l’immobilier

56

et du bâtiment que l’on nomme l’ I.R.L (Indice de référence des loyers) De cette manière, l’évolution que fera subir le propriétaire à son loyer ne pourra pas être contestée par le locataire car c’est une évolution reconnue officiellement.


Cet indice IRL était de 115,12 pour le loyer de départ d’un logement (410 €). Un an plus tard, l’indice constaté est de 117,70. On peut donc procéder au réajustement suivant : Le coefficient de réajustement =

117,70 = 1,0224 115,12

Le nouveau loyer sera donc de : 410 × 1,0224 = 419,18 € C’est ainsi que font des millions de propriétaires chaque année. L’indice est fiable (on peut lui attribuer notre confiance) car il est calculé à partir de données professionnelles telles que le coût horaire de main d’œuvre, le prix des matériaux de construction, les charges d’entretien… Nous pouvons une nouvelle fois mettre en place un tableau de proportionnalité à partir de cet indice : Montant du loyer à la date de l’indice 115,12 (en €)

300

410

480

600

Montant du loyer à la date de l’indice 117, 70 (en €)

306,70

419,18

490,75

613,44

Il existe de nombreux indices qui gèrent notre quotidien mais le plus souvent, on nous fournit des indices qui ne font que mentionner une évolution déjà constatée comme l’indice boursier qui nous donne des nouvelles de la santé du monde financier, l’indice des prix ou celui du coût de la vie. Ils servent aux décideurs pour orienter leur action. L’indice des prix rentre pour une part non négligeable dans les augmentations périodiques du SMIC. Certains indices fonctionnent cependant comme l’I.R.L que nous venons de voir : - L’indice des salaires de la fonction publique - Certaines allocations ou retraites. Donc, généralement, un indice sert à faire évoluer une valeur de manière uniforme sur le plus grand nombre et permet de minimiser les erreurs et les contestations.

VII - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE PROPORTIONNALITÉ Nous le verrons encore dans d’autres chapitres de ce manuel, les proportionnalités correspondent à des fonctions usuelles que l’on nomme fonctions linéaires. Leurs tracés sont des droites qui passent par le point d’origine du repaire. Elles représentent deux grandeurs liées par un coefficient de proportionnalité que l’on nommera graphiquement coefficient directeur de la droite. • Utilisons un exemple pour visualiser cette représentation. En sciences physiques, nous verrons que l’unité utilisée pour l’énergie est le Joule. Mais nous connaissons une autre unité qui est la Calorie. Elles sont liées par la relation suivante : 1 calorie = 4,18 joules Traçons le graphe de cette relation (fonction) entre la calorie et le joule. Nous plaçons en abscisse les calories et en ordonnée les joules dans le premier repaire et dans le second, nous ferons l’inverse :

57


joules 30 Calories x

0

5

Joules y

0

20, 9

20 10

k = 4,18

ort

p Pro 1

ali

n ion

2

3

4

5

6

calories

7

calories Joules x

0

8,36

Calories y

0

2

k=

3 2

1 4,18

é

nalit

tion opor

1

Pr

1

2

3

4

5

6

7

joules

8

La vitesse de la lumière est de 300 000 kilomètres par seconde. La lune se situe à 360 000 kilomètres de la Terre. Le soleil est plus loin, à 150 millions de kilomètres. - Traçons le graphe représentant la distance parcourue par la lumière en fonction du temps. Nous pouvons tracer à partir de deux points : 150

Distance en millions de km

Temps en secondes

0

500

Distance en millions de kilomètres

0

150

100

50

60

58

120

180

240

300

360

420

480

500

Temps en secondes


Un rayon lumineux met donc 8 minutes et 20 secondes pour nous parvenir. C’est-à-dire que si le soleil venait à disparaître, nous nous en rendrions compte plus de 8 minutes après. En revanche, la lumière de la lune nous parvient en beaucoup moins de temps : 360 000 = 1,2 seconde. 300 000 Elle est notre plus proche voisine, nous le savons bien !

VIII - LE PARTAGE PROPORTIONNEL Il est souvent question dans la vie courante de répartir les sommes, les biens ou les objets selon des critères définis avec précision. Prenons le cas de trois associés qui partagent le bénéfice réalisé sur une année d’exercice. La répartition se fait en proportion des apports au capital de chacune des associés. André avait apporté 94 500 €, Bernard 73 500 € et Chloé 42 000 €. Le bénéfice à répartir est de 12 600 €. Les parts seront ainsi définies : A 94 500

=

B 73 500

=

Si nous calculons le coefficient k.

C 42 000 k=

=

12 600 210 000

A représente la part perçue par André, B celle de Bernard et C celle ce Chloé. Le total de leurs apports est de 210 000 €.

12 600 = 0,06 210 000

A = 0,06 × 94 500 = 5 670 € B = 0,06 × 73 500 = 4 410 € C = 0,06 × 42 000 = 2 520 € Total

12 600 €

Voila comment s’établit un partage proportionnel. a) 4 camarades jouent ensemble à un jeu de tirage au hasard. Ils misent respectivement 5 - 8 - 4 et 3 euros. Ils gagnent 4 800 € lors d’un tirage. • Comment se les partagent-ils proportionnellement à leurs mises ? Réponses proposées 640 € ; 720 € ; 860 € ; 940 € ; 960 € ; 1 200 € ; 1 620 € ; 1 920 € b) Une prime annuelle d’objectif de 33 936 € est versée dans une entreprise selon le critère suivant. Elle est proportionnelle au salaire moyen. - Les 42 ouvriers ont un salaire moyen de 1 300 € Réponses proposées - Les 17 employés ont un salaire moyen de 1 450 € - Les 8 techniciens et contremaîtres ont un salaire moyen de 1 850 € 398 € ; 416 € ; 464 € ; - Les 5 ingénieurs et cadres ont un salaire moyen de 2 400 € Calculons le montant des primes perçues individuellement dans chacune des catégories.

522 € ; 592 € ; 624 € ; 768 €

59


IX - EXERCICES D’APPLICATION

Compléter le tableau de proportionnalité suivant et indiquer le rapport k. a

4, 375

7, 5

b

14

6

8

16, 7

Réponses proposées : (k = ) 1,2 ; 1,25 ; 1,3 ; 1,35

Compléter le tableau de proportionnalité suivant et indiquer le rapport k

a

17, 4

b

12

25, 13

20

27, 84

26, 5

Réponses proposées : (k = ) 0,8 ; 0,82 ; 0,87 ; 0,90

Indiquez quels tableaux représentent des suites proportionnelles parmi les suivants : a

6, 944

8, 463

9, 982

12, 803

b

3, 2

3, 9

4, 6

5, 9

a

13, 44

16, 20

18, 24

21, 6

b

5, 6

6, 8

7, 6

9

a

1, 98

2, 7

3, 46

3, 984

b

6

8,2

10, 5

11, 8

a

256, 52

1 246, 3

2 601, 5

3 993

b

2, 12

10, 3

21, 5

33

Réponses proposées : (k = ) 1,56 ; 2,17 ; 2,4 ; 3,03 ; 121

Indiquez quels tableaux représentent des suites proportionnelles parmi les suivants :

60

a

2

12

16

28

b

0, 5

3

4

7

a

16

20

32

40

b

8

10

17

20

Réponses proposées : (k = ) 1,23 ; 2 ; 3 ; 4 ; 10 ; 11,3

a

99, 8

162

180

212

b

9, 9

16, 2

18

21, 2

a

2, 46

10, 455

20, 91

28, 29

b

2

8, 5

17

23


Rechercher la quatrième proportionnelle dans les tableaux suivants : 11

8

3

x

x

3

12

6

Réponses proposées :(x = )

x

2

2

12

20

4

8

x

2, 75 ; 3 ; 4 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20

Rechercher la quatrième proportionnelle dans les tableaux suivants : 4

7

8,5

x

22,2

8

x

17,3

Réponses proposées :(x = )

2,8

x

3

6

x

3,6

6,6

6

4,9 ; 5,4 ; 9,99 ; 11,2 ; 17 ; 19,03

Un tuyau d’arrosage débite 27 litres d’eau par minute. - Combien de temps faudra-t-il pour remplir un bassin de 450 litres ? - Quel volume d’eau aura-t-on rempli en 8 minutes et 45 secondes ? Réponses proposées (temps)

12 min 30 sec

16 min 40 sec

18 min 22 sec

21 min 10 sec

(Volume)

212,4 l

225,65 l

236,25 l

242,50 l

Un peinture affiche : 2,5 litres pour 18 m² - Quelle quantité sera nécessaire pour peindre 35 m² ? - Avec un pot de 30 litres, quelle surface pourra-t-on peindre ? Réponses proposées (quantité)

3,64 l

4,17 l

4,86 l

5, 18 l

8,65 l

(Surface)

180 m²

197 m²

212 m²

216 m²

226 m²

Un véhicule consomme 12 litres en circulation urbaine, 7,5 litres sur route et 10 litres sur autoroute. (Consommations pour 100 km de parcours). - Quelle distance parcoure-t-on avec 26,2 litres en ville, sur route et sur autoroute ? - Ce véhicule effectue un parcours composé de 653 km d’autoroute, 210 km de route et de 72 km de ville. - Quelle sera la consommation totale (arrondie au litre près) sur ce parcours ? Réponses proposées (distance)

218,3 km

262 km

321,3 km

349,3 km

(Consommation)

75 l

78 l

90 l

102 l

61


Effectuez les calculs suivants (arrondi à 0, 01 près) - 123 augmenté de 13, 4% - 210 diminué de 5, 5% - 172 augmenté de 11, 5% - 13, 4 % de 185 - 129 diminué de 2, 5%

Réponses proposées 24,79 ; 125,78 ; 139,48 ; 191,78 ; 198,45

Effectuez les calculs suivants (arrondi à 0, 01 près) - 217 % de 23 - 139 diminué de 22, 6 % - 252 augmenté de 132 % - 21, 1 % de 615 - 62 % de 72

Réponses proposées 44,64 ; 49,91 ; 107,59 ; 129,77 ; 584,64

Le dollar US s’échange au cours de : 1 € = 1,38 $ - Quelle somme obtient-on en dollars avec 2 130 € ? - On veut changer 735 dollars US en €, combien en retire-t-on ? Réponses proposées (dollars US)

2 220,54

2 939,40

2 410,55

2 703,15

(€)

388,57

412,45

463,87

532,61

Le yuan chinois varie autour de 11 centimes d’euro. - Combien faut-il de yuans pour obtenir 13 € ? - Avec 4 217 yuans, quelle somme obtiendrons-nous en euros ? Réponses proposées (Yuans)

103,4

109,23

118,2

124,12

131,23

(€)

432,89

445,54

463,87

467,31

472,56

Une photographie représente des personnages. (Un homme, sa femme et leur enfant) • Sur la photo, l’enfant mesure 4,7 cm, l’homme 7 cm et sa femme 6, 2 cm. - En réalité, l’homme mesure 1, 82 m. - Quelles ont les tailles réelles de la maman et de l’enfant ? Réponses proposées :

62

(Taille mère)

1,58 m

1,60 m

1,61 m

1,63 m

(Taille enfant)

1,18 m

1,19 m

1,20 m

1,22 m


cm.

Réponses proposées

Sur une carte au 45 000ème, deux intersections sont distantes de 11,3

3,815 km ; 5,085 km ; 7,615 km ; 9,310 km

- Quelle distance réelle les sépare ?

Réponses proposées

Sur une carte au 60 000ème, deux villages distants de 12 km sont représentés.

5 cm ; 12 cm ; 20 cm ; 24 cm ; 32 cm

- Quelle distance à l’échelle mesure-t-on sur la carte ?

Un directeur de magasin demande au personnel de procéder à l’étiquetage de nouveaux prix. Les anciens et nouveaux prix tiennent compte de l’évolution de l’indice de la chaîne du magasin. Il est passé de 1 401 à 1 429. - Complétez le tableau des prix suivant : Ancien prix (€) Indice 1 401

2,35

7,12

12,50

Nouveau prix (€) Indice 1 429

8,47

Calculez les indices de ces secteurs de distribution entre deux périodes. Secteur

Agro-alimentaire

Indice période 1

1 034,1

entretien

Hifi-vidéo

724,2

Indice période 2 Evolution indice

Electro-ménager

803,2 + 2,6 %

951,7

- 1,09 %

+ 3,42 %

+ 7,34 %

Complétez le tableau suivant qui suit les évolutions d’indices sur 2 périodes. indice

A

B

Période 1

1 013,4

732,4

Période 2 évolution

751,3 + 1,69 %

C

D

E

1 810,6

1 080,7

812,0 + 2,4 %

999,9 - 2,27 %

Etablir le graphe de la relation de proportionnalité suivante : x

5, 4

10, 25

y

12,798

24,2925

Réponses proposées : (k = ) 2,21 ; 2,34 ; 2,37 ; 2,52

63


Etablir le graphe de la relation de proportionnalité suivante : Réponses proposées : (k = )

x

5

11

y

-8

- 17,6

-1,2 ; -1,35 ; -1,60 ; 1,6

Dans une exploitation, on trouve des fruits proposés aux tarifs suivants : Sac de 2,5 kg = 7,75 €

Sac de 6 kg = 18,6 €

- Quel sera le prix de 10 kg de ces fruits ? - Avec 15,50 €, combien de kilos fruits peut on acquérir ?

Un coureur de fond effectue un trajet à vitesse régulière. • En 2 h 15 m il a déjà parcouru 18 km. - Combien de temps met il pour effectuer 14 km ?

On partage les excédents d’une récolte entre les ramasseurs et les cueilleurs en fonction du temps de travail effectué par chacune de ces 6 personnes. • Le total des excédents à partager est de 183 kg. Compléter le tableau suivant : Nom du récolteur

Anaïs

Brice

Carla

Didier

Erwan

Fanny

Temps de travail (h)

11

18

30

15

20

28

Part récupérée

Un père attribue à ses trois enfants une somme mensuelle d’argent de poche en fonction du carré de leur âge.(si, si, ça existe un père comme ça !). • Ils ont respectivement 9, 13 et 16 ans. Le budget du père est des 100 € - Calculez la somme qui reviendra mensuellement à chacun des trois enfants.

64


chapitre VI

Beaucoup de situations se présentent à nous que nous pouvons résoudre très simplement à condition toutefois de savoir les transposer mathématiquement. C’est souvent l’aspect de la démarche qui nous semble le plus difficile car le reste est simple et «technique». Nous avons tous entendu nos aînés parler de problèmes de trains et de robinets qui les ont tant marqués dans leur enfance. Nous n’en sommes plus là mais les outils existent toujours. Ils sont peu nombreux mais il faut cependant bien les maîtriser pour s’assurer de réussir. Nous allons les découvrir ou les revoir dans ce chapitre.

I - FACTORISATION Pour simplifier de nombreuses expressions, il convient de les factoriser (Mettre sous forme d’un produit de facteurs). Cela rend souvent l’expression plus simple dès le départ de notre étude. • Prenons quelques exemples : a) (x + 2) (x - 3) - (2x + 1) (x + 2) ↑ ↑ On peut ici mettre en facteur le binôme (x + 2). Cela donne : (x + 2) [ (x - 3) - (2x + 1) ] Si nous développons l’expression entre les crochets, nous obtenons : (x + 2) (x - 3 - 2x - 1) (x + 2) (- x - 4) On doit reconnaître que cette expression est plus simple et beaucoup plus courte que la proposition initiale. b) 3 (x - 2) + (x² - 2x) Dans cet exemple, il convient tout d’abord de réaliser que le second membre de l’expression peut être factorisé par «x». Cela donne : 3(x - 2) + x (x - 2). Nous pouvons de nouveau factoriser par le binôme (x - 2) → (x - 2) (3 + x).

65


c) 4x + 3 - (x + 2) (4x + 3) Attention à cet exemple ! Il fait chuter beaucoup de monde, mais pas nous ! En effet, il faut lire cette expression comme si elle s’écrivait : 1 (4x + 3) - (x + 2) (4x + 3) Posons le binôme (4x + 3) en facteur : (4x + 3) [1 - (x + 2) ] (4x + 3) (1 - x - 2) (4x + 3) (- x - 1) Nous venons de vérifier qu’il est très utile de factoriser afin de rendre les expressions plus simples et/ou plus courtes. Nous devons aussi nous souvenir des identités remarquables qui vont nous permettre de réussir rapidement un grand nombre de factorisations. 1) (a + b)² = a² + 2 ab + b²

LES IDENTITES REMARQUABLES*

Ex : (3x + 2)² = 9x² + (2 × 3 × 2) x + 2² (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4

(a + b)² = a² + 2 ab + b²

2) (a - b)² = a² - 2 ab + b²

(a - b)² = a² - 2 ab + b²

Ex : (2x - 3)² = 4x² - (2 × 2 × 3)x + 3²

a² - b² = (a + b) (a - b)

(2x - 3)² = 4x² - 12x + 9

3) a² - b² = (a + b) (a - b)

* A savoir par coeur

Ex : (2x - 1)² - 9 = [ (2x - 1) + 3 ] [ (2x - 1) - 3] (2x - 1)² - 9 = (2x - 1 + 3) (2x - 1 - 3) (2x - 1)² - 9 = (2x + 2) (2x - 4) Il faudra toujours rester vigilants car ces identités doivent être «remarquées» pour nous être utiles. Factoriser les expressions suivantes : E1 = 4x² - 4x + 1

Réponses proposées :

E2 = 9x² - 12x + 4 E3 = (2x + 3)² - 4x² + 9 E4 = - x² + (x - 3)² E5 = - (x - 3) + 2 (3 - x) E6 = (x + 2)² - 4 (x + 2) (x - 1)

66

(x + 2) (6 - 3x) 6 (2x + 3) ; (2x - 1)² ; - 3 (2x - 3) ; 3 (3 - x) ; (3x - 2)²


II - LES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Ce sont des égalités qui mettent en situation une variable inconnue «x» dont nous devons retrouver la valeur. Par exemple : 5x - 4 = 3x + 2

5x - 3x = 2+4

2x = 6

x=

6 =3 2

Nous nous souvenons de la méthode qui consiste à placer les «x» d’un même côté de l’équation et les valeurs numériques de l’autre en portant attention aux changements de signe lors du franchissement du signe « = »

«x = 3» est la solution de cette équation.

Quelquefois les équations sont plus longues à résoudre car il faut d’abord les factoriser pour simplifier ou au contraire, il faut les développer avant de simplifier. • Voyons trois exemples : (3x + 2) (x - 3) = (3x + 2)² 1) Mettons tous les binômes du même côté de l’équation : (3x + 2) (x - 3) - (3x + 2)² = 0 2) Factorisons par (3x + 2) : (3x + 2) [(x - 3) - (3x + 2)] = 0 (3x + 2) (x - 3 - 3x - 2) = 0 (3x + 2) (- 2x - 5) = 0 • Cette équation du second degré se trouve maintenant ramenée à un produit de deux bînomes du premier degré 3x + 2 = 0 3x = - 2 -2 3 x=- 2 3

ou

x =

- 2x - 5 = 0 - 2x = 5 5 -2 5 x=2

Nous nous souvenons : « Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et suffit qu’un seul des facteurs soit nul».

x= et

sont les solutions de cette équation.

La difficulté réside davantage dans la transposition sous forme mathématique d’un problème concret que dans la résolution de l’équation qui ne pose guère de problème. Etudions quelques exemples pour vérifier : • On dispose de 80 mètres de banderole publicitaire pour entourer le parc à vélos d’un triathlon. On souhaite que ce parc soit rectangulaire et que sa longueur soit 12 mètres plus grande que sa largeur. On prévoit de laisser deux «portes» sans banderole (entrée et sortie des vélos) de 2 mètres de large chacune. Quelles vont être les dimensions de ce parc ?

67


On décide tout d’abord du choix de la variable inconnue «x». Nous maintiendrons ce choix tout au long du travail jusqu’à la solution. Si nous choisissons x = longueur, nous obtenons : largeur = x - 12 1) Le périmètre sera :

2 [x + (x - 12)] 2 (x + x - 12) 2 (2x - 12) 4x - 24

2) Si on enlève les deux portes de 2 mètres, nous obtenons : 4x - 24 - 4 4x - 28 = 80 4x = 80 + 28 4x = 108 108 x= = 27 → (27 mètres) 4

Le parc fera donc 27 mètres de long, 15 mètres de large (27 - 12) et il aura ses deux portes sans banderole.

• Un père a trois enfants. La somme de tous leurs âges est de 72 ans. L’âge du père est le double de la somme de ses trois enfants. Le second a le double du dernier et l’aîné a 4 ans de plus que le second. Quels sont les âges de ce papa et de ses enfants ? Choix de «x»........................ x = âge du dernier L’âge du second devient....... 2x L’âge de l’aîné devient......... 2x + 4 La somme des âges des trois enfants : x + 2x + 2x + 4 = 5x + 4 L’âge du père :...................... 2 (5x + 4) La somme des âges :............ 2 (5x + 4) + (5x + 4) = 3 (5x + 4) 15x + 12 = 72 15x = 72 - 12 15x = 60 60 x= = 4 ans 15 Le dernier a 4 ans, le second a 8 ans, l’aîné a 12 ans et le père a 48 ans. a) On souhaite clôturer deux terrains non mitoyens dont le premier est rectangulaire. Sa longueur est le double de sa largeur. Le second terrain est de forme carrée avec le côté qui vaut 20 mètres de moins que la largeur du premier terrain. On dispose de 500 mètres de clôture et tout doit être utilisé. Quelles peuvent être les dimensions des terrains clôturés. Réponses proposées

68

Côté du carré

32 m

38 m

42 m

54 m

Largeur du rectangle

58 m

62 m

74 m

83 m


b) Une somme est partagée entre trois associés en fonction de leurs apports respectifs. Claude reçoit le triple d’Aline et le double de Benoît. Le total de la somme représente 4 500 € de plus que ce que reçoit Aline. Quel est le montant de la somme à partager ? Réponses proposées : 3 500 € ; 4 500 € ; 5 500 € ; 7 500 € c) Un automobiliste effectue le quart de son trajet et fait une pause. Puis il parcourt le tiers de ce qui lui reste avant de déjeuner. Il roule encore une demi-heure à 90 km/h et il termine ensuite les 75 derniers kilomètres du parcours. Quelle est la distance totale parcourue ? Réponses proposées :180 km ; 240 km ; 320 km ; 360 km

d) Lors d’un suffrage, la première candidate obtient 15 % des votes. Le second a réalisé 5 250 voix de plus. La troisième candidate a réuni sous son nom 8 400 électeurs, soit 8 fois plus que le quatrième candidat. Quel est le nombre de bulletins exprimés lors de ce suffrage ? Réponses proposées : 11 400 ; 13 800 ; 19 100 ; 21 000

III - LES INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Elles sont très simples à résoudre et il faut se souvenir de la règle du changement de sens que nous allons revoir.

Une inéquation peut se présenter sous quatre formes :

a < b «a plus petit que b» a > b «a plus grand que b» a ≤ b «a plus petit ou égal à b» a ≥ b «a plus grand ou égal à b» Exemple : si nous avons l’inéquation suivante : 2x > 8 Nous pouvons effectuer comme pour une équation : x > 8 2

x>4

En effet, pour y parvenir, nous avons du diviser les deux membres de l’inéquation par 2 qui est une valeur positive. Ce ne sera pas le cas si nous devons diviser par une valeur négative. Nous devrons alors changer le sens de l’inéquation.

69


Par exemple : - 3x > 9 -3x 9 < -3 -3

Changement de sens de l’inéquation : > devient <.

x < -3 4x - 9 < 3 + 6x x + 4 ≥ 5x + 7 2 4 x + (x + 2)² > (x + 1) (x - 1) 2 (x + 4) - 3x (x - 2) ≥ - 3 (x + 2) (x - 2)

Réponses proposées x≤-4 ; x≤-1; x≤0 x≥-1 ; x>-2 ; x>-6

En dehors du changement de sens de l’inéquation, la résolution répond aux mêmes exigences que celles nécessitées par les équations. Des problèmes concrets peuvent aussi être transposés sous forme d’inéquations. Voyons deux exemples : a) Un étudiant considère son budget mensuel de 110 €. Il décide qu’après avoir dépensé une certaine somme pour l’alimentation et le double pour les loisirs, il doit au moins conserver une somme de 29 € pour ses transports après avoir tenu compte de son abonnement téléphonique de 15 €. Posons «x» comme prévision alimentaire. Les loisirs deviennent : 2x L’inéquation devient : 110 - (x + 2x + 15) ≥ 29 - 3 x ≥ 29 - 110 + 15 - 3x ≥ - 66 - 66 x ≤ -3 x ≤ 22 €. Il ne devra pas dépenser plus de 22 € en alimentation et 44 € en loisirs. Il pourra toujours dépenser moins, bien sûr. C’est le sens du signe « ≤ ». b) Un appareil se transporte démonté en 3 caisses. Une caisse A pèse 125 kg et les deux autres caisses B et C contiennent des parties identiques de l’appareil et pèsent 175 kg chacune. On souhaite transporter le maximum d’appareils complets dans un camion qui peut recevoir 18 tonnes de fret. Soit «x» le nombre de caisses A transportées. Les caisses B et C seront au nombre de 2x On se souvient que 18 tonnes, cela correspond à 18 000 kg. L’inéquation devient : 125x + 2x × 175 ≤ 18 000 125x + 350x ≤ 18 000 475x ≤ 18 000

70

18 000 475

x ≤

x ≤ 37, 89

On ne pourra donc transporter que 37 appareils complets.


Un championnat représente pour une équipe 38 matchs. Le coach estime que lorsque son équipe ne gagne pas, elle réalise autant de matchs nuls que de défaites. Pour se maintenir dans cette division et ce championnat d’une année sur l’autre, il faut gagner 42 points au minimum. Une victoire = 3 points Un match nul = 1 point Une défaite = 0 point Quel nombre de match minimum l’équipe devra-t-elle remporter pour atteindre ce score ? Réponses proposées : x = 8 ; x = 9 ; x = 10 ; x = 11

IV - RÉSOUDRE GRAPHIQUEMENT UNE INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ Si nous avons à résoudre une inéquation ne comportant que de termes du premier degré, nous pouvons aussi répondre au moyen d’un graphe qui correspond à visualiser la position relative de deux droites affines ou linéaires. («au dessus de» ou «au dessous de»). Prenons un exemple simple pour vérifier : - 2x + 2 ≥ 0,5x - 3 - 2x - 0,5x ≥ - 3 - 2 - 2,5x ≥ - 5 -5 - 2,5

x ≤

x ≤ 2

y 4

Graphiquement nous obtenons les deux droites dont nous trouvons les points nécessaires :

3 2

D1 qui représente y = - 2x + 2 x

0

3

y

2

-4

1

-4

-4

0

y

-5

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

x

-1

D2 qui représente y = 0,5x - 3 x

-3

-2 -3

Nous retrouvons D1 au dessus de D2 avant l’abscisse x = 2. Cela correspond à notre solution trouvée par le calcul x ≤ 2

-4

D2

-5

D1

71


a) 2x + 3 ≤ x - 3 b) x + 2 ≥ 2x - 4 c)

4 1 x- 4 ≤ x- 1 3 3

Réponses proposées : x ≤ -6 ; x ≤ 3 ; x ≥ - 2 ; x ≥ - 3 ; x ≤ 6 Quelquefois, nous pouvons résoudre de manière très simple l’inégalité entre deux propositions, même lorsqu’il ne s’agit pas de deux droites. • Choisissons deux exemples : a)

1 ≤ 2x + 1 x

Ici nous retrouvons la fonction inverse

1 et une droite d’équation y = 2x + 1 x

L’inéquation propose que la courbe représentative de la fonction inverse soit au dessous de la droite ou qu’elle l’intercepte. Traçons sur un même graphe les deux fonctions. 1 x

ƒ1(x) =

ƒ2(x) = 2x + 1

x

-4

-2

-1

- 0,5

0,5

1

2

4

x

-2

1

ƒ1(x)

- 0,25

- 0,5

-1

-2

2

1

0,5

0,25

ƒ2(x)

-3

3

y 3

On vérifie sur le graphe que la droite est au dessus de la courbe pour les valeurs situées dans les intervalles :[- 1 ; 0[ et [0,5 ; + ∞[

2,5

2 1,5

1 0,5

ƒ1(x)

-5 •

-4

-3

-2

O

-1 - 0,5

• -1 - 1,5 -2 • -2,5

ƒ2(x)

72

-3

1

ƒ1(x)

2

3

• 4

x


b) x² + x + 1 ≥ 2x + 3 Ici, il s’agit d’une courbe parabolique représentant la fonction du second degré qui devra se situer au dessus de la droite affine. ƒ1(x) = x² + x + 1

ƒ2(x) = 2x + 3

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

-2

3

ƒ1(x)

7

3

1

1

3

7

13

ƒ2(x)

-1

9

y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

x

-1 -2

Ici nous observons l’ensemble des réponses à cette inéquation. S = ] - ∞ ; - 1] ∪ [2 ; + ∞[

73


a)

3 ≥-x+2 x

Réponses proposées : ]0 ; + ∞ [

b) x² + 3x - 1 ≥ x + 2

] - ∞ ; 0[

] - ∞ ; -3] ∪ [ 1 ; + ∞ ]

7 3 ]-∞;- 2 ] ∪ [ 2 ; +∞[

V - SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Il s’agit de résoudre deux équations du premier degré à deux inconnues. Ces deux équations fonctionnent ensemble, c’est-à-dire que les variables «x» et «y» contenues dans les deux propositions ont les mêmes valeurs. Ce sont les solutions du système. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ces systèmes, les deux méthodes algébriques et la méthode graphique. Elles se complètent et on peut les utiliser indifféremment. Ce système représente en fait deux droites sur un même graphe et les coordonnées de leur point d’intersection (si elles se coupent) correspondent aux solutions algébriques du système. • Voyons successivement les trois méthodes utilisées pour résoudre le même système.

{

y+1=x 3x - 7 + y = 0

Il est nécessaire d’ordonner les deux propositions de la même manière avant d’effectuer les calculs. On choisira pour simplifier la forme suivante : ax + by = c

{ -3xx ++ yy == 7- 1

Ce système devient :

a) Méthode par addition Elle propose d’éliminer une des deux variables lorsque l’on procèdera à l’addition des deux équations membre à membre. Ici, il suffit de multiplier la première équation par - 1 pour éliminer y.

{ {

par - 1 1) multiplier

-x+y=-1 3x + y = 7 x-y=1 3x + y = 7

2)

Si nous additionnons maintenant nous obtenons : x + 3x - y + y = 1 + 7 4x = 8 x=2

3)

Prenons cette valeur pour x dans l’une des deux équations du système : -x+y=-1 -2 + y = -1 y=-1+2 y=1

Les solutions du système : S = (2 ; 1)

74


b) Méthode par substitution

{-x3x ++ yy == -71 Isolons une des deux variables dans l’une des deux propositions, par exemple «y» dans la première équation : -x+y=-1 y= x-1

1)

Remplaçons y par cette nouvelle valeur dans l’autre équation : 3x + y = 7 3x + (x - 1) = 7 3x + x - 1 = 7 4x = 7 + 1 4x = 8 x=2

2)

Nous transposons cette valeur de x dans l’une ou l’autre des équations pour retrouver y : 3x + y = 7 3×2+y=7 6+y=7 y=7-6 y=1

Nous retrouvons S = (2 ; 1) comme avec la méthode précédente, ce qui est normal !

c) Méthode graphique Prenons chacune des équations du système et recherchons deux points afin de tracer les droites qui les représentent.

y+1 = x

y 7 6 5

x

0

1

y

-1

0

4 3

3x-7+y =0

2

x

0

1

y

7

4

(2 ; 1)

1

O

1

2

3

4

5

6

x

1

Résoudre en utilisant les trois méthodes étudiées (addition, substitution et graphe) les systèmes d’équations suivants :

{

2x - 1 = y y + 2x = - 1

{

y+x = 0 - 4x + 5 = - y

{

21 + y = 9x 2x - 1 + y = 0

Réponses proposées : (0 ; -1)

(1 ; 1)

(1 ; - 1

(0 ; 1)

(0 ; 1)

(1 ; -1)

(1 ; 2)

(2 ; - 2)

(3 ; - 2)

(3 ; 2)

(0 ; - 2) (2 ; - 3)

75


• Problème concret : Un portefeuille contient 25 billets de 5 et 20 €. Il y en a pour 350 € au total. Combien y a-t-il de billets de chaque sorte ? On doit poser le problème de la manière suivante : Si x est le nombre de billets de 5 €, alors la somme qu’ils constituent sera : 5 x Si y est le nombre de billets de 20 €, alors la somme qu’ils constituent sera : 20 y

{

Le système sera le suivant : 5x + 20y = 350 x + y = 25

Par addition ou substitution on trouvera : S = (10 ; 15)

Le graphe confirmera ces coordonnées du point d’intersection des deux droites.

VI - EXERCICES D’APPLICATION

Factoriser les expressions suivantes : a) (x + 2) (x - 3) - (4x + 2) (x + 2) b) - (x + 1) (2x - 4) + (x - 2) (4 - 2x) c) (2x - 1) (x² - 2x) - (x - 2) (x + 1) d) (3x - 4) (2x - 1) - (2x - 1)

Réponses proposées (4 - 2x)(2x - 1) ; (2x - 1) (3x - 5) ; (x + 2) (- 3x - 5) ; (3x - 4) (4x + 7) ; (x - 2) (2x² - 2x - 1)

e) (2x + 3) (3x - 4) + (6x - 8) (x + 2)

Factoriser les expressions suivantes : a) (x - 1) (2x + 1) - (1 + 2x) (1 - x) b) (x + 3) (x - 2) + (x - 2) (3 - x) c) (2x - 4) (x - 3) - (2x + 1) (4 - 2x) d) 3x + 1 - (2x - 2) (1 + 3x) e) (2x - 8) (3 - 2x) + (x - 2) (x - 4)

76

Réponses proposées (3 x + 1) (3 - 2 x) ; 6 (x - 2) ; 2 (x - 2) (3x - 2) ; (x - 4) (4 - 3x) ; 2 (x - 1) (2x + 1) ;


Factoriser les expressions suivantes : a) b) c) d) e)

9 x² + 12x + 4 25 - x² 16 - 16x + 4x² 18x² - 50 (2x + 1)² - (x² + 4 - 4x)

Réponses proposées (2 x - 4)² ; (x + 3) (3x - 1) ; 2 (3x - 5)(3x + 5) ; (3x + 2)² ; (5 - x) (5 + x) ;

Factoriser les expressions suivantes : a) (4x² + 1 - x) - 3 4 b) (x² + 2x + 4) - 3x² 4 c) x² - 1 - (2x + 1 + x²) d) 12 x² - 27

Réponses proposées : 3 (4x² - 9) - 2 (x + 1)

2 (8 - 2x) (8 + 2x) (

1 (2x - )² 2

1 x + 2)² 2

e) 128 - 8x² Résoudre les équations suivantes : 1) 2x - 9 = 3 - 2x 2) 8 + 2x = 5x - 1 3) 2 (x + 5) = 4 (3 - x) 4) 4 (2x - 1) + 3 = 8 (x - 1) + (x + 7) 5 3(x + 2) + 2 = 2 (x + 3) Résoudre les équations suivantes : 1) 2) 3) 4) 5)

2 (x + 3) - 12 = 3x - 4 2 (x - 3) - 3 (x + 2) = 6 (4 - x) + 4 3 (2 - x) - 2 (x + 3) = x - 2 + 4 (1 - x) (x - 3) - 2 (4 - 2x) = 3 (2 - 3x) - 3 2 (x + 2) - 3 (x - 1) = 2x - 3 + 2 (4 - x) Résoudre les équations suivantes :

1) 2) 3) 4) 5)

(2x + 1) (x - 2) = (x - 2)² (x - 3) (x + 2) = 9 + x² - 6x x² - 1 = 1 = x² + 2x 2x² + 12x + 18 = x² - 9 x² - 12 = (x + 4)² + 4

Réponses proposées : x=-2 x=3 x=0

1 x= 3 x=3

Réponses proposées : x=8 x=1 x=-1

x=-2 x=2

Réponses proposées : x=-1 (x = - 3 et x = 2) x=3 x=-4 (x = - 9 et x = - 3)

77


Résoudre le problème suivant au moyen d’une équation que l’on posera. Un article est vendu à 200 exemplaires à son prix normal. On réalise la même recette si on baisse ce prix de 2 € car on en vend 10 de plus. - Calculez le prix initial et le montant de la recette. Réponses proposées : Prix (en euros)

40,5

42,0

45,0

46,0

Recette (en euros)

8 100

8 400

9 000

9 200

Résoudre le problème suivant au moyen d’une équation que l’on posera. Un rectangle dont la longueur correspond au double de la largeur a le même périmètre qu’un carré dont le côté est 3 mètres plus long que la largeur du rectangle Réponses proposées : - Calculez ce périmètre. Périmètre : 28 m ; 32 m ; 36 m ; 40 m Résoudre le problème suivant au moyen d’une équation que l’on posera. Une somme gagnée après un concert est partagée entre trois artistes. Le premier prend le quart de la somme, le second reçoit le tiers et le dernier se voit attribué une somme correspondant au double du premier moins 1 000 €. - Calculez la somme et les gains de chacun. Réponses proposées : Somme (€)

8 000

10 000

12 000

14 000

Gains individuels (€)

2 000

3 000

4 000

4 500

Résoudre les inéquations suivantes : a) b) c) d) e)

2x - 3 ≥ 8x + 9 4 - 2x ≤ 3x - 1 6x + 3(x - 2) ≥ 2 (x + 4) 4(x - 1) - 2 (x + 3) ≥ 3x + 2 x - 2 - 2 (2 - x) ≥ 3 (x - 1) Résoudre les inéquations suivantes :

a) 2x - 6 ≥ x - 1 b)

x 3 +2 ≤ x+1 3 2

5 000

Réponses proposées x ≤ - 12 x ≤ -4 x ≤ -2 x ≤ 3

x ≥ 1 x ≥ 2 x ≥ 3

Réponses proposées : 6 x ≤ 5 x≥ 7 x ≥ 0 x ≥ 5

c) - x - (x - 3)² ≤ (4 - x) (4 + x) Trouvez trois nombres pairs consécutifs dont la demi somme égale 30.

78

6 500


Le prix d’entrée pour un spectacle est fixé à 4 € pour les enfants et 9 € pour les adultes. Un groupe règle 210 € pour 30 personnes. - Calculez le nombre d’enfants et d’adultes de ce groupe. Résoudre les inéquations suivantes par l’algèbre et vérifier par un graphe : Réponses proposées : x ≤0 x ≤ 4 x ≥ -3 x ≤ -2 x ≥ 9 x ≥ 12

a) 2x - 3 ≤ x + 1 b) x - 1 ≤ 3x + 5 x c) x + 4 ≤ 4 ( 2 - 2)

Résoudre les inéquations suivantes par l’algèbre et vérifier par un graphe : Réponses proposées : 5 x ≤0 x ≥ 2 x ≤ -6 4 x ≤ -1 x ≤ 3

a) - 3x - 2 (x + 1) ≤ 2 (- x - 3) b) 2 (x² - 1) ≥ 3 (x + 1) x x c) 3 - 2 ≥ 4 ( 3 + 1)

Résoudre graphiquement : 1 5 x ≥ 4 x-2

Résoudre graphiquement : 3 x ≤ 3x - 8

Résoudre graphiquement : 2x² - 4x + 3 ≥ 2x - 1 Réponses proposées :

Résoudre par addition le système d’équations suivant : Réponses proposées : y - 3x + 1 = 0 (1 ; 2) (2 ; 5) 7x - 19 = - y (2 ; 2) (3 ; 4)

{

Au restaurant, deux groupes choisissent une formule «Plat du jour et / ou dessert». • Le premier groupe règle 12 plats et 10 desserts pour 148 €. • La note du second groupe est de 138 € pour 10 plats et 12 desserts. - Calculez les prix des plats du jour et des desserts.

S = ]0 ; + ∞[ S = ] - ∞ ; 1] ∪ [2 ; + ∞[ S = [1 ; 2] Résoudre par substitution le système d’équations suivant :

{

x+2=y 3x - y = 2

Réponses proposées : (1 ; 2) (2 ; 1) (2 ; 3) (2 ; 4)

Sur un parking, on compte des voitures et des «deux roues». Au total on compte 330 roues et 101 véhicules. - Combien y a-t-il de voitures sur ce parking ? Réponses proposées : 37 ; 58 ; 64 ; 68 ; 72

79


chapitre VII

A - Géométrie plane Cette partie de la géométrie concerne l’ensemble des figures usuelles que nous pouvons tracer sur un plan. Nous retrouverons ainsi la famille des triangles, des parallélogrammes, des trapèzes et le disque. Ce sont des formes usuelles que nous rencontrerons le plus souvent car il est possible d’en calculer les périmètres et les aires au moyen de formules simples.

I - LES TRIANGLES Il s’agit de polygones de trois côtés. Ils peuvent présenter des caractéristiques et porter des noms différents tels que : - quelconque (pas de caractéristiques spécifiques) - isocèle (deux côtés et deux angles égaux)

- équilatéral (trois côtés et trois angles égaux) - rectangle (un angle droit)

Voyons quelques exemples : Quelques triangles QUELCONQUES

Triangle ISOCÈLE

Triangle ÉQUILATÉRAL

A

Triangle RECTANGLE

A A

B

C

AB = AC ^ = Angle C^ Angle B

80

B

C

AB = BC = AC ^ ^ =C ^ = 60° A=B

B

C

^ = 90° (angle droit) B


Le périmètre d’un triangle se calcule en effectuant la somme de ses trois côtés. Il n’y a pas de formule pour cela. Nous pouvons cependant utiliser deux relations qui mettent en jeu les longueurs des côtés, les angles ou l’aire des triangles.

a) Formule d’Al Kaschi Formule d’Al Kaschi

^ a² = b² + c² - 2 × b × c × cos A A

c

B

b

AB = 7,2 cm BC = 10 cm AC = 9 cm ^ =? A

C

a

Si nous appliquons cette relation à ce triangle, nous posons: ^ 10² = 9² + 7,2² - (2 × 9 × 7,2 × cos A) ^ 100 = 81 + 51,84 - 129,6 cos A ^ = 81 + 51,84 - 100 129,6 cos A ^ = 32,84 129,6 cos A ^ = 32,84 cos A 129,6 ^ = 0,2534 cos A

^ = 75,3° l’angle A

A

Si nous avons un triangle dont nous connaissons un angle et 2 côtés consécutifs de cet angle, la formule d’Al Kaschi nous permet de calculer la dimension du troisième côté. ^ = 55° A AB = 5 cm AC = 7 cm BC = ?

^ a² = 7² + 5² - (2 × 7 × 5 × cos A) a² = 49 + 25 - 70 cos 55° a² = 74 - 40,15 a² = 33,85 a = 5,82 cm

c

B

b

a

C

81


1) Quel est le périmètre d’un triangle qui a un angle A de 52° et deux côtés b et c mesurant respectivement 11 et 6 cm Réponses proposées : 25,7 cm ; 28,4 cm ; 29,3 cm ; 30,7 cm 2) Quel est l’angle A dans un triangle ABC dont les côtés mesurent : a = 8 cm b = 7 cm c = 3 cm Réponses proposées : 60,6° ; 72,4° ; 80,5° ; 98, 2°

b) Formule de Héron

Formule de Héron

Aire de ABC =√ p(p - a) (p - b) (p - c)

Cette relation nous permet de mesurer l’aire de tout triangle dont nous connaissons les dimensions des trois côtés. La valeur «p» correspond au demi périmètre du triangle.

Dans le dernier exemple, nous avions : 8 ; 7 et 3 cm pour le triangle ABC. Le demi périmètre se calcule donc : L’aire de ce triangle correspond à :

8+7+3 = 2

A

9 cm

=√ 9 (9 - 8) (9 - 7) (9 - 3)

=√ 108

= 10,39 cm² 1) Calculez l’aire d’un triangle dont les trois côtés mesurent respectivement 7, 11 et 15 cm. Réponses proposées : 31,33 cm² ; 35,96 cm² ; 41,96 cm ² ; 43,12 cm² 2) Calculez l’aire d’un triangle équilatéral de 9 cm de côté.

Réponses proposées : 28,74 cm² ; 33,13 cm² ; 35,07 cm² ; 38,10 cm²

82


c) Aire d’un triangle Elle se calcule si l’on connaît la dimension de l’un des côtés et la hauteur issue du sommet opposé à ce côté. On utilise la relation suivante :

A= A

base × hauteur 2

BC + 11 cm AH = 8 cm Aire (ABC) = ?

Dans cet exemple :

B

A=

BC × AH = 11 × 8 = 44 cm² 2 2

C

H

Un triangle a pour base 13,5 cm et la hauteur issue du sommet opposé est de 18 cm. Calculez l’aire de ce triangle. Réponses proposées : 121,5 cm² ; 128,4 cm² ; 132,5 cm² ; 212,4 cm²

d) Le triangle rectangle et ses relations privilégiées • Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle en A :

B

AB² + AC² = BC ² A

C

83


A B

AB = 8,2 cm BC = 9,82 cm (hypothénuse) AC = 5,4 cm

Dans cet exemple, nous pouvons énoncer : BC² = AC² + AB² 9,82² = 5,4² + 8,2² 96,4 = 29,2 + 67,2 96,4 = 96,4

C

La réciproque de ce théorème est la suivante : Si dans un triangle, la somme des carrés de deux côtés correspond au carré du troisième côté, alors ce triangle est rectangle et l’angle opposé au troisième coté est un angle droit.

Si dans un triangle ABC nous avons : BC² = AB² + AC²

^ est droit. alors l’angle A 1) A quelle distance du sommet de la tour Eiffel se trouve-t-on lorsque l’on est à 500 m de sa base ? (hauteur de la tour : 300 m) Réponses proposées : 583,09 m ; 612,36 m ; 725,86 m ; 851,39 m. 2) À quelle hauteur une échelle de 3 m touchera-t-elle un mur si on souhaite l’écarter à sa base de 80 cm pour assurer la stabilité ? Réponses proposées : 2,17 m ; 2,34 m ; 2,61 m ; 2,89 m. A

• Le cercle circonscrit Tout triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre son hypoténuse. - On peut voir sur cette figure que le segment AO qui est une médiane issue du sommet de l’angle droit du triangle correspond au rayon du cercle. - AO mesure donc la moitié de l’hypoténuse du triangle rectangle.

84

B

O

C


On en déduit donc une réciproque de cette propriété qui est la suivante : Si dans un triangle, la médiane AO d’un des côtés mesure la moitié de ce côté, alors ce triangle est rectangle ^ en A. Il nous est alors facile de construire un triangle rectangle à partir de son hypoténuse. Il suffit de tracer la médiane égale à la moitié de cette hypoténuse, nous obtenons nécessairement un angle droit. BO = OC = AO = A’O = A’’O

A’

Donc les angles A, A’ et A’’ sont droits.

A’’ A

B

C

O

Dans cette figure, on vérifie que les angles A, A’ et A’’ sont égaux à 90°. Les points A, A’ et A’’ sont situés sur le cercle de centre O et de diamètre BC.

e) Le triangle isocèle et le triangle équilatéral Ils ont des propriétés liées au fait qu’ils présentent des côtés et des angles égaux. A

A

B’

C’ O

B

H

C

Triangle isocèle ABC AB = AC ^ ^ B=C

On remarque dans le triangle isocèle que la hauteur issue de A est aussi médiane du côté opposé BC. On parlera alors d’une médiatrice (hauteur et médiane) de BC.

B

A’

C

Triangle équilatéral ABC AB = AC = BC ^ ^ ^ A=B=C Dans le triangle équilatéral, les trois médianes sont aussi hauteurs. Leur point O d’intersection est à la fois le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit au triangle.

85


II - LES AUTRES FIGURES USUELLES a) les parallélogrammes Parallélogramme quelconque

Le carré

C’est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux mais aucun angle droit. Les angles opposés sont cependant égaux deux à deux.

C’est un polygone (plusieurs côtés) régulier (tous ses côtés et ses angles sont égaux). Il s’agit d’un quadrilatère ayant quatre angles droits et ses côtés opposés parallèles deux à deux.

A

A

B

B

AB = BC = CD = AD

AB // DC AD // BC

D

^ ^ ^ ^ A, B, C, et D sont droits.

C C

D

Le rectangle

Le losange

C’est aussi un quadrilatère ayant quatre angles droits mais ses côtés consécutifs sont inégaux. On parlera d’une longueur «L» et d’une largeur «l».

C’est un parallélogramme qui n’a pas d’angle droit mais dont les quatre côtés sont cependant égaux. Ses diagonales inégales «d1» et «d2» se coupent à angle droit.

A

L

B

l D

C

AB = DC AD = BC ^ ^ ^ ^ A, B, C, et D sont droits.

B d2 A

C

d1 D

AB = BC = CD = AD

A la suite de ces figures, retrouvons les propriétés de chacune. La liste de propriétés suivante n’est pas nécessairement exacte. A nous de ne conserver que celles qui sont exactes : 1 - Les diagonales d’un parallélogramme sont de longueurs égales. 2 - Les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires. 3 - Les côtés d’un rectangle sont égaux deux à deux. 4 - Les angles d’un parallélogramme sont égaux. 5 - Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. 6 - Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux. 7 - Les côtés d’un parallélogramme sont égaux

86


b) les trapèzes Ce sont des figures dont deux côtés opposés sont inégaux mais parallèles. Tout comme les parallélogrammes, certains d’entre eux ont des caractéristiques propres.

Trapèze quelconque A

Trapèze rectangle

B

D

H

A

B

A

D

C

Trapèze isocèle

C

AB // CD

AB // CD AB petite base CD grande base

^ ^ A et D sont droits Nous retrouvons des angles droits dans le trapèze rectangle. Ce trapèze constitue en effet la moitié d’un rectangle qui aurait pour longueur la somme de la grande base «B» et de la petite base «b».

BH hauteur

B

D

C

AB // CD AD = BC ^ ^ D = C et

^ ^ A=B

Le trapèze isocèle présente deux côtés égaux et 4 angles égaux deux à deux.

b) le disque C’est une figure que nous connaissons bien et qui se caractérise par un centre « O » et un rayon « r ».

O•

r

A

Tous les points situés à la périphérie du disque sont équidistants du centre « O ».

87


III -PÉRIMÈTRES ET AIRES DES FIGURES PLANES USUELLES Voici un tableau récapitulatif des formules de calcul des périmètres et aires des principales figures usuelles : Figure

Périmètre

Aire Base × Hauteur

Triangle

Somme des trois côtés

Parallélogramme quelconque

(Somme de deux côtés consécutifs) × 2

Base × Hauteur

Côté × 4

(Côté)²

(Longueur + largeur) × 2

Longueur × largeur

Carré

Rectangle

2

Grande diagonale × petite diagonale

Losange

Côté × 4

Trapèze

Somme des quatre côtés

Disque

Circonférence : 2 × p × r

2 (Grande Base + petite base) × Hauteur 2 p × r²

IV - UNE RICHE PROPRIÉTÉ, CELLE DE THALÈS Il s’agit en fait d’une relation de proportionnalité qui rend de grands services dans de nombreuses situations. D1 B A O

A’

B’

D2

Cette propriété de Thalès s’applique quel que soit le nombre de droites parallèles.

88

Dans cette figure, les droites AA’ et BB’ sont parallèles et elles interceptent deux droites sécantes en O, à savoir D1 et D2. Dans ces conditions, la relation de Thalès est la suivante : Si AA’ // BB’ alors : OA OA’ BB’ = = OB OB’ AA’


Ainsi dans la figure suivante :

C B A

B’

A’

Nous obtenons aussi :

AB A’B’ = AC A’C’

C’

Nous pouvons bien sûr vérifier ces relations en mesurant les segments concernés.

1) Soient deux droites D1 et D2 concourrant en O. Sur D1, OA = 4,8 cm et OB = 11,2 cm Sur D2, OA’ = 6,3 cm Quelle doit être la longueur de OB’ si nous souhaitons que AA’ soit parallèle à BB’ ? Si AA’ // BB’ =

OA OA’ = OB OB’ 4,8 6,3 = 11,2 OB’ 4,8 × OB’ = 6,3 × 11,2 OB’ =

70,56 4,8

OB’ = 14,7 cm 2) Soient deux droites D1 et D2 concourrant en O. Sur D1, OA = 3,8 cm OB = 9,5 cm Sur D2, OA’ = 2,6 cm OC’ = 9,1 cm Quelles doivent être les longueurs de OB’ et de OC pour que AA’, BB’ et CC’ soient parallèles ? La relation de Thalès nous indique :

OA OB

=

OA’ OB’

3,8 9,5

=

2,6 OB’

OB’ =

24,7 3,8

OB’ = 6,5 cm

3,8 × OB’ = 2,6 × 9,5

89


Par ailleurs :

OA OA’ = OC OC’ 3,8 2,6 = OC 9,1 3,8 × 9,1 = 2,6 × OC 34,58 = OC 2,6 OC = 13,3 cm

Nous pouvons ainsi retrouver un grand nombre de longueurs et de distances en géométrie plane. Bien évidemment, cette propriété de Thalès s’utilise dans les deux sens. Sa réciproque consiste à conclure que si cette proportionnalité est respectée dans les conditions précisées, alors les droites sont parallèles.

• Droite des milieux Dans un triangle, la propriété de Thalès se traduit par la relation suivante que l’on nomme relation de la droite des milieux. M milieu de AB N milieu de AC

A

Sur cette figure, nous avons :

AM AN 1 = = AB AC 2

Nous en concluons deux choses : =

M N

1 MN = 2 BC

et MN // BC

B

C

Dans un triangle, le segment qui rejoint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté du triangle et mesure la moitié de ce côté.

1) De quelle manière peut on diviser un triangle en quatre triangles identiques représentant chacun ¼ du triangle d’origine ? • Traçons tout simplement les trois segments milieux de ce triangle et on constate que les 4 triangles ainsi formés sont identiques.

90


2) Comment inscrire dans un triangle quelconque un parallélogramme dont l’aire corresponde à la moitié de celle du triangle ? • Il suffit cette fois de ne tracer que deux segments milieux du triangle et on constate que l’on a formé un parallélogramme représentant la moitié de l’aire du triangle.

B - Aire et volume de solides usuels Nous porterons attention aux calculs de ces aires et volumes parce qu’ils s’expriment dans des unités dont les subdivisions posent parfois quelques difficultés en cas de conversions. • Prenons quelques exemples :

- Un récipient cubique a un volume de 27,5 m³. Combien de litres faut-il pour le remplir aux ¾ ? 1) Nous savons qu’un litre correspond à un dm³. N’hésitons pas à effectuer le tableau de conversion des volumes :

2

dm³ 7

5

0

cm³ 0

Ici, 27,5 m³ correspondent à 27 500 litres ou dm³. Les ¾ correspondent à = 20 625 litres. 2) Une parcelle mesure 2,64 hectares. On souhaite connaître cette surface en m².

Tableau de conversion des surfaces

ha

are

cm²

cm²

mm²

2 6 4 0 0

Ici, par lecture directe du tableau, nous lisons 26 400 m² 3)

2,317 km² = 2,317 m³ = 231,7 dm² = 0,2317 dm³ = 231,7 Ha =

Hectares litres cm ² mm³ m²

Réponses proposées 2 317 ; 231 700 ; 231,7 ; 2 317 000 ; 23 170

91


a) le cube

b) le parallélépipède rectangle

C’est un solide à 6 faces régulières et carrées. Toutes ses faces sont parallèles et égales deux à deux et tous les angles sont droits.

Il est appelé ainsi car il est constitué de 6 rectangles opposés et égaux deux à deux. Lui aussi présente des angles droits mais il possède trois dimensions différentes, à savoir une longueur « L », une largeur « l » et une hauteur « h ». L

a

h a l a

c) les pyramides Ce sont des volumes représentés par une base polygonale et un sommet qui constitue un point unique d’où partent tous les segments le reliant à sa base. Ce sommet se situe dans un autre plan que celui de la base. A partir de ce sommet «S», on abaisse une hauteur h qui intercepte le plan de base en un point «O» que l’on appelle le pied de la pyramide. Il existe une infinité de pyramides qui peuvent présenter des bases de n côtés (n ≥ 3) Ces bases peuvent être régulières. On parlera alors de pyramides régulières si c’est le cas.

Pyramide de base polygonale (ici hexagone irrégulier)

Les pyramides le plus souvent évoquées dans le monde sont les monuments d’Egypte et d’Amérique du Sud. Ce sont pour la plupart des pyramides régulières à bases carrées.

92


d) Les cônes

e) Les cylindres

On parle d’un cône de révolution lorsqu’il est défini comme un volume dans lequel évolue un triangle SOA rectangle en O tournant autour de son côté SO. Il s’agit d’un cône régulier dont la hauteur issue du sommet S a pour pied le centre O du disque de base.

Comme pour les cônes, on parle de cylindre de révolution lorsque les deux bases circulaires sont liées par des perpendiculaires. Il consiste en la rotation (révolution) d’un rectangle autour de l’une de ses dimensions (largeur ou longueur) Les cylindres quelconques présentent des bases circulaires mais la hauteur issue du centre de la base 1 n’a pas pour pied le centre de la base 2.

S

r

o

O

o

r

Cône régulier r = rayon de disque de base

r

Les autres cônes ont aussi une base circulaire mais le pied de la hauteur ne correspond pas au centre du cercle de base.

o

r r

Cylindre de révolution hauteur = OO’ r = rayon

r’

o’

Cylindre quelconque r = r’

d) La sphère C’est une forme géométrique délimitée par un ensemble de points tous situés à égale distance d’un point C nommé centre de la sphère. Cette distance constitue le rayon de la sphère.

r

r C

r

Tableau des aires et volumes usuels Nom du solide

Aire totale

Volume

Cube d’arête «a»

6 a²

Parallélépipède rectangle

Somme des aires des 6 faces rectangulaires

L×l×h

Pyramides

Aire de la base + aire des surfaces latérales

Aire Base × hauteur 3

Cônes

Aire de la base (π r²) + aire latérale

(π × r² × h) / 3

Cylindres

(π × r²) + (2 × π × r × h)

(π × r² × h)

Sphère

4 π r²

(4 π r³) / 3

93


V - EXERCICES D’APPLICATION

Calculez le périmètre du triangle ABC dont les mesures sont les suivantes : ^ = 50° AC = 6,5 cm ; AB = 4,6 cm ; A

Réponses proposées : 15,00 cm ; 16,1 cm 18,2 cm ; 20, 3 cm

Calculez le périmètre du triangle ABC dont les mesures sont les suivantes : ^ = 27° AC = 9 cm ; AB = 3,2 cm ; A

Réponses proposées : 16,4 cm ; 17, 3 cm 18, 5 cm ; 21, 4 cm

Calculez le périmètre du triangle isocèle dont l’angle au sommet est de 40° et la base mesure 6 cm.

Réponses proposées : 21,12 cm ; 22,38 cm 23,50 cm ; 25,14 cm

Calculez le périmètre du triangle équilatéral dont la hauteur est de 5 cm.

Réponses proposées : 15,46 cm ; 16,31 cm 16,89 cm ; 17, 32 cm

Quelle est la hauteur du triangle équilatéral ABC de côté 7 cm ?

Réponses proposées : 5,48 cm ; 6,06 cm 6,21 cm ; 6,35 cm

Un triangle ABC rectangle en A présente les dimensions suivantes : AB = 7 cm ; AC = 9 cm. • Calculez son périmètre et son aire. Réponses proposées : Périmètre

27,4 cm

31,5 cm

34,8 cm

39,3 cm

Aire

27,4 cm²

31,5 cm²

34,8 cm²

39, 3 cm²

Un triangle ABC a pour mesures : AB = 6,2 cm ; AC = 8,4 cm et BC = 11,3 cm • Calculez l’aire de ce triangle. Un triangle ABC a pour mesures : AB = 9 cm ; AC = 13 cm et BC = 20 cm • Calculez l’aire de ce triangle.

Calculez les angles d’un triangle dont les côtés mesurent 12 ; 9 et 5 cm.

94

Réponses proposées : 20,34 cm² ; 22,59 cm² 23,17 cm² ; 25, 61 cm²

Réponses proposées : 37,8 cm² ; 40,3 cm² 44,9 cm² ; 50,1 cm² Réponses proposées : 18,1°

22,2°

35,4°

40,3°

42,8°

115,0°

126,5°

132,5°


La médiane issue de l’angle droit d’un triangle rectangle mesure 4 cm et l’un des côtés mesure 5,4 cm. • Calculez le périmètre et l’aire de ce triangle. Réponses proposées : Périmètre

18,4 cm

19,3 cm

20,1 cm

20,7 cm

Aire

15, 9 cm²

21,6 cm²

23,6 cm²

31,9 cm²

Calculez le périmètre et l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont l’hypoténuse mesure 10 cm. Réponses proposées : Périmètre

21,36 cm

22,12 cm

23,81 cm

24,14 cm

Aire

23,12 cm²

24,32 cm²

25,00 cm²

26,74 cm²

Réponses proposées : 14,37 cm² ; 15,59 cm² 16,02 cm² ; 16,43 cm²

Calculez l’aire d’un triangle équilatéral dont la hauteur est 5, 2 cm et le côté mesure 6 cm.

La diagonale d’un carré mesure 13 cm. • Calculez l’aire et le périmètre de ce carré.

Réponses proposées : Périmètre

32,4 cm

35,7 cm

36,8 cm

41,3 cm

Aire

65,61 cm²

79,66 cm²

81,23 cm²

84,5 cm²

Calculez le périmètre et l’aire d’un losange dont les diagonales mesurent 10 cm et 16 cm.

Réponses proposées : Périmètre

37,7 cm

39,2 cm

41,3 cm

Aire

74 cm²

80 cm²

120 cm²

Calculez l’aire d’un parallélogramme ABCD dont les côtés mesurent : AB = 8 cm ; AD = 5 cm ; Diagonale AC = 7 cm

Calculez le périmètre et l’aire d’un trapèze isocèle qui a des bases de 5 cm et 11 cm et une hauteur de 6 cm.

Réponses proposées : 34,6 cm² ; 36,2 cm² 39,2 cm² ; 41,4 cm²

Réponses proposées : Périmètre

26,6 cm

28,3 cm

29,4 cm

31,6 cm

Aire

32 cm²

48 cm²

50 cm²

86 cm²

95


Calculez le périmètre d’un trapèze rectangle dont les deux bases ont pour mesure 3 cm et 12 cm, l’aire de ce trapèze étant de 30 cm².

Réponses proposées : 22,51 cm ; 23,17 cm 26,34 cm ; 28,85 cm

Calculez la circonférence d’un disque dans lequel est inscrit un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 6,9 cm et 9,2 cm. Réponses proposées : Circonférence

34,16 cm

36,13 cm

39,24 cm

40,64 cm

Aire

92,86 cm²

103,88 cm²

122,53 cm²

131,43 cm²

Deux droites D1 et D2 sont sécantes en O. • Sur D1 • Sur D2

OA = 4,2 cm OB = 8,4 cm OC = 11,2 cm OA’ = 5,1 cm OB’= 10,3 cm OC’ = 13,6 cm

Réponses proposées : AB // A’B’ ; AA’ // BB’ ; BB’ // CC’ ; AA’ // CC’

Que constate-t-on en matière de droites parallèles ?

Réponses proposées : Deux droites D1 et D2 sont sécantes en O. Sur D1 OA = ? OB = 9 cm OC = 16,2 cm Sur D2 OA’ = 4,6 cm OB’ = 11,5 cm OC’ = ? • Calculez les mesures de OA et OC’ si AA’ // BB’ // CC’

Calculez le volume d’un cube qui a pour diagonale d’une face 70,7 cm.

96

OA = 3,4 cm ; 3,5 cm ; 3,6 cm ; 3,7 cm OC’ = 18,5 cm ; 19,3 cm ; 20,2 cm ; 20, 7 cm

Réponses proposées : 112 000 cm³ ; 116 000 cm³ ; 125 000 cm³ ; 131 500 cm³

Quelle est la longueur totale des arêtes d’un cube dont le volume est de 125 cm³ ?

Réponses proposées : 30 cm ; 40 cm ; 50 cm ; 60 cm

Quelle est la hauteur d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions connues sont les suivantes ? : L = 60 cm ; l = 235 mm ; V = 2,5 dm³

Réponses proposées : 17,7 dm ; 17,7 cm ; 17,7 mm ; 177 mm


Quelle est la hauteur d’un cône de rayon de base r = 8 cm et de volume V = 1 005 cm³ ?

Réponses proposées : 12,3 cm ; 15,0 cm 17,2 cm ; 19,1 cm

Un cône a pour hauteur 21 cm et pour volume 791,3 cm³. Quelle est la longueur de son rayon de base ?

Réponses proposées : 6,0 cm ; 7, 1 cm 7,3 cm ; 7, 8 cm

Une pyramide régulière de hauteur H = 20 cm a pour base un triangle équilatéral de côté 10 cm. • Calculez le volume de cette pyramide.

Réponses proposées : 243,4 cm³ ; 265,9 cm³ 288,7 cm³ ; 316,5 cm³

Un cylindre de révolution a pour rayon de base 9 cm et pour hauteur 31 cm. • Calculez son aire latérale, son aire totale et son volume. Réponses proposées : Aire latérale

1 753 cm²

1 801 cm²

1 934 cm²

1 982 cm²

Aire totale

2 189 cm²

2 262 cm²

2 310 cm²

2 442 cm²

Volume

7 134 cm³

7 410 cm³

7 627 cm³

7 885 cm³

Un cylindre de volume V = 5 024 cm³ a une hauteur de 16 cm. • Calculez son rayon de base et son aire totale. Réponses proposées : Rayon

8,4 cm

9,6 cm

10,0 cm

11,2 cm

Aire totale

1 412,4 cm²

1 517,3 cm²

1 602,5 cm²

1 632,8 cm²

Calculez le volume de la sphère inscrite dans un cube de côté 11 cm.

Calculez le volume du cube inscrit dans une sphère de diamètre 19,05 cm.

Réponses proposées : 624 cm³ ; 697 cm³ 702 cm³ ; 812 cm³

Réponses proposées : 1 259 cm³ ; 1 331 cm³ 1 443 cm³ ; 1 771 cm³

97


chapitre VIII

I - Définition Un vecteur peut être défini comme un segment de droite orienté

On dit que le vecteur

v est caractérisé par :

• sa direction : (droite qui le porte, AB ou BA) • son sens : (sens de A vers B, indiqué par la flèche au-dessus des lettres) • sa norme : (encore appelée intensité, il s’agit de la longueur du segment [AB])

II - LES SOMMES VECTORIELLES La somme de deux vecteurs se calcule de la manière suivante :

u+v

= AB + CD

Si nous confondons les deux points B et C, la figure devient par une simple translation du vecteur CD : → → → AB + CD = AD (B et C confondus) En fait, tout se passe comme si l’on considère que le trajet final représente à lui seul la somme des trajets effectués. Effectivement, dans la figure précédente, pour aller du point A au point D, nous sommes passés par le point B mais le résultat obtenu est un déplacement de A vers D. On dira que le point A est origine du vecteur et D est son extrémité.

98


y

Le vecteur

u

a pour coordonnées :

abscisse de l’extrémité - abscisse de l’origine (4 1) ordonnée de l’extrémité - ordonnée de l’origine (3 1)

1)

On écrira :

x

u (3 ; 2)

• Calculons de la même manière les coordonnées de v : abscisse de l’extrémité - abscisse de l’origine (8 6) ordonnée de l’extrémité - ordonnée de l’origine (2 4) La somme vectorielle de

u +v

On obtient :

v ( 2; -2)

se retrouve graphiquement : y

Nous venons de voir que le vecteur AD représente la somme de AB + CD. Calculons ses coordonnées : (6 - 1 ; 1 - 1) AD (5 ; 0) En effet, on avance de 5 en considérant l’axe horizontal des abscisses et comme le vecteur AD est lui-même horizontal, il n’y a en fait aucun déplacement selon l’axe vertical, ce qui est ici représenté par la valeur 0.

x

Nous nous souvenons u (3 ; 2) et v (2 ; -2) Effectuons la somme de ces coordonnées (abscisses puis ordonnées). 3 + 2 = 5 et 2 + (-2) = 0 5 et 0 sont bien les coordonnées du vecteur AD qui représente la somme

2)

Effectuons maintenant à l’aide de cette figure l’addition vectorielle

u

+

v

+

u

+

v.

y

w

u (7 - 2 ; 9 - 6) u (5 ; 3) v (13 - 10 ; 6 - 5) CD = v (3 ; 1) Coordonnées de EF = w (20 - 17 ; 5 - 9) EF = w (3 ; - 4) Coordonnées de AB = AB = Coordonnées de CD =

x

99


Coordonnées du vecteur représentant la somme u + v + w : (5 + 3 + 3 ; 3 + 1 - 4) On trouve (11 ; 0), qui correspond à un vecteur horizontal.

3) En partant de la même figure, sachons que s’il est facile d’effectuer la somme de plusieurs vecteurs, il est aussi simple de retrancher un vecteur à un autre. Souvenons-nous qu’un vecteur a un sens (il est orienté). Il suffit de changer ce sens pour effectuer une soustraction. Par exemple, si nous souhaitons faire le calcul vectoriel suivant : u - w Nous savons que cela correspond à effectuer AB - EF Nous pouvons écrire que cela correspond à effectuer AB + FE → E devient l’extrémité du vecteur FE et F, bien sûr, son origine. Notre calcul devient : AB (5 ; 3) déjà calculé FE (17 - 20 ; 9 - 5) FE (- 3 ; 4) alors AB + FE (5 + -3 ; 3 + 4) AB + FE (2 ; 7)

III - MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL Pour multiplier un vecteur par un nombre réel, il suffit de multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel. Par exemple, dans la figure précédente, si nous souhaitons retrouver le vecteur qui correspond à deux fois le vecteur v. Nous le nommerons V.

V

=2×v

Le calcul de ses coordonnées s’établit comme suit : v (3 ; 1)

V V

= 2v (3 × 2 ; 1 × 2) (6 ; 2)

• Graphiquement, nous pouvons le vérifier sans difficulté. En effet, en doublant la longueur de CD, en respectant le sens et la direction CD, nous aboutissons au point D’ dont les coordonnées sont (16 ; 7). Pour aller de C en D’, on progresse de 6 dans le sens des abscisses et de 2 dans le sens des ordonnées, or 6 et 2 sont bien les coordonnées du vecteur V.

100


Calculons les coordonnées d’un vecteur V tel que V = 3/2 (AB + BC) sachant que les coordonnées des points A, B et C sont les suivantes : A (4 ; 3) B (8 ; 7) C (10 ; 5) AB = (8 - 4 ; 7 - 3)

BC = (10 - 8 ; 5 -7) BC = (2 ; - 2)

AB = (4 ; 4)

3/2 AC = (6 × 3/2 ; 2 × 3/2)

AB + BC = (4 + 2 ; 4 + - 2) AB + BC = (6 ; 2) = AC

3/2 AC = V (9 ; 3)

Nous pouvons de nous-mêmes effectuer la vérification graphique du résultat que nous venons de calculer en indiquant sur le graphe suivant les points A, B et C et le vecteur V.

IV - VECTEURS COLINÉAIRES Des vecteurs sont colinéaires (même ligne) si leurs origines et leurs extrémités sont situées sur «la même ligne», c’est-à-dire s’ils sont portés par une même droite. Comme nous venons de le voir, on pourra établir que AB et CD sont colinéaires si l’on peut établir la relation suivante :

AB et CD colinéaires si

AB = k × CD

(k est un nombre réel) 101


1) Soit les points A, B, C, D, E et F vérifiant les coordonnées suivantes : A ( 2 ; 2) B (5 ; 4) C (14 ; 10) D (8 ; 6) E (10 ; 6)

F(15 ; 8)

Nous rechercherons à savoir parmi les trois vecteurs AB, CD et EF s’ils sont colinéaires. AB (xB - xA ; yB - yA)

CD (xD - xC ; yD - yC)

EF (xF - xE ; yF - yE)

AB (5 - 2 ; 4 - 2)

CD (8 - 14 ; 6 - 10)

EF (15 - 10 ; 8 - 6)

AB (3 ; 2)

CD (- 6 ; - 4)

EF (5 ; 2)

Les coordonnées de CD et AB indiquent : - 6 / 3 = - 2 et - 4 / 2 = - 2 d’où l’on tire :

De la même manière on pourra vérifier qu’il n’en va pas de même avec les vecteurs EF et AB

CD = -2 AB (donc CD et AB colinéaires).

5 / 3 ≠ 2 / 2 (EF et AB non colinéaires).

Mettons maintenant en place le graphe : y

x

On constate qu’en effet, les points A, B, C et D sont alignés. Qu’en est-il pour les points B, E et F ? A vérifier.

Remarque Comme dans tous les ensembles de nombres, il existe aussi dans l’ensemble des vecteurs un vecteur nul noté 0 qui a pour coordonnées (0 ; 0). C’est l’exemple du vecteur dont l’extrémité est confondue avec l’origine. (Vecteur AA, vecteur BB etc...).

102


2)

Dans un repère orthonormé semblable à ceux que nous venons de mettre en place, indiquons les trois points suivants : A (2 ; 5) B (7 ; 4) C (3 ; 2) Recherchons par le calcul la somme des vecteurs AB + BC + CA au moyen de la méthode que nous avons déjà utilisée :

y

AB = (7 - 2 ; 4 - 5) = (5 ; - 1)

A

5

B

4

3

C

2

1 O

1

2

3

4

5

6

7

x

BC

= (3 - 7 ; 2 - 4) = (- 4 ; - 2)

CA

= (2 - 3 ; 5 - 2) = (- 1 ; 3)

AB + BC + CA = (5 + (- 4) + (- 1) ; (- 1 + (- 2) + 3) = (0 ; 0) Nos calculs concluent à l’évidence suivante : AB + BC + CA = 0 En effet, le trajet final représente un déplacement de A vers A, ce qui en géométrie vectorielle est un déplacement nul.

V -EXERCICES D’APPLICATION

1)

Calculez la somme des vecteurs suivants : → CD (-1 ; 3)

→ AB (4 ; - 1)

3)

2)

Calculez la somme des vecteurs suivants :

AB (- 3 ;

1 ) 2

CD ( 3 ; - 5 ) 2 2

Soient les points A (2 ; - 1) B (3 ; 4) et C (-1 ; 2).

→ → → • Calculez les vecteurs AB ; AC ; et CB

4)

Soient les points A (1 ; - 4) B (- 1 ; - 3) et C (- 2 ; 3)

→ → → • Calculez les vecteurs AB ; CA et BC

5)

Soient les points A (- 2 ; 3) ; B (3 ; - 1) et C (0 ; 4)

→ → → • Calculez les vecteurs u = AB - BC et

→ → → v = AC + CB

103


6)

Soient les points A (1 ; 3) B (- 1 ; 3) et C (1 ; - 3)

• Calculez les vecteurs et

→ u= → v=

→ → AB - CA → → AC - BC

7)

→ → Construire dans un repaire le vecteur u tel que : → u = AB + BC

8)

Construire dans un repaire le vecteur u tel que :

A (2 ; 3) ; B (0 ; - 1) et C (2 ; 1)

u

→ → = AB - BC

→ → → = AB + BC + CD

A (0 ; 3) ; B (3 ; 1) et C (- 1 ; - 2)

9)

Construire dans un repaire le vecteur u tel que :

u

A (2 ; - 1) ; B (0 ; - 2) ; C (3 ; 2) et D (4 ; 0)

10)

Construire dans un repaire le vecteur u tel que :

u

→ → → = BC + DA - CD

u

→ → = 2 AB + BC

→ 1 → = AB + BC 2

A (1 ; - 2) ; B (3 ; 0) ; C (1 ; 4) et D (2 ; - 2)

11)

Calculez les coordonnées des vecteurs suivants :

A (- 1 ; 0) ; B (2 ; - 1) et C (3 ; 1)

12)

Calculez les coordonnées des vecteurs suivants :

u

A (- 3 ; 1) ; B (2 ; - 2) et C (0 ; 4)

13)

Soient 4 points du plan : A (3 ; 2) ; B (5 ; 4) ; C (- 5 ; - 6) et D (- 2 ; - 3)

→ → • Vérifiez à partir du calcul des vecteurs AB et CD si ces points sont alignés. (Colinéarité des vecteurs)

14)

Soient 4 points du plan : A (- 6 ; - 2) ; B (- 4 ; - 1) ; C (2 ; 2) et D (8 ; 4)

→ → → • Vérifiez à partir du calcul des vecteurs AB, BC et CD si ces points sont alignés. (Colinéarité des vecteurs)

104


MATHEMATIQUES-MANUEL DE SECONDE BAC PRO