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Profesor: Javier Velรกsquez Espinoza.

Prof. Lic. Gerardo Tocto Gallo


POLINOMIOS  Dados el número natural n y los n+1 números reales o

complejos a0,a1,…,an (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn  Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

p( x )  q ( x ), x


POLINOMIOS  Se dice que el grado del polinomio p es n cuando an es

distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que 0( x )  0, x  Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0.  A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p


POLINOMIOS  La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de

modo que

r ( x )  p( x )  q ( x )  n

m

max( n , m )

i 0

j 0

k 0

i j a x  b x  i  j 

k c x  k

 Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que

afectan a la misma potencia de x.


POLINOMIOS  El producto de los polinomios p y q es el polinomio s

de modo que

m    n  i j s( x )  p( x )q ( x )    a i x   b j x    i 0  j0  n

m

nm

i j k a b x  d x  i j  k i  0 j 0

k 0

 Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo

el máximo de n y m.


POLINOMIOS  Análogamente el grado del polinomio producto s es a

lo sumo m+n.  El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g.  La división por el polinomio nulo no está permitida.


POLINOMIOS  En general la división de un polinomio f dividendo por

un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que  1º f=qg+r, o lo que es lo mismo,

f ( x )  q ( x )g ( x )  r ( x ), x  2ºEl grado de r es menor que el grado de g o bien r es

nulo.

 Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.


POLINOMIOS  Ejemplo: ( x 3  2 x 2  x  1) /( x 2  3x  2) x 3  2x 2  x  1 x 2  3x  2 x 3  3x 3  2 x x  1 (cociente) x 2  x 1 x 2  3x  2 2 x  3 (resto)


POLINOMIOS  El máximo común divisor de f y g (abreviadamente

m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con an=1.  El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con an=1.  Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.


POLINOMIOS  El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g

de un modo sencillo:

1º f=qg+r 2º g=q´r+r´ 3º r=q´´r´+r´´ … hasta que el resto sea nulo. El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.


POLINOMIOS  Ejemplos:  El m.c.d. de x4-3x2+2 y x4+x3-x-1 es x2-1  El m.c.m de x2-9 y x2-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2)  Los polinomios 8x3-10x2-x+3 y 2x3-5x2-x+6 son primos entre sí.


POLINOMIOS  El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo

polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja).  Teorema: Es a un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-a.


POLINOMIOS  Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x-a)+r

con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x-a debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-a) por lo que p(a)=q(a)(a -a) =0 y a es un cero de p; recíprocamente, si a es un cero de p es p(a)=0, luego 0=q(a)(a -a)+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-a .


POLINOMIOS  Si a es un cero de p el polinomio p se puede factorizar

de la forma

p(x)=q(x)(x-a) donde (x-a) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=an(x-a1) (x-a2) (x-a3)... (x-an)


POLINOMIOS  Los n ceros obtenidos (repetidos o no) a1,a2,a3... an

son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x2+cx+d).


POLINOMIOS  Si a1,a2,a3... ak son los ceros distintos del polinomio

p de grado n, con multiplicidades respectivas m1,m2,m3... mk se puede factorizar p de la forma:

p( x )  a n ( x  1 ) ( x   2 ) ...( x   k ) m1

m2

mk

 Se puede probar que si a es un cero de p de

multiplicidad m, mayor que la unidad, también a es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.


POLINOMIOS  La regla de Ruffini se puede utilizar para:  1º Hallar p(b), donde p es un polinomio y b un valor numérico cualquiera  2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x-b.  3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-b. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor. 


POLINOMIOS  Ejemplo: División de p(x)=5x4+10x3+x-1 por x+2. Aquí se

tiene b=-2.

10 0 1  1  10 0 0  2 2 5 0 0 1 3 5

El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x3+1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x3+1 )(x+2)-3


POLINOMIOS  Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio

p(x)=5x4+10x3+x-1 en x=-2 es

2 1 1  dp  2 d p  p( x )  p(2)  ( x  2)   ( x  2)  2   1¡  dx  x  2 2¡  dx  x  2 3 4    1 d p 1 d p 3 4 ( x  2)  3   ( x  2)  4  3¡  dx  x  2 4¡  dx  x  2

 Los valores de p y de sus derivadas son calculables por

Ruffini en x=-2, llegando a p(x)=5(x+2)4 -30(x+2)3 +60(x+2)2 -39(x+2)-3


Polinomios