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Curso Corto: Reflexiones y acciones para la enseñanza de los principios del Cálculo Diferencial Adriana Engler; Daniela Müller

GUÍA DE ESTUDIO: Estudio de funciones Las siguientes actividades se resuelven utilizando el programa FUNCIONES para Windows versión 2.7.61. Al realizar el estudio de una función, buscamos representarla o tener una idea bastante aproximada de su aspecto a partir de la correspondiente expresión algebraica y de cierta información adicional sobre las características de la gráfica. En estas actividades proponemos otro procedimiento. A partir de la gráfica de la función, se analizarán cada una de las características de la función dada. Podrá controlar las respuestas utilizando comandos propios del programa que se encuentran en la ventana del gráfico, en el menú que se despliega al presionar en la barra superior 1fu. Los mismos se indican en letra cursiva para aquellos ítems en los que es posible. Algunos de ellos ya fueron analizados y descriptos en la guía de estudio correspondiente a Límite y Continuidad. Actividad 1. Represente gráficamente f(x) =

(

)

1 x 3 + 3x 2 considerando en la pantalla que corresponde a la entrada 2

de datos, para ambos ejes: Origen –5 y Final 5. Observando la gráfica de la función, determine: a) Dominio: .................................. Conjunto imagen: ........................................ b) Intersecciones con el eje x (ceros): .............................................................. c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): ............................................. d) Analice el comportamiento de la función:  cuando x → +∞ ..........................................  cuando x → −∞ .......................................... e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad .................................. Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la función cuando x se aproxima a esos puntos:  por izquierda ……… ……….………  por derecha ………. .…..……..…… f) Determine (en caso de existir): Asíntotas verticales: …………… Asíntotas horizontales: …………….. g) Calcule f '(x) = …………………….. h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función Seleccione Derivada en un punto… y en el cuadro de diálogo correspondiente a x introduzca el valor de la abscisa del punto de la gráfica en el que desea calcular la derivada. Utilizando los botones <−i o d−> puede obtener la derivada en puntos próximos al anterior. Para cada punto considerado se visualiza en color rojo la recta tangente a la gráfica en dicho punto. i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no existe .………………………………………………………………………..………… Los valores del dominio de una función donde la primera derivada se hace cero o no existe, son los puntos críticos de la función dada. j) Grafique la función derivada. Seleccione Función derivada y obtendrá una gráfica en color verde superpuesta a la anterior. Observando esta gráfica, complete: Dominio de f '(x) = …………………….. La función derivada se hace cero en x = ………………………… y no existe en x = …………………… k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los puntos críticos, complete el siguiente cuadro indicando el signo de la derivada primera y si en cada intervalo la función es creciente o decreciente: Intervalo

Signo de f '(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) Seleccione Intervalos de crecimiento e Intervalos de decrecimiento. Se observa una línea roja sobre el eje x que indica dónde la función es creciente o decreciente según corresponda, quedando determinados además los extremos de los intervalos. Por lo tanto, de acuerdo al signo de la derivada primera, puede concluir sobre el crecimiento de la función que: 1

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Si la derivada de una función es …..………… en un intervalo, la función dada es …………………… en dicho intervalo. Si la derivada de una función es ……...……… en un intervalo, la función dada es …………………… en dicho intervalo. l) Determine los máximos y/o mínimos relativos. Mínimo: y = ………... en x = ………… ⇒ Mínimo relativo (……, ……) Máximo: y = ……….. en x = ………… ⇒ Máximo relativo (……, ……) Seleccione las opciones Máximos y Mínimos del menú para controlar su respuesta. m) Calcule f ''(x) = …………………….. n) Grafique la segunda derivada de la función. Seleccione Segunda derivada y obtendrá un gráfico en color verde superpuesto al de la función dada. Complete: Dominio de f ''(x) = …………………….. La segunda derivada se hace cero en x = …………………….……… y no existe en x = ………… Los valores del dominio de una función donde la segunda derivada se hace cero o no existe, son los posibles puntos de inflexión de la gráfica de la función dada. o) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los posibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando el signo de la derivada segunda y si en cada intervalo la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo: Intervalo

Signo de f ''(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...) ( ……, …...) Seleccione Intervalos de concavidad (para la concavidad hacia arriba) e Intervalos de convexidad (para la concavidad hacia abajo). Por lo tanto, de acuerdo al signo de la derivada segunda, puede concluir sobre la concavidad de la gráfica que: Si la derivada segunda de una función es ………… en un intervalo, la gráfica de la función dada es ………………. ………… en dicho intervalo. Si la derivada segunda de una función es ………… en un intervalo, la gráfica de la función dada es ……………….. ………… en dicho intervalo. p) Indique los puntos de inflexión. En x = ……… la gráfica de la función presenta un punto de inflexión. Por lo tanto el punto de inflexión es (……, ……) Seleccione Puntos de inflexión. Actividad 2. Represente gráficamente la función f(x) = x4 + 6x3 + 12x2 + 8x + 1 considerando en la pantalla que corresponde a la entrada de datos, para el eje x: Origen –4 y Final 2, y para el eje y: Origen –3 y Final 4. Observando la gráfica de la función, determine: a) Dominio: .................................. Conjunto imagen: ........................................ b) Intersecciones con el eje x (ceros): .............................................................. c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): ............................................. d) Analice el comportamiento de la función:  cuando x → +∞ ..........................................  cuando x → −∞ .......................................... e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad. Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la función cuando x se aproxima a esos puntos:  por izquierda ……………….………  por derecha ………..…..……..…… f) Determine (en caso de existir): Asíntotas verticales: …………..… Asíntotas horizontales: ….………… g) Calcule f '(x) = …………………….. h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función. i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no existe. ……………………………………………………………………………….… 2

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j) Grafique la función derivada. Complete: Dominio de f '(x) = …………………….. La función derivada se hace cero en x = ………………………… y no existe en x = …………………… k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los puntos críticos, complete el siguiente cuadro indicando el crecimiento o decrecimiento de la función: Intervalo

Signo de f '(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) l) Determine los máximos y/o mínimos relativos. Mínimo: y = ………... en x = ………… Máximo: y = ………... en x = ………… m) Calcule f ''(x) = …………………….. n) Grafique la segunda derivada de la función. Complete: Dominio de f ''(x) = …………………….. La segunda derivada se hace cero en x = …………………….……… y no existe en x = ………… o) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los posibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando la concavidad de la gráfica de la función: Intervalo

Signo de f ''(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) p) Indique los puntos de inflexión. En x = ……………… la gráfica presenta puntos de inflexión. Los puntos de inflexión son (……, ……) y (……, ……) Actividad 3. Represente gráficamente la función f(x) =

2x 2 considerando en la pantalla que corresponde a la x 2 −1

entrada de datos, para el eje x: Origen –4 y Final 4; para el eje y: Origen –6 y Final 6. Observando la gráfica de la función, determine: a) Dominio: .................................. Conjunto imagen: ........................................ b) Intersecciones con el eje x (ceros): .............................................................. c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): ............................................. d) Analice el comportamiento de la función:  cuando x → +∞ ..........................................  cuando x → −∞ .......................................... e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad .................................. Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la función cuando x se aproxima a esos puntos:  por izquierda ……….……….………  por derecha ………...…..……..…… Seleccione la opción Discontinuidades aisladas. ¿Qué obtiene? ¿Cómo interpreta el mensaje que aparece? ¿A qué corresponden las rectas de color rojo que quedan dibujadas? f) Determine (en caso de existir): Asíntotas verticales: …………….... Asíntotas horizontales: ….……….. g) Calcule f '(x) = …………………….. h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función. i) indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no existe. ………………………………………………………………………………. j) Grafique la función derivada. Complete: Dominio de f '(x) = …………………….. La función derivada se hace cero en x = ………………………… y no existe en x = …………………… k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los puntos críticos y los valores de x que no pertenecen al dominio, complete el siguiente cuadro: Comportamiento de f(x) Signo de f '(x) Intervalo (gráfica azul) (gráfica verde) 3

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( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) l) Determine los máximos y/o mínimos relativos. Mínimo: y = ………... en x = ………… Máximo: y = ……….. en x = ………… m) Calcule f ''(x) = …………………….. n) Grafique la segunda derivada de la función. Complete: Dominio de f ''(x) = …………………….. La segunda derivada se hace cero en x = …………………….……… y no existe en x = ………… o) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los posibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando el signo de la derivada segunda y si en cada intervalo la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo: Intervalo

Signo de f ''(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...) ( ……, …...) ( ……, …...) p) Indique los puntos de inflexión. En x = ……………… la gráfica de la función presenta puntos de inflexión. Los puntos de inflexión son (……, ……) y (……, ……) Actividad 4. Un fabricante vende “x” artículos por semana a un precio unitario p(x) = 30 – 0,1x (en pesos). Si la función c(x) = 6x + 200 representa el costo total de producción, determine: a) El número de artículos que debe producir para que el ingreso sea máximo. ¿Cuál es dicho ingreso? b) Determine la ganancia máxima. ¿Qué cantidad de artículos por semana debe vender para obtener dicha ganancia? Actividad 5. Las funciones que representan el costo e ingreso total (en pesos) para un determinado artículo q, están dadas por: c(q) = 200 + 20q + 0,01q2 i(q) = 60q – 0,03q2 a) Halle de manera analítica qué cantidad de artículos maximiza la ganancia. ¿Cuál es la ganancia máxima? b) Represente la función ganancia y corrobore su repuesta anterior de manera gráfica. c) Represente las tres funciones (ganancia, costo e ingreso) y determine de qué manera puede calcular la cantidad de artículos que maximiza la ganancia. Actividad 6. Una empresa que confecciona envases, debe construir una caja para el lanzamiento de un nuevo jugo de naranjas. El diseño es el que se muestra a continuación en el que las medidas se expresan en cm. ¿Cuál debe ser el alto de la caja para que, conservando dichas proporciones entre sus medidas, contenga la máxima cantidad de jugo?

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