CURS DE MECANICĂ
78
______________________________________________________________________ În concluzie, un punct arbitrar dintr-un rigid care are o mişcare de rotaţie cu axă fixă are o traiectorie circulară, situată într-un plan ( z1 = z ) perpendicular pe axa de rotaţie, cu centrul pe axa de rotaţie şi raza egală cu distanţa de la punct la axa de rotaţie R = x2 + y2
(3.91)
3.7.3.2. Distribuţia de viteze
Viteza unui punct oarecare a rigidului M(x,y,z), conform celor stabilite de Euler, se determină cu relaţia: vM = ω × OM sau, dezvoltând produsul vectorial, se obţine: vM
i j k = 0 0 ω = − yωi + xω j x y z
(3.92)
Proiecţiile vectorului viteză pe axele sistemului mobil sunt: v x = −θ& y; v y = θ& x; v z = 0.
(3.93)
(3.94) Mărimea acestui vector este: | vM |= y 2ω 2 + x 2ω 2 = ω y 2 + x 2 = ω ⋅ R Se observă pentru viteza în mişcarea de rotaţie o variaţie liniară în funcţie de R, distanţa de la axa de rotaţie la punctul considerat. Se pot face câteva observaţii privind vitezele punctelor rigidului aflat în mişcare de rotaţie: - punctele de pe axa de rotaţie au viteza nulă; - punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie, au vitezele egale; - vitezele punctelor rigidului sunt vectori situaţi în planuri perpendiculare pe axa de rotaţie; - punctele corpului rigid situate pe o dreaptă perpendiculară (∆1) pe axa de rotaţie Oz într-un punct P, au vitezele normale pe această dreaptă, iar modulele sunt proporţionale cu distanţa la axa de rotaţie. 3.7.3.3. Distribuţia de acceleraţii
Pentru a studia distribuţia acceleraţiilor în mişcarea de rotaţie, se exprimă acceleraţia punctului oarecare M, cu ajutorul relaţiei lui Euler: a M = a O + ε × OM + ω × ω × OM (3.95)
(
unde: a0 = 0, ( v0 = 0 ) , ε ( 0, 0, ε ) şi ω (0,0, ω )
i
j
k
i
aM = 0 0 ε + 0 x y z − yω
j
)
(3.96)
k
0 ω , de unde se determină proiecţiile pe axele reperului xω 0
mobil ale acceleraţiei: ax = − yε − xω2 ; ax = xε − yω2 ; az = 0 Modulul acceleraţiei are valoarea: | a M |=
(3.97)
(− yε − xω ) + (xε − yω ) 2 2
2 2
(3.98)
(3.99) sau după efectuarea calculelor rezultă: | a M |= R ⋅ ε 2 + ω 2 În cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă, acceleraţia are două componente şi anume: acceleraţia tangenţială, notată aτ ; acceleraţia normală, notată aν , care au expresiile: