Issuu on Google+

А.А. Кадеев, О.Г. Перфильева

Домашняя работа по алгебре за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов и др. — 11-е изд. — М.: Просвещение, 2003 г.»


VIII Глава. Производная и ее геометрический смысл § 44 Производная № 776. s( t + h ) − s( t ) . T.k. s(t)=1+3t, то s(t+h)–st= h 3h =3. Проверим =1+3(t+h)– (1+3t)=1+3t+3h–1–3t=3h, поэтому vcp= h результат в случаях, приведенных в условии: 13 − 4 =3; 1) h=4–1=3, s(t+h)=1+3⋅4=13, s(t)=1+3⋅1=4, vcp= 3 4 − 3,4 0,6 2) h=1–0,8=0,2, s(t+h)=1+3⋅1=4, s(t)=1+3⋅0,8=3,4, vcp= = =3. 0,2 0,2

s(t)=1+3t;

vcp=

№ 777. s ( t + h ) − s ( t ) 2( t + h ) − 2 t 2 h =2 = = h h h Проверим: h=1,2–1=0,2 2,4 − 2 0,4 s(t+h)=2⋅1,2=2,4; s(t)=2⋅1=2; vcp= = =2 0,2 0,2 2 2) s(t)=t t=1; (t+h)=1,2;

1) s(t)=2t; vcp=

s( t + h ) − s( t ) ( t + h ) 2 − t 2 t 2 + 2 th + h 2 − t 2 = = = h h h =2t+h=2⋅1+(1,2–1)=2,2. vcp=

№ 778. 1) s(t)=2t+1; а) s(t+h)–s(t)=2(t+h)+1–2t–1=2t+2h+1–2t–1=2h; s ( t + h ) − s( t ) 2 h =2; в) lim v cp = lim 2 =2; б) vcp= = h →0 h →0 h h 2) s(t)=2–3t; а) s(t+h)–s(t)=2–3(t+h)–2+3t=2–3t–3h–2+3t= –3h; s ( t + h ) − s( t ) 3h = –3; в) lim vcp = lim ( −3) = –3. б) vcp= =− h →0 h →0 h h

№ 779. s(t)=0,25t+2 1) h=8–4=4;

s (t + h) − s (t ) 0,25 ⋅ (4 + 4 ) + 2 − 0,25 ⋅ 4 − 2 2 + 2 − 1 − 2 = = =0,25 h 4 4 2) v(t)= lim vcp = lim 0,25 =0,25.

vcp=

h →0

2

h →0


№ 780. 1) f(x)=3x+2; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=3(x+h)+2–3x–2=3x+3h+2–3x–2=3h; ∆f 3h ∆f =3; в) lim =3, т.е. f ′(x)=3 б) = h →0 h h h 2) f(x)=5x+7; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=5(x+h)+7–5x–7=5x+5h+7–5x–7=5h; ∆f 5h ∆f б) =5; в) lim = = lim 5 =5; h →0 h h →0 h h 3) f(x)=3x2–5x; а) ∆f= f(x+h)–f(x)=3(x+h)2–5(x+h)–3x2+5x= =3x2+6xh+3h2–5x–5h–3x2+5x2=6xh+3h2–5h;

6 xh + 3h 2 − 5h ∆f ∆f = = lim (6x+3h–5)=6x–5; = 6x+3h–5; в) lim h →0 h h →0 h h 4) f(x)= –3x2+2; а) ∆f= –3(x+h)2+2+3x2–2= –3x2–6xh–3h2+2+3x2–2= –6xh–3h2; б)

б)

− 6 xh − 3h 2 ∆f = –6x–3h; = h h

в) lim

h →0

∆f = lim (–6x–3h)= –6x. h →0 h

№ 781.

1) f ′(x)=4; 2) f ′(x)= –7; 3) f ′(x)= –5.

(опечатка в ответе задачника).

№ 782. 1) s(t)=

3 2 t; 2

а) s(t+h)–s(t)=

3 3 3 3 3 3 (t+h)2– t2= t2+3th+ h2– t2=3th+ h2; 2 2 2 2 2 2

3 2 s( t + h ) − s( t ) 3th + 2 h 3 = = 3t+ h; 2 h h 3 в) v(t)= lim vcp = lim (3t+ h)=3t; h →0 h →0 2 2) s(t)=5t2; а) s(t+h)–s(t)=5(t+h)2–5t2=5t2+10th+5h2–5t2=10 t h +5h2;

б) vcp=

s( t + h ) − s( t ) 10 th + 5h 2 = = 10t+5h; h h в) v(t)= lim vcp = lim (10t+5h)=10t;

б) vc p=

h →0

h →0

№ 783.

s(t)=t2+2 найдем v (t): а) s(t+h)–s(t)=(t+h)2+2–t2–2=t2+2th+h2+2–t2–2=2th+h2 б) vc p=

s( t + h ) − s( t ) 2 th + h 2 = = 2t+h h h

3


в) v(t)= lim vc p = lim vc p= lim 2t+h=2t h →0

1) t=5,

h →0

v(5)=2⋅5=10;

h →0

2) t=10, v(10)=2⋅10=20.

№ 784. s (t + h) − s (t ) 1,5 − 0 = = 1,5 ; h 1 s( t + h ) − s( t ) 2,5 − 1,5 2) на [1; 2] vc p= = = 1; h 1 s (t + h) − s (t ) 3 − 2,5 = = 0,5 . 3) на [2; 3] vc p= h 1 1) на [0; 1] vc p=

№ 785. 1) на [0; 2] vc p=

s( t + h ) − s( t ) 1 − 2 1 = =− ; h 2−0 2

2) на [2; 3] vc p=

3 −1 =2; 3−2

3) на [3; 3,5] vc p=

4−3 =2. 3,5 − 3

№ 786. 1) lim (2x+1)=3, т.к. f(x)=2x+1, то: x →1

ε , т.е. для ∀ε существует 2 δ удовлетворяющее определению, значит равенство верно.. 2) lim x2=4, т.к. f(x)=x2, то: |f(x)–4|=|x2–4|=|x–2|⋅|x+2|<δ|x+2|; |x–2|<δ;

|f(x)–3|=|2x–2|=2|x–1|<2δ=ε, где |x–1|<δ,

δ=

x→2

δ|x+2|=δ|(x–2)+4|≤δ(|x–2|+|4|)<δ2+4δ=ε,

возьмем δ=2+ 4 + ε .

§ 45 Производная степенной функции № 787.

1) (x6)′=6x5;

2) (x7)′=7x6;

3) (x11)′=11x10; 4) (x13)′=13x12

№ 788.

1) (x –2)′= –2x–3; 2) (x –3)′= –3x–4; 3) (x –4)′= –4x–5;

№ 789.

′ ⎛ 1 ⎞ 1 1 −1 1 − 1 1 ⎜ ⎟ 1) x 2 = ⋅ x 2 = ⋅ x 2 = ; 2 ⎜⎜ ⎟⎟ 2 2 x ⎝ ⎠ ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −2 ⎜ ⎟ 3 2) ⎜ x ⎟ = ⋅ x 3 ; ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ (Опечатка в ответе задачника).

4

4) (x –7)′= –7x–8.

′ ⎛ −2 ⎞ 2 −9 ⎜ ⎟ 3) x 7 = − ⋅ x 7 ; 7 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 4) ⎛⎜ x

3

′ ⎞⎟ = 3 ⋅ x ⎠

3 −1

.


№ 790.

′ ′ −5 −9 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ −5 −6 ; 2 ) = x = − 5 x = = x −9 = −9 x −10 = 10 ; ⎜ ⎟ ⎟ 5 6 9 x x ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ ′ ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −3 1 3) 4 x = ⎜ x 4 ⎟ = ⋅ x 4 = ; ⎜ ⎟ 4 4 3 4 x ⎝ ⎠ ′ ⎛ 2 ⎞′ 2 − 1 2 3 4) ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ = ⎜ x 3 ⎟ = ⋅ x 3 = 3 ; ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ 3 3 x

( )

1) ⎜

( )

( )

⎛ 1 5) ⎜⎜ 3 ⎝ x

'

1 1 ' ⎞ ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ 1 −13 1 ⎟⎟ = x = − x =− 3 ; ⎜⎜ ⎟⎟ 3 3x x ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1 6) ⎜ ⎜ 4 x3 ⎝

'

' 3 ⎞ ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ −1 ⎟ = x 4 =−3x 4 = − 3 . ⎟⎟ 4 ⎟ ⎜⎜ 4 4x x2 ⎠ ⎝ ⎠

(Опечатка в ответе задачника).

№ 791.

1) ((4x–3)2)′=2⋅(4x–3)⋅4=8(4x–3); 2) ((5x+2)–3)′= –3(5x+2)–4⋅5= –15(5x+2)–4; 3) ((1–2x)–6)′= –6(1–2x)–7⋅(–2)=12(1–2x)–7; 4) ((2–5x)4)′=4(2–5x)3⋅(–5)= –20(2–5x)3; 5) ((2x)3)′=3⋅(2x)2⋅2=6⋅(2x)2=24x2; 6) ((–5x)4)′=4⋅(–5x)3⋅(–5)= –20⋅(–5x)3=2500x3;

№ 792.

1)

( 2x + 7 )′ = ⎛⎜⎝ (2x + 7)

2)

( 7 − 3x )′ = ⎛⎜⎝ (7 − 3x )

′ −3 −3 ⎞ 1 ; ⎟ = (7 − 3x ) 4 ⋅ (−3) = 4 4 ⎠ 4 ( 7 − 3x ) 3

1⎞ 3⎟

3

4

′ ⎞ ⎟ = ⎠ ′ 1⎞ ′ ⎛ 4) 3 5 x = ⎜ (5 x )3 ⎟ = ⎝ ⎠

3)

( 3x )′ = ⎛⎜⎝ (3x) 4

1 4

( )

1 4

=

−2 1 2 ; ( 2 x + 7) 3 ⋅ 2 = 3 3 3 ( 2 x + 7) 2

−3 1 3 (3 x) 4 ⋅ 3 = ; 4 4 4 27 x3 3 −2 1 5 5 (5 x) 3 ⋅ 5 = = ; 3 3 2 3 3 25 x 3 x2

№ 793. 5

1) f ′(x)=(x6)′=6x5;

6 3 ⎛1⎞ f ′(x0)=6⋅ ⎜ ⎟ = = 32 16 ⎝2⎠

5


2) f ′(x)=(x–2)′= –2⋅x–3= –

3) f ′(x)=

( x )′

4) f ′(x)=

( x )′

5) f ′(x)=

3

2 3

x ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −1 1 = ⎜ x2 ⎟ = x 2 = ⎜ ⎟ 2 2 x ⎝ ⎠ ′ ⎛ 1 ⎞ 1 −2 1 3 ⎜ ⎟ = x = x 3 = ⎜ ⎟ 3 3 2 3 x ⎝ ⎠

( 5 − 4 x )′ = ((5 − 4 x) 2

f ′(x0)= –

5 − 4 ⋅1

1 2

=

f ′(x0)= – f ′(x0)=

f ′(x0)=

1 − 1 (5 − 4 x) 2

2

2 3

3

=−

1 2 4 1 3 2

3 8

⋅ (−4) = −

=

2 27

1 4

=

1 12

2 5 − 4x

= −2

′ ′ −3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 3 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ( ) 3 1 6) f ′(x)= ⎜ = x + 2 ⎟ = − (3 x + 1) 2 ⋅ 3 = − ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3x + 1 ⎠ ⎝ 2 (3x + 1)3 3

f ′(x0)= –

2 (3 ⋅1 + 1)

3

=−

3 . 16

№ 794. y = x4

y = 4x3

№ 795.

1) у′=(x2)′=2x, y′(0)=2⋅0=0, y′(1)=2⋅1=2, y′(–1)=2⋅(–1)= –2 — не подходит 2) у′=(x3)′=3x2, y′(0)=3⋅0=0, y′(1)=3⋅1=3, y′(–1)=3⋅(–1)2=3 — подходит

⎛ ⎜ ⎝

1

′ ⎞ ⎟ ⎠

3) у′= ⎜ x 2 ⎟ =

№ 796.

1 2 x

y′(0) не существует, не подходит.

′ ⎞ ⎛ 1 6 ⎟ = ((2+3x)–2)′= –2(2+3x)–3⋅3= − ⎜ (2 + 3x )2 ⎟ ( 2 + 3 x )3 ⎠ ⎝ ′ ⎞ ⎛ 1 6 ⎟ = ((3–2x)–3)′= –3⋅(3–2x)–4⋅(–2)= 2) ⎜ . ⎜ (3 − 2 x )3 ⎟ ( 3 − 2 x )4 ⎠ ⎝

1) ⎜

6


⎛ ⎝

′ ⎞ ⎠

⎛ ⎝

′ ⎞ ⎠

2

3) ⎜ 3 (3 x − 2 ) ⎟ = ⎜ (3x − 2 )3 ⎟ = 2

′ 2 ⎛ ⎞ ⎛ 4) ⎜ 7 (3 − 14 x )2 ⎟ = ⎜ (3 − 14 x ) 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 5) ⎜⎜ 3 3 x −7 ⎝

1 2 (3x − 2)− 3 ⋅ 3 = 3

′ ⎞ ⎟ ⎛ −2 ⎟ = ⎜ (1 − 2x ) 3 ⎟ ⎝ ⎠

.

3x − 2

′ 2 ⎞ −5 ⎟ = (3 − 14 x ) 7 ⋅ ( −14) = 7 ⎠

′ ′ 1 4 ⎞ ⎛ 1 ⎟ = ⎜ (3x − 7 )− 3 ⎞⎟ = − (3x − 7 )− 3 ⋅ 3 = ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎠

⎛ ⎜ 1 6) ⎜ ⎜ 3 (1 − 2 x )2 ⎝

2 3

−4 7

(3 − 14x )5

1 3

.

.

(3x − 7 )4

′ 2 4 ⎞ −5 . ⎟ = − (1 − 2x ) 3 ⋅ (− 2) = 3 ⎠ 33 (1 − 2x )5

№ 797. 1) f(x)=x3,

f ′(x)=3x2,

⎛ ⎝

3

2

′ ⎞ ⎠

2) f(x)= x 2 , f ′(x)= ⎜ x 3 ⎟ = 3

x=

2 3

x=

f ′(x)=1 ⇒ 3x2=1;

x= ±

1 3

;

2 − 13 2 2 x = 3 , f ′(x)=1 ⇒ 3 =1, 3 3 x 3 x

8 . 27

№ 798.

1 ′ 1 1 1 s(t)= t + 1 ; v(t)=(s(t)) ′=( t + 1 ) ′= ⎛⎜ (t + 1) 2 ⎞⎟ = (t + 1)− 2 = ; ⎠ ⎝ 2 2 t +1 1 1 v(3)= = . 2 3 +1 4

№ 799.

1) f(x)=(2x–1)2; f ′(x)=2(2x–1)⋅2=4(2x–1); f(x)=f ′(x) ⇒ (2x–1)2=4(2x–1); (2x–1)(2x–1–4)=0; (2x–1)(2x–5)=0;

2) f(x)=(3x+2)3; f ′(x)=3(3x+2)2⋅3=9(3x+2)2; f(x)=f ′(x) ⇒ (3x+2)3=9(3x+2)2; (3x+2)2(3x+2–9)=0; (3x+2)2(3x–7)=0;

1 x= ⎡2 x − 1 = 0 2; ⎢⎣(2 x − 5) = 0 ⇒ 5 x= 2

2 x=− ⎡3 x + 2 = 0 3; ⎢⎣3 x − 7 = 0 = 0 ⇒ 7 x= 3

либо 2x–1=0

⇒ x=

1 ; 2

либо 3x+2=0 ⇒

x= −

2 ; 3

7


либо (2x–5)=0 ⇒ x=

8

5 ; 2

либо 3x–7=0 ⇒

x=

7 . 3


№ 800. а) Очевидно, что это парабола, следовательно, уравнение имеет вид y=ax2+bx+c a>0, т.к. ветви параболы направлены вверх. b Вершина параболы имеет абсциссу x b = − , в нашем случае 2a x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=ax2+c. Подставим известные точки: 1=а⋅(0)2+с ⇒ c=1 ⇒ y=ax2+1; 2=a⋅(1)2+1 ⇒ a=1 ⇒ y=x2+1; б) Очевидно, что это парабола, имеющая уравнение в общем виде y=ax2+by+c. Т. к. ветви параболы направлены вниз, то a<0. b В общем виде вершина параболы имеет абсциссу x b = − , 2a в нашем случае x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=aх2+c. Зная точки, подставим 1=а⋅(0)2+с ⇒ c=1 ⇒ y=aх2+1; 0=a⋅(1)2+1 ⇒ a= –1 ⇒ y= –x 2+1 ⇒ y=1–x2.

№ 801.

1 1 (3x − 7 )− 2 ⋅ 3 = 3 ; ⎠ 2 2 3x − 7 3 17 5 = 3x − 7 ; x= ; x=2 . 2 6 6

y= 3x − 7 ; y′ = ⎛⎜ (3 x − 7 )2 ⎞⎟ = 1

3 2 3x − 7

= 3x − 7 ;

§ 46 Правила дифференцирования № 802.

1) (x2+x)′=2x+1; 2) (x2–x)′=2x–1; 3) (3x2)′=3⋅2⋅x=6x; 4) (–17x2)′= –17⋅2⋅x= –34x;

№ 803.

1) (3x2–5x+5)′= 6x–5; 2) (5x2+6x–7)′= 10x+6; 3) (x4+2x2)′=4x3+4x; 4) (x5–3x2)′=5x4–6x;

5) (–4x3)′= –4⋅3⋅x2= –12x2; 6) (0,5x3)′=1,5x2; 7) (13x2+26)′=26x; 8) (8x2–16)′=16x. 5) (x3+5x)′=3x2+5; 6) (–2x3+18x)′= –6x2+18; 7) (2x3–3x2+6x+1)′=6x2–6x+6; 8) (–3x3+2x2–x–5)′= –9x2+4x–1.

№ 804.

y=3(x–2)2+1=3x2–12x+12+1=3x2–12x+13; y′=6x–12.

9


№ 805.

′ ′ 1 ⎞ 3 2 ⎛ 3 1 ⎞ + = 2 x − x = 3x 2 − 3 ; ; 2) ⎜ ⎟ ⎟ 3 4 2 x ⎠ x x ⎠ x ⎝ ⎝ 3 1 ′ 1 1 1 1 − − 3) 24 x − x = 2 ⋅ ⋅ x 4 − ⋅ x 2 = − ; 4 4 2 2 x3 2 x ⎛

1) ⎜ x 2 +

(

)

(

)′

4) 36 x − 714 x = 3 ⋅

1 − 56 1 − 13 1 1 ⋅ x + 7 ⋅ ⋅ x 14 = + . 6 5 14 13 6 14 2 x 2 x

№ 806.

1) f ′(x)=(x2–2x+1)′=2x–2; f ′(0)=2⋅0–2= –2; f ′(2)=2⋅2–2=2; 2) f ′(x)=(x3–2x)′=3x2–2; f ′(0)=3⋅(0)2–2= –2; f ′(2)=3⋅22–2=12–2=10; 3) f ′(x)=(–x3+x2)= –3x2+2x; f ′(0)=3⋅0+2⋅0=0; f ′(2)= –3⋅22+2⋅2=–2+4= –8; 4) f ′(x)=(x2+x+1)′=2x+1; f ′(0)=2⋅0+1=1; f ′(2)=2⋅2+1=5.

№ 807. 2 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 + 2 ⎟ = ⎜− 2 − 3 ⎟ ; x ⎠ ⎝x x ⎠ ⎝ x

1) f ′(x)= ⎜

2⎞ 5 ; f ′(1)= –1–2= –3; ⎟=− 3 27 ⎝ 3 3 ⎠ ′ 1 ⎞ 1 1 ⎛ − 2 ; 2) f ′(x)= ⎜ x + + 1⎟ = x ⎝ ⎠ 2 x x 1 1 1 1 − ; f ′(1)= –1= – ; f ′(3)= 2 2 9 2 3 ′ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 6 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ −3 + 4⎟ 3) f ′(x)= ⎜⎜ − 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ x 2 − 2 ⋅ (− 3) ⋅ x − 4 ⎟⎟ = ⎜ − ⎠ ⎜⎝ 2 x3 x ⎟⎠ ⎝ x x ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 3 2 −1 2 3 9 + = + ; f ′ (1) = − + 6 = ; f ′(3)= − 2 2 3 ⋅ 2 ⋅ 3 27 2 3 27 f ′(3)= ⎜ −

10

1

3


⎛ ⎝

3

4) f ′(x)= ⎜ x 2 − x f ′(3)=

− 32

′ ⎞ 3 ⎞ ⎛⎜ 3 12 ⎛ 3 ⎞ − 52 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 x ⎟; + ⎟ = ⎜ x − ⎜ − ⎟x ⎟ = ⎜ 2 ⎠ ⎝2 2 x ⋅ x ⎟⎠ ⎝ 2⎠ ⎠ ⎝ 2

3 3 3 27 + 1 28 14 14 3 3 3 ; f ′(1)= + =3. + = = = = 2 9 2 2 18 3 6 3 6 3 3 3

№ 808. 1) не дифференцируема, т.к. при х=1 функция у= 2) не дифференцируема, т.к. при х=3 функция у=

(

)

(

)

1 ′ 1 1 x + 1 = ⋅ (x + 1)− 2 = , 2 2 x +1 1 1 = у ′(0)= дифференцируема; 2 0 +1 2 ′ 1 −1 − 12 ′ 4) y = 5 − x = 2 ⋅ (5 − x ) ⋅ (− 1) = 5 − x

3) y′ =

у ′(4)= −

1 5−4

2 не определена x −1 3x − 5

(x − 3)2

не определена

,

= –1 дифференцируема.

№ 809. 1) f′(x)=(x3–2x)′=3x2–2 f ′(x)=0;

3x2–2=0; x2=

2 ; x= ± 3

2 ; 3

3 . 2 3) f′(x)=(2x3+3x2–12x–3)′=6x2+6x–12; f ′(x)=0; 6x2+6x–12=0; x2+x–2=0; −1+ 3 −1 − 3 D=1+8=9; х1= =1, х2= = –2; 2 2 3 2 2 4) f ′(x)=(x +2x –7x+1)′=3x +4x–7; f ′(x)=0; 3x2+4x–7=0 D −2 + 5 −2 − 5 7 =4+21=25; х1= =1, х2= =− . 3 3 3 4 5) f ′(x)=(3x4–4x3–12x2)′=12x3–12x2–24x; f ′(x)=0; 12x3–12x2–24x=0 ⇒ x1 =0 и x2–x–2=0; 1+ 3 1− 3 D=1+8=9; х2= =2, х3= = –1; 2 2 4 3 2 3 2 6) f ′(x)=(x +4x –8x –5)′=4x +12x –16x; f ′(x)=0; 4x3+12x2–16x =0 ⇒ x=0 и x2+3x–4=0;

2) f′(x)=(–x2+3x+1)′= –2x+3;

D=9+16=25; х2=

−3 + 5 =1 2

f ′(x)=0;

х3=

–2x+3=0;

x=

−3 − 5 = –4. 2 11


№ 810.

1) ((x2–x)(x3+x)′=(x2–x)′(x3+x)+(x2–x)(x3+x)′=(2x–1)(x3+x)+(x2–x)(3x2+1)= =2x4+2x2–x3–x+3x4+x2–3x3–x=5x4–4x3+3x2–2x; 2)

((x + 2) x )′ = (x + 2)′ 3

3

( )

′ 1 −2 x + (x + 2 ) 3 x = 1 ⋅ 3 x + (x + 2 ) ⋅ ⋅ x 3 = 3

13 2 43 x 2 4x + 2 x+ = + = ; 3 2 3 2 3 3 3 3 x 3 x 3 x2 ′ ′ 1 −1 3) (x − 1) x = (x − 1)′ x + (x − 1) x = 1 ⋅ x + (x − 1) ⋅ x 2 = 2 =3 x+

(

= x+

№ 811.

)

( )

x 1 3 x 1 3x − 1 . − = − = 2 2 2 x 2 x 2 x

(

) (

)

(

)

′ ′ ′ 1) f ′( x ) = (x − 1)8 (2 − x )7 = (x − 1)8 (2 − x )7 + (x − 1)8 (2 − x )7 =

= 8(x − 1) ⋅ (2 − x ) + (x − 1) ⋅ 7(2 − x ) ⋅ (− 1) ; 7

7

8

6

f ′(1) = (1 − 1)7 (2 − 1)7 + (1 − 1)8 ⋅ 7(2 − 1)6 (−1) = 0 .

(

) (

)

(

)

′ ′ ′ 2) f ′( x ) = (2 x − 1)5 (x + 1)4 = (2x − 1)5 (x + 1)4 + (2 x − 1)5 (x + 1)4 =

= 5 ⋅ 2(2 x − 1) (1 + x ) + (2 x − 1) ⋅ 4(1 + x ) = 4

4

5

3

= (2 x − 1)4 (1 + x )3 (10 x + 10 x + 8x − 4 ) = (2 x − 1)4 (1 + x )3 (18x + 6) ; f ′(1)=(2–1)4(1+1)3(18+6)=1⋅8⋅24=192. 3) f ′( x ) =

(( 2 − x )(3 − 2x ) )′ = ( 2 − x )′ (3 − 2x) + 8

8

(

)

′ 2 − x (3 − 2 x )8 =

1 1 ⋅ (− 1)(2 − x )− 2 (3 − 2 x )8 + 2 − x ⋅ 8 ⋅ (3 − 2 x )7 ⋅ (− 2) ; 2 1 1 33 f ′ = (− 1)(2 − 1)− 2 (3 − 2 ⋅ 1)8 + 2 − 1 ⋅ 8(3 − 2 ⋅ 1)7 (− 2 ) = − . 2 2 ′ ′ ′ 6 6 4) f ′( x) = (5 x − 4) 3x − 2 = (5 x − 4) 3x − 2 + (5 x − 4)6 3x − 2 =

=

(

) (

= 6 ⋅ 5(5 x − 4 )5 3 x − 2 + (5 x − 4 )6 ⋅ =

2 3x − 2

(

=

3(5 x − 4 )5 ⎛ (5 x − 4) ⎞ = 3(5 x − 4)5 ⎜10(3 x − 2 ) + ⎟ 2 ⎠ 3x − 2 ⎝ 3x − 2

f ′(1) =

№ 812.

3(5 − 4 )5 ⎛ 65 44 ⎞ 63 . ⋅⎜ − ⎟= 2 ⎠ 2 3−2 ⎝ 2

1) y′=(x3+2x2–3x+4)′=3x2+4x=3.

12

)

3

44 ⎞ ⎛ 65 ⋅⎜ x − ⎟ 2 2 ⎠ ⎝

)


Если пересекаются, то точки пересечения удовлетворяют уравнению: 3x2+4x–3=3x+1, 3x2+x–4=0, 4 −1 − 7 ⎡ −1 + 7 ⎡ ⎢ x2 = 6 = − 3 . D=1+48=49 ⎢ x1 = 6 = 1 ⎢ ⎛ 4⎞ ⎢ y = 3 ⋅1 + 1 = 4 ⎢ y 3 = ⋅ − + 1 = − 3 ⎜ ⎟ ⎣ 1 ⎢⎣ 2 ⎝ 3⎠ Ответ: Пересекаются.

№ 813.

(

) (

)

(

)

′ ′ ′ y′ = (x − 3)5 (2 + 5x )6 = (x − 3)5 (2 + 5x )6 + (x − 3)5 (2 + 5x )6 =

= 5(x − 3) (2 + 5x ) + (x − 3) ��� 6 ⋅ 5(2 + 5x ) = 4

6

5

5

= 5(x − 3)4 ((2 + 5x ))5 (2 + 5x + 6 x − 18) = 5(x − 3)4 (2 + 5x )5 (11x − 16 ) ⇒

у′=0

5(x − 3)4 (2 + 5x )5 (11x − 16 ) =0

⎡x − 3 = 0 ⎢2 + 5x = 0 ⇒ x 1 = 3, ⎢11x − 16 = 0 ⎣

№ 814.

x2 = −

(

2 , 5

x3 =

)

16 . 11

(

)

′ ′ ′ 5 3 5 3 ⎛ x5 + x3 + x ⎞ ⎟ = x + x + x (x + 1) − x + x + x (x + 1) = 1) ⎜ ⎜ x + 1 ⎟⎠ (x + 1)2 ⎝ =

=

(5x

4

)

(

)

+ 3x 2 + 1 (x + 1) − x 5 + x 3 + x ⋅ 1

(x + 1)2

=

5x 5 + 3x 3 + x + 5x 4 + 3x 2 + 1 − x 5 − x 3 − x

(x + 1)2

′ ⎛ x + x2 + 1 ⎞ ⎟ = 2) ⎜ ⎜ ⎟ x −1 ⎝ ⎠

=

4 x 5 + 5x 4 + 2 x 3 + 3x 2 + 1

(x + 1)2

( x + x + 1)′ (x − 1) − ( x + x + 1)(x − 1)′ = 2

2

(x − 1)2

(

)

⎛ 1 − 12 ⎞ 2 ⎜ 2 x + 2 x ⎟(x − 1) − x + x + 1 ⋅ 1 ⎠ ⎝ = = (x − 1)2

1 1 x 1 x + 2x 2 − − 2x − x − x 2 − 1 x 2 − 2x − − −1 2 2 2 x 2 x = = = (x − 1)2 (x − 1)2 =

2x 2 x − 4x x − x − 2 x − 1 2 x (x − 1)2

.

13


№ 815.

(

)(

)(

)(

)

′ ′ 2 ′ 2 2 2 ⎛ x2 −1 ⎞ ⎟ = x −1 x +1 − x −1 x +1 = 1) f ′( x ) = ⎜ 2 2 ⎜ x +1⎟ ⎠ x2 + 1 ⎝ =

(

2

) ( (x + 1)

) = 2x

2

2x x + 1 − 2x x − 1 2

2

4 ⋅1

3

(

)

3

+ 2x − 2x + 2x

(x + 1)

2

2

=

4x

(x + 1)

2

2

;

4 =1. (1 + 1) 4 ′ ′ ⎛ 2x 2 ⎞ 2 x 2 (1 − 7 x ) − 2x 2 (1 − 7 x )′ ⎟ ⎜ 2) f ′( x ) = = = ⎜ 1 − 7x ⎟ (1 − 7 x )2 ⎠ ⎝ f ′(1) =

2

=

( )

=

( ) = 4x − 28x

4 x (1 − 7 x ) − 7 2 x 2

(1 − 7 x )2

f ′(1) =

4 − 14

(1 − 7 )

2

( )

2

+ 14 x 2

(1 − 7 x )2

=

4 x − 14x 2

(1 − 7 x )2

;

−10 5 =− . 36 18

=

№ 816. 3

1) f(g)= g 2 = (1 − x )2 ; 3

2) f(g)= g = ln x .

№ 817. 1) g=2x2–7, f(g)= g ;

№ 818.

2) g=(x2+1),

(

) (

f(g)=sin g.

)

′ ′ ′ 3 2 3 2 ⎛ x 3 + x 2 + 16 ⎞ ⎟ = x + x + 16 x − x + x + 16 ⋅ (x ) = 1) ⎜ ⎜ ⎟ x x2 ⎝ ⎠ =

(3x

2

) (

)

+ 2 x x − x 3 + x 2 + 16 ⋅ 1 x2

=

3x 3 + 2 x 2 − x 3 − x 2 − 16 x2

(

)( ) (

=

2 x 3 + x 2 − 16

= =

14

43 3

3

x 2 + 33 x − 13 x 2 − 3 x − 6 x 3

3x 3 x + 6 x − 18 3

3 x4

x2 =

x 3 x + 2x − 6 x3 x

− 23

=

x2

) ( x )′ =

′ ′ ⎛ x3 x + 3 x + 18 ⎞ x3 x + 3 x + 18 3 x − x3 x + 3 x + 18 ⋅ ⎟ ⎜ 2) = 3 ⎟ ⎜ 3 2 x x ⎠ ⎝ 2 − ⎛ 4 13 ⎞3 3 ⎜ 3 x + 3 ⎟ x − ( x x + 3› + 18) ⋅ 13 x 3 ⎝ ⎠ = = 3 2 x

3

4x 3 x + 9 x − x 3 x − 3x − 18 3

3 x4

=

. (Опечатка в ответе задачника).


№ 819.

(

)

(

) ( x )′ =

′ ′ 2 2 ⎛ x2 − 4 ⎞ ⎟ = x −4 x − x −4 ⋅ 1) ⎜ 2 ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝ x

(

)2

2x x − x 2 − 4 ⋅

( )

1

2 2 2 x = 4 x − x + 4 = 3x + 4 ; x 2x x 2x x ′ ′ ⎛⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 x +1 ⎟⎟ = . 2) ⎜ ⎜⎜ 4 x + 4 ⎟⎟⎜⎜ 4 x − 4 ⎟⎟ ⎟ = ⎜⎜ x − + = ⎜ ⎟ x ⎠⎝ x ⎠⎠ ⎝ x⎠ 2 x 2x x 2x x ⎝⎝ (Опечатка в ответе задачника).

=

№ 820.

( (

( )(

)) )

′ 1) (2x − 3)5 3x 2 + 2 x + 1 = ′ ′ = (2 x − 3)5 3x 2 + 2 x + 1 + (2x − 3)5 3x 2 + 2 x + 1 =

(

(

)

)

= 5 ⋅ 2(2 x − 3) 3x + 2 x + 1 + (2x − 3) (6 x + 2 ) = 4

(

2

5

)

(

)

= (2x − 3) 30x + 20x + 10 + 12x 2 + 4x − 18x − 6 = (2 x − 3) 42 x 2 + 6 x + 4 ; ′ ′ ′ 2) (x − 1)4 (x + 1)7 = (x − 1)4 (x + 1)7 + (x − 1)4 (x + 1)7 = 4

(

2

) (

)

4

(

)

= 4(x − 1) (x + 1) + 7(x − 1) (x + 1) = (x − 1) (x + 1) ( 4x + 4 + 7 x − 7) = 3

7

4

6

3

6

= (x − 1)3 (x + 1)6 (11x − 3) ; ′ ′ ′ 3) 4 3x + 2 (3x − 1)4 = 4 3x + 2 (3x − 1)4 + 4 3x + 2 (3x − 1)4 =

(

=

= 4)

=

= =

) (

3 ⋅ (3x − 1)

4

44 (3x + 2)3

(

)

+ 4 3x + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ (3x − 1)3 =

)

3(3x − 1) + 48(3x + 2)(3x − 1)3 4

44 (3x + 2)3

(3x − 1)3 (9x − 3 + 144x + 96) = 3(3x − 1)3 (51x + 31) ; 44 (3x + 2 )3 44 (3x + 2 )3

( 2 x + 1 ⋅ (2 x − 3) )′ = ( 2x + 1 )′ (2x − 3) + 3

3

2(2 x − 3)

3

3 (2 x + 1) 3

2

2(2 x − 3)2 33 (2 x + 1)2

3

3

3

(

=

)

′ 2 x + 1 (2 x − 3)3 =

+ 3 2 x + 1 ⋅ 2 ⋅ 3(2 x − 3)2 =

(2 x − 3 + 18 x + 9) =

4(2 x − 3)2 (10 x + 3) 33 (2 x + 1)2

2(2 x − 3)2 33 (2 x + 1)2

( 20 x + 6) =

.

15


№ 821.

(

)

(

)

′ ′ ′ 2 2 ⎛ 2 x 2 − 3x + 1 ⎞ ⎟ = 2 x − 3x + 1 (x + 1) − 2 x − 3x + 1 (x + 1) = 1) ⎜ 2 ⎜ ⎟ x +1 (x + 1) ⎝ ⎠ = =

(4x − 3)(x + 1) − (2x 2 − 3x + 1) = (x + 1)2

4 x 2 + 4 x − 3x − 3 − 2 x 2 + 3x − 1

(x + 1)2

(

2x 2 + 4x − 4

=

(x + 1)2

)

;

(

)

′ ′ ′ 2 2 ⎛ 3x 2 + 2 x − 1 ⎞ ⎟ = 3x + 2 x − 1 (2 x + 1) − 3x + 2 x − 1 (2x + 1) = 2) ⎜ 2 ⎜ 2x + 1 ⎟ (2x + 1) ⎝ ⎠ = =

3)

(6x + 2)(2x + 1) − 2(3x 2 + 2x − 1) = (2x + 1)2

12 x 2 + 6 x + 4 x + 2 − 6x 2 − 4 x + 2

(2x + 1)2 2 (2 − x )2 + ( x ) 2−x x + = 2−x (2 − x ) x x

6x 2 + 6x + 4

= =

(2x + 1)2

;

4 − 4x + x 2 + x

=

x 2 − 3x + 4

2 x −x x 2 x −x x ′ ′ ′ 2 2 ⎛ x 2 − 3x + 4 ⎞ ⎜ ⎟ = = x − 3x + 4 2 x − x x − x − 3x + 4 2 x − x x = 2 ⎜2 x −x x ⎟ ⎝ ⎠ 2 x −x x

(

=

=

=

(2x − 3)(2

)(

)(

)

x − x x − x 2 − 3x + 4 ⎛⎜ ⎝

(2

x −x x

)

)(

(

1 x

2

3 2

)(

)

x ⎞⎟ ⎠=

4x x − 2x 2 x − 6 x + 3x x − x x + 32 x 2 x + 3 x − 92 x x −

(2

− 12 x 2 x + 32 x x + 3 x −

(2

x −x x

)

2

4 x

x −x x

=

)

− x 3 + 3x 2 + 6x − 8 2 x x ⋅ (2 − x )2

+6 x

.

f ′(x)=(2x3–3x2–12x+1)′=6x2–6x–12; f ′(0)=6x2–6x–12=0; 1+ 3 1− 3 D=1+8=9; х1= =2, х2= = –1. 2 2

№ 823.

4 x

2

№ 822.

′ ′ ′ ⎛ 2 x − 1 ⎞ (2 x − 1) (x + 1) − (2 x − 1)(x + 1) f ′(x)= ⎜ = ⎟ = ⎝ x +1 ⎠ (x + 1)2

16

)

x2–x–2=0;

=


=

2( x + 1) − (2 x − 1)

(x + 1)

2

=

2x + 2 − 2x + 1

(x + 1)

2

(х+1)2=1;

f ′(x)=3 ⇒

=

x2+x+1=1;

3

(x + 1)2

;

x(x+2)=0;

x1=0;

x2= –2.

№ 824.

f(x)=(x–1)(x–2)(x–3)=(x2–3x+2)(x–3)=x3–3x2–3x2+9x+2x–6=x3–6x2+11x–6 f ′(x)=3x2–12x+11, f ′(x)=11 ⇒ 3x2–12x+11=11; x(3x–12)=0; x1=0, x2=4.

№ 825.

1) f ′(x)=4x3–8x,

f ′(x)>0, 4x3–8x>0

+ –

4x(x2–2)>0

+ –

0

2

x

2

х∈(– 2 ; 0)∪( 2 ; +∞) 2) f ′(x)=12x –12x –24x f ′(x)>0, 12x(x2–x–2)>0 Решим уравнение: x(x2–x–2)=0, х=0, x2–x–2=0, D=1+8=9, 1+ 3 1− 3 х1= =2, х2= = –1, 2 2 3

2

+ –

+

–1

0

х∈(–1; 0)∪(2;+∞).

(

x

2

) (

)

( )

′ ′ ′ 3) f ′(x)= (x + 2 )2 x = (x + 2)2 x + (x + 2 )2 ⋅ x = 1 x+2 (4x + x + 2) = (x + 2)(5x + 2) = 2(x + 2) x + (x + 2)2 ⋅ = 2 x 2 x 2 x

x >0 ⇒ (x+2)(5x+2)>0

f ′(x)>0

x>0

+

+ –

–2

учитывая, х>0

2 5

x∈(0; +∞); ′ ′ 4) f ′(x)= (x − 3) x = (x − 3)′ x + (x − 3) ⋅ x = 1 2 x + x − 3 3x − 3 = x + (x − 3) ⋅ = = ; 2 x 2 x 2 x

(

)

( )

2 x >0 ⇒ f ′(x)>0, если 3х–3>0 x>1. Учитывая, что x>0, получим х∈(1; +∞).

№ 826.

(

) (

)

(

)

′ ′ ′ 1) f′(x)= (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = (5 − 3x )4 (3x − 1)3 + (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = = 4 ⋅ (− 3)(5 − 3x ) (3x − 1) + 3 ⋅ 3(5 − 3x ) (3x − 1) = 3

3

4

2

= 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (− 12x + 4 + 15 − 9 x ) = 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (19 − 21x ) 17


f ′(x)<0 при 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (19 − 21x ) <0. Т.к. 3>0, (3x–1)2>0, то (5 − 3x )3 (19 − 21x ) <0. +

+ –

19 21

5 3

⎛ 19 5 ⎞ ; ⎟. ⎝ 21 3 ⎠

Ответ: x ∈ ⎜

(

) (

) (

)

′ ′ ′ 2) f′(x)= (2x − 3)2 (3 − 2 x )3 = − (2 x − 3)2 (2 x − 3)3 = − (2 x − 3)5 = = −5 ⋅ 2(2 x − 3) = −10(2 x − 3) , 4

4

f ′(0)<0 при –10(2х–3)4<0 ⇒ (2х–3)4>0 ⇒ x ≠ Ответ: x ≠

3 . 2

(

)

(

3 . 2

)

′ ′ ′ 2 2 ⎛ 3x 2 − 1 ⎞ ⎟ = 3x − 1 (1 − 2x ) − 3x − 1 (1 − 2 x ) = 3) f ′(x)= ⎜ 2 ⎜ 1 − 2x ⎟ (1 − 2x ) ⎝ ⎠ =

(

) = 6x − 12x

6 x (1 − 2 x ) + 2 3x 2 − 1

(1 − 2x )

2

2

+ 6x 2 − 2

(1 − 2x )

f ′(x)<0 при –2(3x2–3x+1)<0 , уравнение.

2

=

− 6x 2 + 6x − 2

(1 − 2x )2

3x2–3x+1>0. Решим соответствующее

D=9–12<0 – нет решений, следовательно, f ′(x)<0 при всех х, кроме Ответ: х ≠

1 . 2

( )

′ ′ 3′ 3 2 3 ⎛ 3x 3 ⎞ ⎟ = 3x (1 − 3x ) − 3x (1 − 3x ) = 9x (1 − 3x ) + 9 x = 4) f ′(x)= ⎜ 2 2 ⎜ 1 − 3x ⎟ (1 − 3x ) (1 − 3x ) ⎝ ⎠ =

9 x 2 − 27 x 3 + 9x 3

(1 − 3x )2

=

9x 2 − 18x 3

(1 − 3x )2

f ′(x)<0 если 9x2(1–2x)<0; Ответ: x >

№ 827.

,

(1–2x)<0 ⇒ x>

1 . 2

v(t)=(ϕ(t))′=(0,1t2–0,5t+0,2)′=0,2t–0,5, v(20)=0,2⋅20–0,5=4–0,5=3,5.

18

1 2

1 . 2


№ 828.

v(t)=(s(t))′=(1–t+t2)′= –1+2t, v(10)= –1+2⋅10=19(м/с), mv2 5 ⋅ (19 )2 = =902,5 Дж. 2 2

№ 829.

ρ(l)=m′(l)=(2l2+3l)′=4l+3, 1) ρ(3)=4⋅3+3=15 (Г/см);

2) ρ(25)=4⋅25+3=103 (Г/см).

№ 830. При x<2 и x>3 подкоренное выражение положительно. 1 ′ −1 ⎛ ⎞ 1 2x − 5 f ′(x)= ⎜⎜ x 2 − 5x + 6 2 ⎟⎟ = x 2 − 5x + 6 2 (2x − 5) = . 2 ⎝ ⎠ 2 x 2 − 5x + 6

(

)

(

)

§ 47 Производные некоторых элементарных функций № 831.

2) (еx+x2)′=ex+2x;

№ 832.

(

′ ′ ⎛ 1 ⎞′ 1⎞ 1 ⎛ 3) ⎜ e2 x + ⎟ = e 2 x + ⎜ ⎟ = 2e 2 x − 2 ; x⎠ x ⎝ ⎝x⎠ ′ ′ 1 −3x −3x ′ −3x 4) e + x = e + x = −3e + . 2 x

( )

1) (еx+1)′=ex;

(

) (

) ( ) ( )

) ( )

′ ′ ′ 1) e 2 x +1 + 2 x 3 = e 2 x +1 + 2 x 3 = 2e 2 x +1 + 6 x 2 ; ′ ′ ′ 1 1 x −1 1 ⎛ 1 x −1 ⎞ ⎛ 1 x −1 ⎞ 2) ⎜ e 2 − ; − x −1⎟ = ⎜e 2 ⎟ − x −1 = e 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 x −1 ′ ′ ′ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ = e 0, 3 x + 2 + ⎜ ⎟ = 0,3e0,3x + 2 − ; 3) ⎜⎜ e0,3x + 2 + ⎟ ⎜ ⎟ x⎠ 2x x ⎝ ⎝ x⎠ ′ ′ ′ 4) e1− x + x −3 = e1− x + x −3 = −e1− x − 3x − 4 ; 2 ′ 2 3 ′ 3 6) ⎛⎜ e2 x ⎞⎟ = 6 x 2 ⋅ e2 x ; 5) ⎛⎜ e x ⎞⎟ = 2 x ⋅ e x ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

(

(

)

)

) ( ) ( )

№ 833.

1) (2x+ex)′=2xln2+ex 2) (3x–x–2)′=3xln3+2x–3 (опечатка в ответе задачника) 3) (e2x–x)′=2e2x–1; 4) (e3x+2x2)′=3e3x+4x ′ 2 2 ′ 2 2 5) ⎛⎜ 3x + 2 ⎞⎟ = ⎛⎜ 9 ⋅ 3x ⎞⎟ = 18x ⋅ 3x ⋅ ln 3 = 2 x ⋅ 3x + 2 ⋅ ln 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Опечатка в ответе задачника). 19


№ 834.

( (

) )

(

)

′ ′ 1) 0,5x + e3x = 0,5x ln 0,5 + 3e3x ; 2) 3x − e2 x = 3x ln 3 − 2e 2 x ; ′ ′ 1 ⎞ 4 1 ⎛ ; 4) ⎜ e3− x + 4 ⎟ = −e3− x − 5 . 3) e 2 − x + 3 x = −e 2 − x + 3 2 x x ⎝ ⎠ 3 x

№ 835. 1) (2 lnx +3x)′=

2 3 +3 x ln3; 2) (3 lnx –2x)′= +2x ln2; x x

′ ′ 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ ; 3) ⎜ log 2 x + − 2 ; 4) 3x −3 − log3 x = −9 x − 4 ⎟ = x ln 3 2x ⎠ x ln 2 2 x ⎝

(

(( 6) ((3x

))′ = 1 ⋅x(x −−22xx ) = x2x−−22x ; ′ ′ − 2 )log x ) = (3x − 2 ) log x + (3x 2

5) ln x 2 − 2 x 2

2

2

2

3

= 6x log3 x +

=

)

3

2

)

− 2 (log3 x )′ =

3x − 2 6 x ln x 3x − 2 3x (2 ln x + 1) − 2 ⋅ + = = x ln 3 ln 3 x ln 3 x ln 3 2

2

2

3 x(2 ln x + 1) 2 − . ln 3 x ln 3

№ 836.

1) (sin x +х2)′=cos x +2х; 3) (cos x +ех)′= –sin x +ех; 2) (cos x –1)′= –sin x +0= –sin x; 4) (sin x –2х)′=cos x –2х ln 2.

№ 837. 1) (sin (2х–1))′=2cos (2х–1) 3) (sin (3–х))′= –cos (3–х); 2) (cos (x +2))′= –sin (х+2) 4) (cos (х3))′=3х2⋅(–sin (х3))= –3х2sin x3.

№ 838. 1 ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ 1) (cos ⎜ − 1⎟ + e3x )′ = − sin ⎜ − 1⎟ + 3e3x 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 1 ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ 2) (sin ⎜ + 3 ⎟ + 2 x )′= cos⎜ + 3 ⎟ +2 х ln 2 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 3) (3cos 4x–

1 1 )′= –12sin4x+ 2 2x 2x

№ 839.

( )

′ ′ ⎛ cos x ⎞ (cos x )′ e x − cos x ⋅ e x 1) ⎜⎜ x ⎟⎟ = = e2 x ⎝ e ⎠ =

20

− sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x e

2x

=

− sin x − cos x ex

;


( )

′ ′ x ′ x ⎛ 3x ⎞ ⎟ = 3 sin x − 3 (sin x ) = 2) ⎜ 2 ⎜ sin x ⎟ sin x ⎝ ⎠ =

3x ⋅ ln 3 ⋅ sin x − 3x cos x 2

sin x

=

3x (ln 3 ⋅ sin x − cos x ) sin 2 x

3) (ln x⋅cos 3x)′=(ln x)′cos 3x+lnx⋅(cos3x)′=

;

cos 3x +lnx⋅ 3(–sin 3x)= x

cos 3x –3 ln x⋅sin 3x; x 4) (log2x⋅sin 2x)′=(log3x)′sin 2x+log3x(sin 2x)′= 1 sin 2 x = + sin 2 x + log 3 ⋅ 2 cos 2 x = + 2 log 3 x cos 2 x . x ln 3 x ln 3

=

№ 840.

( 2) f ′(x)= (e

)′

2 2 , f ′(2)= 2e 2⋅2 − 4 + =2+1=3; 2 x ′ 3 3x−2 − ln (3 x − 1) = 3e3 x − 2 − , 3x − 1 3 3⋅ 2 − 2 2 =3–3=0; f ′( )= 3e 3 − 2 3 3 3 −1

1) f ′(x)= e 2 x − 4 + 2 ln x = 2e 2 x − 4 +

)

3) f ′(x)=(2 x–log 2 x)′=2 x ln2–

1 , x ln 2

2 ln 2 2 − 1 1 1 ; =2 ln2– = 1 ⋅ ln 2 ln 2 ln 2 ′ 1 4) f ′(x)= log0,5 x − 3x = − 3x ln 3 , x ln 0,5 1 1 − 31 ln 3 = − 3 ln 3 . f ′(1)= ln 0,5 ln 0,5 f ′(1)= 21 ln2–

(

)

№ 841.

1) f ′(x)=(x–cos x)′=1+sin x, f ′(x)=0 ⇒ 1+sin x=0 ⇒ sin x= –1, π x = − +2πn, n∈Z; 2 1 1 2) f ′(x)=( x–sin x)′= –cos x, 2 2 1 1 f ′(x)=0 ⇒ –cos x=0, ⇒ cos x = , откуда 2 2 π х= ± +2πn, n∈Z; 3 21


2 2 − x − 3 −x −1 , −1 = = x+3 x+3 x+3 f ′(x)=0 ⇒ –(x+1)=0, ⇒ х= –1; 1 –2, 4) f ′(x)<(ln(x+1)–2x)′= x +1 1 1 1 f ′(x)=0 при –2=0, т.е. х+1= ⇒ x= – ; x +1 2 2

3) f ′(x)=(2 ln(x+3)–x)′=

5) f ′(x)=(x2+2x–12lnx)′=2x+2–

12 12 , f ′(x)=0 ⇒ 2x+2– =0 x≠0, x x

2x2+2x–12=0; x2+x–6=0, D=1+24=25, х1=

−1 + 5 −1− 5 = –3. =2, х2= 2 2

Т.к. x>0 ⇒ x=2. 6) f ′(x)=(x2–6x–8⋅ lnx)′=2x–6–

8 8 , f ′(x)=0 ⇒ 2x–6– =0, x≠0, x x

2x2–6x–8=0; х2–3х–4=0; D=9+16=25, х1=

3+5 3−5 =4, х2= = –1, 2 2

x>0 ⇒ x=4.

№ 842.

1) f ′(x)=(e x–x)′=e x –1, f ′(x)>0 при e x –1>0, т.е. e x >1 или e x >е 0, откуда x>0; 2) f ′(x)=(x ln 2–2 x)′=ln 2–2 x ln 2, + + f ′(x)>0 при ln2(1–2 x)>0, x x – т.к. ln 2>0, то 1–2 >0 или 2 <1, –2 0 2x <20, откуда x<0; x 2 x 2 x 3) f ′(x)=(e ⋅x )′= e ⋅x +2xe , f ′(x)>0 при e x(x2+2x)>0, e x>0, x(x+2)>0 Ответ: x∈(–∞; –2)∪(0;+∞).

(

)′

4) f ′(x)= e x x = e x x +

ex 2 x

+ 1

x

+ 0

x

− 1 2 f ′(x)>0 при e x (1+ ) > 0 ), 2x 1 1 т.к. e x x >0, то 1+ >0 ⇒ x > − f ′(x)>0 и x >0. Ответ: х > 0. 2x 2 x

№ 843.

′ ⎛ 2x − 1 2 x + 3 ⎞⎟ 1⋅ 2 2⋅5 1 2 = + = + 1) ⎜ + ln ⎜ ⎟ 3 5 5 ( 2 x + 3 ) 2 x +3 3 ⋅ 2 2 − 1 6 − 3 x x ⎝ ⎠ ′ ⎛ 1− x (− 1) − 2 ⋅ 3 ⋅ (− 5) = − 6 + 10 . 2 − 5x ⎞⎟ 1 = ⋅ 2) ⎜ − 2 ln ⎜ 6 ⎟ 3 ⎠ 6 2 1 − x (2 − 5x ) ⋅ 3 12 1 − x 2 − 5x ⎝ 21


′ 1− x ⎞ 1− x ⎞ ⎛ 1− x ⎛ 1 ⎞ 1− x ⎛ 1 ⎞⎛ 3) ⎜ 2e 3 + 3 cos ⎟ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟e 3 + 3 ⋅ ⎜ − ⎟⎜ − sin ⎟= 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 1− x 3 1− x . = − e 3 + sin 3 2 2 ′ 2− x 1 1+ x 1+ x ⎞ 1 1+ x ⎛ 2− x ⎛ 1 ⎞ 2− x = − e 3 − cos 4) ⎜ 3e 3 − 2 sin . ⎟ = 3 ⋅ ⎜ − ⎟e 3 − 2 ⋅ cos 4 ⎠ 4 4 2 4 ⎝ ⎝ 3⎠

№ 844.

′ ⎛ 1 x − 2 ⎞⎟ ⎛ 3 x−2⎞ 3 ⎜ 3 = ⎜ 3 ⋅ (2 − x )− 3 − 3 cos 1) − 3 cos ⎟= ⎜ 2− x ⎟ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ 4 x−2⎞ 1⎛ x−2 1 ⎛ 1⎞ = 3 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ (− 1) ⋅ (2 − x )− 3 − 3 ⋅ ⎜ − sin . + sin ⎟= 3 3⎝ 3 ⎠ (2 − x )3 (2 − x ) ⋅ 9 ⎝ 3⎠ ′ x−4 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 3⎞ 1 x−4 ⎞ 1 −7 5 ⎟ = ⎜2⋅ − − 2) ⎜ 2 ⋅ 4 e 5 ⎜ ⎟(x + 2 ) 4 − 5 ⋅ ⋅ e 5 ⎟⎟ = ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 4⎠ 5 (x + 2 ) ⎠ ⎝ ⎠ x−4 7 3 = − (x + 2)− 4 − e 5 . 2

№ 845.

(

) ( )

′ ′ 1) 0,5 x ⋅ cos 2 x = 0,5 x cos 2 x + 0,5 x (cos 2 x )′ =

= 0,5 ln 0,5 cos 2 x + 0,5 x ⋅ 2 ⋅ (− sin 2 x ) = 0,5 x (ln 0,5 cos 2 x − 2 sin 2 x ) . ′ ′ ′⎞ ⎛ 2) 5 x ⋅ e− x = 5⎜ x e − x + x e− x ⎟ = ⎝ ⎠ x

(

)

( )

( )

⎞ ⎛ 1 ⎞ 5e− x (1 − 2 x ) ⎛ 1 −x . = 5⎜⎜ e − x ⋅ e − x ⎟⎟ = 5e − x ⎜⎜ − x ⎟⎟ = 2 x ⎝2 x ⎠ ⎝2 x ⎠ 3) (e3–2 x⋅cos(3–2x))′=(e3–2 x)′cos(3–2x)+ e3–2 x(cos(3–2x))′= = –2 e3–2 xcos (3–2x)–2 e3–2 x⋅(–sin(3–2x))= =–2e3–2 x(cos(3–2x)–sin(3–2x)) = 2e3–2 x(sin(3–2x)–cos(3–2x)).

№ 846.

(

)

′ 1) ln x − 1 =

1

1

=

1 . 2( x − 1)

x −1 2 x −1 ′ 1 2) ⎛⎜ e 3+ x ⎞⎟ = e 3+ x (опечатка в ответе задачника). ⎝ ⎠ 2 3+ x 1 1 3) (ln (cos x ))′ = ⋅ (–sin x)= –tg x. 4) (ln (sin x ))′ = ⋅ cos x =ctg x. cos x sin x

22


№ 847.

( ) ′ 3) (cos x + 2 ) = − sin

(

)

′ ′ 1) 2cos x +1 = 2cos x +1 ⋅ln 2⋅(–sin x). 2) 0,51+ sin x = 0,51+ sin x ⋅ln0,5⋅cos x. 3

3

x+2⋅

3

3 1 (x + 2)− 2 = − sin x + 2 . 3 33 x + 22

(

)

1 cox(ln x) 4) (sin (ln x))′=cos(ln x)⋅ = . x x

№ 848.

′ (2 x + 2) = x +1 ⎛ ⎞ 1) ⎜ x 2 + 2 x − 1 ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ 2 x + 2x − 1 x + 2x − 1 ′ ′ 1 ⋅ (− sin x) sin x cos x 3 4 . 3) cos x = 4 =− 4 . 2) sin x = 3 4 cos x 4 cos x 3 sin 2 x ′ 1 1 4) log 2 x = = 2 log 2 x ⋅ x ln 2 2 x ln 2 ⋅ log 2 x

(

)

(

(

)

)

№ 849.

′ ′ ⎛ 1 + cos x ⎞ (1 + cos x ) sin x − (1 + cos x )(sin x)′ 1) ⎜ = ⎟ = sin 2 x ⎝ sin x ⎠ =

− sin x ⋅ sin x − (1 + cos x ) ⋅ cos x 2

=

3 2 3x

− sin 2 x − cos x − cos 2 x

( 3x )(′ 3 + 1)− 3x (3 + 1)′ = (3 + 1) (3 + 1)− 3x (3 ln 3) = (3 + 1)

′ ⎛ 3x ⎞ ⎟ = 2) ⎜ x ⎜ 3 +1⎟ ⎝ ⎠

=

sin x

=

x

=−

1 + cos x sin 2 x

x

x

x

sin 2 x

2

x

x

2

3 ⋅ 3x + 3 − 2 ⋅ 3x ⋅ 3x ln 3

=

3 x +1 (1 − 2 x ln 3) + 3

. 2 2 3x 3x + 1 2 3x 3x + 1 ′ ′ ⎛ e 0, 5 x ⎞ e0,5 x (cos 2 x − 5) − e0,5 x (cos 2 x − 5)′ ⎜ ⎟ = = 3) ⎜ cos 2 x − 5 ⎟ (cos 2 x − 5)2 ⎝ ⎠ =

(

) ( ) 2

0,5e0,5 x (cos 2 x − 5) + 2e0,5 x sin 2 x

(cos 2 x − 5)

2

( )

(

=

)

0,5e0,5 x (cos 2 x − 5 + 4 sin 2 x )

( )

(cos 2 x − 5)2

.

′ ′ ⎛ 52 x ⎞ 52 x (sin 3x + 7 ) − 52 x (sin 3x + 7 )′ ⎜ ⎟ 4) = = ⎜ sin 3x + 7 ⎟ (sin 3x + 7 )2 ⎝ ⎠ =

2 ⋅ 52 x ⋅ ln 5(sin 3x + 7) − 52 x ⋅ 3 ⋅ cos 3x

(sin 3x + 7)

2

=

52 x (2 ⋅ ln 5 ⋅ sin 3x + 14ln 5 − 3cos3x)

(sin 3x + 7)2

23


№ 850.

(

=

(e

x

) (

)

′ x −x ′ ⎞ x − e x − e− x (x )′ ⎟ = e −e = ⎟ x2 ⎠

⎛ e x − e− x 1) ⎜ ⎜ x ⎝

) (

)

+ e− x ⋅ x − e x − e− x ⋅1 x2

=

e x ⋅ x + e− x ⋅ x − e x + e− x

(

x2

)

e x ( x − 1) + e x ( x + 1)

=

(

)

x ⋅ 2 x ln 2 −

1 − 2x ln 2 2 2

x2

′ ′ ⎛ 2 x − log 2 x ⎞ 2 x − log 2 x ⋅ ln 2 ⋅ x − 2 x − log 2 x (ln 2 ⋅ x )′ ⎟ ⎜ 2) = = ⎜ ln 2 ⋅ x ⎟ x 2 ⋅ ln 2 2 ⎠ ⎝

=

(2

x

ln 2 −

1 x ln 2

)⋅ ln 2 ⋅ x − (2 2

ln 2 ⋅ x

x

)

− log 2 x ⋅ ln 2

2

=

+ log 2 x

x ⋅ ln 2

№ 851.

.

′ (sin x − cos x )′ ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ (x )′ = ⎛ sin x − cos x ⎞ 1) ⎜ ⎟ = x x2 ⎝ ⎠ (cos x + sin x ) ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ 1 = = x2 cos x ⋅ x + sin x ⋅ x − sin x + cos x cos x( x + 1) + sin x( x − 1) = = x2 x2 ′ ′ 2 ⎛ 1 − sin 2 x ⎞ ⎛⎜ (sin x − cos x ) ⎞⎟ 2) ⎜ = (sin x − cos x )′ = cos x + sin x . ⎟ = ⎝ sin x − cos x ⎠ ⎜⎝ sin x − cos x ⎟⎠

№ 852.

(

)

′ 1) f ′( x) = 5(sin x − cos x ) + 2 cos 5 x =

(

)

= 5(cos x + sin x ) + 2 ⋅ 5 ⋅ (− sin 5 x ) = 5 cos x + sin x − 2 sin 5 x =

⎛ ⎞ ⎛π ⎞ = 5⎜⎜ cos x + cos⎜ − x ⎟ − 2 sin 5 x ⎟⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ π⎞ π π⎞ ⎛ = 5⎜⎜ 2 sin ⎜ x + ⎟ sin − 2 sin 5 x ⎟⎟ = 5 2 ⎜⎜ sin ⎜ x + ⎟ − sin 5 x ⎟⎟ = 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ x+

π 4

− 5x

x+

π 4

− 5x

⎞ ⎛π ⎞ ⎛π = 10 2 sin ⎜ − 2 x ⎟ cos⎜ + 3x ⎟ ⎠ ⎝8 ⎠ ⎝8 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ f′(x)=0 при sin⎜ − 2 x ⎟ cos⎜ + 3 x ⎟ =0, ⎝8 ⎠ ⎝8 ⎠ = 5 2 ⋅ 2 sin

2

cos

2

π π ⎡π ⎡ ⎢ 8 − 2 x = πn ⎢ x = 16 + 2 n, n ∈ Z Откуда: ⎢ ⇒⎢ ⎢ π + 3 x = π + πk ⎢ x = π + π k, k ∈ Z ⎢⎣ 8 3 2 ⎣⎢ 8

24

;


2) f ′(( x) = (1 − 5 cos 2 x + 2(sin x − cos x ) − 2 x )′ =

⎛π ⎞ = 10 sin 2 x + 2(cos x + sin x ) − 2 = 10 cos⎜ − 2 x ⎟ + 2(cos x + sin x ) − 2 = ⎝2 ⎠ ⎛ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞⎞ = 10⎜⎜ cos2 ⎜ − x ⎟ − sin 2 ⎜ − x ⎟ ⎟⎟ + 2(cos x + sin x ) − 2 = 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛π ⎞ ⎞ ⎛π ⎞ = 10⎜⎜ 2 cos2 ⎜ − x ⎟ − 1⎟⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 2 = ⎝4 ⎠ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = 20 cos2 ⎜ − x ⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 12 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ f ′(x)=0, если 20 cos 2 ⎜ − x ⎟ + 2 2 cos⎜ − x ⎟ − 12 =0 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ π cos( –x)=t, 20t2+2 2 t–12=0 или 10t2+ 2 t–6=0 D=2+240=242=2⋅121 4 t1=

− 2 + 11 2 2 = 20 2

t2=

− 2 − 11 2 3 2 =− 20 5

9⋅2 3 2 ∨ 1; 18 < 25 ⇒ <1 25 5

3 2 ∨ 1; 5

π 3 2 3 2 >–1. )+2πn, − х1=±arccos(– 5 5 4 ⎛ 3 2⎞ π ⎟ + 2πn, n ∈ Z n∈Z ⇒ x1 = ± arccos⎜ − ⎜ 4 5 ⎟⎠ ⎝ Cледовательно, –

π π π − x2=± +2πk, k∈Z ⇒ x2 = 2πk , k ∈ Z , x3 = + 2πm, m ∈ Z 4 4 2

№ 853.

(

) ( )

′ ′ 1) f ′( x) = e 2 x ln (2 x − 1) = e 2 x ⋅ ln (2 x − 1) + e2 x (ln (2 x − 1))′ = = 2e 2 x ln (2 x − 1) +

2x

2e 1 ⎞ ⎛ = 2e 2 x ⎜ ln (2 x − 1) + ⎟, 2x − 1 2x − 1 ⎠ ⎝

f(x)=0 ⇒ e2xln(2x–1)=0, e 2x>0, так что ln(2x–1)=0, ln(2x–1)=ln 1; 1 ⎞ ⎛ 2x–1=1; x=1, f ′(1)= 2e 2⋅1⎜ ln (2 ⋅ 1 − 1) + ⎟ =2e2⋅(0+1)=2e2. ⋅ −1⎠ 2 1 ⎝ ′ (sin x − cos x )′ sin x − (sin x − cos x )(sin x )′ = ⎛ sin x − cos x ⎞ 2) f ′( x) = ⎜ ⎟ = = sin x sin 2 x ⎝ ⎠

25


= =

(cos x + sin x )sin x − (sin x − cos x )cos x = sin 2 x

2

cos x ⋅ sin x + sin x − sin x cos x + cos 2 x 2

sin x ⎛ sin x − cos x ⎞ f(x)=0 ⇒ ⎜ ⎟=0 sin x ⎝ ⎠

=

1 sin 2 x

Область определения функции sin x≠0 x≠πn, n∈Z 1 1 π ⎛π⎞ = 1 =2. 1–ctg x=0 ctg x=1 x= +πn, n∈Z ; f ′⎜ ⎟ = 4 ⎝ 4 ⎠ sin 2 π

() 4

2

Т.к. в f ′(x) sin входит в квадрате, то f ′(x) во всех точках

π + πn , будет 4

иметь одно и то же значение.

№ 854.

f ′(x)=(x sin 2x)′=(x)′sin 2x+x(sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x y(x)=f ′(x)+f(x)+2=sin 2x+2x cos 2x+x sin 2x+2 y(π)=sin 2π+2π cos 2π+π sin 2π+2=0+2π+0+2=2(1+π).

№ 855. –

+

1 , x>0 x f ′(x)=0 при х=1; f ′(x)>0,

1) f ′(x)=(x– ln x)=1–

+

0

1

х

x −1 >0, x(x–1)>0 ⇒ х∈(1;+∞); x f ′(x)<0 при х∈(0;1);

2) f ′(x)=(x lnx)′= lnx+1, x>0 f ′(x)=0, lnx+1=0, lnx = –1, 0 х 1 lnx=lne–1, x=e–1. f ′(x)>0, lnx+1>0; lnx>–1=ln e–1; e –1 –1 x∈(e ;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;e–1); x>e x>0 3) f ′(x)=(x2 lnx)′=2xlnx+x −1 1 1 f ′(x)=0 x(2lnx+1)=0 x=0 и lnx= − =ln e 2 x= 2 e

+

+

f ′(x)>0 x(2 ln x+1)>0 при x∈( f ′(x)<0

при x∈(0;

+

– 0

1

)

e

+ 1 e

26

x>0

х

1 e

; +∞)


4) f ′(x)=(x3–3 lnx)′=3x2–

3 x

3 3 x3 − 3 3 =0, 3x3–3=0, x3=1, x=1; f ′(x)>0, 3x2– > 0, >0 x x x 3x(x3–1)>0 при х∈(1;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;1). – + +

f ′(x)=0, 3x2–

0

х

1

№ 856. При x<2 и x>3 выражение под знаком логарифма положительно 1 (ln(x2–5x+6))′= 2 ⋅ (2x–5). x − 5x + 6

§ 48 Геометрический смысл производной № 857. π =1, x0=2 y0= –3, т.е. –3=1⋅2+b b= –5; 4 π 2) k=tg, α=tg =1, x0= –3 y0=2, т.е. 2=1⋅(–3)+b b=5; 4 ⎛ π⎞ 3) k=tg, α=tg ⎜ − ⎟ = − 3 , x0=1, y0=1, т.е. 1= – 3 ⋅1+b, b=1+ 3 ; ⎝ 3⎠

1) k=tg α=tg

4) k=tg, α=tg ⎛⎜ − π ⎞⎟ = − 3 , x0=–1, y0=–1, т.е. –1= − 3 ⋅(–1)+b, b= − 3 – 6⎠

3

3

3

1

№ 858.

1) f ′(x)=3x2;

k=tg α =f ′(x0)=3⋅12=3;

2) f ′(x)=cos x;

k=tg α =f ′(x0)=cos

3) f ′(x)=

1 ; x

k=tg α =f ′(x0)=

π 2 = ; 4 2

1 =1; 1

k=tg α =f ′(x0)= eln 3 =3.

4) f ′(x)=ex;

№ 859. 1) f ′(x)=x2; 2) f ′(x)= –

tg α =f ′(x0)=12=1 ⇒ α=

1

x

2

;

tg α =f ′(x0)= −

1 2

1

π ; 4

= –1 ⇒ α=

3π ; 4

27


3) f ′(x)=

1 x

4) f ′(x)= −

tg α =f ′(x0)=

;

9 x x

;

3 3 x +1 5) f ′(x)= e 2 ; 2 2 6) f ′(x)= ; 2x + 1

1

⇒ α=

3

tg α =f ′(x0)= −

9 3 3

π ; 6

= – 3 ⇒ α= −

π ; 3

3 3 tg α =f ′(x0)= e ⇒ α=arctg ( e ); 2 2 2 2 2 tg α =f ′(x0)= ⇒ α=arctg . = 2 ⋅ 2 +1 5 5

№ 860.

1) f(x0)=12+1+1=3, f ′(x)=2x+1, f ′(x0)=2⋅1+1=3, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=3+3(x–1), y=3+3x–3, y=3x; 2) f(x0)=2–3⋅22= –10, f ′(x)=1–6x, f ′(x0)=1–6⋅2= –11, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= –10–11(x–2), y= –10–11x+22, y=12–11x. 1 1 1 1 3) f(x0)= , f ′(x)= − 2 , f ′(x0)= − 2 = − , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), 9 3 3 x 1 1 1 1 1 1 2 y= − (x–3) y= − x + y= − x + ; 3 9 3 9 3 3 9 4) f(x0)=

1

(− 2)

2

=

2 1 2 1 , f ′(x)= − 3 , f ′(x0)= − = , 3 4 4 x (−2)

y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= 5) f(x0)=sin

1 1 + (x+2) 4 4

y=

1 1 1 1 3 + x + , y= x + ; 4 4 2 4 4

π 2 π 2 = , f ′(x)=cos x, f ′(x0)=cos = , 4 2 4 2

2 2⎛ π⎞ 2 2 2π + x+ − ; ⎜ x − ⎟ , y= 2 2 ⎝ 4⎠ 2 2 8 6) f(x0)=e0=1, f ′(x)=ex, f ′(x0)=e0=1, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+1(x–0), y=x+1; 1 1 7) f(x0)=ln 1=0, f ′(x)= , f ′(x0)= =1, 1 x y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=0+1(x–1), y=x–1; 1 1 1 = , , f ′(x0)= 8) f(x0)= 1 =1, f ′(x)= 2 1 2 2 x y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=

y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+

28

1 (x–1), 2

y=1+

1 1 1 x– , y= ( x + 1) . 2 2 2


№ 861. 1) f ′(x)>0 ⇒ tg α>0 ⇒ α∈[0;

π π ], f ′(x)<0 ⇒ tg α<0 ⇒ α∈[– ; 0], 2 2

f ′(x)=0 ⇒ tg α=0 ⇒ α=0; рис. а; а) f ′(x)>0: A, B, E; б) f ′(x)<0: D, G; в) f ′(x)=0: C, F. рис. б; а) f ′(x)>0: C, G; б) f ′(x)<0: A, E; в) f ′(x)=0: B, D, F.

№ 862. 1) f(0)=0+

1 1 1 , f ′(0)=1– =0, =1, f ′(x)=1– 0 +1 ( x + 1) 2 (0 + 1) 2

y=1+0⋅(x–0), y=1. 2) f(0)=sin 0 – ln 1=0 1 f ′(x)=2cos 2x– , x +1 y=0+1⋅(x–0), y=x.

f ′(0)= 2cos 0–

1 =1, 1

№ 863.

1) f ′(x)=1–ex, f ′(0)=1–e0=0, tg α=f ′(x0)=0 ⇒ α=0 ⇒ β=90°–α=90°; 2) f ′(x)= –sin x, f ′(0)= – sin 0 = 0, tg α=f ′(x0) ⇒ α=0 ⇒ β=90°–α=90°; 1 1 3) f ′(x)= +0⋅e2= , 2 x +1 2 x +1 1 1 1 1 = ⇒ α=arctg ⇒ β=90°–α=90° –arctg . tg α=f ′(x0)= 2 2 2 x +1 2

№ 864. 1) а) Абсцисса точки пересечения графиков: 8–x=4 x + 4 ; 64–16x+x2=16x+64; x2–32x=0; x1=0 x2=32 – посторонний корень, т.к. 8 – х ≥ 0; х=0. б) угол наклона первой касательной в точке х = 0 3π . tg α1=f ′(x0)=(8–x)′= –1, α1= 4 в) угол наклона второй касательной: π 4 2 2 tg α2=f ′(x0)= = = =1, α2= 4 x0 + 4 2 2 x0 + 4

x(x–32)=0

3π π π – = 4 4 2 2) а) Абсцисса точки пересечения графиков: 1 1 1 2 (х+1)2= (х–1)2; (x +2x+1–x2+2x–1)=0; 2x=0, x=0; 2 2 2 б) угол наклона первой касательной при х = 0:

г) β=

29


tg α1=f ′(x0)=

1 ⋅2(x0+1)=(x0+1)=1 2

α1=

π ; 4

1 (х–1)2 при х = 0: 2 1 3π ; tg α2=f ′(x0)= ⋅2(x0–1)= x0–1= –1 ⇒ α2= 2 4 3π π π – = . г) β= 4 4 2 3. а) Абсцисса точек пересечения графиков: ln(1+x)=ln(1–x) ⇒ 1+x=1–x, 2x=0, x=0 б) угол наклона касательной к y=ln(1+x) при х = 0: 1 π ⋅=1 ⇒ α1= tg α1=f ′(x0)= 1 + x0 4 в) угол наклона касательной к у= ln(1–x) при х = 0: −1 3π tg α2=f ′(x0)= = –1 ⇒ α2= ; 1 − x0 4 в) угол наклона касательной к у=

3π π π – = ; 4 4 2 4) а) Абсцисса точек пересечения : еx=e–x ⇒ x= –x, x=0 б) угол наклона касательной к у=ex π ⇒ α1= tg α1=f ′(x0)=ex=1 4 в) угол наклона касательной к у=e–x

г) β=

tg α2=f ′(x0)= – − e x0 = –1 г) β=

№ 865.

α2=

при х = 0:

3π 4

3π π π – = . 4 4 2

1. а) Точка пересечения: x4=x6+2x2, x2(x4–x2+2)=0, x1=0, D=1–8<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f(x0)=04=0, f ′(x)=4x3, f ′(x0)=4⋅03 =0, y=0+0(х–0)=0, y=0; в) Уравнение касательной к y= x6+2x2 в точке (0; 0): f(x0)= 0+0=0, f ′(x)= 6x5+4x, f ′(x0)=6⋅0+4⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная у=0. 2) а) Точка пересечения: x4=x3–3x2, x2(x2–x+3)=0, x1=0, D=1–12<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка; б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f ′(x0)=0, f ′(x)=4x3, f ′(x0)= 0, y=0+0(х–0)=0, y=0; в) Уравнение касательной к y= x3–3x2 в точке (0; 0):

30


f(x0)= 0, f ′(x)= 3x2–6x, f ′(x0)=3⋅0–6⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная: у=0. 3) а) Точка пересечения: (x+2)2=2–x2, x2+4x+4–2+x2=0, 2x2+4x+2=0, x2+2x+1=0 x= –1 (–1; 1) – единственная общая точка (x+1)2=0 б) Уравнение касательной к у=(x+2)2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)=2(x+2), f ′(x0)= 2⋅(–1+2)=2, y=1+2(х+1)=0, y=2x+3; в) Уравнение касательной к y= 2–x2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)= –2х, f ′(x0)= –2 ⋅(–1)=2, y=1+2(x+1), y=2х+3. Общая касательная: у=2х+3 4) а) Точка пересечения: x(2+x)=x(2–x), 2x+x2–2x+x2=0, 2x2=0, x=0 (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у= x(2+x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2+х)+х=2+2х, f ′(x0)= 2, y=0+2(х–0)=0, y=2x в) Уравнение касательной к y= x(2–x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2–x)–x=2–2x, f ′(x0)= 2, y=0+2(x–0), y=2х. Общая касательная: у=2х.

№ 866. 3 3 , т.е. ex–e–x= , 2 2 2e2x–3ex–2=0 это квадратное уравнение относительно ex, D=9+16=25; 3+5 3−5 1 ex= =2 ⇒ x=ln2, ex= = − , но ex>0, 4 4 2 1 1 1 ln 2 − ln 2 f(ln 2)= e + e = 2 + = 2 , x=ln2 искомая точка: (ln2; 2 ); 2 2 2 2) k=tg α =f ′(x); 1⋅ 3 3 3 3 f ′(x)= f ′(x)= , т.е. = ⇒ 3 x + 1 =2, 4 2 3x + 1 2 3x + 1 4

1) k=tg α =f ′(x); f ′(x)=ex–e–x, f ′(x)=

3x+1=4, x=1 f (1) = 3 ⋅ 1 + 1 = 2

искомая точка (1,2).

3) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=2cos 2x, f ′(x)=2, тогда 2cos 2x=2, cos 2x=1 ⇒ 2x=2πn, n∈Z. x=πn, n∈Z, sin(2πn)=0, искомая точка: (πn; 0), n∈Z. 4) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=1+cos x, f ′(x)=0, т.е. 1+cos x=0, cos x= –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z; f(π+2πn)= π+2πn+sin (π+2πn)=π+2πn, n∈Z; искомая точка (π+2πn; π+2πn), n∈Z.

№ 867. f ′(x)=

(x + 2)′ (x − 2) − (x − 2)′ (x + 2) = x − 2 − x − 2 = − 4 (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2

f ′(x)=tg ( −

π )= –1, 4

тогда −

4

(x − 2)2

;

= –1, откуда (х–2)2=4,

31


x2–4x+4–4=0 ⇒ x(x–4)=0 x1=0, y1= –1; x2=4, y2=3; искомые точки (0,–1), (4,3).

№ 868. Касательные параллельны, значит их углы наклона к Ох равны, т.е. tg α=f ′(x0)=g′(x0), f ′(x)=3x2–1, g′(x)=6x–4, 3x2–1=6x–4, 3x2–6x+3=0, 3(x–1)2=0 ⇒ x=1, уравнение касательной к y(x)=x3–x–1 при х = 1: f(x0)=13–1–1= –1, f ′(x0)=3⋅12–1=2, y= –1+2(x–1), y=2x–3, уравнение касательной к g(x)=3x2-4x+1 при х = 1: g(x0)=3⋅12-4⋅1+1=0, g′(x)=6⋅1–4=2, y=0+2(x–1), y=2x–2, искомые точки (1, –1) и (1, 0).

№ 869.

1) (2x4–x3+3x+4)′=8x3–3x2+3; 2) (–x5+2x3–3x2–1)′= –5x4+6x2–6x; ′ 1 ⎞ 1 −2 2 2 ⎛ − 3 ; 3) ⎜⎜ 63 x + 2 ⎟⎟ = 6 ⋅ ⋅ x 3 − 2 x −3 = 3 2 3 x ⎠ x ⎝ x

��� 1 −3 6 2 ⎞ ; x ⎟⎟ = 2 ⋅ (− 3) ⋅ x − 4 − 8 ⋅ x 4 = − 4 − 4 4 x ⎠ x3 5) ((2x+3)8)′=8⋅2(2x+3)7=16(2x+3)7; ′ 6) ((4–3x)7)′=7⋅(–3)⋅(4–3x)6=–21(4–3x)6; 7) 3 3 x − 2 = ⎛ 2 4) ⎜⎜ 3 − 84 ⎝x

(

⎛ 1 8) ⎜⎜ ⎝ 1 − 4x

)

1 3 ⋅ 3 (3x − 2 )2

;

′ ⎞ 1 ⋅ (− 4 ) 2 ⎟ =− = . ⎟ 2 ( 1 − 4 x ) 1 − 4 x ( 1 − 4 x ) 1 − 4x ⎠

№ 870. 1) (ex–sin x)′=ex–cos x; 2) (cos x– ln x)′= –sin x– 3) (sin x– 3 › )′=cos x–

5) (

1 3

3⋅ x

2

1 ; x

; 4) (6x4–9ex)′=24x3–9ex;

′ 5 1 3 1 1 1 5 ⎛ 1 ⎞ +4ex)′= – 2 +4ex; 6) ⎜⎜ 3 + ln x ⎟⎟ = − 4 + =− 4 + . x 2 2x 2x 3x x x ⎝ 3x ⎠

№ 871. 1) (sin 5x+cos(2x–3))′=5cos5x–2sin(2x–3); 2) (e2x–ln3х)′= 2e2x– 3) (sin(x–3)–ln(1–2x))′=cos(x–3)+

№ 872.

2 2x 1–3x 2x ; 4) (6sin –e )′=4cos +3e1–3x. 1 − 2x 3 3

1) (x2cosx)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x–x2sin x;

32

1 ; x


2) (x3ln x)′=3x2ln x+

x3 =3x2ln x+x2; x

3) (5x ex)′=5ex+5xex; 4) (x sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x; 5) (e–x sin x)′= –e–x sin x+e–xcos x =e–x(cos x–sin x); 6) (ex cos x)′=excos x –ex sin x⋅= ex(cos x–sin x);

№ 873.

(

)(

)

′ ⎛ x3 + 1 ⎞ 3x2 x2 + 1 − x3 + 1 ⋅ 2 x 3x4 + 3x2 − 2 x 4 − 2 x x4 + 3x2 − 2x ⎜ ⎟ ; 1) = = = 2 2 2 ⎜ x2 + 1 ⎟ ⎝ ⎠ x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 ′ 3 2 2 4 4 4 ⎛ x2 ⎞ ⎟ = 2 x x + 1 − x ⋅ 3x = 2 x + 2 x − 3x = 2 x − x ; 2) ⎜ 3 2 2 2 ⎜ x +1⎟ ⎝ ⎠ x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 ′ ⎛ sin x ⎞ cos( x + 1) − sin x 3) ⎜ ; ⎟ = ⎝ x +1 ⎠ (x + 1)2

(

(

′ ⎛ ln x ⎞ 4) ⎜ ⎟ = ⎝1− x ⎠

(

1 (1 − x

)

)

(

(

)

x) − ln x ⋅ (− 1)

(1 − x )

2

=

( )

)

)

1 − x + x ln x x(1 − x )2

(

)

.

№ 874.

1) (sin3 x)′=3sin2x⋅cos x; 2) (8cos x)′=8cos x ln 8⋅(–sin x)= –8cos x ln8⋅sin x; 1 3 3) (cos4x)′=4cos 3x⋅(–sin x)= –4cos3x sin x; 4) (ln(x3))′= 3 ⋅3x2= . x x

№ 875. 1) f ′(x)=(2x3–x2)′=6x2–2x, f ′(x)=0, 2x(3x–1)=0 ⇒ x1=0, x2= f ′(x)>0 при x<0, x> –

+

1 , 3

1 1 , f ′(x)<0 при 0<x< , 3 3 +

0

x

1 3

2) f ′(x)=(–3x2+2x2+4)′= –9x2+4x, f ′(x)=0,

x(–9x+4)=0 ⇒ x1=0, x2=

f ′(x)>0 при 0<x<

4 4 , f′(x)<0 при x<0, x> ; 9 9

+

– 0

4 ; 9

– 4 9

x

3) f ′(x)=(x5–5x3–20x)′=5x4–15x2–20, D=9+16=25 f ′(x)=0, 5(x4–3x2–4)=0, 33


3+5 3−5 =4, x1,2=± 2, x2= = –1<0 — не существует корней 2 2 f ′(x)>0 при x<–2 и x>2, f ′(x)<0 при –2<x<2

x2=

+

+

–2

x

2

(

) = 3(x + 3) (x − 4)

2′

4) f ′( x) = (x + 3)3 (x − 4 )

2

2

+ 2(x + 3)3 (x − 4 ) =

= (x + 3)2 (x − 4 )(3x − 12 + 2 x + 6) = (x + 3)2 ( x − 4)(5 x − 6) , 6 x2=4, x3= . f ′(x)=0 ⇒ x1= –3, 5 6 6 f ′(x)>0 при x<–3, –3<x< , x>4, f ′(x)<0 при <x<4 5 5 –

+

+ –3

+ x

4

6 5

′ −7 ⎛ 3 x + 1 ⎞ 3( x − 2) − 3 x − 1 5) f ′(x)= ⎜ = ⎟ = (x − 2)2 (x − 2)2 ⎝ x−2 ⎠

x≠2

f ′(x)=0 f ′(x)<0

таких х не существует; f ′(x)>0 таких х не существует при всех х, кроме х=2 2 2 6) f ′(x)=(x2+ )′=2x– 2 , x≠0, f ′(x)=0, 2x3–2=0, x3=1, x=1. x x f ′(x)>0 при x>1, f ′(x)<0 при x<0 и 0<x<1. –

– 0

+ x

1

№ 876. 1) f (x)=cos x⋅sin x= f ′(x)=

1 sin 2x, 2

1 ⋅2⋅cos 2x=cos 2x, 2

f ′(x0)=cos 2⋅

2) f(x)=ex ln x, f ′(x)= ex ln x+

ex , x

π 1 π = cos = ; 6 3 2

f ′(1)= e1 ln 1+

e1 =0+e=e; 1

′ 2 2 π ⎛ 2 cos x ⎞ ′ 3) f ′(x)= ⎜ ⎟ = (2ctgx ) = − 2 , f ′( )= − sin 4 x sin x sin 2 ⎝ ⎠

⎛ x 4) f ′(x)= ⎜⎜ x ⎝1+ e

34

π 4

= –2⋅2= –4;

′ 1 + e0 − 0 ⋅ e0 2 1 ⎞ 1 + ex − x ⋅ ex , f ′(0)= = 2 = . ⎟⎟ = 2 2 0 x 2 2 ⎠ 1+ e 1+ e

(

)

(

)


№ 877.

1) y(3)=32–2⋅3=9–6=3, y ′(x)=2x–2, y′(3)=6–2=4, y=3+4(x–3), y=4x–9; 2) y(3)=27+9=36, y ′(x)=3x2+3, y′(3)=27+3=30, y=36+30(x–3), y=30x–

54; 3) y( y=

1 3 π + (x − ) , 2 2 6

4) y( y=

π π 1 π 3 )=sin = , y ′(x)=cos x, y′( )= , 6 6 2 6 2 3 1 3π ; x+ − 2 2 12

y=

π 1 3 π π )=cos = , y ′(x)= –sin x, y′( )= – , 3 3 2 3 2

1 3 π 3 1 3π − ( x − ) , y= − . x+ − 2 2 3 2 2 6

№ 878.

s(4)=0,5⋅42+3⋅4+2=8+12+2=22(м), v(t)=s′(t)=0,5⋅2t+3=t+3, v(4)=4+3=7 (м/с).

№ 879.

1) y′=(cos2 3x)′=2cos 3x⋅3(–sin 3x)= –3sin 6x; 2) y=(sin x cos x +x)′=cos2x–sin2x+1=cos 2x+1; 3) y′=((x3+1)cos 2x)+1)′=3x2⋅cos 2x +(x3+1)⋅2⋅(–sin 2x)= =3x2cos 2x–2(x3+1)sin 2x; x 1 x x 1 4) y′=(sin2 2 )′=2 sin 2 ⋅ 2 ⋅cos 2 = sin x; 2 ′ 2 − 1 3x + 2 x + 1 5 x + 1 3 ⎛ ⎞ 3 = 3 ; 5) y′= ⎜ (x + 1) x 2 ⎟ = x 2 + ( x + 1) ⋅ ⋅ x 3 = 3 ⎝ ⎠ 3⋅3 x 3⋅ x 6) y′= =

(

3

(

))

′ x − 1 x4 − 1 =

4

3

x − 1 + 12 x ( x − 1)

(

3 ⋅ 3 x − 12

)

=

x4 − 1 3⋅

3

(x − 1 ) 2

+ 3 x − 1 ⋅ 4 x3 =

4

13x − 12 x3 − 1

(

3 ⋅ 3 x − 12

)

.

№ 880.

′ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ − 2(− sin 2 x)(1 + cos 2 x) − (1 − cos 2 x)2(− sin 2 x ) 1) y′= ⎜ = ⎟ = (1 + cos 2x)2 ⎝ 1 + cos 2 x ⎠ 2 sin 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x + 2 sin 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x = = (1 + cos 2x )2 4 sin 2 x 4 sin 2 x sin 2 x = = = ; (1+ cos 2 x )2 2 cos 2 x 2 cos 4 x

(

)

35


1⋅ 4x ′ −4 4+ x ⎛ 4+ x ⎞ 4 x − 8 x − 32 ⎟ = 2 4+ x = = 2) y′= ⎜ 2 ⎜ x ⎟ 16 x 2 ⋅ 16 x 2 4 + x ⎝ ⎠ −4 x − 32 −x − 8 ; = = 2 2 2 ⋅ 16 x 4 + x 8 x 4 + x

36


′ ⎛ x ⎞ ⎟⎟ = 3) y′= ⎜⎜ ⎝ x+2⎠

x

x+2 −

x+4 2 x + 2 = 2x + 4 − x = x+2 2( x + 2) x + 2 2( x + 2) x + 2

′ ⎛ sin x + cos x ⎞ ⎟ = ⎝ sin x − cos x ⎠ (cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (cos x + sin x )(sin x + cos x )

4) y′= ⎜

=

(sin x − cos x )2

=

− sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x − 2 sin x cos x − cos 2 x = 1 − sin 2 x −2 2 = = . 1 − sin 2 x sin 2 x − 1 =

№ 881.

( (

))′ (x

1) log 2 x3 − x 2 − 1 =

(

2) (log 2 x )

3

3 x3 − 2 x 3

x) )′ = 3 ⋅ (log x ln 2 2

3) (sin (log 3 x ))′ =

2

)

− x 2 + 1 ln 2 =

3 ln 2 x x ln 3 2

;

;

cos(log 3 x ) ; 4) (cos 3x)′= –sin 3 x⋅3 x⋅ln 3. x ln 3

№ 882.

y′=(e–x)= –e–x

график г) у=ψ(x); −1 1 y′=(ln(–x))′= график a) y=f(x); = −x x y′=(sin2x)=2cos 2x график в) y=ϕ(x); y′=(2cos x)′= –2sin x график б) y=g(x).

№ 883.

1) f ′(x)=(2 x+2 –x)′=2 x ln2–2 –xln 2, f ′(x)=0, ln2(2 x–2 –x)=0, ln2 ≠0, 2 x–2 –x=0, 2 x=2 –x ⇒ x= –x, f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0; – +

x=0,

0 x 2) f ′(x)=(3 2x–2xln3)′=2⋅3 2x ln3–2ln 3 f ′(x)=0, ln3(3 2x–1)=0, 2ln3 ≠0, 3 2x–1=0⇒3 2x=1⇒3 2x=30 ⇒ 2x=0, x=0. f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0;

+ 0

x 37


3) f ′(x)=(x+ln2x)′=1+ f ′(x)>0

+

при

2 1 1 =1+ , x>0, f ′(x)=0, 1+ =0 ⇒ x= –1, 2x x x

x>0; f ′(x)<0 –

+

–1

не существует; x

0

2 , 2x+1>0 2x + 1 3 2 2x + 3 =0 ⇒ =0 ⇒ х= − f ′(x)=0, 1+ 2x + 1 2x +1 2 1 f ′(x)>0 при x> − ; f ′(x)<0 не существует 2 4) f ′(x)=(x+ln(2x+1))′=1+

+

3 2

3 x , x>0, 2

5) f ′(x)=(6x–x x )′=6– f ′(x)=0, 6– f ′(x)>0

3 x =0, 2

при

x

1 2

x =4, х=16,

0<x<16; f ′(x)<0 при –

+

0

x<16;

x

16

6) f ′(x)=((x+1) x + 1 –3x)′=

3 x + 1 –3, 2

x>–1,

f ′(x)=0, 3 x + 1 –6=0 ⇒ x + 1 =2 ⇒ х+1=4, x=3, f ′(x)>0 при x>3; f ′(x)<0 при –1<x<3. – + –1

x

3

№ 884.

f ′(x)=3x2+6x+a, f ′(x)≥0, 3x2+6x+a≥0, f ′(x)≥0

при всех х, если

D

4

=9–3а≤0,

откуда 3а≥9.

Ответ: a≥3.

№ 885.

f ′(x)=3ax2–12x–1,

⎧⎪ 3a < 0

f ′(x)≤0

при всех х, если 3ax2–12x–1≤0,

т.е. при ⎨ D ⇒ = 36 + 3a ≤ 0

⎪⎩ 4

38

⎧a<0 ⎨3a ≤ −36 ⇒ ⎩

⎧a<0 ⎨a ≤ −12 . ⎩


Ответ: а≤–12.

№ 886. 1) f ′(x)=2ax+

2 x

3

, f ′(x)=0, x≠0, ax+

1 x

3

=0, ax4=1, x4= –

1 , a

уравнение не имеет дейcтвительных корней, если а≥0; 2) f ′(x)=a–

1 x2

, f ′(x)=0, x≠0, a–

1 x2

=0, ax2=1, x2=

1 , a

уравнение не имеет действительных корней, если а≤0; 3) f ′(x)=3ax2+6x+6 f ′(x)=0, 3ax2+6x+6=0, ax2+2x+2=0, уравнение не имеет действительных корней, если

D 1 =1–2а<0 ⇒ a> ; 2 4

4) f ′(x)=3x2+12x+a f ′(x)=0, 3x2+12x+a=0, уравнение не имеет действительных корней, если

D =36–3а<0 ⇒ 3a>36, a>12. 4

№ 887.

1) f ′(x)=7ax6+3x2, f ′(x)<0, 7ax6+3x2<0 ⇒ x2(7ax4+3)<0, x2>0, 7ax4-3<0, 7ax4<–3, ax4<–

3 , 7

3 — не имеет решений при а≥0, 7a 3 — решения существуют. если а<0, x4> 7a 4 2 2) f ′(x)=5x +3ax , f ′(x)<0, x2(5x2+3a)<0, x2≥0 ⇒ 5x2+3a<0 ⇒ 5x2<–3a, 3a x2< − – неравенство не имеет действительных корней при a≥0; 5 x + a 3x + a 3x + a = 3) f ′(x)= x + , f ′(x)<0; x>0, <0, 2 x 2 x 2 x a ⎧ ⎪x < − 2 x >0⇒3x+a<0 ⇒ x< ⎨ 3 – система не имеет решения при a≥0; ⎪⎩ x > 0 если a>0, x4<

4) f ′(x)=1–

a x2

, f ′(x)<0,

x2 − a x2

<0,

x2>0 ⇒ x2–a<0 ⇒ x2<a – неравенство не имеет решения при a≤0.

№ 888. 1) Точка пересечений графиков:

39


2 x = 2 6 − x ⇒ x=6–x, 2x=6, x= tg α1=f ′(x0)=

1

3

y= 2 6 − x ; y′= −

α1=

1 6− x

2 ⋅1 1 6 =3, y′= , = 2 2 x x

π , 6

; tg α2=f ′(x0)= −

1 6−3

=−

1 3

⇒ α2=

5π , 6

5π π 2π − = ; β= 6 6 3 2) Точка пересечения графиков:

2x + 1 =1 ⇒ 2x+1=1 ⇒ x=0, y= 2x + 1 , y′= tg α1=f ′(x0)= y=1,

1 2 ⋅ 0 +1

y′(x)=0,

=1 ⇒

α1=

1 2x + 1

,

π , 4

tg α2=f ′(x0)= 0 ⇒ α2=0, β=

π π −0= . 4 4

№ 889. 1) y(x0)=2⋅sin y= 2 −

3π x 3π 2 2 =2⋅ , =− = 2 , y′(x)=cos , y′(x0)=cos 4 2 2 2 4

2 ⎛ 3π ⎞ ⎜x - ⎟ , 2 ⎝ 2 ⎠

y= −

2 3π ⋅ 2 x+ 2+ ; 2 4

1 1 3 , y′(x)= –2–x ln2+2⋅2 –2x ln2, − = 4 16 16 1 ⎛1 1⎞ y′(x0)=ln2⋅(2⋅2–4–2 –2)=ln2 ⎜ − ⎟ = − ln2, 8 ⎝8 4⎠

2) y(x0)=2–2–2–4=

3 1 1 3 1 − ln2(x–2), y= − ln2⋅x+ + ln2; 16 8 8 16 4 ( 3 - x ) + (x + 2) 5 5 2+2 =4, y′(x)= , y′(x0)= =5, 3) y(x0)= = 3−2 (3 - x )2 (3 - x )2 (3 - 2 )2

y=

y=4+5(x–2), y=5x–6;

1 , y′(x0)=1+e–1, x (e + 1)x 1 y=(1+ )x+1–1+e–e, y= . e e

4) y(x0)=e+lne=e+1, y′(x)=1+ y=e+1+(1+

№ 890.

1 )(x-e), e

y′(x)=x2–5x, y2′=6, x2–5x=6 ⇒ x2–5x–6=0,

40


5+7 5−7 =6, x2= = –1; 2 2 216 5 ⋅ 36 =72–90= –18, y′(6)=36–30=6, − 1) x=6, y(6)= 3 2

D=25+24=49,

x1=

y= –18+6(x–6), y=6x–54;

1 5 1 5 17 ⋅ (− 1) − ⋅ 1 = − − = − , 3 2 3 2 6 17 19 +6(x+1), y=6x+ . y′(–1)=1+5=6, y= − 6 6

2) x= –1, y(–1)=

№ 891. y′= −

4

, y(1)=4, y′(1)= –4, y=4–4(x–1), y= –4x+8.

x2

Касательная пересекается с осями в точках А (0,8) и В(2,0). S∆AOB=

1 1 OB⋅OA= ⋅8⋅2=8 (кв. ед.). 2 2

№ 892. y′= −

k

, y(x0)=

x2

yкас= −

k x0

2

x+

k k k k , y′(x0)= − 2 , yкас= (x–x0), − x0 x0 x02 x0

2k ; x0

1) Точки пересечения с осями координат: А (0, S∆AOB=

2k ), В(2х0,0), x0

1 1 2k АО⋅OB= ⋅ ⋅2х0=2k – не зависит от х0; 2 2 x0

2) Подставим точки (х0,

k ) и (2х0, 0) в уравнение касательной x0

k 2k k k =у=– 2 ⋅х0+ = – подходит, значит, принадлежит касательной x0 x0 x0 x0 0=у=–

k x0

2

⋅2х0+

2k =0 – подходит, значит, эта точка принадлежит касаx0

тельной.

№ 893.

y(1)=1–p y′(x)=3x2–p, y′(1)=3–p, y=1–p+(3–p)(x–1), y=(3–p)x+1–p–3+p, y=(3–p)x–2. Координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению. 41


3=(3–p)=2–2 ⇒ 3–p=

5 1 ⇒ p= . 2 2

№ 894. y′=

x x +1 1 4 x ln 4 − 2 x +1 ln 2 4 ln 4 − 2 ⋅ 2 ln 4 = = 22x–2 x ln 4 ln 4

y′=2, т.е. 22x–2 x=2, 22x–2 x–2=0 — это квадратное уравнение относительно 2х 2 х=

D=1+8=9, у(1)=

1+ 3 1 =2 , 2

х=1; 2х=

1− 3 –1<0 – нет корней; 2

41 − 2 2 =0. ln 4

Ответ: искомая точка (1,0).

№ 895.

y′=ln x +1, x>0, y′=0, ln x +1=0 ⇒ ln x = –1 ⇒ x=e –1, y(e–1)=

ln 1e e

=

1 −1 =− . e e

Расстояние от касательной до оси абцисс:

l=0–y=0+

1 1 = . e e

№ 896. Пусть х0 – точка касания, тогда у(x0)=1+lnx0, y′(x)= y=1+lnx0+

1 1 , y′(x0)= , x x0

1 x x (x–x0), y= +1+ln x0–1, y= +lnx0. x0 x0 x0

Учитывая, что у=ах–2, получаем систему:

1 ⎧ ⎪a= ⇒ x ⎨ 0 ⎪⎩- 2 = lnx 0

⎧ x 0 = e- 2 . ⎨ 2 ⎩ a=e

Ответ: а = е2.

№ 897. Пусть х1 – точка касания графика функции f(x), тогда f(x1)=x12–4x1+3, f ′(x)=2x–4, f ′(x1)=2x1–4, y=x12–4x1+3+(2x1–4)(x–x1), y=(2x1–4)(x)+x12–4x1+3–2x12+4x1 y=(2x1–4)x+(3–x12). Пусть х2 – точка касания графика функции g(x) g(x2)= –x22–+6x2–10, g ′(x)= –2x+6, g ′(x2)= –2x2+6, y= –x22+6x2–10+(6–2x2)(x–x2) y=(6–2x2)x–x2+6x2–10–6x2+2x22 y=(6–2x2)x+(x22–10) Т.к. это одна и та же касательная, то 42


⎧ x 22 − 10 = 3 − x12 ⎨ ⎩2x1 − 4 = 6 − 2x 2

⎧x 2 2 − 10 = 3 − x12 ⎨ ⎩x1 = 5 − x 2

⎧ x1 = 5 − x 2 ⎨ 2 2 ⇒ ⎩x 2 − 10 = 3 − 25 + 10x 2 − x 2 x22–5x2+6=0, D=25–24=1, x2=

⎧x1 = 5 − x 2 ⎨ 2 ⎩ x 2 − 10x 2 + 12 = 0

5 ±1 =3, x2=2; x2=3, 2

y= –1 и y= –6+2x – две общие касательные.

№ 898.

Пусть х1 – точка касания, тогда y(x1)=x13–6, y′(x)=3x2, y′(x1)=3x12, y= x13–6+3x12(x–x1), y=3x12⋅x+(–2x13–6). Точки пересечения с осями координат: А(0, –2x13–6), В ( S∆AOB=

(

)

(

)

2 x13 + 3 , 0), 3 x12

2 2 x13 + 3 1 ⋅(–2x13–6)⋅ = – 2 (х13+3)2. 2 3 x1 2 3›1

Но те же рассуждения можно провести для х2 – второй точки касания. y=3x22⋅x+(–2x23–6), SCOD= −

2 3›2 2

(х23+3)2.

Эти касательные параллельны, так что коэффициенты при х должны быть равны, т.е. 3x12=3x22, x12=x22 либо x1=x2 – тогда точки совпадают, но у нас две разные прямые либо x1= –x2 4SAOB= SCOD

2 ⎧− 4⋅2 3 3 (x1 + 3) = − (x 2 + 3) 2 ⎪ 2 ⎨ 3 x12 3 x2 ⎪ x1 = − x2 ⎩

4(х13+3)2=(–х13+3)2, 4х16+24х13+36=9–6х13+х16 6 3 6 3х1 +30х1 +27=0, х1 +10х13+9=0

D =25–9=16, х13= –5+4= –1, х1= –1, х13= –5–4= –9, х1= 3 − 9 , 4 2 SAOB= − (− 1 + 3)2 = − 8 = 8 , 3 3 3 ⋅1 SAOB= −

2 3

3⋅ 9

2

⋅ (− 9 + 3)2 =

2 ⋅ 36 3

9 3

=

8 3

3

.

43


IX глава. Применение производной и исследованию функций § 49 Возрастание и убывание функции № 899. f ′(x)=2x–

2 x

, x≠0, f ′(x)>0, 2(x–

2

1 x2

)>0, x2>0,

x3–1>0, x3>1, x>1 – возрастает; f ′(x)<0, x<0, 0<x<1 – убывает; – – + 1

0

x

№ 900. 1) y′=2x–1, y’>0, 2x–1>0, >

1 1 – возрастает; y′<0, 2x–1<0, x< – убыва2 2

ет; 2)y′=10x–3, y′>0, 10x–3>0, x>

3 – возрастает; 10

3 – убывает; 10 3) y′=2x+2, y′>0, 2x+2>0, x>–1 – возрастает; y′<0, 2x+2<0, x<–1 – убывает; 4) y′=2x+12, y′>0, 2x+12>0, x>–6 – возрастает; y′<0, 2x+12<0, x<–6 – убывает; 5) y′=3x2–3, y′>0, 3x2–3>0, x2>1, x<–1, x>1 – возрастает; y′<0, 3x2–3<0, x2<1, –1<x<1 – убывает; 6) y′=4x3–4x, y′>0, 4x(x2–1)>0 при –1<x<0, x>1 – возрастает; y′<0, 4x(x2–1)<0 при x<–1, 0<x<1 – убывает; y′<0, 10x–3<0, x<

+

+

1

0

–1

x

7) y′=6x2–6x–36, y′>0, x2–x–6>0.

1+ 5 1− 5 =3, x2= = –2. 2 2 при x<–2, x>3 – возрастает; y′<0 при –2<x<3 – убывает; Решим уравнение x2–x–6=0: D=1+24=25, x1= +

–2

+

3

x

8) y′=3x2–12x, y′>0 3x(x–4)>0 при x<0, x>4 –возрастает; y′<0 при 0<x<4 – убывает;

44


+ 0

+ 4

x

45


№ 901. а)

б)

№ 902. 1) y′= –

1 (x + 2)

x≠–2, y′>0: –

2

1 (x + 2) 2

>0 – не выполняется ни при

каких x∈R, т.к. (x+2)2>0, 1 y′<0: – <0 выполняется при всех x∈R, исключая х= –2 (x + 2) 2 функция убывает при x<–2, x>–2 2 2) y′= – 2 , x≠0, x 2 y′>0, – 2 >0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. x2>0, x 2 y′<0, – 2 <0 выполняется при всех x∈R, исключая х=0, x функция убывает при x<0, x>0 1 1 3) y′= − , x>3, y′>0: − >0 не выполняется ни при каких 2 x -3 2 x -3

x - 3 >0; 1 y′<0: − <0 выполняется при всех x>3, 2 x -3 функция убывает при x>3; 3 3 , x>5, y′>0: >0 выполняется при всех x>5, 4) y′= 2 x -5 2 x -5 3 <0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. x - 5 >0 y′<0: 2 x-5 функция возрастает при x>5.

x∈R, т.к.

№ 903. 1) y′= 46

3x 2 (x 2 + 3) − x3 ⋅ 2x

(x + 3) 2

2

=

x 4 + 9x 2

(x + 3) 2

2

,


y′>0: y′<0:

x 4 + 9x 2

(x + 3)

2

2

x 4 + 9x 2

(x + 3)

2

2

>0 верно при всех х∈R; <0 не верно ни при каких х∈R.

Функция возрастает при всех х∈R. ′ ′ ⎛ - x 2 + 10x − 16 ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ − 1 + 10 − 16 ⎞⎟ = − 10 + 32 = 32 − 10x ; 2) y′= ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ x x2 ⎠ x2 x 2 x3 x3 ⎠ ⎝ –

+

3 ,2

0

x

y′>0 при х3(32–10х)>0, 0<x<3,2 – возрастает; y′>0, x<0, x>3,2 – убывает. 3) y′=e3x+3e3x(x–1)=3e3x⋅x–2e3x(3x–2), 2 y′>0: e3x(3x–2)>0 ⇒ e3x >0 и 3x–2>0 ⇒ при x> функция возрастает; 3 2 3x 3x e (3x–2)<0 ⇒ e >0 и 3x–2<0 ⇒ при x< функция убывает; y′<0: 3 4) y′=e–3x–3xe–3x=e–3x⋅(1–3x) 1 y′>0: e–3x(1–3x)>0 ⇒ e–3x >0 и 1–3x>0⇒ при x< функция возрастает 3 1 –3x –3x y′<0: e (1+3x)<0⇒e >0 и (1–3x)<0⇒ при x> функция убывает. 3

№ 904. 1) y′=(2x+3) e x y′>0: 2x+3) e

2 + 3x

x 2 + 3x

;

>0 ⇒ e x

2 + 3x

>0 и 2x+3>0 ⇒ при x> −

возрастает; y′<0: (2x+3) e x

2 + 3x

<0 ⇒ e x

2 + 3x

>0 и 2x+3<0⇒ при x< −

убывает; 2) y′=(2x–1) 3x

2 −x

3 – функция 2

ln3;

x2 − x

⋅ln3>0 ⇒ 3x

2 −x

2 −x

⋅ln3<0 ⇒ 3x

2 −x

y′>0: (2x–1) 3

3 – функция 2

ln3>0 и 2x–1>0 ⇒ при x>

1 – функ2

ln3>0 и 2x–1<0 ⇒ при x>

1 – функ2

ция возрастает; y′<0: (2x–1) 3x ция убывает.

№ 905. 1) y′=1–2cos 2x, y′>0: 1–2cos 2x>0 ⇒ cos 2x<

1 , 2

47


π π 5π 5π +2πn<2x< +2πn ⇒ +πn<x< +πn, n∈Z – функция возрастает; 3 3 6 6

y′<0: 1–2cos 2x<0 ⇒ cos 2x>

1 , 2

π π π π +2πn<2x< +2πn ⇒ – +πn<x< +πn, n∈Z – функция убывает; 3 3 6 6 1 2) y′=3–6sin3x, y′>0: 3–6sin3x>0 ⇒ sin 3x< ; 2 5π 2πn 5π 13π 13π 2πn +2πn<3x< +2πn ⇒ + , n∈Z – функция + <x< 6 6 18 3 18 3 возрастает; 1 y′<0: 3–6sin3x<0 ⇒ sin 3x> ; 2 π π 2πn 5π 2πn 5π +2πn<3x< +2πn ⇒ + <x< – функция убывает + 6 6 18 3 18 3

№ 906.

№ 907.

1) y′= 3x2–a возрастает, значит у′>0 при всех x∈R a y′>0, 3x2–a>0, x2> , a<0; 3 2) y′=a–cos x, y′>0, a–cos x>0, cos x <a, a>1.

№ 908.

y′=3x2–4x+a функция возрастает на R, если y′>0 при всех х 3x2–4x+a>0 неравенство выполняется при любых х, если D 4 =4–3а<0, a> . (Опечатка в ответе задачника). 4 3

№ 909.

y′=3ax2+6x–2 функция убывает на R, если y′<0 при всех х 3ax2+6x–2<0 неравенство выполняется при любых х, если ⎧ 3a < 0 ⎧⎪ a < 0 3 ⎪D ⎨ = 9 + 6a < 0 ⎨a < − 3 отсюда а< − . 2 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 2

48


§ 50 Экстремумы функции № 910. xmax1 = −5,

xmax 2 = 5;

xmin1 = −2,

xmin 2 = 3.

№ 911. x1= –7,

x2= –4,

x3= –3,

x4= –2,

x5= –1,

x6=1,

x7=3,

x8=4.

№ 912.

′ 1 8 8 1 ⎛x 8⎞ 1 8 1) y′= ⎜ + ⎟ = − 2 , y′= − 2 =0 ⇒ 2 = ⇒ x2=16 ⇒ x1,2=±4; 2 2 x x ⎝2 x⎠ 2 x 2) y′=6x2–30x+36, y′=0 ⇒ 6(x2–5x+6)=0, 5 +1 5 −1 =3, x2= =2; D=25–24=1, x1= 2 2 3) y′=2e2x–2ex, y′=0, 2ex(ex–1)=0⇒2ex>0 и ex–1=0 ⇒ ex=1 ⇒ ex=e0 ⇒ x=0. 4) y′=cos x +sin x, y′=0 ⇒ cos x +sin x=0,

2 2 π +sin х )=0 ⇒ 2 cos (x– )=0, 2 2 4 π π 3π +πn, n∈Z. x– = +πn, n∈Z, x= 4 2 4

2 (cos x

№ 913.

′ ⎛2 ⎞ 1) y′= ⎜ + x ⎟ = − ⎝x ⎠ ′ ⎛x 3 ⎞ 2) y′= ⎜ + ⎟ = ⎝ 2 2x ⎠

3) y′=2x⋅ е х 4) y′= 2

2

2

х +х

y′=0 ⇒ 2 х

2

−1

2 x

2

+1,

2

x2

=1, x2=2 ⇒ x=± 2 ;

1 3 1 3 − 2 , y′=0 ⇒ = 2 ⇒ x2=3 ⇒ x=± 3 ; 2 2 2x 2x

, y′=0 ⇒ 2x⋅ е х

2

−1

=0 ⇒ е х

2

−1

>0 и 2x=0 ⇒ x=0;

⋅ln 2⋅(2x+1), +х

⋅ln 2⋅(2x+1)=0 ⇒ 2 х

2

⋅ln 2>0 и 2x+1=0, x= −

1 . 2

№ 914. 1) y′=4x–20 y′=0 при х=5 – стационарная точка. При переходе через х=5 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. х=5 – точка минимума 2) y′=6x+36 y′=0 при х= –6 При переходе через х= –6 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. Следовательно х= –6 – точка минимума

+ 5

x

+ –6

x 49


1 5 1 5 , y′=0, , x≠0, x2=25, x=±5. − = 5 x2 5 x2 При переходе через точку х= –5 у′ меняет знак с ‘+’ на’ ‘ , значит х= –5 – точка максимума, а через х=5 - с’–‘ на ‘+’, значит х=5 - точка минимума.

3) y′=

+

+

– 5

0

–5

x

4

1 1 4 4) y′= − 2 + , y′=0, = , x≠0, x2=64, x=±8. 16 16 x 2 x При переходе через точку х= –8 у′ меняет знак с ‘+’ на ’–‘ , значит х= –8 – точка максимума, а через х=8 с’–‘ на ‘+’, значит х=8 - точка минимума. + – + –

8

0

–8

x

№ 915.

1) y′=3x2–6x, y′=0, 3x(x–2)=0 ⇒ x=0, x=2, x=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; у(0)=03–3⋅02, у(2)=23–3⋅22=8–12= –4; – + – 2 0 x 2) y′=4x3–16x, y′=0, 4x(x2–2)=0 ⇒ x=0, x=2, х= –2, x= –2 – точка минимума; х=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; f(–2)=(–2)4–8⋅(–2)2+3=16–32+3= –13, f ′(0)=04–8⋅02+3=3 f ′(2)=24–8⋅22+3=16–32+3= –13; +

2

0

–2

+

x

3) y′=1+cos x, y′=0, cos x = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z. При переходе через х=π у′ не меняет знак, значит, х=π не является точкой экстремума. +

π

−π

+

x

4) y′= –2sin x +1, y′=0, sin x = +

x2= 50

+

π 6

π 1 ⇒ x1= +2πn, n∈Z; 2 6

5π 6

x

π 5π +2πn, n∈Z; x= +2πn, n∈Z – точка максимума; 6 6


5π +2πn, n∈Z – точка минимума; 6 π π π π y( +2πn)=2cos + +2πn= 3 + +2πn, 6 6 6 6 5π 5π 5π 5π +2πn)=2cos ( +2πn)+ +2πn= – 3 + +2πn, n∈Z. y( 6 6 6 6

x=

№ 916. 1) y′=2, 2≠0 ⇒ нет точек экстремума; 2) y′= –5, –5≠0 ⇒ нет точек экстремума; 3) y′=3x2+2, y′=0 ⇒ 3x2+2=0 x2= − 4) y′=

2 – нет точек экстремума; 3

1 1 1 1 + , y′=0 ⇒ = − 2 x2= –2 – не существует точек экстре2 х2 2 х

мума. (Опечатка в ответе задачника).

№ 917. 1)

№ 918. 1) y′=

1 ⋅ 6x 2 2 − 3x

(

2

1 3x2 − 3

, 2–3x2=0 ⇒ x2=

2 2 ⇒ x=± , y′=0 ⇒ 6x=0 ⇒ x=0; 3 3

) , x –3x=0 ⇒ х(х -3)=0 ⇒ х=0,

3 2 x=± 3 , 2 x − 3x y′=0 ⇒ 3x3–3x=0 ⇒ 3(x2–1)=0 ⇒ x=±1; x >1 ⎧1 , x=1 – точка минимума; 3) y ′= ⎨ x <1 ⎩− 1 4) y′=0, 1 ⎧ x1= ⎪2 x − 1 2 x=1 x>0 ⎧ 2 , y′ = 0 ⇒ y ′= ⎨ ⎨2 x= − 1 1 x x< + 2 1 0 ⎩ ⎪ x2= − ⎪⎩ 2 x=0 –также является критической точкой.

2) y′=

3

51


№ 919. 1) y′=1–

1 2 3− x

+

, y′=0, x<3,

1 2 3− x

=1⇒ 3 − x =

+

3

11 4

x=

x

1 1 11 ⇒3–x= ⇒x= , 2 4 4

11 – точка максимума; 4

6 ⋅1 , x>1 7 x −1 y′=0 – нет решений y ′=

2)

3) y′=1–2cos 2x, y′=0, cos 2x= +

+

π 6

−π 6

x

π 1 ⇒ 2x=± +2πn, n∈Z; 2 3 π x= +πn, n∈Z; 6 π x= +πn – точки максимума; 6

π +πn – точки минимума; 6 4) y′= –3sin 3x–3,

x= –

y′=0 ⇒ –3(sin 3x+1)=0 ⇒ sin 3x= –1 ⇒ 3x= − +

+

π 6 № 920. 1) y′=

x= − x

x= −

π +2πn, n∈Z 2

π 2πn , n∈Z; + 6 3

π

6

+

− 3(2 − x )2 (3 − x )2 + 2(3 − x)(2 − x)3

(3 − x )4

2πn – стационарная точка. 3 =

(2 − x )2 (3 − x )(−9 + 3x + 4 − 2 x) = (2 − x )2 ( x − 5) (3 − x )4 (3 − x )3 (2 − x )2 ( x − 5) =0 ⇒ x=2, x=5 y′=0, (3 − x )3 =

x=2 – стационарная точка; х=5 – точка максимума;

– 2

(2 − 5) (3 − 5)

3

y(5)=

52

=

27 − 27 =− ; 4 4

+ 3

5

x


2) y′=

(3x

2

)

(

)

+ 4 x ( x − 1) 2 − x 3 + 2 x 2 ⋅ 2(x − 1)

(x − 1)

4

(x - 1)(3x3 + x2 − 4 x − 2 x3 − 4 x 2 ) = (x − 1)4

=

=

x ≠1

x3 − 3 x 2 − 4 x

,

(x − 1)3

y′=0 x(x2–3x–4)=0, x= –1 – точка минимума; х=0 – точка максимума; х=4 – точка минимума; 0+0 −1 + 2 1 64 + 32 96 32 = , y(0)= = 0, y(4)= = = ; y(–1)= 2 2 4 9 3 32 (−2) ( −1)

+

+

1

0

–1 3x

3) y′=e +3(x–1)e

+

3x

=e

3x

3x

x

4 3x

(1+3x–3)=e (3x–2),

3x

y′=0, e (3x–2)=0 ⇒ e >0 и 3х – 2 = 0 ⇒ x= x=

2 , 3

1 e2 2 2 – точка минимума, y( )= − ⋅ e 2 = − ; 3 3 3 3 –

+ 2 3

x

4) y′=cos x +cos 2x, y′=0, cos x +cos 2x=0, cos x +cos 2x–sin2x=0, 2cos2x+cos x–1=0, π −1 + 3 1 D=1+8=9, cos x= ⇒ x= ± +2πn, n∈Z, = 4 2 3 −1 − 3 + – – = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z, cos x= 4 x=

π 3

π

+2πn, n∈Z – точка максиму-

ма,

3

π

5 π 3

x=

5π +2πn, n∈Z – точка минимума, 3

y(

3 1 3 3 3 π π 1 2π +2πn)=sin( +2πn)+ sin( +4πn)= + ⋅ = , 3 3 2 3 2 2 2 4

x

5π 5π 1 10π 3 1 3 3 3 +2πn)=sin ( +2πn)+ sin( +4πn)= − − ⋅ =− 3 3 2 3 2 2 2 4 2 2 x 2 − x y' = e 3− x = − e 3− x ; 2 3 − x2 3 − x2

y(

53


x

y ' = 0 при − 3− x 2

3− x

2

e

= 0 , поскольку

x

= 0 , откуда х=0; 3 − x2 При переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак на отрица-

e

> 0 , ищем −

3− x 2

тельный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e 6). y ' =

x

e −1 x

2 e −x

; y '= 0 при

x

e −1 2 ex − x

3− 0

=e

3

;

=0;

e x − 1 = 0; e x = 1; e x = e0 ; x = 0 при переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e0 − 0 = 1 .

№ 921

№ 922

y′ = n(x + 1)n-1 ⋅ e-x – (x + 1)n ⋅ e-x = (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1), y′ = 0, (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1) = 0,

+ –1

– n- 1

х

n = 2k, x = -1 – точка минимума, х = n – 1 – точка максимума n = 2k + 1, (x + 1)n-1 = (x + 1)2k+1-1 = (x + 1)2k ≥ 0, x = n – 1 – точка максимума.

§ 51 Применение производной к построению графиков функции № 923

1) область определения: -7 ≤ х ≤ 7, множество значений: -2 ≤ f(x) ≤ 2; 2) y(x) = 0 при х1 = -6, х2 = -4, х3 = 0, х4 = 4, х5 = 6; 3) функция возрастает при -5 < x < -2, 2 < x < 5, функция убывает при -7 < x < -5, -2 < x < 2, 5 < x < 7;

54


4) f(x) > 0 при –7 < x < -6, -4 < x < 0, 4 < x < 6, f(x) < 0 при –6 < x < -4, 0 < x < 4, 6 < x < 7; 5) xmax = -7, xmax = -2, xmax = 5, xmin = -5, xmin = 2.

55


№ 924 1)

2)

№ 925

№ 926

1) у = х3 – 3х2 + 4; 1.область определения – множество R; 2. y′ = 3x2 – 6x; 3. y′ = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2; 4. y′ > 0, x < 0, x > 2 – возрастает; у′ < 0, 0 < x < 2 – убывает; 5. х = 0 – точка max, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «+» на «-». у(0) = 4, х = 2 – точка min, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «-» на «+». у(2) = 8 – 12 + 4 = 0. x x<0 0 0<x<2 2 x<2 F’(x) f(x)

56

+

0 4

0 0

+


2) у = 2 + 3х – х3 1. область определения – множество R; 2. y′ = 3 – 3x2 3. y′ = 0 3(1 – x2)=0; x2 – 1=0; x = 1, x = -1 4. y′ > 0; x2 < 1; -1 < x < 1, y′ > 0; x2 > 1; x < -1; x > 1; 5. x = -1 – точка минимума f(-1) = 2 – 3 + 1 = 0, x = 1 – точка максимума f(1) = 2 + 3 – 1 = 4; x x < -1 x = -1 -1 < x < 1 1 -

F’(x)

0

+

0

4

f(x)

x>1 -

0

3) у = -х3 + 4х2 – 4х; 1. область определения – R; 2. y′ = -3x2 + 8x – 4; 3. y′ = 0; 3x2 – 8x + 4 = 0 D = 16 – 12 = 4; 4+2 4−2 2 x1 = = 2 , x2 = = ; 3 3 3

4. y′ > 0; 3x2 – 8x + 4 < 0, y′ < 0; 3x2 – 8x + 4 > 0, x F’(x) f(x)

x<

2 3

2 <x<2, 3 2 < x < 2 x > 2. 3 2 3

2 <x<2 3

2

x>2

0

+

0

-

32 27

0

57


8 16 8 32 2 ⎛2⎞ + − =− , - точка min f ⎜ ⎟ = − 3 27 9 3 27 ⎝3⎠ x = 2 – точка max f(2) = -8 + 16 – 8 = 0; 4) y = x3 + 6x2 + 9x; 1. область определения – R; 2. y′ = 3x2 + 12x + 9; 3. y′=0; x2+4x+3=0, D=4–3=1, x1 = -2 – 1 = -3, x2 = -2 + 1 = -1; 4. y′>0; x2+4x+3>0, x>-3, x>-1, y′ < 0; x2 + 4x + 3 < 0, -3 < x < -1; x x < -3 -3 -3 < x < -1 -1 x > -1 5. x =

+

F’(x)

0

0

0

f(x)

+

-4

5. x = -3 – точка max; f(-3) = -27 + 54 – 27 = 0, x = -1 – точка min; f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4.

№ 927

1) у = х4 + 8х2 – 16

1. область определения – R; 2. y′ = -4x3 + 16x; 3. y′ = 0; -4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = 2, x = -2; 4. y′ > 0; x(x – 2)(x + 2) < 0,

+

+

-2

0

2

x < -2, 0 < x < 2, y’ < 0 x(x – 2)(x + 2) > 0 -2 < x < 0 и x > 2. X

x < -2

-2

-2<x<0

0

0<x<2

2

x>2

f’(x)

+

0

-

0

+

0

-

f(x)

0

-16

0

5. x = -2 – точка max; f(-2) = -16 + 32 – 16 = 0, x = 0 – точка min, f(0) = -16; x = 2 – точка max, f(2) = -16 + 32 – 16 = 0; 2) y = x4 – 2x2 + 2 58


1. область определения – R; 2. y′ = 4x2 – 4x; 3. y′ = 0; 4x(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1; 4. y′ > 0; x(x2 – 1) > 0

+

+

–1

0

1

-1 < x < 0, x > 1, y′ < 0; x(x2 – 1) < 0 x < -1 0 < x < 1 X x < -1 -1 -1<x<0 0 0<x<1 -

f’(x)

0

+

0

1

f(x)

-

2

1

x>1

0

+

1

x = -1 – точка min, f(-1) = 1 – 2 + 2 = 1; x = 0 – точка max, f(0) = 0 + 0 + 2 = 2; x = 1 – точ��а min, f(1) = 1 – 2 + 2 = 1 1 1 6 ⋅x 3) y = ⋅ x 4 − 4 24

1. Область определения – R; 2. y ' = x 3 −

1 5 x ; 4

⎞ ⎛ 1 3. y′ = 0; x 3 ⎜1 − x 2 ⎟ = 0 , x = 0, x = ±2; 4 ⎠ ⎝ 1 3 2 x 4− x > 0 , 4. y’ > 0; 4

(

+

)

+

– -2

0

2

59


x < -2, 0 < x < 2, y′ < 0; X

x < -2

-2

f’(x)

+

0

(

)

1 3 x 4 − x 2 < 0 , -2 < x < 0, x > 2; 4 -2<x<0 0 0<x<2 2

-

0

5. х = -2 – точка max;

0

0

4 3

f(x)

+

f (− 2 ) =

x>2 -

4 3

1 1 8 4 ⋅16 − ⋅ 64 = 4 − = , 4 24 3 3

x = 0 - точка min; f(0) = 0 + 0 = 0, x = 2 – точка max; 4) y = 6x4 – 4x6

f (2) =

4 ; 3

1. Область определения – R 2. y(-x) = 6(-x)4 – 4(-x)6 = 6x4 – 4x6 = y(x) – четная, график симметричен относительно 0у. Исследуем на (0; +∞) 3. y′ = 24x3 – 24x5 4. y’ = 0, 24x3(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±1 5. x 0 (0, 1) 1 (1; +∞) f’(x)

0

f(x)

0

+

0 2

x = 0 – точка min f(0) = 0 x = ±1 – точка max f(1) = f(-1) = 6 – 4 = 2

№ 928

1) у = х3 – 3х2 + 2 1. Область определения [-1; 3] – по условию 2. y′ = 3x2 – 6x 3. y′ = 0; 3x2 – 6x = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2 4.

60

-


X

-1

(-1; 0)

0

(0; 2)

2

(2; 3)

3

y’

+

+

0

-

0

+

+

y

-2

2

-2

max

min

2

2) y = x4 – 10x + 9 на [-3, 3]; 1. Область определения [-3, 3]; 2. y′ = 4x3 – 20x; 3. y′ = 4x(x2 – 5) = 0, x = 0, x = ± 5 ;

x

-3

y’ y

0

(-3; − 5 )

− 5

-

0

(−

5 ;0 +

)

0

(0; 5 )

5

( 5 ;3)

0

-

0

+

-16

9

-16

min

max

min

3

0

61


№ 929 xmax = -3, 4; xmin = -6, 1, 6.

№ 930

1) у = 2 + 5х3 – 3х5 1. Область определения – R 2. y′ = 15x2 – 15x4 y′ = 0; 15x2(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0

y’

-

0

+

0

y

0<x<1

1

x>1

+

0

-

0 2

4

min

max

2) у = 3х5 – 5х3 1. Область определения – IR 2. y′ = 15x4 – 15x2 y′ = 0; 15x2(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0 y’ y

+

0 2

-

0<x<1

1

x>1

-

0

+

0 0

max

3) y = 4x5 – 5x4 1. Область определения – IR; 2. y' = 20x4 – 20x3 62

-2 min


y′ = 0; 20x3(x – 1) = 0, x = 0, x = 1 x x<0 0 0<x<8 y’

+

0

y

-

1

x>1

0

+

0

-1

max

min

1 5 5 3 x − x + 2x ; 10 6 1. Область определения – R;

4) y =

x 4 5x 2 − + 2 , y′ = 0; x4 – 5x2 + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 2 2 5+3 5−3 x2 = = 4 , x = ±2, x 2 = = 1 , x = ±1, 2 2 1 5 5 3 y (− x ) = − x + x − 2 x = − y (x ) - нечетная функция, симметричная 10 6 относительно 0. Продолжим рассуждение на (0; +∞)

2. y ' =

х

0

(0;1)

1

(1;2)

2

(2;+∞)

y’

0

+

0

-

0

+

y

0

19 15

8 15

max

min

63


№ 931 1 ; 3x 1. Область определения – R при х ≠ 0 1 2. y (− x ) = −3x − = − y (x ) - функция нечетная, график симметричен 3x относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞) 1 ; 3. y ' = 3 − 3x 2 1 4. y′ = 0; 9x2 – 1 = 0, x = ± ; 3 1 1 ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞ x ⎜ 0; ⎟ ⎜ ;+∞ ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 1) y = 3 x +

y’ y

-

0

+

2 min

4 −x; x 1. Область определения х ≠ 0; 4 2. y (− x ) = − + x = − y (x ) - функция нечетна и ее график симметричен x относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞); 4 − 1 ; 4. y′ = 0 4 + x2 = 0 – не существует стационарных точек; 3. y ' = − x2 4 5. пересечение с 0х: 0 = − x ; х2 = 4, х = ±2; x

2) y =

64


6. если х → ∞, то у → -х, если х → 0, то у → ∞; 7. y > 0,

3) y = x −

4 −x>0 x

1

4 − x2 > 0 при 0 < x < 2; x

;

x 1. Область определения x > 0; 2. y ' = 1 + 3. y′ = 0;

1+

1 2x x

1 2x x

;

= 0 2x x + 1 = 0 ,

1 — нет стационарных точек; 2 1 = 0 x 3 = 1 , х = 1; 4. у = 0 при x − x 5. если х → 0, то у → -∞, если х → ∞, то у → х; 1 6. y > 0; x − >0 x 3 > 1 , x > 1; x x3 = −

№ 932

1) у = хе-х 1. Область определения R; 2. y′ = e-x – xe-x = e-x(1 – x); 65


e-x(1 – x) = 0, e-x > 0, x = 1, y′ > 0; 1 – x > 0, x < 1;

3. y′ = 0;

X

x<1

1

x>1

y’

+

0

-

1 e

Y

2) y = xex 1. Область определения R; 2. y′ = ex + xex = ex(1 + x); 3. y′ = 0; ex(1 + x) = 0, x = -1; X

x < -1

-1

x > -1

y’

-

0

+

1 e min

Y

-

x = -1 – точка минимума;

2

3) y = e x ; 1. Область определения R: 2

2

2. y ' = 2 xe x ; 3. y′ = 0; 2 xe x = 0 , x = 0; 66


X

x<0

0

x>0

y’

-

0

+

Y

1

2

4) y = e− x 1. Область определения – R: 2. y ' = −2 x ⋅ e x

2 2

− 2x ⋅ ex = 0 ,

3. y′ = 0;

x=0

X

x<0

0

x>0

y’

+

0

-

Y

1 max

№ 933 x2 x−2 1. Область определения: х ≠ 2 1) y =

2. y ' =

2 x(x − 2 ) − x 2

=

2x 2 − 4x − x 2

(x − 2) (x − 2 ) x(x − 4 ) = 0 , х = 0, 3. y′ = 0 при ( x − 2 )2 2

2

=

x 2 − 4x

(x − 2 )

2

=

x(x − 4 )

( x − 2 )2

х=4

67


1) X

(-∞;0)

0

(0;2)

y’

+

0

-

Y

2

(2;4)

4

(4;+∞)

-

0

+

0

8

max

min

− x 2 + 3x − 1 1 = −x + 3 − ; x x 1. Область определения х ≠ 0; 1 2. y ' = −1 + ; x

2) y =

− x2 +1

3. y′= 0;

x2

= 0 , x = ±1, y = 0; x2 – 3x + 1 = 0, D = 9 – 4 = 5,

X

3± 5 ; 2 (-∞;-1)

-1

(-1;0)

y’

-

0

+

x=

Y

68

0

(0;1)

1

(1;+∞)

+

0

-

5

1

min

max


3) y = 2. =

4 + x − 2x 2

=

4 + x − 2x 2

; 1. Область определения х = 2;

x 2 − 4x + 4 (x − 2 )2 (1 − 4 x )(x 2 − 4 x + 4)− 2(x − 2)(4 + x − 2 x 2 ) = y' = ( x − 2 )4

x − 4 x 2 − 2 + 8x − 8 − 2x + 4 x 2

(x − 2 )

3

3. y′ = 0;

7 x − 10

(x − 2 )

3

=0

=

7 x − 10

(x − 2)3

;

10 ; 7

x=

4. y = 0; 4 + x – 2x2 = 0, 2x2 – x – 4 = 0, D = 1 + 32 = 33, x = X

10 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞; ⎟ 7⎠ ⎝

10 7

⎛ 10 ⎞ ⎜ ;2 ⎟ ⎝ 7 ⎠

y’

+

0

-

Y

2

1± 33 ; 4

(2;+∞) +

33 8 max

№ 934

1) Рассмотрим график функции у = х4 – 4х3 + 20. Его пересечение с у = 0 даст количество действительных корней исходного уравнения 1 Область определения R: 2. y′ = 4x3 – 12x2; 3. y′ = 0; 4x2(x – 3) = 0, x = 0, x = 3 X 0 (0;3) 3 (-∞;0) (3;+∞) y’ Y

-

0 20

-

0

+

-7 min

69


Ответ: два корня. 2) у = 8х3 – 3х4 – 7 = 0 1. Область определения R: 2. y′ = 24x2 – 12x3 3. y′ = 0; 12x2(2 – x) = 0, X 0 (-∞;0) y’

+

x = 0, x = 2 (0;2)

0

Y

+

-7

2

(2;+∞)

0

-

9 max

Ответ: два корня.

№ 935 y=

x3 − 4

;

(x − 1)3

1) Область определения х ≠ 1; 2) y ' =

(

3 x 2 (x − 1)3 − 3(x − 1)2 x 3 − 4

(x − 1)

(

34− x

3) y′ = 0,

2

(x − 1)4

6

3

) = 0 , x = ±2;

− 3 x 2 − 3 x 3 + 12

(x − 1)

4

=

(

3 4 − x2

(x − 1)

4

4) X

(-∞;-2)

-2

(-2;1)

(3;2)

2

(2;+∞)

y’

-

0

+

+

0

-

4 9 min

Y

3

5) y = 0,

x = 4,

3

6)

x −4

(x − 1)

3

=

)

4 max

3

x = 4 , x = 0, y = 4;

(x − 1)3 + 3x 2 − 3x − 3 = 1 + 3x 2 − 3x − 3 , (x − 1)3 (x − 1)3

x → ∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0 а справа растет от -∞ 70

) = 3x

y(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞,


7) Рассмотрим график; 4 4 имеем один корень; c = два корня; c< 9 9 4 < c < 1 три корня; с = 1 два корня; 1 < c < 4 три корня; 9 с = 4 два корня; с > 4 один корень.

§ 52 Наибольшее и наименьшее значения функции № 936 а) хэкстр = -3; 0 б) хэкстр = 0 в) хэкстр = -2; 2 г) хэкстр = -2; 1

унаиб = 2 унаиб = 3 унаиб = 3 унаиб = 4

унаим = -3 унаим = -3 унаим = -3 унаим = -2

№ 937

1) у = 2х3 + 3х2 – 36х на [-4; 3]; 1. у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64, y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27; 2. y′ = 6x2 + 6x – 36, y′ = 0; x2 + x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25, −1 + 5 −1 − 5 x1 = = 2 , x2 = = −3 ; 2 2 3. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81, y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44, max y (x ) = y (− 3) = 81 , min y (x ) = y (2 ) = −44 ;

[− 4;3]

[ −4;3]

2) на [-2; 1]; а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31; б) 2 ∉ [-2; 1], -3 ∉ [-2; 1], значит max f (x ) = 68 , min f (x ) = −31 .

[− 2;1]

[− 2;1]

№ 938

1) f(x) = x4 – 8x2 + 5 на [-3; 2]; 1. f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11; 2. f’(x) = 4x3 – 16x, f’(x) = 0; 4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = ±2; 3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11, 71


max f (−3) = 14 , min f (x ) = f (2 ) = f (−2) = −11 ;

[−3;2]

[−3;2]

1⎤ 1 ⎡ 2) f (x ) = x + , ⎢− 2;− ⎥ ; 2⎦ x ⎣ 1. f (− 2 ) = −2 −

1 5 1 5 ⎛ 1⎞ = − , f ⎜− ⎟ = − − 2 = − ; 2 2 2 2 ⎝ 2⎠

1

2. f ' (x ) = 1 −

x2 1⎤ ⎡ 3. − 1 ∈ ⎢− 2;− ⎥ 2⎦ ⎣

, f’(x) = 0, x2 – 1 = 0,

x = ±1;

1⎤ ⎡ 1 ∉ ⎢− 2;− ⎥ , f(-1) = -1 – 1 = -2, 2⎦ ⎣

max f (x ) = f (− 1) = −2 ,

1⎤ ⎡ ⎢ − 2; − 2 ⎥ ⎣ ⎦

1 ⎛ 1⎞ min f (x ) = f (− 2 ) = f ⎜ − ⎟ = −2 ; 2 ⎝ 2⎠

1⎤ ⎡ ⎢ − 2;− 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 3π ⎤ ⎢π; 2 ⎥ ; ⎦ ⎣

3) f(x) = sinx + cosx

3π 3π ⎛ 3π ⎞ + cos = −1 + 0 = −1 ; 1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, f ⎜ ⎟ = sin 2 2 2 ⎝ ⎠ 2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0, π 1 – tgx = 0, tgx = 1, x = + πn, n ∈ Z ; 4 3.

5π 5π 2 2 5π ⎡ 3π ⎞ ⎛ 5π ⎞ + cos =− − =− 2, ∈ π; ⎟ , f ⎜ ⎟ = sin 4 ⎢⎣ 2 ⎠ 4 4 2 2 ⎝ 4 ⎠

⎛ 3π ⎞ max f (x ) = f (π ) = f ⎜ ⎟ = −1 , ⎝ 2 ⎠

⎡ 3π ⎤ ⎢ π; 2 ⎥ ⎦ ⎣

⎛ 5π ⎞ min f (x ) = f ⎜ ⎟ = − 2 . ⎝ 4 ⎠

⎡ 3π ⎤ ⎢ π; 2 ⎥ ⎣ ⎦

№ 939 1) f (x ) = x 2 +

16 x2

, х > 0;

1. Область определения: х > 0, f ' (x ) = 2 x − f’(x) = 0;

2 x 4 − 32 x3

= 0 , 2(x4 – 16) = 0,

32 x3

,

x = ±2;

2 ∈ (0; +∞) -2 ∉ (0;+∞), x = 2 – точка минимума, f (2) = 4 + +

– 2

72

х

16 =8; 4


2) f (x ) =

2 − x 2 , x < 0. Область определения x < 0; x

1. f ' ( x ) = −

(

)

2 − 2 1 + x3 − 2 x , f’(x) = 0, = 0 , x3 = -1, x = -1, 2 x x2

-1 ∈ (-∞; 0) +

– х

-1

f (− 1) = −

2 − 1 = −3 , x = -1 – точка максимума, 1

max f (x ) = f (−1) = −3 .

(−∞;0 )

№ 940 Пусть одно число х, тогда второе (50 – х). Надо найти наименьшее значение суммы их кубов, т.е.: f(x) = x3 + (50 – x)3, f’(x) = 3x2 – 3(50 – x)2 = 3x2 – 7500 + 300x – 3x2 = 300x – 7500, f’(x) = 0, 300x – 7500 = 0 ⇒ x = 25, –

+

х

25

x = 25 – точка минимума, х = 25; (50 – х) = 25, 50 = 25 + 25.

№ 941 ⎛ 625 ⎞ Пусть одно число х, тогда второе ⎜ ⎟ , но числа эти такие, что сумма ⎝ x ⎠ их квадратов наименьшая 2

⎛ 625 ⎞ f (x ) = x 2 + ⎜ ⎟ , x < 0, ⎝ x ⎠ f ' (x ) = 2 x −

2 ⋅ 625 2

,

f ' (x ) = 0; 2 x −

2 ⋅ 6252 3

= 0,

x x3 4 2 2х – 2 ⋅ 625 =0, x = ±25, x = 25 ∈ (0; + ∞), x = -25 ∉ (0; +∞), –

+

25

х

x = 25 – точка минимума, значит х = 25,

625 = 25 . x

Ответ: 625 = 25 ⋅ 25

№ 942 Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда p = 2(a + b). Положим, а = х, тогда x > 0 p p b = −a = −x. 2 2

а b

73


Площадь этого прямоугольника находим как: ⎞ ⎛p S = f (x ) = a ⋅ b = x ⋅ ⎜ − x ⎟ – найдем max этой функции. ⎝2 ⎠ p p p − 4x p f ' (x ) = − x − x = − 2 x , f’(x) = 0; =0 x= , 2 4 2 2 –

+

х

p 4

p – точка max, значит, прямоугольник имеет стороны 4 p p p — это квадрат. b= − = 2 4 4

точка x = a=

p 4

№ 943

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. S = 9 = a ⋅ b. 9⎞ 9 ⎛ Пусть а = х, тогда b = , p = f (x ) = 2(a + b ) = 2⎜ x + ⎟ x⎠ x ⎝

x > 0.

⎛ 9 ⎞ ⎟, Найдем минимум этой функции f ' (x ) = 2⎜⎜1 − 2 ⎟ ⎝ x ⎠ 2

f′(x) = 0; –

3 ∈ (0; +∞)

(x

2

x

−9 2

)= 0,

x = ±3, +

3 -3 ∉ (0; +∞)

9 = 3. 3 Ответ: Это квадрат со стороной 3. х = 3 – точка min; a = 3, b =

№ 944 1 1 ⎡1 ⎤ ⎛1⎞ 1) f(x) = lnx – x, ⎢ ;3⎥ , х > 0; 1. f ⎜ ⎟ = ln − < 0 , f(3) = ln3 – 3 < 0; 2 2 ⎣2 ⎦ ⎝2⎠ 1 1− x ⎡1 ⎤ 2. f ' (x ) = − 1 , f′(x) = 0; = 0 , x = 1; 3. 1 ∈ ⎢ ;3⎥ , f(1) = ln1 –1=-1. x x ⎣2 ⎦

⎛1⎞ ⎝ 2⎠

Выясним, что больше. Допустим, f ⎜ ⎟ > f (3) 5

− 1 1 1 5 1 1 1 − > ln 3 − 3 , ln − ln 3 > − , ln > ln e 2 ⇒ > 5 2 2 2 2 6 6 e 2 е5/2 > 6 – что верно

ln

74


Допустим f(3) < f(1), т.е. ln3 – 3 > -1, ln3 > 2, 3 > e2 – не верно, значит f(1) > f(3).

ln3 > lne2, 1

− 1 1 1 ⎛1⎞ Допустим f ⎜ ⎟ > f (1) , т.е. ln − > −1 , ln > ln e 2 , 2 2 2 ⎝2⎠

1 1 > , 2 e

⎛1⎞ e > 2 , е > 4 – не верно, значит f (1) > f ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ Итак, max f (x ) = f (1) = −1 , min f (x ) = f (3) = ln 3 − 3 ; ⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;3⎥ ⎣ ⎦

⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;3⎥ ⎣ ⎦

2) f(x) = x + e-x, [-1; 2]; 1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, f (2) = 2 +

1

>2; e2 2. f′(x) = 1 – e-x, f′(x) = 0; 1 – e-x = 0, e-x = 1 = e0, x = 0, f(0) = 0 + e0 = 1, 1 max f (x ) = f (2 ) = 2 + , min f (x ) = f (0) = 1 ; [−1;2] e 2 [−1;2] f(-1 )

f(0 ) 1

f(2 ) 2

3) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π]; 1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3; 2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0, 1 π sinx = 0, x = πn, n ∈ Z, cos x = + x = ± + 2πn, n ∈ Z ; 2 3 π 3. 0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π], ∈ [0; π] , 3 π 2π 1 3 ⎛π⎞ f ⎜ ⎟ = 2 cos − cos = +1 + = + , 3 3 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎛π⎞ 3 max f (x ) = f ⎜ ⎟ = , min f (x ) = f (π ) = −3 . [0;π] ⎝ 3 ⎠ 2 [0;π]

№ 945

1) f (x ) = 3 x − x x , x > 0; 3 3 − ⋅ x, 1. f ' (x ) = 2 x 2

f′(x) = 0;

⎞ 3 ⎛⎜ 1 − x⎟=0 ⎟ ⎜ 2⎝ x ⎠

x

=0, x=1

+ 0

1− x

1

x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2; 75


2. f (x ) = 3x − 2 x x , x > 0, f ' (x ) = 3 − 3 x ,

(

)

f′(x) = 0; 3 1 − x = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1, точка max. 3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1.

+

1

№ 946

1) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3, f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0, x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1), f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1; –

+

0

1 1 x −1 1 + , f′(x) = 0, =0, 2) f (x ) = + ln x на (0; 2), f ' (x ) = − 2 x x x2 x 1 x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), f (1) = + ln 1 = 1 . 1 +

– 1

№ 947

1) f (x ) = x 4 5 − x на (0; 5), x ⋅ (−1) 4(5 − x ) − x 20 − 5 x f ' (x ) = 4 5 − x + = = , 3 3 4 4 4 4 (5 − x ) 4 (5 − x ) 4 (5 − x )3 f′(x) = 0,

20 − 5 x 4 (5 − x )3 4

f (4 ) = 4 ⋅ 4 5 − 4 = 4 ; +

= 0 , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5),

4

2) f (x ) = x 4 − x , (0; 4), f ' (x ) = 3 4 − x +

x ⋅ (−1)

3

f′(x) = 0,

12 − 4 x 3 (4 − x )2 3

f (3) = 3 ⋅ 3 4 − 3 = 3 ;

+

3 76

3 (4 − x ) 3

2

=

12 − 4 x 3 (4 − x )2 3

= 0 , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4),

– x

,


3) f (x ) = 3 x 2 (1 − x ) , (0; 1), f ' (x ) =

(

)=

1 2 x(1 − x ) + x 2 ⋅ (− 1)

2 x − 3x 2

3 x (1 − x )

3 x (1 − x )

4

3

2

2 − 3x

f′(x) = 0,

3 x (1 − x ) 4

3

2

=0,

3

4

x=

2 , 3

2

x=

=

2 − 3x 3 x 4 (1 − x )2 3

2 2 – точка max, ∈ (0;1) , 3 3

4 1 34 ⎛2⎞ f⎜ ⎟=3 ⋅ = ; 9 3 3 ⎝3⎠ + – 3

x

4) f (x ) = x 2 − 4 x + 5 , (-1; 5),

f ' (x ) =

3

1 ⋅ (2 x − 4 )

(

3 x 2 − 4x + 5 f′ (x) = 0; 3

(

2x − 4 2

3 x − 4x + 5 f (2) = 4 − 8 + 5 = 1 .

)

2

=0,

)

2

,

x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5),

3

+

2

x

№ 948 Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х. Запишем в таком случае объем f(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2x – 4a2x + 4x3 f′(x) = a2 – 8ax + 12x2; f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2, 4 a + 2a a 4a − 2 a a x1 = = , x2 = = , 12 2 12 6 a ⎛a⎞ f ⎜ ⎟ = (a − a )(a − a ) ⋅ = 0 , 2 ⎝2⎠ a ⎞⎛ a⎞ a 4 a 2a 3 ⎛a⎞ ⎛ f ⎜ ⎟ = ⎜ a − ⎟⎜ a − ⎟ ⋅ = a 2 ⋅ = , 3 ⎠⎝ 3⎠ 6 9 6 27 ⎝6⎠ ⎝ ⎛ a ⎞ 2a 3 max f (x ) = f ⎜ ⎟ = . ⎝ 6 ⎠ 27 Ответ: высота коробки должна быть

a . 6 77


№ 949 B

К

Р A

Q

D

C

Пусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x. Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – поAC x + a x+a , значит = , добны с коэффициентом PQ x x AC =

(x + a ) ⋅ PQ = (x + a ) ⋅ a . x

x

Площадь:

1 1 (x + a )a (x + a )2 ⋅ a , AC ⋅ BD = ⋅ (a + x ) = 2 2 x 2x

f ' (x ) =

2 ⎛ a2 ⎞ 2 ⎛ a2 ⋅ ⎜⎜ x + 2a + ⎟' = ⎜ 1 − 2 a ⎝ x ⎟⎠ a ⎜⎝ x

f′(x) = 0; f (a ) =

2 ⎛⎜ x 2 − a 2 a ⎜⎝ x 2

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎞ ⎟ = 0 , x = ±a, x > 0, x = a, ⎟ ⎠

(a + a )2 ⋅ a = 2a 2 .

2a Ответ: наименьшая площадь при ВК = a.

№ 950

у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит, вершины прямоугольника будут иметь координаты В = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0). Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь: f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2), x ∈ (0; 3), f′(x) = 2(3 – x2) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2), f′(x) = 0; 6(1 – x2) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3), f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4. Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4.

№ 951

Пусть это точка В с координатами (х, х2).

( x − x A )2 + ( y − y B ) 2

Тогда расстояние до точки А: ρ = f (x ) =

=

78

(x − 2)2 + ⎛⎜ x 2 − 1 ⎞⎟

x 4 − 4x +

17 , 4

2⎠

f ' (x ) =

2

= ρ или

= x 2 − 4x + 4 + x 4 − x 2 +

(

1⋅ 4 x 3 − 4 2 x 4 − 4x +

) 17 4

,

1 = 4


4x 3 − 4

f'(x) = 0;

17 2 x − 4x + 4

=0,

4

+

– 1

x

x3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1. Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А.

№ 952 Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 0 ≤ ϕ <

π . 2

Тогда площадь поперечного сечения желоба:

⎛1 ⎞ S (ϕ) = 2⎜ ⋅ a (a cos ϕ)sin ϕ ⎟ + a (a ⋅ cos ϕ) , 2 ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ S (ϕ) = a 2 ⎜ sin 2ϕ + cos ϕ ⎟ . ⎝2 ⎠ Найдем максимум этой функции:

⎛1 ⎞ ⋅ 2 ⋅ sin 2ϕ − cos ϕ ⎟ , ⎝2 ⎠

S′(x) = a 2 ⎜

S′ = 0 ⇒ cos2ϕ – sinϕ = 0 ⇒ 1 – 2sin2ϕ – sinϕ = 0. Обозначим sinϕ = t;

− 1 ± 1 − 4 ⋅ 2(− 1) 1 ; t1 = –1; t2 = . 2 2⋅2 3 при t = –1: sinϕ = –1 ⇒ ϕ = π — посторонний корень. 2 1 1 π : sinϕ = ⇒ϕ= , и угол наклона боковых досок к оснопри t = 2 2 6 π π 2 ванию : + = π . 2 6 3 2 Ответ: π . 3 2t2 + t – 1 = 0; t1,2 =

§ 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба № 953

1) f′′(x) = (x2cosx)′′ = (2x cosx – x2sinx)′ = (2x cosx)′ – (x2sinx)′ = = 2cos x – 2x sin x – 2xsinx – x2cosx = cosx(2 – x2) – 4x sin x; 2) f′′(x) = (x3sinx)′′ = (3x2sinx + x3cosx)′ = 3(x2sinx)′ + (x3cosx)′ = = 6x sin x + 3x2cosx + 3x2cosx – x3sinx = sinx(6x – x3) + 6x2cosx; 79


3) f ' ' ( x ) = ( x5 + 2 x3 − x 2 + 2)' ' = (5 x 4 + 6 x 2 − 2 x)' = 20 x3 + 12 x − 2 ; 4) f ' ' ( x ) = ( x 4 − 3 x3 + 5 x + 6)' ' = ( 4 x3 − 9 x 2 + 5)' = 12 x 2 − 18 x .

№ 954

1) f′′(x) = ((x + 1)4)′′ = (4(x + 1)3)′ = 12(x + 1)2, f′′(x) > 0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз 2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12, f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0, – + + -1 1 x при x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз. f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх; 3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex)′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex)′ = = (ex(x2 – x – 1))′ = ex(x2 – x – 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x – 2) f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0,

+

+

-2

1

x −1 + 3 −1 − 3 D = 1 + 8 = 9, x1 = = 1 , x2 = = −2 , 2 2 при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх; 6⎞ ⎛ 4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ = ⎜ 6 x − ⎟ , x > 0, x⎠ ⎝

(

)

6(x − 1)(x + 1) 1⎞ x 2 −1 ⎛ >0, >0, f′′(x) > 0, 6⎜ x − ⎟ > 0 , 6 x⎠ x x ⎝ при x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх.

№ 955

1) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π, π π π -cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n ∈ Z , x = − ; ; 2 2 2 2) f′′(x) = (x5 – 80x2)′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160, f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2.

+

2

x

При переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба; 3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48 f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, x = 80

2 , 3


+ x

2 3

2 знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба 3 1 ⎛ ⎞ 4) f ' ' ( x ) = ⎜ sin x − sin 2 x ⎟' ' = (cos x − cos 2 x )' = 2 ⎝ ⎠ = − sin x + 2 sin 2 x = 2 sin 2 x − sin x , -π < x < π, f′′(x) = 0,

при переходе через x =

sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π),

1 1 , x = ± arccos + 2πn , 4 4 1 x = ± arccos — являются точками перегиба. 4

cos x =

Упражнения к главе IX. № 956

1) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0,

+

-1

+ x

0

при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает;

⎛2 3 ⎞ x − x 2 − 4 x + 5 ⎟' = 2 x 2 − 2 x − 4 , ⎝3 ⎠

2) y ' = ⎜

y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9,

x1 =

1+ 3 1− 3 = 2 , x2 = = −1 , 2 2 – + + -1

2

x

при x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0, при –1 < x < 2 – убывает;

3 ⎛3 ⎞ − 1⎟' = − 2 ; х ≠ 0 x ⎝x ⎠

3) y ' = ⎜

y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0;

−2 ⎛ 2 ⎞ ; ⎟' = 2 − 3 x ( − 3) x ⎝ ⎠

4) y ' = ⎜

x ≠ 3,

y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках. 81


№ 957

1) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0; ⎡x = 0 3+5 3−5 ⎢ x 2 − 3 x − 4 = 0 , D = 9 + 16 = 25, x1 = 2 = 4 , x 2 = 2 = −1 , ⎣

x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0; 2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0,

⎡x = 0 1 ⎢4 x 2 − 1 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2 , ⎣ ⎛ x 12 ⎞ 1 12 ; + ⎟' = − ⎝ 3 x ⎠ 3 x2

3) y ' = ⎜

x3 = −

1 . 2

x ≠ 0, y′ = 0,

x 2 − 36 3x 2

=0,

x2 – 36 = 0, x = ±6; 4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0,

⎡ x = πn, n ∈ Z ⎡sin x = 0 ⎢ . ± 2π 1 ⇒ ⎢ + 2πn, n ∈ Z ⎢x = ⎢cos x = − 3 2 ⎣ ⎣

№ 958 1) y′ = (x3 – 4x2)′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 = –

+ 0

+ x

8 3

x = 0 – точка max., x =

8 , 3

8 - точка min.; 3

2) y′ = (3x4 – 4x3) = 12x3 – 12x2, y′ = 0, 12x2(x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, x = 0 – стационарная точка, х = 1 – точка min.

+

– 0

x

1

№ 959 ⎛

1) y ' = ⎜ x 5 −

5 2 ⎞ x + 3 ⎟' = 5 x 4 − 5 x , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 2 ⎠

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min., 3 5 f (1) = 1 − + 3 = ; 2 2

+

0 82

+

1

x


⎛1 5 ⎞ x − 4 x 2 − 3 ⎟' = x 4 − 8 x , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2, ⎝5 ⎠

2) y ' = ⎜

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min.,

32 63 − 16 − 3 = − . 5 5 + – +

f (2 ) =

0

x

2

№ 960 1) y =

x3 + 3x 2 . 3

Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0, x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точки x

x<-6

-6

-6<x<0

0

x>0

y′

+

0

-

0

+

y

0 max

2) y = −

min

x4 + x2 . 4

Область определения – R, y′ = -x3 + 2x, y′ = 0,

x y′ y

(− ∞;− 2 ) +

− 2 0

x(2 – x2) = 0, x1 = 0; x2 = ± 2

(−

2 ;0 -

)

0

(0; 2 )

0

+

2 0

1

0

1

max

min

max

x> 2 -

83


№ 961

1) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3], y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1

+

x

1 x

0

y′ y

2) y =

(0; 1)

1

(1; 3)

-

0

+

5

3

2

14

1 4 2 3 3 2 x − x − x + 2 на [-2; 4]. 4 3 2

Область определния [-2; 4], y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0,

⎡x = 0 ⎢ x2 − 2 x − 3 = 0 , ⎣ D = 1 + 3 = 4, x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0. x -2 (-2;-1) -1 0 y′ y 16 17

3

0 0 2

12 min

84

(-1;0) +

max

(0;3) -

3 0

37 4

min

(3;4) +

4

2 3


№ 962

1) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23, f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0 x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9, max f (x ) = f (0 ) = 9 , min f (x ) = f (−2 ) = −23 ;

[− 2;2 ]

[− 2;2 ]

3

2

2) f(x) = x + 6x + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0, f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1, x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4, f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0, min f (x ) = f (− 4 ) = f (− 1) = −4 , max f (x ) = f (− 3) = f (0 ) = 0 ;

[− 4;0 ]

[− 4;0 ]

3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227, f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3], f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3, min f (x ) = f (−1) = f (1) = 2 , max f (x ) = f (− 4 ) = 227 ;

[− 4;3]

[− 4;3]

4) f(x) = x4 – 8x2 + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2], f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11, min f (x ) = f (−2 ) = f (2 ) = −11 , max f (x ) = f (− 3) = 14 .

[−3;2 ]

[−3;2 ]

№ 963 Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна ⎛p ⎞ ⎜ − x⎟ . 2 ⎝ ⎠ 2

⎛p ⎞ Тогда диагональ вычислим как: l = f (x ) = x 2 + ⎜ − x ⎟ . 2 ⎝ ⎠ Исследуем эту функцию на min ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p2 p2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f ′( x) = ⎜ x 2 + − px + x 2 ⎟ = ⎜ 2 x 2 + − px ⎟ = 4 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 85


1 ⋅ (4 x − p)

4x − p

= 0 , 4х – p = 0, p2 p 2 2 2x + − px 2 2x + − px 4 4 p p p p p , вторая сторона x= − x = − = – значит, это квадрат со сто4 2 2 4 4 роной р/4, ч.т.д. =

2

, f ′(х) = 0,

2

№ 964

Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание (р–2х), тогда высота равна: 2

p2 ⎛p ⎞ h = x2 − ⎜ − x ⎟ = x2 − + px − x 2 = 4 ⎝2 ⎠ тогда площадь вычислим как:

− p 2 + 4 px , 2

− p 2 + 4 px ( p − 2 x) − p 2 + 4 px 1 , S ( x) ⋅ ⋅ ( p − 2 x) ⋅ = 2 2 4 ⎛ ⎞ 1⎜ ( p − 2 x) ⋅ 4 p ⎟ = S ′( x) = ⎜ − 2 − p 2 + 4 px + 2 ⎟ 4⎜ ⎟ − 2 4 px p ⎝ ⎠ =

1 8 4 px − p 2

S ′(х) = 0,

(+ 4 p

2

)

− 16 px + 4 p 2 − 8 xp =

4 p ( p − 3 x) 2 4 px − p

2

=0, х=

4 p 2 − 12 xp 4 4 px − p 2

,

p p , х= – точка max., 3 3

2p p = . 3 3 Это равносторонний треугольник.

основание p − 2 x = p −

№ 965

Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхности

равна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h =

300 − x 2 . 2x

Найдем объем: V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅

x3 300 − x 2 = 150х – . 2x 2

Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 –

3 2 x , 2

3 2 x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию), 2 300 − 100 h= = 10 , значит это куб. 20

f ′(х) = 0,

86


№ 966

′ 7 ⎛9 ⎞ y′ = ⎜ x5 − x3 + 7 x + 12,5 ⎟ = 9 x 4 − 7 x 2 + 7 , 3 ⎝5 ⎠ 4 у′ = 0, 9х – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 и у′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 967 у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к. x > 0, следовательно у′ > 0 при любых х ∈ R, и значит, функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 968

1) у′ = (х lnx) = lnx + 1, у′ = 0, lnx + 1 = 0, lnx = –1, lnx = lnе–1, 1 х = – точка min; e 2) у′ = (хех)′ = ех + хех = ех (1 + х), у′ = 0, ех (1 + х) = 0, х = –1, х = –1 – точка min. –

+

x

–1

′ ′ ′ 9 ⎞ ⎛ 75 − 25 x − 63 + 9 x ⎞ ⎛ 12 − 16 x ⎞ ⎛ 25 ⎟⎟ = ⎜⎜ − 3) y′ = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ = ⎝ 7 − x 3 − x ⎠ ⎝ (7 − x)(3 − x) ⎠ ⎝ x 2 − 10 x + 21 ⎠

= =

− 16( x 2 − 10 x + 21) − (12 − 16 x)(2 x − 10)

(x

2

)

− 10 x + 21

2

=

16 x 2 + 160 x − 336 − 24 x + 120 + 32 x 2 − 160 x

(x

2

)

− 10 x + 21

2

=

16 x 2 − 24 x − 216

(x

2

)

− 10 x + 21

2

,

(2 x 2 − 3x − 27)

= 0 ; х2 – 10х + 21 ≠ 0 ⇒ (х – 3) (х – 7) = 0 x 2 − 10 x + 21 ⇒ х ≠ 3, х ≠ 7, 2х2 – 3х – 27 = 0, D = 9 + 216 = 225,

у′ = 0,

x1 =

3 − 15 3 + 15 9 = , x2 = = −3 , 4 2 4

x = −3 точка max., x =

+

+

– –3

9 2

9 точка min. 2

x

87


№ 969 рис 148 а) 1) возрастает х ∈ (х3, х5) U (х7, х8); убывает х ∈ (х1, х3) U (х5, х7); 2) хmax = х1, х5; хmin = х3, х7; 3) х2, х4, х6, х8; рис 148 б) 1) возрастает х ∈ (–10, –8) U (–4, –2) U (0, 4) U (6, 7); убывает х ∈ (–8, –4) U (–2, 0) U (4, 6); 2) хmax = –8; –2; 4; хmin = –4; 0; 6; 3) –10; –6; –3; –1; 2; 5; 7.

№ 970 1) y =

2 x2 − 4

а) Область определения х ≠ ± 2 ′ 2x ⎛ 2 ⎞ б) у′ = ⎜⎜ 2 , у′ = 0, ⎟⎟ = − 2 ( x − 4)2 ⎝ x −4⎠

x y′

–2

(–∞; –2) +

∃ ∃

у

2) y =

(–2; 0) +

0 0 1 − 2 max

2x 2

( x − 4) 2 (0; 2) –

2

x +4 а) Область определения R: −2 ⋅ 2 x −4 x = ; б) y ′( x) = 2 2 2 ( x + 4) ( x + 4) 2 −4 x в) у′(х) = 0, = 0 , х = 0; 2 ( x + 4) 2

у 88

(–∞; –0) +

0 0 1 2 max

2

∃ ∃

2

x y′

= 0;

(0; +∞) –

x = 0; (2; +∞) –


3) у = (х – 1)2 (х + 2) а) Область определения R: б) у′ = (х) = 2 (х – 1)(х + 2) + (х – 1)2 = (х – 1)(2х + 4 + х – 1) = = (х – 1)(3х + 3) = 3 (х – 1)(х + 1); в) у′ = 0, 3 ⋅ (х – 1)(х + 1) = 0, х1 = 1, х2 = –1. x y′

(–∞; –1) +

у

–1 0 4 max

(–1; 1) –

1 0 0 min

(1; +∞) +

4) у = х(х – 1)3 а) Область определения: R б) у′ = (х – 1)3 + 3х (х – 1)2 = (х – 1)2 (х – 1 + 3х) = (х – 1)2 (4х – 1) 1 в) у′ = 0, (х – 1)2 ⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 = 4 1 1 1 (–∞; – ) ( ; 1) 1 x (1; +∞) 4 4 4 – 0 + 0 + y′ 27 − у 0 256 min

№ 971 1) f(x) = 2sinx + sin2x; а) Область определения [0;

х∈[0;

3π ]; 2

3π ]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x; 2

89


2cosx+2cos2x=0; 4cos2x+2cosx–2 = 0, 2cos2x + cosx – 1 = 0; −1 + 3 1 π D = 1 + 8 = 9; cosx = , x = ± + 2πn , n ∈ Z; 4 2 3 −1 − 3 cosx = −1 , х = π + 2nπ, n ∈ Z, 4 3π ⎛ 3π ⎞ + sin3π = –2 + 0 = –2, f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f ⎜ ⎟ = 2sin 2 ⎝ 2 ⎠ в) f ′(х)=0,

π 2π 3 3 3 ⎛π⎞ = 3+ = f ⎜ ⎟ = 2sin + sin , 3 3 2 2 ⎝3⎠ f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0,

⎛ 3π ⎞ min ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = −2; ⎝ 2 ⎠

⎛π⎞ 3 3 max ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = ; 2 ⎝3⎠

⎡ 3π ⎤ ⎢0 ; 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 3π ⎤ ⎢ 0; 2 ⎥ ⎣ ⎦

2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x, D = 1 + 8 = 9, f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2x) = 0, 2sin2x + sinx –1 = 0,

−1+ 3 1 5π π ⎡ n π ⎢sin x = 4 = 2 x = (− 1) 6 + πn , n ∈ Z ; 6 ∈ [0; π], 6 ∈ [0; π] ⎢ ⎢sin x = − 1 − 3 = −1 x = − π + 2πn , n ∈ Z ; − π ∉ [0; π] 4 2 2 ⎣⎢ б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2, π π 3 3 3 ⎛π⎞ = f ⎜ ⎟ = 2cos + sin = 3 + , 6 3 2 2 ⎝6⎠ 5π 3 3 3 ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ =− 3− =− f ⎜ ⎟ = 2cos⎜ ⎟ + sin , 3 2 2 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠

3 3 ⎛ 5π ⎞ min ( f (x )) = f ⎜ ⎟ = − ; [0; π ] 6 2 ⎝ ⎠

⎛π⎞ 3 3 max( f (x )) = f ⎜ ⎟ = . [0; π ] 2 ⎝6⎠

№ 972

1) v(t) = s′(t) = (6t2 – t3)′ = 12t – 3t2 2) найдем наибольшее значение v(t) v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max., v(2) = 24 – 12 = 12.

№ 973

Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда АВ =

(l − x) 2 − x 2 =

l 2 − 2 xl ,

1 x ⋅ l 2 − 2 xl . 2 Найдем наибольшее значение SABC. S ABC =

90


S ′( x) =

1 ⎛⎜ 2 1 ⋅ ( −2l ) x l − 2 xl + ⎜ 2 2 l 2 − 2 xl ⎝

S′(х) = 0,

АС = l –

l 2 − 3lx 2

2 l − 2 xl

= 0, х =

l 2l = , АВ = 3 3

⎞ l 2 − 2 xl − lx l 2 − 3lx ⎟= , = ⎟ 2 2 l 2 − 2 xl ⎠ 2 l − 2 xl

l l , х = – точка max., 3 3

4l 2 l 2 3l − = . 9 9 3

№ 974 Пусть АС = х, тогда СВ = 40 – х. Тогда площадь найдем по формуле: 1 1 x2 AC ⋅ CB = x(40 − x ) = 20 x − 2 2 2 Исследуем S(х) на max. S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20, СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. S (x ) =

№ 975 Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα , и АС =

x 2 + y 2 − 2 xycos(π - α ) =

= x 2 + y 2 + 2 xycosα AC + BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα + x 2 + y 2 + 2 xycosα = a a 2 = x 2 + y 2 − 2 xy cos α + x 2 + y 2 + 2 xy cos α − 2

(x

2

)

2

+ y 2 − 4 x 2 y cos 2 α

a4 – 4(x2 + y2)a2 + 4(x2 + y2)2 = 4(x2 + y2)2 – 16x2y2cos2α, a4 – 4(x2 + y2)a2 + 16x2y2cos2α = 0, 4(x2 + y2) = a2 + 16 2

2

x 2 y 2 cos 2 α a2

.

Величина 2(x + y ) зависит от параметра α. min 4(x2 + y2) = a2 при cos2α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2 + y2) =

a2 . 2

№ 976 Пусть АВ = х, тогда АD = 2 R 2 − x 2 , S = AD ⋅ AB = 2 x R 2 − x 2 = 2 x R 2 x 2 − x 4 . Исследуем S на max при x∈[0; R]. S′ =

(

2 2R 2 x − 4 x 3 2 R2x2 − x4

);

S′ = 0,

2R 2 x − 4x 3 R2 x2 − x4

=0, 91


⎡x = 0 ⎡x = 0 R ⎢ 2 ⇒ ⎢ R , − ∉[0; R], R ⎢ x2 = ⎢x = ± 2 ⎢⎣ 2 2 ⎣ R x = 0 – точка min., x = – точка max., 2

2x(R2 – 2x2) = 0;

AD = 2 R 2 −

R R2 R = 2⋅ = 2R , S = ⋅ 2R = R 2 . 2 2 2

№ 977 1 h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за3 висит только от площади основания. Найдем ее max.

Объем пирамиды V =

Пусть один катет основания х, тогда другой 16 − x 2 . Тогда площадь 1 1 х ∈ [0; 4] S (x ) = x ⋅ 16 − x 2 = 16 x 2 − x 4 ; 2 2 S ′(x ) =

(

1 32 x − 4 x 3

)=

8x − x 3

4 16 x 2 − x 4

8 x − x3 2

16 x − x

4

16 x 2 − x 4

;

= 0 , x(8 – x2) = 0, x = 0,

S′ (х) = 0, x = ± 2 2 , − 2 2 ∉ [0; 4],

( )

x = 0 – точка min., x = 2 2 – точка max., S 2 2 = V=

1 8 16 ⋅ 8 − 64 = = 4 , 2 2

1 ⋅ 12 ⋅ 4 = 16. 3

№ 978

Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота ⎛R ⎞ h = ⎜ − 2 x ⎟ . Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2. х ∈[0; p], 2 ⎝ ⎠ pπx 2 − 4πx3 ⎛p ⎞ . V (x ) = ⎜ − 2 x ⎟ ⋅ π ⋅ x 2 = 2 ⎝2 ⎠ 1 Исследуем V(х) на max. V′(х) = (2рπх – 12πх2) = рπх – 6πх2 2 V′(х) = 0, хπ(р – 6х) = 0, x = 0 – точка min., x = ⎛ p⎞ V⎜ ⎟ = ⎝6⎠

92

pπ ⋅

p ⎡ xπ = 0 ⎢⎣ p − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 6

p – точка max., 6

p2 p3 − 4⋅π 3 36 216 = π 6 p3 − 4 p 3 = πp . 2 2 ⋅ 216 216

(

)


№ 979 AD 5 AD AB = ; = = k , AD = 5k, AB = 2k, 5 2 AB 2 S пов = AD ⋅ AB + 2 S AA1B1B + 2 S AA1D1D = 2 S − 10k 2 , 14k

= 10k2 + 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 =

(

)

2S − 10k 2 5 = 2Sk − 10k 3 . 14k 7 5 Исследуем V на max., V′ = (2S – 30k2); 7 V = 10k 2 ⋅

5 (2S – 30k2) = 0, 7

V′ = 0,

S S S 5⋅ S ; AD = , k= – точка max, k= = 15 15 15 15

k=±

S 5 . S , AB=2⋅ 3 15

№ 980 y=

x 2 − 3x + 2

x 2 + 3x + 2 а) Область определения: х2 + 3х + 2 ≠ 0; D = 9 – 8 = 1, −3 + 1 −3 − 1 x≠ = −1 , x ≠ = −2 ; 2 2

б) y′ = =

(2 x − 3)(x 2 + 3x + 2)− (x 2 − 3x + 2)(2 x + 3) =

(x

2

+ 3x + 2

)

2

2 x3 + 6 x 2 + 4 x − 3 x 2 − 9 x − 6 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 x − 3x 2 + 9 x − 6

(x + 3x + 2) 6(x − 2) 12 x − 6 x − 12 , = =+ (x + 3x + 2) (x + 3x + 2) 6(x − 2 ) y′ = 0, = 0 , х – 2 = 0, (x + 3x + 2) 2

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

(–∞; –2)

–2

y′

+

у

2

2

(–2; – 2) +

х=± 2 ,

– 2

(– 2 ; –1)

–1

0

max

(–1; 2) –

2

( 2; +∞)

0

+

min

x = – 2 – точка min., x = 2 – точка max.

93


№ 981

(

)

1) y = x 2 − 1 x + 1 ;

а) Область определения х > 1. б) y′ = 2 x x + 1 + в) y′ = 0,

(x − 1) = 4 x 2

+ 4 x + x2 − 1

2 x +1

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

D/4 = 4 + 5 = 9;

2

–1

y′

у

0

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

= 0 , 5х2 + 4х – 1 = 0,

х1 =

x

2 x +1

=

−2 + 3 1 = , 5 5 1 (–1; ) 5 –

−2 − 3 = −1 5 1 1 ( ; +∞) 5 5 0 +

х=

24 30 125 min

2) y =| x | ⋅3 1 + 3 x ; а) D (у) =R; б) у = 0 при х = 0, х = − в) y ′ = (| x |)′ 3 1 + 3 x + х>0 y′ = 0, х<0 y′ = 0,

94

| x | ⋅3

1 + 4x 3

x 3

(1 + 3x )

y′ = −3 1 + 3 x + –

1 + 4x 3

(1 + 3x )

2

=0

=

(1 + 3x )

2

=0, x= −

2

,

3 (1 + 3 x )2 3

y′ = 3 1 + 3 x +

1 + 4x 3

(1 + 3x )2

,

1 , но х > 0. Не подходит. 4

(− x ) 3

1 ; 3

(1 + 3x )

2

=−

x= −

1 + 4x 3

(1 + 3x )2

,

1 – точка max. 4

;


x

(–∞; −

y′

+

у

1 ) 4

1 4 0 1

(−

1 ; 0) 4 –

4 4 max

3) y = х2е–х а) Область определения: R б) у′ = 2хе–х – х2е–х = е–х (2х – х2) в) у′ = 0, е–х (2х – х2) = 0, х = 0; х = 2 x 0 (0; 2) (–∞; 0) – 0 + y′ у

0 min

4) y = х3е–х а) D(y) =R б) у′ = 3х2е–х – х3е–х = е–х (3х2 – х3) х=3 в) у′ = 0, е–х ⋅ х2(3 – х) = 0, х = 0, x 0 (0; 3) (–∞; 0) + 0 + y′ у

0

0

(0; +∞)

+

0 min

2 0 4

(2; +∞) –

e2 max

3 0 27

(3; +∞) –

e3 max

95


№ 982 Запишем II закон Ньютона для груза:

F cos α = k (mg − F ⋅ sin α )

F (α ) =

mg ; cos α + k sin α

Найдем min F(α): F ′(α ) =

−mg

(cos α + k sin α )2

⋅ (− sin α + k cos α )

F ′(α ) = 0, − sin α + k cos α = 0, k cos α = sin α, tgα = k , α = arctgk Ответ: α = arctgk .

96


X глава. § 54 Первообразная № 983 1) F′(х) =

6x 5 = х5 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R; 6

2) F′(х) =

5x 4 + 0 = х4 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R. 5

№ 984 1) F′(х) =

2 ⋅ (−1) 2

=−

2

= f (x ) ; 2) F′(х) = 0 +

2

x x F(х) является первообр. f(х) при х > 0.

1 2 x

=

1 2 x

= f (x ) ;

№ 985

′ ⎛ x5 ⎞ x5 4 ⎟ ⎜ 1) - первообр. х , т.к. = x 4 , значит, все первообразные имеют ⎜ 5 ⎟ 5 ⎝ ⎠

вид F(х) =

x5 + C; 5

2) F(х) =

4x 3 x4 – первообр., т.к. F′(х) = = х3 = f(х). 4 4

Общий вид: F(х) = 3) F(х) = −

x4 + С. 4

− 2 x −3 x −2 = х–3 = f(х). – первообр., т.к. F′(х) = −2 2

Общий вид: F(х) = −

x −2 + С. 2

1

1

4) F(х) = 2 ⋅ x 2 – первообр., т.к. F′(х) = 2 ⋅

1

− 1 −2 x = x 2 = f(х). 2

1

Общий вид: F(х) = 2 ⋅ x 2 + С.

№ 986 1) Все первообр. функции f(х) = х находятся по формуле: x2 + С, т.к. F′(х) = f(х). 2 Найдем число С, подставив точку (–1; 3): F(х) =

97


3=

1 + С, 2

С=

x2 5 5 , F(х) = + ; 2 2 2 3

2) Для функции f(х) = x первообр. имеют вид: F(х) =

2 2 x + С. 3

Чтобы найти С, подставим точку (9, 10): 10 =

2 ⋅ 27 + С, 3

3

С = –8, F(х) =

2 2 x – 8. 3

№ 987

′ x x ⎞ 1 3 ⎟ 3 ⎟⎟ = 3 ⋅ 3 e = e = f (x ) – сущ. при х ∈ R; ⎠ 2) F′(х) = (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x = f (x ) – сущ. при х ∈ R.

⎛ x ⎜ 1) F′(х) = ⎜ 3e 3 ⎜ ⎝

№ 988

1) f(х) = 2х5 – 3х2. По таблице интегрирования:

F(х) =

2 ⋅ x 6 3 ⋅ x3 x 6 − = − x3 . 6 3 3

2) f(х) = 5х4 + 2х3, тогда F(х) = 3) f(х) = 4) f(х) =

x4 5 ⋅ x5 2 ⋅ x 4 . + = x5 + 5 4 2

3 ⋅ x −1 3 2 3 + , тогда F(х) = 2 ln x + = 2 ln x − . x x2 x −1 2 x3

3 1 2 ⋅ x −2 , тогда F(х) = − 3 ln x = − 2 − 3 ln x . x −2 x

5) f(х) = 6х2 – 4х + 3, тогда F(х) =

6) f(х) = 43 x − 6 x , тогда F(х) =

№ 989

6 x3 4 x 2 3 x − + = 2х3 – 2х2 + 3х. 3 2 1 4 4⋅ x3

4 3

3 6⋅ x2

3 2

= 3x3 x − 4 x x .

1) f(х) = 3cos х – 4sin х, тогда F(х) = 3sin х – 4(–cos х) = 3sin х + 4cos х. 2) f(х) = 5sin х + 2cos х, тогда F(х) = 5 ⋅ (–cos х) + 2 ⋅ sin х = 2sin х – 5cos х. 3) f(х) = ех – 2cos x, тогда F(х) = ех – 2sin x. 4) f(х) = 3ех – sin x, тогда F(х) = 3ех – 1 ⋅ (–cos x) = 3ех + cos x. 5) f(х) = 5–е–x +3cos x, тогда F(х) = 5x – (–1) е–x + 3sin x = 5x + е–x + 3sin x 6) f(х) = 1 + 3еx – 4cos x, тогда F(х) = x + 3еx – 4sin x. 2 7) f(х) = 63 x − + 3e x , тогда x

98


4

6⋅ x3 9 F(х) = − 2 ln x + 3e x = x3 x − 2 ln x + 3e3 , x > 0. 4 2 3 4 3 + − 2e− x , тогда 8) f(х) = x x

F(х) =

1 4x 2

1 2

+ 3 ln x − 2 ⋅ (− 1) ⋅ e− x = 8 x + 3 ln x + 2e− x , x > 0.

№ 990 1) f(х) = (х + 1)4, тогда F(х) = 2) f(х) = (х – 2)3, тогда 3) f(х) =

(x + 1)5 . 5

(x − 2)4 F(х) = 4

. 1

2(x − 2 )2 , тогда F(х) = = 4 x−2 , 1 x−2 2

2

х > 2.

2

3 ⋅ ( x + 3) 3 9 3 , тогда F(х) = 4) f(х) = (x + 3)2 . = 3 2 2 x+3 3 1 5) f(х) = + 4 cos (x + 2 ) , тогда F(х) = ln (x – 1) + 4sin (x + 2), x −1 3 6) f(х) = − 2 sin (x − 1) , тогда x−3 F(х) = 3ln (x – 3) – 2(–cos (x – 1)) = 3ln (x – 3) + 2cos (x – 1), x > 3.

3

x > 1.

№ 991

1 (− cos(2 x + 3)) + C = − cos (2 x + 3) + C . 2 2 1 2) f(х) = cos (3х + 4), тогда F(х) = + sin (3x + 4 ) + C . 3 x x 3) f(х) = cos ( – 1), тогда F(х) = 2sin ( – 1) + C. 2 2 x x 4) f(х) = sin ( + 5), тогда F(х) = –4 cos ( + 5) + C. 4 4

1) f(х) = sin (2х + 3), тогда F(х) =

5) f(х) = e

x +1 2

, тогда F(х) = 2 e

x +1 2

+ C.

99


6) f(х) = e3x – 5, тогда F(х) =

1 3x – 5 e + C. 3

1 1 , тогда F(х) = ln x + C. 2x 2 1 1 , тогда F(х) = ln (3x – 1) + C. 8) f(х) = 3x − 1 3

7) f(х) =

№ 992 2x 2 + 3x + C; 2 2 б) 2 = 1 + 3 + С, С = –2, значит F(х) = х + 3х – 2; 1) f(х) = 2х + 3,

М (1; 2); а) F(х) =

x2 – x + C = 2х2 – х + С 2 б) 3 = 2 + 1 + С, С = 0, значит F(х) = 2х2 – х π 1 3) f(х) = sin 2x, М ( ; 5); а) F(х) = – cos 2x + C 2 2 1 1 9 9 1 б) 5 = – ⋅ cos π + С = + С, С = , значит F(х) = – cos 2x 2 2 2 2 2 1 4) f(х) = cos 3x, М (0; 0); а) F(х) = sin 3x + C 3 1 1 б) 0 = sin 0 + С = 0 + С, С = 0, значит F(х) = sin 3x. 3 3 2) f(х) = 4х – 1,

М (–1; 3); а) F(х) = 4 ⋅

№ 993 1) f(x) = e2x – cos 3x, тогда F(х) = x

1 2х 1 е – sin 3x; 2 3 x

2) f(x) = e 4 + sin 2x, тогда F(х) = 4 e 4 –

1 cos 2x; 2

1

2x+ x x 5 2x+ − 5e 3 , тогда F(х) = − 10 cos − e 3 ; 5 2 5

4) f(x) = 3 cos

3x− x x 2 3x− + 2e 2 , тогда F(х) = 21sin + e 2 ; 7 3 7

1

5) f(x) =

x + 4 sin (4 x + 2) , тогда 5 3

F(х) =

100

1

3) f(x) = 2sin

x2 3 5⋅ 2

4 2x x − cos(4 x + 2 ) = − cos(4 x + 2 ) ; 4 3 5

1


4

6) f(x) =

3x + 1

3 , тогда 2x − 5

1

3 4 ⋅ (3x + 1)2 3 ⋅ ln (2 x − 5) 8 − = 3x + 1 − ln (2 x − 5) . F(х) = 1 2 3 2 ⋅3 2

№ 994 1) f(x) =

2 x 4 − 4 x3 + x , тогда 3

1 ⎛ 2 x5 4 x 4 x 2 ⎞⎟ − + = F(х) = ⎜ 3 ⎜⎝ 5 4 2 ⎟⎠ 2) f(x) =

1 ⎛⎜ 2 5 x 2 ⎞⎟ x − x4 + ; ⎜ 3⎝ 5 2 ⎟⎠

6 x 3 − 3x + 2 , тогда 5

⎞ 1⎛ 3 3 1 ⎛ 6 x4 3x 2 ⎞ F(х) = ⎜ − + 2 x ⎟ = ⎜ x4 − x2 + 2x ⎟ ; ⎜ ⎟ 5⎝ 2 5⎝ 4 2 2 ⎠ ⎠ 2 2 3) f(x) = x – 3 + 2x – 6x = 2x – 5x – 3, тогда 2 5 2 x3 5 x 2 − − 3 x = x3 − x 2 − 3 x ; 3 2 3 2 4) f(x) = 4x + 6x2 – 6 – 9x = 6x2 – 5x – 6, тогда F(х) =

F(х) =

6 x3 5 x 2 5 − − 6 x = 2 x3 − x 2 − 6 x . 3 2 2

№ 995 5

3

2 2x 2 x 2 4 2 1) f(x) = 2 x x + x , тогда F(х) = + = x x+ x x . 5 3 5 3 2 2

2) f(x) = 3x3 x − 23 x , тогда F(х) =

7 3x 3

7 3

5

=

9 23 3 x x − x3 x . 7 2

2

x 3 4x 3 3 3 2 3 , тогда F(х) = + = x x + 6 x2 ; 2 5 5 x 3 3

3

3

4) f(x) = x −

4 3

4

3

3) f(x) = x 2 +

4 2x 3

1

x 2 3x 2 2 − = x x −6 x . , тогда F(х) = 1 3 3 x 2 2

3

101


№ 996 1) f(x) =

1 1 sin 2x, тогда F(х) = – cos 2x; 2 4

2) f(x) = sin (x –3x) = –sin 2x, тогда F(х) =

1 cos 2x. 2

№ 997 x ⎛π⎞ , F⎜ ⎟ = 0 2 ⎝3⎠ 2 x тогда F(х) = − cos 5 x + 6 sin + C 5 2 2 5π π 2 1 1 1 14 , 0 = − cos + 6 sin + C = − ⋅ + 6 ⋅ + C = − + 3 + C , C = − 5 3 6 5 2 2 5 5 2 x 14 F(х) = − cos 5 x + 6 sin − . 5 2 5

у = f(x) = 2sin 5x + 3cos

№ 998 3 , тогда F(х) = х + 3 ln (х – 3); x−3 x −1 1 = 2) f(x) = , х ≠ 1, х ≠ –2; тогда F(х) = ln (х + 2); (x + 2)(x − 1) x + 2 1 + cos 2 x 2 x + sin 2 x 1 1 , тогда F(х) = (х + sin 2х) = ; 3) f(x) = cos 2 x = 2 2 2 4 1 4) f(x) = sin 3x ⋅ cos 5x = (sin 8x – sin 2x), тогда 2 1⎛ 1 1 ⎞ 4 cos 2 x − cos 8 x . F(х) = ⎜ − cos 8 x + cos 2 x ⎟ = 2⎝ 8 2 16 ⎠

1) f(x) = 1 +

§ 56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл № 999 1)

102

2)


3)

4)

№ 1000 1)

b

ABCD – искомая трапеция; S ABCD = ∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) a

4

S ABCD = ∫ x3dx = 2

x4 4

4

=

(4)4 − (2)4 4

2

4

= 64 − 4 = 60 (кв. ед.)

2)

S ABCD

x3 = ∫ x dx = 3 3 4

4

2

= 3

(

)

1 (4)3 − (3)3 = 1 (64 − 27 ) = 37 . 3 3 3 103


3) ABCD – искомая трапеция S ABCD

(

)

x3 = ∫ x + 1 dx = +x 3 −2 1

2

1

−2

8 1 = +1+ + 2 = 6 3 3

4) ABCD – искомая трапеция

(

2

)

S ABCD = ∫ x3 + 1 dx = 0

2

x4 16 + x = +2 = 6; 4 4 0

5)

ABCD – искомая трапеция 2π 3

π 3

3

S ABCD = ∫ sin xdx = − cos x π3 = − cos

2π 1 1 π + cos = + + = 1 3 3 2 2

6)

ABCD – искомая трапеция 0

S ABCD = ∫ cos xdx = sin x −

104

π 6

0

π 6

⎛ 1⎞ 1 ⎛ π⎞ = 0 − sin ⎜ − ⎟ = −⎜ − ⎟ = . ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ 2


№ 1001

1) у = 4 – х2

ABC – искомая трапеция а) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2 б) S ABC

(

2

)

x3 = ∫ 4 − x dx = 4 x − 3 −2 2

2

−2

8 8 = 8− +8− = 3 3

16 32 2 = 16 − = = 10 ; 3 3 3 2) у = 1 – х2

ABC – искомая трапеция а) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –1 1

(

)

б) S ABC = ∫ 1 − x 2 dx = x − −1

3) у = – х2 + 4x – 3

x3 3

b=1 1

−1

ABC – искомая трапеция а) – х2 + 4x – 3 = 0 х2 – 4x + 3 = 0 x2 = 1 a = 1 b=3 x1 = 3

1 2 1 1 = 1− +1− = 2 − = 1 . 3 3 3 3

D/4 = 4 – 3 = 1 105


3

(

3

)

б) S ABC = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

x3 4 x 2 + − 3 x = −9 + 18 − 9 + 3 2 1

1 1 + −2+3 =1 3 3

№ 1002 1) f(x) = 3 x , a = 1,

b=8

ABCD – искомая трапеция S ABCD

3x3 x = ∫ x dx = 4 1 8

8

3

2) f(x) = x a = 4

= 1

3 (16 − 1) = 45 = 11 1 4 4 4

b=9

ABCD – искомая трапеция S ABCD

№ 1003

9

2x x = ∫ x dx = 3 4

9

= 4

2 (27 − 8) = 38 = 12 2 . 3 3 3

1) b = 2 f(x) = 5x – x2, 2 ≤ х ≤ 5

106


а) 5x – x2 = 0, x(5 – x) = 0, б) ABC – искомая трапеция 5

(

)

в) S ABC = ∫ 5 x − x 2 dx = 2

x = 0, 5

5 x 2 x3 − 2 3

= 2

x=5

8 125 125 − − 10 + = 3 2 3

125 16 60 27 1 = + − = = 13 6 6 6 2 2 2) b = 3 , f(x) = x2 + 2x x = 0, x = –2 а) x2 + 2x = 0, б) OAB – искомая трапеция 3

(

)

в) S OAB = ∫ x 2 + 2 x dx = 0

x3 + x2 3

3

= 9 + 9 = 18 . 0

3) b = 1, f(x) = ex – 1 а) ex – 1 = 0, ex = e0, x = 0 б) OAB – искомая трапеция

1

(

)

1

в) SOAB = ∫ e x − 1 dx = e x − x = e − 1 − 1 = e − 2 0

0

1 4) b = 2 f(x) = 1 – x 1 а) 1 – = 0 x=0 x б) ABC – искомая трапеция

в) 2 ⎛ 1⎞ 2 S ABC = ∫ ⎜1 − ⎟dx = x − ln x 1 = x ⎠ 1⎝ = 2 − ln 2 − 1 + 0 = 1 − ln 2

107


§ 57 Вычисление интегралов № 1004 1

1) ∫ xdx = 0

x2 2

1

0

2

2

−1

−1

3) ∫ 3 x 2 dx = x3 3

1

5) ∫

x

2

2

dx = −

4

7) ∫ x dx = 1

9

1

8) ∫

x

4

3 1 1 x3 − 0 = ; 2) ∫ x 2 dx = 3 2 2 0

=

1 x

=− 2

2x x 3

3

−2

−2

=

dx = 2 x

= 9−4 = 5 ;

2 1 1 1 1 1 dx = − + = ; 6) ∫ 3 3 2 6 2x 2 1 x

4

1 9

= 9−0 = 9 ; 0 3

= 8 + 1 = 9 ; 4) ∫ 2 xdx = x 2

3

3

2 1

1 1 3 =− + = ; 8 2 8

2 (8 − 1) = 14 = 4 2 ; 3 3 3

= 2(3 − 2 ) = 2 .

4

№ 1005 ln 2 ln 2 1 e dx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 ; 2) ∫ e x dx = e x = eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1 ; 0 0 1 x

e

1) ∫

3) ∫ cos xdx = sin x − π = sin 2π − sin (− π ) = 0 − 0 = 0 ; 2π

−π π

4) ∫ sin xdx = − cos x − 2 π = − cos π + cos(− 2π ) = 1 + 1 = 2 ; π

− 2π

π

π

5) ∫ sin 2 xdx = − −2π

1 1 cos 2 x = − (1 + 1) = −1 ; 2 2 −2π 0

0 1 1 6) ∫ cos 3 xdx = + sin 3x = (0 − 0 ) = 0 . 3 3 − 3π −3π

№ 1006 2

2

−3 −1

−3

1) ∫ (2 x − 3)dx = x 2 − 3 x

−1

2) ∫ (5 − 4 x )dx = 5 x − 2 x 2 −2 2

(

)

−1 1

(

)

4) ∫ x 2 + 1 dx = −1

108

x3 +x 3

−2

2

3) ∫ 1 − 3x 2 dx = x − x3

−1

= −5 − 2 + 10 + 8 = 11 ;

= 2 − 8 + 1 − 1 = −6 ;

1

= −1

= 4 − 6 − 9 − 9 = −20 ;

2 1 1 +1+ +1 = 2 ; 3 3 3


2

(

) (

5) ∫ 3 x 2 − 4 x + 5 dx = x3 − 2 x 2 + 5 x 0

)

2 0

= 8 − 8 + 10 = 10 .

№ 1007 ⎞ ⎛ ⎜ x 2 3x x ⎟ ⎟ ⎜ 1) ∫ x − 3 x dx = − 3 ⎟ ⎜ 2 0 ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 4

(

4

)

⎞ ⎛ x2 =⎜ − 2x x ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝

4

= 8 − 16 = −8 ; 0

0

9⎛

9 3 ⎞⎟ dx = x 2 − 6 x = 81 − 18 − 1 + 6 = 68 ; 2) ∫ ⎜ 2 x − ⎜ ⎟ 1 x⎠ 1⎝

(

2

)

3 1 3x 1 e = e 6 − 1 ; 4) ∫ 2e 2 x dx = e 2 x 3 3 1 0 0 (Опечатка в ответе задачника). 2

3) ∫ e 3 x dx =

№ 1008

(

1

1

−2

−2

)

1

3 1

= e6 − e2 .

(

)

1) ∫ x(x + 3)(2 x − 1)dx = ∫ x 2 + 3 x (2 x − 1)dx = ∫ 2 x3 + 5 x 2 − 3x dx = =

1 4 5 x3 3 x 2 − x + 2 3 2

(

0

1

)

40 1 5 3 + − −8+ + 6 = −3 + 15 = 12 ; 3 2 3 2

= −2 0

−2

(

)

2) ∫ (x + 1) x 2 − 2 dx = ∫ x3 + x 2 − 2 x − 2 dx = −1

−1

x 4 x3 0 + − x 2 − 2 x −1 = 4 3

1 1 1 11 = − + + 1 − 2 = −1 + =− ; 4 3 12 12 2

2

2 2⎛ 1⎞ 1 ⎞ x3 1 ⎛ 3) ∫ ⎜ x + ⎟ dx = ∫ ⎜⎜ x 2 + 2 + 2 ⎟⎟ dx = + 2 x − = x 3 x1 x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 5 11 1 1 8 = + 4 − − − 2 +1 = + 3 = 4 ; 6 6 2 3 3

−1

−1

−1 ⎛ 4 4 ⎛ 2⎞ 8 ⎞ ⎛ 4 4 ⎞ ⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜⎜ 2 − 3 ⎟⎟dx = ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 . 2 x⎠ x ⎠ ⎝ x x ⎠ −2 −2 x ⎝ −2 ⎝ x

4) ∫

№ 1009 ⎛ ⎜ 3 2 3 2 ⎞ 2 3 2 ⎟dx =⎜ 5 x x − 2 x dx = ∫ ⎜ 5 x − ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 2 x x⎠ 1⎝ ⎜ 3 ⎝ 3

2 5x − 2

1) ∫

1

3

2⎛

3 ⎛ 3 ⎞ = ⎜ 3x x 2 − 3 x 2 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

= 1

= 63 4 − 33 4 − 3 + 3 = 33 4 ;

1

109


⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎞ 1 3 x x x ⎟ ⎟dx =⎜ ⎟dx = ∫ ⎜ 3 x − − ⎜ ⎜ 3 1 ⎟ x ⎟⎠ x ⎟⎠ 1⎝ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

2) ∫ ⎜ ⎜ 1⎝

= 2x x − 2 x

3

3⎛

3 ⎛ 3x − 1 ⎞

3

= 1

= 6 x −2 3 −2+2 = 4 3 ;

1

7 7

3) ∫

2

4 x+2

dx =

4⋅ x + 2 1 2

=8 x+2

7 2

= 24 − 16 = 8 .

2

№ 1010 3 ln(2 x − 1) 3 dx = 2 1 2 − x 1 2

1) ∫

4 4 ln (3 x + 2 ) dx = 3 2 3 x + 0

1

2) ∫

2

= 1 1

= 0

3 ln 3 3 ln 3 −0 = ; 2 2 4 ln 5 4 ln 2 4 5 − = ln ; 3 3 3 2

π 2

π⎞ π⎞ 1 ⎛ ⎛ 3) ∫ sin ⎜ 2 x + ⎟ dx = − cos⎜ 2 x + ⎟ 3 2 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 =−

π 2

=

0

1⎛ ⎛ 1⎛ π 1 π⎞ π⎞ π⎞ ⎜⎜ cos⎜ π + ⎟ − cos ⎟⎟ = − ⎜ − 2 cos ⎟ = cos = . 2⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ 2⎝ 3⎠ 3 2

№ 1011 π

π

π π 1 − cos 2 x 1 1 π dx = x − sin 2 x − π = − 0 + + 0 = π . 2 2 4 2 2 −π

1) ∫ sin 2 xdx = ∫ −π π 2

π 21

2) ∫ sin x cos xdx = ∫ 0 π 4

0

(

)

2

π

sin 2 xdx = −

1 1 1 1 cos2 x 02 = + = . 4 4 4 2

π 4

π

1 1 1 3) ∫ cos x − sin x dx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x 04 = − 0 = . 2 2 2 0 0 π

2

2

(

)

π

(

)

π

4. ∫ sin 4 x + cos 4 x dx = ∫ 1 − 2 sin 2 x cos 2 x dx = ∫ 1 − 0

π 4 − 1 + cos 4 x

=∫

0

110

4

π

0

3 sin 4x ⎛ 3 cos 4x ⎞ = ∫⎜ + ⎟dx = x + 4 4 4 16 ⎠ 0⎝

0 π

= 0

1 sin 2 2 x = 2

3π 3π ; +0−0−0 = 4 4


3

3

0

0

5) ∫ x2 x + 1dx = ∫ x5 + x4 dx =

(

)

(

2 5 4 5 4 3 2 5 4 x + x x + x 0= 3 + 3 3 3

4 x 4 − 4x + 5 1 ⎞ x2 ⎛ dx = ∫ ⎜ x − 2 + − 2 x + ln (x − 2 ) ⎟dx = x−2 x−2⎠ 2 3 3⎝ 3 9 = 8 − 8 + ln 2 − + 6 − ln1 = ln 2 + . 2 2 4

6) ∫

4 3

)

3 2

= 3888

=

№ 1012 b

∫ (b − 4 x )dx = bx − 2 x

2

1

b

1

= b 2 − 2b 2 − b + 2 =

= −b 2 − b + 2; − b 2 − b + 2 ≥ 6 − 5b b2 – 4b + 4 ≤ 0(b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2.

§ 58 Вычисление площадей с помощью интегралов № 1013 1

(

)

x3 1 1 2 1 + 4 x −1 = + 4 + + 4 = 8 ; 3 3 3 3

(

x + 1 dx =

)

2 2 2 1 x x + x 0 = +1 = 1 ; 3 3 3

а) S = ∫ x 2 + 4 dx = −1 1

б) S = ∫ в) S =

0 4

2

4

∫ x dx = 2 ln x 1 = 2 ln 4 − 0 = 2 ln 4 .

1

№ 1014 1) АВС – искомая фигура, 0

1

S ABC = S ABO + SOBC = ∫ (x + 1)2 dx + ∫ (x − 1)dx = −1

0

⎛x ⎞0 x = ⎜ + x2 + x ⎟ + x − ⎜ 3 ⎟ −1 2 ⎝ ⎠ 3

2

1

= 0

1 1 5 −1+1+1− = ; 3 2 6

111


2) АВС – искомая фигура 1

2

−2

1

(

)

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2 )dx + ∫ 4 − x 2 dx = −

x3 3

2

x2 1 + 2 x −2 + 4 x − 2

1 8 ⎛ 1⎞ 5 16 11 37 1 + 2 − (2 − 4 ) + 8 − − ⎜ 4 − ⎟ = + 2 + − = =6 . 2 3 ⎝ 3⎠ 2 3 3 6 6

= 1

3) ОАВ – искомая фигура 4х – х2 = 4 – х,

х2 – 5х + 4 = 0, 1

(

)

х=

5 ± 25 − 16 2

х1 = 4, х2 = 1

4

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ 4 x − x 2 dx + ∫ (4 − x )dx =

= 2 x2 −

3

x 3

1

+ 4x − 0

4) 3х2 = 1,5х + 4,5,

2

x 2

0 4

= 2− 1

1

1 1 1 + 16 − 8 − 4 + = 6 ; 3 2 6

2х2 – х – 3 = 0

3 1 ± 1 + 24 , x1 = , х2 = –1 4 2 АВО – искомая фигура x=

−1

−1 3 0 3x2 9 9⎞ ⎛ + x + S ABO = S ABC + SCBO = ∫ ⎜ x + ⎟dx + ∫ 3x 2dx = 4 2 −3 2⎠ −3 ⎝ 2 −1

+ x3

112

0 −1

=

3 9 27 27 − − + + 1 = −6 + 9 + 1 = 4 4 2 4 4


№ 1015

1) x = (x − 2 )2 , х = 1 ОАВ – искомая фигура

SOAB = SOAC + SCAB =

(x − 2)3 2 = ∫ x dx + ∫ (x − 2) dx = x x + 3 3 0 1 0 1

2

1

2

2

= 1

2 1 +0+ =1 ; 3 3

2) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2 х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1 SOAB = SOAC + SCAB =

(

)

x4 = ∫ x dx + ∫ 2 x − x dx = 4 0 1 1

3

2

2

1

x3 +x − 3

2

2

0

= 1

1 8 1 25 11 + 4 − −1 + = 3 − = 4 3 3 12 12

113


№ 1016

1) АВO – искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3 S ABO = S ACO

(

)

x3 3 x 2 = ∫ − x − 3 x dx = − − 3 2 −3 0

2

2) х2 – 4х + 3 = 0; 3

D/4 = 4 – 3 = 1,

(

)

SCAB = SCDB = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

0

= −9 + −3

х = 3,

27 = 4,5 2

х=1

3

x 3 + 2 x2 − 3x 1 = 3

1 1 = −9 + 18 − 9 + − 2 + 3 = 1 3 3

№ 1017

1) у = х2 + 1; у = 3 – х

х2 + 1 = 3 – х,

х2 + х – 2 = 0,

x=

−1 ± 1+ 8 , 2

х1 = 1,

х2 = –2

ВСМ – искомая фигура

(

1

1

−2

−2

)

S BCM = S ABCD − S ABMCD = ∫ (3 − x )dx − ∫ x 2 + 1 dx = 3 x − 1

⎛x ⎞ 1 1 8 1 − ⎜ + x⎟ = 3 − + 6 + 2 − −1− − 2 = 4 ⎜ 3 ⎟ 2 3 3 2 ⎝ ⎠ −2 3

114

x2 2

1

− −2


2) у = (х + 2)2; у = х + 2 АВМ – искомая фигура

x 2 + 4 x + 4 = x + 2, x 2 + 3 x + 2 = 0 x1 = −2; x2 = −1 −1

−1

−2

−2

S AMB = S ABC − S AMC = ∫ (x + 2 )dx − ∫ (x + 2 )2 dx =

x2 −1 + 2 x −2 − 2

−1

⎛ x3 ⎞ 1 8 1 7 1 1 − ⎜ + 2x2 + 4x ⎟ = − 2 − 2 + 4 + − 2 + 4 − + 8 − 8 = + 2 − = ⎜ 3 ⎟ 2 3 3 2 3 6 ⎝ ⎠ −2

3) у = x ; у = х ОМА – искомая фигура

x = x, x > 0 x − x = 0, x1 = 0; 2

x2 = 1 1

1

0

0

SOMA = SOMAC − SOAC = ∫ x dx − ∫ xdx =

1 2 x2 x x − 0 3 2

1

= 0

2 1 1 − = 3 2 6

115


№ 1018

1) у = 6х2; у = (х – 3) (х – 4); у=0 6х2 = (х – 3) (х – 4), 6х2 = х2 – 7х + 12 5х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172 х1 = 1, х2 = –2,4 DАВ – искомая фигура 1

3

0

1

(

)

1

S AOB = S AOC + SCAB = ∫ 6 x 2dx + ∫ x 2 − 7 x + 12 dx = 2 x3 + 0

3

⎛ x3 7 x 2 ⎞ 63 1 7 1 2 +⎜ − + 12 x ⎟ = 2 + 9 − + 36 − + − 12 = 35 − 28 − = 6 ⎜ 3 ⎟ 2 2 3 2 3 3 ⎝ ⎠1

2) у = 4 – х2, у = (х – 2)2, у = 0 а) 4 − x 2 = x 2 − 4 x + 4;

2 x 2 − 4 x = 0, x1 = 0, x2 = 2

б) 4 − x 2 = 0; x1 = −2, x2 = 2 АВMC – искомая фигура 116


0

(

)

2

S ABMC = S ABO + SOBMC = ∫ 4 − x 2 dx + ∫ (x − 2 )2 dx = 4 x − −2

0

x3 3

0

+ −2

2

⎛ x3 ⎞ 8 8 + ⎜ − 2 x2 + 4 x ⎟ = 0 + 8 − + − 8 + 8 − 0 = 8 ⎜ 3 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠0

№ 1019 1) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки: 2 π 2 ⎛π ⎞ (0; 0); 0=k⋅0+b b = 0, ⎜ ; 1⎟ ; 1 = k ⋅ , k = , y = x , π 2 π ⎝2 ⎠ SOAD = SOAB + S BAD

π 22

π

x2 = ∫ xdx + ∫ sin xdx = π π 0π 2

=

π 2

π

− cos x π =

0

2

π π +1+ 0 = +1 4 4

2) OAB – искомая фигура π 4

π 2

0

π 4

π

π

SOAB = SOAD + S DAB = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 04 + sin x π2 =

=−

4

2 2 +1+ − = 2− 2 2 2 117


№ 1020

1) у = 6х – х2; у=х+4 6х – х2 = х + 4, х5 – 5х + 4 = 0, ВMD – искомая площадь 4

(

х1 = 4,

)

х2 = 1

4

S BMD = SCMF − SCBDF = ∫ 6 x − x 2 dx − ∫ (x + 4)dx = 1

4

(

)

4

(

1

)

= ∫ 6 x − x 2 − x − 4 dx = ∫ − x 2 + 5 x − 4 dx = − 1

1

x3 5 x 2 4 + − 4x 1 = 3 2

64 1 5 63 1 1 = − + 40 − 16 + − + 4 = 28 − −2 = 4 3 3 2 3 2 2

2) у = 4 – х; у = х + 2 х2 + х – 2 = 0, 4 – х2 = х + 2, 1

(

)

х1 = –2,

(

1

1

−2

−2

х2 = 1

)

S ABC = S ABCD − S ACD = ∫ 4 − x2 dx − ∫ (x + 2)dx = ∫ − x2 − x + 2 dx = −2

=−

118

x3 x 2 1 1 8 1 1 1 − + 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2


№ 1021

1) у = 2 – х2 ; у = –х 2 – х2 = –х, х = 2, х = –1 х2 – х – 2 = 0, BCD – искомая фигура Перенесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид: у = 4 – х2 и у = 2 – х 2

(

)

2

S B1C1D1 = S BCD = S AB1C1D1 − S AB1D1 = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ (2 − x )dx = −1

(

−1

)

x3 x 2 8 1 1 2 = ∫ − x 2 + x + 2 dx = − + + 2 x −1 = − + 2 + 4 − − + 2 = 3 2 3 3 2 −1 2

= 8−3−

1 1 =4 2 2

2) у = 1; х = 0; у = sin х;

0≤ x≤

π 2

ABO – искомая фигура

119


π 2

π 2

π 2

0

0

0

π

S ABO = SOABC − SOBC = ∫1dx − ∫ sin xdx = ∫ (1 − sin x )dx = x + cosx 02 = π π = + 0 − 0 −1 = −1 2 2

№ 1022 1) Найдем прямую у = kx + b (0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3 х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 –х2 + 4х – 3 = 3х – 3, ABС – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1. 1

1

0

0

(

)

S A1B1C = S ABC = SOA1C1 − SOA1B1C = ∫ (− 3 x + 3)dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 1

(

)

= ∫ − x 2 + x dx = − 0

x3 x 2 + 3 2

1

=− 0

1 1 1 + +0 = 3 2 6

2) у = –х2, у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = ± 2 AОB – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1. 2

2

− 2

− 2

S AOB = S A1OB1 = SOA1BD − SCA1OB1D = ∫ 2dx − ∫ x 2dx =

120


(

)

x3 = ∫ 2 − x dx = 2 x − 3 − 2 2

2

2

=2 2− − 2

2 2 8 2 2 2 +2 2 − = . 3 3 3

3) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1 ABСD – искомая фигура, SABC = SADC S ABCD = S ABC + S ADC = 2 S ABC

(

1

)

⎛ x3 ⎞ = 2 ∫ 1 − x dx = 2⎜ x − ⎟ = ⎜ 3 ⎟⎠ −1 ⎝ −1 1

2

1⎞ 2 ⎛ 1 = 2⎜1 − + 1 − ⎟ = 2 3⎠ 3 ⎝ 3

4) у = х3; у = 1; x = –2 ABCO — искомая фигура, SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1; 1

S KOC = SOKCM − SOCM = 1 ⋅ 1 − ∫ x3dx = 1 − 0

x4 4

1

= 1− 0

1 3 = 4 4

Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO: S ADO = S A1DO

x4 = ∫ − x dx = − 4 −2 0

0

3

= 0+ −2

16 =4 4

3 3 SABCО = 2 + + 4 = 6 . 4 4

121


№ 1023

1) у = х2 + 10; (0; 1). Уравнение касательной у = kx + b (0; 1); 1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1 у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касания у = x 02 + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = x 02 + 10 + kx – kх0 x 02 – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0 x 02 – 2 x 02 + 9 = 0

9 – x 02 = 0

��0 = ± 3

Т.е. k = ± 6 y = 6x + 1 y = –6x + 1 ABCD – искомая фигура.

(

)

3 ⎛3 ⎞ S ABCD = 2S ACD = 2(SOCDN − SOADN ) = 2⎜⎜ ∫ x 2 + 10 dx − ∫ (6 x + 1)dx ⎟⎟ = 0 ⎝0 ⎠

(

)

3 ⎛ x3 3⎞ = 2 ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 2⎜ − 3 x 2 + 9 x 0 ⎟ = 2(9 − 27 + 27 ) = 18 . ⎟ ⎜ 3 0 ⎠ ⎝

122


1 ; х = 1, и касат. х0 = 2 x 1 1 1 1 1 1 у(х0) = , у′ = − 2 , у′(х0) = − , y = − (x − 2 ) , y = − x + 1 ; 2 4 4 2 4 x АВС – искомая фигура 21 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ S ABC = SMBCD − SMACD = ∫ dx − ∫ ⎜ − x + 1⎟dx = ∫ ⎜ + x − 1⎟dx = 4 4 x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1

2) у =

= ln x +

x2 5 3 1 1 2 − x 1 = ln 2 + − 2 − 0 − + 1 = ln 2 − 1 + = ln 2 − . 8 8 8 2 8

№ 1024

у = х2 +1; у = 0; х = 0; х = 1 1) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0), у = 2х0 ⋅ х + x 02 – 2 x 02 + 1, у = 2х0 ⋅ х – x 02 + 1; 2) OMND – искомая трапеция 1

(

)

1

SOMND = ∫ 2 x0 x − x02 + 1 dx = x0 x 2 − x02 x + x 0 = x0 − x02 + 1 − 0 0

Найдем наибольшее значение функции на (0; 1). f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0, 2х – 1 = 0,

х=

1 , 2

2

х=

1 1 1 ⎛1⎞ – точка max., х0 = , у0 = ⎜ ⎟ + 1 = 1 . 2 4 2 2 ⎝ ⎠

⎛1 5⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝2 4⎠ 123


§ 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач № 1025 v(t) = s′(t),

s – первообразная v(t)

(

4

)

1) s (t ) = ∫ 3t 2 + 1 dt = t 3 + t 0

(

4 0

)

2t 3 t 2 + 2) s (t ) = ∫ 2t + t dt = 3 2 1 3

№ 1026 1) v(t) = 0,

2

4t – t2 = 0,

(

= 64 + 4 = 68 ; 3

= 18 + 1

t = 0,

)

9 2 1 2 1 − − = 18 + 4 − = 21 . 2 3 2 3 3

t = 4;

t3 2) s (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 4t − t dt = 2t − 3 t1 0 t2

4

2

4

2

= 32 − 0

64 2 − 0 = 10 . 3 3

№ 1027 1) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) y =

3 2x e +C ; 2

1 4) y = 4 ⋅ ⋅ sin 2 x + C = 2 sin 2 x + C . 2 5) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C.

№ 1028 1) 2) 3) 4) 5) 6)

у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, y = –cos x + 1 у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1, C = 1, y = 2sin x + 1 у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; y = x3 + 2x2 – x – 4 у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; у = 2x + x2 – x3 + 2 C = 1 – e, y = ex + 1 – e у = ex + C; e + C = 1, у = –e–x + C; –1 + C = 2 C=3 y = –e–x + 3.

№ 1029

y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx; y′′ + ω2у = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0; 0 = 0 – верно при любых С1 и С2.

№ 1030

Скорость распада m′(t) =

0,001 г =0,0001 10 л

m′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–kt В нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10k ln 0,999 e = 0,999, –10k = ln 0,999, k = − , 0,5 = 1 ⋅ e 10 ln 0,999 10 ln 0,5 t= , t ≈ 6928. ⋅ t = ln 0,5 , ln 0,999 10 –10k

124

ln 0,999 ⋅t 10

,


№ 1031 2 F = = 2 , F = 200x x 0,01

F = kx; k = 0,03

A = ∫ 200 xdx = 100 x 2 0

0,03 0

= 0,09 − 0 = 0,09 Дж.

№ 1032 3 F = = 300 , x 0,01

F = kx, k = 0,08

A = ∫ 300 xdx = 150 x 2 0

0,08 0

F = 300x

= 0,96 Дж.

Упражнения к главе Х № 1033

1) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C (0; –2): –2 = sin 0 + C, C = –2; F(x) = sin x – 2 2) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C (–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1. 1 3) f (x) = , тогда F(x) = 2 x + C x

(4; 5): 5=2 4 +C, C = 1; F(x) = 2 x + 1 4) f (x) = ex, тогда F(x) = ex + C (0; 2): 2 = 1 + C, C = 1; F(x) = ex + 1. 5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C (1; –2): –2 = 1 + 1 + C, C = –4; F(x) = x3 + x – 4 6) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C (2; 3): 3 = 4 – 4 + C, C = 3; F(x) = 2x – x2 + 3.

№ 1034 2

2

1) ∫ 2dx = 2 x −1 = 4 + 2 = 6 ; 2) ∫ (3 − x )dx = 3 x − 2

−1

−2

(

x2 2

)

2

= 6 − 2 + 6 + 2 = 12 ; −2

3 x3 2 1 − x2 = 9 − 9 − + 1 = ; 3) ∫ x − 2 x dx = 1 3 3 3 1 3

1

2

(

)

4) ∫ 2 x − 3x 2 dx = x 2 − x 3 −1 8 3

5) ∫ x dx = 1

2

dx

1

x3

6) ∫

=−

1

−1

= 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ;

1 45 3 3 8 3 x x = (16 − 1) = = 11 ; 1 4 4 4 4

1 2x 2

8 1

π

π

2 π 1 1 3 ⎛ π⎞ = − + = ; 7) ∫ cos xdx = sinx 2π = sin − sin⎜ − ⎟ = 2 . 2 8 2 8 − ⎝ 2⎠ π −

2

2

125


№ 1035 1) у = x ; х = 1; х = 4; у = 0 АВСD – искомая фигура 4 4 2 2 14 2 S ABCD = ∫ x dx = x x = (8 − 1) = =4 1 3 3 3 3 1

2) у = cos x х = 0 π 3

х=

π 3

у = 0; OАВС – искомая фигура;

π

SOABC = ∫ cos xdx = sin x 03 = sin 0

π 3 − sin 0 = ; 3 2

3) у = x2; у = 2 – х, х2 = 2 – х, ЕОА – искомая фигура

х2 + х – 2 = 0,

х1 = –2, х2 = 1,

(

1

1

1

−2

−2

−2

)

S EOA = S DEAC − S EDOAC = ∫ (2 − x )dx − ∫ x 2dx = ∫ − x 2 − x + 2 dx = =−

126

x3 x 2 1 1 8 1 1 1 − + 2x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 2 2 3 3 2 3 2


4) у = 2x2;

2х2 = 0,5х + 1,5,

у = 0,5х + 1,5;

4х2 – х – 3 = 0;

х2 = −

D = 1 + 48 = 49, х1 = 1

3 , 4

АОВ – искомая фигура, 1 x 1 3⎞ ⎛ S AOB = S DABC − S DAOBC = ∫ ⎜ + ⎟dx − ∫ 2 x 2dx = 3⎝ 2 2⎠ 3 −

4 3

1

2

x 3⎞ x 2x 3x ⎛ = ∫ ⎜ − 2 x 2 + + ⎟dx = − + + 2 2 3 4 2 ⎠ 3⎝ −

4

4

1 3 − 4

=−

2 1 3 + + − 3 4 2

9 3 ⋅ 3 ⎞ 13 45 151 ⎛ 2 ⋅ 27 −⎜ + − + =1 . ⎟= 192 ⎝ 3 ⋅ 64 16 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⎠ 12 64

№ 1036 1

(

)

1) ∫ 5 x 4 − 8 x 3 dx = x 5 − 2 x 4 0

2

(

)

1 0

= 1 − 2 = −1 ;

2

3 4 5 2 3 5 x − x = 24 − 10 − + = 15 2 2 2 2 −1 −1 (опечатка в ответе задачника) 4 4⎛ 4 7⎞ 7 ⎞⎟ ⎛ 3) ∫ x ⎜ 3 − ⎟dx = ∫ ⎜ 3 x − dx = 2 x x − 14 x = ⎜ ⎟ 1 x ⎝ ⎠ x⎠ 1 1⎝ = 16 − 28 − 2 + 14 = 0 ; 8⎛ 8 8 16 ⎞⎟ ⎛ 4⎞ dx = 3 x3 x − 483 x = 4) ∫ 43 x ⎜1 − ⎟dx = ∫ ⎜ 43 x − ⎜ ⎟ 3 2 1 ⎝ x⎠ 1 1⎝ x ⎠ = 48 − 96 − 3 + 48 = −3 ; 2) ∫ 6 x3 − 5 x dx =

3

5) ∫ x + 1dx = 0

6

3 2 (x + 1) x + 1 = 2 ⋅ 8 = 16 = 5 1 ; 0 3 3 3 3

2 6) ∫ 2 x − 3dx = 3 2

6

(2 x − 3) ⋅ 1 = 22 3

(2 x − 3)3

6

= 9−

3

2 1 =8 . 3 3

2

127


№ 1037 π 41

π

1 ⎛ π⎞ π⎞ 4 1 ⎛ π π⎞ ⎛ 1) ∫ cos⎜ x + ⎟dx = sin ⎜ x + ⎟ = ⎜ sin − sin ⎟ = 2 4 2 4 2 2 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 =

1 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ 2 − 2 ; 1− = 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 π 31

π

π⎞ π⎞ 3 1 1⎛ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 2) ∫ sin ⎜ x − ⎟dx = − cos⎜ x − ⎟ = − ⎜⎜ cos 0 − cos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = 3 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 0 1 1⎛ 1⎞ = − ⎜1 − ⎟ = − ; 6 3⎝ 2⎠ 3

3) ∫ 3 sin (3 x − 6 )dx = −1 ⋅ cos(3x − 6 ) 1 = − cos(+ 3) + cos(− 3) = 3

1

= − cos 3 + cos 3 = 0 ; 3

4) ∫ 8 cos(4 x − 12 )dx = 2 sin (4 x − 12 ) 0 = 2(sin 0 − sin (− 12 )) = 3

0

= 2(0 + sin 12) = 2 sin 12 .

№ 1038 1 ; у = 4х; х = 1; x ОАВС – искомая фигура

1) у =

у = 0,

1 2

1 =4х, 4х2 = 1, x 1

11 1 SOABC = SOAD + S DABC = ∫ 4 xdx + ∫ dx = 2 x 2 2 + ln x 1 = 0 1x 0 2

=

128

1 1 1 1 + ln1 ⋅ ln = − ln ; 2 2 2 2

2

х=±

1 . 2


2) у =

1 2

1

у = х; х = 2; у = 0;

;

x2

x ОАВС – искомая фигура

1

2

1

0

1

x

SOABC = SOAD + S DABC = ∫ xdx + ∫

x2 2

dx = 2

у = х + 1, х2 + 1 = х + 1, 3) у = х2 + 1; АМВ – искомая фигура 1

1

0

0

= х, х3 = 1,

(

1

х = 1.

2

− 0

1 1 1 = − +1 = 1. x1 2 2

х2 – х = 0,

)

1

(

х1 = 0,

х2 = 1

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (x + 1)dx − ∫ x2 + 1 dx = ∫ x + 1 − x2 − 1 dx = 1

(

)

= ∫ x − x 2 dx = 0

x 2 x3 − 2 3

1

= 0

0

1 1 1 − = ; 2 3 6

4) у = х2 + 2; у = 2х + 2 х2 – 2х = 0, х2 + 2 = 2х + 2, АМВ – искомая фигура

х1 = 0,

х2 = 2

2

2

0

0

(

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (2 x + 2 )dx − ∫ x 2 + 2 dx = 2

(

)

= ∫ 2 x − x 2 dx = x 2 − 0

x3 3

2

= 4− 0

8 1 =1 . 3 3

129


№ 1039

1) у = х2 – 6х + 9; 2

у = х2 + 4х + 4;

2

х – 6х + 9 = х + 4х + 4,

у=0 1 х= 2

10х = 5,

АВС – искомая фигура 1 2

3

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)2 dx + ∫ (x − 3)2 dx = −2

+

1 2

x3 1 1 8 1 3 9 3 − 3x 2 + 9 x 1 = + + 2 + − 8 + 8 + 9 − 27 + 27 − + − = 3 24 2 3 24 4 2 2

3 8 41 5 = 11 − 4 + + = 7 + = 10 4 3 12 12

2) у = х2 + 1; у = 3 – х2 2 2 2 х + 1 = 3 – х , 2х = 2, х2 = 1, BCDN – искомая фигура 130

1

x3 + 2 x 2 + 4 x −22 + 3

х=±1


1

(

)

1

(

)

S BCDN = S ABCDM − S ABNDM = ∫ 3 − x 2 dx − ∫ x 2 + 1 dx = −1

1

(

)

= ∫ − 2 x 2 + 2 dx = − −1

−1

2 2 2 2 x3 1 + 2 x −1 = − + 2 − + 2 = 2 . 3 3 3 3

3) у = х2; у = 2 2 x , х2 = 2 2 x , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0, OMAN – искомая фигура 2

2

2

0

0

0

(

)

SOMAN = SOMAB − SONAB = ∫ 2 2 x dx − ∫ x 2 dx = ∫ 2 2 x − x 2 dx = 1 x3 4 = 2x 2x ⋅ − 2 3 3

4) у = x ;

2

= 0

16 8 8 − = . 3 3 3

у = 4 − 3x ;

у=0

x = 4 − 3x , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1 ОАВ – искомая фигура 1

4 3

0

1

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ 4 − 3x dx = ×

1 2 2 x x + (4 − 3x ) × 0 3 3

4 3

2 8 1 2 = −0+ = . 9 9 31 3 131


№ 1040

1) у = х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу х = 0; у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2) у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2, АВС – искомая фигура 1

(

)

1

1

0

0

( )

S ABC = SOABC − SOAC = ∫ x 2 − 2 x + 2 dx − ∫ (− 2 x + 2 )dx = ∫ x 2 dx = 0

=

x3 3

1

= 0

1 . 3

4 4 4 ; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = – , у′(2) = – = –1, x 4 x2 у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура;

2) у =

132


64 4 x2 6 4 S DABC = S KABC − S KAD = ∫ dx − ∫ (− x + 4 )dx = 4 ln x 2 + − 4x 2 = x 2 2 2

= 4 ln 6 − 4 ln 2 + 8 − 16 − 2 + 8 = 4 ln 3 − 2

№ 1041

1) у = х3 – 3х2 – 9х + 1; АВС – искомая фигура

х = 0;

у = 6;

х<0

(

0

0

−1

−1

)

S ABC = S MABO − S MACO = ∫ 6dx − ∫ x3 − 3 x 2 − 9 x + 1 dx = 0

(

)

x4 9 x2 0 + x3 + + 5 x −1 = 4 2

= ∫ − x3 + 3x 2 + 9 x + 5 dx = − −1

=

9 17 7 3 1 +1− + 5 = 6 − = =1 4 2 4 4 4

2) у = х4 – 2х2 + 5; у = 1; АВСD – искомая фигура

х = 0; 1

(

х=1

)

1

S ABCD = SOBCK − SOADK = ∫ x 4 − 2 x 2 + 5 dx − ∫1dx = 0

1

(

)

= ∫ x 4 − 2 x 2 + 4 dx = 0

5

0

3

x 8 7 1 2 2x 1 − + 4x 0 = − + 4 = 4 − =3 . 15 15 5 3 5 3 133


№ 1042 ⎛ p p 2 ⎞⎟ , у = х2 + рх – парабола, ветви направлены вверх. Вершина ⎜ − ; − ⎜ 2 4 ⎟⎠ ⎝ пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая. а) р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1) х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4 Точки пересечения: x1 =

k− p− D , 2

x2 =

(

k− p+ D 2

)

x2 x3 x2 x + x x2 − −p S = ∫ (kx + 1)dx − ∫ x + px dx = k 1 2 3 2 x1 x1 x2

x2

2

x2

= x1

x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3 x − + x x2 = (k − p ) 2 − 2 + x 2 − (k − p ) 1 + 1 − x 2 = 1 2 3 2 3 2 3 1 ⎛k− p⎞ 2 = − x23 − x13 + ⎜ ⎟ x2 − x12 + (x2 − x1 ) , но х2 – х1 = D 3 ⎝ 2 ⎠ = (k − p )

(

)

x22 − x12 =

(

(

1⎛ ⎜ k − p+ D 4⎝

(

)

) − (k − p − D ) ⎞⎟⎠ = (k − p) 2

2

)

x23 − x13 = (x2 − x1 ) x12 + x1x2 + x12 =

(

(

)

(

D

) + (k − p ) + 2 D + (k − p ) − D ) =

1 ⎛ D⎜ k − p + D 4 ⎝

2

2

2⎞ 1 2 −D+ k− p− D ⎟= D 2(k − p )2 ⎠ 4 1 = D 3(k − p )2 + D 4 1 1 ⎛k− p⎞ S =− ⋅ D 3(k − p )2 + D + ⎜ ⎟(k − p ) D + D = 3 4 ⎝ 2 ⎠

(

)

(

)

1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ = D ⎜ − (k − p )2 − D + (k − p )2 + 1⎟ = D ⎜ (k − p )2 − D + 1⎟ 4 12 4 12 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ т.к. D = (p – k)2 + 4, то 134


S=

( p − k )2 + 4 ⋅ ⎛⎜ 1 (k − p )2 − 1 (k − p )2 − 1 + 1⎞⎟ = ( p − k )2 + 4 ×

⎝4 2⎞ 1 ⎛1 × ⎜ (k − p )2 + ⎟ = 6 3⎠ 6 ⎝

12

3

( p − k )2 + 4 ⋅ ((k − p )2 + 4) .

Найдем наименьшее S(k) 1 t t , t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастающая 6 функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k; б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p.

Пусть (p – k)2 + 4 = t, S (t ) =

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. 1 32 8 ⋅ = = 0,08 . 40 10 100

№ 1043

0,025 ⋅ 3,2 =

№ 1044

0,42 ⋅ х = 12,6,

№ 1045

x=

1 13 ⋅100 10 1,3 = = 3 (% ) . ⋅100 = 3 10 ⋅ 39 3 39

№ 1046

x=

46,6 466 ⋅100 ⋅100 2 ⋅1000 ⋅100 = = = 400(% ) . 11,65 10 ⋅1165 5

№ 1047

1,75 ⋅ х = 78,75, x =

№ 1048

x = 1,8 ⋅ 7,5 =

x=

12,6 126 ⋅100 18 ⋅10 = = = 30 . 0,42 10 ⋅ 42 1⋅ 6

78,75 7875 ⋅100 = = 45 . 1,75 100 ⋅175

9 15 27 ⋅ = = 13,5 . 5 2 2

№ 1049 х – исходная цена 1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х 2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х х – х2 = х – 0,38х = 0,62х Цена уменьшилась на 62%.

№ 1050 цинк х = 18 кг,

олово у = 6 кг, медь z = 36 кг 18 x % цинка = ⋅100% = ⋅ 100% = 30% 18 + 6 + 36 x+ y+z % олова =

6 y ⋅ 100% = ⋅ 100% = 10% 18 + 6 + 36 x+ y+z 135


z 36 ⋅100% = = 60% . x+ y+z 60 Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%. % меди =

№ 1051 Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий

⎧ x + y = 3942

следует, что: ⎨ ⎩0,08 x = y

⎧1,08 x = 3942 ⎧ x = 3650 . Ответ: 3650 р. , ⎨ , ⎨ ⎩ y = 292 ⎩ y = 0,08 x

№ 1052

Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания. 1 1 V1 = h ⋅ S , V2 = h2 ⋅ S 2 , h2 = 1,1h, S2 = 1,1S 3 3 1 1 V2 = ⋅1,1h ⋅ 1,1S = 1,21 ⋅ ⋅ h ⋅ S = 1,21V1 3 3 (V2 − V1 ) ⋅100% = (1,21 − 1)V1 ⋅100% = 21% . Ответ: объем увеличится на 21%.

№ 1053 Пусть х – искомое число, тогда х = а ⋅ 72 + 68 x a ⋅ 72 68 6a ⋅ 12 5 ⋅ 12 12(6a + 5) = + = + +8 = +8 12 12 12 12 12 12 Ответ: Остаток: 8.

№ 1054 Пусть эти числа х и у. Тогда:

⎧ x + y = 1100 ⎪ ⎧ x + y = 1100 ⎨0,06 x = 0,05 y ⎨ y = 5 x ⎩ ⎪⎩ 6

⎧11 ⎪⎪ 6 x = 1100 ⎧ y = 600 ⎨ x = 500 ⎨ ⎩ ⎪x = 5 y ⎪⎩ 6

Ответ: Наибольшее – 600.

№ 1055

За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет 600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).

№ 1056

За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил 5 5 1 ⋅10 = р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 р. Через год он полу6 6 12 5 чит 1,02 ⋅ 400 = 408,85 р. 6 136


№ 1057

1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2 Выполним по действиям. 23276 ⋅10 1012 а) 23,276 : 2,3 = = = 10,12 ; 1000 ⋅ 23 100 172 ⋅ 1 5 ⋅ 10 43 5 440 б) 17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1 = + = + = = 2,2 ; 10 ⋅ 8 1000 ⋅ 1 20 100 200 36 22 792 625 32 2000 в) 3,6 ⋅ 2) = ⋅ = = 7,92 ; г) 6,25 ⋅ 3,2 = ⋅ = = 20 ; 10 10 100 100 10 100 д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2. 2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25 Выполним по действиям. 925 104 9620 а) 9,25 ⋅1,04 = ⋅ = = 9,62 ; 100 100 1000 6372 ⋅10 9 ⋅ 8 1062 9 1152 б) 6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8 = = + = = 11,52 ; + 1000 ⋅ 6 8 ⋅10 100 10 100 1152 ⋅ 10 96 16 ⋅ 625 1000 в) 2) : 1,2 = = = 9,6 ; г) 0,16 ⋅ 6,25 = = =1; 100 ⋅12 10 100 ⋅100 1000 д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.

№ 1058 3 1 2 3 1⎞ 1 ⎛ ⎜ 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 ⎟ ⋅ 3 4 3 3 4 2⎠ 7 ⎝ . Выполним по действиям. 1) 1 3 10 − 9 2 4 3 1 2 3 1 28 ⋅ 4 22 ⋅1 5 ⋅ 39 а) 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 = + + + 4 3 3 4 2 7 3 ⋅ 22 3 ⋅ 4 14 ⋅ 2 1 65 28 29 65 116 + 195 311 + = 16 + + + = 16 + + = 16 + = 16 + = 3 3 4 3 3 4 12 12 11 503 ; = 41 = 12 12 1 503 ⋅ 22 5533 1 3 21 39 3 б) 1) ⋅ 3 = ; в) 10 − 9 = = − = ; 7 12 ⋅ 7 42 2 4 2 4 4 2) 5533 ⋅ 4 11066 г) = = . 3) 42 ⋅ 3 63 ⎛1 ⎞ ⎛5 7 ⎞ 2) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 + ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108) ⎝2 ⎠ ⎝ 6 12 ⎠ Выполним по действиям. ⎛1 ⎞ а) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 = (0,5 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1 ; ⎝2 ⎠ 137


1⋅ 4 ⎛5 7 ⎞ ⎛ 10 − 7 ⎞ =1; б) ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108) = ⎜ ⎟ : 0,25 = 4 ⋅1 ⎝ 6 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.

№ 1059 1 1 10 ⋅ 8 ⋅ 5 1 1 = 100 ; = x : 1 , x = 10 : ⋅ 1 = 8 4 8 4 4 1 1 1 1 3 ⋅ 19 ⋅ 2 57 ; 2) x : 0,75 = 9 : 14 , x = 0,75 ⋅ 9 : 14 = = 2 2 2 2 4 ⋅ 2 ⋅ 29 116 (опечатка в ответе задачника) x 1,456 15 ⋅1,456 3) = , x= = 20,8 . 15 1,05 1,05 1) 10 :

№ 1060 1 ⎛ ⎞ 1 1 1 ⎟⎛ 1⎞ ⎜ 2 ⎜ ⎛ 1 ⎞− 4 ⎟ ⋅ 15 5 2 4 ⎜ ⎟ − 2 ⋅ 7 ⋅ 49 ⎜ ⎜ ⎟ + 45 2 ⎟ − 183 5 1 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎝ 81 ⎠ ⎟ ⎜ 125 3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выполним по действиям. 1

1)

15 ⋅ 5 2

= 15 ⋅ 5 ⋅ 3 125 = 15 ⋅ 5 5 = 75 5 ;

1 − 125 3 1

1

2) 2 ⋅ 7 2 ⋅ 49 4 = 2 ⋅ 7 ⋅ 4 49 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 ; ⎛1⎞ 3) 1) − 2) = 75 5 − 14 ; 4) ⎜ ⎟ ⎝ 81 ⎠

(

)(

1 4

1 + 45 2

= 4 81 + 9 ⋅ 5 = 3 + 3 5 ;

)

5) 3) ⋅ 4) = 75 5 − 14 3 + 3 5 = 225 5 + 1125 − 42 − 42 5 = 1083 + 183 5 6) 5) − 183 5 = 1083 + 183 5 − 183 5 = 1083 .

№ 1061 1) log 27 729 = log 27 27 2 = 2 . 2) log 9 729 = log 9 27 2 = log 9 (9 ⋅ 3)2 = 3 . 3) log 1 729 = log 1 3 6 = 6 log 1 3 = 6 ⋅ (− 1) = −6 . 3

3

3

№ 1062 1) log 1 16

5

( )

64 = log2− 4 26

1 5

6

= log2− 4 2 5 =

6 ⎛ 1⎞ 3 ⋅ ⎜ − ⎟ log2 2 = − = −0,3 5 ⎝ 4⎠ 10

2) log 8 log 4 log 2 16 = log 8 log 4 4 = log 8 1 = 0 . 138


№ 1063 8

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ 1) ⎜ 2 ⎜ ⎝

1

2) ⎛⎜ 2 ⎝

27

2

8

=2 3

⎞ ⎟ ⎠

2

=2

⋅ 2−3 = 2

4

= 22 = 4 .

3 ⋅ 27 −3

= 29 −3 = 26 = 64 .

№ 1064 1) log 3 2) 16

9 5

5

3

+ log 6 36 = log 3 3

0,5 log 4 10 +1

( )

= 42

0,5 log 4 10

2−

1 5

+ log 6

2 5 6

=

9 2 11 1 + = =2 . 5 5 5 5

⋅ 16 = 4log 4 10 ⋅ 16 = 10 ⋅ 16 = 160 .

№ 1065 1

1) 2,5 7 2,50,5 . Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней. f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1. 1

х2 > х1, 2

1

1 1 f (х2) > f (х1); < ⇒ 2,5 7 < 2,5 2 ; 7 2 3

2) 0,2 3 0,2 4 , f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1 f (х2) < f (х1) 2

Сравним

3

2 3 8 9 8 9 2 3 < ⇒ < ⇒ 0,2 3 > 0,2 4 . и , или и . 3 4 12 12 12 12 3 4

3) log3,1 10 log3,1 3 Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1. 10 > 9 = 3 ⇒ log 3,1 10 > log 3,1 3 4 3 log 0,3 , f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1, 5 4 4 16 15 3 4 3 = > = ⇒ log 0,3 < log 0,3 . 5 20 20 4 5 4

4) log 0,3

№ 1066 1

1) a 5 > 1 ⇒ a > 1 ; 2) a −1,3 > 1 ⇒

1

> 1 ⇒ а < 1, a⋅ a 3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1); 5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1; 6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1. 10 3

а ∈ (0; 1);

139


№ 1067 18 = 3 2 , 4

1)

(3 2 ) 2)

= 18 =

( 18 )

3

= 22 log 2 3 ⋅ 4

2178 2025 ⎛ 45 ⎞ > =⎜ ⎟ , 121 121 ⎝ 11 ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

18 ,

3

5 11

log 4

5 11

2

2

3

log 2 3+ log 4

1 log 6 2 − log 2

6

5

18 > 4

( )

log 6 2 − log 6 5

= 6−1 3

144 125 ⎛ 5 ⎞ = 18 = > =⎜ ⎟ , 8 8 ⎝2⎠

3

⎛1⎞ 18 > ⎜ ⎟ ⎝6⎠

= 9⋅

5 45 = 11 11

log 2 3+ log 4

, 6

− log 6

2 5

1 log 6 2 − log 2

5 11

;

⎛2⎞ =⎜ ⎟ ⎝5⎠ 6

−1

=

5

.

№ 1068

1) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 5 0 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5; 2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5, 2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4.

№ 1069 5 1 125 3 ⋅ 5 1 ⋅ 2 5 20 + 3 180 − 4 − = − + 3⋅3⋅ 2 5 − 9 2 4 3 2

1) 3 ⋅ −

4⋅5 5 = 5 − 5 + 18 5 − 10 5 = 8 5 2 1

2) −

(

6− 5

1) 2)

140

5+ 2

( b (4b

)

a 4 9a 2 − 6a + 1 = a 2 2

№ 1071

2)

)

3

4 6− 2

(

5

4

6+

=

(

= a 2 3a − 1

(2b + 1) 2

2

(

)

= b 2b 2 + 1 .

) ( ) 3( 6 − 5 ) = = 3( 6 − 5 ) ; 6−5 5

3− 2 3

)

+ 4b 2 + 1 = b

(3a − 1)2

)

6+ 5 3 5− 2 − − 6−5 5−2

=

4 6+ 2 = 6 + 5 − 5 + 2 − 6 − 2 = 0. 6−2

№ 1070

1)

5 3+ 2 =5 3+ 2 ; 3− 2

5 , 2


12

3)

10 − 7 8

4)

11 + 3

(

) (

)

=

12 10 + 7 = 4 10 + 7 ; 10 − 7

=

8 11 − 3 = 11 − 3 . 11 − 3

(

)

№ 1072 1)

5 1 3 6 3 = ; 2) = ; 3) 10 2 5 6 6

7− 5 7−5 = = 2 2 7+ 5

1 7+ 5

.

№ 1073 1) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4... – 0,4..., 9х = 4, х =

4 ; 9

25 7 =2 ; 9 9 21 7 = x= ; 3) х = 0,2121... 100х = 21,21..., 99х = 21, 99 33 135 15 4 100х = 136,36..., 99х = 135, 4) х = 1,36... x= = =1 ; 99 11 11 32 ; 5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32, x= 90 6) х = 0,213..., 100х = 21,3... 1000х = 213,3..., 192 32 16 900х = 192, x = = = . 900 150 75

2) х = 2,77...

10х = 27,77..., 9х = 25,

x=

№ 1074 1)

5 = 0,8 (3) 6

_50 6 48 0,833... _20 18 20

2)

3)

2

1 9

_1,0 9 9 0,11... 10

_1,0 7 7 0,1428571... _30 28 _20 14

2

1 = 2, (1) 9

1 = 0, (142857) 7

141


_60 56 _40 35 _50 49 10 4)

5

_20 11

2 11

2 = 5, (18) 11

5

11 0,181... _90 80 20

№ 1075 1) нет; 2) да, например

2 ⋅ 2 = 2 ; 3)

a+ b ab

=

1 b

+

1 a

– нет.

№ 1076 a, b ∈N

ab – рациональное, значит, ab = k2, a =

a k2 k2 = = 2 , b b ⋅b b

k2

a = b

b2

=

k2 , b

k – рациональное число, ч.т.д. b

№ 1077 a – рац. b – иррац. а = а0, а1 ... аk а0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1 a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + + bk+1 ⋅ 10–k–1) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. a + b = (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k)+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1) = = (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац.

a a0 + a1 ⋅ 10−1 + a2 ⋅ 10−2 + ... + ak ⋅ 10− k – = b b0 + b1 ⋅ 10−1 + b2 ⋅ 10− 2 + ... + bk ⋅ 10− k

иррационально, а т.к.

№ 1078

[

очевидно,

]

[3

]

3 + 4; 15 , 1 < 3 3 + 4 ,

15 > 3 2 + 2 7 ,

3 2 +2 7 , 3 3 +4. Возведем в квадрат.

142

оно

b 1 , то это тоже является иррац., ч.т.д. = a (a / b )

1) 1; 3 2 + 2 7 ,

18 + 28 + 12 14 ,

что

27 + 16 + 24 3 , 3 + 12 14 ,

24 3 .


Сравним 12 14 и 24 3 . Возведем в квадрат. 2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.

(

2) 0,

) ( 48 − 1, 10) ,

27 + 6 ,

Сравним

27 + 6 ,

0 < 48 − 1 ,

27 + 6 < 6 + 3 = 9 < 10 .

48 − 1 .

Возведем в квадрат 27 + 6 + 2 162 , 48 + 1 − 2 48 , 18 2 , 16 − 8 3 > 0 . Еще раз возведем в квадрат 648, Имеют общие точки.

[

] (

256 + 192 − 256 3 , 200 > −256 3 .

)

3) 2; 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 ; 11 , 2 < 3 2 + 22 , 2 5 + 2 6 < 11 . Сравним 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 . Возведем в квадрат 20 + 24 + 8 30 , 18 + 22 + 6 44 , 4 + 8 30 , 12 11 . Возведем в квадрат 8 30 и 12 11 . 1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки. ⎛ 2 ⎞ 2 ; 4 ⎟⎟ , 1 < 4) 1; 1 + 3 и ⎜⎜ , 1+ 3 < 4 . 3 −1 ⎝ 3 −1 ⎠ 2 . Умножим оба на 3 − 1 > 0 . Сравним 1+ 3 и 3 −1 (3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют.

[

]

№ 1079

a<b 1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезка a+b ⎛a+b ⎞ имеет координаты , 0 ⎟ . Точка [a, b] имеет координаты ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠

⎛a+b 0+0⎞ ⎛a+b ⎞ , , 0 ⎟ – т.е. она совпадает с серединой. ⎜ ⎟ , или ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ 2) Допустим, эта точка не лежит в этом отрезке, тогда либо a + bc a + bc > b , a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо <a, 1+ c 1+ c a+bc<a+ac, bc<ac, b<a – противоречие, значит, она лежит внутри этого отрезка.

№ 1080 1) S∆ =

1 1 а ⋅ а ⋅ sin 60° = р ⋅ r, где р = (а + а + а). 2 2

a2 ⋅ 3 ⋅ 2 a 3 6 ⋅ 3 1 2 3 3 a ⋅ = a⋅r , r = = = = 3 , d = 2r = 2 3 ; 2 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3a 6 6 9 a a 9 9 9 α 2) , = , sin = , = = 2 a ⋅ 4 16 2 ⋅ sin α sin ⎛ π − α ⎞ 4 sin α cos α cos α ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝2 2⎠

143


cos α = −2 sin 2 α = 1 −

47 2 ⋅ 81 94 47 , α ⋅ arccos = = ≈ 68,46° . 128 256 256 128

№ 1081 tg54° =

120 , l

l=

120 ≈ 87,2 . tg54°

№ 1082 ⎛π ⎞ 130 sin ⎜ − 68° ⎟ 2 x 130 ⎝ ⎠ = l = x + y, = 130ctg 68° , x= sin 22° sin 68° sin 68° y 130 cos 46° 130 , = y= = 130ctg 46° sin (90° − 46°) sin 46° sin 46° l = 130 (ctg 68° + ctg 46°) ≈ 178 (м). № 1083

1) cos α = tgα =

⎛ 8⎞ sin α = 1 − ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

8 , 10

sin α 6 ⋅ 10 6 = = , cos α 10 ⋅ 8 8

ctgα =

2

=

6 10

1 8 = tgα 6

25 12 5 cos α = 1 − sin 2 α = 1 − , = 169 13 13 sin α 5 ⋅ 13 5 12 , = tgα = = ctgα = cos α 13 ⋅ 12 12 5 1 12 1 2 3) tgα = 2,4 = , 1 + tg α = , cos α = = 5 cos 2 α 1 + tg 2α

2) sin α =

1 144 1+ 25

=

5 13

25 12 5 = , ctgα = 169 13 12 1 24 1 1 7 2 4) ctgα = , 1 + ctg α = , sin α = = = , 2 24 25 sin 2 α 49 1 + ctg α 1+ 576 sin α = 1 −

2

7 24 ⎛ 24 ⎞ ; tgα = cos α = 1 − ⎜ ⎟ = . 25 7 ⎝ 25 ⎠

№ 1084 cos 2α = cos2α – sin2α = 1 – sin2α – sin2α = 1 – 2sin2α = 1 – 2 ⋅

144

1 7 = . 9 9


№ 1085 sin

11π 19π π⎞ ⎛ + cos 690° − cos = sin ⎜ 4π − ⎟ + cos(720° − 30°) − 3 3 3⎠ ⎝

π⎞ π π 3 3 1 1 ⎛ + − =− . − cos⎜ 6π + ⎟ = − sin + cos 30° − cos = − 3⎠ 3 3 2 2 2 2 ⎝

№ 1086 1) 2arctg1 − 3arcsin 2) 8 arccos

3 π π π π = 2 ⋅ − 3⋅ = − π = − ; 2 4 3 2 2

π π 2 + 6arctg 3 = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 2π + 2π = 4π . 2 4 3

№ 1087 ⎛ 3 ⎞⎟ 3 ⎛ π⎞ 1) sin ⎜ 2 arcsin = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) tg (2arctg3), arctg3 = x, 2 tgx 2⋅3 6 3 =− =− . tg 2 x = = 8 4 1 − tg 2 x 1 − 9

tg x = 3

№ 1088 1

1) log 4 sin

− 2 1 1 ⎛ 1⎞ 1 π 1 = log 2 = log 2 2 2 = ⋅ ⎜ − ⎟ = − ; 4 2 2 2 2 ⎝ 2⎠ 4

2) log10 tg

π = log10 1 = 0 ; 4

⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 3π 1 ⎟ = ⋅⎜− ⎟ = − 1 ; = log 2 ⎜ ⎜ ⎟ 4 3 6 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 2⎠ 1 π 4) log 2 cos = log 2 = −1 ; 3 2 π 5) log 3 1 − log 4 tg ⋅ log 5 cos 0 = 0 − log 4 1 log 5 1 = 0 . 4 3) log 8 sin

№ 1089

(

)

1) ctg arctg 3 = ctg

π π 3 ; 2) ctg(arctg1) = ctg = 1 ; = 3 3 4

( ( ))

⎛ 1 ⎞⎟ π 1 3 ⎛ π⎞ = sin = ; 3) sin arctg − 3 = sin ⎜ − ⎟ = − ; 4) sin ⎜ arctg ⎜ ⎟ 2 6 2 ⎝ 3⎠ 3 ⎝ ⎠ 5) cos(arctg1) = cos

( ( ))

π 2 ⎛ π⎞ 1 = ; 6) cos arctg − 3 = cos⎜ − ⎟ = . 4 2 ⎝ 3⎠ 2 145


№ 1090 ⎛ 2 ⎞⎟ . 1) cos⎜ 6 arccos ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ По определению арккосинус числа

2 2 - это такое число α, -0 ≤ α ≤ π,

2 2 . В нашем случае α = arccos

косинус которого равен

2 π = , далее 2 4

⎛ 2 ⎞⎟ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ ⎛π⎞ cos⎜ 6 arccos = cos⎜ 6 ⋅ ⎟ = cos⎜ π ⎟ = cos⎜ π + ⎟ = − cos⎜ ⎟ = 0 ⎜ ⎟ 2 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎠ 2) sin(5arccos0) По определению арккосинус числа 0 – это такое число α, 0 ≤ d ≤ π, коπ синус которого равен 0. В нашем случае α = arccos0 = , далее 2 π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ 5π ⎞ ⎛ ⎛π⎞ sin (5 arccos 0) = sin ⎜ 5 ⋅ ⎟ = sin ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2π + ⎟ = sin ⎜ ⎟ = 1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝2⎠

№ 1091

sin α cos α 3 3 при tgα = , tgα = , т.е. |sinα| ≠ |cosα|, знамена4 4 sin 2 α − cos 2 α тель данного выражения отличен от 0 и выражение имеет смысл, далее sin α cos α sin 2α 1 sin 2α 1 = =− ⋅ = − tg 2α , 2 2 2 2 2 cos 2α 2 sin α − cos α − 2 cos α − sin α

1)

(

)

2tgα

1 1 2tgα tgα 3 tg 2α = , тогда − tg 2α = − ⋅ = 2 , tgα = по 2 2 2 2 4 1 − tg α 1 − tg α tg α − 1 tgα

3

3

4 = 3 ⋅ ⎛⎜ − 16 ⎞⎟ = − 12 , итак, вы9 7 tg α − 1 3 −1 −1 4 ⎝ 7 ⎠ 4 16 3 12 sin α cos α при tgα = равняется − ; ражение 4 7 sin 2 α − cos2 α 1 2) sinαcosα, если sin α + cos α = . 3 1 Возведем обе части выражения sin α cos α = в квадрат, получим 3

условию, тогда

2

(sin α cos α )2 = ⎛⎜ 1 ⎞⎟

2

=

4

( )

2

=

1 , sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = , 3 9 ⎝ ⎠ 1 4 1 + 2 sin α ⋅ cos α = , откуда sin α ⋅ cos α = − , таким образом 9 9 4 sin α ⋅ cos α = − . 9 146


№ 1092 1) =

a + 2 ⎛⎜ 2a 2 − a − 3 2a − 3 ⎞⎟ a + 2 ⎛ 2(a + 1)(a − 3 2 ) a − 2 ⎞ ⎜ ⎟= : = ⋅ a − 2 ⎜⎝ a 2 + 5a + 6 a − 2 ⎟⎠ a − 2 ⎜⎝ (a + 2 )(a + 3) 2a − 3 ⎟⎠

a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 ) a−2 a +1 ⋅ ⋅ = a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2(a − 3 2 ) a + 3

1 ⎞ 8b 2 + 8b + 2 2b + 1 2b + 1 b(b − 4) 2b + 1 (b − 4 ) ⎛ 2) ⎜ 2 + ⎟ : ⋅ = ⋅ ⋅ = b⎠ b b b 2b b 2 − 4b ⎝ 2(2b + 1)2

№ 1093 1)

= − + +

a a2 − 1

+

a2 + a − 1 a3 − a 2 + a − 1

+

a2 − a − 1 a3 + a 2 + a + 1

2a 3

=

a4 − 1

a a2 + a − 1 a2 − a − 1 − + 2 + 2 (a − 1)(a + 1) a (a − 1) + (a − 1) a (a + 1) + (a + 1) 2a 3

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2

a − a −1

(a + 1)(a

2

)

+1

a2 − a −1

(a + 1)(a

(

2a

3

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)

=

2a 3

)

=

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) a (a 2 + 1) + (a 2 + a − 1)(a + 1) + (a 2 − a − 1)(a − 1) − 2a 3 = (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2

)

a a2 + a − 1 + + (a − 1)(a + 1) (a − 1) a 2 + 1

=

+1

Преобразуем числитель полученной дроби а(а2+1)+(а2+а–1)(а+1)+(а2–а–1)(а–1)–2а3=а3+а+а3+а2+а2+а–а–1+а3 – – а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет вид

a3 + a

(a − 1)(a + 1)(a 2)

=

2

1 2

a + 5a + 6

1

)

) (a − 1)(a + 1)

+1

+

(

a a 2 +1

=

2

2a 2

a + 4a + 3

+

2a

2

+

=

a 2

a −1

1

(a + 1) +

2

+ a +1

1

2 = a+3

2

(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 3) (a + 1)(a + 2 ) a + 3 1 ⋅ (a + 1) + 2a(a + 2 ) + 1 ⋅ (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2 ) = = (a + 1)(a + 2)(a + 3)

=

=

a + 1 + 2 a 2 + 4 a + a + 3 − 2a 2 − 6 a − 4 0 = =0 (a + 1)(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 2)(a + 3) 147


№ 1094 1 1 1 4−4 a +4+4 a 1 − + = − = 2 − 2a 4 + 4 a 2 − 2a 4 − 4 a 4+4 a 4−4 a 8 1 1 1 − = − =0 16 − 16a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a

(

1)

2)

a 2 + a − 2 −1 a 2 − 2 − 2 + 2a

=

)(

)

(a − 1)( 2 + 1) = 2 (a − 1) + 2(a − 1) (a − 1)(2 + 2 ) 2 (a − 1) + (a − 1)

=

1 2

№ 1095 ⎛ a − x ⎞⎟⎛⎜ a − x ⎞⎟ 1− при а = 5, х = 4 1) ⎜1 + ⎜ a + x ⎟⎠⎜⎝ a + x ⎟⎠ ⎝ Преобразуем данное выражение: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 + a − x ⎟⎜1 − a − x ⎟ = 1 − a − x = a + x − a + x = 2 x ⎜ ⎟ ⎜ a + x ⎠⎝ a + x ⎟⎠ a+x a+x a+x ⎝ при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид: 2)

a + a2 − x2 a − a2 − x2

a − a2 − x2 a + a2 − x2

2⋅4 8 = ; 5+ 4 9

при а = 3, x = 5

Преобразуем данное выражение: 2

2

2

2

2

a+ a −x a− a −x

= =

2

a− a −x

2

a + a2 − x2

(

) (

2

⎛ ⎛ 2 2⎞ 2 2⎞ ⎜a + a − x ⎟ − ⎜a − a − x ⎟ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎝ = ⎛ 2 2 ⎞⎛ 2 2⎞ ⎜ a − a − x ⎟⎜ a + a − x ⎟ ⎠ ⎠⎝ ⎝

(

a 2 + 2a a 2 − x 2 + a 2 − x 2 − a 2 + 2a a 2 − x 2 − a 2 − x 2 4a a 2 − x 2 x2

4 ⋅ 3 32 −

( 5)

)

)=

; при а = 3, x = 5 полученное выражение примет вид:

( 5)

2

2

a2 − a2 − x2

=

12 9 − 5 24 = = 4,8 . 5 5

№ 1096 1)

x

1

2

1+ x 148

1

2

1 ⎛ 12 ⎞ ⎜ x 1 ⎟ x 2 ⋅⎜ − = ⎟ 1 1 1 ⎜1− x 2 x 2 − x ⎟ 1+ x 2 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ 2 1 ⎜ x ⎟ = ⋅⎜ − 1 1 ⎛ 1 ⎞⎟ 2 2 ⎜1 − x 2 ⎟ ⎟ ⎜1− x x ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝


x

=

1

2

1+ x

1

x −1 x −1 = = −1 1 ⎞ 1 −x ⎛ 2 2 x ⎜⎜1 − x ⎟⎟ ⎝ ⎠

1

2

2

1 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎛ 12 ⎞ 1 1 ⎞ ⎜⎜ m + 1⎟⎟ ⎜ 2m ⎜⎜ m + 1⎟⎟ − 4m 2 ⎟ ⎛ 2 2 2 4m ⎟ ⎝ m + 2m + 1 ⎜ 2m ⎟ ⎠ ⋅⎜ ⎝ ⎠ ⋅⎜ 1 − 2) ⎟= ⎜ ⎟= 1 1 1 − m 1 − m ⎜ m 2 −1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2m 2 2 m ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

1

2

⎛ 12 ⎞ 1 1 ⎜⎜ m + 1⎟⎟ ⎠ ⋅ 2m − 4m 2 + 2m 2 = =⎝ 1 m −1 2m 2

2

⎛ 12 ⎞ 1 ⎜⎜ m + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⋅ 2m − 2m 2 = m 1 2 + 1 1 m −1 2m 2

№ 1097 m m ⋅ 2mn ⋅ 18mn = 6n ⋅ 3 = 18mn ; 2n 2n

1) 6n ⋅

1

1

a

1

1 4 ⎛⎜ a 4

⎜ ⎝

a −1 ⋅ 1 1 ⎛ ⎞ a 2 +1 a 2 a 4 +a 2 a 2 ⎜⎜ a 4 + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 2 ⎞ 1 4 ⎛ 1 4 ⎞ ⎜⎜ a + 1⎟⎟⎜⎜ a − 1⎟⎟ a ⎜⎜ a + 1⎟⎟ ⎠ ⋅ a 14 = a 12 − 1 . ⎠⋅ ⎝ ⎠⎝ =⎝ 1 1 ⎛ 1 ⎞ a 2 +1 a 2 ⎜⎜ a 4 + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ a −1

2)

3

1

a

+a

2

1

4

⋅a

1

4

=

1

⎞ + 1⎟⎟ ⎠ ⋅ a 14 = +1

№ 1098 ⎛ a a −1 ⎞ a −1 a a −1+ a − a a −1 1) ⎜ + a⎟: = ⋅ = ⎜ a −1 ⎟ a −1 a −1 a −1 ⎝ ⎠ a − 1 + a (a − 1) a −1

(

)

a − 1 (a − 1) a + 1 a −1 = ⋅ = a +1; a −1 a −1 a −1

⎛1+ b b ⎞ 1+ b 1+ b b − b − b 1+ b − b ⎟⋅ = ⋅ = 2) ⎜ ⎜ 1+ b ⎟ 1− b 1− b 1+ b ⎝ ⎠

(

(1 − b ) −

)

b (1 − b ) 1 + b (1 − b ) 1 − b 1 + b ⋅ = ⋅ = 1− b . 1− b 1− b 1+ b 1+ b

=

№ 1099 a −1b − 2 − a − 2b −1 a

−5

3 b2

−b

−5

3 a−2

−a

1

1 3b 3

=

a −1b − 2 − a − 2b −1 − a a

−5

3b−2

−4

3b

−b

−5

−5

3

+a

3 a−2

−5

3b

−4

3

=

149


−4 −5 ⎞ ⎛ − ⎜⎜ a − 2b −1 + a 3 b 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠= = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a 5 2 2 ⎞ 2 ⎞ − −5 ⎛ ⎛ 2 a 3 b − 2 ⎜⎜ a 3 + b 3 ⎟⎟ − b 3 a − 2 ⎜⎜ a 3 + b 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a 2 2 −5 ⎞ ⎞ ⎛ −5 ⎛ 3 ⎜⎜ a + b 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ a 3 b − 2 − b 3 a − 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎠ = a23 + b23 . =⎝ − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a

a −1b − 2 + a

−5

3b

−4

3

№ 1100 ⎛ ab + b 2 ⎜ a + ab − 1) ⎜ ⎜ a 2 + ab ab + b ⎝

(

)

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

−2

a 3b + ab3 = 2ab

⎛ a a+ b b a+b − =⎜ ⎜ a a b b a+ b + ⎝

(

⎛ a + b + 2 ab − a − b ⎞ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ a b a b + + ⎝ ⎠

(

)

⎛ 2 ab =⎜ ⎜ a+b a + b ⎝

(

=

−2

(a + b )(a + 2

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−2

ab + b

4ab

)−

)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−2

a 3b + ab3 = 2ab

a 3b + ab3 = 2ab

ab (a + b ) = 2ab

a3b + ab3 = 2ab

a 2 + 2a ab + ab + ab + 2b ab + b 2 − 2a ab − 2b ab (a + b )2 = = 4ab 4ab

2)

( a + b) 1

( a + b)

2

=

150

−1 ⎞ ⎛ −1 2⎜⎜ a 2 + b 2 ⎟⎟ ⎛1 1⎞ ⎠= ⋅⎜ + ⎟ + ⎝ 3 ⎝a b⎠ a+ b

−2

(

(

)

⎛ ⎞ 2⎜ 1 + 1 ⎟ a+b a b ⎠= ⋅ + ⎝ 3 ab a+ b

a+b

ab a + b

)

2

+

(

(

2 a+ b ab

)

)

( a + b)

3

=

( a + b) ab( a + b ) b)

a + b + 2 ab

(

ab a +

2

2

=

2

=

1 ab


№ 1101 4

⎛ 9a − 25a −1 a + 7 + 10a −1 ⎞⎟ ⎜ = − 1 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ 2 2 2 2 3 a 5 a a 2 a − + ⎠ ⎝ 4

1 ⎞ ⎛ ⎛ 12 − 1 ⎞⎛ −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜⎜ 3a − 5a 2 ⎟⎟⎜⎜ 3a 2 + 5a 2 ⎟⎟ −1 a 7 10 a + + ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =⎜ − 1 1 −1 −1 ⎟ ⎜ 3a 2 − 5a 2 a 2 + 2a 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 4

4

⎛ ⎛ ⎞ −1 −1 ⎞ ⎜ 3a + 5 + 6 + 10a − a − 7 − 10a ⎟ ⎜ 2a + 4 ⎟ =⎜ = ⎟ ⎜ −1 ⎟ = −1 ⎜ ⎟ ⎜ a 2 (a + 2 ) ⎟ 2 (a + 2 ) a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

4 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2(a + 2 ) ⎟ = ⎜⎜ 2a 2 ⎟⎟ = 16a 2 . =⎜ 1 ⎟ ⎜ a − 2 (a + 2) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

№ 1102 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 3 3 b 1 ⎜ ⎟ + ⎜3 4 9 ⎟ 3 − b 9 b − b ⎜ ⎟ b ⎠ ⎝ ⎛ 33 b b ⎞⎟ =⎜3 + ⎜ b (b − 9 ) b − 9 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ b−9 = ⎜⎜ ⎝3+ b =

−2

(

)

− b 2 + 18b + 81

−2

(b + 9)

2

0,5

(

⎛ 3+ b =⎜ ⎜ b−9 ⎝

=

)⎞⎟

−2

⎟ ⎠

− (b + 9) =

2

⎞ b 2 − 18b + 81 − 9b − 6b b − b 2 − 81 − 54 b − 9b ⎟ − (b + 9) = = ⎟ 9+6 b +b ⎠

− 54 b − 36b − 6b b 9+6 b +b

=

(

−6 b 9+6 b +b 9+6 b +b

) = −6

b.

№ 1103 1)

1 + tg 2α 2

1 + ctg α

=

1 2

:

1 2

cos α sin α

= tg 2α

2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) = =

cosα + sinα sinα + cosα 1 ⋅ − = cosα sinα sinα cosα

1 + 2 sin α cos α 1 − =2. cos α sin α sin α cos α

151


№ 1104

1 − (sin α + cos α )2 = 2tg 2α . sin α cos α − ctgα

тождества:

=

2 sin 2 α 2

Преобразуем

левую

часть

данного

1 − (sin α + cos α )2 1 − 1 − 2 sin α ⋅ cos α sin 2 α cos α = = −2 = cos α sin α cos α − ctgα cos α sin 2 α − 1 sin α cos α − sin α

(

=

2 sin 2 α 2

)

= 2tg 2α , таким образом, левая и правая части

1 − sin α cos α тождества совпадают, следовательно, тождество доказано.

№ 1105

1) sin2(α + 8π) + cos2(α + 10π) = sin2α + cos2α = 1; 2) cos2(α+6π)+cos2(α-4π)=cos2(α+3⋅2π)+cos2(2⋅2π-α)=cos2α+cos2α=2cos2α.

№ 1106

sin 2α sin α cos(π − α ) sin α ⋅ cos α sin α cos α + = + = 2 1 − 2 cos 2 α 1 − 2 sin 2 α sin 2 α − cos2 α sin 2 α − cos2 α sin 2α =− = −tg 2α . cos 2α

(

)

№ 1107 cos 2 x sin 2 x − = − sin x − cos x 1 + sin x 1 − cos x Преобразуем левую часть данного тождества:

(

)

cos 2 x − cos3 x − sin 2 x − sin 3 x cos 2 x − sin 2 x − cos3 x + sin 3 x = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x − sin x )(cos x + sin x ) − (cos x + sin x )(1 − sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) cos x + sin x )(cos x − sin x − 1 + sin x ⋅ cos x ) ( = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x + sin x )(cos x(1 + sin x ) − (1 + sin x )) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) cos x + sin x )(1 + sin x )(cos x − 1) ( = = − sin x − cos x , (1 + sin x )(1 − cos x ) таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д.

№ 1108 α α + 2 sin 2 = 2 2 α⎛ α α⎞ α ⎛α π⎞ = 2 cos ⎜ cos + sin ⎟ = 2 2 cos sin ⎜ + ⎟ ; 2⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 4⎠

1) 1 + cos α + sin α = (1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2

152


α α α − 2 sin cos = 2 2 2 α⎛ α α⎞ α α ⎛α π⎞ ⎛α π⎞ = 2 sin ⎜ sin − cos ⎟ = 2 sin ⋅ 2 sin ⎜ − ⎟ = 2 2 sin sin ⎜ − ⎟ ; 2⎝ 2 2⎠ 2 2 ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 4⎠ 3) 3–4sin2α=3–4(1–cos2α)=3–4+4cos2α=4cos2α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1); 4) 1 – 4cos2α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα).

2) 1 − cos α − sin α = (10 cos α ) − sin α = 2 sin 2

№ 1109

α +β + γ = π

1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin

α β γ sin cos 2 2 2

Рассмотрим правую часть: α β γ α β ⎛ π (α + β ) ⎞ 4 sin sin cos = 4 sin sin cos⎜ − ⎟= 2 2 2 2 2 2 ⎠ ⎝2 α β ⎛α β⎞ α β⎛ α β β α⎞ sin sin ⎜ + ⎟ = 4 sin sin ⎜ sin cos + sin cos ⎟ = 2 2⎝ 2 2 2 2⎠ 2 2 ⎝ 2 2⎠ α β β α β α = 4 sin 2 sin cos + 4 sin sin 2 cos = 2 2 2 2 2 2 β β α α β 2α = 2 sin cos ⋅ 2 sin + 2 sin cos 2 sin 2 = 2 2 2 2 2 2 = sin β(1 − cos α ) + sin α(1 − cos β ) = sin β − sin β cos α + sin α − sin α cos β = = sin β + sin α − (sin β cos α + sin α cos β ) = = 4 sin

⎛π ⎞ = sin β + sin α − sin (α + β = )sin β + sin α − cos⎜ − (α + β )⎟ = 2 ⎝ ⎠ = sin α + sin β − sin γ 2) Рассмотрим левую часть: sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ = = 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ = α −β+ γ α −β− γ cos = = 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = 2 sin γ ⋅ 2 cos 2 2 π − 2β π − 2β − 2 γ = 2 sin γ ⋅ 2 cos cos = 2 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ = 4 sin γ cos⎜ − β ⎟ cos⎜ − β − γ ⎟ = 4 sin γ sin β sin α = 4sinα sinβ sinγ. ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

№ 1110

tgα = 2 sin 2 α + sin α cos α

. cos 2 α + 3 cos α sin α Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2α ≠ 0 (последнее выполняется вследствие tgα = 2), 1)

153


sin 2 α

sin α ⋅ cos α + tg 2α + tgα cos 2 α cos 2 α , при tgα = 2 выражение примет вид: = 2 1 + 3tgα cos α 3 cos α ⋅ sin α + cos 2 α cos 2 α 2 2 +2 6 = ; 1+ 3⋅ 2 7 2)

2 − sin 2 α 3 + cos 2 α

. Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 2

sin 2 α

2 2 2 cos 2 α = 2 + 2tg α − tg α = 2 + tg α ; 2 3 3 + 3tg α + 1 4 + 3tg 2α +1

2 cos2α ≠ 0, получим: cos α

cos 2 α

при tgα = 2 выражение примет вид:

2 + 22 4 + 3 ⋅ 22

=

6 3 = 16 8

№ 1111

tgα + ctgα = 3, tg2α + ctg2α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3 выражение примет вид: 32 – 2 = 7.

№ 1112 π cos α + sin α ⎛π ⎞ cos α + sin α tg 4 + tgα − − tg ⎜ + α ⎟ = = cos α − sin α ⎠ cos α − sin α 1 − tg π 4 tgα ⎝4 cos α + sin α cos α + sin α − =0; cos α − sin α cos α − sin α

1)

1 − sin 2α cos 2 α 1 − sin 2α ⎞ 1 − sin 2α ⎛π = ctg 2α − = − = 2) tg 2 ⎜ − α ⎟ − 1 + sin 2α sin 2 α 1 + sin 2α ⎝2 ⎠ 1 + sin 2α =

=

cos 2 α + sin 2α cos 2 α − sin 2 α + sin 2α sin 2 α sin 2 α(1 + sin 2α )

sin 2α + cos2 α − sin 2 α sin α(1 + sin 2α ) 2

=

sin 2α + cos 2α

sin 2 α(1 + sin 2α )

=

.

№ 1113 1)

tgα + tgβ tgα + tgβ = = tgαtgβ 1 1 ctgα + ctgβ + tgα

tgβ

2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α + + sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 2

154


( (

) )

( (

) )

sin π + α − cos π + α 4 4 = sin π + α + cos π + α 4 4 sin π cos α + cos π sin α − cos π cos α + sin π sin α 4 4 4 4 = = sin π cos α + cos π sin α + cos π cos α − sin π sin α 4 4 4 4 cos α + sin α − cos α + sin α = = 2tgα ; cos α + sin α + cos α − sin α sin α + 2 sin π cos α − cos π sin α sin α + 2 sin π − α 3 3 3 = = 4) 2 cos π − α − 3 cos α 2 cos π ⋅ cos α + sin π sin α − 3 cos α 6 6 6

3)

(

=

)

(

)

(

sin α + 3 cos α − sin α

№ 1114

( (

) )

( (

) )

)

( (

) )

sin 2 π − α 4 cos 2 π − α 4 =

1 − tg π − α 4 1) = 1 + tg 2 π − α sin 2 π −α 4 4 1+ 2

)

= 3ctgα .

3 cos α + sin α − 3 cos α

1−

(

( (

) )

cos 2 π −α 4

( (

) )

cos 2 π − α − sin 2 π − α 4 4 = cos 2 π − α = cos π − 2α = sin 2α . 4 2 cos 2 π − α + sin 2 π − α 4 4 sin 2α 2 sin α cos α = = tgα . 2) 1 + cos 2α 2 cos 2 α =

((

(

))

)

№ 1115 1)

tg 2α 1 + ctg2α

2

2)

1 + ctg α 2

ctg α

=

tg 2α 1 tg 2α

1+ 1+

=

=

tg 4α 1 + tg 2α

=

cos 2 α sin 2 α =

cos 2 α

1 2

tg 4α 1 cos2 α

sin 2 α 2

sin α cos α

=

=

sin4 α cos2 α ⋅ = sin2α tg2α. 1 cos4 α

1 cos 2 α

.

sin 2 α

3)

sin α sinβ − cosα cosβ

sinαcosβ − sinβcosα sinαsinβ tgα − tgβ ⋅ = = = cosαcosβ sinβcosα + sinαcosβ ctgα + ctgβ cosα + cosβ sin α

=

sin β

1 sin (α − β ) sin (α − β ) 2 (cos(α − β ) − cos(α + β)) ⋅ tgα ⋅ tgβ = ⋅ = sin (α + β) sin (α + β ) 1 (cos(α − β ) + cos(α + β )) 2

155


sin (α − β )cos(α − β ) − sin (α − β )cos(α + β ) = sin (α + β )cos(α − β ) + sin (α + β )cos(α + β ) 1 (sin (α − β − α + β ) + sin (2α − 2β ) − sin (− 2β ) − sin 2α ) = 2 = 1 (sin (− 2β ) + sin 2α + sin (α + β − α − β ) + sin (2α + 2β )) 2 sin (2α − 2β ) + sin 2β − sin 2α = = sin (2α + 2β ) − sin 2β + sin 2α 2 sin α ⋅ cos(α − 2β ) − 2 sin α ⋅ cos α cos(α − 2β ) − cos α = = = 2 sin α ⋅ cos(α + 2β ) + 2 sin α ⋅ cos α cos(α + 2β ) + cos α − 2 sin (α + β ) ⋅ sin (− β ) = = tg (α + β ) ⋅ tgβ 2 cos(α + β ) ⋅ cos β 4) (tgα+ctgα)2–(tgα–ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α–tg2α+2tgα⋅ctgα-ctg2α=2 +2=4 =

№ 1116 1 + cos 2α 2 cos 2 α = = cos α ; 2 cos α 2 cos α tgα − sin α sin α − sin α cos α 1 − cos α α = = = tg 2 ; 2) tgα + sin α sin α + sin α cos α 1 + cos α 2 1)

sin α + sin 3α + sin 5α sin 3α + (sin α + sin 5α ) = = cos α + cos 3α + cos 5α cos 3α + (cos α + cos 5α ) sin 3α + 2 sin 3α cos 2α sin 3α(1 + 2 cos 2α ) = = = tg 3α ; cos 3α + 2 cos 3α cos 2α cos 3α (1 + 2 cos 2α ) 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α + 2 sin 2α ⋅ cos 2α 4) = = 2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α − 2 sin 2α ⋅ cos 2α

3)

=

2 sin 2α (1 + cos 2α ) 2 cos 2 α = = ctg 2α . 2 sin 2α (1 − cos 2α ) 2 sin 2 α

№ 1117 1)

sin 2α + cos 2α + 2 sin 2 α sin 2α + cos 2α + 1 − cos 2α = = π sin (− α ) − sin (2,5π + α ) sin (− α ) − sin ⎛⎜ 2π + + α ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠

sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α (sin α + cos α )2 = = −(sin α + cos α ) π − sin α − cos α sin (− α ) − sin ⎛⎜ + α ⎞⎟ ⎝2 ⎠ 2)

=

156

cos 2α − sin 2α − 2 cos 2 α cos 2α − sin 2α − 1 − cos 2α = = π cos(− α ) − cos(2,5π + α ) cos α − cos⎛⎜ 2π + + α ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠ − (sin α + cos α )2 = −(sin α + cos α ) . cos α + sin α


№ 1118

1 − cos(2π − 2α )

=2 1 − cos 2 (α + π ) Преобразуем левую часть данного тождества:

1)

1 − cos(2π − 2α )

1 − cos 2α

)

=

2 sin 2 α

=2, 1 − cos 2 (α + π ) 1 − cos 2 α sin 2 α следовательно, тождество выполняется.

(

=

) sin (α + 90 ) = Преобразуем левую часть: 2)

(

sin 2 α + 90o = 1 + cos α − 90o 1 + sin (− α ) 2

cos 2 α 1 − sin 2 α = = 1 + sin α 1 + sin (− α ) 1 − sin α 1 − sin α o o Преобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90 )=1+cos(90 -α)=1+sinα Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. o

№ 1119 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 8 sin 2 x − = cos 2 x sin π − x + sin (− x ) 2 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 4(1 − cos 2 x ) = − = cos x − sin x cos 2 x

(

=

)

(5 cos x − 3sin x )(cos x + sin x ) − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = cos 2 x

5 cos 2 x + 5 cos x sin x − 3 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = = cos 2 x =

(

)

5 cos 2 x + sin 2 x 5 = . cos 2 x cos 2 x

№ 1120 ⎛ 3π ⎞ ⎛3 ⎞ − x ⎟ + tg (π − x )tg ⎜ π + x ⎟ = sin (x − 2π )cos⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ = -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2x = cos2x.

№ 1121

1) cos2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1=cos2(α+2β)+(-cos2(α-2β))=cos2(α+2β) – – cos2(α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) = = (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β 2) sin2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1= sin2(α+2β)–cos2(α–2β)=(sin(α + 2β) – –cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β) ⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) – –cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) = = (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) = = (sin2α - cos2α)(cos22β - sin22β) = -cos2α ⋅ cos4β. 157


№ 1122 1)

cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α = = −2 = −2 ; 1 sin 3α sin α cos 4α − cos 2α (cos 2α − cos 4α ) 2

1 + cos 2α + 2 cos α cos 2α = = cos α + 1 + cos 2α − 1 cos α + 2 cos 2 α − 1 2 cos α(cos α + cos 2α ) = 2 cos α . cos α + cos 2α

2)

1 + cos α + cos 2α + cos 3α

№ 1123 1) =

2)

=

= =

4 sin 2 α − sin 2 2α 2

2

4 − 4 sin α − sin 2α

=

4 sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α

4 cos

)

=

( ) = 4 sin α = tg α ; α (1 − sin α ) 4 cos α

4 sin 2 α 1 − cos 2 α 2

(

4 1 − sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α 4

2

4

4

2 2 ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 2tgα ⎞ ⎞⎟ ⎜ ⎜ 2tgα ⎞⎟ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟ = = α − α − tg tg 1 : ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 − tg 2α ⎟ ⎟⎟ tg 2α − tg 2 2α ⎜ ⎜⎝ 1 − tg 2α ⎟⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

tg 2 2αtg 2α − 1

(

4tg 4α − 1 1 − tg 2α

(1 − tg α) 2

)

2

(1 − tg α) = tg α (1 − tg α ) − 4tg α 2

2

4tg 4α − 1 + 2tg 2α − tg 4α 2

4

(

)(

6

2

tg α − 2tg α + tg α − 4tg α

3 tg 2α + 1 tg 2α − 1

2

2

)

=

2

2

3tg 4α + 2tg 2α − 1 tg 6α − 2tg 4α − 3tg 2α

=

2 3 = 3tg α − 1 = tg 2α tg 2α + 1 tg 2α − 3 tg 2α tg 2α − 3

(

)(

)

(

)

2

3 sin α

=

=

−1 3 sin 2 α − cos 2 α cos 2 α = = 2 2 ⎞ sin 2 α ⎛⎜ sin 2 α 2 ⎛⎜ sin α −3 cos α ⎞⎟ ⎟ sin α −3 ⎟ ⎜ ⎟ cos 2 α ⎜⎝ cos 2 α cos 2 α ⎠ ⎝ ⎠

( α (3 cos

) = ctgα ⋅ cos 3α = ctgα ⋅ ctg 3α . sin 3α α)

− cos 2 α cos 2 α − 3 sin 2 α − sin

2

2

α − sin

2

№ 1124 1)

158

2 − cos x − sin x = sin x − cos x

⎛ ⎛π ⎞ ⎞ 2 − ⎜⎜ sin ⎜ − x ⎟ + sin x ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= π ⎛ ⎞ sin x − sin ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠


π ⎛π ⎞ ⋅ cos⎜ − x ⎟ 4 ⎝4 ⎠= π⎞ π ⎛ 2 sin ⎜ x − ⎟ ⋅ cos 4⎠ 4 ⎝

2 − 2 sin

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2 − 2 cos⎜ − x ⎟ 1 − cos⎜ − x ⎟ ⎝4 ⎠= ⎝4 ⎠ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 2 sin ⎜ x − ⎟ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝

1 + cos x + sin x + tgx cos x + cos 2 x + sin x − cos x + sin x = = sin x + cos x cos x (sin x + cos x ) (cos x + sin x ) + cos x(cos x + sin x ) = 1 + cos x = 1 + 1 . = cos x (sin x + cos x ) cos x cos x

2)

№ 1125 sin α ⋅ cos α 2 ctgα sin α cos α 3 sin α = . = ctgα = , 4 sin 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 − ctg 2α − sin 2 α

sin 2 α

3

При ctgα = ¾ выражение примет вид:

3 4 4 = 3 ⋅ 16 = 1 5 . = 2 9 7 7 4 − 1 3 1− 16 4

( )

№ 1126 α=− =

=

π 2 − 3sin2 α sin α + 2 cosα 2 − 2 sin2 α − sin2 α sin α + 2 cosα , − = − = 8 cos2α sin α + cosα cos2α sin α + cosα

2 cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α

sin α + 2 cos α = sin α + cos α

2 cos 2 α − sin 2 α − (sin α + 2 cos α )(cos α − sin α ) = cos 2α

2 cos 2 α − sin 2 α − sin α ⋅ cos α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 cos 2 α = cos 2α 1 sin 2α − sin 2α − sin α ⋅ cos α + 2 cos α sin α 1 2 = = = ⋅ tg 2α . cos 2α cos 2α 2 1 ⎛ π⎞ 1 π При α = − выражение примет вид: tg ⎜ − ⎟ = − . 8 2 ⎝ 8⎠ 2 =

№ 1127

tg (α − β ) + tgβ cos(α + β ) = . Преобразуем левую часть: tg (α + β ) − tgβ cos(α − β )

⎞ ⎞ ⎛ tgα + tgβ tg (α − β ) + tgβ ⎛ tgα − tgβ − tgβ ⎟⎟ = =⎜ + tgβ ⎟⎟ : ⎜⎜ − α β tg (α + β ) − tgβ ⎜⎝ 1 + tgαtgβ 1 tg tg ⎠ ⎠ ⎝ 159


⎛ tgα − tgβ + tgβ + tgαtg 2β ⎞ ⎛ tgα + tgβ − tgβ + tgα ⋅ tg 2β ⎞ ⎟:⎜ ⎟= =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + α β 1 tg tg 1 − tg α tg β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ tgα 1 + tg 2β 1 − tgαtgβ 1 − tgα ⋅ tgβ = = = ⋅ 1 + tgαtgβ tgα 1 + tg 2β 1 + tgαtgβ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α + β ) ⇒ тождество выполняется. = = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α − β )

(

)

(

)

№ 1128

⎛π α⎞ 1) 1 + sin α = 2 cos 2 ⎜ − ⎟ . Преобразуем правую часть: ⎝4 2⎠ ⎛ ⎛ π α ⎞⎞ ⎛π α⎞ ⎛π ⎞ 2 cos 2 ⎜ − ⎟ = 1 + cos⎜⎜ 2⎜ − ⎟ ⎟⎟ = 1 + cos⎜ − α ⎟ = 1 + sin α , 4 2 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. ⎛π α⎞ 2) 1 − sin α = 2 sin 2 ⎜ − ⎟ . Преобразуем правую часть: ⎝4 2⎠ π α ⎛ ⎞ ⎛π α⎞ ⎛π ⎞ 2 sin 2 ⎜ − ⎟ = 1 − cos 2⎜ − ⎟ = 1 − cos⎜ − α ⎟ = 1 − sin α , 4 2 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1129 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 1) sin ⎜ α + ⎟ − sin ⎜ α − ⎟ = 3 cos α 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ Преобразуем левую часть:

3 π⎞ π⎞ π ⎛ ⎛ sin ⎜ α + ⎟ − sin ⎜ α − ⎟ = 2 sin ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 3⎠ 3⎠ 3 2 ⎝ ⎝ правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2) cos⎜ + α ⎟ + cos⎜ − α ⎟ = 3 cos α . Преобразуем левую часть: 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π 3 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos⎜ + α ⎟ + cos⎜ − α ⎟ = 2 cos ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 6 6 6 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ следовательно, тождество выполняется.

№ 1130 1)

2 α α tg + ctg 2 2

2

tg

160

α α + ctg 2 2

=

= sin α . Преобразуем левую часть:

2tg

tg 2

α 2

α +1 2

= sin α , следовательно, тождество выполняется.


2)

ctgα − tgα = cos 2α . Преобразуем левую часть, получим: ctgα + tgα

cos α sin α cos 2 α − sin 2 α − sin α cos α = sin α ⋅ cos α = cos 2α . cos α sin α cos 2 α +sin 2 α + sin α

cos α

sin α⋅cos α

№ 1131

(1 + cos α )tg α = sin α .

Преобразуем левую часть выражения: 2 (1 + cos α )tg α = 2 cos2 α ⋅ sin (α 2) = 2 cos(α 2) ⋅ sin (α 2) = sin α , следова2 2 cos(α 2 ) тельно, тождество выполняется.

№ 1132 1) 1 − tg 2α =

cos 2α cos 2 α

1 − tg 2α = 1 −

sin 2 α 2

cos α

. Преобразуем левую часть: =

cos 2 α − sin 2 α 2

cos α

=

cos 2α cos 2 α

, следовательно, тождест-

во выполняется; 2) 1 − ctg 2α = 1 − ctg 2α =

− cos 2α sin 2 α

. Преобразуем левую часть:

sin 2 α − cos 2 α sin 2 α

=−

cos 2α sin 2 α

, следовательно, тождество выпол-

няется.

№ 1133 ⎛π α⎞ ⎛π α⎞ 1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos⎜ + ⎟ ⋅ cos⎜ − ⎟ = ⎝6 2⎠ ⎝6 2⎠ π⎞ 1 ⎛1 = 4 cos α⎜ cos α + cos ⎟ = 2 cos 2 α + cos α = 1 + cos α + cos 2α , 2 3⎠ ⎝2 следовательно, тождество выполняется.

№ 1134 1)

1 − 2 sin 2 α 1 − tgα . Преобразуем левую часть: = 1 + sin 2α 1 + tgα

sin α 1− 1 − 2 sin 2 α cos 2 α − sin 2 α cos α − sin α cos α = 1 − tgα = = = 2 sin α 1 + sin 2α cos α + sin α 1 + tgα (cos α + sin α ) 1+ cos α

161


2)

1 4 sin 2 α cos 2 α

= 1+

(1 − tg α) 2

2

.

4tg 2α

1

Преобразуем левую часть:

2

2

4 sin α cos α Преобразуем правую часть, получим:

=

1 sin 2 2α

= 1 + ctg 2 2α .

(1 − tg α) ⋅ (1 − tg α ) = 1 + 2

2

1 1 ⋅ = 1 + ctg 2 2α , правая часть равна tg 2α tg 2α 2tgα 2tgα левой, следовательно, тождество верно. ⎛π ⎞ 1 + sin 2α . Преобразуем левую часть: 3) tg ⎜ + α ⎟ = cos 2α ⎝4 ⎠ 1+

( (

) )

π sin π ⋅ cos α + cos π ⋅ sin α cos α + sin α ⎞ sin 4 + α ⎛π 4 4 = . = tg ⎜ + α ⎟ = π π π cos α − sin α ⋅ sin α cos ⋅ cos α − sin ⎠ cos 4 + α ⎝4 4 4 Преобразуем правую часть: 1 + sin 2α cos α + sin α (sin α + cos α )2 = = . cos 2α (cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 1 − sin 2α ⎛π ⎞ = ctg 2 ⎜ + α ⎟ . 4) 1 + sin 2α ⎝4 ⎠

Преобразуем левую часть: Преобразим правую часть:

( (

1 − sin 2α (cos α − sin α )2 = . 1 + sin 2α (cos α + sin α )2

) ( ) (

) )

2 2π 2 +α cosπ ⋅ cosα − sin α ⋅ sin π ⎛π ⎞ cos 4 4 = (cosα − sinα) ctg2 ⎜ + α ⎟ = 2 4 = 2 ⎝4 ⎠ sin π + α (cosα + sinα)2 sin π ⋅ cosα + cos π ⋅ sin α 4 4 4 Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1135 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 1) 4 sin x ⋅ sin ⎜ − x ⎟ ⋅ sin ⎜ + x ⎟ = sin 3 x . Преобразуем левую часть: ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 1⎛ 2π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 4 sin x ⋅ sin ⎜ − x ⎟ ⋅ sin ⎜ + x ⎟ = 4 sin x ⋅ ⎜ cos 2 x − cos ⎟ = 2⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ π⎞ 2 ⎛ = 2 sin x ⋅ cos 2 x − 2 sin x ⋅ cos⎜ π − ⎟ = 2 sin x ⋅ cos 2 x + sin x = 3⎠ 2 ⎝ = 2sinх ⋅ cos2х + sinх = sinх(2cos2 + 1) = sinх(3cos2х - sin2х) = sin3х, следовательно, тождество выполняется; sin 24 x 2) cos 3 x cos 6 x cos12 x = 8 sin 3 x Умножим обе части тождества на 8sin3x и докажем равносильное тождество 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = sin24x (1)

162


Преобразуем левую часть: 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = = 4sin6x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = 2sin12x ⋅ cos12x = sin24x, следовательно, тождество (1), как и исходное, выполняется.

№ 1136 3 x − 16 x+6 x+3 , 3х–16+12=3х + 18 – 2х – 6, 2х = 16, х = 8; +1 = − 12 4 6 5 6(x − 8) 43 ⎞ ⎛ 2) (x − 7 ) − 3 x − = −⎜ x + ⎟ , 35(х–7)–63х–18(х–8)=-21х – 301, 3 7 3 ⎠ ⎝ 35х – 245 – 63х – 18х + 144 = -21х – 301, -25х = -200, х = 8.

1)

№ 1137 а(х – 3) + 8 = 13(х + 2). Если х = 0, то а(0 – 3) + 8 = 13(0 + 2); -3а + 8 = 0 + 26, -3а = 18, а = -6.

№ 1138 1 – b(x + 4) = 2(x – 8). Если х = 1, то 1 – b(1 + 4) = 2(1 – 8), 1 – 5b = -14, -5b = -15, b = 3.

№ 1139 1) х(х + 1) – (х + 2)(х + 3) + 9 = х(х + 4) – (х + 5)(х + 2), х2 + х – х2 – 3х – 2х – 6 + 9 = х2 + 4х – х2 – 2х – 5х – 10, -х = -13, х = 13; 2) 2(х+3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5), 2х2+2х+6х+6+8=2х2+10х+х+5,-3х=-9, х=3.

№ 1140 3 2 4 3 2 4 − = , − − =0, x + 3 x − 3 x 2 − 9 x + 3 x − 3 (x − 3)(x + 3) 3(x − 3) − 2(x + 3) − 4 x − 13 =0, =0. (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) Знаменатель дроби не равен 0, следовательно, х – 13 = 0, т.е. х = 13;

1)

5 2 11 3± 9−8 + = , х2 – 6х + 8 = 0, x1, 2 = = 3 ±1, x − 2 x − 4 x2 + 6x + 8 1 х1 = 2, х2 = 4, следовательно х = 2, х = 4 решениями не являются, т.к. обращают в 0 знаменатели дробей. 5 2 11 5 x − 20 + 2 x − 4 − 11 + − =0, =0, x − 2 x − 4 (x − 2)(x − 4) (x − 2)(x − 4)

2)

7 x − 35 ⎧7 x − 35 = 0 = 0 , что равносильно системе, ⎨ , х = 5. (x − 2)(x − 4) ⎩(x − 2)(x − 4) ≠ 0

№ 1141 1) (a – b)x = a2 + (a + b)x, ax – bx = a2 + ax + bx, -2bx = a2, x = − 2) a2x = a + b + b2x, x(a2 – b2) = a + b, x =

a+b a 2 − b2

, x=

a2 ; 2b

1 . a −b 163


№ 1142 1) х2 – 2х – 15 = 0, x1, 2 =

1 ± 1 + 15 = 1 ± 4 , х1 = 5, х2 = -3; 1

2) 3х2 + 4х – 4 = 0, x1, 2 =

− 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 2 = , x1 = , х2 = -2. 3 3 3

№ 1143 1) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 2 – 6) = 0, (х – 3)(х – 8) = 0, х = 3, х = 8; 11x 1 2) x 2 − + = 0 , 6х2 – 11х + 3 = 0, 6 2 x1, 2 =

11 ± 121 − 72 11 ± 7 3 1 = , x1 = , x2 = . 12 12 2 3

№ 1144 1)

x(x − 1) + x (x + 1) x x = 0 , что равносильно системе: + =0, x +1 x −1 x2 − 1

⎧⎪ x 2 − x + x 2 + x = 0 , х =0; ⎨ 2 ⎪⎩ x − 1 ≠ 0

2)

3x 2 2 x + 1 3 x 2 (3x + 1) − 2(3x − 1)(3x + 1) − (2 x + 1)(3 x − 1) , =0, −2 = (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1 3x + 1

9 x3 + 3x 2 − 18 x 2 + 2 − 6 x 2 + 2 x − 3 x + 1 = 0, (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 , что равносильно системе: (3x − 1)(3x + 1) ⎧9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 ⎧3 x 2 (3 x − 7 ) − (x + 3) = 0 ; ⎨ Решений нет. ⎨ ⎩(3 x − 1)(3x + 1) ≠ 0 ⎩(3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0

№ 1145 1)

3x − 1 7 7 x 2 − 28 18 3 x − 1 − 7 7 x 2 − 28 18 , , − = 2 + = 2 − 2− x x−2 x+2 2+ x x+2 x −4 x −4

3 x − 8 7 x 2 − 28 − 18(x + 2 ) 7 x 2 − 28 − 18 x − 36 (3x − 8)(x − 2 ) , − =0, = x +1 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 7 x 2 − 18 x − 64 − 3 x 2 + 6 x + 8 x − 16

x2 − 4

= 0 , что равносильно системе:

⎧4 x 2 − 4 x − 80 = 0 ⎧ x 2 − x − 20 = 0 ; ⎨ . ⎨ ⎩(x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 ⎩(x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0

164


Решим первое уравнение системы: х2 – х – 20 = 0, 1 ± 1 + 4 ⋅ 20 1 ± 9 = , х1 = 5, х2 = -4. 2 2 12 2 − x (x + 1)(x − 3) − 12 + (2 − x )(x + 3) x +1 − = 2) , =0, x + 3 x2 − 9 3 − x x2 − 9 x1, 2 =

⎧x2 − 3x + x − 3 − 12 + 2x + 6 − x2 − 3x = 0 ⎧−3 x − 9 = 0 ⎧ x = −3 , ⎨ . , ⎨ ⎨ ( )( ) x − 3 x + 3 ≠ 0 ( x )( x ) − 3 + 3 ≠ 0 ⎩ ⎩(x − 3)(x + 3) ≠ 0 ⎩ Ответ: решений нет

№ 1146 2

2

(

)

1 2 x − 1 2(x + 1) − x 2 − x + 1 − 2 x + 1 , =0, = 3 x +1 x +1 x3 + 1

x − x +1 ⎧⎪− x 2 + x + 2 = 0 ⎧ x = −1, x = 2 , ⎨ . ⎨ 2 ⎪⎩(x + 1) x 2 − x + 1 ≠ 0 ⎩(x + 1) x − x + 1 ≠ 0 Решением системы является х = 2.

(

)

(

)

№ 1147 1 =0. x При х ≠ 0 умножим обе части уравнения на х: х2 – 4х + 1 = 0,

1) x − 4 +

x1, 2 = 2)

2 ± 4 −1 = 2± 3 ; 1

⎧ 2 4 x2 10 4 x 2 − 10 + 4 x + 8 − +4=0, = 0 , ⎨4 x + 4 x − 2 = 0 x+2 x+2 x+2 ⎩x + 2 ≠ 0

⎧2 x 2 + 2 x − 1 = 0 −1± 1+ 2 −1 ± 3 = . , 2х2 + 2х – 1 = 0, x1, 2 = ⎨ x ≠ − 2 2 2 ⎩

№ 1148

1) х4 – 11х2 + 30 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: у2 – 11у + 30 = 0, y1,2 =

11 ± 121 − 120 11 ± 1 = , у1 = 6, у2 = 5, но у = х2, т.е. 2 2

х2 = 6, x = ± 6 ; х2 = 5, x = ± 5 . Ответ: x = ± 5 , x = ± 6 . 2) 2х4 – 5х2 + 2 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 – 5у + 2 = 0,

8 1 5 ± 25 − 16 5 ± 3 , y1 = = 2, y2 = , но у = х2, т.е. = 4 2 4 4 1 1 1 2 2 х = 2, x = ± 2 и x = , x = ± . Ответ: x = ± 2 , x = ± . 2 2 2 y1, 2 =

165


№ 1149

1) 2х-2 + 4х-1 + 3 = 0. Пусть х-1 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 + 4у + 3 = 0,

−2± 4−6 ; D < 0, корней нет; 2 2) (х2 – х)2 + 12 = 8(х2 – х) Пусть х2 – х = у, тогда уравнение примет вид: у2 +12=8у, у2 –8у+12 = 0, y1,2 =

4 ± 16 − 12 = 4 ± 2 , у1 = 6, у2 = 2, но у = х2 – х, т.е. 1 х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = -2 и х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Ответ: х1 = 3, х2/3 = ±2, х4 = -1. y1,2 =

№ 1150 a2 = 0 , x1, 2 4 − a ± 2b . = 2

1) x 2 + ax − b 2 + Ответ: x1, 2 2)

⎛ a 2 ⎞⎟ − a ± a 2 + 4⎜ b 2 − ⎜ 4 ⎟⎠ − a ± 2b ⎝ = = . 2 2

2 x(2 x + a ) − x(2 x − a ) − 5a 2 2x x 5a 2 =0, − = 2 , 2x − a 2x + a 4x − a2 4x2 − a2

4 x 2 + 2ax − 2 x 2 + ax − 5a 2 4 x2 − a2 2 x 2 + 3ax − 5a 2 4 x2 − a2

=0,

= 0 , что равносильно системе:

⎧2 x 2 + 3ax − 5a 2 = 0 , 2х2 + 3ах – 5а2 = 0, ⎨ ⎩(2 x − a )(2 x + a ) ≠ 0

x1, 2 =

− 3a ± 9a 2 + 40a 2 − 3a ± 7 a −5 = , х1 = а, x2 = a. 2 4 4

№ 1151

ах2 +bx + c. При а ≠ 0, a > 0, b2 = 4ac трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена.

№ 1152 ax2 + bx + a = 0, a ≠ 0, x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac , 2a

b 2 − b 2 + 4a 2 − b − b 2 − 4a 2 − b + b 2 − 4a 2 ⋅ = = 1, 2a 2a 4a 2 тельно, х1, х2 – взаимно обратные числа. x1 ⋅ x2 =

166

следова-


№ 1153

1) |2x – 3| = 7; а) если 2х – 3 ≥ 0, то 2х – 3 = 7, 2х = 10, х = 5; б) если 2х – 3 < 0, то 2х – 3 = -7, 2х = -4, х = -2. 2) |x + 6| = 2x; а) если х + 6 ≥ 0, то х + 6 = 2х, х = 6; б)если х + 6 < 0, то х + 6 = -2х, х = –2, но тогда х + 6 < 0 не выполняется Ответ: х = 6. 3) 2х – 7 = |x - 4|; а) если х – 4 ≥ 0, то 2х–7=х – 4, х = 3, но тогда х – 4 ≥ 0 не выполняется; 11 2 б) если х – 4 < 0, то 2х – 7 = -х + 4, 3х = 11, x = =3 . 3 3

№ 1154

1) |6 – 2x| = 3x + 1; а) если 6 – 2х ≥ 0, то 6 – 2х = 3х + 1, х = 1; б) если 6 – 2х < 0, то 2х – 6 = 3х + 1, х = -7, но тогда 6 – 2х < 0 не выполняется. 2) 2|x – 2| = |x| - 1 Рассмотрим уравнение на промежутках: 0

Ответ: х = 1.

2

а) x < 0, тогда 2(2 – х) = -х – 1, 4 – 2х = -х – 1, х = 5, но x < 0 ⇒ x = 5 не является решением; б) 0 ≤ х < 2, тогда 2(2 – х) = х – 1, 4 – 2х = х – 1, х =

5 ; 3

в) х ≥ 2, 2(х – 2) = х – 1, 2х – 4 = х – 1, х = 3. Ответ: х = 3, х = 1

2 . 3

№ 1155

|x2 – 3x – 6|=2x. Найдем корни трехчлена: х2 – 3х – 6 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–6) = 33, x1,2 =

3 ± 33 , 2

+

3 − 33 2

+ –

3 + 33 2

⎛ ⎞ 3 − 33 ⎤ ⎡ 3 + 33 ;+∞ ⎟ , 1) x ∈ ⎜ − ∞; ⎥U⎢ ⎜ ⎟ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎝ ⎠ тогда уравнение примет вид: х2 – 3х – 6 = 2х; х2 – 5х – 6 = 0, ⎛ ⎞ 3 − 33 ⎤ ⎡ 33 ;+∞ ⎟ ; х1 = 6, х2 = -1 ∈ ⎜ − ∞; ⎥ U ⎢3 + ⎜ ⎟ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎝ ⎠ 167


⎛ 3 − 33 3 + 33 ⎞ ⎟ , -х2+3х+6=2х, -х2+х+6=0, х2–х–6=0, х1=3, 2) x ∈ ⎜ ; ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 3 − 33 3 + 33 ⎞ ⎟ . Наименьший корень х = 3. ; х2=-2, − 2 ∈ ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

№ 1156

|x2 – 8x + 5| = 2x Найдем корни трехчлена: х2 – 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 x1, 2 = +

8 ± 44 = 4 ± 11 . 2 ⋅1 –

4−

(

4+

11 1

+

] [

11 1

)

1) x ∈ − ∞;4 − 11 U 4 + 11;+∞ , х2 – 8х + 5 = 2х, х2 – 10х + 5 = 0, x1, 2 =

5 ± 25 − 5 = 5 ± 20 ∈ Q ; 1

(

)

2) x ∈ 4 − 11;4 + 11 , -х2 + 8х – 5 = 2х, -х2 + 6х – 5 = 0, х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5.

№ 1157 2x + 7 = x + 2 ,

1)

⎧2 x + 7 = (x + 2 )2 ⎧2 x + 7 = x 2 + 4 x + 4 ⎧ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⎧ x1 = 1, x2 = −3 ; ⎨ ; ⎨ ;⎨ . ⎨ ⎩ x ≥ −2 ⎩ x ≥ −2 ⎩ x ≥ −2 ⎩x + 2 ≥ 0 Ответ: х = 1

2) x = 2 − 2 x − 5 ,

2x − 5 = 2 − x

⎡⎧ x = 3 ⎧2 x − 5 = (2 − x )2 ⎧2 x − 5 = 4 − 4 x + x 2 ⎧ x 2 − 6 x + 9 = 0 ⎢⎨⎩ x ≤ 2 ; ⎨ ; ⎨ ; ⎢ . ⎨ ⎢⎧ x = 3 ⎩x ≤ 2 ⎩x ≤ 2 ⎩2 − x ≥ 0 ⎨ ⎢⎣⎩ x ≤ 2 Ответ: корней нет.

№ 1158

1) 3х-7 = 81, 3х-7 = 34, х – 7 = 4, х = 11; 1

2

2

2) 2 x −5 x + 6,5 = 2 , 2 x −5 x + 6,5 = 2 2 , х2 – 5х + 6,5 = 0,5, х2 – 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3; x

(

⎛1 ⎞ 3) ⎜ ⋅ 4 x ⎟ = 22 x + 6 , 4−1 ⋅ 4 x ⎝4 ⎠

4x 168

2

−x

)

x

( )

= 22 x + 6 , 4 x −1

x

= 4 x +3 ,

= 4 x + 3 , х2 – х = х + 3, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3.


№ 1159

(

)

8 = 8 , 95х = 9, 5х = 1, х = 1/5; 9 2) 2х+4 – 2х = 120, 2х(16 – 1) = 120, 2х = 8, х = 3.

1) 95 x − 95 x −1 = 8 , 95 x 1 − 9−1 = 8 , 95 x ⋅

№ 1160

1) 52х+5 ⋅ 73х+1 = 351/2(5х+6), 52х+5 ⋅ 73х+1 = 52,5х+3 ⋅ 72,5х+3, 5 2, 5 x + 3 ⋅ 7 2, 5 x + 3 5

2 x +5

5

0, 5 x

7

0, 5 x

=

⋅7

3 x +1

= 1 , 50,5х-2 ⋅ 7-0,5х+2 = 1,

25 ⎛ 5 ⎞ , ⎜ ⎟ 49 ⎝ 7 ⎠

0, 5 x

50,5 x − 0,5 x ⋅7 ⋅ 49 = 1 , 25

2

⎛5⎞ = ⎜ ⎟ , 0,5х = 2, х = 4; ⎝7⎠ 6

2 2 2 ⎛1⎞ 2) 0,2 x ⋅ 52 x + 2 = ⎜ ⎟ , 5− x ⋅ 52 x + 2 = 5−6 , 5− x + 2 x + 2 = 5−6 , ⎝5⎠ -х2 + 2х + 2 = -6, -х2 + 2х + 8 = 0, х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, х2 = -2.

№ 1161

1) 2,43-2х = 2,43х-2, 3 – 2х = 3х – 2, 5 = 5х, х = 1;

( 3 ) = (3 5 )

2) 5

x−2

x

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ 8 ⎝ 16 ⎠

, х = -х + 2, 2х = 2, х = 1;

−x

⎛1⎞ 3) , ⎜ ⎟ ⎝8⎠ 3 = −4 x , x = − 3 . 2 8 1

1

2

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

−4 x

⎛1⎞ , ⎜ ⎟ ⎝2⎠

3

2

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

−4 x

,

№ 1162 x

x −1

2 ⎛⎜ 22 ⎞⎟ , 3 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 2х + 3 – 3х = 1, -х = -2, х = 2; ⎛ 4 ⎞ ⎛ 27 ⎞ 1) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝9⎠ ⎝ 8 ⎠

2)

3

=

x

⎛ 33 ⎞ ⋅⎜ 3 ⎟ ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠

x −1

2x

=

2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠

3− 3 x

=

2 , 3

3

2 x ⋅ 3x = 216 , 2х/3 ⋅ 3х/3 = 63, (6)х/3 = 63, х/3 = 3, х = 9.

№ 1163 ⎛ 25 + 5 + 1 ⎞ 1) 5х+1 + 5х + 5х-1 = 155, 5х(5 + 1 + 5-1) = 155, 5 x ⎜ ⎟ = 155 , 5 ⎝ ⎠ 5х = 25, 5х = 52, х = 2; 2) 32х – 2 ⋅ 32х-1 – 2 ⋅ 32х-2 = 1, 32х(1 – 2 ⋅ 3-1 – 2 ⋅ 3-2) = 1, ⎛ 32 − 2 ⋅ 3 − 2 ⎞ ⎟ = 1 , 32х = 9, 32х = 32, х = 1. 32 x ⎜ ⎟ ⎜ 9 ⎠ ⎝ х х-1 х 3) 7 – 7 = 6, 7 (1 – 7-1) = 6, 7х = 7, х = 1; 4) 3х+2 + 3х = 10, 3х(32 + 1) = 10, 3х = 1, х = 0.

169


№ 1164

1) 32х – 3х = 72, 32х – 3х = 34 – 32, 3х(3х – 1) = 32(32 – 1), х = 2; 2) 4х – 2х+1 = 48, 22х – 2х+1 = 48, 2х(2х – 21) = 23(23 – 21), х = 3.

№ 1165

1) (log2x)2 – 3log2x + 2 = 0. Пусть log2x = a, тогда уравнение примет вид: а2 – 3а + 2 = 0, а1 = 1, а2 = 2, т.е. log2x = 1, x = 2, log2x = 2, x = 4. Ответ: х = 2, х = 4 2) (log3x)2 + 5 = 2log3x3, (log3x)2 + 5 – 6log3x = 0, log3x = a, a2 + 5 – 6a = 0, a2 – 6a + 5 = 0, a1 = 1, a2 = 5, т.е. log3x = 1, x = 3, log3x = 5, log3x = log335, x = 35 = 243 Ответ: х = 3, х = 243.

№ 1166 2 2 = ln (x + 2 ) , ln2 – ln(x + 1) = ln(x + 2), ln − ln (x + 2 ) = 0 , x +1 x +1 ⎛ ⎞ 2 2 ⎟⎟ = ln1 , = 1 , 2 = х2 + 3х + 2, х2 + 3х = 0, ln⎜⎜ ( x )( x + 2) + 1 ( )( ) x x 1 2 + + ⎝ ⎠ х = 0, х = -3, при х = -3 ln(x + 2) не определен. Ответ: х = 0 ⎛ 3x + 6 ⎞ ⎟ = log3 3 , 3 x + 6 = 3 , 2) log3 3 x − 6 − log3 x − 3 = 1 , log3 ⎜ ⎜ x−3 ⎟ x−3 ⎠ ⎝ 3х – 6 = 32(х – 3), 3х – 6 = 9х – 27, 21 = 6х, х = 3,5.

1) ln

№ 1167 ⎛⎛ 1 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎞ ⎞ 1) lg⎜ + x ⎟ = lg − lg x , lg⎜ + x ⎟ = lg , lg⎜⎜ ⎜ + x ⎟2 x ⎟⎟ = lg1 , 2 2 2 x 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝⎝ 1 ⎛1 ⎞ ⎜ + x ⎟2 x = 1 , х + 2х2 = 1, 2х2 – х – 1 = 0, х1 = -1, x 2 = , 2 2 ⎝ ⎠ при х = -1 lg x не определен. 1 Ответ: x = 2 1 1 , lg x 2 + lg =0, 2) 2 lg x = − lg 2 6 − x2 6−x

⎧ x2 = lg1 ⎪lg 2 ⎪⎪ 6 − x ⎨x > 0 ⎪ 2 −1 >0 ⎪6− x ⎩⎪

(

170

)

⎧ x2 = 6 − x2 ⎪ 2 ⎪⎪ 6 − x ⎨x > 0 ⎪ 2 −1 >0 ⎪6− x ⎩⎪

(

)

⎧ 2 2 ⎪x = 6 − x x 0 > ⎨ ⎪ 2 −1 >0 ⎩6−x

(

)

⎧ ⎪x = ± 3 x= 3. ⎨x > 0 ⎪ 2 −1 >0 ⎩6−x

(

)


№ 1168

1) log2(2x – 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225, ⎧(2 x − 18)(x − 9 ) = 25 , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0, ⎨ ⎩2 x − 18 > 0 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0,

9 ± 81 − 65 ⎧ x = 13, x2 = 5 = 9±4, ⎨ 1 . Ответ: х = 13 1 ⎩x > 9 2 2 2) lg(x + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x + 19) : (x + 1)) = lg10, ⎧ x 2 + 19 ⎪ = 10 ⎧ x 2 + 19 = 10 x + 10 ⎧ x 2 − 10 x + 9 = 0 ⎧ x1 = 1, x2 = 9 ⎨ ⎨ ⎨ x +1 ⎨ x > −1 ⎩ ⎩ x > −1 ⎩ x > −1 ⎪x + 1 > 0 ⎩ Ответ: х = 1, х = 9. x1, 2 =

№ 1169 2

1) 5log 3 x − 6 ⋅ 5log 3 x + 5 = 0 . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a)2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3.

(

2) 25log 3 x − 4 ⋅ 5log 3 x +1 = 125 , 5log 3 x log 3 x

Пусть 5

a1 =

2 log 3 x

т.к. 5

) − 4⋅5⋅5 2

log 3 x

= 125 .

2

= a , тогда уравнение примет вид: а – 20а – 125 = 0,

10 ± 100 + 125 = 10 ± 15 , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, 1 ≠ −5 < 0 , 5log 3 x = 52 , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9.

№ 1170

1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: 1 logxxlgx=logx10, lg x = , lg2x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. lg x 2) xlog 3 x = 9 x . Прологарифмируем обе части уравнения по х: log x xlog 3 x = log x 9 x , log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, log3 x = 1 +

2 , log3 x

1 log32x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1, log3x = 2, x = 9. Ответ: x = , х = 9. 3 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx, xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: 2 10 (10у)у + 10 ⋅ (10у)-у – 11 = 0, 10 y + 2 − 11 = 0 . y

171


2

Пусть 10 y = z , тогда уравнение примет вид: z +

10 − 11 = 0 , при z ≠ 0, z

2

2

z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 10 y = 10 , у = ± 1 и 10 y = 1 , у = 0, тогда х = 10±1, х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1.

4) x

x

= xx .

Заметим, что х = 1 – решение, далее ⎛⎜ x ⎝

x

2

⎞ = x x ; x2 ⎟ ⎠

x

= x x , пусть

( ) ( )

y2

x = y , х = у2, и уравнение примет вид: y 2 y 2 = y 2 ; 2у = у2, 2 у – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4.

№ 1171 2

2

2 2 2 2 2 2 2 1) 7 ⋅ 4 x − 9 ⋅ 14 x + 2 ⋅ 49 x = 0 , 7 ⋅ ⎛⎜ 2 x ⎞⎟ − 9 ⋅ 2 x ⋅ 7 x + 2 ⋅ ⎛⎜ 7 x ⎞⎟ = 0 , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 2x2 7⎜ 2 ⎜ x ⎝7

⎞ ⎛ 2 x2 ⎞ ⎟ − 9⎜ ⎟+2 = 0. ⎟ ⎜ x2 ⎟ 7 ⎠ ⎠ ⎝

⎛2⎞ Пусть ⎜ ⎟ ⎝7⎠

a1 = 2

x2

= a , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0

2 9 ± 81 − 56 9 ± 5 , а1 = 1, a2 = , тогда = 7 14 14 x2

x2

2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ а) ⎜ ⎟ = 1 , т.е. х = 0; б) ⎜ ⎟ = , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1. 7 ⎝7⎠ ⎝7⎠ 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3, 545х + 3 ⋅ 43⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x, 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x, x

x

x

x

⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ 625 + 192 ⋅ ⎜ ⎟ = 256⎜ ⎟ + 100 ⋅ 5 , 64⎜ ⎟ = 125; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠

№ 1172

(

)

(

)

1) log 4 2 + x + 3 = 1 , log 4 2 + x + 3 = log 4 4 , ⎧2 + x + 3 = 4 ⎧ x + 3 = 4 ⎨ ⎨ x ≥ −3 , х = 1. ⎩ ⎩x + 3 ≥ 0

2) log 1

3

( )

⎧⎪ 2 x − 2x = 3 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 2 x > 0

172

( )

x 2 − 2 x = − 1 , log 1 x 2 − 2 x = log 1 1 2 3 3 3 2

−1

2

,

⎧ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⎧ x1 = −1; x2 = 3 х = -1, х = 3. ⎨ x(x − 2 ) > 0 ⎨ ⎩ ⎩ x(x − 2 ) > 0

−3

.


3)

1 log3 (x + 1) = log3 x + 4 − 2 log3 2 , 2

log3 (x + 1)

1

2

= log3 x + 4 − log3 2 , log3 (x + 1)

⎧ x+4 ⎪ x +1 = 2 ⎪ ⎨x + 1 > 0 ⎪x + 4 > 0 ⎪ ⎩

1

2

= log3

x+4 , 2

x ⎧ ⎪x + 1 = 4 + 1 ⎪ ⎧4 x + 4 − x − 4 = 0 ⎧ x = 0 ⎨ x > −1 ⎨ x > −1 ⎨ x > −1 х = 0 ⎩ ⎩ ⎪ x > −4 ⎪ ⎩

№ 1173

1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 , lg2x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. 1 + lg x = 1 + logx10, 1 + lg x = 1 + lg x 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 2 lg x = + 1 , lg2x = 2 + lg x, lg2x – lg x – 2 = 0; lg x 1 2) lg x = 2, x = 102 = 100. = 0,1 ; 10 3) log2(17 – 2x) + log2(2x + 15) = 8, ⎧log 2 17 − 2 x 2 x + 15 = log 2 28 ⎪⎪ x , (17 – 2x)(2x + 15) = 28, ⎨17 − 2 > 0 ⎪2 x + 15 > 0 ⎪⎩ 17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: ⎧x = 0 ⎪ 2 2 х а – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1) = 0, а = 1, т.е. 2 = 1, х = 0, ⎨17 − 2 x > 0 х = 0. ⎪2 x + 15 > 0 ⎩

1) lg x = -1, x = 10−1 =

(

)(

)

4) log2(3 + 2x) + log2(5 – 2x) = 4, ⎧log 2 3 + 2 x 5 − 2 x = 4 ⎪⎪ x , (3 + 2x)(5 – 2x) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, ⎨3 + 2 > 0 ⎪5 − 2 x > 0 ⎪⎩

(

)(

)

⎧x = 0 ⎪ -22x+2⋅2x–1=0, 22x–2⋅2x+1=0; (2x –1)2, 2x = 1; x = 0; ⎨3 + 2 x > 0 х = 0. ⎪5 − 2 x > 0 ⎩

173


№ 1174 Ответ: не могут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2–4(mn–k2)=m2+2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0.

№ 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, z 1 = 2

2) z2 – 2z + 3 = 0, z 1 = 2

− 2 ± 4 − 19 = −2 ± i 15 ; 1

1± 1− 3 = 1± i 2 . 1

№ 1176

1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0

2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2:

x1 ≈

3 , 2

x2 ≈ −1,8

3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3.

174


4) log 1 x = 4 x 2 2

Построим графики функций у = log½x и у = 4х2

x=

1 2

5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х, y = log½x

x≈

1 2

( 3)

6) 1

x

= log3 x

Построим графики функций x

⎛1⎞ y = ⎜ ⎟ и y = log3x ⎝3⎠ 3 x≈ 2

№ 1177 1) cos x = − cos x = −

1 [-π; 3π] 2

1 ⎛ 1⎞ , x = ± arccos⎜ − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z 2 ⎝ 2⎠

π⎞ ⎛ x = ±⎜ π − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , 3⎠ ⎝ 2 x = ± π + 2nπ, n ∈ Z , 3 2 2 4π 8π , n=0, x = π, x = − π n = 1, x = , x= 3 3 3 3 2 4 8π Ответ: x = ± π, x = π, x = 3 3 3

175


2) sin x = −

3 [-π; 3π] 2

⎛ 3 ⎞⎟ x = (− 1)n arcsin⎜ − + nπ, n ∈ Z ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ x = (− 1)n +1 arcsin

3 + nπ, n ∈ Z 2

π π + nπ, n ∈ Z , n = 0, x = − , 3 3 π 4 π 5 n = -1, x = + π = π , n = 2, x = − + 2π = π , 3 3 3 3 π 4 −2 5 Ответ: x = − , x = π, x = π, x = π . 3 3 3 3 x = (− 1)n +1

№ 1178 1 1 ; 2 x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , 2 2 π π nπ 2 x = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x = (− 1)n + , n∈Z ; 6 12 2

1) sin 2 x =

2) cos 3x =

⎛− 2⎞ − 2 ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , ; 3x = ± arccos⎜ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

π⎞ π 2 ⎛ 3x = ±⎜ π − ⎟ + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 4 3 4 ⎝ ⎠ 5 3) 2tg x + 5 = 0, tgx = − ; 2 5 ⎛ 5⎞ x = arctg ⎜ − ⎟ + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + nπ, n ∈ Z 2 2 ⎝ ⎠

№ 1179

1) 3cos2x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0, 5 ± 25 + 144 5 ± 13 8 = , а1 = 3, a2 = − , 6 6 6 а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, a1 = 2

2 ± 4 − 15 , 3 D < 0 ⇒ действительных корней нет. a1 = 2

176


№ 1180 1) (3 – 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, 3 ⎡ n 3 ⎡ sin x = ⎢ x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z ⎡3 − 4 sin x = 0 ⎢ 4 ; ⎢ ; ⎢⎣3 + 4 cos x = 0 ; ⎢ 3 ⎢cos x = − 3 ⎢ x = ± arccos⎛⎜ − ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z 4 ⎢⎣ ⎣⎢ ⎝ 4⎠ 3 ⎡ n ⎢ x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z . ⎢ ⎢ x = ± (π − arcsin 3 + 2lπ, l ∈ Z 4 ⎣⎢ 3 3 Ответ: x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , x = ± (π − arcsin + 2lπ, l ∈ Z . 4 4 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0, ⎡ x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z ⎡tgx +3 = 0 ⎡tgx = −3 ⎢ . ; ; ⎢⎣tgx + 1 = 0 ⎢⎣tgx = −1 ⎢ x = − π + lπ, l ∈ Z 4 ⎣ π Ответ: x = − + lπ, l ∈ Z ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. 4

№ 1181

1) sin2x=3sin x cos2x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0, ⎡ ⎡ ⎢ x = nπ, n ∈ Z ⎢sin x = 0 ⎢ ⎢cos x = 0 ; ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z . ⎢ ⎢ 2 ⎢cos x = − 2 ⎢ 2⎞ ⎛ ⎢⎣ ⎢ x = ±⎜ π - arccos ⎟ + 2mπ, m ∈ Z 3 3⎠ ⎝ ⎣⎢ Ответ: x = nπ, n ∈ Z;

x=

π + lπ, l ∈ Z ; 2

2⎞ ⎛ x = ±⎜ π − arccos ⎟ + 2mπ, m ∈ Z 3⎠ ⎝ 2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 2 x = 0 ⎡ 2 x = nπ, n ∈ Z ⎢x = 2 , n ∈ Z ⎢ 1; ⎢ 1 ⎢ π ⎢cos 2 x = ⎢ 2 x = ± arccos + 2lπ, l ∈ Z ⎢ x = ± + lπ, l ∈ Z 2 ⎣ 2 ⎣ 6 ⎣⎢ nπ π Ответ: x = , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3) cos2x + cos x = 0, cos2x – sin2x + cos2x = 0, 2cos2x – 1 + cos2x = 0, 3cos2x = 1, 177


1 ⎡ + 2nπ, n ∈ Z ⎢ x = ± arccos 3 1 cos x = ± , ⎢ . 3 ⎢ x = ±⎛⎜ π − arccos 1 ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z ⎢ ⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎣

Ответ: x = ± arccos

1 3

⎛ 1 ⎞ ⎟ + 2lπ, l ∈ Z + 2nπ, n ∈ Z , x = ±⎜⎜ π − arccos 3 ⎟⎠ ⎝

4) sin2x = cos2x, 2sin x ⋅ cos x – cos2x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, π π nπ ⎡ ⎡ ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z ⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z ⎡cos x = 0 ; ⎢ . ⎢⎣2 sin x − cos x = 0 ; ⎢ ⎢2 x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = (− 1)l π + lπ , l ∈ Z 6 12 2 ⎣⎢ ⎣⎢ π 1 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = arctg + lπ, l ∈ Z . 2 2

№ 1182

1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, π ⎡cos x = 0 ⎡ ⎢ ⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z . 3; ⎢sin x = ⎢x ∈ φ 2 ⎣ ⎣

π + nπ, n ∈ Z . 2 2) sin4x = cos4x – sin4x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2x – sin2x)(sin2x + cos2x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, π nπ π ⎡ ⎡ , n∈Z ⎡cos 2 x = 0 ⎢2 x = + πn, n ∈ Z x= + ⎢ 2 4 2 ⎢ ; ⎢ 1; ⎢ lπ ⎢sin 2 x = l π l π + , l∈Z 2 ⎢⎢2 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z ⎢⎢ x = (- 1) ⎣ 6 12 2 ⎣ ⎣ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = (− 1)l + , l∈Z . 4 2 12 2 2 2 3) 2cos x = 1 + 4sin2x, (2cos x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, cos 2 x = 4 ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. sin 2 x Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2x – sin2x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, π ⎡cos x − sin x = 0 ⎢⎣cos x + sin x = −2 ; x = 4 + nπ, n ∈ Z x ∈ φ π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z . 4

Ответ: x =

178


№ 1183 3 x 1) cos x + cos2x = 0, 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 π 3 ⎡ ⎡3 ⎢cos 2 x = 0 ⎢ 2 x = 2 + nπ, n ∈ Z ⎡ x = π + 2 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ ⎢x π ⎢ x = π3 + 23lπ, l ∈ Z ⎢cos x = 0 ⎢ = + lπ, l ∈ Z ⎣ 2 ⎣⎢ ⎣⎢ 2 2 π 2 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z ; x = π + 2lπ, l ∈ Z. 3 3 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, nπ ⎡ x= , n∈Z ⎡sin 3x = 0 ⎢ 3 . ⎢⎣sin 2 x = 0 ; ⎢ ⎢ x = lπ , l ∈ Z 2 ⎣⎢ nπ lπ Ответ: x = , x = , l∈Z . 3 2 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, nπ ⎡ , n∈Z ⎡sin 2 x = 0 ⎢ x = . 2 ⎢⎣cos x = 1 ⎢ ⎣ x = 2mπ, m ∈ Z nπ , n∈Z . 2 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 2 x = 0 ⎢x = 2 , n ∈ Z ⎢ 1; ⎢ ⎢cos x = − ⎢ x = ±⎛⎜ π − π ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z 2 ⎣ ⎢⎣ 3⎠ ⎝ πn 2 Ответ: x = ; x = ± π + 2πn, n ∈ Z . 3 2

Ответ: x =

№ 1184

1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. 2) sin x + 3 cos x = 0 , tgx = − 3 , π x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z , x = − + nπ, n ∈ Z . 3 π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 3

179


№ 1185

1) 4sin4x + sin22x = 2, 4sin4x+ 22sin2x ⋅ cos2x=2, 4sin2x(sin2x + cos2x) = 2, π ⎡ x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z 1 2 ⎢ 2 4 . ; ⎢ sin x = ; sin x = ± 2 2 ⎢ x = (− 1)n +1 π + nπ, n ∈ Z ⎢⎣ 4 l π Ответ: x = (− 1) + lπ, l ∈ Z . 4 5 4 x 4 x 2) sin + cos = , 3 3 8 x x x x x x 5 sin 4 + cos 4 + 2 sin 2 ⋅ cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 3 3 3 3 3 3 8 2

x⎞ x x 5 1 2x 5 ⎛ 2x + cos 2 ⎟ − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 1 − sin 2 = , ⎜ sin 2 3 3⎠ 3 3 8 3 8 ⎝ 2x 3 2x 3 =± , = , sin 3 4 3 2 2x π π 3πn = ± + πn, n ∈ Z , x = ± + , 3 3 2 2

sin 2

№ 1186 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 ,

1)

n∈Z .

3 (sin 2 x − 1) − cos 2 x = 0 ,

− 3 (cos x − sin x ) − cos 2 x = 0 , 2

3 (cos x − sin x )2 + (cos x − sin x )(cos x + sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )( 3 (cos x − sin x ) + cos x + sin x ) = 0 ,

π ⎡ ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎢ 3 cos x − 3 sin x + cos x + sin x = 0 ⎢ ⎣ ⎣⎢cos x 3 + 1 − sin x 3 − 1 = 0

(

π ⎡ ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z , tgx = ⎢ 3 + 1 − tgx 3 − 1 = 0 ⎣⎢

(

)

(

Ответ: x = arctg

)

3 +1 3 −1

)

(

)

⎡ 3 +1 3 + 1 ⎢ x = arctg 3 − 1 + nπ, n ∈ Z , ⎢ π 3 −1 ⎢ ⎢ x = + nπ, n ∈ Z 4 ⎣

+ nπ, n ∈ Z , x =

π + lπ, l ∈ Z . 4

x x x x x x 2) 6sinx+5cos x = 6, 12 sin cos + 5 cos 2 − 5 sin 2 = 6 cos 2 + 6 sin 2 , 2 2 2 2 2 2 x x x x x 12tg + 5 − 5tg 2 − 6 − 6tg 2 = 0 , 11tg 2 − 12tg + 1 = 0 , 2 2 2 2 2

180


6±5 D ⎛ x⎞ , = 36 − 11 = 25 , tg ⎜ ⎟ = 4 11 ⎝ 2 ⎠1, 2 π ⎡x π ⎡ ⎢ 2 = 4 + πn ⎢ x = 2 + 2πn ; k, n ∈ Z ⎢x ⎢ ⎢ = arctg 1 + πk ⎢ x = 2arctg 1 + 2πk ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 11 11 π 1 Ответ: x = + 2πn; x = 2arctg + 2πk ; k, n ∈ Z . 11 2 ⎡ x ⎢tg 2 = 1 ⎢ x 1 ⎢tg = ⎢⎣ 2 11

№ 1187

1) tg3x + tg2x – 2tg x – 2 = 0, tg2x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, π π ⎡ ⎡ ⎡tgx + 1 = 0 ⎢ x = − + nπ, n ∈ Z ⎢ x = − + nπ, n ∈ Z ; . 4 4 ⎢tg 2 x = 2 ; ⎢ ⎢ ⎣ ⎣⎢tgx = ± 2 ⎣⎢ x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z Ответ: x = −

π + nπ, n ∈ Z , 4

x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z .

sin x − sin x ; cos x ≠ 0, cos x 2 cos x – cos x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x, ⎡ x = 2nπ, n ∈ Z ⎡cos = 1 ; ⎢ (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0, ⎢ π ⎣sin x − cos x = 0 ⎢ x = + lπ, l ∈ Z 4 ⎣ π Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, x = + lπ, l ∈ Z . 4

2) 1 – cos x = tg x – sin x, 1 − cos x =

№ 1188

1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, π ⎡ ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = ±⎛⎜ π − π ⎞⎟ + 2lπ, l ∈ Z ⎢⎣ 3⎠ ⎝ π 2 Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . 4 3

2) 2 cos2x = 6 (cos x − sin x) , 2(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − 6 (cos x − sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )(2(cos x + sin x ) −

)

6 =0,

π ⎡ ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ x = 4 + nπ, n ∈ Z ⎡cos x − sin x = 0 ⎢ ⎢ 2(cos x + sin x ) = 6 ⎢cos x + sin x = 3 ⎢ 3 ⎢ ⎣ ⎢⎣ 2 ⎢cos x + sin x = 2 ⎣

181


cos x + sin x =

2 sin

π

3 2

⎛π ⎞ , sin ⎜ − x ⎟ + sin x = ⎝2 ⎠

π − 2x

⋅ cos 2

=

3 , cos 2

π − 2x 2

3 2

=

,

3 , 2

2 4 2 π π − x = ± + 2πl , l ∈ Z . 4 6 π π 5π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + 2πl , x = + 2πl , l ∈ Z . 4 12 12

№ 1189 cos 2 x ⎧sin 2 x ≠ 1 , = cos x + sin x , ⎨ 1 − sin 2 x ⎩cos 2 x = (cos x + sin x )(1 − sin 2 x ) ⎧sin 2 x ≠ 1 ⎨ 2 , ⎩cos 2 x = (cos x + sin x )(cos x − sin x ) (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, π nπ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z ; ; ⎢⎣1 − cos x + sin x = 0 ⎢ ⎣cos x − sin x = 1

⎡ π nπ , n∈Z ⎢x = + 4 2 ⎢ ⎢ ⎧cos x = 1 ; ⎢ ⎨⎩sin x = 0 ⎢ ⎢ ⎧⎨cos x = 0 ⎣⎢ ⎩sin x = −1 −π Ответ: x = + nπ, 4

№ 1190

⎧⎡ π nπ , n∈Z ⎪⎢ x = + 4 2 ⎪⎢ ⎪⎪⎢ x = 2lπ, l ∈ Z ⎨⎢ x = − π + 2mπ, m ∈ Z ⎪⎢⎣ 2 ⎪ π ⎪ x ≠ + πk , k ∈ Z 4 ⎩⎪ π n ∈ Z ; x = − + 2mπ, m ∈ Z ; x = 2πk, k ∈ Z. 2

1) sin3x + cos3x = 0, (sin x + cos x)(sin2x + sin x ⋅ cos x + cos2x) = 0 π ⎡ ⎡sin x + cos x = 0 ⎡tgx = −1 x = − + nπ, n ∈ Z 4 ⎢sin 2 x + sin x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 ⎢tg 2 x + tgx + 1 = 0 ⎢⎢ ⎣ ⎣ ⎣x = φ π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 4 2) 2sin2x + sin22x = 2, 2sin2x + 4sin2x(1 – sin2x) = 2, 2 2 sin x + 2sin x – 2sin4x – 1 = 0, 3sin2x – 2sin4x – 1 = 0, 2sin4x – 3sin2x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, a2 =

182

1 ; 2


π lπ 2 π , x = + , l∈Z . + 2πn, n ∈ Z ; 2) sin x = ± 2 2 4 2 π π lπ Ответ: x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = + , l ∈ Z . 2 4 2

1) sin x = ±1, x = ±

3) 8 sin x ⋅ cos 2 x cos x = 3 , 4 sin 2 x cos 2 x = 3 , 2 sin 4 x = 3 , 3 π π lπ ; 4 x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = (− 1)l + , l∈Z . 3 12 4 2 4) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x , π π nπ π nπ 4 x = + nπ, n ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: x = + , n∈Z . 4 16 4 16 4 sin 4 x =

№ 1191

1) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x,

2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x = Ответ: x =

π π πn + πn, n ∈ Z , x = + , n∈Z . 2 4 2

π nπ + , n∈Z . 4 2

№ 1192

1) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x, sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0, sin 2 x 2

cos x

a1 = 2

+

sin x − 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, cos x

−1± 1+ 4 −1± 5 = , 2 2

1)

tgx =

−1+ 5 −1+ 5 + nπ, n ∈ Z ; , x = arctg 2 2

2)

tgx =

−1− 5 1− 5 + lπ, l ∈ Z . , x = − arctg 2 2

−1 + 5 1− 5 + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + lπ, l ∈ Z ; 2 2 2) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет.

Ответ: x = arctg

№ 1193

1) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3, 4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0, sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0, 183


a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =

π + nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. 4

π + nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 4 2) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0, 2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0, Ответ: x =

a1 = 2

1± 3 1± 1+ 2 1± 3 1± 3 + nπ, n ∈ Z . = , tgx = , x = arctg 2 2 2 2

Ответ: x = arctg

1± 3 + nπ, n ∈ Z . 2

№ 1194

1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0, ⎡ x = nπ, n ∈ Z π lπ ⎡sin x = 0 ; ⎢ . Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ; π lπ ⎢⎣cos 4 x = 0 ⎢ x = + , l ∈ Z 8 4 8 4 ⎣ 2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 π nπ ⎡ ⎢x = 8 + 4 , n ∈ Z ⎡cos 4 x = 0 ⎢⎣cos 2 x = 0 ; ⎢ ⎢ x = π + lπ , l ∈ Z 4 2 ⎣⎢ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = + , l∈Z ; 8 4 4 2 ⎛π ⎞ 3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin ⎜ + 7 x ⎟ = 0 , ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 2 sin ⎜ + 5 x ⎟ ⋅ cos⎜ + 2 x ⎟ = 0 , 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛π ⎞ ⎢sin ⎜ + 5 x ⎟ = 0 ⎠ ⎢ ⎝4 ; ⎢ ⎛π ⎞ cos + 2 x 0 = ⎜ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ ⎝4

π nπ ⎡ ⎡π ⎢ x = − 20 + 5 , n ∈ Z ⎢ 4 + 5 x = nπ, n ∈ Z ; ⎢ ⎢π ⎢ + 2 x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = π + lπ , l ∈ Z ⎢⎣ 4 ⎢⎣ 2 8 2

π lπ + , l∈Z ; 8 2 ⎛π ⎞ 4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin ⎜ − 5 x ⎟ = 0 , ⎝2 ⎠

Ответ: x = −

π nπ + , n∈Z , 20 5

π⎞ ⎛π ⎞ ⎛ 2 sin ⎜ 3x − ⎟ ⋅ cos⎜ − 2 x ⎟ = 0 4⎠ ⎝ ⎝4 ⎠

184

x=


⎡ ⎛ π⎞ π nπ π ⎡ ⎡ x= + , n∈Z ⎢sin ⎜ 3 x − ⎟ = 0 ⎢3 x − = nπ, n ∈ Z ⎢ 4 ⎝ ⎠ 12 3 4 ⎢ ; ⎢ ; ⎢ π lπ π ⎢ ⎛π ⎞ ⎢ ⎢π ⎢cos⎜ 4 − 2 x ⎟ = 0 ⎣⎢ 4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z ⎣⎢ x = − 8 + 2 , l ∈ Z ⎠ ⎣ ⎝ π nπ π lπ Ответ: x = + , n∈Z , x = − + , l ∈Z . 12 3 8 2

№ 1195

1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,

nπ ⎡ ⎢x = 3 , n ∈ Z nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = ± + , l∈Z ; ⎢ π l π 3 6 2 ⎢x = ± + , l ∈ Z 6 2 ⎣⎢ 2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, ⎡sin 5 x = 0 nπ ⎢ , n∈Z . 3; x= ⎢sin 2 x = − 5 2 ⎣ ⎡sin 3 x = 0 ⎢ 1 ⎢cos 2 x = 2 ⎣

№ 1196 1 (sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) , 2 2 sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, nπ ⎡ x= , n∈Z nπ π lπ ⎡sin 2 x = 0 ⎢ 2 Ответ: x = ; , n∈Z , x = + , l∈Z ; ⎢ ⎢⎣cos 6 x = 0 π l π 2 12 6 ⎢x = + , l∈Z 12 6 ⎣⎢ 1 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, (− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) , 2 2 sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0,

1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,

⎡ x= ⎡sin 8 x = 0 ⎢ ⎢⎣cos 4 x = 0 ; ⎢ ⎢x = ⎢⎣

nπ , n∈Z nπ π lπ 8 Ответ: x = , n∈Z , x = + , l ∈Z . π lπ 8 8 4 + , l∈Z 8 4

№ 1197

1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx), ⎛ ⎛ π ⎞⎞ cosx + sinx = t 2 ⎜⎜ cos⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝

π⎞ t 4 5+3 ⎛ = 4 , cos⎜ x − ⎟ = = = 2 2 > 1 - нет решений, 2 4⎠ 2 2 ⎝ π⎞ t 1 5−3 ⎛ = , t2 = = 1 , cos⎜ x − ⎟ = 4⎠ 2 2 2 ⎝ t1 =

185


π π ⎡ ⎢ x − 4 = 4 + 2πn ⎡ x = π + 2πn, n ∈ Z ⎢ ; ⎢ 2 ⎢ x − π = − π + 2πn ⎢⎣ x = 2πn, n ∈ Z 4 4 ⎣⎢ 2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, 1 3 + cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 , 2 2 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0, ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 2 ⎜⎜ cos⎜ x + ⎟ ⎟⎟ = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝

(

)

π

t 1 ⎢ x + 4 = 4 + 2πn π⎞ −2 − 1 ⎛ , ⎢ =− t1 = = −1 , cos⎜ x + ⎟ = 3 4⎠ ⎝ 2 2 ⎢ x + π = − 3π + 2πn ⎢⎣ 4 4 π ⎡ ⎢ x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos⎛⎜ x + π ⎞⎟ = −1 , ⎢ x = -π + 2πn, n ∈ Z 3 3 4⎠ 3 2 ⎝ ⎣

x+

⎛ 1 ⎞ ⎛ π 1 ⎞ π ⎟ ⎟ + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos⎜ = ± arccos⎜⎜ − ⎟ ⎜ 3 3 ⎟ + 2πn, n ∈ Z . 4 4 ⎝ 3 2⎠ ⎠ ⎝ Ответ: x = x=−

π + 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z , 2

⎛ 1 ⎞ π ⎟ + 2πn, n ∈ Z . + ar cos⎜⎜ ⎟ 4 ⎝3 3 ⎠

№ 1198 5 x 5 3 x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5 ⎛ x 3 ⎞ 5 ⎛ x⎞ sin x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , sin x⎜ 2 cos x ⋅ cos ⎟ = 0 , 2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎝ 2⎠

1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin

2 ⎡ ⎢ x = 5 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ 2 ⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z ⎢ ⎣ 2 π Ответ: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 5 2 5 x 5 3 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5 ⎛ x 3 ⎞ 5 x cos x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎡ 5 ⎢sin 2 x = 0 ⎢cos x = 0 ; ⎢ ⎢cos x = 0 ⎢⎣ 2

186


π 2 ⎡ ⎢ x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z ⎢ ⎢ x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ 2 ⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z ⎢ ⎣ π 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z . 5 5 2 5 ⎡ ⎢cos 2 x = 0 ⎢cos x = 0 ; ⎢ ⎢cos x = 0 ⎢⎣ 2

№ 1199 sin 2 3 x

− 4 sin 2 3 x = 0 , cos3x ≠ 0, cos 2 3x sin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0, 4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0, nπ ⎡ ⎡sin 3 x = 0 ⎢x = 3 , n ∈ Z ⎢ ; ⎢ ⎢sin 3 x = ± 3 ⎢ l⎛ π ⎞ 2 ⎢3 x = (− 1) ⎜ ± 3 ⎟ + lπ, l ∈ Z ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎣ nπ π lπ π lπ Ответ: x = , n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z 3 9 3 9 3

1) tg23x – 4sin23x = 0,

2) sinxtgx = cosx + tgx,

sin x sin 2 x − cos 2 x − sin x sin 2 x = cos x + , =0, cos x cos x cos x

⎡sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0 ⎡ 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⎢cos x ≠ 0 ⎢cos x ≠ 0 ⎣ ⎣ ⎧⎡ π ⎧⎡sin x = 1 ⎪⎢ x = + 2πl , l ∈ Z 2 ⎪⎢ 1 ⎪⎢ π ⎪⎢sin x = − ⎪⎢ ( x = − 1)m +1 + mπ, m ∈ Z ⎨ ⎨⎣ 2 ⎢ 6 ⎣ ⎪ ⎪ π π ⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z ⎪ 2 ⎩ ⎪⎩ x ≠ 2 + nπ, n ∈ Z π Ответ: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z . 6

1 ⎞ cos x ⎛ cos x + 1 ⎞ cos 2 x + cos x ⎛ 3) ctgx⎜ ctgx + =1, ⎟ =1, ⎜ ⎟ = 1, sin x ⎠ sin x ⎝ sin x ⎠ sin 2 x ⎝ ⎧⎡cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0 ⎪⎢ 2 ⎨⎣⎢sin x ≠ 0 ⎪ 2 ⎩2 cos x + cos x − 1 = 0

⎡cos x = −1 ⎢ 1 ⎢cos x = + 2 ⎣

⎡ x = π + 2nπ , n ∈ Z π ⎢ ⎢⎣ x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z

187


⎧⎡ x = π + 2nπ, n ∈ Z π ⎪⎪⎢ ⎨⎢ x = ± + 2lπ, l ∈ Z 3 ⎪⎣ ⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z

4) 4ctg 2 x = 5 −

Ответ: x = ±

π + 2lπ, l ∈ Z . 3

9 4 cos 2 x 5 sin x − 9 ⎧4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0 , , ⎨ = sin x sin 2 x sin x ⎩sin x ≠ 0

⎧4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 ⎧9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0 , 9sin2x - 9sinx – 4 = 0, ⎨ ⎨ ⎩sin x ≠ 0 ⎩sin x ≠ 0

4 9 ± 81 + 144 9 ± 15 1 , sin x = , x ≠ φ, sin x = − , = 3 3 18 18 1 ⎧ 1 ⎪ x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z , ⎨ 3 3 ⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z 1 Ответ: x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z . 3 9a2–9a–4 = 0, a 1 = 2

№ 1200 1) tg2x = 3tgx

(

)

sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x , =0, = cos 2 x cos x cos 2 x − sin 2 x cos x

(

)

⎧⎪2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0 , ⎨ ⎪⎩cos x cos 2 x − sin 2 x ≠ 0 2

(

2

)

2

3

3

– sinxcos x + 3sin x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2x – 1) = 0 ⎧⎡ ⎪⎢ x = mπ, m ∈ Z ⎪⎢ ⎡ ⎪⎢ x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = mπ, m ∈ Z ⎪⎢ 6 ⎡sin x = 0 ⎢ ⎪⎪⎢ π l + 1π l ⎢ + lπ, l ∈ Z 1 ⎢ x = (− 1) + lπ, l ∈ Z ⎨⎢ x = (− 1) 6 ⎣ ⎢sin x = ± 6 ⎢ ⎪ 2 ⎣ ⎢ π l +1 π ⎪⎧ ⎢ x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z ⎪⎪⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z ⎣ 2 ⎪⎨ π kπ ⎪⎪ x ≠ + , k ∈ Z 4 2 ⎩⎪⎪⎩ Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l

2) ctg2x = 2ctgx, 188

π π + lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ; 6 6

cos 2 x 2 cos x cos 2 x 4 cos 2 x = , − =0 sin 2 x sin x 2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x


⎧cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0 ⎪ , cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0, ⎨⎧sin 2 x ≠ 0 ⎪⎨sin x ≠ 0 ⎩⎩ 1 . Ответ: решений нет. 2 π tgx − tg 4 =2, + π 1 + tgx ⋅ tg 4

3cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = − π tgx + tg π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 4 3) tg ⎜ x + ⎟ + tg ⎜ x − ⎟ = 2 , π 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 1 − tgxtg 4

tg + 1 tgx − 1 1 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x + −2 = 0, =0 1 − tgx 1 + tgx 1 − tg 2 x 2tg 2 x + 4tgx 1 − tg 2 x

⎧⎪2tg 2 x + 4tgx = 0 = 0, ⎨ , 2tg2x + 4tgx = 0, ⎪⎩1 − tg 2 x ≠ 0

⎧⎡ x = nπ, n ∈ Z ⎡tgx = 0 ⎪⎢ x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z ⎢⎣tgx = −2 ⎨⎣ ⎪1 − tg 2 x ≠ 0 ⎩ Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, sin(2 x + 1 − x − 1) sin x ⎧ x = πn, n ∈ Z = 0, = 0, ⎨ cos(2 x + 1)cos(x + 1) cos(2x + 1)cos(x + 1) ⎩cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0 Ответ: х = πn, n ∈ Z.

№ 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1:

x≈

1 2

2) sinx = 0,5x3 x ≈ ±1; x = 0

189


3) cos x = x y = cosx, y = x

x≈

1 2

4) cosx = x2 y = cosx, y = x2

x ≈ ±0,8

№ 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.

№ 1203 4 − 3x 5 − 2 x − < 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0, 8 12 -5x – 46 < 0, x > -46/5; 5x − 7 x + 2 2) − ≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 6 7 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5. 1)

№ 1204 1)

5x − 4 >0 7x + 5

⎧ x> ⎧5 x − 4 > 0 ⎪⎪ а) ⎨ ⎨ ⎩7 x + 5 > 0 ⎪ x > ⎩⎪ ⎧5 x − 4 < 0 б) ⎨ ⎩7 x + 5 < 0 Ответ:

190

4 5 x > 4/5 −5 7

4 4 ⎡ ⎧ ⎪⎪ x < 5 ⎢x > 5 x < -5/7 ⎢ ⎨ ⎢x < − 5 ⎪x < − 5 ⎪⎩ ⎢⎣ 7 7 5⎞ ⎛4 ⎛ ⎞ x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ ; 7⎠ ⎝5 ⎝ ⎠


2)

3 x + 10 >0 40 − x

10 ⎧ ⎛ 10 ⎞ ⎧3 x + 10 > 0 ⎪ x > − а) ⎨ ⎨ 3 x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ ⎩40 − x > 0 ⎪ x < 40 ⎝ 3 ⎠ ⎩ 10 ⎧ ⎧3 x + 10 < 0 ⎪ x < − б) ⎨ ⎨ 3 х∈φ ⎩40 − x < 0 ⎪ x > 40 ⎩

⎛ 10 ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ . ⎝ 3 ⎠ x+2 3) >0 5 − 4x ⎧ x > −2 ⎧x + 2 > 0 ⎪ а) ⎨ 5 ⎨ ⎩5 − 4 x > 0 ⎪ x < 4 ⎩

⎡ ⎛ 10 ⎞ ⎢ x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ . 3 ⎝ ⎠ ⎢ ⎣⎢ x ∈ φ

−2< x <

⎧ x < −2 ⎧x + 2 < 0 ⎪ б) ⎨ 5 х∈φ ⎨ ⎩5 − 4 x < 0 ⎪ x > 4 ⎩ 5 Ответ: − 2 < x < . 4 8− x 4) >0 6 + 3x

5 4

5 ⎡ ⎢− 2 < x < 4 ⎢x ∈ φ ⎣

⎧8 − x > 0 ⎧ x < 8 а) ⎨ -2 < x < 8 ⎨ ⎩6 + 3 x > 0 ⎩ x > −2 ⎧8 − x < 0 ⎧ x > 8 б) ⎨ х∈φ ⎨ ⎩6 + 3x < 0 ⎩ x < −2 Ответ: -2 < x < 8.

№ 1205 1)

3 − 2x <0 3x − 2

3 ⎧ ⎪⎪ x > 2 3 ⎧3 − 2 x > 0 ; x > ; б) ⎨ ⎨ 2 2 ⎩3 x − 2 > 0 ⎪x > ⎪⎩ 3 2⎞ ⎛3 ⎛ ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ . 3⎠ ⎝2 ⎝ ⎠

⎧3 − 2 x < 0 а) ⎨ ⎩3 x − 2 < 0

⎧ ⎪⎪ x < ⎨ ⎪x < ⎪⎩

3 2; x< 2 2 3 3

191


5 ⎧ x> 10 − 4 x ⎧10 − 4 x < 0 ⎪⎪ 2 ; x> 5 2) < 0 ; а) ⎨ ⎨ 9x + 2 2 ⎩9 x + 2 < 0 ⎪ x > − 2 ⎪⎩ 9 5 5 ⎧ ⎡ x< x> ⎢ 2 ⎧10 − 4 x > 0 ⎪⎪ 2 ; x<− 2 б) ⎨ ⎢ ⎨ 9 ⎢x < − 2 ⎩9 x + 2 > 0 ⎪ x < − 2 ⎪⎩ 9 9 ⎣⎢

2⎞ ⎛5 ⎛ ⎞ Ответ: x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ . 9⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ 18 − 7 x 18 − 7 x <0; >0 3) − 4x2 − 1 4x2 + 1 18 18 18 – 7x > 0; x < (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: x < . 7 7

№ 1206 1)

5x + 4 5 x + 4 − 4( x − 3) x + 16 < 4; <0; <0; x−3 x−3 x −3

⎧ x + 16 > 0 ⎧ x + 16 < 0 ⎧ x > −16 ⎧ x < −16 или ⎨ ; -16 < x < 3; ⎨ x − 3 < 0 или ⎨ x − 3 > 0 ; ⎨ x < 3 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩x > 3 2 2 − 1(x − 4) 6− x 2) <1; <0; <0; x−4 x−4 x−4 ⎧6 − x < 0 ⎧6 − x > 0 ⎧ x > 6 ⎧x < 6 ⎨ x − 4 > 0 или ⎨ x − 4 < 0 ; ⎨ x > 4 или ⎨ x < 4 x > 6 или x < 4; ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ −4 x − 10 2 2 − 4( x + 3) ≤0, 3) ≤ 4, ≤0, x+3 x+3 x+3

⎧− 4 x − 10 ≤ 0 или ⎧− 4 x − 10 ≥ 0 ; ⎧ x ≥ −2,5 или ⎧ x ≤ −2,5 ⎨ x > −3 ⎨ x < −3 ⎨x + 3 > 0 ⎨x + 3 < 0 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ x ≥ -2,5 или x < -3.

№ 1207 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ 1) 8х2 – 2х – 1 < 0, ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ < 0 , − < x < 4 ⎠⎝ 2⎠ 4 2 ⎝ +

+

1 4

2) 5x2 + 7x ≤ 0,

1 2

+

7 − ≤x≤0. 5

192

+

7 5

0


№ 1208 1)

⎧ (x − 3)(x + 3) < 0 (x − 3)(x + 3) ⎪ < 0 равносильно <0 , ⎨ (x − 2 )(x + 2 ) (x − 2)(x + 2) x2 − 4 ⎪⎩ x ≠ ±2 x2 − 9

+

+

-3

+

-2

2

3

x ∈ (−3;−2) U (2;3) ; 2) (2х2 + 3)(х + 4)3 > 0, 2x2 + 3 > 0 при любых х; (x + 4)3 > 0 равносильно x + 4 > 0; x > -4.

№ 1209

(

)

⎧⎪(3 x − 15) x 2 + 5 x − 14 ≥ 0 ≥0, ⎨ 2 , ⎪⎩ x + 5 x − 14 ≠ 0 x 2 + 5 x − 14 (3х – 15)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, (х – 5)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, 3 x − 15

1)

+

+

-7

2

x ∈ (−7;2 ) U [5;+∞ ) ; 2)

x −1 <0, x + 4x + 2 2

(

+ −2− 2

(

)

(x − 1)(x − (2 +

−2+ 2

) (

))(

)

2 x+2− 2 < 0,

+

)

x ∈ − ∞;−2 − 2 U − 2 + 2 ;1

1

(

)(

)

⎧⎪ x 2 + 2 x − 8 x 2 − 2 x − 3 > 0 x + 2x − 8 > 0 равносильно ⎨ 2 2 ⎪⎩ x − 2 x − 3 ≠ 0 x − 2x − 3 2

3)

5

⎧⎪(x − 1) x 2 + 4 x + 2 < 0 , ⎨ 2 ⎪⎩ x + 4 x + 2 ≠ 0

(х – 1)(х2 + 4х + 2) < 0,

(x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0 + + –

-4 -1 x ∈ (−∞;−4 ) U (−1;2 ) U (3;+∞ ) .

+ 2

3

№ 1210

lg(x2 + 8x + 15). Выражение не имеет смысла при x2 + 8x + 15 ≤ 0, x2 + 8x + 15 ≤ 0, (x + 3)(x + 5) ≤ 0

+

+

-5 Ответ: -5 ≤ х ≤ -3.

-3

x ∈ [-5; -3]. 193


№ 1211 (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0. Т.к. квадратное уравнение имеет два действительных корня, когда 2 2 ⎧ ⎧ 2 D>0 и а≠0, то ⎨(m + 1) − (m − 1)(m − 3) > 0 ⎨m + 2m + 1 − m + 4m − 3 > 0 ⎩m ≠ 1 ⎩m − 1 ≠ 0 1 ⎧6m − 2 > 0 m > , следовательно, m =2 – наименьшее целое число, при ⎨m ≠ 0 3 ⎩ котором уравнение имеет 2 действительных корня.

№ 1212

(m – 7)x2 + 2(m – 7)x + 3 = 0, D < 0, a ≠ 0 ⎧(m − 7 )2 − 3(m − 7 ) < 0 ⎧m 2 − 14m + 49 − 3m + 21 < 0 ⎨ ⎨ ⎩m ≠ 7 ⎩m − 7 ≠ 0 ⎧m 2 − 17 + 70 < 0 ⎧(m − 7 )(m − 10) < 0 (m – 7)(m – 10) < 0 ⎨m ≠ 7 ⎨ ⎩ ⎩m ≠ 7 +

+ 7

10

m ∈ (7; 10).

Ответ: при m = 8, m = 9.

№ 1213 1 2 x +3 ⎛1 ⎞ 2 < 0 , ⎜ x 2 + 3 ⎟(x 2 − 9 x + 14 ) < 0 . 2 x 2 − 9 x + 14 ⎝ ⎠ Выражение принимает отрицательное значение, когда x2 – 9x + 14 < 0, т.к.

x2 + 3 > 0 при любых х 2

х2 – 9х + 14 < 0, (x – 7)(x – 2) < 0 + +

– 2 7 x ∈ (2; 7), следовательно, наибольшее целое х = 6. Ответ: х = 6

№ 1214 x2 − x − 6

x2 − x − 6

< 0 , x2 + 7 > 0 при любых х, а 2 x + 7 −7− x х2 – х – 6 < 0 при х ∈ (-2; 3), следовательно, наименьшее целое, х = -1. 2

>0,

№ 1215 1) |2x – 3| < x, 2x – 3 < x или 3 – 2x < x, 2x – x < 3, x < 3 или –2x –x < -3, -3x < -3; x > 1. Ответ: 1 < x < 3 2) |4 – x| > x, 4 – x > x или x – 4> x; x < –2 или x ∈ φ. Ответ: x < –2. 194


3) |x2 – 7x + 12| ≤ 6, x2 – 7x + 12 ≤ 6 или –x2 + 7x – 12 ≤ 6; а) x2 – 7x + 6 ≤ 0, x1 = 6 и х2 = 1, 1 ≤ x ≤ 6;

+

+

1

6

б) х2 – 7х + 18 ≥ 0, х2 – 7х + 18 = 0, D < 0, следовательно, неравенство справедливо при всех х. Ответ: 1 ≤ х ≤ 6. 4) |x2 – 3x – 4| > 6, x2 – 3x – 4 > 6 или –x2 + 3x + 4 > 6; а) х2 – 3х – 10 > 0, x1 = 5 и x2 = -2, x < -2, x > 5;

+

+

-2

2

5

б) -x + 3x – 2 > 0, x2 – 3x + 2 > 0, x1 = 2 и х2 = 1, 1 < x < 2;

+

+

1

2

Ответ: x < -2, 1 < x < 2, x > 5; 5) |2x2 – x – 1| ≥ 5, 2x2 – x – 1 ≥ 5 или -2х2 + х + 1 ≥ 5 а) 2х2 – х – 6 ≥ 0, x1 = −

3 и х2 = 2. 2 +

+

3 2

2

3 , х ≥ 2. 2 б) -2х2 + х – 4 ≥ 0, 2х2 – х + 4 ≤ 0, D < 0 – корней нет. Следовательно, x ≤ −

Ответ: x ≤ −

3 ,х≥2 2

6) |3x2 – x – 4| < 2, 3x2 – x – 4 < 2 или –3x2 + x + 4 < 2, а) 3х2 – х – 6 < 0 , x1 =

1 − 73 1 + 73 ; , x= 6 6 +

+ 1−

73

1+

6

73 6

б) -3х2 + х + 2 < 0, 3x2 – x – 2 > 0, x1 = − +

2 , x2 = 1, 3

+ −

2 3

1

195


2 < x , x > 1, но |3x2 – x – 4| = -3x2 + x + 4 при –1 < x < 4/3 3

Ответ:

1 − 73 2 1 + 73 < x < − , 1< x < . 6 6 3

(Опечатка в ответе задачника)

№ 1216 1) 2,51-x > 2,5-3x, 1 – x > -3x, x > −

1 ; 2

2) 0,13x-4 ≥ 0,152-x, x – 4 ≤ 2 – x, 2x ≤ 6, x ≤ 3; ⎛4⎞ 3) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2x

⎛3⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠

x −1

⎛3⎞ , ⎜ ⎟ ⎝4⎠

−2 x

⎛3⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠

x −1

, -2x ≥ x – 1, x ≤

1

4) 3−4 x > 3 , 3 −4 x > 3 2 , -4x > ½, x < −

1 ; 3

1 . 8

№ 1217 1) 2 − x + 5 < ⎛1⎞ 2) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x −2

1 -х+5 -2 , 2 < 2 , -x + 5 < -2, x > 7; 4 x−2

1 ⎛1⎞ > , ⎜ ⎟ 27 ⎝ 3 ⎠

3

⎛1⎞ > ⎜ ⎟ , |x – 2| < 3 ⇔ ⎝3⎠

⎡⎧ x − 2 ≥ 0 ⎢⎨ x < 5 ⎢⎩ x ∈ (-1; 5). ⎢⎧ x − 2 < 0 ⎨ ⎢⎣⎩ x > −1

№ 1218 2

2

1) 5 x + 3 x +1,5 < 5 5 , 5 x + 3 x +1,5 < 5 x2 + 3x < 0, x(x + 3) < 0 + + –

-3

2) 0,2

2

x −6 x + 7

0

≥ 1 , 0,2

x 2 −6 x + 7

3

2

, x2 + 3x + 1,5 < 3/2,

-3 < x < 0.

[

]

≥ 0,20 , x2–6x+7 ≤ 0, x ∈ 3 − 2 ;3 + 2 .

№ 1219 1) 3x +19

x− 1

2

≥ 3 3 , 3x +1 ⋅ 32 x −1 ≥ 3

1

3

, 33 x ≥ 3

2) 3x+1 + 3x-1 < 10, 3x(3 + 3-1) < 10, 3 x ⋅

1

3

, 3х ≥ 1/3, x ≥

1 ; 9

10 < 10 , 3x < 3, x < 1. 3

№ 1220 2

x

1) 22 x − 4 x −1 + 8 3 ⋅ 2− 4 > 52 , 22x – 22x-2 + 22x-4 > 52, 22x-4(24–22 + 1) > 52, 22x-4 ⋅ 13 > 52, 22x-4 > 4, 22x-4 > 22, 2x – 4 > 2, 2x > 6, x > 3;

196


2) 2x+2 – 2x+3 + 5x-2 > 5x+1 + 2x+4, 2x+2 – 2x+3 – 2x+4 > 5x+1 – 5x-2, 1 1 ⎞ ⎛ ⋅ 5x, 2 x (4 − 8 − 16 ) > 5 x ⎜ 5 − ⎟ , 4 ⋅ 2x – 8 ⋅ 2x – 16 ⋅ 2x > 5 ⋅ 5x 25 25 ⎝ ⎠ 2 x (− 20 ) > 5 x ⋅ 4

x

124 24 ⎛ 2 ⎞ , ⎜ ⎟ <− , 25 ⋅ 20 25 ⎝ 5 ⎠

x

x

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ < −0,248 — решений нет, т.к., ⎜ ⎟ > 0 для всех х. ⎝5⎠ ⎝5⎠

№ 1221 1) 3,3x

2

+6x

+

< 1 , 3,3x –

2

+6x

–6

< 3,30 , т.е. х2 + 6х < 0, x(x + 6) < 0 +

0

x −x 2

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ > , ⎜ ⎟ 2) ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝4⎠ x ∈ R, т.к. D < 0;

-6 < x < 0;

2 x−2 x2

>

1 , т.е. 2х – 2х2 < 1, 2x2 – 2x + 1 > 0, 2

x −3

x −3

x−3 <0, x 2 + 6 x + 11 x2 + 6x + 11 > 0 при любых х, т.к. D < 0, x – 3 < 0, x < 3. Ответ: x < 3.

3) 8,4 x

2

+ 6 x +11

< 1 , 8,4 x

⎛1⎞ ⎝2⎠

4) 22 x +1 − 21 ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⋅ 22 x −

2

+ 6 x +11

< 8,40 ,

2 x +3

+ 2 ≥ 0 , 22x ⋅ 2 – 21 ⋅ 2-2x-3 + 2 ≥ 0,

1 21 − 2 x 21 +2≥0 , ⋅2 + 2 ≥ 0 , 22x = a, 2− 2 x = , a > 0, 2a − 8 8a a

16a 2 + 16a − 21 ≥ 0 равносильно (16a2 + 16a – 21)8a ≥ 0. 8a Найдем корни трехчлена 16a2 + 16a – 21, 3 7 − 8 ± 64 + 336 − 8 ± 20 , a1 = , a2 = − , = 4 4 16 16 3 ⎞⎛ 7⎞ ⎛ ⎜ a − ⎟⎜ a + ⎟a ≥ 0 , 4 ⎠⎝ 4⎠ ⎝ a1, 2 =

+ –

7 4

+

0

3 4

⎡ 7 ⎤ ⎡3 ⎞ ⎡3 ⎞ a ∈ ⎢ − ;0⎥ U ⎢ ;+∞ ⎟ т.к. а > 0, то решением является a ∈ ⎢ ; + ∞ ⎟ ⎣ 4 ⎦ ⎣4 ⎠ ⎣4 ⎠ 197


3 1 3 ; x ≥ log 2 . 4 2 4

2 2x ≥

⎛1⎞ 5) 34 −3 x − 35⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2−3 x

+ 6 ≥ 0 , 34 ⋅ 3-3x – 35 ⋅ 33x-2 + 6 ≥ 0, 33x = a, a > 0,

34 35 81 ⋅ 9 − 35a 2 + 54a 81 35 − ⋅a + 6 ≥ 0 , ≥ 0, − a+6≥ 0 , a 9 9a a 9

(-35a2 + 54a + 729)a ≥ 0, (35a2 – 54a – 729)a ≤ 0, (a − 5,4)⎛⎜ a + 27 ⎞⎟a ≤ 0 , 7 ⎠ ⎝

+

+ –

0

27 − 7

5,4

т.к. a > 0, то решением является 0 < a ≤ 5,4, 33x ≤ 5,4, 1 33 x ≤ 3log 3 5, 4 , 3x ≤ log35,4, x ≤ 1 − log3 5 . 3

№ 1222 1) 3

log 2

x −1 x+2

<

1 x −1 1 x −1 , log 2 < −2 , log 2 < log 2 x+2 9 x+2 4

⎧ x − 1 1 ⎧ 4(x − 1) − (x + 2 ) < 0 ⎪ x + 2 < 4 ⎪⎪ 4( x + 2 ) ⎨ ��� x −1 x −1 ⎪ ⎪ >0 >0 ⎪⎩ x + 2 ⎩x+2

–2 2) 5 log

2

(x

2

− 4 x + 3, 5

1 )

>

2

2

− 4 x + 3, 5

)

> 5 −1 , log 2 (x 2 − 4 x + 3,5) > log 2

1 , 2

⎧⎪ x 2 − 4 x + 3 > 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 4 x + 3,5 > 0

⎧(x − 1)(x − 3) > 0 ⎪⎛ ⎞ ⎨⎜ x − ⎛⎜ 2 + 1 ⎞⎟⎛⎜ x − ⎛⎜ 2 − 1 ⎞⎟ ⎞⎟ ⎟ > 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎩⎝

x ∈ (-∞;1) U (3;+∞).

198

⎧ 3(x − 2) <0 ⎪⎪ 4(x + 2 ) ⎨ ⎪ x −1 > 0 ⎪⎩ x + 2

2

1 log ( x , 5 5

1 ⎧ 2 ⎪ x − 4 x + 3,5 > 2 ⎨ ⎪ x 2 − 4 x + 3,5 > 0 ⎩

⎧ 3x − 6 <0 ⎪⎪ 4(x + 2 ) ⎨ ⎪ x −1 > 0 ⎪⎩ x + 2

⎧ x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ ) ⎪ ⎨ x ∈ ⎛⎜ − ∞;2 − 1 ⎞⎟ U ⎛⎜ 2 + 1 ;+∞ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎩


№ 1223 1) log6(2 – x) < log6(2x + 5) ⎧ ⎧2 − x < 2 x + 5 ⎪ x > −1 ⎪ ⎪ ; ⎨x < 2 x ∈ (-1; 2); ⎨2 − x > 0 ⎪ ⎪⎩2 x + 5 > 0 5 ⎪x > − 2 ⎩

(

)

(

)

2) log 1 x 2 − 2 ≥ −1 , log 1 x 2 − 2 ≥ log 1 3 , 3

⎧⎪ x 2 − 2 ≤ 3 ; ⎨ 2 ⎪⎩ x − 2 > 0

[

x ∈ − 5 ;−

( )( ( )( 2 )U ( 2 ; 5 ] .

3

3

) )

⎧⎪ x − 5 x + 5 ≤ 0 ⎨ ⎪⎩ x − 2 x + 2 > 0

[ (

] ) ( 2 ;+∞)

⎧⎪ x ∈ − 5 ; 5 ⎨ ⎪⎩ x ∈ − ∞;− 2 U

№ 1224 1)

lg x <

⎧lg x ≥ 0 1 ⎪ , ⎨ 1; 2 ⎪lg x < 4 ⎩

⎧⎪ x ≥ 1 ⎧⎪ x ≥ 1 1 ⎞ ⎡ x ∈ ⎢1;10 4 ⎟⎟ 1 ; ⎨ 1 ⎨ 4 4 ⎪⎩lg x < lg 10 ⎪⎩ x < 10 ⎣ ⎠

2) log1/2x < log1/2(2x + 6) + 2, log 1 x < log 1 2

⎧x > 0 ⎪ ⎨2 x + 6 > 0 ⎪⎩4 x > 2 x + 6

2

1 (2 x + 6) , 4

⎧x > 0 ⎪ ⎨ x > −3 x ∈ (3; +∞). ⎪⎩ x > 3

№ 1225 1) log0,5(1 + 2x) > -1, log0,5(1 + 2x) > log0,52 1 ⎧ x>− ⎧1 + 2 x > 0 ⎪⎪ 2 x ∈ ⎛⎜ − 1 ; 1 ⎞⎟ ; ⎨1 + 2 x < 2 ⎨ 1 ⎩ ⎝ 2 2⎠ ⎪x < 2 ⎩⎪ 2) log3(1 – 2x) < -1, log3(1 – 2x) < log3 ⎧1 − 2 x > 0 ⎪ ⎨1 − 2 x < 1 ⎪⎩ 3

⎧ ⎪⎪ x < ⎨ ⎪x > ⎪⎩

1 , 3

1 2 x ∈ ⎛⎜ 1 ; 1 ⎞⎟ . 1 ⎝3 2⎠ 3

№ 1226

1) log0,5(x2 – 5x + 6) > -1 ⎪⎧ x 2 − 5 x + 6 > 0 ⎧(x − 3)(x − 2 ) > 0 ⎧ x ∈ (− ∞;2 ) U (3;+∞ ) ⎨ 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 5 x + 6 < 2 ⎩(x − 1)(x − 4 ) < 0 ⎩ x ∈ (1;4 )

x ∈ (1; 2) U (3; 4); 199


2) log8(x2 – 4x + 3) ≤ 1 ⎧⎪ x 2 − 4 x + 3 > 0 ⎧(x − 1)(x − 3) > 0 ⎧ x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ ) ⎨ 2 ⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 4 x + 3 ≤ 8 ⎩(x + 1)(x − 5) ≤ 0 ⎩ x ∈ [− 1;5] x ∈ [−1;1) U (3;5] .

№ 1227 ⎛ 3x + 1 ⎞⎟ 1) log 1 ⎜ log 1 ≤0 ⎜ x −1 ⎟ 2⎝ 2 ⎠

⎧x + 1 3 >0 ⎪ ⎪ x −1 ⎪ 3x + 1 <1 ⎨ ⎪ 3xx−+11 1 ⎪ ≤ ⎪ x −1 2 ⎩

⎧ 3x + 1 ⎪ x −1 > 0 ⎪ 3x + 1 ⎪ >0 ⎨log 1 2 x −1 ⎪ ⎪log 3 x + 1 ≥ 0 ⎪⎩ 1 2 x − 1

(

⎧ 1⎞ ⎪ ⎛ ⎪ x ∈ ⎜ − ∞;− 3 ⎟ U (1;+∞ ) ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ x +1 <0 ⎨ ⎪ x −1 ⎪x+ 3 ⎪ 5 ⎪ x 1 ≤0 ⎩ −

( (

)

⎧ ⎪ x ∈ − ∞;− 1 3 U (1;+∞ ) ⎪⎪ 3x + 1 − x + 1 <0 ⎨ x −1 ⎪ ⎪ 6x + 2 − x + 1 ≤ 0 ⎪⎩ x −1

–1 –3/5

–1/3

1

⎡ 3 1⎞ ;− ⎟ ⎣ 5 3⎠

Ответ: x ∈ ⎢−

))

2) log 1 log 4 x 2 − 5 > 0 3

(

)(

)

⎧ x2 − 5 > 0 ⎧ x− 5 x+ 5 >0 ⎪ ⎪ 2 2 ⎨log 4 x − 5 > 0 ⎨ x − 5 > 1 ⎪log x 2 − 5 > 1 ⎪ x 2 − 5 < 4 ⎪⎩ 4 ⎪⎩

( (

) )

–3

(

6

5

) ( 6 ;3).

5

( (

) ( 5;+∞) ) ( 6 ;+∞)

⎧ x ∈ − ∞;− 5 U ⎪ ⎨ x ∈ − ∞;− 6 U ⎪ x ∈ (− 3;3) ⎪⎩

6

3

Ответ: x ∈ − 3;− 6 U

№ 1228

1) (x2 – 4)log0,5x > 0, x > 0 по определению логарифма ⎧(x − 2 )(x + 2) > 0 ⎧(x − 2)(x + 2 ) < 0 а) ⎨ ; б) ⎨ ; log > 0 x ⎩ 0, 5 ⎩log0,5 x < 0

200


⎧ x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ ) а) ⎨ x ∈ (-∞;-2); б) ⎩x < 1 Т.к. х > 0, то х ∈ (1, 2). Ответ: x ∈ (1;2 ) 2) (3х – 1)log2x < 0 ⎧3x − 1 > 0 ⎧⎪ x > 1 3 а) ⎨ ⇒x>1 ⎨ ⎩log 2 x > 0 ⎪⎩ x > 1 1 ⎧ 1 ⎧3x − 1 < 0 ⎪ x < б) ⎨ ⎨ 3 ⇒ x< . x log < 0 3 ⎩ 2 ⎪⎩ x < 1

⎧ x ∈ (− 2;2) x ∈ (1; 2) ⎨x > 1 ⎩

1⎞ 3⎠

Ответ: x ∈ ⎜ 0; ⎟ U (1;+∞ )

№ 1129

1) x1+lgx < 0,1-2, x > 0; x1+lgx < 102. Ясно, что х = 1 решение нашего неравенства

а) x > 0, x < 1, logxx1+lgx > logx102, 1 + lg x > Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0,

(a

2

+

)

2 lg x + lg 2 x − 2 >0 , lg x lg x

(a − 1)(a + 2) > 0

+a−2 >0, a

a

+

– -2 0 1 a ∈ (− 2;0) U (1;+∞ ) , т.е. -2 < lgx < 0 и lgx > 1, 0,01 < x < 1 и x > 10, но т.к. x > 0 и x < 1, то решением является 1 < x <1 100 2 <0. б) x > 1, logxx1+lgx < 2logx10, 1 + lg x − lg x Сделаем замену: lgx = a, 1 + a − a + a2 − 2 a2 + a − 2 <0, <0, a a

2 < 0, a ≠ 0 a

(a − 1)(a + 2) < 0 a

+

-2 0 a ∈ (− ∞;−2 ) U (0;1) , т.е.

+ –

1

lgx < -2 и 0 < lgx < 1

x<

1 и 1 < x < 10 т.е. x > 1, то решением является 1 < x < 10 100

Ответ: x ∈ (0,001;1) U (1;10 ) U [1] .

201


2) x 4 lg x < 10 x . Ясно, что x = 1 – решение нашего неравенства 1 а) x > 1, logxx2lgx < logx10x, 2 lg x < 1 + . lg x

(a − 1)⎛⎜ a + 1 ⎞⎟

2a 2 − a − 1 <0, Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0, a

-

2⎠

<0

+

+ –

⎝ a

1 2

0

1

1 1⎞ ⎛ a ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U (0;1) , т.е. lg x < − и 0 < lgx < 1 2⎠ 2 ⎝ x<

1 10

и 1 < x < 10 т.к. x > 1, то решением является 1 < x < 10;

б) 0 < x < 1, logxx2lgx > logx10x, 2 lg x > 1 +

1 . lg x

Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0 2a > 1 +

т.е. −

1 , a

2a 2 − a − 1 ⎛1 ⎞ > 0 , a ∈ ⎜ ;0 ⎟ U (1;+∞ ) , a ⎝2 ⎠

1 < lg x < 0 и lgx > 1, 2

1 10

< x < 1 и x > 10; т.к. 0 < x < 1,

⎛ 1 ⎞ < x < 1 . Ответ: x ∈ ⎜⎜ ; 10 ⎟⎟ . 10 ⎝ 10 ⎠ 3) x + 3 > log3(26 + 3x), 26 + 3x > 0 при любых х, log33x+3 > log3(26 + 3x), 3x+3 > 26 + 3x, 3x+3 – 26 – 3x > 0, 26 ⋅ 3x – 26 > 0, 3x > 1, x > 0; 4) 3 – x < log5(20 + 5x), 20 + 5x > 0 при любых х, log553-x < log5(20 + 5x), 125 53-x < 20 + 5x, − 20 − 5 x < 0 , 5x = a > 0 5x то решением является

1

(a − 25)(a + 5) > 0 , 125 − 20a − a 2 a 2 + 20a − 125 <0, >0, a a a a ∈ (−5;0 ) U (25;+∞ ) , т.е. -5 < 5x < 0 и 5x > 25, x = φ и x>2, т.е. x > 2;

№ 1230 3 3 , cos(3x ) ≥ , 3x = y, cos y ≥ 2 2 π π π − + 2πn ≤ y ≤ + 2πn, n ∈ Z , − + 2πn ≤ 3 x ≤ 6 6 6

1) cos(− 3x ) ≥

202

3 , 2 π + 2πn, n ∈ Z , 6


π 2 π 2 + πn ≤ + πn, n ∈ Z ; 18 3 18 3 1 π⎞ π 1 ⎛ 2) cos⎜ 2 x − ⎟ < − , 2 x − = y , cos y < − ; 2 3 3⎠ 2 ⎝ −

2 4 2 π 4 π + 2πn < y < π + 2πn, n ∈ Z , π + 2πn < 2 x − < π + 2πn, n ∈ Z 3 3 3 3 3 π 5 + πn < x < π + πn, n ∈ Z 2 6

№ 1231 1 4 1 1 b = arcsin , a = − π − arcsin 4 4 1 c = 2π + a = π − arcsin 4

1) sin x <

− π − arcsin n∈Z 2) sin x > −

1 1 + 2πn < x < arcsin + 2πn, 4 4

1 4

1 1 + 2πn < x < arcsin + 4 4 + π + 2πn, n ∈ Z − arcsin

3) tgx – 3 ≤ 0 tgx ≤ 3 π − + πn < x ≤ arctg 3 + πn, n ∈ Z 2

4) cos x >

1 ⎛1⎞ ; a = − arccos⎜ ⎟ 3 ⎝ 3⎠

b = arccos

1 3

1 1 − arccos + 2πn < x < arccos + 2πn, n ∈ Z 3 3

203


№ 1232 1) 2 cos x − 3 < 0 [-3π; π]

cos x <

3 2

π -π 11 , b = , c = a − 2π = − π, 6 6 6 − 13 d = b − 2π = π 6

a=

13 ⎞ ⎛ 11 π⎞ ⎛π ⎤ ⎡ x ∈ ⎢− 3π;− π ⎟ U ⎜ − π;− ⎟ U ⎜ ; π⎥ 6 ⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎝6 ⎦ ⎣ 2 sin x + 1 ≥ 0 [-3π; π] 1 sin x ≥ − 2 11 ⎤ ⎡ 9π 3 ⎤ ⎡ π ⎤ ⎡ ;− π U − ; π x ∈ ⎢− 3π;− π⎥ U ⎢ − 4 ⎦ ⎣ 4 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎣

2)

3 + tgx ≤ 0 , [-3π; π] π 2 π tgx ≤ − 3 , a = − , b = π − = π , 3 3 3 −π 4 4 7 c= − π = − π , d = c−π = − π−π = − π , 3 3 3 3 4 ⎤ 7 ⎤ ⎛ 3 ⎛ 5 x ∈ ⎜ − π;− π⎥ U ⎜ − π;− π⎥ U 3 ⎦ 3 ⎦ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎛ π π⎤ ⎡π π ⎞ U ⎜ − ;− ⎥ U ⎢ ; ⎟ ⎝ 2 3⎦ ⎣2 3 ⎠ 4) 3tgx – 2 > 0, [-3π; π] 2 tgx > 3 2 a = arctg 3 2 −5π ⎞ ⎛ 2 3π ⎞ ⎛ x ∈ ⎜ arctg − 3π; ⎟ U ⎜ arctg − 2π;− ⎟ U 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 3 ⎝

3)

2 π⎞ ⎛ 2 π⎞ ⎛ U ⎜ arctg − π;− ⎟ U ⎜ arctg ; ⎟ 3 2⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎝

204


№ 1233

1) Рассмотрим очевидное неравенство (a – b)2 ≥ 0; преобразуем его:

a2 – 2ab + b2 ≥ 0, a2 + b2 ≥ 2ab, 2) Преобразуем неравенство:

a2 + b2 ≥ ab , что и требовалось доказать 2 a 3 + b3 a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 > ; 2 8

4a3 + 4b3 − a3 − 3a 2b − 3ab 2 − b3 3a 3 + 3b3 − 3a 2b − 3ab 2 >0; > 0; 8 8

(

)

(

)

3 a3 + b3 − 3ab(a + b ) 3 a 3 + b3 − ab(a + b ) >0; ⋅ >0; 8 8 1 a3 + b3 – ab(a + b) = (a + b)(a2 – 2ab + b2) = (a + b)(a – b)2, при a, b > 0 и a ≠ b (a + b)(a – b)2 > 0, следовательно, исходное неравенство верно.

№ 1234 1) (a+b)(ab+1)≥4ab. Пусть ab=x, тогда a =

(

)

x и неравенство примет вид: b

x 2 + b 2 x + x + b 2 − 4bx x + b2 (x + 1) − 4bx ⎛x ⎞⎛ x ⎞ 4x ≥0; ⋅b ; ≥0; ⎜ + b ⎟⎜ ⋅ b + 1⎟ ≥ b b ⎠ b ⎝b ⎠⎝ b

(x

2

) (

)

− 2bx + b 2 + x 1 − 2b + b 2 ≥ 0; b

(x − b )2 + x(1 − b )2 b

≥0.

(ab − b )2 + ab(1 − b )2

≥0. b Неравенство верно, т.к. (ab – b)2 > 0, ab > 0, b > 0, (1 – b)2 ≥ 0; 2) a4 + 6a2b2 + b2 > 4ab(a2 + b2), (a4 + 2a2b + b4) + 4a2b2 > 4ab(a2 + b2), 2 (a +b2)2+4a2b2>4ab(a2+b2), (a2+b2)2–4ab(a2+b2)+4a2b2>0, но ((a2+b2)–2ab)2 > 0 при всех a, b таких, что a2 + b2 – 2ab ≠ 0, т.е. при (a – b)2 ≠ 0, a ≠ b. Сделаем обратную подстановку:

№ 1235 1)

1⎛ a b c ⎞ a b c + + ≥ 3 , ⎜ + + ⎟ ≥1 b c a 3⎝ b c a ⎠

a b c и , а справа их , b c a среднее геометрическое. Т.к. среднее геометрическое всегда не превышает среднего арифметического, то неравенство верно для любых a>0, b>0, c>0 2) 2a2+b2+c2≥2a(b+c), a2+a2+b2+c2–2ab–2ac≥0, (a–b)2+(a–c)2 ≥ 0 – верно.

Слева стоит среднее арифметическое чисел

№ 1236 3+ 7y ⎧ x= ⎧5 x − 7 y = 3 ⎪⎪ 5 1) ⎨ ⎨ ⎩6 x + 5 y = 17 ⎪ 6(3 + 7 y ) + 5 y = 17 5 ⎩⎪

205


18 + 42у + 25у = 85, 67у = 67, у = 1, x =

3+ 7y = 2 . Ответ: (2; 1). 5

⎧2 x − y − 13 = 0 ⎧ x = −2 y − 1 2) ⎨ ⎨ ⎩ x + 2 y + 1 = 0 ⎩2(−2 y − 1) − y − 13 = 0 -4у – 2 – у – 13 = 0, -5у = 15, у = -3, х = 5. Ответ: (5; -3).

№ 1237 ⎧x − y x + y − = 10 ⎪⎪ ⎧2 x − 2 y − 5 x − 5 y = 100 2 1) ⎨ 5 ⎨2 x + 5 y = 100 x y ⎩ ⎪ + = 10 ⎪⎩ 5 2 ⎧ ⎛ 100 − 5 y ⎞ ⎟ − 7 y = 100 ⎪⎪− 3⎜ 2 ⎠ ⎨ ⎝ ⎪ x = 100 − 5 y ⎪⎩ 2 -300 + 15у – 14у = 200, у = 500, х = -1200. Ответ: (-1200; 500). ⎧x + y x − y + =6 ⎪⎪ ⎧3 x + 3 y + 2 x − 2 y − 36 = 0 3 2) ⎨ 2 ⎨3 x + 3 y − 4 x + 4 y = 0 x y x y + − ⎪ − =0 ⎩ 3 ⎩⎪ 4 ⎧−3x − 7 y = 100 ⎪ ⎨ x = 100 − 5 y ⎪⎩ 2

⎧5 x + y − 36 = 0 ⎧35 y + y − 36 = 0 у = 1, х = 7. Ответ: (7; 1). ⎨7 y − x = 0 ⎨x = 7 y ⎩ ⎩

№ 1238 ⎧⎪ y = x 2 − 5 ⎧⎪ y + 5 = x 2 1) ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = 25 ⎪⎩ x 2 + x 2 − 5 = 25 х2 + х4 – 10х2 + 25 = 25, х4 – 9х2 = 0, х2(х2 – 9) = 0, х2(х – 3)(х + 3) = 0, х = 0, х = ±3, у = -5, у = 4. Ответ: (0, -5), (3, 4), (-3, 4). ⎧ xy = 16 ⎪ ⎧ xy = 16 ⎧4 y 2 = 16 ; ⎨ 2) ⎨ x , у = ±2, х = ±8. Ответ: (±8, ±2). ; ⎨ =4 ⎩x = 4 y ⎩x = 4 y ⎪⎩ y

(

)

2 2 ⎧ 2 ⎧ 2 ⎧ 2 3) ⎨ x + 2 y = 96 ⎨4 y + 2 y = 96 ⎨ y = 16 , у = ±4, х = ±8. ⎩x = 2 y ⎩x = 2 y ⎩x = 2 y Ответ: (±8, ±4)

№ 1239 2 2 2 2 2 ⎧ ⎧ 2 ⎧ 1) ⎨ x − y = 13 ⎨(1 + y ) − y = 13 ⎨1 + 2 y + y − y = 13 , у = 6, х = 7. ⎩x − y = 1 ⎩x = y + 1 ⎩x = y + 1 Ответ: (7, 6).

206


⎧ x 2 − 3 y = −5 ⎧ 2 ⎪ 2 2 2) ⎨ x − 3 y = −5 ⎨ 23 − 7 x , х – 23 + 7х + 5 = 0, х + 7х – 18 = 0, 7 + 3 = 23 x y y = ⎩ ⎪ 3 ⎩ 2 2 Ответ: (2, 3), (-9, 28 ). х1 = 2, х2 = -9, у1 = 3, у2 = 28 . 3 3

№ 1240 ⎧x y 3 x 1 3 t 2 −1 3 ⎪ − = = t , тогда t − = ; 1) ⎨ y x 2 . Пусть = ; 2t2–3t–2 = 0, t 2 t 2 y ⎪ x 2 + y 2 = 20 ⎩ t1 = 2, t2 = −

1 x x 1 , отсюда а) = 2 и б) = − ; y y 2 2

а) х = 2у и (2у)2 + у2 = 20, 5у2 = 20, y = ± 4 = ±2 , х = ±4; 2

1 ⎛ 1 ⎞ y и ⎜ − y ⎟ + y 2 = 20 , у = ±4, х = ±2. 2 ⎝ 2 ⎠ Ответ: (±4, ±2), (±2, ±4). 1 ⎧ y x 10 ⎧y x ⎪ + =3 ⎪ + = 3 ⎨x y 3 . 2) ⎨ x y ⎪x2 − y 2 = 8 ⎪x2 − y 2 = 8 ⎩ ⎩

б) x = −

Обозначим: t1 = 3, t2 =

y 1 10 , 3t2 + 3 – 10t = 0, 3t2 – 10t + 3 = 0, = t , тогда t + = x t 3

1 ; 3

y = 3 , у = 3х, х2 – 9х2 = 8, -8х2 = 8, х2 = -1, решений нет x y 1 б) = ; х = 3у, 9у2 – у2 = 8, у = ±1, х = ±3. Ответ: (±3, ±1). x 3

а)

⎧⎪ x 2 = 13x + 4 y , вычтем уравнения: х2 – у2 = 9(х – у), 3) ⎨ 2 ⎪⎩ y = 4 x + 13 y (х – у)(х + у) – 9(х – у) = 0, (х–у)(х+у–9) = 0 – либо х = у, либо х = 9 – у а) х=у, х2=13х+4х, х2–17х=0, х(х–17)=0, х1=0, х2=17, у1=0, у2 =17; б) х=9–у, у2=4(9–у)+13у, у2–9у–36=0, у1=-3, у2 =12, х1 = 12, х2 = -3. Ответ: (0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12). ⎧⎪3x 2 + y 2 − 4 x = 40 , вычтем уравнения: х2 – 7х = -12, 4) ⎨ 2 ⎪⎩2 x + y 2 + 3 x = 52

х2–7х+12=0, х2–7х+12=0, x 1 = 2

7 ± 49 − 48 7 ± 1 = , х1 = 4, х2 = 3; 2 2

207


а) х = 4, 32 + у2 + 12 = 52, у2 = 8, y = ±2 2 ; б) х = 3, 18 + у2 + 9 = 52, у2 = 25, у = ±5.

Ответ: (4, ± 2 2 ), (3, ±5).

№ 1241 ⎧⎪2 x + y = 32 ⎧⎪2 x + y = 25 ⎧ x + y = 5 ⎧ x = 5 − y 1) ⎨ 3 y − x ; ⎨ ; ⎨ ; ⎨ ⎪⎩3 = 27 ⎪⎩33 y − x = 33 ⎩3 y − x = 3 ⎩3 y − 5 + y = 3 4у = 8, у = 2, тогда х = 3. Ответ: (3, 2). x ⎧3x − 22y = 77 ⎪ 2) ⎨ x . Пусть 3 2 = a, 2 y = b ; a, b>0, тогда система примет вид: ⎪32 − 2y = 7 ⎩ ⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧(b + 7 )2 − b 2 = 77 ⎧b 2 + 14b − b 2 = 28 ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩a − b = 7 ⎩a = b + 7 ⎩a = b + 7 ⎩a = b + 7 x

⎧b = 2 2 у ⎨a = 9 , тогда 3 2 = 3 , х = 4, 2 = 2, у = 1. Ответ: (4, 1) ⎩ ⎧⎪3x ⋅ 2 y = 576 3) ⎨ ⎪⎩log 2 ( y − x ) = 4 ⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6 ⎨ ⎩y = x + 4

⎧3x ⋅ 2 y = 32 ⋅ 26 ⎪ ⎨ ⎪⎩log 2 ( y − x ) = log

2

2

4

⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6 ⎨ ⎩y − x = 4

3х ⋅ 2х+4 = 32 ⋅ 26, 3х ⋅ 2х = 32 ⋅ 22

Т.к. функция 3х ⋅ 2х возрастает, то решение единственное. Отсюда х = 2, у = 6. Ответ: (2, 6) ⎧lg x + lg y = 4 ⎧⎪lg xy = lg104 ⎧⎪ xy = 104 4) ⎨ lg y ⎨ ⎨ = 1000 ⎪⎩ x lg y = 1000 ⎪⎩log x x lg y = log x 1000 ⎩x ⎧⎪ xy = 104 ⎨ ⎪⎩lg y = log x 103

4 ⎧ ⎪ y = 10 ⎨ x ⎪lg y = 3 log x 10 ⎩

⎧ 104 ⎪y = ⎪ x ⎨ 4 10 3 ⎪lg = ⎪⎩ x log10 x

3 104 3 = 4 − lg x = x lg x lg x Пусть lgx = a, 4a – a2 – 3 = 0, a2 – 4a + 3 = 0, a1 = 1, a2 = 3; 1) a = 1, lgx = 1, x = 10, у = 103; 2) a = 3, lgx = 3, х = 103, у = 10. Ответ: (10, 1000), (1000, 10). lg

№ 1242 ⎧1 ⎧log x − log y = 0 ⎪ log 2 x − log 2 y = 0 1) ⎨ 2 4 2 2 ⎨2 ⎩x − 5 y + 4 = 0 ⎪x2 − 5 y2 + 4 = 0 ⎩

208

⎧⎪log 2 x y = 0 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0


⎧⎪ x y = 1 ⎨ 2 ⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0

⎧ ⎪⎪ y = ⎨ ⎪x2 − ⎪⎩

1 x х3 + 4х – 5 = 0, 5 +4=0 x

x 3 + 4 x - 5 = (x - 1) (x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x = 1 (т.к. х2 + х + 5 > 0 при любом х ∈ R), х = 1 – единственный действительный корень; у = 1. Ответ: (1, 1). 2 4 4 ⎧⎪ x 2 + y 4 = 16 ⎧⎪ x + y = 16 ⎧ 2 2) ⎨ x + y = 16 8 ⎨ 2 ⎨ 2 3 ⎩log 2 x + 2 log 2 y = 3 ⎪⎩ xy = 2 ⎪y = x ⎩ ⎧ 2 82 ⎪⎪ x + 2 = 16 x ⎨ ⎪ y2 = 8 ⎪⎩ x

⎧ x 4 − 16 x 2 + 64 = 0 ⎪ ⎨ 2 8 ⎪y = x ⎩

(

)

2 ⎧ 2 ⎪ x −8 = 0 ⎨ 2 8 ⎪y = x ⎩

⎧⎪ x = ± 8 , но х, у > 0 по определению логарифма. Ответ: ⎨ ⎪⎩ y = 8

( 8, 8 ) . 4

№ 1243 ⎧⎪ x + y = 16 1) ⎨ . ⎪⎩ x − y = 2 y = b, a ≥ 0, h ≥ 0 , тогда система примет вид: Пусть x = a, ⎧a + b = 16 ⎧2b = 14 ⎧b = 7 2 2 ⎨a − b = 2 ⎨a = b + 2 ⎨a = 9 , тогда x = a = 81, y = b = 49. ⎩ ⎩ ⎩ Ответ: (81, 49). ⎪⎧ x − y = 1 y =b≥0 2) ⎨ . Пусть x = a ≥ 0, ⎪⎩ x + y = 19 ⎧a − b = 1 ⎧a = b + 1 ⎨a + b = 19 ⎨2b = 18 ; ⎩ ⎩

⎧a = 10 ⎨b = 9 , где a = x , b = ⎩

y , тогда х=100, у=81.

№ 1244 ⎧⎪ x + y − 1 = 1 ⎧x + y − 1 = 1 1) ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ x − y + 2 = 2 y − 2 ⎩ x − y + 2 = 4 y − 2 y + 1 ⎧x = 2 − y ⎧x = 2 − y ⎧x = 2 − y ⎨ ⎨ ⎨ 2 2 ⎩2 − y − y + 2 = 4 y − 8 y + 4 ⎩4 y − 6 y = 0 ⎩2 y (2 y − 3) = 0

(

)

1 ⎧ ⎧x = 2 − y x = 2, x = ⎪ ⎪⎪ 2 , при этом должно выполняться: ⎨ y = 0, y = 3 ⎨ 3 ⎪⎩ ⎪ = = y 0 , y 2 ⎪ 2 ⎩

209


а) х + у – 1 ≥ 0; б) х – у + 2 ≥ 0; в) 2у – 2 ≥ 0. Для у = 0, х = 2 условие в) не выполняется, следовательно, ⎛1 3⎞ решение — ⎜ , ⎟ . ⎝2 2⎠ ⎧⎪ 3 y + x + 1 = 2 2) ⎨ ⎪⎩ 2 x − y + 2 = 7 y − 6 ⎧x = 3 − 3 y ⎨ 2 ⎩2(3 − 3 y ) − y + 2 = 49 y

⎧3 y + x + 1 = 4 ⎨ 2 ⎩2 x − y + 2 = 49 y − 84 y + 36 ⎧x = 3 − 3 y ⎨ − 84 y + 36 ⎩6 − 6 y − y + 2 = 49 y 2 − 84 y + 36

77 ± 5929 − 5488 77 ± 21 = , 98 98 2 12 9 4 у1 = 1, у2 = , х1 = 0, х2 = 3 − = , при этом должно выполняться: 7 7 7 а) 3у + х + 1 ≥ 0; б) 2х – у + 2 ≥ 0; в) 7у – 6 ≥ 0, следовательно, решением является пара (0, 1). Ответ: (0, 1). 49y2 – 77y + 28 = 0, y 1 =

№ 1245 ⎧sin x + cos y = 1 ⎪ 1) ⎨ 2 3 ⎪⎩sin x + 2 sin x ⋅ cos y = 4

⎧cos y = 1 − sin x ⎪ ⎨sin 2 x + 2 sin x(1 − sin x ) = 3 ⎪⎩ 4

⎧cos y = 1 − sin x ⎧cos y = 1 − sin x ⎪ ⎪ ⎨sin 2 x + 2 sin x − 2 sin 2 x − 3 = 0 ⎨− sin 2 x + 2 sin x − 3 = 0 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 4 2 4sin x – 8sinx + 3 = 0, sinx = a, |a| ≤ 1, 4a2 – 8a + 3 = 0,

4 ± 16 − 12 4±2 1 , a1 = , a1 = 1,5 > 1, a2 = , т.е. 4 4 2 2 1 1 ±π n π sin x = ; x = (− 1) + nπ, n ∈ Z , cos y = ; y = + 2lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3 π π ⎛ ⎞ Ответ: ⎜ (− 1)n + nπ, n ∈ Z , ± + 2lπ, l ∈ Z ⎟ 6 3 ⎝ ⎠ a1 = 2

1 ⎧ 1 ⎪sin x + sin y = 2) ⎨ , sin x = − sin y , 2 2 2 2 ⎪cos x + 2 sin x sin y + 4 cos y = 4 ⎩

⎛1 ⎞ cos 2 x + 2⎜ − sin y ⎟ sin y + 4 cos 2 y = 4 , ⎝2 ⎠ 2

⎞ ⎛1 1 − ⎜ − sin y ⎟ + 1 ⋅ sin y − 2 sin 2 y + 4 cos2 y = 4 , ⎠ ⎝2 1− 210

1 + sin y − sin 2 y + sin y − 2 sin 2 y + 4 − 4 sin 2 y − 4 = 0 , 4


− 7 sin 2 y + 2 sin y +

3 = 0 , siny = a; |a| ≤ 1, 28a2 – 8a – 3 = 0, 4

4 ± 16 + 84 4 ± 10 1 3 , a1 = , a 2 = − , = 28 28 2 14 π 1 а) sin y = ; y = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , sinx = 0, x = πl, l ∈ Z, 2 6 3 ⎛ 3⎞ б) sin y = − ; y = (− 1)n +1 arcsin⎜ ⎟ + nπ, n ∈ Z , 14 ⎝ 14 ⎠

a1 = 2

5 ⎛5⎞ , x = (− 1)l arcsin⎜ ⎟ + lπ, l ∈ Z . 7 ⎝7⎠ π ⎛ ⎞ Ответ: ⎜ πl , l ∈ Z ; (− 1)n + nπ, n ∈ Z ⎟ 6 ⎝ ⎠ sin x =

5 3 ⎛ ⎞ l n +1 ⎜ (− 1) arcsin + lπ, l ∈ Z ; (− 1) arcsin + nπ, n ∈ Z ⎟ . 7 14 ⎝ ⎠

№ 1246 1 ⎧ ⎪sin x cos y = − 1) ⎨ 2 ⎪⎩tgxctgy = 1

1 ⎧ ⎪⎪sin x cos y = − 2 sin x cos y ⋅ = 1 , тогда ⎨ sin x cos y ⎪ ⋅ = 1 cos x sin y ⎩⎪ cos x sin y

1 1 1 , sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − + = 0 , т.е. 2 2 2 sin(x – y) = 0, x – y = πn, n ∈ Z, x = πn + y, n ∈ Z, 1 1 sin ( y + πn ) cos y = − , (sin y ⋅ cos πn + cos y sin πn ) cos y = − , 2 2 1 π а) n = 2k + 1, тогда − sin y cos y = − , sin2y = 1, 2 y = + 2πl , l ∈ Z ; 2 2 1 π б) n = 2k, тогда sin y cos y = − , sin2y = -1, 2 y = − + 2πl , l ∈ Z . 2 2 cos x ⋅ sin y = −

⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ π Ответ: ⎜⎜ πn + ⎜ ± + πl ⎟,± + πl ⎟⎟ , l, n ∈ Z. ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ ⎠ 1 ⎧ ⎪sin x sin y = 2) ⎨ 4 ⎪⎩3tgx = ctgy

1 ⎧ ⎪⎪sin x sin y = 4 3 ⎨ sin x ⋅ sin y 1 тогда cos x cos y = , 4 ⎪ = ⎪⎩ cos x ⋅ cos y 3

cos x cos y − sin x sin y =

3 1 1 − = , 4 4 2 211


1 π π ; x + y = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , 2 3 3 1 1⎞ 1 1⎛ = ⎜ cos(x − y ) − ⎟ , sin x ⋅ sin y = (cos(x − y ) − cos(x + y )) , 2⎠ 2 4 2⎝ cos(x + y ) =

cos(x – y) = 1; x – y = 2πl, l ∈ Z, π ⎧ π π ⎪x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , x = ± + π(l + n ) y = ± + π(l + n ) − 2πl ; l, n ∈ Z ⎨ 3 6 6 ⎪⎩ y = x − 2πl , l ∈ Z

π ⎛ π ⎞ Ответ: ⎜ ± + π(l + n );± + π(n − l )⎟, l , n ∈ Z . 6 6 ⎝ ⎠

№ 1247 x+4 ⎧ 2 x − 3 3x + 5 x − − < 3− ⎪⎪ 2 3 6 2 ; ⎧3(2 x − 3) − 2(3 x + 5) − x − 3 ⋅ 6 + 3(x + 4) < 0 ; ⎨ 2 x − 8 4 − 3x x + 2 ⎨⎩6 − 2(2 x − 8) + 3(4 − 3 x ) − 12 x + 2(x + 2) < 0 ⎪1 − + < 2x − 3 2 3 ⎩⎪ 25 ⎧ 1 ⎧ ⎪⎪ x < 2 ⎪⎪ x < 12 2 ; ⎨ . ⎨ ⎪ x > 38 ⎪ x > 1 15 ⎪⎩ 23 ⎪⎩ 23 наименьшее – это 2.

⎧6 x − 9 − 6 x − 10 − x − 18 + 3 x + 12 < 0 ⎧2 x − 25 < 0 ⎨6 − 4 x + 16 + 12 − 9 x − 12 x + 2 x + 4 < 0 ; ⎨− 23 x + 38 < 0 ; ⎩ ⎩ Ответ: наибольшее целое решение – это х = 12,

№ 1248 ⎧ x +1 x + 2 x − 3 x − 4 ⎪⎪ 5 − 4 < 3 + 2 ⎧12(x + 1) − 15(x + 2) − 20(x − 3) − 30(x − 4 ) < 0 ⎨5(x − 2) − 15 − 3(x − 5) > 0 ⎨x−2 x−5 ⎩ ⎪ > 1+ ⎪⎩ 3 15 162 ⎧ ⎧12 x + 12 − 15 x − 30 − 20 x + 60 − 30 x + 120 < 0 ⎧−53 x + 162 < 0 ⎪ x > − ⎨ ⎨5 x − 10 − 15 − 3 x + 15 > 0 ⎨2 x − 10 > 0 53 ⎩ ⎩ ⎪⎩ x > 5 Ответ: x > 5.

№ 1249

Примем длину эскалатора за 1, а время, за которое эскалатор поднимает 1 1 неподвижно стоящего человека, за х, тогда — скорость эскалатора, x 180 1 — скорость пассажира, а — скорость пассажира, поднимающегося по 45 движущемуся эскалатору. 1 1 1 = + , откуда х = 60. Ответ: 60 с По условию 45 x 180

212


№ 1250

Пусть собственная скорость теплохода х, тогда скорость движения по течению (х + 2), а против – (х – 2). Расстояние между пристанями составит (х + 2) ⋅ 7 или (х – 2) ⋅ 9, следовательно (х – 2)9 = (х + 2)⋅7, откуда х = 16, следовательно, расстояние между пристанями 126 км.

№ 1251

Пусть х км/ч – планируемая скорость парохода, тогда истинная скорость х + 2,5 км/ч. расстояние будет равно х ⋅ 54, или (х + 2,5)⋅48. Следовательно, x ⋅ 54 = (x + 2,5) ⋅ 48; 54x – 48x = 120, 6x = 120, x = 20, следовательно, скорость парохода 20 км/ч, а расстояние 20 ⋅ 54 = 1080 км.

№ 1252

Примем объем работы за 1, а время выполнения при совместной работе 1 1 за х дней. Тогда производительность I рабочего , а II , общая 24 48 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 . Следовательно, получаем уравнение: ⎜ + ⎟x = 1 , + 24 48 24 48 ⎝ ⎠

3 x = 1 ; 3х = 48, х = 16. 48 № 1253

Ответ: за 16 дней.

Пусть было освоено х га целинных земель, тогда остальная площадь составит 174 – х га. С целинных земель собрано 30х ц, а с остальных (174-х) ⋅ 22 ц. По условию было собрано 4556 ц. Следовательно, составим уравнение: Ответ: 91 га. (174 – х) ⋅ 22 + 30х = 4556, откуда х = 91.

№ 1254

Пусть I число равно х, a II равно у. Тогда (х – у):ху = 1:24 и х+у=5(х–у). ⎧24(x − y ) = xy , получим х = 12, у = 8. Составим систему уравнений: ⎨ ⎩ x + y = 5(x − y )

№ 1255

Пусть первая дробь равна х, а вторая дробь равна у. Тогда третья дробь равна 1 – х – у. По условию х – у = 1 – х – у и х + у = 5(1 – х – у). Составим систему: 1 1 1 1 1 ⎧x − y = 1 − x − y ⎨ x + y = 5 − 5 x − 5 y , откуда x = , y = , тогда третья дробь 1 − − = 2 3 2 3 6 ⎩ Откуда:

1 1 1 , , . 2 3 6

№ 1256

Пусть дневная плановая норма – х деталей, тогда новая норма х + 9 деталей. 360 378 360 деталей должны были изготовить за дней. А 378 деталей за x+9 x 378 360 на 1. Составим уравнение: больше дней. По условию задачи x+9 x 213


360 378 − = 1 , откуда х = 45. x x+9 На самом деле бригада делала 54 детали, а за весь срок 378+54=432 детали. Ответ: 432 детали.

№ 1257 Пусть скорость катера х км/ч. По условию, скорость плота 3,6 км/ч. Путь катера 50 км, а плота 10 км. Время, затраченное на путь, будет равно 30 20 10 30 20 10 + = + или . Отсюда , откуда х = 18. x + 3,6 x − 3,6 3,6 x + 3,6 x − 3,6 3,6

№ 1258 Пусть стоимость 1 билета в I организации х копеек, тогда во II органи1800 3000 , а II зации билет стоил х – 30 копеек. I организация закупила x x − 30 1800 3000 больше на 5. билетов. По условию x x − 30 3000 1800 Составим уравнение: − = 5 , откуда х = 150 или х = 120. x x − 30 Следовательно, I организация купила 20 или 25 билетов, а II – 15 или 20.

№ 1259 Пусть скорость плота х км/ч, тогда скорость лодки х + 48 км/ч. Время 17 1 17 17 17 лодки ч, а плота ч. По условию больше на 5 ч. x + 48 x + 48 x x 3 17 17 16 Составим уравнение: − = x x + 48 3 51х + 51 ⋅ 48 – 51х = 16(х2 + 48х), 16х2 + 16 ⋅ 48х – 51 ⋅ 48 = 0, х2 + 48х – 152 = 0, откуда х = 3. Ответ: 3 км/ч.

№ 1260 Пусть со II c 1 га собирали х ц, тогда на I участке с 1 га собирали 210 210 210 га, а второго га. По условию х + 1 ц. Площадь первого x +1 x x 210 210 210 1 больше на 0,5. Составим уравнение: − = , откуда х = 20. x x +1 2 x +1 Следовательно, на II участке с 1 га собрано 20 ц, а на I участке – 21 ц.

№ 1261 Пусть х шагов делает ученик, тогда его брат делает х – 400 шагов. Дли700 700 700 м, а длина шага брата м. По условию на шага ученика x x − 400 x − 400 700 больше на 0,2 м. x 214


700 700 − = 0,2 . x − 400 x 2 3500х – 3500х + 1400000 = х – 400х, откуда х=1400.

Составим уравнение:

№ 1262

Пусть I число равно х, тогда II число xq, III – xq2, IV – xq3. По условию xq2 больше х на 9, а xq больше xq3 на 18. ⎧⎪ xq 2 − x = 9 ⎧x = 3 , откуда ⎨ Составим систему: ⎨ ⎪⎩ xq − xq 3 = 18 ⎩q = −2 Следовательно, I число равно 3, II равно -6, III равно 12, IV равно –24.

№ 1263 1) По условию а4 = 1, т.е. а1 + 3d = 1, кроме того, 2a + d ⋅ 2 S3 = 1 ⋅ 3 = (a1 + d ) ⋅ 3 , т.е. (a1 + d) ⋅ 3 = 0 2 Составим систему уравнений: 1 ⎧ d= ⎪⎪ ⎧a1 + 3d = 1 ⎧2d = 1 2 ⎨a + d = 0 ⎨a = − d ⎨ ⎩ 1 ⎩ 1 ⎪a1 = − 1 ⎪⎩ 2 2) S n =

2a1 + d (n − 1) ⋅ n , тогда S12 2

⎛ 1⎞ 1 2⎜ − ⎟ + ⋅11 ⎝ 2⎠ 2 = = 27 . 2

№ 1264 Пусть I число равно х, знаменатель геометрической прогрессии q. Тогда II число равно xq, a III число xq2. Разность арифметической прогрессии xq2 – xq, тогда IV число xq2 + xq2 – xq = 2xq2 – xq. По условию задачи составим систему уравнений: 1 ⎧ ⎧⎪ x + 2 xq 2 − xq = 16 ⎪q = ⎧q = 3 , решая, получим: и ⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ xq + xq 2 = 12 ⎩x = 1 ⎪⎩ x = 16 Следовательно, I число равно 1, II равно 3, III равно 9, IV равно 15, или числа равны 16, 8, 4, 0, соответственно. Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.

№ 1265 Пусть х – первый член геометрической прогрессии, а у – ее знаменатель, тогда b5 = x ⋅ y4; b8 = x ⋅ y7, b11 = x ⋅ y10. По условию a1 = x ⋅ y4, a2 = x ⋅ y7, a10 = x ⋅ y10. Тогда d = xy7 – xy4 и а10 = а1 + 9d = xy4 + 9(xy7 – xy4). Составим уравнение: xy10 = xy4 + 9xy7 – 9xy4; x ≠ 0, y ≠ 0 Следовательно, у6 = 9у3 – 8, у6 – 9у3 + 8 = 0, y3 =

9 ± 81 − 32 3 ; у = 8, у3 = 1. 2 215


Следовательно, у = 2 и у = 1. По условию S5 =

(

)

(

)

x y 5 −1 x ⋅ 25 −1 и S5 = 62, т.е. 62 = ;х=2 y −1 2 −1

При у = 1имеем х + х + х + х + х = 62, 5х = 62, x = 12

2 . 5

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2 или 12 Ответ: 2 или 12

2 . 5

2 . 5

№ 1266 1) Пусть а1 – первый член арифметической прогрессии, а d – ее разность. По условию a1 > 0, d > 0. 2) a5 ⋅ a6 больше а1 ⋅ а2 в 33 раза, следовательно, можем составить уравнение: (a1 + 4d) ⋅ (a1 + 5d) = a1(a1 + d) ⋅ 33; a12 + 9da1 + 20d2 = 33a12 + 33a1d; −10d d 32a12 + 24a1d – 20d2 = 0, откуда a1 = , a1 = , но а1 > 0, d > 0, 8 2 d следовательно, a1 = . 2 3) a5 ⋅ a2 = (a1 + 4d) : (a1 + d) = 3.

№ 1267 В результате построений получается множество подобных треугольни1 ков с k = , площади которых образуют бесконечную геометрическую 2 b 12 1 прогрессию, в ней b1 = 12, q = , следовательно S = 1 = = 16 см2. 1 1− q 4 1− 4

№ 1268

5 y = − x+b 2

5 (-2;3); 3 = − 2 ⋅ (− 2 ) + b b = −2

№ 1269

у = kx + 3

(-1;4); 4 = −1⋅ k + 3 k = −1

№ 1270 у = kx + b ⎧− 2 = −1 ⋅ k + b ⎧2 = k − b ; ⎨ ; k = 1, b = −1 ; ⎩2 = 3(b + 2) + b

1) А(-1;-2), В(3;2) ⎨ ⎩2 = 3k + b

216


⎧1 = 2k + b ⎧1 = 2k + 2 − k ; ⎨ ; k = −1, b = 3 ; 2) A(2;1), B(1;2), ⎨ ⎩2 = k + b ⎩b = 2 − k ⎧2 = 4 k + b

⎧b = 2 − 4k

5

1

; ⎨ ; k = ,b = − ; 3) A(4;2), B(-4;-3), ⎨ 8 2 ⎩− 3 = −4k + b ⎩3 = 4k − 2 + 4k

⎧− 2 = −2k + b ⎧b = 2k − 2

⎧b = 2k − 2

;⎨ ; ⎨ 4) A(-2;-2), B(3;-2), ⎨ ⎩− 2 = 3k + b ⎩− 2 = 3k + 2k − 2 ⎩k = 0

;

k = 0, b = −2

№ 1271 A(-3;2), B(-2;2), C(3;0) Для прямой, проходящей через В и С, справедлива система:

2 6 2 6 ⎧2 = −2k + d ⎨0 = 3k + b ; k = − , b = k , таким образом y1 = − x + . 5 5 5 5 ⎩ 2 У прямой, проходящей через А коэффициент k равен − вследствие 5 параллельности ее и первой прямой ВС.

4 ⎛ 2⎞ ⎟ + b, откуда b = , 5 ⎝ 5⎠

Справедливо уравнение: 2 = −3⎜ − тогда у = −

2 4 x+ . 5 5

Ответ: у = −

2 6 2 4 x+ , у = − x+ . 5 5 5 5

№ 1272 у x + =1 2 4 3 = 1 принадлежит; 2) А(0;3) 0 + ≠ 1 не принадлежит 2 2 0 ⎛3 ⎞ 3 1 − = 1 принадлежит. 3) А(1;0) 1 + = 1 принадлежит 4) А ⎜ ;−1⎟ 2 ⎝2 ⎠ 2 2 1)A(-1;4) − 1 +

№ 1273 3 x + 2 ; 1) x = 0, у = 2, А(0,2 ) – точка пересечения с 0у; 4 8 ⎛8 ⎞ у = 0, x = , B⎜ ,0 ⎟ – точка пересечения с 0x; 3 ⎝3 ⎠

у=−

8⎞ 3⎠

2

2) AB = ⎜ 0 − ⎟ + (2 − 0 )2 =

3) Из ∆AOC : OC =

4 − x2

10 3 (1) 217


4) Из ∆BOC : OC = Из (1) и (2): x =

64 ⎛ 100 20 ⎞ −⎜ − x + x2 ⎟ 9 ⎝ 9 3 ⎠

(2)

36 8 6 = . = AC ; OC = 4 − 25 5 5

№ 1274 1) 3x − 1 > 0, x <

у = 3x − 1 ;

1 ; 3

2) 3 x − 1 < 0, x <

1 . 3

№ 1275 у 2 − 2 x + 1 ; 1) − 2 x + 1 > 0, x <

1 ; 2

2) − 2 x + 1 < 0, x >

1 . 2

№ 1276 у = 2 x − 1, у = 3 x − 2, 2 x − 1 < 3 x − 2; x > 1. № 1277 у = 3 − 2 x − 3, у = 1+ 3 x + 2 3 3 − 2 x − 3 > 1 + 3 x + 2 3; x < − 3

(

(

)

)

(

( )

)

№ 1278

у = 2 x − 3 . Т.к. линейная функция вида у = kx + b возрастает при

k > 0 и данная функция линейная и k = 2 > 0, то она возрастает.

№ 1279 у = − 3x − 3 Т.к. функция у = − 3 x − 3 линейная и k = −3 < 0, то она убывает.

№ 1280 1) Графики линейных функций пересекаются, если коэффициенты k у них различны. у = 3x − 2 и у = 3x + 1 параллельны 2) y = 3 x − 2 и y = 3 x + 1 пересекаются.

№ 1281 1) y = 2 − x а) y = 2 − x б) симметрия относительно Oy в) пересечений нет.

218


2) y = 2 − x точки пересечения

2 − x = 3, x = −1, y = 3 и x = 5, y = 3

3) y = 2 − x + x − 3

⎧x ≥ 3

⎧x ≥ 3

⎧x < 2

⎧x < 2

;⎨ ; а) ⎨ ⎩ y = x − 2 + x − 3 ⎩ y = 2x − 5

⎧2 ≤ x < 3

⎧2 ≤ x < 3

;⎨ б) ⎨ ⎩y = x − 2 − x −3 ⎩y =1

;⎨ в) ⎨ ⎩ y = 2 − x − x + 3 ⎩ y = −2 x + 5 точки пересечения: y = 2 − x + x − 3 = 3 , x = 4, y = 3 и x = 1, y = 3.

№ 1282 y = x2 − 2 x − 3 1) графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (+1;-4). 2) Найдем у’:

y ' = 2 x − 2 = 2(x − 1) y ' > 0 при x > 1, след. на x ∈ [1;4)

функция возрастает 3) Наименьшее значение в точке x = 1, равное –4 4) x 2 − 2 x − 3 > −2 x + 1, x 2 − 4 > 0 при x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ )

5) y = f (xo ) + f ' (xo )⎛⎜ x − x ⎞⎟

0

⎠ 219


f ' (2 ) = 2, f (2 ) = −3 y = −3 + 2(x − 2 ) = −3 + 2 x − 4 y = 2 x − 7 — уравнение касательной в точке х0 = 2.

№ 1283 y = −2 x 2 + 3 x + 2 1) график функции – парабола, ветви направлены вниз; вершина с координатами

3 1 , y0 = 3 , 4 8 точки пересечения с 0у: (0;2); с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½ x0 =

3 , следовательно на [1;2] функция убывает 4 3 3) наибольшее значение функция принимает в точке x = 4 2 2 4) y = 3 x + 2 , − 2 x + 3x + 2 < 3x + 2 , − 2 x < 0 , 2) y′ – 4x + 3 < 0 при x >

x 2 > 0 , следовательно при всех x ≠ 0 ; 5) y = 3; 3 = −2 x 2 + 3 x + 2; 2 x 2 − 3 x + 1 = 0; x = 1, x =

y ' (1) = −1, y = -x + 4 - уравнение касательной в х = 1

1 ; 2

1 ⎛1⎞ y ' ⎜ ⎟ = 1; y = x + 2,5 - уравнение касательной в x = 2 2 ⎝ ⎠

№ 1284

1) y = x2 и y = x + 6, x2 = x + 6, x2 – x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след. пересекаются. 2) y =

3 3 и y = 4(x + 1) , = 4 x + 1; 3 = 4 x 2 + x, 4 x 2 + x − 3 = 0 , x x

D = 1 + 48 – решение есть, след. пересекаются.

1 2 1 1 1 x и y = , x 2 = , x3 = 8 , x = 2 , след. пересекаются. 8 x 8 x 1 1 4) y = 2 x − 1 и y = , 2 x − 1 = , x x 2 2 x − x − 1 = 0 D = 1 + 8 – решение есть, след. пересекаются. 3) y =

№ 1285 1) y = 2 x + 2− x , y (− x ) = 2− x + 2 x = y (x ) – функция четная 2) y = 3 x − 3− x , y (− x ) = 3− x − 3 x = − y (x ) – функция нечетная 220


3) y = ln

3+ x 3− x 3+ x , y (− x ) = ln = − ln = − y (x ) – функция не3+ x 3− x 3− x

четная 4) y = ln

5+ x ; y(− x ) = y (x ) – функция четная 5− x

№ 1286

1) y = 2 x 2 − 1 , y (− x ) = 2(− x ) − 1 = y (x ) – функция четная 2

2) y = x − x3 , y (− x ) = − x + x3 = y (− x ) – функция нечетная

1 1 , y (− x ) = − x5 + = y (x ) – функция нечетная x x sin (x ) − sin x

3) y = x5 − 4) y =

x

, y (− x ) =

= y (x ) – функция четная

x

№ 1287

1) y = x sin x , y (− x ) = − x(− sin x ) = y (x ) – функция четная 2) y = x 2 cos x , y (− x ) = (− x ) cos x = y (x ) – функция четная 2

3) y = x + sin x , y (− x ) = − x − sin x = − y (x ) – функция нечетная

4) y = x + cos x , y (− x ) = − x + cos x — функция не является четной и не является нечетной.

№ 1288 1) y = cos

2π 4 π 3x T= 3 = 2 3 2

2) y = 2 sin 0,6 x

T=

2π 10 = π 0,6 3

№ 1289 1). y = cos 3 x; 3T = 2π; T =

x T 2π ; 2). y = sin ; = 2π; T = 10π ; 3 5 5

π ; 5 sin x cos x + sin x sin x(cos x + 1) = = tgx(cos x + 1) ; 4). y = sin x + tgx; y = cos x cos x 3). y = tg 5 x; 5T = π; T =

Наименьший период для sin x 2π, для tgx 2π тоже являются периодом. Следовательно для у = sinx + 69x Т=2π.

№ 1290

1) y = − x 4 + 4 x 2 − 5 , y (− x ) = − x 4 + 4 x 2 − 5 = y (x ) – функция четная 2) y = x3 − 4 x , y (− x ) = − x3 + 4 x = − y (x ) – функция нечетная

221


№ 1291

y = ax 2 + bx − 4 , y (1) = 0, y (4 ) = 0 ,

⎧0 = a + b − 4 ⎨0 = 16a + 4b − 4; ⎩

⎧b = 4 − a ⎧b = 4 − a ⎧b = 5 ⎨16a + 16 − 4a = 0; ⎨12a + 12 = 0 ⎨a = −1 ⎩ ⎩ ⎩

y = − x 2 + 5b − 4 . Наибольшее значение функция принимает в точке x =

5 ⎛5⎞ ; y⎜ ⎟ = 2,25 2 ⎝2⎠

№ 1292 ⎛1 ⎞ 3 π⎞ ⎛ sin 2 x − cos 2 x ⎟ = 2 sin ⎜ 2 x − ⎟ ⎜2 ⎟ 2 3⎠ ⎝ ⎝ ⎠

1) y = sin 2 x − 3 cos 2 x = 2⎜

(

)

2) y = 2 cos 2 x + sin 2 2 x = 2 cos 2 x − sin 2 x + 4 sin 2 x cos 2 x =

( = 2(1 − 2 sin 2

(

2

2

(

2

)

= 2 1 − sin x − sin x + 2 sin x ⋅ 1 − sin x = 2

2

4

)

x + 2 sin x − 2 sin x = 2 − 4 sin 2 x

2

1 ≥ sin x ≥ 0 , ymax = 2 , ymin = −2 . (Опечатка в ответе задачника).

№ 1293 1) y = 2 x 2 − 5 x + 6 , с осью 0y: х = 0, у = 6 ⇒ (0, 6), с осью 0х пересечений нет, т.к. D < 0; 2) y = 2 x 2 − 5 x + 2 , c осью 0у: х = 0, у = 2 ⇒ (0, 2) с осью 0х: x 1 =

2

5 ± 25 − 16 5 ± 3 ⎛1 ⎞ = , (2, 0) и ⎜ ,0 ⎟ . 4 4 ⎝2 ⎠

№ 1294 y = ax 2 + bx + c , y (−2 ) = 15, y (3) = 0, y (0 ) = −3 ⎧15 = 4a − 2b + c ⎪ ⎨0 = 0a + 3b + c ; ⎪⎩− 3 = c

⎧c = -3 ⎪ ; ⎨- 3a + 1 = b ⎪⎩15 = 4a + 6a - 2 - 3

⎧a = 2 ⎪ ⎨b = -5 ⎪⎩c = -3

y = 2 x 2 − 5 x − 3 — график функции — парабола с

1⎞ ⎛5 ,−6 ⎟ , ветви которой направле4 8⎠ ⎝

вершиной в точке ⎜ ны вверх.

222


№ 1295 y = 25 − x 2 , 1) 25 − x 2 ≥ 0, (5 − x )(5 + x ) ≥ 0; D( y ) = [− 5;5] ; 2) y (− x ) = 25 − x 2 = y (x ) — четная;

1 2

3) y ' = − ⋅ 2 x ⋅

1 25 − x 2

=−

x 25 − x 2

, у′ = 0 при х = 0;

4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно 0у. Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5].

№ 1296 y=

5 x−2

1) D( y ) = (−∞;2 ) U (2;+∞ ) ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая 3) y ' =

−5 , (x − 2 )2

y ' ≠ 0 , следователь-

но стационарных точек нет. 4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересечений нет; 5) y′ < 0 при x ≠ 2 , следовательно функция убывает.

№ 1297 1) y = 3x + 1

а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

3x ln 3

г) 0х: у = 0 – пересечений нет, 0у: х = 0, у = 2 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает. 223


x

⎛1⎞

2) y = ⎜ ⎟

−3

⎝2⎠ а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

(0,5)x ln (0,5)

г) 0х: у = 0 – пересечений нет 0у: х = 0, у = -3 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает 3) y = log 2 (x + 1) а) D(y): x + 1 > 0, т.е. х > - 1 б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

1

(x + 1) ln 2

г) 0х: у = 0, х = 0; 0у: х = 0, у = 0 д) y′ > 0 при x > -1 — функция возрастает y′ < 0 при х < -1, но на данном промежутке функция не существует. 4) y = log 1 (x − 1) 3

а) D(y): x – 1 > 0, x > 1 б) функция не является четной и не является нечетной в) y ' =

1

(x − 1)ln 13

г) 0х: у = 0, х = 2 0у: х = 0 – пересечений нет д) y’ > 0 при x > 1, функция возрастает y’ < 0 при x < 1, но функция на данном промежутке не существует.

№ 1298 1) y = 2 x −1 − 3

а) D(y): x ∈ (−∞;+∞ ) б) функция не является четной и не является нечетной в) y ' =

2 x −1 ln 2

г) 0х: у = 0, х = log23+1 0y: x = 0, y = -2,5 224


д) y’ > 0 при x > -2 y’ < 0 при x < -2, но на данном интервале функция не существует 2). y = log 2 ( x + 2) + 3 ; а) Д(у) : х+2>0; х>-2; б) функция не обладает свойствами четности или нечетности; в) y ' =

1 15 7 1 ; г) Ох : у=0 при x = −2 + = − = −1 ; 8 8 8 ( x + 2) ln 2

Оу : х=0 при у=4; д). у′>0 при х>-2; у'<0 при х<-2, но на этом интервале функция не существует, следовательно, данная функция возрастает на области определения.

№ 1299 1) y = 2 x + lg(6 − 3x ) , D(y): 6 – 3x > 0, x < 2; 2) 3 − x − 2 ln (2 x + 4 ) , D(y): 2x + 4 > 0, x > -2; 1 π nπ 3) y = , D( y ) : cos 2 x ≠ 0, x ≠ + , n∈Z ; 4 2 cos 2 x x x 4) y = tg , D( y ) : cos ≠ 0, x ≠ 2π + 4nπ, n ∈ Z . 4 4 № 1300 – + x −3 x −3 1) y = , ≥0 x+3 x+3 –3 3 D(y): x ∈ (−∞;−3) U [3;+∞ ) 2) y =

log3

2x +1 x−6 2x + 1 − x + 6 ≥ 0; x−6

2x + 1 ≥ 1; x−6 x+7 ≥0 x−6 D(y): x ∈ (−∞;−7 ]U (6;+∞ ) .

+ –7

+

+ 6

№ 1301 x 2 − 6 x − 16 , x 2 − 12 x + 11 (x − 8)(x + 2) ≥ 0; x ∈ (− ∞;−2]U (1;8]U (11;+∞ ) ; D( y ) : (x − 11)(x − 1)

1) y =

2) y = log 1 (x − 3) − 1 , 2

1 ⎧ ⎧log (x − 3) − 1 ≥ 0 ⎪ x − 3 ≤ ; ⎨ D( y ) : ⎨ 1 / 2 2; ⎩x − 3 > 0 ⎪⎩ x − 3 > 0

1 ⎧ 1⎤ ⎛ ⎪x ≤ 3 ⎨ 2 ; x ∈ ⎜ 3; 3 ⎥ . 2⎦ ⎝ ⎪⎩ x > 3 225


№ 1302 1) y =

(

)

⎧⎪ x 2 − 5 x + 7 > 0 log0,8 x 2 − 5 x + 7 , D( y )⎨ ; 2 ⎪⎩log0,8 x − 5 x + 7 ≥ 0

2

(

)

2

x − 5 x + 7 = 0; D < 0 ⇒ x − 5 x + 7 > 0 ;

x 2 − 5 x + 7 ≤ 1; x 2 − 5 x + 6 ≤ 0; x1, 2 = 2) y =

(

)

5 ± 1 ⎧ x ∈ (− ∞;+∞ ) ; ⎨ x ∈ (2;3) ; 2 ⎩ x ∈ (2;3)

log0,5 x 2 − 9 ,

[

]

) (

⎧⎪ x 2 − 9 > 0 D( y ) : ⎨ ; x ∈ − 10 ;−3 ∪ 3; 10 . 2 ⎪⎩log 0,5 x − 9 ≥ 0 № 1303 6 1) y = x 2 + 6 x + 3 , x0 = − = −3, y0 = −6, след. y ≥ −6 ; 2 −8 2) y = −2 x 2 + 8 x − 1 , x0 = = 2, y0 = 7, след. y ≤ 7 ; −4

(

)

3) y = e x + 1 , ex > 0, след. y > 1; 4) y = 2 +

2 2 2 , y − 2 = ; x ≠ 0, ≠0 ⇒ y≠2. x x x

№ 1304 π⎞ π⎞ ⎛ ⎟ , − 1 ≤ sin ⎜ x − ⎟ ≤ 1, след. y ∈ [− 0,5;1.5] ; 4⎠ 4⎠ ⎝ 0,5 2) y = 0,5 cos x + sin x; y = 1,25 cos(α − x ); α = ar cos ; 1,25 ⎛

1) y = 0,5 + sin ⎜ x −

[

− 1,25 ≤ 1,25 cos x ≤ 1,25 ; − 1 ≤ sin x ≤ 1, след. y ∈ − 1,25 ; 1,25

№ 1305 1) f (x ) = sin x + cos x, x0 = 2) f (x ) = cos 3 x, x0 =

π π π , k = f ' (x ) = cos − sin = −1 ; 2 2 2

π π , k = f ' (x0 ) = −3 sin = −3 . 6 2

№ 1306 1

1 1 1 − − x , x0 = 1 , f ' (x ) = − x −3 − x 2 , 2 2 2 4x π f ' (1) = −1 = tgα, α = − ; 4

1) f (x ) =

226

]


1 1 ⎛ 3 ⎞ , f ' ( x ) = ⎜ 2 x 2 ⎟' = 3 x 2 , 3 ⎝ ⎠ π ⎛1⎞ f ' ⎜ ⎟ = 3 = tgα, α = . 3 ⎝ 3⎠

2) f (x ) = 2 x x , x0 =

№ 1307 1) f (x ) =

3 1 , x0 = , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , 4 4x x 5

9 − ⎛ 3 −3 ⎞ ⎛1⎞ f ' (x ) = ⎜ x 2 ⎟' = − x 2 , f ' ⎜ ⎟ = −36 , 8 ⎝4 ⎠ ⎝4⎠ 1⎞ ⎛ y = 6 − 36⎜ x − ⎟; y = 15 − 36 x 4⎠ ⎝ 4 2) f (x ) = 2 x − x 2 + 4, x0 = −1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,

f ' (x ) = 8 x3 − 2 x , f ' (−1) = −6 , y = 5 − 6(x + 1); y = −1 − 6 x .

№ 1308 y = x3 − x + 1 = f ( x) . Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0, g = f (x) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f '(x) = 3x2 −1 , f ' (0) = −1 = k, следовательно к=–1.

№ 1309 y = 3 x3 − 1 = f ( x), y = 2 , 2 = 3x3 − 1, x = 1 , f ′( x) = 9 x 2 ;

f ′(1) = 9 , k = f ' (1) = 9 ⋅1 = 9 .

№ 1310 y = 4x − 3 , y = 6 − 2x + x2 . Приравняем 4 х − 3 и 6 − 2 х + х 2 , 4 x − 3 = 6 − 2 x + x 2 ,

x 2 − 6 x + 9 = 0 , (x − 3)2 = 0 , x = 3, y = 9 . Ответ: (3; 9).

№ 1311 y = 4 x3 − 9 x 2 + 6 x + 1 , y ' = 12 x 2 − 18 x + 6 . По условию k = y (x0 ) = 0 , где х0 – точка касания; 12 x 2 − 18 x + 6 = 0 , 2 x 2 − 3x + 1 = 0 , x1 = 1, x2 = 0,5; y1 = 2, y2 = 2,25 . Ответ: (1;2), (0,5;2,25).

№ 1312

π , тогда tgα = 1 = y'(x 0 ), где х0 – точка каса4 ния; y ' = 6 x + 7 = 1, x = −1, y = −3 . Ответ: (-1;-3). y = 3x 2 + 7 x + 1, α =

227


№ 1313 1) f (x ) = x ln 2 x, x0 = 0,5 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , x f ' (x ) = ln 2x + ⋅ 2 = ln 2x + 1 , f ' (0,5) = 0 + 1 , 2x 1⎞ 1 ⎛ y = 0 + 1⎜ x − ⎟; y = x − ; 2⎠ 2 ⎝

2) f (x ) = 2− x , x0 = 1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f ' (x ) = −2− x ln 2 ,

1 1 1 1 f ' (1) = − ln 2 , y = − ln 2(x − 1) = (1 + ln 2 − x ln 2) . 2 2 2 2 № 1314 y = x3 − x 2 − 7 x + 6, M (2;−4 ) , y ' = 3x 2 − 2 x − 7 , π y ' (2) = 12 − 4 − 7 = 1 , tgα = y ' (2) = 1 , α = . 4 № 1315 y = x 2 ⋅ e− x , x = 1 , tgα = y ' (1) , y ' = 2 x ⋅ e− x − x 2e− x , 2 1 1 1 y ' (1) = − = , tgα = . e e e e № 1316 2 ⎛ π⎞ π y = cos⎜ 3x − ⎟, x = , 3 ⎝ 6⎠ 3 π⎞ π ⎛ ⎛ π⎞ y ' = −2 sin ⎜ 3x − ⎟; y' ⎜ ⎟ = −1, α = − . 6⎠ 4 ��� ⎝3⎠

№ 1317 x3 + 1 x3 + 1 , = 0, x = −1; y = f (− 1) + f ' (− 1)(x + 1) , 3 3 f ' (x ) = x 2 ; f ' (− 1) = 1 , y = x + 1 . f (x ) =

№ 1318 f (x ) = x3 + 1, x = 4 , y = f (4) + f ' (4)(x − 4) , 3 1 f ' (x ) = x 2 ; f ' (4) = 3 , y = 9 + 3(x − 4); y = 3x − 3 . 2 № 1319 x2 + 1 1) y = 2 ; x −1 2 x x 2 − 1 − 2 x x 2 + 1 2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x − 4x y' = . = = 2 2 2 x2 − 1 x2 − 1 x2 −1

(

228

) ( ( )

)

(

)

(

)


Функция возрастает при x < 0

x2 − 1 ; x

(

)

2 x2 − x2 − 1 x2 + 1 = 2 . x2 x Функция возрастает при x ≠ 0 2) y =

y' =

№ 1320 1) y = (x − 1)3 (x − 2 )2 ; y ' = 3(x − 1)2 (x − 2 )2 + 2(x − 2 )(x − 1)3 = = (x − 1)2 (x − 2)(3(x − 2) + 2(x − 2)) = (x − 1)2 (x − 2)(5 x − 8) +

+

+

1

2

8 5

8 — точка максимума; x = 2 — точка минимума; 5 2) y = 4 + (6 − x )4 , y ' = −4(6 − x )3 x=

х = 6 — точка минимума.

№ 1321 1) y =

= −

(

)

(

+

6

)

3x 2 + 4 x + 4 (6 x + 4) x 2 + x + 1 − (2 x + 1) 3x 2 + 4 x + 4 = ; y' = 2 2 x + x +1 x2 + x + 1

3

2

2

6x + 6x + 6x + 4x + 4x + 4

(x

2

)

+ x +1

2

6 x3 + 8 x 2 + 8 x + 3x 2 + 4 x + 4

(x

2

)

+ x +1

2

(

)

− =

− x2 − 2 x

(x

2

=

− x(x + 2)

) (x

+ x +1

2

2

)

+ x +1

2

+ – -2 0 х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума; (2 x + 6)(3x + 4) − 3⎛⎜ x 2 + 6 x + 3⎞⎟ x2 + 6 x + 3 ⎝ ⎠= 2) y = , y' = 2 –

(3x + 4)

3x + 4

=

2

2

6 x + 26 x + 24 − 3x − 18 x − 9 3x 2 + 8 x + 15 = > 0, (3x + 4)2 (3x + 4)2

следовательно,

функция возрастает на всей числовой, за исключением точки x = −

4 , в ко3

торой функция не определена. Следовательно нет точек максимума и минимума. 229


№ 1322 1) y = 2 sin x + sin 2 x

⎡ 3π ⎤ ⎢0; 2 ⎥ , ⎣ ⎦

x 3 y ' = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ⋅ 2 cos x ⋅ cos , 2 2 3 x cos x > 0 при x ∈ (0; π) cos > 0 при x ∈ (0; π) 2 2 , , 3x π 2πn x cos = 0 x = + cos = 0 x = π + 2πn 2 3 3 2 ⎛π⎞ 3 ⎛ 3π ⎞ y (0) = 0 y⎜ ⎟ = −2 y⎜ ⎟ = , y(π) = 0 , ⎝3⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛π⎞ 3 ⎛ 3π ⎞ наиб.: y ⎜ ⎟ = ; наим.: y⎜ ⎟ = −2 ; ⎝3⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎡ π⎤ 2) y = 2 sin x + cos 2 x ⎢0; ⎥ , ⎣

2⎦

y ' = 2 cos x − 2 sin 2 x = 2 cos x(1 − 2 sin x ) , ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , 1 − 2 sin x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , cледова⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠

тельно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.

№ 1323 1) y =

x+5

[− 1;4] ,

y' =

1 > 0 , следовательно, 2 x+5

у = 2 – минимум; у = 3 – максимум; ⎡ π⎤ 2) y = sin x + 2 2 cos x ⎢0; ⎥ , ⎣ 2⎦ ⎛1 ⎞ 2 2 y ' = cos x − 2 2 sin x = 3⎜ cos x − sin x ⎟ = 3 cos(α + x ) = 0 , ⎜3 ⎟ 3 ⎝ ⎠

1 π α = arccos , cos(α + x ) = 0 α + x = + πn , 2 3

π π π π + πn ≤ ; ≤ −α ≤ π, − π ≤ α ≤ − , что невозможно 2 2 2 2 ⎛π⎞ y (0) = 2 2 ; y⎜ ⎟ = 1 ⇒ наим.: у = 1; наиб.: y = 2 2 . ⎝2⎠

⇒ 0 ≤ −α −

№ 1324 1) y = ln x − x

x = 1; 230

[0,5;4) ,

1 ⎛1⎞ y⎜ ⎟ = − ln 2 − ; 2 2 ⎝ ⎠

y' =

1 −1 = 0 , x

y (4) = ln 4 − 4


y (1) = −1 ; наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1

[0;1] ,

2) y = x 1 − x 2

x ⋅ 2x

y' = 1 − x2 ; y (0 ) = 0 ;

2 1− x

2

1 − 2 x2

=

1− x

2

= 0;

x2 =

1 1 , , x=± 2 2

⎛ 1 ⎞ 1 1 1 1 ⎟= y (1) = 0 , y⎜⎜ ⋅ = , Наим. y = 0; Наиб. y = . ⎟ 2 2 2 2 2 ⎝ ⎠

№ 1325

Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндра

V = πr 2 (3 − r ) = 3πr 2 − 2πr 3 , V = 6πr − 3 ⋅ 2πr 2 = 6πr (1 − r ) .

Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, следовательно максимум функции Vбудет, при r = 1.

№ 1326 Площадь полной поверхности цилиндра S = 54π = 2πrh + 2πr 2 , где r – радиус основания, а h – высота, тогда объем V = πr2h , S = 54π = 2πrh + 2πr 2 ,

(

) (

)

27 − r 2 πr 2 27 − r 2 , тогда V = = π 27r 2 − r 3 , r r V ' = π 27 − 3r 2 = 3π 9 − r 2 , тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6, h=

(

)

(

)

тогда максимальный объем Vmax = 54π

№ 1327

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда по

условию х + h = 9; V = ⎛ 9 3 − ⎜2 3 4 ⎝

V ' = x⎜

1 4 3

x 2 (9 − x ), и так как объем максимальный, то

x ⎟ , V’ = 0, тогда х = 6. ⎟ ⎠

№ 1328

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогда

V = x 2 ⋅ h , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле:

x2 =

12 − h 2 3 12 − h 2 , тогда V = ⋅ h, V ' = 6 − h 2 , откуда находим, что 2 2 2

максимум достигается при h = 2.

№ 1329 2⎞ ⎛ f (x ) = x − 2 + cos x; M ⎜ 0,5π;− ⎟ π⎠ ⎝

первообразная: f1 (x ) = − x −1 + sin x + c, т.к. 231


2 2 2 ⎛π⎞ f1⎜ ⎟ = − запишем: − + 1 + c = − , откуда с = -1, следовательно π π π ⎝2⎠ первообразная имеет вид: y1 = − x −1 + sin x − 1 .

№ 1330 f (x ) = x 2 (2 x − 3) − 12(3 x − 2), − 3 ≤ x ≤ 6

(

)

f ' (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 36 x + 24 ' = 6 x 2 − 6 x − 36; Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3 f (− 2) = 68, f (− 3) = 51, f (3) = −57, f (6) = 132 . Ответ: -57 и 132.

№ 1331

(

1 1 1 6 − 9 ⋅ 2 ⋅ ln x ⋅ + 12 ⋅ = ln 2 x − 3 ln x + 2 x x x x 6⎛ 2 f ' (x ) = 0 при ⎜ ln x − 3 ln x + 2 ⎞⎟ = 0; ⎠ x⎝

1) f ' (x ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ln 2 x ⋅

ln x =

)

3± 9−8 , ln x = 2 и ln x = 1, т.е. х = е2 и х = е; 2

⎡ 3 ⎤ ⎡ 3 ⎤ 2) e2 ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥, e ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥ ; ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

( )

⎛ 3 ⎞ 25 3) f e3 = 9, f ⎜⎜ e 4 ⎟⎟ = 4 , f e2 = 4, f (e ) = 5 . 32 ⎝ ⎠

Ответ: 4 и 9.

№ 1332 y = x2 ,

⎛ 1⎞ A⎜ 2; ⎟ ; ⎝ 2⎠

1 ⎛ 1⎞ а) d 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ; A⎜ 2; ⎟, следовательно x1 = 2, y1 = ' 2 2 ⎝ ⎠

( )

X x; x 2 , следовательно x2 = x, y2 = x 2 ; 2

⎛1 ⎞ d 2 = (2 − x )2 + ⎜ − x 2 ⎟ ; x > 0 2 ⎝ ⎠

2

⎛1 ⎞ б) рассмотрим f (x ) = (2 − x )2 + ⎜ − x ⎟ и найдем ее наименьшнее 2 ⎠ ⎝ значение при x > 0. 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ f ' (x ) = ⎜ 4 − 4 x + x 2 + − x 2 + x 4 ⎟' = ⎜ 4 − 4 x + x 4 ⎟' = −4 + 4 x3; 4 ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠

f ' (x ) = 0 при − 4 + 4 x3 = 0, x3 − 1, x = 1 - стационарная точка 232


При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», след. функция принимает в ней наименьшее значение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1).

№ 1333

AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD.

1 ( AD + BC (x )) ⋅ h(x ), причем AD = 1, 2 BC (x ) = 2 x, h(x ) = 1 + 1 − x 2 = 2 − x 2 , т т. 1 1 S (x ) = (1 + 2 x ) 2 − x 2 = 2 + 4 x − x 2 − 2 x3 = 2 2 1 2 3 = 1 + 2 x − x − x , где 0 < x ≤ 1 2 S (x ) =

(

(

) (

)

)

Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2; S’(x) = 0 при x = -1 или x = Из полученных критических точек только x =

2 3

2 лежит в промежутке 3

(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это точка максимума. Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в полученной критической точке. 1 3 49 ⎛ 2 ⎞ 49 S (0) = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , S ⎜ ⎟ = , S (1) = , таким образом Smax = . 2 2 27 ⎝ 3 ⎠ 27

№ 1334 1) x ∈ [− 1;1]; B x;4 x 2 ; A − x;4 x 2 ;

(

) (

)

4 x 2 + yc x + xc ; yc = 12 − 4 x 2 ; ; xc = 6 − x; 6 = 2 3 1 1 3) S ABC = AB ⋅ CD = ⋅ 2 x ⋅ 12 − 4 x 2 − 4 x 2 = 4 3x − 2 x3 2 2 4) Рассмотрим функцию f (x ) = 4 3 x − 2 x3 на [0;1] и найдем ее наи-

2) C (xc ; yc ), 3 =

(

(

( ) f ' (x ) = 0 при 4 ⋅ (3 − 6 x ) = 0; x = ±

большее значение. f ' (x ) = 4 3 − 6 x 2 ,

)

) (

)

1 - стационарная точка. 2 1 При переходе через единственную стационарную точку на [-1;1] 2 2

производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция принимает наибольшее значение. 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ⎜ ⎟ =4 2. − ⋅ 5) S ABC = 4 ⋅ 3 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟⎟ 2 ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 233


№ 1335

y = x 2 + px + q; x = 5,

ymin = 1 ⎧1 = 25 + 5 p + q ⎨2 ⋅ 5 + p = 0 ; откуда p = -10, q = 26. ⎩

⎧1 = 25 + 5 p + q ; ⎨ y ' (5) = 0 ⎩

№ 1336 Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогда объем V =

V '=

(

)

400 1 1 2 1 πr h = π 400 − h 2 h = πh − πh3 , 3 3 3 3

⎛ 20 400 20 ⎞⎟⎛⎜ 20 ⎞⎟ π − πh 2 = π⎜⎜ h − h+ , h > 0, след. h0 = – точка ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎠⎝ 3⎠ ⎝

максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким образом h =

20 . 3

№ 1337 Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогда

V 2πr ⋅V + 2πr 2 2V = + 2πr 2 , ; S= 2 r πr πr 2 2V 4πr 3 − 2V V S ' = − 2 + 4πr = , точка минимума r = 3 , а минимальная 2π r r2

V = πr 2 ⋅ h, a S = 2πrh + 2πr 2 , h =

площадь Smin =

2V 3 2π ⎛V ⎞ + 2π⎜ ⎟ 3 V ⎝ 2π ⎠

2

3

= 2V

2

33

2πV

2

3

= 3V

2

33

2π = 33 2πV 2 .

№ 1338 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда S = 2πr ⋅ 2h = 4πrh , где h =

S ' = 4π R 2 − r 2 + =

4πR 2 − 8πr 2 2

R −r

2

=

(

2πr (− 2r ) 2

R −r

2

)

R 2 − r 2 , тогда S = 4πr R 2 − r 2 . =

(

)

4π R 2 − r 2 − 4πr 2 2

R − r2

=

4π R 2 − 2r 2 , r0 = R / 2 – точка максимума, т.к. при R2 − r 2

переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом r =

R . 2

№ 1339 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда V = πr 2 h = πr 2 R 2 − r 2 234


V ' = ⎛⎜ πr 2 R 2 − r 2 ⎞⎟' = π⎜⎜ 2r R 2 − r 2 − ⎝

=

( (

) ) = π(2rR

π 2r R 2 − r 2 − r 3 2

2

2

− 3r 3

2

)

⎞ ⎟= ⎟ R2 − r 2 ⎠

r3

2

R −r R −r 2 r0 = R – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак 3 2R 2 R с «+» на «-», тогда h = R2 − R2 = , соответственно высота 2h = 3 3 3 № 1340 Обозначим

через

h

высоту

конуса,

тогда

радиус

основания

r = R3 − (h − R )2 , а 1 1 1 V = π R 2 − (h − R )2 h = π R 2 − h 2 + 2hR − R 2 h = πh 2hR − h 2 3 3 3 4 1 1 V ' = π 2hR − h2 + h(2R − 2h) = πh(R − 3h); h0 = R – точка максимума. 3 3 3 № 1341 1 1 D Sкон = Sосн ⋅ h = πR 2 ⋅ h - задана 3 3 1 1 Sпир = Sосн ⋅ h = S ABC ⋅ h 3 3 α 1 S ABC = AB ⋅ BC ⋅ sin α 2 A C π α AC = 2 R sin α ∠BAC = ∠BCA = − 2 2 α 2 R sin α ⋅ cos AB AC 2 = 2 R cos α = AB = ⎛ π α ⎞ sin α sin α 2 sin ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ α α 1 S ABC = ⋅ 4 R 2 cos2 ⋅ sin α исследуем f = cos2 sin α 2 2 2 1 + cos α ⎞ 1 1 1 ⎛ 2 2 2 f ' = ⎜ sin α ⋅ ⎟' = cos α + cos α − sin α = cos α + cos α − 2 2 2 2 ⎝ ⎠ 2 f ' = 0 2 cos α + cos α − 1 = 0 D = 1 + 8 = 9 ;

( (

)

( )

(

cos α1 = −1; cos α 2 = π; α 2 = ±

)

(

)

)

1 , следовательно сумма всех углов треугольника 2

π π + 2πn, n ∈ Z , ⇒ α = . 3 3

235


№ 1342 Обозначим через r – радиус основания, тогда высота h =

(

)

p − 22 , а 2

π π ⎛ p − 4r ⎞ объем V = πr 2h = πr 2 ⎜ ⎟ , V ' = 2rp − 12r 2 = ⋅ 2r ( p − 6r ); 2 2 ⎝ 2 ⎠ r0 =

p πp 2 ⎛ p p ⎞ πp3 . - точка максимума, тогда Vmax = ⎜ − ⎟= 36 ⎝ 2 3 ⎠ 216 6

№ 1343 R2 − r 2 ;

Пусть АО1 = х, тогда OO1 =

V = π ⋅ x 2 ⋅ 2 R 2 − r 2 ; V = 2π R 2 x 4 − x 6 ; x > 0 и x < R Рассмотрим функцию g (x ) = 2π R 2 x 4 − x 6 при 0 < x < R и найдем ее наибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение в той же точке, что и f (x ) = R 2 x 4 − x 6 . f ' (x ) = 4 R 2 x 3 − 6 x 5 ;

2R2 2 – точка максимума, тогда H = R . 3 3

x0 =

№ 1344

Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогда

Vr + 2πr 4 , где V – объем r2 2 4πr 3 − V V - точка минимума, следовательно расход ; r0 = 3 S '= 4π r2

S = 2πrH + 4πr 2 = 2

(

)

жести будет наименьшим, когда

2r = H

2⋅3

⎛ V ⎞ V ⎟ ⋅ π⋅⎜3 ⎜ 4π ⎟ 4π ⎝ ⎠

т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника).

V

№ 1345 R 2 − r 2 ; О2О1 = 2х; S0 =

Пусть ОО1 = х, тогда AO1 =

(

)

(

)

2

=

2π ⋅ V 1 = , V ⋅ 4π 2

(

)

3 3 2 2 R −r ; 4

3 3 2 3 3 2 2 Vпр = R − r 2x = R x − x3 , причем x > 0 и x < R. 4 2 3 3 2 R x − x3 на (0;R) и найдем ее наибольшее Рассмотрим f (x ) = 2 3 3 2 R R − 3x 2 , x = – точка максимума, тогда наизначение: f ' (x ) = 2 3 2R . больший объем призма имеет при высоте 3

(

(

236

)

)


№ 1346

Пусть АО = x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получим

x b x H −h H (R − x ) = ; = ; h= ; R H R H R H ⋅ (R − x ) πH V = π ⋅ x2 ⋅ = Rx 2 − x3 , причем x > 0 и x < R. R R πH Рассмотрим функцию f (x ) = Rx 2 − x3 на (0;R) и найдем ее наиR

(

)

(

большее значение.

(

)

)

πH 2R – точка максимума, таким образом 2 Rx − 3x 2 , x = R 3 2R H ⋅R 3 H наибольший объем у цилиндра будет при r = . , h= = 3 R 3 № 1347 f' (x ) =

1) f (x ) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 4

(

)

f' (x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3 x 2 + 2 x − 3 = 3(x − 1)(x + 3) х = -3 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

+

1 ⎛ 4 ⎞ 2) f (x ) = x 4 − 2 x5 + 5 , f' (x ) = 4 x3 − 10 x 4 = x3 (4 − 10 x ) = x3 ⎜ − x ⎟ ; ⎝ 10 ⎠ + х = 0 – точка минимума –

0

0,4

-3

+

х = 0,4 – точка максимума

№ 1348 1) D(y) = IR, непрерывная, непериодическая, т.к. задана многочленом 2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни нечетная 3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -2 4) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0; 3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарные точки 5) (-∞;-1) – функция возрастает (-1;1) – функция убывает (1;+∞) – функция возрастает 6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е. х = -1, х = 1, т.е. (1;0), (-1;4).

237


№ 1349 1. D(y) = R 2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная, ни нечетная 3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1, х = 5, х = -1 4. y′ = 3x2 – 10x – 1 y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0;

x=

5± 2 7 3

5. x =

5−2 7 — точка максимума 3

5+2 7 — точка минимума 3 6. y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4 f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43 x=

№ 1350

1) f(x) = 4x3 + 6x2 а) D(y) = R б) f(-x)=-4x3+6x2 – ни четная, ни нечетная

+

в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2(4x+6)=0, x = 0, x = -1,5 г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1) х = -1 – точка максимума х = 0 – точка минимума

+

2) f(x) = 3x2 – 2x3; а) D(y) = R б) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0,

-1

+

0

3 2 г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x) x = 0 – точка минимума х = 1 – точка максимума

x2(3 – 2x) = 0, x = 0, x =

238

0

1


3) f (x ) =

+

1 3 x −x ; 3

+ -1

1 а) D(y) = R; б) f (− x ) = − x 3 + x , 3 следовательно функция нечетная

f (x ) = 0 при в)

1 3 x − x = 0; 3

⎛1 ⎞ x⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 0, x = ± 3 ⎠ ⎝3

1

;

x = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума + 4) f (x ) = x 4 − 1 x 2

+ –

0

½

х = -½, x = ½ – точки минимума х = 0 – точка максимума

2

а) D(y) = R б) f (− x ) = x 4 −

1 2 x - функция четная 2

f (x ) = 0 при x 4 − в)

1 2 x = 0, 2

1⎞ 1 ⎛ x 2 ⎜ x 2 − ⎟ = 0, x = 0, x = ± 2⎠ 2 ⎝

(

)

г) f ' (x ) = 4 x3 − x = x 4 x 2 − 1 =

1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ = 4 x⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎠⎝

№ 1351

+

+ − 2

0

x = − 2, x = 2

2

– точки

максимума х = 0 – точка минимума

1) y = −

x4 + x2 4

а) D(y) = IR б) f (− x ) = −

x4 + x 2 – функция четная 4

в) f (x ) = 0 при

(

− x4 + x 2 = 0; 4

)

x2 − x 2 + 4 = 0 ; x = 0, x = ±2 4

(

)

г) f ' (x ) = − x3 + 2 x = x − x 2 + 2 =

(

)(

= −x x − 2 x + 2

)

239


2) y = x4 – 2x2 –3 а) D(y) – R б) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четная

х = ± 1 – точка минимума х = 0 – точка максимума

в) f (x ) = 0 при x 4 − 2 x 2 − 3 = 0,

x = ± 1± 2 , след. x = ± 3 г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1) +

+ –

-1

0

1

№ 1352 1 3 x − x 2 − 3x + 9 3 а) D(y) = R 1 б) f (− x ) = − x 3 − x 2 + 3x + 9 – функция 3 ни четная, ни нечетная 1 в) f (x ) = 0 при x 3 − x 2 − 3x + 9 = 0, 3 1 2 ⎛1 ⎞ x (x − 3) − 3(x − 3) = 0, (x − 3)⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 3, x = ± 3 3 3 ⎝ ⎠

1) y =

⎛ 1 + 13 ⎞⎟⎛⎜ 1 − 3 ⎞⎟ г) f ' (x ) = x 2 − x − 3 = ⎜ x − x− ⎜ 2 ⎟⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ x=

1 − 13 – точка максимума 2

+

1 + 13 – точка минимума 2 2) y = -x4 + 6x2 – 9 а) D(y) – R б) f(-x) = f(x) – функция четная в) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0,

1 − 13 2

x=

x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2, x = ± 3

(

+

)

г) f ' (x ) = −4 x3 + 12 x = −4 x x 2 − 3 =

(

)(

= −4 x x − 3 x + 3 +

− 3

0