2 x2 3 4m 2 = ⋅ 3 = m 23 . 2 4 3sinϕ 3sin ϕ 4 3sin ϕ В ∆АВС ОК — радиус вписанной окружности, a 2m 1 m = = ⋅ . ОК= 2 3 3sinϕ 2 3 3sinϕ
х=
m⋅2
. S ∆ABC =Sосн=
В ∆SOK:
sinϕ m m SO =tg ϕ , SO=OK tg ϕ = ⋅ = . 3sinϕ cosϕ 3cosϕ OK
m2 3 1 1 m2 3 m Sосн⋅SO; V= ⋅ ⋅ = : 27 . 2 3 3 3sin ϕ 3cosϕ sin 2ϕ cos ϕ 737. Имеем SO — высота пирамиды, О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Обозначим сторону основания равной х. К — середина ребра SC, KL ⊥ плоскости ABCD, KL=m, т.к. плоскость SOC перпендикулярна плоскости ABCD и К ∈ плоскости SOC. KL — средняя линия в V=
∆SOC, значит SO=2m. LC=
m 2m 4m ,. OC=2CL= , AC=2OC= . tgϕ tgϕ tgϕ
Из прямоугольного треугольника АВС: х 2 =
1 1 8m 2 16m3 S ⋅ SO= ⋅ ⋅ 2m= . осн 3 3 tg 2 ϕ 2tg 2ϕ tg 2 ϕ 3tg 2ϕ 738. Имеем DO — высота пирамиды, плоскость DOC⊥ плоскости АВС. Проведем ОМ ⊥ DC, через точку О проведем KL параллельно AB, отрезки ML и МК. KL перпендикулярно плоскости DOC, значит, KL⊥DC. OM⊥DC — по построению. Плоскость
Sосн=х2=
16m 2
4m 4m , х= . tgϕ 2 tgϕ
=
8m 2
. V=
KLM⊥DC и поэтому LM⊥DC и КМ⊥DC. Тогда, ∠KML=2 ϕ , ∆КОМ=∆LOM, значит ∠КМО=∠LMO= ϕ . Пусть ∠ODM= α , следовательно, из прямоугольного ∆ODM: ОМ=h sin α . y Примем КО=OL=y. Из прямоугольного ∆LOM: =tg ϕ . (1) hsinα Рассмотрим треугольник АВС. В нем ОС — радиус описанной окружности, ОС=R, а OF — радиус вписанной окружности. OF=r. Обозначим сторону основания х, следовательно, AF=FB=
x . 2
143