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3.- ECUACIONES Resolver problemas donde se determine su solu­ ción por medio de ecuaciones en el conjunto de los  números reales

         

3.1-

Ecuación: Definiciones preliminares, Clases de Ecuaciones, Solución de una ecuación, Tipos de Ecuaciones, Ecuaciones Lineales, Ecuaciones Racionales y Resolución de problemas.

3.2-

Ecuación de 2do. Grado: Solución y Aplicaciones directas.

3.3-

Ecuación Radical: Definición y Solución.

3.4-

Ecuación con Valor Absoluto: Definición, Propiedades y Solución.

26 

3.5-

Sistema de Ecuaciones. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

 

2  16  23


Ecuaciones    

Progr rama de Ap poyo Didáct D tico Mattemátiicas

EC CUA ACIO ONE ES MOT TIVACIIÓN    

         

 

 

   

Mu uchas  situaciiones  de  nueestro  entorn no  profesional,  la‐

 

borral  o  cotidiano,  presentaan  relacioness  entre  diferrentes 

 

vallores, los cuaales pueden  expresarse p por medio d de una 

 

fórrmula, expressión o ecuaciión. Algunas veces, esta rrepre‐

       

sen ntación perm mite facilitar  la comprenssión de la missma y  ofrrece la posibiilidad de darle una respu uesta.  En  nuestro  casso  nos  ocupaaremos  de  problemas  o  situa‐ cio ones simples  y  necesitarremos manejar eficientem mente  un  conjunto dee herramienttas fundamentales de lass apli‐ cacciones  matem máticas,  las  cuales  nos  permiten  p ob btener 

 

unaa solución paarticular de lla misma. 

 

Con nsideremos  la  siguientee  situación  (con  ( los  núm meros  quee utilizamos  para contarr): se trata deel juego o accertijo 


Ecuaciones    

“Piensa un número”: 

 

1‐ Piensa un número 

                 

2‐ Multiplícalo por 2  3‐ Agrégale a lo obtenido 5  4‐ Multiplica el resultado anterior por 5  5‐ Súmale 10 a la cantidad obtenida  6‐ Multiplica el nuevo resultado por 10  7‐ Dime el resultado y te daré el número que pensaste      ¿Cómo funciona el truco?  Para ver qué hay detrás  de este acertijo, basta transfor‐ mar las frases anteriores en su equivalente simbólico; es  decir,  construir  las  expresiones  matemáticas  que  las  re‐ presentan.  Lo primero que haremos es simbolizar el número desco‐ nocido (el que piensa nuestro adversario) con una letra. 

“R” es el resultado que nos dan. Una 

Pongamos por caso n. A continuación convertimos todas 

vez  escogido  n  el  valor  R  queda 

las instrucciones a expresiones matemáticas: 

determinado  por  las  operaciones  especificadas  mediante  la  fórmula;  R  se  denomina  variable  depen­ diente  en  razón  de  que  su  valor  depende del valor n.  La  variable  n  es  el   número pen‐

  R(n)=100n + 350  Esta dependencia se indica por R(n)  y es lo  que en ma‐ temática se denomina una función. 

sado.   Como  la  variable   n  es  de   

Tomado con fines instruccionales: 

libre      escogencia,  ella  se  llama  va­

Fundación  Polar.  El  Mundo  de  la  Matemática.  Fascículo  6. 

riable independiente. 

Ecuaciones, pp.5­6. Caracas: Últimas Noticias. 

           


Ecuaciones

Objetivo  Resolver 

INSTRUCCIONES: 

problemas 

donde  se  determine  su  solución  por  medio  de  ecuaciones  en  el  con­ junto  de  los  números  reales  Para  el  logro  de  este  objeti‐ vo  se  contemplan  los  si‐ guientes temas:    Contenido  Terminología: Definición,  igualdad, variable, grado de  una ecuación.  Solución de una ecuación:  Lineal, Cuadrática, Radical,  Valor absoluto. 

Queremos  facilitarle  la  mayor  comprensión  de  los  contenidos  tratados, para ello te recomendamos lo siguiente:   • Familiarízate con toda la información que se te presenta en  esta página y no ignore ningún aspecto.  • Tenga  claro  lo  que  se  aspira  lograr  con  cada  tema  y  los  conocimientos previos que el mismo exige.  • Realiza la lectura del tema presentado y analiza  cada paso  cumplido  para  solucionar  los  ejercicios.  No  continúes  al  paso siguiente si no has comprendido el previo.   • Resuelve  nuevamente  cada  ejemplo  por  tu  cuenta  y  compara los resultados.  • A  medida  que  estés  resolviendo  los  ejemplos,  analiza  el  procedimiento aplicado en cada paso.  • Sigue  los  procedimientos  sugeridos  en  los  ejemplos  presentados.  • Intercambia  ideas,  procedimientos  y  soluciones  con  otros  estudiantes.  • Puedes  acceder  a  uno  de  los  temas,  haciendo  link  en  el  título.  

Planteamiento  y  resolu­ ción de problemas.    

             


Ecuaciones  

CONOCIMIENTOS PREVIOS  Pre requisitos  Números Racionales   Operaciones 

con 

números fraccionarios:  Adición 

sustracción 

Comprobación  Vamos a resolver las siguientes expresiones :  5 x 5 3x − 2⎛⎜ x − 4 ⎞⎟ + 4⎛⎜ − ⎞⎟ ,   i. ⎝4 ⎠ ⎝ 3 6⎠ Aplicamos la propiedad distributiva a los términos que están  entre paréntesis: 

con 

3x −

igual  o  diferente  denominador,    Multiplicación 

división  número 

de 

y  un 

entero 

10 4 20 x +8+ x − 4 3 6 , 

Simplificamos aquellas fracciones no simples.    5 4 10 3x − x + 8 + x − 2 3 3 ,  Ahora agrupamos términos semejantes:   ⎛ 3x − 5 x + 4 x ⎞ + ⎛ 8 − 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 ⎠     2 3 ⎠ ⎝ ⎝

por  un  número  fraccionado.    

18x − 15x + 8 x ⎛ 24 − 10 ⎞ +⎜ ⎟⇒ 6 ⎝ 3 ⎠

 

11 14 x+ 6 3  

Expresiones Algebrai­ ii.

cas:  ‐

Términos semejan‐ tes  

Agrupación de  términos semejan‐ tes, para sumar y  restar.   

8 3⎞ ⎛ 3 8 5⎞ ⎛4 2⎜ x − y + ⎟ + 5⎜ x + y − ⎟ ,   3 8⎠ ⎝ 2 5 3⎠ ⎝5

Aplicamos la propiedad distributiva a los términos que están  entre paréntesis:  8 16 6 15 40 25 x− y+ + x+ y− 5 3 8 2 5 3 ,  

Simplificamos aquellas fracciones no simples:   8 16 3 15 25 x − y + + x +8y − 5 3 4 2 3 ,   Ahora agrupamos términos semejantes y resolvemos:   ⎛ 8 x + 15 x ⎞ + ⎛ 8 y − 16 y ⎞ + ⎛ 3 − 25 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠    ⎝5 ⎛16x + 75x ⎞ + ⎛ 24y −16y ⎞ + ⎛ 9 − 25⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 10 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 12 ⎠   ⎛ 91x ⎞ + ⎛ 8 y ⎞ + ⎛ −16⎞ = 91x + 8 y − 4   ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 10 3 3  

 


Ecuaciones

DESARROLLO  

 

ECUACIONES: Definiciones Preliminares                    Una  de  las  grandes  diferencias  entre  Ecuación  e  Identidad,  es  que las identidades se demues­ tran,  mientras  que  las  ecuacio­ nes se resuelven.       

    Igualdad:  es  una  relación  donde  dos  cantidades  o  expresiones algebraicas tienen el mismo valor.     Ejemplos:   5 = 3 + 2 ;  a = b ‐ c;   3x + 7 = 16.      Ecuación:  es  una  igualdad  entre  dos  expresiones  algebraicas  que  es  verificada  solamente  para  valo‐ res  particulares  de  las  variables  contenidas  en  ellas.  Ejemplos:   a)  8x + 9 = 25     b)  t 2 − 9t + 1 = t + 3     c)  x + y = 2 y − 5 .      Identidad:  es  una  igualdad  que  se  verifica  para  cualquier  valor  de  las  variables.  Así  tenemos  por  ejemplo que estas son identidades:    ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 Producto notable

 

Sen 2α + Cos 2α = 1

 

la trigonometría 

   

− 3(2 x + 1) = −6 x − 3

Identidad fundamental de 

Propiedad Distributiva

 

  Incógnitas: son las variables que aparecen en una  ecuación  algebraica,  cuyo  valor  desconocemos  y  generalmente se denotan por las últimas letras del  alfabeto  x, y , z , w,  etc. 

 

 

     


Ecuaciones   Miembros de una ecuación: son las dos expresio‐ nes  algebraicas  que  forman  la  ecuación.  El  primer  miembro  está  al  lado  izquierdo  de  la igualdad  y  el  segundo miembro se encuentra al lado derecho. Así  la ecuación:

8 x + 9 = 25  

    Lado izquierdo

Lado Derecho

   

 

Clases de Ecuaciones: 

 

Ecuación Numérica: es una ecuación donde las 

 

únicas letras son las variables o incógnitas.  

 

Así  tenemos  que    8x + 9 = 25 ,  y 2 − y − 3 = 1   son 

     

ecuaciones numéricas.  •

de  las  incógnitas  tiene  otras  letras,  llamadas 

 

parámetros,  que  representan  cantidades  cono‐

  En  esta  unidad  trataremos  estas  ecuaciones pero de una variable.       

Ecuación  literal:  Es  una  ecuación  que  además 

cidas.   Así  las  ecuaciones: ax 2 + bx + c = 0 ,  ax + dy = c + b   son  ecuaciones  literales  donde  los  parámetros  son  a, b, c, d  y  x  es la variable. 

 

 

Solución  o  Raíz de una Ecuación: 

En este caso se dice que x = 2 es 

Son  los  valores  que  atribuidos  o  sustituidos en  las 

la solución o raíz de la ecuación. 

variables o incógnitas, producen una igualdad entre 

Si le damos a la variable x un va‐

los dos miembros de la ecuación.  Así para:  

lor diferente de 2, la igualdad no 

8 x + 9 = 25 , el valor de  x = 2  hace la ecuación ver‐

se cumple. 

dadera, es decir, se cumple la igualdad:  

 

8(2) + 9 = 16 + 9 = 25 .   

 


Ecuaciones  

Resolución de una Ecuación 

Resolver    una  ecuación,  consiste 

Es  hallar  la  o  las  soluciones  o  raíces  que  satisfacen  la 

en hallar  el valor de la incógnita 

ecuación.  A  continuación  vamos  a  enunciar  las  reglas 

de  tal  manera  que,  al  sustituirla 

básicas para resolver una ecuación.  

en  la  ecuación,  se  cumpla  la 

Regla  1:  Si  a  los  dos  miembros  de  una  ecuación  se  le 

igualdad.  Para  hacer  esto,  utili‐ zamos    el  proceso  descrito  a  la  derecha de este texto.   

suma o resta una misma cantidad (positiva o negativa),  la igualdad no se altera.  Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multi‐ plican o se dividen por una misma cantidad diferente de  cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera. 

 

Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan 

 

a una misma potencia, la igualdad no se altera.  Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le ex‐ trae una misma raíz, la igualdad no se altera.  Regla  5:  Cualquier  término  de  una  ecuación  se  puede  pasar de un miembro a otro, cambiándole el signo. Esta  regla se llama transposición de términos. 

  Cambio de Signo en una Ecuación:  Los  signos  de  todos  los  términos  de  una  ecuación  se  pueden  cambiar  sin  que  la  ecuación  varíe,  pues  equivale a multiplicar los dos lados o miembros de  la  ecuación  por  (‐1).  Así  la  ecuación:  5 x − 3 = 8   es  equivalente a:  (−1)(5 x − 3) = (−1)8 , es decir , la ecua‐ ción  5 x − 3 = 8   es  equivalente  a  la  ecuación 

− 5 x + 3 = −8     Tipos de ecuaciones:  Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:  a)  Polinomiales:  las  cuales  pueden  ser  de  una  o  varias variables.  El  grado  del  polinomio  representa  el  grado  de  la 


Ecuaciones   ecuación,  este  es  el  mayor  exponente  que  tiene  la  incógnita. Por ejemplo: 

2 x − 18 = 0                 es de primer grado  ( x )  

( ) + 2 y − y − 2 = 0  es de tercer grado  ( y )   − 4 = 0               es de cuarto grado  (n )  

x 2 − 4 x + 3 = 0       es de segundo grado  x 2  

y3 n4

3

2

4

  b)  Racionales:  son  aquellas  que  contienen  expre‐ siones algebraicas racionales, tales como:   b.1.‐ 

x−2 x−4 = ;   x+2 x+4

3x 2 + 4x = 2x b.2.‐  5x − 3   c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la  variable o incógnita dentro de una o más expresio‐ nes radicales, también son llamadas ecuaciones ra‐ dicales. Así, tenemos:  c.1.‐   

x+7 +

x −1 = 2

x+2

 

c.2.‐  3 5x2 + 1 = x + 3  

  d)  Ecuaciones  con  Valor  Absoluto:  son  aquellas  ecuaciones  donde  las  variables  o  incógnitas  están  dentro de un valor absoluto, tales como:     

2 d.1.‐  3x − 1 = 5 x + 4   d.2.‐  5x3 − 3 − = 0   3

   


Ecuaciones       El objetivo es despejar la incógni‐ ta  “x”,  hasta  encontrar  el  valor  de dicha incógnita.   

Ecuaciones Lineales:    Ejemplo 1. : Resuelva  la ecuación  2 x + 3 = 0 , y  simplifica el resultado si es posible.           2 x + 3 = 0  

2x = 0 − 3  

 

2 x = −3  

 

−3   x= 2

       

Pasamos el 3 para el otro lado de  la  ecuación  restando  y  resolve­ mos el lado derecho 

Pasamos  el  factor  2  que  está  multiplicando    para  el  otro  lado  de  la  ecuación  dividien­

Respuesta: la solución de  2 x + 3 = 0   es   x = − Ejemplo 2.  Resuelva  la ecuación 

  Llevamos la  ecuación a la forma  general.    Como  es  una  ecuación 

igual a cero.   

7x − 2 = 0 ,  4

 y simplifica el resultado si es posible.  ⇒ 7x − 2 = 0 ⇒ 7x = 0 + 2 ⇒ x =

racional  igualada  a  cero,  ésta  se  cumple sólo si el numerador es 

3 2 

Respuesta: La solución de  

2   7

7x − 2 2 = 0    es    x = .  4 7

Ejemplo 3. : Resuelva  la ecuación 

Observa  que  el  denominador  3 

8x − 3 5 = 3 x − , y simplifique el resultado si  2 3

en  el  lado  derecho  no  puede  pa‐

es posible. 

sar a multiplicar al lado izquierdo 

8x − 3 5 8 x − 3 3x 5 = 3x − ⇒ = −   2 1 3 2 3

porque  no  es  denominador  de  todos  los  términos.    Por  eso  te  sugerimos sacar el m.c.m. de am‐ bos  lados  de  la  ecuación  y  resol‐ ver. 

3.(8x − 3) 6 ⋅ 3x − 2 ⋅ 5 = ⇒ 24 x − 9 = 18x − 10 6 6 Respuesta: La solución de   1 x=−   6

8x − 3 5 = 3x −   es   2 3


Ecuaciones    

Ecuaciones Racionales: 

  Ejemplo 4. Resuelve  la ecuación 

  Ambos  lados  de  la  igualdad  tie‐

5 7 ,   = 2x + 1 2x −1

y simplifica el resultado si es posible. 

nen  una  fracción,  por  lo  tanto, 

5 7 = 2x + 1 2x − 1

pasamos  lo  que  está  dividiendo  en  un  lado  a  multiplicar  en  el 

⇒ 5 ( 2 x − 1) = 7 ( 2 x + 1)  

otro lado 

10 x − 5 = 14 x + 7 ⇒ 10 x − 14 x = 7 + 5  

 

10 x − 14 x = 7 + 5 ⇒ −4 x = 12 ⇒ x =

12   −4

Finalmente simplificamos 12/‐4 = ‐3  Respuesta: La solución de 

5 7   es   = 2x + 1 2x −1

x = −3   ax 2 = 3ax − , y  2 3 simplifica el resultado si es posible.

Puedes  observar  que  en  este  ejem‐

Ejemplo 5.

plo se presenta una ecuación literal  de  primer  grado.    Para  resolverla,  aplicaremos  las  mismas  reglas  que  usamos en las ecuaciones numéricas  de los ejemplos anteriores.    Para  despejar  la  variable  x  de  la  ecuación,  debemos  tomar  en  cuenta  que  el  coeficiente  del  mismo    15a,  pasa para el otro lado de la ecuación  dividiendo,  por  lo  tanto,  el  literal  a  tiene  que  ser  diferente  de  cero  (

a ≠ 0 ). 

Resuelve  la ecuación 

  ax 2 = 3ax − 2 3  3.(ax ) 6 ⋅ 3ax − 2 ⋅ 2 Se calcula el m.c.m. ⇒ = 6 6     ⇒  3ax = 18ax − 4 ⇒ 4 = 18ax − 3ax   4 4 ⇒ 4 = 15ax ⇒ 4 = 15ax ⇒   = x ,  es decir  x = 15a 15a si  a ≠ 0 .   ax 2 Respuesta: La solución de   = 3ax −   es    2 3 x=

4  si  a ≠ 0   15a  

 


Ecuaciones  

R Resolució ón de P Problem mas  Co omo estudia ante de nivell superior, ssabemos quee eres  ca apaz de enco ontrar la so olución a loss ejercicios o o pro­ bllemas  plantteados,  utillizando  los  procedimiientos  ad decuados. N No obstante,  te brindam mos aquí, alg gunas  su ugerencias  que  q pueden  servirte  dee  guía  para a  que  pu uedas resolvver este tipo de problem mas o modelo os.  1. Lee  “cuid dadosamentee”  el  enuncciado  del  prroble­ ma.  2. Vuelve  a  leer  el  enu unciado  tan ntas  veces  sean  necesaria as, hasta comprender p perfectamente los  datos  quee  ofrece  el  problema  p y  lo  que  te  piden  p encontrarr.  3. De ser neccesario, acosstúmbrate a a realizar un n  bosquejo d de la situaciión plantead da, en forma a  gráfica o een un planteeamiento inicial  4. Identifica  con  varia ables  (letrass)    los  dattos  e  incógnitass del problem ma.  5. Ubica los  datos del en nunciado y  relaciónaloss ma­ temáticam mente  mediante  ecuaciiones  o  fórm mulas  (algunos  datos  o  fórrmulas  no  se  s dan  en  forma  f explícita  en  e los  problemas,  se  su upone  que  debes  d conocerla as.  Ej.:  área,,  volumen,  velocidad,  v a acele­ ración gra avitacional, etc.).  6. Resuelve llas ecuacion nes para obttener un ressulta­ do. Utiliza a el método  correspond diente. en estte ca­ so, ecuación de primeer grado.  7. Verifica que el resulta ado obtenido o en el paso 6,  correspon nda a las preemisas y  solluciones del pro­ blema  8. Analiza sii la respuestta es razonable.  9. Responde exactamente lo que te han solicitado 


Ecuaciones    

Ejemplo 6.  Un hombre de 1,92 mts. de altura 

 

camina hacia un poste de luz que mide 6,4 

 

m. de altura. ¿Cuál es la longitud de la som­

 

bra del hombre en el piso, cuando él está a 

 

3,5 m. de distancia del poste? 

 

 

 

 

 

 

Hacemos una representación 

 

gráfica de la situación 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hemos  llamado    x   a  la  longitud  de  la  sombra  del 

 

hombre. 

 

Observamos que los triángulos  Δ LOP y  Δ AOB  son 

 

triángulos  semejantes,  esto  implica  que  sus  lados 

 

son proporcionales, es decir:  

 

L

6,4 m

A 1,92 O

x

B

3,5 m.

P

 

1,92 6,4 AB LP = = ,    entonces     x x + 3,5 OB OP despejando tenemos:  1,92( x + 3,5) = (6,4 )x ⇒ 1,92 x + 6,72 = 6,4 x   6,72 = 6,4 x − 1,92 x ⇒ 6,72 = 4,48 x

4,48x = 6,72   6,72 x= ⇒ x = 1,5 4,48

Respuesta: La sombra mide 1,5 m. cuando el hom‐ bre está a 3,5 m. del poste.     


Ecuaciones

 

Ejemplo 7. José Luís quiere salir a cenar con su 

 

novia Lisbeth, quien estudia en la UNEFA. Para 

 

evitar sorpresas, ella le pregunta: "¿cuánto di‐

Damos  por  sentado  que  el  estu‐

nero tienes?", y José Luis en vez de dar una 

diante ha seguido los pasos 1 y 2.  

respuesta directa, decide probar la habilidad 

El paso 3 no es necesario, pues no 

de Lisbeth y responde: "Si tuviera 50 Bs.F. más 

se  requiere  ningún  esquema 

de lo que tengo y después duplicara esa canti‐

gráfico.  Debemos  traducir  esta 

dad, tendría 350 Bs.F. más de lo que tengo". 

"mal  intencionada"  descripción 

Lisbeth, después de pensarlo, decide demos‐

del  problema  en  símbolos  ma‐

trarle que sí puede calcular cuánto dinero tie‐

temáticos.  

ne José Luis, con el siguiente procedimiento: 

         

Paso 4: Identificar el objetivo del problema.  Cantidad de dinero que tiene José Luis:  x   Paso  5:  Obtener  datos  y  relacionarlos  matemática‐ mente. 

 

Si tuviera 5Bs.F. más de lo que tengo:    x + 50  

 

y  después  duplicara  esa  cantidad:  2( x + 50 )

   

 tendría 35  más de lo que tengo :  x + 350   Paso  6:  Procesamos  los  datos  matemáticamente  y  resolviendo:  Comprobamos lo que José Luis dice:    2( x + 50 )   y   x + 350  son equivalentes.  Es  importante  no  continuar  el  ejercicio,  si  no  ha  comprendido la relación de estos datos.  Luego, tenemos que: 2(x + 50 ) = x + 350  


Ecuaciones   Y resolvemos la ecuación 2( x + 50 ) = x + 350 ⇒ 2 ⋅ x + (2 ) ⋅ 50 = x + 350 2 x − x = 350 − 100 ⇒ x = 250  

Es decir, la cantidad de dinero que tiene José Luis es  de 250 Bs.F.   Paso 7: Verificamos:  Si tuviera 50 Bs.F.  más de lo que tengo:  300 

y después duplicara esa cantidad :  600  tendría 350 más de lo que tengo: 350 250  600  Paso 8: Analizamos el resultado.  Este resultado es lógico y cumple con las condicio‐ nes del enunciado.  Paso 9: Aquí tenemos la respuesta.  Respuesta: José Luis tiene Bs.F. 250  lo cual él cree  que es suficiente para una cena con Lisbeth .  

   


Ecuaciones  

ECU UAC CIÓN N DE SEG S GUND NDO GR RAD DO  

Es una ecuacióón polinómicca cuyo graddo es dos (el mayorr exponente de d la variablle es 2). Porr ejemplo a) x 2 − 2 x + 3 = 0 1 2 1 c) x + = 2x 2 4

b) 3yy 2 − y = 2

En los ejemploos propuestoos, (a) está ordenada o e iggualadda a cero; (b)) está ordennada pero noo está igualaada a cerro; y (c) no está e ordenadaa ni igualadaa a cero. Sollución de un na ecuación de segundoo grado Parra hallar la solución s de una u ecuaciónn cuadrática (segunndo grado) es recomenndable ordeenarla en foorma desscendente e igualarla i a ceero, así tenddremos: a) x 2 − 2 x + 3 = 0 1 2 1 c) x − 2x + = 0 2 4

b) 3y 2 − y - 2 = 0

Ressolver una ecuación cuuadrática im mplica enconntrar los valores de la variable que al reem mplazarla satiisfagann la ecuación. No todass las ecuacioones cuadrátticas tiennen soluciónn dentro del conjunto de los núm meros reales; para alggunas ecuacciones la sollución pertennece al conjunto c de los númeroos imaginariios (lo cual está fueera del objetiivo de esta unidad). u

La ecuación general dee segundo grado con una incógnita, se exxpresa comoo:

axx 2 + bx + c = 0 , donnde:


Ecuaciones  

“ a ” es el coeficiente de x 2 , a ≠ 0 “ b ” es el coeficiente de x “ c ” es el término independiente. La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula cuadrática o  resolvente: 

Tenga presente que el denominador

x=

“ 2a ” divide a toda la expresión y no sólo a la raíz cuadrada.

La expresión “ b nante

2

− b ± b 2 − 4bc 2a

− 4ac ” se denomina el discrimi-

(Δ ) de la ecuación cuadrática y determina la

naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos

pueden presentar tres casos: •

Si

Δ = b 2 − 4ac es positivo, la ecuación

tiene dos soluciones reales.

Si

Δ = b 2 − 4ac es cero, la ecuación tiene

sólo una solución real.

Si

Δ = b 2 − 4ac es negativo, la ecuación no

tiene solución en los números reales.    

 

   


Ecuaciones  

     

Ej Ejemplo 1.

2 x 2 + 3x − 2 = 0  

Deeterminamo os  los valorees de  a, b  y  c . 

    Como  ell  discrimin nante  resulltó  positivo,  la  ecuació ón  tiene  dos  solucionees reales. 

Hallar  la  solución  de  d la  ecua ación  

a = 2 

el  signo  positivo  dee  la  raíz  cu ua‐ drada.    Para la 2d da. solución n  tomamos  el  signo  neggativo  de  laa  raíz  cuadrra‐ da.   

c = ‐2 2  

Lu uego calculaamos el valor del discrim minante:  Δ = b 2 − 4ac = (3) − 4( 2)((−2) ⇒ Δ = 9 + 16 ⇒ Δ = 25   2

Reeemplazand do en la “resolvente”, tenemos:  x=

  Para  la  1era.  1 soluciión  tomamos  

b  = 3   

− 3 ± 25 ;    2(2)

Prrimera solu ución   −3+5 2 1 = =   x1 = 4 4 2 Se egunda solu ución:    −3−5 −8 x2 = = = −2   4 4 Laas  solucionees  de  la  ecu uación  son 

1   y − 2 ,  pues  al  2

 

reeemplazar  estos  valorees    en  la  ecuación  origginal, 

 

éstta se cumple. 

 

Re espuesta:  L Las solucion nes de   2 x 2 + 3 x − 2 = 0  son 

 

x=

                 

1   y  x = 2   2

Ej Ejemplo 2.

5 :  Resuelva a  x 2 − x -1 = 0   6

Deeterminamo os  los valorees de  a, b  y  c . 

a = 1 1   

b=−

5   6

c = ‐1 

Lu uego calculaamos el valor del discrim minante: 


Ecuaciones    

2

positivo,  la  ecuación  tiene  dos 

25 169 ⎛ 5⎞ Δ = b − 4ac = ⎜ − ⎟ − 4(1)(−1) ⇒ Δ = +4⇒Δ= 36 36 ⎝ 6⎠  

soluciones reales. 

Reemplazando en la “resolvente”, tenemos 

2

Como  el  discriminante  resultó 

169 ⎛ −5⎞ 5 13 −⎜ ⎟± ± 36 6 ⎠   ⇒x= 6 6   x= ⎝ 2(1) 2

     

5 13 + 6 6 = 18 = 3   x1 = 2 12 2

Considerando  el  signo  positivo  de  la  raíz  cuadrada,  obtenemos  la primera solución   

5 13 8 − − 8 2 x2 = 6 6 = 6 = − = −   2 2 12 3

  Considerando  el  signo  negativo  de  la  raíz  cuadrada,  obtenemos  la segunda solución.    

Respuesta:  Las  soluciones  de  x 2 − x=

5 x- 1 = 0   son  6

3 2 y  x = −   2 3

 

 

Ejemplo 3.

Determinamos  los valores de a, b y c.  Luego calculamos el valor del discri‐

 

Resuelve   9 x 2 + 12 x + 4 = 0   a = 9   

b  = 12  

c = 4  

Δ = b 2 − 4ac = (12 ) − 4(9)( 4) → Δ = 144 − 144 ⇒ Δ = 0 2

minante:  Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene   

una solución real. 

 

x=

     

2 − b ± b 2 − 4bc - 12 − 12 ;  x = ;  x = −   = 2a 3 2 (9 ) 18

 

2 , pues al reempla‐ 3

 

zar  este  valor  en  la  ecuación    original,  ésta  se  cum‐

 

ple. Compruébalo.  

La solución de la ecuación es   −

   


Ecuaciones  

Ejemplo 4.

 

Resuelve la ecuación     2 x 2 − 3 x + 5 = 0  

Determinamos  los valores de  a, b  y  c . 

 

 

   

a = 2   

b  = ‐3  

c = 5  

Luego calculamos el valor del discriminante: 

 

Δ = b 2 − 4ac = (− 3) − 4( 2)(5) ⇒ Δ = 9 − 40 ⇒ Δ = −31

 

2

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tie­ ne solución real.  Respuesta:  la  ecuación  2 x 2 − 3 x + 5 = 0 ,  no  tiene  so­ lución en los números reales.   

Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas.

Ejemplo 5.

:Factorice

la

ecuación

2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = 0 En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra variable base, entonces reescribimos la ecuación: 2 x 2 − (5 y ) x − 3 y 2 = 0 , donde a = −2, b = −5 y c = −3 y 2


Ecuaciones  

Calculamos el valor del discriminante: Δ = b 2 − 4ac = (− 5 y ) − 4( 2)(−3 y 2 ) ⇒ Δ = 25 y 2 + 24 y 2 2

⇒ Δ = 49 y 2 Como el discriminante resultó positivo, para cualquier

valor de y , la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos

5 y ± 49 y 2 5y ± 7 y x= ⇒x= 2(2) 4 Donde x1 = x2 =

5 y + 7 y 12 y = = 3y 4 4

5y − 7 y − 2y 1 = =− y . 4 4 2

Luego las soluciones son x = 3 y y x = −

1 y . Por lo 2

tanto, la factorización queda de la siguiente forma: 1 ⎞ ⎛ 2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = 2( x − 3 y )⎜ x + y ⎟ = (x − 3 y )(2x + y ) 2 ⎠ ⎝

Respuesta: 2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = ( x − 3 y )(2 x + y )   De  la  definición  del  discriminante,  sabe‐

Ejemplo 6.

Encuentra  los  valores  de  “ x ”,  tal  que 

x + dx + 3 − d = 0 , tenga sólo una  raíz.  2

mos que cuando  b 2 − 4ac es igual a cero  (0),  la  ecuación  tiene  una  sola  raíz.    Por  lo tanto, el primer paso es determinar los 

Solución: 

a = 1 ,   b = d  y  c = 3 − d  

valores de  a, b  y  c   

Luego se  sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero. 

 

Δ = 0 ⇒ b 2 − 4ac = 0 ⇒ (d ) − 4 (1)(3 − d ) = 0 2

⇒ d 2 − 4 (3 − d ) = 0 ⇒ d 2 − 12 + 4d = 0 ⇒ d 2 + 4d − 12 = 0

 

 

 

Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula  cuadrática,  

 

d 2 + 4d − 12 = 0 ,   donde   a = 1 b = 4 c = −12    


Ecuaciones Δ = b 2 − 4ac = (4 ) − 4(1)( −12) ⇒ Δ = 16 + 48 ⇒ Δ = 64

Ahora  calculamos  el  valor  del  discri‐ minante   

2

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tie‐ ne  dos  soluciones  o  raíces  reales.  Reemplazando  en  la  “resolvente”, tenemos   

 

d=

−4±8 − (4) ± 64 ⇒d =   2(1) 2

Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, ob‐ tenemos la primera solución: 

d1 =

−4+8 4 = = 2  2 2

Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cua‐ drada, obtenemos la segunda solución:  − 4 − 8 − 12 d2 = = = −6     2 2 Las  soluciones  de  la  ecuación  son  d = 2,

d = −6 ,  es 

decir, que los valores  de “ d ” que hacen  que  la  ecuación en

x ,        x 2 + dx + 3 − d = 0   tenga  una  sola  solución,  son  

d = 2,

d = −6  y las ecuaciones resultantes de sustituir los 

valores de  d , son:  

x 2 + 2 x + 1 = 0     y    x 2 − 6 x + 9 = 0 .   


Ecuaciones  

Ecuaciones Radicales  

Una  ecuación  radical  es  aquella  que  tiene  una  o  más  incógnitas,  bajo  el  signo  radical.    Son  ejemplos  de  ecua‐ ciones radicales:  4

4 + 2. x − 2 = 2. 3

2 x +1 = 1 − 3x + 7 +

                                     

x   x+6 = 0 

Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuen‐  

ta lo siguiente: Si A y B son dos expresiones algebraicas, 

 

entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto 

 

de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación  

 

An = Bn donde n es cualquier entero positivo. 

 

Ejemplo 1.

 

Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformar‐

 

se de la siguiente manera: 

  Resuelva  3x − 6 = x − 2  

(

Para  eliminar  la  raíz  cua‐ drada, elevamos al cuadra‐ do  ambos  lados  de  la  igualdad. 

3x − 6

)

2

= (x − 2 )   2

Desarrollamos el producto notable  (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2   2

del lado derecho 

Despejamos los valores de 

3x − 6 = x 2 − 4 x + 4  

x , para igualar la ecuación 

0 = x 2 − 4 x + 4 − 3x + 6  

a cero. Entonces nos queda 

x 2 − 7 x + 10 = 0 , donde  

a = 1,  b = −7  y  c = 10  

una ecuación cuadrática. 

Ahora calculamos el valor del discriminante: 

 

    Δ = b 2 − 4ac = (− 7 ) − 4(1)(10) ⇒ Δ = 49 − 40 ⇒ Δ = 9  

 

Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene 

 

dos  soluciones  reales.  Reemplazando  en  la  “resolvente”, 

 

tenemos 

2

   


Ecuaciones   Recuerda 

la 

fórmula 

cuadrática o resolvente: 

x=

x=

− b ± b 2 − 4bc 2a  

 

− (−7) ± 9 7±3   ⇒x= 2(1) 2

Donde  x1 =

7 + 3 10 = = 5        y    2 2

x2 =

7−3 4 = = 2  2 2

 

Como se hicieron operaciones algebraicas para convertir‐

 

la  en  una  ecuación  cuadrática,  debemos  comprobar  am‐

 

bos valores de x en la ecuación original, por sustitución. 

 

Para   x = 5  la igualdad se cumple 

 

3 (5) − 6 = 5 − 2 ⇒ 15 − 6 = 3 ⇒ 9 = 3

 

Para   x = 2  la igualdad también se cumple 

       

3(2) − 6 = 2 − 2 ⇒

0=0

(cierto)  

(cierto) 

Respuesta:  Las  soluciones  de  la  ecuación  3x − 6 = x − 2 ,  son  x = 5  y  x = 2 .  :  Resuelva  5 x + 1 = 2 x + 3 + 1  

 

Ejemplo 2.

 

Primero  elevamos  al  cuadrado  ambos  miembros  de  la 

 

igualdad, para no alterar el valor de la expresión. 

(

 

) ( 2

5x + 1 =

)

2

2x + 3 + 1  

Nuevamente, elevamos al 

En  el  lado  izquierdo  de  la  ecuación,  tenemos  una  raíz 

cuadrado ambos miembros 

cuadrada elevada al cuadrado, la cual da como resultado 

de la igualdad 

la  expresión  sub‐radical.  En  el  lado  derecho  de  la  ecua‐

 

ción tenemos un binomio al cuadrado (producto notable):     

         

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2   donde  a =

2 x + 3      y    b = 1 . 

Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecua‐ ción, tenemos  5x + 1 =

(

)

2

2x + 3 + 2

(

)

2 x + 3 (1) + (1)   2

 

⇒ 5x + 1 = 2 x + 3 + 2 2 x + 3 + 1  

 

Despejamos la raíz cuadrada resultante 


Ecuaciones    

5 x + 1 − 2 x − 3 − 1 = 2 2 x + 3 ⇒ 3x − 3 = 2 2 x + 3   

 

(3 x − 3)2

 

(

)

2

= 2 2x + 3  

Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el 

 

cuadrado del lado derecho. 

 

(

)

2

(3 x ) 2 − 2(3 x )(3) + (3) 2 = (2) 2 2 x + 3 9 x 2 − 18 x + 9 = 8 x + 12 ⇒ 9 x 2 − 18 x + 9 − 8 x − 12 = 0

     

9 x 2 − 26 x − 3

 

Ahora  la  ecuación  puede  resolverse    mediante  la  fórmula 

 

cuadrática, donde:       a = 9 ,       b = −26      y      c = −3  

 

− b ± b 2 − 4ac − (− 26) ± x= = 2a

   

=

  Comprueba  que  ambos 

 

valores de  x  son  solución 

=

de  la  ecuación  original. 

5 x + 1 = 2 x + 3 + 1 . 

   

26 ± 784   18 =

26 ± 28     18

(− 26)2 − 4 (9)(− 3) 2 (9)

26 ± 676 + 108 18 26+ 28 54 x1 = = =3 18 18

Ejemplo 3.

  Multiplica  por  el  m.c.m  

x2 =

que  es 

x

,  resuelve  y 

simplifica 

26− 28 − 2 1 = =−   18 18 9

:  Resuelva la ecuación   

x. x −

x −

2 = 1  x

2 . x = 1. x x−2 = x ;           

( x − 2 )2 = (

x

x  

)  2

Eleva  al  cuadrado  am‐

x 2 − 4 x + 4 = x ⇒ x 2 − 5x + 4 = 0  

bos lados de la igualdad  

( x − 4)( x − 1) = 0  

y factoriza.  

 

 

   

 

Por  consiguiente    x = 4   y  x = 1 .  Verifica  si  cada  una  de  ellas son soluciones de la ecuación.    

 


Ecuaciones

Ecuaciones con Valor Absoluto El valor absoluto de f se define:

⎧ f si f ≥ 0 ⎪ f =⎨ o ⎪− f si f < 0 ⎩

Cuando trabajamos con cantidades, éstas se pueden tomar en dos sentidos, cantidades positivas o cantidades negativas. Así, en contabilidad el haber o crédito se denota con

Donde “ f ” puede ser un número,

el signo + y el debe o deuda se denota con signo −.

una variable o una expresión alge-

Para expresar que una persona tiene 100 Bs.F. en su

braica.

haber, diremos que tiene + 100Bs.F. mientras que para expresar que tiene una deuda de 100 Bs.F. diremos

El Valor Absoluto de una cantidad

que tiene – 100 Bs.F.

es el número que representa la

Otro ejemplo donde se utilizan los sentidos de las can-

cantidad, sin tomar en cuenta el

tidades es en los grados de un termómetro, los grados

signo de la cantidad.

sobre cero se denotan con signo + y los grados bajo cero se denotan con signo –. Así, para indicar que el

El Valor Relativo de una cantidad

termómetro marca 10º sobre cero, escribimos +10º y

es el signo de la misma, represen-

para indicar que marca 10º bajo cero, escribiremos –

tado por más (+) o menos (-).

10º. Entonces en una cantidad cualquiera, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el valor absoluto o magnitud de la cantidad y el valor relativo o signo de la cantidad. Ejemplo 1.

: Hallar el valor absoluto de las si-

guientes cantidades.

Ejemplo 1.

Para f = 8, tenemos que

+8 =8 b) Para f = - 5, tenemos que NOTA: Observa que el valor abso-

− 5 = −(− 5) = 5

luto de una expresión denotado por c) Para f = x, tenemos que


Ecuaciones  

⎧ x si x ≥ 0 ⎪ x =⎨ o ⎪− x si x < 0 ⎩

f , depende del signo de la expresión que se encuentra entre las barras y no de la variable, a menos que la expresión sea igual a la variable.

d)

f = x2 − 2 ,

Para

tenemos

que

⎧ x 2 − 2 si x 2 − 2 ≥ 0 ⎪ x2 − 2 = ⎨ o ⎪− x 2 − 2 si x 2 − 2 < 0 ⎩

(

)

Propiedades del Valor Absoluto

Propiedad 1: f ≥ 0 , para cualquier f ∈ ℜ

Observa que las propiedades del 1

Propiedad 2: f = − f

al 5 se refieren a igualdades, mientras que las propiedades 6 y 7 se

Propiedad 3: f =

refieren a desigualdades.

Propiedad 4: f ⋅ g = f ⋅ g

f2

Propiedad 5: Si g ≠ 0 entonces

f f = g g

f +g ≤ f + g

Propiedad 6:

(Desigualdad

triangular) Propiedad 7: f − g ≥ f − g

Sea a > 0 ,

Propiedad 8:

f = a es equiva-

lente a resolver las siguientes ecuaciones: a) Es decir,

f =a

ó

f =a

b)

si y sólo si,

f = −a f =a ó

f = −a

Propiedad 9: Sea a > 0 ,

a) f ≤ a

y

f ≤ a es equivalente a:

b) f ≥ − a

Es decir, f ≤ a si y sólo si − a ≤ f ≤ a f ≥ a es equivalente a:

Propiedad 10:

a) f ≥ a

ó

b) f ≤ − a  

 


Ecuaciones

Es decir, f ≥ a si y sólo si f ≥ a ó f ≤ − a En muchas ocasiones se nos presentan ecuaciones donde está involucrado el valor absoluto de una expresión algebraica, como por ejemplo: ⎛ 8x − 9 ⎞ ⎜ ⎟ = 625 ⎝ 1− x ⎠ 8x − 9 ⇒ =5 1− x 4

Ejemplo 2. Veamos

a

continuación

varios

3x = 5

ejemplos de resolución de ecuacio-

⎛ 8x − 9 ⎞ ⇒4 ⎜ ⎟ = ⎝ 1− x ⎠ 4

Resolver

la

4

625

siguiente

ecuación:

.

nes con valor absoluto, aplicando las

Aplicando la propiedad “8” de valor absoluto, tene-

propiedades.

mos que para f = 3 x nos queda: 3 x = 5 ⇒ 31 x2 =35 ó 31 x2 =4 −5 . 4 3 Ec .1

Ec .2

Resolvemos cada una de las ecuaciones:

Ec.1: 3x = 5 ⇒ x =

5 3

Ec.2 : 3 x = −5 ⇒ x =

Entonces

la

solución

3 x = 5 es

x=

Respuesta:

⎧5 5 ⎫ S = ⎨ ,− ⎬ ⎩3 3⎭

Ejemplo 3.

Resolver

de

y −5 3

la

ecuación

5 5 ó x=− 3 3

8x =9 x +1

Aplicando la propiedad “8” tenemos que: 8x 8x 8x =9⇒ =9 ó = −9 x 1 x +1 x 1 + + 1 424 3 1424 3 Ec.1

Ec.2

Resolvamos cada una de las ecuaciones:


Ecuaciones   8x = 9 ⇒ 8 x = 9( x + 1) ⇒ 8 x = 9 x + 9 x +1

Ec.1 :

8x − 9 x = 9 ⇒ − x = 9 Multiplicamos por (-1), la ecuación nos queda

− 1 ⋅ (− x ) = −1 ⋅ (9) ⇒ x = −9 Ec.2 :

8x = −9 ⇒ 8 x = −9( x + 1) ⇒ 8 x = −9 x − 9 x +1 8 x + 9 x = −9 ⇒ 17 x = −9 ⇒ x = −

Respuesta: la solución de la ecuación

9 17

8x = 9 es x +1

9⎫ ⎧ S = ⎨− 9,− ⎬ 17 ⎭ . ⎩

Nota:

Ejemplo 4.

No siempre una ecuación tiene

Resolver

4x = −8 1+ x

solución en los números reales. En

Si observamos el lado derecho de la ecuación, nota-

el siguiente ejemplo analizamos

mos que el valor es negativo, y por la propiedad 1

este caso

del valor absoluto, f ≥ 0 , es decir el valor absoluto de una expresión algebraica o aritmética siempre es

La propiedad 8 de valor absoluto nos dice que el valor de a, tiene que

positivo o igual a cero. Por lo tanto, la ecuación 4x = −8 no tiene solución en los números reales, 1+ x

ser estrictamente mayor que cero. así la solución es vacía, es decir

S =φ .

Respuesta: la solución de la ecuación

4x = −8 es 1+ x

S =φ

   


Ecuaciones

Ejemplo 5.

Resolver 3x − 2 = 2 x − 4

Para darle forma al ejemplo 19, pasamos el término x − 4 a dividir; sin embargo, observa que

3x − 2

= 2 no admite

x−4

el valor de x = 4, pues el denominador se anularía, por lo tanto si en la ecuación original x = 4, tendremos que 10 = 0 (lo cual es falso), esto quiere decir que x ≠ 4, entonces 3x − 2 =2 , x − 4 puede pasar a dividir y resolvemos: x−4 utilizando la propiedad 5 del valor absoluto

3x − 2 x−4

=

3x − 2 3x − 2 , así la ecuación queda: =2 x−4 x−4

Usando la propiedad “8” de valor absoluto tenemos entonces que

3x − 2 3x − 2 = −2 =2 ó 4 4 x − x − 14243 14243 Ec.1

Ec.2

Resolvamos cada una de las ecuaciones Ec.1 :

3x − 2 = 2 ⇒ 3 x − 2 = 2(x − 4 ) x−4 3 x − 2 = 2 x − 8 ⇒ 3 x − 2 x = −8 + 2 ⇒ x = −6

3x − 2 = −2 ⇒ 3 x − 2 = −2 ( x − 4 ) x−4 ⇒ 3 x + 2 = −2 x + 8 Ec.2 :

,

Agrupamos términos semejantes ⇒ 3 x + 2 x = 8 + 2 ⇒ 5 x = 10 ⇒ x =

10 ⇒x=2 5

Respuesta: Entonces la solución 3x − 2 = 2 x − 4 es S = {− 6 , 2}

de

la

ecuación


ECUACIONES