( x,τ ) = ( x0 ,τ 0 ) que satisface (Sira-Ramírez et
al., 2005):
f ( x0 ,τ 0 ) = 0
(7)
Usando (6), (7) se encuentra que cualquier punto de operación satisface:
x0 = [x10
x20
x40 ] = [h 0 nπ T
x30
0] , T
(8)
τ0 = 0.
Con
Donde h es cualquier número real y n = 0,±1,±2,... . Como se desea estabilizar el
péndulo alrededor de su configuración vertical invertida (n = 0 ) se selecciona el punto de operación:
x0 = [h 0 0 0] , τ 0 = 0 T
(9)
Usando estos datos ahora es posible encontrar que la aproximación lineal buscada está dada, alrededor del punto de operación ( x,τ ) = ( x 0 ,τ 0 ) , como: •
z = A z + Bw
0 0 • z= 0 0
(10)
∂ ∂ f ( x , τ ) x0 , B = f ( x , τ ) x0 , τ0 τ0 ∂x ∂τ z = x − x0 , w = τ − τ 0
Donde z es el error del estado y w es el error del par. Como
τ 0 = 0, w = τ − τ 0 , así:
∂ ∂ f ( x,τ ) x0 , B = f ( x, τ ) x0 , τ0 τ0 ∂x ∂τ z = x − x0 , w = τ (11) A=
Realizando las operaciones indicadas en (11) y usando el punto de operación (9) se encuentra que (10) se puede escribir como:
0 0 0
0 − m12 l12 L0 g I 0 J 1 + m1l12 + J 1 m1 L20 0 I 0 + m1 L20 m1l1 g I 0 J 1 + m1l12 + J 1 m1 L20
( ( (
)
(
)
(
)
)
)
0 0 z 1 0
0 J 1 + m1l12 2 2 I J + m1l1 + J 1 m1 L0 + 0 1 w (12) 0 − m1l1 L0 I J + m l 2 + J m L2 1 1 1 1 0 0 1
Esta es la aproximación lineal buscada. Como se mencionó anteriormente, usando (12) se puede diseñar un controlador por realimentación lineal del estado, el cual asegura buenos resultados si se restringe que el estado y la entrada ( x,τ ) sólo evolucionen alrededor del punto de operación (8). Esto también suele indicarse diciendo que z ≈ 0, w ≈ 0 . En Fantoni y Lozano (2002) se muestra que el sistema es controlable y que un controlador por retroalimentación de estado w = − Kz , con los valores adecuados de K, puede atrapar el péndulo en su posición vertical invertida. 2.3. Controlador lineal por retroalimentación de estado
donde (Sira-Ramírez et al., 2005):
A=
1
Un controlador por realimentación lineal del estado para el sistema dado en (12) tiene la siguiente forma:
τ = − K z , K = [k1 k 2 z = x − x0 = θ 0 − θ 0 d donde
θ 0d
k3 •
k 4 ],
θ 0 θ1
θ 1 •
T
(13)
es algún valor constante que se desee y
K es un vector de ganancias que deben determinarse. El cálculo de estas ganancias constituye el diseño del controlador. Nótese que el uso de (12) en (13) permite escribir: •
z = ( A − BK ) z
(14)
Esto permite darse cuenta de que si todos los Eigen valores de la matriz:
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