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PROBLEMA 12 André Cardoso, Nº2 Catarina Coval, Nº3 Patrícia Santos, Nº 13


ENUNCIADO 

Uma taça contém 13 bolas, de três cores, indistinguíveis ao tacto: 4 vermelhas, 3 pretas e 6 amarelas. 

Retira-se ao acaso, três bolas. Determina a probabilidade de as bolas:  

Serem todas da mesma cor; Serem uma de cada cor; Não serem da mesma cor.

Às treze bolas foram acrescentadas mais bolas pretas. São retiradas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. Considera os acontecimentos:  

A: “a primeira bola retirada é vermelha”; B: “a segunda bola retirada não é amarela”.

Determina quantas bolas pretas foram introduzidas de novo na taça, sabendo que a probabilidade condicionada p(B|A) é 70%.

2


P(SEREM TODAS DA MESMA COR) Utiliza-se o símbolo da adição porque ou se escolhe uma ou outra ou outra.

4C

Combinações possíveis de as três bolas que saírem terem cor preta

Combinações possíveis de as três bolas que saírem possuírem a cor amarela

3C + 6C + 3 3 3 ≈ 0,0874 13C 3

Combinações possíveis se as três bolas que saírem serem vermelhas

Número total de combinações caso se escolha três bolas aleatoriamente e independentemente da cor (número de casos possíveis)

3


P (SEREM UMA DE CADA COR) Utiliza-se o símbolo da multiplicação porque se escolhe uma e mais uma e mais outra.

4A

Escolha de uma bola das três de cor preta, sem repetição

Escolha de uma bola das seis de cor amarela, sem repetição

3A x 6A x 1 1 1 ≈ 0,2517 13C 3

Escolha de uma bola das quatro de cor vermelha, sem repetição

Número total de combinações caso se escolha três bolas aleatoriamente e independentemente da cor (número de casos possíveis)

4


P (NÃO SEREM DA MESMA COR) Visto que, o acontecimento “serem todas da mesma cor” é o acontecimento contrário do acontecimento “não serem da mesma cor” e sabendo que, a soma de acontecimentos contrários é 1, então p(não serem da mesma cor) é igual a:

Combinações possíveis de as três bolas que saírem terem cor preta

1-

4C

Combinações possíveis de as três bolas que saírem possuírem a cor amarela

3C + 6C + 3 3 3 ≈ 0,9126 13C 3

Combinações possíveis se as três bolas que saírem serem vermelhas

Número total de combinações caso se escolha três bolas aleatoriamente e independentemente da cor (número de casos possíveis)

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Nº DE BOLAS PRETAS INTRODUZIDAS p( B  A) p( B | A)  p( A)

Probabilidade de sair bola amarela sabendo que a primeira (vermelha) já saiu

6 x 0,7   8,4  0,7 x  6  x  12  x  0,7 x  x  6  8,4   0,3x  2,4  2,4 x  0,3  x 8

3 vermelhas 3+X pretas 6 amarelas

R: Foram introduzidas 8 bolas pretas na taça.

6


COMPOSIÇÃO 

LEI DE LAPLACE Seja E uma experiência aleatória (de uma taça com treze bolas de cores diferentes retirar três bolas ao acaso), sendo equiprováveis os n acontecimentos elementares. A probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis (n.c.f.) e o número de casos possíveis (n.c.p.). 7


COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO) Neste problema, o n.c.p. corresponde ao número total de combinações caso se escolha três bolas aleatoriamente e independentemente da cor. Corresponde a: 13C3  O n.c.f., no caso da primeira e última alínea do primeiro exercício, corresponde ao número total de combinações possíveis caso as três bolas que são extraídas sejam da mesma cor. Corresponde a: 4C3 + 3C3 + 6C3  O n.c.f., na segunda alínea da primeira questão, corresponde à escolha de uma bola de cada cor, sem repetição. Corresponde a: 4A1 x 3A1 x 6A1 

8


COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO) 

Relativamente à segunda questão, o que se pretende é determinar a probabilidade de não sair bola de cor amarela sabendo que a primeira, que possuía cor vermelha, já saiu e não foi reposta.

9


EXPLORAÇÃO 

Sabendo que se retirou o numero de bolas suficientes para que haja o mesmo número de bolas para cada cor. Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente e sem reposição.  Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente e com reposição. 

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3 bolas vermelhas 3 bolas pretas 3 bolas amarelas

P

P

V

A

9 bolas

P

V

V

A

P

A

V

A

P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A

3 2 3    9 8 7 3 3 2    9 8 7 3 3 2    9 8 2

1 28 1 28 1 28

3 2 3 1    9 8 7 28

3 3 2 1    9 8 7 28

3 3 2 1    9 8 7 28

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P(P) SEM REPOSIÇÃO 1 1 1 1 1 1 p( P)        28 28 28 28 28 28  1  p ( P)  6    28  6 p( P)   168 3 p( P)  14 12


3 bolas vermelhas 3 bolas pretas 3 bolas amarelas

P

P

V

A

9 bolas

P

V

V

A

P

A

V

A

P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A P V A

3 3 3 27 1     9 9 9 729 27 3 3 9 27 1     9 9 9 729 27 3 3 9 27 1     9 9 9 729 27

3 3 9 27 1     9 9 9 729 27 3 3 9 27 1     9 9 9 729 27

3 3 9 27 1     9 9 9 729 27

13


P(P) COM REPOSIÇÃO 1 1 1 1 1 1 p( P)        27 27 27 27 27 27  1  p ( P)  6    27  6 p( P)   162 1 p( P)  127 14


FIM!

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Problema 12