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Combinações, Arranjos e Permutações Aulas nº 23 e 24 13 de Outubro de 2011

Rua Professor Veiga Simão | 3700 - 355 Fajões | Telefone: 256 850 450 | Fax: 256 850 452 | www.agrupamento-fajoes.pt | E-mail: geral@agrupamento-fajoes.pt


Análise Combinatória Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, consideram-se conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentam-se alguns detalhes de tais agrupamentos.


DEFINIÇÃO DE n!  n fatorial

4!  4  3  2 1  24 6!  6  5  4  3  2 1  720 0!  1 n!  nn  1n  2...3  2 1 3


Permutação Denomina-se permutação de n elementos dados a toda sequência de n termos formada com os n elementos dados. Todo problema onde apenas a ordem em que os elementos aparecem distingue os agrupamentos é utilizado o conceito de permutação. Define-se por permutação a expressão abaixo :

Pn  n!

n! Pn  n1!n2 !..nk !

Anagramas da palavra GESTO

n5 P5  5! 120

Elementos Repetidos

Anagramas palavra CANDIDATA

n1  3 n2  2

3 ,2 9

P

9!   30240 3!2! 4


Exemplo 1: Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

P5  5!

Exemplo 2:

Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar se os rapazes ficam juntos e as raparigas também?

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Exemplo 3: Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar se os rapazes ficam juntos?

3  2!3!

Exemplo 4:

Cinco amigos, 2 raparigas e 3 rapazes vão ao cinema e sentam-se numa fila. De quantas formas se podem sentar sabendo que as raparigas ocupam os dois extremos?

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Arranjo Simples Denomina-se arranjos simples de n elementos distintos tomados k a k às sequências formadas de k termos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nos problemas onde a ordem dos elementos é importante é utilizado o conceito de arranjo. Define-se por arranjo a expressão abaixo : n

n! Ak  ( n  k )!

Quantos arranjos podemos fazer com as letras A, B, C, D e E letras do alfabeto agrupando-as 3 a 3?

k 3 n5

5

5! 5  4  3  2 1 A3    60 ( 5  3 )! 2 1 7


Exemplo 5: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los? Os números formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtém-se novos números, portanto, o problema é de arranjo simples. Logo

6

A3  120

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Exemplo 6: Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5? Como os números devem ser divisíveis por 5, os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismos que tínhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possíveis respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos teremos o número 4325

5

A3  60

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Exemplo 7: Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

9  A3  4536 9

Exemplo 8:

Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

8

A3  336

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Exemplo 9: Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9?

3  A3  360 6

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Arranjo com Repetição Denomina-se arranjos com repetição de n elementos distintos tomados k a k às sequências formadas de k termos escolhidos entre os n elementos dados. O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos interessa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez. Define-se por arranjo com repetição pela expressão abaixo :

n

Ak'  n k

Quantos arranjos com repetição podemos fazer com as 26 letras do alfabeto agrupando-as 3 a 3?

n  26 k 3

26

A3'  263  17576 12 12


Exemplo 10:

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7?

6

A 3  6  216 '

3

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Combinação Denomina-se combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formados de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Nos problemas onde a ordem dos elementos não interessa é utilizado o conceito de combinação. Define-se por combinação a expressão abaixo :

n

n! Ck  k ! ( n  k )!

Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas ?

8! 8  7  6  5! C3    56 3! ( 8  3 )! 3!5!

8

14


Exemplo 11: Num lote com 20 peças existem 5 defeituosas. Escolhe-se quatro peças do lote ao acaso, ou seja, uma amostra de 4 elementos, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante. 1) Quantas amostras de 4 elementos podemos escolher?

20! 20 19 18 17 16! C4    4845 4! ( 20  4 )! 4!16!

20

Espaço Amostral

2) Supõe que se quer calcular a probabilidade de se escolher duas peças defeituosas. Um princípio fundamental de contagem nos diz que, se uma tarefa pode ser executadas em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então as duas podem ser realizadas simultaneamente de p.q maneiras.  Princípio multiplicativo. 15


Maneiras de ter4 peças com 2 defeituosas e 2 boas é então Formas de ter 2 peças defeituosas

Formas de ter 2 peças boas

5! C2   10 2!3! 15! 15 C2   105 2!13! 5

C2 C2  1050

Possibilidades de Ter duas defeituosas e duas boas

15

5

Portanto, a probabilidade de se escolher duas peças defeituosas P(A) será 15

C2 5C2 1050 P( A )  20   0,217 C4 4845 16


Exemplo 12: Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas ?

C3  10

5

Exemplo 13:

Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos? 13

C3  C3  C3  220 8

5

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Exemplo 14: Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé? 7

C5  5!  2520

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Exemplo 15: Considera todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. 1) Determina a probabilidade de o número escolhido ter exatamente dois algarismos iguais a 1. Número de casos possíveis: 9

A  9  6561 ' 4

4

C2  A  6  8  384

Número de casos favoráveis: 4

Probabilidade Pedida =

8

' 2

2

384  0,06  6% 6561


Exemplo 16: Considera todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. 2) Determina a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior que 9800. Número de casos possíveis: 9

A  9  6561

Número de casos favoráveis:

7

Probabilidade Pedida =

' 4

4

A2  42

42  0,006 6561


Em resumo:

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A partir da Página 56 do Manual adotado Do exercício 74 ao 107 Ficha de Trabalho nº4

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FIM

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