Issuu on Google+

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3 (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn) 3

2

2

Giaû söû : y = ax + bx + cx + d vôùi a ≠ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax + 2bx + c, y” = 6ax + 2b 1)

−b y” = 0 ⇔ x = 3a (a ≠ 0 ) −b x = 3a laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm

taâm ñoái xöùng. 2)

Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :

i)

a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)

ii)

a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân

giaûm) iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2 ⇒ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2. Ngoaøi ra ta coøn coù : + x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. + haøm soá taêng treân (−∞, x1) + haøm soá taêng treân (x2, +∞) + haøm soá giaûm treân (x1, x2) iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2 ⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x 1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x 2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù : + haøm soá giaûm treân (−∞, x1) + haøm soá giaûm treân (x2, +∞) + haøm soá taêng treân (x1, x2) 3)

Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0; thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q

4)

(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

aânbieätx1, x 2  y' = 0 coù2 nghieäm ph ⇔   y(x1).y(x 2 ) < 0


5)

Giaû söû a > 0 ta coù :

i)

(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > α

aânbieätthoûaα < x1 < x 2  y' = 0 coù2 nghieäm ph   y (α ) < 0   y(x1).y(x 2 ) < 0

ii)

(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < α

aânbieätthoûax1 < x 2 < α  y' = 0 coù2 nghieäm ph   y (α ) > 0   y(x1).y(x 2 ) < 0

Töông töï khi a < 0 . 6)

Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M ∈ (C). Neáu M ≡ I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn.

7)

(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau ⇔ y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)

8)

3

2

Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax + bx + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α laø 1 nghieäm cuûa (1). Neáu x = α laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù 3

2

2

ax + bx + cx + d = (x - α)(ax + b1x + c1) 2

nghieäm cuûa (1) laø x = α vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau: i)

neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α

ii)

neáu (2) coù nghieäm keùp x = α thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α

iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ α thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = α vaø 1 nghieäm khaùc α thì (1) coù 2 nghieäm. v)

neáu (2) coù nghieäm keùp ≠ α thì (1) coù 2 nghieäm

BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (C m) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø 3

2

y = −x + mx − m vaø y = kx + k + 1.


(I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 1)

Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C).

2)

Goïi ∆ laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E ∈ ∆ vôùi (C).

3)

Tìm E ∈ ∆ ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.

4)

Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh.

5)

Tìm M ∈ (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C). (II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.

6)

Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (C m). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau.

7)

Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò.

8)

Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.

9)

Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2).

b) haøm soá nghòch bieán trong (0,

+∞). 10)

Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng.

11)

Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (D k) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (D k) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.

12)

Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).

13)

Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

BAØI GIAÛI PHAÀN I : m = 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm) 1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 2

vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x + 6x ⇒ heä soá 2

goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä


soá goùc laø k2 =

1 k1

(vôùi 0 < k1 ≤ 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp 2

tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x + 6x =

1 k1

2

(= k2) ⇔ 3x – 6x

1 k1

= 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, ∀

k1 ∈ (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M. 2) E (e, 1) ∈ ∆. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) +  − x3 + 3n2 − 3 = h(x − e) + 1 1 (D). (D) tieáp xuùc (C) ⇔ heä  − 3x 2 + 6x = h coù nghieäm. 

⇒ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : 3

2

3

2

2

– x + 3x – 3 = (– 3x + 6x)(x – e)+ 1 ⇔

– x + 3x – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)

(x – 2)(x – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)

x = 2 hay x – x – 2 = 3x – 3ex

x = 2 hay 2x – (3e – 1)x + 2 = 0

(1)

2

2

2

2

(2)

2

(2) coù ∆ = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) coù nghieäm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2 Ta coù ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > Bieän luaän : i) Neáu e < – 1 hay

5 3

5 3

.

< e < 2 hay e > 2

⇒(1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ coù 3 tieáp tuyeán. ii) Neáu e = – 1 hay e =

5 3

hay e = 2

⇒ (1) coù 2 nghieäm ⇒ coù 2 tieáp tuyeán. iii) Neáu – 1 < e <

5 3

⇒ (1) coù 1 nghieäm ⇒ coù 1 tieáp tuyeán.

Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, ∀ e. 3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), ∀ e vaø ñöôøng x = α khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.


(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1

5   e < −1∨ e > 3  (2)  x1, x 2 laønghieämcuûa  ( −3x 2 + 6x )( −3x 2 + 6x ) = −1 1 1 2 2  

      

x1 + x 2 = x1.x 2 = 1

3e − 1 2

5 3

9x1.x 2 ( x1 − 2)( x 2 − 2) = −1 5   e < −1 haye >  3  9 [ 1 − ( 3 e − 1 ) + 4] = −1 

⇔ ⇔

e < −1 hay e >

e=

55 27

. Vaäy E

 55  ,1   27 

4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : 2

y' = p ⇔ 3x – 6x + p = 0 Ta coù

(3)

∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3

Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3). Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù : x3 + x 4 − b = =1 2 2a y 3 + y 4 − (x33 + x 34 ) + 3( x32 + x 24 ) − 6 = = −1 2 2

Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4. 5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ≠ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng : ∀ M ∈ (C), ta coù : i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.


Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) ∈ (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng : 3 2 y = k(x – x0) − x 0 + 3x 0 − 3

(D)

Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : − x 3 + 3 x 2 − 3 = (−3 x 2 + 6 x)( x − x0 ) − x03 + 3 x02 − 3 3

x 30

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x −

− 3(x −

x = x 0 hay x =

x 20 ) + (x

2

(5)

− x 0 )( −3x + 6x) = 0

x − x 0 = 0 ∨ x 2 + xx 0 + x 20 − 3x − 3x 0 − 3x 2 + 6x = 0 x = x 0 hay 2x 2 − (3 + x 0 )x − x 20 + 3x 0 = 0 x = x 0 hay (x − x 0 )(2x + x 0 − 3) = 0

3 − x0 2

Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) ∈ (C) ⇔

x0 =

3 − x0 ⇔ x0 = 1 2

Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán). Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0 2

Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), ∀m ⇔

3

2

y + x = m (x – 1) , ∀m

2

 x − 1= 0  x= 1  = − 1x  3 ⇔  hay y =+ 0x  = − 1y  y= 1

Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1). 2

Vì y' = – 3x + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (C m) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø : a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.


2

a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m = – 1 ⇔ m =

± 10 . 2

7) Haøm coù cöïc trò ⇔ y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät. 2

3x = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät.

x = 0 vaø x =

m ≠ 0. Khi ñoù, ta coù :

2m 3

laø 2 nghieäm phaân bieät.

1  2  1 y =  m2x − m  +  x − m y' 9  9  3

vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø : y=

2 2 m x −m 9

(vôùi m ≠ 0)

8) Khi m ≠ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù : 2m 3 2 2  2 2  y(x1).y(x2) =  9 m x1 − m  9 m x 2 − m  2 2 4 4 2 2 = − 9 m (x1 + x 2 ) + m = − 27 m + m

x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = ⇒

Vôùi m ≠ 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0 4 2 m +1 < 0 27

m2 >

27 3 3 ⇔ m> 4 2

Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. ⇔

bieätx1, x 2 y' = 0 coù2 nghieämphaân  y( x1).y( x 2 ) < 0

m >

Nhaän xeùt : i) Khi

m <−

3 3 2

3 3 2 thì

phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1

nghieäm döông. ii) Khi

m>

3 3 2

thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1

nghieäm aâm. 2

9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) ⇔ – 3x + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2). Neáu m ≠ 0 ta coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø

2m 3 .


i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân

2m  ,0   3 

. Vaäy loaïi

tröôøng hôïp m < 0 ii) Neáu m = 0 ⇒ haøm luoân nghòch bieán (loaïi). iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân Do ñoù, ycbt ⇔ m > 0 vaø ⇔

 2m  [1,2] ⊂ 0,  3  

 2m  0,   3  

2m ≥2 ⇔m ≥3 3

b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0. Khi m ≤ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân

2m   −∞, 3   

vaø haøm

soá cuõng nghòch bieán treân [0, +∞). Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +∞) thì m ≤ 0. Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn. 10)

m

y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3

(Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau. ⇔

y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân

truïc hoaønh.  3 3  m > 2 ⇔  m ⇔    y  = 0   3  ⇔ 11)

 3 3  m > 2  3 2  − m + m. m − m = 0  27 9

 3 3  m > ±3 6 2 ⇔m=  2 2  2m − 1 = 0  27

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø 3

2

– x + mx – m = kx + k + 1 2

3

m(x – 1) = k(x + 1) + 1 + x

x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x

x = – 1 hay x – (m + 1)x + k + m + 1 = 0

2

2

a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät

(11)


⇔ ⇔

(11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1  1+ m + 1+ k + m + 1 ≠ 0  2  (m + 1) − 4( k + m + 1) > 0

⇔ (*)

 k ≠ − 2m − 3 2  k < m − 2m − 3  4

b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) ∈ (Cm) neân ta coù : (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau. ⇒ ⇒ ⇒

(Dk) qua ñieåm uoán 2m3 m  − m = k  + 1 + 1 27 3  3 2m − 27m − 27 k= (**) 9(m + 3)

 m 2m3   ; − m   3 27 

cuûa (Cm)

Vaäy ycbt ⇔ k thoûa (*) vaø (**). 12)

Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : y = k(x + 1) + 1

(Dk)

Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D k) vaø (Cm) laø : 3

2

2

– x + mx – m = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 2

2

(12)

3

m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x

x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x + 2mx + 1 – x + x

x = – 1 hay 2x + (1 – m)x – m – 1 = 0

x = – 1 ∨ x= 2

2

2

2

m +1

y' (–1) = – 2m – 3

2

 m + 1  m + 1  m + 1 y'   = −3  + 2m   2   2   2 

1

(13)

2

= 4 (m – 2m – 3)

Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 1

2

y = 4 (m – 2m – 3)(x + 1) + 1 Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1.


13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø : 2

h = – 3x + 2mx Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi

x =−

b m = 2a 3 (hoaønh

ñoä

ñieåm uoán) Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. 2

Nhaän xeùt :

m m2 m2  − 3x 2 + 2mx = −3 x 2 −  + ≤ 3 3 3 

Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3 3

2

y = ax + bx + cx + d, ta coù : i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát. ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. PHAÏM HOÀNG DANH (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)


Ontaphamsobac3