Issuu on Google+

CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC (1) Phöông trình maët caàu 1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R =

a 2 + b2 + c2 − d neáu ta coù ñieàu kieän

a 2 + b2 + c 2 – d > 0 3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R. Ví duï 1: Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d) ⎧5x − 4 y + 3z + 20 = 0 ⎨ ⎩3x − 4 y + z − 8 = 0 taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16 Giaûi Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng (d) laø ⎧ x = t − 14 ⎪ 1 25 ⎪ ⎨y = t − 2 2 ⎪ z = − t ⎪⎩

G Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a = ⎛ 1 ⎞ ⎜ 1, , −1⎟ . Vaäy phöông trình (P) vieát ⎝ 2 ⎠ (x – 2) +

1 (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 2

Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä

(

t – 14,

thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù 1

1 25 t– , –t 2 2

)


2(t – 14) +

(

1 25 t– 2 2

)

+2t – 9 = 0

Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11). Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = Do ñoù baùn kính maët caàu laø R =

25 + 100 + 100 = 15 IK 2 +

AB2 = 4

225 + 64

Neân phöông trình maët caàu vieát laø : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví duï 2: Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d) ⎧2 x + 4y − z − 7 = 0 ⎨ ⎩4 x + 5y + z − 14 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình (P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ;

(Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0 Giaûi

Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùc vôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P). Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä

⎧2x + 4y − z − 7 = 0 ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⎪ x + 2y − 2z − 2 = 0 ⎩

⇒ A(2, 1, 1)

Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä

⎧2x + 4y − z − 7 = 0 ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⎪ x + 2y − 2z + 4 = 0 ⎩

⇒ B(–4, 5, 5)

Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1 Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1. Ví duï 3 ( ÑH KHOÁI D –2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua 3 ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P). Giaûi

2


Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) neân ta coù: ⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧ a = −1 ⎪2a + d = −1 ⎪b = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪2a + 2b + 2c + d = −3 ⎪ c = −1 ⎪⎩a + b + c = −2 ⎪⎩d = 1

⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 Caùch 2: Goïi I(x; y; z) laø taâm maët caàu ⎪⎧ IA 2 = IB2 = IC2 ⎪⎩ I ∈ (P)

Giaû thieát cho: ⎨

⎧(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = (x − 1)2 + y 2 + z 2 ⎪⎪ ⇔ ⎨(x − 1)2 + y2 + z2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ⎪x + y + z − 2 = 0 ⎪⎩ ⎧x = 1 ⎧2x + 2z − 4 = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨y + z = 1 ⇔ ⎨y = 0 ⇒ I (1; 0; 1) ⎪x + y + z − 2 = 0 ⎪z = 1 ⎩ ⎩

Baùn kính R = IB = 1 Suy ra phöông trình maët caàu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví duï4 ( Ñeà Döï Tröõ KHOÁI D -2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng ⎧2x − 2y − z + 1 = 0 thaúng d : ⎨ vaø maët caàu ⎩x + 2 y − 2 z − 4 = 0 (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9.

Giaûi Phöông trình maët caàu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m

ÑK : m < 13 13 − m . 9 Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN) 2 ⎧−2y − z + 1 = 0 ⎧ y = 1 ⇒⎨ ⇒ A(0; 1; −1) (d) cho x = 0 ⇒ ⎨ ⎩2y − 2z − 4 = 0 ⎩z = −1 (S) coù taâm I(−2; 3; 0), R =

⎡→ → n1 = (2, − 2, − 1) ⇒ a = 3(2; 1; 2) (d) coù ⎢ → ⎢ ⎢⎣ n 2 = (1, 2, − 2) ⎯→

⎯→

AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) ⎯→ →

IH = d(I, d) =

⏐[ AI , a ]⏐ →

⏐a⏐

=

9 1+ 4 + 4 3 4 + 1+ 4

Δ vuoâng IHN ta coù :

IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 +

= 3.

81 117 = 4 4

3


⇔m= −

65 . 4

Ví duï 5 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m laø tham soá) vaø maët caàu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9 Tìm m ñeå maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S). Vôùi m tìm ñöôïc haõy xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S).

Giaûi Maët caàu (S) coù taâm I(1; −1; 1), baùn kính R = 3.

Maët phaúng P tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ d(I: P) = R 2 ⇔ 2 − 2 + 1 − m − 3m = 3 4 + 4 + 1

⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN)

⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0 ⎧ x = 1 + 2t ⎪ Phöông trình ñöôøng thaúng Δ qua I vaø ⊥ (P) : Δ ⎨ y = −1 + 2t ⎪z = 1 + t ⎩

Theá vaøo phöông trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ Tieáp ñieåm M cuûa P vaø (S) laø M(3; 1; 2). Caùch khaùc IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1 ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2)

PHAÏM HOÀNG DANH-TRAÀN MINH QUANG –TRAÀN VAÊN TOAØN ( TRUNG TAÂM LUYEÄN THI CLC VÓNH VIEÃN )

4


hinhcau