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ISSN 1390-8847

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FACULTAD DE CIENCIAS REVISTA

DIVULGACIÓN MATEMÁTICA

VOLUMEN 2 / DICIEMBRE 2014

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CONTENIDO REVISTA

XIV Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones.

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III Congreso Internacional de Economía; Economía popular y solidaria, el buen vivir y la Economía Matemática.

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Programa de Doctorado en Matemática Aplicada.

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Programa de Maestría en Optimización Matemática.

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Proyectos de investigación internacionales en el MODEMAT

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Entrevista a múltiple medallista de oro en las Olimpiadas de la SEdeM.

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Diseño y diagramación Julio Erazo

Una formulación compacta de Programación Lineal Entera para el Problema de Particionamiento general de Grafos.

Fotografía Sandra Gutiérrez Ramiro Torres

Muestreo para la aceptación de lotes por variables, conocida la desviación estándar del proceso y la especificación inferior.

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Impresión Gráficas Iberia Caracas OE3-216 y Venezuela Telfs: 25 21 529 / 22 20 434

Análisis de Correspondencias del Proceso a la Condena de Franz Kafka.

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Curso: Educación Matemática y tecnologías

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Segunda edición Diciembre 2014

Nuevos Proyectos de Investigación

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Nuevos Profesores que se adscriben al Departamento de Matemática

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Un espacio para el entretenimiento

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DIVULGACIÓN MATEMÁTICA

Créditos Departamento de Matemática Escuela Politécnica Nacional ISSN 1390-8847 Comité editorial Dr. Luis Horna (Director) MSc. Gisela Coronel

Tiraje de 500 ejemplares Sugerencias y comentarios departamento.matematica@epn.edu.ec luis.horna@epn.edu.ec

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Presentación.


PRESENTACIÓN Estimados lectores: En este segundo número de la Revista DIMAT, se realiza una recopilación de diferentes actividades desarrolladas por los profesores que conforman el Departamento de Matemática, durante la segunda mitad del 2014; se hace la entrega del informe sobre la ejecución del XIV Encuentro de Matemáticas y sus Aplicaciones, así como la invitación para el III Congreso Internacional de Economía que se llevará a cabo en julio del presente año. Además, se hace conocer sobre el gran salto cualitativo que ha dado el Departamento de Matemática y sus profesores e investigadores, en el segundo semestre del año, cuando el Consejo de Educación Superior (CES), bajo la vigencia de la Ley Orgánica de Educación Superior (LOES), aprobara los primeros programas de posgrado de investigación en matemática en nuestro país: la Maestría en Optimización Matemática y el Doctorado en Matemática Aplicada, sobre los cuales se publican sus detalles. Es indudable que este suceso es un extraordinario reto científico entregado al referente de la universidad pública ecuatoriana en el área de la matemática, que alcanzará una elevada reputación en nuestra región, por tanto y, en forma permanente, el Departamento de Matemática estará informando al país y al mundo, y evidentemente a nuestras autoridades institucionales y nacionales, sobre la marcha y los frutos que produzcan nuestros programas de posgrado con la respectiva cuantificación del impacto en sus diferentes facetas.

El Departamento de Matemática, unidad académica organizada dentro de la Facultad de Ciencias de la Escuela Politécnica Nacional, ha tenido el privilegio de realizar el lanzamiento de los programas de posgrado, que sin lugar a dudas, cristaliza el sueño de los fundadores de nuestras carreras: Bill Voxman, Bernard Chevreau, Vicente Landázuri, y tantos otros profesores de Estados Unidos, Francia, Alemania, que contribuyeron en la consolidación de la formación matemática ecuatoriana. Esta peculiaridad precisamente motivó a que nuestros primeros graduados hayan continuado sus estudios en prestigiosas universidades de, además de los países citados, Canadá, Austria, Italia, Bélgica, Reino Unido, Rusia, Brasil, Chile y México. Una gran fortaleza nuestra ha constituido la cooperación académica con diversas universidades extranjeras que han colaborado en nuestros programas de posgrado, proyectos de investigación y de vinculación con la sociedad. Se incluyen también en este número, una variedad de artículos relacionados con la estadística y la optimización, que pretenden dar a conocer de forma sencilla las aplicaciones de la matemática. Queda a vuestra consideración esta nueva contribución en la difusión de las actividades matemáticas ecuatorianas. Luis Horna Jefe Departamento de Matemática

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XI Por: Sandra Gutiérrez Coordinadora General

Del 1 al 5 de Septiembre de 2014, se llevó a cabo la decimocuarta edición del Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones. El evento estuvo organizado por el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias de la Escuela Politécnica Nacional y contó con el apoyo de instituciones y organismos auspiciantes entre los cuales podemos citar a la Sociedad Ecuatoriana de Matemática (SEDEM), el Centro de Modelización Matemática (MODEMAT), el Centro de Investigaciones Matemáticas Aplicadas a la Ciencia y Tecnología (CIMACYT), la Empresa Pública YACHAY Ciudad del conocimiento, la Asociación de Fútbol no Amateur de Pichincha (AFNA) y la Universidad Andina Simón Bolívar.

Mesa Directiva en la inauguración del Encuentro

En el Encuentro, participaron cerca de 180 personas entre estudiantes, profesionales y académicos provenientes de Quito, Guayaquil, Ambato, Riobamba, Portoviejo, entre otras ciudades de nuestro país y de países latinoamericanos y europeos entre los cuales podemos mencionar a Argentina, Brasil, Chile, Venezuela, España, Bélgica, Italia y Francia. Todos estos participantes estuvieron interesados en conocer y compartir las experiencias investigativas en temáticas de la Matemática Pura y Aplicada, realizadas en nuestro y otros países. 4

Los temas investigativos cubrieron tópicos de Análisis matemático, Geometría, Optimización discreta y continúa, Aplicaciones biomatemáticas, Economía, Estadística, Ciencias de la computación, entre otras ramas de la Matemática y afines a esta ciencia. Durante estos cinco días de intercambio académico, cultural y científico, se organizaron cursos tutoriales, sesiones cortas, conferencias plenarias y conferencias semiplenarias, impartidas por investigadores nacionales e internacionales con una gran trayectoria científica y de enseñanza. Entre las actividades del Encuentro, se realizó un mini taller sobre: “Modelización numérica de fenómenos meteorológicos”, el cual fue organizado por el Centro de Modelización Matemática (MODEMAT). En este mini taller participaron investigadores del MODEMAT, INAHMI, INOCAR, EMAP, entre otras instituciones y se discutieron avances y aplicaciones en las técnicas de modelización de fenómenos meteorológicos así como trabajos realizados en las instituciones participantes. Adicionalmente, el proyecto Clavemat - Alfa, participó con un panel dirigido a educadores y responsables de proyectos de educación matemática denominado “Hacia una educación matemática crítica”, cuyo objetivo principal fue el de propiciar un acercamiento a la pedagogía crítica y a la educación matemática crítica como referentes teóricos idóneos para la formulación e implementación de proyectos de acceso a y mejoramiento de la enseñanza – aprendizaje de la matemática en Latinoamérica.


Este evento contó con una nutrida participación de educadores y estudiantes, quienes fueron concienciados sobre que “las matemáticas no son simplemente una materia que debe enseñarse y aprenderse, sin importar si los procesos de aprendizaje se organizan de acuerdo con los principios de los enfoques constructivistas o socio culturales del aprendizaje.”

que ha sido un verdadero placer haber compartido el evento con todos ustedes. Un abrazo desde Argentina. Juan Ignacio Pastore“ “Fue muy productivo el encuentro, me voy con nuevos contactos, conocimientos y muchas ganas de seguir trabajando. Dios quiera que pronto nos volvamos a encontrar y ojalá podamos concretar algún trabajo en conjunto. ¡Muchas gracias por todo! Extiende mi agradecimiento al resto de la gente del departamento. ¡Hasta pronto! Gabriela Corsano” “Muchas gracias por las imágenes que nos permitirán recordar gratos momentos pasados junto a una joven comunidad científica que promete grandes éxitos. Gracias a todos por haber hecho posible este encuentro. Un saludo afectuoso de Rolando Rebolledo”

La Coordinadora General del Encuentro en compañía de varios participantes.

Participantes al Encuentro de Matemática

Agradecemos al apoyo prestado por la Escuela Nacional, a los comités organizador y científico, al apoyo estudiantil en el área logística y a todos los miembros del Departamento de Matemática quienes tomaron parte activa en este evento ya sea con su presencia en las conferencias o con la preparación de cursos tutoriales. Además agradecemos a todos los participantes y conferencistas por su gran entusiasmo. Para finalizar, queremos citar algunas de las frases que nos hicieron llegar, por parte de algunos de nuestros conferencistas plenarios invitados, al culminar el evento. Transformando la frase del profesor Rolando Rebolledo “...los sentimientos profundos son aquellos que se pueden expresar de manera simple o no son profundos...” quiero decirles

Profesores visitantes

“A mí me van a permitir tirar de pensadores de la casa para mostrar mis sentimientos de rememorar tan estupenda semana compartida en Quito. Ortega y Gasset decía que conmemorar es ‘recordar con vistas al futuro’. Así, espero coincidir en un futuro próximo con ustedes buscando un mejor mañana. Un abrazo desde Galicia, Salvador Naya” “To all of you my gratitude for the wonderful week we spent toghether. Juan Tirao” “Dear all, it was a true pleasure meeting you all in Quito! Wishing you all the best. Frits Spieksma” 5


Economía Popular y Solidaria, el Buen Vivir y la Economía Matemática 13-17 Julio 2015 Por: Alexandra Miranda El Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional (EPN) les invita a participar en III Congreso Internacional de Economía. Éste es un evento académico bienal dedicado a la difusión de los desarrollos científicos en las áreas de la economía teórica y aplicada. Este año, se dará especial énfasis a la Economía Popular y Solidaria, el Buen Vivir y la Economía Matemática, mediante cursos y sesiones paralelas específicas. El III Congreso de Economía se celebrará del 13 al 17 de julio de 2015, en el campus “José Rubén Orellana Ricaurte”, de la Escuela Politécnica Nacional en Quito (Ecuador). Contará con la participación de investigadores ecuatorianos e internacionales e impulsará a la investigación entre los jóvenes. Asimismo, las lenguas oficiales del congreso serán el español, inglés, francés y portugués. La organización constará de 9 sesiones ordinarias con 4 paralelos de 5 ponencias. Además, se organizarán 5 sesiones especiales con los mejores trabajos presentados por investigadores consolidados. Los estudiantes también tendrán su espacio en la sesión Poster, donde presentarán sus propuestas de investigación o avances en los trabajos de grado. Adicionalmente, el Congreso contará con la I Summer School, donde se impartirán cursos en las áreas de la Economía Popular y Solidaria, el Buen Vivir y la Economía Matemática. Se perfila el apoyo de la Universidad de Deusto en organización del curso sobre Gestión Municipal y Participación Ciudadana y del Banco Central de Ecuador con dos paralelos propios. 6

Forman parte del comité científico los investigadores: Alexandra M. Espinosa, PhD (Escuela Politécnica Nacional, Ecuador) Fernando Martín, PhD (Facultad Latinoamericana Ciencias Sociales, Ecuador) Priscilla Massa Sánchez, PhD (Universidad Técnica Particular de Loja. Ecuador) Daniel González Sánchez, PhD (Escuela Politécnica Nacional, Ecuador) Rodrigo Mendieta Muñoz, PhD (Universidad de Cuenca, Ecuador) Ana Fernández Sainz, PhD (Universidad País Vasco, España) Mikel Álvarez Mozos, PhD (Universidad Central de Barcelona, España) Miren Garbiñe Henry, PhD (Universidad de Deusto, España) Miguel Ángel Yangari Sosa, PhD (Escuela Politécnica Nacional, Ecuador), Santiago García Álvarez (Universidad Central de Ecuador) Jesús Ramos-Martín (Instituto de Altos Estudios Nacionales, Ecuador). Se espera incorporar investigadores de las principales universidades de Ecuador. El comité científico se encargará de elegir los mejores artículos para las sesiones especiales y publicación en la Revista Politécnica, indexada en Latindex. El comité organizador está conformado por: • • • • •

Alexandra M. Espinosa; Silvia González-Fuenmayor; Sandra Gutiérrez Pombosa; Juan Carlos Trujillo; y Marcela Guachamín Guerra.

El comité organizador del III Congreso Internacional de Economía Contacto: encuentro.economia@epn.edu.ec


PROGRAMA DE DOCTORADO EN MATEMÁTICA APLICADA Por: Sergio González Andrade Coordinador del Programa de Doctorado La investigación en ciencias exactas es la actividad mediante la cual se crea nuevo conocimiento, el mismo que, por un lado, puede contribuir a incrementar el acervo de conocimientos de la teoría, y por otro, puede aplicarse a la resolución de problemas prácticos de la industria, volviendo más eficiente la producción y ahorrando recursos. De igual manera, la investigación en ciencias básicas conduce al fortalecimiento de la soberanía debido a que nuestros países empiezan a desarrollar soluciones para sus problemas locales y no dependen únicamente de los resultados del desarrollo foráneo de la ciencia.

Lanzamiento del Doctorado en Matemática Aplicada

La matemática aplicada es, por su naturaleza, una ciencia transversal a todos los campos del saber. Los problemas que son objeto de estudio de la matemática aplicada tienen aplicaciones prácticas en áreas tan diversas como: la gestión de sistemas de transportación pública y flotas de distribución; localización óptima de instalaciones críticas (hospitales, puestos de vigilancia, estaciones de bomberos); el diseño de redes robustas de distribución eléctrica y telecomunicaciones; la modelización y control de la contaminación en el aire y el agua; la simulación numérica de los procesos de explotación y utilización de los recursos mineros y petroleros; la modelización y control de epidemias; el análisis estadístico de comportamientos sociales, entre otros. El modelamiento de estos procesos y el diseño de métodos eficientes de solución son particularmente relevantes en el contexto actual, cuando la globalización integra comercialmente a todos los países del mundo, exigiendo que la eficiencia y la competitividad sean requerimientos indispensables para lograr incursionar y permanecer en los mercados mundiales.

En nuestro país, la universidad históricamente ha tomado un camino enfocado en la docencia y la formación profesional, con menor énfasis en la investigación científica. Esta condición se refleja en la existencia de pocas unidades activas de investigación, programas de posgrado de investigación, y el bajo número de PhD’s a nivel nacional. En contraste con esta realidad, el Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional ha sido, históricamente, una unidad fuertemente interesada en la investigación. El Departamento cuenta con una planta de 16 investigadores y docentes, con título de PhD, altamente capacitados en áreas de matemática aplicada. Luego de un proceso de renovación y revisión de sus objetivos, el Departamento presentó en el año 2008 y de manera pionera en la EPN, su programa de investigación. En dicho plan se definieron líneas de investigación y un plan ambicioso para el desarrollo de dichas actividades. Gracias a esa planificación detallada, los grupos de investigación que se han ido estructurando a lo largo de estos años han alcanzado reconocimiento a nivel nacional e internacional por su productividad científica. En particular, el número de publicaciones en revistas internacionales indexadas en ISI Web of Knowledge y/o SCOPUS se ha incrementado en forma importante en los últimos años, otorgándole al Departamento de Matemática un lugar por encima de los institutos de matemática de la Universidad Politécnica de Madrid en España o la Universidad de Marburg en Alemania, por citar un par de ejemplos. Además, la presencia de matemáticos ecuatorianos en Congresos, Conferencias y Encuentros internacionales también ha aumentado de forma significativa. En los últimos años, el número de charlas dadas por profesores e investigadores asociados al Departamento supera las 50 ponencias en eventos repartidos en todo el mundo. Fruto de toda esta actividad, y del reconocimiento internacional a la misma, se han establecido vínculos de cooperación con otras universidades y centros de investigación que han permitido la rápida internacionalización del trabajo científico del Departamento.

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Y se siguen generando hitos importantes: Destacable sin duda es el ingreso, por la gestión de varios académicos asociados al Departamento, del Ecuador (SEdeM) como miembro pleno a la International Mathematical Union (IMU), el que es, seguramente, el organismo mundial más importante de la matemática y sus actividades. Miembro pleno implica hacer parte de las decisiones que esta organización toma para el desarrollo de la matemática a nivel mundial. Pero el hito más importante en estos años ha sido la creación por parte de la EPN y la SENESCYT, en el 2013, del Centro de Modelización Matemática - ModeMat, centro de excelencia orientado a la investigación y desarrollo de conocimiento en el área de la Matemática Aplicada. Actualmente, y como indicador del impacto del Centro en la EPN y el país, se han adjudicado al ModeMat proyectos por cerca de 2,5 millones de dólares. Y el Centro ha respondido, con apenas 2 años de funcionamiento, se han generado cerca de 10 publicaciones científicas, cerca de 15 charlas internacionales y un congreso internacional, coorganizado con Yachay, en ingeniería biomédica y modelización matemática. Además, 2 proyectos internacionales, planteados por científicos del ModeMat y de varias universidades en Chile, Argentina y Francia, han sido aprobados por el programa MathAmSud de la cooperación científica francesa y latinoamericana por un monto de más de 30 mil dólares por proyecto. Es importante recalcar el papel fundamental que jugó para el desarrollo de la matemática al interior de la EPN un programa previo de Doctorado Individual en Matemática Aplicada, desarrollado en el Departamento de Matemática y con el soporte académico de la Universidad Técnica de Berlín y el Servicio Alemán de Intercambio Académico (DAAD). Gracias a este primer programa, 7 matemáticos obtuvieron su título de PhD y posteriormente se vincularon como profesores e investigadores al Departamento de Matemática. Este programa fue una de las claves para el proceso de renovación que ha emprendido el Departamento en estos años, ya que los graduados de este programa apuntalaron los grupos de trabajo que han generado la mayor parte de la investigación que hoy exhibe el Departamento. Con estos antecedentes, el Departamento de Matemática presentó la propuesta para un Programa de Doctorado en Matemática Aplicada al Consejo de Educación Superior (CES)

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con el objetivo de formar investigadores de alto nivel en el área de la Matemática Aplicada, quienes estarán en capacidad de formular modelos para abordar matemáticamente importantes problemas del sector productivo y de la sociedad.

Mesa Directiva en el Lanzamiento del Doctorado en Matemática Aplicada.

Así, en base al estudio teórico de las propiedades de estos modelos, los investigadores podrán proponer métodos numéricos para su solución eficiente, los cuales a su vez servirán para la construcción de herramientas informáticas para dar soporte a la decisión. El programa cuenta con una planta de 5 profesores del Departamento de Matemática con dedicación a tiempo completo. Estos científicos son: • Juan Carlos De los Reyes; • Sergio González Andrade; • Pedro Merino Rosero; • Diego Recalde Calahorrano; y • Luis Miguel Torres. El CES impuso como requisito para ser profesor de un programa doctoral tener al menos 2 publicaciones en los últimos cinco años. Nosotros hemos excedido este criterio y exigimos al menos 5 publicaciones. Es un orgullo para el Departamento el haber logrado, con este requisito más fuerte, armar la planta local de profesores. Además, el programa cuenta con la colaboración de 8 profesores invitados de varias universidades del mundo: • Dr. Alfio Borzì de la Julius-Maximilians Würzburg Universität de Alemania, • Dr. Erwin Hernández de la Universidad Técnica Federico Santa María de Chile, • Dr. Javier Marenco de la Universidad Nacional de General Sarmiento de Argentina, • Dr. Christian Meyer de la Technische Universität Dortmund de Alemania, • Dra. Graciela Nasini de la Universidad Nacional de Rosario de Argentina, • Dr. Carola B. Schoenlieb de la Cambridge University de Inglaterra,


• Dr. Georg Stadler del Courant Institute de la New York University, y • Dr. Irwin Yousept de la Technische Universität Darmstadt de Alemania. Estos científicos han aceptado colaborar con el programa gracias a la confianza mutua que varios trabajos académicos conjuntos ha generado.

Ciertamente es un honor para el Departamento de Matemática poder afirmar que el Programa de Doctorado en Matemática Aplicada es el primer programa doctoral aprobado por el Consejo de Educación Superior dentro de la nueva estructura de la educación superior en el país. Pero es más un desafío.

Cabe destacar que se ha compuesto un comité doctoral con 3 profesores del Departamento y dos profesores invitados: • Juan Carlos De los Reyes, • Sergio González Andrade (coordinador), • Luis Miguel Torres • Erwin Hernández (Universidad Técnica Federico Sta. María) y • Graciela Nasini (Universidad Nacional de Rosario) quienes tienen más de 15 publicaciones científicas en promedio, experiencia en dirección de tesis doctorales y de proyectos científicos. Este comité dirigirá académicamente al programa. El Programa de Doctorado cuenta con el soporte científico del Departamento de Matemática y del Centro de Modelización Matemática - ModeMat. Por tanto, las líneas de investigación del programa están fuertemente ligadas al potencial de los profesores e investigadores asociados a estas unidades académicas de la EPN. Dichas líneas son: modelización matemática, optimización matemática y control, matemática computacional, análisis numérico y cálculo científico, investigación de operaciones, biomatemática y bioinformática; y procesamiento matemático de imágenes.

Personal docente que asiste al lanzamiento del Doctorado en Matemática Aplicada.

Debemos mantener nuestros índices académicos altos y mejorarlos, debemos sostener y captar a los mejores profesores y protegerlos, brindándoles las condiciones para su desarrollo humano y profesional. Debemos, en definitiva, dar los pasos para que la EPN sea una universidad de investigación y docencia basada en la excelencia. Mayor información: Página web: www.math.epn.edu.ec/doctorado Teléfonos: 2976300 ext. 1535, 1533. Email: posgrados.matematica@epn.edu.ec

Tenemos un plan de escolaridad por 30 créditos con cursos orientados a la investigación y seminarios en los cuales los candidatos doctorales podrán presentar y discutir sus avances con los profesores e investigadores asociados al departamento y al ModeMat. Este proceso de escolaridad culmina con un examen de calificación que una vez aprobado permite a los candidatos dedicarse a tiempo completo a su investigación y a escribir su tesis doctoral. Los estándares exigidos en este proceso investigativo son altos. Basta señalar que para graduarse, se requieren dos publicaciones científicas en revistas indexadas y que estén en el 50% más alto de estos rankings. Además, los candidatos deben mantener una estadía de al menos 6 meses en el exterior, trabajando en uno de los grupos de investigación asociados.

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Por: Luis Miguel Torres Coordinador del Programa de Maestría El programa de Maestría en Optimización Matemática fue aprobado en el año 2014 por el Consejo de Educación Superior (CES) e integra, junto con el programa de Doctorado en Matemática Aplicada, la oferta de posgrados de investigación del Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional (EPN). Estos programas se plantean formar investigadores en las áreas de la modelización matemática y del cálculo científico, con énfasis en el tratamiento de problemas de optimización discreta y continua que aparecen en aplicaciones reales. El programa de Maestría en Optimización está dirigido a matemáticos, ingenieros matemáticos y otros profesionales con formación afín. Los estudiantes tendrán la oportunidad de trabajar en temas de investigación de actualidad y de desarrollar destrezas para la modelización matemática de problemas de optimización en diversas áreas, tales como: • logística (gestión de inventarios y cadenas de aprovisionamiento, diseño de redes robustas); • transporte (enrutamiento de vehículos, planificación de líneas de transportación pública, modelamiento de la demanda de transporte); • procesos industriales (transporte de fluidos, exploración y explotación de recursos mineros, contaminación ambiental); y • biociencias (procesamiento de imágenes médicas, control de epidemias, medicina computacional). Además de la formulación de modelos matemáticos de optimización, y del análisis de los problemas teóricos subyacentes, este programa de maestría pondrá especial énfasis en el desarrollo de algoritmos de solución eficientes y en su implementación computacional como herramientas informáticas de ayuda en la toma de decisiones. La formación adquirida por los estudiantes les permitirá proseguir exitosamente una carrera académica dentro de un programa de doctorado, u optar por cargos profesionales en los que se requieran investigadores con conocimientos sólidos en el modelamiento matemático de problemas reales. La aplicación de las matemáticas para la solución de problemas prácticos tiene tradición en el Departamento de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional. Sus profesores han brindado asesoría en diferentes instituciones públicas y

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privadas en áreas como la gestión de riesgos, los cálculos actuariales, el control de calidad de procesos, la formulación de modelos de predicción, por citar algunos ejemplos. Desde 1986, el Departamento de Matemática organiza de manera bianual los Encuentros Nacionales de Matemática y sus Aplicaciones, que con el transcurso del tiempo se han convertido en el principal evento académico en el área de las matemáticas en el Ecuador. Los encuentros constituyen foros donde académicos, profesionales, educadores, estudiantes y otras personas interesadas en las matemáticas exponen problemas, resultados recientes de su investigación o aplicaciones de la vida real. La ejecución de proyectos de investigación interdisciplinarios en el ámbito de la optimización matemática se ha intensificado en el último año, gracias a la creación del Centro de Modelización Matemática en Áreas Clave para el Desarrollo ModeMat. En este centro de investigación, adscrito a la EPN y de carácter nacional, se lleva adelante investigación en matemática aplicada para la solución de problemas reales, generalmente en cooperación con otras unidades académicas o institutos públicos de investigación. A manera de ejemplo, se destacan a continuación dos proyectos relevantes actualmente en marcha: Conjuntamente con el Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología (INAHMI) se desarrollan modelos de predicción climática que emplean avanzados métodos numéricos y recursos computacionales de gran escala. Es conocido que la predicción climática es una tarea particularmente difícil. Por eso es necesario abordarla empleando todo el potencial tecnológico a nuestro alcance, tanto en lo que tiene que ver con equipos de medición y cómputo, como en lo que se refiere a aquellas otras herramientas intangibles, pero igualmente importantes: modelos numéricos adecuados y técnicas eficientes para su solución computacional. Gracias a este proyecto, desde el próximo año el Ecuador podrá contar por primera vez con ambas cosas, lo que se traducirá en pronósticos significativamente más precisos. Con el financiamiento de la Secretaría Nacional de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación (SENESCYT), y la cooperación de la Secretaría de Movilidad del Municipio de Quito, se lleva adelante desde agosto de 2013 un proyecto para el desarrollo de modelos matemáticos de optimización para la asignación de buses y conductores en el corredor central del Sistema Integrado de Transporte Metrobús-Q. Estos modelos buscan optimizar el uso de los recursos disponibles www.math.epn.edu.ec/maestría / Teléfonos: 2976300 ext.


para la operación del Trolebús de Quito, y aportar de esta manera con nuevas herramientas técnicas que puedan ser de utilidad en la solución de uno de los problemas críticos que afronta la ciudad. Se pretende con este proyecto, además, iniciar una línea de investigación que puede tener un gran impacto en el corto y mediano plazos, no sólo para Quito, sino para todo el país: El estudio de modelos de optimización para las diferentes fases del planeamiento y gestión del transporte público. Para la resolución numérica de modelos matemáticos tan complejos como los que se abordan en estos dos proyectos se requieren grandes recursos computacionales. Aquí juega un papel fundamental el Laboratorio Nacional de Cálculo Científico, cuya gestión está a cargo del ModeMat. Con el aporte de varias instituciones públicas, y con una inversión que hasta el momento supera el millón de dólares, en este laboratorio se han centralizado recursos que permiten el cálculo computacional en paralelo, en una escala que hasta hace poco no era posible en nuestro país. En el núcleo del laboratorio está un sistema blade dotado de un total 732 núcleos y 5.800 GB de memoria RAM, que cariñosamente ha sido bautizado por los investigadores como “Quinde”. El Quinde se ha ido construyendo progresivamente a partir de un sistema base adquirido por la SENESCYT en 2012, el cual ha sido repotenciado con cada nuevo proyecto de cooperación, en un esquema que concuerda plenamente con la visión del ModeMat, del Departamento de Matemática y de la Escuela Politécnica Nacional: juntar esfuerzos entre la academia, el sector productivo y los institutos públicos de investigación para abordar tareas difíciles y de gran impacto para el desarrollo del país. La internacionalización es hoy en día una necesidad crítica para el desarrollo de la investigación y por tanto un aspecto fundamental a considerar dentro de cualquier programa de posgrado orientado a la formación de investigadores. Nuevamente, aquí se juntan fortalezas del Departamento de Matemática y del ModeMat. La planta de profesores del Departamento y los investigadores del Centro mantienen vínculos de cooperación con numerosas universidades e institutos de investigación en varios países del mundo. Este posicionamiento internacional ha permitido organizar en la Escuela Politécnica Nacional dos escuelas de alcance regional en los últimos años: la Escuela de Matemática de América Latina y El Caribe (EMALCA 2010) y la Escuela de Optimización ECOPT 2013. En ambos eventos participaron alumnos de diferentes países de nuestra región, demostrando que Quito y el Ecuador pueden empezar a establecerse como destino 1535, 1534. / Email: posgrados.matematica@epn.edu.ec

s importantes para el estudio de las matemáticas y ciencias afines. Para febrero del próximo año, la Escuela Politécnica Nacional, conjuntamente con la Empresa Pública Yachay, la Sociedad Ecuatoriana de Matemática, y el ModeMat organizarán por vez primera en el Ecuador la Escuela Latino-Iberoamericana de Verano en Investigación de Operaciones (ELAVIO). Se trata de la escuela internacional con más tradición y prestigio en el área de la Investigación de Operaciones dentro de la región de Latinoamérica, España y Portugal. La Maestría de Optimización Matemática se regirá por un reglamento que ha sido pensado para facilitar y fortalecer la formación de investigadores. Entre otras cosas, este reglamento, aprobado el 23 de julio de 2014 por el Consejo de Educación Superior, requiere una dedicación de tiempo completo por parte de los estudiantes, y establece que la matrícula será gratuita. Adicionalmente, se espera que los estudiantes de maestría se incorporen a proyectos de investigación y desarrollen así las destrezas requeridas para la optimización matemática trabajando sobre casos de aplicación concretos. La Comisión Académica a cargo de la coordinación del programa incluye a profesores con título de doctorado, experiencia en la ejecución de proyectos de investigación, y publicaciones recientes indexadas en ISI y SCOPUS, superando en este aspecto los niveles de exigencia del CES, con el objetivo de garantizar un entorno de excelencia para el exitoso desarrollo del programa. Las aplicaciones al programa se han iniciado ya desde el pasado 6 de octubre y se extenderán hasta el 31 de enero de 2015. Los exámenes de ingreso están programados para el 11 de febrero y el inicio de clases para el 2 de marzo. Información más detallada acerca del programa puede ser consultada en el sitio de internet www.math.epn.edu. ec/maestria. Allí se indican, entre otras cosas, los requisitos y el procedimiento de admisión. De esta manera, la Maestría de Optimización Matemática tiene la fortuna de nacer en un entorno “optimizado”: una institución con sólidas carreras en Matemática e Ingeniería Matemática, un Departamento con grupos de investigación activos y bien vinculados internacionalmente, un laboratorio de cálculo científico con la infraestructura computacional adecuada, y un centro de investigación con una fuerte componente interdisciplinaria, que provee el marco ideal para la realización de proyectos de tesis orientados a la aplicación de la optimización matemática sobre problemas del mundo real.

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Proyectos de investigación internacionales

Por: Juan Carlos De los Reyes El pasado mes de noviembre se llevó a cabo en Lima, Perú, la reunión anual de la red MATHAmSud, con la participación de representantes de Argentina, Brasil, Chile, Francia, Paraguay, Perú, Uruguay, Ecuador y Venezuela. La red nació en el año 2007 por iniciativa de la cooperación francesa, con el objetivo de promover y fortalecer la colaboración y creación de redes de investigación-desarrollo en el ámbito de las matemáticas, a través de la realización de proyectos conjuntos. El Ecuador pasó a formar parte de la red en el año 2013, por iniciativa de la Sociedad Ecuatoriana de Matemática (SEdeM) y con el apoyo decidido de la Secretaría de Educación Superior, Ciencia, Tecnología e Innovación (SENESCYT). La reunión de este año tuvo un significado especial, pues en esta se debieron evaluar 2 proyectos de investigación presentados por el Centro de Modelización Matemática (MODEMAT) en conjunto con otras universidades sudamericanas y francesas. Los proyectos presentados fueron los siguientes: • Sparse Optimal Control of Differential Equations: Algorithms and Applications. Juan C. De los Reyes (coordinador Ecuador y coordinador internacional), Pedro Gajardo (coordinador Chile) y Patrick Combettes (coordinador Francia). Monto aproximado de financiamiento: 35.000 USD. • Packing versus Covering: Structural Aspects. Graciela Nasini (coordinadora Argentina y coordinadora internacional), Annegret Wagler (coordinadora Francia) y Luis M. Torres (coordinador Ecuador). Monto aproximado de financiamiento: 35.000 USD. El primer proyecto, planteado en conjunto con la Universidad Técnica Federico Santa María (Chile) y la Université Pierre et Marie Curie-Paris VI (Francia), trata acerca del diseño de algoritmos para la obtención de controles óptimos dispersos en el control de ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones en derivadas parciales e

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inclusiones variacionales. Este tipo de controles se caracterizan por actuar en dominios localizados y su aproximación requiere de la solución eficiente de problemas no-diferenciables y no-convexos a gran escala El segundo proyecto, en conjunto con la Universidad de Rosario (Argentina) y la Universidad Blaise Pascal (Francia), consiste en el estudio de propiedades estructurales de los problemas combinatorios de empaquetamiento y recubrimiento, los cuales tienen una relación de dualidad entre si. En especial, se busca una descripción detallada de los poliedros que caracterizan el espacio de soluciones de estos problemas. Sobre la base del juicio de pares expertos, el Comité Científico MATHAmSud recomendó la aprobación de ambos proyectos, la cual fue acogida por el Comité Directivo. La puesta en marcha de estos 2 proyectos de investigación es un paso muy importante que da el MODEMAT en su estrategia de posicionamiento internacional, y permitirá afianzar las relaciones de colaboración científica con otros actores importantes en Sudamérica y Francia. De manera adicional, el pasado 5 de diciembre nos llegó la noticia de la aprobación del proyecto de investigación AM2V-MODEMAT Network on Optimization and Control, planteado en conjunto entre el MODEMAT y el Grupo de Análisis y Modelamiento Matemático (AM2V) de la Universidad Técnica Federico Santa María, y el cual será financiado por el CONICYT de Chile. Este proyecto contempla tanto el financiamiento de movilidad científica, como la organización de eventos académicos conjuntos, posibilitando una estrecha colaboración entre estos dos centros de investigación. La obtención de estos tres proyectos a nivel internacional marcan un hito importante en el posicionamiento de nuestro país como un lugar en el cual se realiza investigación científica de excelencia en matemática aplicada. www.modemat.epn.edu.ec


Olimpiadas

de toda una comunidad matemática que incluye ex –olímpicos, organizaciode la sociedad ecuatoriana de matemática nes como la SEdeM y la OMEC, y muCARLOS CORTEZ MULTIPLE MEDALLISTA DE ORO chas personas que siempre estuvieron dispuestas a ayudarme. Por: Diego Recalde ¿Dónde te encuentras y qué haces ahora? “…por medio de las Olimpiadas de Matemática hice grandes amistades, pasé momentos y experiencias En Boston, terminando mi primer año en el Instigeniales, se me abrieron numerosas puertas y aprentuto Tecnológico de Massachusetts (MIT). Declaré dí muchísimo.” Matemáticas como mi carrera hace un par de semanas y en ésta me encuentro tratando de decidir un ¿Cómo y cuándo empezó tu interés por la mateproyecto de investigación (¿quizá algo relacionado a mática? álgebras conmutativas?) que emprenderé en el verano junto a otro estudiante de pregrado y guiado por Mis primeros encuentros no escolares con la mauno de posgrado. temática fueron cuando tenía 10-11 años, a través de los libros “El hombre que calculaba” (sugerido Aunque estoy muy emocionado por la idea de enfopor una profesora) y “El diablo de los números” (el carme en un conjunto muy específico de problemas cual insistí a mis padres hasta que me lo compraron por todo un mes, debo admitir que la idea de por durante una feria de libros). primera vez “hacer investigación”, i.e., de buscar conocimiento nuevo, me mantiene nervioso. En particular del segundo libro recuerdo patrones e ideas que no entendí hasta mucho después (o has¿Qué mensaje les darías a los estudiantes de coleta ahora) como la convergencia de 1+1/2+1/4+…, gio entusiasmados por la matemática y que entrelas aproximaciones del Triángulo de Sierpinski en nan para las próximas Olimpiadas de la SEdeM u la paridad del triángulo de Pascal o las característiotras Olimpiadas de Matemática? cas topológicas de la banda de Mobius. El primero es… ¡adelante! En retrospectiva, por El año siguiente, a los 12, participé en una serie de medio de Olimpiadas de Matemática hice grandes concursos de matemática y, logrando resultados amistades, pasé momentos y experiencias geniales, buenos, me apasioné por la materia. se me abrieron numerosas puertas y aprendí muchísimo. Aún más, es muy gratificante la sensación ¿Cuáles son los ingredientes para tener éxito en de representar al Ecuador y poder ayudar a mejorar las Olimpiadas de Matemática, y en particular en el desempeño en estas competencias y son ustedes la Olimpiada Internacional de Matemática (conquienes pueden contribuir a lograrlo. siderando que conseguiste tres medallas de bronUno de mis intereses ha sido divulgar el conocice en tus cuatro participaciones)? miento e interés por Olimpiadas y me agrada saber que varios de mis contemporáneos lo han venido Como en casi toda actividad, dedicación, lo que compartiendo y se mantienen velando por ello (graimplica cierto (o mucho) ‘autodidactismo’. Recuercias Roberto, Emilio, Santiago). do épocas en que insistentemente dedicaba múltiples horas diarias a ‘entrenar’. El segundo es un lamento propio: mantengan una mente abierta. Es fácil extenuarse al enfocarse en También es crucial proponerse metas cada vez más algo. ¿Has intentado aprender algo más avanzado altas: un problema resuelto tras una hora de arduo en Matemática no necesariamente olímpico como esfuerzo será casi siempre más fructífero que seis Cálculo, Álgebra Lineal o Análisis? ¿O profundizar problemas que sabes que puedes resolverlos en 10 en un tema que pueda gustarte como la Teoría de minutos. Grafos? ¿O quizá aprender a programar y alguna competencia de informática? Yo nunca lo hice y tan Entre otros, buscar recursos online, libros y problesolo noté la necesidad de esto cuando comencé la mas de múltiples procedencias, participar en foros universidad. (como AoPS) y competencias online (como Purple Math u OMO). Explorar un poco a lo largo de este año me ha permitido confirmar que mi pasión yace principalmente Debo mencionar que tuve la suerte de encontrar en la matemática (con un ligero desvío hacia la inapoyo constante por parte de mi familia, de mi Coformática y los algoritmos) y pienso dedicarme más legio, Henri Becquerel, de mis profesores y a ello.

13


Una formulación compacta de Programación Lineal Entera para el Problema de Particionamiento general de Grafos Recalde Diego, Torres Ramiro, Vaca Polo Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional, Quito.

Resumen

Se presenta una formulación compacta de programación lineal entera bivalente del problema general de particionamiento de grafos, el cual consiste en buscar una partición del conjunto de vértices de un grafo no dirigido en conjuntos de cardinalidades conocidas, de tal forma que la suma de los pesos de las cliques inducidas por estos conjuntos sea maximizada.

1. Introducción al problema Dado un grafo = ( , ) no dirigido y conexo, donde = {1, … , } es el conjunto de vértices y = {{ , }/ , ∈ , < } es el conjunto de aristas, sobre las que cuales se define una ponderación positiva representa el peso de la arista { , } que une el vértice con el vértice . Consideramos el problema general de particionamiento de grafos (PGP), que consiste en particionar el conjunto de nodos en ≥ 2 subconjuntos disjuntos y ≥ no vacíos , , … , de cardinalidades conocidas ≥⋯≥ ≥ 1, no necesariamente iguales, tales que ∑ = , de tal forma que la suma de los pesos de las aristas que conectan vértices de diferentes subconjuntos sea minimizada. Se puede siempre suponer, y así lo es completo, definiendo = 0 si haremos, que el grafo la arista que une el vértice con el vértice no existe. Este problema también es conocido como problema de kparticionamiento de grafos. Diremos que el conjunto induce = la clique o el subgrafo completo ( , ) si {{ , }/ , ∈ }. Es claro que el PGP es equivalente al problema de maximizar la suma de los pesos de las aristas de todas las cliques inducidas por los conjuntos , = 1, … , . Si el requerimiento es que los , = 1, … , sean iguales, el problema se conoce como problema de equiparticionamiento de grafos (o k-way problem) [Mitchell, J., 2001]. El caso en que = 2 es el problema es conocido como problema de bisección de grafos, y cuando además = obtenemos el equicut problem [Liebling Th., 1991].

El PGP es un problema de optimización combinatoria NPduro. Sin embargo, ha sido ampliamente estudiado, tanto desde el punto de vista de proponer algoritmos exactos tipo branch and bound o métodos branch and cut, principalmente

14

con el uso de relajaciones de programas semidefinidos [Wolkowicz H., 1999], [Karish S., 2000], [Sotirov R., 2013]; o mediante la construcción de métodos heurísticos de solución [Kernighan B., 1970]. El PGP tiene muchas aplicaciones en campos como: diseño de circuitos integrados (VLSI), particionamiento de redes de telecomunicaciones, construcción de mallados óptimos para el método de los elementos finitos, computación con matrices dispersas, programación en paralelo, segmentación de imágenes, control de tráfico aéreo, física, etc. [Bichot C., 2011]. 2.- Una formulación del PGP mediante la Programación Lineal Entera. El propósito de este artículo es presentar una formulación equivalente de programación lineal bivalente para el PGP cuyo objetivo es maximizar la suma de los pesos de las cliques generadas por los conjuntos , = 1, … , . Para esto definimos las siguientes variables de decisión: ) = 1, 0, . ∀{ , }∈ )

=

∀ ∈

{ , }

á

= 1, … , .

1, 0,

é . ∀ = 1, … , .

El modelo de Programación Lineal y Entera puede ser formulado como: Máx ∑

∑{

tal que: ∑

∑∈ ∑{ ,

= 1,

}∈ ( )

=

∈ {0,1},

(1)

, }∈

(2)

∀ ∈

,∀

=(

= 1, … ,

− 1)

, ∀ ∈

∈ {0,1}, ∀{ , } ∈ , ∈

(3) = 1, … , .

= 1, … , .

(4) (5)

La expresión (1) es la función objetivo que consiste en la suma de los pesos de las cliques generadas por los conjuntos , = 1, … , . Las restricciones (2) requieren que todo vértice del grafo pertenezca exactamente a un conjunto .


Las restricciones (3) establecen que cada conjunto tenga una cardinalidad igual a . Las expresiones (4) exigen que si el vértice ∈ entonces del corte ( ) = { , } ∈ / ∈ , se tomen exactamente − 1 aristas. Las restricciones (5) requieren que las variables de decisión sean bivalentes.

3. Conclusión Esta formulación en programación lineal bivalente requiere de (

)

variables de decisión y de solo

( + 1) +

restricciones, lo que la hace muy compacta con respecto a otras formulaciones cuadráticas o lineales [Fan N., 2010]. El PGP puede ser generalizado definiendo además ponderaciones en los vértices y restricciones de cotas superiores e inferiores sobre el peso nodal y la cardinalidad de los conjuntos [Recalde D., 2014]. BIBLIOGRAFÍA Bichot C., Siarry P. (2011), Graph Partitioning, John Wiley&Sons, Inc. Fan N., Pardalos P. (2010), Linear and quadratic programming approaches for the general graph partition problem, Journal of Global Optimization, 48, pp. 57-71. Karish S., Rendl F. (2000), Solving Graph Bisection Problems with Semidefinite Programming, INFORMS Journal of Computing, 12, pp. 177-191. Kernighan B., Lin S. (1970), An Efficient Heuristic Procedure for Partitioning Graphs, Bell System Technical Journal, 49 pp. 291-307. Liebling Th., Vaca P. (1991), Un algorithme polynomial pour le problème de l’équipartition dans un arbre, Rapport de recherche RO 910527, École Polytecnique Fédérale de Lausanne. Mitchell J. (2001), Branch-and-cut for the k-way equipartition problem, Technical report, Department of Mathematical Sciences, Rensselaer Polytechnic Institute. Recalde D., Torres R., Vaca P. (2014), -clique partition problem with application in the third division of the Ecuadorian Football League, prepint Departamento de Matemática EPN, Quito-Ecuador. Sotirov R. (2013), An Efficient Semidefinite Programming Relaxation for the Graph Partitioning Problem, INFORMS Journal of Computing, 26 pp. 1-15. Wolkowicz H. and Zhao Q. (1999), Semidefinite programming relaxations for the graph partition problem, Discrete Applied Mathematics, 96-97, pp 461-479.

Muestreo para aceptación de lotes por variables, conocida la desviación estándar del proceso y la especificación inferior. Carlos A. Echeverría Feijóo

Resumen

Es bastante común, en procesos industriales, que se tenga que analizar una característica cuantitativa de los artículos producidos para la aceptación o el rechazo de los lotes, con el supuesto de que la variabilidad del proceso no se altera considerablemente en un tiempo determinado, por lo que se puede suponer que la desviación estándar permanece constante y es conocida. Adicionalmente, en muchas situaciones, lo fundamental es que no se ofrezcan productos con una medida menor a la especificación inferior fijada por la empresa o por las situaciones particulares del mercado. La técnica de muestreo para aceptación por variables que se basa en las mediciones realizadas a las unidades producidas, es una alternativa pertinente y en ocasiones de mayor utilidad, por la información que proporciona, que el muestreo de aceptación por atributos o cualidades que se fundamenta en la identificación de artículos defectuosos en el lote que se analiza.

Introducción Un plan de muestreo para aceptación de lotes por variables contempla el número de artículos que hay que muestrear, el punto crítico y el criterio para juzgar los lotes, cuando se han obtenido las mediciones respecto a la característica de calidad que interesa. Para tomar la decisión de aceptar o rechazar un lote, considerando el promedio x obtenido con una muestra aleatoria de tamaño n del lote, se supone se ha fijado la especificación inferior m. Criterios para aceptación y rechazo de un lote Conocido el plan de muestreo: el tamaño n de la muestra aleatoria a tomarse del lote en estudio y el valor crítico k (negativo) en la escala Z a la izquierda del cual se halla la proporción máxima de defectuosos p k con la que se aceptaría el lote. Para aceptar o rechazar el lote, se puede utilizar cualquiera de los siguientes tres procedimientos, aplicando la estandarización Z de los

x-x , donde x es un valor de la variable, σ x la media de la muestra y σ la desviación estándar del proceso;

valores, la expresión z =

esta expresión representa las desviaciones estándares de separación de x respecto a la media: Procedimiento 1: Comparar los valores en la escala Z: el valor crítico k con z m obtenido de zm = Procedimiento 2:

m- x σ

Comparar los valores en la escala X : x con el valor x k obtenido de k =

m - xk σ

Procedimiento 3: Comparar los valores de las proporciones: pm la proporción de defectuosos a la izquierda de z m (correspondiente a m), con p k la proporción de defectuosos a la izquierda de k

15


Procedimiento 1. Comparar los valores en la escala Z

Se acepta el lote si p *m

La relación zm =

Ejemplo 1: Si la desviación estándar de un proceso de producción es igual a 6; m = 65 ; k = -1.85 ; el tamaño de la muestra del lote es igual a 12 y x = 76.4 ; tomar una decisión sobre el lote con los tres procedimientos

m- x se le puede observar como un valor σ

(negativo) en la escala Z y como la distancia (si se le considera en valor absoluto) entre m y x en unidades de σ .

Si z m es grande (en valor absoluto) significa que m se halla bastante alejada de x y por lo tanto la proporción pm de defectuosos a la izquierda de m es pequeña. Si z m k se acepta el lote porque la proporción de defectuosos a la izquierda de m ( pm ) es más pequeña que la proporción de

defectuosos a la izquierda de k ( p k ); lo que es equivalente a asegurar que mayor porcentaje de no defectuosos en el lote se hallará a la derecha de m que a la derecha de k.

p *k y se rechaza si p *m > p *k .

Solución: Con el Procedimiento 1: zm =

65 - 76.4 = -1.9 , como z m 6

Con el Procedimiento 2: x k = m - kσ = 65 - (-185) 6 = 76.1 ; como x

Con el Procedimiento 3:

bastante cerca de x y por lo tanto la proporción pm de

Q m = zm

Si z m > k se rechaza el lote porque la proporción de defectuosos a

x k , se acepta

el lote.

Si z m es pequeña (en valor absoluto) significa que m se halla defectuosos a la izquierda de m es grande.

k , se acepta el lote

k* = k

n 12 = -1.9 = -1.9845 ; n-1 11

n 12 = -1.85 = -1.9323 n-1 11

la izquierda de m ( pm ) es más grande que la proporción de

* m

m *

defectuosos a la izquierda de k ( p k ); es decir, menor porcentaje de

;

* k

no defectuosos en el lote se hallará a la derecha de m que a la derecha de k.

Como p *m

Procedimiento 2. Comparar los valores en la escala X El valor crítico k (en la escala Z) tiene el valor equivalente x k en la

Cálculo del plan de muestreo conocidas m y σ Se supone que se ha llegado a un acuerdo respecto a los valores de NCA = p1 (Nivel de Calidad Aceptable) ; NCR = p 2 (Nivel de

m - xk , con lo cual x k = m - kσ , que σ m- x se compara con x = m - σz m , que se obtiene de zm = . σ

escala X por lo que k =

Por el Procedimiento 1, se acepta el lote si z m

σz m x

σk ; -σz m

-σk ; m - σz m

k ; con lo cual,

m - σk ; es decir

x k , por lo tanto: x k y se rechaza el lote si x < x k .

Se acepta el lote si x

Procedimiento 3. Comparar los valores de las proporciones Si

m

m

y

se acepta el lote si z m

k

, por el Procedimiento 1,

k porque la proporción de defectuosos a

la izquierda de m ( pm ) es más pequeña que la proporción de defectuosos a la izquierda de k ( p k ); por lo tanto: Se acepta el lote si p m

p k y se rechaza el lote si p m > p k .

trabaja con Qm = zm

n y con k * = k n , con lo cual n-1 n- 1

Para una mejor estimación en los resultados, en este caso, se

m

16

* m

y

*

* k

.

p *k se acepta el lote

Calidad Rechazable); α (Probabilidad de Error Tipo I y β (Probabilidad de Error Tipo II); es decir, respecto a las parejas p1 ; α y p2 ; β . Existe x 1 tal que p1 proporción de defectuosos se halla a la

izquierda de m Entonces

1

Si z1 = m - x 1 ;

1

1

σ

m- x1 σ

;

1

. (1)

1

Existe x 2 tal que p 2 proporción de defectuosos se halla a la

izquierda de m . Entonces

2

Si z2 = m - x2 ;

2

2

σ

m - x2 σ

;

2

. (2)

2

Por lo que se puede trabajar con las parejas: z1 ; α y z 2 ; β Si se considera x 1 y α Para que un lote sea aceptado: m- X σ

α

zm

k , con lo cual


m- X σ

1-

NCA = p1 = 0.01; NCR = p 2 = 0.07; α = 0.05 y β = 0.1

m- X - x1 + x1 σ

2.1. Halle el plan de muestreo (n y k) para la aceptación de los lotes. 2.2. Halle el valor de x 1 para que p1 proporción de defectuosos se

m- x1 X- x1 X- x1 X- x1 k =P z1 k =P z1 -k = σ σ σ σ

=P

X - x1 σ

1

halle a la izquierda de m y el valor de x 2 para que p 2

proporción de defectuosos se halle a la izquierda de m . 2.3. Halle el valor de x k que corresponde al valor de k.

1

Por lo tanto P Z

z1 - k

Si z α = z 1 - k

n;P Z

n = α.

zα = α

(3)

Si se considera x 2 y β Para que un lote sea aceptado: z m con lo cual

m-X σ

m- X σ

=P

k,

k=

n =P Z

Por lo tanto P Z

z2 - k

n = 1- β .

z2 - k

n=

(4)

n , despejando n :

n=

m - x1 de ( 1 ); σ

m - x2 de ( 2 ); σ

2.4. Con el Procedimiento 1:

m - x 1 65 - 75.1 = = -1.683 , como z m σ 6

k,

se rechaza el lote. Con el Procedimiento 2: x k = 76.1; como x x k ,

Utilizando la primera igualdad de ( 5 ) y el resultado obtenido para k:

con lo que se llega a:

Utilizando z2 =

zm =

zβ - z α

zα zβ - zα 1

1.2816-(-1.6449) =3.4409 ; n = 11.84 ≈ 12 (-1.4051)- (-2.3263)

2.3. x k = m - σ k = 65 – 6 * (-1.8483) = 76.0898 (5),

zα = zβ z1 - zα z2 z1 zβ - zα

1.2816 (-2.3263)- (-1.6449) (-1.4758) = -1.8483 1.2816- (-1.6449)

x 2 = m - σ z 2 = 65 – 6 * (-1.4758) = 73.8548

zβ z1 - z α z 2

zα = z1 - k

z2 - z1

=

zβ = 1.2816

x 1 = m - σ z 1 = 65 – 6 * (-2.3263) = 78.9578

Con lo cual: z α z 2 - z αk = zβ z1 - zβk ,

n=

zβ - zα

=

2.2. Utilizando z1 =

zβ zα = z1 - k z 2 - k

entonces k =

zβ - zα

n

De los resultados ( 3 ) y ( 4 )

n=

zβz1 - zαz2

z2 -k

n ; P Z zβ = 1- β

n y zβ = z 2 - k

zβ = 1- β = 0.9;

P Z

m - X - x2 + x 2 σ

z2 - k

zα = z1 - k

z 2 = -1.4758

P Z z α = α = 0.05 ; z α = -1.6449

β

X - x2 n σ

Si zβ = z2 - k

z2 = p2 = 0.07;

P Z

m- x2 X- x2 X- x2 X- x2 k =P z2 k =P σ σ σ σ

=P

2.4. Supóngase que en otro lote se tomó una muestra de tamaño igual al del plan de muestreo calculado, con lo que obtuvo la media igual a 75.1. ¿Qué decisión se debe tomar sobre el lote?, considerando los tres procedimientos. Solución: 2.1. Aplicando los resultados identificados con ( 1 ); ( 2 ); ( 3 ) y ( 4 ), con los valores acordados: P Z z1 = p1 = 0.01; z 1 = -2.3263

β

α

β 1

;

se rechaza el lote Con el Procedimiento 3: Q m = zm

α 2

zβ - z α z 2 - z1

Ejemplo 2. En el proceso de producción del Ejemplo 1., donde σ = 6 = 6 y m = 65, el productor y el comprador han llegado al siguiente acuerdo:

k* = k

n 12 = -1.683 = -1.7578 ; n- 1 11

n 12 = -1.8483 = -1.9305 n-1 11

* ; P Z Qm = P Z -1.7578 = 0.0394 = pm

P Z k* = P Z -1.9305 = 0.0268 = pk*

Como p *m

p *k se rechaza el lote

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Análisis de Correspondencias del Proceso a la Condena de Franz Kafka Alexandra M. Espinosa Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias. Escuela Politécnica Nacional 30 de octubre de 2014

Resumen

La obra de Franz Kafka es una de las más importantes, significativas e influyentes de la literatura moderna. Producto de una sociedad finisecular en convulsión, su interpretación siempre es controvertida. En este artículo se examina la novela “El Proceso” de Franz Kafka mediante el análisis de las repeticiones de palabras de contenido ético-moral. Con este conteo, se estudiará las principales características de la novela mediante el Análisis de Correspondencias.

La lectura de La Condena y El Proceso de Franz Kafka lleva a la conclusión de que la dimensión moral de la obra es muy superior a las valoraciones habituales sobre los aspectos jurídicos de la misma. En la Condena, F. Kafka pone en tela de juicio a los comportamientos que, desde su punto de vista, son inmorales. En sus cartas a su amigo y confidente Max Blaug, Franz Kafka dejó patente el deseo de que La Condena y El Proceso fueran obras morales. Aunque, de forma más apropiada, es una obra ética con valores individuales asociados a las relaciones interpersonales y con valores que relacionan a los individuos con la sociedad en su conjunto. El engaño, la mentira, la frivolidad y los preconceptos aparecen continuamente en La Condena como valores negativos que caracterizan a los individuos en sus relaciones interpersonales. Pero, la crítica ética de Kafka recae, sobretodo, en los valores sociales como son la crueldad, la insolidaridad, la cobardía y el sometimiento. Los cuentos “La Metamorfosis”, “El Centinela” y “El Informe a una Academia” son especialmente éticos. Sin embargo, es en El Proceso donde Joseph K. es juzgado y condenado, sin que se llegue a saber la causa de su condena. Pero, esto es sólo aparente ya que, K. se comporta según valores éticos. Además, con una fina ironía, la mayor parte de las valoraciones que realiza la sociedad sobre K. son opuestas a estos valores. Esto no debe extrañar, porque la condena de K. es social. Las consideraciones jurídicas tienen una dimensión menor, puesto que, según el mismo libro, se trata sólo de una institución de absoluciones aparentes.

18

1. La aplicación del análisis de correspondencias en la literatura Las primeras aplicaciones del análisis multivariante en el contexto de la literatura y de la lingüística fueron realizadas por Benzécri, quien desarrolló el análisis de correspondencias para discutir las tesis de Chomsky sobre la lengua. Posteriormente, L. Lebart, a raíz de su trabajo en el CREDOC, continuó los desarrollos ante la necesidad de tratar preguntas abiertas con métodos más automáticos que la post-codificación manual que entonces se hacía, y que en la mayoría de los casos se sigue realizando. A su vez, se debe a M. Bécue el desarrollo de un paquete informático para el tratamiento de datos textuales, el SPAD.T. Formalmente, la isotopía semántica es la disciplina que estudia las redundancias del contenido de un texto. Mediante la isotopía se puede destacar los planos homogéneos de significación, mediante la redundancia y reiteración de varios segmentos textuales de algunos elementos semánticos idénticos. Esta propiedad permite definir sucesos semánticos y considerar las veces que estos sucesos se repiten.

1.1. Principios del Análisis de Correspondencias El Análisis de Correspondencias (ACO) es una técnica apta para el análisis y la representación de datos de tipo nominal ---como es el caso de los valores éticos---, cuya medida, ordenación o jerarquía es imposible de establecer. Sin embargo, el ACO aborda el problema mediante la distancia χ2, es decir, la distancia euclídea entre las frecuencias relativas de las categorías (valores) ponderada por la frecuencia del individuo (capítulos). A partir de esta distancia, el ACO parte de la hipótesis de independencia entre categorías e individuos. Es decir, si individuos y categorías son independientes, la distancia χ2, será cero. De este modo, mediante el ACO se puede analizar si la probabilidad de encontrar un valor moral en un capítulo es independiente del capítulo y, por lo tanto, sólo depende de la probabilidad del valor moral en el libro “El Proceso”. La independencia, entonces, implica que la condena de Joseph K. es independiente de los valores morales, con lo cual El Proceso no es un libro moral, tal como pretendió su autor. Por otro lado, el Análisis de correspondencia es una técnica de representación de los datos, que permite construir gráficos de valores y capítulos bajo la distancia χ2. Estos gráficos, a su vez, se asocian al contraste de independencia entre valores y capítulos. Así, si representamos en gráficos de dos dimensiones a valores morales y (por separado) a la condena, la independencia implicará que los puntos aparecerán gráficamente sobrepuestos alrededor del punto (0, 0).


Por otro lado, mediante la técnica ACO se puede determinar la calidad de los gráficos, puesto que son el resultado de encontrar la representación de la máxima distancia entre categorías (valores éticos), permitiendo la visualización de la información en un gráfico con uno o dos ejes y, además, conociendo el porcentaje de la variabilidad total de los datos representados en los gráficos.

2. Resultados La dimensión moral de la obra de F. Kafka se puede representar mediante una tabla de contingencia, donde los individuos son los capítulos y las categorías son los valores que Kafka considera positivos a lo largo de la obra dividida en capítulos. Los datos se recogen contabilizando el número de veces que palabras o frases asociadas a los diferentes valores éticos aparece en cada capítulo. Capitulo

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

Prestigio

6

1

3

1

1

4

8

4

1

2

Coraje

8

0

3

1

2

3

4

2

0

3

Rebeldía

3

0

0

0

0

1

2

2

1

2

Independencia

3

0

3

2

0

0

0

0

0

0

Ingenuidad

8

5

8

0

0

3

10

1

3

2

Veracidad

5

9

6

2

4

6

4

8

0

1

Libertad

2

0

1

0

0

1

5

0

1

0

Apariencia

0

0

1

1

3

2

4

3

1

2

Responsabilidad

3

1

0

0

0

1

6

0

2

0

Asertividad

2

0

5

1

3

1

0

5

1

0

Caridad

0

0

0

2

2

0

0

0

1

0

Sensibilidad1

7

1

7

3

5

4

3

1

2

7

En consecuencia, mediante el ACO, se pueden construir los siguientes gráficos que representan la información contenida en la tabla anterior. La gráfica representa el 58,4% de la variabilidad o información total contenida la tabla.

La representación de los capítulos muestra que la novela es no lineal y que los capítulos más importantes son el IV y el VI sobre el eje horizontal y los capítulos II, VIII y IX sobre el eje vertical. Es interesante que en el segundo eje se opongan capítulos los contiguos VIII y IX. De este modo, el primer eje es el desarrollo de El Proceso, frente al segundo eje que es comienzo y desenlace. Puesto que el primer eje acumula mayor capacidad explicativa de la información, el resultado es coherente dado que simplemente manifiesta que son los capítulos centrales los que tienen mayor capacidad explicativa. La representación de los valores éticos permite explicar el significado de los ejes y asociar, de este modo, los capítulos a éstos. El valor “Caridad” en el extremo inferior está condicionando el análisis, puesto que orienta a los demás valores en su dirección. Es decir, se puede construir un eje imaginario que pasa por este valor ético y que, alinea a los demás valores. Eso se debe a que “Caridad” es un valor que aparece de forma sorprendentemente alta, condicionando a todo el análisis. Nótese que la caridad se opone a la ingenuidad entendida como credulidad ante las verdades ajenas. Desde un punto de vista de cuadrantes, el inferior izquierdo corresponde a valores sociales como el prestigio, el coraje, la responsabilidad y la libertad. Los mismos, son valores que desde tiempos inmemoriales han sido defendidos por la humanidad como nobles y positivos. Estos se oponen en el cuadrante de la derecha a valores que son considerados positivos, sólo recientemente y no de forma unánime, como son la rebeldía, la independencia, la sensibilidad y la apariencia física; que son valores más asociados a la ética individual. El eje superior se encuentra dominado por la verdad y la asertividad, valores complejos y superiores. Dado estos resultados, se puede aseverar que K. no fue condenado por su carácter ingenuo y casi temerario ante la verdad, tan claro en los capítulos II y VIII, en los que rechaza el sistema jurídico con violencia; sino que por su responsabilidad y deseo de libertad del capítulo IX. Asimismo, la condena es resultado de la combinación entre la sensibilidad, el coraje y la rebeldía, valores éticos individuales. Aunque en la Condena estos valores estén bien considerados, Kafka odiaba a la violencia y, en la obra, llevó a la verdad hasta los extremos de asumir que la candidez es deseable.

3. Conclusiones Los capítulos II y VIII son aquellos en los que K. protesta contra la torpeza del sistema jurídico al cual está sometido, con arrogancia y casi prepotencia. Estos son precisamente los capítulos en los que se aleja de la condena del capítulo 10. En cambio, valores como el prestigio o la apariencia, pese a su reiterada presencia a lo largo de la

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novela, apenas tienen importancia. En cambio, la veracidad y la ingenuidad explican la mayor parte de la información del gráfico y se oponen al capítulo 10 de la condena. También es interesante observar que la condena de K. fue social, ya que los valores más individuales, como la libertad y la responsabilidad se oponen a la asertividad. Kafka no sólo apreciaba a los valores sociales por encima de los individuales sino que, además, al menos a nivel estadístico, logra el objetivo de condenar a Joseph K. por ser un individuo que recogía en su personalidad a todos los valores que Kafka admiraba. El Proceso además, tiene una bellísima estructura concéntrica en la cual K. se aleja y se aproxima a la condena en la medida en que se rinde o sigue luchando por mantener su arrogante independencia de criterio. Aquello era de esperarse, puesto que en el capítulo IX, durante el diálogo con el cura de la prisión, no sólo no se marcha, sino que le pide que se quede. Su rendición es total.

Bibliografía Benzécri, J.P. (1973). L’Analyse des Données. Volume II. L’Analyse des Correspondances. Paris, France. Dunod. Greenacre, Michael (1983). Theory and Applications of Correspondence Analysis. London. Academic Press.

Curso: Educación Matemática y tecnologías Para Profesores de Matemática Por: Juan Carlos Trujillo El Departamento de Matemática ha organizado el curso sobre “Educación Matemática y tecnologías”, dirigido a los profesores del Departamento, con una duración total de 90 horas. Las fechas de realización del curso serán entre el 04 de diciembre de 2014 y el 06 de marzo de 2015. Los objetivos que se cumplirán dentro del curso son: • Producir material interactivo en línea para la enseñanza de un tema de matemáticas. • El material producido tiene que generar, en las y los estudiantes, las siguientes competencias del lenguaje, como una herramienta para el aprendizaje de las matemáticas: leer, escribir, escuchar y hablar. • El material producido tiene que apoyar el desarrollo de la competencia matemática para formular y resolver problemas. La metodología a utilizarse será la siguiente: Cada participante deberá: • Proponer la estructura de su material. • Realizar entregas periódicas de sus avances, según cronograma establecido. • Entrega del producto final (incluye un artículo breve). • El producto final, consta de dos componentes: • Un paquete en exeLearning que, aunque no contenga el producto en su totalidad, refleje la propuesta metodológica completa. • Un documento en LaTeX con el material desarrollado, listo para ser transferido al formato en exeLearning. Independientemente de la metodología pedagógica utilizada por la o el docente, el énfasis deberá estar en la retroalimentación e interacción, salvo, por supuesto, si la propuesta metodológica es opuesta a estas dos características. Finalmente, la interacción entre las y los participantes y el profesor del curso se llevará a través de la plataforma del proyecto CLAVEMAT: clasevirtual.clavemat.org, utilizando el “Curso para docentes: Educación matemática y tecnologías”.

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Nuevos Proyectos de Investigación Tipo de Proyecto Interno

Semilla

Semilla Inter y Multidisciplinario

Inter y Multidisciplinario

Inter y Multidisciplinario

Semilla

Semilla

Semilla Semilla

Interno

Nombre Análisis y propuesta de contenidos curriculares del área de matemática para la educación secundaria. Propagación de frentes en sistemas de reacción difusión fraccionarios. Sistemas Hamiltonianos no locales. Desarrollo e implementación de algoritmos para la reconstrucción de árboles filogenéticos. Flujos de materiales viscoplásticos en la industria alimenticia: Modelización Matemática, Simulación numérica y optimización. Estudio epidemiológico y mapeo de riesgo predictivo de Leishmaniasis cutánea en Ecuador utilizando modelos de regresión logística y geoestadísticos bayesianos. Optimización de estrategias de control de malaria en el territorio ecuatoriano mediante modelos de control óptimo y simulación matemática Construcción de indicadores de vulnerabilidad macroeconómica financiera de los países que forman parte del Banco del Sur, bajo un enfoque de monitoreo de riesgos de integración económica. Análisis de la relación entre migración y desempleo. Estabilidad y comportamiento dinámico del Modelo Ricardo-Mill en un continuo de bien en el Dominio Z. Una aproximación al hacinamiento de los hogares: Evidencias del Ecuador.

Director PhD. Polo Vaca

PhD. Miguel Yangari

Colaboradores PhD. Luis Horna MSc. Carlos Echeverría MSc. Ménthor Urvina PhD. Antonio Franco s/c

PhD. Marco Calahorrano

PhD. Miguel Yangari

PhD. Luis Miguel Torres

MSc. Ana Almendariz MSc. Adrian Troya Lcdo. Pablo Moreno PhD. Santiago Ron PhD. Jenny Ruales

PhD. Sergio González

PhD. Sandra Gutiérrez

PhD. María Fernanda Salazar Dr. Luis Miguel Valdivieso Dr. Patricia Borja

PhD. Pedro Marino

s/c

MSc. Alejandro Araujo

MSc. Marcela Guachamín

MSc. Silvia González Dra. Alexandra Miranda

Dra. Alexandra Miranda MSc. José Ramírez MSc. Silvia González

MSc. Juan Pablo Díaz

s/c

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Nuevos Profesores que se adscriben al Departamento de Matemática. Juan Pablo Roggiero Ayala.- Doutor em Matemática, Universidade Técnica de Lisboa; Mestre en Matemática, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA); Matemático, Escuela Politécnica Nacional. Juan Pablo Díaz Sánchez.- Master of Science in Economics, MSc. Universitat de Barcelona; Magíster en Economía y Gestión Empresarial, Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales, FLACSO – Sede Ecuador; Diplomado en Gestión de Pequeñas y Medianas Empresas, Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales, FLACSO – Sede Ecuador; Economista, Universidad Central del Ecuador. David Emmanuel Pazmiño Pullas.- Master of Mathematics, University of Waterloo; Maitrise Sciences, Technologies, Santé, Mention mathématiques, Université Jean Monnet –Saint-Etienne; Matemático, Escuela Politécnica Nacional. Marcela Elizabeth Guachamín Guerra.- Diplome de Master; Ecole Normale Superioure de Lyon; Ingeniera en Ciencias Económicas y Financieras, Escuela Politécnica Nacional.

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Entretenimiento


EFECTO ÓPTICO

Los puntos negros de la imagen de la izquierda parecen estar desordenados debido al efecto óptico de los círculos blancos que los rodean , sin embargo , como se aprecia en la imagen de la derecha , forman una cuadrícula perfecta. 23


REVISTA

DIVULGACIÓN MATEMÁTICA

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CONTACTOS: www.math.epn.edu.ec departamento .matematica@epn.edu.ec Telf.:(593-2)2976 300 ext: 1551

DIMAT Nº 2  

Revista de Divulgación Matemática

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