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Cap´ıtulo 4. Inversi´on
Para simplificar, supondremos que no hay depreciaci´on, ± = 0. Escribiendo solo los t´erminos donde aparece Kt , tendremos que: 1 Pk,t°1 (Kt ° Kt°1 + C(Kt ° Kt°1 )) + (1 + i)t°1 1 [Pt f (Kt ) ° Pk,t (Kt+1 ° Kt + C(Kt+1 ° Kt ))] + (1 + i)t °
(4.22)
Para simplificar el ´algebra, supondremos que el precio relativo del capital respecto del precio de los bienes no cambia en el tiempo. Es decir, podemos asumir que Pk,t = Pt . Adem´as, si dividimos toda la expresi´on anterior por Pt°1 y simplificamos por 1/(1 + i)t°1 , llegamos a que, para maximizar utilidades con respecto al capital en t, se debe derivar e igualar a 0 la siguiente expresi´on: °Kt + Kt°1 ° C(Kt ° Kt°1 ) +
1 [f (Kt ) ° (Kt+1 ° Kt + C(Kt+1 ° Kt ))] 1+r
Donde, debido a que 1 + i = (1 + r)Pt /Pt°1 , hemos usado la tasa de inter´es real. La condici´on de primer orden que deben cumplir todos los K debe ser: 1 + C 0 (It°1 ) =
1 [f 0 (Kt ) + (1 + C 0 (It ))] 1+r
(4.23)
Ahora, definiremos qt de la siguiente forma: qt = 1 + C 0 (It°1 ) Es decir, corresponde al valor de instalar una unidad de capital Kt . Si no hubiera costos de ajuste, el valor de q ser´ıa 1, pues hemos asumido que el precio de los bienes es igual al precio del bien de capital. Sin embargo, la presencia de costos de ajuste aumenta el valor del capital, pues una unidad adicional de capital aumenta marginalmente su costo de instalaci´on. Ahora podemos reescribir la condici´on de primer orden de la siguiente forma: f 0 (Kt ) ¢q + r= qt qt Donde¢ q = qt+1 ° qt . Esta relaci´on nos dice que, para mantener una unidad de capital se debe igualar su costo de oportunidad (r ya que no hay depreciaci´on) con el beneficio de tener el capital. El beneficio de tener la unidad de capital est´a compuesto de su aporte marginal sobre los ingresos m´as la ganancia de capital, que corresponde al aumento de su valor. Esta es una condici´on de arbitraje que veremos repetida en muchos contextos a lo largo de este libro.
De Gregorio - Macroeconomía