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Universidad “Fermín Toro” Vice-Rectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración Asignatura: Análisis de problemas y toma de decisiones Autor: Diego Silva Cabudare, Enero del 2014


Compendio de técnicas para la toma de decisiones  Programación Lineal Se conoce como programación lineal a la técnica de la matemática que permite la optimización de una función objetivo a través de la aplicación de diversas restricciones a sus variables. Se trata de un modelo compuesto, por lo tanto, por una función objetivo y sus restricciones, constituyéndose todos estos componentes como funciones lineales en las variables en cuestión. Los modelos de programación lineal contemplan que las variables de decisión (es decir, la función objetivo y las restricciones) mantienen un comportamiento de tipo lineal. Esto hace que, a través de su método, se puedan simplificar los cálculos y obtener un resultado próximo a la realidad. Veamos un ejemplo de programación lineal para comprender mejor esta definición. Supongamos que un hombre recibe una herencia de 100.000 dólares y toma la decisión de invertir el dinero. Su contador le recomienda dos inversiones: comprar acciones de una compañía petrolera, que tienen un rendimiento del 5%, y adquirir bonos del Estado, que rinden un 9%. El hombre decide invertir no más de 80.000 dólares en las acciones petroleras y no menos de 15.000 dólares en los bonos estatales. Por otra parte, pretende que la inversión en las acciones nunca duplique la inversión en bonos. Gracias a la programación lineal, puede estimar cómo distribuir su dinero entre ambas opciones para que sus inversiones le ofrezcan el mayor beneficio. El monto a invertir en acciones puede mencionarse como X, mientras que el monto a invertir en bonos puede nombrarse como Y. Las restricciones, por otra parte, serán que X no puede tener un valor superior a 80.000, que Y no puede tener un valor inferior a 15.000 y que X+Y no pueden superar el valor de 100.000.Si se trasladan dichas variables a una tabla o a un gráfico, se podrá saber cuáles son las opciones más rentables para el individuo.


Ejemplo: En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 dólares y el del tipo II es de 30 dólares. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? Solución: Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

 x  5 y  15  5 x  y  15  x  0 y  0

La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y).


Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x + 3y) = 0 ® x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y).

 x  5y  15 El mínimo se alcanza en el punto de intersecci ón de  ; es decir, en (2,5; 2,5). 5 x  y  15

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II. El precio en este caso será de z = 10(2,5 + 3×2,5) = 100 dólares.  Método Simplex El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de


manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. Ejemplo: Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex: 

Max

40*X1 + 60*X2

s.a.

2*X1 + 1*X2 <= 70

1*X1 + 1*X2 <= 40

1*X1 + 3*X2 <= 90

X1 >= 0 X2 >= 0 Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma: X1

X2

X3

X4

X5

2

1

1

0

0

70

1

1

0

1

0

40

1

3

0

0

1

90

-40

-60

0

0

0

0

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2.


 Lógica Bayesiana La inferencia bayesiana es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u

observaciones

se

emplean

para

actualizar

o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre bayesiana proviene del uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia. El teorema de Bayes se ha derivado del trabajo realizado por el reverendo Thomas Bayes. Hoy en día, uno de los campos de aplicación es en la teoría de la decisión, visión artificial (simulación de la percepción en general) y reconocimiento de patrones por ordenador. La incertidumbre y la imprecisión son connaturales en el proceso de razonamiento. La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que una proposición determinada es considerada como cierta o falsa, sin que se admitan grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento aproximado, entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos que simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre,

cuando

no

se

conoce

con

absoluta

certeza

la verdad o falsedad de un enunciado o hipótesis, e imprecisión, enunciados en los que se admite un rango de variación. Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran los métodos bayesianos, basados en el conocido teorema de Bayes. Todos ellos tienen en común la asignación de una probabilidad como medida de credibilidad de las hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como un proceso de actualización de las medidas de credibilidad al conocerse nuevas evidencias. Mediante la aplicación del Teorema de Bayes se busca obtener las probabilidades de las hipótesis condicionadas a las evidencias que se conocen. La diferencia entre los distintos métodos bayesianos, modelos causales y redes bayesianas, estriba en las hipótesis de independencia


condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se expresan comúnmente mediante un grafo a cíclico dirigido. Ejemplo: Un ejemplo de inferencia bayesiana es el siguiente: 

Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta de (o 'Yo creo firmemente' o 'es verdad') que el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de ningún modo' o 'es falso') que el sol no salga mañana. La inferencia bayesiana usa un estimador numérico del grado de creencia

en una hipótesis aún antes de observar la evidencia y calcula un estimador numérico del grado de creencia en la hipótesis después de haber observado la evidencia. La inferencia bayesiana generalmente se basa en grados de creencia, o probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente declara proveer un método objetivo de inducción. Definiciones formales A pesar de todo, algunos estadísticos bayesianos creen que las probabilidades pueden tener un valor objetivo y por lo tanto la inferencia bayesiana puede proveer un método objetivo de inducción. (Ver método científico.) Dada una nueva evidencia, el teorema de Bayes ajusta las probabilidades de la misma de la siguiente manera:

Donde 

representa una hipótesis, llamada hipótesis nula, que ha sido inferida antes de que la nueva evidencia,

, resultara disponible.

se llama la probabilidad a priori de

.


se llama la probabilidad condicional de que se cumpla la

evidencia

si la hipótesis

es verdadera. Se llama también la función

de verosimilitud cuando se expresa como una función de

dado

.

se llama la probabilidad marginal de : la probabilidad de observar la

nueva evidencia

bajo todas las hipótesis mutuamente excluyentes. Se la

puede calcular como la suma del producto de todas las hipótesis mutuamente

excluyentes

por

condicionales:

las

correspondientes

.

se llama la probabilidad a posteriori de

probabilidades

El factor

dado .

representa el impacto que la evidencia tiene en

la creencia en la hipótesis. Si es posible que se observe la evidencia cuando la hipótesis considerada es verdadera, entonces este factor va a ser grande. Multiplicando la probabilidad a priori de la hipótesis por este factor va a resultar en una gran probabilidad a posteriori dada la evidencia. En la inferencia bayesiana, por lo tanto, el teorema de Bayes mide cuánto la nueva evidencia es capaz de alterar la creencia en la hipótesis.  Teoría de juegos La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego. Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos

campos,

como

en

la biología, sociología, psicología y filosofía.

Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir


de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética. Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría

de

juegos

estudia

decisiones

realizadas

en

entornos

donde

interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es enteramente distinta. Ejemplo: El dilema de Monty Hall es uno en el que el presentador de un programa de televisión ofrece al concursante elegir un premio que se encuentra tras una de las tres puertas. Dos de ellas contienen cabras y una de ellas un automóvil. El jugador elige una puerta, supongamos la primera y el presentador (Monty) abre la puerta número tres enseñando una cabra. Acto seguido nos ofrece cambiar la puerta ¿qué es mejor teniendo en cuenta que el presentador sabe que hay detrás de cada puerta? La respuesta es que es mejor cambiar de puerta. Guiándonos por la estadística el presentador al abrir una puerta cerrada ha incrementado las posibilidades que tenemos de llevarnos el premio, pasamos de jugar con 33% de


posibilidades al 66% porque en realidad el presentador aumenta nuestras posibilidades al 66% si cambiamos de puerta. Si permanecemos con la elegida nuestras posibilidades se mantienen en un 66%33%. En este enlace podéis encontrar una explicación en más profundidad de las matemáticas y en este otro un simulador (en inglés) La teoría de juegos es una de las partes de la investigación económica reciente que más atención está atrayendo en los últimos años. Además sus aplicaciones prácticas han sido utilizadas en la práctica en multitud de ámbitos, como por ejemplo el del dilema del prisionero para regular y evitar situaciones de oligopolio. En el cine hemos visto ejemplos del dilema del prisionero en situaciones como las creadas por el Joker en El Caballero Oscuro.  Método de localización y transporte Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando reasignaciones y reajustes dentro del sistema. El método de transporte permite encontrar la mejor distribución de los flujos mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier reconfiguración de la red. En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima.


Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. Ejemplo: Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basado en los siguientes aspectos: 

Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$ para C y 40.5$ para D.

Los

factores

incidentes

son:

Energía

Eléctrica

(F1),

Agua

(F2),

Disponibilidad de Mano de Obra (F3). Se sabe además que F2 tiene el doble de importancia que F1 y F3. 

Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las Localizaciones son:

Solución:

CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)


FSA:

8.25

FSB:

5

FSC:

7.25

FSD: 8.5

A:

0.5

B:

0.5

x x

0.2849 0.2246

+

0.5 +

0.5

x x

8.25

=

4.2674

5

=

2.6123


C:

0.5

x

0.2545

+

0.5

x

7.25

=

3.7522

D: 0.5 x 0.2354 + 0.5 x 8.5 = 4.3677.  Técnica de Monte Carlo El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico,

usado

para

aproximar expresiones

matemáticas complejas

y

costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material

de

fisión.

Esta

difusión

posee

un

comportamiento

eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D. En

la

primera

etapa

de

estas

investigaciones, John

von

Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el

mismo

estimadores

año, Enrico para

los

Fermi, Nicholas valores

Metrópolis y

característicos

de

Ulam

obtuvieron

la ecuación

de

Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos

con

muestreos

de

números

pseudoaleatorios

en

una


computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error

absoluto de la estimación que decrece como

en virtud del teorema del

límite central. Ejemplo: Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.


Referencias bibliográficas y citas de autor Dantzig,

G.

“Programación

Lineal:

Métodos

Simplex”,

Disponible:

http://www.programacionlineal.net/simplex.html Augustin,

A.

“Qué

es

la

teoría

de

juegos:

Historia”,

Disponible:

http://www.elblogsalmon.com/conceptos-de-economia/que-es-la-teoria-de-juegos Fourier, J. “Programación Lineal: Historia de la programación lineal”, Disponible: http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

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