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´ lculo I. Ca

Hoja 1

´ tica. Primero de Ingenier´ıa Informa

Curso 2011–2012

1) Indicar los valores x ∈ R para los que se satisfacen las siguientes desigualdades: a) |4x + 3| ≤ 1,

b) |x + 1| ≤ |x − 1|,

|x2

− 5x + 6| < 2, x−1 e) > 0, (x + 2)(x − 3) c)

d) |x + 1| + |x + 3| < 5, x2 − 2 f) 2 ≤ 0. x −4

2) Decidir si las siguientes desigualdades son v´alidas para los valores de x e y que se indican. a) |x − y| ≤ |x| − |y| para todo x, y ∈ R b) |x − y| ≤ |x| + |y| para todo x, y ∈ R c) |x − y|2 ≤ x + y para todo x, y ∈ [0, 1]. x+y √ d) xy ≤ para todo x, y ∈ R+ . 2 3) Demostrar por inducci´ on las siguientes f´ormulas: a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 . n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = . 6 1 2 3 n n+2 c) + 2 + 3 + . . . + n = 2 − . 2 2 2 2 2n d) Desigualdad de Bernoulli: (1 + x)n ≥ 1 + nx, para todo x ≥ −1, n ≥ 1. 4) Indicar si los siguientes conjuntos est´an acotados inferior y superiormente y en su caso hallar el ´ınfimo y el supremo. a) {x ∈ R : x4 < 9},

b) {x ∈ R : x5 < 9},

c) {x + x−1 : x ∈ R+ },

d) {(−1)n − n−1 : n ∈ Z+ },

5) Hallar el n´ umero, o los n´ umeros, si los hay para los que f toma el valor 1. √ a) f (x) = 4 + 10x − x2 , b) f (x) = 1 + x, c) f (x) = −1 + cos x,

d) f (x) =

1

√1 , 1−x


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