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3. Áreas y volúmenes Bimestre 3. Semanas 26 y 27 (4 sesiones)

I. Planificación A. Habilidades del estudiante Distinguir y calcular de manera aproximada el área y el volumen de los cuerpos. Identificar características medibles en los cuerpos geométricos. Calcular volúmenes de cuerpos geométricos. Aplicar estrategias de solución en situaciones en las que se utilice el cálculo de áreas y de volúmenes. B. Estándares Pensamiento métrico Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superficie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos. Justifico relaciones de dependencia de área y volumen respecto a las dimensiones de figuras y sólidos. C. Desempeños e indicadores de desempeño Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Usa los elementos de un cuerpo geométrico para calcular el área lateral, el área total y el volumen. D. Temas y subtemas Áreas y volúmenes Cuerpos geométricos Área lateral y total de un poliedro Volumen de un sólido . E. Recomendaciones didácticas 1. Es importante que los estudiantes utilicen su capacidad de observación en todos los ejemplos de figuras y cuerpos sólidos expuestos, pues luego deben aplicar estos conocimientos en la resolución de ejercicios y problemas.

2. A medida que avanza en el tema, puede repasar conocimientos básicos de las figuras planas y los cuerpos geométricos, por ejemplo, la identificación de figuras planas en objetos y ámbitos cotidianos: triángulos, cuadriláteros, círculos y cuadrados. 3. Recuérdeles constantemente que las habilidades para calcular áreas y volúmenes se adquieren con la práctica; por ello, debe garantizar que los estudiantes realicen todas las actividades. 4. Esté atento a la forma como los estudiantes efectúan las operaciones para calcular áreas y volúmenes; corrija si hay imprecisiones, para que desde el inicio utilicen la información de manera exacta y no cometan errores al final de las sesiones. 5. Durante el desarrollo de las sesiones, trate siempre de trabajar con material físico manipulable, pues de esta forma los estudiantes comprenden mejor los temas. 6. Haga énfasis en que los estudiantes utilicen los términos matemáticos adecuadamente, por ejemplo, hablar de vértices en lugar de esquinas, entre otros. 7. Al finalizar cada actividad, promueva la socialización de los resultados que se obtengan, para unificar estrategias y verificar la validez de cada una. 8. Promueva el trabajo autónomo para que los estudiantes identifiquen sus debilidades y fortalezas

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F. Énfasis en:

Sesión 29

Identificar algunas características y atributos medibles de figuras planas y de cuerpos geométricos. Compromiso

Sesión 30

Reconocer elementos de los cuerpos geométricos y diferenciar los conceptos de área lateral y área total de un poliedro. Confianza

Sesión 31

Comprender el concepto de volumen y aplicarlo a la resolución de ejercicios que lo requieran. Compañerismo

Sesión 32

Comprobar el dominio que tienen los estudiantes de los temas trabajados durante las sesiones. Responsabilidad

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II. Organización de la clase

Apertura Sesión 29

Pensamiento métrico

3

Áreas y volúmenes

Muro Articulado Austria

El caballo colombiano Colombia Esferas Japón

1

En las imágenes se muestran algunas esculturas. Obsérvalas. ¿Qué tienen en común las esculturas de las fotografías? Respuesta libre.

¿Distingues en ellas algunas figuras o cuerpos geométricos? Respuesta libre. ¿Cuáles? Respuesta libre. ¿Cuáles son las características de los cuerpos geométricos? Respuesta libre.

¿Cómo se pueden formar los cuerpos que te rodean a partir de los que ya conoces? Respuesta libre.

Con el estudio de los siguientes temas recordarás los cuerpos geométricos y sus elementos, así como el cálculo del área lateral, del área total y del volumen de algunos de ellos.

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El propósito de esta sesión es que los estudiantes identifiquen algunas características y atributos medibles de figuras planas y de cuerpos geométricos. 1. Para comenzar la sesión, pregunte a los estudiantes acerca de conceptos vistos en cursos anteriores, relacionados con área y volumen. Pídales que comenten cuáles figuras planas y cuáles cuerpos geométricos conocen y si saben cómo se calculan el área y el volumen, según el caso. 2. Pida a los estudiantes que observen a su alrededor y que nombren y dibujen las figuras © SANTILLANA SISTEMAS EDUCATIVOS LTDA.

planas y los cuerpos geométricos que ven. Sugiérales hacer una lista. 3. Invítelos a observar las fotografías de la página 145 y a nombrar otras parecidas conocidas por ellos. Para esto, proponga una lluvia de ideas de forma organizada. 4. Pida que resuelvan la actividad 1 de la página 69 y que contesten las preguntas, inicialmente de manera individual, y posteriormente con una puesta en común. Propóngales que contesten las mismas preguntas, pero con las figuras y los objetos dibujados por ellos anteriormente.

73


Desarrollo Cuerpos geométricos Los cuerpos formados únicamente por caras planas se llaman poliedros y se nombran según la forma de sus bases. Pueden ser prismas o pirámides. Los prismas tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases. Sus caras laterales son cuadradas o rectangulares. Prisma hexagonal

Las pirámides tienen una sola base. Sus caras laterales son triángulos que se unen en un vértice. Vértice

base

cara

Prisma triangular

Prisma rectangular

Pirámide rectangular

Pirámide triangular

Los siguientes cuerpos geométricos se llaman cuerpos redondos porque tienen al menos una superficie curva.

Cono

Actividad multimedia ¿Qué cuerpos conforma el objeto? En esta actividad multimedia se anima a los estudiantes a descubrir los cuerpos geométricos que componen un objeto, antes de que se acabe el tiempo destinado en cada caso.

2

Cilindro

Esfera

Comunica. Describe por qué cuerpos está formado este objeto. Está formado por: dos prismas rectangulares y un prisma triangular.

Estos dibujos representan cómo se vería el objeto de frente, desde arriba, desde un lado y desde abajo. Colorea cada vista como le corresponde.

70

5. Invite a un estudiante para que lea el objetivo de las siguientes sesiones, el cual se encuentra al final de la página 69; en él se indica el alcance temático de las siguientes sesiones. 6. Luego, organice a los estudiantes en un semicírculo; dibuje en el tablero un prisma, una pirámide y un cilindro y pídales que observen las figuras y anoten características similares y diferentes. Indíqueles que las clasifiquen, es decir, que identifiquen cuál es el prisma, cuál la pirámide y cuál el cuerpo redondo.

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¿Cuántos vértices tiene? ¿Cómo es la forma de sus caras? ¿Qué forma tienen sus bordes? 8. Una vez realizada la clasificación, verifique la comprensión de los estudiantes e invítelos a realizar la actividad 2 de la página 70.

7. Solicíteles que anoten en una tabla las características que observan en el prisma; guíe la clasificación con preguntas como las siguientes, entre otras.

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9. Proyecte la actividad multimedia que se sugiere en esta página, con la cual se afianza el razonamiento visual. 10.Para finalizar, pida a los estudiantes que lean en sus casas la información del recuadro inicial de la página 71 y que desarrollen la actividad 3 que se indica en la misma página. Indíqueles que lleven la caja desarmada a la siguiente sesión.

Algunos cuerpos geométricos tienen caras, aristas y vértices. Arista

Vértice

Cara

Las caras de un cuerpo geométrico son los polígonos que forman la superficie. Las aristas son los segmentos que forman los lados de las caras. Los vértices son los puntos extremos de las aristas.

3

Razona. Consigue una caja de cartón en forma de cubo y llévala a clase. Desármala como se muestra.

1

2

3

4

¿Cuántas caras puedes contar cuando se desarma el cubo? Seis. ¿Qué forma tienen esas caras? Cuadrada. ¿Cómo podrías calcular el área el área que tiene ese cubo? Respuesta libre.

Comparte tus respuestas con las de un compañero. 71 © SANTILLANA SISTEMAS EDUCATIVOS LTDA.

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Sesión 30

ˆ

Áreas lateral y total de un poliedro El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de las caras laterales. 10 cm

Desarrollo plano de un cubo Base 10 cm

Cara lateral

Cara lateral

Cara lateral

Cara lateral

10 cm

Base

El área total (AT) de un poliedro es la suma del área lateral (AL) y el área de las bases (AB).

4

Comunica. Observa la imagen anterior. ¿Cuántas caras laterales tiene el desarrollo plano del cubo? Cuatro. ¿Cuántas bases? Dos. ¿Cómo hallas la suma de las caras laterales? Respuesta libre.

Completa el procedimiento. AL 

 (10 cm  10 cm)  400 cm2

4 4 caras

¿Cómo hallas la suma de las bases? Respuesta libre. AB 

 (10 cm  10 cm)  200 cm2

2 2 bases

Completa teniendo en cuenta el área del desarrollo plano del cubo.

Área total: AT 

200

cm2 

400

cm2 

600

cm2

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76

El propósito de esta sesión es que los estudiantes identifiquen algunos elementos de los cuerpos geométricos y que diferencien los conceptos área lateral y área total de un poliedro.

de las áreas de las caras laterales de un poliedro se denomina área lateral. Solicite que cada uno identifique las caras laterales en sus cajas.

1. Lleve a clase los cuerpos geométricos didácticos; pida a los estudiantes que compartan las respuestas que obtuvieron en la actividad 3 resuelta en casa y que comuniquen sus experiencias al desarmar el cubo. Solicíteles que nombren las semejanzas y diferencias que observan entre los cuerpos geométricos que se ilustran en el recuadro de la página 71. Coménteles que es posible calcular el área y el volumen de los cuerpos sólidos y que eso será lo que trabajarán en la sesión.

3. Invítelos a resolver las preguntas de la actividad 4 de la página 72. Coménteles que en el caso del cubo, las bases tienen la misma área que las caras laterales, por ser congruentes. 4. Explíqueles con una de las cajas desarmadas cómo calcular el área lateral de un prisma o de un cubo. Luego, pídales que observen el cubo desarmado del recuadro de la página 72 y que analicen los detalles para que, entre todos, completen los datos que faltan y hallen el área lateral del cuerpo geométrico.

2. Indique a los estudiantes que cada uno tome su caja desarmada; explíqueles que la suma © SANTILLANA SISTEMAS EDUCATIVOS LTDA.


5. Pídales repetir este procedimiento en la actividad 5 de la página 73. Indíqueles que identifiquen las diferencias con la figura de la actividad anterior. Antes de realizar los cálculos, pregunte: ¿si la altura de un cubo es la mitad de la de otro cubo, el área total también se reduce a la mitad?

7. Proponga el desarrollo de la actividad 6 de la página 73 como Tareas para la casa. Verifique los procedimientos en la siguiente sesión.

6. Pida que trabajen de manera individual y que después compartan los resultados. Permítales el uso de calculadoras para agilizar los cálculos, pues en esta oportunidad no se están evaluando procesos algorítmicos. Recomiéndeles que realicen cálculos exactos, pues de no ser así la respuesta no será la correcta.

5

Resuelve problemas. Lee y analiza.

Desarrollo plano

Al reducir la altura del cubo a la mitad se obtienen el siguiente poliedro y su respectivo desarrollo plano.

10 cm Base

5 cm

5 cm Caras laterales

Poliedro

Base

Completa cada expresión. Área de las bases AB 

2

(

10 cm



10 cm

) 

200 cm2



5 cm

) 

200 cm2

2 bases

Área de las caras laterales AL 

4

(

10 cm

4 caras

Área total AT 

200 cm2



200 cm2



400 cm2

¿El área total de este cubo es la mitad del área del cubo de 10 cm de altura? No. ¿Cuál es la diferencia? 200 cm2

Tareas para la casa 6

Ejercita. Calcula el área total de los siguientes poliedros.

815,36 cm2

12,5 cm

15,9 cm

9,8 cm 9,8 cm

12,5 cm

937,5 cm2

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Sesión 31

ˆ

Volumen de un sólido El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. Una de las medidas más utilizadas para medir el volumen de un cuerpo es el centímetro cúbico (cm3). Un centímetro cúbico es el volumen de un cubo de 1 cm de alto, 1 cm de largo y 1 cm de ancho. 1cm 1cm

1 cm3

1cm

La cantidad de centímetros cúbicos que llenan un solido es su volúmen

7

Ejercita. Calcula cuántos centímetros cúbicos hay en cada figura, si cada representa 1 cm3.

11 cm3

8

20 cm3

13 cm3

Razona. ¿Con cuántos centímetros cúbicos se completa el prisma?

Se llena con:

8 cm3

¿Cómo lo sabes? Respuesta libre.

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En esta sesión, los estudiantes comprenderán el concepto de volumen y lo aplicarán en la resolución de ejercicios y problemas que lo requieran. 1. Para que los estudiantes comprendan mejor el significado de 1 cm3, pídales que construyan con cartulina uno real o que lo dibujen en sus cuadernos. Explíqueles que el número de unidades cúbicas que componen un cuerpo se denomina volumen.

3. Proyecte la página en el tablero y pida a los estudiantes que observen y cuenten los cubos de la actividad; solicite que algunos voluntarios escriban las respuestas para que el resto del grupo las confirme. 4. Luego, pida resolver la actividad 8 de la página 74; insista en que cuenten muy bien los cubos, pues en ocasiones hay confusiones visuales.

2. Invítelos a que se reúnan en grupos de tres estudiantes para resolver la actividad 7 de la página 74. En ella se ponen a prueba el razonamiento visual y las destrezas matemáticas respecto a la composición y descomposición de los cuerpos geométricos.

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Para calcular el volumen de un prisma se multiplica el área de la base por su altura. Observa el ejemplo. Área de la base AB  7 cm  5 cm  35 cm2

4 cm

Altura: 4 cm

5 cm

Volumen (V) de la caja V  35 cm2  4 cm  140 cm3

9

7 cm

Ejercita. Completa la tabla. Poliedro

Área de la base

13 cm

5 cm

Largo  5 cm Ancho  8 cm

Altura

Altura  13 cm

Largo  ancho  520 cm3

5  8  40 cm2

8 cm

11 cm

10 cm

Largo  10 cm Ancho  13 cm

Altura  11 cm

Largo  ancho  10  13  130 cm2

13 cm

8 cm

6 cm 13 cm

Largo  6 cm Ancho  13 cm

1.430 cm3

Altura  8 cm

Largo  ancho  624 cm3

6  13  78 cm2

15 cm

Volumen

Largo  2,5 cm Ancho  2 cm

Altura  15 cm

Largo  ancho  2,5 cm 2 cm

2,5  2  5 cm2

75 cm3

75

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5. Por medio de la expresión matemática, explíqueles cómo calcular el volumen de un cubo o de un prisma. Luego, invítelos a trabajar en grupos la actividad 9 de la página 75; acláreles que las unidades de área son unidades cuadradas y que las unidades de volumen son unidades cúbicas. 6. Puede distribuir cada ejercicio de la tabla en un grupo diferente y luego pasar a un representante de cada grupo para que lo explique y lo resuelva. Permítales usar la calculadora para agilizar los cálculos.

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10 Razona. Calcula el volumen de los sólidos compuestos a partir del volumen de los prismas de la tabla anterior.

V 1.115 cm3

V 5.434 cm3

V 2.620 cm3

¿Cuál de los tres cuerpos geométricos compuestos tiene mayor volumen?

Ficha de ampliación y apoyo Área y volumen de sólidos Con las actividades que se sugieren en esta ficha, los estudiantes hallarán el área y el volumen de distintos prismas, con la aplicación de las estrategias estudiadas.

El segundo.

¿Cuál de los tres cuerpos compuestos tiene el menor volumen? El primero. Reúnete con un compañero y comparte tus resultados. Unifiquen las respuestas si fuera necesario.

Construye un modelo como los anteriores utilizando los prismas de la tabla. Pídele a un compañero que calcule el volumen de tu creación. 76 © SANTILLANA SISTEMAS EDUCATIVOS LTDA.

7. Para finalizar, pida a los estudiantes que, en casa, resuelvan la actividad 10 de la página 76. Indíqueles que tengan en cuenta que deben considerar los prismas de la actividad anterior y que pueden colorearlos para identificarlos. 8. Pídales construir el sólido que se solicita en la última indicación de la página. Al revisar la actividad, valide todas las construcciones.

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Ci erre Se sión 3 2 A continuación podrás evaluar tus aprendizajes en el tema de áreas totales, áreas laterales y volumen de prismas. Al finalizar encontrarás una tabla con algunos desempeños con los cuales podrás evaluar tu interés y tu actitud ante el trabajo desarrollado.

11 Observa la forma geométrica que tienen las construcciones.

Escribe verdadero (V) o falso (F) teniendo en cuenta las figuras resaltadas de la fotografía. V Se muestran poliedros con caras planas poligonales. V Se muestran varios cuerpos redondos. V Se muestra un cuerpo redondo con un vértice. F

No se muestran poliedros con varios vértices.

F

Todos los poliedros que se muestran tienen caras planas con bordes rectos.

12 Uno de los edificios mide 20 m de altura y el área de su base es 1.500 m2. El volumen del edificio se calcula efectuando 1.500 m2  20 m

20 m  1.500 m2

20 m  1.500 m2

X

¿Cuál es el volumen del edificio? 1.570 m3

30.000 m3

X

1.480 m3

77

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El propósito de esta sesión es que los estudiantes comprueben el dominio que tienen acerca del cálculo de áreas de polígonos y del volumen de cuerpos geométricos. Lea con los estudiantes el párrafo introductorio del inicio de la página 77, para que se concienticen de la importancia de resolver correctamente los ejercicios que se proponen en las páginas 77 y 78. 1. Invite a los estudiantes a observar la imagen de la actividad 11 de la página 77. Pídales que, además de contestar falso o verdadero, describan en qué lugar de la imagen se encuentran los poliedros que cumplen estas condiciones.

2. A continuación, solicite que resuelvan la actividad 12 de la página 77. Pídales que, en una hoja, muestren los cálculos efectuados para obtener las respuestas. Permítales el uso de la calculadora, pues el objetivo de esta actividad no es evaluar algoritmos. 3. Permítales resolver la actividad 13 de la página 78 en grupo, para que entre todos analicen las distintas alternativas y lleguen a una conclusión; recuerde que los procesos de coevaluación deben involucrarse en las sesiones.

Autoeva lua ción 4. Invite a los estudiantes a responder de manera autónoma y responsable los criterios de evaluación establecidos en la actividad 14

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de la página 78. Luego, formule preguntas como las siguientes. ¿Por qué crees que es útil reconocer las características y propiedades de las figuras planas y de los cuerpos geométricos? ¿Al momento de construir cuerpos geométricos, te fue útil conocer las características y propiedades de los cuerpos geométricos?

6. Dibuje un prisma de base cuadrada en el tablero e indique largo, ancho y alto sobre el dibujo; por ejemplo, 30 cm, 20 cm y 50 cm, respectivamente. Solicite a los estudiantes que calculen el área lateral y el área total del sólido. Cualitativa 7. Invite a los estudiantes a responder las siguientes preguntas en sus hojas de cuaderno. ¿De qué forma aplicas en tu vida cotidiana lo que aprendiste en estas sesiones? ¿Consideras que las actividades realizadas durante las sesiones tienen utilidad para las actividades diarias que realizas? ¿Por qué?

E valuació n Cuantitativa 5. Pida a los estudiantes que dibujen en sus hojas de cuaderno un prisma y una pirámide y que identifiquen sus elementos.

13 Manuela quiere decorar su sala con velas aromatizadas. Tiene una repisa de base rectangular de 45 cm de largo por 12 cm de ancho en donde va a colocar las velas. Si quiere colocar cuatro velas, ¿cuáles de las siguientes le aconsejas comprar?

10

cm

10

cm

12 cm

8 cm

4

cm

m

4c

¿Por qué? Respuesta libre.

14 Marca una  la opción que mejor evalúa tu desempeño. Durante el desarrollo de esta sección…

Siempre

Casi siempre

Algunas veces

Puedo mejorar

identifiqué y diferencié los elementos de un poliedro. comprendí la forma de calcular el área total de un poliedro. aprendí a calcular el volumen de un poliedro. realicé las actividades con gusto e interés.

78

compartí mis puntos de vista y valoré los de mis compañeros, para unificar aprendizajes. © SANTILLANA SISTEMAS EDUCATIVOS LTDA.

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Test  

Prueba 1, Prueba 1,Prueba 1,Prueba 1.

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