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caderno do

ensino médio a

3 - SÉRiE volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-298-4 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51


Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

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orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

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Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º- grau e o aparecimento natural dos números complexos 13 Situação de Aprendizagem 2 – Das fórmulas à análise qualitativa: relações entre coeficientes e raízes 21 Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação 26 Situação de Aprendizagem 4 – Números complexos: representação no plano e significado das operações (translações, rotações, ampliações) 35 Orientações para Recuperação

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Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 51 Considerações finais

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Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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FiCHA do CAdErno Equações, polinômios, complexos: uma história cheia de significado em que as fórmulas não são tudo

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Médio 3ª2º- bimestre de 2009 Equações algébricas: história e significado Equações como perguntas e expansões nos conjuntos numéricos Noções sobre números complexos Equações algébricas e polinômios Das fórmulas à abordagem qualitativa; relações entre coeficientes e raízes de equações Operações com polinômios – algoritmo de Briot-Ruffini Números complexos Representação no plano Significado das operações com complexos Transformações no plano complexo e aplicações

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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à maneira de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a maneira de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a maneira de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Matemática - 3a série - Volume 2

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 2o bimestre da 3a série é Equações Algébricas, Polinômios e Números Complexos. Os três temas entrelaçam-se continuamente, ao longo da História. Como se sabe, uma equação sempre corresponde a uma pergunta, sempre envolve algo desconhecido, uma incógnita, e sempre está associada à solução de algum problema. Equacionar um problema é justamente traduzir a pergunta que ele representa por meio de uma equação. No Ensino Fundamental, sobretudo nas séries finais, já foram apresentados aos alunos diversos problemas, em diferentes contextos, cuja solução conduz a equações do primeiro e do segundo graus. Já sabemos resolver equações de 1º- grau (ax + b = 0, com a ≠ 0) e de 2º- grau (ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0). Trata-se agora de enfrentar equações correspondentes a situações um pouco mais enredadas, que conduzem a equações de 3º- grau (ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0), de 4º- grau (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a ≠ 0), de 5º- grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com a ≠ 0), e assim por diante. Tal é o conteúdo das Unidades 1 e 2. A história da busca de soluções para tais equações, chamadas equações algébricas, é muito instrutiva. Com base nela, compreendemos mais facilmente as sucessivas ampliações nos conjuntos numéricos, dos números naturais até os números complexos, que viabilizam a atribuição de significado à raiz quadrada de um número negativo. Aprendemos também com a história que, com as equações de 3º- grau, a busca por uma fórmula envolvendo

radicais que nos forneça as raízes, do mesmo tipo da que nos dá as soluções de uma equa– b ± b2 − 4ac ), não cosção de 2º- grau ( x = 2a tuma ser o melhor caminho para resolver as equações de graus 3 e 4, e é um caminho inviável, impossível de ser trilhado, para equações de grau maior ou igual a 5. O caminho mais conveniente, nesses casos, é uma análise qualitativa da pergunta que cada equação representa, extraindo da própria pergunta informações relevantes sobre as raízes. Aprenderemos com a história, portanto, que é muito importante sempre, e é decisivo em muitos casos, pensar efetivamente em um problema como se pensa em uma pergunta, aprendendo a examiná-la criticamente com a intenção de chegar à sua resposta. Mais do que qualquer intenção de ensinar técnicas de solução, nosso objetivo aqui é a plena compreensão desse fato. Uma apresentação das ideias fundamentais da história das equações algébricas será feita na Situação de Aprendizagem 1. Avançando um pouco mais, o significado da análise qualitativa de uma equação algébrica estará presente nas Unidades 3 e 4. Tanto as relações entre os coeficientes do polinômio P(x) e as raízes da equação P(x) = 0, quanto o fato de que, conhecendo-se uma raiz x = k da equação P(x) = 0, conseguimos reduzir sua solução à de uma equação de grau uma unidade menor, e assim por diante, são explorados nas Situações de Aprendizagem 2 e 3, correspondentes a essas unidades. Serão entrelaçados em atividades os dois resultados seguintes, que expressam basicamente o mesmo fato: “x = k é raiz da equação P(x) = 0” é

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rado e escrito na forma (x – k) . Q(x), em que

Em sintonia com tal representação, veremos que o valor absoluto de um complexo z

Q(x) é um polinômio de grau uma unidade

é |z| =

menor que P(x)”. Até esse ponto, vários fatos

complexo, da imagem de z à origem do sistema de coordenadas. O ângulo que a reta determinada pela origem e a imagem de z forma com o eixo x (medido no sentido anti-horário) é o argumento de z, representado por θ. As aproximações com a geometria analítica plana serão naturais: por exemplo, o conjunto de pontos do plano que representam complexos de módulo constante, digamos, |z| = 5, é a circunferência x2 + y2 = 25.

equivalente a “o polinômio P(x) pode ser fato-

terão sido reunidos a respeito das raízes da equação P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio. Relações entre coeficientes e raízes, possíveis raízes inteiras, fatoração de P(x) e diminuição no grau da equação, entre outros, poderão ser resumidos na Unidade 5. A partir da Unidade 6, os números complexos entram em cena mais diretamente. Como no caso das equações, a ênfase também não será posta nos cálculos algébricos,

x 2 + y 2 , e mede a distância, no plano

eixo Y y

mas sim no significado de tais números, de

P (x:y)

aparência inicialmente estranha, mas que conduzem a uma notável expansão dos conjuntos numéricos já conhecidos. As múltiplas possibilidades da representação geométrica

x

1

de um número complexo z, que tem como imagem um ponto no plano, como um par

x2 + y2 = 25

(x; y) de números reais, ou escrito na forma z = x + yi. Assim, como a reta foi necessária e suficiente para acolher todos os números reais, racionais e irracionais, veremos que, com a expansão do campo numérico para incluir números que possam ser raízes qua-

eixo X

1

Plano Cartesiano eixo Imaginário y z = x + yi

dradas de negativos, será necessário (e sufi|z|

ciente) todo o plano cartesiano, que servirá de inspiração para a construção do plano complexo, suporte para a representação de todos os números complexos. A unidade imaginária i, que representa o novo número

i 1

cujo quadrado dá –1, serve de padrão para

x

eixo Real

|z| = 5

a representação no eixo vertical de números como 2i, 6i, 7i, – 4i, etc.

Plano Complexo

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Matemática - 3a série - Volume 2

O significado das operações com números complexos será explicitado nas Unidades 7 e 8. Veremos em tais unidades que as operações com complexos correspondem à realização de certos movimentos no plano. Por exemplo, se a um complexo z for somado o número real 4, sua representação no plano será deslocada na direção do eixo x de 4 unidades; se a z for somado o número imaginário 3i, sua representação será deslocada na direção do eixo y de 3 unidades; se a z for somado o número 4 + 3i, sua representação sofrerá um deslocamento horizontal (eixo Real) de 4 unidades, seguido de um vertical

(eixo Imaginário) de 3 unidades, ou seja, o deslocamento de z terá valor igual ao módulo do complexo 4 + 3i, que é igual a 5, na direção determinada pela origem e a representação deste complexo. Ao multiplicar o complexo z pelo real 5, mostraremos que z permanece com o mesmo argumento (ângulo com o eixo x) mas a distância de z até a origem fica multiplicada por 5; se multiplicarmos z por i, o módulo de z permanecerá π o mesmo e seu argumento aumentará de ; 2 já se multiplicarmos z por 5i, os dois efeitos são combinados: aumenta a distância até a origem, ao mesmo tempo que o argumento π aumenta de . 2

eixo Imaginário 3z

z + 3i z + 4 + 3i

z.i z

z+4

|z| |z| eixo Real

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A exploração de tais movimentos na imagem de z, decorrentes de operações realizadas sobre z, torna o estudo dos números complexos especialmente significativo, abrindo caminho para um grande número de aplicações práticas dos mesmos. Tal é o conteúdo da Situação de Aprendizagem 4. De modo geral, ao longo das oito unidades do bimestre, a ênfase será dada ao significado de cada equação como uma pergunta, de cada raiz como uma resposta, de cada complexo como um ponto do plano, de cada operação realizada sobre ele como uma transformação em sua imagem no plano. Desde as seções iniciais, o exercício da compreensão leitora encontra-se presente em todas as etapas do texto. Os cálculos a serem efetuados ao longo da resolução das equações são sempre acompanhados de um texto explicativo, o que pode alongar um pouco o percurso, mas esperamos que o torne mais significativo. Afinal, aprender Matemática também significa desenvolver a capacidade de expressão na leitura e na escrita, ao lado das habilidades de cálculo. Sinteticamente, as oito unidades que compõem o presente bimestre são apresentadas a seguir.

Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 3ª- série do Ensino Médio unidade 1 – Equações algébricas de graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; história, fórmulas. unidade 2 – A raiz quadrada de um número negativo e o conjunto dos complexos. unidade 3 – Das fórmulas à abordagem qualitativa: relações entre coeficientes e raízes. unidade 4 – Equações e polinômios; operações com polinômios; divisão de um polinômio por x – k. unidade 5 – Síntese de resultados sobre a resolução de equações algébricas de qualquer grau. unidade 6 – Números complexos; representação no plano; relações com Geometria Analítica. unidade 7 – Significado das operações com números complexos; translações, rotações, ampliações. unidade 8 – Transformações no plano complexo; exercícios simples.

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Matemática - 3a série - Volume 2

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A EQUAçãO DE 3º- GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equações como perguntas; expansões nos conjuntos numéricos; história das equações algébricas: a passagem das equações de 2o grau (com fórmulas resolutivas) para as equações de grau superior, em que elas podem não existir; primeiras noções sobre números complexos. Competências e habilidades: compreender a representação de perguntas por equações; compreender a importância do deslocamento das atenções da busca por fórmulas para a análise qualitativa de situações-problema. Estratégias: recorrer à história das equações algébricas para apresentar aos alunos a abordagem qualitativa das equações; explorar por meio de exercícios os fatos fundamentais sobre equações.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 um pouco da história das equações A história das equações pode ser apresentada pelo professor para despertar nos alunos interesse sincero pela maneira como a Matemática é construída. Como se sabe, uma equação sempre representa uma pergunta envolvendo algum elemento desconhecido, uma incógnita. Resolver a equação é descobrir tal incógnita. Equações de 1o grau, ou seja, da forma ax + b = 0 (a ≠ 0), traduzem a pergunta “Qual é o número x que multiplicado por a e somado com b dá zero?”. A resposta é única b e a raiz da equação é x = – , ou seja, x é o a

simétrico do quociente de b por a. Já vimos que muitos problemas práticos envolvendo grandezas diretamente proporcionais recaem em equações de 1o grau. As equações de 2o grau possuem a forma ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) também podem ser completamente resolvidas, obtendo-se uma fórmula − b ± b2 − 4ac . Quando o 2a discriminante ∆ = b2 – 4ac é positivo, a equapara as raízes: x =

ção tem duas raízes distintas; quando ∆ = 0, as duas raízes são iguais; e quando ∆ < 0, então a equação não tem raízes reais, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo.

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Na 8ª série do Ensino Fundamental e na 1ª- série do Ensino Médio, tais equações já foram estudadas, referidas a diversos contextos.

propuseram caminhos que conduziam a tal fór-

O estudo das equações de 3o grau, na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), historicamente, seguiu pelo mesmo caminho: buscava-se uma fórmula, envolvendo radicais, que expressasse as raízes. No século XVI, os italianos Tartaglia e Cardano, entre outros,

tudam Matemática sem serem especialistas no

mula. Nunca, no entanto, o uso sistemático da mesma se consolidou, e poucos são os que estema, que a conhecem, muito diferentemente do caso das equações de 2o grau, em que a fórmula de Bhaskara é amplamente conhecida. Sinteticamente, o caminho seguido por Tartaglia e Cardano era:

Dividindo-se todos os coeficientes por a, a equação f ax3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser transformada na forma equivalente f x3 + bx2 + Cx + d = 0, onde B = Fazendo-se x = y –

B

b c d ,C= ,D= . a a a

(o denominador 3 corresponde ao grau da equação), a equação x3 + Bx2 + 3 Cx + D = 0 pode ser reduzida a y3 + My + n = 0, onde M e N podem ser determinados em termos de B, C e D (o que será explicado mais adiante, na Atividade 3). Assim, para resolver uma equação completa de 3o grau, basta resolver a equação incompleta y3 + My + n = 0 (o que será feito mais adiante, na Atividade 4), encontrando-se: f y=

3

n + 2

Logo, como x = y –

M3 + n2 + 27 4 B 3

3

n – 2

n2 M3 . + 27 4

, obtemos os valores de x em termos de a, b, c e d.

Para equações de 4o grau, procedimentos semelhantes levam a fórmulas ainda mais complicadas. Para equações de grau 5, no entanto, foi demonstrado pelo matemático Abel, em 1824, que não é possível expressar as soluções por meio de radicais. Um pouco depois, Galois estendeu tal resultado para equações de grau maior do que 5, de maneira que a busca de uma fórmula que englobe as soluções tornou-se um caminho inviável.

No fim do século XVIII, Gauss demonstrou o fato de que uma equação algébrica de grau n, ou seja, da forma a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ... + an – 1x + an = 0 (a0 ≠ 0) tem pelo menos uma raiz; em consequência, pode ser mostrado que terá sempre n raízes, reais ou complexas. Tal fato é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra.

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Matemática - 3a série - Volume 2

Do ponto de vista prático, equações de grau maior do que 4 precisam ser resolvidas, uma vez que surgem efetivamente em situações concretas; para isso, no entanto, devemos seguir outros caminhos. As equações são perguntas e as respostas a elas precisam, nesses casos, ser extraídas de uma análise engenhosa da própria pergunta; decididamente, as fórmulas não são tudo. Esse será o tema das Unidades 3 e 4. Antes disso, para trazer para a sala de aula as questões históricas apresentadas até aqui, vamos desenvolver algumas atividades relativas às Unidades 1 e 2.

Atividade 1 Já sabemos resolver completamente as equações de 2o grau, obtendo as soluções por meio da fórmula de Bhaskara. Apenas como exercício, para verificar a compreensão do caminho sugerido para resolver as equações de 3o grau, vamos procurar resolver a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) seguindo os passos propostos por Tartaglia e Cardano no texto anterior, para verificar se eles funcionariam, nesse caso. a) Divida os dois membros da equação ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo: b c x2 + Bx + C = 0, com B = e C = a a. b b) Substitua x por y − (o denominador 2 2 corresponde ao grau da equação) e verifique que a equação se transforma B2 = 0. em: y2 + C – 4 c) Mostre que, em consequência, y=±

B2 – 4C . 2

Como y2 = y=±

B2 – C, segue que 4

B 2 – 4C . 2

d) Substitua agora os valores de y, de b e B de C em x = y – , obtendo os valores de 2 x (você identifica, nos cálculos, a fórmula de Bhaskara?). Como

x

x = ± x=–

B ± 2

=

y

B 2 – 4C 2 2 B – 4C . 2

Substituindo B por

B , segue que 2 – B , ou seja, 2

b c e C por , obtemos a a

– b ± b 2 – 4ac , que é a fórmula de 2a Bhaskara. x = 

e) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores. f Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0; 5 , onde o deno­ 2 minador 2 é o grau da equação, obtemos 5 5 (y – )2 + 5(y – ) + 6 = 0; 2 2 1 f efetuando os cálculos, obtemos y2 = , 4 1 ou seja, y = ± ; 2 f substituindo x por y –

5 f como x = y – , segue que x = – 2 ou 2 x = – 3.

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Atividade 2

Atividade 3

Já sabemos que, se uma equação de 2o grau

a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x + 15 7 = 0. Substitua x por y – , ou seja, 3 x = y – 5 e mostre que a nova equação em y não apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação).

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distintas, x1 e x2, então ela pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, onde: S = x1 + x2 e P = x1 . x2 a) Mostre que, nesse caso, as raízes são dadas S ± S2 – 4P . Mostre 2 que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. pela fórmula x =

Tais números seriam as raízes da equação x2 – 10x + 40 = 0 . Segundo a fórmula do item a, teríamos de calcular

10 2 – 160 =

– 60 ; como não existe a raiz quadrada de um número negativo, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o quádruplo do produto dos dois números. Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas se o quadrado da soma S dos dois nú­ meros fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equa­ ção x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante Δ = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raí­ zes reais. Logo, não existem dois números

Efetuando a substituição indicada, obtemos: (y – 5)3 + 15(y – 5)2 + 11(y – 5) + 7 = 0. Efetuando os cálculos: y3 – 64y + 202 = 0 b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx + B + D = 0, substituindo-se o x por y – , 3 a nova equação em y não apresenta o termo em y2. B Efetuando a substituição de x por y – ve­ 3 rificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando­se os cálculos indicados, é possível mostrar que, na equa­ ção xn + A1xn – 1 + A2xn – 2 + A3xn – 3 + ... + An – 1x + An = 0, a substituição de x por A y – 1 conduz à eliminação do termo em y n­1. n

Atividade 4 Vamos agora procurar entender a lógica dos passos propostos por Tartaglia e Cardano para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo do segundo grau: y3 + 3y + 6 = 0. Para tanto, considere a seguinte analogia: f Sabemos que: (p + q)3 = p3 + 3 p2q + 3pq2 + q3. f Podemos rearranjar acima, escrevendo:

a

igualdade

reais nas condições acima.

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(p + q)3 – 3pq.(p + q) – (p3 + q3) = 0

y3 + M . y + N = 0, deduzimos que: se –3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q será raiz da equação. f Temos, então, de encontrar dois nú­  M3 

f Comparando com y3 + 3 . y + 6 = 0, se tivermos, simultaneamente, – 3pq = 3 e – (p3 + q3) = 6, então a solução da equação dada será y = p + q. f De –3pq = 3, concluímos que pq = –1, e portanto, p3. q3 = –1; como p3 + q3 = – 6, podemos construir a equação do segundo grau que tem como raízes p3 e q3, uma vez que temos a soma e o produto desses dois números; tal equação é z2 + 6z – 1 = 0 (soma das raízes igual a – 6; produto das raízes igual a –1; ver Atividade 2). f Resolvendo esta equação, obtemos as raízes –3 ± 10 ou seja, p3 = –3 + 10 e q3 = –3 –

10 .

36 + 4 , ou seja, z = –3 ± 10 . 2 Significa que estes são os valores de p3 e q3,

e meros p e q tais que p3. q3 =  –  27  p3 + q3 = –N. Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da equação do segundo grau 3 z2 + Nz – M = 0.

27

f Resolvendo tal equação, obtemos: –N ± N 2 + z=

f Isso significa que os valores de p3 e q3 são 2 3 –N N2 M3 e –N – N + M . + + 2 4 27 2 4 27

f Logo, os valores de p e de q serão: 3

z = –6 ±

3

3

ou seja, p = – 3 + 10 e q = – 3 – 10 . Concluímos, então, que y = p + q, ou seja, 3

y = – 3 + 10 +

3

– 3 – 10 .

Se você acompanhou todos os passos da explicação, então repita os mesmos procedimentos e mostre que a fórmula que dá as raízes da equação algébrica de grau 3, dada por y3 + My + N = 0, é a apresentada na introdução da Atividade 1: y= 3 –

N N 2 M3 3 N N 2 M3 + + + + –   –   . 2 4 27 2 4 27

f Comparando a igualdade (p + q) – 3pq. .(p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação 3

2

4M 3 2 3 27 = –N ± N + M , 2 4 27

–N N2 M3 e + + 2 4 27

3

–N – 2

N2 M3 + 4 27

Em consequência, o valor de y será: y = p + q, ou seja, –N N 2 M 3 3 –N N2 M3 + + – + + 2 2 4 4 27 27 como queríamos mostrar. y=

3

Atividade 5 Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0. Substituindo na fórmula obtida na atividade anterior, temos: y=3 3

2 4 ( –27 ) + + + 2 4 27

3

2 – 2

4 ( –27 ) + = 4 27

1+ 0 + 3 1– 0 = 2 ;

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logo, y = 2 é uma raiz. Como será visto nas atividades seguintes, co­ nhecendo­se uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzi­la a uma equa­ ção de 2o grau, encontrando­se, assim, todas as raízes da equação inicial.

Atividade 6 Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m 3 maior do que o do paralelepípedo. a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x. O volume do cubo de aresta x é igual a x3; o volume do paralelepípedo de base 15 m2 e aresta x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser 4 m3 maior do que o do paralelepípedo pode ser traduzida pela equação x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0 . b) Use a fórmula da atividade anterior para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega? Calculando o valor de x pela fórmula obtida an­ teriormente para equações de 3o grau, obtemos: x=

3

2 + –121 + 3 2 – –121 .

Pela fórmula, parece não existir raiz da equação, uma vez que deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um número negativo.

c) Verifique diretamente na equação dada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume 64 m 3 e o paralelepípedo com volume 60 m3. Como podemos interpretar o resultado do item b? Certamente a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar diretamente, uma vez que 43 – 15 . 4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos foram inter­ rompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações de 2o grau, era assim que procedíamos: ao deparar com a raiz quadrada de um número negativo, di­ zíamos: “a equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabemos que a equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos? Na atividade seguinte, vamos examinar uma maneira de prosseguir nos cálculos e obter o resultado x = 4, reinterpretando a limitação sobre a existência de raízes quadradas para um número negativo.

Atividade 7 Sabemos que o quadrado de qualquer número real não nulo, positivo ou negativo, é sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso escolar, sempre que deparamos com a extração da raiz quadrada de um número negativo, dizemos que ela não existe. Na Atividade 5, tal decisão nos impediu de chegar a uma das raízes da equação, uma vez que teríamos de extrair a raiz quadrada de –121. Vamos fazer, agora, uma atividade de imaginação: imaginemos

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que existam números estranhos (certamente, não seriam números da reta real) cujo quadrado seja negativo. a) Mostre que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, a raiz quadrada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos. De fato, como –121 = 121.(–1), para extrair a raiz quadrada de –121 bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se re­ presentarmos por i esse número imaginário, teríamos –1 = i2, ou seja, i = –1 . Em consequência, –121 = 121 . –1= 11. i . Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número negativo: –9 = 9 . –1 = 9 .i = 3i; analogamente,

–7 = 7 . i , e assim por diante. Insistimos em que estamos, por enquanto, apenas fazendo um exercício de imaginação: se existir um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal nú­ mero imaginário de i, temos, por exemplo, que – 25 = 25 . ( – 1) = 25 .  –1 = 5.i. b) Retorne ao item b da Atividade 6. Escrevendo no lugar de −121 o valor imaginário 11i indique a solução da equação x3 – 15x – 4 = 0. Substituindo x =

3

–121 por 11i na expressão

2 + –121 + 3 2 – –121 , obtemos:

x = 3 2 + 11i + 3 2 – 11i .

Professor, uma sugestão! Novamente temos de parar, pois não sabemos calcular a raiz cúbica do estranho número 2 + 11i. Tal número é “mistura” de uma parte real, que é 2, com uma parte imaginária, que é 11i. Números assim são chamados “números complexos”, e serão estudados a seguir. Por enquanto, vamos supor que possamos continuar a operar com tais números como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade que decorre do fato de termos i2 = –1. Por exemplo: f para somar 3 + 4i com 5 + 7i, somamos as partes reais e imaginárias separadamente e obtemos: (3 + 4i) + (5 + 7i) = (3 + 5) + (4i + 7i) = 8 + 11i. f para multiplicar (3 + 4i) por (5 + 7i), utilizamos a propriedade distributiva e escrevemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 3.5 + 3.7i + 4i.5 + 4i.7i. f agrupando termos do mesmo tipo, obtemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28i2. f como i2 = –1, o resultado final seria o seguinte: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 41i – 28 = –13 + 41i. Como veremos, essas operações envolvendo números imaginários vão se mostrar recurso fecundo para superarmos as limitações resultantes da impossibilidade de extrair raízes quadradas de números negativos. Com base nelas, vamos conseguir harmonizar o fato de sabermos que a equação x3 – 15x – 4 = 0 admite efetivamente a raiz real x = 4, ainda que a fórmula resolutiva nos conduza à raiz quadrada de um número negativo.

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c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i. Vamos elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com uma parte imaginária, e verificar que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i. De fato, temos: 3

Supondo válidas as propriedades das operações com os números reais para os números formados por uma parte real x e uma parte imaginária yi, sendo i = −1, efetue as operações indicadas, dando o resultado mais simples possível: a) (3 – 4i) + (–5 + 3i) –2 – i b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)

(2 + i) = 2 + 3.2 .i + 3. 2.i + i 3

Atividade 8

2

2

3

–3i + 12

(2 + i)3 = 8 + 12.i + 6.i2 + i2.i

c) (2i – 13) . (7 – 5i)

Como i2 = –1, segue que:

– 81+ 79i

(2 + i)3 = 8 + 12i + 6.(–1) + (–1).i

d) (13 – i). (13 + i)

Ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i. De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.

170 e) i3 + i5 + i7 –i f) i13

d) Retorne à Atividade 5. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida com base na fórmula para as raízes cúbicas da equação x3 – 15x – 4 = 0.

Considerações sobre a avaliação

Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos: x = 3 2 + 11i + 3 2 – 11i , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconci­ liamos a fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes. Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de núme­ ros negativos. Mostraremos mais adiante de que maneira os novos números assim construídos – os chamados números com­ plexos – são uma extensão natural muito fecunda dos conhecidos números reais.

Até aqui, o objetivo das atividades foi a apresentação dos novos números, formados por uma parte real e uma parte imaginária, como recurso necessário para dar sentido a cálculos envolvendo a solução de equações algébricas, correspondentes a problemas concretos, como é o exemplo da Atividade 6. Reiteramos o fato de que equações são traduções de perguntas propostas por problemas, e que o interesse em resolvê-las é inerente aos procedimentos matemáticos. A história contada até este ponto ilustra uma importante mudança de perspectiva, como já foi assinalado

i

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anteriormente, que é a de se passar da busca desenfreada de fórmulas resolutivas para uma abordagem qualitativa, que busca extrair da própria equação/pergunta as condições para a obtenção de sua resposta. Nas Situações de Aprendizagem seguintes, explicitaremos mais o significado de tal abordagem qualitativa, bem como exploraremos a existência dos números complexos, aqui apenas vislumbrados. Na avaliação das atividades, até este ponto, sugerimos que o professor se concentre na compreensão da passagem natural das equações de 2o grau para as equações de grau superior a 2, revendo fatos básicos sobre as equações

de 2o grau, como a análise do sinal do discriminante para a determinação do número de raízes reais, as relações entre coeficientes e raízes, entre outros. No caso das equações de 3o grau, não se deve pretender mais do que a tentativa de resolução de algumas delas, com coeficientes simples, usando os passos propostos nas atividades da presente situação. Esbarrar em raízes quadradas de números negativos pode ser uma motivação a mais para a continuidade dos estudos das situações seguintes. Em resumo, a compreensão histórica da problemática da solução de equações é mais importante, neste momento, do que as técnicas algébricas para resolvê-las.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAçÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍzES tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2o grau – revisão; extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3o e 4o graus. Competências e habilidades: compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que é possível conhecer qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolvê-la, com base no conhecimento de seus coeficientes. Estratégias: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido no caso das equações de 2o grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Equações algébricas: das fórmulas à abordagem qualitativa

Uma vez abandonada a perspectiva de termos uma fórmula que indique as raízes de uma equação algébrica, cabe ao professor explorar a via da observação dos coeficientes da própria equação, em busca de informações sobre suas

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raízes. Sabemos, por exemplo, que as raízes da equação x2 + 7x + 12 = 0 têm soma igual a –7 e produto igual a 12. É possível generalizar informações desse tipo, sobre a soma e o produto das raízes, para uma equação de qualquer grau. É o que exploraremos a seguir. No caso da equação de 2 o grau ax 2 + bx + c = 0, de raízes r1 e r2, sabemos que, após a divisão de todos os coeficientes por a, ela pode b c ser escrita na forma x2 + x + = 0, que poa a demos imaginar fatorada e escrita na forma (x – r1) . (x – r2) = 0. Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente:

No caso de uma equação de 3º- grau ax3 + bx + cx + d = 0, mesmo sem conhecer fórmulas para as soluções, se a equação tiver como raízes r1, r2 e r3, procedendo de maneira análoga ao que fizemos para a equação de 2º- grau, após a divisão por a de todos os seus coeficientes, ela pode ser escrita na forma b 2 c d x3 + x + x+ = 0, que podemos a a a imaginar fatorada e escrita na forma: 2

(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) = 0. Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente x3 – (r1 + r2 + r3)x2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x – r1r2r3 = 0,

f x2 – (r1 + r2)x + r1 . r2 = 0, ou seja:

ou seja: x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0, onde

f x2 – S1x + S2 = 0,

S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes,

b é a soma das raízes e a c é o produto das raízes. S2 = r1 . r2 = a

onde S1 = r1 + r2 = –

S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas, e S3 = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto das raízes.

observação para o professor! Poderíamos notar, com base na fórmula de Bhaskara, que as duas raízes da equação são as indicadas a seguir: r1 =  

(x – 2) . (x – 3) . (x – 5) = 0, e ao efetuarmos as multiplicações, obtemos:

– b + b2 – 4ac 2a

e r2 =

– b – b2 – 4ac , 2a

cuja soma dá r1 + r2 = produto dá r1 . r2 =

Por exemplo, se uma equação de 3º- grau tiver como raízes 2, 3 e 5, então ela poderá ser escrita na forma:

x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0 ; podemos notar que: S1 = 2 + 3 + 5 = 10, –b , e cujo a

c . a

S2 = 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5 = 31

e

S3 = 2 . 3 . 5 = 30, ou seja,

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a equação pode ser escrita na forma x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0. Se procedermos analogamente no caso de uma equação de 4º- grau ax + bx + cx + dx + e = 0, de raízes r1, r2, r3, r4, chegaremos à forma equivalente: 4

3

2

x4 – S1x3 + S2x2 – S3x + S4 = 0, onde: S1 = r1 + r2 + r3 + r4, S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4 S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 S4 = r1r2r3r4. Tal relação pode ser generalizada para uma equação algébrica de grau n. É importante notar a alternância nos sinais das somas S: as somas das raízes tomadas de 1 em 1, de 3 em 3, de 5 em 5 ... aparecem como coeficientes na equação com o sinal trocado; as somas de 2 em 2, de 4 em 4, de 6 em 6, ... aparecem como coeficientes com o próprio sinal. As atividades seguintes darão ao professor a oportunidade de explorar essa relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.

Atividade 1 Escreva na forma x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0 uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são: a) 3, 5 e 1 Temos: S1 = 3 + 5 + 1 = 9, S2 = 3.5 + 3.1 + 5.1 = 23 e S3 = 3.5.1 = 15;

Logo, a equação correspondente é x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0. b) 2, 7 e –3 Analogamente, temos: S1 = 6, S2 = –13, e S3 = –42, e a equação correspondente é x3 – 6x2 –13x + 42 = 0. c) –2, –3 e 4 Efetuando os cálculos, obtemos: S1 = –1, S2 = –14, S3 = 24, e a equação correspondente é x3 + x2 – 14x – 24 = 0.

Atividade 2 Escreva na forma x4 – S1x3 + S2x2 – S3x + S4 = 0 uma equação algébrica de grau 4 cujas raízes são: a) 2, 3, 4 e 5 Calculando as somas das raízes tomadas 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3 e 4 a 4, temos: S1 = 14, S2 = 2.3 + 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 + 4.5 = 71, S3 = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5 = 154, S4 = 2 . 3 . 4 . 5 = 120, e a equação correspondente é x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120 = 0. b) –2, 3, 4, –5 Analogamente, temos: S1 = 0, S2 = –27, S3 = –14, S4 = 120, e a equação correspondente é x4 – 0 . x3 – 27x2 +14x + 120 = 0.

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c) 1, 0, 3, 7 Efetuando os cálculos, temos: S1 = 11, S2 = 31, S3 = 21, S4 = 0, e a equação correspondente é: x4 – 11x3 + 31x2 – 21x = 0.

Atividade 3 Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24 = 0, responda: a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação? Observando os coeficientes, concluímos que 24 é igual ao produto das três raízes. Logo, os divisores de 24 são possíveis raízes intei­ ras da equação, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24. Naturalmente, depen­ dendo do valor de k, tal equação pode não admitir qualquer um desses divisores como raiz; o que se pode afirmar é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores de 24. b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, qual será a terceira raiz? Como a soma das duas raízes simétricas é zero e a soma das três raízes é 8, então a terceira raiz deverá ser igual a 8. c) Se uma das raízes for o inverso da outra, qual será a terceira raiz? Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é 24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24.

d) É possível que a equação tenha uma raiz nula? Não é possível que a equação tenha raiz nula, pois, nesse caso, o produto das raízes seria zero, e já vimos que o produto das raí­ zes é igual a 24.

Atividade 4 Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x + + 3 = 0. a) Quais as possíveis da equação?

raízes

inteiras

Dividindo os coeficientes da equação por 3, que é o coeficiente do termo de maior grau, obtemos a equação equivalente (com as mesmas raízes) expressa na forma: k x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1 = 0. 3 Comparando com a forma x4 – S1x3 + S2x2 – – S3x + S4 = 0, concluímos que o produto das raízes da equação é igual a S4 = 1. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 1, ou seja, +1 ou –1.

b) Quais os valores de k que fazem com que a equação proposta acima tenha raízes inteiras? Para que a equação tenha raízes inteiras, ou seja, para que ela tenha +1 ou –1 como raí­ zes, quando substituirmos os valores de x por +1 ou por –1 no primeiro membro da equa­

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ção, o resultado deve dar igual ao segundo membro, ou seja, a zero. Para x = 1, temos: k 2 14 – 4 . 13 + 1 – 2 . 1 + 1 = 0, 3 ou seja, k = 12. Para x = –1, temos: k (–1)4 – 4. (–1)3 + (–1)2 – 2(–1) + 1 = 0, 3 ou seja, k = –24.

Atividade 5 Sabendo que 1 é raiz da equação x + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes. 3

Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira; logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então, k = 7. Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das outras duas deve ser igual a – 8. Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das ou­ tras duas é igual a 15. Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua soma é – 8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raí­ zes da equação de 2­o grau x2 + 8x + 15 = 0. Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5.

Concluímos que a equação proposta no enunciado tem como raízes os números reais 1, –3 e –5. observação para o professor! Outras atividades como as anteriores podem ser propostas, mas lembramos que não interessa tanto, nesse caso, a realização de muitos cálculos, quanto, por exemplo, a percepção, na Atividade 5, do fato de que, conhecendo uma raiz da equação, é possível reduzi-la a uma equação mais simples, ou seja, a pesquisa sobre as possíveis raízes inteiras pode resultar na solução da equação. Na Situação de Aprendizagem seguinte tal fato será mais bem explorado.

Considerações sobre a avaliação O objetivo das atividades desta Situação de Aprendizagem é a compreensão do fato de que os próprios coeficientes das equações trazem informações relevantes sobre suas possíveis raízes, o que é apenas uma amostra das possibilidades de uma abordagem qualitativa das equações. Outros procedimentos semelhantes poderiam ser aqui apresentados, mas consideramos que as atividades realizadas terão sido bem-sucedidas se os alunos compreenderam a existência de tais caminhos alternativos, na busca das soluções de equações, mesmo sem uma exploração mais exaustiva de tal fato.

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SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 EQUAçÕES E POLINÔMIOS: DIVISãO POR x–k E REDUçãO DO GRAU DA EQUAçãO tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no conhecimento de uma das raízes. Competências e habilidades: compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o significado na solução de equações/problemas. Estratégias: todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos da presente Situação de Aprendizagem serão apresentados por meio de exercícios exemplares, tendo em vista uma aproximação efetiva entre as técnicas resolutivas e os significados dos conceitos envolvidos.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Alguns fatos fundamentais sobre polinômios: a ideia de identidade Como foi mostrado aos alunos na Atividade 4 da Situação de Aprendizagem 2, conhecendo uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzir a sua solução à de uma equação de 2o- grau. De maneira geral, é possível generalizar tal procedimento: se conhecemos uma das raízes de uma equação algébrica de grau 4, é possível reduzir a sua solução à de uma equação de grau 3, e assim sucessivamente; conhecendo-se uma das raízes de uma equação de grau n, será possível reduzir a sua solução à de uma equação de grau n – 1. Para isso, é preciso realizar algumas operações com os polinômios que constituem

o primeiro membro das equações algébricas. O estudo das equações algébricas, portanto, se entrelaça naturalmente com o estudo dos polinômios. Não vamos aqui nos dedicar especialmente a técnicas de cálculos com polinômios, mas um mínimo de informações sobre elas precisam ser conhecidas, para poder continuarmos a aprender fatos fundamentais sobre equações. Como se sabe, um polinômio de grau n é uma expressão algébrica do tipo P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ... + an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0. Uma equação algébrica também pode ser chamada uma equação polinomial, uma vez que ela pode ser escrita na forma P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio.

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Se o valor de P(x) para x = k, que indicaremos por P(k), for igual a zero, ou seja, se P(k) = 0, então isso significa que k é uma raiz da equação polinomial P(x) = 0. Sendo P1(x) um polinômio e P2(x) outro polinômio, podemos ter o caso de P1(x) = P2(x)para alguns valores particulares de x e P1(x) ≠ P2(x) para outros valores de x. Por exemplo, se P1(x) = x2 + 3x – 1 e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13, então temos: P1(2) = 9 e P2(2) = 9, mas P1(0) = –1 e P2(0) = 13.

Em consequência, dois polinômios idênticos devem ser sempre do mesmo grau, uma vez que se forem de graus diferentes, os coeficientes dos termos de maior grau serão distintos (um deles é zero e o outro é diferente de zero). Por exemplo, podemos ter P1(x) = x2 + 3x – 1 e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13 iguais para alguns valores de x, mas não para todos os valores de x, ou seja, não é verdade que P1(x) ≡ P2(x), neste caso, pois os coeficientes dos termos de grau 3 são distintos (1 em P2(x) e 0 em P1(x)).

operações com polinômios Quando dois polinômios P1(x) e P2(x) são tais que, para todos os valores possíveis para x, temos P1(x) = P2(x), então dizemos que os polinômios são idênticos, e escrevemos P1(x) ≡ P2(x). Sendo P1(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + + a3xn – 3 + ... + an – 1x + an um polinômio de grau n e P2(x) = b0xm + b1xm – 1 + b2xm – 2 + b3xm– 3 + ... + bm – 1x + bm outro polinômio de grau m, para termos P1(x) ≡ P2(x), ou seja, para os dois polinômios serem iguais para todos os valores de x, devemos ter a igualdade dos termos independentes de x, ou seja, an = bm, pois an = P1(0) e bm = P2(0). Podemos mostrar que a igualdade entre os dois polinômios para todos os valores de x obriga a igualdade de todos os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja: an = bm ; an – 1 = bm– 1 ; an – 2 = bm – 2 e assim por diante.

Para somar, subtrair e multiplicar polinômios, basta operar com as expressões algébricas que compõem suas parcelas, que são os monômios, realizando as operações indicadas, recorrendo à propriedade distributiva, quando for o caso, e reunindo os termos que correspondem a potências de x de mesmo grau (chamados “termos semelhantes”). A divisão de um polinômio por outro, no entanto, exige atenção um pouco maior, e será necessária para podermos aprender a reduzir o grau de uma equação, com base no conhecimento de uma de suas raízes. De fato, se x = k for uma raiz da equação algébrica: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ... + an – 1x + + an = 0 (a0 ≠ 0), então a equação pode ser escrita na forma fatorada

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(x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... + + bn– 2x + bn – 1) = 0. Daí segue que ou x – k = 0, e portanto, x = k, ou então, b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1 = 0. Resolvendo a equação de grau n – 1 que corresponde ao segundo fator igualado a zero, teremos as n raízes da equação inicial. Os polinômios a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + + ... + an – 1x + an, e o resultante do produto (x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x + + bn – 1) são idênticos, isto é, são iguais para todos os valores reais de x. Para obter o polinômio b0xn – 1 + b1xn – 2 + + b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1, basta dividir o polinômio a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ...+ + an – 1x + an, pelo binômio x – k, o que pode ser feito diretamente, escrevendo-se a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 +...+ an – 1x + + an ≡ (x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 +...+ + bn – 2x + bn – 1). O símbolo ≡ significa, como já foi dito, nesse caso, mais do que a simples igualdade; significa que os dois membros da igualdade são iguais para todos os valores possíveis de x. Para determinar os valores dos coeficientes b0, b1, b2, …, bn – 1 a partir dos coeficientes

a0, a1, a2, a3, ... an –1, an, podemos efetuar a multiplicação anteriormente indicada e, em seguida, igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois lados da identidade. Os exercícios das atividades seguintes constituem uma oportunidade de exploração dos fatos descritos acima.

Atividade 1 Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2. a) É possível termos A(x) = B(x)? Sim, é possível termos A(x) = B(x). Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x), temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2; logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos x.x.(x – 3) = 0, e segue que, para o produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou então x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Logo, a equa­ ção A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3. Para todos os valores de x diferentes de 0 e de 3 os polinômios A(x) e B(x) assumem valores distintos. b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? Não é possível termos A(x) ≡ B(x). Os poli­ nômios têm graus diferentes. Em consequên­ cia, os coeficientes de x3 são diferentes em A(x) e em B(x).

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Atividade 2 Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10.

Atividade 4 Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + + 5x3 – 11x2 – 7x + 12.

a) É possível termos A(x) = B(x)? Sim. Basta resolver a equação correspon­ dente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então, x = ± 2. b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios.

Atividade 3 Considere os polinômios: P1(x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d. P2(x) = bx5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – 3x + d. a) Determine os valores de a, b e c de modo que os polinômios sejam idênticos. Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e b=– 3 =a b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz da equação P1(x) = 0. Se –1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0. Logo, substituindo x por –1, e igualando

a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0. Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá zero, ou seja, que temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) ≡ (x – 1). Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por x – 1. b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1. O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na forma geral ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1). .(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segun­ do membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 + + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e. Agrupando os termos semelhantes do se­ gundo membro, obtemos:

o resultado a zero, obtemos: – 3 . (–1)5 – 11(–1)4 – 2 . (–1)3 + 7(–1)2 – –

3 . (–1) + d = 0.

Concluímos, efetuando os cálculos, que d=2–2 3.

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + (b – a)x4 + (c – b)x3 + (d – c)x2 + (e – d)x – e.

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Igualando os coeficientes dos termos de mes­ mo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a; –2 = b – a; 5 = c – b; –11 = d – c; –7 = e – d; 12 = – e. Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2­ – 5x – 12. Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1, obtemos o quociente de P(x) por x – 1, che­ gando ao quociente Q(x); as demais raí­ zes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.

Atividade 5

Para determinar Q(x), temos a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ≡ (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segun­ do membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + bx4 + + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e. Agrupando os termos semelhantes do se­ gundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + (b – 2a)x4 + (c – 2b)x3 + (d – 2c)x2 + (e – 2d)x – 2e.

Igualando os coeficientes dos termos de

Considere o polinômio P(x) = 3x – 2x + + 5x3 – 11x2 – 7x – 46.

mesmo grau nos dois membros da identi­

a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.

3 = a; –2 = b – 2a; 5 = c – 2b; –11 = d – 2c;

5

4

Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá zero, ou seja, que temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta um fator x – 2, ou seja, ele é divisível por x – 2. Podemos escrever, então: P(x) ≡ (x – 2).Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x – 2).

dade, temos:

–7 = e – 2d; –46 = –2e. Logo, concluímos que a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então, o quociente será: Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23. Em consequência, para resolver a equa­

b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 2.

ção P(x) = 0, sabendo que uma de suas

O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral, podemos escre­ ver que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

P(x) por x – 2, chegando ao quociente

raízes é x = 2, obtemos o quociente de Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.

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Atividade 6

f o coeficiente c é obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b;

Algoritmo de briot-ruffini

f o coeficiente d é obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por c: d = –11 + 2c;

Retome o enunciado da Atividade 5. Existe uma maneira prática para obter o quociente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 pelo binômio x – 2.

f o coeficiente e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = –7 + 2d.

Observando os cálculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, f o coeficiente a é igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3; f o coeficiente b é obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = –2 + 2a;

Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini para a divisão de um polinômio por um binômio da forma x – k:

coeficientes de P (x)

3 raiz 2 3

–2

5

– 11

–7

– 46

3.2

4.2

13 . 2

15 . 2

23 . 2

4

13

15

23

0

coeficientes de Q (x)

resto da divisão

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23 Para verificar o entendimento do que se apresentou, construa o algoritmo acima

para determinar o quociente da divisão de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3.

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coeficientes de P (x) 1

raiz 3 1

–2

–7

1.3

1.3

1

–4

3

8

57

–4.3

–9 . 3

–19 . 3

–9

–19

coeficientes de Q (x)

0 resto da divisão

Temos, então, Q(x) = x4 + x3 – 4x2 – 9x – 19.

Atividade 7

Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).

a) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a1xn – 1 + + a2xn – 2 + a3xn – 3 + … + an – 1x + an , mostre que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k).

b) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 + + x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3. O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + π.

Quando P(x) é divisível por x – k, podemos escrever P(x) ≡ (x – k). Q(x), e segue que P(k) = 0.

O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot­Ruffini, uti­ lizado nas Atividades 5 e 6. Basta proceder como lá foi indicado, notando que ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto zero, o valor do resto procurado:

Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade: P(x) ≡ (x – k). Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão.

coeficientes de P (x) 3

1 3 . (–3)

raiz –3 3

3

0

– 8 . (–3) 27 . (–3)

–8

27

– 81

–7

p

– 81. (–3) 236 . (–3) 236

–708 + p resto da divisão

coeficientes de Q (x)

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x = ± 3 , concluímos que –1 e 3 são raízes da equação dada.

Atividade 8 a) Mostre que a equação a seguir apresenta raízes inteiras: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0

b) Resolva a equação. A equação dada é, portanto, equivalente à equação:

Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente 9 11 x4 – x3 + 3x2 + x – 3 = 0. 2 2

(x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx + p) = 0. Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p, e descobrir as outras raízes da equação, basta dividir o polinômio do primeiro membro su­ cessivamente por (x + 1) e (x – 3), confor­ me indicamos a seguir:

Escrita nessa forma, já vimos que os divi­ sores de –3 serão possíveis raízes inteiras, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os va­ lores numéricos do polinômio do primei­ ro membro da equação para x = ± 1 e

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ ≡ (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d)

coeficientes de P (x) 2 –9 raiz –1

2 . (–1) 2 –11 coeficientes de Q1(x)

6 –11 . (–1)

11

–6

17 . (–1)

17

–6

–6 . (–1)

0 resto da divisão

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6). Dividindo­se agora Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x): coeficientes de Q1 (x) 2 –11 raiz 3

2.3

17 –5 . 3

2 –5 coeficientes de Q2 (x)

2

–6 2.3 0 resto da divisão

(2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).

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Concluímos, então, que:

2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos as raízes r3 = 2 e

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡

r4 =

≡ (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2). Resolvendo a equação de 2o grau

1 . 2

Logo, as raízes da equação dada inicialmente 1 são: r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = . 2

Considerações sobre a avaliação Como foi dito inicialmente, o objetivo da presente Situação de Aprendizagem era apenas consolidar a ideia de que, conhecendo uma das raízes de uma equação algébrica, podemos reduzir a sua solução à de uma equação de grau inferior, por meio de uma divisão do polinômio inicial por um binômio do tipo (x – k), onde k é a raiz conhecida. Para tanto, foi necessário introduzir algumas ideias a respeito da identidade de polinômios, que conduziram a uma maneira de efetuar os cálculos, resumida em um algoritmo, conhecido como Algoritmo de Briot-Ruffini. Praticamos tal redução de

ordem em uma equação em alguns exemplos ilustrativos, sem qualquer intenção de supervalorizar as técnicas de cálculo, procurando apenas evidenciar a construção do caminho alternativo que a abordagem qualitativa das equações algébricas propicia. Se os alunos tiverem compreendido perfeitamente o fato de que, quando conhecemos uma das raízes de uma equação algébrica, é como se o grau da equação fosse reduzido de uma unidade, sendo capazes de efetuar uma divisão e mostrar a nova equação a ser enfrentada, então os objetivos da presente Situação de Aprendizagem terão sido atingidos.

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Matemática - 3a série - Volume 2

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAçãO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAçÕES (TRANSLAçÕES, ROTAçÕES, AMPLIAçÕES) tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: apresentação dos números complexos como pontos do plano; operações com números complexos: significado geométrico; aplicações das operações com complexos na interpretação de movimentos e transformações no plano (translações, rotações, ampliações). Competências e habilidades: compreender a analogia existente entre a passagem dos números reais aos números complexos e a passagem dos pontos da reta aos pontos do plano; aumento na capacidade de expressão por meio de números, em decorrência da apresentação do significado geométrico dos complexos e das operações sobre eles. Estratégias: também aqui, todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos serão apresentados por meio de exercícios exemplares, sobretudo no caso dos movimentos e das transformações realizadas sobre pontos do plano, a expectativa é a da exemplificação e não a de uma apresentação sistemática dos temas, que se situaria fora dos limites do Ensino Médio.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Complexos, para quê? É muito frequente ouvir-se falar “mal” dos números complexos – aqueles números “estranhos” formados por uma parte real x e uma parte “imaginária” yi, onde i é um número tal que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2 = –1. Diz-se que os complexos não têm aplicações práticas, ou que, quando as têm, elas não seriam acessíveis aos alunos da educação básica; em consequência, não deveríamos dedicar qualquer atenção a tais temas. Existem várias dificuldades associadas a tal maneira de pensar. Quando decidimos sobre os temas a serem estudados na escola

básica, o que deve ser levado em conta primordialmente é o valor formativo de cada um deles, e não apenas o interesse pragmático que eventualmente representam. Certamente, interessa-nos estudar os conjuntos numéricos, com suas diferentes ampliações. Não podemos nos limitar às contagens, e as frações, nos ensinaram a lidar bem com as medidas, em que os resultados das comparações nem sempre são expressos por números naturais. Também ultrapassamos certas limitações ao efetuar subtrações, passando a representar dívidas por meio de números negativos, também considerados estranhos, quando surgiram. E os números irracionais, resultados de comparações entre grandezas incomensuráveis, também foram considerados extravagantes, sendo até mesmo rejeitados

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na Grécia antiga, ainda que hoje estejam presentes, mesmo que disfarçados em suas aproximações racionais, nas operações elementares do dia-a-dia. Os números complexos são, efetivamente, “estranhos”, ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados significativamente, bem como as operações que realizamos sobre eles, e ao sermos apresentados a tais temas ampliamos nossa capacidade de expressão, de compreensão de fenômenos que a realidade nos apresenta. Afinal, a Matemática que estudamos é como uma linguagem, uma maneira de expressão e compreensão do mundo, a ser desenvolvida na escola, com a língua materna, a língua nossa de cada dia. Querer limitar o estudo da Matemática ao de conteúdos de aplicação imediata, sem levar em consideração seu valor expressivo, é como querer limitar o ensino da língua ao da redação de cartas, de memorandos, de relatórios, desprezando, por exemplo, a apreciação de um poema; afinal, “para que serve um poema?”. A aprendizagem da língua, no entanto, não pode prescindir de recursos expressivos que deem força ao texto, da construção de imagens metafóricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras de redação, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expressão, e a literatura, de maneira geral, é fundamental para isso. Também no estudo de Matemática, existem assuntos para os quais não vislumbramos “aplicações práticas” diretas, mas que se compõem com os outros, contribuindo

para a construção de uma forma consistente de expressão, de compreensão dos fenômenos que observamos. Às vezes, um tema de Matemática serve apenas de apoio a outro tema, este sim, com uma ligação direta com a prática; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Se queremos um instrumento cortante – uma faca, por exemplo – não podemos querer apenas a lâmina, que é a parte que efetivamente corta, mas também devemos querer o cabo, que não corta mas sem o qual a faca não existe. E muitas vezes, para o cabo ser bem fixado à lâmina, é preciso que existam parafusos de fixação, que não cortam nada, mas que são a condição de funcionamento da faca. Como veremos a seguir, os complexos e as operações sobre eles podem ser associados à realização de movimentos de translação, de rotação, de ampliação etc. Ao apresentarmos os números complexos, vamos explorar especialmente tal perspectiva.

Como surgiram os complexos No presente Caderno, os números complexos surgiram como números “imaginários” a partir da seguinte situação; f queríamos resolver a equação x3 – 15x – – 4 = 0 (Atividade 6 da Situação de Aprendizagem 1) usando a fórmula deduzida para equações na forma x3 + mx + n = 0, qual seja: x= 3–

N N 2 M3 3 N + + + – – 2 4 27 2

N 2 M3 ; + 4 27

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Matemática - 3a série - Volume 2

f encontramos a expressão: 3

3

x = 2 + –121 + 2 – –121, e poderíamos ter parado, dizendo que a equação não teria raízes reais, uma vez que não existe a raiz quadrada real de um número negativo; f como sabíamos de início que a equação x3 – 15x – 4 = 0 tinha uma raiz real, que é x = 4, imaginamos que pudéssemos prosseguir nos cálculos, e assim procedendo, realizando operações sobre números na forma x + yi, onde i2 = –1, obtivemos a raiz x = 4, mostrando que a suposição da possibilidade de operações com tais números poderia ser fecunda.

Plano complexo – significado dos complexos e das operações sobre eles Naturalmente, tal suposição precisa ser apresentada de maneira mais consistente e este é o momento de o professor procurar um caminho para tal apresentação. Esboçamos, a seguir, tal caminho. Um número imaginário como i não pode ter as mesmas propriedades de um número real, não é um número real, ou seja, não se encontra na reta real, ou entre os reais representados na reta. A reta real r encontra-se inteiramente preenchida com os números racionais e os irracionais. Como representar, então tal número i e seus “derivados”, como toda a família de imaginários y.i, onde y é um número real, bem como os números “mistos”, ou “complexos”, resultantes da soma dos reais x com os

imaginários yi? Como compreender a plausibilidade dos “números complexos” z da forma x + yi? Como representá-los de maneira a dar significado às operações realizadas com eles? A ideia de representar os números na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703) durante muitas décadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situações concretas, mas somente quando foi apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutoramento, tal representação ganhou força e foi divulgada amplamente. Em resumo, a inspiração fundamental é a seguinte: f quando multiplicamos um número real por –1, sua imagem na reta real é deslocada segundo um arco de 180º, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N; (resultado: rotação de 180º); f quando multiplicamos um número real por i2, ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real por i, e multiplicássemos o resultado, novamente por i: N.(–1) = N.i.i = –N; f como o resultado das duas multiplicações idênticas e sucessivas foi uma rotação de 180º, seria natural considerar o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como o resultado de uma rotação de 90º: N.i = rotação de 90º em N e (N.i).i = rotação de 180º.

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eixo Imagiário y

f assim, multiplicar um número real por i corresponderia a representar tal número em um eixo perpendicular ao eixo real.

z = x + yi

y Ni i

N

–N 0 N

N . (–1)

1

x eixo Real x

0

N.i N 0

Ni

N N i . i = N . (–1) = –N

0

Essa pode ter sido a inspiração para a representação do número imaginário i no eixo perpendicular ao eixo real, o que conduziu à representação de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginária i. O plano em que os complexos são representados constitui uma extensão da reta real e é conhecido como plano complexo, ou Plano de Argand-Gauss.

Tal representação dos números complexos na forma z = x + yi, chamada forma algébri­ ca, possibilita que as operações sejam efetuadas por analogia com as operações algébricas realizadas com números reais ou com expressões algébricas, acrescentando-se apenas a convenção i2 = –1, ou i = −1. Cabe ao professor, agora, explorar as operações com tais novos números: para somar dois complexos, somam-se as partes reais e as partes imaginárias; para multiplicar, efetuam-se os cálculos como se estivéssemos multiplicando polinômios, substituindo-se os valores das potências de i resultantes: i3 = i2 . i = –i; i4 = i2 . i2 = 1; i5 = i4 . i = i; i6 = i4 . i2 = –1; i7 = i3 = –i, e assim por diante.

Exemplo ilustrativo Sendo z1 = 3 – 5i e z2 = – 4 + 7i, temos: a) z1 + z2 = (3 – 4) + (–5 + 7)i = –1 + 2i b) z1 – z2 = (3 – (–4)) + (–5 – 7)i = 7 – 12i c) z1 . z2 = 3 ∙ (–4) + 3 . 7i – 5i . (–4) + (–5i). .(7i) = –12 + 21i + 20i – 35i2 = 23 + 41i d) (z1)3 = (3 – 5i)3 = 33 + 3 . 32 . (–5i) + 3. .3.(–5i)2 + (–5i)3 = –198 – 10i

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Matemática - 3a série - Volume 2

Forma trigonométrica de um número complexo Um número complexo z = x + yi também pode ser escrito de outra maneira, destacando-se seu módulo z e seu argumento θ. 2 2 Sendo z = x + y , basta observarmos na

representação plana dos complexos que

x = z cos θ y = z s enθ

. Substituindo-se na forma al-

gébrica tais expressões, obtemos: z = z (cosθ (cos θ++isenθ),   isenθ ) que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.

eixo Imaginário y

z = x + yi

z cos θ

y=

z senθ

z (cos y2 θ ) = θx+2 i+sen

z (cos θ + i senθ )

i

x=

θ l

x

eixo Real

z = x + yi

θ ++ iisenθ) senθ ) (cosθ z = z (cos

forma algébrica

forma trigonométrica

O significado de algumas das operações realizadas com números complexos pode ser mais facilmente compreendido se recorrermos à forma trigonométrica. A exploração de tais fatos será realizada nos exercícios seguintes.

Exemplo ilustrativo

4

z

= 4 2

θ = 45°

Sendo z = 4 + 4i, então temos: argumento de z = θ = 45º; módulo de z = z forma trigonométrica de z: z = 4 2 . (cos 45º + i sen 45º).

y

4

x

= ! 4 2,

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Exercícios exemplares

eixo Imaginário 3

z2

Atividade 1

135º

Dados os números complexos z1 = 3 + 4i, z2 = 7, z3 = 7i e z4 = 3 – 4i, calcule: a) z1 + z2

b) z1 + z3

10 + 4i

3 + 11i

3

–3

c) z1 + z4

8i

g) z3 . z4

e) z1 . z2

225º 315º

6

h) (z1 . z4)

2

28 + 21i

j) (z1 – z4)3

625

–28 + 21i

i) (z1 + z4)

3

216

k) (z3 – z1 + z4)3

–512i

–3

f) z1 . z3

21 + 28i

eixo Real

45º

z4

d) z1 – z4

z1

i

z3

Os módulos de z1, z2, z3 e z4 são todos iguais a 32 + 32 = 3 2 . O argumento θ é o ângulo formado pela reta y Oz e o eixo real; sua tangente vale , ou x seja, 1, no caso de z1; tal ângulo é 45o. No caso de z2, o ângulo θ correspondente é 135º, uma vez que temos y positivo e x negativo. Analogamente, no caso de z4 temos θ = 225º e em z3 θ = 315º.

l) (–z2 + z1 + z4)15 –1

Atividade 3

Atividade 2 Dados os complexos a seguir, represente-os no plano complexo, determinando o módulo e o argumento de cada um deles: a) z1 = 3 + 3i

b) z2 = –3 + 3i

c) z3 = 3 – 3i

d) z4 = –3 – 3i

Retorne ao enunciado da Atividade 2. Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na forma trigonométrica: (cos θ ++  isenθ), isenθ ) z = z (cosθ

π π + isen ). 4 4 π π b) z2 = 3 2(cos 3 + isen 3 ). 4 4 a) z1 = 3 2(cos

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Matemática - 3a série - Volume 2

c) z3 = 3 2(cos 5

π π + isen 5 ). 4 4

d) z4 = 3 2(cos 7

π π + isen 7 ) 4 4

c) z – 9 Analogamente, a imagem do complexo z´ = z – 9 é a de z deslocada no sentido nega­ tivo do eixo real de nove unidades (ver figura). eixo Imaginário

Atividade 4 Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss e represente no mesmo plano complexo as imagens dos seguintes números: a) z + 9

z–9

12

eixo Imaginário

z+9

12

z – 6i

0

5

14

eixo Real

d) z – 6i Analogamente, a imagem do complexo z' = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário de seis unidades para baixo (ver figura acima). e) z + 9 – 6i Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta deslocada su­ cessivamente (em qualquer ordem) para a direita de 9 unidades e para baixo de 6 uni­ dades (ver figura).

z + 6i

18

z+9

z

6 –4

Quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o comple­ xo z' = 14 + 12i. Notamos, então, que a imagem de z resulta deslocada na direção do eixo real de 9 unidades no sentido positivo (ver figura).

z + 6i

18

eixo Imaginário 0

5

14

eixo Real

b) z+ 6i Quando somamos o imaginário 6i ao com­ plexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z' = 5 + 18i. Notamos, então, que a imagem de z resulta deslocada de 6 unidades na direção do eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura acima).

12

z

z+9

6 0

z – 6i 5

z + 9 ­ 6i 14

eixo Real

41

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Atividade 5

Atividade 6

Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss e represente no mesmo plano complexo as imagens dos seguintes números: a) 2z

Considere a região do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região

Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i, ou seja, tem valor ab­ soluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de z (ver figura abaixo).

resultante, após a transformação descrita em cada um dos itens a seguir. eixo imaginário

eixo Imaginário 2z

24

6

12

z

2

z 2

2

6

6

eixo Real

θ 0

5

5

10

eixo Real

2

b)

z 2 z será igual a Analogamente, o complexo 2 5 + 6i, ou seja, tem valor absoluto igual à 2 metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura acima).

a) A cada ponto da região será somado o número real 5. Cada ponto da região será deslocado na di­ reção do eixo real de 5 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.

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Matemática - 3a série - Volume 2

eixo Imaginário

6

2 0

2

eixo Real

11

7

6

b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i.

Cada ponto da região será deslocado na

Cada ponto da região será deslocado na di­ reção do eixo imaginário de 3 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 + 5i, 6 + 5i e 6 + 9i.

de outro na direção do eixo imaginário de

direção do eixo real de 3 unidades, seguido 4 unidades (ou vice­versa). Cada ponto terá um deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices da região transformada serão os seguintes:

eixo Imaginário

5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.

9

eixo Imaginário 10 6

9

5 6 5

2

2

6

eixo Real

c) A cada ponto da região será somado o número complexo 3 + 4i.

2 eixo Real 2

5

6

9

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d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2.

de cada ponto até a origem serão multipli­

Cada ponto da região terá seu módulo mul­ tiplicado por 2; logo, a região será ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2, e sua

mento da origem) com a ampliação. Os novos

área multiplicada por 4. Como as distâncias

rão alterados, ou seja, não haverá rotação.

cadas por 2, haverá uma translação (afasta­ vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não se­

eixo Imaginário 12

6

4

2

2

4

e) Cada ponto da região será multiplicado 1 pelo número real . 2 Cada ponto da região terá seu módulo mul­ 1 tiplicado por ; logo, a região será redu­ 2 zida, tendo cada segmento multiplicado 1 por , e sua área dividida por 4. Como 2

12 eixo Real

6

as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma translação (aproximação da origem) com a redução. Os novos vértices serão: 1+ i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação.

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Matemática - 3a série - Volume 2

eixo Imaginário

6

3 2 1

eixo Real 1

2

3

6

Atividade 7 Considere a região do plano complexo, indicada na figura. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo a região resultante, após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i.

Vamos examinar o efeito de tal multiplica­ ção em cada ponto. Ao multiplicar um número complexo z = x + yi por i, obtemos:

eixo Imaginário

z . i = xi + yi2, ou seja,

6

z . i = – y + xi. Inicialmente, notamos que os módulos de z e zi são iguais.

2 2

6

eixo Real

Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i.

Além disso, verificamos que se o argumento π de z é θ e o de zi é θ', então θ' + ( 2 – θ) = π (ver figura a seguir), ou seja, θ' – θ =

π . 2

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eixo Imaginário zi

x

z

θ

y

θ

π 2

θ'

–θ

θ x

–y

Isso significa que os argumentos de z e de zi π diferem de 90º ( radianos), ou seja, zi tem 2 π . De maneira geral, argumento igual a θ + 2 ao multiplicar um número complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu

eixo Real

π . 2 Em decorrência, ao multiplicarmos por i todos os pontos da região indicada, ela man­ terá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura:

argumento aumenta de

eixo Imaginário

t

r u 6

s 2

–6

–2

2

6

eixo Real

(Notar que as retas r e u são perpendiculares, assim como o são as retas s e t.)

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Matemática - 3a série - Volume 2

Atividade 8 Considere a região do plano complexo, indicada a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto

de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região resultante, se cada ponto da região triangular

eixo Imaginário

8

2

2

5

a) for somado ao número real 9; Já vimos que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do com­ plexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a região triangular será deslocada para a direita de 9 unidades.

8

eixo Real

cima de 9 unidades, e depois para a direita de 9 unidades. d) for multiplicado pelo número real 2; A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multi­ plicada por 4.

b) for somado ao número imaginário 9i; A região triangular será deslocada para cima de 9 unidades.

e) for multiplicado pelo número imaginário 2i; A região sofrerá uma rotação de 90º, cor­ respondente à multiplicação por i, e também

c) for somado ao número complexo 9 + 9i; A região triangular será deslocada para a direita de 9 unidades, e depois para cima, de 9 unidades; ou, equivalentemente, para

será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada. As figuras a seguir traduzem as transforma­ ções ocorridas em a, b, c e d.

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eixo Imaginário

17

11 8

2

2

5

8

11

14

17

eixo Real

eixo Imaginário

16

8 4 2

eixo Real

2

45

8

10

16

No item e, além de ampliada de um fator 2, a região acima deve sofrer uma rotação de 90º no sentido anti­horário.

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Matemática - 3a série - Volume 2

Considerações sobre a avaliação No caso específico dessa Situação de Aprendizagem 4, os números complexos são explorados por meio de sua representação como pontos do plano, com ênfase nas transformações associadas às operações. Essa pode ser a parte menos comum no tratamento dos complexos nos diversos livros didáticos, mas consideramos que tal tratamento pode ser mais adequado para uma incorporação da linguagem dos complexos, mesmo sem o recurso a muitas técnicas de cálculo. As transformações realizadas sobre regiões do plano complexo constituem terreno muito fértil para aplicações práticas dos mesmos, que não puderam ser apresentadas apenas em decorrência dos limites do presente Caderno, mas que poderão ser apreciadas pelos alunos, em leituras futuras, ou em trabalhos complementares. No fim do percurso, consideramos o aproveitamento dos alunos satisfatório se eles souberem reconhecer o significado dos complexos, interpretando-os como pontos do plano, e se forem capazes de interpretar operações simples realizadas sobre complexos com transformações no plano, como translações, rotações e ampliações, conforme indicadas nas atividades realizadas. A juízo do professor, se o desempenho dos alunos não for satisfatório, pode-se experimentar estratégias alternativas, como:

f Restringir-se apenas a destacar o fato básico, decisivo, de que i2 = –1 na construção dos novos números, os números complexos, mostrando a grande ampliação na ideia de número, que transborda a reta numerada e passa a ocupar o plano inteiro. Nessa estratégia, a representação do i no eixo perpendicular ao eixo real, como foi feito no Caderno, se for feita de maneira compreensiva, pode servir para despertar o interesse pelos novos números, mostrando a Matemática como uma permanente construção, e ampliando o horizonte da Matemática como linguagem; f pode-se trabalhar o significado dos complexos e das operações com papel quadriculado, representando efetivamente complexos no plano e realizando operações simples sobre eles, como adições, subtrações e multiplicações, sempre procurando reconhecer diretamente nas ações realizadas o significado geométrico de cada uma delas (deslocamentos horizontais, verticais, ampliações, rotações). Após a construção de figuras correspondentes a operações dadas a priori, pode-se inverter a mão e perguntar sobre as operações necessárias para produzirem certas transformações em figuras dadas, o que pode tornar o desafio ainda mais interessante.

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ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO Se considerar que os alunos não apreenderam adequadamente a temática proposta na Situação de Aprendizagem 1, o professor pode experimentar estratégias alternativas, como: f iniciar as atividades do bimestre com uma retomada direta das equações do segundo grau, tais como são apresentadas na 8ª- série do Ensino Fundamental e na 1ª- série do Ensino Médio, recordando a fórmula de Bhaskara, as relações entre coeficientes e raízes, e resolvendo problemas práticos que conduzem a tais equações. Somente depois deve ser proposta a extensão de tais interesses para equações de grau 3, com passagem mais suave para a problemática do presente Caderno; f concentrar-se efetivamente na história da Matemática, particularmente na história das equações algébricas, explorando materiais como os que são sugeridos no fim deste Caderno, que se prestam especialmente à realização de pequenos projetos de estudo e de pesquisa. Na Situação de Aprendizagem 2, considerando insuficiente a compreensão dos alunos, o professor poderá explorar com mais vagar algumas outras estratégias, como, por exemplo: f trabalhar inicialmente apenas com as equações do segundo grau, cujas raízes podem ser determinadas a qualquer instante, se necessário, para explicitar bem

as relações entre os coeficientes e as raízes das mesmas, antes de se dedicar a equações de grau superior;

f mesmo abordando equações de grau superior a dois, construir diretamente diversas equações que tenham como raízes certos números dados, explorando a possibilidade de se escrever uma equação de raízes r1, r2, r3, r4, ..., na forma de um produto de binômios (x – r1) . (x – r2) . .(x – r3).(x – r4). .... = 0, e calculando diretamente os coeficientes dos diversos termos da equação. Tal exploração, de natureza experimental, mesmo em uns poucos exemplos, pode ser decisiva para a compreensão das relações entre coeficientes e raízes de uma equação. Caso os alunos ainda tenham dúvidas sobre os conceitos trabalhados na Situação de Aprendizagem 3, o professor poderá reapresentar o tema, optando por uma das estratégias seguintes: f na abordagem inicial da ideia de identidade de polinômios, para facilitar o entendimento, o professor pode sugerir a comparação dos gráficos de duas funções polinomiais: eles podem assumir valores iguais em alguns pontos, sem que as funções sejam idênticas; entretanto, para que as funções sejam iguais para todos os valores possíveis para x,

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é necessário que os coeficientes dos termos de mesmo grau sejam iguais, ou seja, a identidade das funções exige tal igualdade dos coeficientes dos termos semelhantes. f na apresentação das equações algébricas, apresentar os polinômios construtivamente, na maneira já fatorada, deixando mais visível o fato de que, conhecendo-se uma das raízes, o grau

da equação pode ser diminuído; deixarse-ia, assim, para um momento posterior o ensino da divisão, que levaria à fatoração. Os temas trabalhados na Situação de Aprendizagem 4 podem ser igualmente retomados com a leitura mais aprofundada de textos sugeridos ao fim do Caderno e da retomada de atividades anteriormente propostas.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Existem diversos softwares disponíveis que podem ser utilizados para a exploração da representação das transformações no plano correspondentes às operações com os números complexos. Como no caso da Geometria Analítica Plana, consideramos, no entanto, que, em um primeiro momento, a construção efetiva por parte dos alunos das figuras representativas das situações estudadas é muito importante. Após esse contato inicial, o recurso a softwares que facilitem a construção gráfica das curvas e das regiões do plano é, sem dúvida, conveniente e deve ser incentivada. É importante ressaltar que a não disponibilidade dos mesmos não impede a efetivação de qualquer das atividades propostas no presente texto. Em cada um dos textos citados, podem ser encontrados elementos para a compreensão dos caminhos da busca de soluções para equações algébricas, tal como foi sugerido no texto do Caderno.

BOYER, CARL B. História da Matemática. Tradução de Elza Furtado Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. DOMINGUES, Hygino H. Síntese da história das equações algébricas. Caderno Ensino-Aprendizagem de Matemática, n. 2. São Paulo: SBEM, 2000. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução de Higyno H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. KUROSCH, A. G. Equações algébricas de grau qualquer. Traduzido por Antonio Carlos Brolezzi. São Paulo: Atual, 1995. MARKUSHÉVICH, A. I. Números complexos y representaciones Conformes. Moscou: Editorial MIR, 1977.

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Considerações Finais Conforme já comentamos anteriormente, na grade de conteúdos proposta para as três séries do Ensino Médio, pressupõe-se que muitos dos temas se apoiam mutuamente, sendo mais fácil interessar os alunos quando se apresenta um cenário de conteúdos mais abrangente do que quando se lhes subtrai a possibilidade de contato com alguns dos temas. Apesar da aparente extensão do conteúdo a ser ensinado, deve ficar claro para o professor que cada tema é apenas um meio, um instrumento para a construção das competências básicas de leitura, escrita, compreensão, argumentação, contextuação, problematização. A grande preocupação não pode ser a de “esgotar os conteúdos”, mesmo porque tal esgotamento nunca é possível, na prática, mas sim a de aproveitar as oportunidades para o crescimento pessoal de cada estudante, por meio de um contato proveitoso com algumas das ideias fundamentais da Matemática. Na presente proposta, reservou-se apenas um bimestre para equações, polinômios e complexos. Dependendo do número de aulas disponíveis para o professor, nem todos os temas podem ser tratados com a mesma profundidade, cabendo ao mesmo selecionar as ideias que serão mais ou menos contempladas. Nossa preocupação na apresentação dos diversos temas foi a de torná-los acessíveis para quem deles se aproxima pela primeira vez, não hesitando em sacrificar certo nível de rigor formal em benefício da construção de

uma compreensibilidade. Ao mesmo tempo, procurou-se tornar as oito unidades relativamente independentes, de modo que uma menor exploração, ou mesmo a não exploração de alguma delas não impeça o aproveitamento das outras. Somente o professor, em sua circunstância específica, poderá selecionar os temas em que mais se deterá, bem como aqueles aos quais dará menos relevância. De maneira geral, ao fim deste Caderno, após as atividades propostas nas quatro Situações de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham atingido os seguintes objetivos gerais, relativos à temática das equações algébricas, dos polinômios e dos complexos: f tenham compreendido a história das equações algébricas, com o deslocamento das atenções das fórmulas para as análises qualitativas; f tenham conhecimento das relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica, bem como as operações com polinômios necessárias para a redução da ordem com base no conhecimento de uma raiz da equação; f sejam capazes de expressar o significado dos números complexos por meio do plano de Argand-Gauss; f sejam capazes de compreender o significado geométrico das operações com complexos.

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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre

do ensino médio

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

1a- série números e sequênCias - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de matemática financeira. Funções - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

2a- série trigonometria - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

3a- série geometria analítiCa - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

matrizes, determinantes e sistemas lineares - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

equações algébriCas, polinômios, Complexos - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

Funções exponenCial e logarítmiCa - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

análise Combinatória e probabilidade - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e binômio de Newton.

estudo das Funções - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

geometriatrigonometria - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

geometria métriCa espaCial - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

estatístiCa - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.

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