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LOGARITMOS 2

1. (Uerj 2004) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação:

Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

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2. (Unicamp 2004) A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

3. (Unifesp 2003) A área da região hachurada na figura A vale log•³ t, para t>1.

a) Encontre o valor de t para que a área seja 2.

b) Demonstre que a soma das áreas das regiões hachuradas na figura B (onde t = a) e na

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figura C (onde t = b) é igual à área da região hachurada na figura D (onde t = ab).

4. (Uerj 2005) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.

5. (Ufpe 2005) Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? (Obs.: use as aproximações Øn (1000) ¸ 6,907, Øn (1,2) ¸ 0,182.)

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6. (Fgv 99) O preço p de um terreno daqui a t anos é estimado pela relação p=a.(b) . a) Se hoje o terreno vale R$80000,00 e o valor estimado aqui a 10 anos é R$120000,00, obtenha a e b. b) Se a estimativa fosse dada por p=a.(1,02) , daqui a quantos anos o preço do terreno dobraria? Observação: o resultado pode ser deixado indicado.

7. (Fgv 2001) O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y=3-3.(0,95) , onde y é dado em milhões de pessoas.

a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo o produto?

b) Faça o gráfico de y em função de t.

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8. (Fgv 2005) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t) = A - B.3¾ , com A, B e n constantes obtidas experimentalmente, pede-se: a) determinar as constantes A, B e n, sabendo que o gráfico da função V é

b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 - 24.3 , determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5.

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9. (Ita 2002) Seja a função f dada por

Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.

10. (Ita 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x:

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11. (Uerj 2002) Leia atentamente a reportagem a seguir.

UMA BOA NOTÍCIA Lançado na semana passada, o livro "Povos Indígenas no Brasil - 1996/2000" mostra que as tribos possuem hoje cerca de 350.000 habitantes e crescem ao ritmo de 3,5% ao ano, quase o dobro da média do restante da população. Mantendo o atual ritmo de crescimento, é possível imaginar que a população indígena demoraria 60 anos para atingir o tamanho registrado em 1500, na época do Descobrimento. (Adaptado de "Veja", 11/04/2001.)

Admita que a população indígena hoje seja de exatamente 350.000 habitantes, e que sua taxa de crescimento anual seja mantida em 3,5%. De acordo com esses dados, estime a população das tribos indígenas do Brasil nos seguintes momentos:

a) daqui a um ano;

b) em 1500, utilizando a tabela de logaritmos a seguir.

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12. (Uerj 2005) Um grupo de 20 ovelhas é libertado para reprodução numa área de preservação ambiental. Submetidas a um tratamento especial, o número N de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fórmula: N = 220 / [ 1 + 10 (0,81) ] Admita que a população de ovelhas seja capaz de se manter estável, sem esse tratamento especial, depois de atingido o número de 88 ovelhas. a) Calcule o número de ovelhas existentes após seis meses. b) Considerando Øn 2 = 0,7, Øn 3 = 1,1 e Øn 5 = 1,6, calcule a partir de quantos anos não haverá mais a necessidade de tratamento especial do rebanho.

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13. (Uerj 2006) Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo:

- nas t primeiras horas, diminui sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior; - nas 8 - t horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas da hora anterior.

Calcule: a) o percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t = 2; b) o valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

14. (Uff 2000) São dados os números reais positivos n, i e x tais que n·1 e i·1. Sabe-se que log․ x=2 e log‥ x=4. Calcule log․‥ nËx.

15. (Uff 2002) A equação - x¥ + 11x¤ - 38x£ + 52x - 24 = 0 tem duas de suas raízes iguais a 2. Dadas as funções reais f e g definidas, respectivamente, por f(x)=-x¥+11x¤-38x£+52x-24 e g(x)

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= log(f(x)), determine o domínio de g.

16. (Uff 2002) A energia potencial elástica (E) e a variação no comprimento (ÐØ) de uma determinada mola estão associadas conforme a tabela:

Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida pela equação y = nx + log(K/2), sendo K a constante elástica da mola e n uma constante.

a) Determine os valores das constantes K e n. b) Determine o valor de E para ÐØ = 3.

17. (Uff 2004) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação log•³(0,1) + log•³(0,1)£ + ... + log•³(0,1)¾ = - 15

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18. (Ufg 2001) Considere o seguinte sistema, com incógnitas x e y,

ý(4 + — log‚ —) x - (1 + 2 log‚ —) y=0 þ ÿ8 (1 + —) x - 18y = 0

onde — é um número real. Determine o conjunto de valores de —, para os quais o sistema possua uma única solução.

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19. (Ufrj 2001) Seja x³, x, ... x․, ... uma seqüência infinita de números reais. Sabendo que x•³=10 e que os logaritmos decimais

a³ = log x³, a = log x, ... , a․ = log x․, ...

formam uma PG de razão 1/2, calcule o valor limite do produto

P․ = x³xx‚ ... x․

quando n tende a infinito.

20. (Ufrj 2001) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em progressão aritmética.

Sabendo que log b=2, determine o produto abc.

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21. (Ufrj 2002) Uma gravadora lançou no mercado um CD de Música Popular Brasileira, e o departamento de vendas fez uma pesquisa junto às distribuidoras para verificar o número de cópias vendidas. Na primeira semana, foram vendidas 20 cópias; na segunda semana, a venda dobrou em relação à da primeira; e, na terceira, dobrou em relação à da segunda. O diretor acredita que as vendas continuarão dobrando a cada semana e deseja saber em qual semana o CD atingirá a marca de y cópias vendidas desde o lançamento. O departamento de vendas dispõe de calculadoras que realizam as quatro operações elementares e calculam as seguintes funções matemáticas:

sen x

-

cos x

-

-

ln x

-

Ëx

Se o total de cópias vendidas desde o lançamento atinge y na n-ésima semana, expresse n como função de y, utilizando apenas as operações e funções aceitas pelas calculadoras do departamento de vendas (não se preocupe com o fato de que os valores n obtidos poderão, eventualmente, não ser inteiros; os funcionários da gravadora estão instruídos a arredondá-los para cima). Justifique.

22. (Ufrj 2002) Sendo x e y números reais e y · 0, expresse o logaritmo de 3Ñ na base 2Ò em

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função de x, y e log‚3.

23. (Ufrj 2005) Considere a = log [ x - (1/x) ] e b = log [ x + (1/x) - 1 ], com x >1. Determine log [ x£ - x + (1/x) - (1/x£) ] em função de a e b.

24. (Ufrj 2006) Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1Ž de abril de 2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos no dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, conforme elas informaram. a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia. Quantos amigos havia na lista de Ana em 1Ž de abril? b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que o número de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade 1, 584 < log‚3 < 1, 585.

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25. (Ufrn 2001) Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o "Banco ZIG" oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T=log•225, enquanto o "Banco ZAG" trabalha com a taxa (mensal) S=log‚15. Com base nessas informações,

a) estabeleça uma relação entre T e S;

b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique.

26. (Ufrrj 2001) Resolvendo a inequação logarítmica log (x-3)µ3, qual a solução encontrada?

Obs.: considere o logaritmo na base 1/2.

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27. (Ufscar 2000) Sejam x e y números reais positivos e diferentes de 1. Sejam números reais positivos n, j e i, tais que n•i·1, j·1.

a) Verifique que logÖy = 1/(logÙx).

b) Se 2 log․ ø ‥ j . log․ ÷ ‥ j = log․ ø ‥ j + log․ ÷ ‥ j, mostre que n, j e i são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.

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28. (Unesp 2001) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m³ gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática:

onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log2 = 0,3, determine

a) log 8;

b) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.

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29. (Unesp 2002) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:

com n uma constante positiva e t em horas.

a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante n.

b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?

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30. (Unesp 2002) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) = log•³(100 + x) + k, com k constante real.

a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.

b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais.

31. (Unesp 2003) Sejam ‘ e ’ constantes reais, com ‘ > 0 e ’ > 0, tais que log³‘=0,5 e log³’=0,7. a) Calcule log³ ‘’, onde ‘’ indica o produto de ‘ e ’. b) Determine o valor de x Æ IR que satisfaz a equação

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32. (Unesp 2003) A tabela mostra 3 números com as correspondentes mantissas de seus logaritmos na base 10.

a) Escreva os valores dos log•³(x). b) Calcule os valores aproximados de log•³(3,04), log•³(3010) e log•³(302).

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33. (Unesp 2006) A função a seguir expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 ´ t ´ 80, é dado na figura.

a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações logƒ2 = 0,6 e logƒ5 = 1,4.) b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. Com base no gráfico, para 0 ´ t ´ 80, admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução da inequação p(t) µ 15 e responda, justificando sua resposta, para quais valores de k a equação p(t) = k tem soluções reais.

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34. (Unicamp 2001) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t)=log•(1+t)§ e B(t)=log‚(4t+4), onde a variável t representa o tempo em anos.

a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t=1 e t=7?

b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.

35. (Unifesp 2006) Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q³ miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q³(0,64) miligramas. Determine: a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora. b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. Utilize log•³ 2 = 0,30.

36. (Ufpe 2004) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao

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mês, sendo calculada cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? (Dados: use as aproximações ln(3) ¸ 1,08 e ln(1,09) ¸ 0,09.)

37. (Unicamp 2005) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessário, use log•³ 2 = 0,301 e log•³3 = 0,477].

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) No dia 7 de fevereiro de 1984, a uma altura de 100 km acima do Havaí e com uma velocidade de cerca de 29 000 km/h, Bruce Mc Candless saindo de um ônibus espacial, sem estar preso por nenhuma corda, tornou-se o primeiro satélite humano. Sabe-se que a força de atração F entre o astronauta e a Terra é proporcional a (m.M)/r£, onde m é a massa do astronauta, M a da Terra, e r a distância entre o astronauta e o centro da Terra. (Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

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38. A lei da atração gravitacional, dada pela fórmula F = G [(m . M)/r£] é equivalente a a) log F = 1/2 (log G + log m + log M - log r) b) log m = 1/2 (log G + log M + log F - log r) c) log r = 1/2 (log G + log m + log M - log F) d) log M = 1/2 (log G + log m + log F - log r) e) log F = (log G) . (log m) . (log M) - 2 log r

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) O ponto forte das políticas públicas de conservação de água da cidade de Campinas está relacionado a um amplo programa de educação ambiental, em especial no que diz respeito à recuperação da qualidade dos cursos d'água urbanos.

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39. Na tabela abaixo, têm-se dados sobre a utilização de água em Campinas no período de 1993 a 2003.

(Adaptado da Revista Saneamento Ambiental. Ano XIV. n. 105. São Paulo: Signus. p. 39)

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Para a concretização da melhoria da qualidade dos cursos d'água urbanos, obras de ampliação da rede coletora e de construção de estações de tratamento estão sendo realizadas de modo que, após t anos, a quantidade de poluentes seja dada por Q = Q³ . 2¾ , em que n é uma constante e Q³ a quantidade de poluentes observada inicialmente. Se 36% da quantidade de poluentes foram removidos ao fim do segundo ano, então a porcentagem da poluição restante ao fim de seis anos, em relação a Q³, será a) 33% b) 25%

Dado:

c) 20%

log 2 = 0,30

d) 16% e) 12%

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Cesgranrio 2002) A pressão atmosférica p varia com a altitude h segundo a lei h = a + b log p, onde a e b são constantes.

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40. Medindo a altura h em metros, a partir do nível do mar, e medindo a pressão p em atmosferas, os valores das constantes a e b satisfarão: a) a < 0 e b > 0 b) a < 0 e b < 0 c) a = 0 e b < 0 d) a > 0 e b < 0 e) a > 0 e b > 0

41. (Fatec 2000) Seja a progressão aritmética (..., x, log․(1/n), log․1, log․n, log․n£, y,...) com o n inteiro, n µ 2. Os valores de x e y são, respectivamente,

a) 0 e log․n¤ b) log․(1/n£) e 2 c) -1 e log․n¥ d) 0 e 3 e) -2 e 3

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42. (Cesgranrio 2004) Explosão de Bits A velocidade dos computadores cresce de forma exponencial e, por isso, dentro de alguns anos teremos uma evolução aceleradíssima. Para o inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No futuro, ele se igualará à capacidade de um rato, de um homem e, finalmente, de toda a humanidade.

Revista Superinteressante, ago. 2003 (adaptado).

Considerando as informações apresentadas no gráfico acima, que estima a capacidade de processamento (por segundo) de um computador (C) em função do ano (a), de acordo com os dados do texto, pode-se afirmar que: a) C = log•³ (10a + 8)

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b) C = log•³ [(a - 1984)/2] c) a = 1992 + log•³C d) a = [(log•³C)/10] - 8 e) a = 1984 + log•³(C)£

43. (Pucsp 2004) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002

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44. (Ufpr 2001) Sendo a, b e x números reais tais que 3ò=2ö, 9ö=4Ñ e a · 0, é correto afirmar:

(01) b = x log‚ 3

(02) Se a = 2, então b < 3.

(04) a, b e x, nesta ordem, estão em progressão geométrica.

(08) a + b = a log‚ 6

(16) 3 ò ® £ö = 2 ö ® £Ñ

Soma (

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45. (Mackenzie 2003) Se 2Ñ . 3Ò¢ = 18Ò/2, então x . y é: a) 0 b) -1 c) 2 d) -3 e) 1

46. (Fatec 99) Na química, o pH de uma solução é uma medida de sua acidez. Ele é definido como o oposto (ou o negativo) do logaritmo decimal da concentração de íons positivos da solução. (Essa concentração é medida em moles por litro.) Se log2=0,3 e a concentração de certa solução é 2×10ª, então o seu pH é a) -9,3 b) 2,7 c) 8,7 d) 9,3 e) 9,7

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47. (Fgv 2001) Consideremos os seguintes dados: Log2=0,3 e Log3=0,48. Nessas condições, o valor de Log15 é: a) 0,78 b) 0,88 c) 0,98 d) 1,08 e) 1,18

48. (Fgv 2002) Adotando-se os valores log2=0,30 e log3=0,48, a raiz da equação 5Ñ = 60 vale aproximadamente: a) 2,15 b) 2,28 c) 41 d) 2,54 e) 2,67

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49. (Fgv 2002) O valor de x que satisfaz a equação log(2x+7)=log2x+log7 é um número: a) menor que 1/2 b) entre 1/2 e 1 c) entre 1 e 3/2 d) entre 3/2 e 2 e) maior que 2

50. (Fgv 2003) A equação log(x + 2) + log(x - 2) = 1: a) tem duas raízes opostas. b) tem uma única raiz irracional. c) tem uma única raiz menor que 3. d) tem uma única raiz maior que 7. e) tem conjunto solução vazio.

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51. (Fgv 2005) O conjunto solução da equação

x . [log‚ (7Ñ) + log‚(7/3)] + log‚(21Ñ) = 0,

sendo log‚(N), o logaritmo do número N na base 2 é: a) ¹ b) {0} c) {1} d) {0, -2} e) {0, 2}

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52. (Fuvest 2001) Sendo P=(a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio 1, que satisfaça b>0 e a·•b, pode-se afirmar que

vale: a) 0 b) 1 c) - log b d) log b e) 2 log b

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53. (Fuvest 2002) Se (x, y) é solução do sistema

ý2Ñ . 4Ò = 3/4 þ ÿy¤ - (1/2 xy£) = 0,

pode-se afirmar que:

a) x = 0 ou x = -2 - log‚3 b) x = 1 ou x = 3 + log‚3 c) x = 2 ou x = -3 + log‚3 d) x = (log‚3)/2 ou x = -1 + log‚3 e) x = -2 + log‚3 ou x = -1 + (log‚ 3)/2

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54. (Fuvest 2003) Seja f (x) = logƒ (3x + 4) - logƒ (2x - 1). Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f (x) > 1, são: a) x < 7/3 b) 1/2 < x c) 1/2 < x < 7/3 d) -4/3 < x e) -4/3 < x < 1/2

55. (Fuvest 2004) Se x é um número real, x > 2 e log‚(x - 2) - log„x = 1, então o valor de x é: a) 4 - 2Ë3 b) 4 - Ë3 c) 2 + 2Ë3 d) 4 + 2Ë3 e) 2 + 4Ë3

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56. (Ita 2001) Se a Æ IR é tal que 3y£ - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação

3£Ñ ® ¢ - 3Ñ + a = 0

é:

a) log‚ 6 b) - log‚ 6 c) logƒ 6 d) - logƒ 6 e) 1 - logƒ 6

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57. (Ita 2001) Sendo dado

é igual a: a) a․ - 2b․ b) 2a․ - b․ c) a․ - b․ d) b․ - a․ e) a․ + b․

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58. (Ita 2005) Considere a equação em x

onde a e b são números reais positivos, tais que Øn b = 2 Øn a > 0. A soma das soluções da equação é a) 0. b) -1. c) 1. d) Øn 2. e) 2.

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59. (Mackenzie 2001) Se log ‘=6 e log ’=4, então ¥Ë(‘£.’) é igual a:

a) ’ b) 24 c) 10 d) (‘/2 + ’/4) e) Ë6

60. (Mackenzie 2001) Se [(1/log‚x)+(1/logƒx)+(1/log†x)]= 2, x£ vale: a) 25 b) 36 c) 16 d) 81 e) 100

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61. (Mackenzie 2001) Se a, b e c são reais positivos tais que a+b+c=1, então: a) log a > 0 b) log a. log b. log c < 0 c) log a + log b > 0 d) log a + log b + log c = 0 e) log b. log c < 0

62. (Mackenzie 2003) Se a = log„(2 sen 70°/ cos 20°), então log‚ a é: a) -1/2 b) -1/4 c) 1 d) 2 e) -1

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63. (Mackenzie 2003) Se logƒ (3x) - log‣ x - logƒ x = 2, então

vale: a) -1 b) -1/3 c) 1/9 d) 1/3 e) 1

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64. (Mackenzie 2003) O preço de um imóvel é dado, em função do tempo t, em anos, por P(t) = A . (1,28) , sendo A o preço atual. Adotando-se log 2 = 0,3, esse imóvel terá o seu preço duplicado em: a) 1 ano. b) 2 anos. c) 3 anos. d) 3,5 anos. e) 2,5 anos.

65. (Puc-rio 2003) Os valores de x tais que o logaritmo de 2x£ + 1 na base 10 é igual a 1 são: a) 1 e -1 b) 1/Ë2 e -1/Ë2 c) 3 e -3 d) 3/Ë2 e -3/Ë2 e) 1 e -2

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66. (Puccamp 2000) Determine os valores reais de x que satisfazem a equação log[(Iog x)£ log x] = log 2. É correto afirmar que a) o maior deles é 1. b) o menor deles é 5. c) o produto deles é 10. d) dividindo-se o maior pelo menor, obtém-se 20. e) a soma deles é 101.

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67. (Puccamp 2001) Na reta abaixo, que apresenta os logaritmos decimais de uma variável x, os números L, L‚, Lƒ, L„ e L… correspondem aos respectivos valores dos logaritmos decimais de x, x‚, xƒ, x„ e x….

De acordo com os dados do esquema, a razão x‚/x é igual a a) - 3 b) 10¤ c) 3 d) 10£ e) 10¤

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68. (Puccamp 2001) Na reta abaixo, que apresenta os logaritmos decimais de uma variável x, os números L•, L‚, Lƒ, L„ e L… correspondem aos respectivos valores dos logaritmos decimais de x, x‚, xƒ, x„ e x….

Se a variável x representar temperaturas medidas em kelvins, a temperatura de congelamento da água tem valor mais próximo de a) x• b) x‚ c) xƒ d) x„ e) x…

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69. (Pucmg 2001) Considere a função f: IRø* ë IR definida por f(x)=log‚x e a,bÆRø*, sendo a>b. Se f(ab)=4 e a+b=10, o valor de a-b é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

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70. (Pucpr 2005) As raízes da equação

estão contidas no intervalo: a) [0, 200] b) [2, 20] c) [10, 10000] d) [0, 10] e) [-10, 50]

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71. (Pucpr 2005) Calculando manualmente o valor de uma certa grandeza x, um engenheiro obteve log•³x = 5,552832. Não dispondo de uma máquina de calcular, nem de uma tábua de logaritmos, e necessitando de uma estimativa de ordem de grandeza de x, pôs-se a pensar um instante, ao fim do qual descobriu o que precisava saber. Você é capaz de indicar a ordem de grandeza de x, em termos de unidade de medida de x? a) centenas de unidades b) milhares de unidades c) dezenas de milhares de unidades d) centenas de milhares de unidades e) milhões de unidades

72. (Pucrs 2001) A solução real para a equação nÑ®¢=b/n, com n>0, n·1 e b>0, é dada por

a) log․ (b) b) b) log․ (b+1) c) log․ (b) + 1 d) log․ (b) + 2 e) log․ (b) - 2

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73. (Pucrs 2003) O conjunto solução da equação Øn (1/x) + Øn (2x¤) = Øn 3 é a) {-(Ë3)/2, (Ë3)/2} b) {-Ë(3/2), Ë(3/2)} c) {Ë(3/2)} d) {-1,1} e) {1}

74. (Pucsp 2001) A soma dos n primeiros termos da seqüência (6,36,216,...,6¾,...) é 55.986. Nessas condições, considerando log2=0,30 e log3=0,48, o valor de log n é a) 0,78 b) 1,08 c) 1,26 d) 1,56 e) 1,68

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75. (Pucsp 2002) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? (Use: log 2 = 0,30) a) 1 ano e 8 meses b) 2 anos e 3 meses c) 2 anos e 6 meses d) 3 anos e 2 meses e) 3 anos e 4 meses

76. (Pucsp 2003) Sabe-se que a equação x¥+3x¤-13x£-27x+36=0 admite as raízes reais a, b, c, d, com a<b<c<d e tais que a + b = -7 e c.d = 3. Se | z | é o módulo do número complexo z = a + bi, então log‚… | z | é igual a a) 1/5 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 5

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77. (Pucsp 2005) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 , o número real que satisfaz a equação 3£Ñ = 2¤Ñ®¢ está compreendido entre a) -5 e 0 b) 0 e 8 c) 8 e 15 d) 15 e 20 e) 20 e 25

78. (Pucsp 2006) Um número N é obtido triplicando-se a base e o expoente de 2Ò, em que y Æ IR. Se N é igual ao produto de 2Ò por xÒ, qual é o valor de log x? (Use: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 2,04 b) 2,08 c) 2,12 d) 2,26 e) 2,28

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79. (Uel 2000) Considere as funções f e g, de IRø* em lR, definidas por f(x)=log‚x e g(x)=log‚2x. É verdade que, para todo x do domínio, tem-se g(x) igual a a) 2 . f(x) b) 2 + f(x) c) 1 + f(x) d) f(x) e) [f(x)]£

80. (Uel 2001) Quaisquer que sejam os números reais positivos a, b, c, d, x e y, a expressão

log‚(a/b) + log‚(b/c) + log‚(c/d) - log‚(ay/dx)

pode ser reduzida a: a) log‚(y/x) b) log‚(x/y) c) 1 d) 0 e) log‚(a£y/d£x)

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81. (Uepg 2001) Considerando que p é o produto das raízes da equação log£x-logx-6=0 e que

assinale o que for correto.

01) p é um número primo 02) p é um múltiplo de três 04) p/m Æ Z 08) 60 < m < 70 16) m > p

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82. (Uerj 2003) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a soma das raízes de log£x - log x¤ = 0 é igual a: a) 1 b) 101 c) 1000 d) 1001

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83. (Uerj 2004) Seja ’ a altura de um som, medida em decibéis. Essa altura ’ está relacionada com a intensidade do som, I, pela expressão a seguir (figura 1), na qual a intensidade padrão, I³, é igual a 10¢£ W/m£. Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som.

Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

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84. (Uerj 2004) No recente acidente que atingiu rios da região norte-noroeste fluminense, o principal contaminante da água foi a soda cáustica (NaOH). Considere que: - a mortalidade observada em algumas espécies de peixes desses rios foi diretamente relacionada a alterações do seu equilíbrio ácido-básico; - o pH do sangue dos peixes pode ser calculado pela fórmula pH = 6,1 + log ([HCOƒ]/[H‚COƒ]); - na fórmula citada, [HCOƒ] refere-se à concentração molar de bicarbonato e [H‚COƒ], à de ácido carbônico. Observe os gráficos, nos quais y representa medidas do pH de amostras de água e x, medidas de concentração de substâncias encontradas em amostras de sangue de peixes. As amostras de água e os peixes foram coletados, simultaneamente, em diversas áreas dos rios contaminados.

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Quando x = [HCOƒ]/[H‚COƒ], a variação de x em função de y pode ser representada pelo gráfico de número: a) I b) II c) III d) IV

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85. (Uerj 2005) Um pesquisador, interessado em estudar uma determinada espécie de cobras, verificou que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus comprimentos L, em metros, ou seja M = a × L¤ , em que a é uma constante positiva. Observe os gráficos abaixo.

Aquele que melhor representa log M em função de log L é o indicado pelo número: a) I b) II c) III d) IV

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86. (Ufal 99) Se log‚ 5=x e y=2£Ñ®¢, então y é igual a a) 50 b) 25 c) 15 d) 10 e) 5

87. (Ufal 2000) O mais amplo domínio real da função definida por y=log[sen(x)] é o conjunto dos números reais x tais que, para todo k Æ Z, a) -k™ < x < k™ b) k™ < x < (k - 1)™ c) k™ < x < (k + 1)™ d) 2k™ < x < (2k - 1)™ e) 2k™ < x < (2k + 1)™

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88. (Ufc 2000) Se log‡ 875 = a, então logƒ… 245 é igual a:

a) (a + 2)/(a + 7) b) (a + 2)/(a + 5) c) (a + 5)/(a + 2) d) (a + 7)/(a + 2) e) (a + 5)/(a + 7)

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89. (Ufc 2001) Suponha que o nível sonoro ’ e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica ’=120+10log³I, em que ’ é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam, I• a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas, e I‚ a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I/I‚ é igual a: a) 1/10 b) 1 c) 10 d) 100 e) 1000

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90. (Ufc 2003) Sejam log(a) m = p e log(a) n = q. Se p + q = log(a) x e p - q = log(a) y , o valor de m£ é: a) xy b) x£ c) y£ d) x - y e) x/y

91. (Ufc 2004) O valor da soma log•³(1/2) + log•³(2/3) + log•³(3/4) + ... + log•³(99/100) é: a) 0 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3

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92. (Ufc 2006) Sejam x e y os números reais positivos que satisfazem o sistema de equações:

Assinale a alternativa na qual consta o valor numérico de x + y. a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36

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93. (Ufes 2002) Sabe-se que log•³ 3 = 0,477, aproximado até a terceira casa decimal. O número de algarismos do inteiro N=30¤¡ é igual a a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

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94. (Uff 2001) No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Ankara, na Turquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala Richter. Considere que m e m‚ medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r e r‚, respectivamente. Sabe-se que estes valores estão relacionados pela fórmula

r• - r‚ = log³ (m/m‚)

Considerando-se que r seja o registro do terremoto da Turquia e r‚ o registro do terremoto do Japão, pode-se afirmar que (m/m‚) é igual a: a) 10¢ b) ¢¡Ë(10) c) (0,1)¢¡ d) 10/0,1 e) 1/0,1

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95. (Uff 2003) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol. 2, 4• ed., a intensidade relativa I (R) de uma onda sonora, medida em decibel (dB), é definida pela expressão da figura 1, sendo I a intensidade sonora medida em watt/m£ e I³ a intensidade sonora de referência (correspondente ao limiar da audição humana) também medida em watt/m£. Apresentam-se, a seguir, (fig. 2) os valores em dB das intensidades relativas I (R) das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares.

Na unidade watt/m£, pode-se afirmar que: a) a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana; b) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana;

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c) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 10¢¡ vezes a intensidade sonora de um sussurro médio; d) a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da intensidade sonora de uma conversa normal; e) a intensidade sonora de uma conversa normal é menor que 10¥ vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.

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96. (Ufjf 2002) A figura a seguir é um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f(x) = log․ x com alguns pontos destacados. Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é INCORRETO afirmar que: a) a base n é igual a 3. b) a abscissa de C é igual a 1. c) f(x) < 0 para todo x Æ (0,1). d) a abscissa de B é igual a 2. e) f(x) é crescente.

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97. (Ufmg 2001) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão

pH = - log [H®],

em que [H®] indica a concentração, em mol/l, de íons de Hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio era [H®] = 5,4.10©mol/l. Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.

Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74

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98. (Ufmg 2003) Seja

Então, o valor de n é a) 5£. b) 8¤. c) 2¦. d) 5¤.

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99. (Ufmg 2005) Um engenheiro estava estudando uma grandeza v em função de outra grandeza u . Ao tentar traçar o gráfico de v em função de u, ele observou que os valores de v tinham uma grande variação e que seria conveniente substituir v por seu logaritmo decimal w = log v. Ele fez, então, um gráfico de w em função de u (Figura 1). Assinale, entre as seguintes alternativas, a ÚNICA em que se relacionam corretamente os valores da grandeza v correspondentes aos valores 10, 20 e 30 da grandeza u.

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100. (Ufpe 2001) Os times A, B e C participam de um torneio. Suponha que as probabilidades de A ganhar e perder de B s達o respectivamente 0,6 e 0,2, e as probabilidades de A ganhar e perder de C s達o respectivamente 0,1 e 0,6. Jogando com B e em seguida com C, qual a probabilidade de A empatar os dois jogos? a) 0,5 b) 0,05 c) 0,06 d) 0,04 e) 0,03

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101. (Ufpr 2002) Uma cidade cuja população vem diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = 30000(0,9) .

Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é correto afirmar:

(01) Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000. (02) Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam uma progressão geométrica. (04) O tempo necessário, em anos, para que a população se reduza à metade da atual é (log1-log2)/log(0,9). (08) P(20) = 0. (16) Em cada período de um ano a população diminui 10%.

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102. (Ufpr 2003) O nível sonoro de um som de intensidade I, medido em decibéis, é calculado pela fórmula 10 x(log I/I³), onde log representa logaritmo na base 10, e I³ é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar:

(01) Se um som tem intensidade I³, então o seu nível sonoro é igual a zero. (02) Um som de 1 decibel tem intensidade igual a 10 x I³. (04) Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a 10000 x I³. (08) Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis. (16) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I, I‚, e Iƒ, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica.

Soma (

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103. (Ufrn 99) Sendo N um número real positivo e b um número real positivo diferente de 1, diz-se que x é o logaritmo de N na base b se, e somente se, bÑ=N. Assinale a opção na qual x é o logaritmo de N na base b. a) N = 0,5

b=2

x = -2

b) N = 0,5

b=2

x=1

c) N = 0,125

b=2

x = -4

d) N = 0,125

b=2

x = -3

104. (Ufrn 99) Sendo V = {x Æ IR | 81Ñ logx¤ - 3Ñ logxª = 0}, tem-se: a) V Å {1/2, 1, 3, 4} b) V Å {1/3, 1/2, 1, 4} c) V Å {1/3, 1/2, 2, 5} d) V Å {1/3, 2, 3, 5}

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105. (Ufrn 2000) Trabalhando com log•³(3)=0,477 e Iog•³(2)=0,301, assinale a opção cujo valor mais se aproxima de log•³(61). a) 1,079 b) 1,255 c) 1,556 d) 1,778

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106. (Ufrn 2003) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log•³ E = 1,44 + 1,5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.

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107. (Ufrs 2000) Se log a = 1,7, log b = 2,2 e log c = 2,7, então a, b, c, nesta ordem, formam uma a) progressão geométrica de razão 10. b) progressão geométrica de razão Ë10. c) progressão geométrica de razão 0,5. d) progressão aritmética de razão 0,5. e) progressão aritmética de razão Ë10.

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108. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, a reta r é o gráfico da função real de variável real definida por y = log(b.aÑ), onde a e b são números reais positivos.

O valor de a/b é a) 0,1. b) 1. c) 10. d) 10£. e) 10¤.

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109. (Ufrs 2004) A soma log2/3 + log3/4 + log4/5 + ... + log19/20 ĂŠ igual a a) -log20. b) -1. c) log2. d) 1. e) 2.

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110. (Ufscar 2001) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático:

h(t) = 1,5 + logƒ(t + 1),

com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e) 2.

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111. (Ufscar 2003) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equação log„x = log‚3, e que cada gota tem volume de 0,3 mL, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de a) 800 mL b) 750 mL c) 724 mL d) 500 mL e) 324 mL

112. (Ufscar 2005) Em notação científica, um número é escrito na forma a.10ö, sendo a um número real tal que 1 ´ a < 10, e b um número inteiro. Considerando log 2 = 0,3, o número 2£¦¦, escrito em notação científica, terá p igual a a) Ë10. b) Ë3. c) Ë2. d) 1,2. e) 1,1.

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113. (Ufsm 2000) Seja x >1. Se x¤ = z e z¥ = y, então o valor de logÖy-logÙx é a) 12/7 b) 120/12 c) 145/12 d) 12 e) 143/12

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114. (Ufsm 2003) Sabe-se que a quantidade de uma substância radioativa presente num material, no instante t > 0, é dada por Q(t) = Q³ eÑ onde Q³ é a quantidade inicial da substância e x é uma constante positiva associada a cada tipo de substância. Então o tempo necessário, para que a quantidade da substância se reduza a metade de sua quantidade inicial, é igual a a) [Øn (1/2)]/x b) (Øn 2)/x c) x/Øn 2 d) xØn 2 e) Øn 2

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115. (Ufsm 2003) Analise as afirmações a seguir. I - Se f(x) = logÛx, com x > 0, A > 0 e A · 1, então f(uv) = f(u) + f(v) II - Se log (x + y) = log x + log y, com x > 1 e y > 1, então log y = log x - log (x - 1) III - Se f(x) = Øn x, com x > 0 e g(x) = eÑ, então f(g(x)) = x Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.

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116. (Ufsm 2004) Carros novos melhoram o escoamento do trânsito e causam menos poluição. Para adquirir um carro novo, um cidadão fez um investimento de R$10.000,00 na poupança, a juros mensais de 1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de

C(n) = 10.000 (1,01)¾ reais

O número mínimo de meses necessário, para que o valor aplicado atinja RS 15.000,00, é Dados: Log•³2 = 0,301 Log•³3 = 0,477 Log•³101 = 2,004

a) 44 b) 46 c) 47 d) 48 e) 50

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117. (Ufv 2002) Se x e y são números naturais tais que log(x£+17)=logy£, então o produto x . y é igual a: a) 72 b) 71 c) 75 d) 74 e) 76

118. (Ufv 2004) A soma das raízes das equações log…(4x - 3) + log…(4x - 7) = 1 e 7Ñ®¢ - 7Ñ = 294 vale: a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

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119. (Unb 2000) A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: R=12+log•³(I), em que R é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m£. No Brasil, a unidade utilizada é o decibel (1/10 do bel), Por exemplo, o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis, enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

(1) A intensidade sonora de um ruído de zero decibel é de 10¢£W/m£. (2) A intensidade sonora dos motores de um avião a jato é o dobro da intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. (3) Uma intensidade sonora maior que 10¥W/m£ produz um ruído que é nocivo ao ouvido humano.

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120. (Unesp 2003) Conhecendo-se os valores aproximados dos logaritmos decimais, log•³13 = 1,114 e log•³15 = 1,176, então, o valor de log•³195 é a) 0,062. b) 0,947. c) 1,056. d) 1,310. e) 2,290.

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121. (Unesp 2006) O nível sonoro N, medido em decibéis (dB), e a intensidade I de um som, medida em watt por metro quadrado (W/m£), estão relacionados pela expressão:

N = 120 + 10 . log•³ (I).

Suponha que foram medidos em certo local os níveis sonoros, N e N‚, de dois ruídos com intensidades I e I‚, respectivamente. Sendo N - N‚ = 20 dB, a razão I/I‚é: a) 10£. b) 10¢. c) 10. d) 10£. e) 10¤.

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122. (Unifesp 2002) O valor de x que é solução da equação

log•³ 2 + log•³ (x + 1) - log•³ x = 1

é a) 0,15. b) 0,25 c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55.

123. (Unifesp 2004) O valor de log‚ [(2.4.6. ... .2n)/n!] é: a) n£. b) 2n. c) n. d) 2 log‚n. e) log‚n.

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124. (Mackenzie 2003)

Das desigualdades acima: a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente II e III são verdadeiras. e) somente I e II são verdadeiras.

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GABARITO

1. a) 22,5 °C b) aproximadamente 15 min

2. a) a = 120 e b = -Øn 2 b) 3 m

3. a) t = 100 b) Se (SB), (SC) e (SD) forem, respectivamente, as áreas hachuradas das figuras B, C e D, então: (SB) + (SC) = log•³a + log•³b = log•³(a.b) = (SD), portanto (SB)+(SC)=SD

4. a) 1.265.000 habitantes

b) x = 115/102 1 ¸ 1,127

5. 38 anos

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6. a) a = 80 000 b = ¢¡Ë(1,5)

b) Observe a figura a seguir:

7. Resolução:

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8. a) A = 50, B = 30 e n = 1/2

b) t = 1,4 meses ou 1 mĂŞs e 12 dias

9. 1/5 ´ x ´ 1

10. S = { 1/6 }

11. a) 362.250 habitantes

b) 2.742.000 habitantes

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12. a) 22 ovelhas

b) A partir de nove anos e meio.

13. a) 64%

b) t = 3 horas.

14. log․‥ nËx = 4/3

15. Dom g = {x Æ R | 1 < x < 2 ou 2 < x < 6} ou Dom g = ] 1, 2 [ U ] 2, 6 [

16. a) n = 2 k = 200

b) E = 900

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17. n = 5

18. — > 0 e — · 8 e — · 16

19. 100

20. abc = 10§ = 1.000.000

21. Sendo V․ o número de cópias vendidas na n-ésima semana, tem-se:

V• = 20 = 2 × 10 V‚ = 40 = 2£ × 10 Vƒ = 80 = 2¤ × 10 ... ... V․ = 2¾ × 10

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Deseja-se saber qual o menor n Æ IN para o qual V + V‚ + Vƒ + ... + V․ µ y 10 (2 + 2£ + 2¤ + ... + 2¾) µ y 2 + 2£ + 2¤ + ... + 2¾ µ y/10

Logo 2 (2¾-1)/(2-1) µ y/10 2¾®¢ - 2 µ y/10 2¾®¢ µ y/10 + 2 n + 1 µ ln (y/10 + 2)/ln 2

n(y) será o menor inteiro igual ou superior a [ln (y/10 + 2)/ln 2] - 1. Obs.: Como o valor de n(y) será arredondado, aceita-se a resposta n(y) = [ln (y/10 + 2)/ln 2] - 1.

22. Observe demonstração a seguir:

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23. a + b.

24. a) 512 b) A partir do dia 13 de abril.

25. a) T/S = 2/3

b) A menor taxa é do "Banco ZIG"

26. 3 < x ´ 25/8

27. a) Sendo logÖy=a e logÙx=t, temos pela definição de logaritmo, que: xò=y e y =x

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Dessas duas igualdades, resulta (y )ò=y, ou ainda, a=1/t. Portanto, logÖy=1/(logÙx).

b) Usando a propriedade logÖy=1/(logÙx) na igualdade 2log․ø‥j.log․÷‥j=log․ø‥j+log․÷‥j, temos: 2{1/[log…(n+i).log…(n-i)]}= =[log…(n-i)+log…(n+i)]/[log…(n+i).log…(n-i)] 2 = log…(n-i)+log…(n+i) 2 = log…[(n-i).(n+i)] 2 = log… (n£ - i£) j£= n£ - i£ n£ = j£ + i£

28. a) 0,9

b) 63 anos

29. a) 1.

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b) 9 horas.

30. a) -2.

b) 900 peças.

31. a) log (‘.’) = 1,2 b) x = 12

32. a) log•³(301) = 2,4786, log•³(303) = 2,4814 e log•³(304) = 2,4829. b) log•³(3,04) = 0,4829, log•³(3010) = 3,4786 e log•³(302) = 2,4800.

33. a) 1968

b) Em 1950 o país tinha aproximadamente 9,61 milhões de habitantes. S = {t Æ R | 32 ´ t ´ 80}.

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125/13 ´ k ´ 17, em milhões de habitantes.

34. a) No instante t = 1, A tem 2 mil habitantes e B tem 3 mil habitantes. No instante t = 7, A tem 6 mil habitantes e B tem 5 mil habitantes.

b) Após 3 anos (t = 3) a população de A é sempre maior que a de B.

35. a) 36%

b) 1,5 hora

36. 12 meses.

37. a) R$ 13.996,80

b) 10 anos

38. [C]

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39. [B]

40. [C]

41. [E]

42. [E]

43. [E]

44. 04 + 08 + 16 = 28

45. [C]

46. [C]

47. [E]

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48. [D]

49. [B]

50. [B]

51. [D]

52. [C]

53. [E]

54. [C]

55. [D]

56. [D]

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57. [C]

58. [B]

59. [A]

60. [B]

61. [B]

62. [E]

63. [E]

64. [C]

65. [D]

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pag.109


66. [C]

67. [E]

68. [D]

69. [C]

70. [A]

71. [D]

72. [E]

73. [C]

74. [A]

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75. [E]

76. [C]

77. [B]

78. [A]

79. [C]

80. [B]

81. 24

82. [D]

83. [B]

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pag.111


84. [C]

85. [C]

86. [A]

87. [E]

88. [C]

89. [D]

90. [A]

91. [C]

92. [C]

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pag.112


93. [C]

94. [B]

95. [C]

96. [D]

97. [A]

98. [D]

99. [D]

100. [C]

101. 02 + 04 + 16 = 22

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102. 01 + 04 + 16 = 21

103. [D]

104. [B]

105. [D]

106. [D]

107. [B]

108. [E]

109. [B]

110. [B]

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pag.114


111. [E]

112. [A]

113. [E]

114. [B]

115. [E]

116. [A]

117. [A]

118. [D]

119. V F V

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pag.115


120. [E]

121. [D]

122. [B]

123. [C]

124. [A]

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LOGARIT2