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GEOMETRIA PLANA: QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

1. (Unesp 91) Seja ABCD um retângulo cujos lados têm as seguintes medidas: åæ=èî=6cm e åè=æî=1,2cm. Se M é o ponto médio de AB, então o raio da circunferência determinada pelos pontos C, M e D mede: a) 4,35 cm b) 5,35 cm c) 3,35 cm d) 5,34 cm e) 4,45 cm

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2. (Fuvest-gv 91) Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitário e ABE um triângulo equilátero. Prove que: a) ‘ = 15°; b) tg‘ = 2 - Ë3

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3. (Fuvest 92) O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b? a) 5/3 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) 1/2

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4. (Unesp 89) Considere as seguintes proposições:

- todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo eqüilátero é isóscele.

Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas.

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5. (Ufpe 95) Na figura a seguir, os retângulos ABCD e A'B'C'D' têm o mesmo centro e lados iguais a 5cm e 9cm.

Qual o diâmetro da maior circunferência contida na região hachurada? a) 4 cm b) 5 cm c) 5Ë2 cm d) 9 cm e) 9Ë2 cm

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6. (Fuvest 97) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de ‘ + ’ é a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220

7. (G1) A razão entre as medidas dois lados de um paralelogramo é 2/3. Se o perímetro desse paralelogramo é 150m, determine a medida dos lados.

8. (G1) Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectivamente, 80°, 110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero

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9. (G1) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes sentenças: a. (

) Todo retângulo é trapézio.

b. (

) Nem todo quadrado é retângulo.

c. (

) Todo paralelogramo é retângulo.

d. (

) Todo losango é paralelogramo.

e. (

) Nem todo trapézio é paralelogramo.

10. (G1) No losango calcule x.

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11. (G1) No paralelogramo a seguir, calcule y.

12. (G1) Se M é ponto médio de åæ, determine x e m(åæ).

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13. (G1) No trapézio retângulo da figura seguinte, determine em cm, a medida x da base maior åæ. (use a tabela trigonométrica)

14. (G1) ABCD é um trapézio de bases åæ e èî. Se D é o dobro de A e C o triplo de B, calcule os ângulos do trapézio.

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15. (G1) Sabendo que ABCD é um paralelogramo, calcule x e y

16. (G1) Sendo ABCD um retângulo, calcule x e y.

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17. (G1) A bissetriz de um losango forma 40° com um dos lados. Determine os quatro ângulos do losango.

18. (G1) Para revestir uma parede de 9m£ são necessários exatamente 400 azulejos quadrados. Quanto mede o lado do azulejo?

19. (G1) Os quadriláteros ABCD e EFGH a seguir são semelhantes. Nessas condições determine: a) razão de semelhança de ABCD e EFGH b) as medidas x, y, z

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20. (G1) As bases de um trapézio medem 8cm e 12cm, respectivamente, e a altura 4cm. A que distância da base menor fica o ponto de encontro das retas-suporte dos lados não-paralelos? a) 8 cm b) 12 cm c) 16 cm d) 4 cm

21. (G1) A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por 2x + 5° e a medida de cada ângulo agudo, por x + 40°. Determine as medidas dos 4 ângulos internos desse losango.

22. (G1) Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de 120° entre si, quais são as medidas dos ângulos que as diagonais formam com os lados do retângulo?

23. (G1) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130°, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos triângulos considerados?

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24. (G1) Uma diagonal de um losango forma 50° com um dos lados. Determine os quatro ângulos do losango.

25. (G1) A diferença entre a medida de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 40°. Calcular a medida dos ângulos internos desse paralelogramo.

26. (G1) Calcule o valor de x:

27. (G1) Um ângulo externo de um paralelogramo mede 38°. Quais são os ângulos desse paralelogramo?

28. (G1) Num losango, a medida do ângulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo.

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Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

29. (G1) Sabendo que os ângulos obtusos de um losango são expressos por x + 80° e 2x + 20°, calcule as medidas dos 4 ângulos desse losango.

30. (G1) Calcule o perímetro dos seguintes retângulos:

31. (G1) Um dos ângulos internos de um paralelogramo mede 72°. Quanto medem os outros ângulos desse paralelogramo?

32. (G1) Num paralelogramo os ângulos obtusos medem o triplo dos ângulos agudos. Calcule os ângulos desse paralelogramo.

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33. (G1) Num paralelogramo, os ângulos agudos medem a metade dos ângulos obtusos. Determine as medidas dos ângulos desse paralelogramo.

34. (G1) A soma das medidas dos ângulos agudos de um paralelogramo é 84°. Quanto medem os ângulos desse paralelogramo?

35. (G1) Num paralelogramo ABCD, a diagonal æî forma com o lado æè um ângulo de 28° e com o lado îè um ângulo de 67°. Calcule os ângulos desse paralelogramo.

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36. (G1) (Universidade Federal de Ouro Preto) Assinale a afirmativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra; b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo; c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.

37. (G1) (FAAP) As bases de um trapézio são 80cm e 60cm e sua altura 40cm. A 10cm da base maior, traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um?

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38. (G1) Em volta de um terreno retangular de 12m por 30m, deve-se construir uma cerca com cinco fios de arame farpado, vendido em rolos de 50m. Quantos rolos devem ser comprados? a) 36 b) 18 c) 12 d) 9 e) 5

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39. (G1) (ITA 89) Dadas as afirmações:

I - Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II - Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III - Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.

Podemos garantir que: a) todas são verdadeiras. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas II e III são verdadeiras. d) apenas II é verdadeira. e) apenas III é verdadeira.

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40. (G1) Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 15cm e 27cm. Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados 3 segmentos paralelos às bases. A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em centímetros,

a) 52 b) 58 c) 59 d) 61 e) 63

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41. (Uff 97) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é: a) 1/3 b) 1/2 c) Ë3/3 d) Ë2/2 e) Ë2

42. (Unicamp 98) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado. a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior. b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm£, calcule o comprimento do lado do quadrado maior

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43. (Ufmg 97) Observe a figura.

Nessa figura, ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O perímetro do quadrilátero PQRS é: a) 11Ë3 b) 22Ë3 c) 11Ë2 d) 22Ë2

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44. (Unicamp 99) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo ‘ e um ângulo obtuso ’. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de ’ seja igual a cinco vezes a medida de ‘ . a) Calcule a medida de ‘, em graus. b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de ‘ e ’ é reto.

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45. (Ufrs 96) Considere as seguintes afirmações sobre um quadrilátero convexo.

I - Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um retângulo. II - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um losango. III - Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado.

Quais estão corretas? a) Apenas II b) Apenas III c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) I, II e III

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46. (Unb 99) Na figura adiante, ABCD é um quadrado de lado de comprimento igual a 1, e os arcos que limitam a região sombreada I são arcos de circunferências centradas nos vértices do quadrado. Representando por x a distância do ponto E ao lado AD, julgue os itens a seguir.

(1) x = 1 - (Ë3/2) (2) O comprimento do arco de círculo FB é igual a ™/12 (3) O comprimento do segmento DE é igual a Ë(2-Ë3) (4) A área da região I é igual a (™/3)+(5/4)-(Ë3).

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47. (Unirio 99)

No cubo anterior, cada aresta mede 6cm. Os pontos x e y são pontos médios das arestas AB e GH. O polígono XCYE é um: a) quadrilátero, mas não é paralelogramo. b) paralelogramo, mas não é losango. c) losango, mas não é quadrado. d) retângulo, mas não é quadrado. e) quadrado.

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48. (Puccamp 99) Na figura a seguir tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4cm.

A medida do lado desse losango, em centímetros, é a) 6Ë3 b) 6 c) 4Ë3 d) 4 e) 2Ë3

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49. (Puc-rio 99) ABCD é uma paralelogramo, M é o ponto médio do lado CD, e T é o ponto de intersecção de AM com BD. O valor da razão DT/BD é: a) 1/2. b) 1/3. c) 2/5. d) 1/4. e) 2/7.

50. (Puc-rio 99) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: a) a£ + b£. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b.

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51. (Fuvest 2000) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

52. (Uerj 2000) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais.

Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado

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53. (Fuvest 2001) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se EP=1, então a é: a) Ë2/(Ë2-1) b) 2/(Ë3-1) c) Ë2/2 d) 2 e) 2/(Ë2-1)

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54. (Ita 2001) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a+r (em cm) é igual a: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

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55. (Ufpe 2001) Seja ABCD um paralelogramo e E um ponto no lado BC. Seja F a interseção da reta passando por A e B com a reta passando por D e E (veja a figura a seguir).

Considerando os dados acima, não podemos afirmar que a) A área de ADE é metade da área de ABCD. b) DCF e ADE têm a mesma área. c) ABE e CDE têm a mesma área. d) ABE e CEF têm a mesma área. e) A área de ABCD é igual à soma das áreas de ADE e DCF.

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56. (Unifesp 2002) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°.

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57. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C.

O raio do círculo mede a) 5 cm. b) 6 cm. c) 8 cm. d) 9 cm. e) 10 cm.

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58. (Ufrs 2004) A opção que apresenta todas as possibilidades do número de pontos de interseção de um círculo com um retângulo é a) 0, 1, 2, 4 ou 8. b) 0, 2, 4, 6 ou 8. c) 0, 1, 3, 5 ou 7. d) 0, 2, 3, 5 ou 7. e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8.

59. (Ueg 2005) Considere a circunferência de centro O e raio R e os triângulos inscritos ABC e BCD, conforme a figura abaixo:

a) Escreva uma relação entre as medidas dos ângulos BAC e BDC. b) Mostre que BC = 2Rsen (BAC).

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60. (Ufmg 2006) Esta figura representa o quadrilátero ABCD:

Sabe-se que - åæ = 1cm e åî = 2 cm; - o ângulo ABC mede 120°; e - o segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC.

Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) Ë3 cm. b) (Ë5)/2 cm. c) (Ë6)/2 cm. d) Ë2 cm.

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61. (G1) Qual é o perímetro do quadrado em que a diagonal mede 3Ë6m? a) 12Ë3 m b) 12Ë6 m c) 8Ë3 m d) 8Ë6 m e) 6Ë m

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GABARITO

1. [A]

2. a) 1 - ângulo EAB = 60° porque o Ð ABE é eqüilátero. 2 - ângulo EAD = 30° pois o ângulo BAD = 90° e o ângulo EAB = 60°. 3 - ADE = AED = 75° pois o Ð AED é isóceles e o ângulo DAE = 30°. 4 - ‘ = ângulo CDE = 15° pois o ângulo CDA = 90° e o ângulo ADE = 75°

b) tg ‘ = tg 15° = tg (45° - 30°) = = (tg45°-tg30°)/(1+tg45° . tg30°) = = (1-Ë3/3)/(1+Ë3/3) = 2 - Ë3

3. [A]

4. [B]

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5. [C]

6. [D]

7. 30 m e 45 m

8. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95°

9. a) V b) F c) F d) V e) V

10. 80°

11. y = 210

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12. x = 5/2

13. x = 9Ë3

14. A = 60°; B = 45°; C = 135° e D = 120°

15. x = 50° y = 130°

16. x = 25° y = 65°

17. 80°, 80°, 100°, 100°

18. O lado do azulejo vale 15 cm.

19. a) 3/2

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b) x = 3; y = 2,4; z = 6

20. [A]

21. 85°, 85°, 95° e 95°

22. 30° e 60°

23. 50°, 65° e 65°

24. 100°, 100°, 80° e 80°

25. 110° e 70°

26. a) 15° b) 32°

27. 142°, 142°, 38°, 38°

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28. 45°, 45°, 135° e 135°

29. 140°, 140°, 40°, 40°

30. a) 52 b) 62

31. 72°, 108° e 108°

32. 45°, 45°, 135° e 135°

33. 60°, 60°, 120° e 120°

34. 42°, 42°, 38°, 138°

35. 85°, 85°, 95°, 95°

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36. [E]

37. 2025 cm£ e 775 cm£

38. [D]

39. [C]

40. [E]

41. [D]

42. a) Seja ABCD o quadrado e M, N, P e Q os pontos médios de seus lados como mostra a figura adiante.

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Os triângulos retângulos AMQ, BNM, CPN e DQP são congruentes pois M, N, P e Q são os pontos médios dos lados do quadrado ABCD. Logo os segmentos QM, MN, NP e PQ são congruentes. Cada ângulo agudo desses triângulos mede 45° e, consequentemente os ângulos internos do quadrilátero MNPQ são ângulos retos. Das considerações anteriores segue que MNPQ é um quadrado.

b) Sendo AM = AQ = a, temos MQ = aË2. Do enunciado (aË2)£ = 72 portanto, a= 6. Logo o lado do quadrado maior mede 12 cm.

43. [D]

44. a) 30°

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b) Sendo š a medida, em graus de um dos ângulos formados pelas bissetrizes CE e DE dos ângulos ‘ e ’, no triângulo ECD, de acordo com o teorema do ângulo externo, tem-se: š = ‘/2 + ’/2 Ì š = (‘+’)/2 Ì š =180°/2 Ì Ì š =90° Ì CÊD é ângulo reto.

45. [A]

46. V F V F

47. [C]

48. [D]

49. [B]

50. [C]

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51. [D]

52. [A]

53. [E]

54. [C]

55. [C]

56. [A]

57. [B]

58. [E]

59. a) Sabendo que os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares, temos:

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BAC + BDC = 180°.

b) 1• Solução

Pela Lei dos Senos, no triângulo BAC, temos:

BC/sen (BAC) = 2RÌ

BC = 2R sen (BAC).

2• Solução

Como BD = 2R, o triângulo BCD é retângulo em C (propriedade do ângulo inscrito). Logo,

sen (BDC) = BC/BD Ì sen (180° - BAC) = BC/2R Ì BC = 2R sen (BAC). c.q.d.

60. [A]

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61. [A]

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GP_QUAD