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GEOMETRIA PLANA: ARCOS E CIRCUNFERÊNCIA

1. (Faap 97) O aumento percentual da área é: a) 4 % b) 1,91 % c) 19,1 % d) 0,4 % e) 1 %

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. (Faap 97) Uma chapa de metal circular, com 1m de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considerar ™=3,14)

2. O perímetro dessa chapa após a dilatação (em metros) é: a) 6,28 b) 6,34 c) 6,48 d) 6,42 e) 6,25

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3. Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com um plano. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A figura consiste de duas esferas S e S‚ que tangenciam o cone em duas circunferências C e C‚ e tangenciam o plano ™ nos pontos F e F‚. Os pontos P, P‚ e P estão, respectivamente, na interseção de uma reta do cone com as circunferências e a Elipse.

A soma das distâncias de P aos pontos F e F‚ é igual a distância a) entre as duas circunferências. b) entre P e P‚. c) entre os centros das duas esferas. d) entre F e F‚.

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4. (Ufrj 2003) Determine, em função de š, o perímetro da figura ABD, obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o setor circular BCD (de centro em C, raio 1 e ângulo š). Justifique.

5. (Unicamp 2003) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60° de latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56°15' de longitude oeste.

a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio do paralelo de 60°? b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60°? [Use 22/7 como aproximação para ™]

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6. (G1) Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Sabendo que os arcos AB, BC e CD valem, respectivamente, 80°, 110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero

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7. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do círculo de raio 2m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

O comprimento do segmento AB é a) 2 m. b) 3 m. c) 3Ë2 m. d) 2Ë5 m. e) 2Ë3 m.

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8. (Uff 2000) A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo isósceles ABC.

Tem-se que: - A soma das áreas dos três círculos é 6™ cm£; - P, Q, R, S e T são pontos de tangência; - BT é perpendicular a AC. Determine a medida do segmento BC.

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9. (Fuvest-gv 91) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135°

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10. (Fuvest 93) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência – e AC é lado de um polígono regular inscrito em –. Sabendo-se que o ângulo AïC mede 18° podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12

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11. (Ufpe 96) Na figura a seguir, o círculo tem raio 1, os arcos AB e CD medem ™/6 e ™/9 respectivamente (ambos orientados no sentido anti-horário). Se ‘ é medido em radianos, calcule (144/™)‘.

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12. (Ufpe 96) Na figura a seguir tem-se um círculo de raio 1 e sobre este círculo, consideram-se arcos AB e CD medindo ™/6 e ™/9 respectivamente (ambos orientados no sentido anti-horário). Se ‘ é a medida em radianos do ângulo AOB, calcule (144/™)‘.

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13. (Pucsp 97) João e Maria costumavam namorar atravessando um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro circular, cujo raio mede 5m. Veja a figura 1. Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro João andou ao longo do caminho que margeava o canteiro (sobre o circulo), cuidando para estar, sempre, à "mesma altura" de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.

Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, for igual a 7,5 = 5 + 5/2 metros, o comprimento do arco de circunferência PJ, percorrido por João, será igual a a) 10.™/3 m b) 2.™ m c) 5.™/3 m

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d) 2.™/3m e) ™/3 m

14. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir

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15. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir

16. (G1) Um ângulo inscrito é formado por uma corda e um diâmetro. O arco subentendido pela corda é o dobro do arco compreendido entre os lados. Determine o ângulo inscrito.

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17. (Mackenzie 96) O perímetro da figura não pontilhada a seguir é 8™, onde os arcos foram obtidos com centros nos vértices do quadrado cujo lado mede: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

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18. (G1) (Fuvest 84) Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é 2km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros? a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764

19. (Cesgranrio 92) No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e também a medida do ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é: a) uma circunferência. b) um arco de circunferência. c) a união de dois arcos de circunferências. d) uma reta. e) a união de duas retas paralelas.

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20. (Cesgranrio 90) Em um círculo de raio 5 está inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma dos ângulos opostos BÂD e BðD, podemos afirmar que vale: a) 5 x 180°. b) 3 x 180°. c) 2 x 180°. d) 180°. e) 90°.

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21. (Cesgranrio 91) O gráfico a seguir representa o resultado da eleição para governador do Estado do Rio de Janeiro.

Brizola: 47% Brancos e nulos: 22% Bittar: 14% Nelson: 10% Ronaldo: 6% Jussara: 1%

Sabendo que, no gráfico, a votação de cada candidato é proporcional à área do setor que o representa, podemos afirmar que o ângulo central do setor do candidato Bittar é de: a) 14°.

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b) 25째. c) 50째 24'. d) 57째 36'. e) 60째 12'.

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22. (Uff 97) A figura a seguir, representa duas circunferências C e C' de mesmo raio r.

Se o segmento MN é o lado comum de hexágonos regulares inscritos em C e C', então o perímetro da região sombreada é: a) 10 ™ r / 3 b) ™ r / 3 c) 2 ™ r / 3 d) 4 ™ r e) 2 ™ r

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23. (Ufmg 99) Observe a figura.

Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos AïD e AÊD medem, respectivamente, 20° e 85°. Assim sendo, o ângulo CïD mede a) 25° b) 35° c) 30° d) 40°

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24. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede: a) 60° b) 70° c) 80° d) 100° e) 110°

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25. (Ufmg 2000) Observe a figura.

Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo de centro O e raio 2 e o ângulo PÂB mede 15°. Nesse caso, a distância do ponto P à reta AB é de a) (Ë3)/2 b) 1 c) Ë2 d) Ë3

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26. (Fatec 2000) Na figura a seguir, o triângulo APB está inscrito na circunferência de centro C.

Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é igual a a) 23°45' b) 30° c) 60° d) 62°30' e) 66°15'

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27. (Mackenzie 2001)

O ângulo ‘ da figura mede: a) 60° b) 55° c) 50° d) 45° e) 40°

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28. (Ufes 2001) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo AðB e as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40°, a medida ‘ do ângulo BÂC é

a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

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29. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.

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30. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando ™ = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130

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31. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

32. (G1) (FUVEST 86) Um triângulo tem 12cm de perímetro e 6cm£ de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo?

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33. (Pucmg 2004) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, e a medida de sua área é 12™m£; o comprimento do cateto BC é igual ao comprimento da circunferência que tem AC como diâmetro. A medida do raio dessa circunferência, em metros, é:

a) Ë5 b) Ë6 c) Ë7 d) Ë8

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34. (Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

Nestas condições, calcule: a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita. b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

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35. (G1) (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:

a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°

36. (G1) Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 20 cm. Use ™ = 3,14.

37. (G1) Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 2,4 cm? Use ™ = 3,14.

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38. (G1) Na figura a seguir, PA e PB são segmentos tangentes à circunferência.

Determine: a) as medidas dos segmentos PA e PB. b) o perímetro do quadrilátero PAOB, sabendo que o raio do círculo vale 7.

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39. (G1) Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm.

40. (G1) Se uma circunferência tem centro O e raio 2 cm, escreva se são internos, pertencentes ou externos à circunferência cada um dos pontos dados a seguir. a) Um ponto X que dista 1,5 cm de O. b) Um ponto Y que dista 2,0 cm de O. c) Um ponto Z que dista 2,5 cm de O.

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41. (G1) Observe a figura e classifique em (V) se verdadeiro ou (F) se falso. a) o segmento de reta OA é diâmetro. ( b) o segmento de reta OB de raio. (

)

)

c) o segmento de reta BC é diâmetro. ( d) o segmento de reta BC é corda. (

) )

e) o segmento de reta BD é diâmetro. (

)

42. (G1) Sendo d a distância de uma reta ao centro de uma circunferência de raio r, determine as posições relativas nos casos a seguir: a) r = 1 cm e d = 2 cm b) r = 5 cm e d = 2 cm c) r = 2 cm e d = 2 cm

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43. (G1) Sendo r e r‚ os raios de duas circunferências C e C‚ respectivamente, e d a distância entre os centros, dê as posições relativas em cada caso: a) r = 2 cm, r‚ = 5 cm e d = 10 cm b) r = 3 cm, r‚ = 7 cm e d = 4 cm c) r = 5 cm, r‚ = 5 cm e d = 8 cm d) r = 4 cm, r‚ = 3 cm e d = 7 cm e) r = 3 cm, r‚ = 2 cm e d = 0

44. (G1) Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são tangentes às circunferências:

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45. (G1) (Escola Técnica Federal - RJ) Quando o comprimento de uma circunferência aumenta de 8cm para 14cm o raio da circunferência aumenta de: a) ™/6 cm b) 3/™ cm c) ™/3 cm d) 1,5 cm e) 3 cm

46. (G1) (FUVEST 88) Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando aproximadamente 20km da Praça da Sé. a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia? b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em habitantes por km£) Supondo que lá residam 12 milhões de pessoas, adote o valor ™=3

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47. (G1) (ESPM 96) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20cm. O comprimento da circunferência é: a) ™Ë2 cm b) 5™Ë2 cm c) 10™Ë2 cm d) 20™Ë2 cm e) 30™Ë2 cm

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48. (Fei 97) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K = R/r?

a) (2Ë3)/3 b) (1+2Ë3)/3 c) (2+2Ë3)/3 d) (3+2Ë3)/3 e) (1+3Ë3)/3

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49. (Ufrs 97) Seja a figura

Sabendo-se que AD=12cm; AE=15cm e AB=8cm; pode-se afirmar que a medida do raio do círculo é a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm e) 6 cm

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50. (Mackenzie 97) O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e área (8Ë3) / 3. Então o comprimento da circunferência inscrita no trapézio é: a) 2™ b) ™ c) ™ / 2 d) 3™ e) 4™

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51. (Fuvest 98) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC=x. a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos? b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?

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52. (Unb 98) Ana e Maria estão se divertindo em uma roda-gigante, que gira em sentido anti-horário e possui oito lugares equidistantes. Inicialmente, a roda encontra-se na posição indicada na figura, estando Maria na parte inferior e Ana à meia altura entre as partes inferior e superior da roda. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

(1) A roda deve girar 90° para que Ana alcance o topo. (2) Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical, após a roda ter girado 225° a partir do momento inicial. (3) Se a distância entre os pontos de sustentação das cadeiras de Ana e de Maria for igual a 4Ë2 m, então a circunferência que contém esses pontos e tem centro coincidente com a da roda-gigante possui diâmetro maior que 9 m.

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53. (Ufv 99) Aumentando-se 1m no raio r de uma circunferência, o comprimento e a área, respectivamente, aumentam:

a) 2™m e 2 (r + 1) ™ m£ b) 2™m e (2r + 1) ™ m£ c) 2™£m e (2r + 1) ™ m£ d) 2™m e (2r£ + 1) ™ m£ e) 2™m e (r£ + 1) ™ m£

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54. (Uel 99) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a seguir.

As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra. O comprimento dessa correia, em centímetros, é a) (54™/3) + 10Ë3 b) (52™/3) + 16Ë3 c) (52™/3) + 20Ë3 d) (58™/3) + 20Ë3 e) (59™/3) + 24Ë3

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55. (Puccamp 2000) Na figura 1, tem-se uma vista superior de dois jardins de uma praça. Na figura 2, têm-se esboços dos projetos desses jardins. Um dos jardins é formado a partir de dois círculos, de centros em A e em B. O outro tem a forma de um polígono regular. Em seus cálculos, use ™ = 3,1 e Ë3 = 1,7.

Deseja-se cercar com uma grade o canteiro reservado aos crisântemos. Para isso, é preciso obter seu perímetro, que é igual a a) 8,6 m b) 9 m c) 10,8 m d) 11,2 m e) 12 m

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56. (Ufg 2000) Considere duas circunferências de mesmo centro, uma de raio r e a outra de raio R, sendo r < R. O segmento AB, representado na figura abaixo, é tangente à circunferência menor. Sejam A• a área da região exterior ao círculo menor e interior ao maior, e A‚ a área de um círculo cujo diâmetro é igual ao segmento AB. Uma das áreas, citadas acima, é maior que a outra? Justifique sua resposta.

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57. (Fuvest 2001) Numa circunferência, c é o comprimento do arco de ™/6 radianos e c‚ é o comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a razão c/c‚ é igual a ™/6 multiplicado por: a) 2 b) Ë(1+2Ë3) c) Ë(2+Ë3) d) Ë(2+2Ë3) e) Ë(3+Ë3)

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58. (Uerj 2002) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: - colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; - em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.

Veja as figuras adiante.

Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

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a) x + y = ™¢ b) x + y = ™£ c) y - x = ™£ d) y - x = ™¢

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59. (Ufpe 2002) A figura a seguir ilustra um triângulo e sete semicircunferências com diâmetros de mesma medida. As semicircunferências adjacentes se interceptam em um dos seus extremos, que também é ponto do triângulo. Se o perímetro do triângulo é 28, qual o raio das semicircunferências? a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1

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60. (Pucpr) AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de um círculo de raio 1dm. Calcular a área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC. Resposta em dm£: a) ™ + 2 b) ™ - 2 c) ™ + 1 d) ™ - 1 e) ™

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61. (Ufpi 2000) Desejamos marcar um terreno na forma de um setor circular com 50m de perímetro. O raio do círculo (correspondente ao setor) para que a área do terreno seja máxima deverá ser: a) 10 m b) 10,5 m c) 20 m d) 12,5 m e) 30 m

62. (Uflavras 2000) Um automóvel percorreu uma distância de 125,6km. Sabendo-se que os pneus têm 0,5m de diâmetro, o número de voltas dadas por um pneu foi aproximadamente: a) 251.200 b) 125.600 c) 80.000 d) 40.000 e) 12.560

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63. (Ufrrj 2000) Uma pista de skate foi construída, conforme a figura a seguir, onde AB representa uma semicircunferência. Em um torneio realizado nesta pista, após uma sensacional manobra, um dos participantes despencou do ponto C, estatelando-se no chão. Se a área da pista hachurada é 75,36 m£, qual foi a altura da queda? (Obs: ™ =3,14)

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64. (Ufc 2002) A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r.

Obs.: despreze a espessura da correia.

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65. (Pucrs 2003) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte superior é formada por um semicírculo, e a parte inferior, por um retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base b. A medida da altura total da janela é

a) 3b/2 b) 5b/2 c) b/2 d) 2b e) b

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66. (Ufc 2004) Na figura ao lado, a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é:

a) 1/3 b) (™+4)/4™ c) ™/4 d) (™+4)/2™ e) 2

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67. (Unifesp 2004) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.

O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: a) ™/2 m. b) ™ m. c) 3™/2 m. d) 2™ m. e) 3™ m.

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68. (Ufrj 2005) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

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GABARITO

1. [B]

2. [B]

3. [B]

4. Sabemos que åæ = tg š, åè = sec š e îè = 1. Como o comprimento do arco BD mede š radianos, temos o perímetro p(š) da figura dado por p(š) = tg š + š + sec š - 1.

5. a) 3200 km b) 28160/7 km

6. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95°

7. [E]

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8. æè = 10 + 2Ë2 cm

9. [A]

10. [D]

11. 20

12. 4

13. [A]

14. x = 75°

15. x = 20°

16. O ângulo inscrito vale 30°

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17. [D]

18. [C]

19. [C]

20. [D]

21. [C]

22. [A]

23. [A]

24. [A]

25. [B]

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26. [E]

27. [C]

28. [C]

29. [C]

30. [A]

31. [B]

32. 1 cm

33. [B]

34. a) 6(Ë3) - 2™ unidades de área

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b) 4â&#x201E;˘ unidades de comprimento

35. [B]

36. A = 314 cmÂŁ

37. 15,072 cm

38. a) PA = PB = 15 u.c. b) 44 u.c.

39. a) x = 20 cm b) AN = 3 cm

40. a) Interno b) Pertencentes c) Externo

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41. a) F b) V c) F d) V e) V f) F

42. a) Exterior b) Interior c) Tangente

43. a) Exterior b) Tangente interna c) Secante d) Tangente externa e) ConcĂŞntricas

44. a) x = 15

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b) x = 2

45. [B]

46. a) 40™ km ¸ 125,6 km b) 10.000 h/km£

47. [C]

48. [D]

49. [C]

50. [A]

51. a) 1 < x < Ë2

b) x = Ë2 ou 0 ´ x < 1

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52. V V F

53. [B]

54. [D]

55. [E]

56. Não, as áreas são iguais.

57. [C]

58. [A]

59. [D]

60. [D]

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61. [D]

62. [C]

63. H = 8m + 0,5m = 8,5m

64. C = 2r (4 + ™)

65. [B]

66. [D]

67. [A]

68. Seja S a distância total percorrida pela roda. Temos que S = n . C, onde n indica o número de voltas e C representa o comprimento da circunferência. Calculando C, encontramos:

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C = ™ . d = ™ . 10/100 = ™/10 m. E como queremos o menor valor inteiro de n para o qual S > 10, vem: n . (™/10) >10 Ì n > 100/™ ë n > 31,83. Portanto, o menor número de voltas completas procurado é 32.

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GP_A_C