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ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA INDUTIVA OU REFERENCIAL

Probabilidade A História como contexto: Os problemas de contagem são objetos de reflexão desde os primeiros tempos. A origem desta reflexão foram os jogos de azar pois, os grandes apostadores, querendo aumentar suas chances de ganho, procuravam os estudiosos da época. A necessidade de se efetuarem extensas contagens exigiu uma sistematização no processo de contar; assim, surgiram sistemas de agrupamentos simples (hieróglifos egípcios), talvez o mais antigo sistema de numeração, os multiplicativos (chinês-japonês tradicional), os cifrados (grego, conhecido como jônico ou alfabético, cujas origens situam-se por volta de 450 a.C.) e o posicional ( o nosso sistema). Acaso, o que significa? Platão (427 a.C.-347 a.C.) defendeu que o princípio da causalidade das coisas torna impossível para alguma coisa surgir sem causa. Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) sugere que o acaso resulta da interação de causas distintas, do encontro do que não tem causa. Santo Tomás de Aquino ( 1227 – 1247) exemplifica: o homem que cava uma cova tem ma razão; quem enterra um tesouro em um certo lugar, também tem uma razão; mas, o homem que cava uma cova exatamente onde está o tesouro, não tem uma razão, é puro acaso.

Conceitos básicos: variável aleatória e variáveis discretas e contínuas.  Experimento Aleatório Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “ é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: 1. que, apesar do favoritismo, ele perca; 2. que, como pensamos, ele ganhe; 3. que empate. Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Definição: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Estatística

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ESTATÍSTICA  Espaço Amostral A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Definição: é o conjunto formado por todos os possíveis resultados que possam acontecer.  Evento Um evento é sempre definido por uma sentença. Definição: dizemos que é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Observações: 1. Cada um dos elementos de S (espaço amostral) que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. 2. Se E (evento) = S (espaço amostral) é chamado de EVENTO CERTO. 3. Se E  S (está contido) e E é um conjunto unitário é chamado EVENTO ELEMENTAR. 4. Se E = { } (vazio) é chamado EVENTO IMPOSSÍVEL.

Exemplos: 1. Ao jogar uma moeda o espaço amostral obtido é: { Ca, Co }

2. Ao jogar duas moedas o espaço amostral obtido é: { (Ca,Co),(Ca,Ca),(Co,Ca),(Co,Co) }.

3. Ao jogas três moedas o espaço amostral obtido é: { (Ca,Ca,Ca),(Ca,Ca,Co),(Ca,Co,Ca),(Ca,Co,Co),(Co,Co,Co),(Co,Ca,Ca),(Co,Ca,Co),(Co,Co ,Ca)}. 4. No lançamento de um dado, onde S = { 1,2,3,4,5,6 }, temos: a) Obter um número par na face superior. A = { 2,4,6 } b) Obter um número menor ou igual a 6 na face superior. B = { 1,2,3,4,5,6 } c) Obter o número 4 na face superior. C={4} d) Obter um número maior que 6 na face superior. D={} Estatística

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ESTATÍSTICA Observações:  

A é um evento de S. B é um evento certo de S ( B = S ).

 

C é um evento elementar de S ( C é unitário ). D é um evento impossível de S ( D = { } ).

Probabilidade

Chamamos de probabilidade de um evento A  A  S  o número real P(A), tal que:

P( A) 

n( A) n( S )

onde: n(A) = número de elementos de A n(S) = número de elementos de S ou seja, é a razão existente entre o evento e o espaço amostral. Exemplos: 1) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: S = { Ca, Co } A = { Ca } P(A) =

1 2

Esse resultado nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior. 2) Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular: a) a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”. S = { 1,2,3,4,5,6 } A = { 2,4,6 } P(A) =

3 1  = 50% 6 2

b) a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. S = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 1,2,3,4,5,6 } P(A) =

6  1  100% 6

c) a probabilidade do evento C “obter um número maior que 6 na face superior”. S = { 1,2,3,4,5,6 } Estatística

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ESTATÍSTICA C={ } P(A) =

0  0  0% 6

Exercícios Propostos – Lista 13 – Individual 1. Uma caixa contém 30 bolas de madeira e todas com o mesmo tamanho, seno 18 azuis e 12 amarelas. Retirando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser azul? E a probabilidade de ser amarela? 2. No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos: a) os números são iguais b) a soma dos números é igual a 9 c) a soma dos números é menor que 4 d) a soma dos números é 8 e um dos dados apresenta o número 6

3. Durante um dia de eleição, quatrocentas pessoas foram pesquisados sobre o candidato em que votariam. O resultado da pesquisa está no quadro:

homem mulher

Candidato A

Candidato B

Candidato C

100 70

80 95

20 35

Escolhendo uma pessoa aleatoriamente, qual a probabilidade dela: a) ter votado no candidato C? b) ter votado no candidato A, sabendo que é mulher?

4. Considerando a extração, ao acaso, de 1 (uma) carta de um baralho de 52 cartas. Dê exemplo de dois eventos: a) Impossíveis (elabore e resolva) b) Possíveis (elabore e resolva)

5. Numa gaveta há 3 canetas que escrevem em azul, 2 em preto, 4 em verde e 3 que não possuem carga. Escolhendo, ao acaso, uma dessas canetas, ache a probabilidade de que a caneta: a) escreva b) não escreva c) escreva em azul Estatística

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ESTATÍSTICA

6. Uma roleta tem 37 posições numeradas 0, 1, 2, 3, 4, ..., 36. Suponhamos que a bola caia em cada posição com probabilidades iguais. Qual é a probabilidade de a bola cair em: a) um número menor que 5 b) um número maior que 30

7. De um baralho de 52 cartas, tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja: a) uma dama b) uma dama de paus c) uma carta de ouros d) uma figura

8. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 20. Retirando-se uma bola, ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer: a) número ímpar b) número maior que 7 c) número múltiplo de 5 d) número divisível por 3

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ESTATÍSTICA

Evento Complementar Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação :

p  q  1  q  1 p .

Dizemos que q é o evento complementar de p. 

Regra da Adição

P( A)  P( B)  P( A  B) = P( A  B)  União de Eventos Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A 180 lêem o jornal B 60 lêem os jornais A e B Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja: a) leitor dos jornais A e B ?

P( A  B) 

60 6  470 47

b) leitor do jornal A ou do jornal B ?

P( A)  P( B)  P( A  B) =

P( A  B) 

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25 18 6   47 47 47

37 47

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ESTATÍSTICA

Eventos Simultâneos

P( A  B)  P( A)  P( B) Considere o lançamento de uma moeda e um dado, qual a probabilidade de se obter o resultado (cara,5)? E a probabilidade de se obter (coroa, número par) ?

PC ,5 

1 12

Observe que dos doze resultados possíveis de se obter, metade apresenta cara. Dessa metade, apenas a sexta parte apresenta 5. Podemos indicar assim:

PC ,5  P(C )  P(5)  PK ,2, K ,4, K ,6 

1 1 1   2 6 12

3 1  12 4

Do mesmo modo, metade dos resultados possíveis apresenta coroa. E, dessa metade, somente três sextos apresentam número par.

PK , par   P( K )  P( par ) 

1 1 1   2 2 4

Regra do Produto ou Probabilidade Condicional

P( B / A) 

P  B  A , P  A

então

P( B  A)  P( A)  PB / A

Dizemos que a ocorrência do evento A está condicionada à ocorrência do evento B e indicamos A/B Exemplos: 1. No lançamento de dois dados, um branco e um vermelho. Considere os eventos: a) a soma dos números obtidos é menor que 7 b) sair o número 4 em, pelo menos, um dado

S = 36 possíveis resultados Estatística

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ESTATÍSTICA A = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)} B= { (1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(6,4) }

4 P( A  B) 36 4 P A / B     11 11 P( B) 36 Outra maneira de pensar: Como estamos procurando a soma dos números obtidos menor que 7 e ainda que, em pelo menos, um dado tenhamos o número quatro, nosso espaço amostral é B e nosso evento é um subconjunto de B cuja soma seja menor que 7. Podemos então raciocinar que : P A / B  

4 11

2. Numa caixa há cinco cartões numerados: 1, 2, 3, 4, 5. Retirando-se dois cartões, sucessivamente, sem reposição do primeiro, determine a probabilidade de que os dois cartões retirados sejam ímpares. A = { 1, 3, 5 } então P( A) 

3 5

Como a segunda está condicionada a primeira e não houve reposição teremos que

P( B / A) 

2 1  4 2

Sabemos que P( B / A) 

P( B  A) 

Estatística

P  B  A , P  A

então

P( B  A)  P( A)  PB / A

3 1 3   5 2 10

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ESTATÍSTICA

Exercícios Propostos – Lista 14 – Individual 1. Numa urna existem 5 bolas de cor azul, 3 bolas de cor rosa e 2 bolas de cor marrom. Extraindo sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa qual a probabilidade de retirar: c) duas bolas azuis ? d) duas bolas da mesma cor ? e) uma bola rosa na 2ª extração ? f) nenhuma bola vermelha nas duas extrações ? Dica: Faça a árvore da distribuição para entender melhor.

2. De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?

3. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas sejam, respectivamente, branca, preta e verde ?

4. Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam vôlei e 20 jogam futebol e vôlei. Escolhendo ao acaso um dos alunos, qual a probabilidade de ele: a) jogar vôlei b) jogar futebol c) jogar vôlei e futebol d) jogar vôlei ou futebol e) jogar somente futebol f) não praticar nenhum desses esportes 5.Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ocorrer um rei ou uma carta de espadas?

6.Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja: a) par Estatística

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ESTATÍSTICA b) ímpar c) par e menor que 15 d) múltiplo de 4 ou 5

7. Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade do naipe da primeira ser de paus e o da segunda ser de copas?

8.Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma cara? 9. Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino ? 10. Um grupo de 30 pessoas apresenta a composição: 20 italianos e 10 portugueses; 15 homens e 15 mulheres; 5 casados e 25 solteiros. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja um homem casado e português.

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E.CAPITULO08  

E ES ST TA AT TÍ ÍS ST TI IC CA A Página 1 de10 Estatística Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação...

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