Soluções do Nível 2 pérolas e seu peso fica sendo (g + 0,6 p) × a + | {z }
peso das grandes
0,4 p × b | {z }
=
peso das pequenas
1,7(g a + p b) | {z }
170%
.
do peso inicial
Assim, as duas hipóteses podem ser resumidas no sistema (0,3) g a + (0,7) g b + p b = 0,4(g a + p b) , g a + (0,6) p a + (0,4) p b = 1,7(g a + p b).
Para resolvê-lo, começamos multiplicando ambas equações por 10 e simplificamos, obtendo ( (7 g + 6 p) b = g a , (7 g − 6 p) a = −13 p b. 7g +6p a −13 p = = , resultando g b 7g − 6p 49 g 2 − 36 p2 + 13 p g = 0 . Para fatorar essa expressão, desdobramos Eliminando as incógnitas a e b, podemos escrever
13 p g = 49 p g − 36 p g e obtemos 0 = 49 g 2 + 13 p g − 36 p2 = 49 g 2 + 49 p g − 36 p2 − 36 p g = g (49 g − 36 p) + p (49 g − 36 p) = (g + p)(49 g − 36 p) , de modo que (g + p)(49 g − 36 p) = 0 , ou seja, 49 g = 36 p . Como 36 e 49 são primos entre si e p e g são inteiros positivos, segue que g é um múltiplo de 36 e p um de 49, isto é, g = 36 k e p = 49 k ′ , para certos inteiros k e k ′ maiores do que 1. Decorre que 36 × 49 k ′ = 36 p = 49 g = 49 × 36k, ou seja, k = k ′ , de modo que g = 36 k, p = 49 k e g + p = 85 k. Como g + p < 500, o colar só pode ter 85, 170, 255, 340 ou 425 pérolas. 119. Mulheres votantes – A opção correta é (b). 52 40 e, delas, a fração que é votante é . Logo, A fração de mulheres na população é 100 100 a fração de mulheres votantes é 52 40 52 × × 100% = × 100% = 0,208 × 100% = 20,8%. 100 100 250 120. Amigos do século XX – Os dois amigos nasceram no mesmo mês e no mesmo ano, com uma diferença de 7 dias, de modo que um nasceu no dia d/m/a e o outro no dia (d + 7)/m/a. Com essas datas formamos os números (d)(m)(a) e (d + 7)(m)(a). Sabemos que (d + 7)(m)(a) = (d)(m)(a) + 7 × 10k , OBMEP 2010
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