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Numerische Mathematik Serie 7

Numerische Mathematik Serie 7 MĂŠtrailler Denis denism@student.ethz.ch

18.04.2012


Numerische Mathematik Serie 7 Plan

Plan

Plan

Tipps Aufgabe 1 : Poisson Gleichung Aufgabe 2 : Klaviersaite Aufgabe 3 : Gleichungsseystem


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 1 : Poisson Gleichung

Poisson Gleichung ∇u(x, y ) =

∂2u ∂x 2

2

∂ u 2 in G + ∂y 2 = −x − y u = 2 auf δG

5-Punkte-Differenzenverfahren (Seite 146) 2 u(E ) [ h2 1+a

+

u(N) 1+b

+

u(W 0 ) a(1+a)

+

u(S 0 ) b(1+b)

− ( 1a + b1 u(P))] = fij


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 1 : Poisson Gleichung

I

I

I

5-Punkte-Differenzenverfahren auf inneren Punkte (4 Gleichungen)      u1 v1 M11 M12 M13 M14 M21 M22 M23 M24  u2  v2       M31 M32 M33 M34  u3  = v3  u4 v4 M41 M42 M43 M44 nach u lösen


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 2 : Klaviersaite

Klaviersaite

utt = c 2 uxx Numerische Approximation mit symmetrischen Differenzenquotienten (Seite 149) 1 (˜ u k+1 ∆t 2 j

− 2˜ ujk + u˜jk−1 ) =

c2 (˜ uk ∆x 2 j+1

k ) − 2˜ ujk + u˜j−1


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 2 : Klaviersaite

I

I

k+1 T u1k+1 , ..., u˜N−1 u˜k+1 := (˜ )   −2 1   1 −2 1   A :=   . . . . . .  . . .

1 k+1

k−1

+ (2I + λ2 A)˜ uk

I

⇒ u˜

I

∆t λ = c ∆x Anfangsbedingungen :

I

I I

= −˜ u

−2

u˜0 = (ϕ(x1 ), ..., ϕ(xN−1 ))T ⇒ ϕ(x) = u(0, x) u˜0 + ∆t(ψ(x1 ), ..., ψ(xN−1 ))T ⇒ ψ(x) = ∂u ∂t (0, x)


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 3 : Gleichungsseystem

LR Zerlegung 

I

I

I

 2 −1 −3 1 −10 A= 6 −2 −7 8

2 −1 −3

2 −1 −3

2 −1 −3

6 1 −10

3 4 −1

3 4 −1

−2 −7

−1 −8 5

−1 −2 3

8

    2 −1 −3 1 0 0 1 0 R = 0 4 −1 L =  3 0 0 3 −1 −2 1


Numerische Mathematik Serie 7 Tipps Aufgabe 3 : Gleichungsseystem

I

LR = A

I

Ax = b ist äquivalent zu LRx = b

I

c := Rx

I

Lc = b nach c auflösen

I

Rx = c

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