Issuu on Google+

Çàäà÷è ê êóðñó ¾Ìåòîäû îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé¿ c Àðòàìîíîâ

Í.Â., êàôåäðà ÝÌÌÀÝ

20 ìàÿ 2013 ã.

Ñîäåðæàíèå 1

Çàäà÷è îïòèìèçàöèè

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1 2 4 5

1.6 2

3

Áåçóñëîâíàÿ îïòèìèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îäíîðîäíûå è âûïóêëûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îïòèìèçàöèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ðàâåíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . Îïòèìèçàöèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè íåðàâåíñòâà. Çàäà÷à âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9

Äèíàìè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ

12

2.1 2.2

12 13

Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ñåòåâîå ïëàíèðîâàíèå

1

17

Çàäà÷è îïòèìèçàöèè

Âíèìàíèå: Âî âñåõ ðàñ÷åòíûõ çàäà÷àõ îáÿçàòåëüíî ïðîâåðÿòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà!

1.1

Áåçóñëîâíàÿ îïòèìèçàöèÿ

Çàâîä ïðîèçâîäèò òðè âèäà òîâàðîâ è ïðîäàåò èõ ïî öåíàì P1 = 2, P2 = 1 è P3 = 3 (öåíû ýêçîãåííû). Èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà ðàâíû 1.

C(Q1 , Q2 , Q3 ) = 2Q21 + Q22 + 2Q23 + Q2 Q3 (Q1 , Q2 , Q3  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). Íàéäèòå îïòèìàëüíûå îáúåìû ïðîèçâîäñòâà. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýêçîãåííîñòü öåí? 1


Çàâîä ïðîèçâîäèò äâà âèäà òîâàðîâ, (îáðàòíûå) ôóíêöèè ñïðîñà íà êîòîðûå èìåþò âèä P1 = 50 − 2Q1 + Q2 è P2 = 40 − 2Q2 + Q1 (öåíû ýíäîãåííû). Ôóíêöèÿ èçäåðæåê ðàâíà C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22 2.

(Q1 , Q2  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). Íàéäèòå îïòèìàëüíûå îáúåìû ïðîèçâîäñòâà. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýíäîãåííîñòü öåí? Çàâîä ïðîèçâîäèò òðè âèäà òîâàðîâ è ïðîäàåò èõ ïî öåíàì P1 = 1, P2 = 1 è P3 = 2 (öåíû ýêçîãåííû). Èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà ðàâíû C(Q1 , Q2 , Q3 ) = Q21 + Q22 + 2Q23 + Q2 Q3 (Q1 , Q2 , Q3  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). 3.

1. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýêçîãåííîñòü öåí? 2. Áóäåò ëè ôóíêöèÿ èçäåðæåê îäíîðîäíîé? Åñëè äà, òî êàêîé ñòåïåíè è äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñòåïåíè îäíîðîäíîñòè. 3. Ïîñòðîéòå ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ îáúåìîâ ïðîèçâîäñòâ. 4. Ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 5. Ïðèâåäèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 6. Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ ïðîèçâîäñòâåííóþ ïðîãðàììó. 1.2

Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ

Ïóñòü çàäàíî n íàáëþäåíèé (òî÷åê íà ïëîñêîñòè) {xi , yi }ni=1 . Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè y = β0 + β1 x 4.

1. ïðèìåíèâ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ âûâåäèòå ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ (îïòèìàëüíîé) ïðÿìîé, íàèìåíåå óêëîíÿþùåéñÿ îò çàäàííûõ íàáëþäåíèé (òî÷åê íà ïëîñêîñòè); 2. âûâåäåòå ôîðìóëû äëÿ îöåíîê βb0 è βb1 êîýôôèöèåíòîâ îïòèìàëüíîé ïðÿìîé; 3. ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ âåðíî

cov(x, c y) , βb1 = d Var(x)

βb0 = y¯ − βb1 · x¯.

Ïóñòü çàäàíî n íàáëþäåíèé (òî÷åê íà ïëîñêîñòè) {xi , yi }ni=1 . Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè y = βx 5.

1. ïðèìåíèâ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ âûâåäèòå ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ (îïòèìàëüíîé) ïðÿìîé, íàèìåíåå óêëîíÿþùåéñÿ îò çàäàííûõ íàáëþäåíèé (òî÷åê íà ïëîñêîñòè); 2. âûâåäåòå ôîðìóëû äëÿ îöåíêè βb êîýôôèöèåíòà îïòèìàëüíîé ïðÿìîé. 2


A company sets dierent prices for particular DVD system in eight dierent regions of the country. The accompanying table shows the numbers of units sold and corresponding price (in $100)

Â?6.

Sales P rice

420 5.5

380 6.0

350 6.5

400 6.0

440 5.0

380 6.5

450 4.5

420 5.0

a) Plot these data and run linear regression of Sales on P rice. b) What eect would you expect a $100 increase in price to have on sales? c) Let Revenue is equal P rice∗Sales. Plot the graph of the predicted Revenue against P rice. Could you derive some conclusion on žoptimalÂż price? For computation use MS Excel. ˆ üùòß OLS-ÎÜüíêà êÎýôôèÜèüíòà Ă­Ă ĂŞĂŤĂŽĂ­Ă  ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y Ă­Ă  x Â?7. Ă?óùòß β åüç êÎíùòàíòÝ , Ă  γˆ  OLS-ÎÜüíêà êÎýôôèÜèüíòà Ă­Ă ĂŞĂŤĂŽĂ­Ă  â ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè x Ă­Ă  y åüç êÎíùòàíòÝ. Ă‚ĂĽĂ°Ă­ĂŽ Íè äÍÿ ýòèþ ÎÜüíÎê ðàâüíùòâÎ

γˆ =

1 ? βˆ

�óùòß βb1 üùòß OLS-ÎÜüíêà êÎýôôèÜèüíòà íàêÍÎíà ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y íà x ù êÎíùòàíòÎÊ, à γ b1  OLS-ÎÜüíêà êÎýôôèÜèüíòà íàêÍÎíà ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè x íà y ù êÎíùòàíòÎÊ. �ÎêàÌèòü, áòÎ

Â?8.

Îł b1 =

1 �⇒ corr(x, d y) = ¹1. βb1

�óùòß βb0 , βb1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y íà x, à βe0 , βe1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè (c1 y) íà (c2 x) (c1 , c2 6= 0). �ÎêàÌèòü, áòÎ c1 b βe1 = ¡ β1 , βe0 = c1 βb0 . c2 �9.

Ă?óùòß βb0 , βb1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y Ă­Ă  x, Ă  βe0 , βe1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè (y + c1 ) Ă­Ă  (x + c2 ). Ă?ÎêàÌèòü, áòÎ βe1 = βb1 , βe0 = βb0 + c1 − c2 βb1 . Â?10.

�óùòß βb0 , βb1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y íà x, à γ b0 , γ b1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè (y+cx) íà x (c 6= 0). Êàê ùâÿçàíÝ βb0 , βb1 è γ b0 , γ b1 b0 , βb1  OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y íà x, à γb0 , γb1 �12. �óùòß β

Â?11.

 OLS-ÎÜüíêè êÎýôôèÜèüíòÎâ ÍèíüÊíÎÊ ôóíêÜèè y − yÂŻ Ă­Ă  x − x ÂŻ. Ă?ÎêàÌèòü, áòÎ b Îłb0 = 0 è Îłb1 = β1 . 3


Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ôóíêöèþ y = β0 +β1 x1 +β2 x2 . Ïîêàæèòå, ÷òî ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

13.

β0 + β1 · x¯1 + β2 · x¯2 = y¯ d 1 )β1 + cov(x Var(x c 1 , x2 )β2 = cov(x c 1 , y) d 2 )β2 = cov(x cov(x c 1 , x2 )β1 + Var(x c 2 , y) Íàéäèòå ôîðìóëû äëÿ OLS-îöåíîê βˆ0 , βˆ1 è βˆ2 . 14.

Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ôóíêöèþ y = β1 x1 + β2 x2 .

1. Âûâåäèòå ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ OLS-îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ. 2. Íàéäèòå ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ OLS-îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ. 1.3

Îäíîðîäíûå è âûïóêëûå ôóíêöèè

Êàêèå èç ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè? Åñëè ôóíêöèÿ îäíîðîäíà, òî íàéäèòå å¼ ñòåïåíü îäíîðîäíîñòè (a, b, c > 0) √ f = ax + by f = ax2 + by 2 + cxy f = cxa y b f = b c1 x a + c2 y a f = c max{ax, by} f = c min{ax, by} f = a ln x + b ln y f = a ln x + by 15.

16. Ôèðìà ïðîèçâîäèò äâà âèäà òîâàðîâ è ðåàëèçóåò èõ ïî öåíàì P1 è P2 (öåíû ýêçîãåííû). Ôóíêöèÿ èçäåðæåê èìååò âèä

C(Q1 , Q2 ) = cQα1 Qβ2 ,

α, β ≥ 0 α + β < 1

1. Áóäåò ëè ôóíêöèÿ èçäåðæåê îäíîðîäíîé? Åñëè äà, òî äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåïðåòàöèþ ñòåïåíè îäíîðîäíîñòè. 2. Âûïèøèòå ôóíêöèþ ïðèáûëè π(Q1 , Q2 ). Áóäåò ëè îíà îäíîðîäíîé? Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåïðåòàöèþ ïîëó÷åííîãî âûâîäà. 17.

Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà β ôóíêöèÿ

f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 4x22 + x23 − βx1 x3 áóäåò ñòðîãî âûïóêëîé? Ñòðîãî âîãíóòîé? Îòâåò îáîñíóéòå. Áóäåò ëè ýòà ôóíêöèÿ îäíîðîäíîé? Åñëè äà, òî êàêîé ñòåïåíè. 18.

Èññëåäóéòå íà âûïóêëîñòü/âîãíóòîñòü ôóíêöèè

f f f f

= cK α Lβ = a ln K + b ln L = ax2 + by 2 + cxy = P1 x + P2 y + P3 z − x2 − y 2 − 2z 2 − xy − xz

f = cxα y β z γ

α, β > 0 a, b > 0 a, b 6= 0 P1 , P2 , P3 > 0 α, β, γ > 0

4


1.4

Îïòèìèçàöèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ðàâåíñòâà

19.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max f (x, y)

g(x, y) = C

(1)

1. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (1) 2. Óêàæèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (1). 3. Óêàæèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (1). 20.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

min f (x, y)

g(x, y) = C

(2)

1. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (2) 2. Óêàæèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (2). 3. Óêàæèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (2). 21.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max f (x, y, z)

g(x, y, z) = C

(3)

1. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (3) 2. Óêàæèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (3). 3. Óêàæèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (3). 22.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max f (x, y, z)

g(x, y, z) = C1

h(x, y, z) = C2

(4)

1. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (4) 2. Óêàæèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (4). 3. Óêàæèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè (4). Íàéòè ýêñòðåìóì ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u = x2 y ïðè áþäæåòíîì îãðàíè÷åíèè 2x + 3y = 90. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïàðàìåòðîâ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè. 23.

Äëÿ ïðîèçâîäñòâà ïðåäïðèÿòèå çàêóïàåò äâà âèäà ðåñóðñîâ ïî öåíàì P1 = 10 è P2 = 20, áþäæåò ñîñòàâëÿåò $1200. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäïðèÿòèÿ ðàâ√ íà f (x, y) = xy . Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ðåñóðñîâ ñ öåëüþ îáåñïå÷åíèÿ îïòèìàëüíîé ïðîèçâîäñòâåííîé ïðîãðàììû. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè è åå ïàðàìåòðîâ. 24.

5


Äëÿ ïðîèçâîäñòâà ïðåäïðèÿòèå çàêóïàåò äâà âèäà ðåñóðñîâ ïî öåíàì Px = 5 è Py = 2 (öåíû ýêçîãåííû), áþäæåò ñîñòàâëÿåò $200. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ √ ïðåäïðèÿòèÿ ðàâíà f (x, y) = 2 xy .

25.

1. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýêçîãåííîñòü öåí? 2. Áóäåò ëè ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îäíîðîäíîé? Åñëè äà, òî êàêîé ñòåïåíè è äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñòåïåíè îäíîðîäíîñòè. 3. Ïîñòðîéòå ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîèçâîäñòâà. 4. Ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 5. Ïðèâåäèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 6. Êàêîå êîëè÷åñòâî ðåñóðñîâ íåîáõîäèìî çàêóïèòü? 7. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà. √ xy . Ðåñóðñû çà26. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäïðèÿòèÿ ðàâíà f (x, y) = êóïàþòñÿ ïî öåíàì Px è Py . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

min(Px x + Py y) f (x, y) = Q0 1. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè 2. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 3. Ñôîðìóëèðóéòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 4. Íàéäèòå ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è. 5. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà. Êàê (ýêîíîìè÷åñêè) ìîæíî îáúÿñíèòü, ÷òî ìíîæèòåë�� Ëàãðàíæà íå çàâèñèò òî îáúåìà âûïóñêà Q0 ? Ïîòðåáèòåëüñêàÿ êîðçèíà ñîñòîèò èõ òðåõ òîâàðîâ, öåíà íà êîòîðûå ðàâíû P1 , P2 , P3 . Äîõîä ðàâåí I . Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ ðàâíà 27.

U (q1 , q2 , q3 ) = ln q1 + ln q2 + ln q3 . 1. Ïîñòðîéòå ìîäåëü îïòèìèçàöèè äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé ïîòðåáèòåëüñêîé êîðçèíû. 2. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 3. Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ îïòðåáèòåëüñóþ êîðçèíó. 4. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà. 28.

 óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ðàññìîòðèòå ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè

U (q1 , q2 , q3 ) = a ln q1 + b ln q2 + c ln q3 6

a, b, c > 0


1.5

Îïòèìèçàöèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè íåðàâåíñòâà. Çàäà÷à âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ

29.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max f (x, y, z)

g(x, y, z) ≤ C

x, y, z ≥ 0

(5)

1. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ çàäà÷à (5) áóäåò çàäà÷åé âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ? 2. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (5). 3. ×òî îçíà÷àåò óñëîâèå Ñëåéòåðà äëÿ çàäà÷è (5)? 4. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà áóäó äîñòàòî÷íûìè? 30.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

min f (x, y, z)

g(x, y, z) ≤ C

x, y, z ≥ 0

(6)

1. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ çàäà÷à (6) áóäåò çàäà÷åé âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ? 2. Íàïèøèòå ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà â çàäà÷å (6). 3. ×òî îçíà÷àåò óñëîâèå Ñëåéòåðà äëÿ çàäà÷è (6)? 4. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà áóäó äîñòàòî÷íûìè? 31.

Áóäåò ëè çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè

min(2x2 + 5y 2 ) x + y > 10 çàäà÷åé âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ? Îòâåò îáîñíóéòå. Åñëè äà, òî íàéäèòå åå ðåøåíèå. 32.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max(7x + 4y − 4x2 − 6y 2 + xy) 3x + 5y 6 70 x, y > 0 1. Áóäåò ëè ýòà çàäà÷à îïòèìèçàöèè çàäà÷åé âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ? Îòâåò îáîñíóéòå 2. Çàïèøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé Êóíà-Òàêêåðà. 3. Áóäóò ëè ðåøåíèÿ ñèñòåìû Êóíà-Òàêêåðà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 7


Çàâîä ïðîèçâîäèò äâà âèäà òîâàðîâ, öåíà íà êîòîðûå ðàâíû P1 = 50 è P2 = 40. Ôóíêöèÿ èçäåðæåê ðàâíà

33.

C(Q1 , Q2 ) = 2Q21 + Q22 (Q1 , Q2  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). Íàéäèòå îïòèìàëüíûå îáúåìû ïðîèçâîäñòâà, ìàêñèìèçèðóþùèå âûðó÷êó, åñëè èçäåðæêè íå äîëæíû ïðåâûøàòü $20. Çàâîä ïðîèçâîäèò äâà âèäà òîâàðîâ, (îáðàòíûå) ôóíêöèè ñïðîñà íà êîòîðûå èìåþò âèä P1 = 50 − 2Q1 è P2 = 40 − 2Q2 (öåíû ýíäîãåííû). Ôóíêöèÿ èçäåðæåê ðàâíà C(Q1 , Q2 ) = Q1 +Q2 (Q1 , Q2  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). Ïðîèçâîäèòåëü îïåðåäåëèë, ÷òî èçäåðæêè íå äîëæíû ïðåâûøàòü 100. 34.

1. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýíäîãåííîñòü öåí? 2. Áóäåò ëè ôóíêöèÿ èçäåðæåê îäíîðîäíîé? Îòâåò îáîñíóéòå. Åñëè äà, òî êàêîé ñòåïåíè è äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñòåïåíè îäíîðîäíîñòè. 3. Ïîñòðîéòå ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ îáúåìîâ ïðîèçâîäñòâà. 4. Ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 5. Ïðèâåäèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 6. Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ ïðîèçâîäñòâåííóþ ïðîãðàììó. Çàâîä ïðîèçâîäèò äâà âèäà òîâàðîâ, öåíà íà êîòîðûå ðàâíû P1 = 2 è P2 = 4 (öåíû ýêçîãåííû). Ôóíêöèÿ èçäåðæåê ðàâíà C(Q1 , Q2 ) = Q21 +2Q22 (Q1 , Q2  îáúåìû ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ). Ïðîèçâîäèòåëü îïðåäåëèë, ÷òî âûðó÷êà íå äîëæíà áûòü ìåíüøå 20.

35.

1. Êàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ýêçîãåííîñòü öåí? 2. Áóäåò ëè ôóíêöèÿ èçäåðæåê îäíîðîäíîé? Åñëè äà, òî êàêîé ñòåïåíè è äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñòåïåíè îäíîðîäíîñòè. 3. Ïîñòðîéòå ìîäåëü äëÿ íàõîæäåíèÿ îáúåìîâ ïðîèçâîäñòâà, îïòèìèçèðóþùèõ èçäåðæêè. 4. Ïðèâåäèòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 5. Ïðèâåäèòå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 6. Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ ïðîèçâîäñòâåííóþ ïðîãðàììó. (ConsumptionLeisure choice). Ýêîíîìè÷åñêèé àãåíò èìååò äâà ¾òîâàðà¿: ¾îòäûõ¿ l (leisure, â ÷àñàõ) è ïîòðåáëåíèå x. Ïóñòü w  ïî÷àñîâàÿ îïëàòà è P  öåíà ïîòðåáëåíèÿ. Àãåíò ðàñïîëàãàåò îáùèì âðåìåíåì H , êîòîðîå îí ìîæåò òðàòèòü íà ðàáîòó è íà îòäûõ, è òàêæå èìååò ôèêñèðîâàííûé äîõîä M (non-labor income). 36

8


Ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ýêîíîìè÷åñêîãî àãåíòà U (x, l). Ðàññìîòðèì çàäà÷ó çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max U (x, l) P x + wl ≤ wH + M 0≤l≤H x≥0 1. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷è îïòèìèçàöèè. 2. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. 3. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ýêîíîìè÷åñêîãî àãåíòà ðàâíà

U (x, l) = x + c ln l

c > 0.

Íàéäèòå ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè. 4. Äàéòè èíòåðïðåòàöèþ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè. Ýêîíîìè÷åñêèé àãåíò ïîòðåáëÿåò äâà òîâàðà è åãî ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ðàâíà U (x, y) = y + c ln x ( c > 0). Öåíû íà òîâàðû ðàâíû P1 è P2 , äîõîä ðàâåí I . 37.

1. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ïîòðåáèòåëüñêîé êîðçèíå. 2. Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ ïîòðåáèòåëüñêóþ êîðçèíó. 3. Äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè. 1.6

Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå

38.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ

max(3x + 5y) x+y 65 2x + y 6 8 x, y > 0 1. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî, îïðåäåëÿåìîå îãðàíè÷åíèÿìè çàäà÷è 2. Êàê îïðåäåëèòü ãðàôè÷åñêè îïòèìàëüíîå ðåøåíèå? 3. Íàéäèòå ðåøåíèå çàäà÷è? 4. Íàïèøèòå äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó è íàéäèòå åå ðåøåíèå (ãðàôè÷åñêè) 5. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ äâîéñòâåííîé çàäà÷å. 9


39.

Ðåøèòå çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

max(3x1 + 4x2 + 2x3 + x4 ) 2x1 + x2 + 5x3 + 5x4 ≤ 40 x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 30 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 Ôèðìà ïðîèçâîäèò òðè òîâàðà è èñïîëüçóåò äëÿ ïðîèçâîäñòâà äâà ðåñóðñà. Íîðìà çàòðàò ðåñóðñîâ, êîëè÷åñòâî ðåñóðñîâ è ïðèáûëü îò êàæäîé åäèíèöû òîâàðà ïðèâåäåíû â òàáëèöå 40.

Ðåñóðñ 1 Ðåñóðñ 2 Äîõîä

Òîâàð 1 2 4 3

Òîâàð 2 1 2 8

Òîâàð 3 5 3 2

Êîëè÷åñòâî ðåñóðñà 100 120

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íîðìû çàòðàò ïîñòîÿííû è öåíû ýêçîãåííû. i) Ïîñòðîéòå ìîäåëü îïòèìèçàöèè ïðîèçâîäñòâà. ii) Ïîñòðîéòå äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó. iii) Íàéäèòå îïòèìàëüíîå ïðîèçâîäñòâî. iv) Íàéäèòå ðåøåíèå äâîéñòâåííîé çàäà÷è è äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ðåøåíèÿ. Ôèðìà ïðîèçâîäèò òðè òîâàðà è èñïîëüçóåò äëÿ ïðîèçâîäñòâà äâà ðåñóðñà. Ïî ïëàíó ïåðâîãî òîâàðà íóæíî ïðîèçâåñòè íå ìåíåå 100 åäèíèö, âòîðîãî  íå ìåíåå 120, òðåòüåãî  íå ìåíåå 150 åä. Íîðìà çàòðàò ðåñóðñîâ è öåíà íà ðåñóðñû ïðèâåäåíû â òàáëèöå 41.

Òîâàð 1 Òîâàð 2 Òîâàð 3 Öåíà

Ðåñóðñ 1 2 4 3 3

Ðåñóðñ 2 1 3 5 6

Ïëàí 100 120 150

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íîðìû çàòðàò ïîñòîÿííû è öåíû ýêçîãåííû. i) Ïîñòðîéòå ìîäåëü îïòèìèçàöèè çàòðàò ðåñóðñîâ. ii) Ïîñòðîéòå äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó. iii) Íàéäèòå îïòèìàëüíãî êîëè÷åñòâî ðåñóðñîâ. iv) Íàéäèòå ðåøåíèå äâîéñòâåííîé çàäà÷è è äàéòå ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ðåøåíèÿ. 10


Ôèðìà ¾Ìîñêîâèÿ¿ çàêëþ÷èëà êîíòðàêò ñ êîìïàíèåé ÀËÐÎÑÀ íà ïîêóïêó ïðîìûøëåííîãî çîëîòà äëÿ åãî ðåàëèçàöèè â ïÿòè ãîðîäàõ â îáúåìå: Ñàìàðà  80 êã, Ìîñêâà  260 êã, Ðîñòîâ-íà-Äîíó  100 êã, Ñàíêò-Ïåðåðáóðã  140 êã, Íèæíèé Íîâãîðîä  120 êã. Êîìïàíèÿ ÀËÐÎÑÀ ðàïîëàãàåò òðåìÿ ìåñòîðîæäåíèÿìè: ¾Ìèðíîå¿, ¾Óäà÷íûé¿ è ¾Ïîëåâîå¿, êîòîðûå ïëàíèðóþò çà ãîä âûðàáîòàòü ñîîòâåòñòâåííî 200, 250 è 250 êã çîëîòà. Ïîñòðîéòå ìîäåëü îïòèìèçàöèè ôðàõòà ñïåöèàëèçèðîâàííîãî òðàíñïîðòà, îáåñïå÷èâàþùåãî ïîëíîå óäîâëåòâîðåíèå çàÿâîê ïîêóïàòåëÿ, ïðè çàäàííîé ñèñòåìå òàðèôîâ (íà 1 êã) 42.

¾Ìèðíîå¿ ¾Óäà÷íûé¿ ¾Ïîëåâîå¿

Ñàìàðà 7 13 5

Ìîñêâà 9 25 11

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 15 8 6

Ñ.-Ïá. 4 15 20

Í. Íîâãîðîä 18 5 12

43 (11 áàëëîâ). Ìîñêîâñêèé ôèëèàë ¾The Coca-Cola Company¿, âûïóñêàþùåé íàïèòêè ïðèáëèçèòåëüíîãî ðàâíîãî ñïðîñà (Sprite, Coca-Cola, Fanta), ñêëàäèðóåìûõ â ðàçíûõ ìåñòàõ, äîëæåí ïîñòàâèòü ñâîþ ïðîäóêöèþ â ÷åòûðå êðóïíûõ ñóïåðìàðêåòà: ¾Àøàí¿, ¾Êàðóñåëü¿, ¾Ñåäüìîé Êîíòèíåíò¿ è ¾Àðáàòñêèé¿. Êàæäàÿ óïàêîâêà ñîäåðæèò 12 áàíîê åìêîñòüþ 0.33 ëèòðà. Òàðèôû íà äîñòàâêó, îáúåìû çàïàñîâ è çàêàçû íà ïðîäóêöèþ ïðèâåäåíû â òàáëèöå.

Ñêëàäû Coca-Cola Sprite Fanta Çàêàçû, óï.

¾Àøàí¿ 6 5 9 150

Ñóïåðìàðêåòû ¾Êàðóñåëü¿ ¾7 Êîíòèíåò¿ 4 9 7 8 4 6 250 150

¾Àðáàòñêèé¿ 5 6 7 350

Çàïàñû, óï. 400 300 200

Ïîñòðîéòå îïòèìèçàöèîííóþ ìîäåëü ïëàíà ïîñòàâîê íàïèòêîâ â ñóïåðìàðêåòû. (11 áàëëîâ). Êîììåð÷åñêîå ïðåäïðèÿòèå ðåàëèçóåò òðè ãðóïïû òîâàðîâ A, B è C. Ïëàíîâûå íîðìàòèâû çàòðàò ðåñóðñîâ (íà 1 òûñ ðóáëåé òîâàðîîáîðîòà), äîõîä îò ïðîäàæè òîâàðîâ (íà 1 òûñ. ðóáëåé òîâàðîîáîðîòà) ïðèâåäåíû â òàáëèöå 44

Ðåñóðñû Ðàáî÷åå âðåìÿ ïðîäàâöîâ Ïëîùàäü òîðãîâûõ çàëîâ Ïëîùàäü ñêëàäñêèõ ïîìåùåíèé Äîõîä

Íîðìû çàòðàò A B C 0.1 3 0.4 0.05 0.2 0.02 3 0.02 2 3 1 4

Îáúåì ðåñóðñîâ 1100 120 8000

Ïîñòðîéòå ìîäåëü îïòèìèçàöèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîãî äîõîäà. Ïîñòðîéòå äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó.

11


45 (11 áàëëîâ). Äëÿ ïîääåðæàíèÿ íîðìàëüíîé æèçíåäåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêó åæåäíåâíî íåîáõîäèìî ïîòðåáëÿòü 118ã áåëêîâ, 56ã æèðîâ, 500ã óãëåâîäîâ, 8ã ìèíåðàëüíûõ ñîëåé. Êîëè÷åñòâî ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â 1êã èìåþùèõñÿ â ìàãàçèíå ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ, à òàêæå èõ ñòîèìîñòü ïðèâåäåíû â òàáëèöå

Áåëêè, ã Æèðû, ã Óãëåâîäû, ã Ìèí. ñîëè, ã Ñòîèìîñòü, êã

ìÿñî 180 20 0 9 1.9

ðûáà 190 3 0 10 1.0

Ñîäåðæàíèå â 1 êã ïðîäóêòîâ ìîëîêî ìàñëî ñûð êðóïà 30 70 260 130 40 865 310 30 50 6 20 650 7 12 60 20 0.28 3.4 2.9 0.56

êàðòîôåëü 21 2 200 70 0.1

Íîðìû 118 56 500 8

Òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü ìîäåëü îïòèìèçàöèè ñóòî÷íîãî ðàöèîíà, ñîäåðæàùåãî íå ìåíåå ñóòî÷íîé ïîòðåáíîñòè ÷åëîâåêà â áåëêàõ, æèðàõ, óãëåâîäàõ, ìèíåðàëüíûõ ñîëÿõ è îáåñïå÷èâàþùåãî ìèíèìàëüíóþ ñòîèìîñòü ïðîäóêòîâ. Òðè íåôòåïåðåðàáàòûâàþùèõ çàâîäà ñ åæåäíåâíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòüþ 6, 5 è 8 ìëí. ò áåíçèíà ñíàáæàþò òðè áåíçîõðàíèëèùà, åæåäíåâíî ïîòðåáíîñòü êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 4, 8 è 7 ìëí. ò áåíçèíà ñîîòâåòñòâåííî. Áåíçèí òðàíñïîðòèðóåòñÿ â áåíçîõðàíèëèùà ïî áåíçîïðîâîäó. Ñòîèìîñòü òðàíñïîðòèðîâêè ñîñòàâëÿåò 0.3 ðóá çà 1000 ò íà îäèí êì äëèíû áåíçîïðîâîäà.  òàáëèöå ïðèâåäåíû ðàññòîÿíèÿ â êì ìåæäó çàâîäàìè è õðàíèëèùàìè. Îòìåòèì, ÷òî ïåðâûé íåôòåïåðåðàáàòûâàþùèé çàâîä íå ñâÿçàí áåíçîïðîâîäîì ñ òðåòüèì áåíçîõðàíèëèùåì. 46.

Çàâîäû 1 2 3 Âìåñòèìîñòü õðàíèëèùà

Õðàíèëèùà 1 2 3 120 180  300 100 80 200 250 120 4 8 7

Îáúåì 6 5 8

Ïîñòðîéòå îïòèìèçàöèîííóþ ìîäåëü òðàíñïîðòèðîâêè áåíçèíà.

2 2.1 1

Äèíàìè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå

(Cake eating problem). Ðà��ñìîòðèì çàäà÷ó äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ

max((U (C0 ) + βU (C1 ) + β 2 U (W2 )) Wt+1 = Wt − Ct t = 0, 1 Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé U (C) = ln C è ëèíåéíîé U (C) = C ïîëåçíîñòè ïðè çàäàííîì W0 . 12


2

(Cake eating problem). Ðàññìîòðèì çàäà÷ó äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ

max(U (C0 ) + βU (C1 ) + β 2 U (C2 ) + β 3 U (W3 )) Wt+1 = Wt − Ct t = 0, 1, 2 Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé U (C) = ln C è ëèíåéíîé U (C) = C ïîëåçíîñòè ïðè çàäàííîì W0 . 3.

Ðàññìîòðèì ìîäåëü óïðàâëåíèÿ äåïîçèòîì íà âðåìåííîì ãîðèçîíòå T = 2

max(U (C0 ) + βU (C1 ) + β 2 U (A2 )) At+1 = (1 + r)(At − Ct ) t = 0, 1 Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé U (C) = ln C è ëèíåéíîé U (C) = C ïîëåçíîñòè ïðè çàäàííîì A0 . (Ìîäåëü ðîñòà). Ïóñòü ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä F (K) = aK . Ðàññìîòðèì ìîäåëü ýêîíîìè÷åñêîãî ðîñòà íà âðåìåííîì ãîðèçîíòå T = 2 4

max(U (C0 ) + βU (C1 ) + β 2 U (C2 )) Kt+1 = F (Kt ) − Ct t = 0, 1, 2 Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé U (C) = ln C è ëèíåéíîé U (C) = C ïîëåçíîñòè ïðè çàäàííîì K0 . 2.2

Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå

Íàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùèõ çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñ ôèêñèðîâàííûìè êîíöàìè Z 1 x˙ 2 dt → min x(0) = 0 x(1) = 1 0 Z 1 (x˙ 2 + x2 )dt → min x(0) = 0 x(1) = 1 Z0 1 (x − x˙ 2 )dt → max x(0) = x(1) = 0 Z 1 0 (1 − x2 − x˙ 2 )dt → max x(0) = 0 x(1) = 0 5.

0

6.

Íàéäèòå ðåøåíèå çàäà÷è Áîëüöà Z 1 (x˙ 2 + x)dt + x2 (0) → min 0

13


Ôóíêöèÿ èçäåðæêè ôèðìû èìååò âèä (Q(t)  îáúåì ïðîèçâîäñòâà â ìîìåíò âðåìåíè t) C(t) = aQ(t) + bQ˙ 2 (t), a, b > 0.

7.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

Z

T

C(t)dt → min

Q(0) = 0 Q(T ) = QT

0

1. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ ôóíêöèè èçäåðæåê. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. Äëÿ ôóíêöèè èçäåðæåê èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè Z T e−rt C(t)dt → min Q(0) = 0 Q(T ) = QT r > 0

8.

0

1. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 2. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 3. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 4. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. Ôóíêöèÿ èçäåðæêè ôèðìû èìååò âèä (Q(t)  îáúåì ïðîèçâîäñòâà â ìîìåíò âðåìåíè t) ˙ C(t) = aQ2 (t) − bQ(t), a, b > 0.

9.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

Z

T

e−rt C(t)dt → min

Q(0) = 0 Q(T ) = QT

r>0

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè èçäåðæåê. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 14


3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 10.

Ôóíêöèÿ ñïðîñà íà íåêîòîðûé òîâàð èìååò âèä

Qd (t) = aP (t) + bP˙ (t) + c Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè T

Z

e−rt P (t)Qd (t)dt → max

P (0) = P0

P (T ) = PT

r>0

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè ñïðîñà. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 11.

Ôóíêöèÿ ñïðîñà íà íåêîòîðûé òîâàð èìååò âèä

Qd (t) = a1 P (t) + a2 P˙ (t), ôóíêöèÿ èçäåðæåê ðàâíà

C(Q) = b1 Q2 + a2 Q + a3 Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè

Z

T

P (t)Qd (t) − C(t)dt → max

P (0) = P0

P (T ) = PT

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè ñïðîñà è ôóíêöèè èçäåðæåê. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 15


5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 12.

Ôóíêöèÿ ñïðîñà íà òîâàð èìååò âèä

Qd (t) = a1 P (t) + a2 à ôóíêöèÿ èçäåðæåê èìååò âèä

C(Q) = b1 Q˙ 2 (t) + b2 Q(t) Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè Z T P (t)Qd (t) − C(t)dt → max

P (0) = P0

P (T ) = PT

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè ñïðîñà è ôóíêöèè èçäåðæåê. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 13.

âèä

Ôóíêöèÿ èçäåðæåê è îáðàòíàÿ ñïðîñà ôóíêöèÿ íà íåêîòîðûé òîâàð èìåþò

C(Q) = a1 + b1 Q + c1 Q˙ 2

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè Z 10  e−rt P (t)Q(t) − C(Q) dt → max

P (t) = a2 − b2 Q(t)

Q(0) = 0 Q(10) = Q10

r>0

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè èçäåðæåê è ôóíêöèè ñïðîñà. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Ïóñòü a1 = 50, b1 = 5.68 ,c1 = 1, a2 = 4, b2 = 0.06, r = 0.1, Q10 = 15. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 5. Áóäåò ëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè? Îòâåò îáîñíóéòå. 16


14. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ (ìàêðî)ôóíêöèÿ Y (K) çàâèñèò îò òîëüêî êàïèòàëà K(t) (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàòðàòû òðóäà L ïîñòîÿííû). Ñîãëàñíî êåéíñèàíñêîé ìîäåëè ïîòðåáëåíèå C(t) = Y (K)−I(t), ãäå èíâåñòèöèè I(t) åñòü ñóììà ÷èñòûõ èíâåñòèöèé è çàìåùåíèÿ I(t) = In (t) + ρK(t) = K˙ + ρK,

(ρ > 0  êîýôôèöèåíò çàìåùåíèÿ). Ïîëåçíîñòü åñòü ôóíêöèÿ îò ïîòðåáëåíèÿ U = U (C). Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè Z T U (C(t))e−rt → max K(0) = K0 K(T ) = KT . 0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè èíâåñòèöèé. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. Ïðîèçâîäñòâåííàÿ (ìàêðî)ôóíêöèÿ Y (K) = αK çàâèñèò îò òîëüêî êàïèòàëà K(t) (α > 0 è ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàòðàòû òðóäà L ïîñòîÿííû). Èíâåñòèöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê I(t) = K˙ + β + ρK . Ïîëåçíîñòü åñòü ôóíêöèÿ îò ïîòðåáëåíèÿ U = U (C) = ln C . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè Z T U (C(t))e−rt dt → max K(0) = K0 K(T ) = KT r > 0. 15.

0

1. Äàéòå èíòåïðåòàöèþ ôóíêöèè èíâåñòèöèé. 2. Äàéòå èíòåðïðåòàöèþ çàäà÷å îïòèìèçàöèè (èíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèå Ýéëåðà  Ëàãðàíæà äëÿ íàõîæäåíèå ýêñòðåìàëè. 4. Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà  Ëàãðàíæà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. 16.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ðàññìèòðèòå ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè U (C) = C γ , 0 < γ ≤ 1.

3

Ñåòåâîå ïëàíèðîâàíèå

1.

Ïîñòðîèòü ñåòåâîé ãðàôèê è îïðåäåëèòü êðèòè÷åñêèé ïóòü. Ðàáîòà Ïðåäøåñòâóþùèå ðàáîòû Âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîòû

A  3

Ïîñòðîéòå äèàãðàììó Ãàíòà. 17

B  4

C A 2

D B, C 5

E A 6

F A 1

G D, E 4


Êàê ðàñïðåäåëèòü ðàáîòû, íåîáõîäèìûå äëÿ âûïîëíåíèÿ ïðîåêòà, åñëè êîìïàíèÿ ìîæåò åäèíîâðåìåííî âûäåëèòü íå áîëåå 6 ÷åëîâåê. Îïðåäåëèòå ïîòðåáíîñòü â ïåðñîíàëå â ïåðèîä âûïîëíåíèÿ ðàáîò ïðîåêòà. Äàííûå î ðàáîòàõ, èõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëèòåëüíîñòè è ïîòðåáíîñòè â ïåðñîíàëå óêàçàíû â òàáëèöå. 2.

Ðàáîòû Ïðåäøåñòâóþùèå ðàáîòû Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû Ïîòðåáíîñòü â ïåðñîíàëå

À  5 5

Á À 5 3

 À 4 4

à À 2 2

Ä Á 4 5

Å Â 2 4

Æ Ä, Ã 8 2

Ïîñòðîéòå ñåòåâóþ ìîäåëü è îïðåäåëèòå, êàêèå ðàáîòû äîëæíû áûòü çàâåðøåíû òî÷íî â ñðîê. 3.

Ðàáîòà

Ïðåäøåñòâóþùàÿ ðàáîòà Âðåìÿ âûïîëíåíèÿ

A  3

B  2

C B 1

D A 4

E A 5

F C, D, E 6

G C, D, E 4

H F 4

K G, H 3

Ïîñòðîéòå ñåòåâóþ ìîäåëü è îïðåäåëèòå, c êàêèõ ðàáîò ìîæíî âðåìåííî èñïîëüçîâàòü ñîòðóäíèêîâ íà äðóãèõ ðàáîòàõ è íà êàêèõ óñëîâèÿõ.

4.

Ðàáîòà

Ïðåäøåñòâóþùàÿ ðàáîòà Âðåìÿ âûïîëíåíèÿ

A  2

B  4

C  5

D B 2

18

E B 3

F B 3

G C, E 1

H A, D 6

K A, D 4

L H, F 5


Задачи по методам опимальных решений