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FÍSICA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Es un procedimiento que permite comprobar la consistencia dimensional de cualquier ecuación. 1. Ecuación Dimensional Es una igualdad que exhibe las dimensiones de las magnitudes fundamentales de un sistema de unidades. Es de la forma: [X] = La.Mb.Tc… [X] se lee “dimensión de la magnitud derivada X” a,b,c, …números enteros o fracciones de enteros.

04. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea: 2 K.F = m.v donde: F=Fuerza, m=masa, v=velocidad. ¿Qué magnitud representa K? a) Longitud d) Fuerza

05. En la siguiente fórmula física:

KX 2 BP 2  Ad  2 2

2. Propiedades a) [número real] = 1, b) [X.Y] = [X].[Y] ; [c.X] = [X], (c es número real)

X 

-2

X   

Donde: K = constante física (MT ), X = d = longitud, -1 P = momento lineal (MLT ). Hallar que magnitud representa A.B.

n

Solución. Por P.H.D.: 2 2 [1/2].[K].[X] = [A].[d] = [1/2].[B].[P] (1) (2) -2 De (1): [A] = MT L -1 De (2): [B] = M -2 De donde: [A.B] = LT representa una aceleración.

c)    Y  Y n

d) [X ] = [X] e)

b) Masa c) Tiempo e) Densidad

 X  Y    X   Y  n

n

n

3. Principio de homogeneidad dimensional (P.H.D.) “Todos los términos de una ecuación que representa una ley física son dimensionalmente iguales”.

06.

En la siguiente fórmula física:

A continuación se resuelve un ejercicio y se deja otro parecido para que tú lo resuelvas.

E  AV 2  BP Donde: E = Energía, V = Velocidad, P = Presión. Determinar qué magnitud representa A/B.

EJERCICIOS DE EXTENSIÓN 01 01. En la siguiente fórmula física:

P.K  m.g.h

donde: P = Potencia, m = masa, g = aceleración, h = altura. ¿Qué magnitud representa K? Solución. Por propiedades: [P.K] = [m.g.h] [P]. [K] = [m].[g].[h] 2 -3 -2 2 -2 L .M.T .[K] = M. L.T .L = M.L .T [K] = T ; K representa un tiempo. 02. La siguiente es una fórmula física correcta: K.F = m.v donde: m=masa, F=Fuerza, v=velocidad Determinar qué magnitud representa K. a) Longitud d) Área

b) Masa c) Tiempo e) Volumen

03. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea: 2 K.V = m.c .A donde: V=Volumen, m=masa, C=velocidad, A=área. Determinar que magnitud representa K Solución. Por propiedades: 2 [K.V] = [m.c .A] 2 [K].[V] = [m].[c] .[A] 3 2 -2 2 4 -2 [K]. L = M.L T .L = M.L .T -2 [K] = M.L.T ; K representa una fuerza.

a) Masa d) Fuerza 07.

b) Tiempo e) Longitud

c) Densidad

La posición de una partícula móvil sobre el eje x está dada por: K T2

X  K1  K 2T 

3

2

donde: X = distancia, T = tiempo. Hallar:

 K22     K1 K 3 

Solución. Por P.H.D.: [X] = [K1] = [K2T] = [K3T2] 2 L = [K1] = [K2]T = [K3]T (1) (2) (3) De (1): [K1] = L De (2): [K2] = LT-1 De (3): [K3] = LT-2 Entonces:

 K 2 2  L2T 2  1  M 0 L0T 0   2 K K LLT  1 3

Prof. Dennis Ysla Ureta


FÍSICA 08. La siguiente fórmula es dimensionalmente correcta y homogénea: E = A.W 2 + B.V2 + C.P Donde: E = Energía, W = Velocidad angular, V = Velocidad lineal, P =Presión. B.C A a) Longitud b) Masa c) Fuerza d) Tiempo e) Aceleración

Hallar:

Solución. Por propiedades: [P] = [K].[R]x.[W]y.[D]z 2 -3 M.L .T = 1.(L)x.(T-1)y.(ML-3)z = Mz.Lx-3z.T-y De donde: 1=z ……. (1) 2 = x – 3z ....... (2) -3 = -y …… (3) De (1): z = 1 ; de (3): y = 3. Resolviendo (2): 2 = x – 3(1) x =5 10. La siguiente es una fórmula física dimensionalmente correcta y homogénea: P = K Dx g y h z Siendo: K = adimensional ; D = densidad ; g = aceleración de la gravedad ; h = altura ; P = presión. Hallar (x + y + z). a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 11. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta. Hallar las dimensiones de K. 2Kb A2 cos ( b2 x 2 x )2 m Siendo: A=área; b, x = longitudes; α = 53°, m = masa. Solución. Por propiedades y por el P.H.D., se tiene: 2 . K .L M

( L2

L2

L)2

……(1)

Empero: [cos53°] = [2] = 1; L2

L2

L

L2

L

L

L

L

Reemplazando en (1) y pasando “M” al primer miembro, se tiene: 4

L .M = [K].L.L

2

P.tg 2 . A Z 2 W2 siendo: P = presión, A = velocidad lineal, α=45° W= trabajo. x

a) ML4T-2 d) ML-3

09. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dada por la siguiente fórmula: P = K Rx W y Dz Donde K es un número, R es el radio de la hélice en m, W es la velocidad angular de la hélice en rad/s, y D es la densidad del aire en kg/m3. Hallar x,y,z.

(L2 )2 cos53

12. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Hallar [x]

b) M3L e) M-1L-4T2

c) M3L-3

13. Determinar las dimensiones de “Q” en la ecuación homogénea siguiente: A (K.P Q)sen 30 z.tg 45 B Sabiendo que: A = área; B = velocidad. Solución. Por homogeneidad: [K.P] = [Q] ; [Q]sen30° = [A/B] = [z.tg45°] Por propiedades: [Q]1/2 = [A] / [B] = L2 / LT-1 = L.T Elevando al cuadrado ambos miembros, se tiene: [Q] = L2.T2 14. Si la ecuación: JUANJUI = SIEMPREES + EL + MAS + GRANDE es dimensionalmente homogénea. Siendo: M = masa, L = longitud y E = (metro) 2. Determinar: [A.S] a) L7M-1 b) L5M-1 c) L3M-1 d) L M-1 15. Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión propuesta W sea dimensionalmente correcta: W = 0,5 m.vα + A.g.h + B.P ; Q A . B Siendo: W = trabajo, m = masa, v = velocidad lineal, g = aceleración de la gravedad. P = potencia, h = altura, α = exponente desconocido, A y B : son dimensionalmente desconocidas. Solución. Determinamos [A] y [B] aplicando el principio de homogeneidad: [W] = [0,5][m][v]α = [A][g][h] = [B][P] L2MT-2 = MLαT-α = [A].LT-2.L = [B].L2M.T-3 1

2

3

4

De (1) y (2): α = 2 De (1) y (3): L2MT-2 = L2[A]T-2 → [A] = M De (1) y (4): L2MT-2 = [B].L2M.T-3 → [B] = T Finalmente: [Q] = M2 √T = M2 T1/2 16. La ecuación:

DW   A  B  CW  2  t  

4/5

es dimensionalmente homogénea donde W es el trabajo y t es el tiempo. Determine α+β+ϴ, si:

 C 0,2 B      M LT  D 

[K] = L.M a) -5/6

b) -1/2

c) -6/5

d) -3/2

Prof. Dennis Ysla Ureta


Seminario analisis dimensional