-------
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμmάδες
------
LBA C = LBDC = 90° - LADH = LHAD. Έστω Ν * Α το σημείο τομής του κύκλου ω και της διχοτόμου της γωνίας L.CAH . Τότε η ΑΝ είναι επίσης διχοτόμος της γωνίας LBAD . Επειδή τα σημεία Η και C είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς την ευθεία ΚL και ΗΝ = NC , έπεται ότι και τα δύο, το σημείο Η και το κέντρο του κύκλου ω βρίσκονται πάνω στην ευθεία KL . Επομένως ο κύκλος ω είναι ένας Απολλώνιος κύκλος των σημείων Κ και L , οπότε η ισότητα ( 1 ) προκύπτει άμεσα. Π ρόβλημ α 4 . Τα σημεία Ρ και Q βρίσκονται πάνω στην πλευρά BC του οξυγωνίου τριγώνου ABC , έτσι ώστε LPAB LBCA και LCAQ LABC . Τα σημεία Μ και Ν βρίσκονται πάνω στις ευθείες ΑΡ και AQ , αντίστοιχα, έτσι ώστε το Ρ να είναι το μέσο του ΑΜ και το Q να είναι το μέσο του ΑΝ . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΒΜ και CN =
=
τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC Λύση (1 ° ς τ ρόπ ος) : Έστω S το σημείο τομής των ευθειών ΒΜ •
και CN . Έστω επίσης β = LQA C = LCBA και y = LPAB = LACB . Από τις παραπάνω ισότητες προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΒΡ και CAQ είναι όμοια, ΒΡ ΒΡ AQ NQ = = = οπότε έχουμε: . ( 1 ). ΡΜ ΡΑ QC QC β ��'*""..;,;, � Επίσης LΒΡΜ=β+y = LCQΝ. (2). Άρα, από ( 1 ) και (2), τα τρίγωνα ΒΡΜ και NQC είναι όμοια, οπότε LBMP = LNCQ . Άρα και τα τρίγωνα ΒΜΡ και BSC είναι όμοια, αφού έχουν και τη γωνία L.A1BC κοινή. Άρα έχουμε LCSB= LBPM=β+y=1&1 -LBAC, Σχήμα 5 οπότε τα σημεία A, B, C και S είναι ομοκυκλικά. ° ς {2 τ ρόπος) : Θεωρούμε το σημείο S = ΒΜ n CN Έστω ακόμη ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC τέμνει ξανά τις ευθείες ΑΡ και AQ στα σημεία Κ και L , αντίστοιχα. (σχήμα 6) Έχουμε ότι: LIBC= LLAC= LCBA και LΚCB = LΚAB = LBCA . Επομένως οι ευθείες BL και CK τέμνονται σε σημείο Χ συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία BC . Επειδή ΑΡ = ΡΜ και Α Q = QN , έπεται ότι το Χ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΜΝ. Επομένως, από το θεώρημα του Pas cal στο εξάγωνο ALBSCK προκύπτει ότι το S βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο Σχήμα 6 του τριγώνου ABC. Π ρόβλημα 5. Για κάθε θετικό ακέραw n , η Τράπεζα του Κέιπ Τάουν εκδίδει κέρματα αξίας ! . Α
__...:.,
_
c
Ν
.-------..
Ν
n
Αν δοθεί μια πεπερασμένη συλλογή τέτοιων κερμάτων (όχι απαραίτητα με διαφορετικές αξίες) με συνολική αξία το πολύ 99 + ! , να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν να χωρίσουμε αυτή τη συλλογή σε 2
100 ή λιγότερες ομάδες, έτσι ώστε κάθε ομάδα να tι.,ει συνολική αξία το πολύ 1 . Λύση: Θα αποδείξουμε τη γενικότερη πρόταση: Για κάθε θετικό ακέραω Ν οποιαδήποτε
συλλογή
κερμάτων της Τράπεζας του Κέιπ Τάουν συνολικής αξίας το πολύ Ν _ ..!_ μπορείνα διαχωριστεί σε Ν 2 ομάδες που η καθεμία ομάδα έχει συνολική αξία κερμάτων το πολύ 1 . Η λύση του προβλήματος προκύπτει για Ν = 1 00 . Αρχίζουμε με κάποιες προπαρασκευαστικές κινήσεις. Αν κάποια από τα
κέρματα της συλλογής έχουν συνολική αξία τη μορφής ..!.. , όπου k θετικός ακέραιος, τότε θεωρούμε k όλα αυτά μαζί ως ένα καινούρω κέρμα. Αν η συλλογή που προκύπτει μετά τη διαδικασία συνένωσης κερμάτων μπορεί να διαχωριστεί κατά το ζητούμενο τρόπο, τότε το ίδιο ισχύει και για την αρχική ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 93 τ.l/24