Issuu on Google+

'

\

Γυμνάσιο

υ_Jλείδ


ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ /

Τεύχος 92 Απρίλιος- Μάϊος - Ιούνιος 2014 Τιμή Τεuχοuς Ευρώ 3,00

yια το γυμνάσιο

Ευκλείδης

e-mail: info@hms.gr,

Τα Μαθηματικά στον Κόσμο GPS και Μαθηματικά,

Παναyιώτηι; Χριστόπουλοι; ... .... .. ... ..... .

..

.

.

.. . .

Μαθηματικά και Τεχνολογία Ένα το πρόβλημα μία η λύση του; Καλλιόπη Αρδαβάνη

.

.............. ... . . .... 1 .

. .. ..

.......................................... 6

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο • Α'τάξη Προτεινόμενο διαyώνισμα προαyωyικών εξετάσεων στην Α'Γυμνασίου,

Επαναληπτικές ΑσκήσειςΒ' Γυμνασίου, Ιyvάτιοι; Κοτζαμπάσηι;

........•....................................................

Αθανασία Κυριακοπούλου

.......... ............................................

Επαναληπτικές Ασκήσεις Α' Γυμνασίου,

8

10

Μαρία Γιαμαρέλου ................................................................... 16

Β'τάξη Προτεινόμενο διαyώνισμα προαyωyικών εξετάσεων στην Β' Γυμνασίου, •

.....................................................

19

Επαναληπτικές ΑσκήσειςΒ' Γυμνασίου,

Γ'τάξη Προτεινόμενο διαyώνισμα προαyωyικών εξετάσεων στηνΓ' Γυμνασίου, •

.....•...•....••......................•...........

Μεθοδολοyία Επίλυσης Προβλημάτων, Παvαyιώτηι; Δ. Κυράvαι;, Κώσται; Γ. Σάλαρηι;

Συντακτική Επιτροπή

Fax: 210 3641025

...............................................•.....

Εκδότης:

rεώρyιος Δημάκος

Διευθυντής:

Εμμανουqλ Κρητικός

Επιμέλεια Εκδοσης: Κιούφτη Ροδούλσ Κυρισιιοnούλου Ν6νου Σ6λαρης Κωνσταντίνος

ι-.:ι>Ι\t·Ιψ�-λ�·-; lι)ι>ΙψιΙ lι.•Jll\\11 �- \Ul<)l1

Πρόεδρος: Κefοογλου Στcφσνος Α' Αντιπρόεδρος: Κυρ6νσς Πσνσyιώτης Β' Αντιπρόεδρος: Λυμnι:ρ6nουλος ιtώργιος Μέλη: Αyycλι'j�ννσ Αλσφ6ιιη Σταυρούλα Αλcξσνδρ6του �ννσ Αντωνοnούλου Κατι6ννσ Αnοατ6λουΑyy�ιιι'j Αρδσβ6νη Π6nη Ιtωργίου Σπύρος Θι:οδωρ6nουλοςΘρσούβουλος Κιούφτη Ροδούλσ Κωνατσντινίδης Αριατι:ίδης Κυρ6νσς Παναγιώτης Κυρισιcοnούλου Ν6νου Λυμnι:ρ6nουλος ιtώργιος

37

39

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα Κριτήρια ισότητας τριyώνων και αντιπαραδείyματα,

Μαλβίvα Παπαδάκη ............ .

.

. . ..... ............................... 45

. . .. . . . .. 48 Οι μαθηματικές διορyανώσεις της χρονιάς Θανάση Τοτ . ..... ........

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

........................ .... ....

Θαvάσηι; Τοτόμηι; ... . .. . .... .... .

.....................................................

21Ο 3616532

....••..••...•.•.......

36

Μαθηματικοί Διαyωνισμοί Μαθηματικοί Διαyωνισμοί,

..

. ..

.

Αγαπητοί/ες

Μι:νδωνίδης Γεώργιος Μορφοnούλου Μαρία Μnσιι6λης Ανσατ6οιος Πσλσιογισννίδης Δημήτριος Σ6λσρης Κωνατσντίνος Σίοιιου Μαρία Τ ζίφος Νίκος Τοιιιοnούλου Στ6μη Φι:ρι:ντίνος Σπυρίδων ΧΡιστοδούλου Ντ6ρσ Χρυοοβcργης Μιχαήλ Αποκεντρωμένοι συνεργάτες Γι6ννηςΘωμσfδης (Θι:ο/νίιιη) Γιώργος Ρίζος (Κiριιυρσ) Γιώργος Τοσnσιιίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Πι:ριουν6ιιη (Κρήτη) Γι6ννης Ρ6λλης (Χίος)

Κωδικός ΕΛ. ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 7998 •

..

.. . .. ..

.

.

..... . .... ..................................

26

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΙΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ Ό Συντακτική Επιτροπή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34

106 79ΑθΗΝΑ

32

Υποδείξεις Λύσεις στις ασκήσεις των διαyωνισμάτων Α'8'-Γ'Γυμνασίου.

........................................................................................................................

Τηλ.: 21Ο 3617784

28

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ......................................... 42

Ματοσσιάν Ντικράν Άλμπερ ................................................... 21

Συντακτική Επιτροπή

Σκαλοχωρίτου Γεωργία, Κουτσκουδήι; Παvαyιώτηι;, Ματοσιάν Ντικράν . .

ΓΓ ' υμνασίου- Ερωτήσεις Θεωρίας σε όλα τα κεφάλαια,

Χρησιμοποιώντας τις αναλοyίες σε προβ�ήματα της καθημερινής ζωής, , Γιωρyοι; Ριζοι; .............................................................................

Συντακτική Επιτροπή

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο Θέματα προετοιμασίας yια τις εισαyωyικές εξετάσεις των Πρότυπων Πειραματικών Λυκείων, .............................. ..................... ...............

...•........... ...

Συντακτική Επιτροπή

www.hms.gr

50

Γράμμα της Σύνταξης

αναγνώστες και αναγνώστριες του περιοδικού. Φτάσαμε στο τέλος και της φετινής σχολικής χρονιάς με το τεύχος 92 του περιοδικού μας. Το τεύχος αυτό έχει κάποιες ιδιαιτερότητες που πρtιτει να επισημάνουμε. Κατ αρχήν το μεγαλύτερο μέρος των Σχολικών Μαθηματικών για όλες τις τάξεις καλύφθηκε από τις αξιόλογες εργασίες που μας έστειλε το παράρτημα της Μυτιλήνης. Εδώ να τονίσουμε ότι το περιοδικό είναι ανοικτό σε τέτοιες πρωτοβουλίες και ελπiζουμε το παράδειγμα της ωραίας Μυτιλήνης να το ακολουθήσουν και άλλα παραρτήματα της ΕΜΕ. Μία άλλη καινοτομία που εγκαινιάσαμε στο περιοδικό είναι τα προτεινόμενα διαγωνίσματα για όλες τις τάξεις με τις υποδείξεις των λύσεων μέσα στο ίδιο το τεύχος. Επιπλέον σας ενημερώνουμε ότι το περιοδικό διαθέτει .. .. ένα οργανωμένο αποθετήριο άρθρων που ήδη περιέχει αρκετά άρθρα συναδέλφων που έχουν κατά καιρούς αποσταλεί στη Συντακτική Επιτροπή. Τα άρθρα αναλόγως τις ημερομηνίας αποστολής τους παίρνουν σειρά για κρίση και έγκριση προς δημοσίευση. Ευχόμαστε σε όλους και όλες καλή ολοκλήρωση της

σχολικής χρονιάς και καλή επιτυχία σε όσους και όσες θα δώσουν εξετάσεις. Περιμένουμε προτάσεις, υλικό και οποιαδήποτε μορφή επικοινωνίας για τα επόμενα τεύχη. Με φιλικούς χαιρετισμούς Για τη Συντακτική Επιτροπή Ο πρόεδρος: Στέφανος Κείσογλοu Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β' Αθήνας

........... . . • ..........................................•.•.........•..•......•..•.•.................•..•.........•.. . . .

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της

ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Στοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΠAIPEIA

Εκτύπωση: ROTOPRINT IA. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ EEI. τηλ: 21 Ο 6623778 - 358 Υπεύθυνος τuποypαφείου: Δ. Παπαδόπουλος

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι πρατείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκriσεις, οι λύσεις ασκriσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση

Τιμή

τεύχους: ευρώ

3,00

Ετήαια αuνδρομή (1 0,00+2,00 Ταχuδρομικ6=ευρώ 1 2,00). Ετήαια αυνδρομή για Σχολεία ευρώ 1 0,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:

1. Με απλri ταχυδρομικri επιταγri σε διαταγri Ε.Μ.Ε. Τ αχ. Γραφείο Αθriνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικriς συναλλαγriς με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.


Παναγιώτη Π. Χριστόπουλου Τα 50 τελευταία χρόνια ο άνθρωπος κα­ τάφερε να ανεβοκατεβαίνει στον ουρανό, ό­ πως ακριβώς έκαναν κάποτε μόνο οι άγγελοι. Είμαστε στη διαστημική εποχή. Σήμερα γύρω από τον πλανήτη μας δεν περιφέρεται μόνο η Σελήνη αλλά και πολλοί άλλοι δορυ­ φόροι, οι οποίοι μας ενημερώνουν για τον καιρό, μας εξυπηρετούν στις τηλεπικοινωνίες, στην πλοήγηση πλοίων και αεροπλάνων, στην έρευνα για κοιτάσματα πετρελαίου κ.ά. Οι άνθρωποι από την αρχαιότητα για τον προσανατολισμό τους χρησιμοποιούσαν τα σημεία του ορίζοντα, αλλά και τα αστέρια. Ένα σταθερό άστρο στον ουρανό, με γνωστή γεωγραφική θέση ως προς το σημείο παρατή­ ρησης, αποτελούσε σημείο αναφοράς και βο­ ηθούσε να βρουν τη σωστή πορεία τους. Το 1 900 βρέθηκε στα Αντικύθηρα μηχα­ νισμός με γρανάζια ο γνωστός Αστρολάβος που πιστεύεται ότι χρησίμευε και στη ναυσιπλοία. Για τον προσανα­ τολισμό τους οι άν­ θρωποι ανακάλυψαν και άλλα μέσα, όπως το διπαράλληλο, το διαβήτη, την πυξίδα και τον εξάντα. Ωστόσο ο εξάντας στην πρώιμη μορφή του είχε τη δυνατότητα να παράσχει πληρο­ φορίες μόνο για το γεωγραφικό πλάτος και όχι για το γεωγραφικό μήκος, γεγονός που αποτε­ λούσε ένα σημαντικό μειονέκτημα, ιδιαίτερα για τους ναυτικούς. Τον 1 7ο αιώνα το Ηνωμέ­ νο Βασίλειο συνέστησε ένα συμβούλιο επι­ στημόνων, το οποίο θα επιβράβευε χρηματικά όποιον θα μπορούσε να εφεύρει ένα όργανο, το οποίο θα επέτρεπε τον ακριβή υπολογισμό και των δύο γεωγραφικών συντεταγμένων, δηλαδή μήκους και πλάτους. Το 1 76 1 ο Άγγλος ωρολογοποιός Τζον Χάρισσον, ύστερα από προσπάθειες δώδεκα ετών, κατασκεύασε ένα όργανο, το οποίο δεν ήταν άλλο από το γνωστό σημερινό χρονόμε-

τρο.

Σε συνδυασμό με τον εξάντα, το χρονό­ μετρο επέτρεπε τον υπολογισμό του στίγματος των πλοίων με εξαιρετική ακρίβεια για τα δε­ δομένα της εποχής. Πέρασαν αρκετά χρόνια μέχρι να δημιουργηθούν τα πρώτα συστήματα εντοπισμού θέσης που βασίζονταν σε ηλε­ κτρομαγνητικά κύματα. Έτσι στα μέσα του 20ού αιώνα έχουμε τα ραντάρ και τους ραδι­ οφάρους. Τα συστήματα αυτά χρησιμοποιή­ θηκαν ευρύτατα κατά τη διάρκεια του Δευτέ­ ρου Παγκοσμίου Πολέμου (και χρησιμοποιού­ νται ακόμη). Αποτελούνται από ένα δίκτυο σταθμών βάσης και κατάλληλους δέκτες DECCA, LORAN και YRANZIT. Ανάλογα με την ισχύ του σήματος που λαμβάνει κάθε δέκτης από σταθμούς γνωστής γεωγραφικής θέσης, σχηματίζονται δύο ή πε­ ρισσότερες συντεταγμένες, μέσω των οποίων προσδιορίζεται η θέση των σημείων ενδιαφέ­ ροντος επάνω σε ένα χάρτη. Η χρήση σταθμών βάσης έχει μεν υψηλή ακρίβεια εντοπισμού, αλλά μικρή εμβέλεια. Μετά τη χρήση ραδιο­ κυμάτων για τον εντοπισμό της θέσης ενός σημείου στα μέσα της δεκαετίας του 1 980 το Υπουργείο Εθνικής Άμυνας των Η.Π.Α. έθεσε σε λειτουργία το σύστημα GPS (Giobal Positioning System) που βασίζεται σε

παρεμφερή τεχνολογία ενώ οι Δυνάμεις Διαστή­ ματος της Ρωσικής Ομο­ σπονδίας έθεσε σε λειτουργία το GLONASS. Τα συστήματα αυτά συνδυάζουν όλες τις μεθόδους που είχαν χρησιμοποιηθεί, δηλαδή την τεχνολογία των ηλεκτρομαγνητικών κυ­ μάτων καθώς και την παρατήρηση ενός τεχνητού αυτή τη φορά- ουράνιου σώματος. Οι σταθμοί βάσης που λαμβάνουν τα απαραί­ τητα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν είναι πλέον επίγειοι, αλλά σε δορυφόρους. Όταν, το 1 957, πραγματοποιήθηκε η εκτόξευση του δορυφόρου Σπούτνικ, οι άνθρωποι ίσως είχαν ήδη αντιληφθεί, ότι ένα τεχνητό ουράνιο σώ-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ.4/1


-------

GPS

και μαθηματικά

μα κοντά στη Γη είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί και για να εντοπιστεί η θέση ενός σημείου πάνω στον Γη . Το δορυφορικό σύστημα GPS χρησιμοποιεί ουράνια σώματα (τεχνητά βέβαια) για μετρήσεις επί της Γης. Το ίδιο έκανε ο Ερατοσθένης 22 αιώνες πριν, που πρώτος χρησιμοποίησε ουράνιο σώμα (τον Ήλιο) για να μετρήσει τη γωνία με την οποία φαίνεται από το κέντρο της Γης το τόξο από Αλεξάνδρεια μέχρι Ασουάν, για το οποίο γνώριζε το μήκος του και έτσι υπολόγισε την ακτίνα (ρ) της Γης (τ μήκοςτόξου=L2πρ). 360 Το GPS αρχικά δημιουργήθηκε αποκλειστικά για στρατιωτική χρήση και ανήκε στη δικαιοδοσία του Αμερικανικού Υπουργείου Εθνικής Άμυνας. Το 1 989 το σύστημα αυτό δόθηκε και για πολιτική χρήση από κάθε κάτοικο του πλανήτη. Ολοκληρώθηκε το 1 995 και από τότε διατίθεται για ελεύθερη χρήση στο ευρύ κοινό.

Τι είν αι το GPS;

Είναι ένα σύστημα εύρεσης στίγματος σε πα­ γκόσμια κλίμακα. Το σύστημα αποτελείται από 2 1 δορυφόρους και 3 εφεδρικούς, οι οποί­ οι κινούνται σε ύψος 20.000 περίπου χιλιομέ­ τρων ανά 4 σε 6 διαφορετικές τροχιές και ο καθένας διαγράφει κάθε 1 2 ώρες μια τροχιά γύρω από τη Γη. Οι δορυφόροι έχουν τέτοια διάταξη ώστε από κάθε σημείο της Γης να εί­ ναι τουλάχιστον 4 συνεχώς ορατοί. Το όλο σύστημα στηρίζεται και σε επίγειους σταθ­ μούς. Το πλήρες όνομά του είναι ΝΑVSTAR

2)

-------

στα 300.000 χρόνια) πληροφορίες yια την θέση που έχει κάθε χρονική στtΎμή.

Ο κάθε δορυφόρος εκπέμπει ένα σήμα στα 1 227 περίπου MHz για στρατιωτική χρήση και ένα στα 1 575 περίπου MHz για πολιτική χρή­ ση. Σε επιστημονικές εφαρμογές που απαιτού­ νται μετρήσεις υψηλής ακρίβειας εισάγεται ένας τρίτος κωδικός ο οποίος καλείται (phase) και περιορίζει την απόκλιση σε λίγα μόλις ε­ κατοστά. Σε αυτή την περίπτωση απαιτούνται ειδικοί δέκτες. Το σύστημα GPS σχηματίζει ένα παγκόσμιο δίκτυο, με εμβέλεια που καλύπτει ξηρά, θάλασσα και αέρα με γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς το WGS-84. Έτσι με το σύστημα GPS μπορούμε να γνωρίζουμε πόσο μακριά είναι το λεωφορείο από τη στάση που περιμένουμε. Να πάρουμε από το κι­ νητό ή το ρολόι μας όποια πληροφορία θέλουμε σε κάθε σημείο της Γης. Να παρακο­ λουθούμε κάποια ζώα ή πουλιά πώς και πού κινούνται. Να κινούμαστε με άνεση σε μια ά­ γνωστη πόλη με οδικούς ηλεκτρονικούς χάρ­ τες πάνω στους οποίους θα φαίνεται κάθε φο­ ρά η θέση μας. Να ασφαλίζουμε το αυτοκίνη­ τό μας από κλοπή ή να ειδοποιούμε όταν κιν­ δυνεύουμε και η θέση μας θα είναι αυτόματα γνωστή. Σε συνδυασμό με το Google Earth γίνεται η καταγραφή και ο έλεγχος, καλλιερ­ γειών, μεγάλων έργων κ.ά.

GPS ( Navigation System with Timing and Ranging - Global Positioning System).

Η βάση της τεχνολογίας του είναι, ο κάθε δορυφόρος να παρέχει: 1 ) πληροφορίες yια την ακριJΙή ώρα, πρά'fμα που επιτυyχάνεται με ατομικά χρονόμετρα (ακρψεια 1 δευτερόλεπτο

Τα τμή ματ α απ ό τ α οπο ία αποτελείτ α ι τ ο GPS είν α ι: Α.

Διαστημικό τμήμα: Είναι οι 24 δορυ­

φόροι που «σκεπάζουν» ομοιόμορφα με το σήμα τους ολόκληρο τον πλανήτη, ώστε να μην υπάρχει περίπτωση να αποπροσανατολι-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ.4/2


-------

στεί κανείς ποτέ και πουθενά.

GPS

και μαθηματικά

Β. Επi.,ειο τμήμα εί.J:rι..ου: Οι δορυφό­ ροι, όπως είναι αναμενόμενο, είναι πολύ mθα­ νό να αντιμετωπίσουν ανά πάσα στιγμή προ­ βλήματα στη σωστή λειτουργία τους. Οι έλεγχοι που πραγματοποιούνται σε αυτούς αφο­ ρούν στη σωστή τους ταχύτητα και υψόμετρο και στην κατάσταση της επάρκειάς τους σε ηλεκτρική ενέργεια. Παράλληλα, εφαρμόζο­ νται όλες οι διορθωτικές ενέργειες που αφο­ ρούν στο σύστημα χρονομέτρησης των δορυ­ φόρων, ώστε να αποτρέπεται η παροχή λαν­ θασμένων πληροφοριών στους χρήστες του συστήματος. Το τμήμα επίγειου ελέγχου απο­ τελείται από ένα επανδρωμένο και τέσσερα μη επανδρωμένα κέντρα, εγκατεστημένα σε ισά­ ριθμες περιοχές του πλανήτη. Οι περιοχές αυτές είναι οι εξής: α) Κολο­ ράντο (Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής) β) Χαβάη (Ανατολικός Ειρηνικός Ωκεανός) γ) Ascension I sland (Ατλαντικός Ωκεανός) δ) Diego Garcia (Ινδικός Ωκεανός) ε) Kwajalein (Δυτικός Ειρηνικός Ωκεανός) Ο κυριότερος σταθμός βάσης είναι αυτός του Κολοράντο, ο οποίος είναι μάλιστα και ο μοναδικός που βρίσκεται στην ξηρά. Αναλαμ­ βάνει τον έλεγχο, μέσω ενός υπερυπολογιστή, της σωστής λειτουργίας των υπολοίπων σταθ­ μών, καθώς και τον συντονισμό τους. Γ. Το τμήμα τελικού χρήστη: Απαρτίζεται από τους χιλιάδες χρήστες δεκτών GPS ανά την υφήλιο. Οι δέκτες αυτοί ανιχνεύουν από 8 μέχρι 12 ορατούς δορυφόρους, από τους οποί­ ους τέσσερις μόνο χρησιμοποιούν κάθε φορά, για να προσδιορίζουν το γεωγραφικό μή κος, πλάτος και ύψος του δέκτη αλλά και το χρονι­ κό σφάλμα Δ(t). Μπορούν να χρησιμοποιη­ θούν τόσο κατά τη διάρκεια μιας απλής πεζο­ πορίας, όσο και σε οχήματα ή θαλάσσια σκά­ φη ή αεροσκάφη και είναι δυνατόν να έχουν αρκετά μικρές διαστάσεις. Οι δέκτες GPS, για να προσφέρουν όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες, συνδυάζονται με ειδικό λογισμι­ κό που προβάλλει ένα χάρτη στην οθόνη της συσκευής. Πρόκειται, δηλαδή, για λογισμικό που λαμβάνει από τους δορυφόρους τις πληροφορίες για το στίγμα του σημείου στο οποίο βρίσκεται ο δέκτης και τις μετατρέπει σε κα­ τανοητή «ανθρώmνη» μορφή, πληροφορώντας το χρήστη για την ακριβή γεωγραφική του θέ-

--------­

ση, μαζί με άλλες πληροφορίες όπως ώρα, υ­ ψόμετρο, ταχύτητα κίνησης και άλλες πληρο­ φορίες για τη θέση καταστημάτων, σταθμών, κ:λπ.. Μπορούμε π.χ. να βλέπουμε τη διαδρομή που έχουμε ήδη κάνει, να κάνουμε μεγέθυνση πάνω στο χάρτη ή να εισάγουμε προορισμό και ο δέκτης να βρίσκει τη βέλτιστη διαδρομή. Υπάρχει η δυνατότητα ορισμού σημείων στο χάρτη ως προτιμώμενων ή μη και δημιουργία καταλόγου με σημεία ενδιαφέροντος, όπως πρατήρια βενζίνης, καταστήματα και αξιοθέα­ τα. Στα μοντέλα για αυτοκίνητο συνήθως υ­ πάρχει η δυνατότητα φωνητικών οδηγιών, κα­ τά τη λειτουργία πλοήγησης, ώστε ο οδηγός να μη χρειάζεται να κοιτάζει την οθόνη. Επί­ σης, δέκτες GPS ενσωματώνονται σε κινητά τηλέφωνα, σε ψηφιακές φωτογραφικές μηχα­ νές και άλλες συσκευές. Πύραυλοι όπως οι TOMAHAWK, οι ΚΡΟΥΖ, οι PATRIOT ελέγχονται στην πορεία τους από ενσωματω­ μένο και προγραμματισμένο δέκτη GPS και βρίσκουν έτσι το στόχο με ακρίβεια, ακόμη και με διαδρομή ΖΙΚ-ΖΑΚ.. Αυτά τα χρησιμο­ ποίησαν στους πολέμους που έγιναν πριν λίγα χρόνια στον Περσικό Κόλπο, στο Βελιγράδι, στο Αφγανιστάν κ.α. Το 20 1 5 θα λειτουργήσει μάλλον και το Ευ­ ρωπαϊκό σύστημα ΓAΛIΛAIOΣ(Galileo) που έχει ήδη αρχίσει να κτίζεται με 30 συνολικά δορυφόρους. Έτσι η συνεργασία όλων των συστημάτων μαζί με τα επίγεια θα δώσουν aσύλληπτες δυνατότητες και υπηρεσίες. Το GPS κα ι τ α Μαθηματικά •

Πώς λειτουρΎεί;

Ο δέκτης τον οποίο έχει ο χρήστης GPS αφού πρώτα συγχρονίσει το ρολόι του με το ρολόι του δορυφόρου που έχει ανιχνεύσει, με­ τράει το χρόνο που χρειάστηκε το σήμα για να μεταφερθεί από το δορυφόρο μέχρι την κεραία του. Έτσι υπολογίζει την απόσταση(S) που διήνυσε το σήμα από τη σχέση S = c t όπου c η ταχύτητα του σήματος, t ο μετρούμενος χρόνος σε sec. Ο δέκτης ανιχνεύει από 8 μέχρι 12 ορατούς δορυφόρους, από τους οποίους τέσσερις μόνο χρησιμοποιεί κάθε φορά, για να προσδιορίζει τις συντεταγμένες χ, ψ, z (γεωγραφικό μήκος, πλάτος και ύψος του δέ­ κτη) αλλά και το χρονικό σφάλμα Δ(t) του δέκτη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'92 τ.4/3


------ GΡSκαι μαθημαnκά --------­ ροβόλο Π αν ισχόουν όλα τα παραπάνω. Η απόσταση ΑΠ είναι ίση με c t. Δηλαδή το σημείο Π απέχει σταθερή απόσταση c t από το σημείο Α. ·

·

Εδώ τώρα μπαίνουν τα μαθηματικά. Θα προσπαθήσω να δώσω παραδείγματα για τον προσδιορισμό ενός σημείου. α) Γνωρίζετε ότι αν θέλουμε να βρούμε ση­ μείο πάνω σε επίπεδο (Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων) το σημείο είναι στην τομή δύο ευθειών που είναι παράλληλες στους άξο­ νες στις θέσεις Χο �Υο. β) Αν θέλουμε να βρούμε τα σημεία που θα έχουν την ίδια απόσταση 7 χtλιόμετρα από δυο χωριά που απέχουν μεταξύ τους 12 χtλιόμετρα θα γράψουμε κύκλους με κέντρο το κάθε χω­ ριό (το θεωρούμε εδώ ως σημείο) και ακτίνα 7 χtλιόμετρα εκεί που τέμνονται οι κύκλοι είναι τα σημεία που ζητάμε. γ) Ας υποθέσουμε ότι δύο παρατηρητές που βρίσκονται σε μια πεδιάδα στις θέσεις Α και Β ακούνε την εκπυρσοκρότηση ενός πυροβόλου που βρίσκεται σε μια θέση Π που δεν γνωρί­ ζουν. Ας δεχτούμε ακόμα ότι οι δύο παρατη­ ρητές δεν ακούν τον ήχο της εκπυρσοκρότη­ σης την ίδια χρονική στιγμή (αν τον ακούσουν την ίδια χρονική στιγμή� τότε το πυροβόλο ι­ σαπέχει από τους δύο παρατηρητές. Αυτό ση­ μαίνει ότι βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευ­ θύγραμμου τμήματος που έχει άκρα τις θέσεις των παρατηρητών Α και Β). Έστω λοιπόν ότι ο πρώτος παρατηρητής ακούει την εκπυρσο­ κρότηση τη χρονική στιγμή t (σε δευτερόλε­ πτα) και ο δεύτερος τη χρονική στιγμή t+α (σε δευτερόλεπτα)� όπου α>Ο� δηλαδή α δευτερό­ λεπτα μετά τον πρώτο. Αν η ταχύτητα του ή­ χου στον αέρα είναι c m/s θα είναι ΑΠ = c · t και ΒΠ=c·(t+α). Επομένως η διαφορά των α­ ποστάσεων των δύο παρατηρητών από το πυ­ ροβόλο είναι Β Π -ΑΠ=c· ( t + α) -c t =c·t + c·α-c·t =c·α�

με κ ρο το πομενως ανηκει σε κυ σημείο Α και ακτίνα c t. Επίσης η απόσταση ΒΠ είναι σταθερή και ίση με c t +c α. Δη­ λαδή το σημείο Π ανήκει σε κύκλο με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα c t +c α. ·

·

·

·

·

Άρα τα σημειο ειναι το κοιν σημείο των δύο παραπάνω κύκλων. Δηλαδή το πυρο­ βόλο μπορεί να βρίσκεται στα σημεία Π και Ρ. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το πυροβόλο μπορεί να μετακινηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε ο ένας παρατηρητής να ακούει την εκπυρσοκρό­ τηση α δευτερόλεπτα μετά τον άλλο (δηλαδή η χρονική διαφορά με την οποία ακούν την εκ­ πυ��σοκρότηση οι δύο παρατηρητές είναι στα­ θερή� οπότε� όπως είδαμε� και η διαφορά των αποστάσεων του πυροβόλου από τους δύο πα­ ρατηρητές είναι σταθερή). Για κάθε τιμή του t το πυροβόλο θα βρίσκεται σε μια θέση Π. Μερικές από αυτές τις θέσεις� συγκεκριμένα για t=l� t=l.25� t=2 � t-t-2.75 και t=3 και α=l� φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

·

δηλαδή εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα του ήχου και τη χρονική διαφορά. Δηλαδή είναι σταθερή. Ας επιχειρήσουμε τώρα να δούμε με γεω­ μετρικό τρόπο που μπορεί να βρίσκεται το πυ-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'92 τ.4/4

\ Α

. :. •

Β


-------

GPS

και μαθηματικά

Αν δώσουμε περισσότερες τιμές στο t, και για σταθερό α=2 , δηλαδή αν ο δεύτερος παρα­ τηρητής ακούει την εκπυρσοκρότηση 2 δευτε­ ρόλεπτα μετά τον πρώτο, μπορούμε να παρα­ τηρήσουμε ότι το πυροβόλο θα μετακινείται σε θέσεις όπως αυτές που φαίνονται στο πα­ ρακάτω σχήμα.

I

Α

I

I

\

Β

.

\

Αν όμως ο παρατηρητής που βρίσκεται στη θέση Α ακού ει την εκπυρσοκρότηση α δευτερόλεπτα μετά από τον παρατηρητή που βρίσκεται στη θέση Β, τότε μερικές από τις πι­ θανές θέσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται το πυροβόλο, για α=2 , είναι αυτές που φαίνο­ νται στο παρακάτω σχήμα.

Άρα τελικά μερικές πιθανές θέσεις του πυροβόλου είναι αυτές που βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Η καμπύλη πάνω στην οποία βρίσκονται οι πιθανές θέσεις του πυροβόλου ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Α και Β. Όλα τα σημεία μιας υπερβολής, και μόνον αυτά (δηλαδή κανένα άλλο εκτός από αυτά), έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα : Για τις αποστάσεις τους από τις δύο ε­ στίες ισχύει ότι η διαφορά της μικρότερης απόστασης από την μεγαλύτερη είναι σταθε­ ρή (στην περίπτωση που είδαμε αυτή η δια­ φορά είναι c·α.) και μάλιστα είναι μικρότερη από την απόσταση των δύο εστιών. Δηλαδή η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστά­ σεων τους από τις εστίες είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση των εστιών.

-------

Ας δούμε τώρα ένα ακόμα.

Πρό βλη μα : Έστω ότι είμαστε σε μια πεδιάδα όπου υπάρχει ένας λόφος και πίσω από τον λό φο ένα πυροβόλο που βάλλει ενα­ ντίον μας. Πώς θα το εντοπίσουμε; Λύση: Τοποθετούμε τρεις παρατηρητές με χρονόμετρα σε κατάλληλα επιλεγμένες θέ­ σεις Α, Β, Γ, οι οποίοι θα σημειώσουν τον χρόνο που θα ακούσουν τον ήχο από την εκ­ πυρσοκρότηση του πυροβόλου (Π). Φυσικά οι παρατηρητές δεν θα ακούσουν τον ήχο ταυτόχρονα, άρα αν ο Α παρατηρητής άκουσε τον ήχο τη χρονική στιγμή t, ο Β τη χρονική στιγμή t+α, και ο Γ τη χρονική στιγμή t+β όπου β>α, τότε θα είναι γνωστή ( και στα­ θερή ) η διαφορά των αποστάσεων ΒΠ-ΑΠ =c· (t+α-t)=α·c καθώς και η διαφορά ΓΠ-ΑΠ=c·(t+β-t)=β·c, c όπου η ταχύτητα του ήχου στον αέρα ανά δευτερόλεπτο και τα α, β χρόνος σε δευτερό­ λεπτα. Δηλαδή, όπως είδαμε, το πυροβόλο βρίσκεται πάνω σε δύο υπερβολές, μία με ε­ στίες τα σημεία Α, Β και μια άλλη με εστίες τα σημεία Α, Γ. Πάνω τώρα στο χάρτη της περιοχής σχε­ διάζουμε τις δύο υπερβολές αυτή με εστίες τα σημεία Α, Β και αυτή με εστίες τα σημεία Α, Γ έτσι το Π (πυροβόλο) θα βρίσκεται σε μια από τις δύο τομές των πιο πάνω υπερβολών και φυσικά σε αυτή που είναι πίσω από το λόφο.

Τώρα ας βάλουμε στους τρεις παρατηρη­ τές τους 3 δορυφόρους και στη θέση του πυ­ ροβόλου τον χρήστη του GPS, με τη διαφορά όμως ότι το σήμα τώρα δεν φεύγει από το δέ­ κτη για τους 3 δορυφόρους, αλλά αντίστροφα. Ο δέκτης διαθέτει επεξεργαστή και ισχυρό τσιπάκι μνήμης και με μια ανάλογη περίπου εφαρμογή της υπερβολής υπολογίζει τις 4 με­ ταβλητές (χ, y, z, Δ(t)) που προσδιορίζουν την θέση του. Επιλύει δηλαδή σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με δεδομένα τις αντίστοιχες συντε­ ταγμένες (χ, y, z, Δ(t)) των 4 δορυφόρων. Αν το GPS είναι μέσα σε ένα αυτοκίνητο που κινείται, τότε μετρώντας τον χρόνο μετα­ ξύ δύο διαδοχικών θέσεων δίνει και την ταχύ­ τητα του αυτοκινήτου και ακόμη την διεύθυν­ ση και την φορά σε σχέση με τον βορρά.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ.4/S


Προτεινόμενο διαyώνισμα προαyωy ι κών εξετάσεων στην Α 'Γυμνασίου

=======

OQ

Θεωρία

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

ΑΔι. α) Πότε λέμε ότι δύο ποσά χ και ψ είναι ανάλογα; 11) Στις παρακάτω4 εικόνες παρουσιάζονται δύο γραφήματα και δύο πίνακες. 5

Β

4.5

4

5

4.5 3.5

2.5

2.5

3 2

1.5

χ

Β

4

3.5

2

3

Α

1

2

1.5

3 4

Οο ο.5 1 1.5 2 2.5 3

Εικόνα 1

ο ο 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Εικόνα 2

ψ

I

χ

ψ

3

4,δ

8

12

3

2

β

β

5

2,5

Α

0.5

0.5

I

8

Εικόνα 3

(2,2 μαθ μοί)

3

ι

Εικόνα4

ι

Από τις εικόνες αυτές οι δύο που παριστάνουν ανάλογα ποσά είναι οι: Α) Εικόνα 1 και Εικόνα 3 Γ) Εικόνα 1 και Εικόνα4 Δ) Εικόνα 2 και Εικόνα 3 Β) Εικόνα 2 και Εικόνα4 Να επιλέξετε την σωστή απάντηση και να δώσετε μία εξήγηση. y) Ποια σχέση συνδέει δύ ο αντιστρόφως ανάλογα ποσά χ και ψ;

(2,2 μαθ μοί) (2,2 μαθ μοί)

α) Πότε μία γωνία ονομάζεται μη κυρτή. Να κατασκευάσετε μία μη κυρτή γωνία. (2,2 μαθμοί) (2,2 μαθ μοί) μ) Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Να κατασκευάσετε δύο εφεξής γωνίες.

ΑΔz.

y) Πότε 3 γωνίες λέγονται διαδοχικές; Να κατασκευάσετε 3 διαδοχικές γωνίες.

Ασκήσεις

(2,2 βαθμοί)

ΑΔ3• Ο ιδιοκτήτης ενός καταστήματος ηλεκτρικών ειδών κάνει εισαγωγή πλυντηρίων ρούχων με κόστος 500 € το ένα. α) Αν το κέρδος που θέλει να έχει είναι 20% πόσο θα πρέπει να πουλήσει το κάθε πλυντήριο; (3,3 βαθ μοί) 11) Κατά την περίοδο των εκπτώσεων ο καταστηματάρχης σκέπτεται ότι το κέρδος πρέπει να είναι 8%. Τι ποσοστό έκπτωσης θα πρέπει να γράψει στην προθήκη του καταστήματός του για (3,4 βαθμοί) τα πλυντήρια ρούχων; ΑΔι. Προκειμένου να ολοκληρωθεί ένα δημόσιο έργο απαιτούνται 25 εργάτες οι οποίοι θα πρέπει να εργαστούν 12 ημέρες. α) Αν ο εργολάβος είχε στη διάθεσή του μόνο 20 εργάτες. Σε πόσες ημέρες θα τελείωνε τότε το (3,3 βαθ μοί) έργο; Τελικά 25 εργάτες και άρχισε η κατασκευή του έργου. Όταν οι 25 ο εργολάβος β) συγκέντρωσε αυτοί εργάτες δούλεψαν 6 ημέρες, ο εργολάβος απέσυρε 1 Ο εργάτες για να τους χρησιμοποιήσει (3,4 βαθ μοί) αλλού. Σε πόσες ημέρε από το σημείο αυτό και μετά θα τελειώσει το έργο; ΑΔs. Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τις ΑΒ και ΓΔ οπότε σχηματίζονται οι γωνίες α, β, γ, δ. Επιπλέον οι ΑΒ και ΓΔ τέμνονται κάθετα και η γωνία α είναι ίση με 27°. Να υπολογίσετε το μέτρο των γωνιών: (2,2 βαθ μοί) β • (2,2 βαθμοί) γ • δ (2,3 βαθ μοί) • ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/8


------

Προτεινόμενο διαγώνισμα προαyω-yικών εξετάσεων στην Α' Γυμνασίου

Ο� ΘΕΩΡΙΑ

-----

Πότε δύο αριθμοί α, β διάφοροι του μηδενός λέγονται αντίθετοι και πότε λέγονται aντίστροφοι; (2,3 μονάδες)

ΑΔ6. Α .

Αν ο α είναι ένας ρητός αριθμός διάφορος του μηδενός, ποιος είναι ο αντίθετός του και ποιος είναι ο aντίστροφός του; (2,3 μονάδες)

Β.

Γ.

Έχει αντίστροφο ο αριθμός Ο; Δικαιολόγησε την απάντησή σου

ΑΔ,. Α .

Β.

τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθ1Υγραμμου τμήματος ΑΒ;

Γράψτε τρεις ιδιότητες της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος.

(2,2 μονάδες) (3,4 μονάδες) (3,4 μονάδες)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΔg. Α .

Δίνεται ο αριθμός

α=

( ��}α+�)+Θ-υ{ι-υ. Ποιος είναι ο αριθμός α;(2,2

μονάδες)

Β. Η

απόσταση δύο αντίθετων αριθμών πάνω στον άξονα των ρητών είναι 5,5. Ποιοι είναι οι δύο αριθμοί; (2,2 μονάδες)

Να συγκρίνετε τον αρνητικό από τους δύο αριθμούς του ερωτήματος Β με τον αριθμό α του ερωτήματος Α. (2,2 μονάδες)

Γ.

ΑΔ9 .

Δίνεται μια γωνία

ω=

36° .

Να υπολοyίσετε τη συμπληρωματική και την παραπληρωματική γωνία της ω και να τις κατασκευάσετε. (3,3 μονάδες)

Α.

Να βρείτε τη γωνία φ αν γνωρίζετε ότι αν την μειώσουμε κατά 12° θα γίνει ίση με το μισό της διαφοράς της συμπληρωματικής από την παραπληρωματική της γωνίας ω. (3,3 μονάδες)

Β.

Από την είσοδο μιας βιομηχανίας περνούν κάθε πρωί εργάσιμης ημέρας 150 εργαζόμενοι μπαίνοντας στο εργοστάσιο για να δουλέψουν. Από αυτούς το 12% κατευθύνεται στα γραφεία της διοίκησης όπου εργάζεται. Το .!.. πηγαίνει στην αποθήκη. 17 εργαζόμενοι είναι οδηγοί 6 φορτηγών. Οι υπόλοιποι εργάζονται στην παραγωγή των προϊόντων.

ΑΔ ιο.

Α.

Πόσοι εργάζονται στα γραφεία της διοίκησης;

(2,2 μονάδες)

Β.

Πόσοι εργάζονται στην αποθήκη;

(2,2 μονάδες)

Γ.

Ποιο ποσοστό των εργαζομένων εργάζεται στην παραγωγή;

(2,2 μονάδες)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/9


Χρησιμοποιώντας τις αναλογίες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής ======= Ρίζος Γιώργος

Σ

Ορισμοί- Έννοιες τον διεθνή Μαθηματικό Διαγωνι­ σμό τiMSS δόθηκε η παρακάτω ά­ σκηση:

Μία τάξη έχει κορίτσια , ειναι , αγορια ΙΙ

άσκηση απευθυνόταν σε μαθητές από όλον τον κόσμο, που έχουν τελειώσει την Α ' Γυμνασίου. Για να τη λύσουμε πρέπει να έχουμε κατανοήσει τις βασικές έννοιες που αφορούν τα Αν άλογ α Ποσ ά. Όταν, λοιπόν, η εκφώνηση λέει λόγος των κοριτσιών προς τα αγόρια εννοεί το πηλίκο του αριθμού των κοριτσιών της τάξης προς τον αριθμό των αγοριών της τάξης. Γενικότερα, ως

λόγο δύο ομοειδών μεγε­

θών (δηλαδή μεγεθών

των

που

μετριούνται με

μονάδα μέτρησης), λέμε το πηλίκο

μέτρων τους

(των μεγεθών τους).

Για παράδειγμα, ο λόγος ευθυγράμμων τμημάτων είναι ίσος με το πηλίκο των μη­ κών των δύο τμημάτων, εφόσον έχουν με­ τρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. Έτσι, αν το ΑΒ έχει μήκος 5cm και το ΓΔ έχει μήκος 0,8 dm, τότε ο λόγος του ΓΔ προς το ΑΒ είναι ΓΔ 0, 8dm 8 cm 8 5cm 5 cm 5 ΑΒ =

_..:...__ =.._

28 μαθητές. Αν ο λόγος 4 , , , -, ποσα αγορια και ποσα 3

κορίτσια έχει η τάξη;

την ίδια

«επιστρέφοντας στην άσκηση του διαγω­ νισμού, διαβάζουμε πως ο λόγος κορίτσια 4 » αγόρια 3 ΙΙ ισότη τ

μεγεθών είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησής τους, με δεδομένο ότι έχουν με­

α δύο κλασμάτων (λόγων) λέγετα11

Αναλογία.

ΠΡΟΣΟΧΉ: Θεωρούμε πάντα τους παρονομα­ στές διάφορους του μηδενός.

Για τα ευθύγραμμα τμήματα α = 2 cm, β = 8 cm, γ = 3 m και δ = 12 m, είναι: _.3'.1 1 , α γ α 1 γ 3 και - αρα β 4 β δ δ 12 .i· 4 4 Λέμε τότε ότι τα ευθ. τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα β και δ αντίστοιχα. α 1 κάνουμε απα­ Αν στην αναλογία β δ λοιφή παρονομαστών, έχουμε: α · · r fl·δ·� ·�·.r. � r ή β·δ· =β βδ ή β � β δ β δ προκύπτει το "χιαστί" γινόμενο α·δ = β·γ. Ο aπλούστερος τρόπος για να λυθούν εξι­ σώσεις σε μορφή αναλογίας είναι να κά­ νουμε το "χιαστί" γινόμενο μέσων - άκρων. Στη συνέχεια λύνουμε ως προς τον άγνωστο. Π. χ. ..!.. � ή 1·8 = 2·χ ή χ = 4. 2 8 -=

-=-=--=

-=-

=

=

=

=

Έτσι η άσκηση του Διαγωνισμού θα μπορούσε να λυθεί ως εξής:

=--=-

ΠΡΟΣΟΧΉ: Όπως διαπιστώνετε, ο λόγος δύο

.

Λύση (Αλγεβρική): Ε,

ιναι

κ

4 , αρα

-=-

4

κ =- α

.

τiMSS

α 3 3 Οπότε έτσι η ισότητα α + κ = 28 γράφεται:

τρηθεί στην ίδια μονάδα μέτρησης. ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α '92 τ. 4/10


------ Χρησιμοποιώντας τις αναλο'yίες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής

4 α = 28 ή 2. α = 28 ή α = 12, 3 3 άρα κ = 16. Πιστεύουμε ότι ιδιαίτερη διδακτική αξία για την κατανόηση των Αν αλογιών έχει και η λεγόμενη "πρακτική" λύση του προβλήματος: α+

------

Π.χ. σε ένα χάρτη υπολογίζουμε ότι η απόσταση των πόλεων Κέρκυρα-Θεσσαλονίκη είναι 29 cm. Αν γνωρίζουμε ότι η κλίμακα του χάρτη είναι 1: 1.000.000, τότε η κανονική απόσταση θα είναι ίση με 29.000.000 cm ή 290.000 m ή 290 Κm.

2η Λύση (Γρ αφ ική) :

Σε κάθε 4 κορίτσια αντιστοιχούν 3 αγόρια. Άρα, σε κάθε 7 μαθητές έχουμε 4 κορίτσια και 3 αγόρια. Είναι 28 : 7 = 4. Χωρίζουμε τους 28 μαθητές σε 4 ομάδες των 7, οπότε θα έχουμε: 4·4 = 16 κορίτσια και 4· 3 = 12 αγόρια. 1η ομάδα: 2η ομάδα:

3η ομάδα:

4η ομάδα:

κορίτσια

αγόρια

• • •

• • •

Σύνολο:16

Χάρτης της Ελλάδας

ΚΛΙΜΑΚΑ: ι :ι .οοο.οοο

Α νάλογα Ποσά

Σύνολο:12

Κλίμακες •

Πολλά προβλήματα λύνονται με τη βοή­ θεια των αν αλογιών, όπως π.χ. προβλήμα­ τα που αναφέρονται στη μεγέθυνση ή σμί­ κρυνση αντικειμένων υπό κλίμακα. Οι α­ ποστάσεις σε ένα χάρτη είναι ανάλογες με τις πραγματικές αποστάσεις. λέγεται ο σταθερός λόγος της απόστασης δύο σημείων στο χάρτη ως προς την πραγματική απόσταση των δύο αυτών σημείων . , απόσταση στο σχέδιο Αν ο λογος π ρ αγματική απόσταση είναι μεγαλύτερος της μονάδας έχουμε με­ γένθυση του σχήματος. Αν είναι μικρότε­ ρος, έχουμε σμίκρυνση. Κλί μ ακα

_ _ .: ___:.:.._ _ ...;__

Ακούμε πολλές φορές φράσεις, όπως: «Θα του απαντήσω ανάλογα με το τι θα μού πει» ή «Θα δω και θα πράξω αναλόγως» ή «Θα aνταμειφτείς ανάλογα με τη δουλειά

Καταλαβαίνουμε ότι η λέξη "Ανά­ λογα" δηλώνει κάποια συσχέτιση μεταξύ εννοιών ή ποσοτήτων. Στα Μαθηματικά αυτή η συσχέτιση καθο­ ρίζεται με ακρίβεια: σου.».

Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλα­ πλασιάζοντας τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό .

___.

___

ΠΡΟΣΟΧΗ:

Δεν είναι ο σωστός ο "απλοϊκός

ορισμός":

«Ανάλογα ποσά είναι αυτά για τα

____

οποία ισχύει ότι όταν αυξάνεται το ένα, αυ­

Π.χ. το βάρος και το ύψος ενός παιδιού αυξάνονται όπως μεγα­ λώνει το παιδί, αλλά τα ποσά βάρος (ή το ξάνεται και το άλλο».

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ. 4/11


------

Χρησιμοποιώντας τις αναλσyίες σε προβ λήματα της καθημερινής ζωής

-----­

ύψος) και ηλικία δεν είναι ανάλο-γα. Για παράδειγμα ανάλογα πο σά είναι ο α­ ριθμός των κtλών μήλων που αγοράζουμε με τα χρήματα που πληρώνουμε. Έστω ότι τα μήλα κοστίζουν 0,80 € το κι­ λό. Τότε, αν ονομάσουμε χ το αρθμό των κtλών και y τα ευρώ που πληρώνουμε, θα είναι: χ

Κιλά μήλα Υ

1

2

1

8,2 •

0,80€

Ευρώ

5

1 ,60 € 4,00€

6,56€

2

3

10

Η γρ αφική πα ρ άσταση της σχέσης y = αχ, με χ ;;::: Ο και y ;;::: Ο, είναι ημιευθεία, που

έχει αρχή την αρχή των αξόνων.

Παρατηρούμε ότι το πηλίκο δύο ανάλο-γων ποσών είναι σταθερό. Πράγματι στο παρα­ πάνω παράδειγμα ισχύει:

Π.χ. σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας y = 3χ με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα τιμών.

y

= 0, 80 = 1, 60 = 4, 00 = 6, 5 6 = Ο , 8Ο χ 1 2 5 8, 2 Είναι, δηλαδή

y

=

0,80·χ.

Λέμε, λοιπόν ότι τα ανάλογα πο σά συνδέ­ ονται με μία σχέση της μορφής Υ = αχ. Γραφ ική παράστασ η Ανάλογων ποσών

Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε τη σχέση αναλογίας που συνδέει τον αριθμό των κtλών μήλων που αγοράζουμε με τα χρήματα που πληρώνουμε. ΚΙλό μήλα κοστίζει 0,80 €. 2 κιλά μήλα κοστίζουν 2·0,80

Εφαρμογές - Προβλήματα Παραθέτουμε παρακάτω μερικές εφαρμο­ ι ,60 €. 5 κιλά μήλα κοστίζουν 5·0,80 4,00 €. γές και προβλήματα που χρησιμοποιούν τις Αναλογίες σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Αν παραστήσουμε γραφικά τα σημεία με Τα θέματα αυτά θα μπορούσαν να δοθούν συντεταγμένες τα παραπάνω ζεύγη τιμών, μετά τη διδασκαλία της ενότητας, ως συμπλη­ θα παρατηρήσουμε ότι αυτά τα σημεία ρωματικές ασκήσεις ή εΡΎασίες κι αφού οι μα­ βρίσκονται σε ημιευθεία που έχει αρχή την θητές έχουν γνωρίσει κι εξοικειωθεί με την αρχή των αξόνων 0(0, 0). έννοια των Ανάλογων Ποσών. ι

=

=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ. 4/12


------ Χ ρησιμοποιώντας τις αναλο'yίες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής 1.

να φτιάξουμε το ίδιο γλυκό για 4, 8 και άτομα.

Πατατάκια

Στη συσκευασία από πατατά­ κια, διαβάζουμε ότι τα Ι 00 gr αvnστοιχσύν σε 2.250 kcal (θερμίδες). Θέλουμε να υπολογίσουμε πόσες θερμίδες αντιστοιχούν σε διαφορετικές συσκευασί­ ες. Γι' αυτό, ας συμπληρώσουμε τον πίνα­ κα: 2Γ

50

75

kcal

100 2.250

125

Υλικά Μπισκότα κανέλας θρυματισμένα Βούτυρο Μαύρη ζάχαρη

1 50 200

Στον παρακάτω τιμοκατάλογο μιας τηλε­ φωνικής εταφείας αναγράφεται το κόστος σε σχέση με τα λεπτά ομ1λίας. Χρόνος

(σεmia)

100 200 300 400 500 600

(σε€)

12,5 19,4 27,6 34,0 40,0 45,0

Kόcrreς

Τα ποσά χρόνος και κόστος είναι ανάλογα ή όχι; Πώς το εξηγείτε;

3. Cheesecake

4.

12 άτομα

150 gr 30 gr

6 τεμ. 600 gr

Γιαούρτι

300 gr

Κρέμα γάλακτος

600 gr

Φύλλα ζελατίνης

3 τεμ.

Φράουλες

480 gr

Μετρώντας δυσπρ όσιτα ύψη

Θέλουμε να μετρήσουμε το ύψος ενός κτηρίου ή ενός μνημείου, όπως για παρά­ δειγμα το άγαλμα του Αχ1λλέα στο Αχίλ­ λειο της Κέρκυρας.

ένα περιοδικό βρήκαμε την παρακάτω συνταγή Cheesecake για 6 άτομα. 150 gr βούτυρο

8άτομα

12

450 gr

Κρόκοι αυγού

Σε

450 gr μπισκότα

6άτομα

300 gr

ή mascarpone

Κόστος κλήσης

4άτομα

Ζάχαρη άχνη

Τυρί κρέμα

2.

------

κανέλας θρυμματισμένα

30 gr μαύρη

ζάχαρη 300 gr ζάχαρη άχνη 6 κρόκους αυγού 600 gr τυρί κρέμα ή mascarpone 300 gr γιαούρτι 600 gr κρέμα γάλακτος 3 φ ύλλα ζελατίνης 480 gr φράουλες φρέσκιες

Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα τις ποσό­ τητες υλικών για ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α '92 τ. 4/13


------

Χρησιμοποιώντας τις αναλογίες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής

πάλι και τα 60 κtλά αλλά όταν μέτρησε τα χρήματα που εισέπραξε, βρέθηκε μπροστά σε μία δυσάρεστη έκπληξη. ,

Ο καθηγητής μας ισχυρίζεται ότι δεν χρει­ αζόμαστε σκαλωσιές ή γερανούς, μετρο­ ταινίες κ.λπ. απλά μάς χρειάζεται μια ψη­ φιακή φωτογραφική μηχανή, ένας καλός εκτυπωτής, ένας χάρακας και ... να έχουμε πρόσφατα μετήσει το ύψος μας! Πώς μπο­ ρεί να γίνει ο υπολογισμός; 5.

-----­

Οδηγώντας στην Α γγλία

Σε ένα ταξίδι που θα κάνουμε με το αυτο­ κίνητό μας στην Αγγλία πρέπει να ση­ μειώσουμε πάνω στο ταχύμετρο (κοντέρ) την αντιστοιχία χιλιομέτρων - μιλίων, για να μην υπερβούμε το όριο ταχύτητας. Υπολογίστε τα χρήματα που εισέπραξε ο μανάβης τη δεύτερη μέρα. Τι παρατηρείτε; Μπορείτε, μήπως, να ερμηνεύσετε την πα­ ρατήρησή σας αυτή; Γνωρίζουμε ότι 80 κ.m/h αντιστοιχούν σε 50 μίλια/h.Αν τα όρια σε διάφορους δρόμους εί­ ναι 40 μίλια/h, 55 μίλια/h και 65 μίλια/h, ποια εί­ ναι τα όριο αυτά σε κm/h; Τοποθετήστε τα όρια αυτά στο παραπάνω κοντέρ.

6.

Η άσκηση 'Ή μαγεία

Τη δεύτερη μέρα αποφάσισε να συσκευά­ σει ανακατεμένα 30 κtλά από κάθε ποιότη­ τα σε σακούλες των πέντε κιλών και να τις πουλά προς 6€ τη σακούλα . Πουλάει και

από το βιβλίο του Martin

Gardner:

των παραδόξων", εκδόσεις Τροχαλία

7.

Άδικες εκπτώσεις

8.

Ο "άδικος" βιβλιοπώλης

Να πώς τρελάθηκε ο μανάβης!

Ένας μανάβης πουλάει μπανάνες στη λαϊ­ κή αγορά. Την πρώτη μέρα πουλάει 30 κι­ λά Α' ποιότητας σε σακούλες των δύο κι­ λών προς 3€ τη σακούλα και 30 κιλά Β ' ποιότητας σε σακούλες των τριών κιλών επίσης προς 3€ τη σακούλα . Υπολογίστε το ποσό που εισέπραξε ο μανάβης από την πώληση και των 60 κιλών.

βασίζεται σε ένα πρόβλημα

.

Σε ένα μαγαζί διαβάζουμε σε μια διαφημι­ στική επιγραφή: Για αγορές άνω των 100 € γίνεται έκπτωση 10%. Ένας πελάτης αγο­ ράζει προϊόντα αξίας 102 € και ένας άλλος 98 €. Τι το "παράξενο" θα συμβεί; Σε ένα β�βλιοπωλείο υπάρχει μια σειρά λο­ γοτεχνικών βιβλίων που στοιχίζουν 16€ το καθένα. Αν όμως αγοράσουμε 1Ο και άνω, η τιμή μειώνεται σε 13€ ανά βιβλίο. Ένας πελάτης ισχυρίζεται ότι η προσφορά αυτή δεν είναι δίκαιη! Ισχυρίζεται, για την ακρίβεια, ότι: "υπάρ­ χει ένας παραλογισμός στην προσφορά αυτη'" I.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ. 4/14


------ Χρησιμοποιώντας τις αναλογiες σε προβλήματα της καθημερινής ζωής -----1 Ο.

Μεγαλώνω και ψηλώνω...

Σχεδιάστε στο παρακάτω γράφημα μία κα­ μπύλη που θα μπορούσε να παριστάνει τη μεταβολή του ύψους ενός ανθρώπου από τη γέννησή του ως την ηλικία των 30 ετών. Βαθμολογήστε κατάλληλα τους άξονες.

Τι εννοεί ο πελάτης; Πώς θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί η "αδικία"; 9.

Ο

σταφυλοπαpαγωγός

Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η εξέ­ λιξη της παραγωγής (σε τόνους) ενός στα­ φυλοπαραγωγού. Μία χρονιά αγόρασε νέα κτήματα και είχε τη μεγαλύτερη αύξηση στην παραγωγή του. α) Ποια χρονιά συνέβη αυτό; β) Πόσο το ποσοστό αύξησης της παραγω­ γής από το 2002 μέχρι το 2003 και πόσο από το 2002 ως το 2004; Παραγωγή

τ

- - --·-·

43

-------

σε

τ όνους

.! ------τ··--τ·----·-r-··--·:

··---- - -

ί

ί

�---- - - -1·-----+ -------r ---- + - -

.

--�--

-

τ

1 '

+---- -r

--------

'

----

-- - -

Ί-------1

------

Βι β λιο γ ρ αφία

[ 1]

----

,. �-i=j�=t =τ�� ι�:?t'J J_ i

_____

ι I

I

I

:

i

:

i

'

'

I

:

I

:

i

I

Ι. Βανδουλάκης κ. α., Μαθηματικά Α · Γυμνασίου,

ΥΠΕΠΘ,

i

[2]

�-ι=ι·:__ιΔ�1�_--:._=:ι ι-- _; _ _ __

Σε επόμενο τεύχος του Ευκλείδη Α ' θα δοθούν επιπλέον σχόλια και απαντήσεις στα προτεινόμενα προβλήμα��α

Π.!.,

Αθήνα 2007

Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Θέματα αλφαβη­

τισμού προγράμματος P/SA, Αθήνα 2005.

'

[3] OECD, (2010), work,

Ο

200 1

I

2002

:

,

1

Ι

2003

',

ι'

2004

1

2005

PISA

2012

Mathematics Frame­

http:!Jwww.oecdorg/dataoecd/8/38/4696 1598.pdf Έτη

[4 ]

Ρίζος Γ., Στο δρόμο για τον PISA, Τα μαθηματικά στο

διεθνή διαγωνισμό PISA, Εκδ. ΜΑΥΡΙΔΗ, Θεσσαλο­

νίκη, 2009

Η Σ υντακτι κή Επιτροπή του Ευκλείδη Α

·

σας εύχεται καλή επιτυχ ία στις εξ ετάσεις σας και καλό καλοκαίρ ι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '92 τ. 4/15


Επα ν α ληπτ ι κέ ς Ασ κή σε ι ς Α ' Γυ μν α σίο υ ======

Γιαμαρέλου Μ αρία ΠΠΓΛ Μυτιλήνης

Άσκηση 1

Ο Γιάννης σχεδιάζει μια τοιχογραφία που παριστάνει μια σειρά από ισόπλευρα τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους 1000 cm. Οι πλευρές κάθε επόμενου τριγώνου θα είναι 20% μικρότερες από αυτές του προηγούμενου τριγώνου. Ποιο θα είναι το μήκος σε εκατοστά της μιας πλευράς του 4ου τριγώνου; ΑΠ : 5 12 cm Άσκηση 2

Το πάρκο που φαίνεται στο διπλανό σχήμα βρίσκεται ανάμεσα σε δύο παράλληλες οδούς, της Ερμού και των Δελφών. Η είσοδος του πάρκου είναι από την πλευρά της οδού Ερμού και περιφράσσεται από δύο τοίχους, οι οποίοι τέμνονται με την οδό Δελφών στο σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας Af'B που σχηματίζουν οι δύο τοίχοι του πάρκου; ΑΠ : 84 μοίρες "

�· "'

- ---

-

Ι-

"' - Ει

Υπ όδειξη :

Χρησιμοποιούμε τις προτάσεις α) παράλληλες ευθείες από μία εuθεία β) άθροισμα γωνιών ενός

::;:.�αι

Άσκηση 3

Στην περσινή εκδήλωση ενός Γυμνασίου συμμετείχαν 4 μουσικά συγκροτήματα. Το κάθε συγκρότημα πληρώθηκε με 100 €, και τα υπόλοιπα 2 72 5€ από τα έσοδα διατέθηκαν για την εκδρομή του σχολείου. Αν στην φετινή εκδήλωση του σχολείου συμμετέχουν 6 συγκροτήματα και το καθένα πληρωθεί με 100€, πόσα εισιτήρια πρέπει να πωληθούν φέτος ώστε να συγκεντρωθεί το ίδιο ποσό με πέρυσι για την εκδρομή του σχολείου; Ξέρουμε ότι το κάθε εισιτήριο κοστίζει 5 €. ΑΠ : 665 εισιτήρια Άσκηση 4

Η

Νίκη είναι υπεύθυνη σε ένα δικηγορικό γραφείο. Ξόδεψε 166,25 € για γραφική ύλη για τους τρεις δικηγόρους, τον εαυτό της και τον βοηθό της. Η πολιτική του γραφείου είναι τα έξοδα να μοιράζονται εξίσου σε όλους τους υπαλλήλους. Το μερίδιο των εξόδων της Νίκης και του βοηθού της χρεώνονται στον λογαριασμό της Νίκης. Πόσα χρήματα έχουν χρεωθεί στον λογαριασμό της; ΑΠ : 66,5 ευρώ. Άσκηση 5

Ένας κτηνοτρόφος θέλει να παρασκευάσει 480 κιλά τυρί. Αν είναι γνωστό πως με 120 κιλά γάλα από το κοπάδι του φτιάχνει 15 κιλά τυρί, α) ποσά κιλά γάλα θα χρειαστεί για να φτιάξει 480 κιλά τυρί, β) Ο κτηνοτρόφος, από τα 480 κιλά που έφτιαξε, αποφάσισε να πουλήσει τα 2/3 της ποσότητας. Αν το κάθε κιλό της ποσότητας που έφτιαξε πουληθεί 8,45 € πόσα χρήματα θα εισπράξει; ΑΠ : α) 3.840 β) 2.704 ευρώ.

κιλά,

Υπ όδ ειξη

(α) Τα ποσά

κιλά γάλα και κιλά τυρί είναι ανάλσyα. ι �κιλά γάλα) χ

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 τ.4/16


------ Επαναληπτικές Ασκήσεις Α'

Γυμνασίου

-------­

Από την ιδιότητα των αναλόγων ποσών

ότι οι λόγοι των αντιστοίχων τιμών είναι ίσοι,

προκύπτει η εξίσωση :

,

,

,

1 20 χ Η ' , ' και η απαντηση στο ερωτημα β) αφηνονται στον αναγνωστη. . λ:υση της εξισωσης, 15 = 480 Άσκηση 6 Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2 . Να υπολογίσετε με αιτιολόγηση (α) τις γωνίες α και γ (β) τις γωνίες δ, ζ και β (γ) Αν η γωνία ζ είναι ίση με 4χ-45° μοίρες να βρείτε το χ. ΑΠ: (γωνίες α=45 °, β=20°, ζ= l 15 °, γ=l 15°, χ=40°, δ=45° )

δ

ε1

ε2

Υπ όδ ε ιξη :

Εδώ θα κάνουμε χρήση των προτάσεων: i) Γωνίες που σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες, οι οποίες τέμνονται από μία ευθεία. ii) Κατακορυφήν γωνίες, iii) Άθροισμα γωνιών τριγώνου, ίν) μέτρο ευθείας γωνίας

Άσκηση 7 Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις ί. Α = 42 - 5 23 + 62 - 5 2 : 1 1

(

·

ίί.

Β=

(� � i) = ( ι:) +

.

)

-

ίίί. Αν Α=3 και Β = -1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ = Α · Β 2 - Α 4 ΑΠ : ί) Α=3, ίί) Β= - 1 , ίίί) Γ= -78 Υπ όδ ε ιξη : εφαρμόστε αυστηρά τη σειρά προτεραιότητας των πράξεων. Δηλαδή: α) πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, β) δυνάμεις, γ) πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις δ)

προσθέσεις και αφαιρέσεις. Άσκηση 8

' α) Να λυσετε την εξισωση ,

7 35 - = -. χ 40 -l

+ =3 β) Να λύσετε την εξίσωση Υ 6 12 Στο παρακάτω σχήμα για γ) τη γωνία ω ισχύει ω = 4χ + 28 . Να υπολογίσετε τη δ ) Αν είναι δ = 5y - 15 , να υπολογίσετε το δ και το γ. ε) Τι είδος είναι το τρίγωνο ΑΒ Γ; ε1

Β

ΑΠ :

ω

α) χ=8, β) ψ=27, γ) ω=60° , δ) δ=120° γ=60° , ε) ισόπλευρο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/17

γωνία ω.


------

Επαναληπτικές Ασκήσεις Α ' Γυμνασίου ------

Άσκηση 9

Ο Άρης αγόρασε παγωτά και το καθένα έκανε 1,20€. Έδωσε 10€ και πήρε ρέστα 2,80€. Πόσα παγωτά αγόρασε; ΑΠ: 6 παγωτά. Άσκηση 1 0

Ένας παραγωγός κρασιού έχει 11.500 λίτρα κρασί. Θέλει να το συσκευάσει σε μπουκάλια που το καθένα χωράει .!_ λίτρα. 10

(α) Πόσα μπουκάλια θα χρειαστεί; (β) Πόσο κρασί θα του μείνει; ΑΠ: α) 1 6428 μπουκάλια, β) 0,4 λίτρα θα περισσέψουν Άσκηση 1 1

Ένας αγρότης έχει 4 5 .! στρέμματα με ελιές, 7 .! στρέμματα με λεμονιές και 1 2 � 2 4 8 στρέμματα μηλιές. Να βρείτε πόσα στρέμματα έχει συνολικά. ΑΠ: 65 και 3 /8 στρέμματα. Άσκηση 1 2

Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 1 12 τ.εκ. Να βρείτε το μήκος του, αν το πλάτος του είναι 5 3 εκ. 5

ΑΠ:

20 εκατοστά

Άσκηση 13

Να κάνετε τις πράξεις:

( )

Α = .!_ : �+ 3 · 2_ - � : 2 + .! 2 2 2 5 3 Β= + = - · - : .

( � �) � � � � �

144 β) � 35 ' 1 0 Υπ όδ ειξη : Τηρείστε αυστηρά προτεραιότητας των πράξεων. ΑΠ:

α)

Άσκηση 14

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε: (α) τα α και β (β) τα γ και δ (γ) το χ και την γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ ΑΠ: α) α=65°' β=1 1 5° γ=40° δ=25° , χ=20° Α=35° Άσκηση 15

Στο διπλανό σχήμα είναι ει//ε2. Να υπολογίσετε: (α) τη γωνία γ (β) τις γωνίες β και α αν γνωρίζετε ότι η β είναι 87°>α ΑΠ: γ=23° α=35° β=122°

Α

1 57° ε1

ε2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/18


()

ι

ι..

'

1 2 Xl

12

1 2 ..:2 = 24 1 2 .... =

Π ρ οτ ε ι νόμ εν α δ ι αyών ι σ μα τα προ α yωy ι ­ κ ώ ν εξετά σε ω ν στην Β 'Γ υμ ν α σ ίο υ

== ===

ο � Θεωρία ΒΔ1 • α) Να δώσετε τον ορισμό της

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α. 2 ,2 βαθ μοί β) Να δικαιολογήσετε γιατί δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. 2 ,2 βαθ μοί γ) Ποιοι αριθμοί καλούνται ρητοί, ποιοι άρρητοι και ποιοι πραγματικοί; Μ 2 ,2 βαθ μοί ΒΔ2.α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο

κ

Θεώρημα. 2 ,2 βαθ μοί β) Δίνεται το τρίγωνο ΚΛΜ ( Κ =90°) και έξι (6) ισότητες που αναφέρο­ νται στις πλευρές του. Α) Γ) ΚΛ2= ΚΛ2=ΚΜ2+ΛΜ2 Β) ΚΜ2=ΜΛ2-ΚΛ2 ΜΛ2-ΚΜ2 2 2 2 Ε) 2 2 2 2 Δ) ΚΜ =ΜΛ +ΚΛ ΜΛ =ΚΜ +ΚΛ ΣΤ) ΜΛ =ΚΜ2-ΚΛ2 Τρεις (3) από τις παραπάνω ισότητες εκφράζουν το Πυθαγόρειο Θεώ-

Λ ρημα. Αυτές είναι οι: i) Α, Β και Δ ii) Β, Γ και Ε iii) Α, Δ και ΣΤ ίν) Γ, Ε και ΣΤ Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. γ) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

ΒΔ3.α) Να

Α σκήσεις

ν) Α, Γ και Ε 2 ,2 βαθ μοί 2 ,2 βαθ μοί

βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που έχει κλίση ίση με 2 και τέμνει τον άξονα ψ'ψ στο σημείο (0,5). 1,2 βαθ μοί β) Για την ευθεία του ερωτήματος α), να συμπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας τιμών: ι χ -2 4 5 ψ 2.!. 2 3 3 ,8 βαθμοί Α γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραπάνω ευθείας. 1,6 βαθμοί ΒΔ4.Αν ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου, AB = 1 5cm και AΓ=8cm, να Γ υπολογίσετε: α) τη διάμετρο ΒΓ. 1,8 βαθ μοί Β β) το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. 1,8 βαθμοί γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 1,5 βαθ μοί δ) το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν. 1,5 βαθ μοί ΒΔ 5 .Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90°) είναι AΓ= 8cm και εφΒ = 4 , να βρεθούν: 3 α) οι πλευρές ΑΒ και ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ. 2 βαθ μοί β) ημΓ, συνΓ, εφΓ. 1,8 βαθ μοί γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 1,4 βαθ μοί δ ) το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ. 1,4 βαθ μοί -

--

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/19


------

Προτεινόμενο διαγώνισμα προαγωγικών εξετάσεων στην Α' Γυμνασίου

ο � Θεωρία

-----

"

Αν το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο με Α = 90° , να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: (3 ,4 μονάδες) εφΒ = ημΒ = συνΒ = Β. Να aντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμό της στήλης Α τον ίσο του αριθμό από τη στήλη Β. Στήλη Β Στήλη Α ΒΔ6. Α.

Γ

1 ) J3

Α) ημ30 °

2)

3

1 3) 1 2

Β ) εφ45°

-

(3 ,4 μονά δες)

ΒΔ7 . Α .

Αν α είναι ένας θετικός αριθμός, πώς ορίζεται η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α;

(3 ,4 μονάδες)

Ζητήθηκε από τον Γιώργο να υπολογίσει την τετραγωνική ρίζα του αριθμού _..2.._ . Η απάντηση 16 του Γιώργου ήταν: «Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι ένας άλλος αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο θα μας δώσει τον πρώτο. Υπάρχουν δύο αριθμοί που αν υψωθούν στο τετράγωνο 9 ' ο 43 και ο -43 . Άρα η τετραγωνικη' ρίζα του αριθ , . Οι αριθ μοι' αυτοι' ειναι θα μας δωσουν 16 9 ' ο αριθ μος ' -43 .» Νο μι'ζεις οτι ' 43 η' ο αριθ μος ' ' η απαντηση ' ' μου' "16 ειναι του Γιωργου ειναι Β.

σωστή ή λανθασμένη; Αν νομίζεις ότι είναι σωστή εξήγησε για ποιο λόγο. Αν νομίζεις ότι είναι (3 ,4 μονάδες) λανθασμένη εξήγησε για ποιο λόγο συμβαίνει αυτό. r

Ασκήσεις

Το τρίγωνο του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο. Οι κάθετες πλευ, ' ' 2χ - 1 και χ + 3 - 1 , οπου ' ' ' ρες του εχουν μηκη χ καποιος πραγματικος αριθ 2 3 μός. Α . Να υπολογίσετε τον αριθμό χ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΒΔs.

--

--

(3 ,3 μονάδ ες) (3 ,3 μονά δες)

Β. Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ όταν χ= 5. ΒΔ9. Α . Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

2r - 1

-3

χ+3 - -1 2

χ - 1 - 2χ - 1 :::ς: -7 - 3χ 2(χ - 1) + 2 < 1 - 3(χ - 3) και (3 ,3 μονά δες) +1 15 3 5 Β. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης 2(χ + 3) + χ = 5 είναι κοινή λύση των δύο παραπάνω (3 ,3 μονά δες) ανισώσεων. ΒΔtο· Η ρόδα ενός ποδηλάτου έχει ακτίνα 25 cm. Το ποδήλατο κινείται σε έναν κυκλικό στίβο. Όταν η ρόδα συμπληρώσει 1 00 περιστροφές, το ποδήλατο θα έχει συμπληρώσει ακριβώς έναν κύκλο στη διαδρομή του. Α . Να υπολογιστεί το μήκος της κυκλικής διαδρομής του ποδηλάτου και η ακτίνα της διαδρο­ (2 ,2 μονά δες) μής. Β. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που δημιουργείται από την διαδρομή του (2 ,2 μονάδες) ποδηλάτου. Γ. Να υπολογισ��εί το μήκος του τόξου που έχει διαγράψει το ποδήλατο όταν η ρόδα του έχει (2 ,2 μονάδες) συμπληρώσει 3 περιστροφές. Δίνεται π=3,14. --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/20


ΕΠΑΝΑΛΗ ΠΤΙ ΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ======

Ματοσσιάν Ντικράν - Άλμπερ-

ΠΠΓΛ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

Άσκηση ι Δίνονται οι εξισώσεις: ι) 2 χ - 5 = ι + χ

2) 3(2 χ + 5 )

=

2 3) 5χ - ι = 3

ι2

Για καθεμία από αυτές εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα: Λύστε την εξίσωση. β. Γράψτε την στη μορφή αχ + β Ο γ. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων απεικονίστε γραφικά τη συνάρτηση y=αχ+β. δ. Υπάρχει κάποια σχέση, και αν ναι ποια, μεταξύ της λύσης της εξίσωσης που βρήκατε στο βήμα α και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης του βήματος γ; Λύ ση ι) α. 2χ - χ = 1+ 5 <::::> χ = 6 β. χ - 6 = 0

α.

=

.

γ. y=χ-6

δ.

-7 -6

-5 ..... -3 -2 -1

Η τετμημένη του σημείου τομής Α της συνάρτησης y

-2

ο

1

= χ - 6 με τον άξονα χ 'χ είναι ίδια με

τη λύση της αρχικής εξίσωσης (γιατί,)

Άσκηση 2 Οι ηλικίες της Κατερίνας και της μητέρας έχουν άθροισμα 43 . Πριν από 4 χρόνια η Κατερίνα είχε το ένα τέταρτο της ηλικίας της μητέρας της. Πόσων χρονών είναι η Κατερίνα; (AΠ: l l ετών) Υπ όδ ειξη : αν με χ συμβολίσουμε την σημερινή ηλικία της Κατερίνας, τότε σύμφωνα με το

πρόβλημα θα έχουμε:

Κατερίνας ηλικίες Σήμερα: χ Πριν 4 χρόνια:χ--4 Σύμφωνα με το πρόβλημα έχουμε την εξίσωση: 1 χ--4 = 4 [(43-χ)--4]

Μητέρας 43-χ (43-χ)--4

η λύση της εξίσωσης αφήνεται στον αναγνώστη.

Άσκηση 3 Μια μέρα οι παρόντες μαθητές μιας τάξης ήταν πενταπλάσιοι από τους απόντες. Την επομένη μέρα η τάξη είχε έναν απόντα λιγότερο και οι παρόντες ήταν επταπλάσιοι από τους απόντες. Πόσους μαθητές έχει η τάξη ; ΑΠ: 2 4 Υπ όδ ε ιξη Με χ συμβολίζουμε τους απόντες και σύμφωνα με το πρόβλημα σχηματίζουμε την εξίσωση

που προκύπτει απο αυτό. Η εύρεση της εξίσωσης και η λύση της αφήνεται στον αναγνώστη

Άσκηση 4 Όταν ρώτησαν εκτροφέα σκύλων Δαλματίας . πόσους σκύλους είχε, απάντησε: αν διαιρέσεις τον αριθμό των σκύλων με το 7 βρίσκεις υπόλοιπο 3 , αν τον διαιρέσεις με το ι ι βρίσκεις υπόλοιπο 2 και αν τα διαιρέσεις με το ι 3 βρίσκεις υπόλοιπο ιο. Αν το άθροισμα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/21


------- ΕΠΑΝΑΛΗΠτΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

-------

των τριών πηλίκων αυτών των διαιρέσεων είναι ίσο με 3 0, πόσους σκύλους έχει ο μυστηριώδης εκτροφέας; AΠ=x=lOl Υπ όδ ειξη

Εδώ εφαρμόζουμε την ισότητα της ευκλειδιας διαίρεσης φυσικών αριθμών Δ=δ•π+υ, με υ<δ ( 1) Καλούμε με χ τον αριθμό των σκύλων οπότε για δ=7, υ=3 και Δ=χ απο την ισότητα (1) χ-3 έχουμε το πηλίκο . Η συνέχεια της λύσης του προβλήματος αφήνεται στον αναγνώστη. 7 Άσκηση 5 Ένα γυμναστήριο προτείνει στους πελάτες του δύο τρόπους πληρωμής: Α : πάγιο 25 € το μήνα και 4 € την επίσκεψη και Β : 7 € την επίσκεψη (χωρίς πάγιο) α) Γράψτε υπό τη μορφή συνάρτησης την κάθε περίπτωση, θέτοντας ως χ τον αριθμό των επισκέψεων και ως y το αντίστοιχο κόστος. β) Στο ίδιο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, παραστήστε γραφικά τις δύο συναρτήσεις. γ) Προσδιορίστε με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης τον ελάχιστο αριθμό επισκέψεων για τους οποίους συμφέρει ο Α τρόπος πληρωμής. δ) Προσδιορίστε και αλγεβρικά τη λύση που βρήκατε στο γ). 25 Α Π : γ)9 ελάχιστος αριθμός επισκέψεων, χ> ::::: 8 ,33 ... 3 Τα ερωτήματα β), γ) αφήνονται στον αναγνώστη δ) υπόδειξη 4χ+25<7χ λύνουμε την ανισότητα και βρίσκουμε χ>8,33 α) Α : y = 4χ + 25 , Β: y = 7χ Άσκη ση 6 Ένας αγρότης έχει ένα ορθογώνιο χωράφι μήκους 80 m και επιθυμεί να περιφράξει ένα ορθογώνιο τμήμα του που να έχει το ίδιο μήκος με το χωράφι. Επιθυμεί το συνολικό μήκος της περίφραξης να είναι μικρότερο από 3 00 m, αλλά και η περιφραγμένη περιοχή να έχει εμβαδόν μεγαλύτερο από 2.400 m2 • Μεταξύ ποίων τιμών μπορεί να κυμαίνεται το πλάτος της περιφραγμένης περιοχής; ΑΠ : 30<χ<70 Υπ όδ ειξη

Καλούμε χ το πλάτος της περιφραγμένης περιοχής και σχηματίζουμε την ανισότητα που προκύπτει απο τα δεδομένα του προβλήματος. Αυτό αφήνεται στον αναγνώστη.

χ 80

Άσκη ση 7 Ένας οδηγός νταλίκας καταγράφει σε ένα σημειωματάριο τις διαδρομές του στη διάρκεια της ημέρας. Στις 1 2 η ώρα (χ = Ο), φεύγει από την πόλη Α με σταθερή ταχύτητα 72 kιnlh, οδηγεί για δύο ώρες και στη συνέχεια ξεκουράζεται για μια ώρα. Στις 15 η ώρα, ξεκινάει πάλι οδηγώντας αυτή τη φορά με ταχύτητα 60 km/h, για 3 ώρες. α) Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών της απόστασης y σε χιλιόμετρα ως συνάρτηση των ωρών χ (χ = Ο, 1, 2 , 3 , 4, 5 και 6). β) Υπάρχει τύπος που να εκφράζει το y ως συνάρτηση του χ; Αν ναι γράψτε την. γ) Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, επιλέγοντας κατάλληλη κλίμακα, να aπεικονίσετε γραφικά τη σχέση μεταξύ χ και y. δ) Τι απόσταση διάνυσε: • Μεταξύ 1 3 : 00 και 14:00; • Από τις 1 2 :00 μέχρι τις 16:00; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/22


------- ΕΠΑΝΑΛΙΠιτΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

-------

ε) Πόσος χρόνος απαιτείται για να διανύσει το όχημα τα πρώτα 100 χιλιόμετρα; Να απαντηθεί το ερώτημα ί) με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης και ίί) αλγεβρικά. στ) Είναι η συγκεκριμένη σχέση συνάρτηση ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

1 00 25 ώρες= 83 λεπτά περίπου 72 1 8 β) 72χ με 0:5χ:::2 , 144 με 2<χ:53 και 144+60•(χ-3), με 3<χ:56

ΑΠ:

δ)72 km, 204 km, ε)

=

Υπ ό δειξη :

α)

Σύμφων,α����-��-.---.----.--. 4 5 6 204 264 324 Η συνέχεια της λύσης αφήνεται στον αναγνώστη.

Άσκη ση 8 Στο διπλανό σχήμα, ο κύκλος με κέντρο Ο έχει ακτίνα 4 cm και είναι ΟΑ=10,4 cm και ΑΜ=ΑΝ=9,6 cm (όπου Μ, Ν σημεία του κύκλου). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΜ και ΑΝ είναι εφαπτόμενες του κύκλου. Υπ όδειξη :

Μ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ΑΜ είναι κάθετος στην ΟΜ Για αυτό εξετάζουμε αν ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΜΟ. Το ίδιο εξετάζουμε και στο τρίγωνο ΑΝΟ

Ν

Άσκη ση 9 Στο διπλανό σχήμα, είναι ΑΓ = 1 Ο, ΑΒ = 8 , ΒΓ = 6, ΑΔ = 9,6 και ΓΔ = 2 ,8. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και Β Γ τέμνονται στο Η. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΕΓ. β) Τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχετική θέση των ευθυγράμμων τμημάτων ΕΗ και ΑΓ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Υπ όδειξη : χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα. Άσκη ση 1 0

......

Ε

Α

.....

Να βρείτε τις γωνίες Β ΑΓ , ΓΑΟ και ΑΓΟ του διπλανού σχήματος. Λύση

-.

0 BAr = ΒΟΓ = 40 = 20° 2 2

--

εγγεγραμμένη

(επειδή

που βαίνει με επίκεντρη στο ίδιο

τόξο ΒΓ ). Το τρίγωνο Α ΟΓ είναι ισοσκελές (Α Ο ακτίνες του κύκλου),

-.

είναι

=

ΟΓ ως

1 80° - ΑΟΓ 1 80 ° - ( 90° + 40° ) 50° = - = 25° ή = 2 2 2 -. Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα ΒΑΟ = 45° . Τότε: -. -. -. ΓΑΟ = ΒΑΟ - ΒΑΓ = 45° - 20° = 25°

Επομένως

Λ

ΓΑΟ = ΑΓΟ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 92 τ.4/23

Γ

Γ


Α

Άσκηση 1 1 Αν το τρίγωνο ΑΒ Γ, στο διπλανό σχήμα, είναι ΑΟΓ = 1 4 0° , να "'

ισοσκελές με κορυφή το Α και

λ

προσδιορίσετε το μέγεθος της γωνίας Β ΔΓ ΑΠ: γωνία BAΓ=4rf Υπόδειξη: i) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία •

σε κύκλο ισούται με _!_ της επίκεντρης γωνίας στον ίδιο κύκλο που 2 βάνει στο ίδιο αντίστοιχο τόξο. ii) τρίγωνο ΑΟΓ ισοσκελές.

Δ

Γ

Ση μείω ση :

Στα παρακάτω 3 προβλήματα μας δίνονται τα στοιχεία ενός ορθογωνίου τριγώνου και μας ζητούνται τα υπόλοιπα. Στις περιπτώσεις αυτές, χρησιμοποιούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημχ, συνχ, εφχ καθώς και το πυθαγόρειο θεώρημα. Άσκηση 1 2 σκιά ενός δένδρου επιμηκύνεται κατά 2 0 m όταν η γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες του ήλιου μειώνετ αι από 3 1° σε 1 2 °. Πόσο είναι το ύψος του δένδρου; ΑΠ:6,58 μέτρα το ύψος του δέντρου , ακτlνες Υπ όδ ειξη : απο το σχήμα έχουμε, Η

ΓΔ=ΒΔ-ΒΓ=

ΑΒ

--

ΑΒ

- --

απο τα τρίγωνα

-

'

',

Α

��� �

εφΔ εφΓ ΑΒ Γ και ΑΒΔ. Η συνέχεια της λύσης αφήνεται στον αναγνώστη.

Β

Γ

20m --- Δ

σκιό

Άσκηση 13 Ένα τετράγωνο πλαίσιο πλευράς 50 cm, ακουμπάει σε ένα κατακόρυφο τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν γνωρίζουμε ότι η κορυφή Α απέχει από τη βάση του τοίχου 4 0 cm, σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται η κορυφή Γ; ΑΠ:70 εκ απέχει απο το έδαφος η κορυφή Γ. Λύση "'

"'

"'

ΕΒΑ + ΑΒΓ + ΓΒΖ = 1 80° , Α

λ

40 cm

Α

Γ

z

θ + 90° + ω = 1 80°, ω = 90° - θ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ προκύπτει ότι: ......_

Α

Λ

EB = J900 = 30 ΕΑ 40 4 συνω = - = - = ΑΒ

50

Δ

Α

ΕΑΒ = 90° - ΕΒΑ = 90° - θ = ω και ακόμη: ΕΒ 2 = ΑΒ 2 - ΑΕ2 = 50 2 - 402 = 2500 - 1 600 = 900 '

Β Ε

40

Α

5

' ' ' ' τpιγωνο οτι: Α πο, το opθογωνιο ΒΖΤ πpοκυπτει

ΒΖ 4 ΒΖ 200 40 συνω=- , - =- ' 5ΒΖ = 2ΟΟ ' ΒΖ ==

ΒΓ s so s Επομένως η κορυφή Γ απέχει από το έδαφος όσο το ΖΕ = ΕΒ + ΒΖ = 30 + 40 = 70cm. Άσκηση 14 Από ένα σημείο Χ που βρίσκεται στη μία πλευρά μιας ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/24


------- ΕΠΑΝΑΛΗΠτΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ -------

κοιλάδας, βλέπουμε ένα άλλο σημείο Υ που βρίσκεται από την άλλη μεριά της κοιλάδας υπό γωνία 42 °. Σε ένα χάρτη με κλίμακα 1 : 2 5.000 η απόσταση μεταξύ των σημείων Χ και Υ είναι 4,6 cm. Αν το σημείο Υ βρίσκεται σε υψόμετρο 150 m, ποιο είναι το υψόμετρο του Χ; (ΑΠ:το σημείο χ βρίσκεται σε υψόμετρο 9 1 9,5 m.) υπόδειξη : χ

4,6

γ

z

I

Άσκηση 13 Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ένα τυχαίο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Η ε είναι η μεσοκάθετος του ΒΓ που τέμνει τον κύκλο στα Δ και Δ Ό Να αποδείξετε ότι: α) η ε διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου.

i Δ'

Γ

.......

β) η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου . γ) η ΑΔ ' είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας τριγώνου.

ΒΑχ

του

Λύση

α)

Επειδή ΟΒ ΟΓ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου), το Ο ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ, και επομένως βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετό του. β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΒΓ, η ΟΔ είναι ύψος άρα θα είναι και διχοτόμος. Τότε: =

"'

"'

"'

"' ΒΟΔ Δ ΟΓ "' "' ΒΟΔ = ΔΟΓ, -- = -- , ΒΑΔ = ΔΑΓ δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της ΒΑΓ . 2 2 _...._

"'

γ) Δ ' ΑΔ = 90° (επειδή βαίνει σε ημικύκλιο) .......

.......

.......

......

ΓΑΔ + ΔΑΒ + ΒΑΔ ' + Δ ' Αχ = 1 80° , ΓΑΔ + Δ ' Αχ = 90° '------v900 .-.. .......

.......

.-..

Επειδή ΔΑΒ + ΒΑΔ ' = 90° , Γ ΑΔ + Δ ' Αχ = ΔΑΒ + ΒΑΔ ' , Δ ' Αχ = ΒΑΔ ' (επειδή "'

"'

Γ ΑΔ = ΔΑΒ ), δηλαδή η ΑΔ ' είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας ΒΑχ του τριγώνου. Άσκηση 14 Στο διπλανό σχήμα, είναι

Β = Γ = 25° .

Να προσδιορίσετε τ�� μέγεθος της γωνίας ΒΟΓ . β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ Γ είναι ισοσκελές. Λύση

α)

"'

α)

Β Α

ΒΑΟ + ΓΑΟ = 25° + 25° = 50° (επειδή τα τρίγωνα ΑΟΓ και Α ΟΒ είναι ιmJt.τιee.70 "' "' ΓΟΒ = 2Γ ΑΒ = 2 50° = 1 00° 1 80° - 1 00° = 25° + 40° = 65° και β) ΑΒΓ = ΑΒΟ + ΟΒΓ = 25° + 2 1 80° - 1 00° ΑΓΒ = ΑΓΟ + ΟΓΒ = 25° + = 25° + 40° = 65° (επειδή το τρίγωνο ΓΟΒ είναι 2 ·

......

Λ.

Λ.

Λ

Λ

Λ

ισοσκελές). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 9 2 τ.4/25


Προτ ε ι ν ό μ εν α δ ι αγων ίσ ματα προ αyωy ι κών εξε τά σ ε ων στην Γ 'Γ υμ ν α σίο υ

���4 �

======

Διαγώνισμα 1 .

O Q Θεωρία

ι ΓΔ .

2.

1

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β )3 = α3 + 3α 2 β + 3αβ2 + β3 (σελ. 44) Να επtλέξετε τη σωστή απάντηση. Το ανάπτυγμα του (χ + 1 )3 είναι: .

α) χ 3 + 1 , β) χ 3 + 3χ 2 + 3χ + 1 , γ) χ 3 - 3χ 2 + 3χ - 1 , δ) χ 3 - 1 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες α) (χ - y) 3 = χ 3 - 3x 2 y + 3xy2 - y3 β) (χ - 2)3 = χ 3 - 6χ 2 - 1 2χ - 8 ΓΔ2• 1 . Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. (σελ. 1 88) 2. Να χαρακτη ρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα D β) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία και μία πλευρά του ενός είναι ίση με μία πλευρά του άλλου τότε είναι ίσα D Α ΣΚ ΗΣΕΙΣ

Έστω τα πολυώνυμα Ρ (χ) = (χ - 1)3 + (χ + 1) 2 - 5χ και Q (x) = χ 2 - 2χ α) Να δείξετε ότι Ρ ( χ) = χ 3 - 2χ 2

ΓΔ3.

Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα Ρ( χ), Q(x) γ) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(χ) + Q(x) = Ο β)

Γ Δ4.

Χρησιμοποιώντας το διπλανό σχήμα α) Να δείξετε ότι ΑΒΓ ΔΕΖ β) Αν το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 24 cm2 να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΔΕΖ. :::::

Α

ΓΔ5•

Οι ευθείες y=4,x=2, y=-x- 1 τεμνόμενες σχηματίζουν ένα τρίγωνο α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. β) Να βρείτε το εμβαδόν του.

Β

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/26

Γ

lO cm


------

O t:>

Θεωρία

Γ Δ6.

i) ii)

Γ Δ7 •

Προτεινόμενα διαγωνίσματα προαγωγικών εξετάσεων στην Γ' Γυμνασίου

-----

ΔιαγWνιαμα 2 .

Να αναφέρετε τις περιπτώσεις λύσεων της εξίσωσης αχ2+ βχ+γ = διάφορες τιμές της Δ(Διακρίνουσας). Σελ.94

Ο

με

<#()

για τις

Αν χ1,χ2 είναι λύσεις της εξίσωσης αχ2+ βχ+γ = Ο με α;t:Ο να γράψετε τον τύπο παραγοντοποίησης του τριωνύμου αχ2+ βχ+γ με την βοήθεια αυτών. Σελ.9 6 .

i) ii)

Με τι είναι ίσος ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων; Σελ. 200 Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα β, δ. σελ. 201 iii) Αναφέρατε τις σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών. Σελ .20 1 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ Δs. Δίνεται η παράσταση Α = ( χ - 2 ) 2 + 2 ( χ - 2 )( χ + 2 ) + ( χ + 2 γ

α) Να αποδείξετε ότι Α=4χ2 • β) Να λύσετε την εξίσωση Α-4=0 ΓΔ9 .

Δίνεται η εξίσωση

ί)

ii)

2 4 - -- = Ο . + 4χ + 4 χ + 2

Να βρείτε ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για το χ , ώστε να έχει νόημα η παραπάνω εξίσωση.

iii)

ί)

2

Να βρείτε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών της.

ii)

ΓΔιο.

+ --!--χ -4 χ

Να αποδείξετε ότι εφόσον ισχύουν οι περιορισμοί αυτοί η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με την -4χ2+5χ+ 1 8 =0 την οποία να λύσετε.

Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΑΔ=ΒΓ = χ και ΓΔ=2χ. Να υπολογίσετε την ΑΓ με τη βοήθεια του χ. Να αποδείξετε ότι ΔΑr = 90° .

Α

χ

χ Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/27

Γ


Θέματα προετοιμασία ς για τις εισαγωγικές εξετάσει ς των Πρότυπων Πειρ αματικών Λυκείων Σκαλοχωρίτου Γεωργία, Κουτσκουδής Παναγιώτης, Ματοσιάν Ντικράν

(Καθηγητές του ΠΠΓΛ Μυτιλήνης)

Ά σκη ση 1

Οι οκτώ ίσοι κύκλοι που δίδονται στο παρακάτω σχήμα, εφάπτονται μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται στις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν η ακτίνα των κύκλων είναι 1 cm, να βρείτε i . τις διαστάσεις α, β του ορθογωνίου ii. το εμβαδόν του κάθε κύκλου iii. το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ του ορθογωνίου και των κύκλων iv. να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκια­ σμένη ς περιοχής.

�1�

τ τ -.,

�+++�

β

Ά σκη ση 2

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τέσσερα σχήματα, ένα παραλληλόγραμμο, ένα τρίγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο. i . Ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν κάθε ενός από τα παρακάτω σχήματα; ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν των τεσσάρων σχημάτων, με μονάδα μέτρησης το εμβαδόν του τετραγώνου του πλέγματος. Υπάρχουν σχήματα που να έχουν το ίδιο εμβαδόν (ισεμβαδικά); iii. Να δείξετε ότι ΓΕ= 3 .J5 . Πόσο είναι το μήκος του ύψους του τριγώνου Γ ΔΕ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΓΕ; •

� � �· �·· ·� α

i. ii.

iii.

iv.

Απ άντη σ η :

Α πάντη ση :

.

ε

\

Η διάμετρος του κύκλου είναι δ=2R=2 cm i . παραλληλόγραμμο: (πλευρά) χ . Άρα α=4δ= 8cm και β=2δ=4cm (αντίστοιχο ύψος) Εk=πR2=π. 1 2=π cm2 Το ζητούμενο εμβαδόν βρίσκεται αν από τρίγωνο: .!_2 χ (πλευρά) χ (αντίστοιχο ύψος) το εμβαδόν του ορθογωνίου αφαιρέσω το ορθογώνιο: (μήκος) χ (πλάτος) ε�βαδόν των 8 κύκλων. Δηλ Ε=Εορeτραπέζω: .!.. χ (βάση μεyάλη + βάση μικρή) χ 8 ιc=32cm2 -8πcm2 = 8(4-π)cm2 . 2 Η ζητούμενη περιοχή απαρτίζεται, λ&yω (ύψος) συμμετρίας, από τέσσερα ίσα σχήματα, ίσα . ΑΒΓΔ) = 4 · 3 = 12 τμ με αυτά που εμφανίζονται εκτός των ίί ( 1 κύκλων στις 4 γωνίες του ορθογωνίου. Η (ΓΔΕ) = · 4 · 3 = 6 τμ 2 περιοχή που βρίσκεται μεταξύ του Ζ Θ Η = ) 2.3 =6 τμ (Ε ορθογωνίου και των κύκλων απαρτίζεται 1 από 32 τέτοια τμήματα. Επομένως το (ΙΚΛΜ) = 2 · (5 + 3) · 3 = 12 τμ 4 =1 ' ζητουμενο ' εμβ αδον ' θα ειναι τα g Το ΑΒΓΔ είναι ισεμβαδικό με το ΙΚΛΜ 32 του εμβαδού που υπολογίστηκε στο iii. και το ΓΔΕ με το ΕΖΗΘ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΖ iii. Δηλαδή: Ε' = Ε = ( 4 - π) = 4 - π προκύπτει ότι: ΓΕ2 = 62 + 3 2 = 45, άρα

� t ($'

)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/28

ί

i

I I


-- θέματα προετοιμασίας ΎW τις εισαγω-γικές εξετάσεις των Π ρότυπων Πειραματικών Λυκείων ί ίί. ΓΕ = J4s = .J9:5 = 3 .[5 _!_ (ΓΔΕ) = χ (πλευρά) χ (αντίστοιχο ύψος , 6 2 4.[5 = _!_ 3.[5 · υ άρα υ = 6 2 = 3 .[5 2 5

Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις εκφράζει το εμβαδόν του ΑΙΖθ . ο ο ο

·

'

ο ο

Άσκηση 3 Το μικρό σχήμα είναι σμίκρυνση του μεγάλου με κλίμακα 1 : 3 . i. Βρείτε το μήκος της πλευράς χ του μικρού σχήματος αν η αντίστοιχη πλευρά στο μεγάλο είναι 12 cm. ii. Αν το εμβαδόν του μικρού σχήματος 2 είναι 5 cm , να βρείτε το εμβαδόν του μεγάλου σχήματος.

Α

(α+β)2 (α-β)2 α2-β2 α2+β2 καμία ������ ·

Θ

Ι· iv.

i.

Λ&yω της κλίμακας τα στοιχεία του μuφού Ι , , , οιχων στοιχειων , σχηματος ειναι το 3" των αντιστ άλου

του μεy

χ= σχηματος, αρα

,

,

12 =4cm 3

λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους άρα 2 _!_ Εμβ . μικ = .!. 5Εμβ.μικ = . άρα · Εμβ. μεγ 3 Εμβ. μεγ 9 άρα Εμβ. μεγ = 4 5 cm2 ii. Ο

()

Άσκη ση 4 Το τετράγωνο ΑΒΓΔ (πράσινο) έχει πλευρά α και το ΓΕΖΗ (κόκκινο) έχει πλευρά β<α απάντησε στις παρακάτω ερωτήσεις: i.

ii.

Πόσο είναι το μήκος των ευθ τμημάτων ΑΘ, ΑΙ συναρτήσει των α, β; Ποιο είναι το εμβαδόν του ΑΙΖθ (μπλε) ορθογωνίου συναρτήσει των α, β ;

z

Ε

Δ

Απάντηση :

--

Η

Γ

·Ι· β -j

α

Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο με πλευρά την διαγώνιο ΑΖ του ΑΙΖΘ έχει εμβαδόν διπλάσιο από το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων ΑΒΓ Δ και ΓΕΖΗ.

Α πά ντη ση : ί. ίί

.

ίίί.

ν.

ΑΘ=ΑΔ-ΘΔ=ΑΔ-ΖΗ= α-β ΑΙ= ΑΒ+Β Ι =ΑΒ+ΓΗ =α+ β (ΑΙΖΘ)=ΑΘ . ΑΙ=(α-βj (α+ β)=α2-β2 Λόγω του (ii) το α2-β Από Π. Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΙΖ έχω ΑΖ2=ΑΙ2+ΙΖ2=(α+ β)2+(α-βj2= α2+2αβ+β2+α2-2αβ+ β2=2(α + β2) Άρα το τετράγωνο με πλευρά ΑΖ έχει εμβαδόν ΑΖ2 που είναι διπλάσιο από το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων ΑΒΓΔ και ΓΕΖΗ αφού ΕΑΒrΔ=α2 και Erεzu=β2 Ά σκη σ η 5

Δίνονται οι παραστάσεις A= J8 .Ji + .J9 i. ίί.

[ (4)-1]( 1)-1

( J5} και Β= i' - 3 2

Να αποδείξετε ότι Α = 2 και Β=

13113 4

!. .

3 Για τις παραπάνω τιμές των Α, Β να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης 2 Α3-1 8.Α.Β2 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/29


-ί.

Θέματα προετοιμασίας για τις εισαγωγικές εξετάσεις των Πρότυπων Πειραματικών Λυκείων

Απάντηση :

Α = 2.fi.fi + 3 - 5 = 2 · 2 + 3 - 5 = 2 ι 3 = · 43 = -1 · -4 = -1 Β = 114 4 3 3 4 4 ή και i i . 2Α 3 - 1 8 · Α · Β 2 = 2Α ( Α 2 - 9 Β 2 ) = = 2Α ( Α - 3Β) { Α + 3Β) = 2 · 2 · (2 - 1) · (2 + 1) = 12

( χ τ (Γ

2Α3 - 1 8 · Α · Β 2 = 2Α ( Α 2 - 9Β2 ) = ' 3 � 1 6 - 4 � 12 � 2·2 -18·2 Άσκη ση 6

ΑΔ.

ίί .

, ._, Δ

Ζ

= 4χ-1

Ε

Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού χ το τρίγωνο έχει μεγαλύτερη περίμετρο από την περίμετρο του ορθογώνιου; Α πάντη σ η : ί.

ίί.

{χ-

iv. Να επαληθεύσετε και αλγεβρικά τη λύση που βρήκατε στο iii. 6

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά ΑΒ=3 χ+4 cm και το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις ΔΕ = (4.χ-1) cm και ΔΗ = (1,5.χ+ 1) cm, όπου χ πραγματικός αριθμός. ί. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με Πτριγ = 9χ+ 1 2 cm και η περίμετρος του ορθογωνίου είναι Πορe = l lx cm.

3χ+4

και y=-χ+4. i. Ποια ευθεία από τις παραπάνω έχει εξίσωση την y=x-2 ; ίί. Σε ποιο σημείο τέμνει η y=-x+4 τον οριζόντιο άξονα χχ' ; ίίί. Να εκτιμήσετε γεωμετρικά τη λύση του Υ=2 συστήματος x+y = 4

{�)

Η

Πτριγ = 3 (3χ + 4) = 9χ + 12 cm,Πορθ = 2[(1, 5χ + 1) +( 4χ -1)] = 2(1,5χ + 1 + 4χ -1) =

= 2 · 5, 5χ = 1 1χ cm Πτριγ > Πορθ , 9χ + 12 > 1 1χ , l lx-9x < 12, 2χ < 12 , χ < 6 , θα πρέπει όμως οι πλευρές των πολυγώνων να είναι θετικές, δηλ 3χ+4>0 και 1 .5χ+ 1>0 και 4χ' ' 1 , χ > -1 , οποτε τελικα - < χ < 6 . 1 >0 , αρα 4 4

Άσκηση 7 Οι ευθείες ΒΓ και ΔΕ, που βλέπετε στο διπλανό σχήμα έχουν εξισώσεις τις y=x-2

3 2

?

-1

ο -1

Α

ο

1

2 Δ

4 Β

3

5

6

7

Ε -3

Απάντηση : ί.

ίί . ίίί .

Τα σημεία Δ(2, Ο) και Ε(Ο , -2) επαληθεύουν την εξίσωση: Ο = 2 - 2 και -2 = Ο - 2. Επομένως η ευθεία ΔΕ έχει εξίσωση y =χ-2. Θ α πρέπει y = Ο , - χ + 4 = Ο , χ = 4 . Άρα η y = -χ+4 τέμνει τον άξονα χ ' χ στο σημείο (4,0). Οι ευθείες ΒΓ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Α(3, 1 ). Επομένως η λύση του συστήματος θα είναι χ = 3, y = 1

iv. 1 ος τρόπος:

προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις έχουμε: χ - y + χ + y 2 + 4, 2χ = 6, χ= 3. Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή του χ στην 1η εξίσωση έχουμε: 3 - y 2, y = 3 - 2= 1 . 2°ς τρόπος (με αντικατάσταση): χ - (4 - χ) = 2 χ - 4 + χ = 2 2χ = 6 ' y= 4-x ' y= 4-x' y=4-x =

=

{ {; = �

-3 � ι'

Άσκη ση 8

{ {;::

{

Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος έχει υποτείνουσα ΒΓ=2 1 cm. Το 2 τετράγωνο ΑΒΔΕ έχει εμβαδόν Ετ=4 1 cm •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/30


-- Θέματα προετοιμασίας για τις εισαγωγικές εξετάσεις των Πρότυπων Πειραματικών Λυκείων

ί. Να δείξετε ότι το μήκος της κάθετης πλευράς ΑΓ του τριγώνου είναι 2 0 cm ίί. Ν α βρείτε το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο την ΑΓ.

Α

ν.

Απάντηση : ί. ΑΓ2 = ΒΓ2 - ΑΒ 2 = 2 1 2 - 4 1

400. Άρα ΑΓ = .J400 = 20 π

Ε�

ίί.

= 44 1 - 4 1 =

πΙ Ο ' \ ΟΟ π = (f)' = = 50π . 2 2 2

Άσκηση 9 Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η ί επ δοση των μαθητών (αγοριών και κοριτσιών) της τρίτης τάξης ενός Γυμνασίου στα Μαθηματικά. 18 "'

-� "' � Σ

c::

«μέτρια» και 4 που πήραν «καλά» άλλα 7 που πήραν «πολύ καλά» και 1 0 που πήραν «άριστα». Σύνολο 28 αγόρια «Καλά» 1 2 μαθητές (8 κορίτσια και 4 αγόρια) και «μέτρια» 1 1 (4 κορίτσια και 7 αγόρια), άρα τελικά «καλά» ή «μέτρια» είχαν επίδοση 23 μαθητές . Αγόρια 7+4+7+ 1 0=28 και κορίτσια 4+ 8+ 1 6+4=32 σύνολο 60 μαθητές.

Άσκηση 1 0 Το ορθογώνιο στο σχήμα έχει περίμετρο 22cm. ί. Να εκφράσετε τη διάσταση β του ορθογωνίου σαν συνάρτηση του χ. ίί. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του χ; ίίί. Να υπολογισθούν οι τιμές του χ ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με

10cm2•

ίν. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του εμβαδού, και για ποια τιμή του χ επιτυγχάνεται ; β

Ε Π ΙΔΟ Σ Η ΜΑΘΗΤΩΝ Γ ΤΑΞ Η Σ

16

14 12

Απ άντηση :

10

ι 8

αγοριών).

ίί. «Άριστα» έχουν 4 κορίτσια ίίί. Η τάξη έχει 7 αγόρια που πήραν ίν.

21 cm

Ετ = 41c:m.2

8 ΑΓΟΡΙΑ

6

ο

8 ΚΟΡΙΤΣΙΑ

ΚΑΛΑ

ΠΟΛV ΚΑΛΑ

Εn[δοση στα Μαθηματικά

ΑΡΙΣτΑ

Αφού μελετήσετε το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: ί. Επίδοση «Πολύ καλά» είχαν περισσότερα αγόρια ή κορίτσια; ίί. Πόσα κορίτσια είχαν επίδοση «άριστα» ίίί. Πόσα ήταν τα αγόρια της τάξης; ίν. Πόσοι μαθητές είχαν επίδοση «καλά>> ή «μέτρια>>; ν. Πόσους μαθητές (αγόρια και κορίτσια) είχε η τάξη ; Απ άντηση : ί. Επίδοση «Πολύ Καλά>> έχουν

περισσότερα κορίτσια 1 6 ( έναντι 7

--

ί.

ίί. ίίί. iv.

5-χ

Περίμετρος = 22, 2[(5-χ) +β] = 22, 2 ( 5 - χ + β) = 22 ' 5-x+β = ll, β = χ+6. Πρέπει οι διαστάσεις του ορθογωνίου να είναι θετικοί αριθμοί, δηλαδή θα πρέπει: 5-χ >Ο και χ + 6 > Ο, δηλαδή χ < 5 και χ > --6 ή --6<χ< 5 Ε = 1 0 , ( 5 - χ) (χ + 6) = 1 0 , -χ2 - χ + 30 = 1 0 , χ 2 + χ - 20 = ο , χ = 4 ή χ = -5. Και οι δύο τιμές είναι δεκτές. Το εμβαδόν Ε δίνεται από τη σχέση: Ε= (5 - χ) {χ + 6) , Ε = -χ2 - χ + 30 . Το εμβαδόν Ε είναι συνάρτηση 200 βαθμού ως προς χ. Επειδή α=-1 <0, θα παρουσιάζει μέγιστη τιμή την 121 121 Δ όταν -- = --- = - cm2 ' 4α 4(-1) 4 ( -1) .!. = - 1_ χ =- τιμή η οποία είναι δειcrή . =2α 2(-1) 2 '

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/31


Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς Γ 'Γυμνάσ ιου ======= Ιγν άτιος Κοτζαμπάσης -

Γυμνάσιο Άντισσας

Άσκηση 1 :

Έστω ο πραγματικός αριθμός χ για τον ποίο ισχύει: Α = χ3 - 3χ + 2 και η ι 2 χ ισότητα -- - = -- . χ - 1 χ2 χ2 - χ 1 . Να γράψετε ως γινόμενο την αλγεβρική παράσταση Α. 2 . Να βρείτε ποιες πραγματικές τιμές δεν μπορεί να πάρει ο αριθμός χ. 3 . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό χ. -

Λύση Η ι.

αλγεβρική παράσταση Α γράφεται Α = χ3 - 3χ + 2 = . . . = (χ - 1){χ 2 + χ - 2) . ' χ 2 = -1- ορiζεται αν οι 2 Η . ισοτητα -- - χ - 1 χ2 χ2 - χ παρονομαστές της δεν είναι ίσοι με Ο. Άρα χ - 1 ::�:- Ο και χ 2 ::1:- Ο και χ 2 - χ ::1:- Ο . Έχουμε και χ ::1:- Ο και Τελικά ο αριθμός δεν μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1. χ 2 - -1 Η 3. αποτελεί ισότητα -- - χ - 1 χ2 χ 2 - χ εξίσωση με άγνωστο τον αριθμό χ η οποία σύμφωνα με το ( 2 ) ερώτημα ορίζεται αν χ ::�:- Ο και χ ::�:- 1 . Το Ε . Κ.Π των παρονομαστών είναι χ 2 (χ - 1) , οπότε η εξίσωση γράφεται : 1 χ χ2 (χ - 1) -- - χ 2 (χ - 1) � = χ2 (χ - 1) χ-1 χ2 χ(χ - 1} � χ3 - 2(χ - 1} = χ � χ3 - 2χ + 2 = χ � χ3 - 3χ + 2 = Ο ή λόγω (1) (χ - 1){ χ 2 + χ - 2) = Ο � χ - 1 = 0 ή χ2 + χ - 2 = 0 . Η πρώτη εξίσωση δίνει χ = 1 , ενώ για τη δεύτερη έχουμε Δ = 1 2 - 4 · 1 · (-2} = 1 + 8 = 9 >- 0 και , , χ = - 1 ± ..J9 = -1 ± 3 , οποτε οι ρι'ζες της ειναι -22.1 χ = 1, χ = -2 . Λόγω των περιορισμών δεκτή ρίζα είναι η χ 2= -2 . Άσκηση

: 1.

Για τους πραγματικούς αριθμούς

( ;) ( ;)

α , β , αποδείξετε ότι ισχύει: α β 2 - α β 2

1. 2

.

Να βρείτε θετικούς ακεραίους

κ,

λ

=

αβ .

ώστε :

κ 2 - λ 2 = 21 · 17 . Να βρεθεί το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου του οποίου οι δύο πλευρές διαφέρουν κατά 4 μονάδες , ενώ το άθροισμα τους είναι 20 μονάδες.

Λ ύση : ι .

Έχουμε

α 2 α2 α 2 α 2 = α + 2 β + β - + 2 β - β = 4 β = αβ . 4 4 2 . Αν είναι α = 2 1 και β = 1 7 , τότε σύμφωνα με την ταυτότητα του ερωτήματος (1) έχουμε 2 2 21 1 7 2 - 2 1 1 7 2 =21 � ·17 ; - =21 · 1 7 ;

( )( )

(�) (�)

� 1 92 - 2 2 = 21 · 1 7 . Άρα μία λύση είναι κ=19, λ=2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν άλλες 2 και να τις βρείτε. 3 . Έστω ότι οι πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι α, β με α > β . Τότε το εμβαδόν του είναι Ε α · β , οπότε σύμφωνα με την ταυτότητα του ερωτήματος ( 1) 2 2 έχουμε : Ε = α β - α ; β , όμως α - β = 4 =

(;) ( )

και α + β = 20 άρα το εμβαδόν είναι 20 2 - 24 2 = 102 22 = 100 4 = 96 τ.μ. Ε= 2 -

( ) ()

Άσκηση 3

αλγεβρική θεωρούμε παράσταση την Α= lr + ry + lr + xy , όπου χ, y θετικοί ακέραwι. ι . Να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων η παράσταση Α. 2 . Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση : 3 Ζ 2 2χ + Χ Υ + 2χ + xy κ = -----:�---:� Ζ 3 χ +χ

3.

Αν � = 2 , αποδείξετε η αριθμητική τιμή της Υ

' ' κ=l 5 παραστασης ειναι

Λύση

.

1. Έχου με Α = 2χ3 + x 2 y + 2x 2 + xy = = (2χ + y){ χ 2 + χ ) = (2χ + y}(x � 1)χ . 2 . Ο παρονομαστής της κλασματικής παράστασης Κ γράφεται χ3 + χ2 = χ2 (χ + 1} 2x3 + x2y+ 2x2 + xy , εχουμε , οποτε : Κ= χ3 + χ 2 ( 2 x + y)(x + l ) x x 2 (x + l )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/32

=

(2x + y) x 2x + y = -χχ2


-------

χ

' Αφου, - = 2 εχουμε

3.

Υ

Άσκηση 4: Δίνεται η εξίσωση α>

-------­

2x + y 2 · 2y + y 4y + y 5y = � = = = 2y 2y 2y 2y 2

K= με

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Γυ μνάσιου Η εξίσωση Λύση : ι .

-1 Ο ,

=

2χ2 + αχ + β = Ο

της οποίας η διακρίνουσα είναι

Δ = 9 και η μια ρίζα είναι ο αριθμός 2.

1. Αποδείξετε ότι

α = -5 , β = 2 .

2.

Να βρείτε και την άλλη ρίζα της εξίσωσης 3. Αν x, y οι ρίζες της παρ απάνω εξίσωσης, να υπολΟ'yίσετε την τιμή της παράστασης: •

3 • Α = x y-

(

Λύση :

Υ :[

xy-

1 . Αφού ο αριθμός εξίσωσης 2χ2 +αχ+β=Ο

( x3y l3 ) τ·.

2

6χ (χ - 2) = χ 2 + χ - 6 γράφεται 6χ 2 - 12χ - χ 2 - χ + 6 = 0 <=> 5χ 2 - 1 3χ + 6 = 0 , οπότε Δ = {-13)2 - 4 · 5 · 6 169 - 1 20 = 49 > Ο. Επομένως οι ρίζες της - -1 3) ± J49 1 3 ± 7 ' ' ' εξισωσης ειναι χ= ( = -- , αρα 10 2·5 3 , οι ρίζες ειναι χ = 1 και χ = - .

είναι ρίζα της τότε ισχύει

2·i + α · 2+β=Ο <=> 8 + 2α + β = Ο <=> β = -2α - 8 . Έχουμε ότι Δ=9 άρα ακόμα oc -4· 2· β=9<=Χi -ψ=9, οπότε ιi -8( -2α-8) =9<=> <=> α 2 + 16α + 64 = 9 <=> α 2 + 1 6α + 55 = 0 . Αν Δ1 η διακρίνουσα της , έχουμε Δ1 = 162 - 4 · 1 · 55 = -1 6 ± .J36 -16 ± 6 , = 256 -220 36>0. Άρα α = 2·1 2·1 Η α=-5 ή α=-1 1 οπότε δεκτή τιμή α = -5 . ισότητα α = -5 : δίνει για β = -2α - 8 β = -2 · (-5) - 8 = 10 - 8 = 2 . 2 . Για και β=2 η εξίσωση γράφεται 2i-5H2=0,

2.

3. η μω = -

,

' αφου, εχουμε

χ

, --( -5) ±./9 = 5±3 αρα χ=2 η,

2. 2

1 , 1 Η .(.'\ '\ . χ= - . W\Λη ρίζα ειναι - . 3.

2

Έχουμε

μετά

από

εκτέλεση

πράξεων :

μ η 2ω + συν2ω = 1

έχουμε:

4 16 25 9 συv 2 ω = - - - <=> συν 2 ω = - <=> συνω = ±- . 25 5 25 25 αν

Όμως είναι εφω =

ω είναι

αμβλεία τότε

4 συvω = -- . 5 3

ημω

συ vω

5

-- -

4 5

συ vω

Επίσης

< Ο , άρα

ισχύει:

3 . 15 = --= -20 4

5ru-ι{ 1trf -ω) -1<bw181'�1trf -ω) 28ji3S' -4ar{ 1trf -ω) 5 ω - 10συv1 80° (-συvω) = ημ 2εφ1 35° - 4{ -εφω) Α 3. Ένουμε λ

( ) (-%)

5� - 10{-1) -� 5 = 3 - 10.±5 = 3 - 8 = -5 . 5 -2 + 3 -2 + 4 2 {-1) - 4

4

2

γωνία ω είναι αμβλεία, έχου με:

Από

5

=

οποτε

5

η

Επειδή

Ά σκηση 6 : θεωρούμε τις ευθείες

A = ( x3y-' )2 : [xy-' ( x3y'3 )T' = χ'ο .yιο = (xy)' o ( ε1 ) : ( 2κ + l)χ + κy = 3 και ( ε1 ) : 2χ + y = 2 , χ, y οι ρίζες της εξίσωσης που για την ( ε1 ) γνωρίζουμε ότι διέρχεται από Ό μως

2χ'

- 5χ + 2 ; Q , άρα

Άσκηση

Α;(2 · �)"

5: Δίνεται η εξίσωση

; J10 ; Ι .

m{x-2) =x +x-6

και η αμβλεία Ύωνία ω για την οποία έχουμε ότι το ημω είναι ρίζα της εξίσωσης. 1 . Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης . 2 . Να βρείτε τους άλλους τριΎωνομετρικούς της Ύωνίας ω . 3. ΥπολΟ'yίστε την τιμή της παράστασης : Α

) - 10συν180° συν ( 180° - ) 2εφ135° - 4εφ ( 180° )

Sημ( 180° -

αι

αι

-

(I)

M (l,-1) . Αποδείξετε ότι κ = 2

το σημείο ι. 2.

Να βρείτε τις συντεταγμένες του κοινού ση μείου Ν των ευθειών ( ε1 ) , ( ε1 } .

{

3. Αν οι συντεταγμένες του σημείου Ν είναι η

λύση του συστήματος : βρείτε τους αριθμούς Λύ ση ι.

το

Γνωρίζουμε ότι σημείο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/33

η

να

α, β .

ευθεία

Μ ( 1, -1) ,

2ax + βy = 2 4ax + βy = 8

( ε, ) διέρχεται από

επομένως

έχουμε


-------

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ' Γυμνάσιου

( 2κ + 1) · 1 + κ · ( -1) = 3 <:::> 2κ + 1- κ = 3 <:::> 2κ - κ = 3 - 1 <:::> κ = 2 . 2. Οι συντεταγμένες του κοινού σημείου Ν των ευθειών (&ι ) , ( &2 ) είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων τους. Η εξίσωση της (&ι ) γίνεται για κ = 2 {f:ι ) : (2· 2 +1) x + 2· y=3 <=> (G) :5x+2·y=3. 5x + 2y = 3 , , , � ... . Άρα το Το συστημα ειναι: 2x + y = 2 σημείο τομής των ευθειών είναι Ν ( -1, 4) . 3. Για χ = -1 και y = 4 , f:χουμε για το 2α · (-1) + β · 4 = 2 2 αχ + βy = 2 , : συστημα α 4 χ + βy = 8 4α · ( -1) + β · 4 = 8 α = -3 -2α + 4β = 2 . <=> <=> β = -1 -4α + 4β = 8

--------­

και ίσα αφού f:χουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες. Επομένως και οι γωνίες ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσες Υποθέτουμε ότι είναι ΟΑΜ = ΟΒΜ = χ . Φέρνουμε τις ακτίνες του κύκλου ΟΕ και ΟΔ . �

"'

{

{

{

{

{

Άσκηση 7 : Έστω κύκλος με κέντρο Ο και

σημείο Ρ στο εξωτερικό του .

Β

Τα τρίγωνα ΑΟΕ και ΒΟΔ είναι ισοσκελή άρα οι γωνίες στην βάση τους είναι ίσες, δηλαδή ΟΕΑ = ΟΑΕ = χ και ΟΔΒ = ΟΒΔ = χ , επομένως οι γωνίες ΑΟΕ και ΒΟΔ είναι ίσες αφού η κάθε μια είναι ίση με 180° - 2χ . Τότε όμως είναι και ΑΕ = ΒΔ αφού τα τρίγωνα ΑΟΕ και ΒΟΔ είναι ίσα (f:χουν δύο πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες). Έχουμε ότι ΑΜ = ΒΜ και ΑΕ = ΒΔ άρα: ΜΕ = ΜΔ . Επομένως τα τρίγωνα ΕΜΔ και ΑΜΒ ισοσκελή με κοινή την γωνία της κορυφής Μ και τις γωνίες στην βάση 100' -� και BAE=Am 1 00' -Μ'Ε . ΔΕΜ=ΕΔΜ 2 2 Τελικά τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΕΜΔ είναι όμοια, αφού οι γωνίες τους είναι μία προς μία ίσες. Λ

......._

"'

λ

β

Αν ΡΑ και ΡΒ τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο , Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΡΟ και Ε, Δ τα σημεία τομής του κύκλου με τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ , ΒΜ τότε : 1. Αποδείξετε ότι ΡΑ ΡΒ . 2. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΒΟΜ είναι ισοσκελή . 3. Αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΕΜΔ είναι όμοια •

=

Λ

Λ.

"'

λ

λ

Άσκηση 8: Έστω οι παραστάσεις κ

1.

1 - _±_

χ + 2 •• χ2 + 2χ χ2και . Λ = -.. 2 χ2 - 2χ χ - 2 1+­ χ ι χ-2 Αποδείξετε ότι 2 και . χ χ

=

Κ=

Λ = -!

1. Οι γωνίες (}"Ρ και ΟΒΡ είναι ορθές αφού 2. Αποδείξετε ότι (Κ - l) :(Λ + l) = 4 (Λ - 3) . ακτίνα και εφαπτομένη είναι κάθετες στο σημείο Λύση επαφής της εφαπτομένης με τον κύκλο. Άρα τα χ+2 : r + 2x = χ+2 · χ-2 = ' τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ είναι ορθογώνια με κοινή 1. Εχουμε Κ = r -2x χ-2 r -2x r + 2x υποτείνουσα την ΟΡ και τις κάθετες πλευρές ΟΑ, χ+2 χ-2 1 = 1 Άρα . Κ = 1 ,χ*0,2,-2. ΟΒ ίσες επειδή είναι ακ��ίνες του κύκλου. Επομένως · =. Χ2 τα τρίγωνα ΑΟΡ , ΒΟΡ είναι ίσα οπότε και τα (χ-2)χ (χ+2)χ Χ · Χ Χ2 αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα , άρα ΡΑ = ΡΒ . 4 (1 -2) 4 2 1 -2 2. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ , Β Μ είναι οι χ ·χ - χ2 -4 χ_ _ Επίσης Λ= έχουμε διάμεσοι των ορθογωνίων τριγώνων ΑΟΡ και 1 + � (1 + �)χ2 χ2 + 2χ ΒΟΡ προς την κοινή τους υποτείνουσα , άρα χ χ ΟΡ χ 2 (χ-2).(χ + 2) = χ-2 Ά ΑΜ = Β Μ = = ΟΜ . Επομένως τα τρίγωνα Λ = ,χ*Ο,-2. ρα 2 χ.(χ + 2) χ χ ΑΟΜ και ΒΟΜ είναι ισοσκελή. 3. Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΟΜ και Β ΟΜ είναι �

"'

Λύση:

-- --

- -=---

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 92 τ.4/34


-------

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ' Γυμνάσιου

(Κ - 1) : (Λ + 1) = _!_ (Λ - 3) 4 4(Κ - 1) = (Λ - 3).(Λ + 1) ή 4 2 - 1 = χ 2 - 3 ( χ 2 + 1) ή

2. Έχουμε.

(: ) ( : } : 2 }( 4 ( 1 �: ) = ( χ - �- 3χ χ - � + χ ) 4((1 - χ).(1+χ) ) -_ 4(1 + χ ) (1-χ ) 2 χ χ χ

ή

ή

' που ειναι αλη θ ες.

.

,

Θεωρούμε την παραβολή y = αχ2 - βχ + 6 , όπου α, β φυσικοί με α * Ο , που έχει άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία χ = 2 . Έστω ακόμα ότι ο φυσικός β είναι το πηλίκο της διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού μεταξύ των 1 14 και ι3 5 που αν διαιρεθεί με ι 5 και δίνει υπόλοιπο 6. ι . Αποδείξτε ότι α = 2 και β = 8 . 2. Να βρείτε την κορυφή της παραβολής και την ελάχιστη τιμή της. 3. Αν Α, Β, Γ τα σημεία τομής της παραβολής με τους άξονες να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση : 1 . Ο άξονας συ μμετρίας της παραβολής Άσκηση

9:

y = αχ 2 + βχ + γ

είναι

η

β

ευθεία

χ = _ _!_ , άρα είναι 2α f!_ = 2 <;::> β = 4α . 2α

4

:a 2��

2χ2 - 8χ + 6 = 0 <=> Χ2 - 4χ + 3 = 0 . Δ = ( --4Υ - 4 · 1 · 3 = χ = -(-4) ± J4 = 4 ± 2 άρα 2·1 2 = 1 6 - 12 = 4 >- 0 χ = 3 και χ = 1 άρα Α(1, 0) και Β ( 3, 0 ) . Αν Γ

το σημείο που τέμνει η παραβολή τον άξονα yy τότε έχουμε εμβαδόν

χ = Ο , οπότε y = 6 του

Γ ( Ο, 6 ) . Το ΑΒΓ είναι

άρα

τριγώνου

(ΑΒΓ) = (ΟΒΓ) -(ΟΑΓ) = ( ΟΒ ) · ( ΟΓ ) _ ( ΟΑ) · ( ΟΓ ) = � - � = 6 2 2 2 2

τ.μ.

Άσκηση ι ο : Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα Α ύψη του ΒΔ, ΓΖ • ι . Αποδείξετε ότι ΑΔ=ΚΖ. 2. Αν τα ύψη ΒΔ,ΓΖ τέμνονται στο Η, να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΗΖ Β Γ είναι όμοια 3 . Αν είναι ΑΖ= 2 ΖΗ και το εμβαδόν είναι ι 20 τ. μ., να βρείτε το εμβαδόν ·

του τετραπλεύρου ΑΖΗΔ.

Άσκηση ι ι : Δίνονται οι παραστάσεις

χ = 1 5 β + 6 . Όμως 1 14 < χ < 1 35 <;::> 1 14 < 15β + 6 < 135 <=> <=> 1 14- 6 < 15β < 135 - 6 <=> 108 < 15β< 129 <=> 1αι < β <129 <=> β=8 . Αφου ειναι A-ιlr. .. τοτε α = 2 . , ...,=. 15 15 2. Για α = 2 και β = 8 η παραβολή έχει εξίσωση : y = 2χ2 - 8χ + 6 . Ξέρουμε ότι η κορυφή της παραβολής είναι y = ax2 + βχ + y

( : �)

: � = -2 .

4α 3. Αν Α , Β τα σημεία που τέμνει η παραβολή τον άξονα χ'χ τότε έχουμε y = Ο οπότε είναι

( ΑΒΔ)

2

,

Η ελάχιστη τιμή της παραβολής είναι

Έστω ο αριθμός που ο είναι μεταξύ των 1 14 και 1 35 είναι ο -2 χ . Τότε από ευκλείδεια ταυτότητα έχουμε

-

--------­

,

=Κ - α ,= 2 και , οπότε 4 Δ ( -8)2 - 4 · 2 · 6 64 - 48 16 = = - - = -2 . = -4α 4·2 8 8 Επομένως η κορυφή της παραβολής είναι Κ(2,-2) .

Α=

ι.

χ - ι _.!_ -2Β = ( χ - ι)2 - χ( χ - 3) . χ + χ - ι χ- - χ και Να βρείτε τις τιμές της μεταβλητής χ για

τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α. x+l , 2. Αποδείξτε ότι: α). Α = β ). Β = χ + χ 3. Να βρείτε τον χ ώστε Α = Β •

--

1

Άσκηση ι 2 : Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί

α, β για τους οποίους ισχύει:

4a2 + 9β2 - ι 2α + 6β + ι ο = Ο . Αναπτ6ξετε τετρ άγωνα ( 2a - 3) 2 και ( 3β+ ι)2 •

τα

Να βρείτε τους αριθμούς α,β . 3 2. Αν τα μονώνυμα: 3 χ ν y μ και -2 χ 2 ν yμ ω , είναι βαθμού 2α - 3β να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς ν και μ . ι.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/35


Γ 'Γυ μνασίου - Ερωτήσε ι ς Θεωρίας σε όλα τα κεφάλα ι α ======

» Τι ονομάζουμε αριθμητιιcή παράσταση; (σελ.25) » Τι ονομάζουμε αλγεβριιcή παράσταση; (σελ.25) » Τι ονομάζουμε αριθμητιιcή τιμή μιας παράστασης;

(σελ.25)

» Πότε μια αλγεβριιcή παράσταση λέγεται ακέραια;

(σελ.25)

» Τι ονομάζουμε μονώνuμα; (σελ.26) » Τι λέγεται συντελεστής και τι κύριο μέρος του

μοναιν6μοu; (σελ.26)

» Τι ονομάζουμε βαθμό του μονωνύμου ως προς μία » » »

» » » » » » » » »

» » » » » » » » » »

μεταβλητή και τι ονομάζουμε βαθμό του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του; (σελ.26) Ποια μονώνuμα λέγονται όμοια; (σελ.26) Ποια μονώνuμα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα; (σελ.26) Τι ονομάζουμε σταθερά μονώνuμα; Ποιο είναι το μηδενικό μονώνuμο; (σελ.26) Πώς προσθέτουμε μονώνuμα; Και πώς πολλαπλασιάζουμε μονώνuμα; (σελ.30) Τι λέγεται πολυώνuμο; Τι είναι όρος του πολυωνύμου και ποιος είναι ο βαθμός του; (σελ.33) Τι ονομάζουμε σταθερό πολυώνuμο και τι μηδενικό; (σελ.33) Τι λέγεται αναγωγή ομοίων όρων; (σελ.34) Πώς πολλαπλασιάζουμε μονώνuμο με πολυώνuμο; (σελ.38) Πώς πολλαπλασιάζουμε πολυώνuμο με πολυώνuμο; (σελ.38) Τι λέγεται ανάπrοyμα του γινομένου; (σ.38) Τι λέyεται ταυτότητα; (σελ.42) Να αποδειχθούν: (σελ.43-44) 2 2 2 ο (α+Ρ) =α +2αΡ+Ρ 2 2 2 + ο (α-Ρ) =α -2αΡ Ρ 2 2 ο (α+ p)3=α3+3α Ρ+3αp +p3 z z ο (α-p)3=α3-3α ρ+3αp -Ρ3 2 2 ο α -Ρ =(α-p)(α+Ρ) Τι λέyεται παραγοντοποίη ση; (σελ.53) Τι ονομάζουμε Ε. Κ. Π. δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; (σελ.68) Τι ονομάζουμε Μ. Κ. Δ. δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; (σελ.68) Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβριιcή παράσταση ή ρητή παράσταση; (σελ.7 1 ) Πότε μια εξίσωση 2011 pαθμού έχει δύο άνισες λύσεις και ποιες είναι αυτές; (σελ.94) Πότε μια εξίσωση 2011 pαθμού tχει μία διπλή λύση και ποια είναι αυτή; (σελ.94) Πότε μια εξίσωση 2011 Ραθμού είναι αδύνατη; (σελ.94) Αν ρ 1 , Pz είναι οι ρίζες της εξίσωσης αχ?+βχ+γ=Ο με α :f: Ο , τότε να παραγοντοποιηθεί. (σελ.96) Τι λέγεται κλασματιιcή εξίσωση; (σελ. 1 03) Να αποδειχθούν: (σελ. 1 1 1 - 1 12)

Αθ ανασία Κυριακοπούλου

ο

αν α>β τότε α+γ>β+γ και α-γ>β-γ.

ο

αν α>β και γ>Ο τότε αγ>βγ και

α

r

-

β =r

αν α, β, γ, δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α>β και γ>δ τότε αγ>βδ » Τι ονομάζεται λύση μιας εξίσωσης αχ+βy=y; (σελ. 1 22) » Τι παριστάνει η εξίσωση y=k με k :f: Ο ; (σελ. 123)

ο

» Τι παριστάνει η εξίσωση x=k με k :f: Ο ; (σελ. 124) » Τι ονομάζεται γραμμιιcή εξίσωση με αγνώστους χ, y

και τι παριστάνει; (σελ. 1 24)

» Τι ονομάζεται λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους; (σελ. 128) » Τι σημαίνει γραφικά όταν ένα σύστημα tχει μοναδική λύάη; (σελ. 1 29) » Τι σημαίνει γραφικά όταν ένα σύστημα είναι αδύνατο; (σελ. 129) » Τι σημαίνει γραφικά όταν ένα σύστημα είναι αόριστη; (σελ. 129) » » » » » » » » »

» » »

Ποια είναι τα κύρια και ποια τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; (σελ. 1 86) Να γραφούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. (σελ. 1 88- 1 89) Να γραφούν τα κριτήρια ισότητας ορθοyωνίων τριγώνων. (σελ. 1 90) Με τι ισούται ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων; (σελ.200) Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλοyα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ; (σελ.20 1 ) Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια; (σελ.2 1 5) Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; (σελ.220) Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων; (σελ.226) Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy αν είναι _

ω=χ Ο z , και Μ(χ, y) ένα οποιοδήποτε σημείο της πλεuράς Oz, διαφορετικό του Ο, τότε με τι ισούται η απόσταση ΟΜ, ημω, συνω, εφω; (σελ.233) Να γραφούν τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών αν η γωνία είναι οξεία και όταν είναι αμβλεία. (σελ.233) Τι ισχύει για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών; (σελ.237) Να αποδειχθούν: (σελ.240) 2 ο η μω+cm�ω=1 ο

»

ο ο

εΦω = ημω συvω

Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν: (σελ.244-245) Ο νόμος των Ημιτόνων Ο νόμος των Συνημιτόνων

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ. 4/37


Μεθοδολογία Επίλυση ς Π ροβλη μάτων Πανα-yιώτης Δ. Κυράνας, Κώστας Γ. Σάλαρη ς ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ Η ΑΡΧΗ DIRICHLET

Αν τοποθετήσουμε 3 κέρματα στις 2 τσέπες του παντελονιού μας θα �ιαmστώσουμε ότι τουλάχιστον 2 κέρματα θα είναι σε μια και την αυτή 'tσέπη. Άλλη περίπτωση είναι να τοποθετήσουμε 5 μικρά κουτιά σε 4 J,ιικρά συρτάρια του γραφείου μας, δεν υπάρχει περίπτωση να τοποθετη­ θεί από ένα κουτί σε κάθε ένα από τα 4 συρτάρια Είναι βέβαιο ότι σε tνα από τα συρτάρια θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 κουτιά. Αν διανείμει κανείς 6 καναρίνια σε 5 κλουβιά, θα παρατηρήσει ότι, υποχρεωτικά, σε κάποιο κλουβί θα κατοικούν τουλάχιστον 2 καναρίνια, Τέλnζ αν έχο\>μt tw. πtριστεριώνα με ν φωλιές και ν+ 1 περιστέρια τότε για να τακτοποιηθούν όλα τα περιστέρια στις φωλιές του περιστεριώνα ,τουλάχιστον δύο περιστέρια θα συγκατοική­ σουν σε τουλάχιστον μια φωλιά. Τα παραδείγματα αυτά που είναι προφανείς παρατηρήσεις αποτελούν τη βάση ενός θεμε­ λιώδους κανόνα, μιας αρχής, η οποία δηλώνει: Εάν τα μ αντικείμενα διανέμονται στις ν ομά­ δες, όπου μ> ν, τότε τουλάχιστον δύο από τα αντικείμενα είναι σε μια και την αυτήν ομάδα. Η αρχή αυτή στη Ελλάδα την αποκαλούμε αρχή του περιστεριώνα ή αρχή του Diήchlet ,προς τιμή του Γερμανού μαθηματικού Gustav Diήchlet (1 805 - 1 859) Η αναφορά στον Diήchlet δεν γίνεται για την ανακάλυψη της ανωτέρω αρχής, η οποία δεν αποτελεί καμιά μα­ θηματική καινοτομία αλλά για την εφαρμογή που λύνει πολυάριθμα και ενδιαφέροντα προ­ βλήματα στην Θεωρία Αριθμών αλλά και των μαθηματικών παιγνίων, καθώς και άλλων προ­ βλημάτων λογικής. Πέντε χαρακτηριστικά προβλήματα που λύνονται σχετικά εύκολα με την αρ­ χή του περιστεριώνα είναι: Π ρ ό βλη μα 1. Υπάρχουν 367 μαθητές σε ένα σχολείο. Δείξτε ότι τουλάχιστον δύο από αυτούς επέτειο γενεθλίων την ίδια ημέρα. Λύση προβλή ματ ος 1 . ·

f:ι.ουν

Θεωρούμε κάθε ημέρα του έτους σαν ένα συρτάρι. Δεδομένου ότι υπάρχουν 365 ή 366 η­ μέρες σε ένα έτος, ανάλογα με εάν είναι ένα δίσεκτο ή όχι, συμπεραίνουμε ότι το πλήθος των συρταριών είναι το πολύ-πολύ 366. Βάλτε κάθε μαθητή στο συρτάρι που αντιστοιχεί στα γενέθλιά του. Τώρα ο ισχυρισμός του προβλήματος προκύπτει άμεσα από την αρχή Diήchlet, αφού θα υπάρχει συρτάρι με (τουλάχιστον) δύο μαθητές. Π ρ ό β λημ α 2. Σε μία τάξη υπάρχουν25 μαθητές. Δείξτε ότι τουλάχιστον3 μαθητές f:ι.ουν γεννηθεί τον ίδιο μήνα. Λύση προβ λή ματ ος 2.

Θεωρείστε 12 συρτάρια, δηλαδή όσα και οι μήνες του έτους. Αν οι μαθητές ήταν 1 3 τότε βάλτε τους μαθητές στα συρτάρια που αναλογούν στον μήνα γέννησής τους και τουλάχιστον 2 από αυτούς θα είναι στο ίδιο συρτάρι. Η εκφώνηση αναφέρεται σε 25 μαθητές .Σύμφωνα με την αρχή του Diήchlet, αφού μ= 25 > 12χ2, υπάρχουν τουλάχιστον 2 + 1 = 3 μαθητές στο ένα από τα συρτάρ ιαν Φε Μα Απ Μα Iou Ιοuλ Au Σε Οκ Νο Δεκ.

j

I I I Ι I I I I I I I I ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/37


-------

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων

--------­

Η πλέον ακραία περίπτωση είναι 1 2 μαθητές να έχουν γεννηθεί κάθε μήνα του έτους ο κα­ θένας και το ίδιο και οι άλλοι 12. Έτσι σε κάθε συρτάρι θα φtλοξενούνται από 2 μαθητές. Ο 25ος μαθητής υποχρεωτικά θα φtλοξενηθεί σε ένα από τα 12 συρτάρια.

Π ρ όβλημ α 3 Σε μία τάξη υπάρχουν15 θρανία των δύο θέσεων το καθένα, και οι μαθητές της τάξης είναι 22 . Δείξτε ότι σε τουλάχιστον? θρανία κάθονται από δύο μαθητές. Λύση προ βλή ματος 3

Αντιστοιχούμε σε κάθε συρτάρι ένα θρανίο. Στην περίπτωση αυτή τα συρτάρια έχουν περιορισμένο χώρο δεδομένου ότι επιτρέπονται το πολύ 2 μαθητές στο κάθε θρανίο. Εάν κάθε θρανίο καταλαμβάνεται από έναν μόνο μαθητή τότε θα περίσσευαν 7 μαθητές(22 - 1 5 7). Για να κάτσουν και αυτοί, χρειάζονται ακόμη 7 θρανία πέραν των 1 5 . Κατά συνέπεια 7 θρανία θα έχουν από δύο μαθητές. =

Π ρ όβλη μ α 4 Γνωρίζουμε από μετρήσεις που έχουν γίνει, ότι ο αριθμός από τρίχες που έχει κάθε άν­ θρωπος στη κεφαλή του είναι μικρότερος από 200.000. Δείξτε ότι υπάρχουν 2 τουλάχιστον άνθρωποι στην περιοχή της Αθήνας που έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. Λύση προ βλή ματος 4

Φανταζόμαστε 200.000 συρτάρια που είναι αριθμημένα από 1 έως 200.000. Βάζουμε κάθε αθηναίο στο συρτάρι με τον αριθμό που είναι ίσος με τον αριθμό των τριχών της κεφαλής του. Οι κάτοικοι της περιοχής των Αθηνών είναι περισσότεροι από 200.000. Άρα σύμφωνα με την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον 2 κάτοικοι θα τοποθετηθούν στο ίδιο συρτάρι και θα έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στην κεφαλή τους. Π ρ όβλη μ α 5 Σε ένα παρτέρι ιyκαζόν σχήματος ορθογωνίου και διαστάσεων 3 mx2m κάθονται 193 κουνούπια. Ένας κυνηγός κουνουπιών κρατάει μια μυγοσκοτώστρα διαστάσεων 2 5cmχ2 5cm.Είναι δυνατόν ο κυνηγός κουνουπιών να σκοτώσει με μια προσπάθεια τουλά­ χιστον 3 κουνούπια ; Λύση προ βλή ματ ος 5

Χωρίζουμε το ορθογώνιο παρτέρι σε 96 τετράγωνα διαστάσεων, 25cmx25cm σύμφωνα με τις διαστάσεις του ορθογωνίου και του τετραγώνου .. Θεωρούμε 96 συρτάρια και 1 92 κουνούπια. Τουλάχιστον σε ένα τετράγωνο θα κάθονται τουλάχιστον 2 κουνούπια. Το 1 93° κουνούπι μπορεί να καθίσει σε ένα τετράγωνο που έχει τουλάχιστον 2 κουνούπια, επομένως ο κυνηγός μπορεί να ανακαλύψει ένα τέτοιο τετράγωνο που έχει τουλάχιστον 3 κουνούπια και με τη μυγοσκοτώστρα να τα σκοτώσει. Π ροτεινό μεν α Π ρο βλή μ ατ α 1 . Μια ομάδα ποδοσφαίρου έχει 1 1 παίχτες. Αν ο μικρότερος είναι 2 1 χρονών και ο μεγαλύτερος

30, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον παίχτες έχουν την ίδια ηλικία. 2. Σ' ένα εξεταστικό κέντρο οι δύο επιτηρητές σημειώνουν τα γραπτά με το ίδιο χρώμα στυλό, είτε και οι δύο με μπλε είτε και οι δύο με μαύρο. Αν σ' ένα κουτί υπάρχουν 1 5 μπλε στυλό και 1 6 μαύρα, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από στυλό που πρέπει να βγάλει κάποιος από το κουτί χωρίς να βλέπει, για να δώσει στους επιτηρητές ώστε να μπορούν να κάνουν σωστά τη δουλειά τους. 3. Αν πάρουμε 50 φυσικούς αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο φυσικών αριθμών ( 1 ,2,3, . . . .49). Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον 2 αριθμοί από αυτούς θα είναι ίσοι. 4. Ένας μαθητής θα πρέπει να λύσει 9 προβλήματα σε μια εβδομάδα .. Εξηγείστε γιατί τουλάχι­ στον μια ημέρα της εβδομάδας αυτής , ο μαθητής πρέπει να λύσει τουλάχιστον 2 προβλήματα .. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 9 2 τ.4/38


Υπο δεί ξ ε ι ς - Λ ύ σε ι ς στ ι ς ασ κή σε ι ς τω ν δ ι αγων ι σμ άτων Α ' Γυ μνασίο υ.

======

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔ3 : α) Υπολογίστε τα 20 εκατοστά του 500.

β) Θα πρέπει να το πουλήσει 500€+ Ι

�Ο

•500 €=540€ και επομένως από στα 600€ που το

πουλάει αρχικά θα πρέπει να κάνει έκπτωση Ι 0% ΑΔ4 : α) Ο αριθμός των εργατών χ και ο αριθμός των ημερών εργασίας είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα άρα το γινόμενό τους παραμένει σταθερό δηλαδή 25 · 1 2=20·χ άρα χ=1 5. β) όλο το έργο απαιτεί 25· 1 2=300 ανθρωποημέρες οι οποίες θα μοιραστούν σε δύο μέρη, δηλαδή σε 25·6 και σε 1 5 ·χ όπου χ οι ζητούμενες ημέρες. ΑΔ3s : β=27° , γ=63° , δ= 1 1 7° . ΘΕΩΡΙΑ ΑΔ6 Α. Σελίδες 1 1 8 και 1 30

Β. Σελίδες 1 1 8, 1 30 και 1 32. Γ. Όχι γιατί 1.

αν

χ είναι ο aντίστροφος του Ο, τότε χ·Ο=Ο. Αλλά δύο aντίστροφοι έχουν γινόμενο

ΑΔ1 Σελίδα 206. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔs

Α.

a

( �}(j + i) + (� - i}(1 - j) = (- 1�} i + (- j} j = - j - i = - �

= 1

Β. Οι δύο αριθμοί απέχουν την ίδια απόσταση από το Ο. Επομένως καθένας από αυτούς έχει 11 , 1 1 ο αρνητικος απο, τους υο ' , , ' 11 απολ:uτη τιμη 5, 5 : 2 = - : 2 = """'7"" . δ αριθ μους ειναι ο -- .

,

,

2 4 4 1 1 Επομενως , αλ ' , 7 και -4 , αρνητικοι και - 47 = 47 , - 4 = 4 ο 1 1 ειναι ι αριθ μοι -4 μεγ :uτερος

είναι α.

I 1

1 111

.

ΑΔ9

Α. Η συμπληρωματική της ω είναι 90°-36°=54°. Η παραπληρωματική της ω είναι 1 80°-36°= 144°.

φ - 12° = 144° - 54° . Λύνουμε και προκύπτει φ = 5γ . 2 ΑΔ ιο Α. Στα γραφεία εργάζονται � · 1 50 = 1 8 . 100 Β. Στην αποθήκη εργάζονται .!.. . 1 50 = 25 . Στην παραγωγή εργάζονται 1 50 - (18 + 25 + 1 7 ) = 90 . 6 0 Γ. Άρα το ποσοστό των εργαζόμενων στην παραγωγή είναι 9 = 0,6 = 60% . 1 50 Β.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/39


Υποδε ίξε ι ς - Λ ύ σε ι ς στ ι ς α σ κή σε ι ς των δ ι αyων ι σμ άτων Β 'Γ υ μ νασίου

���� ,_1,� ιt.χ�:;.�

�<'--,

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

Ασκήσεις Β Δ3 . α) ψ=2χ+5, β)

ΒΔ4 .

1 4 3 4 5 11 2.!. ψ 1 -2 3 2 α) Είναι: Α = 90°(γιατί;) οπότε από το Π.Θ.: BΓ=17cm,

Ε=οφ2=

χ -2

(ι;Υ π cm2=226,865 cm2,

y)

15 4

-

-

-

- -

- -

β)

Γ=πδ=1 7π cm=53,38 cm,

γ)

Eφ=60cm2, δ) Ε,.=Εκ-Εφ= 166,865cm2•

α) AB=6cm, BΓ=lOcm, β) ημΓ = � , σuνΓ = 4 , εφΓ = � , γ) E=24cm2, δ) Από το εμβαδόν 5 5 4 που υπολογίσαμε στο δ) προκύπτει: AΔ=4,8cm.

Β Δs .

ΘΕΩΡΙΑ

Σελίδες 142, 143 και 137. Σελίδα 1 53.

Β Δ6 . Α. Β.

ΒΔ,.

Α. Β.

Σελίδα 41 Λάθος γιατί η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού είναι θετικός αριθμός.

Β Δ8·

Α

.

π

2χ - 1 χ + 3 , , , ρεπει = - 1 . Λυνουμε την εξισωση και βρισκουμε ' 3

--

2

--

Β. Για χ = 5

χ=5.

έχουμε: ΑΓ=ΑΒ=3. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος βρίσκουμε: ΒΓ2 = 1 8 , οπότε ΒΓ = .Jϊ8 ή ΒΓ = -Jϊ8 που απορρίπτεται. Β Δ9. Α. Λύνοντας τις δύο ανισώσεις καταλήγουμε από την πρώτη στη σχέση χ < 2 και από την δεύτερη στη σχέση χ � -5 . Συναληθεύουμε και καταλήγουμε στην -5 � χ < 2 . Άρα οοι ακέραιες κοινές λύσεις είναι οι: -5, -4, -3, -2, -1, Ο και 1 . Β . Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε ότι λύση είναι η χ = _!_ που ανήκει στις κοινές λύσεις 3 των δύο ανισώσεων. Β Δ ιο. Α. Σε κάθε περιστροφή της ρόδας το ποδήλατο διανύει απόσταση ίση με την περίμετρο της ρόδας, δηλαδή 2 · π · 25 = 50 · 3, 14 = 1 57 cm . Σε 100 περιστροφές της ρόδας η απόσταση που θα έχει κάνει το ποδήλατο θα είναι 100 · 1 57 = 1 5700cm = 151m . Αν ρ είναι η αJςήνα της κυκλικής διαδρομής, τότε 2 · π · ρ = 15700 , οπότε ρ = 2500cm = 25m . Β. Ε = π · ρ 2 , οπότε E = 1962, 5m 2 • Γ. Τα ποσά περιστροφές της ρόδας και μήκος της διαδρομής που έχει κάνει το ποδήλατο είναι ανάλογα, γιατί αν πολλαπλασιάσουμε μια τιμή του ενός με έναν αριθμό, με τον ίδιο αριθμό πολλαπλασιάζεται η αντίστοιχη τιμή του άλλου. Αν I είναι η απόσταση που θα κάνει σε 3 _

, της ρο' δας, τοτε ι = 3 , οποτε , ι = 4, 1 1 m . περιστροφες 1 57 100 ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/40


Υπο δε ί ξ ε ι ς - Λ ύ σε ι ς στ ι ς ασ κή σε ι ς τω ν δ ι αγων ι σ μ ά τω ν Γ 'Γ υ μ vασίου 3 ΓΔ .

2 2 2 με την χρησιμοποίηση των ταυτοτήτων (α+β) =α +2 αβ+β και (α­ β)2=α2-2 αβ+β2 προκύπτει το σu μπέfασμα. β) βγάζσuμε κοινό παράγοντα το χ στο πρώτο και το χ στο δεύτερο. γ) Μετά την παραγοντοποίηση καταλήγουμε στην χ(χ-2)(χ+ 1 )=Ο οπότε βρίσκουμε τις λύσεις. ΓΔ4·

α) Μετά από πράξεις

, , οτι α) Β ρισκσuμε

β) Επειδή ΓΔs.

�=�

=2

ΑΒ -

ΔΕ

ΑΓ ΒΓ =-=-=2 ΔΖ

έχοuμε

ΕΖ

οποτε ,

ΑΒΓ � ΔΕz

(ΔEZ) = 6cm' .

α)

Λύνοντας τα συστήματα των εξισώσεων ανά δύο βρίσκσuμε ότι οι κορυφές τσu τριγώνσu έχσuν συντεταγμένες Α(2,4) , Β(-5,4), Γ(2,-3). β) Κατόπιν παρατηρούμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές ΑΓ=7 και ΑΒ=7 οπότε το εμβαδόν τσu τριγώνσu είναι (ΑΒ Γ)=24,5 τ. μ ΓΔs.

β)

α) Α = (χ - 2) 2 + 2 (χ - 2) {χ + 2) + (χ + 2)2 = χ2 - 4χ + 4 + 2χ2 - 8 + χ2 + 4χ + 4 = 4χ2 4χ2 - 4 = 0 τότε 4(χ - 1)(χ + 1) = 0 και χ=1 ή χ=-1

ΓΔ9 .

2 4 -l-- + - -- = Ο χ - 4 χ2 + 4χ + 4 χ + 2 3 2 4 -+ =0 (χ + 2)(χ - 2) (χ + 2) 2 χ + 2 -----

i)

Το ΕΚ.Π

ii) Πρέπει

[(χ + 2){χ - 2) , (χ + 2γ , χ + 2] = (χ - 2){χ + 2)2

χ :1: 2,

και

χ :1: -2 .

3 (χ - 2) {χ + 2) 2 2(χ - 2)(χ + 2)2 4(χ - 2)(χ + 2)2 4 3 2 -=0 = + ....,.-....- .. -.,..- -..,.....- -,- + χ+2 (χ + 2)(χ - 2) (χ + 2) 2 χ + 2 (χ + 2) (χ - 2) (χ + 2) 2 3 (χ + 2) + 2(χ - 2) - 4(χ - 2)(χ + 2) = ο -5 - v'313 -5 + v'313 . και χ = -4χ 2 + 5χ + 1 8 = 0 οπότε χ1 = 2 -8 -8 ____:.,_-��-'--

ΓΔιο·

Να πάρετε το μέσο Ε της ΔΓ και αφού παρατηρήσετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΕ ότι είναι ρόμβος , θα φέρετε την ΒΕ η οποία χωρίζει την ΑΓ σε δύο ίσα μέρη. Το ένα από αυτά θα το υπολογίσετε από το ορθογώνιο τρίγωνο με το πυθαγόρειο θεώρημα. Τελικά θα προκύψει ότι ΑΓ = x.J3 .Κατόπιν θα χρησιμοποιήσσuμε τον νόμο των σuνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΔΓ. Μετά τη χρήση τσu νόμσu τσu σuνημιτόνσu προκύπτει ότι συν ΔΑΓ=Ο και επομένως ΑΔr = 90° . ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 τ.4/41


Μαθημαιικοί Διαγωνισμοί

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Ελληνική Μαθη ματική Ολυμπιάδα

3 1η

22 Φεβρουαρίου 2014

'Ό Αρχιμήδης"

Ενδεικτικές λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων

Πρόβλη μα ι

θεωρούμε τρίγωνο ABC και έστω Α

Μ το μέσο της πλευράς BC. Εξωτερικά του τριγώνου θεωρούμε παραλλη λόγραμμο BCDE, τέτοιο ώστε: ΒΕ 11 ΑΜ και ΑΜ ΒΕ = - . Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΕΜ περνάει από το 2

μέσο του ευ θύγραμμου τμήματος AD . μέχρι να τμήσει την ED στο σημείο Λύση: Προειcrείνουμε την Τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε MC ND . Άρα το είναι το μέσον του ED .

Ν. ΕΝ = ΒΜ =

,

Σ't.Ιlι.ια

Ν

ΑΜ = 2 και το Μ είναι πάνω στη ΜΝ διάμεσο του τριγώνου EAD , οπότε το Μ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου AED . Επομένως η ευθεία ΕΜ είναι η ευθεία της διαμέσου άγεται από την κορυφή Ε , οπότε θα τέμνει την AD στο μέσο της. 0

1

=

ΑΜ ΒΜΝΕ

Επιπλέον παρατηρούμε ότι

του τριγώνου AED που Πρόβλη μα 2 Έστω p πρώτος και

m θετικός ακέραιος. Να προσδιορίσετε ικανοπ��ιούν την εξίσωση p(p + m) + p ( m + 1 Υ .

όλα τα ζευγάρια

(p,m)

που

=

p (p + m + 1) = ( m + 1 )3 , (1) από την οποία προκύπτει ότι ο πρώτος αριθμός p είναι διαιρέτης του ( m + 1 ) 3 Επομένως, αφού p πρώτος, έπεται ότι p I( m + 1) , οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε m+ 1 = /φ . Τότε, από την εξίσωση (1) λαμβάνουμε: p (p+ /φ) = ( !φ)3 <:> k + 1 = �p=> � l( k + 1) =>kl ( k + 1) =>k =l . Άρα είναι p = 2, m = 1 και (p, mλ=(2,1) . Λύση : Η δεδομένη εξίσωση γράφεται

Πρόβλη μα 3

, , λ, Να :uσετε στους πραγματικους αριθ μους το συστημα:

,

2y , y3 = -χ -2z , z3 = -y -2χ . χ3 = -z -z z χ χ Υ Υ

Για χ, y, z ε JR , που ικανοποιούν την συνθήκη 2 3 x yz = z - 2y2 (1), y3 zx = x 2 - 2z2 (2) , z3 xy = y2 - 2x 2 (3)

Λύση :

xyz '#

Ο , το σύστημα γράφεται:

Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών

( χ2 + y2 + z2 } = -( χ2 + y2 + z2 } <=> ( χ2 + y2 + z2 } ( xyz + 1) = Ο . Επειδή είναι xyz Ο έχουμε χ2 + y2 + z2 > Ο , οπότε από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι: xyz = - 1 (4) Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4) στο σόστημα των εξισώσεων (1), (2) και (3) έχουμε: r =-r +21 (5), y =-r + 2i (6), z2 = -y2 + 2χ2 (7) Από τις (5) και (6) λαμβάνουμε y2 = z2 , ενώ από τις (6) και (7) λαμβάνουμε χ2 = z2 , οπότε: χ2 = y2 = z2 <=> χ = y = ±z ή χ = -y = ±z . (8) Τελικά, από (8) και (4) έχου με τις λύσεις: (x,y,z) = ( -� - � -1), (x, y, z) = ( �� -1), ( x, y, z) = ( � -� 1) , ( x, y, z) = ( -�� 1). εξισώσεων λαμβάνουμε: xyz '#

Πρόβλη μα 4. Βάφουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, ,20 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων •••

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 τ.4/42


Μαθη ματικοί Δuryωνισμο(

αριθμών και το 'γl.νόμεvο των μα6ρων αριθμών να qοον μtyιmo κοινό διαφέτη ίσο με 1; Λύση : Το 1 μπορε( να βαφεί με 2 τρόποuς (ή άσπρο ή μαύρο). Το 2 μπορε( να βαφεί με 2 τρόποuς (ή άσπρο ή μαύρο). Τώρα όλοι οι άρnοι πρέπει να πάρουν το χρώμα του 2, οπότε οι αριθμοί 2,4,6,8,10,12,14,16,1 8,20 παiρνουν το χρώμα του 2. Επίσης όλοι οι αριθμοί που f:χ.ουν κοινό διαφέτη με αuτο6ς παiρνουν το χρώμα του 2, δηλαδή οι αριθμοί 3,5,7,9,1 5 παiρνουν το χρώμα του 2. Οι αριθμοί που απέμειναν (που είναι οι πρώτοι μεγαλύτεροι του 10, δηλαδή οι 1 1 ,13,17,19) μπορο6ν να βαφο6ν με 2 τρόποuς (ή άσπρο ή μαύρο). Επομένως, 64 τρόποuς. Πρέπει όμως να αφαφέσουμε συνολικά ο χρωματισμός μπορε( να γίνει με και τις δύο περιπτώσεις που τοuς βάφουμε όλοuς μαύρους ή όλοuς άσπρους. Άρα f:χ.ουμε συνολικά 62 τρόποuς. ------

-------­

2 2 2 2 2 2 = 26 = ·

Α24. Να αποδείξετε ότι:

·

·

·

·

Λύσεις των ασκήσεων του τεύχους 9 1

ι

ι

ι

-1 + -1 + ••• + -1 < n - ι , ΎΙ.« κάθε θετικό ακέραιο n � 2 n n 2 3 --

n > 2 ισχυει ότι. _ι < ι _- _ι_ _ .!_ . n2 ( n - ι ) n n - ι n _!_ + _!_ + ... + -ι < ι - .!. + .!_ _ .!. + ... + -ι_ _ .!_ = ι - .!_ = n - ι . Άρα έχουμε 2 2 3 22 3 2 n2 n n n-ι n 1 1 Α25. Να αποδείξετε ότι: 4 χ ( χ + y )( χ + z )( χ + y + z ) + y z � Ο, ΎΙ.« κάθε x, y, z R . Λύση : Το πρώτο μέλος της ανισότητας μπορεί για κάθε x , y, z ε 1R , να γραφεί ως: 4χ(χ + y)(x + z)( x + y + z) + y2z2 = 4(χ2 + xy + xz + yz }(χ2 + xy + xz} + y2z2 = 4( χ2 + xy + xz )2 + 4yz( χ2 + xy + xz ) + y2z2 = [ 2(χ2 + xy + xz ) + yzτ � ο, για κάθε x, y,z ε 1R . Λυση , .· Για κάθε

·

_

,

( )( ) (

)

ε

Α26. Αν

χ, y ε R

είναι τέτοιοι ώστε

2χ + 4y ι , να αποδείξετε ότι: χ1 + y 1 � =

ι

20

2x + 4y = ι προκύπτει ότι: χ= ι-4y , οπότε αρκεί να αποδείξουμε την 2 ι - 4y 2 + y2 � _ι � 5 (ι - 4y) 2 + 20y2 � 1� 1 00y2 -40y + 4 � Ο � {lOy- 2)2 � Ο, που ισχύ ει. 20 2

Λύση : Από τη δεδομένη ισότητα

(

)

Ν 1 9. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

Α.,

=

ιf +3ιf +5rι+3 διαιρείται με το 3, ΎΙ.« κάθε θετικό ακέραιο n .

An γράφεται: An = n3 +3n2 + 5n+3 = n3 -n +3 ( n+1)2 = n ( n- 1 ) ( n+1) +3 ( n+ 1)2 • Επειδή ο όρος n(n - ι ){n + ι) είναι γινόμενο τριών διαδοχικών παραγόντων, εύκολα προκύπτει ότι διαφείται με το 3 . Επειδή και ο όρος 3( n + 1 ) 2 διαφείται με το 3, έπεται ότι και ότι 3jAn Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να εργαστούμε με επαγωγή. Για n = ι f:χ.ουμε Α1 = ι2 = πολλαπλάσιο του 3 . Υποθέτουμε ότι 3jAn . Τότε t:χ,ουμε Α,+, =(n+ι)3 +3(n+ι)2 +5(n+ι )+3 = Α, + 3(n +3n+3) , οπότε, λόγω της υπόθεσης της επαγωγής, έπεται ότι 3jAn+t . Λύση : Ο αριθμός

2

Ν20. Βρείτε όλους τοος πρώτους αριθμούς

p + ι 2χ1

p

p 2 + ι 2y 2 •

ΎΙ.« τοος οποίοος υπάρχοον ακέραιοι

= = ώστε και Λύση : Επειδή οι δεδομένες σχέσεις εμφανίζουν τους

αναζήτηση θετικών ακέραιων να είναι περιπός. Με

χ, y . Επειδή ο 2χ2 αφαίρεση

x, y

χ, y

τέτοιοι

στο τετράγωνο, θα περιοριστdύμε στην

p

είναι άρτιος, έπεται ότι ο πρώτος αριθμός πρέπει κατά μέλη των δύο σχέσεων, λαμβάνουμε

p2 - p = 2(/ - χ2) � p ( p-ι) = 2 ( y-x) ( y+x) . ( 1 ) Επειδή p περιπός, δεν μπορεί να διαφεί το 2. Αν PI(Y -χ) , τότε p � y -χ , οπότε από την ισότητα ( 1 ) προκύπτει ότι p - ι � 2y 2χ , αδύνατο. Αν p !(Υ + χ ) , τότε p � y + χ , οπότε από την ισότητα ( 1 ) προκύπτει ότι p - ι � 2y - 2χ . Από την

+

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 -r.4/43


-------

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί

------

,

:5: p - ι + 2χ , οπότε p :5: y + χ :5: p - ι + 2χ + χ :::::) p + ι :5: 4χ . 2 2 Επειδή p + ι = 2χ2 , από τη σχέση (2) λαμβάνουμε την aνίσωση: 2χ2 :5: 4χ <=> χ :5: 2 Για χ = ι :::::) p = ι (μη πρώτος), ενώ για χ = 2 , λαμβάνουμε p = 7 .

τελευταια σχέση λαμβάνουμε: y

Ν2 1 . Βρείτε όλους τους πραΎματικούς αριθμούς

εtναι ακέραιος.

χ

-yια τους οπο(ους ο αριθμός

α=

(2)

2χ + 1 χ + 2χ + 3 1

χ = - . Αν α ο ' τότε πρέπει: Ι α l � ι :::::) l2x + ιι � lx2 + 2χ + 3ι. Επειδή χ2 + 2χ + 3 = (χ + ι )2 + 2 Ο, για κάθε χ R, έχουμε: l2x + ιι � lx2 + 2χ + 31 <=> 2χ+ ι � χ2 + 2χ + 3 ή 2χ + ι :5: -(χ2 + 2χ + 3) <=> χ2 + 2 :5: Ο ή χ2 +4χ+4 :5: Ο <=> χ2 + 2 :5: Ο ή (χ+ 2) 2 :5: Ο <=> χ = -2. ΠράΎμαn, για χ = -2 , προκύπτει

Λύ ση : Αν

όn:

α = ο ' τότε

:;t

>

ε

α = - 1 ε Ζ , οπότε οι ζητούμενες nμές του

χ ε R είναι τα στοιχεία του συνόλου

{-�, -2} .

Γ1 6. Δίνεται τετράΎωνο ΑΒΓΔ. Σημε(ο Ε βρtσκεται στο εσωτερικό της

Ύωνίας ΓλΒ έτσι ώστε ΒΑΕ = ιs· και οι εuθείες ΒΕ και ΒΔ ε(ναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ = ΒΔ . Λύ ση : Οι ευθείες ΑΓ και ΒΕ είναι παράλλη λες, ως κάθετες και οι δύο προς την ευθεία ΒΔ. Έστω Ζ το ίχνος της κάθετης από το σημείο Ε προς την ευθεία ΑΓ. Τότε το τετράπλευρο ΒΕΖΟ είναι ορθο-yώνιο, οπότε θα έχουμε: 8 ��---r-- r

ΒΔ , ΕΖ = Β 0 = 2

αφού το Ο είναι το κέντρο του τετραΎώνου ΑΒΓΔ. Το

τρίΎωνο ΑΖΕ είναι ορθο-yώνιο στο Ζ και έχει Σχήμα

θα έχουμε:

1

ΑΕ

=

2 · ΕΖ = Β Δ .

ΖΑΕ = 4 5 " - ι 5 · = 3 0", οπότε

Ασκήσεις για λύση Α27. Να συ-yκρίνετε τους αριθμούς: A= �r./2= 20_ 13_ 01=4 +�2014+./2013, B= �r+--:: 2013-+--= ./20 =1=3 +�2014+./2014 . b c < 3 Α28. Αν α, b, c θεnκοί ακέραιοι, να αποδείξετε όn: � 2 11 +ο +k 311 +<f +2ιb 1f +a2 +21:c 2(a+b+c) · Ν22 . Βρείτε όλα τα ζεύγη

( m, n) θεnκών ακεραίων που είναι λύσεις της εξίσωσης:

Ν23 . Αν οι ακέραιοι α, b, c, d ικανοποιούν την εξίσωση

να αποδείξετε όn ο αριθμός

αb

7a + 8b = 14c + 28d ,

mn2 = 2009( n + 1) .

είναι πολλαπλάσιο του 14.

Γ17. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ + ΒΓ

Β Λ η διχοτόμος της Ύωνίας Β και έστω Κ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, αντίστοιχα. Βρείτε τη Ύωνία κλΜ συναρτήσει της Ύωνίας ω = ΑΒΓ .

Γ18. Μέσα

σε

κύκλο

Γ( O,R)

=2

Ύράφουμε

n

·

ΑΓ . Έστω

μuφούς κύκλους με αιcrίνες 1j , r2 ,

•••

, rn έτσι ώστε κανένας από

αυτούς να μη περιέχει το κένtρο Ο σrο εσωτερικό τοο και το άθροισμα των μηκών τοος να είναι μεγαλύτερο ή iσο τοο π . Να αποδείξετε ότι υπάρχει κύκλος κένtροο Ο που τέμνει δ6ο τουλάχιστον από τοος μuφούς κ6κΛοuς. Δ9 . Χρωματίζουμε τα μοναδιαία τετράΎωνα ενός 2009 χ 2009 τετραΎώνου μαύρα και λευκά, όπως στη σκακιέρα, έτσι ώστε το κάτω αριστερό τετράΎωνο να είναι μαύρο. Ένα πιόνι μπορεί να μετακινείτε πάνω στο τετράΎωνο με τους ακόλουθους κανόνες: • Αρχικά το πιόνι βρίσκεται στο κάτω αριστερό τετράγωνο • Μπορεί να κινηθεί κάθε φορά μόνο σε τετράγωνο που έχει κοινή πλευρά με το τετράγωνο που βρίσκεται. • Όταν το πιόνι μετακινηθεί σε ένα τετράγωνο, τότε το τετράγωνο αυτό αλλάζει χρώμα. Είναι δυνατόν χρησιμοποιώντας ένα κινούμενο πιόνι να χρωματίσουμε όλα τα τετράΎωνα μαύρα; Ισχ6ει το ίδιο, αν το πιόνι δεν μπορεί μετά από μία κίνηση του να -yυρίσει άμεσα στην προηγούμενη θέση του; ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 τ.4/44


-------

Κριτήρια ισότητας τριγώνων και αντιπαραδείyματα

------

Κρ ιτήρ ια ισότητα� τρ ιγώνων κα ι αντ ιπαραδείyματα

======

Μαλβίνα Παπαδ άκη Η ισότητα τριγώνων αποτελεί κεντρικό ζήτημα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και ιδιαίτερα στα σχολικά μαθηματικά. Α ποτελεί το πιο σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη των ιδιοτήτων των επίπεδων σχημάτων. Εδώ θα παρουσιάσουμε εργασίες μαθητών της Γ' Γυμνασίου από το r Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Α θηνών που προέκυψαν μετά την διδασκαλία των κριτηρίων ισότητας το σχολικό έτος 2012 - 2013.

Μετά την ολοκλήρωση της αντίστοιχης ενότητας διατυπώθηκε το πιο κάτω ερώτημα, το οποίο ανέλαβαν οι μαθητές να διερευνήσουν. Είναι δύο τρίΎωνα ίσα, όταν έχουν δύο πλευρές ίσες μiα προς μία και μiα Ύωνiα ίση, που ό μως δεν είναι η περιεχό μενη των ίσων πλευ ρ ών ; Το ερώτημα επεκτάθη κε και στα άλλα δύ ο κριτή ρια. Η διαίσθησή τους έλεγε ήδη πως η απάντηση στα ερωτήματα αυτά πρέπει να είναι αρνητική. Δεν χρειαζόταν επομένως να αποδείξουν τις δύο προτάσεις με συλλογισμούς ανάλογους αυτών που είχαν προηγηθεί στα κριτήρια- ερωτήματα. Γι αυτό στην προσπάθειά τους να απαντήσουν στα παραπάνω ερωτήματα έψαξαν να βρουν ένα παράδειγμα, μία μόνο περίπτωση δύο τριγώνων στην οποία ο ισχυρισμός να μην ήταν σωστός. Α υτή η μία περίπτωση - ένα αντιπαpάδειyμα - θα αρκούσε και με αυτό θα ήταν βέβαιοι για την άρνηση του ερωτήματος. Πιο κάτω ακολουθούν οι ε ΡΎασίες. Για το πρώτο κριτήριο με τις δύο ίσες πλευ ρές και την ίση Ύωνία : Α) 1) Αλεξάνδ ρα Μα κάτη r

"

..

Στο σχήμα τα δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ΑΓ = Α Τ' και ΑΒ =Α ' Β ' και την yωvia Γ'= yωvia Γ= 3(/ αλλά δεν είναι ίσα. (είναι φανερό αφού το ένα είναι ορθογώνιο και το άλλο δεν είναι) 2) Β ασtλη ς Μάμαλης :

Στο σχήμα τα δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές ΑΓ =ΑΔ και ΒΓ = ΕΔ αλλά δεν έχουν την περιεχ όμενη γωνία ίση. Έχουν την yωνία

ΒΛΓ =yωνία ΔΑΕ =33°

Τα τρίγωνα αυτά δεν είναι ίσα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/45


------- Κριτήρια ισότητας τριyώνων και αντιπαραδε(yμστα

-------

3 ) Αναστασία Κυρ ιτσοπούλου

Στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει δύο ισοσκελή τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες, ΛΒ=Λ 'Β · και ΛΓ=Λ ' Γ' με τις περιεχόμενες γωνίες Α και Β ' άνισες, ενώ έχουν ίσες τις 'fWνίες Λ και Λ Τα τρ ίγωνα δεν είναι ίσα. •

Β ------.\

r

r

5) Μη λα ίου Δ έσπο ινα:

Στα σχήματα έχουμε δύο τρίγωνα με τις δύο πλευρές ίσες ΛΓ = Λ Τ ' και ΛΒ = Λ ' Β ' και δύο γωνίες ίσες Β=Γ' οι οποίες δεν είναι οι περιεχόμενες. Το ένα είναι οξυγώνιο και το άλλο ορθογώνιο

4)

Γ ιάyνη ς Παπίας

·-··

"

Στο σχήμα τα τρίγωνα α) ΟΒΑ και ΟΓΑ ;:,Είναι ίσα και β) τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΔ δεν ------7���--:----.,r:::;;iiil""-..§ίναι ίσα. Έχουν μεν τις πλευρές ΛΒ = ΛΔ και -1����4-�.,.τη ν ΟΑ κοινή Έχουν επίσης τις 'fWνίες ΒΟΛ �_,..---ιι:.αι Λ ΟΔ ίσες (η ΟΑ είναι διχοτόμος της ωνίας 0), αλλά οι περιεχόμενες γωνίες είναι η __: _::_ μ , ία οξεία και η άλλη αμβλεία. Τα τρίγωνα δεν είναι βέβαια ίσα

�����;��====� __

5)

__

Κολτσίδ ας Κωνσταντίνος:

--+--

--

--- -π---·-

___

········ ··-·- ··· ··

t -=-1-. � -1--� �

i---- ---j

---j I

-ι:-·----

.

-

-

_

r ,

_

jJy_

- -- -

Στο σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 'Β Τ' έχουν δύο πλευρές ΛΒ=Λ 'Β ', ΛΓ=Λ Τ ' και μία 'fWVίa Β=Β ·Δεν είναι όμως ίσα.

·, ---

--

-+--------1,..1....-.4.__�----;ιlι�r ,

----...

j_::--=-�---�=-���---�---==-

r

ιι

..

_ · -

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 92 τ.4/46


-------

Κριτήρια ισότητας τριγώνων και αντιπαραδεiyματα -------

Παρατήρηση Στις δύ ο τελευταίες περιπτώσεις έχουν κατασκευασθεί δύο τρίγωνα που έχουν με το αρχικό ΑΒΓ δύο πλευρές ίσες και μία Ύωνία ίση που δεν είναι ό μως η περιεχό μενη . Ένα ίσο προς αυτό και ένα δεύτερο, το Α ' Β Τ' που δ εν είναι ίσο. και δύο γωνίες ίσες Β =Γ ' Το ένα είναι οξυγώνιο και το άλλο ορ θογώνιο

Στα σχήματα έχουμε δύο τρίγωνα με τις δύο πλευρές ίσες ΑΓ = Α Τ ' και ΑΒ = Α ' Β ' 6)

Κολτσίδας Κωνσταντίνος :

�-]��-�� --

._

ι:r----- --�= -=. egr.:_j_:;·

_____

1

�-------: . .. •

-t--- -------

- τ-- -

-

1\ 5\

Ρ -�

.J -----�

r

.

----,;.__,..._ . _ _ _

Στο σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 'Β Τ ' έχουν δύο πλευρές ΑΒ =Α 'Β ', ΑΓ=Α Τ ' και μία γωνία Β =Β ' Δ εν είναι όμω ς ίσα. Β) Για το δεύτερο κριτήριο με την μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες γωνίες :

7) Κωνσταντίνος Κολτσίδ ας : _ Α_ -

--*'--t.----4---'�� �

--�-- --&--_

_

..ι:.tu �,· ;t�-

Στο σχήμα φαίνονται τα τρίγωνα ΑΒ Γ και Α ' Β 'Γ που έχουν μία πλευρά ίση ΑΒ = =Α 'Β ' και δύ ο Ύωνίες ίσες Β = Β ' ' και Γ = Γ που δεν είναι όμως οι προσκείμενες . Τα τρίγωνα δεν είναι ίσα .

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 92 τ.4/47


Από τη Συντακτική Επιτροπή Η

ζωή του Διόφ αντου

Σχετικά με τη ζωή του Διόφαντου λίγα στοιχεία γνωρίζουμε σήμερα. Ένα από αυτά είναι μια επιγραφή που υπήρχε σε μια επιτύμ­ βια στήλη του με τη μορφή ενός μαθηματικού προβλήματος, και η οποία σώζεται σε μία συλλογή αρχαίων ποιημάτων, την «Παλατιανή Ανθολογία». Γράφει λοιπόν εκεί : • Αυτός εδώ ο τάφος έχει τον Διόφαντο, ώ μεγάλο θαύμα, και ο τάφος με τέχνη λέει τα χρόνια Της Ζωής του. • Το ένα έκτο της ζωής του ο θεός του έδω­ σε να είναι παιδί. • Αφού πέρασε το ένα δωδέκατο της ζωής του, χνούδι κάλυψε τα μαγουλά του. • Μετά το ένα έβδομο της ζωής του, του ά­ ναψε το φώς να παντρευτεί. • Κατόπιν πέρασαν πέντε χρόνια και γεννή­ θηκε το παιδί του. • Αλίμονο, άμοιρο παιδί αφού έζησε τα μισά χρόνια από τον πατέρα του τον πήρε η κρύα Γή. • Με πένθος παρηγορούμενος για τέσσερα χρόνια με αυτή τη φιλοσοφία, τελείωσε τη ζωή του. Λο ιπόν πόσα χρόνια έζη σε ο Διόφαντ ος πρ ιν τον πρ ο φτάσει ο θ άνατος ; Ο ΓΡΙΦΟΣ ΤΟΥ Einstein Τον γρίφο που ακολου­ θεί διατύπωσε ο Einstein. Προσπάθησε να απαντήσεις στο ερώτημα αξιοποιώντας τις πληροφορίες που δίνο­ νται. Να ξέρεις ότι δεν είναι εύκολο να απαντήσεις, γιατί ο γρίφος αυτός θεωρείται πολύ δύσκολος.

Ο γρίφος είναι ο εξής : Σε έναν δρόμο υπάρχουν πέντε σπίτια πέ­ ντε διαφορετικών χρωμάτων που βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο . Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας. Κάθε ι­ διοκτήτης πίνει ένα συγκεκριμένο ποτό, κα­ πνίζει μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχει ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο. Όλοι έχουν διαφορετικά μεταξύ τους κατοικίδια, πίνουν διαφορετικό ποτό και καπνίζουν διαφορετική μάρκα τσιγάρα. Για τη λύση του γρίφου έχουμε στη διάθεσή μας τις παρακάτω πληροφορίες : 1 . Ο Βρετανός μένει στο κόκκινο σπίτι. 2. Ο Σουηδός έχει σκύλο. 3. Ο Δανός πίνει τσάι. 4. Το πράσινο σπίτι είναι ακριβώς αριστερά από το άσπρο σπίτι. 5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ. 6. Αυτός που καπνίζει τσιγάρα Pall Mall συ­ ντηρεί ένα πουλί. 7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνί­ ζει τσιγάρα Dunhill. 8 . Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα. 9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι. 10. Αυτός που καπνίζει τσιγάρα Bends μένει δίπλα σε αυτόν που έχει γάτα. 1 1 . Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σε αυτόν που καπνίζει τσιγάρα Dunhill. 12. Αυτός που καπνίζει Blue Master πίνει μπύρα. 13. Ο Γερμανός καπνίζει Pήnce. 14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 92 τ.4/48


1 5. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πίνει νερό.

Το ερώτη μα είναι ποιος έχει το ψάρι.

Απαντήσεις του τεύχους 9 1 Απ άντη ση στο ερ ώτη μ α για τ ο ρο λό ι: Οι δύο δείκτες φαίνεται να σχηματίζουν ορθή γωνία και αυτό είναι λάθος. Η γωνία που θα πρέπει να σχηματίζουν οι δείκτες είναι 82,5° . Γιατί;

Απ άντη ση στο ερ ώτη μ α της απ ό στα σης των π όλε ων: Η μεγαλύτερη δυνατή απόσταση είναι 1 5km+23km=3 8km ενώ η ελάχιστη 23km1 5km=8km. Αυτές οι ακραίες τιμές ισχύουν όταν οι τρεις πόλεις βρίσκονται στην ίδια ευ­ θεία (δύο περιπτώσεις). Απ άντη ση στο πρ όβλη μ α με τα τετρ ά­ γωνα: Χρειάζεται ακριβώς η ίδια ποσότητα μπλε χρώματος και για τα δύο τετράγωνα. Αν για παράδειγμα η πλευρά του τετραγώνου είναι α · α 2 2 τότε η διαφορά α - π ( ) εκφράζει το μπλε 2 εμβαδόν στο πρώτο τετράγωνο ενώ η διαφορά 2 � }2] εκφράζει το μπλε εμβαδόν α - 25 · [π · ( 10 στο δεύτερο τετράγωνο. Παρατηρήστε ότι τα δύο αποτελέσματα, μετά τις πράξεις, είναι ίσα.

Απ άντη ση στο πρ όβλη μ α με τα Π οτή ρ ι α κρ ασί :

Τελικά όση ποσότητα από λευκό κρασί θα έχει το πρώτο ποτήρι τόση ποσότητα από κόκκινο θα έχει το δεύτερο ποτήρι. Αυτό γίνεται αμέ­ σως κατανοητό αν αντί για ένα κουτάλι κρασί χρησιμοποιήσετε πολύ μεγαλύτερη ποσότητα π. χ το ένα τέταρτο ενός ποτηριού.

Απ άντη ση στ ο πρ όβλη μ α της γ άτας . Αν R η ακτίνα της γης και ρ η ακτίνα του κύκλου που θα φτιάξει το σχοινί τότε θα ισχύ­ ει R-ρ=30cm. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 2π θα έχουμε 2π·(R -ρ )=2π· 30cm άρα 2π· R2π· ρ=6,28·30cm. Αλλά 2π·R= 40.000km επο­ μένως. 2π·ρ= 40.000km + 1 88,5cm. Αυτό σημαί­ νει ότι το μήκος του σχοινιού θα πρέπει να εί­ ναι περίπου 1 ,90m μεγαλύτερο από την περί­ μετρο της Γης.

Απ άντηση στο πρ όβλη μ α με την τιμή των αυγ ών . Η τιμή το πρωί ήταν 3 Ευρώ το ένα (τσι­ μπημένη αρκετά), γι' αυτό πούλησε 1 αυγό ο Α και εισέπραξε 3 Ευρώ, 2 αυγά ο Β και εισέ­ πραξε 6 Ευρώ και 3 ο Γ και εισέπραξε 9 ευρώ. Το μεσημέρι, αποφάσισαν τιμή προσφοράς 1 Ευρώ η επτάδα. Οπότε ο Α είχε 49 αυγά υπό­ λοιπο, 7 επτάδες και πήρε 7 ευρώ + 3 το πρωί = 1 Ο Ευρώ, ο Β είχε 28 αυγά υπόλοιπο ή 4 ε­ πτάδες και εισέπραξε 4 Ευρώ + 6Ευρώ το πρωί = 1 Ο Ευρώ και ο Γ είχε 7 αυγά υπόλοιπο δηλαδή μια επτάδα και εισέπραξε 1 Ευρώ + 9Ευρώ το πρωί = 1 ΟΕυρώ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 92 τ.4/49


I Ι

ι

[ j

Ο ι μαθη ματ ι κές δ ι οργανώσε ι ς ,

της χρον ι ας

του Θανάση Τοτόμη

I

Σημαντικές είναι οι διοργανώσεις στον τομέα των μαθηματικών, που θα πραγματοποιηθούν στη διάρκεια της φετινής χρονιάς. Το Ιάσιο, η Θεσσαλονίκη, το Κέϊπ Τάουν, η Ναύπακτος και η Βέροια θα φιλοξενήσουν κάποιες από αυτές. Αναλυτικά,

στο

Ι άσιο

πραγματοποιείται

νοτιοανατολικής Ευρώπης SEEMOUS 20 1 4 .

η

μαθη ματική

ολυμπιάδα

φοιτητών

Τη διοργανώνει η μαθη ματική εταιρεία της

Ρουμανίας και το τμήμα μαθη ματικών και πλη ροφορικής του Τεχνικού Πανεπιστημίου του Ι ασίου Γκεόργκι Ασάκι. Διάρκεια: 5 έως 9 Μ άρτη . Ακόμη, στο τέλος Μαρτίου πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη η 6η Διεθνής Μαθηματική Εβδομάδα, που διοργανώνει η ελληνική μαθηματική εταιρεία - ΕΜΕ κεντρικής Μακεδονίας. Στις εργασίες της θα παρουσιαστούν με σύγχρονη ματιά οι εξελίξεις στη μαθηματική έρευνα, στις νέες τεχνολογίες, στις εφαρμογές και στη διδακτική μεθοδολογία. Διάρκεια: 26 έως 30 Μάρτη. Στο Κέϊπ Τάουν της Ν. Αφρικής, πραγματοποιείται από τις 3 έως τις 1 3 Ιουλίου, η 5 5η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα νέων. Ακόμη, στη Ναύπακτο από τις 3 έως τις 7 Ιουλίου,

πραγματοποιείται

το

3ο

Διεθνές

Μαθη ματικό Συνέδριο με θέμα «Η Τοπολογία και οι

Εφαρμογές

της».

Τη

διοργάνωση

έχει

το

μαθη ματικό τμήμα του πανεπιστη μίου Πάτρας, σε Το πανεπιστή μιο Πάτρας

συνεργασία Ελλάδας,

με

το

με

ΤΕΙ

Πληροφορικής

αναμενόμενη

Δυτικής

συμμετοχή

περισσότερων από εκατόν πενήντα πανεπιστη μιακών από όλο τον κόσμο. Τέλος, στη Βέροια το Νοέμβρη πραγματοποιείται το 3 1 ο Μαθηματικό Συνέδριο με θέμα: «Προκλήσεις και Προοπτικές της Μαθηματικής Εκπαίδευσης και Έρευνας στη διεθνοποιη μένη δικτυακή εποχή », της Ελληνικής Μαθη ματικής Εταιρείας - ΕΜΕ, η ετήσια θεσμική συνάντηση ενη μέρωσης και διαλόγου του κλάδου, με την παρουσίαση των τελευταίων εξελίξεων από όλο τον κόσμο, στο χώρο των μαθη ματικών επιστη μών. Χρόνος διεξαγωγής : 7 έως 9 Νοέμβρη 20 1 4 . Π ανεπιστη μιακοί

δάσκαλοι,

μαθη ματικοί,

ερευνητές,

νέοι

σπουδαστές

και

δεκάδες

εκπαιδευτικοί από όλη τη χώρα, θα πάρουν μέρος στις διοργανώσεις. Περισσότερες πληροφορίες για τις διοργανώσεις, στο τηλ. 2 1 0 3 6 1 7784, 2 1 0 3 6 1 65 3 2 και στις

ηλεκτρονικές

διευθύνσεις

www.hms. gr,

math.etti.tuiasi.ro/seemous,

www.emethes.gr,

www.lepantotopology.gr, www. imo20 1 4. org.za

Θερινά σχολεία

13 Ιουλίου - 25 Ιουλίου 2014

Λr.πτοκα υά 11 ι ι ία

(σε δύο εβδομαδιαίες περιόδους) 3 - 9 Αυγούστου 2014

• •

17

-

Ν άουσα Ι-Ι �ιαΟία .

25 - Αυγούστου 2014

Φόρμα συμμετοχής στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ (www.hms.gr) και στα τηλέφωνα 2 1 0361 6532. 2 1 03 6 1 7784 Οι μαθητές θα μένουν σε ξενοδοχεία που θα διαθέτουν αίθουσα συνεδρίου εστιατόρια. Τα δωμάτια είναι κλιματιζόμενα και διαθέτουν

internet, τηλεόραση, σύγχρονη επίπλωση και ΣtOΙ:, tς 'l'lioi'I ΊI �MCfiiOI !'IO'tt!I:W(ΙΙ 'Ilς �ll\tf( ot9btoriHi ι: ιeι "���,'oooκ dtltiι ���iιί1'14fΜΙΠΙ ·�· ιιiWI 0'10 h '� '<iι •'Ο t1t •c,,ς "' ;,.ιeρ�;ιc�· i:"'� · ,

n.ινΗyωνιφ.ιο.t'Ι( fΜΙΙ'fflΙΛ( �•ιuκf«Ιιιιι� / J α ,θ ι � ι ιr η ιι. ή.Καrσσχηνωοη twιμαSφ«/1. - �> � oή &1 � 4wc μ � l01ol ιιοι

[Γυμνάσιο Λύκειο]

εξοπλισμό

[Γυμνάσιο Λύκειο] [Δημοτικό]


Ευκλειδης α 92