------•
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------
κάθε πλευρά και διαγώνιος του πενταγώνου είναι πλευρά τριών διαφορετικών τέτοιων τριγώνων.
Έτσι το συνολικό άθροισμα των αριθμών των πλευρών όλων των 1 Ο τριγώνων είναι 1 Os αλλά κάθε αριθμός από το 1 μέχρι το 1 Ο μετριέται 3 φορές, οπότε θα έχουμε: 1 Os = 3 ( 1 + 2 + 3 + ... + 1 Ο) = 1 65 => s = 1 6, 5 που είναι άτοπο, γιατί ο s είναι θετικός ακέραιος. Δ6. Στο Καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε το σύνολο S = { (χ, y ) : χ, y ε Ζ} όλων των σημείων του με ακέραιες συντεταγμένες. Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων που είναι αναγκαία για το χρωματισμό όλων των σημείων του S έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο σημεία του S με Εσθονία, 2012 απόσταση 5 που να έχουν χρωματιστεί με το ίδιο χρώμα. ,
·
Παρατηρούμε ότι 2 χρώματα Α και Β είναι αρκετά. Αυτό διαπιστώνεται, αν χρωματίσουμε όλα τα σημεία με άθροισμα συντεταγμένων άρτιο με το χρώμα Α και όλα τα υπόλοιπα με το χρώμα Β. Όλα τα σημεία που απέχουν απόσταση 5 μονάδων από το σημείο με συντεταγμένες M (x, y ) είναι της μορφής: (x ± 4, y ± 3 ) , (x ± 3, y ± 4), (x ± 5, y ), (x, y ± 5 ) . Όμως σε κάθε περίπτωση το άθροισμα των συντεταγμένων των παραπάνω σημείων είναι άρτιο, αν χ + y περιττός, και είναι περιττό, αν χ + y άρτιος. Άρα όλα τα σημεία που απέχουν από το σημείο Μ (χ, y ) απόσταση 5 μονάδων χρωματίζονται με διαφορετικό χρώμα από το σημείο M (x, y ) . Λύ ση
Ασ κ ήσε ις γ ια λύσ η All.
Να βρείτε τον αριθμό των ψηφίων του αριθμού Α = 5 1 40 • 847 •
Α12. Να αποδείξετε ότι για κάθε
� χ ε JR αληθεύει η ανισότητα: χ6 + χ4 - χ3 - χ + > Ο. 4
x, y είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους και διαφορετικοί από το yz - χ2 zx - y2 yz - χ2 zx - y 2 = χ + y + z. = , να αποδει'ξετε οτι και ισχύει ότι: 1-χ 1-y 1-χ 1-y Α1 3 . Αν οι
,
=
Α14. Να αποδείξετε ότι, για κάθε
Γ8 .
Δίνεται τετράγωνο PC = ..[3. Να βρείτε:
1
x, y > Ο , ισχύει ότι: 1 �
(χ + y ) ( x3 + / ) 9 2 � -8 . 2 2 ) + y (χ
και σημείο Ρ στο εσωτερικό έτσι ώστε ΡΑ = 1 , ΡΒ = .J2 και το μήκος PD , 2 .) το μέτρο της γωνίας ΑΡΒ .
ABCD
1.)
Δίνεται τρίγωνο ABC με Α = 90·. θεωρούμε σημεία D και Ε πάνω στα ευθύγραμμα τμήματα AC και BD , αντίστοιχα, έτσι ώστε ABc=ECn=cEn. Να αποδείξετε ότι: ΒΕ = 2 AD . Ν9. Είναι δυνατόν η περίμετρος ενός τριγώνου του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι ακέραιοι να διαιρείται με το διπλάσιο της μεγαλύτερης πλευράς του; Γ9.
·
Nl Ο. Βρείτε
όλες τις τριάδες ( m, n, p ) , όπου
m, n,
p
θετικοί ακέραιοι και
5 m + 2n Ρ , , , , τετοιες ωστε ο αριθμος m 2n Ρ , ειναι τετραγωνο ακεραιου. 5 .
,
_
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 86 τ.2/38
,
p πρώτος, που είναι