Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου
(Α ΒΓ ) βγ Α = λ ή Α+ λ = 180° τότε (ΑΉ 'Γ) β γ 1 Ο) Α ν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β 'Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ τότε ��::;:. = λ 2 . Η σχέση ισχύει ( )
9) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α 'Β 'Γ έχουν
για οποιαδήποτε όμοια πολύγωνα. () f: μ ο
η"
Έστω κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ και σημεία Μ, Κ αυτού. Στην επίκεντρη γωνία ΜΟΚ εγγράφουμε κύκλο κέντρου Π και ακτί νας R. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετρα πλεύρου ΜΟΚΠ.
ρ ο
Μ
R π
Ε = _!_αβ 2 <::::> η μ Γ = 1 <=> Γ = 90° , δηλαδή το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο, με ορθή τη γωνία Γ. Θ {: μ α 3"
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδού Ε. Ας είναι Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ, Ν το μέσο της διαμέ σου ΑΜ, και Δ το σημείο τομής της ΒΝ με την πλευρά ΑΓ. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τρι γώνου ΑΔΝ. Α
κ
Δ
Ως γνωστόν, η διάκεντρος ΟΠ διχοτομεί τη γωνία ΜΟΚ και άρα τα τριγωνα ΜΟΠ και ΚΟΠ είναι ίσα (αφού ΟΠ κοινή και ΟΜ=ΟΚ=ρ). Επο μένως (ΜΟΚΠ)=2(ΜΟΠ). ΑίJση 1 1 Η ΒΝ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ, άρα Είναι όμως (ΜΟΠ) = 2 0Μ · υ 0Μ = 2 ρ · R , (ΑΒΝ)= _!_2 (ΑΒΜ) , και ομοίως ανάλογα άρα (ΜΟΚΠ)= ρ R Θ i: μ α (ΑΒΜ)= _!_2 (ΑΒΓ) , αφού η ΑΜ είναι διάμεσος του Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β . Αποδείξτε ΑΒΓ. Επομένως έχουμε ότι ισχύει �β και να εξεταστεί πότε τριγώνου (ΑΒΝ)= _!_4 (ΑΒΓ) = _!_4 Ε . Φέρουμε τώρα από το Μ ισχύει η ισότητα. παράλληλη στην ΒΔ, η οποία τέμνει την ΑΓ στο . \ ί; σ η Ζ. Επειδή Ν μέσο της ΑΜ και ΝΔ//ΕΖ, ι Για το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν σημείο 2Ε και Ε = 1 β · υ <::::> υβ = 2Ε · σχύει ΑΔ=ΔΖ. Ομοίως, Ε μέσο της ΒΓ και Ε= 21 α· υα <::::> υα = -;: '2 p τ ΕΖ//ΒΔ, άρα ΔΖ=ΖΓ, δηλαδή ΑΔ=_!_ΑΓ 3 . Έχουμε επομένως α + υα � β + υβ Παρατηρούμε τώρα ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και 1 2Ε 1 2Ε ΑΒΓ έχουν ίσα ύψη και επομένως για το λόγο των β <=> α β <::::> α + α � + β + 2Ε · (-α - -)β � Ο <::> ΑΔ = -1 , αρα . (ΑΒΔ) = . αβ(α - β) - 2Ε(α - β) � Ο <::::> (α - β)(αβ - 2Ε) � Ο . εμ βαδων. τους θα ισχυει (ΑΒΓ) ΑΓ 3 Η σχέση αυτή όμως ισχύει, αφού α > β και 1 . Τελικά επομένως λαμβάνουμε (ΑΒΔ)=-Ε 1 1 3 Ε = -αβημΓ ::::; -αβ 2 . 2 1 1 --Ε 1 = -Ε Για να ισχύει α + υ = β + υβ , όπως φαίνεται (ΑΔΝ)=(ΑΒΔ)-(ΑΒΝ)= -Ε 3 4 12 από την απόδειξη, θα πρέπει να έχουμε Ν
Β
z
Μ
Γ
·
2"
α + υα
α>
+ υβ
α
Θ έ μ α 4"
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 ° . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . τ.2/42