------- Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής
- Έστω ένας προτασιακός τύπος δύο μεταβλητών p(x, y) , όπου χ Ε Α και y Ε Β . Προφανώς το (διατεταγμένο) ζεύγος (x, y) διατρέχει το σύνολο (καρτεσιανό γινόμενο): AχB = {(x, y) lxEA και yEB} .
με σύνολο ορισμού το Ω, τότε οι παρακάτω εκ φράσεις είναι επίσης προτασιακοί τύποι με σύνολο ορισμού το Ω: ρ( χ), p(x) ν q(x) ,
p(x) � q(x), ρ( χ)<::> q(x) .
Έτσι, ο ρ( χ, y) μπορεί να θεωρηθεί ως προτα σιακός τύπος με μεταβλητή το ζεύγος (x,y) και σύνολο ορισμού το παραπάνω σύνολο Αχ Β .
Γράφουμε:
p(x, y) IAχB . - Έστω ένας προτασιακός τύπος p( χ, y) I Αχ Β . Ένα στοιχείο (ξ, η) του Αχ Β λέμε ότι επαληθεύει τον p(x, y) , αν, και μόνο αν, η πρόταση p(ξ, n) είναι αληθής. Λέμε ακόμα, τότε, ότι για το ζεύγος
2.4.
ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΗΣ
Έστω ένας προτασιακός τύπος ρ( χ) IΩ . Το σύνολο αληθείας αυτού είναι: {xEΩip(x)} (ς Ω) . •
Η πρόταση, η οποία είναι: •
(ξ,n) ισχύει ο p(x,y).
Το σύνολο των στοιχείων του Αχ Β , που επαληθεύουν τον ρ( χ, y) , δηλαδή το σύνολο: {( χ , y) Ε Αχ Β I ρ( χ, y) αληθής} , ονομάζεται σύ νολο αληθείας του ρ( χ, y) . Πολλές φορές, το σύ νολο αυτό το γράφουμε απλούστερα ως εξής: {(x, y) Ε Αχ Β I p(x, y)} ή, αν δεν υπάρχει αμφιβολία για το σύνολο ορισμού Αχ Β , ως εξής: {(x, y) I p(x, y)} . Είναι φανερό ότι το σύνολο αυτό είναι υποσύνολο του Αχ Β . - Ανάλογα ορίζονται το σύνολο ορισμού και το σύνολο αληθείας ενός προτασιακού τύπου τριών, τεσσάρων κτλ. μεταβλητών. - Στους συμβολισμούς: p(x) , ρ( χ, y) κτλ. το p παριστάνει μια ομάδα λέξεων (ή και άλλων γνω στών συμβόλων), οι οποίες, όπως λέμε, εκφράζουν μία ιδιότητα, η οποία αποδίδεται (αναφέρεται) σε ένα, σε δύο κτλ. αντικείμενα, αντιστοίχως. Μία τέτοια ιδιότητα λέγεται και κατηγόρημα μιας θέ σεως, δύο θέσεων κτλ., αντιστοίχως. 2.3.
-------
•
αληθής, αν όλα τα στοιχεία του Ω επα ληθεύουν τον p(x) (δηλαδή αν Α = Ω) και ψευδής στην αντίθετη περίπτωση (δη
λαδή αν Α * Ω),
συμβολίζεται με:
'ν'χ Ε Ω,p ( χ )
(1)
και διαβάζεται: «για κάθε χ Ε Ω, p( χ)».
Το σύμβολο: 'ν', το οποίο μετατρέπει τον προ τασιακό τύπο p(x) σε πρόταση, ονομάζεται καθολικός ποσοδείκτης και διαβάζεται: «για κάθε». Π.χ. έχουμε τις εξής προτάσεις: 'ν'χ Ε JR ,
χ 2 + 1 > Ο (αληθής), ν + 2 > 20 (ψευδής).
'ν'ν Ε Ν, - Αν δεν υπάρχει αμφιβολία για το σύνολο ορι σμού Ω του p(x) , τότε, αντί της (1 ), γράφουμε: V'x, p(x) . Πολλές φορές στα Μαθηματικά, αντί: 'ν'χ Ε Ω, p(χ) , γράφουμε: p(x), 'ν'χ Ε Ω .
Σημείωση:
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ.
Συνδέοντας με τους λογικούς συνδέσμους δο σμένους προτασιακούς τύπους, όπως και τις προ τάσεις, οι εκφράσεις που προκύπτουν είναι επίσης προτασιακοί τύποι. Π.χ., αν ρ( χ) και q(x) είναι προτασιακοί τύποι
2.5.
ΥΠΑΡΞΙΑΚΟΣ ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΗΣ
Έστω ένα προτασιακός τύπος ρ( χ) IΩ . Το σύνολο αληθείας αυτού είναι: A = {xEΩip(x)} (ς;Ω) .
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λθ ' τ.3/7