Μαθηματικά Β' Λυκείου
Dχ D
3.
2<i·β a . β - Ι = <i · β + Ι 2<i · β + Ι <i · βa.β 2a . β = -α · β = =
-
-
_
_
_
δυο ' ευ θ ειων ' να ειναι ' ιση ' με Τ J2
-
a . β + Ι 2a . β + Ι Έτσι, έχουμε για οποιαδήποτε διανύσματα a, β ότι D Dx χ=0 = α · -β + 1 , y = 0Y = -α · β Y
_
_
Λύση
I.
-
οπότε οι ευθείες (ε 1 ), (ε2) τέμνονται σε κάθε περί πτωση, στο σημείο Ρ a + Ι, -a ·
( ·β
2.
β)
=-<i·β
<=>
3.
άρα: Xp = -y p + 1 X p + ΥΡ - 1 = Ο οπότε ο γ.τ. των σημείων τομής Ρ είναι η ευθεία (ε) : χ + y - 1 = 0 Θεωρούμε τα παράλληλα διανύσματα προς τις ευθείες (εΙ), (ε2 ) αντίστοιχα Είναι = (<i · β - 1, -a . β) και
Γνωρίζουμε ότι ισχύουν: a = a · προ β α γ = β · προβ β γ a . γ = γ . προβγ<i Έτσι, η εξίσωση (ε2 ) γράφεται ισοδύναμα a χ + . γy + γ . a + Ι =
·β β·
β
.β β
ο
Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές των χ, y στις εξισώσεις των ε 1 ,ε2 είναι ίσοι, οπότε οι ευθείες ε 1 , ε2 είναι παράλληλες.
Για τον γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής Ρ έχουμε Yp
Αν τα διανύσματα α, β,γ είναι μοναδιαία, να εξετάσετε αν μπορεί η απόσταση των
2.
Το σημείο
κ[ο,-�β ·· �)γ ανήκει στην ε1 . Συνε
h 1 ,fi 2
�( a . β)z + (β. γ )2
h1
h 2 = (<i · β, -a . β - Ι) , οπότε ε 1 .l ε 2 <=> h 1 .l h <=> h1 · h =Ο<=> 2 2 . <=> ( a β - Ι ) a . _β ( -a . β) ( -a . β - Ι ) = ο <=>(<i·β )z -<i·β + (<i·β)z + (<i·β)= Ο <=> 2(a·β )2 =ο<=> a . β = ο<=> a .l β +
Άσκη ση 3
Δίνονται οι ευθείες (ε . ) : α . β χ + β . γy + a . γ = ο
(ε2 ) : « · προΡα ίiχ + ii · προΡμ ΎΥ + r . προβ1 « + ι = ο
όπου a ,β,γ είναι διανύσματα μη μηδενικά και ανα δύο μη συγγραμμικά. Ι . Να αποδείξετε ότι ει // ε2 • 2. Να υπολογίσετε την απόσταση των ε1, ε2 •
(1)
3.
Είναι: ι a ι = = l γ l = I
j βj
Λ
Λ
(β,
(<i,β)
= φ και γ) = ω . Δεχό υποθέτουμε ότι μαστε ότι J2 η απόσταση των δύο ευθειών είναι I Α ' ' με . ' ιση Τ = J2 . πο την σχεση (Ι ) , εχουμε: Ι
Ι J2
�(<i·β)2 + (β . γ)2 <=> ( α .β )2 + (β . γ )z = 2 <=> l 2 <=> ( l <i · j β j συνφ ) + ( j β j . Ι γ l υνω ) 2 = 2 <=> συν 2 φ + συν2 ω = 2 (2) 2 2 Η σχέση (2) ισχύει μόνο όταν συν φ= συν ω= Ι δηλαδή όταν φ = Ο ή φ = π και ω = Ο ή ω = π οπότε θα είναι α ιιβ και β;ιγ ' άτοπο, αφου τα a, β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. σ
Άσκη ση 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λθ ' τ2/48