Μαθηματικά Β' Λυκείου
γ)
ΟΛ = ψΟΜ και λόγω της (2) ΟΑ = Ψ [ -2(ρ -l)ίi + 3ρβ ] � ΟΛ =-2(ρ- l)ψίi+3ρψβ (4) Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των (3) και (4) έχουμε: χίi +(3-3χ)β = -2(ρ-1)ψίi +3ρψβ � [χ + 2(ρ -1)ψ] α = (3ρψ -(3-3χ) ] β . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν (2ρ -1)χ + 2(ρ -1)ψ Ο, τότε α- = 3ρψ-(3-3χ) χ + 2(ρ-l)ψ · v , δηλαδη' α, β συγγραμμικά, πράγμα άτοπο, άρα χ + 2(ρ- 1)ψ = ο (5) Ο , τότε ΙΙ.Αν- 3ρψ-(3-3χ) χ + 2(ρ -1)Ψ · α- , δηλαδη' α,- β- συγβ = 3ρψ-(3-3χ) γραμμικά, πράγμα άτοπο, άρα 3ρψ-(3 -3χ) =ο (6) Οι (5) και (6) δίνουν σύστημα : + 2(ρ -1)ψ = ο � { χ + 2(ρ -1)ψ = ο . {χ3ρψ-3+3χ =0 χ + ρψ = 1 D = 1 11 2(ρρ-1) 1 =ρ-2(ρ-1) = = ρ -2ρ + 2 = -ρ + 2 αφού Ο<ρ< 1 = 101 2(ρ-1) ρ 1 = -2(ρ-1) =-2ρ+2 = 1 11 Ο1 Ι = 1 . Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την (χ,ψ) = (-t' o) = 1 ) και = ( -2-ρρ++22 ' -ρ1+ 2 ) = ( 2ρ-2 ' ρ -2 ρ -2 λόγω της (3) -3ρ β . + ΟΑ = 2ρ-2 ίi ρ-2 ρ-2 -->
δ)
joA.j = α , jo"Bj = β και η γωνία των διανυ-
-->
-->
-->
-
Ι.
-->
σμάτων ΟΑ και ΟΒ είναι φ. Αν Μ είναι σημείο της ευθείας ΑΒ, με ΑΜ = κ· ΑΒ , τότε : Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος ΟΜ συναρτήσει των α, β, φ και κ. β) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω των διανυσμάτων ΟΜ και ΑΒ . γ) Ν α βρείτε το συνω όταν : i) το Μ είναι μέσο του ΑΒ, ίί) το Μ ταυτίζεται με το Α ίίί)το Μ ταυτίζεται με το Β ίν) φ = 90° ν) ΟΑ = ΟΒ δ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΟΜ και ΑΒ , όταν φ = 45°, α = 2 και β =
α)
-->
_R_
f.
-->
-->
ι.
ε)
-->
Να δείξετε ότι η προβολή του ΟΜ στο ΑΒ στην περίπτωση που α = β είναι προβ _, ΟΜ = 2κ 1 · ΑΒ . 2 -->
ΑΒ
__,
D
ψ
D
3.
D
ψ
--
__,
Λύ ση ο
f.O
χ
-->
-->
:t:.
D
-->
-->
α)
Α
ΟΜ = ΟΑ +ΑΜ = ΟΑ+κ·ΑΒ = ΟΑ +κ· (ΟΒ-ΟΑ) = ΟΑ +Κ· ΟΒ - κ· ΟΑ άρα ΟΜ = (1-κ) · ΟΑ2 +κ· ΟΒ (1) Οπότε : I ΟΜ 1 = ΟΜ 2 = [(1-κ) ΟΑ+ κ · ΟΒ]2 = (1-κ)2 · ΟΑ2 + 2κ(l-κ) · ΟΑ· ΟΒ+ κ2 · ΟΒ2 = 4
-+
�
�
-+
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λη ' τ.l/56
-+
-->
-->
Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ στο οποίο είναι
-+
-->
-+
-+
-+
-+
-+
-->
-->
-->
-+
-+
-->
-+