-------
σημο της 2ης παραγώγου. Είναι
Ένα πρό βλημα πολλές Λύσεις
�� =-t(�) =� - χ) =� -
1 =- 1 - 1
= -2 .
d2f < Ο, για y = χ θα εχουμε ' ' ' ' η μεγιστ ' οτι ' ειναι ' η τιμη' ακροτατο Αφου' και μα' λιστα μεγιστο. Ευνοητο dx2 x=y της f θα είναι fμεy = κ2 αφού για x + y = 2κ έχουμε χ = y = κ.
{
·
Παρατήρηση :
Ασφαλώς θα ήταν ευκολότερο να μελετηθεί με παράγωγο η συνάρτηση f(x) = -χ2 + 2κχ του 6ου τρόπου, ως προς τα ακρότατα. Προτιμήθηκε όμως ο παραπάνω γιατί συνδυάζει τα σύμβολα Leibnitz, - τη σύνθετη συνάρτηση και το ρυθμό μεταβολής.
Ένατος τρόπος Θεωρούμε κύκλο με διάμετρο ΑΒ > 2κ και παίρνουμε χορδή ΓΔ = 2κ. Για κάθε σημείο Σ της χορδής είναι ΣΓ + ΣΔ = 2κ. Θέ τουμε ΣΓ = χ, ΣΔ = y. Έτσι χ + y = 2κ. Αρκεί να βρούμε πότε το γινόμενο ΣΓ·ΣΔ = x·y γίνεται μέγιστο. Αλλά ΣΓ·ΣΔ = R2 - ΟΣ2 • Αρκεί λοιπόν ΟΣ2 να γίνει ελάχιστο, δηλαδή ΟΣ ελάχιστο. Αυτό συμβαίνει όταν το Σ συμπίπτει με το μέσο Μ της χορδής ΓΔ, αφού ΟΜ .l Γ Δ. Φανερά τότε θα είναι χ = y = κ. ( Μπορούμε να πάρουμε και κύκλο διαμέτρου ΑΒ = 2κ. Τότε μάλι στα δε χρειαζόμαστε χορδή ΓΔ, αρκεί η διάμετρος ΑΒ και η μέγι στη τιμή του x·y θα είναι όταν το Σ ταυτίζεται με το κέντρο 0).
f-: : --.----- .
Γ
-
-
- '-, Δ
- __Ό____ __
;
ο"
\
\
.,_ ...... _ _____ _
___
\
Β
Δέκατος τρόπος: (Μ ε γραφική παράσταση) Έστω λ > Ο μια τιμή του γινομένου x·y. Τότε έχουμε: χ+ y = 2κ <;:;>Υ = 2κ - χ, χ > Ο x·y = λ <;:;>Υ = �. χ > Ο. Θεωρούμε τις συναρτήσεις: χ f: y = 2κ - χ, χ > Ο λ g: y = -, χ > ο. χ
Υ
y=x
2
--κ
λ
-- y=x
Εύκολα δείχνουμε ότι και οι δυο aντιστρέφονται και μάλιστα ισχύει: 1 1 = f, g- 1 = g. Άρα κάθε μια έχει γραφική παράσταση συμμετρική ως προς την πρώτη διχοτόμο y = χ. Η κορυφή Σ της υπερβολής έχει συντεταγμένες (...Ji, ψ.) και το μέτρο του δΣ είναι ιδΣι = \}λ + λ = -{'2λ = (ΟΣ) Άρα όταν αυξάνει το λ η κορυφή της υπερβολής απομακρύνεται από την αρχή Ο παραμένοντας ό μως πάντα πάνω στην ευθεία y = χ. Άρα η μέγιστη τιμή του λ θα είναι αυτή για την οποία η υπερβολή ε φάπτεται της σταθερής ευθείας y = 2κ - χ, και λόγω της συμμετρίας το σημείο επαφής*, θα βρίσκεται και πάνω στη διχοτόμο. Εύκολα βρίσκουμε ότι τότε χ = y = κ.
,
2λ > Ο άρα μονιμα τα κοίλα ανω της g. ' Μοναδικ6 αφου g "( χ) = 3 χ '
*
'
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. β. τ.4/63