Επαναληπτικές ασκήσεις Β' Λυκείου
(γ) συνχ · συνy = � <=> 2συνχ · συνy = � <=> συν(χ - y) + συν(χ + y) = � Λόγω των προηγουμένων σχέσεων η τελευταία γράφεται: 1 ;α�α2 + 1 - 2α2 = �ή 4α4 + 3α2 - 1 = Ο 1 ' α = - Ι1 ' α='2η οποτε 9. Αν l < χ < 8, να λυθεί η εξίσωση: lo�x + (lo�x)2 + (lo�x)3 + . . . ! =
Λύση
Επειδή 8 1 η συνάρτηση log8x είναι γνησίως αύξουσα άρα από τη σχέση k < χ < 8, έχουμε: log{k) < loggx < log88 <=> -1 < log8x < 1 <=> Ι log8x l < 1 Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με α 1 = log8x και λόγο λ = loggx. Άρα η εξίσωση γράφεται: ....,.1 -loggX � ..- log8x -=-21 η, OggX =-31 η, Χ= 2 >
I
10. Να βρείτε τις τιμές του χ Ε (0, 2π) για τις οποίες οι αριθμοί συν2χ, 1 - ημ3χ, 2ημχ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Λύση 1 ·
προόδου έχουμε: Επειδή οι3 αριθμοί2 συν2χ, - ημ\, 2ημχ3 είναι2 διαδοχικοί όροι3 αριθμητικής 2 2( 1 - ημ χ) = συν χ + 2ημχ <=> 2 - 2ημ χ = συν χ + 2ημχ <=> 2ημ χ - ημ χ + 2ημχ - 1 = Ο <=> (2ημχ - 1)(ημ2χ + 1 ) = 0 } <=> 2ημχ - 1 = Ο <=> χ = 2κπ + -π η' χ = 2κπ + 5π, κ Ε Ζ και χ Ε (0, 2π) 6 6 με η μ2χ + 1 Ο που σημαίνει: Ο < 2κπ + 6 < 2π } κΕΖ < 2κπ + S π < 2π } Ο και παίρνουμε κ = Ο οπότε χ =� ενώ από: κ 6 παίρνουμε χ = 56π. ΕΖ :;t:
�
·
11. Αν οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο, δείξτε ότι η διαφορά της προόδου ισούται με την ακτίνα του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. ·
Έστω 2χ 2Ο, χ + ω Ο, χ - ω Ο οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου τότε (χ + ω) = χ + (χ - ω)2 απ' όπου παίρνουμε: χ2 - 4χω Ο <=> χ(χ -χ 4ω)0 = Ο } <=> χ = 4ω Αλλά Ε = τ· ρ δηλ. χ(χ 2 ω) = χ+ χ+�+ χ - ω · ρ δηλ. χ - ω = 3ρ και επειδή χ = 4ω παίρνουμε τελικά ότι ω = ρ . >
>
Λύση
>
>
=
12. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημχ ·(4ημχ)cηινχ
=�32-.Jx
(1) Λύση
Γ
χ
Α
χ + ω
χ - ω
Β
(1) γράφεται 2η ημ2χ = 2ημ)χ επομένως επειδή εκθ ετική με βάση το 2 είναι 1 - 1 έχουμε2 π ημχ + ημ2χ = ημ3χ <=> ημ3χ - ημχ ημ2χ <=> 2ημχ(συν2χ - συνχ) = Ο οπότε χ = κπ ή χ = � , κ Ε Ζ. 3 13. Να λυθεί η εξίσωση: (1 + νJ)χ - 2χ - (2 +νJ)χ ! (1)
Η
μχ +
η
=
=
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8 ' λ . τ . 4/31