Issuu on Google+


lίϊ][g[?J�(Q)&,��@

ιr�&. u@

t\1'\l�[g�@

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Η 37η διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα (ΔΜΟ) ............................................. 4

Άλγεβρα και μυστικοί κώδικες ..................................................... .................. 7 Πως μπορούμε να προσανατολιστούμε με ένα ρολόι (αντί για πυξίδα) ............ 12 Fractals Προσέyyιση σε μια νέα περιγραφή της φύσης .................................. 18 Μέθοδοι απόδειξης ....................................................................................... 22 Γεωμετρία Α' Λυκείου ................................................................................... 30 Η συνάρτηση y =α ημ(ωχ) +β συν(ωχ) ........................................................ 32 Προσπάθεια προσέyyισης της έννοιας του ορίου ........................................... 36 Η εξίσωση F(x) = F-' (χ) ................................................................................ 42 Ασκήσεις στις Ορίzουσες ............................................................................... 52 Το βήμα του Ευκλείδη ................................................................................... 56 Ένα πρόβλημα πολλές λύσεις ....................................................................... 58 Στις ασκήσεις λέμε ΝΑΙ ! ......................................... . . . . .. .... .. .. .... .......... ... . . . . . ... 60

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Γραμματεία Σύνταξης:

Βομβάη Ιούλιος 1996

Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης

Συντακτική Επιτροπή: Βακαλόπουλος Κώmας, Βισκαδουράκης Βασίι\ης, Γεωργακόπουλος Κώmας, Γράψας Κώmας, Δαμιανός Πέτρος, Καρακατσάνης Βασίι\ης Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήmος, Κοντογιάννης Δημήτρης, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Λαμπρόπουλος Τάσος, Μαλαφέκας Θανάσης,

Θρίαμβος του ελληνι­ κού πνεύματος !

ΜπαδήλαΛ,

ΕΙ Μαθηματικά

Μώκος Χρήmος, Σα"ϊτη Εύα, ΤούρλαςΛεωνίδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος,

για ... πράκτορες

Υπεύθυνοι Έκδοσης:

Παπαδόπουλος Νίκος, Τσαρπαρλής Ιωάννης

μυστικών υπηρεσιών

Επιμέλεια Έκδοσης:

Μαραγκάκης Σ.

Συνεργάστηκαν: Αρβανιτογεώργος Ανδρέας, Βαφέα Φλώρα, Γαβράς Κ, Τσαπακίδης Γιώργος, Σταθάκη Βαρβάρα, Ντρίzος Δημήτρης, Μπουνάκης Δημήτρης, Σταμάτης Καλί­ κας, Τσάμης Γιώργος,

1-------ι

Ι!a Χαθήκατε

στην έρημο.

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Έχετε όμως ρολόι

Πανεπιmημίου 34-106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 36 17 784-3616 532 Fax: 36 41 025 Εκδότης: Ν. Αλεξανδρής Διεvθvντής: Κ Σάλαρης ISSN: 1105-8005 ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ: Τεt!χος: Ετήσια συνδρομή: Ορyανισμοί:

350δρχ. 1.600δρχ. 3.000δρχ.

και πυξίδα. Κανένα πρόβλημα.

21 Ρ#

Ταχ. Εnιταyές

Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.Θ. 30044 Στοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση

Εκτύπωση: ΙΝΤΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερά οδός 81-83

Ε λ λ η ν ι κή Μ α θ η μ α τ ι κή Ε τ α ι ρ ε ί α

Υπευθ. Τυπογραφείου: Ν. Αδάκτυλος-τηλ. 34 74 654


-------

Η 37η διεθνής μαθηματ ική ολυμπιάδα (ΔΜΟ)

-------

Η 37η διεθνής μαθηματική ολυμπιάδα (ΔΜΟ) 5

-

17 Ιουλίου, Βομβάη, Ινδίες

Επιτροπή Διαγωνισμών

Η 37η ΔΜΟ έδωσε τη δυνατότητα στα μέλη της Εθνικής μας ομάδας να ξεδιπλώσουν το τα­

λέντο τους και να πετύχουν την καλύτερή τους εμφάνιση που είχαμε ποτέ σαν χώρα. Πράγματι η Ελλάδα κατέλαβε στην βαθμολογία την 22η θέση σε 75 χώρες. Μεταξύ των 1 2 χω­ ρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης η χώρα μας κατέλαβε την 3η θέση (Αγγλία - Γερμανία - Ελλάδα). Για πρώτη φορά, όλοι οι μαθητές μας πήραν όλοι μετάλλια (5 χάλκινα και 1 αργυρό), για πρώτη φορά η χώρα μας κατέλαβε τη πρώτη θέση παγκόσμια, σε θέμα (5ο θέμα, Γεωμετρία), για πρώτη φορά μαθητής μας πήρε τη πρώτη θέση παγκόσμια στη Γεωμετρία κ.λ.π. Αξίζουν θερμότατα συγχαρητήρια στους μαθητές της ομάδος μας που αποτελείτο από τους: Ι.

2. 3.

4.

5.

6.

Μπρ{;γιαννη Πt:τρο (Α' Λυκείου) Μιχαλάκη Νίκο Τάκο Γιώργο

(Β'

Αργυρό μεταλλείο

Λυκείου, Παγκόσμιος πρωτ/τής στη Γι:ωμετρία) Χ6λκινο μετάλλιο

Λυκείου)

Χάλκινο μετάλλιο

Αλεξάκη Σπύρο (Γ Λυκείου)

Χ6λκινο μετάλλιο

Μαλικιώση Ρωμανό -·Διογ{;νη (Α' Λυκείου)

Χc'ι:λκινο μετάλλιο

Ρουτζούνη Σταύρο

Χ6λκινο μετάλλιο

Λυκείου)

Συνοδοί της αποστολής ορίσθηκαν οι συνάδελφοι Μιχ. Λάμπρου και Δημ. Κοντογιάννης. Θα αναφέρουμε ότι λόγω καιρικών συνθηκών οι μαθητές μας Τάκος Γ. και Αλεξάκης Σ. αρρώστησαν και δεν απέδωσαν σύμφωνα με τις δυνατότητές τους. Θέλουμε να πιστεύουμε ότι η επιτυχημένη παρουσία της χώρας μας στην 37η ΔΜΟ θα απο­ τελέσει αφετηρία για την αναβάθμιση της παρουσίας μας στις ΔΜΟ, ώστε η χώρα μας να κατα­ λάβει τη θέση που της αρμόζει. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ . 1 14


------- Η 37η διεθνής μαθηματική ολυμπιάδα (ΔΜΟ)

-------

Η επιτυχία της Εθνικής μας ομάδας οφείλεται, κατά τη γνώμη μας, στους παρακάτω λόγους: α) Στο γεγονός ότι τη χρονιά αυτή οι Μαθηματικοί Διαγωνισμοί της Ε.Μ.Ε. διεξήχθησαν ε­ νωρίτερα, οπότε έγινε ενωρίτερα ο καθορισμός της Εθνικής ομάδας και επομένως καλύτε­ ρη προετοιμασία. β) Οπως αποδείχθηκε η επιλογή των μαθητών της Εθνικής ομάδας ήταν εξαιρετικά επιτυχη­ μένη. Ένα πρόσθετο στοιχείο είναι το γεγονός, ότι και οι τρεις τελειόφοιτοι μαθητές της ομάδας aρίστευσαν στις Πανελλαδικές εξετάσεις: Αλεξάκης, 1 ος στο Μαθηματικό Αθηνών Ρουτζούνης, 1 ος στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του ΕΜΠ Τάκος, 2ος στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του ΕΜΠ γ) Στο γεγονός ότι τα θέματα της 37ης ΙΜΟ ήταν εξαιρετικά δύσκολα, ιδιαίτερα τα Γεωμετρι­ κά. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να ανέβει η ελληνική ομάδα, που οι μαθητές της γνωρίζουν πολύ καλή Γεωμετρία. δ) Στους συνοδούς Μιχ. Λάμπρου-Δημ. Κοντογιάννη που εργάσθηκαν υπεράνθρωπα για την επιτυχία της ομάδας μας. Ευελπιστούμε, ότι στην 38η ΙΜΟ που θα γίνει στο Mar del Plata της Αργεντινής ( 1 8 - 3 1 Ιουλίου 1 997) η χώρα μας θα καταλάβει ακόμα καλύτερη θέση. Θα πρέπει βέβαια για το λόγο αυτό να βοηθήσουν και όλοι οι αρμόδιοι παράγοντες.

Το χρονικό

της Ολυμπιάδας Δ. Κοντογιάννης

-

Π. Μπρέγιαννης

Η αναχώρηση της ομάδας μας έγινε το Σάββατο 6 Ιουλίου από το δυτικό αεροδρόμιο στις 1 μ.μ. με προορισμό τη Ρώμη. Από εκεί, ύστερα από πεντάωρη παραμονή στο αεροδρόμιο της Ρώμης, αναχωρήσαμε για την Ινδία, όπου μετά από μια μικρή στάση στο Νέο Δελχί, φθάσαμε στη Βομβάη στις 1 0π.μ. περίπου τοπική ώρα. Στο αεροδρόμιο της Βομβάης μας περίμεναν μέλη της οργανωτικής επιτροπής της 37ης ΔΜΟ, που οδήγησαν την ελληνική ομάδα στο Κέντρο Πυρηνικών Ερευνών των Ινδιών όπου καταλύσαμε κατά τη διάρκεια της 37ης ΔΜΟ. Οι συνθήκες διαμονής στο Κέντρο δεν ήταν καθόλου καλές. Το φαγητό ήταν ασυνήθιστο, ενώ τα δωμάτια που έμεναν οι μαθητές μας δεν ήταν ιδιαίτερα καλά. Ο έλεγχος από τους Ινδούς διοργανωτές ήταν αυστηρός, (δεν επέτρεπαν να βγαίνουμε από το Κέντρο) ενώ χαρακτηριστική ήταν η παρουσία διαφόρων ζώων, όπως πιθήκων, φιδιών κ.λ.π. έξω από το εστιατόριο. Ολα αυτά σε συνδυασμό με τη ζέστη και την αποπνικτική υγρασία και την κόπωση έκαναν τη διαμονή μας αρκετά δύσκολη. Μάλιστα εξαιτίας των κακών συνθηκών δύο μαθητές μας, αρρώστησαν στην Ινδία, ενώ ένας τρίτος αντιμετώπισε κάποια - ευτυχώς όχι σοβαρά - προβλήματα κατά την επιστροφή μας στη Ρώμη, με αποτέλεσμα την παραμονή του επί τετραήμερο σε νοσοκομείο της Ρώμης. Την Τρίτη 9 Ιουλίου έγινε η τελετή έναρξης της Ολυμπιάδας και οι όλες οι ομάδες παρα­ κολούθησαν μιαν εκπληκτική παράσταση Ινδικών χωρών και μουσικής που θα μας μείνει αξέ­ χαστη. Η επόμενη μέρα ήταν η πρώτη μέρα του διαγωνισμού. Η Πέμπτη 1 1 Ιουλίου ήταν η δεύ­ τερη μέρα του διαγωνισμού. Την Παρασκευή, το Σάββατο και την Κυριακή έγινε η διόρθωση των γραπτών. Τις ημέρες αυτές οι Ινδοί οργανωτές είχαν προγραμματίσει εκδρομές για τους μα­ θητές σε διάφορα μουσεία και πάρκα. Δυστυχώς όμως οι Ινδοί δε μας έδειξαν κάτι σημαντικό α­ πό τον πολύ αξιόλογο πολιτισμό τους. Τη Δευτέρα 1 5 Ιουλίου η οργανωτική επιτροπή παρέθεσε δείπνο προς όλες τις αποστολές, ενώ την επομένη μέρα έγινε η απονομή των βραβείων κατά την τελετή λήξης. Το απόγευμα αυ­ τής της ημέρας μάλιστα, κατά την τελετή λήξης συναντήσαμε τον Έλληνα Επιτετραμμένο κ. Α. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/5


-------

Η 37η διεθνής μαθηματική ολυμπιάδα (ΔΜΟ)

___;________

___

Μάγγο, ο οποίος ήρθε για να συγχαρεί την ελληνική ομάδα. Τα χαράματα της 1 7ης Ιουλίου η ελληνική αποστολή αναχώρησε από τη Βομβάη με προο­ ρ ισμό τη Ρώμη, όπου και έμεινε για 5 ημέρες. Οι μαθητές της ομάδας μας κατά τη διάρκεια των ημερών αυτών είχαν την ευκαιρία να ξεκουραστούν και να δουν την Ιταλική πρωτεύουσα με τα αμέτρητα αξιοθέατα και ιστορικά μνημεία, όπως το Κολοσσαίο, το Βατικανό, το Πάνθεον τη βίλα Μποργκέτε, τα διάφορα μουσεία και όλα τα περίφημα μέρη της Ρώμης. Τη Δευτέρα 22 Ιουλίου στις 6:30 μ.μ. η ελληνική αποστολή επέστρεψε στην Αθήνα, ύστερα από την πολυήμερη παραμονή στην Ινδία και την Ιταλία.

Τα θέματα της 37η ς Δ.Μ.Ο. ήταν τα εξής: 1η ημέρα (10 Ιουλίου 1996) (Διάρκεια: 4 ώρες και 30') 1 ) Ένα ορθογώνιο ABCD με πλευρές ΑΒ 20 και BC 1 2 χωρίζεται σε 20 χ 1 2 τετράγωνα με πλευρά ίση με την μονάδα. Δίνεται επίσης ένας ακέραιος r μεγαλύτερος ή ίσος από το ένα. Ένα κέρμα που βρίσκεται σε ένα από τα μοναδιαία τετράγωνα μπορεί να μετακινηθεί σε άλλο τότε και μόνον τότε όταν η απόσταση των κέντρων των δύο τετραγώνων ισούται με ψ. Σκοπός μας είναι να βρεθεί μια ακολουθία διαδοχικών κινήσεων τέτοια ώστε ένα κέρμα που βρίσκεται αρχικά στο τετράγωνο με κορυφή Α, να καταλήξει στο τετράγωνο με κορυ­ φή Β. α) Δείξτε ότι αυτό δε μπορεί να γίνει αν ο αριθμός r διαιρείται με το 2 ή αν διαιρείται με το 3 β) Δείξτε ότι αυτό μπορεί να γίνει αν r = 73 γ) Μπορεί να γίνει αυτό στην περίπτωση που r = 97; 2) Ένα σημείο Ρ βρίσκεται στο εσωτερικό ενός τριγώνου ABC και είναι τέτοιο ώστε να ισχύ­ ει η εξής ισότητα γωνιών: ΑΡΒ - ACB APC - ABC. Έστω D, Ε τα κέντρα των κύκλων που είναι εγγεγραμμένα στα τρίγωνα ΑΡΒ και APC αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι ΑΡ, BD και CE διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3) Έστω S {0, Ι , 2, 3, . . . } το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών, μαζί με το μηδέν. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f που ορί��ονται στο S και οι τιμές τους ανήκουν στο S, που έχουν την ιδιότητα: f(m + f(η)) f(f(m)) + f(η), για κάθε m, η ε S. 2η ημέρα (11 Ιουλίου 1996) (Διάρκεια: 4 ώρες και 30 ') 4) Έστω α και β ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του ένα και τέτοιοι ώστε οι αριθμοί 1 5α + 16β και 1 6α - 1 5β να είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα ακεραίων. Να βρείτε τη μικρότερη δυ­ νατή τιμή που μπορεί να πάρει κάθε ένα από τα πιο πάνω τέλεια τετράγωνα. 5) Δίνεται ένα κυρτό εξάγωνο ABCDEF τέτοιο ώστε η πλευρά ΑΒ είναι παράλληλη προς την ED, η BC προς την FE και τέλος, η CD προς την AF. Συμβολίζουμε με RA, Rc, Rε, τις α­ κτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων FAB, BCD και DEF αντίστοιχα. ενώ συμβολίζουμε με p την περίμετρο του αρχικού εξαγώνου. Δείξτε ότι RA + Rc + Rε � p. =

=

=

=

=

4

6) Δίνονται τρεις ακέραιοι αριθμοί η, p, q μεγαλύτεροι ή ίσοι του ένα, τέτοιοι ώστε η> p + q. Έστω ότι χ0, χ1, χ2, , Xn ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες: α) χ0 Xn Ο, β) για κάθε ί με 1 � i � η έχουμε είτε xi- xi 1 p είτε Χϊ- Χϊ 1 = -q. Δείξτε ότι υπάρχει ζεύγος δεικτών (i,j) όπου i <j και (i,j)-::;; (0, η), τέτοιο ώστε xi Xj· • • •

=

=

_

=

_

=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/6


Δρ Ανδρέας Αρβανιτογεώργος 1.

Εισαγωγή

Η θεωρία κωδίκων αποτελεί μία περιοχή της επιστήμης των υπολογιστών που μελετά τη μεταφορά πληροφοριών από μία πηγή σε μία άλλη. Κατά τη διαδικασία αυτή μία πληροφορία εκπέμπεται από μία πηγή (πομπός), αλλάζει μορφή (δηλ. κωδικοποιείται), μεταφέρεται μέσω κάποιου δικτύου και τέλος aποκωδικοποιείται γιά να γίνει αναγνωρίσιμη από τον παραλήπτη (δέκτης). Οι περιπτώσεις στις οποίες εφαρμόζεται η θεωρία κωδίκων είναι συνήθως οι εξής: 1) Κατά τη μετάδοση μίας πληροφορίας- συνήθως αυτή είναι μία ακολουθία ψηφίων Ο και 1, γιά παράδειγμα Ο Ο 1 1 Ο Ο 1 υπάρχει πιθανότητα το Ο να ληφθεί ως 1 ή αντίστροφα. Αιτία μπορεί να είναι κάποια βλάβη στα ηλεκτρονικά κυκλώματα μετάδοσης, ή στην αποθήκευση του μηνύματος. Σε αυτή την περίπτωση η θεωρία κωδίκων έχει σκοπό να ελαχιστοποιήσει τέτοια λάθη, είτε απλώς εντοπίζοντάς τα, ή ακόμα και να τα διορθώσει, ώστε τελικά το μήνυμα να φτάσει στο δέκτη με την μικρότερη πιθανότητα λάθους. 2) Εδώ σκοπός είναι η πληροφορία να μεταδοθεί με μυστικότητα, ώστε αν κάποιος επέμβει στη διαδικασία μετάδοσής της να μη μπορέσει να την αναγνωρίσει. Ο υποκλάδος αυτός της θεωρίας κωδίκων είναι γνωστός και ως κρυπτολογία... Τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται και στις δύο περtπτώσεις είναι αλγεβρικά (γραμμική άλγεβρα, θεωρία δακτυλίων, σωμάτων, ιδεωδών κλπ) και γιά την πρώτη περίπτωση χρειάζονται επιπλέον στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με τους μυστικούς κώδικες και θα δώσουμε μερικά απλά παραδείγματα κατασκευής τους. Οι μαθηματικές γνώσεις που απαιτούνται είναι κυρίως απλή θεωρία αριθμών και μερικές ιδιότητες των ισοτιμιών. Πιό κάτω παραθέτουμε μερικούς ορισμούς και αποτελέσματα που θα χρησιμοιποιήσουμε. Γιά περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε τον αναγνώστη σε οποιοδήποτε εισαγωγικό βιβλίο άλγεβρας ή θεωρίας αριθμών. -

2.

Ισοτιμίες

α) Εστω Ζ το σύνολο των ακεραίων αριθμών και α, β εΖ, m εΖ+. Οι α, β λέγονται ισότιμοι modulo m αν ο m διαιρεί τον α- β , δηλαδή α- β =κ m, γιά κάποιον ακέραιο κ. Συμβολισμός: α Ξβ{modm). β) Δύο ακέραιοι α, β είναι ισότιμοι modulo m, εάν και μόνο εάν, οι α, β διαιρούμενοι με τον m αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. ,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/7


------

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΜΥΣτΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ

-------

γ) Η σχέση ισοτιμίας modulo m είναι μία σχέση ισοδυναμίας στο Ζ. Αρα το σύνολο Ζ χωρίζεται σε m διαφορετικές κλάσεις και έτσι ορίζεται το σύνολο Ζm = {[0], [ι], , [m- ι]} ή π ιό απλά Ζm = {ο, � ,m- ι }. (Δηλαδή δύο ακέραιοι που ανήκουν στην ίδια κλάση modulo m , έχουν την ιδιότητα να αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με τον m ). δ) Αν α= β(modm) και r =δ(modm), τότε α±γ= β ±δ(modm) και αγ= βδ(modm). ε) Ενα στοιχείο Ο :;t: α εΖm λέγεται aντιστρέψιμο αν υπάρχει β εΖm τέτοιο, ώστε αβ=ι(modm). στ) Ενα στοιχείο α εΖm είναι aντιστρέψιμο, εάν και μόνο εάν, (α,m)=ι, όπου (α, β) συμβολίζει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των α, β . ζ) Εστω Μ.χ.(Zm) το σύνολο των v xv πινάκων με στοιχεία στο σύνολο Zm. Τότε ένας πίνακας Α εΜ.χ.(Ζm) έχει αντίστροφο στο M.x.(Zm) (δηλαδή υπάρχει πίνακας Β εΜ.χ. (Ζm) ώστε ΑΒ = ΒΑ=Ι.), εάν και μόνο εάν, η ορίζουσα του Α είναι ένα aντιστρέψιμο στοιχείο στο · · ·

· · ·

zm.

3. Κωδικοποίηση

Υποθέτουμε ότι τα 24 γράμματα της αλφαβήτου βρίσκονται σε μία 1 - 1 αντιστοιχία με τα στοιχεία του συνόλου Ζ24 με πράξεις όπως ορίστηκαν πιό πάνω. Η αντιστοιχία αυτή μπορεί να γίνει με οποιονδήποτε τρόπο, αλλά γιά απλότητα ας υποθέσουμε ότι είναι � Σ Χ Ψ Ω Α Β Γ Δ Ε (I)

22 23 24. 2 3 4 5 14 18 Θεωρούμε το μήνυμα ΕΠΙΘΕΣΗΧΤΟΧΠΡΩΙ όπου βάλαμε το γράμμα "Χ" μεταξύ των λέξεων. Θα παρουσιάσουμε διάφορους τρόπους κωδικοποίησης (και aποκωδικοποίησης) αυτού του μηνύματος. Χρησιμοποιούμε την αντιστοιχία ( I ) και γράφουμε το μήνυμα ως μία ακολουθία στοιχείων του Ζ24 5, 1 6,9, 8,5, 1 8,7,22, 1 9, 1 5,22, 1 6, 1 7,24,9 ή ισοδύναμα (υπενθυμίζουμε ότι οι αριθμοί αυτοί είναι αντιπρόσωποι κλάσεων στο Ζ24) 5 , 1 6� 9,8,5,-6,7,-2,-5, 1 5,-2, 1 6, 1 7,24,9. (2) 4. Κώδικες μεγέθους ι

χ

ι

Η κωδικοποίηση γίνεται ως εξής: Παίρνουμε ένα aντιστρέψιμο στοιχείο στο Ζ24, γιά παράδειγμα το 5 (πράγματι 5·5 =ι(mod24) ) Πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό του μηνύματος (2) με 5(mod24) και παίρνουμε το μήνυμα 25, 80,45,40,25, -30, 35, - 1 0,-25, 75,- 1 0,80,85, 1 20,45 ή, επιλέγοντας διαφορετικούς αντιπροσώπους (mod24), το μήνυμα ι,8,2Ι , 1 6,ι, 1 8,ι ι, 1 4,23,3, 1 4,8, 1 3,24,21 . (3) Χρησιμοποιούμε τώρα την αντιστοιχία (I) και παίρνουμε το μήνυμα (3) με γράμματα ΑΘΦΠΑΣΛΞΨΓΞΘΝΩΦ. Ο δέκτης αυτού του μηνύματος θα το αποκωδικοποιήσει πολλαπλασιάζοντας κάθε αριθμό του μηνύματος (3) με 5(mod24) (εδώ το αντίστροφο του 5 τυχαίνει να ισούται με το ίδιο το 5), και έτσι θα πάρει το αρχικό μήνυμα που του στάλθηκε. Ο κώδικας αυτός μπορεί, παρ' όλα αυτά, να "ανιχνευτεί" αρκετά εύκολα. Ο λόγος είναι ότι κάθε γράμμα του μηνύματος αντιστοιχεί πάντα στο ίδιο γράμμα στο κωδικοποιημένο μήνυμα. Συνεπώς αν κάποιος παρατηρήσει με ποιά συχνότητα εμφανίζονται τα γράμματα στο κωδικοποιημένο μήνυμα και γνωρίζοντας τη συχνότητα που αυτά εμφανίζονται γενικά στις λέξεις είναι σε θέση να ανακαλύψει το μήνυμα χωρίς να γνωρίζει τον κώδικα. (Προβλήματα με τέτοιους κώδικες, γιά παράδειγμα, εμφανίζονται συχνά σε ψυχαγωγικά περιοδικά). Θα δούμε λοιπόν πιό πολύπλοκους κώδικες. .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΒ' λ. τ. 1/8


--------'-- ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΜΥΣτΙΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ

5. Κώδικες μειyέθους

-------

2χ2

Παίρνουμε το αρχικό μήνυμα στη μορφή (2) και το γράφουμε σαν μία ακολουθία διανυσμάτων στο σύνολο Μ2χ1(Ζ24) (4) (όπου βάλαμε το γράμμα "Χ" στο τέλος του μηνύματος γιά να συμπληρωθεί η συνιστώσα του τελευταίου διανύσματος). Η αποκωδικοποίηση θα γίνει χρησιμοποιώντας έναν 2χ2 πίνακα εΜ2χ2(Ζ24) . 1 1 Α 2 -1 Πράγματι, ο πίνακας έχει ορίζουσα 1 και αντίστροφο . 1 2. -1 1 Πολλαπλασιάζουμε τώρα κάθε διάνυσμα στην (4) από αριστερά με τον πίνακα και παίρνουμε το κωδικοποιημένο μήνυμα

Α

Α=( ]

=( ]

Α

ή το ισοδύναμο μήνυμα (5) Το κωδικοποιημένο μύνημα με γράμματα έχει τώρα τη μορφή ΦΝΡΑΨΡΕΓΚΑΞΖΡΡΗΕ. Το μήνυμα αυτό είναι σαφώς δυσκολότερο να αποκωδικοποιηθεί κοιτάζοντας απλώς τις συχνότητες με τις οποίες εμφανίζονται τα γράμματα. Γιά παράδειγμα, το γράμμα 'Έ" του αρχικού μηνύματος έχει αντικατασταθεί με τα "Φ" και "Ψ" στο κωδικοποιημένο μήνυμα, ανάλογα με τη θέση που κατέχει στο αρχικό μήνυμα. Ο δέκτης τrορα του μηνύματος αυτού θα το μεταφέρει στη μορφή (5) και θα πολλαπλασιάσει θα πάρει τα διανύσματα (4) και κάθε διάνυσμα από αριστερά με ι Λόγω της σχέσης τελικά χρησιμοποιώντας την αντιστοιχία ( 1 ) το αρχικό μήνυμα. Παρατήρηση: Δεν είναι απαραίτητο να προσπαθήσουμε να βρούμε aντιστρέψιμο πίνακα με ορίζουσα 1 (ειδικά όταν έχουμε κώδικες μεγαλύτερου μεγέθους όπως θα δούμε πιό κάτω). Αν

Α Α=Ι

Α

- .

Α=(α J Δ=IAI=α (; �Γ=(_:; α J r

β δ

,

' της ιδ ιοτητας (ζ) ο πινακας τοτε λογω ·

·

·

είναι ένα aντιστρέψιμο στοιχείο στο ιδιότητα (στ)). Αν Ε είναι το αντίστροφο του δ- Pr

βΕ

-

Α Δ

Α

ειναι αντιστρεψιμος, εαν και μονο εαν,

Ζ24

(αυτό ελέγχεται χρησιμοποιώντας την στο Ζ24, δηλαδή Ε 1(mod24), τότε

Δ

Ξ

·

Ε

6. Κώδικες μειyέθους

3χ3

Γιά μεγαλύτερη ασφάλεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεγαλύτερους πίνακες . Γράφουμε το μήνυμα (2) σαν μία ακολουθία διανυσμάτων στο σύνολο Μ Jχι(Ζ24) ως (6)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΒ' λ. τ. 1/9


-----(: � η

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΜΥΣΏΚΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ

-------

Η κωδικοποίηση θα γίνει τώρα με έναν πίνακα 3 χ3 από το σύνολο

Α=

Εστω

Τότε

IAI = 7

και επειδ!] (24,7)= 1 , ο

Α

Μ 3χ3 (Ζ24)

ε ιναι aντιστρέψιμος στο

Μ 3χ3 (Ζ 24 ) . Στη συνέχεια ακολουθούμε τα βήματα όπως στην περίπτωση των κλπ). 2χ2 (πολλαπλασιάζοντας τα διανύσματα (6) από αριστερά με τον

κωδίκων μεγέθους

Α

Με το ίδιο σκεπτ ικό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κώδικες μεγαλύτερου μεγέθους. Κοιτώντας τους παραπάνω κώδικες παρατηρούμε ότι η δυσκολία τους εξαρτάται από το πόσο πολύπλοκος είναι ο πίνακας Α. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε σύντομα δύο πιό δύσκολες κωδικοποιήσεις που παρέχουν ακόμα μεγαλύτερη ασφάλεια. 7. Συστρεφόμενοι κώδικες

Εδώ χρησιμοποιούμε έναν πίνακα Α του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις μίας μεταβλητής αλλά η ορίζουσά του είναι ένα aντιστρέψιμο στοιχείο στο Ζ24 (ανεξάρτητο του t ). Τότε η κωδικοποίηση (δηλαδή ο πολλαπλασιασμός των διανυσμάτων από αριστερά με τον πίνακα Α ) συνίσταται στο να μεταβάλουμε πρώτα το t σύμφωνα με κάποιον κανόνα (π. χ. να eίναι t = ν όταν κωδικοποιούμε το v -οστό διάνυσμα) και μετά να εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό. t ,

Γιά παράδειγμα στην περίπτωση 2χ2 μπορούμε να πάρουμε

/Α/= 55 (55· 7

Ξ

1(mod24))

και αντίστροφο

Α = -ι

(

18+t _5

1-9t -7

J

Α=

(5 J 15

3 +t

2+3t

-

με ορίζουσα

·

8. Κώδικες με χρήση μη τετραγωνικών πινάκων

Αν

Α

πίνακας

είναι ένας μ xv πίνακας (μ >ν), τότε μερικές φορές είναι δυνατόν να βρεθεί ένας v χ μ Β

τέτοιος, ώστε

Β

Α=Ι. .

Γιά παράδειγμα

(

-2 3

(: η

-z

-10

3 9

J(� �J= (ο J 1

3

2

O

1

.

Συνεπώς

μπορούμε να κωδικοποιήσουμε τα διανύσματα (4) πολλαπλασιάζοντάς τα από αριστερά με τον πίνακα

Α=

Παρατήρηση (γιά όσους

έχουν περισσότερες γνώσεις άλγεβρας). Δεν υπάρχει κάποιος ιδιαίτερος λόγος που χρησιμοποιήσαμε το σύνολο Ζ24 Θα μπορούσαμε να είχαμε προσθέσει μερικά ακόμα σύμβολα (όπως ( . ) , (; ), (? ), ( ) , ( I )) και να σχηματίσουμε κώδικες στο σύνολο Ζ29 το οποίο είναι σώμα επειδή το 29 είναι πρώτος αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να ανησυχούμε γιά το αν κάποιο στοιχείο είναι aντιστρέψιμο, δεδομένου ότι είναι γνωστό πως σε ένα σώμα κάθε στοιχείο είναι aντιστρέψιμο.

-

Βιβλιογραφία [1] Α. Beute1spacher: Cryptology, Cambridge Univ. Press, 1990. [2] L. Childs: Α Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer Verlag, Underg raduate Texts in Mathematics, 1979 . [3] S. Roman: Coding and Injormation 1heory, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics 134, 1992 . [4] R. Welsh: Codes and Cryptography, Oxford Univ. Press, 1995 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΒ' λ. τ.l/10


ΕΚΔΟΣ:ΕΙΣ:

ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛIΑΣ

Β

ΝΤΖΙΩΡΑΣ

MA$HMATIKA

ΑΝΑΛΥΣΗ Γ' ΑΥΚΙΙΙΟΥ

• Α: τΙΞΥΧΟΣ Γt& ΤΙΣ ΑΕΧΜΕΣ ΑΊ 8 •σι Δ'

eEoP!A

ΔΕ

'!ΙΑΡΑ ΙΓΨ\\Α.

ΛΥι.\εJΙ€Σ ;!ΚΗ!ξ\Σ,

ΑΣJιΗΣΕιε np. Λ'tlH ΑΙ'ΊΑΗl'ΗΣΕΙ%> tε:r θ:Ι:-\ΣΕΟΝ

Β .

Η ΛΙΑΣ

ΗΛΙΑΣ ΝΤΖΙΩΡΑΣ

ΝΤΖΙΟ�ΑΣ

ΜΑ.ΗΜΑΤ8ΚΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ Γ Λνκaιοv

Μαθηματικά-Ανάλυση Γ' Λυκείου (3 τόμοι)

a· τavxoz

ΘΕΩΡΙΑ� ΠΑ�-'ι\ΔΕ!ΓΜΑΤΑ. ΛΥΜΕΝΕ.Σ ΑΣΚ�ΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣ8! Γ1Α ι\ΥΣΗ, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙ1. ΤΕΙΤ EEϊA!EQ'J

•�

• Άλγεβρα

• Θέματα

Δ' δέσμης

ο Γ' τόμος

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΥΡΙΠΙΩΤΗΣ Μόλις κυκλοφόρησε

Μόλις κυκλοφόρησε

•Όριο

Ανάλ υσης

συνάρτησης­ Συνέχεια συνάρτησης­

Γ' Λυκείου

βΕΙΙΑτΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Ακολουθίες •Π ί νακες­

Γ ΛΥΚΒΙΟ't • 8' ιι•I'ΟΣ Γ I Α Τ ft tf Α 6 a Σ ι.ι- Η

Ορ ίζουσες­ Γραμμικά συστήματα • Ακολουθ ίες για την Α' Δέσμη • Ολοκληρώματα •Παράγωγοι

ΓΙΟΡΓΟΣ

ΣΚΑΝΔΑΛΙ-ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8'

ΛΥΚΕΙΟΥ

• Β'

ΜΕΡΟΣ

ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαθηματικά Β' Λυκείου Μαθηματικά Γ' Λυκείου

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΛΑΝΤΖΗΣ Άλγεβρα Α' Λυκείου

Σε όλα τα βιβλιοπωλεία Κεντρική Διάθεση: Σ. Πατάκης ΑΕ. Εμμ. Μπενάκη 16, 106 78 Αθήνα. Τηλ.: 38.31.078, Fax: 36.28.950 Υποκ/μα Β. Ελλάδας: Ν. Μοναστηρίου 122, 563 34 Θεσσαλονίκη, Τ ηλ.: (031)70.63.54-5


JΙΠ CfuD C) JtL rm cω lP cω w Jlll � @@@W@li®i&JlωmcωώJ]}ll� Jlll� &wcm JF©l@n �@ \Ylrll lfil@ ξn@ Θ

Φλώρα Βαφέα

Ταξιδεύουμε σε μέρος άγνωστο και θέλουμε να βρούμε τον προσανατολισμό μας. Βέβαια αν είναι νύχτα και μάλιστα ξάστερη μπορούμε να αναζητήσουμε τον Πολικό Αστέρα και ξέροντας τη θέση του βορρά να προσδιορίσουμε και τη θέση των άλλων σημείων του ορίζοντα. Τι θα γίνει όμως αν είναι μέρα; Αν δεν έχει συννεφιά μπορούμε να προσανατολιστούμε με τον Ήλιο με τη βοήθεια ενός ρολογιού. Ας υποθέσουμε ότι το· ρολόι μας δείχνει τον αληθή ηλιακό χρόνο(Ι). Έστω ακόμα ότι βρι­ σκόμαστε στο βόρειο ημισφαίριο<2>. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεσουρανήσεων του Ήλιου είναι 24 ώρες, άρα ο Ήλιος διανύει στην ουράνια σφαίρα τόξο Ι5° την κάθε ώρα.

3��ο

=

Ο ωροδείκτης του ρολογιού μας κάνει μια πλήρη περιστροφή σε 1 2 ώρες, δηλαδή διανύει ίcάθε ώρα τόξο 30°.

3��ο

=

'

Ας δούμε πρώτα τι θα γίνει αν έχουμε ισημερία (21 Μάρτη - 22 Σεπτέμβρη). Τότε ο Ήλιος θα ανατείλει στις 6 το πρωί από την Ανατολή, θα μεσουρανήσει στις 1 2 το μεσημέρι προς το Νότο και θα δύσει στις 6 το βράδυ στη δύση . Τι θα γίνει στις 7 το πρωί; (σχήμα I ) Ο Ήλιος μετακινήθηκε κατά 1 5° από την ανατολή προς το νότο, έχοντας δηλαδή την ίδια φορά με τους δείκτες του ρολογιού. Ο ωροδείκτης του ρολογιού διέγραψε γωνία 30°. Στρέφουμε το ρολόι μας έτσι ώστε ο ωροδείκτης να δεί-χνει προς τον Ήλιο. Η γωνία ΑΟΗ (Ανατολή - κέντρο ρολογιού - Ήλιος) είναι γωνία που διέγραψε ο Ήλιος δηλαδή 1 5°. Άρα η ΟΑ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΗΟ6. Δηλαδή προσδιορίσαμε τη θέση της ανατολής. Αν πάλι παίρναμε τη γωνία ΗΟΙ2 (Ήλιος - κέντρο - 1 2 στο ροl-όι), αυτή .!: ίναι 1 80° - 30° 1 50° και το μισό της 75°. Αν ΟΝ είναι η διχοτόμος της ΗΟΙ 2, τότε ΝΟΑ ΝΟΗ + ΗΟΑ 75° + 1 5° 90° δηλαδή η ΟΝ δείχνει το νότο. =

=

=

=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1/1 2


Πως μπορούμε να προσανατολιστούμε με ένα ρολόι

Μετά ν ώρες από την ανατολή του Ηλίου (ν:;;;; 6) (πριν το μεσημέρι) (σχήμα 2) Ο Ήλιος μετακινήθηκε από την ανατολή κατάν· l 5° και ο ωροδείκτης κατά ν·30°. Στρέφου­ με το ρολόι μας έτσι ώστε ο ωροδείκτης να δείχνει προς τον Ήλιο. Η γωνία ΑΟΗ (Ανατολή - κέντρο ρολογιού - Ήλιος) είναι γωνία που διέγραψε ο Ήλιος δηλαδή ν· I 5°. Ά­ ρα η ΟΑ είναι η διχοτόμος της μη κυρτής γωνίας ΗΟ6. Δηλαδή προσδιορίσαμε τη θέση της ανατολής. Ομως πριν, η διχοτόμος ΟΝ της HO I 2 θα μας δώσει τη θέση του νότου. Μετά ν ώρες από την ανατολή του Ηλίου (12�ν�6) (μετά το μεσημέρι) (σχήμα 3). Ο Ήλιος μετακινήθηκε από την ανατολή κατά ν· l 5° και ο ωροδείκτης κατά ν·30°. Στρέφου­ με το ρολόι μας έτσι ώστε ο ωροδείκτης να δείχνει προς τον Ήλιο. Η γωνία ΑΟΗ (Ανατολή κέντρο ρολογιού - Ήλιος) είναι γωνία που διέγραψε ο Ήλιος δηλαδή ν· I 5°. Άρα η ΟΑ είναι η διχοτόμος της μη κυρτής γωνίας ΗΟ6. Δηλαδή προσδιορίσαμε τη θέση της ανατολής. Τώρα όμως η γωνία HO I 2 � ίναι ν· �.Ψ - 1 8� και το μισό της ν· l 5° - 90°. Αν ΟΝ είναι η δι­ χοτόμος της HOI 2 τότε ΑΟΝ ΑΟΗ - ΗΟΝ ν· l 5° - (ν· l 5°- 90°) 90°. Δηλαδή η ΟΝ δείχνει το νότο. =

=

=

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν σ τρέψουμε κάποια στιγμή το ρολόι μας έτσι ώσiε ο ωροδείκτης να δείχνει προς τον Ήλιο, τότε η διχοτόμος της προσανατολισμένης κατά την ανάδρομη φορά γωνίας 60Η μας δείχνει την ανατολή, ενώ η διχοτόμος της κυρτής γωνίας ΗΟ 12 μας δείχνει το νότο. •

Αν όμως δεν έχουμε ισημερία αλλά βρισκόμαστε σε μια τυχαία μέρα του χρόνου ; Τότε η θέση που βλέπουμε τον Ήλιο να ανατέλλει, δεν είναι η θέση της πραγματικής ανατολής αλλά σχηματίζει με αυτή γωνία θ(3) προς το νότο αν έχουμε φθινόπωρο ή χειμώνα (22 Σε­ πτέμβρη με 21 Μάρτη) ή προς το βορρά αν έχουμε άνοιξη ή καλοκαίρι (21 Μάρτη με 22 Σεπτέμβρη). Αυτό σημαίνει ότι ο Ήλιος ανατέλλει θ ώρες μετά ή πριν αντίστοιχα από τις 15 6π.μ. (σχήμα 1 1) Επαναλαμβάνουμε ότι και πριν: Στρέφουμε το ρολόι μας έτσι ώστε ο ωροδείκτης να δείχνει προς τον Ήλιο.

Κατά την ανατολή (ώρα ανατολής 6:00 ± θ ) <4> 15 (σχήμα 4α για φθινόπωρο - χειμώνα και 4β για άνοιξη - καλοκαίρι) Οωροδείκτης σχηματίζει με την πραγματική ανατολή γωνία θ0 : ΑΟΗ θ0, ενώ με την ημιευθεία 0 6 γωνία 2θ0: ΗΟ6 2θ0 (αφού η ανατολή του Ήλιου έχει διαφορά 8 ώρες από τις 15 8 6π.μ., και η I ώρα αντιστοιχεί σε 30° για τον ωροδείκτη, δηλ. 30°· 2θ0), δηλαδή πάλι η 15 ΟΑ είναι διχοτόμος της 60 Η. Μετά ν ώρες από την ανατολή του Ήλιου (σχήμα 5). Ο Ήλιος μετακινήθηκε από την φαινόμενη ανατολή ΦΑ κατά ν· l 5° και ο ωροδείκτης κατά ν·30°. Επειδή η μετακίνηση του Ήλιου είναι κατά ν· I 5°, ΑΟ Η ν· l 5° ± θ0• Επίσης από την κίνηση του ωροδείκτη κατά ν·30° η γωνία 60Η ν·30° ± 2θ0• Παρατηρούμε ότι πάλι η ΟΑ είναι η διχοτόμος της 60 Η. Παράδειγμα: Αν η ώρα είναι 2, στρέφοντας τον ωροδείκτη προς τον Ήλιο, η διχοτόμος της γωνίας 60 2 είναι η 0 -1 0 η οποία θα δείχνει την ανατολή. ..-....

=

=

=

=

=

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν σ τρέψουμε κάποια στιγμή το ρολόι μας έτσι ώστε ο ωροδείκτης να δεί χνει τον Ήλιο, τότε η διχοτόμος της προσανατολισμένης κατά την ανάδρομη φορά γωνίας 60Η μας δε ίχνει την ανατολή. Για την άνοιξη και το καλοκαίρι ο Ήλιος ανατέλλει πριν τις 6 το πρωί και δύ­ ει μετά τις 6 το απόγευμα, και μόνο για τα χρονικά διαστήματα ανατολή - 6 π. μ. και 6 μ.μ. - δύση , πρέπει να πάρουμε τη γωνία 60Η προσανατολισμένη κατά την ορθή φορά (S). •

Αν όμως βρισκόμαστε στο νότιο ημισφαίριο; Ο παρατηρητής στο νότιο ημισφαίριο βλέπει τον Ήλιο να βγαίνει από την ανατολή να κι­ νείται προς το βορρά και μετά προς τη δύση. Δηλαδή η κίνηση του Ήλιου θα είναι αντίθεΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1113


Πως μπορούμε να προσανατολιστοί1με με ένα ρολόι

τη με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στην περίπτωση της ισημερίας, ο Ήλιος ανατέλλει στις 6 από την ανατολή και κινείται προς βορρά και μετά προς τη δύση. Μετά ν ώρες από την ανατολή, ο Ήλιος κ ινήθηκε προς το βορρά κατά ν· 1 5°, ενώ ο ωροδείκτης κατά ν-30° προς το νότο. Άρα θα πρέπει να πάρουμε το συμμετρικό του ωροδείκτη ως προς άξονα την ευθεία 12-0-6 και τη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζει το συμμετρικό του ωροδείκτη με την ημιευθεία 0 6 (σχήμα 6). Οταν το συμ­ μετρικό ΟΗ του ωροδείκτη ΟΩ δείχνει τον Ήλιο, τότε η διχοτόμος της 60 Η δείχνει την α­ νατολή , ενώ η διχοτόμος της 1 20 Η δείχνει το βορρά. 23 Σεπτέμβρη έως 20 Μάρτη. Άνοιξη και καλοκαίρι στο νότιο ημισφαίριο. Το σημείο που ανατέλλει ο Ήλιος βρίσκεται θ μοίρες νοτιότερα από την πραγματική ανατολή (σχήμα 12) και ο 'Ηλιος ανατέλλει θ ώρες πριν τις 6 και δύει θ ώρες μετά τις 6. Επειδή για την κάθε 15 15 ώρα ο ωροδείκτης κινείται κατά 30°, θα σχηματίζει με την 0 6 γωνία 30° θ 2θ0 ( σχήμα 7). 15 Αντί για τον ωροδείκτη στρέφουμε το συμμετρικό του ως προς άξονα 6-0 -12 προς τον Ή­ λιο. ν ώρες μετά την ανατολή (σχήμα 8), ο Ήλιος κινήθηκε ν-1 5° αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, άρα ΑΟΗ ν· 1 5° - θ0 (γιατί η φαινόμενη ανατολή ήταν θ μοίρες νοτιότερα της πραγματικής). Ο ωροδείκτης κινήθηκε κατά ν-30°, άρα 600 ν-30° - 2θ0• Άρα 60Η ν-30° - 2θ0• Άρα η ΟΑ διχοτομεί τη γωνία 60 Η. 22 Μαρτη έως 21 Σεπτέμβρη. Φθινόπωρο και χειμώνας στο νότιο ημισφαίριο. Το σημείο που ανατέλλει ο Ήλιος βρίσκεται θ μοίρες βορειότερα από την πραγματική ανατολή ( σχήμα 12) και ο ' Ηλιος ανατέλλει 1θ5 ώρες μετά τις 6π.μ. και δύε ι 1θ5 ώρες πρ ιν τις 6μ.μ. (σχήμα 9). Έτσι τη στιγμή της ανατολής ο ωροδείκτης σχηματίζει με την ημιευθεία 0 6 γω­ νία 2θ0 και στρέφοντας το συμμετρικό του ωροδείκτη προς τον Ήλιο 60Η 2θ0 ενώ 60Α = θ0 δηλ. η ΟΑ διχοτομεί την 60Η. ν ώρες μετά την ανατολή (σχήμα 1 0), ο Ήλιος κινήθηκε ν-1 5° αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, άρα ΑΟΗ ν· 1 5° + θ0 (γιατί η φαινόμενη ανατολή ήταν θ μοίρες βορειότερα της πραγματικής). Ο ωροδείκτης κινήθηκε κατά ν-30°, άρα 60Ω ν-30° + 2θ0• Άρα 60Η ν-30° + 2θ0• Άρα η ΟΑ διχοτομεί την γωνία 60 Η. =

=

=

=

=

=

=

=

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν στρέψουμε κάποια στιγμή το ρολόι μας έτσι ώστε το συμμετρικό του ωροδείκτη να δείχι•ει προς τον Ήλιο, τότε η διχοτόμος της προσανατολισμένης κατά την ορθή φορά γωνίας 60Η μας δείχιιει την ανατολή. Για την άνοιξη και το καλοκαίρι που ο Ήλιος ανατέλλει πριν τις 6 το πρωί και δύει μετά τις 6 το απόγευμα, και μόνο για τα χρονικά διαστήματα ανατολή - 6π.μ. και 6μ.μ. - δύση, πρέπει να πάρουμε την γωνία 60Η προσανατολισμένη κατά την ανάδρομη φορά.

Α ν πάλι βρεθούμε στη διακεκαυμένη ζώνη και μάλιστα τις μέρες που ο Ήλιος μεσουρανεί στο Ζενίθ του τόπου που βρισκόμαστε, δεν ισχύει τίποτα από τα προηγούμενα. Αλλά ο προσανατολισμός μας είναι απλός: Από την ανατολή του Ήλιου μέχρι τη μεσουράνησή του ο Ήλιος βρίσκεται προς την ανατολή, ενώ από τη μεσουράνησή του ως τ.η δύση ο Ήλιος βρίσκεται προς τη δύση. Δηλαδή αν βρεθείτε 22 Ιουνίου στις 1 2 το μεσημέρι στο Ασσουάν μην περιμένετε από τον Ήλιο να σας προσανατολίσει, κοιτάξτε το Νείλο! Κυλά από το Νότο προς το Βορρά.

Παραπομπές ( 1 ) Αληθής ηλιακός χρόνος είναι αυτός που μετρείται με βάση την αληθή ηλιακή ημέρα, δη­ λαδή το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών διαβάσεων του Ήλιου από το μεσημβρινό. Επειδή η κίνηση του Ήλιου στην εκλειπτική δεν είναι ομαλή, η αληθής ηλιακή ημέρα δεν είναι σταθερή. Γι' αυτό χρησιμοποιούμε το μέσο ηλιακό χρόνο. Η διαφορά του μέσου ηλιακού χρόνου (Μ) από τον αληθή (Α): ε Α Μ, δίνεται από aστρονομικές εφημερίδες. Επίσης επειδή χρησιμοποιούμε χρόνο ατράκτου, έχουμε τη διόρθωση Δ' = λ - ν, όπου λ το γεωγραφικό μήκος και ν ο αριθμός της ατράκτου από Greenwich. Ο Επίσημος χρόνος (που δείχνει το ρολόι μας) είναι: =

-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1 /1 4


Πως μπορούμε να προσανατολιστούμε με ένα ρολόι

(2)

(3) (4) (5)

Ε = Μ + Δ' = Α - ε + Δ' = Α + λ - ν - ε Γνωρίζοντας λοιπόν το λ� ν - ε μπορούμε να μετατρέψουμε τον επίσημο χρόνο του ρολο­ γιού μας σε ηλιακό: Α = Ε - λ + ν + ε. Πάντως η διόρθωση ε δεν ξεπερνά τα 16' της ώρας. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η μεσουράνηση του Ήλιου να γίνεται νότια από το Ζενίθ του τόπου. Π.χ. για περιοχές του βορείου ημισφαιρίου που βρίσκονται νότια του τροπικού του Καρκίνου, όταν βρισκόμαστε στο θερινό ηλιοστάσιο, θα πρέπει να εφαρμόσουμε ό,τι και για το νότιο ημισφαίριο. Η γωνία θ εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου και από τη θέση του Ήλιου στην εκλειπτική. Το + ισχύει για το φθινόπωρο και το χειμώνα, όταν δηλαδή ο Ήλιος ανατέλλει μετά τις 6:00, ενώ io- για την άνοιξη και το καλοκαίρι, όταν ο Ήλιος ανατέλλει πριν τις 6:00. Ανάδρομη ονομάζουμε την κίνηση που η φορά της είναι ίδια με αυτή των δεικτών του ρο­ λογιού, ενώ ορθή αυτή που η φορά της είναι αντίθετη με αυτή των δεικτών του ρολογιού. ΒΟΡΕΙΟ ΗΜΙΣΦΑΙΡΙΟ

ΙΣΗΜΕΡΙΑ

σχήμα l στις 7 π.μ.

σχήμα 2 πριν το μεσημέρι

σχήμα 3 μετά το μεσημέρι

TYXAIA MEPA

σχήμα 4α ανατολή μετά τις 6 π.μ.

σχήμα 4β ανατολή πριν τις 6 π. μ.

σχή μα 5 τυχαία ώρα της ημέρας

ΝΟΠΟ ΗΜΙΣΦΑΙΡΙΟ

σχήμα 6 ισημερία

σχήμα 7 άνοιξη - καλοκαίρι ανατολή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/15

σχήμα 8 άνοιξη - καλοκαίρι τυχαία ώρα


nώς μπορούμε να προσανατολιστούμε με ένα ρολόι

σχήμα 9 φθινόπωρο - χειμώνας ανατολή Ο

Ν

s

8

ΒΟΡΕΙΟ ΗΜΙΣΦΑΙΡΙΟ σχήμα 1 1 Ο

z

s

8

e

ΝΟΤΙΟ ΗΜΙΣΦΑΙΡΙΟ σχήμα 12

σχήμα 10 φθινόπωρο - χειμώνας τυχαία ώρα

Η ημερήσια κίνηση του Ήλιου την άνοιξη και το καλο­ καίρι. Οι θέσεις της φαινόμενης ανατολής και της φαινό­ μενης δύσης βρίσκονται βορειότερα από τη θέση της πραγματικής ανατολής και της πραγματικής δύσης αντίστοιχα. Η ημερήσια κίνηση του Ήλιου στις ισημερίες . Η ημερήσ ια κίνηση του Ήλιου το φθινόπωρο και το χε ι­ μώνα. Οι θέσεις της φαινόμενης ανατολής και της φαινό­ μενης δύσης βρίσκονται νοτιότερα από τη θέση της πραγ­ ματικής ανατολής και της πραγματικής δύσης αντίστοιχα. Η ημερήσια κίνηση του Ήλιου την άνοιξη και το καλο­ καίρι. Οι θέσεις της φαινόμενης ανατολής και της φαινό­ μενης δύσης βρίσκονται νοτιότερα από τη θέση της πραγ­ ματικής ανατολής και της πραγματικής δύσης αντίστοιχα. Η ημερήσια κίνηση του Ήλιου στις ισημερί ες. Η ημερήσ ια κίνηση του Ήλιου το φθινόπωρο και το χει­ μώνα. Οι θέσεις της φαινό μενης ανατολής και της φαινό­ μενης δύσης βρίσκονται βορειότερα από τη θέση της πραγματικής ανατολής και της πραγματ ικής δύσης αντί­ στοιχα.

ΠΑΝΟΡΑΜΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ •

ΚΑ/1ΕJΣ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΝΤΟΠ/ΣΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΑΣ ΣΕ ΑΛΛΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ Η ΞΕΝΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ.ΑΠΟΔΕΙ=τΕ ΤΟ ΑΝτΙΘΕΤΟ.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ: ΚΟΛΛΙΝΠΑΣ

ΤΟΝ ΝΟΕΜΒΡ/0 ΘΑ Ε/ΝΑΙ ΕΤΟΙΜΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Β/ΒΛ/Ο ΜΕ ΥΛ/ΚΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ ΠΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΗΚΑΝ ΤΟ 1996 ΑΠΟΚΛΕΙΣΠΚΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ?ιnr.n.n Σ�Γ�ΦΕΑ

(Γ. ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1116

. 41 lfurrwrι. uu�.�. �

ΙΚΑΘΗΙrΙΗl"ΕΣ:

2.500+900(τα.)()


Στο πολυώροφο βιβλιοπωλείο μας θα βρείτε την πληρέστερη συλλογή βιβλίων όλων των εκδοτικών οίκων της Ελλάδας

για όλες

τις βαθμίδες της εκπαίδευσης

και πολλά άλλα!!! Λειτουργεί /

/

τμημα χαρτικων και ειδών γραφείου.

σε ειδικές τιμές!!! Τμήμα

ΓΕΡΜΑΝΙΚΟΥ Φροντιστηριακού βιβλίου

ΚΑΙ

ΑΚΟΜΗ

σας παραγγέλνουμε οποιοδήποτε βιβλίο από το εξωτερικό

ΣΟΛΟΝΟΣ 103

ΤΗΛ.

/ FAX:

38 00

127


Fractals Προσέγγιση σε μια νέα περιγραφή της φύση ς Κ. Γαβράς

Τα σχήματα που ονομάζονται FRACTALS (φράκταλς), δημιουργήθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα στη φαντασία των μαθηματικών. Είναι σχήματα τα οποία μοιράζονται κάποιες ιδιότητες πολύ όμορφες, αλλά -tων οποίων οι συνέπειες δημιούργησαν αρκετή σκέψη και δυσκολίες. Ένα από τα πιο γνωστά fractals είναι η πολυγωνική γραμμή, γνωστή ως «snowflake>> (νίφάδα χιο­ νιού) του Koch, προς τιμήν του Σουηδού μαθηματικού Helge Von Koch που την κατασκεύασε το 1904. Περιγραφή της κατασκευής

Αρχικά κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά μήκους I. Κατόπιν διαιρούμε την κά­ θε πλευρά του τριγώνου, σε τρία διαδοχικά τμήματα, μήκους 1/3 και aντικαθιστούμε καθένα από τα μεσαία τμήματα, με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, πλευράς 1/3, χωρίς τη βάση του. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται σε κάθε μια από τις πλευρές της νέας τεθλασμένης και μικρότερα ισόπλευρα τριγωνάκια, προστίθενται συνεχώς, σε κάθε πλευρά της γραμμής που Προκύπτει από το προηγούμενο βήμα. Στην πραγματικότητα η καμπύλη Koch, δεν είναι ένα σχήμα που ολοκληρώνεται σε κάποιο πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Είναι το όριο μιας ακολουθίας πολυγώνων. Ιδιότητες της «νιφάδας» Koch

Η πραγματικά τρομερή αυτή καμπύλη, έχει την ίδια μορφή σε οποιαδήποτε κλίμακα. Είναι μια κοινή ιδιότητα που καλύπτει τα fractals και ονομάζεται αυτοομοιότητα (selfsimilarity). Ο γενικός ορισμός της ομοιότητας δύο γεωμετρικών σχημάτων, καθορίζει ότι, δύο σχήματα είναι όμοια, αν έχουν το ίδιο σχήμα(γεωμετρική εικόνα) ακόμα και αν τα μεγέθη τους είναι δια­ φορετικά. Το ένα δηλαδή να είναι πιστό αντίγραφο του άλλqυ, σε μεγέθυνση ή σε σμίκρυνση. Μπορεί δηλαδή, το ένα σχήμα να aπεικονιστεί στο άλλο με τέτοιο τρόπο, ώστε η απόσταση ανάμεσα σε δύο αντίστοιχα σημείατου, να αυξάνεται ή να μειώνεται με τον ίδιο λiYyo, το λεγόμενό λiYyo ομοιότητας. Τώρα, ένα γεωμετρικό σχήμα λέγεται αυτοόμοιο (είτε επίπεδο είτε στερεό σχήμα), αν μπορεί να: χωριστεί σε πέπερασμένο πλήθος σχημάτων ταυτόσημων με αυτό. Σύμφωνα μ' αυτόν τον ορισμό, η καμπύλη Koch δεν είναι αυτοόμοιο σχήμα, όμως αποτελείται από τρεις αυτοόμοιες καμπύλες που δημιουργούνται (aπείρων) πάνω στις τρεις πλευρές του αρχικού ισοπλεύρου τριγώνου. Άλλα αυτοόμοια σχήματα είναι το τρίγωνο Sierpinski και η καθολική καμπύλη Sierpinski γνωστή και ως «χαλί του Sierpinski» προς τιμήν του Πολωνού μαθηματικού Waclaw Sierpinski (1882-1962). Ας ξαναγυρίσουμε όμως στη «χιονονιφάδα» μας. Μια ερώτηση που θα μας έφερνε σε πολύ δύσκολη θέση, είναι η εξής: «Ποιο είναι το μήκος αυτής της καμπύλης;». Η αλήθεια είναι πως αν aποφασίζαμε να «ακολουθήσουμε» την καμπύλη με ένα νήμα που να ακουμπά στην περίμετρό της, η ύπαρξη τρομακτικής λεπτομέρειας σε κλίμακα, θα έκανε το εγ­ χείρημα αδύνατο, εκτός και αν είχαμε ένα κουβάρι με άπειρο μήκος! Εδώ λοιπόν έχουμε κάτι τελείως ασυνήθιστο από πλευράς Ευκλείδειας γεωμετρίας. Βρισκό­ μαστε μπροστά σε ένα σχήμα με άπειρη περίμετρο, που έχει όμως πεπερασμένο εμβαδόν. Θα δούμε σε λίγο, με απλά μαθηματικά μια πιο αυστηρή απόδειξη για το παραπάνω. Παρόμοια αποτελέσματα θα είχαμε, αν προσπαθούσαμε να μετρήσουμε το μήκος και άλλων αυτοόμοιων καμπυλών. Οσο μειώνεται η κλίμακα μέτρησης, τα σύνορα μιας τέτοιας καμπύλης, είναι τόσο «ζαρωμένα» που η λεπτομέρεια είναι άπειρη και το μήκος της καμπύλης αυξάνεται απεριόριστα. Ολίγη από ... ακολουθίες

Αν θέλουμε να ξεκινήσουμε από τα «εύκολα», μπορούμε να υπολογίσ9υμε το εμβαδόν της ε­ πιφάνειας που περικλείει η καμπύλη Koch. Τα ευθύγραμμα τμήματα της τεθλασμένης, αυξάνουν με κάποιο καθορισμένο τρόπο, επομέ­ νως είναι λογικό, να αναζητήσουμε κάποιον αλγόριθμο για την τιμή του εμβαδού του σχήματος, που προκύπτει σε κάθε βήμα ανάπτυξης της καμπύλης. Έστω α1 , το εμβαδόν του αρχικού ισοπλεύρου τριγώνου. Θεωρούμε α1 I . Σ' αυτό το εμβα­ δόν, προστίθεται εμβαδόν <Iy, για ν = 2, 3 . . . , που αντιστοιχεί στα νέα τρίγωνα που προσαρτώνται στην ήδη σχηματισμένη καμπύλη του (ν - 1 )-βήματος, κατά το ν-οστό βήμα. =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/18


----- Fractals- Προσέγγιση σε μια νέα περιγραφή της φύσης ----

Δηλαδή θεωρώντας σαν πρώτο βήμα, το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο, στο δεύτερο βήμα προστίθε­ ται στο εμβαδόν α1, το εμβαδόν α2 των τριών νέων ισόπλευρων τριγώνων που προστέθηκαν. Στο τρίτο βήμα προστίθεται το εμβαδόν α3 των Ι2 νέων ισοπλεύρων τριγώνων, στο εμβαδόν του σχήματος που προέκυψε από το δεύτερο βήμα κ.ο.κ. Βλέπουμε εδώ, ότι το εμβαδόν�-που προστίθεται στο άθροισμα α1 + α2 + ... + <Iy_ 1 , είναι ουσιαστικά το εμβαδόν κάποιων ίσων τριγώνων που προσαρτήθηκαν στο σχήμα, του προηγούμενου βήματος. Ομως και ο αριθμός των τριγώνων αυτών που προσαρτώνται στην καμπύλη, σε κάθε βήμα σχεδιασμού, φαίνεται να ακολουθεί επίσης συγκεκριμένο αλγόριθμο. Στο δεύτερο βήμα δημιουργήθηκαν 3 νέα τρίγωνα. Σχηματίσθηκαν δε 3·3 = 9 νέα ευθύγραμμα τμήματα, που προστέθηκαν στα αρχικά 3. Συνολι­ κά δηλαδή έχουμε μια τεθλασμένη,.με: 3 + 3·3 = Ι2 = 3·4 ευθύγραμμα τμήματα. Στο τρίτο βήμα δημιουργήθηκαν Ι2 νέα τρίγωνα, δηλαδή τόσα όσος ο αριθμός των εύθυγράμ­ μων τμημάτων στο δεύτερο βήμα. Ο συνολικός αριθμός των ευθυγράμμων τμημάτων στην τεθλα­ σμένη του τρίτου βήματός, είναι: Ι2 + 3·Ι2 = 48 = 3·42• Στο τέταρτο βήμα δημιουργούνται 48 νέα τρίγωνα, τόσα δηλαδή, όσα τα ευθύγραμμα τμήματα που προέκυψαν στο τρίτο βήμα, κ.ο.κ. Άρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο αριθμός τv, των τριγώνων που προστίθενται στην τεθλασμένη του (ν - Ι}-βήματος, είναι ίσος με τον αριθμό των τμημάτων που αποτελούν την τεθλασμένη του (ν- Ι } -βήματος. Συγκεκριμένα: τ2 = 3, τ3 = 3·41 , τ4 = 3·42 και γενικά τv = 3·4ν - 2, για ν= 2, 3 ... Επίσης το εμβαδόν καθενός από τα νέα τρίγωνα που προστίθενται κατά το ν-στό βήμα, στο σχήμα του (ν - Ι )-βήματος, είναι το� του εμβαδού, του καθενός από τα τρίγωνα που προστέθη­ νκαν στο σχήμα του προηγούμενου βήματος. Άρα: αν = τv· (�) 1, για ν = 2, 3 ... Ι )ν-1 = 3.9Ι . (9Ι )ν-2 4v- 2 = 31 · (94)ν-2. , τελικα, αv = 3 · 4" - · (9 . οποτε ν-2 . + .. <Iy, με α,. = 1· (�) , ν = 2, 3 ... Άρα το εμβαδόν του χωρίου του ν-οστού βήματος, είναι: α1 Άρα το οριακό εμβαδόν της καμπύλης Koch, μπορεί να γραφεί σαν το άπειρο άθροισμα: 2 v -2 0 Σ = Ι + 3.Ι (94) + 3.Ι (94)1 3.Ι (94) + . .. + 3Ι . (94) . . . =Ι + S. ·

2

·

+

+

+

s

Το S είναι το άθροισμα απείρων όρων της γεωμετρικής προόδου με β1 = 1• λ =� και γενικό νο, ρο . βν = 3Ι · (94) , ν εΝ . 3Ι Επειδή δε�< Ι, θα έχουμε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, άρα s = --4 = s3 · Ι -9 Οπότε Σ = Ι + � = �' που είναι το ζητούμενο οριακό εμβαδόν του περικλειωμένου χώρου, με τη θεώρηση ότι α1 = 1 . Αν το εμβαδόν α1 του αρχικού ισοπλεύρου τριγώνου είναι f., θα έχουμε Σ = � · Ε., που πάλι είναι πεπερασμένο. Καλά λοιπόν τα πήγαμε ως εδώ. Για το μήκος της καμπύλης όμως, τα πράγματα δεν είναι «ρόδινα>). Στο πρώτο βήμα, το μήκος είναί μ1 έστω 1 . Στο δεύτερο βήμα, ο αριθμός των ευθυγράμμων τμημάτων είναι Ι2, δηλαδή 4-πλάσιος, αλλά το μήκος καθενός είναι το 1του μήκους του κάθε τμήματος στο σχήμα του πρώτου βήματος. Άρα μ2 = 1 ·1. ι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1119


-----

Fractals- Προσέγγιση σε μια νέα περιγραφή της φύσης

----

Στο τρίτο βήμα, τα τμήματα επίσης 4-..,πλασιάζονται και καθενός το μήκος είναι το 1 του μή­ κους καθενός από τα τμήματα 2 του δεύτερου σχήματος. Άρα μ3 = � · (� ·1 ) = (�) · 1 κ.ο.κ. ν Άρα συμπεραίνουμε ότι το μήκος της καμπύλης του ν-οστού βήματος είναι: � = (14) - Ι ·1. Ομως τα μ, , i = 1, ... αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ = � και μ1 = 1, και � > Ι, άρα μια αύξουσα γεωμετρική πρόοδο. Άρα το όριο του μ_. καθώς το ν πλησιάζει το +cc, είναι επίσης +cc. Άρα δεν μπορεί να ορισθεί το οριακό μήκος της καμπύλης. Αυτό είναι κάτι πολύ «δυσάρεστο» γιατί είναι κάτι που δύσκολα μπορούμε να αποδεχθούμε με την κλασική Ευκλείδεια λογική. Αυτή η ιδιότητα της καμπύλης Koch, συνοδεύει κάθε ιδανικό μαθηματικό αυτοόμοιο σχήμα. Συγκεκριμένα, ενώ κάθε πραγματικό σχήμα έχει μια ελάχιστη κλίμακα μέτρησης, άρα σχεδία­ σης, τα ιδανικά αυτοόμοια, έχουν διαδικασία κατασκευής που από μαθηματική άποψη, μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον. Μια νέα . . . διάσταση Οι ιδιότητες που προαναφέρθηκαν, κάνουν για την καμπύλη Koch, και τα συγγενή της «τέρατα», δύσκολο τον καθορισμό ενός συστηματικού μηχανισμού σύγκρισης και ταξινόμησής τους. Η πρώτη προσπάθεια προς αυτήν την κατεύθυνση, βασίστηκε στις ιδέες ενός Γερμανού μαθημα­ τικού, του Felix Hausdorff, ο οποίος το Ι9Ι9, παρουσίασε την ιδέα της «διάστασης Hausdorff>>, που μας επιτρέπει να χαρακτηρίζουμε τέτοιες διαδικασίες σχεδιασμού. Ας εξηγήσουμε όμως. Φαντασ­ θείτε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους L και διαιρέστε το σε ίσα τμήματα μήκους I. Τότε ο αριθμός των ίσων τμημάτων είναι Ν = 7· Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία, σε ένα τετράγωνο πλευράς L, τότε αυτό χωρίζεται σε ίσα, μεταξύ τους, τετράγωνα εμβαδού 12, που όλα είναι όμοια με το αρχικό τετρά2 γωνο και των οποίων το πλήθος είναι: Ν = �2 = li) . Η επέκταση στην τρισδιάστατη περίπτωση, θα � 3 και γενικά, μπορούμε να θέσουμε Ν = r-ι)�, όπου dr v = \Τ) δώσει με εντελώς ανάλογο τρόπο: Ν = tJ είναι η διάσταση Hausdorff ή διάσταση αυτοομοιότητας του σχήματος. Λίγα μαθηματικά, δείχνουν ότι το dr ισούται με: dr = lnlτN-) , όπου Ν το πλήθος των ίσων τμη­ Ιη I μάτων, στα οποία μπορούμε να χωρίσουμε την αυτοόμοια γεωμετρική μορφή και η = L/1 είναι ο λόγος ομοιότητας της μορφής προς τα τμήματά της. Ας δούμε πως εφαρμόζεται η παραπάνω σχέση για την καμπύλη του Koch. Στην περίπτωσή μας, σε οποιαδήποτε κλίμακα του σχήματος, κάθε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου με μήκος L, διαιρείται σε τρία ίσα τμήματα μήκους I = i , δημιουργώντας στη συνέχεια τέσσερις πλευρές ίσου μήκους i· Έχουμε λοιπόν Ν = 4 και 7 = 3, άρα dr = ��j:::: Ι ,26 Ι85. Παρόμοια για το τρίγωνο Sierpinski έχουμε dr= :�� :::: Ι ,5849 και για το «χαλί Sierpinski» dr= ��:::: Ι ,8727 Βρήκαμε λοιπόν και στις τρεις περιπτώσεις κλασματική διάσταση για τις καμπύλες. Αυτός ο αριθμός είναι ένα μέτρο για το σχετικό βαθμό πολλαπλότητας και «τραχύτητας» του σχήματος, ο οποίος σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί να είvαι μεγαλύτερος από την Ευκλείδεια διάσταση του αντίστοιχου χώρου, όπου βρίσκεται το σχήμα. Για την καμπύλη Koch, επειδή πρόκειται για το επίπεδο, η αντίστοιχη Ευκλείδεια διάσταση είναι 2. Στη κλασματική μορφή της διάστασής τους, οφείλουν τα αυτοόμοια αυτά σχήματα το όνομά τους. Το Ι975 ο Benoit Mandelbrot, ένας Γάλλος μαθηματικός, έγινε «Ο νονός» των καμπυλών αυtών. Ονόμασε λοιπόν τα σχήματα, των οποίων η διάσταση, μετρημένη με την παραπάνω μέθοδο, είναι μη •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ.

τ.

1 120


-------

Fractals- Προσέγγιση σε μια νέα περιγραφή της φύσης

------

ακέραια, με το όνομα fractals, από τη λατινική λέξη fractus (κλασματικός, κομματιασμένος). Θεώρησε λοιπόν, ή όρισε μπορούμε να πούμε, τα fractals σαν ένα σύνολο γεωμετρικών μορ­ φών, που δημιουργούνται κανονικά από επανάληψη και χαρακτηρίζονται από άπειρο μήκος, ά­ πειρη λεπτομέρεια, χωρίς εφαπτόμενη, με κλασματική διάσταση και αυτοομοιότητα. Επιπλέον εισήγαγε ένα σύνολο νέων «κανόνων», για την εξερεύνηση της γεωμετρίας της φύσης, αναγνωρίζοντάς τα ως χρησιμότατα εργαλεία για την ανάλυση των φυσικών,φαινομέ­ νων. Μια ματιά στη γεωμετρία της φύσης Αν η γεωμετρία της φύσης ήταν Ευκλείδεια, θα ήταν πολύ εύκολο να αναπαραχθεί η πολυ­ πλοκότητα κάθε τοπίου, με τη βοήθεια ευθειών, τριγώνων, κώνων, κύκλων, σφαιρών. Θα μπορούσαμε να ζωγραφίσουμε την περιφέρεια ενός νέφους ή την κατατομή ενός βουνού, απεικονίζοντας ακόμη και τις βαθύτερες λεπτομέρειες, χωρίς κανένα πρόβλημα. Ομως τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Ο κόσμος γύρω μας παλεύει να αναπαράγει την εικόνα του σε κάθε κλίμακα, σαν τον κορμό ενός δένδρου, που απεικονίζεται σε μικρότερα αντίτυπά του, πάνω σε κάθε του κλαδί. Αυτός ο φυσικός κόσμος πολλαπλασιάζεται με πείσμα, υπομονή και τέλεια μνήμη του αρχετύπου, σαν ένα φύλλο φτέρης που αντιγράφει το ίδιο σχήμα σε καθένα από τα τμήμα­ τά του, όπως η ανάκλαση του ειδώλου ενός καθρέπτη μέσα στον καθρέπτη, χωρίς τέλος. Εδώ υπεισέρχονται τα fractals για να δώσουν μια μορφή περιγραφής. Τέτοια σχήματα συναντώ­ νται σε κολλοειδή εναπόθετα (λόγου χάριν αυτά που δημιουργούνται από σκόνη ή αιθάλη) καθώς και σε πολυμερή και ηλεκτροχημικά μίγματα και σε ενσωματώσεις ελεγχόμενες από τη διάχυση. Επίσης fractal μορφές διέπουν τα σώματα ζωντανών οργανισμών, δίνοντας το σχήμα των αγγειακών και νευρικών συστημάτων. Μέχρι και στην κατανομή των αστέρων και των γαλαξιών στο σύμπαν συναντάται η μορφή τους. Πάvtως δεν θα ήταν σωστή μια εικόνα γιαταfractals, που θαταήθελε όλα στη μορφή της νιφάδας Koch. Τα πιο συχνά συναντόμενα fractal σχήματα έχουν μορφή θάμνων θυμαριού ή κοραλλιού ίσως. Τέτοια σχήματα σχηματίζονται από συσσωματώματα μορίων που πολλαπλασιάζονται και ενοποιούνται δίνοντας τελικά κρυστάλλους με την παραπάνω μορφή, που λέγονται δενδρίτες. Η διάσταση αυτοομοιότητας των δενδρικών κρυστάλλων καθορίζεται από τους ειδικούς μη­ χανισμούς της ανάπτυξής τους. Η μοριακή αλληλεπίδραση κατά το σχηματισμό τους, καθορίζει το μέγεθος και τη μορφή του δενδρίτη, που μπορεί να είναι τυχαία, ακανόνιστη ή τέλεια κανονικό σχήμα σαν νιφάδα χιονιού. Δενδριτικές μορφές μπορεί κανείς να παρατηρήσει σε μια διηλεκτρική πλάκα, χτυπημένη α­ πό ηλεκτρικό σπινθήρα. Είναι τα λεγόμενα σχήματα Lichtenberg. Μετρώντας τη fractal διάσταση των διαφόρων φυσικών συστημάτων, μέσω θεωρητικών μο­ ντέλων και συγκρίνοντας τις μετρημένες τιμές με τις θεωρητικές, μπορούμε να επιλέγουμε το καλύτερο μοντέλο. ·

Επιμύθιο στη γέννηση των Fractals

Είναι πραγματικά θαυμαστό, το γεγονός ότι ένα παιχνίδι της φαντασίας, βρήκ�� γρήγορα εν­ σάρκωσή στο φυσικό κόσμο, στην ίδια την κίνηση της ζωής. Αξίζει να σημειωθεί ότι ξεκίνη­ σαν σαν αντικείμενο μελέτης για όσους ασχολούνταν με τα καθαρά μαθηματικά (Pure Mathematics), ενώ οι ερευνητές των φυσικών επιστημών δεν είχαν ενδιαφερθεί. Μέχρι που το «φαινόμενο» fractals εισχώρησε σαν μεταδοτική νόσος στις παρατηρήσεις που προέκυπταν από μη αντιστρεπτές διαδικασίες, μέχρι που τα ίδια τα fractals φαίνονταν αναπόσπαστοι παραστάτες σε κάθε άτακτη και χ.αοτική διαδικασία που επηρέαζε το περιβάλλον. Οσα βήματα κι αν έχουν γίνει τα τελευταία είκοσι χρόνια, είναι σίγουρο ότι πολλά έχουν α­ κόμη να αποκαλυφθούν για τη «σύσταση» και τους νόμους, για τη μορφή και τον τρόπο επίδρα­ σής τους, πολλά έχουν ακόμη να ερευνηθούν στον καινούργιο αυτό κλασματικό χώρο. ·

Βιβλιογραφία

1. 2. 3.

Vicente Talanquer - Glind Irazoque ΤΗΕ PHYSICS TEACHER: FRACTALS: ΑΝ INTRODYCTION ΤΟ CALCULUS AND ALGEBRA: Open University I.M.Sokolov ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ QUANTUM ΙΑΝ - ΦΕΒΡ 1 995: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/21


ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Γ ιώ ρ γος Τ σαπακ ίδη ς • Αν μετρήσουμε με μοιρογνωμόνιο τις γωνίες ενός τριγώνου και αθροίσουμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων, θα βρούμε άθροισμα αριθμό πολύ κοντά στο 1 80° . Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία αυτή

σε διάφορα τρίγωνα, f0 αθροίσματα των γωνιών τους θα είναι περίπου ίσα με f0 1 80° αλλά fQ αθροίσματα θα διαφέρουν μετα�ύ τους, γιατί καμία μtτρηση δεν είναι ακριβής, όπως δεν είναι ακριβής και η κατασκευή ενός τριγώνου. Όμως στα προβλήματα που λύνουμε θεωρούμε ότι το άθροισμα των I

γωνιών ενός τριγώνου είναι ακριβώς 1 80° Πως χρησιμοποιούμε ΤΟ αποτέλεσμα ΟύΤό, αφού στην πρά�η

οι μετρήσεις μας δεν δίνουν αποτέλεσμα ακριβώς ίσο με 1 80° ;

Είμαστε σίγουροι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

Α

είναι 1 80° όχι γιατί αυτό είναι fO αποτέλεσμα των μετρήσεων, αλλά γιοτ{ αυτό φαίνεται από τους συλλογισμούς : ι

........... ........... ε

Από

την

κορυφή

Α

του

τριγώνου

ευθεία

ε

εντός εναλλά� των ε//ΒΓ). Έτσι Α +Β +Γ = Α 1 +Α +Α 2 ευθεία γωνία = 1 80° .

=

παράλληλη στη ΒΓ, οπότε έχουμε

Γ

: Λ

φέρνουμε

Β=Α 1 και Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Γ=Α 2 (ως Λ

Λ

Λ

Λ

Η προηγούμενη διαδικασία, που δεν αφήνει αμφιβολίες για την ορθότητα της πρότασης " Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 1 80° » ί\έγεται

απόδειln.

• Ας δούμε τώρα μερικές μαθηματικές προτάσεις : * Αν ο ακέραιος αριθμός α είναι περιττός, τότε να δειχτεί ότι και ο

* Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ, τότε να δειχτεί ότι Β=Γ. Λ

* Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει είναι μικρότερος από το

/5 .

αβ < 5,

Λ

α2

είναι περιττός.

τότε να δειχτεί ότι ένας τουλάχιστο από αυτούς

* Αν δύο γωνίες είναι κατά κορυφήν, τότε να δειχτεί ότι είναι ίσες. Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις προηγούμενες προτάσεις χωρίζεται σε δύο μέρη : Πρώ το utρoc : είναι το υποθετικό που αρχίζει με το ιιαν>> και φτάνει μέχρι το «τότε», στο μέρος αυτό του προβλήματος δίνεται το τι ισχύει, δηί\αδή τα δεδομένα της πρότασης, που αποτεί\ούν την υπόθεση. είναι το αποδεικτέο, δηί\αδή το τι πρέπει να δειχτεί, το τι μας ζητάει το Δεύτερο utρoc : πρόβί\ημα. Το μέρος αυτό της πρότασης που είναι και το σημαντικότερο, αρχίζει από το «τότε» και φτάνει μέχρι το τέλος της, το λέμε συμπέρασμα. Συνήθως τα δεδομένα και το συμπέρασμα μιας μαθηματικής πρότασης (που μπορεί να είναι ένα

*-

θεώρημα, πόρισμα ή πρόβί\ημα) τα παρουσιάζουμε στο σχήμα:

Με το σχήμα αυτό οι προηγούμενες τέσσερις προτάσεις διατυπώνονται :

γ Σ

γ

α= περιττός

α2 =

περιττός

Σ

ΑΒ=ΑΓ

Β=Γ Λ

Λ

• Ας προσέ�ουμε τώρα τις προτάσεις :

* Αν γ "# Ο , τότε να δειχτεί ότι α=β <::::>

γ

α > Ο, β > Ο , αβ < 5

γ

Σ

α < /5

Σ

ή

β < ./5

θ, Λ

ω κατά κορυφήν Λ

θ=ω Λ

α·γ=β ·γ

* Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισογώνιο αν και μόνο αν είναι ισόπλευρο.

�' s f "ZCA• Αι:\ \ b zε�� itcλ.· t--\ I Ν � Σ.Citλ· � r J Μ (" 0.\1 ·ι.ο� c-....ι f>. r{ � β β'J ε e.' �ι.;i"C v ευ θ�ο.. ε. 8 εe � ΖΡ-• �('\() ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λ. τ. 1122 JGA Ξε.ι. � h �·· ::. '!i3 r-t: GQ' ι

Λ

Ιι\

Υ\

A f..\ � V f.\ β r c-z.o ε � c...... , 1\.�),ε<) τ....ι.ι . .:ι\ , t3,�6 O""'t- Vt ί.


-------

Μέθοδοι απόδειξης

--------­

Κατ' αρχήν πρέπει να σημειώσουμε ότι οι εκφράσεις : ισοδύναμο, αν και μόν αν, τότε και μόνο τότε, πρέπει και αρκεί, είναι ταυτόσημες. Φαινομενικά οι δύο παραπάνω προτάσεις διαφέρουν δομικά από τις τέσσερις αρχικές προτάσεις. Στην ουσία όμως κάθε μια aπό αυτές αναλύεται σε δύο προτάσεις, όμοιες με τις αρχικές. Έτσι η πρόταση : Αν γ ::;:. Ο, τότε να δειχτεί ότι

α = β <=> αγ = βγ

αναλύεται στις : Αν γ ::;:. Ο και a=β, τότε να δειχτεί ότι αγ=βγ. Αν

γ ::;:. Ο

και aγ=βγ, τότε α=β

Ενώ η πρόταση : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισογώνιο αν και μόνο αν είναι ισόπλευρο. αναλύεται στις : Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισογώνιο, τότε θα είναι και ισόπλευρο. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, τότε θα είναι και ισογώνιο. Έτσι μια πρόταση που εκφρά(;εται με ισοδυναμία ουσιασπκά αποτελείται · aπό δύο aντίστροφες προτάσεις, δηλαδή δύο προτάσεις που η υπόθεση της πρώτης είναι συμπέρασμα της δεύτερης και το συμπέρασμα της πρώτης υπόθεση της δεύτερης. Επομένως για να δεί�ουμε ότι αληθεύει μια ισοδυναμία, πρέπει να δεί�ουμε ότι αληθεύουν δύο aντίστροφες προτάσεις. • Γεννιέται τώρα το ερώτημα με ποιούς τρόπους, ποιές μεθόδους αποδείχνουμε την ισχύ (αλήθεια) μιας μαθηματικής πρότασης. Ας δούμε μερικά παραδείγματα . * Αν ο α εfνaι άρτιος, τότε να δειχτεf ότι και το τετράγωνό του εiνaι άρτιος.

Απόδειln

Αφού ο α είναι άρτιος, θα υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος ώστε α=2κ, τότε άρτιος.

α 2 = (2κ) 2 = 4κ 2 = 2(2κ2) =

* Αν α, 6 είναι ρητοί aριθμοί να δειχτεί ότι και ο α-6 είναι ρητός.

πρόταση αυτή διατυπώνεται λεκτικά : Να δειχτεf ότι η διαφορά δύο ρητών αριθμών

εiναι ρητός αριθμός).

Απόδειln

Αφού οι α, β είναι ρητοί, θα γράφονται

κ μ κν - λμ = ρητος 'Εχουμε α - β = λ - ν = λν

α= Ι

,

και

β = �,

όπου κ, λ, μ, ν ακέραιοι με

λν ::;:. Ο .

, , , (γιaτι το γινομενο και η διαφορα ακεραιων ειvαι ακερaιος,

επομένως οι κν-λμ, λν είναι ακέραιοι με

,

,

λν ::;:. Ο).

* Αν για τους αριθμούς α, 6, γ ισχύει α+β+γ=Ο, τότε να δειχτεί ότι α 3

+ β 3 + γ3 = 3αβγ.

(Λεκτική διατύπωση : Αν το άθροισμα τριών αριθμών εfναι μηδέν, τότε το άθροισμα των κύβων τους ισούται με το τριπλάσιο γινόμενό τους).

Απόδειln

Από την υπόθεση παίρνουμε διαδοχικά :

α + β = -γ 3 (α + β) 3 = (-γ) α 3 + 3α2β + 3αβ2 + β 3 = -γ3 α 3 + β 3 + γ3 = -3α2 β - 3αβ2 α 3 + β 3 + γ 3 = -3αβ(α + β) α 3 + β J + γ 3 = -3αβ(-γ) α 3 + β 3 + γ3 = 3αβγ Σrόnιο Ας �αναμελετήσουμε την

προηγούμενη απόδει�η. Σίγουρα μας γεννιώνται διάφορα ερωτήματα. Όπως το : γιατί μεταφέραμε το γ στο δεύτερο μέλος ; Ε�ετάζουμε το πρόβλημα από τηv αρχή. Ποιό είναι το (;ητούμενο ;

α 3 + β 3 + γ3 = 3αβγ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. l/23


Μέθοδοι απόδ ε ιξης

-------...,..-

Ποια είναι η υπόθεση ;

α +β +γ = Ο

------

3

3

3

Πως από το α + β + γ = Ο θα δημιουργήσουμε το α + β + γ = 3αβγ ; Επειδή στο πρώτο μέλος του 'ητουμένου θέλουμε άθροισμα κύβων, είναι φυσικό να υyώ­

3 α + β + γ = Ο στο κύβο, δηλ. (α + β + γ) = Ο . Αλλό δεν γνωρί­ 3 (α + β + γ) , ενώ γνωρίζουμε το ανάπτυγμα του (α + β) 3 , έτσι από

σουμε και τα δύο 'μέλη της ζουμε το ανάπτυγμα του

α + β + γ = Ο πρέπει να πάρουμε μια ισότητα που το πρώτο μέλος β α + και αυτό γίνεται αν μεταφέρουμε το γ στο δεύτερο μέλος. την

της να έχει μόνο το

* Αν Κ, Λ, Μ, Ρ είναι τα μέσα των πλευρών του τετραπλέυροu ΑΒΓΔ, τότε να δειχτε( ότι το ΚΛΜΡ είναι παραλληλόγραμμο.

Λύσn

Υ

Σ

Γ

ΑΚ=ΚΒ ΒΛ=ΛΓ ΓΜ=ΜΔ ΔΡ=ΡΑ

ΚΛΜΡ παρ/μο

Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Στο τρίγωνο ΑΒΔ το ΚΡ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών, άρα ΚΡ

Στ ο τρ ίγωνο ΓΒΔ το ΛΜ συνδέει μέσα δύο πλευρών, άρα ΛΜ ότι ΚΡ

ΛΜ, έτσι το ΚΛΜΡ είναι παρ/μο.

Σrό.ίlιο

� �Δ

� �Δ

(Ι).

(2}. Από ης (1} και (2} έχουμε

Πως σκεφτήκαμε να φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ; Αρχίζουμε πάλι j..ιε ης ίδιες ερωτήσεις. Ποιό είναι το ζητούμενο ; Να δειχτεί ότι το ΚΛΜΡ είναι παρ/μο. Ποια είναι η υπόθεση ; Τι έχουμε στο πρόβλημα ; τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου. Έτσι θα πρέπει να συνδιάσουμε μέσα πλευρών με παράλληλες. Ποιό θεώρημα συνδιάζει μέσα πλευρών με παράλληλες; Το τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο και ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς. Επομένως τι πρέπει να εμφανίσουμε στο σχήμα; Τρίγωνο στο οποίο τα μέσα δύο πλευρών του να ορίζουν ένα από τα τμήματα ΚΛ, ΛΜ, ΜΡ, ΡΚ. Έτσι οδηγούμαστε στην κατασκευή του τριγώνου ΑΒΔ.

Αν μελετήσουμε πάλι τις προηγούμενες αποδεί�εις, θα δούμε ότι έχουν ένα κοινό γνώρισμα : Ξεκινούν όλες από τnν υπόθεση και με τη χρήση γνωστών προτάσεων, ορισμών και ιδιοτήτων φτάνουν στο συμπέρασμα. Για παράδειγμα ας δούμε πάλι την απόδει�n της πρότασης Αν για τους α, 6, γ ισχύει α+β+γ=Ο, τότε να δειχτε{ ότι

Λύσn

Έχουμε διαδοχικά : α+β+γ=Ο α+β=-ν

(α + β ) 3 = (-γ) 3

α 3 + β3 + γ3 = 3αβγ .

(γιατί αν μεταφέρουμε μια πρόταση από μέλος σε μέλος αλλάζει πρόσημο}. (γιατί αν δύο αριθμοί είναι ίσοι, τότε και οποιεσδήποτε δυνάμεις τους είναι

ίσες}.

α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 = -γ 3 α3 + β3 + γ 3 = -3α2β 3αβ2 _

α3 + β3 + γ 3 = -3αβ(α + β ) α3 + β3 + γ 3 = -3αβ(-γ) α3 + β3 + γ 3 = 3αβγ

3

(γιατί (α + β) = α 3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 }. (μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος τους κύβους για να κατασκευάσουμε το πρώτο μέλος του συμπεράσματος}. (στο 2ο μέλος χρησιμοποιήσαμε την επιμεριστική ιδιότητα : α(β+γ}=αβ+αγ } (γιατί α+β=-γ }

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.

τ.

1/24


.Μέθοδοι απόδ ε ιξης ••ευθεία απόδειξη».

Η μέθοδος αυτή της απόδειξης ονομάζεται

------

--------�­

Θα εξετάσουμε τώρα μια όίΊίΊη κατηγορία προβλημάτων. * Να δειχτεί ότι το γινόμενο ενός aρρήτου με ένα ρητό που είναι διάφορος από το μηδέν είναι άρρητος αριθμός.

Λύση

Έστω α, 6 ένας άρρητος και ένας ρητός αριθμός αντίστοιχα. Αν το γινόμενο α · β δεν ήταν άρρητος θα ήταν ένας ρητός αριθμός ρ, δηλ. αβ = ρ <=> α = ο α, θα ήταν ίσος με τον ρητό

�,

(γιατί β =ι.

Ο),

έτσι θα είχαμε ότι ένας άρρητος,

πράγμα αδύνατο (άτοπο). , Γιατί κατ��λήξαμε σε συμπέρασμα που δεν αίΊηθεύει; Γιατί ξεκινήσαμε από τnν λανθασμένη υπόθεση ότι ο α.6 δεν είναι άρρητος, επομένως πρέπει να αίΊίΊόξουμε την υπόθεσή μας, έτσι ο α.β είναι άρρητος. *

Να δειχτεί ότι δύο ευθείες που είναι κάθετες στην fδια ευθεία εfναι παράλληλες.

Λύσn

ει

ε

Υ ::> Ο

ε2

ει l. ε ει l. ε

Σ

ει//ει

Αν οι ευθείες ε ι , ε z δεν είναι παρόίΊληίΊες, τότε θα τέμνονται σε σημείο Ο και θα έχουμε δύο ευθείες να περνάνε από το Ο κάθετες στην ε, πράγμα αδύνατο, άρα ε ι // ε 2 •

*

Αν για τους θετικούς αριθμούς α, 6 ισχύει αβ < 5, να δειχτεί ότι ένας τουλάχιστο από τους α, 6 είναι μικρότερος από

J5 .

Η συμ6οίΊική διατύπωση του προβλήματος είναι :

Λύσn

Αν δεν ήταν α <

Υ Σ

J5

ή β

<

J5 , τότε θα είχαμε

α�

J5

α, β θετικοί α·β<5

και β �

J5 , άρα

αβ �

J5 J5 <=> αβ � 5 , J5 ή

πράγμα που έρχεται σ ε αντίθεση με την υπόθεση, έτσι είναι λάθος τ ο ότι δεν ισχύει α <

β

*

<

/5 , άρα ένας τουλάχιστο από α, β είναι μικρότερος από J5 .

Ο Γιώργος, ο Κώστας και ο Γιάννης είναι τρεις φίλοι, από τους οποίους άλλοι λένε μόνο

αλήθειες και άλλοι μόνο yέματα.

Ο Γιώργος είπε ότι ο Κώστας και ο Γιάννης είναι yεύτες. Ο Κώστας αρνήθηκε ότι εfναι yεύτης. Ο Γιάννης είπε ότι ο Κώστας είναι yεύτης.

Πόσοι λένε αλήθεια και πόσοι yέματα;

Λύσn

Αν υποθέσουμε ότι και οι τρεις φίλοι λένε την αλήθεια τότε : ο Κώστας και ο Γιάννης πρέπει να είναι yεύτες, αφού ο Γιώργος ίΊέει την αλήθεια, αλλά το ότι ο Κώστας και ο Γιάννης είναι yεύτες έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι λένε τnν αλήθεια, επομένως δεν μπορεί και οι τρεις φίλοι να ίΊένε την αλήθεια. Αν υποθέσουμε ότι ο Γιώργος και ο Κώστας λένε αλήθεια και ο Γιάννης είναι yεύτnς καταλήγουμε πόλι σε αvτίφασn, γιατί σύμφωνα με τα ίΊεγόμενα του Γιώργου, που λέει αλήθεια, ο Κώστας θα πρέ­ πει να είναι yεύτης, πράγμα που δεν ισχύει, αφού υποθέσαμε ότι ο Κώστας λέει αλήθεια. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο πρέπει να εξετάσουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις, που φαίνονται στον πίνακα :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.

τ.

1/25


-------'--"""""7.

περίπτωση Ιη

Μέθοδοι απόδειξης ΓιώρΎος

:Κώστας

Γιάννης

α

α

..

α

α

2η 3η

α

α

..

α

..

..

α

..

..

..

α

..

α

_ _ _ _ _ .;;_ __ _

_ _ _ _ _ _

α

..

α

Αν δεχτούμε ότι ισχύει μία από τις περιπτώσεις : lη, 2η, 3η, 4η, Sη, 8η καταλήγουμε σε αντίφαση (με τρόπο όμοιο των περιπτώσεων lη, 2η). Οι μόνες δυνατές περιπτώσεις είναι οι 6η, 7η. Έτσι ένας ί\έει την αί\ήθεια και δύο είναι yεύτες. Αν ε�ετάσουμε προσεκτικά τα προηγούμενα παραδείγματα; θα δούμε ότι υποθέτουμε ότι το ζητούμε­ νο δεν ισχύει και καταλήγουμε σε μια αντίφαση, σε ένα άτοπο, οπότε είμαστε υποχρεωμένοι να δε­

χτούμε την ορθότητα του συμπεράσματος. Η μέθοδος αυτή απόδει�ης ονομάζεται <<άτοπος απαyω­ ,νή», οφείλεται στους Αρχαίους Έί\ί\ηνες.

• Γνωρίζουμε ότι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες όταν : αί\ηθεύει η πρώτη αί\ηθεύει και η δεύτερη και αντίστροφα. Έτσι αντί να δεί�ουμε την αί\ήθεια μιας πρότασης αρκεί να δεί�ουμε την αί\ήθεια μιας ισοδύναμής της πρότασης. Θα δούμε μερικά παραδείγματα. *

Γ ι α τους αριθμούς α, β να δειχτεί ότι

Λύσn

Είναι :

(α + β) 2 � 4αβ

(α + β) 2 � 4αβ .

<=>

α2 + 2αβ + β 2 � 4αβ (γιατί (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2) α2 + 2αβ + β2 - 4αβ � Ο <=> α 2 - 2αβ + β2 � 0 ισχύει, άρα και η (α + β) 2 � 4αβ ισχύει. <=> (α - β) 2 � Ο <=>

ΣΧΟΛΙΟ Ας δούμε την απόδει�η της προηγούμενης σχέσης με ευθεία απόδει�η. Είναι διαδοχικό :

(α - β) 2 � Ο α2 - 2αβ + β 2 � Ο α2 - 2αβ + β 2 + 4αβ � 4αβ

(γιατί αν προσθέσουμε στα μέί\η μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό προκύπτει ομόστροφη ανισότητα)

α2 + 2αβ + β2 � 4αβ (α + β) 2 � 4αβ Στην απόδει�η αυτή φαίνεται ότι η αρχική σχέση (α - β) 2 πράγμα που αποφεύγεται με την απόδει�η με ισοδυναμίες.

*

�Ο

είναι αναιτιολόγητη και αυθαίρετη,

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ να δειχτεί ότι ισχύει

Είναι

αγ + βδ (α + β)γδ > α + β - αδ + βγ

<=>

<=>

<=>

<=> <=> <=> <=>

β (αγ + βδ)(αδ + γ) � (α + β) 2γδ

αγ + βδ > (α + β)γδ α + β - αδ + βγ ·

(γιατί αν ποί\/με ή διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με θετικό αριθμό προ­ κύπτει ομόστροφη ανισότητα)

α2γδ + αβγ2 + αβδ2 � (α2 + 2αβ + β 2)γδ α 2γδ + αβγ2 + αβδ2 + β 2γδ � α 2γδ + 2αβγδ + β 2γδ αβ(γ2 + δ2) � 2αβγδ γ 2 + δ2 ;:: 2yδ (διαιρέσαμε και τα δύο μέλη με γ 2 + δ2 - 2yδ � ο (γ - δ) 2 � Ο ισχύει.

το

αβ > Ο)

Την προηγούμενη μέθοδο με την οποία μετατρέπουμε το ζητούμενο σε ισοδύναμη πρόταση, που αί\ηθεύει, την ονομάζουμε uέθοδο των ισοδuναuιών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.

τ.

1126


. Μέθοδοι απόδε ιξης

Οι μέθοδοι απόδει�ης που είδαμε μέχρι τώρα είναι : ------

-------­

Ευθεfα απόδειιn στην οποία �εκιvάμε από την υπόθεση χρησιμοποιούμε γνωστές μαθηματικές προτάσεις (ορισμούς, α�ιώματα, θεωρήματα) και παράγουμε (δημιουργούμε - κατασκευάζουμε) το συμπέρασμα. Άτοπος απαγωγή, στην οποία υποθέτουμε ότι το ζητούμενο δεν ισχύει και κατλήγουμε σε αντίφαση

(άτοπο). Μέθοδος ισοδυναμιών, στην οποία μετατρέπουμε το ζητούμενο σε ισοδύναμη πρόταση που ισχύει.

Οι μέθοδοι απόδει�ης δεν ε�αvτλούνται με τις τρεις προηγούμενες και ούτε είναι δυνατόν να είναι

γνωστές εκ των προτέρων, γιατί για τη ί\ύση νέων και δύσκολων προβλημάτων απαιτούνται νέες μέθοδοι και τεχνικές.

Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α 1.

i) Εξετάστε με παραδείγματα άν το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος ή περιττός. Διατuπcδστε σε πρόταση τις προηγούμενες παρατηρήσεις σας. Απο&ίξτε την πρόταση αυτή.

ii) Όμοια για το άθροισμα δύο αρτίων. iii) Τη διαφορά ενός άρτιου από ένα περιττό.

2. i) Εξετάστε με παραδείγματα αν το γινόμενο δύο άρτιων είναι άρτιος ή περιττός. Διατυπώστε σε πρόταση τις προηγούμενες παρατηρήσεις σας. Αποδείξτε την πρόταση αυτή. ii) Όμοια για το γινόμενο δύο περιττών. iii) Το γινόμενο ενός άρτιου με ένα περιττό.

3.

Γράψτε τέσσερα παραδείγματα αθροίσματος τετραΎώνων δύο περιττών αριθμών. τί είναι το αποτέ­ λεσμα άρτιος ή περιττός; Γενικεύστε το συμπέρασμά σας. Αποδείξτε τη Ύενίκευση.

4.

Όμοια με το προηγούμενο πρόβλημα για το άθροισμα τετραγώνων δύο αρτίων.

5.

Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών που κανένα τους δεν είναι μηδέν είναι άρτιος ή περιττός; Εξετάστε μερικά παραδείγματα, γενικεύστε και aποδείξτε τη γενίκευση.

6.

Αν αβ

7.

Να δειχτεί ότι

8.

Να δειχτεί ότι :

=

1 να δειχτεί ότι

β3 α3 - + - α-β + α l 2 1 β2

--

--

·

i ) 2(α 2 + β 2 ) .2: (α + β) 2 ii) 3(α 2 + β 2 + γ2 ) 2: (α + β + γ)2 iii) Ποια είναι η γενίκευση των δύο προηγούμενων σχέσεων ; i) (α 2 + β 2 )(χ 2 + ψ 2 ) � (αχ + βψ) 2 ii) (α 2 + p 2 + γ2 )(χ 2 + ψ2 + z 2 ) � (αχ + β ψ + γz) 2 iii) Γενίκευση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.

τ.

1127


-------

Μέθοδοι απόδ ειξης

α + k ;?: 2 . ii) Αν χ,ψ θετικοί να δειχτεί ότι � + i ;?: 2 .

9. i) Αν α θετικός να δειχτεί ότι

------�----

1 Ο.

Αν ο α είναι ακέραιος και ο α 2 είναι περιττός, τότε να δειχτεί ότι ο α είναι περιττός.

1 1.

Γράψτε τέσσερα παραδείγματα γινομένων ρητού διαφόρου από το μηδέν, επί άρρητο. τι είναι το αποτέλεσμα ρητός ή άρρητος; Γενικεύστε και aποδείξτε τη γενίκευση.

12.

Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου ε(ναι άρτιος, τότε τ ι ε(ναι ο αριθμός, άρτιος ή περιττός; Εξετάστε μερικά παραδείγματα, γενικεύστε τα, δεiξτε τη γεν(κευση.

1 3 .i) Έστω οι συνεπ(πεδες ευθείες ε, ε 1 και ε 2 . Αν ε ι//ε2 και η ε τέμνει την ε ι , να δειχτεί ότι η ε τέμνει και την ε 2 . ii) Έστω οι συνεπ(πεδες ευθείες ει, ε2 και ε3 . Αν ε 1//ε2 και ε 2//ε 3 , τότε να δειχτεί ότι ε 1//ε 3 • 14.

i) Αν α , β αριθμοί τέτοιοι ώστε α2 + β 2 Ο τότε να δειχτεί ότι α=β=Ο. ii) Ποιά είναι η γενίκευση της προηγούμενης πρότασης; 2 Ο. iii) Να βρεθούν τα χ, ψ για τα οποία ισχύει (2χ - 1) 2 + (3ψ + 5) 2 ίν) Ν α λυθεί η εξίσωση χ2 + 9ψ - 4χ+ 6 ψ + 5 Ο =

,

=

=

1 5.

.

Ο Α λέει : ο Β ή ο Γ είναι ψεύτης. Ο Β λέει : ο Α είναι ψεύτης. Ο Γ λέει : ο Α και ο Β είναι ψεύτες. Ποιός λέει την αλήθεια;

Β/ΒΛ/Α ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗ • ΣΕ/ΡΑ:

ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗ

ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ

ΑΝΜ ΥΣΗ

• Εισαγωγή στην npαγματική ανάλυση 1 • Εισαγωγή στην npαγματική ανάλυση 2 (υπό έκδοση) •Διαφοpικός λογισμός (υπό έκδοση) • Ολοκληρωτικός λογισμός (υπό έκδοση)

Πι:ριι:χόμι:να:

ΜΕΡΟΕ I : iδlάζουσες θεωpnrικές εmσnpάvσεlς ΜΕΡΟΕ D: Emλεypέvn θεpαrοypαφiα

• ΣΕ/ΡΑ:

θΕΜΑΤΟΓΡΑΦίΑ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗΣ

ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ

ΑΝΜ ΥΣΕΩΣ

• Θέματα μαθηματικής ανάλυσης Ι • Θέματα μαθηματικής ανάλυσης ΙΙ (υπό έκδοση)

Πι:ριι:χόμι:να:

Μfα πpoπαvεmσrnJ,Uακriς σrάθpnς πεp.uiynσn σrnv πpαVJ.lαruαί από σχολlασpούς χω παpαrnpzίσεlς εlδlΚώv ανάλυση, pέσα λεπrολοynpέvωv θεpάrωv.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. l/28


/

ου ν Η Κσιάσιaση

rou Πλaνήrη

8

Roger Β. Nolsen

ΑπΟδείξεις χωρίς λ6yια

Harooo Tazieff

Πρόγνωση σεισμών

ClaUdo Μ""'

ο πολίτης στην

Αρχαία Ελλάδα

t

Σημείο αvαφοpάς στο εκπαιδευτικό ΙJιΙJλίο ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΑΒΒΑΛΑ

Ζ. Π Η ΓΗΣ 1 8

1 06 81

ΑΘ Η ΝΑ

ΤΗΛ. 33 . 0 1 . 251 - 38.29 . 4 1 0

FAX. 38. 1 0 .907


--

I

Γ εω με τρί� Α ' Λυκείου Παράλλη λες ευθείες - άθροισμα Ύωνιών τριΎώνου Σταθάκη Βαρβάρα, Τούρλας Λεωνίδας

Θεωρώντας την κατανόηση των εννοιών που τέμνει τη ΒΓ στο Δ και ΙΕ // ΑΓ, που τέ­ των παράλληλων ευθειών και του αθροίσματος μνει τη ΒΓ στο Ε. Να δείξετε ότι των γωνιών τριγώνου απαραίτητη για τη λύση ΙΔ + ΔΕ + ΙΕ = ΒΓ. πολλών ασκήσεων, θελήσαμε να παραθέσου­ Λύση με λίγες ασκήσεις με σχόλια για τον τρόπο λύσης τους και υπενθύμιση πορισμάτων ή, βασικών σχέσεων. Α

Άσκηση 1

...... Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°). Έξω από αυτό κατασκευάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΒΚΓ με Επειδή ΙΔ // ΑΒ είναι � = f;. Ομως και ΒΚΓ = 90°. Στην προέκταση της πλευράς ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ = ΑΒ. Να δεί­ � = Β;. Άρα Β; = i; και το τρίγωνο ΔΒΙ θα εί­ ξετε ότι ΚΔ ..L ΑΚ. ναι ισοσκελές. Άρα ΙΔ = ΒΔ. Ομοια αποδει­ κνύεται ότι ΙΕ = ΕΓ και τελικά: Λύση ΒΓ = ΒΔ + ΔΕ + ΕΓ = ΙΔ + ΔΕ + ΙΕ. 0 Η εξωτερική γωνία μιας γωνίας τριγώνου ισούται με το άθροισμα των απέναντι (ε­ σωτερικών) γωνιών του τριγώνου. Γ

κ

Άσκηση 3

...... Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ....Β... = 3Γ........ Πάνω στην Αρκεί να δείξουμε ότι Κ3 + � = 90°. Ε­ ΑΓ παίρ��ουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε πειδή κι + Κ2 = 90°, αρκεί να δείξουμε ότι ΔΒΓ = Γ. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος της Κι = κ3 ή ότι τα τρίγωνα Δrκ και ΑΒΚ είναι γωνίας Α είναι κάθετη στη ΒΔ. ίσα. Λύση Α Είναι ....ΔfΚ = 1 80° - (45° + fι) και επειδή ....... ... Γι = 90°....... - Βι, έχουμε: ....... ΔΓΚ =.......1 80° ....- ... (45° + 90° - Βι) = 45° + Βι = ΑΒΚ άρα τα τρίγωνα Δrκ και ΑΒΚ είναι ίσα Αν ονομάσουμε τη Γ = ω, τότε ΓΒΔ = ω, ....... (γιατί;) και Κ3....... = Κι. = 2ω (εξωτερική γωνία του ΔΒΓ) και Σύμφωνα με το συλλογισμό που κάναμε ΑΔΒ ΑΒΔ = 3ω - ω = 2ω . στην αρχή ΑΚΔ = κ3 + κ2 = 90° και επομένως Άρα το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές και ΚΔ ..L ΑΚ. η διχοτόμος της γωνίας Α θα είναι και ύψος, άρα θα είναι κάθετη στη ΒΔ. 0 Ο συνδυασμός διχοτόμου γωνίας και η ύ­ παρξη παράλληλης ευθείας πολλές φορές Σχόλια δημιουργεί ισοσκελή τρίγωνα. α) Οταν σε άσκηση μας δίνεται ότι μια γω­ νία είναι διπλάσια ή τριπλάσια μ�ας άλ­ Άσκηση 2 λης, μας διευκολύνει να ονομάσουμε τη μικρότερη με ένα γράμμα, π.χ. όπως ω Σε;rρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόμοι των γωνιών προηγουμένως, οπότε η μεγαλύτερη θα "Β και Γ τεμνονται , , ΙΔ 11 ΑΒ , στο 1 . φ ερνουμε Δ

Β

·

Γ

·

A Jb r � L � δ'< I'"Ol:P\"o s �s Bs.t Α Α� r � Q. \ ο-τ: ο (j. �()� �..('Θ "LQ.. - t.;ΥΚΛΕΙΔ ΗΣ Β' λ. τ. 1/30 � .J �ο s c.) Α σ � fi Α �v w Α \ . Α ν 4.� \..oJ 6- f">� .l ΓΑ ΝΑΦ� 1\β ιχ...e ιμ 'COJh.. � Λ S . ΝΑο r )( :s & ' �

�zw

Λ� =

� "'11

"8gτ..";);, ';_.,


Παράλληλες ευθείες - άθροισμα Ύωνιών τριΎώνου

είναι 2ω, 3ω. Α + Β + f +Δ 3 60° = 1 800 β) Οταν η διχοτόμος γωνίας είναι κάθετη σε 2 2 αΠέναντι πλευρά υπάρχει ισοσκελές τρί­ Το αντίστροφο το αφήνουμε για σας. γωνο . .Άλλη μια άσκηση με εξωτερικές γωνίες. Άσκηση 6 ..... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ Άσκηση 4 ...... (ΑΒ = ΑΓ), με Α = 20°. Στις πλευρές ΑΓ και Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ ΑΒ σημεία Δ και Ε, τέτοια ώστε παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν Ι ΑΒΔπαίρνουμε είναι το σημείο που τέμνονται οι διχοτόμοι ΔΕΓ ==30°.30° και ΑΓΕ = 20°. Να δείξετε ότι των ""' +γωνιών ""' =ΑΒΕ ""' και ΑΓΔ, να δείξετε ότι ΒΔΓ ΒΕΓ 2ΒΙΓ. Α

Λύση

Α

Β

Σχόλιο: Με μια πρώτη ματιά, βλέποντας ότι δίνονται οι τιμές των γωνιών, θα πιστεύαμε ότι κάνοντας μια σειρά από πράξεις θα βρί­ σκαμε το ζητούμενο. Και όμως πρόκειται για μια αρκετά δύσκολη άσκηση.

Γ

Είναι: B""'!r = ""'�+ χ = Α""' + χ + ψ ΒΔΓ = Α""' + 2ψ ""' ΒΕΓ = Α""'+ 2χ ""' ""' .Άρα: ΒΔΓ + ΒΕΓ = 2Α""'+ 2χ + 2ψ = 2(Α""' + χ + ψ) = 2ΒΙΓ. 0

Λύση Α

Το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου είναι 360°.

Άσκηση 5

Αν δύο απέναντι γωνίες (κυρτού) τετρα­ πλεύρου είναι ίσες, να αποδείξετε ότι οι διχο­ τόμοι των άλλων δύο γωνιών του είvαι παράλ­ ληλες και αντίστροφα.

z Β

Για να τη λύσουμε πρέπει να σχηματίσουμε ισόπλευρο τρίγωνο Δrz με ""'Ζ σημείο της ΑΒ. Φέρνουμε τμήμα ΓΖ ώστε ΒΓΖ = 20°. Τότε θα είναι ΒΖΓ = 80° = Β. .Άρα ΓΖ = ΒΓ. Είναι ΓΒΔ = 50° = ΒΔΓ, άρα ΒΓ = ΓΔ και επειδή zfΔ = 60°, το τρίγωνο zrΔ είναι ισό­ πλευρο. Έχουμε ότι ΒΓ = ΓΖ = ΖΔ. Είναι ΖΕΓ = 40° = zfE, επομένως = ΖΓ = ΖΔ και το τρίγωνο ΖΕΔ θα είναι ι-: Έστω ΑΒΓΔ το τετράπλευρο με Β = Δ και ΕΖ σοσκελές . .Άρα""'ΕΖΔ = 180° 80° 60° = 40°. , ΑΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Α και f. Για 2·ΖΕΔ = 180° - 40° = 140° να �είξ�με ότι ΑΕ // ΓΖ αρκεί να δείξουμε ό- ΖΕΔΟπότε = 700 ΓΕΔ = 700 40ο = 30ο. τι Α 1 + Ζ1 = 180°,...... (γιατί;). Είναι: ....... ....... ....... ....... Α""', + z""', = 2Α + ""'Β + Γ""', = 2Α + 2Β + 2Β + 2Γ = Λύση

Δ

Β

_

(Jtβ Γ �' n j!. � 1ΑΓ z.�v"' rι ει-eο Δ ιcC\ , '-\ εe ι...ι Af 1 Λ � \i ε J\e--= Α� ΕvκΛΕΙΔΗΣ ο· λ. τ. ιι31 tJ . �o.ιb ε;: ��v 'ϊλ A:�, A rn:.o � I\ � � r ,) \<'\ ι\ Ιtl\ ισο� Dt. ""' Av Δ&::

I.; Λ "' λ �

�ι 0 ��ι;.

� � ο�..ιι.. ""Α" �

_

_

Α

J. b e


Η συνάρτ ηση

y

α· η μ(ωχ) + β- συν(ωχ) Δημή τρης Ντρίζος

Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια ο­ μάδα συναρτήσεων - μοντέλων που παίζουν έ­ ναν ιδιαίτερο ρόλο στα Μαθηματικά και κυ­ ρίως στις Εφαρμογές τους από το χώρο της Φυσικής. Ας ξεκινήσουμε παρουσιάζοντας καταρ­ χήν την τυπική τους μορφή και έπειτα, κάπως σύντομα, τις ιδιότητές τους και τον τρόπο σχεδίασής τους. Αναφερόμαστε στις συναρτήσεις: (Σ1 ): f(x) = ρ·ημ(ωχ) (Σ2): g(x) = ρ · συν(ωχ) (Σ3): h(x) = ρ·ημ(ωχ + φ) (Σ4): τ(χ) = α·ημ(ωχ) + β ·συν(ωχ)

όπου ρ, ω θετικοί πραγματικοί αριθμοί και α, β Ο. Τις συναρτήσεις αυτές συναντούμε να πε­ ριγράφουν περιοδικές διαδικασίες στα εναλ­ λασσόμενα ρεύματα, στις αρμονικές ταλαντώ­ σεις και στη διάδοση των κυμάτων. Έτσι για παράδειγμα οι σχέσεις: V(t) V0·ημ(ωt + φ) V(t) = V0 ·ημ(ωt) l(t) = lσ· ημ(ωt) I(t) = 10·ημ(ωt + φ) περιγράφουν την τάση V και την ένταση Ι του εναλλασσόμενου ρεύματος, που διαρ­ ρέει έναν αγωγό, ως συναρτήσεις του χρόνου t, όπου: V0, 1 0: η μέγιστη τιμή τη ς τάσης και της έντασης ω: η κυκλική συχνότητα του ρεύμα­ τος και φ: η (σταθερή) αρχική φάση (για t = 0).

=

=

:;e

:;e

=

μάκρυνση χ του σώματος από τη θέση ι­ σορροπίας, η ταχύτητα υ και η επιτάχυν­ ση γ περιγράφονται αντίστοιχα ως συ­ ναρτήσεις του χρόνου t με τους τύπους: x(t) = Χ0·ημ(ωt + φ0) x(t) Χ0 · ημ(ωt) υ(t) = υ0· ημ(ωt + φ0) υ(t) = υ0·ημ(ωt) γ(t) = -γ0 · ημ(ωt + φ0) γ(t) -γ0· ημ(ωt) όπου φ0 είναι η αρχική φάση που έχουμε, αν για t Ο είναι χ Ο. Στη διάδοση των αρμονικών κυμάτων, η απομάκρυνση y ενός σημείου Ο (0 : ση­ μείο παραγωγής κυμάτων) από τη θέση ι­ σορροπίας, μπορεί να περιγραφεί με τον τύπο y(t) = Υ0· ημ(ωt) όπου Υο είναι το πλάτος της ταλάντωσης και ωt η φάση της. :;e

Λ έγοντα ς κύ μα εννοούμε κάθε δια τα ρα χή, που δια δίδεται στο χώρο, α πό σημείο σε σημείο με πεπερασ μένη τα χύτητα. Για να δημι ουργηθεί δε ένα κύμα πρέπει η πηγή ( σημείο) να εκτελ εί ταλα ντώσει ς, ·

Μετά από αυτές τις χαρακτηριστικές ε­ φαρμογές, ας δούμε από τη μαθηματική σκοπιά τώρα, κάποιες ιδιότητες των παραπάνω συναρ• τήσεων μοντέλων.

Οι συναρτήσεις f(x) = ρ·ημ(ωχ) και ρ·συν(ωχ), όπως είδατε και στην g(x) Άλγεβρα της Α' Λυκείου: (ί) ορίζονται για κάθε χ IR.. (ίί) παίρνουν ως μέγιστη τιμή τους την ρ και ως ελάχιστη τιμή τους την -ρ. Και αυτό γιατί για κάθε χ IR και ω > Ο ισχύει: -1 :;;; ημ(ωχ), συν(ωχ) :;;; 1 άρα (ισοδύναμα) -ρ :;;; ρ·ημ(ωχ), ρ·συν(ωχ) :;;; ρ, ρ θετικός. (iii) είναι περιοδικές, με περίοδο τ = 2Π . ω .Ι.. 2. Για τη συνάρτηση h(x) = ρ · η μ(ωχ + φ) έ­ - χουμε h(x) = ρ · ημ [ω(χ + ;)] , χ IR. και επιπλέον μέγιστη τιμή της h(x) είναι η ρ και ελάχιστη τιμή της είναι η -ρ. Επίσης είναι περιοδική, με περίοδο- τ = 2Πω . Τ= 2πω .: η περίοδος των V(t) και l(t). Γία τη γραφική παράσταση της h(x) θεωΣτις απλές αρμονικές ταλαντώσεις η απο1.

=

Ε

ν. ι

Ε

4

-lo - - - - - - - - - - - -

--

--

Ε

-Vo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:t Β' λ. τ. 1 /32


Η συνάρτηση y = α·ημ(ωχ) + β-συν(ωχ)

ρούμε τη συνάρτηση: k(x) = ρ·ημ(ωχ), χ IR.. Αν τώρα, αντί του χ θέσουμε χ + .!�!.ω , προκύπτει k(x + ;) = ρ·η {ω(χ + ;)] , δηλαδή ισοδύναμα k(x + ;) = h(x), χ IR.. Από την τελευταία ισότητα βλέπουμε πως η γραφική παράσταση της h(x) = ρ(ωχ + φ) προκύπτει από μία οριζό­ ντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της k(x) = ρ·ημ(ωχ) κατά .!�!.ω μονάδες προς τα δεξιά αν .!�!.ω < Ο ή κατά .!�!.ω μονάδες προς τα αριστερά αν.!�!.> ω Ο. Η συνάρτηση τ(χ) = α·ημ(ωχ) + β·συν(ωχ), μετασχηματίζεται στη μορφή: τ(χ) = ρ·ημ(ωχ + φ) με ρ = ..Jα2 + β2, συνφ = .!!ρ και ημφ. = .I!ρ . Ε

Ε

3.

Απόδειξη

Ας δούμε στη συνέχεια του άρθρου τη δια­ πραγμάτευση - προσέγγιση δύο ασκήσεων. Άσκηση 1

=

+

Δίνεται η συνάρτηση: f(x) 2ημ2χ ημ2χ, Χ Ε JR.. 1.1. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. 1 .2. Να κάνετε τη γραφική της παράσταση σε ένα διάστημα πλάτους μίας περιόδου της. Σχεδιασμός - Απάντηση

Θα μπορούσε να απαντήσει κανείς με ά­ νεση στις ερωτήσεις της άσκησης, αν η συ­ νάρτηση f(x) μπορούσε να πάρει μία μορφή σαν κι αυτή που έχουν οι συναρτήσεις (Σ.ι) μέχρι (Σ.4), που προηγουμένως είδαμε. Ας ξε­ κινήσουμε λοιπόν μία τέτοια προσπάθεια με­ τασχηματισμού της f(x). Το θεωρητικό μας "οπλοστάσιο" προς στιγμήν, δε νομίζω να μας παρέχει άλλες διεξόδους, σε σχέση τουλάχίστον με την ερώτηση ( 1 .2.). 1.1. Έχουμε: f(x) = 2ημ2χ + ημ2χ = 2ημ2χ + 2ημχ·συνχ = 2ημχ·(ημχ + συνχ) Το ημχ + έχει τη μορφή α·ημχ + β·συνχ με α = β = ι και θα το γράψουμε στη μορφή ρ·ημ(χ + φ). Είναι: ι =� ημφ =� 2 ρ = ..JΙ 2 + 1 2 =� και � τ;:; συνφ = -�1-= � 2 άρα είναι φ =�. Επομένως: ημχ + συνχ =�·η {χ +�) και f(x) = 2�ημχ·η {χ +�) = � [συν(χ - χ -�) - συν(χ + χ +�)] = � [συν�- συν(2χ +�)] = ��-�·συν(2χ +�) = ι -�·η {Ι- (2χ + �] = ι -�·η {� - 2χ ) = ι + �·η {2χ -�) ΟΠότε f(x) = ι +�·η {2( - �] , JR.. Επειδή η συνάρτηση y = �-η {2( χ -�)] ·

συνχ

Υ

{

β α

κ

χ

Έστω το σημείο Ρ(α, β) και ψ μία από τις γωνίες με αρχική πλευρά την Οχ και τελική την ημιευθεία ΟΡ. Έτσι από το τρίγωνο ΟΡΚ παίρνουμε: συνφ =.!!ρ και ημφ = .1!ρ δηλαδή (ισοδύναμα) α = ρ·συνφ και β = ρ·ημφ. Συνεπώς: τ(χ) = ρ·συνφ·ημ(ωχ) + ρ·ημφ·συν(ωχ) τ(χ) = ρ·ημ(ωχ + φ). Ο πρ οηγούμ ενος μ ετασχημ ατισμός του τύ που της συνάρ τησης τ (χ) μ ας διευκολύ νει στον πρ οσ­ διορ ι σμ ό των ακρ ότατων τη ς (μ έγιστη - ελάχιστη τιμ ή) αλλά και στη χάρ αξη της γρ αφικής της πα­ ρ άστασης.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1/33

Χ

.}

Χ Ε


Η συνάρτηση y = α·ημ(ωχ) + β·συν(ωχ)

έχει μέγιστη τιμή τη ν2 και ελάχιστη τη 4/2. προκύπτει ότι η f(x) έχει μέγιστη τιμή την Ι + ν2 και ελάχιστη την Ι -ν2.. Επίσης η f(x) είναι περιοδική με περίοδο 2π Τ = ω . όπου ω = 2. Άρα Τ = π. 1 .2. Η γραφική παράσταση της: f(x) = Ι +ν2.·ημ [2 (χ - �)J . χ Ε [Ο, π] προκύπτει διαδοχικά με τον εξής τρόπο: Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy καταρχήν φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση CΥι' Υ ι = ν2.·ημ2χ, χ Ε [0, π] Πίνακας τιμών της Υ = ν2·ημ2χ, χ Ε [0, πΙ π π 3π ο χ 4 2 τ Υ = ημ2χ ο Ι ο - Ι ο y =�ημ2χ ο � ο -...J2 ο Μετατοπίζουμε οριζόντια και προς τα δε­ ξιά την Cy1 , κατά � μονάδες και παίρνουμε έτσι την Cy2, Υ2 = νl·ημ [2 (χ - �)] . Μετατοπίζουμε, τέλος, την Cyz κατακόρυ­ φα και προς τα πάνω κατά μία μονάδα και παίρνουμε έτσι τη Cr. ι

ο

Υ

ο I

- .f2

α·ημ(ωχ) + β·συν(ωχ) με α = 1, β = Ι και με το γνωστό τρόπο βρίσκουμε: ημ2χ - συν2χ = νl·ημ [2 (χ - �)] -

Σημείωση 2η

Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f(x) μπορεί να υπολογιστεί και με τον προσδιορι­ σμό του συνόλου τιμών της f(x), που αμέσως πιο κάτω παρουσιάζουμε: Για κάθε χ Ε IR, f(x) = y <=> 2ημ2χ + ημ2χ = y· I <=> . 2 2ημ χ + 2ημχ·συνχ = y·(ημ2χ + συν2χ) <=> (2 - y)ημ2χ + 2ημχ·συνχ - yσυν2χ = Ο (Ι) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (ί) Έστω συνχ ::;:. Ο. Τότε από την ( 1 ) διαιρώ' ντας δ ια συν2χ,ισpδυναμα παιρνουμε: ' (2 - y)εφ2χ + 2εφχ - y = Ο Με y ::;:. 2 η τελευταία είναι δευτεροβάθμια ως προς εφχ με λύσεις στο IR, αν και μόνο αν Δ � Ο. Δ � 0<=> 4 - 4(2 - y)(-y) � Ο <=> 4 + 8y - 4/ � Ο <=> y2 - 2y - Ι :::;;; Ο <=> Υ Ε [Ι -νl, Ι +ν2.]. (ίί) Έστω συνχ = Ο . Τότε η ( 1 ) ισοδύναμα γράφεται: (2 - y)ημ2χ = Ο , (2). Επειδή είναι συνχ = Ο αποκλείεται να εί­ ναι και ημχ = Ο, γιατί για κάθε χ Ε IR, είναι ημ2χ + συν2χ = Ι. Έτσι από τη (2) προκύ­ πτει y = 2. Επομένως είναι φανερό ότι η f έχει σύνο­ λο τιμών την ένωση του διαστήματος [Ι - νl, Ι + νlJ με το σύνολο {2}, δηλαδή: f(x) Ε [Ι - νl, Ι + νlJ. Συνεπώς οι ακρότατες τιμές (μέγιστη - ε­ λάχιστη) της f(x) είναι οι Ι + νl, Ι - ν2 αντί­ στοιχα. •

Παρατήρηση

Προτείνουμε στους μαθητές εκείνους που έχουν διδαχτεί Διαφορικό Λογισμό να αντιμε­ - .[2 τωπίσουν τις ερωτήσεις της προηγούμενης ά­ σκησης και με τη βοήθεια των παραγώγων. Έτσι η σύγκριση των μεθόδων με τις ο­ Σημείωση lη ποίες προσεγγίστηκε το θέμα θα οδηγήσει, Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στη πιστεύουμε, σε κάποια χρήσιμα συμπεράσμα­ μορφή f(x) = Ι + νl·ημ [2 (χ - �)] και ως εξής: τα. f(x) = 2ημ2χ + ημ2χ = 2 Ι - �υν2χ + ημ2χ. Άσκηση 2 2. Θεωρούμε τις συναρτήσεις: Άρα f(x) = (ημ2χ - συν2χ) + Ι, χ Ε IR. f(x) = α·ημχ + β·συνχ, χ Ε IR και α, β Η παράσταση ημ2χ - συν2χ έχει μορφή •

::;:.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1134

Ο.


Η συνάρτηση y = α· ημ(ωχ) + Ρ·συν(ωχ)

και επειδή ο β είναι ακέραιος, διαφορετικός του Ο, προκύπτει β = I ή β = - I . Από τις ισότητες (Σ): Με β = I προκύπτει α = I ή α = -I , άρα έ­ χουμε τα ζεύγη: (α,β) = (Ι, I ) (α,β) = (-1, 1). Με β = -I προκύπτει α = I ή α = - I , άρα έχουμε τα ζεύγη: (α,β) ( 1 , - I ) (α,β) = (- I , - I ). 2.2. Από τα ζεύγη, που προηγούμενα προσ­ Απάντηση διορίσαμε, προκύπτουν για κάθε χ IR οι συ­ 2.1. Οι συναρτήσεις f(x), όπως είδαμε, μετα­ ναρτήσεις: σχηματίζονται στη μορφή f(x) = ρ·ημ(χ + φ) f2(x) = -ημχ + συνχ f1(x) = ημχ + συνχ και �παίρνουν ως μέγιστη τιμή τους τη f3(x) = -ημχ - συνχ f4(x) = ημχ - συνχ ρ = α2 + β2. Θέλουμε: Για κάθε χ IR ισχύει: να2 + β2 = -ν2 α2 + β2 = 2 α2 = 2 - β 2 f3(x) - f1 (x), f4(x) = - f2(x), και f1 (x) + f2(x) + f3(x) + f4(x) = Ο. (Σ): α = �2 - β2 ή α = -�2 β2 με 2 - β 2 Ο. Είναι: Αφήνουμε στους αναγνώστες - 2μαθητές, ως ά­ 2 - β2 β2 < 2 lβl < ν2 σκηση, την τελευταία ερώτηση .3. ---../2 < β < ν2 2.1. Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (α, β) με α, β ακέραιους, για τα οποία προκύ­ πτουν συναρτήσεις f(x) με μέγιστη τιμή την -../2. 2.2. Να αποδειχθεί ότι για κάθε χ Ε IR το άθροι­ σμα όλων των συναρτήσεων, που προκύ­ πτουν στην ερώτηση (2.1) είναι Ο. 2.3. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις όλων των συναρτήσεων, που προσδιορίσατε στην ερώτηση (2.1).

=

Ε

Ε

<:::>

<:::>

<:::>

>

--:

r

>ο

<:::>

<:::>

=

<:::>

Αχιλλέα Β. Κυριάκου

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗ

ΚυκλοφοQεί: 330 Λυμένα rενικά θέματα 4ης Δέσμης επιπέδου rενικών εξετάσεων εφ όλης της ύλης (,_: t•zi.<><i l >C'l \1'\' I :! 1 < 1 1): <ΠΙJ \'I ι ι I'Ι I J

Άλγεβρα Α · Λυκείου (2 τεύχη) • Άλγεβρα Ι η ς Δέσμης 4ης Δέσμης • Ανάλυση 4ης Δέσμης (2 τεύχη) •

Βιβλία για τους Υποψηφίους της Α ' Δέσμης, Καθηγητές, Φροντιστές. •

Άλγεβρα

Εκδοτ. Όμιλ. Συγγρ. Καθηγητών. Σόλωνος 100 Αθήνα τηλ. 3646 125. Αχιλλέας Β. Κυριάκου - Ασκληπιού 2 8 Λάρισα τηλ. (04 1) 259530 & (0495) 3 1 125 Στους Μαθηματικούς γίνεται έκπτωση 30% και δiνοvrαι δωρεάν οι λϋσεις των ασκήσεώ'V.

Δ.

Κοντογιάννη:

Δ.

Κοντογιάννη:

Άλγεβρα, τ . 1 .

Διανυσματικός Λογισμός­ Αναλυτική Γεωμετρία τ . 1 .

Δ. Κοντογιάννη-Β. Ντζιαχρήστου Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας

Βιβλιa Μοναδικά Παραγγελίες - Πληροφορίες {01) 76 42 728

Φ Υ Σ Ι Κ Ο Μ Α Θ Η Μ ΑΤ Ι Κ Ο Β Ι Β Λ Ι Ο Π Ο Λ Ε Ι Ο - Ε ΚΔ Ο Σ Ε Ι Σ

'Ά ΙΘΡΑ " Νέα διεύθυνση: Μεσολ ο γ γίου 1 - Αθήνα - τηλ. 3301269 - tax. 3302622

Κυκλοφορούν: I) Τα κλασικά πλέον βιβλία

(εκδόσεις 1 996): α) Bayytλη Σπανδάyου - Ρούλαc; Σπανδάyου: Μαθηματικά 1 ης Δέσμης, τόμοι 8. β) Bayytλη Σπανδάyου: Μαθηματικά 4ης Δέσμης, τόμοι 3. 11) Τα Best-sellers στην κατηγορία τους: γ) Gaston Aligniac: Θέματα Μαθηματικών (8η έκδοση). δ) Sergei Denidoνich: Συλλογή Ασκήσεων (6η έκδοση). 111) Προσεχώc; κυκλοφορεί: Το βιβλίο των 1 00 συyyραφtων!

Εκατό μαθηματικοί (99 ξένοι και 1 Έλληνας πανεπιστημιακός) προτεί­ νουν από ένα μικτό θέμα για τους υποψήφιους της Α' και Δ' δέσμης.


Προ σπάθεια προσ έγγισης τ η ς εννοιας του οριου ,

,

Β. Βισκαδουράκης

Τα παράδοξα του απείρου

Οτι σημαίνει ο όρος «Μαθηματικά» στο σύγχρονο πολιτισμό, το ίδιο θα μπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι σήμαινε και στην κλασσική Ελληνική Αρχαιότητα. Το «DNA» της έννοιας «Μαθηματικά», τότε δημιουργήθηκε. Στη συνέχεια έχουμε την εξέλιξη. Μεταβαλλόμενοι οι ρυθμοί της, πολυδαίδαλοι οι δρόμοι της, ασύληπτα τα όρια ή καλύτερα ανύπαρκτα τα όρια αυ­ τής της εξέλιξης, αλλά το «DNA» αμετάλλακτο. Πάνω του εγγεγραμμένα τα γνωρίσματα του δημιουργού: «0 Κρόνος που τρώει τα παιδιά του» η τάση για αυτοκαταστροφή και αναγέννηση, η τάση για διαρκή απελευθέρωση, γνωρίσματα του γεννήτορα, εγγεγραμμένα στο γενετικό κώδικα των γνfισιων «τέκνων» του. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη: Βόμβα στα θεμέλια των Μαθηματικών μα και απαρχή για στέρεη θεμελίωση, για νέα ανοίγματα, νέους προβληματισμούς ανώτερες g κατακτήσεις της ανθρώπινης λογικής. Πόσες χιλιάδες γενιές αλήθεια δεν προβληματίστηκαν μ' εκείνο .8Β το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας; «Φυσικά η χελώνα βρίσκεται διαρκώς μπροστά στην άπειρη α­ κολουθία των χρονικών στιγμών t0, t1, t2, t3, Μα τότε πώς ... τι γί­ νεται; (Ευκαιρία για προβληματισμό) Πολύ πολύ αργότερα εκείνο το παράδοξο του Galileo (όσα τα στοιχεία του συνόλου { 1 , 2, 3, 4, 5, . . . } «τόσα» και του { 1 , 4, 9, 1 6 , 25, . }) «στον ίδιο μύλο ρίχνει νερό». Ποιος είναι αυτός ο «μύλος»; Το «άπειρο». Η πηγή της δύναμης και του παραδόξου. Το κέρας της Αμάλθειας για τα Μα­ θηματικά. Ο αντίποδας του πεπερασμένου. Ο ανατροπέας της συμβατικότητας. Ο λοιδωρός της πεπερασμένης μας ζωής και λογικής. Η μαγική έννοια που τα Μαθηματικά απαιτούν να πιστέ­ ψουμε σ' αυτήν παρά τις συγκρούσεις και τις «αντιφάσεις» που δημιουργεί στην πεπερασμένη μας λογική. Παρατηρείστε την ισότητα: 1 + ! + � + i + /6 + 1 . Στο αριστερό μέλος φαίνεται κάτι να λείπει, το άπειρο που αγωνίζεται ... Στο δεξιό μέλος έχουμε το πεπερασμένο, την εκπλήρωση. Υπάρχει μια ένταση ανάμεσα στις δύο πλευρές, που με τη σειρά της δημιουργεί μία κατακλυ­ στική μαθηματική επιθυμία να γεφυρώσουμε το χάσμα μεταξύ τους . Ζητάμε να ολοκληρώσουμε αυτό που δεν είναι ολοκληρωμένο, να το συλλάβουμε, να το φυλακίσουμε και να το δαμάσουμε. Τα Μαθηματικά πιστεύουν ότι το έχουν καταφέρει. Το ακα­ τονόμαστο ονομάζεται, χρησιμοποιείται, δαμάζεται, γίνεται πεπερασμένο, αξιοποιείται. ι=­

• • •

.

.

· ·· =

Το όριο (η θέση του στα Μαθη ματ ικά)

Πρωταγrονιστής σ' αυτή τη μάχη για την «Κατεδάφιση» του απείρου είναι η έννοια του ορί­ ου. Οικειοποιούμαστε βιώνουμε το άπειρο με τη βοήθεια της έννοιας αυτής. Θά 'λεγε κανείς ότι άπειρο και όριο είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος . Κατά ευτυχή συγκυρία το όριο, οριοθετεί αυτό που λέμε Ανώτερα Μαθηματικά από τα Στοιχειώδη. Είναι θεμέλιος και αγρογωνιαίος λίθος για τα Ανώτερα Μαθηματικά. Και αν κανείς δεν εμ­ βαθύνει και δεν κατακτήσει την έννοια αυτή, σίγουρα δε μπορεί να πάει πολύ μακριά. Οι πρώτοι που «iά'βαλαν» με το άπειρο και κατάφεραν να περάσουν στη λογική του, κατα­ κτώντας ουσιώδη αποτελέσματα όρια φαίνεται να είναι οι Μεγάλοι Έλληνες Μαθηματικοί �

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1 136


Προσπάθεια προσέγγισης της έννοιας του ορίου

της Αρχαιότητας, ο Αρχιμήδης και ο Εύδοξος (καθώς και ο πατέρας της ατομικής θεωρίά.ς,.ο Δημόκριτος). Βέβαια δεν είχαν στη διάθεσή τους όλο εκείνο το θεωρητικό οπλοστάσιο χρειάζεται για συστηματική θεμελίωση της έννοιας του ορίου, παρ' όλα αυτά έφτασαν σε που επίπεδο που οι μαθηματικοί της Δύσης μόνο μετά από Ι9 αιώνες κατάφεραν να φτάσουν,τέτοιο για να ρήσουν στη συνέχεια παραπέρα, αφού πρώτα κατανόησαν τις ιδέες του Εύδοξου και τουπροχω­ Αρχι­ μήδη. ·

Γνωριμία με τη ν έννοια του ορίου

Ύστερα απ' όσα μέχρι τώρα αναφέρθηκαν, ας προσπαθήσουμε να ψηλαφίσουμε και να προσεγγίσουμε βήμα - βήμα την έννοια του ορίου. Ξέρω πως οι περισσότεροι από τους φίλους αναγν(Ι)στες μαθητές ήδη ξέρουν να υπολογίζουν όρια (ίσως και αρκετά δύσκολα π�ρίπλο­ κα). Πιστεύω όμως ότι πολλοί «έχουν δει το έργο από τη μέση και μετά» και ίσωςκαιμερικοί λουν «να δουν και την αρχή του έργου» . Γι' αυτούς συνιστάται να «ξεχάσουν» προς στιγμήν θέ­ τις τεχνικές που ήδη ξέρουν και να προσπαθήσουν «εκ των ενόντων» να απαντήσουν στις παρακά­ τω απλές ασκήσεις - ερωτήσεις. Θα χρειαστούν μόνο το «άθροισμα» των άπειρων όρων απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου:

= Ι�\} (Σ την έννοια της απόλυτης τιμής ως απόστασης στον πραγματικό άξονα, παρατηρητικότητα και

πρακτική σκέψη. Επί «τω έργω>) λοιπόν: 1. Συνεχίστε τη διαδικασία συμπλήρωσης του διπλανού σχή­ ματος με τον τρόπο που φαίνεται (προφανώς αυτή δεν τε­ λειώνει ποτέ) . Πόσο εμβαδό θα είχαν «όλω) αυτά μαζί τα σχήματα (ορθογώνια και τετράγωνα) κατά τη γνώμη σας; 2. Στον παρακάτω άξονα δίδεται ότι: ΑΒ = Ι, ΒΓ = !• ΓΔ i· Αν με το ρυθμό αυτό συνεχίσουμε «επ' άπειρο)) πόσο μήκος πάνω στον άξονα θα μπορούσαμε άραγε να καλύψουμε;

.----. - - - - τ - - ,

Η, =+ 1 τ

ι ι ι ι

ι L - ­ ι ι ι ι

: ��� ,;π :

ι- - - - - -ι

ι

+

I

ιΤ

=

Α

3.

Β

ι τ

ι τ

...

Ομοια για τις ακολουθίες: .(ι) 2'Ι 3'2 και .. 5 ΙΟ Ι7 26 37 34' S'4 6'5 (ΙΙ) 2 • 4' 9' Ϊ6' ' 6 ' ( iii) 2, 2, 2, 2, 2, ... 25 3 Μπορείτε να «μαντέψετε)) ποιον αριθμό θα προσεγγίζουν οι τιμές των συναρτησεων: (i) f με f(x) = χ + 3 χ+2 (ii) g με g(x) = 3χ + 2 χ- Ι όλο και περισσότερο (και μάλιστα όσο περισσότερο θέλουμε) το χ γίνεται όλ�� και μεγαλύτερο ξεπερνώντας κάθε θετικό πραγματικό; (δηλαδή όπωςκαθώς θα λέμε στο εξής, καθώς το χ τείνει στο +ao); · · ·

5.

Δ

Μπορείτε να βρείτε ποιον αριθμό προσεγγίζουν όλο και περισσότερο (και μάλιστα, όσο θέλουμε περισσότερο) οι ακολουθίες; (i) Ι, !• 1· i• �· . . . ( ii) 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333, . . .

( iii) 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 4.

Γ

---�- + --1- + -1 ...

ι τ

···

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. t. 1137

}


Προσπάθεια προσέγγισης της έννοιας του ορίου

6.

Δόθηκε σε ένα μαθητή μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR και του ζητήθηκε να βρεί όταν το χ είναι πολύ κοντά στο Ο τι συμβαίνει με τις τιμές της συνάρτησης f. Το μόνο που μπορούσε να κάνει ήταν ένας πίνακας τιμών, ο εξής: f(x) χ χ [!χ) ..

-Ο,Ι -Ο,ΟΙ -Ο,ΟΟΙ -Ο,ΟΟΟΙ -Ο,ΟΟΟΟΙ -Ο,ΟΟΟΟΟΙ -Ο,ΟΟΟΟΟΟΙ -Ο,ΟΟΟΟΟΟΟΙ

0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 0,9999999 0,99999999

Ο,Ι Ο,ΟΙ Ο,ΟΟΙ Ο,ΟΟΟΙ Ο,ΟΟΟΟΙ Ο,ΟΟΟΟΟΙ Ο,ΟΟΟΟΟΟΙ Ο,ΟΟΟΟΟΟΟΙ

Ι,Ι Ι ,Ο Ι Ι,ΟΟΙ Ι ,ΟΟΟΙ Ι ,0000 Ι Ι,ΟΟΟΟΟΙ Ι,ΟΟΟΟΟΟΙ Ι,ΟΟΟΟΟΟΟΙ

Τι απάντηση λέτε να έδωσε; 2 7. Μπορείτε και εσείς να βρείτε «που» εντοπίζονται οι τιμές της συνάρτησης f με f(x) = χ - Ι χ-Ι όταν το χ παίρνει τιμές πολύ-πολύ κοντά στο Ι ; 8. Το «ΠΟυ>> της προηγούμενης άσκησης το λέμε «όριο της συνάρτησης f όταν το χ τείνει στο Ι>> και το γράφουμε έτσι: lim f(x) = Μπορείτε να δώσετε ένα γενικό ορισμό για το όριο συνάρτησης; Πότε δηλαδή μπορούμε να λέμε ότι το όριο της f είναι το e όταν το χ τείνει στο χ0; Ας το δούμε μαζί αυτό αν δεν το έχετε ήδη απαντήσει . Πριν όμως φτάσουμε (και για να φτάσουμε) στον ορισμό, ένας τελευταίος προβληματισμός πάνω στην ουσία της έννοιας «όριο>> - Τι είναι τελικά το όριο; - ίσως βοηθούσε αποφασιστικά. Μήπως λοιπόν το όριο είναι μια καλή προσέγγιση; Οχι, το όριο δεν είναι προσέγγιση, εί­ ναι ακρίβεια, (πείτε το ιδανική «προσέγγισψ> - καλύτερη δε γίνεται). Οι τιμές της f προσεγγί­ ζουν (και μάλιστα όσο θέλουμε κοντά) το όριο, όμως αυτό καθ' αυτό το όριο είναι μια ακριβής και μάλιστα μονοσήμαντα ορισμένη τιμή (όταν υπάρχει, γιατί μπορεί και να μην υπάρχει(;)). Για το τελευταίο αυτό «περίεργο>> ας δούμε αν μπορούμε να εντοπίσουμε που κυμαίνονται οι τιμές της f με f(x) = ημ.lχ όταν το χ είναι πολύ κοντά στο μηδέν. 0 Έστω π.χ. ότι χ = --!0τότε το χ είναι «Κοντά>> στο Ο και η� = ημ(l0 1 π) = Ο. Ενώ αν ΙΟ · Π 0π +�) = Ι. Ι χ= ι τότε ημ.l= ημ(l01 χ 2 ιο ο. π + �2 Είναι προφανές λοιπόν ότι οι τιμές της f(x) δεν «σταθεροποιούνται» γύρω από κάποια τιμή όταν το χ είναι «γύρ@> από το Ο. Μη σας φαίνεται περίεργο, υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που δεν έχουν όριο για κανένα χ0• Αλλά ας αφήσουμε τις «παθολογικές>> καταστάσεις και ας επανέλθουμε στο ερώτημά μας: χ- ι

Χ

«Διαισθητικός» ορισμός του ορίου

Για να ισχυριστούμε ότι η συνάρτηση f(x) έχει όριο το f καθώς το χ τείνει στο χ0, τι θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι ισχύει; Νομίζω πως από τα προηγούμενα παραδείγματα αβίαστα θα μπορούσε κανείς να πει όtι: «Αν η συνάρτηση f παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο e καθώς οι τιμές του χ είναι αρκούντως κοντά στο χ0, τότε θα λέμε ότι το όριο της f(x) είναι το f καθώς το χ τείνει στο χ0.» Αυτός είναι ο γενικός ορισμός του ορίου διατυπωμένος στην καθημερινή μας γλώσσα. Α­ ποκαλύπτει την ουσία του πράγματος, αλλά δε μπορεί να λειτουργήσει παρά μόνο «πειραματικά και διαισθητικά». Η αδυναμία του έγγειται στο ότι εμπεριέχει την έννοια «κοντά», μια έννοια ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1 /38


Προσπάθεια προσέyyισης της έννοιας του ορίου

που ευτυχώς έχουμε στη διάθεσή μας εύκολο τρόπο να της δώσουμε μαθηματικό περιεχόμενο. Ας θυμηθούμε ότι στον πραγματικό άξονα οι αποστάσεις μετριούνται με τη βοήθεια της έννοιας της απόλυτης τιμής 1 1 ). Έτσι π. χ. έχουμε χ = απόσταση του χ από το Ο , και ι χ - Yl = IY - χ ι = απόσταση μεταξύ των< πραγματικών αριθμώνΙ Ιχ και y. Επίσης ι χ - Xol < δ (όπου δ θετικός) σημαί­ νει ότι η απόσταση του χ από το χ0 είναι μικρότερη από το δ οπότε παραστατικά θα έχουμε: Χο -

δ

Χο

Χο

δηλαδή το χ (χ0 - δ, χ0 + δ). Πραγματικά από γνωστό θεώρημα στις απόλυτες τιμές ισχύει: Ι χ - Xol < δ <=> -δ < Χ - Χο < δ <=> Χο - δ < Χ - Χο + Χο < Χο + δ <=> Χο - δ < Χ < Χο + δ <=> Χ (Χ0 - δ, Χο + δ). Επίσης εντελώς αντίστοιχα έχουμε: l f(x) - fl < ε <=> -ε < f(x) - f < ε <=> ( - ε < f(x) < ( + ε <=> f(x) (f - ε, ( + ε). Έχοντας αυτά κατά νου και επανερχόμενοι στο «διαισθητικό» ορισμό μας θα μπορούσαμε να τον ερμηνεύσουμε και ως εξής: «Υποπτευόμαστε>> ότι το όριο της f είναι το e, όταν το χ τείνει στο χ0; Αν ναι, τότε θα πρέ­ πει για οποιαδήποτε απόσταση, έστω ε > Ο, από το e (συνήθως πολύ-πολύ μικρή), να υπάρχουν τιμές της f που να απέχουν από το e απόσταση μικρότερη από ε. (Δηλαδή να υπάρχουν τιμές του χ (κοντά στο χ0), ώστε οι αντίστοιχες τιμές f(x), της f να ικανοποιούν αυτή την απαίτηση). Φυ­ σικά οι τιμές αυτές του χ δε θα είναι οποιεσδήποτε. Γενικά θα εξαρτώνται από το ε Ο και το κυριώτερο θα αποτελούν μια περιοχή ή γειτονιά του χ0, δηλαδή ένα ανοικτό διάστημα που θα περιέχει το χ0• Οπως επί παραδείγματι το (χ0 - δ, �ο + δ) όπου δ > Ο.10 π.χ. Αν f(x) = 3χ + 2 τότε χ-limf(x) = 5, «αφού» αν ε = 0,00 . . . 0 1 = 1 0 - τότε για: Ι 1 0-ι-ο Ι 3χ - 3 1 < ι ο-ιο 1 (3χ + 2) - 5 1 < ι ο- ι ο lf(x) - 51 < ι ο- 10• Ιχ - 1 1 < 3 και φuσικά το ε = 1 ο- Ι ο αν και είναι συγκεκριμμένος πολύ μικρός αριθμός, πάρθηκε στην τύχη. Για αποφυγή όμως οποιωνδήποτε ενστάσεων, θα μπορούσαμε να παρατάξουμε τους εξής συλλο­ γισμούς: Έστω ε τυχών θετικός πραγματικός αριθμός, οσοδήποτε μικρός. Τότε για τα εκείνα όπου: Ι χ - 11 < 1· (γιατί ειδικά 1; εδώ χωράει το «αρκούντως» του ορισμού), δηλαδή για χ ( 1 - 1, 1 + 1 ) έχουμε: IX - 1 1 < 1 βχ - 31 < 33ε βχ + 2 - 5 1 < ε lf(x) - 5 1 < ε f(x) (5 - ε, 5 + ε). Άρα limf(x) = 5. χ- ι Ας δούμε τώρα μια διατύπωση του ορισμού του l im f(x) = €, (κάνοντας χρήση της έννοιας της περιοχής σημείου), και φυσικά ισοδύναμη με τη «διαισθητική» διατύπωση που έχουμε ήδη κάνει με την προϋπόθεση ότι αναφερόμαστε πάντα πάνω στον πραγματικό άξονα. Θα λέμε λοι­ πόν ότι: Ε

Ε

Ε

χ

=

=

=

χ

Ε

=

=

=

=

Ε

χ-χο

Γενικός ορισμός ορίου «Το όριο της συνάρτησης f(x) είναι το f (όπου το f είναι κάποιος συγκεκριμένος πραγματικός ή ±οο) τότε και μόνον τότε, όταν για κάθε περιοχή S του f, υΠάρχει περιοχή Ρ του χ (όπου και το χ0 είναι πραγματικός αριθμός ή ±οο) έτσι ώστε για κάθε χ e Ρ, το αντίστοιχο f(x) να ανήκει στην περιοχή S του f.»

Ο ορισμός αυτός είναι ο πιο γενικός ορισμός σύγκλισης και στην περίπτωση που αναφερό­ μαστε σε πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής, θεωρώντας τις τρεις δυνατές πε­ ριπτώσεις για το e και τις αντίστοιχες για το Χο (δηλαδή e IR ή e = +οο ή e = και Χο IR ή χ0 = +οο ή χ0 = ) μπορούμε απ' αυτόν το γενικό ορισμό πολύ απλά να πάρουμε εννέα επιμέρους ειδικούς ορισμούς. Ε

-οο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1139

-οο

Ε


Προσπάθεια προσέγγισης της έννοιας του ορίου

Αρκεί κάθε φορά να κάνουμε κατάλληλες «μεταφράσεις>> των περιοχών S και Ρ του e και του χ0 αντίστοιχα. Έτσι π. χ. αν e Ε IR, περιοχή του e είναι κάθε ανοικτό διάστημα που περιέχει το e (ας πούμε το (- I , 5) είναι περιοχή του 4). Συνήθως για τεχνικούς-αλγεβρικούς λόγους θεωρούμε διαστή­ ματα της μορφής (f - ε, e + ε) που προσδιορίζονται από την ισοδυναμία: y Ε (e - ε, e + ε) I Y - eι < ε. Α ν επίσης το Χο Ε IR, σαν περιοχή του Χο θεωρούμε κάθε ανοικτό διάστημα Δ που πε­ ριέχει το χ0 • Και εδώ όμως για τους ίδιους λόγους όπως και πριν, θεωρούμε ανοικτά διαστήματα της μορφής (χ0 δ, χ0 + δ) με δ > Ο τα οποία και πάλι προσδιορίζονται από την ισοδυναμία: Χ Ε (Χο - δ, Χο + δ) <=> IX Xol < δ. Αν τώρα το e = +οο, δηλ. η f παίρνει οσοδήποτε μεγάλες τιμές, τότε σαν περιοχή του +οο θε­ ωρούμε κάθε διάστημα της μορφής (Μ, +οο) όπου το Μ > Ο και προσδιορίζεται από την ισοδυνα­ μία f(x) Ε (Μ, +οο) f(x) > Μ. Ενώ αν e = τότε περιοχές του e είναι τα διαστήματα της μορ­ φής (-οο, -Μ) όπου το Μ > Ο. Ανάλογα ορίζονται πάλι οι περιοχές του ±οο όταν το χ0 = ±οο. <=>

- <=>

-οο

Παράδειγμα εφαρμογής του ορισμού Για την οικονομία του πράγματος δε θα δοθούν εδώ και οι εννέα (9) ορισμοί. Αυτό αφήνε­ ται στους αναγνώστες - μαθητές σαν άσκηση. Θα δούμε όμως ένα παράδειγμα για να φανεί όσο γίνεται μέσα απ' αυτό και η παραγωγή και η εφαρμογή του κατάλληλου ορισμού. Να δειχτεί λοιπόν ότι: lim

χ- +οο

(\χ5 � χ + 4 χ +1

) = +οο.

Είναι e +οο και χ - +οο. Άρα εδώ θα πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε περιοχή S του e = +οο (άρα για την τυχούσα περιοχη του +οο), υπάρχει περιοχή πάλι του χ0 = +οο, έστω Ρ, ώστε αν χ Ε Ρ τότε f(x) Ε S. Έστω λοιπόν Μ > Ο τυχόν και έστω S = (Μ, +οο) η αντίστοιχη (και προφανώς τυχούσα) πε­ ριοχή του +οο. Γι' αυτήν θα πρέπει να προσδιορίσουμε μια περιοχή πάλι του +οο (για το χ τώρα) έστω Ρ, έτσι ώστε αν χ Ε Ρ τότε f(x) Ε S. Η Διαδικασία που ακολουθούμε είναι λίγο «ανορθόδοξη», αλλά συνηθισμένη για τα Μαθηματικά. Είναι η γνωστή «αναλυτική» διαδικασία κατά την οποία, αρχίζουμε από το συμπέρασμα και με αλυσίδα ισοδυναμιών (ή aντίστροφων συ­ νεπαγωγών (<==) , δηλαδή με το «αρκεί»), προσπαθούμε να καταλήξουμε σε κάποιο συμπέρασμα από το οποίο με την αντίστροφη πορεία να μπορούμε να φτάσουμε στο πραγματικό συμπέρασμα του ισχυρισμού από τον οποίο πρωτύτερα είχαμε ξεκινήσει. Έστω λοιπόν Μ > Ο και S = (Μ, +οο) η αντίστοιχη περιοχή του +οο και έστω f(x) Ε S τότε: 5 f(x) > Μ => χ � χ + 4 > Μ => χ5 + χ + 4 > Μ χ4+ Μ => χ4(χ - Μ) + χ + 4 > Μ χ +I και επειδή χ - +οο μπορούμε χωρίς βλάβη να θεωρήσουμε ότι χ > max {M, I } = Μ', οπότε για να ισχύει η τελευταία aνίσωση αρκεί να ισχύει η χ - Μ + χ + 4 > Μ ' και πάλι αρκεί η 2χ > Μ' + Μ ή τέλος χ > Μ ' . Αν λοιπόν θεωρήσουμε την περιοχή Ρ = (Μ' , +οο) για το χ δηλαδή χ > Μ ' τότε: χ > Μ => 2χ > 2Μ => 2χ + 4 > 2Μ => (χ - Μ) + χ + 4 > Μ => χ4(χ - Μ) + χ + 4 > Μ => 5 χ5 - Μχ4 + χ + 4 > Μ => χ5 + χ + 4 > Μ(χ4 + I ) => χ � χ + 4 > Μ => f(x) > Μ => f(x) Ε S. χ +I Έτσι λοιπόν δίδοντάς μας μία τυχαία περιοχή S = (Μ, +οο) του +οο (για τις τιμές f(x)), είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε περιοχή πάλι του +οο (για το χ) την Ρ = (Μ ' , +οο), ώστε όταν χ Ε Ρ τότε f(x) Ε S. Αυτό όμως σημαίνει ότι ισχύει ό,τι απαιτεί ο ορισμός: « lim f(x) = +οο» και το ζητούμενο χ-+οο έχει δειχτεί. Απ' ότι μπορεί να συμπεράνει κανείς η διαδικασία που προηγήθηκε για την επαλήθευση ό­ τι lim f(x) = +οο μέσω του ορισμού είναι αρκετά επίπονη και μερικές φορές δύσκολη. χ-+οο Η εξοικείωση όμως και με τέτοιες διαδικασίες πολλά μπορεί να προσφέρει στο μαθητή (υποψήφιο μεν σήμερα, φοιτητή όμως αύριο). Το ίδιο επωφελής πιστεύουμε ότι μπορεί να απο­ βεί και η ενασχόληση με τα παρακάτω θέματα (ίσως όχι πολύ συνηθισμένα) πάνω στα όρια: =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1140


Π ροσπάθεια προσέγγισης της έν\•οιας του ορίου

Προτεινόμεν α για λύση θέματα πάνω στα όρια ώστε για τα εκείνα με 1 . Έστω Βρείτε δ

χ χ ε (1 - δ , 1 + δ ) να είναι f(x) = χ2 - 3χ + 2. >Ο f(x) ε (-10-4, 1 0-4). 0 χ2 Sx 2. 'Εστω f(x) = + t 10 . Βρείτε Χ0 > Ο ώστε για χ > Χ0 να είναι f(x) > 10 1 • χ+ 3. Δείξτε με τη βοήθεια του ορισμού ότι: lim χ + 1 = x--<ex2 1 { 1 όταν, χχρητός , 4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση (Dirichlet) που ορίζεται από τον τύπο: f(x) -Ι οταν αρρητος δεν έχει όριο πουθενά. (Δηλαδή το limf(x) δεν υπάρχει για κανένα χ0 ε IR). χ-χο {3 - ,χ ότανχ ρητος χ άρρητος , 5. Έστω f συνάρτηση με f(x) = 2χ οταν . Δείξτε ότι το limσf(x) υπάρχει μόνο όχ-χ ταν χ0 = ι. Ποιο είναι το όριο αυτό; χ2 - 2χ ,όταν χ ,ρητός . Δείξτε ότι το limf(x) υπάρχει μόνο 6. Έστω f συνάρτηση με f(x) = { 3χ - 6 οταν χ αρρητος χ-χο όταν χ0 = 2 ή 3. Ποια είναι τα όρια αυτά; (Υπόδειξη: Στις ασκήσεις 5 και 6 θεωρείστε κάθε φορά ακολουθίες (<In) ρητών και (βπ) αρ­ ρήτων ώστε <In χ0 και βη χ0). 7. Έστω f: IR - IR συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση f(x + y) = f(x) + f(y) για κάθε χ, y ε IR. Δείξτε ότι αν υπάρχει το limf(x) τότε υπάρχει και το limf(x) για κάθε χ0 ε IR * . 8. Να βρείτε το όριο της f(x) όπου υπάρχει , αν για την f(x) ισχύει: (i) χ-lim(f(x) Iim 3f(x) -ι Ι = 3 (iii) lim ((χ2 - Ι)·f(x) + χ) = Ο Ι + Χ2 - 3) = 2 (ii) χ-Ι 9. Αν lim(f(x) - 2g(x)) ι και \ίιη(2f(χ) + g(x)) = ΙΙ να βρείτε τα limf(x) και ιimg(x). χ- 5 χ- 5 χ-:> χ- 5 1 10. Έστω f: IR - IR με lf(x) - (χ - 2) 9951 � (χ - 2)1996• Να βρεθεί το limf(x). χ- 2 3

-οο .

-

=

---+

---+

χ-0

Χ-+Χο

Χ -

χ--οο

=

Για περισσότερη εξάσκηση (και άρα κατανόηση) πάνω στην έννοια του ορίου ο αναγνώ­ στης μαθητής παραπέμπεται στην πραγματικά πλούσια και αξιόλογη Ελληνική Μαθηματική Βιβλιογραφία της οποίας το επίπεδο τα τελευταία χρόνια έχει ανέβει σημαντικά. Τέλος για τους αναγνώστες - μαθητές (ή και μη) με βαθύτερες αναζητήσεις τα βιβλία. Ι . «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ ΕΜΠΕIΡΙΑ» των P.J. Davis & H r sh (εκδόσεις Τροχαλία). «ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» του Δ. Α ναπολιτάνου (εκδόσεις Νεφέλη). 3. «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» του Μ. Spivak (των Πανεπιστημιακών εκδόσεων Κρήτης) πολλά μπορούν να προσφέρουν.

e

2.

·

ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ λκσρσlτητο σι 6kovς ΙCιlθΗΓΗΤΕΕ ιuu Μι/θΗΤΕΕ ΓΙΑΛΟΥΡΗΣ Διδάιcτωρ Π).ηροφοριιcής· Μσθηματucδς

Κ.

Κ.ΣτΑθΟΠΟΥΛΟΣ MSc Compuιer Sclmce •

Μσθημιmιcδς

ΠΛΗΡΟΦΟΡDm ΕΠΙΣΠΙΜΗ Π��οpιιcή Πσιδιlσ λ Ειc · 1"5

Κενrpιλ."ή διάθemι απ6 rovς ouypoιpεfι;. rιιλ:

ιj ora βιβλιοπωλεlα :

6205605. 094-507252, 94IJ516

ΕΚdΟΤ/ΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΣΥΓΓΡιΙΦΕΩΝ Κι/ θΗΓΗΤΩΝ Σ6λωvιις /00 ΕΛΕΥθΕΡΟΥιJιΙΚΗΣ Νiιαις .ι ΚΩΣΤιΙΡιΙΚΗ /πποιφάrοvς 2 Πι/Πι/ΣΩΤΗΡΙΟΥ Σrοvpνάpα JS ΣιΙ ΒΒιΙΛι/ Ζ. Πηϊ"•/ς ΙΙ λ.ΊJΙ Σ6λωνος


Η εξ ίσωση F (x) Δημήτρης Ι. �πουνάκης

Πολλές φορές εμφανίζεται για λύση το πρόβλημα της εύρεσης των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης (γ.π) μιας συνάρτησης f με τη γ.π. της αντίστροφής της (υπολογισμός εμ­ βαδών κ.λ.π). Αν Μ(χ, y) είναι ένα κοινό σημείο των γ.π. των συναρτήσεων f, Γ1 (f: 1-1) οδηγούμαστε στο σύστημα: y = f(x) Υ = f(x) f(x) = Γ1(χ) η η χ = f(y) y = f(x) y = Γ 1 (χ) Το σύστημα αυτό είναι πάντα αδύνατο όταν Α n f(A) = 0, όπου Α το σύνολο στο οποίο εί­ ναι ορισμένη η f (και είναι l-1). Γι' αυτό η ανεύρεση των κοινών σημείων των f, Γ1 έχει έννοια μόνο όταν Α n f(A) ;j:. 0, και μας οδηγεί στη λύση της εξίσωσης:

}

,

}

}

,

1 f(x) = Γ (χ ), χ Ε Α n f(A) ;j:. 0

Η γνωστή συμμετρία των γ.π. των f, Γ1 ως προς την ευθεία y = χ (διχοτόμο α', γ' γωνίας των αξόνων) καθώς και το ότι, αν η γ.π. της f έχει κοινό σημείο με την y = χ, τότε αυτό ανήκει και στην γ. π. της Γ 1 (f(ξ) = ξ = Γ1(ξ) = ξ), έχει, ίσως, ως συνέπεια - βοηθούσης και της γεωμετρι­ κής εικόνας - να δημιουργείται σύγχιση και αδιακρίτως συνάρτησης να γράφεται συχνά, f(x) = Γ1(χ) f(x) = χ, δηλαδή ότι τα κοινά σημεία των f, Γ1 βρίσκονται μόνο πό.νω στη διχοτό­ μο y = χ. Αυτό όμως δεν ισχύει πάντα, όπως θα δούμε αναλυτικά παρακάτω. Α ναφέρουμε κατ'αρχήν μερικές γενικές προτάσεις που ίσως φανούν χρήσιμες. Οι προτάσεις 2, 3, 4 δίνουν ικανές συνθήκες για τη μη ύπαρξη κοινών σημείων των f, Γ 1 , εκτός της διχο­ τόμου y = χ. =

Πρόταση 1 1 1 Αν οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ (υποτίθεται ότι ορίζεται η Γ κ.λ.π.) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, τότε αυτό ανήκει στην διχοτόμο y = χ. Απόδειξη Αν το κοινό σημείο τους, έστω (α, β), δεν ανήκε στη διχοτόμο y = χ, θα ήταν α ;j:. β και

f(α) = β, Γ 1 (α) = β, οπότε και Γ1(β) = α, f(β) = α, άρα θα είχαν κοινό και το σημείο (β, α) ;j:. (α, β), άτοπο. Άρα το κοινό τους σημείο βρίσκεται αναγκαστικά πάνω στη διχοτόμο y = χ.

Πρόταση 2 Έστω f: Α - IR μια συνάρτηση 1-1 με Α n f(A) ;j:. 0. Αν f(x) ;;;,: χ (αντίστοιχα f(x) � χ) για κάθε 1 Ε Α n f(A), τότε δεν υπάρχουν κοινά σημεία των γ.π. των f, Γ εκτός της ευθείας y = χ. χ Απόδειξη

Ας πάρουμε την περίπτωση που:

·

f(x) ;;;,: χ για κάθε χ Ε Α n f(A) Αν (α, β) κοινό σημείο των γ.π. των f, Γ1 , τότε: f(α) = β και Γ1(α) = β ή f(α) = β και f(β) = α όπου α, β Ε Α n f(A). Ομως από την ( I ) προκύπτει f(α) ;;;,: α και f(β) ;;;,: β, οπότε β ;;;,: α και α ;;;,: β, άρα α = β. Επομένως το σημείο (α, β) ανήκει στη διχοτόμο y = χ. Ομοια εργαζόμαστε αν f(x) � χ για κάθε χ Ε Α n f(A). (I)

Πόρισμα

Για να έχουν οι γ.π. των συναρτήσεων f, f -Ι κοινά σημεία, εκτός της διχοτόμου, πρέπει (χωρίς να αρκεί) η ευθεία y = χ να αφήνει εκατέρωθεν την γ.π. της συνάρτησης f. Παράδειγμα Η συνάρτηση

f(x) = (χ + I ) ex, χ ;;;,: Ο είναι γνησίως αύξουσα (γινόμενο θετικών γν. αυξουσών συναρτήσεων) , άρα l-1 και είναι f(x) ;;;,: χ + Ι > χ για χ ;;;,: Ο, δηλ. η γ.π. της συνάρτησης f βρίσκεΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1142


Η εξίσωση F(x) = F -•(χ)

ται πάνω από την ευθεία y = χ, οπότε δεν έχει κοινά σημεία με την aντίστροφή της, εκτός της ευθείας y = χ (και προφανώς ούτε πάνω σ' αυτήν). ·

Παρατήρηση Η αντίστροφη

της προηγούμενης πρότασης δεν ισχύει: π.χ. η συνάρτηση f(x) = χ2, χ � Ο, έ­ χει αντίστροφη την Γ 1(χ) = ψ, χ � Ο, και έχουν κοινά μόνο τα σημεία (0, 0), ( Ι , Ι ) πάνω στην y =χ. Ομως δεν ισχύει f(x) � χ (είτε f(x) :,;;; χ) για κάθε χ � Ο, όπως εύκολα διαπιστώνουμε. Πρόταση 3 Έστω f: Α - IR. συνάρτηση 1-1. Αν η συνάρτηση g(x) = χ + f(x), χ Ε Α n f(A), είναι 1 -1, τότε 1 οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ δεν έχουν κοινά σημεία εκτός της ευθείας y = χ. Απόδειξη

Αν Α n f(A) = 0, τότε οι γ.π. των f, Γ1 δεν έχουν κοινά σημεία. Έστω Α n f(A) * 0 και Μ(α, β) κοινό σημείο των γ. π. των f, ΓΌ Τότε f(α) = β και Γ 1 (α) = β, α, β Ε Α n f(A), ή f(α) = β και f(β) = α ή f(α) + α = α + β και f(β) + β = α + β, οπότε g(α) = g(β) ή α = β, δηλαδή το Μ(α, β) α­ νήκει στην ευθεία y = χ. Άσκηση: Δείξτε την ίδια πρόταση αντικαθιστώντας την σχέση g(x) = χ + f(x) με g(x) = xf(x). Πρόταση 4

Έστω f: Δ - IR., Δ διάστημα, μια συνεχής συνάρτηση, 1-1 και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ με Β = Δ 11 f(Δ) * 0. Αν r(x) * -1 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 δεν έχουν κοινά σημεία εκτός της ευθείας y = χ . Απόδειξη Έστω ότι οι γ.π. των συναρτήσεων f(x), Γ 1 (χ), χ Ε Β, έχουν κοινό σημείο Μ(α, β) με α * β, α, β Ε Β. Τότε β = f(α) και β = Γ1(α) ή f(α) = β και f(β) = α. ( 1 ) Από το θεώρημα μέσης τιμής του Δ.Λ. για τη συνάρτηση f(x), χ Ε [α, β] ς Δ (ή [β, α], αν β < α) υπάρχει ξ Ε (α, β) ς Δ, ξ εσωτερικό του Δ, με f(β) - f(α) = Γ(ξ) · (β - α) ή λόγω των ( 1 )

α - β = Γ (ξ)·(β - α) ή Γ (ξ) = - Ι , άτοπο, άρα α = β, οπότε το Μ ανήκει στην ευθεία y = χ.

Παρατήρηση

Οι aντίστροφες των προτάσεων 3, 4 δεν ισχύουν: π.χ. η συνάρτηση f(x) = Ι - χ2 , χ Ε (0, Ι ), έχει μοναδικό κοινό σημείο με την Γ 1 , πάνω στην y = χ (βλ. παραδ. 2 στην ενότητα 11), όμως η συνάρτηση g(x) = χ + f(x) = Ι + χ - χ2, χ Ε (0, I ) δεν είναι 1-Ι , αφού g =g - .

(i) (�) :� Επίσης, όσον αφορά την πρόταση 4, είναι: Γ (χ) = -2χ, Γ (χ) = -ι χ = � Ε (0, Ι ) = Δ <=>

(I f(Δ).

Πρόταση 5 Έστω f: (α, β) - IR. μια συνεχής και 1 -1 συνάρτηση με f((α, β)) ς [α, β). Αν η συνάρτηση 1 h(x) = f(x) - χ, χ Ε (α, β) είναι 1-1, τότε υπάρχει μοναδικός ξ Ε (α, β) με f(ξ) = ξ = Γ (ξ). Απόδειξη

Αφήνεται ως άσκηση (Υπ: Θ. Bolzano)

Πρόταση 6 Έστω f: (α, β) - IR. μια συνεχής και 1 -1 συνάρτηση με f([α, β)) ς [α, β). Αν οι συναρτήσεις 1 g(x) = χ + f(x), h(x) =-f(x) - χ είναι 1 -1, τότε οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ έχουν μοναδικό κοινό σημείο. (Βλ. και την άσκηση 10, στο τέλος). Απόδειξη ·

Αφήνεται ως άσκηση (Υπ: συνδυασμός προτάσεων 3, 5). Παράδειγμα

συνάρτηση f(x) = -χ + �. χ Ε [0, Ι] = Δ, είναι γν. φθίνουσα (Γ(χ) < 0), άρα Ι-Ι , με f(Δ) = [Vl - I , Ι] ς [0, 1]. Η συνάρτηση g(x) = χ + f(x) = � είναι 1-Ι στο Δ, ως γν. αύξουσα καθώς και η h(x) = f(x) - χ, ως γν. φθίνουσα. Άρα, από την πρόταση 6 υπάρχει μοναδικό κοινό σημείο των γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 , το οποίο βέβαια (βλ. πρόταση I ή 5) θα ανήκει στην ευθεία y = χ. Είναι, με χ Ε [0, Ι ]: Η

.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1143


Η εξίσωση F(x) = F -•(χ)

-Jf Άρα οι f, Γ ι έχουν μοναδικό κοινό σημείο το (-Jf., -Jf) f(x) = χ <=> � = 2χ <=> χ =

Ε (0,

Ι]

Για απλοποίηση του θέματος θα αναφερθούμε παρακάτω σε aντιστρέψιμες συναρτήσεις που είναι γνησίως μονότονες. Άλλωστε οι συνηθέστερες aντιστρέψιμες συναρτήσεις είναι και συνεχείς που ορίζονται σε κάποιο διάστημα. Ομως, σύμφωνα με το θεώρημα της Ανά­ λυσης, (δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο), μια συνεχής και Ι - Ι (αντιστρέψιμη) συνάρτηση που ορίζεται σε διάστημα, είναι υποχρεωτικά γνησίως μονότονη και μάλιστα: το σύνολο τι­ μών της είναι επίσης διάστημα (με άκρα τις οριακές τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος ορισμού της). Βλέπε σχετικά: Μαθηματικά Δ' Δέσμης, § 3.5 σελ. 2I l . Έχουμε λοιπόν τις παρακάτω δύο κατηγορίες:

Ι. Γνησίως Αύξουσες Συναρτήσεις

Στην περίπτωση αυτή, η γεωμετρική εποπτεία, ότι τα κοινά σημεία των f, r - ι βρίσκονται πάνω στην διχοτόμο y = χ, επαλ��θεύεται. Σχετικά έχουμε: Πρόταση 7 (Βασική) Έστω f: Α - IR., Α όχι απαραίτητα διάστημα, μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση με Β = Α () f(A) '# 0. Τότε ισχύει f(x) = Γ 1 (χ) <=> f(x) = χ, για κάθε χ Ε Β. Απόδειξη

Ως γνωστόν η f είναι Ι-Ι , άρα αντιστρέψιμη και η aντίστροφή της είναι επίσης γνησίως αύξουσα. . Έστω χ Ε Β με f(x) = χ. Τότε χ = Γ ι (χ), οπότε και f(x) = Γι(χ).

Αντίστροφα

Έστω χ Ε Β με f(x) = Γι(χ). Αν υποθέσουμε ότι f(x) > χ, τότε (λόγω Γ ι γν. αύξουσα): Γι(f(χ)) > Γ ι (χ) ή χ > Γι(χ) = f(x), άτοπο. Όμοια αποκλείεται f(x) < χ. Άρα f(x) = χ, χ Ε Β.

Πόρισμα

Αν οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ ι (f γν. αύξουσα) συμπίπτουν, τότε f(x) = χ. Δηλαδή: η συ­ νάρτηση f(x) = χ, είναι η μοναδική γνησίως αύξουσα συνάρτηση που έχει τη διχοτόμο y = χ άξονα συμμετρίας της (όταν συμπίπτουν οι γ.π. των f, Γ ι , επειδή είναι συμμετρικές ως προς την y = χ, αναγκαστικά η ευθεία αυτή είναι άξονας συμμετρίας της γ.π. της f (και της Γ ι )). Έτσι, για τη λύση της εξίσωσης f(x) = Γ ι (χ), μπορούμε να χρησιμοποιούμε την παραπάνω πρόταση 7, ιδίως όταν η απ' ευθείας λύση της εξίσωσης είναι δύσκολη ή όταν υπάρχει αδυναμία να βρεθεί η αντίστροφη της f (βλ. παραδείγματα 2, 3). 1 Παρα&είγματα προσδιορισμού κοινών ση μείων F, F 1.

2.

'

συνάρτηση f(x) =χ2 - 2χ + 2 =(χ - 1)2 + 1, χ � 1, είναι γνησίως αύξουσα• με σύνολο τιμών το f([I , +οο)) = [Ι , +οο) και αντίστροφη Γ ι :[Ι , +οο) - [Ι , +οο), Γι(χ) = Ι + ...ιχ=Ί Έτσι, βάση της πρότασης 7 έχουμε (χ � Ι ) . f(x) = Γ ι (χ) <=> f(x) = χ <=> χ2 - 3χ + 2 = Ο <=> χ = Ι ή χ =. 2 (Λύστε και απευθείας την εξίσωση f(x) = Γ ι (χ), χ � Ι ) Άρα οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ ι έχουν κοινά τα σημεία ( 1 , Ι ), (2, 2) - κάνετε τις γ.π. Η

συνάρτηση f(x) = x·ex , χ � Ο είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών το διάστημα (0, β), όΠου β = lim f(x) = +οο. x-+aoη aντίστροφή της, με πεδίο ορισμού το διάστημα (0, οο), η οποία όμως δεν είΆρα υπάρχει + ναι εύκολο να βρεθεί (η εξίσωση xex = y δεν μπορεί να λυθεί στοιχειωδώς ως προς χ). 0Η

Η

επαλήθευση των αναπόδεικτων ισχυρισμών και συμπερασμάτων αφήνεται ως άσκηση στη - μαθητή. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ . 1144

στον αναγνώ­


Η εξίσωση F(x) = F -1(χ)

μως, βάσει της πρότασης 7, έχουμε f(x) = Γ1(χ) <=> f(x) = χ <=> x·ex = χ <=> x·(ex - 1 ) = Ο <=> χ = Ο ή ex = 1 <=> χ = Ο Άρα οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 έχουν μοναδικό κοινό σημείο το (0, 0). (Η ευθεία y = χ είναι κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό των γ.π. των f, Γ1). 3. Η συνάρτηση f(x) = χ + ημχ, χ ε IR, είναι γνησίως αύξουσα (Γ(χ) = 1 + συνχ � Ο, δεν αλλάζει μονοτονία στα σημεία (2κ + 1 )π, κ ε Ζ, που μηδενίζουν την παράγωγο) και έχει σύνολο τι­ μών το (-οο, +οο). ( lim f(x) = · · · = +οο, lim f(x) = · · · = -οο) x--co Η aντίστροφή της δεν είναι εύκολο να βρεθεί, όμως: f(x) = Γ1(χ) <=> f(x) = χ <=> χ + ημχ = χ <=> ημχ = Ο <=> χ = κπ, κ ε Ζ Άρα οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 έχουν άπειρα κοινά σημεία, τα (κπ, κπ), κ ε Ζ, που βρί­ σκονται πάνω στη διχοτόμο y = χ. (Είναι και σημεία καμπής, σχήμα 1 ). X-+-+co

Υ

3π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,,

· · · · · · · · · · · · · · · ·

: r :.

/ , / , / ,

ι/

π

,

.

. . .. .. .. ..

,

, ' y=x

"' / : . /

:..;.;.'/ r-ι ,

/ ,' /.

:

.

(σχ. 1 )

: :. ο

.. . .

.

... ..

χ

Ασκήσεις Να βρεθούν τα κοινά σημεία της γ.π. της συνάρτησης f(x) = χ3 , χ ε IR και της αντίστροφής . 1. της. Απ. (0, 0), ( 1 , 1), (-1 , .,... J ) 2.

Αν f(x) = xlnx, χ � I , g(x) = ex - ι , χ ε [0, 2], να λυθούν οι εξισώσεις f(x) = Γ 1 (χ), g(x) = g- 1(x). Απ. e, 1

3.

Αν f(x) = χ5 + χ - 32, να βρεθούν τα κοινά σημεία των γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 •

Απ. (2, 2)

4. Να δειχθεί ότι η γ.π. της συνάρτησης h(t) = et/3, t ε IR, έχει δύο ακριβώς κοινά σημεία με τη γ.π. της αντίστροφής της. ΙΙ. Γνη σίως Φθίνουσες Συναρτή σεις Η πρόταση 7 που αναφέραμε παραπάνω για τις γνησίως aύξουσες συναρτήσεις, δεν ισχύει για τις γν. φθίνουσες. Για παράδειγμα: η συνάρτηση f(x) = .!., χ > Ο, είναι γνησίως φθίνουσα με Γ 1(χ) = .!., χ > Ο. χ χ Είναι f(x) = Γ1(χ) για κάθε χ > Ο, όμως f(x) = χ <=> χ = 1 , δηλαδή ένα μόνο κοινό σημείο τω� f, Γ1 βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο y = χ, το ( 1 , 1 ). •

Έτσι για τη λύση της εξίσωσης f(x) = Γ1(χ), στην περίπτωση που η f είναι γνησίως φθίνου­ σα, επιχειρούμε να τη λύσουμε απευθείας ή αν αυτό είναι δύσκολο - ιδίως όταν η Γ1(χ) δε μπορεί να βρεθεί - περιοριζόμαστε στην εύρεση του πλήθους των λύσεών της, χρησιμο­ ποιώντας τα θεωρήματα του διαφορικού λογισμού. Πάντως ας έχουμε υπόψη την παρατή­ ρηση που αναφέραμε στην αρχή: αν η f έχει κοινό σημείο με την y = χ, τότε αυτό είναι κοινό σημείο των f, Γ 1 (ανεξαρτήτως της μονοτονίας της f) καθώς και τις προτάσεις I - 6 (που έχουν περισσότερη αξία στις γν. φθίνουσες συναρτήσεις). Ας δούμε τώρα ορισμένες άλλες ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. t. 1145


Η εξίσωση F(x) = F -•(χ)

σχετικές προτάσεις. Πρόταση 8 Έστω f: Α -+ IR, μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με f(A) = Α. Αν f(x) = f -ι(χ), για κάθε χ Ε Α, τότε η ευθεία y = χ είναι άξονας συμμετρίας της γ.π. της f και έχει μ' αυτήν το πολύ ένα κοινό σημείο. Απόδειξη Αν f(x) = Γ1(χ) για κάθε χ Ε f(A) = Α, τότε οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ1 συμπίπτουν στο Α

και επειδ 1l , ως γνωστόν, είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο y = χ, η ευθεία αυτή είναι άξο­ νας συμμετρίας της γ.π. της f. Ομως η συνάρτηση g(x) = f(x) - χ, χ Ε Α, είναι γν. φθίνουσα, ως ά­ θροισμα γν. φθινουσών συναρτήσεων, επομένως έχει το πολύ μια θέση μηδενισμού. Άρα η εξί­ σωση f(x) = χ έχει το πολύ μία λύση, ισοδύναμα, η γ. π. της f έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη διχοτόμο y = χ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = l, χ Ε (0, Ι] U [2, +οο) = Α είναι γν. φθίνουσα με f(A) = Α χ l , και αντίστροφη την Γ1(χ) = χ Ε Α. χ Δηλαδή ισχύει f(x) = Γ 1 (χ), χ Ε Α = f(A), οπότε η ευθεία y = χ είναι άξονας συμμετρίας της γ.π. της f. Η εξίσωση Μ, f(x) = χ <=:> -2 = χ <=:> χ2 = 2 <=:> χ = .v2 ·χ είναι αδύνατη στο Α, άρα η διχοτόμος y = χ δεν έχει κοινά σημεία με τη γ. π. της f. ·

Πρόταση 9 (βασική) Αν f: Δ -+ IR, Δ διάστημα, μια γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση με f(Δ) 11 Δ :�: 0, τό­ τε: α) ΥΠάρχει μοναδικό σημείο ξ Ε Δ με f(ξ) = ξ, β) Οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ\ y = χ έχουν μοναδ ικό κοινό σημείο. Απόδειξη α) Έστω ότι f(x) =�: χ για κάθε χ Ε Δ. Τότε η συνάρτηση g(x) = f(x) - χ :�: Ο, χ Ε Δ, διατηρεί στα­ θερό πρόσημο στο Δ, γιατί, αν π. χ. υπήρχαν α, β Ε Δ, α :�: β, με g(α)·g(β) < Ο τότε (θ. Bolzano) η g(x) θα μηδενιζόταν για κάποιο ξ Ε (α, β) ς Δ (ή (β, α) αν β < α), άτοπο. Άρα, f(x) > χ για κάθε χ Ε Δ ( 1 ) είτε f(x) < χ για κάθε χ Ε Δ (2) Ας πάρουμε την περίπτωση ( 1 ). Έστω ένα y Ε f(Δ) 11 Δ. Τότε υπάρχει χ0 Ε Δ με y = f(x0). 0-

μως y Ε Δ, οπότε από την ( 1 ) έχουμε (f, Γ1 γν. φθίνουσες) f(y) > y <=:> Γ 1 (f(y)) < Γ 1 (y) <=:> y < Γ 1 (y) <=:> f(x0) < Γ 1 (f(χ0) <=:> f(x0) < χ0 , άτοπο, λόγω της ( 1 ) Ομοια καταλήγουμε σ ε άτοπο, στην περίπτωση (2). Επομένως υπάρχει ξ Ε Δ με f(ξ) = ξ . Το ξ αυτό είναι μοναδικό, αφού η συνάρτηση g(x) = f(x) - χ είναι γν. φθίνουσα (άθροισμα γν. φθινουσών) και επομένως δε μπορεί να έχει και άλλη θέση μηδενισμού. β) Είναι f(ξ) � ξ, ξ Ε Δ, οπότε και ξ Ε f(Δ), ξ = Γ1(ξ), άρα το σημείο (ξ, ξ) ανήκει και στην γ. π. της Γ1 , άρα είναι κοινό σημείο των γ.π. των f, Γ1 και y = χ. Προφανώς. το σημείο αυτό είναι μοναδικό κοινό σημείο των τριών αυτών συναρτήσεων, αφού είναι μοναδικό κοινό σημείο των f, y = χ. Πόρισμα

Αν μια συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα, ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ, δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία y = χ, τότε f(Δ) 11 Δ = 0 ή η f δεν είναι συνεχής. Έτσι, στην περίπτωση που η f είναι και συνεχής, τότε f(Δ) 11 Δ = 0, οπότε η γ.π. της f δεν έχει κοινά σημεία με τη γ.π. της Γ 1 • (Χρήσιμο κριτήριο). Σημείωση Η παραπάνω

πρόταση 9 εξασφαλίζει, με ορισμένες προϋποθέσεις, την ύπαρξη μοναδικού κοινού σημείου των f, Γ1 πάνω στη διχοτόμο y = χ, μπορεί όμως οι συναρτήσεις f, Γ 1 να έχουν κοινά σημεία εκτός της ευθείας αυτής. Ομως, αν (d, β), α :�: β, κοινό σημείο των f, Γ 1 , δηλαδή με f(α) = β και Γ 1 (α) = β τότε και α = Γ 1(β), α = f(β), δηλαδή και το σημείο (β, α) =�: (α, β) είναι κοιΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1 146


Η εξίσωση F(x) = F -ι (χ)

νό σημείο των f, Γ 1 • Μ' άλλα λόγια, στην περίπτωση αυτή τα κοινά σημεία των f, Γ1 (που δεν ανήκουν στην y = χ) είναι συμμετρικά ανά δύο ως προς την ευθεία y = χ, άρα είναι άρτιου πλή­ θους (αν δεν είναι άπειρα) και ανήκουν σε ευθεία κάθετη στην y = χ (με συντελεστή διεύθυνσης

- I ).

Πρότασή 10 Έστω f: Δ - IR., Δ διάστημα, μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με f'(x) < Ο για κάθε χ Ε Δ και Αν ισχύει f(x) Γ 1 (χ ) για κάθε χ Ε Δ, τότε οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ\ y χ, έχουν μοναδικό κοινό σημείο, έστω στη θέση χ = ξ, και ισχύει f(ξ) -1. Απόδειξη Η

f(Δ) = Δ.

=

= = ύπαρξη μοναδικού σημείου ξ με f(ξ) = Γ1(ξ) = ξ προκύπτει από την προηγούμενη πρότα­ ση 9( β) (αφού f γν. φθίνουσα). Είναι: f(x) = Γ1(χ) = f(f(x)) = χ, χ Δ, οπότε παραγωγίζοντας, Γ (f(χ))·Γ (χ) = I και f' (f(ξ))·f'(ξ) = I ή f'(ξ)·f'(ξ) = I ή (Γ (ξ))2 = I ή f'(ξ) = - I (Γ (ξ) < 0) (η εφαπτομένη στη θέση χ = ξ είναι κάθετη στην y = χ) Ε

Παραδείγματα προσδιορισμού κοινών ση μείων F, F 1.

2.

1

Η συνάρτηση f(x) = �. Ο � χ � I, έχει γραφική παράσταση το πρώτο τεταρτοκύκλιο του κύκλου (0, Ο) και ακτίνας I. Είναι γν. φθίνουσα με σύνολο τιμών το [0, Ι] και αντίστρο­ φη την: Γ1(χ) = �,0 � χ � I δηλαδή οι f, Γ1 ταυτίζονται και έχουν με τη διχοτόμο y = χ μοναδικό κοινό σημείο το (�· �) (� = χ = · ·· = x = �, f'(�) = -1) Η συνάρτηση g(x) = 1 - χ 1, Ο � χ � 1, είναι γν. φθίνουσα με σύνολο τιμών το [0, Ι] και αντί­ στροφη την: Είναι, (με Ο � χ � I) f(x) = f (χ) = I - χ2 =-ν- 1'1""" I - χ"": = ( I - χ2) '- = I - χ = (I - χ)·( (I - x)·(l + χ2) - I ) = Ο = · · · = χ(χ - I )·(χ2 + χ - I) = Ο = χ = Ο ή χ = I ή χ = ..β2- I Άρα οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ1 έχουν τρία κοινά σημεία: (0, I), (I, 0), (152- 1 , 152- 1 ) Τα δύο πρώτα δεν ανήκουν στην διχοτόμο y = χ, είναι όμως συμμετρικά ως προς αυτήν. (σχήμα 2) -I

Υ

,,

3.

,

,Υ,

,=,

χ

,

,

,

,

,.

,,

,,

(σχ. 2)

: ο

:

χ

συνάρτηση f(x) = ..!., χ � 1, είναι γνησίως φθίνουσα (f'(x) = 1 - χ � Ο κ .λ. π.) άρα υπάρχει η aντίστροφή της και με χ � I, είναι f(x) � f(l) =.!.e < I

Η

x e

x e

Άρα το σύνολο τιμών της δεν έχει κοινά σημεία με το πεδίο ορισμού της, οπότε δεν υπάρΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1147


Η εξίσωση F(x) = F -•(χ)

χουν κοινά σημεία των γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 • Σημείωση

Κοινά σημεία μπορεί να μην υπάρχουν και όταν Δ n f(Δ) "* 0, π. χ. όταν f(x) = ex , χ Ε IR., τότε Γ 1 (χ) = Ιηχ, χ > Ο. Είναι IR. n f(IR) = (0, +οο), όμως ex � l + χ > χ > Ο, οπότε και ex > χ > lnx, άρα (βλ. και πρόταση 2) οι f, Γ1 δεν έχουν κοινά σημεία. 4. Η συνάρτηση f(x) = -1-, x χ Ε IR., είναι γν. φθίνουσα με σύνολο τιμών το (0, 1). Είναι: ι +e

5.

e

χ

, x E IR, και -1 < Γ(x) < O, IR. n f(IR) = (O, 1 ) 7; 0, ( ι + ex) 2 qπότε βάσει της πρότασης 4, οι συναρτήσεις f, Γ1 δεν έχουν κοινά σημεία εκτός της ευθεί­ ας Υ = χ. ι _ = χ, χ Ε (0, l ) ( l ) Είναι: f(x) = χ <=> _ ι + ex ι _ - χ, χ Ε [0, 1], έχει h(O) = -1 > Ο, h(l) = --1- - ι < Ο, άρα η εξίσωση Η συνάρτηση h(x) = _ � +e 2. ι +� ( l ) έχει λύση, έστω ξ ε (0, 1 ). Η λύση αυτή είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση h(x), χ Ε [0, 1], είναι γν. φθίνουσα, ως άθροισμα γν. φθινουσών συναρτήσεων. Τελικά λοιπόν οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ1 έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το (ξ, ξ). 3 Η συνάρτηση f(x) 1 - χ , Ο � χ � 1, είναι γνησίως φθίνουσα, με σύνολο τιμών το [0, ι] και Γ(χ) = -

=

αντίστροφη την Γ1 (χ) = �ι - χ, Ο � χ � ι . Αντί να προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση, f(x) = Γ1(χ) (συνήθης τρόπος, δοκιμά­ στε) θα εργαστούμε διαφορετικά (ολίγον Αλγεβρικά!) Αν (χ, y) ένα κοινό σημείο των f, Γ 1 πρέπει: f(x) = y και Γ 1 (χ) = y ή f(x) = y και f(y) = χ ή ( l ) Ι - χ3 = y και l - / = χ, χ, y Ε [0, Ι] Με αφαίρεση των εξισώσεων αυτών προκύπτει: (y - χ)·(χ2 + xy + y2 - l ) = Ο (2) α) Αν χ = y, το σύστημα ( l ) είναι ισοδύναμο με την εξίσωση χ3 + χ - Ι = Ο (3) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = χ3 + χ - Ι , χ Ε [0, Ι] Έχουμε g(O) = -I < Ο, g(l ) = ι > Ο, άρα από το θ. Bolzano υπάρχει ξ Ε (0, ι ) με g(ξ) = Το ξ αυτό είναι μοναδικό, αφού λόγω g'(x) = 3χ2 + l > Ο η g είναι γν. αύξουσα στο [0, 1]. Άρα η ε­ ξίσωση (3) έχει μοναδική λύση ξ Ε (0, l ) που σημαίνει ότι οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ 1 έ­ χουν κοινό το σημείο (ξ, ξ) . (ξ � 0,68) β) Αν χ "* y, (σημεία (χ, y) εκτός διχοτόμου) από την (2) έχουμε χ2 + xy + y2 = ι (4) Επίσης με πρόσθεση των εξισώσεων του συστήματος ( 1 ) προκύπτει: 2 = (χ + y) · ( l + χ2 - xy + y2) ή θέτοντας χ + y = κ (0 < κ � 2, λόγω χ "* y, χ, y Ε [0, ι]) χ2 - xy + y2 = l, _ ι ( 5 ) κ Με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη των (4), ( 5) προκύπτει χ2 + y2 = !, xy = ι - ! (6) κ κ Πρέπει xy � Ο <=>Κ � l , κ � 2. Από τις εξισώσεις (6), λόγω χ + y = κ προκύπτει κ2 = + 2 ι - ή κ3 - 2κ + l = 0 ή κ3 - κ + 1 - κ = Ο ή (κ - l )·(κ2 + κ - 1) = 0

ο.

� ( �)

- I ± yS

1it [ι , 2] 2 Άρα δεκτή μόνο η τιμή κ = l , οπότε, από (6), xy = Ο <=> χ = Ο ή y = Ο Για χ = Ο από τις (6) προκύπτει y = l και για y = Ο, χ = 1 . Άρα τα κοινά σημεία των f, Γ1 είναι τα (0, ι ), ( 1 , 0), (ξ, ξ), όπου ξ η λύση της εξίσωσης (3) και δεν υπάρχουν άλλα! Οι γ.π. της f

Άρα κ = l ή κ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1148


Η εξίσωση F(x) = F -'(χ)

και της Γ1 είναι παρόμοιες με αυτές του παραδείγματος 2.

Να τις σχεδιάσετε, αφού πρώτα δείξετε ότι f(x) � Γ 1 (χ) για Ο � χ � ξ, f(x) � Γ1(χ) Ι για χ � ξ � Ι , ξ > 2" Άσκηση:

Σημείωση

Λόγω συμμετρίας ως προς την ευθεία y = χ, των χωρίων που περικλείονται από τους άξονες Οχ, Oy και των γ.π. της f, αντίστοιχα της Γ1 , αυτά έχουν ίσα εμβαδά, δηλαδή ισχύει: I

I

ο

ο

J Γ1(χ)dχ = J f(x)dx = = % τ.μ. · · ·

6.

Η

συνάρτηση h(x) = :χ' χ Ε ιο, 2] είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα με σύνολο τιμών το

h(Δ) = [h(2), h(O)] = [ l, e] και αντίστροφη την h- 1 (x) = Ι - lnx, χ Ε [ l, e] e e e] = [ l, 2] Είναι: h(x) = h- 1(x) <=> � = Ι - lnx ( 1 ) με χ Ε [0, 2] () [ l, e e � Εξετάζουμε καταρχήν αν η γ.π. της h(x) έχει κοινό σημείο με την y = χ (αν θεωρηθεί γνω­ στή η πρόταση 9 πρέπει να' χει). χ = χ <=> xex = e, χ Ε [0, 2] ·

:

Η εξίσωση αυτη εχει τη λύση χ = Ι και · επειδή η συνάρτηση g(x) = xex - e έχει g'(x) = ex + xex > Ο, χ Ε [0, 2] είναι γνησίως αύξουσα, άρα έχει μοναδική θέση μηδενισμού την χ = I . Άρα η γ.π. της h(x) έχει μοναδικό κοινό σημείο με την y = χ, το (1 , Ι). Η εξίσωση τώρα ( 1 ) έχει την λύση χ = Ι και θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = ex( l - lnx) - e, χ Ε [ l, 2] e Είναι Γ(χ) = eχ Ι - Ιnχ - χ Ε [ , 2] (2)

(

�)

i

Επίσης η συνάρτηση Κ(χ) = Ι - lnx - 1, χ > Ο, έχει Κ'(χ) = Ι --;χ , χ > Ο, άρα είναι γν. αύξουχ χ σα στο διάστημα (0, Ι], γν. φθίνουσα στο [Ι, +σο), άρα έχει ολικό μέγιστο για χ ::::: Ι ίσο με Κ( Ι ) = Ο. Επομένως Κ( Χ) � Ο για κάθε χ > Ο, με ισότητα μόνο για χ = Ι . Έτσι από την (2) συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ l, 2],. επο­ e μένως η χ = Ι είναι μοναδική θέση μηδενισμού της. Άρα η εξίσωση h(x) = h - 1(x), χ Ε [ l, 2] έχει μοναδική λύση, χ = Ι , δηλαδή οι γ.π. των h, h- 1 e έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το ( 1 , Ι ) (εφάπτονται). 7.

Η

συνάρτηση g: 10, π] - IR. με g(x)

=

.!l.t!! για Ο <

χ

χ�π

και g(O) = 1, είναι συνεχής και είναι

g'(x) = χσυνχ ; ημΧ, χ Ε (0, π] = Δ χ Επίσης για τη συνάρτηση h(x) = χσυνχ - ημχ, χ Ε Δ έχουμε h ' (x) = - χημχ < Ο, Ο < χ < π Άρα με Ο < χ < π ισχύει h(x) < Ο, οπότε g'(x) < Ο, άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διά­ στημα (0, π) και λόγω της συνέχειάς της, και στο [0, π]. Άρα έχει σύνολο τιμών το διάστημα [g(π), g(O)] = [0, Ι]. Η aντίστροφή της δεν είναι εύκολο να βρεθεί . . . Έστω (χ, y) ένα κοινό σημείο των g, g- 1 , οπότε g(x) = y και g(y) = χ, χ, y ε (0, Ι ] ς (0, π] (το σημείο (0, Ι ) δεν είναι κοινό των g, g- 1 - γιατί;) ή lli!! ,; y και .!l.!:!Y = χ ( 1 ) χ Υ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/49


Η εξίσωση F(x) = F -1(χ)

Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει ημχ = ημy και λόγω χ, y Ε (0, 1 ] ς (0! Ι ), έχουμε χ = y. Άρα τα κοινά σημεία των g, g- 1 πρέπει να βρίσκονται μόνο πάνω στην διχοτόμο y = χ. Από τις ( 1 ) με χ = y προκύπτει � = χ, Ο < χ � 1 χ Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ) = � - χ, Ο < χ � 1 . χ Είναι φ = - > Ο, φ( l ) = ημ1 - 1 < Ο

(�) � �

Άρα υπάρχει (Θ. Bolzano) ξ Ε (

�· 1 )

ς (0,

1] με φ(ξ) = Ο. Το ξ αυτό είναι το μοναδικό σημείο

μηδενισμού της φ(χ) στο διάστημα (0, 1], αφού είναι γνησίως φθίνουσα, ως άθροισμα γν. φθινουσών συναρτήσεων. Άρα οι γ.π. των συναρτήσεων g, g-1 έχουν μοναδικό κοινό σημείο το (ξ, ξ), όπου ξ η (μοναδική) λύση της εξίσωσης ημχ = χ2 στο διάστημα (0, Ι]. (ξ � 0,88). Ασκή σε ις

5. Αν f(x) = -χ 3, χ g(x) = g- 1(x). 6.

7.

Ε

IR, g(x) = -χ

+

�. χ

Ε

IR, να λυθούν οι εξισώσεις f(x) = f - ι(χ), Α π.

Ο, Ι , - Ι , <ν?ιΙ3)

Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση (γ. π.) της συνάρτησης f(x) = {ϊΞΧ, Ο < χ � 1 , έχει χ μοναδικό κοινό σημείο με τη γ. π. της αντίστροφής της. Έστω η συνάρτηση g(x) = ex( l - χ),Ο � χ � 1 . α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση g(x) = g-1(x) έχει τρεις ακριβώς λύσεις. I

I

J

J

β) Να δειχθεί ότι Γ1(χ)dχ = f(x)dx = e - 2. ο

ο

Δίνεται η συνάρτηση h(x) = συνχ - χ - 1 , χ Ε IR α) Να δειχθεί ότι έχει αντίστροφη με πεδίο ορισμού το IR. β) Να εξεταστεί αν οι γ.π. των συναρτήσεων h, h- 1 έχουν κοινά σημεία (2κπ, -2κπ), κ Ε 'll. . 9. Έστω f: Δ .- IR, Δ διάστημα, μια συνάρτηση 1-1 με f(Δ) ς Δ, συνεχής. Να δειχθεί ότι, αν η εξίσωση f(x) = Γ1(χ) έχει λύση, τότε και η εξίσωση f(x) = χ έχει λύση. Ισχύει το αντίστρο­ φο ; 10. Έστω f: [α, β] .- IR μια συνεχής και 1-1 συνάρτηση με f([α, β]) ς [α, β]. Αν οι συναρτήσεις g(x) = xf(x), h(x) = @, χ Ε [α, β] είναι l-1 , να αποδειχθεί ότι οι γ.π. των συναρτήσεων f, Γ1 χ έχουν μοναδικό κοινό σημείο. 8.

ΝΙΚΟΥ ΦΑΙΙΠΑ {2 τεύχη με τις λύσειc; των ασκfισεων) Στσ ιιεντpικfι ΙJιΙJλιοπωλdα

Για τους συν6δι:λφους μαθηματικούς +

2 λυσάρια

=

2.080

Γpdψrε " τηλεφωνήστε:

+

ταχ.

ιξοδα

Ν. Φάππαc;, Καρπάθου 1 7 Ν. Σμύρνη Τ.Κ. 17 1 23 ΑθΗΝΑ Τηλ.: 93.34.071

-

Φτιάξτε σχολείου

:Uycpρα Α' Λυκcιου

2 βιβλ{α

Ω ΡΟΛΟ Γ Ι Ο Π ΡΟΓΡΑΜΜΑ το

ωρολόγιο

σας

πρόγραμμα

( Γυμνάσιο

Λύκειο)

του με

απλό και γρήγορο τρόπο .

Το Πρόγραμμα E R M H S για P . C . , λύνει

το

αιώνιο

πρόβλημα .

Κατανομή

ωρών,

ελαχιστοποίηση κενών, προτιμή σ ε ι ς , όλοι οι

έλεγχοι ,

πρόσθεση

αφαίρεση

καθηγητή στο τελικό πρόγραμμα κ λ π . Απεριόριστοι καθηγητές - τμήματα Α ναγνώστου Βασίλης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ . 1 150

Τηλ . :

Μαθηματικός

01 43 . 1 4 . 702 ··


:CΠύp� Μικtλιμ;

• • • • • • •

• • • • • • • •

Α'

Λυκείου

Β'

Λυκείου

Γ. Σακελλαριάδης Κ. Τζιρώνης - Θ. Τζουβάρας Γ. Κόλλιας Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας Σ. Μιχέλης Μ. Γιαλλούση

Μαθηματικά

Α"

Ά. & Σ. Σαββάλας Σ. Ζήσιμος - Ν. Τσούσης Κ. Σαλτερής Σ. Ζήσιμος - Ν. Τσούσης Σ. Μιχέλης κ. Τζιρώνης - Θ. Τζουβάρας Γ. Κόλλιας Κ. Τζιρώνης - Θ. Τζουβάρας

Αέσμης

Μαθηματικά Δ' δέσμης

Πολιτική Οικονομία

• • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • •

_ _ _ � �

Κ. Τζιρώνης - Θ. Τζουβάρας Κ. Τζιρώνης - Θ. Τζουβάρας ' Γ. Κόλλιας Γ. Κόλλιας Α. Τραγανίτης Β. Κάμπος Β. Κάμπος Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας Σ. Μαρίνης - Π. Παπανικολάου Γ. Σπηλιώτης Κ. Παπαδόπουλος

Μαθηματικά Α " Αέσμης (4 τεύχη)

Πολιτική Οικονομία (Α' τεύχος)

Χημεία Α ' & Β " Ανόργανη Ανόργανη Ανόργανη Οργανική Οργανική Οργανική (2 τεύχη) Οργανική · Θέματα Οργανικής Χημεfας Η Χημεία στις εξετάσεις

Φυσικιj

Α"

·-· . ....,_., Π ""k ·ολλα -ό<

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Φυσική Ανόργανη Χημεία Ανόργανη Χημεία Οργανική Χημεία Χημεία (Ανόργανη - Οργανι κή) Άλγεβρα Γεωμετρία Μαθηματικά Δέσμης (για μαθητές Β' Λυκείου)

Ανάλυση Παράγωγοι - Ολοκληρώματα Ανάλυση Άλγεβρα-Γε·ωμετρία- Π ιθανότητες-Μ ιγαδικοί Αναλυτική Γεωμετρία (2 τεύχη) Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Μαθηματικά Π (Κωνικές τομές-Π ιθαν.-Μιγαδ.) Πίνακες - Γραμμικά συστήματα Πιθανότητες - Μιγαδικοί αριθμοί Π αράγωγοι Α' δέσμης Ολοκληρώματα Α' δέσμης Διαγωνίσματα Α' δέσμης

+θ­ ·-""

-------

Αρχ αία (Ελληνι κά του Ξ ενο φώντα) Άλγεβρ α Γεωμετ ρία Μηχανική Φυ σική PSSC (2 τεύχη) Χημεία Χημεία

& Β"

--------�

Σ. Μαρίνης - Ά. Παπαδήμας

Αέσμης

� �

_ _ _

Σ. Μιχέλης Κ . Σαλτερής Δ. & Π. Θεοδωρόπουλος Μ. Ζαννίκος ' Κ. Σαλτερής Σ . Μιχέλης Δ. Μπαμπίλης Δ. & Π . Θεοδωρόπουλος Δ. Μπαμπίλης

Αέσμης

Ενέργεια - Ορμή - Πεδία - Βολές Κυκλώματα - Επαγωγή - Εναλλασσόμενα Θερμοδυναμική - Ταλαντώσεις - Κύματα Φυσική (Ερωτήσεις Κρίσεως)

_ _ _ _ _ _

Σ . Μαρίνης - Ά. Παπαδήμας

Ά. Ά. Ά. Ά.

& & & &

_ _ _ _ _ _

Σ. Σ. Σ. Σ.

Σαββάλας Σαββάλας Σαββάλας Σαββάλας - Χ. Χρονόποuλος

:Σημείο αναφοράς στο εκπαιδευτικό tJιflλίo ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΑΒΒΑΛΑ

Ζ.

Π Η ΓΗΣ 1 8

1 06 8 1

ΑΘΗ ΝΑ ΤΗ/\. ;33. 0 1 .25 1 - 38.29. 4 1 0

FAX.

38. 1 0 .907


Ασκή σεις στις Ο ρίζου σες Σταμάτης Καλίκας Άσκηση 1

Άσκηση 5

Αν Α, Β είναι ν χ ν πίνακες με ν περιττό και Α2 + Β2 = Ο να αποδείξετε ότι οι Α, Β δεν είναι aντιστρέψιμοι.

Αν για τον ν χ ν πίνακα Α ισχύει Α2 = - Ι να αποδείξετε ότι: α) ο ν είναι άρτιος, β) ΙΑΙ = Ι .

Απόδειξη

Απόδειξη

Είναι: Α2 + Β2 = Ο <=> Α2 = -Β 2• Τότε ΙΑ2 1 = Ι-Β2 1 <=> ΙΑΙ 2 = (-1 )ν iBI 2 οπότε ο � ΙΑ1 2 = - IBI 2 � ο δηλαδή ΙΑ Ι = Ι Β Ι = ο επομέ­ νως οι πίνακες Α, Β δεν είναι aντιστρέψιμοι.

α) Α2 = - Ι οπότε ΙΑ Ι 2 = (- Ι )ν . Αν ν περιττός τότε IAI2 = -Ι άτοπο! Άρ�� ν άρτιος και

Άσκηση 2

Αν Α, Β είναι ν χ ν πίνακες με ν περιττό και ΑΒ + ΒΑ = Ο να αποδείξετε ότι ένας του­ λάχιστο από τους Α, Β δεν είναι aντιστρέψι­ μος. Απόδειξη

Είναι: ΑΒ + ΒΑ = Ο <=> ΑΒ = -ΒΑ. Τότε ΙΑΒ Ι = 1-ΒΑΙ <=> IAIIBI = (- I )v iBIIAI <=> 2 ΙΑΙ·Ι Β Ι = Ο <=> IAI = Ο ή Ι ΒΙ = ο . Δηλαδή ένας τόυλάχιστον από τους Α, Β δεν είναι aντιστρέψιμος.

IA I 2 = Ι ( 1 )

β) Α2 = - Ι <=> Α2 + 2Α + Ι = 2Α <=> (Α + 1)2 = 2Α (γιατί οι Α και Ι aντιμετατί­ θενται) Τότε IA + 11 2 = 2ν 1Α Ι δηλ. ΙΑΙ � Ο. Από την ( Ι ) προκύπτει ότι ΙΑΙ = Ι . Άσκηση 6

Αν ο Α είναι ν χ ν πίνακας και υπάρχει θετικός ακέραιος κ ώστε Ακ: = Ο να αποδείξετε ότι: α) ο Α δεν είναι aντιστρέψιμος, β) ο Α - χΙ, χ ε IR είναι aντιστρέψιμος αν και μόνο αν χ -::;; Ο. Απόδειξη

α) Ακ: = ο οπότε ΙΑκ:Ι = ο ή ΙΑΙκ: = ο ή ΙΑ I = ο δηλ. ο Α δεν είναι aντιστρέψιμος. Αν οι Α, Β είναι ν χ ν πίνακες και ο Α εί- · ναι aντιστρέψιμος να αποδείξετε ότι β) Αρκεί να δείξουμε την ισοδυναμία ΙΑ - χΙΙ = <=> χ = ΙΑΒ + 1 1 = Ι ΒΑ + 1 1 "<=" Έστω χ = Ο τότε ΙΑ - χΙΙ = ΙΑΙ = Ο Απόδειξη "=>" Έστω IA - χΙΙ = Ο. Είναι: Είναι: Ακ: - (χl)κ: = ΙΑΒ + 11 = ΙΑΒ + ΑΑ- 1 1 = IA(B + Α- 1 ). 1 = 1 1 (Α - xi)(Aκ: - Ι + Ακ: - 2(xl) + . . . + (χl)κ: - 1) Α ΙΑΙ·ΙΒ + Α- 1 = lβ + - 1·ΙΑ Ι = -χκ: I= (Α - xi)· B (όπου Β ο πίνακας της Ι<Β + Α-1 )Α I = Ι ΒΑ + 1 1 μεγάλης παρένθεσης) Άσκηση 4 Τότε ι�χκ:Ι I = ΙΑ - xi i· IBI <=> (-1 )ν(Χ κ:)ν = Ο <=> Χ = Ο Αν ')ιια τον ν χ ν πίνακα Α ισχύει I ' ' αρ� Ακ: + Ακ: + . . + Α + Ι = ο οπου κ θ ετικος Άσκηση 7 iι�ς �α αποδείξετε'ότι ΙΑ Ι = Ι . Για τον ν χ ν πίνακα Α ισχύει Α + Ατ = Ο. Απόδειξη Να αποδείξετε ότι: α) Αν ν περιττός, ο Α δεν Είναι: Ακ: + Ακ: - 1 + . . + Α + Ι = Ο οπότε είναι aντιστρέψιμος, β) 11 - Α2 1 � Ο . (Α I)(Aκ: + Ακ: - 1 + . . . + Ά + I) = Ο οπότε Άσκηση 3

ο ο.

'

-

.

.

.

.

Ακ: + 1 - 1 = 0 <=> Ακ: + Ι = I . Οπότε ΙΑΙ. κ: + I = 1 και τός είν�ι ΙΑ Ι = Ι .

Απόδειξη

επειδή κ + 1 περιτ-

α) Α + Ατ = Ο <=> Α = -Ατ

T IAI = (- Ι )ν IA I <=> IAI = - IAI <=> IAI = Ο

δηλ. ο Α δεν είναι aντιστρέψιμος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1152


Ασκήσεις στις Ορίζουσες

β) /1 - Α2 / = /(1 - Α) (I + Α)/ = / (Iτ + Ατ) (I + Α)/ = /(I + Α)τ (I + Α)/ = /1 + Α/ 2 ;;;::: Ο. Ασκηση 8

α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, α ;;�; Ο και β2 - 4αγ < Ο. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ν χ ν πίνακας Α με ν περιττό ώστε αΑ2 + βΑ + γ1 = 0. β) Αν Α είναι 3 χ 3 πίνακας με Α3 = Ι να αποδείξετε ότι /Α - 1 1 = Ο. Απόδειξη

α) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ν χ ν πίνακας Α με ν περιττό ώστε αΑ2 + βΑ + γΙ = Ο τότε διαδοχικά έχουμε: Α2 + Α + � I = O �o

{ �

] r

Α2 +.(!Α + 1.α Ι = Ο <=> α Α2 + 2 J!. Ι + (�)2 Ι = (�)2 Ι - 1. Ι <=> 2α 2α 2α α ,- 2 (Α + J!. 1 ) = β - 4αγ Ι 2α 4α2 Οπότε I Α + !α Ι 1 2 = (β2 � �αγτ · I <=> α 2 = (β2 - 4αyJ\' < Ο άτοπο! Ι Ο ""' Ι Α + J!. 1 2α 4α2 �

β) Έστω /Α - 1/ * Ο, τότε ο πίνακας Α - Ι εί­ ναι aντιστρέψιμος. Είναι: Α3 = Ι <=> Α3 - 13 = Ο <=> (Α - I)(A2 + Α + I) = Ο και αφού Α - Ι είναι aντιστρέψιμος Α2 + Α + Ι = Ο άτοπο! γιατί β2 - 4αγ = I - 4 = -3 < Ο και ν = 3 περιττός.

ει για κ = λ + I : Αλ + ι = Ι + (λ + I )Β2 (2). Πράγματι: Αλ + ι = ΑλΑ = (I + λΒ2)(1 + Β2) = Ι + (λ + l )B2 + λΒ4 = Ι + (λ + l )B 2• Με βάση την αποδεικτική μέθοδο tης μαθηματικής επαγωγής ισχύει Ακ: = Ι + κΒ2 για κάθε θετικό ακέραιο κ. ii) Για κ = 6 είναι Α6 = Ι + 6Β2• Για κ = 8 είναι Α8 = 1 + 8Β2• Οπότε: Ι + Α6 - Α8 = Ι + Ι + 6Β2 - Ι - 8Β2 = Ι - 2Β2 Θέτουμε Γ τον πίνακα Ι - 2Β2 , τότε Γ = Ι - 2Β2 <=> Β2 = (1 - Γ) οπότε:

,

!

Β = 4Ι (I + Γ2 - 2Γ) <=> Ι + Γ2 - 2Γ' = Ο <=> - Γ2 + 2Γ = Ι <=> Γ(- Γ + 21) = Ι 4

·

Άρα ο πίνακας Γ - ι = 21 - Γ

αντιστρέφεται και

Γ

·

δηλ. (I +Α6 - Α8)- ι 21 - Ι + 2Β2 = Ι + 2Β2 β) Γ = Ι - 2Β2 = Ι - 2(Α - I) = 31 - 2Α /2Α - 31/ = / -ΓΙ = -/ ΓΙ -/1 - 2Β2 / = -/1 - 2Β2 + Β4/ = -/1 - Β2 / 2 :s:;; Ο Όμως /ΓI ;;�; Ο γιατί ο Γ είναι aντιστρέψι­ μος άρα /2Α - 31/ < Ο. =

=

10 Έστω Α, Β ν χ ν πίνακες με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και ΑΒ Ο. Αν υποθέ� σουμε ότι για κάθε ν χ ν πίνακα Γ ισχύει /lv + Γ2/ ;;;::: Ο, να αποδείξετε ότι είναι ι ι + Α2κ: + Β2ρ / ;;;::: ο όπου κ, ρ Ε ΙΙ'i( (Θέμα Μαθηματικού διαγωνισμού Ε.Μ.Ε. «ΘΑΛΗΣ)) 1 994) .Άσκηση

=

Απόδειξη

Ασκηση 9

Έστω ν ένας θετικός ακέραιος και Α, Β ν χ ν πίνακες, τέτοιοι ώστε Α = Β2 + Ι και Β4 = 0. α) Να δείξετε ότι: i) Ακ: = Ι + κΒ2 για κάθε κ Ε ιr--;r* και ii) ο πίνακας Ι + Α6 - Α8 είναι aντιστρέψιμος. β) Αν ο ν είναι περιττός, να αποδείξετε ότι: /2Α - 31/ :s:;; Ο. (Θέμα γενικών εξετάσεων 1 995) Απόδειξη

α) i) Για κ = I είναι Α = Ι + Β2 που ισχύει. Υ­ ποθέτουμε ότι για κ = λ ;;;::: I ισχύει Αλ = Ι + λΒ2 (1). Θα αποδείξουμε ότι ισχύ-

Σύμφωνα με την υπόθεση: ι ι + Ακ:>2 Ι ;;;::: ο , ι ι + (Β ρ>2 Ι ;;;::: ο < οπότε: /Ι + Α2κ:Ι · Ι Ι + B2PI ;;;::: Ο <=> /1 + Α2κ: + Β2ρ + Α2κ:Βlρ I ;;;::: ο <=>

+ Α2κ: + Β22ρ + Α2κ: - ι·Α·Β·Β2ρ - ι I ;;;::: ο2 <=> /1 +Αlκ: + Β ρ + 0/ ;;;::: Ο <=> /1 + Αlκ: + Β ρ / ;;;::: Ο

ιι

11 Αν Α είναι ν χ ν πίνακας με ν περιττό και Α2 = Ο να αποδείξετε ότι: α) ο Α δεν είναι a­ ντιστρέψιμος, β) /Α - 11 < Ο < /Α + 1 / . .Άσκηση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1153

Απόδειξη


α)

β)

Α2 = Ο οπότε ΙΑI2 = Ο δηλ. ΙΑΙ = Ο ο Α δεν είναι aντιστρέψιμος. Α2 = 0 = Α2 - 1 = -Ι, τότε: IA2 - Ι Ι 1-11 I(A - l)(A + 1)1 = - I ΙA - II IA + II = -1 < 0. Επομένως IA - 1 1 Ο και ΙΑ + 11 Ο Α + Ι =�Α2 + 2 �Α + Ι = (�Α + Ι ) IA + ll = j �A + I j :;;:: 0 όμως IA + 11 Ο άρα ΙΑ + 11 > Ο. Α - Ι = -�Α2 + 2 �Α - Ι = - (�Α + I J 2 2 IA - 11 = 1- β Α + Ι ) 1 = - ι � Α + Ι 1 � Ο όμως ΙΑ - 11 Ο άρα ΙΑ - 11 < Ο. =

<=>

ΦΩΤΟΣ'ΙΟΙΧΕΙΟΘΕΣΙΕΣ • ΕkmΙΩΣΕΙΣ:

C:>

;t.

ΣΟΛΩΝοΊ:79·81 ·�· ΥΗΛ: 82S4s3 �ΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ •

ΘΑΝΑΣΗ ΞΕΝΟΥ

;t.

2

;t.

·

ΜΑθΗΜΑΠΚΑ

;t.

9ANAI.t4 r}

Άσκηση 12

ΑΛΓΕΒΡΑ - �-

: .(

··•.•····· Α' i '81 ΛYKEfOY

·

Α'! 8' ι Γ CVMNAΣIOV .

·.

Ι!.ΙΝΙΙΊΙ

Θ/Ι,t' :�;· � ..,. ., ,., '( 8AN.&llt Μ !EI'f O 'f' Μ.�.••,. . ,.

Αν Α ν χ ν πίνακας με ν περιττό και Α2 = Ι να αποδείξετε ότι: α) ο Α είναι αντι(Jτρέψιμος. β) IA + 11 :;;:: Ο, IA - 11 � Ο γ) Αν ο Α + Ι είναι aντιστρέψιμος υπολογίστε τις ορίζουσες IA I, IA + 1 1, ΙΑ - 1 1 . δ) Αν ο Α - Ι είναι aντιστρέψιμος υπολογί- . ; στε τις ορίζουσες IA I . IA + 11 , ΙΑ - 11. �f .· .ΑΝΜΥΣΗ 1 ης:-. ι�-τ.ϊ.-r , ,.,; ιομ. 1, 2,3 Απόδε ιξ η α) Α2 = Ι, IA I2 = Ι = IAI = Ι ή ΙΑ Ι = -Ι δηλ. ΙΑ Ι Ο οπότε ο Α είναι aντιστρέψιμος. β) ΙΑ + 11 = I � (2Α + 2I) I = I � (Α2 + 2Α + I) I = (�) ΙΑ + 112 :;;:: ο. ΙΑ - 11 = � -� (-2Α + 21) 1 = ι-� (Α2 2Α + I) 1 = ( �) IA 112 � ο. γ) Είναι Α2 = Ι (Α - I)(A + I) = Ο οπότε ΙΑ - 11 ΙΑ + 11 = Ο άρα IA - 11 = Ο ή IA + 11 = ο I Αν ΙΑ + 11 . Ο τότε I A - 1 1 = Ο και ακόμη αf ΔΕΣΜΗΙ, πό (β) ΙΑ + 11 (ι - ;ν ΙΑ + 11 ) = Ο άρα ιI ΔΕΣΜΗΣ ΙΑ + 11 = zv. Είναι Α2 = Ι = ΙΑ2 + Α = Α + Ι <=> Α(Α + I) = Α + οπότε ΙΑ Ι IA + 11 = IA + 11 = IAI = Ι (εφόσον ΙΑ + 11 0). Δηλαδή IAI = Ι , ΙΑ + 11 = 2' , ΙΑ - 11 = Ο. δ) Αν ΙΑ - 11 Ο τότε ΙΑ + 11 . = Ο από (β) ΙΑ - 11 (ι + ;v ΙΑ - 11 ) = Ο άρα ΙΑ - 11 = -2". A2 = I = A 2 - A = I - A = Α(Α - I) = -(Α - I) IA I IA - 11 = - ΙΑ - 11 οπότε IA I = -Ι Δηλαδή ΙΑI = -1, IA + 11 = Ο, IA - 11 = -2v.

ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΝΑΛΥΥΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

&00

.::!:�_

..ιt ...

·

;t.

_

_

<=>

_

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑθΗΜΑΥΙΚΩΝ Ι ης 6 4ης ΆΕΣΜΗΣ

Ν. ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ 1ηc;

;t.

ι

;t.

;t.

ΤΟμ.1

ΑΛΓΕΒΡΑ · 4ηc; . . .

Αf\ΓξθΡΑ. 41)ς At�c; . .

.

ΑΝΑΛΥp1 4ης Δtσμης, ι()Ι.Ι. 1,2

·


Β αδίζουμε στην . . . «Κοpψ'ή» με . . . Μαθηματική ακρίβει α ΤΥΠ ΙΗ Ο ΓΗJ ΛΙΑΗΗ\tΛΤΙ ΚΩ'\ [\\I\.\�IN-11RH(!f

� ,",.<:Λ·:::;<•

1 �;:�-'"

. ,.,:χλ<γ, J '»�χ��>λ.<: . � ,_._,...,.; #

Λ. ΑΝΑΓΝΟΥ -ΠΑτΣΙΟΜΗΤΟΥ Συλλογή ασκιίσεωJι Άλγε�ρας Β' Λυκείου

"'"'··!�··-:

Δ. ΚΕΡΑΜΥΔΑΣ

Κ. ΜlliΡΜΠΙΛΗΣ

Άλγεβρα Α 'Λυκείου

Αναλυτική Γεωμετρία

ι:ι;:ιι.ι,;,:;;.. ;,:.,;

\1ΕΛ ι:τ� !. �υ. (-\.:�1\.�.ι�..:: Ι !.\> ),._μ>jΒΠΗl: . �·Ι�Ιιt,.:;. 4. �jj�>ΨJH·J<IH, \ } :

Γ. ΠΕΖΟΣ

Β. ΠΑΠΑΓΕΩΡΠΟΥ

Μελέτη Μιγαδικών, για καθηγητές · φοιτητές και υποψήφιους ΑΕΙ, τ. Α' , τ. Β'

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΝΑΓΝΟΣ

Α1ιάλυοη για τηvΑ 'και Δ 'Δέσμη (ΣΧΗΜΑ 20.5 χ 2fi)

Γεωμετρία Α ' & Β 'Λ υκείου

Μαυρομιχάλ1z 36 & Διδότου

Μαθηματικά lης και 4ης Δ έσμης Α ' Β ' Γ Λυκείου

Θ. ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Α 1ιάλυοηΑπλά και Γενικά θέματα

Θ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ • Α. ΚΡΑΣΑΚΗΣ Ανάλυση Γ'Λυκείου

ΕΚΔΟΣΕΙΣ «Κορφή»

Τ Κ. 1 06 80 Α θήνα

Τηλ. : 33 00 202 Τηλ. / FAX: 3 6 1 1 3 8 7

ΚΕΝΤΡΙΚΉ ΔΙΆΘΕΣΗ: ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ GUTENBERG Σόλωνος 1 0 3 •

Τηλ. I FAX: 38 0 0 1 27


Το βήμα του Ευκλ είδη Η Στήλη αυτή είναι ανοιχτή σε όλους τους συναδέλφους και μαθητές για να εκφράσουν ελεύθερα τις απόψεις τους για τα μαθηματικά .

Θέμα εισαγωγικών εξετάσεων που εδόθη στη Μαθη ματική Σχολή Αθηνών, από τον καθη γητή Δη μήτ ρη Κάππο το 1953, όταν ανέλαβε την έδρα της Α­ ν άλυσης αφήνοντας έδρα στη Γερμανία Γ. Π . Τσάμης

Με το θέμα αυτό ο καθηγητής εξέφρασε τις φιλοδοξίες που είχε για την απόδοση που θα είχε η διδασ!(αλία του στο έμψυχο υλικό της σχολής . Οι επιτυχόντες το 1 953 ετίμησαν τις φιλοδοξίες του αυτές. Πρόταση: Δείξατε ότι κάθε θετικός ρητός αριθμός δύναται να παρασταθεί κατά ένα και μόνο τρόπο υπο, τη μορφη:, α ι + α2 + .α3. + · · · + αχ:· . Κ 1 ·2·3 · Π 1 23 όπου α 1 , α2 , α3, : ··· αχ: ακέραιοι με Ο � α1 , Ο � α2 < 2, Ο � α3 < 3, . . . , Ο � αχ: ι < κ - 1 και Ο < α.: < κ. Λύση (του επιτυχόντα το 1 953 υποψηφίου τότε Μιχάλη Σιγάλα του Φροντιστηρίου Σ. Κανέλ­ λου - Π. Μάγειρα, ο οποίος είχε συνεργασθεί μαζί μου σε μαθήματα άλγεβρας από τα «Θέματα Άλγεβρας» Π. Μάγειρα. Πτυχιούχος Μαθηματικός και Πολιτικός Μηχανικός) Έχουμε εδώ μέτρηση του ρητού ορίζοντας τον πληθικό αριθμό α 1 των μονάδων του και συνέ, , , , , 1 1 1 1 } οπου ' χεια μετρηση του μη ακεραιου του με ρους στο συμμιγες συστημα { 2. . • . . , . . . , . . . · 23 234 2J κ και τελικά θα κλείσει η μέτρηση (ειδική περίπτωση ο ρητός = ' ότι Ο < ακ < κ) και ζη -

� 1 .2��. ·κ

τείται και το μονότροπο . .

Η Λύση

Έχουμε:

υκ - ι , α2 α3 β , φτανουμε - α ι + 2 και ετσι συνεχεια + 2. 3 + · + 2. 3 .αχ: . ·(κ- ι_ 1 ) + 2. 3 . . ·(κ _ 1 ) ,

_

· ·

υκ - ι Κ· -(και ήρθε η ώρα β = κ αν δεν είχε συμβεί νωρίτερα) = α1 + α2 + � + . . . + · αχ:-Κ ι + · Κβ -Κ 2 2·3 2 3· · ·( - 1) 2·3 · ·( - 1) , α υ ιδ , ο , λεισε) � ακ (και εκ -ι (και επε η κ = β ειναι κ · κ- ι = ακ + με ακ = υκ - ι) = α1 +. 2 + 2.33 + · · · + 2.3·ακ τ β · ·(κ - 1) + 2.3 . . . κ Σημείωση: Η λύση αυτή είναι δυνατή από καλλιεργημένους μαθητές από 6ης δημοτικού έως και υποψηφίους και καλλιεργημένους καθηγη τές (για να μη λέμε ούτε μεγάλες κουβέντες αλλά ούτε να κρυβόμαστε). Το μονότροπο ελύθηκε από το λύτη με τη μέθοδο «του πρωτοσκαλώνει» της εις άτοπον και είναι μόνο για κατάλληλα προπαρασκευασμένους υποψηφίους. Παρατήρηση: Το θέμα σε επιλογή, ακριβολογία και σαφήνεια ήταν ισάξιο των θεμάτων που έ­ διναν στο πολυτεχνείο οι καθηγητές Ν. Κριτικός και Φ. Βασιλείου. Οι Έλληνες καθηγητές Ν. Κριτικός, Φ. Βασιλείου και Δ. Κάππος ήταν αγαπημένοι μαθη­ τές του Κ. Καραθεοδωρή. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1/56


� ΕΚΔΟΣΕΙΣ ��·11i1'8

Μπaλόγλου 5. 546 29. Θεσσαλονίκη Τηλ. (03 1 ) 524.987 , Fax: 554.426

1ης

δέ σ μ η ς

"'Γπ.iι;φ;

Τα

fiΕ.ΤΙΙΙά !Jiμaτa Ι<Ρ!JpψίJουιι THII αΙΙάj10f κ-ια ω,rιωφιμiιιο eπiπUlo 8οΗ!JΗμάrwιι

QΜΙΙ-Μ§

Εισαyωγήσφ

---

Ανάλυση

.. - ... -�

' Δ Δέομη

Μ··-·-

.. _ ... __

Ό..{α 61Jμfιι#Ο μe. τα ewa..{vrιl<li πpοtpάμματα m πφιόδου '1995-96 ·

Για καθηγηιές: Η σειρά των 5 βιβλίων της 1 ης Δέσμης 1 0.450 δρχ. Η σειρά των 3 βιβλίων της 4ης Δέσμης 5.800 δρχ.

συν έξοδα αντικαταβολής και ΔΩΡΕΑΝ λυσάρια και ΔΩΡΕΑΝ ια βιβλία των θεμάτων που κυκλοφορούν αντίστοιχα Δεκέμβριο και Ιανουάριο

ΕΡΓΑ ΤΟ Υ /Δ /Ο Υ

• • •

Γεωμετρία Α' Λυκείου Άλγεβρα Α' Λυκείου Άλγεβρα Β' Λυκείου

1(1/ιt/

Μαθημαιικά Α', Β', Γ' Γυμνασίου


Ένα πρόβλημα πολλές λύσ εις Επιμέ λεια: Νίκος Στάθη Παπαδόπουλος

Άσκηση 1 4η (Λάβαμε από το συνάδελφο Γιώργο Τσαπακίδη, Αγρίνιο) . Η Ταυτότ ητα τ ου Euler

όλους τους αριθμούς α, β, γ ισχύει α3+ β3+y3-3αβγ= (α+ β+γ)(α2 +β2+γ2-αβ-βγ-γα) 1 η ιιπίι&ηtη (με εκτέλεση πράξεων στο 2ο μέλος) Είναι (α+β+γ)( α2+β2+γ2-αβ-βγ-γα) = α3+αβ2+αγ2-α2β-αβγ-γα2+βα2+βJ+βγ2-αβ2-β2γ-αβγ+ + γα2 + γβ2+γJ-αβγ- βγ2-γ2α =αJ+βJ+γJ-3αβγ. 2η ιιπδΜι.Ξ.η (με κύβο αθροίσματος και άθροισμα κύβων) (α+β)J=αJ+βJ+3αβ(α+β), άρα Είναι α3+β3=(α+β)J- 3αβ(α+β), έτσι αJ+β3+γJ- 3αβγ =(α+β)J+γJ-3αβ(α+β)-3αβγ = (α+β+γ)[(α+β)2-(α+β)γ+γ2]-3αβ(α+β+γ) =(α+β+γ)(α2+2αβ+β2-αγ- βγ+γ2-3αβ) =(α+β+γ)( α2+β2+γ2-αβ-βγ-γα) 3η απόδει:Ξ.η (με κύβο αθροίσματος τριών προσθετέων) (α+β+γ)J=αJ+βJ+γJ+ 3α2β+ 3α2γ+ 3β2α+ 3β Ζγ+3γ2α+ 3γ2β+6αβγ Είναι αJ+β3+γJ-3αβγ=(α+β+γ)J- 3α2β-3α2γ-3β2α-3β2γ-3γ2α-3γ2β-9αβγ= άρα =(α+β+γ)J-(3α2β+ 3αβ2+ 3αβγ)-(3α2γ+ 3αγ2+ 3αβγ)-(3β2γ+ 3βγ2+ 3αβγ)= =(α+β+γ)3-3αβ(α+β+γ)-3αγ(α+β+γ)-3βγ(α+β+γ)= =(α+β+γ)[(α+β+γ)2..3αβ-3αγ-3βγ]=(α+β+γ)(α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2γα-3αβ-3αγ-3βγ)= =(α+ β+γ)( α2+ β2+γ2-αβ-βγ-γα) 4η απόδει::.ιι (με ταυτότητα Νεύτωνα) Είναι (χ-α)(χ-β)(χ-γ)=χJ-(α+β+γ)χ2+(αβ+βγ+αγ)χ-αβγ ( l ) Αν στην ( l ) και στη θέση του χ θέσουμε διαδοχικά α, β , γ παίρνουμε : Ο=α3..(α+β+γ)α2+(αβ+βγ+γα)α-<Χβy Ο=β1-{α+β+γ)β2+(αβ+βγ+γα)β-αβγ Ο=γ3..(α+β+γ)γ2+(αβ+βγ+γα)γ-<Χβy με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : Ο=α3+βJ+γJ-(α+β+γ)(α2+β2+γ2)+(αβ+βγ+γα)(α+β+γ)-3αβγ <::::::> αJ+βJ+γJ-3αβγ=(α+β+γ)(α2+β2+γ2)-(αβ+βγ+γα)(α+β+γ) =(α+β+γ)(α2+β2+γ2-αβ - βγ-γα) 5η ιιπδδ::ι.Ξ.η (με διαίρεση) Έχουμε : Για

α3- 3αβγ+β3+γ3 -αJ-α2β-α2γ

α+β+γ

-(β+γ)α2-3αβγ+β3+γ3 (β+γ)α2+(β+γ) 2α [- 3βγ+(β+γ )2) α+βJ+γ3 -[-3βγ+(β+γ)2) α-(β+γ)(β2+γ2- βγ)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1158


------- 'Ενα πρόβλημα πολλές λύσεις <=>

-------

α3+ β J +γJ-3αβγ=(α+β+γ)( α2+β 2+γ2-αβ- βγ-γα)

ΣΧΟΛ ΙΑ

Ο Euleι- ( 1 707 - 1 783) είναι μεγάλος πολυγραφότατος Ελβετός μαθηματικός με σημαντικότα­ τες συνεισφορές στην Αναλυτική Γεωμετρία - Θεωρία Αριθμών και Ανάλυση. Εισήγαγε τα σύμβολα π, e, i, Σ. Είναι γνωστός στα Λυ­ κειακά μαθηματικά από τις προτάσεις του για : •

την ευθεία του Euler τον κύκλο των εννέα σημείων τον τύπο Κ+Ε=Α+2 για τα πολύεδρα την ταυτότητα που αποδείξαμε. Επειδή α2+β2+γ2-αβ- βγ-αγ= f [(α- β)2+(β-γ)2+(γ-α)2] *

* *

*

από την ταυτότητα του Euler έχουμε αJ+β J +γJ-3αβγ= t (α+β+γ)[(α- β)2+(β-γ)2+(γ-α)2) ( l ) *

*

Αν α+β+γ=Ο τότε από την ( l ) παίρνουμε α3+β3+γ3=3αβγ Αν α3+β3+γ3=3αβγ τότε (I)<=> f (α+β+γ)[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2]=0 <=> α+β+γ=Ο ή α=β και β=γ και γ=α <=> α+β+γ=Ο ή α=β=γ

I

Έτσι α3 +β3+γ3=3αβγ <=> α+β+γ=Ο ή α=β=γ *

*

Αν α � Ο και β � Ο και γ � Ο τότε από την (l) παίρνουμε αJ+β3+γJ-3αβγ � Ο

<::::>

Αν θέσουμε α= � , β= ifψ και γ= Vz τότε η (2) γίνεται χ+ψ+z� 3 � <=>

α3+β3+γ3� 3αβγ (2)

χ+ψ+z

3

v;ψ;.

(3)

Α ν στην (3) στη θέση του χ θέσουμε το .!._ , στη θέση του ψ το .!._ και στη θέση του z το .!._ τότε η (3) γίνεται

l '

.l l + +z Ψ

3

χ

�3-

ψ

χψz

Από τις (3) και (4) παίρνουμε : , Αν χ, ψ, z>Ο τοτε

3

l + .l + l χ

ψ

z

χ+ψ+z l c= � -....;. � \fxψz -.__

(5)

3

είναι ειδική περίπτωση της γενικότερης ανισότητας που λέει : ο μέσος γεωμετρικός ν θετικών αριθμών περιέχεται μεταξύ του μέσου aρμονικού και του μέσου αριθμητικού τους, δηλ. :

Η (5)

(6) Σε επόμενο τεύχος θα δοθούν τουλάχιστον επτά αποδείξεις της (6)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1159

z


Επιμέλεια: Νίκος Παπαδόπουλος - Γιάννης Τυρλής

Δημοσιεύουμε τις λύσεις των ασκήσεων Β 1 (τεύχος ιs) Β2, Α7, Α8 , Γ2, Γ3 (τεύχος ι6). Στο ε­ πόμενο τεύχος θα δοθούν οι λύσεις των ασκήσεων του τεύχους ιs καθώς και προτεινόμενες α­ σκήσεις. Άσκηση 81 τ εύχος 1 5

Δείξτε (χωρίς χρήση παραγώγων) ότι: για κάθε χ Ε IR ισχύει: ex > χ. Λύση

Προφανώς για χ � Ο ισχύει ex > χ. Ακόμα επειδή είναι e > 2, για κάθε ν Ε Ν ισχύει: ev > 2ν � ν + ι > ν (Αν. Bernoulli) (2), Ο < χ0 < ν Έστω ότι υπάρχει χ0 Ε IR με exo � χ0 (3) ώστε να ισχύει: ' ' τοτε εχουμε: ο < χ0 < ν <=>e0 < e < e <=> ι < e < e , οπότε λόγω της (3) θα είναι: ι < χ0 < ν από την οποία λόγω των (2), (3) προκύπτει: e < exo < ν (4) 2 < χ0 < ν και άρα είναι: διαδοχικά με όμοιο τρόπο από τις ( 1 ) και (4) προκύπτει: ν < χ0 < ν, που είναι άτοπο. ..

Χο

ν

Χο

(1)

ν

Γ. Τσικαλουδάκης

Άσκηση 82 Τεύχος 1 6

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α > 90°, η διάμεσός του ΑΜ και το ύψος του ΒΔ. Αν ΑΒ2 ΑΔ·ΑΓ δείξτε ότι (ΑΒΓ) = ΑΒ·ΑΜ =

......

..,.....

Γ. Κατσούλης

ι ιι Λύση

Στο ΑΒΓ (Α > 90°) οπότε από γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι: ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 + 2ΑΓ·ΑΔ ( 1 ) Α Μ διάμεσος άρα ΑΒ 2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + 8 2 (2)

f

Δ

Β

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' λ. τ. 1/60

Γ


Στις ασκήσεις λέμε ΝΑΙ!

<=>

<=> <=>4 <=>

2 2 2 = 2(ΑΜ2 + ΑΒ2) ΒΓ = ΑΜ2 + ΑΒ2 Από ( I ) (2) έχουμε : ΒΓ2 = 2ΑΜ 2 + ΒΓ + 2ΑΒ2 ΒΓ 2 2 4 2 2 2 + ΑΜ .l ΑΒ ΒΜ = ΑΜ ΑΒ (ΑΒΓ) = 2(ΑΒΜ) = 2 ΑΒ·ΑΜ (ΑΒΓ) = ΑΒ·ΑΜ Έχουμε:

,

211

Γ. Κατσούλης

Λύση Φέρουμε το ύψος ΓΕ, οπότε το ΒΔΕΓ είναι εγγράψιμο, άρα ΑΒ·ΑΕ = ΑΔ·ΑΓ = ΑΒ2, οπότε ΑΕ = ΑΒ και επειδή Μ μέσο της ΒΓ, θα είναι ΓΕ = 2ΑΜ. Άρα: (ΑΒΓ)

=

<=>

4 ΑΒ·ΓΕ = 4 ΑΒ·2ΑΜ ή (ΑΒΓ) = ΑΒ·ΑΜ.

Καρπάθιος Στέλιος - Μαθηματικός

Ε

3'1

Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά μήκος ΜΘ = ΜΑ. Άρα το τετράπλευρο ΑΒΘΓ είναι παραλ­ ληλόγραμμο, γιατί οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Η δοθεί­ σα ισότητα γράφεται: ΑΒ = ΑΓ η ΑΒ = ΑΓ Δ Α Γ ΑΔ ΘΓ ΑΔ ΑΒ Επειδή ΜΓ = ΑΒΘ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΓ και ΒΘ που τέμνονται από την ΑΒ) και ΑΒΘ = ΑfΘ = <;; , ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΘ θα είναι όμοια και Δ = Θ = 90° δηλαδή ΒΑΘ = ΑΘΓ = 90°. Ομως (ΑΒΓ) = 2(ΑΜΒ), γιατί η ΑΜ είναι διάμεσος. Άρα (ΑΒΓ) = 2 (ΑΒ) (ΑΜ).

.... ....

Είναι:

,

"[SS<\

·

..... .....

4

Γιάννης Σταματογιάννης - Μαθηματικός

4'1

Γ

Λύσ η

4

(ΑΒΓ) = ΑΒ·ΓΕ (2) (όπου ΓΕ το αντίστοιχο ύψος) Για να δειχθεί η ( I ) αρκεί λόγω της (2) να δειχθεί ΓΕ = 2ΑΜ. ___;�---� Β Επειδή Ε = Δ = 90° τότε το τετράπλευρο ΔΒΓΕ είναι εγγράψιμο και Ε ι:ι.._ θα ισχύει: ΑΒ·ΑΕ = ΑΔ ·ΑΓ. Επίσης ΑΒ2 = ΑΔ·ΑΓ (δεδομένο). Επο­ μένως: ΑΒ·ΑΕ = ΑΒ2 ή ΑΕ = ΑΒ δηλ. Α μέσον της ΒΕ. ΑΜ = ΓΕ ή ΓΕ = 2ΑΜ (3) Στο τρίγωνο ΒΓΕ, Α μέσο της ΒΕ, Μ μέσο της ΒΓ, οπότε: 2 Τότε από τη (2) λόγω της (3) έχουμε: (ΑΒΓ) = ΑΒ·2ΑΜ _ _

Άρα (ΑΒΓ) = ΑΒ·ΑΜ. (παρατήρηση ΜΑ .l ΑΒ).

4

Γεώργιος Κουτσοδήμας - Μαθηματικός - Πάτρα έσ Λύση τ ει λαν και οι συνάδελφοι Θανάσης Μπε ληγιάννης και Χρ. Στέλλας

Άσκηση Α7 (Γεωμετρ ία Α' Λυκείου)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει f = 90°

,.- f.. 3

.

Φέρουμε ΓΕ .l ΑΒ και τη ΓΖ κάθετη

Α. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να δειχθεί ότι ΓΕ ΜΖ. «Το δεδομένο «f = 90° - f περιορίζει την άσκηση σε αμβλυγώνιο τρίγωνο στο Β. Μπο-

στη διχοτόμο της

,...

.l

Από τον συνάδελφο Θ. Κυpιακόπουλο που πρότεινε την άσκηση λάβαμε το παρακάτω σχόλιο. 3 »

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1161


Στις ασκήσεις λέμε ΝΑΙ!

ρούμε βέβαια και χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το δεδομένο αυτό να λύσουμε την άσκηση για ο­ ποιοδήποτε τρίγωνο. Η επιπλέον αυτή υπόθεση δίνει τη δυνατότητα για περισσότερες λύσεις». 1 '1 Λύση

Α

Είναι: Γ = 90° - 3Α ή Α + Β + Γ = Α + Β + 90° 2 .......

.......

-

J2A

ή

αρα Β αμβλεία. Στο ορθογώνιο ΒΕΓ η ΕΜ διάμεσος, άρα: ΜΕ = ΜΓ ( 1 ) Είναι ΑΈΓ = ΑΖΓ = 90° οπότε ΑΕΖΓ εγγράψιμο, επομένως Ε; = Α2 = Α, = f; , άρα: ΖΕ = ΖΓ (2) Από τις ( 1 ) και (2) έχουμε ότι ΜΖ μεσοκάθετος του ΕΓ. Παpατήpηση: Η παραπάνω σχέση ισχύει και χωρίς τον περιορισμό Γ = 90° ..,.

3�.

Καρπάθιος Στέλιος - Μαθηματικός

2'1 Λύση

Α

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο γιατί: Γ = 90°

- 32Α

ή

ι sοο - Α

>

-

Β = 90° 3Α ή 2 -

Β = 90° + Α άρα Β 90°. 2 Το τρίγωνο ΑΓΘ είναι ισοσκελές γιατί η ΓΘ είναι κάθετη στη διχοτόμο της Α. Συνεπώς ΓΖ = ΖΘ. Επειδή ΓΜ = ΜΒ η ΜΖ I/ ΑΘ. Άρα ΓΕ .l ΑΘ και ΜΖ I/ ΑΘ θα είναι ΜΖ .l ΓΕ. .......

Γιάννης Σταματογιάννης - Μαθηματικός

Θ

311 Λύση

Α

Το σχήμα, σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα* , είναι το δι­ πλανό. Προεκτείνουμε τη ΓΖ μέχρι να τμήσει την (προέκταση της) ΑΒ σ' ένα σημείο, έστω το Δ. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε­ λές διότι η ΑΖ είναι ύψος και διχοτόμος (βλ. σχήμα) και κατά συ­ νέπεια η ΑΖ είναι και διάμεσος, δηλαδή Ζ μέσο ΔΓ. Τότε: Ζ μέσο ΔΓ, Μ μέσο ΒΓ, επομένως ΖΜ //ΔΒ έχω και ΓΕ .l ΔΒ Άρα ΖΜ .l ΕΓ, που είναι και το ζητούμενο. (* Σημ: Αποδεικνύεται ότι η ΖΜ είναι πάντοτε κάθετη στη ΓΕ α­ νεξάρτητα από τη σχέση που συνδέει τις γωνίες Α και Γ ή από το αν η Γ είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. Ο τρόπος είναι ο ίδιος μ' αυ­ τόν που σας γράφω).

}

Κοσμάς Τσακμακίδης

-

1ο Λύκειο Κομοτηνής

Παρόμοια λύση έστειλαν και οι μαθητές Δημήτρης Νταλαχάνης και Δημή τρης Χαρλαύτης. Άσκηση Γ2 τεύχος 16

Έστω α1 , α2, , av ν-διαφορετικοί ανά δύο θετικοί αριθμοί. Αν για κάθε χ ε IR ισχύει: λ 1 α� + λ2α� + . . . + λν� = Ο (1) δείξτε ότι λ 1 = λ2 = . . . = λv = Ο • • •

Λύση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. l/62


Στις ασκήσεις λέμε ΝΑΙ!

Από την ( I ) για χ = 1 , 2, 3, . . . , ν προκύπτει το σύστημα:

Το σύστημα (Σ0) (ομογενές) έχει ορίζουσα:

Αν θεωρήσουμε το πολυώνυμο:

ο}

α ι λ ι + α2λ2 + . . . + αvλν = α2ι λ ι + α22λ2 + . . . + σ.ν2λν = Ο (Σο) : : . . αΥλ ι + α�λ2 + . . . + �λν = Ο αν (2).

D=

Ρ(χ) =

το Ρ(χ) είναι ν- βαθμού με προφανείς ρίζες: Ο, α2, α3 , , ay, ν-το πλήθος, διαφορετικές ανά δύο. Ρ(Ο) =Ρ(α2) =Ρ(α3) = . . . =P(ay) = Ο συνεπώς δεν έχει άλλη πραγματική ρίζα, οπότε είναι Ρ(α1) 'Φ Ο Αλλά είναι D = Ρ(α1) και συνεπώς το (Σ0) έχει μόνο τη μηδενική λύση. Άρα είναι λ 1 = λ2 = . . . = λν = Ο • • •

Γ. Τσικαλουδάκης .

Λύση έφερε και ο συνάδελφος Γιάννης Σταματογιάννης Άσκηση Γ2 τ εύχος 1 6

Έστω f, g συναρτήσεις συνεχείς στο [α, β] με f(x) < g(x), για κάθε χ f([α, β]) n g([α, β]) 'Φ 0. Δείξτε ότι υπάρχει Χο Ε (α, β) ώστε: f(α) + f(β) + g(α) + g(β) = 4f(x0) ή f(α) + f(β) + g(α) + g(β) = 4g(x0)

Ε

[α, β] και

Λύση

Έστω f(χε), g(x�) η ελάχιστη των f, g, αντίστοιχα, στο [α, β] και f(x' μ), g(x;J η αντίστοιχη μέ­ γιστη. Είναι: fi(x ) � f(α) + f(β) � fi(x �·' 2 ε

g(x;.) � g(α) g(β) � g(x;J, οπότε έχουμε: f(xε)+g(x' ) � f(α)+f(β)+g(α)+g(β) /(Χμ)+g(χμ) (1 ) � 2 2 4 + '\ f(χ ) ) g(χ + Αλλα, ει'ναι ·. fi(xt:) � f(xt: + f(x;.) � ε + g(x;;) και f(χμ) g(xίJ � μ) g(χμ)� g(χ� , 2 2 2 2 οπότε από την ( 1 ) προκύπτει: f(χε) � f(α) + f(β) g(α) + g(β) � g(x;J ε

Επειδή ακόμα είναι: f([α, β]) n g([α, β]) 'Φ 0, f(χμ) � g(x�) και f([α, β]) V g([α, β]) =[f(x8), g(x;J] θα είναι: Ακόμα είναι: f(χε) � f(x�) < g(x;.) � f(χμ) < g(χμ) � g(x;J Από τις ( 1 ), (2), (3) προκύπτει (Θ. Ε. Τ.), ότι:

(2) (3)

υπάρχει χ0 Ε (α, β) ώστε να ισχύει: f(α) + f(β) + g(α) + g(β) = f(x0) ή g(x0). 4 Γ. Τσικαλουδάκης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ. τ. 1163


Τα βιβλ(α flO U μα θ,η r;ή

ΠΛ ΗΡΗ Ι: Σ. ElPA ΒΙ ΒΛ Ιι;;ι Ν ΓΙΑ ΟΛεr. τ ιr. ΤΑ: l ε ιr. τa y ο ΔΗΜ τι κο y ..._ . , . rM N r.ιay A , Λvκ ε ο y . ι

Ε

+z11"Z:- =:: ra•·•·m ,

.

RRάλας·· Σαt'�ΚΔΟΣΕΙΣ .••.• . .

�,,,..

·

Σημείο αναφοράς ατο εκπαιδευτικό ΙJιΙJλίο Ε ΚΔΟ Σ Ε Ι Σ ΣΑ Β ΒΑΛΑ

Ζ.

'nΉ π-tΣ 1 8 '

1 06 8 1

Α Θ Η Ν Α Τ Η Λ . 3 3 . 0 1 . 25 1 - 3 8 . 2 9 . 4 1 Ο

FAX.

38. 1 0 . 907


Ευκλειδης Β 21