Ά
Ασκήσεις Μαθηματικών Γ Λιικείου
.
()
1/p
l/3p +
Γ'(χ) f(x)
/
τ.μ.
-
γραφικής παράστασης της f{x)- 512
χ
·-
�
-::;-
21
ο -::
_1 q
� ' κιr.α πορτοκα' λ ια.
Ι
3p π
κιλα'
αρατη-
ρούμε ότι όταν αυξάνεται η τιμι1 p και τα άλλα μιηr};θη παραμ}:νουν σταθερ(χ μειώνεται η πο σότητα χ0 που πρέπει να αγοράσουμε. Σημείωση: Η σχέση χο
=
για τα μήλα.
\ 'ι'ιμο τ ης ζ1Ίτ η ση ς
31ρ περιγρr1φει το
�ι\σκηση 3
Το κι'>στος για την κατασκεωΊ χ μονάδων προϊόντος δίνεται από τη συνάρτηση "' Λ .γ;
r:( x ) - "3 - -'�('x2 -'-• -1"--0 ·x -'-• )- 1 ? ...1 ·
0.
Ν α αποδF.ιχΟεί ότι η γραφικιΊ πrψrLσταση τ η ς Γ( χ) διf: ρχεται από το κατιίηερο σημείο της . t(x) , παραστασης γραφικης της � ι
ι
-
.-\.
• -"
Λύση 512 f(x) = x2 - 30x + 320 + χ χ
(f(x)).
,
(
f(
.
χ. .
Γ(χ)
.
χ
16
�
τ.ε.
6 α) Να αποδειχθεί ότι για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της η επιχείρηση παράγει και προσφέρει: i) Αν p :,:;; f'{x0), χ = Ο μονάδες προϊόντος. ii) Αν p > f(x0) μια (μόνο) ποσότητα Χρ προϊόντος που έχε ι τις ιδ ιότητες " f' (xp) = p και Χρ > χ0" β) Γι α τη συνάρτηση: g: (f' ( x0 ), +CYJ ) _,. (χ0 , +οο) : p - g(p) = Χρ να αποδειχθεί g- 1 = f' l(x0, +οο)
Λύση
'
+οο
. -60 1Δ < ι ο Χρ , Χ p : χρ = -6
+
-
Το κόστος για την κατασκευιΊ χ μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση 3 f(x) = χ - 30χ2 + 320χ + α, χ � Ο (α > 0). Η τιμιΊ πώλησης της μονάδας του προϊό ντος είναι p (σταθερή). Η f'(x) =3χ2 - 60χ + 320 παρουσιάζει όπως είναι γνωστό ελάχιστο στο 6° ί χ0 = = Ο το Γ(χ0 ) = 20.
f' (x0)f'(x)
χ>Ο
\?
)
Άσκηση 4
Κέρδη = έσοδα μείον έξοδα. Κ(χ) = p·x - f(x) 2 = -3χ + 60χ - 320 + p ( l ) α) Κ ' (χ) = p τότε p :,:;; Γ(χ) για κάθε χ � Ο, i) Αν p ::( ' άρα Κ (χ ) < Ο για κάθε χ �- Ο. Ά ρα Κ(χ) φθί νουσα και επομένως μεγιστοποιείται για χ = Ο. ii) Αν rϊ > f'(x0) = 20 η δ ιακρίνουσα του τριω νύμου ( 1 ) είναι Δ = 602 - 4(-3) · (p - 320) = 1 2(p - 20) > Ο άρα η Κ (χ) = Ο έχει δύο λύσεις
5 = = 2χ - 30 χ χ2 3 2 2(χ - 1 5χ - 256) - 2(χ - 1 6)(χ + χ + 1 6 ) 2 χ χ2 ο ' x)
•
/
( f?�j) Το σημείο βρέθηκε από τη (μοναδική) εξί σωση ς (f�)J' = Ο (! )
Το σημείο (Ιl σημεία) τομι1ς t ων γραφικ Cδ ν · παραστασεων των συναρτησεων rΝ ( χ). και f( x \ ,
'
_
•
_
βρίσκονται απ_ό τη λύση της εξίσωσης: Γ(χ) =
(f(x) )' χ
)
δ
Ι
χ,,
ο
'
)
+ VΔ = χρ -6
< _--6 ο χ,
� I ι� '�I� / +
/
·ι
I
χ
f( x) (2) χ
__,
ι"'( Χι; · 'ι ·Ι
· ·
;, ο = Γ (χ)· χ - f{χ) = Ο χ�ο ' χ2 _ f{ x) Γ (χ = η. λ. { \ ) <=> (2) χ Σημείωση: Αποδε��εται ακόμη ότι η γραφΙκή πα ρι'ισταση της Γ(χ) περνά και από το κατ&τερο σημείο της
Αλλά:
Κ(χ)
16
λί1ση τ η ς
•
Κ '(•
Κ aτι:Οτερο σημείο της γραφικιΊς Παράσταε i ναι τό 1 6 , σης της
f�)
3 2 χ - 30χ -ι- 320χ χ
(συνάρτηση του μέσου μεταβλητού κόστους).
, ρα πρεπει να αγορασουμε χ0 =
μ η' λα και )Ό
=
ι
.
ι
τ.μ.
/1 /Ι
I
-
_
Το Χρ > χ0 και K' (xp) = Ο <=>p - f(χρ) = Ο <=> f(χρ) = ρ. β) Από το (ii) 11 g είναι « 1 - 1 >>. Αφοί) 1 g(p) ,;, χρ , g- (xp) = ρ = f'(xp), και αυτό για κάθ ε · -1 χ Ρ ά p α g = fΊ (χο,. +οο). .
Ση μείωση: Στη γλώσσα της Οικονομί ας η g είναι η ι:tυνάρτηση Προσφοράς. Επειδη οι ποσότη τες παρ ιστάνονται dτον οριζόντιο άξονα η καμπύ1 λη προσφοράς ε ίναι ;, γραφ. παράστασ ιl της g- .
ΕΥ ΚΛΕIΔΗΣ Β' κ.θ. τ. 4/53