Λευκοπούλειος Διαγωνισμός Πιθανοτήτων 1996 ΑΑί
β) Ο προσδοκώμενος αριθμός κερδισμένων παιχνιδιών όταν παίζει πρώτα με τη Β, είναι: μΒ = Ρ ι + Ρ 2 + Ρ ι = 2p ι + Ρ 2· Ομοίως, μΓ = 2p 2 + Ρ ι < μΒ , και συνεπώς πρέπει να επιλέξει την (αδύνατη) Β.
Βί οπότε ΑΑίΒί = ΑΑί.
Ομως Ρ(Α ! ) = Ρ ι και
Ρ(ΑΑίΒί) = Ρ(Α I ΑίΒί ) · Ρ(ΑίΒί)
=
ΡΑ ·α,
όπου α = Ρ(ΑίΒί) = ( 1 - Ρ ι) ( 1 - Pz) < 1
Άσκηση 2
(παρατηρείστε ότι η δεσμευμένη πιθανότητα Ρ(Α Ι ΑίΒί) ισούται με Ρ(Α) = ΡΑ • διότι, όταν είναι γνωστό ότι ο Α και ο Β απέτυχαν στην πρώτη ρίψη, γεγονός που συμβαίνει με πιθα νότητα α, η πιθανότητα να κερδίσει τελικά ο Α δεν αλλάζει, αφού το παιχνίδι αρχίζει πάλι από την αρχή με τα ίδια δεδομένα).
Προφανώς ο Α έχει πιθανότητα 1/2 να α φεθεί ελεύθερος, επειδή, από τα 6 ισοπίθανα ενδεχόμενα (Α, Β), (Α, Γ), (Α, Δ), (Β, Γ), (Β, Δ), (Γ, Δ), τα τρία [(Α, Β), (Α, Γ), (Α, Δ)] εί ναι ευνοϊκά για τον Α. Ας ορίσουμε το ενδεχόμενο Βφ (αντί στοιχα Γφ • Δφ) όπως ο φρουρός απαντάει "Β" (αντίστοιχα "Γ", "Δ") στην ερώτηση του Α. Παρατηρούμε ότι ο φρουρός αναγκαστικά θα επιλέξει να πει έναν από τους Β, Γ, Δ (αφού ο Α αποκλείεται) και συνεπώς: Ρ(Βφ) = Ρ(Γφ) = Ρ(Δφ) =
c
Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι η ΡΑ ικανοποιεί τη σχέση:
-
ΡΑ = Ρ ι + αΡΑ , δηλαδή ΡΑ = Ρι . 1 α -
� (λόγω συμμετρίας)
Συλλογιζόμενοι ανάλογα για τον Β, βρίσκουμε: ΡΒ = Ρ(Β ι ) + Ρ(ΑίΒί)Ρ(Β I ΑίΒί) =
Αυτό όμως οδηγεί στο αποτέλεσμα:
Ρ ( 1 - Ρ ι) Ρ2 Ρ(Α I Β φ) = (Α, Βφ) = Ρ(Α, Β) = (1 - p ι )p2 + αΡΒ • δηλαδη' ΡΒ = Ρ(Βφ) Ρ(Βφ) 1 _α · 1 Άρα, ΡΑ = ΡΒ <=> Ρ ι = ( 1 - Ρ ι )Ρz · 6 1 - = 2 = Ρ(Α), 1 (Παρατηρείστε ότι Ρ ι � και μάλιστα Ρ ι = 3 δηλ. η πιθανότητα δεν επηρεάζεται από την αν και μόνον αν p 2 = 1 ). απάντηση του φρουρού (είναι, όπως λέμε, α Αν οι παίκτες Α, Β διαθέτουν ένα (δίκαιο) νεξάρτητα τα Α και Β φ). Ας σημειωθεί ότι τα ζάρι και ένα (δίκαιο) νόμισμα, τότε το παιχνί ενδεχόμενα (Α, Βφ) και (Α, Β) ταυτίζονται 1 δι θα πρέπει να ξεκινήσει από τον παίκτη με (γιατί;), και επίσης, τα ενδεχόμενα (Α, Β), το ζάρι, αλλοιώς θα ήταν p1 = και συνεπώς (Β, Γ) και (Β, Δ) δεν είναι ισοπίθανα όταν ο φρουρός λέει "Β" (όταν δηλ. δίνεται το Β φ). p2 = 1 και το παιχνίδι θα τέλειωνε σε μια ρίψη (κορώνα-γράμματα του Α). Έτσι το παιχνίδι λσκηση 3 ξεκινάει με το ζάρι, και έστω Ρ ι = όπου Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: ν ε { 1 , 2, . . . , 5} (δηλ. ο Α κερδίζει αν φέρει Αι = {ο Α κερδίζει στην l η του ρίψη} , κάποιον από ν προεπιλεγμένους αριθμούς, π.χ. τους 1 , 2, . . . , ν). Τότε, Α = {ο Α τελικά κερδίζει} και ομοίως, 1 1 ν 2 p 2 = 2 και συνεπως p ι = 3 = 6 η ν = , Β ι = {ο Β κερδίζει στην l η του ρίψη} ,
�
�
�
·
*'
,
Β = {ο Β τελικά κερδίζει} .
Προφανώς Α ι c Α, Β ι c Β, ΑΑί c Βί και ΒΒί c Αί. Τότε η πιθανότητα να κερδίσει τε λικά ο Α ισούται με: ΡΑ = Ρ(Α) = Ρ(ΑΑ ι U ΑΑί) =
Ρ(ΑΑ ι ) + Ρ(ΑΑί) = Ρ(Αι ) + Ρ(ΑΑίΒί) διότι, Αι
c
δηλ. ο παίκτης Α (με το ζάρι) προεπιλέγει 2 αριθμούς (π.χ. τους 5, 6). λσκηση 4 Οι δυνατές περιπτώσεις είναι Ν = 63 = 2 1 6.
α) Οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι (βάσει της Βασικής Αρχής της Απαρίθμισης): Νε =
Α οπότε ΑΑ ι =Αι και
,
(�)
· 6 · 5 = 90,
αφού διαλέγουμε πρώτα σε ποιές 2 ρίψεις
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 4/14