Page 1


ΓJiJ I� [Ρ) �@ ,{Ά U � Cc» [F'�� i(@

ιΆ'\'Ί'�[��(Q)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Προσεyyίσεις Τάσεων-Ρευμάτων και ... Προβλημάτων . .............................. . 3 /\..;:·:c>λ·�--:.:.ς ::::�· �:;

· ·

..!.· �-::1::::ς (θεωρητηζές επισημάνσεις r::.�� λu}..ίΖvες ασrα:σε:ς)

.....

12

Γεωμετρία Α' Λυκείου .................................................................................... 20 Μετρικές Σχέσε1ς

ΥπάρχεΙ

...

......

. . .. .. .......... . . ...... . . . . ..... . . . . . . . .. .... . . . . . ...... . ...... . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . 24

� �

. . . . . ........... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . ..... . . . . . . . . . ...

Οι γεωμετρΙκοί τόποι του επιπέδου με διανυσματικές ιδιότητες

. .

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

Το βήμα του Ευκλείδη . . . . .. ......... .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . ... ... . .. . . .. .... . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . ........ 46

Μaθ;ψα:ικ€ς Ολuμπ:άδες (12n Β.Μ.Ο.) ................. ...................................... 52

'Ενc. ::pόSλ;:)c., '::cλλές λύσε:ς Στις cσκriσεις λέμε ΝΑΙ!

. ..

.

. . . . . ... . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .. . . . . . . .

. . . . . .... . . . .. .. . . . . . . . . . . . ... . 54

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... . . . . . . . . . . . . 60

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Γραμματεία Σύνταξης: Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης

Συντακτική Επιτροπή:

11 Τα προβλήματα

με Μαθηματικά ή Τα Μαθηματικά με Προβλήματα

Βακαλόπουλος Κώστας, Βισκαδουράκης Βασίλης, Γεωpγακόπουλος Κώστας, Γράψaς Κώστας, Δαμιανός Πέτρος, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοντογιάvvης Δημήτρης, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Λαμπρόποuλος Τάσος, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήστος, Σα'ίΊ:ηΕύα, Τουρλάς Λεωνίδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος,

Υπεύθυνοι Έκδοσης:

Παπαδόπουλος Νίκος, Τσαπαρλής Ιωάννης Επιμέλεια Έκδοσης:

Μαραyκάκnς Σ.

tl· ! '

ι

13 Η σωστή σκέψη

, ·�.

απλοποιεί αυτά που φαίνονται δύσκολα.

Συνεργάστηκαν: Νφίzος Δημήτρης, Φωτιάδης Γρηγόρης, Τσαπακίδης Γ., Αγριόγηδος Κώστας, Τσάμης Γιώργος, Μπρέγιavvης Π., Ράπ­ πος Σ., Τάκος Γ.

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Πανεπιστημίου 34-106 79 ΑΘΗΝΑ

Τηλ.: 36

17 784-3616 532 Fax: 36 41 025 Εκδότης: Ν. Αλεξανδρής

Ef.J Οι Βαλκανιονί­ κες μας

μεταφέρουν την εμπειρία τους.

Διεuθuντής:Κ.Σάλaρης

ISSN: 1105-8005 ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ:

Τεvχος: 350δρχ. Ετήσια σ\Jνδρομή: 1.600δρχ. Ορyανισμοί: 3.000δρχ. Ταχ. Επιταyές Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.θ. 30044 Στοιχειοθεσία - Σελιδοnοίnσn

Ε λ λ η ν ι κή Μ αθη μ αΙJκή Ετα ι ρ ε ί α

Η '

στήλη της Αλληλογραφίας από το επόμενο τεύχος ' Εκrύπωσn: ΙΝΤΕΡΠΡΕΣ Α. Ε., Ιερά οδός 81-83

Υπευθ. Τυ πογραφείου: Ν. Αδάκωί\ος-τηλ. �4 74 654


Αν κρίνει κανείς; από τις; δημοσιεύσεις; στα περιοδικό της; Ε.Μ. Ε. (κυρίως; στον Ευκλείδη Γ') και τις; ανακοινώσεις; στα Πανελλήνια Συνέδρια Μαθηματικής; Παιδείας; των τελευταίων χρόνων, θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι οι όροι «Problem Solνiηg», «Problem Posiηg>> και «Mathematical modeliηg», έχουν μπει για τα καλά στο φάσμα των προβληματισμών και των ενδιαφερόντων της; Ελληνικής; Μαθηματικής; κοινότητας;. Πώς; θα μπορούσε άλλωστε να μη συμβεί αυτό, αφού στο ση­ μερινό κόσμο σκέψεις;, ιδέες;, προτάσεις;, θέσεις; σε θέματα κοινού ενδιαφέροντος; μεταδίδονται πα­ γκόσμια με την ταχύτητα που χαρακτηρίzει την εποχή μας;; Κάποιες; καθυστερήσεις; Βέβαια που παρατηρούνται, δεν οφείλονται σίγουρα στην έλλειψη ενη­ μέρωσης;, (ή τουλόχιστον στην έλλειψη δυνατότητας;, για ενημέρωση), αλλά στη γνωστή «αδραvειακιί vστέρnσn και εοιφvλακτικότnτα».

Άποψη του υπογρόφοντος; είναι ότι και αυτή η φάση έχει πλέον ξεπεραστεί από tn συντριπτική πλειοψηφία των καθηγητών Μαθηματικών στη Μ.Ε., οι οποίοι Βλέπουν θετικά τα (πιο) νέα ρεύματα στο χώρο της; Μαθηματικής; Παιδείας; και Εκπαίδευσης;, προβληματίzονται όμως; στο πώς; και με τι είδους; υλικό θα περόσουν στη δουλειά τους; τις; νέες; ιδέες-διαδικασίες; (Problem Solνiηg-Posiηg, mathematical modeliηg). Το εγχείρημα σίγουρα δεν είναι απλό και η επιφυλακτικότητα δικαιολο­ γημένη. Υπάρχουν κίνδυνοι aπογοήτευσης; των μαθητών μας;. Έτσι, με τη συλλογή των παρακάτω διεξοδικά δουλευμένων· (νομίzω) προβλημάτων, επιχειρεfrαι μια προσέyyιση στο πνεύμα των νέων τόσεων στα σχολικό Μαθηματικά και κυρίως; αυτών του Problem Solνiηg και του mathematical modeliηg (μιας; και οι δύο αυτές; διαδικασίες; πολλές; φορές; συνυπάρχουν και τα μεταξύ τους; σύνορα δεν είναι πόντα ορατό).

ΕΥΚΑΕΙΔΗJ: Β' κβ. τ. 1/3


------ Προσεyyiσεις τάσεων- ρευμάτων και

•••

οροβλapάτων ------

Ο υπογράφων πιστεύει ότι είναι καιρός aπό τα λόγια και τη θεωρία να περάσουμε στην πράξη, γιατί aυτή είναι ο τελικός στόχος, αλλά και ο πιο aντικειμενικός κρπής-οδηγός για όσο γίνεraι σω­ στότερες προσεγγίσεις. Ο «Ευκλείδης Β'» ίσως θα έπρεπε πιο συστηματικά να μεριμνεί, ώστε να διaχέεraι. το «vέο ovεvpa» στο σύνολο του περιεχομένου του, αλλά αν aυτό (για διάφορους λόγους aντικειμενικούς και μη) δεν είναι εύκολο, έστω και μια μικρή, μόνιμη (ή σχεδόν μόνιμη ) στήλη, θα εξυπηρεrούσε σημαντικά το zητούμενο . Ο

Av κάβε σαpείο το" εαιαέδο" zpωpατιστεί pε έvα ααό τα τρία zρώpατα Α. Β, r, υαάρzο"v δ.Jο το"λιb:ιι­ στοv σapεία του ίδιο" zρώpατος και pε αaόστασα pεταξ.J το"ς 1 cιa;

AvάAvon - Λvon

Προβλήματα όπως aυτό επιδέχονται γενικά λύσεις «κατασκευαστικές», θα μπορούσαμε να πού­ με. Δημιουργούμε ένα σύμπλεγμα σημείων aρχικά, με μεraξύ τους aποστάσεις 1 και συμπληρώνο­ ντας κατάλληλα το σύμπλεγμα aυτό, προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια κατάσταση, όπου ο­ ποιαδήποτε επιλογή να μας δίνει aπάντηση στο ερώτημά μας. Για την περίπτωσή μας λοιπόν, θεωρούμε έva ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 και το σuμμεrρικό του ως προς μια πλευρά. Έστω ότι οι κορυφές του τριγώνου είναι χρωματισμένες με διaφορεrικά χρώματα Α, Β, Γ (αλλιώς θα είχαμε τελειώσει). Η τρίτη κορυφή του σuμμεrρικού πάλι πρέπει να είναι Α όπως στο σχήμα (αλλιώς πάλι θα είχαμε τελειώσει). Στρέφουμε τώρα το ρόμβο που δημιουργήθηκε προς τα aριστερά με κέντρο στροφής την κορυφή (4), ώστε η κορυφή (1) να έλθει σε μια νέα θέση (5) και η aπόστασή της aπό την aρχική θέση να είναι ίση με 1. Α (1)

(5)� "";·1 Β

..

( 7)

Γ

(3)

,

Λ.•

/

I

(4)

Αν οι κορυφές (6) ή (7) χρωματιστούν με χρώμα Α, τότε τα σημεία (4) και (6) ή (4) και (7) θα a­ πέχουν aπόσταση 1 και θα είναι ίδιου χρώματος Α, οπότε έχουμε τελειώσει. Αν πάλι στα (6), (7) έ­ χουμε τα χρώματα Β, Γ ή Γ, Β aντίστοιχα, τότε αν η κορυφή (5) είναι Β ή Γ πάλι έχουμε τελειώσει. Αλλά και Α να είναι η κορυφή (5), πάλι θα aπέχει aπό την (1) aπόσταση ίση με 1 aπό την κατα­ σκευή που κάναμε. Έτσι ό,τι χρώμα και αν είναι το σημείο (5), θα έχουμε δύο σημεία ίδιου χρώμα­ τος και με μεraξύ τους aπόσταση ίση με 1. (Προφανώς στη θέση της aπόστασης 1 μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε aπόσταση d και το πρό­ Βλημα δεν aλλάzει σε τίποτα) . •

ειοο> είναι διαφορεuκές pετα�.J το"S· Αα'αιιτές οι ε4, ει. ε ιz. και yεvικά ε4a είvαι Οι ε"βείες (ε •• &2, ααράλλιιλες pεταξ.J το"ς. Οι ε"βείες ε1, ε5, ε9, και yεvικά ε4._1 διέρzοvιαι ααό έvα σταθερό σapείο Α. , ε100; Ποιος είvαι ο pέyιστος αριβpός σαpείωv τοpάς τωv ε"βειώv ε1, ε 2, ε1, • • ••

• . •

AvάAvon - Λvon (1 °)

Οι παράλληλες ευθείες (ομάδα α') είναι τόσες, όσο τα πολλαπλάσια του 4 aπό το 4 ως το 100 ΕΥΚΛΕΙΔΗ:Ε Β' κθ. τ. 1/4


------ Πpοσεyyίσεις τάσεων- ρευμάτων και ... οpοβλapάτων ------

δηλαδή 25. Επίσης οι διερχόμενες από το Α (ομόδα Β') είναι και αυτές 25 αφού έχουμε . 1 =ι:; 4η - 3 =ι:; 100 <=> 4 =ι:; 4η =ι:; 103 <=> =ι:; η =ι:; 1 3 <=> 1 =ι:; η =ι:; 25 (αφού η θετικός ακέραιος)

Έτσι οι υπόλοιπες, για τις οποίες δεν έχουμε καμία πληροφορία, (ομόδα γ) είναι 50. Φυσικό για να έχουμε όσο γίνεται μεγαλύτερο αριθμό σημείων τομής με τα δεδομένα του προβλήματος, θα πρέπει να μην υπόρχει τριόδα ευθειών που να διέρχεται από το ίδιο σημείο. Εκτός του Α δηλαδή, κόθε όλλο σημείο τομής πρέπει να είναι κοινό μόνο σε δύο ευθείες. Τότε όμως θα έχουμε: 25· 25 = 625 σημεία τομής των ευθειών της ομόδας Β' με τις ευθείες της ομόδας α', 5(). 25 = 1 250 κοινό σημεία των ευθειών της ομόδας γ μ'αυτές της α', όλλα 50.25 = 1250 κοινό σημεία των ευθειών της ομόδας γ μ' αυτές της Β', ακόμα 5 49 = 1225 σημεία τομής των ευθειών της ομόδας γ

μεταξύ τους και τέλος ένα σημείο τομής το Α. Συνολικό λοιπόν θα έχουμε το πολύ: 625 + 1250 + 1250 + 1225 + 1 = 4351 σημεία τομής. ΑvάΑ"σn - Λvσn (2°)

Οι 100 ευθείες στο επίπεδο αν τέμνονται όλες ανό δύο χωρίς να διέρχονται ανό τρεις από το ί­ διο σημείο, ορfzουν 10 99 = 4950 σημεία τομής, που είναι και ο μέγιστος αριθμός κοινών σημεί-

ων. Όμως στην περίmωσή μας χόνουμε τα σημεία τομής των 25 παραλλήλων mς α' ομόδας (που είναι 2 24 = 300) και τα σημεία τομής των ευθειών της Β' ομόδας (εκτός από έvα - το Α), που εί-

ναι πόλι 25 24 - 1 = 299. Συνολικό λοιπόν χόνονται 300 + 299 = 599 σημεία τομής. Άρα απομένουν 4950 - 599 = 4351 το πολύ κοινό σημεία. ο

'Ezoupε na τετpάyωνο εp8aδo\i ι. Ποιο είναι το pέyιστο εp8αδό D0\1 paopεf να ύει Πα τρήωvο εντός το" τετpαyιdνο\1;

Δ

Λ

Γ

Αν το τρίγωνο έχει δύο πλευρές του πόνω στις πλευρές του τετραγώνου, τότε το μέγιστο εμβαδό θα το έχει, όταν οι κορυφές του ταυτίzονται με τρεις κορυφές του τετραγώνου (θέση ΑΒΓ) και είναι ίσο με21 . Αν πόλι μία πλευρό του τριγώνου Βρίσκεται πόνω σε μία πλευρό του τετραγώνου, το εμβαδό θα γίνει μέγιστο όταν το ύψος γίνει μέγιστο, πρόγμα που συμβαίνει όταν η απέναντι κορυφή Βρίσκεται στην απέναντι πλευρό του τετραγώνου. Οπότε αν είναι και η πλευρό μέγιστη (= 1) (θέση ΓΔΖ)-, θα έχουμε εμβαδό πόλι ίσο με · 1·1 =

!

!

ΕΥΚΛΕΙΔΗJ; Β' κβ. τ. 1/5


Τέλος αν οι τρεις κορυφές του τριγώνου βρίσκονται σε τρεις διαφορετικές πλευρές του τετραγώνου (θέση ΚΛΜ), φέρνουμε από μια κορυφή (έστω την ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, που τέμνει την ΚΛ στο Τότε όμως έχουμε:

Μ) = (ΚΜΡ) + (ΛΜΡ) = ! ΜΡ·ΒΕ + ! ΜΡ· ΓΕ = ! ΜΡ(ΒΕ + ΓΕ) = '21 ΜΡ· 1 = 21 :ΜΡ < 2:1 ΜΕ= 21 · 1 = 21 · Άρα στην τελευταί� περίmωση έχουμε < �· 'Ετσι τελικό το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου, που βρίσκεται μέσα στο τετρόγωνο, θα είναι ίσο με � · Ρ.

(ΚΛΜ)

(ΚΛΜ)

Θ

Μiσσ σe ivσ κοm \IDάρ•o\lv: Μfσ σφσfρσ σapσ8qιiva pe τοv σριβpό ι, 6\lo σφσfρes σapσ8qιives pe τοv σριβpό 2, τρeιs σφσfρeς σapσ8epives pe τοv σριβpό 3, p� τοv σριβpό 4 , . τισσeρι.s σφσfρes. σapσ�e� . . . pe τοv σριβpό 50. aevάvτσ σφσfρes σapσ8epives και τdικά Ποιος efvσι ο dάιυστοs σριβpός σφσιρώv •ο" aρiaeι vσ τρσβάCο\Ιpe τ\Ι•σfσ σαό το ιιοm yισ vσ efpσστe crfyo\lρoι ότι βσ \Ιαάρ•ο\ΙV δiιισ σφσfρes σapσ8epives pe τοv f8ιο σριβpό; (Πανελλήνιος διαγωνισμός «ΕΥΚΛΕIΔΗΣ» mς Ε.Μ.Ε. 19-2-94)

.

.

.

. .

ΑνάΑ.,σa - Λvσa

Τραβόμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί, μετό κι άλλη - κι άλλη κ.τ.?ι. Αν αυτές τις σφαίρες τις τοποθετήσουμε όλες σε ένα άλλο κουτί, τότε καμία ένδειξη για το πώς μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα δε διαφαίνεται. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε πενήντα κουτιό αριθμημένα από το έως το και κόθε σφαίρα που τρaβόμε την τοποθετούμε ανό?ιογα με τον αριθμό που φέρει στο αντίστοι­ χο κουτί, τότε τα πρόyματα αλλόzουν ολοκληρωτικό. Ένα σκπσόκι θα μας Βοηθήσει. Έστω λοιπόν ότι έχουμε τα κουτιό:

1

50

ι

J ι

____

1

_

_

2

ι ι_ _J

ι

3

1

_

9

1 ι

_____

10

50

9

I

___j

10

Είναι σίγουρο ότι στα κουτιό από μέχρι και αποκλείεται να Βρεθούν σφαίρες, ακόμα και αν τραβήξουμε (στην «χειρότερη» περίmωση) κατό σειρό όλες τις σφαίρες με νούμερα από μέχρι που είναι + 2 + + + Έτσι συνεχίzοντας να τραβόμε σφαίρες που θα έχουν νούμερα από μέχρι και τοποθετώ­ ντας τις στα αντίστοιχα κουτιό, στη «χειρότερη» περίmωση θα τραβόμε σφαίρες μέχρι να τοπο­ θετηθούν σε κόθε κουτί σφαίρες, όρο θα τραβήξουμε σφαίρες. Η αμέσως επόμενη, ό,τι νούμερο και να έχει (από το μέχρι το θα τοποθετηθεί σε ένα κουτί που έχει ήδη σφαί-

9,

1 3 .. 9 45. 41 9 10 ·

=

50)

41·9 = 369

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κθ. τ. 1/6

10

50

1

9


------ Προοεyyfοεις τάσεων- ρευμάτων και

•••

οροβλιι.άτων

------

ρες,Γιάρα μεί'αυτήν θαλοmόν έχει 10.σίγουροι ότι θα έχουμε τραβήξει σίγουρα 10 σφαίρες με τον ίδιο αριθμό, α να μ αστε θα πρέπει να τραβήξουμε συνολικά τουλάχιστον 45 + 369 + 1 = 415 σφαίρες. 0

Εννέα καρέκΑeς σε ε118εία yρappά aρόκειται να καταlιιιφβο'ύv αaό pαβaτές και αaό τρεις καβayιιτές Α, Β, r. Οι καβayιιτές φ8άvο11v aριv αaό το11ς pαβaτές και αaοφασίzο11v vα εaιΑέ�ο11v uς καρέκΑeς το11ς έ· τσι, ώστε κάβε καβayιιτάς vα άει αpέσως αριστερά και δε�ά το11 pαβaτά. Κατά aόσο11ς διαφορεuκο'ύς τρόaο11ς paoρo'ύv οι καβayιιτές Α, Β, r vα διαΑέ�ο11v uς καρέκΑeς το11ς; (Πρόβλημα 8 an6 τον Παvελλήvtο Διαγωvtσμ6 ccΕΥΚΛΕΙΔΗΣ)) mς Ε.Μ.Ε.

19-2-94)

Αvάλ"σa - Λvσa

Είμπορεί ναι φανερό ότι δενκανεί μπορείς καθηγητής κάθε καθηγητής ναακραίες καθίσει θέσεις. αυθαίρεταΕπίσης όπουδενθέλειμπορεί . Για παράδει γουνμα δεν να καθίσει στι ς δύο να μεί ν τέσσερι ς συνεχόμενες θέσεις από αριστεράκαιή δεξι άμαθητές, μόνο γιαοπότε μαθητές, γιατί στις ύπόλοιδιαχπεςωρfzουν πέντε θέσεις θα πρέπει να καθίσουν 3 καθηγητές δύο αν οι δύο μαθητές τους καθηγητές, θα πρέπει ένας καθηγητής να καθίσει σε ακραία θέση, πράγμα άτοπο. Βασικές περιοριστικές αρχές. Για μια «χειροπιαστή» τώρα διαπραγμάτευση του Αυτές είναι οι προβλήματος, ένας κατάλληλος συμβολι σμός είτινςαιθέσει όχι μόνο αναγκαίος αλλάοι καιμαθηί:ικανός ναμεμας1 τιςο­ δηγήσει στη λύση. υμβολίzουμε λοι π όν με ς που θα καθίσουν έ ς και Σ θέσεις των καθηγητών. Οπότε το zητούμενο πλήθος τρόπων που μπορούν να καθίσουν μαθητές και καθηγητές, θα είονριαισττοικέςπλήθος των διΈτσι ατεταγμένων 9-άδων με: ψηφία και 1, που θα ικανοποιούν τιτος ς Βαπό ασικαριές περι συνθήκες αν οι θέσει ς είναι οι {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), τότε ο πρώ­ . στερά μπορεί να καταλάβει τις θέσεις 2, 3 ή 4, οπότε έχουμε τις εξής 9-άδες: (0,1,0,0,0,1,0,1,0,00)) (0,1,00,1,,1,00,1,,0,1,0,00,,00)) (0,0,1,0,1,0,1, (0,1, (0,1,0,1, 0,00,,1,0,1,0,00)) (0,(0,00,1,0,1, 0,0,1,00)) (0,1,0, 0 ,1, ,1, 0 , 0 ,1,0,1, (0,1, 0 , 0 ,1, 0 , 0 ,1, 0 ) (0, 0 , 0 ,1, 0 ,1,0,1, 0 ) τώρα μπορείοιοιδιΑ,ατάξει Β, Γ να καθίσουν στις θέσεις που σημειώνονται με 1 κατά οποιαδήπο­ τε(Β,Α,Γ), διΕπειδή άταξη{Γ,Α,Β), και επειδή ς των τριών καθηγητών είναι 3! 6 δηλαδή οι: (Α,Β,Γ), (Α,Γ,Β), (Β,Γ,Α), (Γ,Β,Α), τελικά οι καθηγητές μπορούν να επιλέξουν τις θέσεις τους κατά εξήντα (10. 6) διαφορετικούς τρόπους. Ο

Ο

=

Φ

Υaάρ:ιιει φ11σικός αρι..ός ao11 ο κ'ύlος το11 vα ισο'ύται pe τJάβροισpα τωv κ'ύlωv τωv δ'ύο aρoayo1ιpέvωv το11 φ11σικώv;

Αvιiλ"σa - Λvσa

Στο πρόβλημα γίνεται λόγος για τρεις διαδοχικούς φυσικούς. 3 (η - 1)3 + η3• Τότε Έστω λοιπόν ότι έχουμε τους η 1, η, η + 1 που είναι τέι:οιοι ώστε: (η + 1) όμως θα2 έχουμε: η3 + 3η2 + 3η + 1 = η3 - 3η2 + 3η - 1 + η32 η3 - 6η2 22 η2(η - 6) 2 και αφού η και 2 πρέπει η6 η 6. Αλλ ά τότε η 36 άρα και η (η6) 36 (γιατί αν 7 η 6 τότε η άρα2 η - 6 1). σχέση η (η -μας6) είναι2 είαρνητική. ναι αδύνατη στο σύνολο των φυσικών, άρα η απάντησή στο ερώ­ τημαΈτσιτουηπροβλήματος =

>

>

Ο

;;;ι:

>

Ο

;;;ι:

>

Ο�

>

>

=

=

>

=

8

Χωρίzο11pε το11ς αριβpο'ύς 1, 2, 3, 4, 5 σε δ'ύο οpάδες κατά οaοιοδάaοτε τρόaο. Δdfu όu piα οpάδα aεριάει οaωσδάaστε δ'ύο αρι..ο'ύς και τα διαφορά το11ς. (Παvελλήvtος διαγωvtσμ6ς «0 Θαλής)) mς Ε.Μ.Ε. 1211-94)

Αvάλ"σa - Λvσa

'άλλου και σε όλα τα προβλήματα, θα πρέπει κανείς νατωνπεριαριμένει Ούτε και εδώ, όπως εξ κάποια λύση «ρουτίνας». Παρατήρηση - υπόθεση και προχώρημα μέχρις εξάντλησης θμών, μιας ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κβ. τ. ΙΠ


------ Προσεπfσεις τάσεων- ρε11pάτωv και

•••

•ροβλaμάτωv ------

και εί ν αι πεπερασμένου πλήθους ( κ αι μάλι σr α πολύ μι κ ρού). Εδώ λοιπόν παρατηρούμε ότι αρι θ μός y «κλει δί» είναι το 2, γιατί από τη σrι μή που ανήκει σε μία ομόδα, αυτόματα κατατόσσει δύο όλλους, 1 και το 4), σrην όλλη. (τοΠραγματι κ ό, αν τα 1, 2 ήταν σrην ίδια ομόδα, τότε ο 2 - 1 = 1 πάλι ανήκει σrην ομόδα. Το ίδιο και για τατα 2,1, 44 ανήκουν είναι 4 - σrην 2 = 2, που ανήκει σrην ομόδα. Έτσι λοιπόν αν το 2 ανήκει σrην (ας πούμε), β' . Τώρα το 3 δεν μπορεί να ανήκει σrην β', γιατί τότε 4 - 3 = 1, που ανήκει. Άρα τα 2, 3 θα ανήκουν σrην ομόδα και τα 1, 4 σrη β' . όμως και το 5, που σεΠ.χόποια ομόδα και α'αντων θεωρpθεί, οπωσδήποτε αυτή θα περιέχει και τηθα διΈχουμε αείνφορό δύο σrοιχείων της. . γι α την ομόδα {2, 3}, έχουμε 5 - 2 = 3 και για την β' , αι 5 - 4 = 1. Έτσι το zητούμενο έχει δειχτεί. d

d

Ο

Έστω α1, α2, ,σ. pια οαοιαδάαοτε διάτα�α των αρι8pώv ι, 2, ... , α. Δεί�ε όu av ο α είναι αεριτιός, τότε το yιvόpεvo: (α1 - ι)(α2 - 2)· ··(α.- α) είναι άρτιος αρι8pός. •••

Αvάλ"σa - Λvσa (ι 8)

Είναιτότε φανερό, ότι, αντοένας τουλόχιείναισrονόρτιος. παρόγοvτας ενός γινομένου οσονδήποτε ακεραίων είναι όρτιος, ολόκληρο γι ν ό�ενο Αρκεί λοιπόν για την περίmωσή μας, νCΙ"δείξουμε, ότι κόποιος από τους αριθμούς αι - 1, α2 - 2, ... , On - η, που είναι η το πλήθος (Qηλαδή περιττ ού πλήθους), είναιόρτιος. Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει.περιττΤότε,ός,επει δή η διαόλοι φορόοι δύο ακεραί ωδείκτη ν είναιπεριττ περιπό όςνα μόvο, όταvοιοκαιέvαςόλοιείvμεαι δείκτη όρτιος όρ­ και οτιοόλλος θα πρέπει αρι θ μοί με εί ν αι όρτι να είναι περιττοί. Δηλαδή αι , α3, , α2κ+ιι ... , αn όρτιοι ενώ α2, ... , α2κ , , Οn-ι περιττ οί. Αυ­ τό όμως είναι ότοπο 'γιατί από τους η διαδοχικούςη+ακεραίους 1, 2, ... ,η με η περιττ ό, οι περιττ οί εί1 ναι κατό ένα περισσοτεροι (σuγκεκριμ α ειναι -2-) απο' τους όρτιους. (που ει'ναι η--2-1 ) . 'Ετσι δεν μπορεί να είναι όλοι οι παρόγοvτες αι - 1, α2 - 2, ...-, αn - η περm:οί. τουςΆραθα ένας είναιτουλόχι όρτιος. σrον θα είναι όρτιος (ίσως και το μηδέν είναι όρτιος) οπότε και το γινόμενό α.ι,

• • .

,

έv

• • •

'

Ο

Avάλvoa - Λvσa (28)

ι αριθμοι, αι , α2, ... , αn , 1 , 2, ... , η ει,ναι ο'λοι 2η το πλη'θος και απ αυτους, οι 2 η-+2-1 είναι περιττοί αφού ο η είναι' περιττη+ό1ς και' το πλήθος των περιπών μεταξύ των 1, 2, ... , η όπως ει' ειvαι -2-. Ε:rσι φτιαχ-vοντας τις ιαφορές a2 πω, θηκε και προηγουμενα μία τουλόχισrον απ'αυτές θααπόαποτελείται από δύο οιπεριττ ούςοί(όρο θα τοείνπολύ αι όρτιος) γιατί αν Άτοπο καμιό διαφού αφορό δεν αποτελούνταν δύο περιττ ο ύς τότε περιττ θα ήταν η το πλήθος. είναι η+ 1 το πλήθος.των περιπών. Αvάλ"σa - Λvσa (38) Οι αριθμοί οι - 1, α2 - 2, ... , αn - η έχουν όθροισμα δηλ. όρτιο. Αυτό όμως (αν ήταν όλοι περιττ ού πλήθους) είναι ότοπο. Άρα ένας τουλόχισrον θα είναι όρτιος, όρο και τοογιί,ναφού όμενόείναι τουςκαιθα περιττ είναι όρτιος. '

ο

'

η

δ

= n + -.ι

..

α1- 1,

2 :.. ,

.

... , α::-- η

Ο

0

Δίδεται pια σειρά διαδο:uιι:ώv θετικών ακεραίων pε αρώτο το ι. Παραλείαοtιpε κάαοιον αα'αwοtίς, οαό­ 7 • Ποιον αρι8pό ααραλεfψαpε; τε οι tιαόλοιαοι ύοtιv μέσο όρο 35 ι7

ΕΥΚΛΕΙΔJΙJ; Β' κθ. τ. 1/8


----....----

Προσεyyίσεις τάσεων - ρε"•άτωv και

•••

αροβλα•άτωv

------

Αvάλuσο - Λ\Jσο

σμά τους τότε, όπως ξέρουμε θμοί, μας είναι, οι 1, 2,, 3, ..., , η. Το. !]θροι , είναι , , , η(ηΈστω +2 1) καιότι θοια αρι . υποστει την ελαχιστη μειωση, οταν παραλειψουμε το 1 και τη μεγιστη, οταν παραλείψουμε το η. Οι μέσοι όροι τότε αντίστοιχα θα είναι: η(η 1) _ 1 2 + η- 2-- (η -2(η1)-(η1) 2) η+2 η-1 n2(η-1) 2 η(η2+ 1) _ η 2 . 1) _!! η(η_ η + η2η _ η-1 - 2(η- 1) - 2(η - 1) - 2 ' ' ορος. ' 'Ε θα εχουμε: ι αριθμοι, η-+2-2 , 2η ει,ναι αντι,στοιχα ο μεγι, στος και ο ελαχι, στος μεσος � � 35 {7 � η ; 2 <=> η� 70 ii � η+ 2 άρα η= 69 ή η= 70 η(η2+ 1) _χ 'Ομως, επειδή αν είναι χ ο αριθμός που παραλείπουμε, θα έχουμε τότε: η-1 = 35 177 ά­ ρα (η-1)-35 {7 = η(η; 1) -χ Αrλά για η = 70 ο (70 - 1)·35 {7 άρα η = 69. 69(692 +..:.1. ) - χ , 7 2415χ 6 7 69 352 0 · <=> <=> <=> 'Ε λοmον θα εχουμε: 35 35 = = = . 1 69 17 17 4-17 17 68 2415- χ= 4-602 <=> χ= 2415-2408 <=> χ= 7 Τελικά λοmόν πρέπει να έχουμε τους 1, 2, 3, ... 69 οπότε παραλείποντας το 7, οι υπόλοιποι έ, χουν μέσο όρο 35 177 " +

2

.

+

ο

rσι

ε

e

'

•·

r

7l

χ

rσι

Φ

7L

J

.

Το φaφίο τωv δεκάδων το" τετραyώvο" εvός αaεραίο" α είvαι 7. Ποιο είvαι το φαφίο τωv pοvάδωv το" 2 α ;

Αvάλuσο - Λ\Jσο

Για νατου«προσανατολι στούμε» λίγο και ναταδούμε προς ποι οκκατεύθυνση πρέπει να κινπως ηθούμε γιαο τημυστικό λύση προβλήματός μας, θεωρούμε τετράγωνα μερι ών αρι θ μών, ελπίzοντας κάποι θα μας αποκαλύψουν. Έχουμε λοιπόν: 422 = 16, 522 = 25' 622 = 36' 722 = 49' 822 = ' 922 = 81 ' 102 = 100; 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225, 162 = 256, 172 = 289, 18'2 = 324, 19. 2 = 361,. 202.= 400, 21 = 441, 22 = 23 = 529 , 24 = 576, 25 = 625, 26 = 676. Τι μπορούμε τώρα να παρατηρήσουμε; 2 = 576 και 262 = 676 και παραπέρα. Πρώτα-πρώτα ψηφί ο δεκάδων 7 έχουν τα τετράγωνα 24 περπτό ψηφίοοποίδεκάδων έχουν μόνο τα τετράγωνα τωνσε αρι θμώνλοι, ππου το τελευταίο τους ψηφίο είναι 4γενικά ή 6, των ω ν όμως τότε τα τετράγωνα λήγουν 6. Αν όν καταφέρουμε να αποδείξουμε την παρατήρησή μας, θά'χει λυθεί και τό πρόβλημά μας. 64

484,

.•

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' a8. τ. 1/9


------

Προοεyyίοεις "Ιάοεω,·

-

ρε"pά"Ιωv και

•••

αροβλapά"Ιωv

------

Έστω λοιπόν, ότι το τελευταίο ψηφίο του α είναι το Β. Τότε ο (α + Β) είναι άρτιος, αφού ά + Β = (10κ + Β) + Β = 2· (5κ + Β) και ο α - Β διαιρείται με το 10, αφού 2 2 α - Β = (10κ + Β) - Β = 10κ. Έτσι, θεωρώντας το γινόμενο (α + Β)(α - Β) = α - 6 , αυτό θα διαιρεί­ 2 2 ται με το 20. Αυτό σημαίνει, ότι οι αριθμοί α , 6 έχουν ίδιο τελευταίο ψηφίο και τα ψηφία των δε­ 2 κάδων τους είναι και τα δύο άρτιοι ή περmοί συγχρόνως. Έτσι, αν το ψηφίο των δεκάδων του α είναι περmός, το Β θα είναι ή 4 ή 6, γιατί όλα τα υπόλοιπα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 έχουν στα τε­ tράyωνά τους το ψηφίο των δεκάδων άρτιο. 2 Έτσι λοιπόν, αφού ο α έχει ψηφίο δεκάδων 7 (περmό), ο αριθμός α θα λήγει σε 4 ή 6, αλλά 2 tότε ο α λήγει προφανώς σε 6 και το πρόβλημά μας έχει λυθεί. φ

Αν ένας δiφιίφιος θεuκός ακέραιος διαιρεθεί με το άθροισμα των φαφίων μεyάλο pαορεί να είναι το ααλίκο αwό;

'I0\1,

αόσο μικρό και αόσο

Αvάλvσn - ΛtSσn

Αν xy ο αριθμός μας στο δεκαδικό (εννοείται) σύστημα αρίθμησης, τότε xy = 10χ + y, έrσι το ' τη μεγιστη ' ' ειναι ' ' το f(χ, y) = 10χ + Υ (οπου ' πηλίκο του οποιου και την. ελαχιστη τιμη' zηταμε 1 � χ� 9 x+y και Ο� y � 9). Το κλάσμα αυτό έχει και στους δύο όρους του τις μεταβλητές χ, y οπότε δεν είναι εύκολο «παίzοντας» με τους όρους του κλάσματος να δούμε τη μικρότερη ή τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του. Από το αδιέξοδο αυτό μπορούμε να βγούμε με κάποιο (ας πούμε) «τρικ» . Αφ' ενός εμφανίzουμε το y μόνο στον παρονομαστή οπότε έχουμε: � � f(x, y) = 10x + y � + =1+ x+y x+y x+y x+y Το άθροισμα αυτό, όσον αφορά το y (για το οποίο μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα), γίνεται ε­ λάχιστο όταν y = 9 και μέγιστο όταν y = Ο. Αφ' ετέρου εμφανίzουμε το χ μόνο στον παρονομαστή και έχουμε: _2ι._ f(x, y) = 10χ + y = 10(χ + y) - 9y 10 y x+y y x+ x+ Η διαφορά τώρα αυτή, όσον αφορά το χ (για το οποίο πάλι μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα), γίνεται ελάχιστη όταν χ = 1 και μέγιστη όταν χ = 9. Έτσι σε συνδυασμό οι δύο περιmώσεις μας δίνουν: •

Το f(x, y) = 1Οχ + Υ γίνεται ελάχιστο όταν χ = 1 και y = 9 δηλαδή για τον αριθμό 19 και είναι x+y miηf(x, y) = = 1,9.

��

Επίσης το f(x, y) = 10χ + Υ γίνεται μέγιστο για χ = 9 και y = Ο δηλαδή για τον αριθμό 90 και εί­ χ+y 90 ναι maxf(x, y) = 9 = 10.

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� Β' κ8. "Ι. 1/10


ΕΚ.lίΟΣΕΙΣ

ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ rι� Α · ΤΟ AYKEtO ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ Γ

Ι

Ο Γ' f Ο Σ

Σ .< ,.

11

Δ Ιι Λ Η Σ

1Ω"ΓΟΣ

ΣΙ\ΑΝ8ΑΛΗ!

IWIAI&HUA.T8111:A

ΓΙΑ ΤΙ Ι. ΑCΣΜΙ!:Σ

,.,,

D

,. .. ,

ΑΝΑΛΥΣ.Η

1" .Λ.-ΙΙΙΙΕΙΟΥ • 11< faηtO&

Δ

efO"'A !ΊΑfΛΔ�;Γ\ΙJ.Ιι\ ι\ΥΜ�Νf-1 ΑΤ(Η�1"ι1 �!Ι<.ΗΣΕΙ:ί n. Α Υ!Η.. λ"'A'ffHIC\1. 1m ί.;('!'JIJEC\

Μαθηματικά-Ανάλυση

Γ' Λυκείου -Δέσμες Α', Β', Δ'

Μαθηματικά Α' Λυκείου

Μαθηματικά Β' Λυκείου

Ανάλυση Γ' Λυκείου

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ Α

ΣΤΕΛΙΟΣ Γ EYPIΠ!QTHI

tEM.ATA ΑΝΑΑΥΣΗΣ

MJA

Ο! Ι

•Όριο

Π>ΟΎΛ�ΑΝΙΔΗl

συνάρτησης, • Συνέχεια

Γ ΑΥΚΕΙΟΥ • Α' !ΙΙΙΣΝΣ fΆ.I. I< ,'f ft fi Α ξ :t: U $4

συνάρτησης, • Ακολουθίες

Α'Μ 1\ΙΟΣ

Ι

ΤίGΥλΦΑ\IΔΙ'fΣ

" i'Hi'l \�\=;"Ξ: " ί'ι?l--:: U',�-;:-::;:-.;

" ι":"'·\.�1Ί.11�'" �y;ι:τ;,,�ϊ:'\ @tQOTA· ΜfθΟΔΟι t.νΜ\:.'.ι.ιΙ Α'Σ• ΙΙΕIΙ λΙΙΥJΕΣ ΑΣΚΗΣΕ11

• Άλγεβρα Δ' δέσμης

• Πίνακες

• Θέματα

·

Ανάλυσης

• Ορίζουσες • Γραμμικά

Γ' Λυκείου

συστήματα

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΑΡΑ

ΠΑ lΉΝ Α ΔΕΣΜΗ rιrmrot Ι(λΜΝΠΗΙ

Άλγεβρα Α' Λυκείου

--ΜΕ-

nrom

260λι..,ιi"cι:; OCJ>If'(}t!ζ

250 a.>.υtι-;οοιε:ι'κu:ι�;

Ακολουθίες

Ολοκληρώματα

Παράγωγοι

για την Α' Δέσμη

Κεντρική Διάθεση: Σ. Πατάκης Α.Ε. Εμμ. Μπενάκη 161 106 78

Αθήνα. Τηλ.: 38.31.078, Fax: 36.28.950


ΑοcSλv"Ιες "Σιμές -οι ρ ίzες

θεωρnτικές εοισnpάvσεις και i\"pέvες ασκ�οείς_ •�

io

.•. ·ι

Δnpdtjιιiς Ντpίzος Οι έννοιες απόλυτες τιμ�ς και ρίzές: πραγματικών αριθμώ1ι αποτελούν ένα <��ρόΒλnμα» με κd­ ποιες δυσκολίες , για πολλούς μαθητές thς Ν Λυκείου . . Τiς �ννοιες αυτές σUναντούιiε και σε επόμε­ νες τάξεις να «επεμβαίνουν» ουmαστικά στdν οριqμ6 <iλλ�ν. πQλύ �αοικών στα Μαθηματικά εν­ νοιών. Για παράδειγμα η απόλυτη τιμri στον ορισμό του ορίομ ίnας συνάρτησης. Κρίvουι;.ιε λοιπόν πως η κατανόηση σε βάθος αυτών των εννοιών είναι τελείως απdραiι:ητη. Σε αυτό το άρθρο τονίzεται κυρίως η έννοια της απόλυτhς τιμιiς .�ς απόσταdhς. Γίνεται επίσης μια προσπάθεια επισήμανσης των όημείωv, που συνυπάpχοον οι απόλυτες τιμές με l:ις ρίzες. ·

.

: ..

Αοόλvιa τιpιί

.

ο� Πραγματικοί αριθμοί α κοι στο Σχ; i. αnεικονίzο­ -α α νταi (άντιστοιχίzοντ�t) m.α σηβεία τ καi κ tου άξονα χ χ. �ι-aι )( ιaι� Το μήκος !ου τμήμαtο� kr, εκφράzει φν απολυτη τιμή του 2 Σχ. 1 α. α που τη συμβοΜzουμε με I α1 ti με _\ι.Γ2 Η απόλυτη τιμή του α , αφού εκφράzeι μήκος, θα είναι θετtκdς αριθμός ή Ο . Δnλαδιi Ιαl � Ο ο­ ποιαδήποτε και αν είναι η θέση του αριθμού α πάνω στον άξονα χ' χ.

χ

1"

κ

ο

ο

τ

·

ΑοόΟ'Iασa δt1ο αριθμών το" dξova χ

Σ

Ρ

χ

Το μήκος του τμήματος ΣΡ στο Σχ.2 .εκφράzει την α­ πόσταση των αριθμών α και 6 iου άξονά, πdυ μπορούμε να τη συμβολίzουμε d(α, β) ή d(β, a) και ορίzουμε Σχ. 2 d(α, β) = Ια - ΒΙ· Είναι εύκολο τώρα, θεωρώντας την απόλυτη τιμή ως αποοtαση να διαnιqτώσq:ε και εποmικά (Σχ. 1) ότι lαl = 1 -α\. Επίσης πως: lal = α, αν α>Ο ενώ lal = -α, άν a < Ο. Και Ι� = Ο _όταν α = Ο. Στο σημείο αυτό, να και ένας «ορισμός» , που λέγεται μερικές φορές, tάχα χdριν απλόύάτευ­ σης(!) Λέγεται λοιπόν ότι: «απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο αριθμός χώρίς το πρόσημό του». Ί­ σως κάποιοι μαθητές ρ<ι)τάτε που βρίσκεται το λάθος. Μα τι σηiιαίνει αριθμός χωρίς πρόσημο; Ξέ­ ρετε να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί χωρίς πρόσημο; α +-Ια- βΙ

=

β I β- al---+

Ιδιότauς τωv αaόλvιωv τιpώv

Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει: 1 . lal �α, lal �-α. Άρα και: -lal� α� lal 2 2 2. la\ α 3. lα·BI = Ιαi·ΙΒΙ =

4. . I.Q.β I_ιg_ι ΒΙ. -

Β*

ο

5. lα+ βΙ � lal + 161. τριγωνική ανισότητα Διαπιστώστε εδώ κάνοντας δικά σας παραδείγματα, ότι ισχύει: I α + � < I α1 + I Β1 όταν α, β ετερό­ σημοι, ενώ όταν α , β ομόσημοι ή ένας από τους α, β είναι Ο, τότε I α + Β1 = I α1 + I61. (γιατί;) ΕΥΚΛΕΙΔΗJ: Β' ιιθ.

ι:.

1/12


----

6.

7.

lal = 161<=>α = ±β lal = θ <=> α = ±θ, θ: θετικός lal < θ<=>-θ< q< θ, (Σχ.3) �

α··

β

8. lal >�<=>α � -θ ή α>θ, �

α<-θ

ΑαόΑ�ς n.ές κm ρύες ----

χ

Σχ.3

(�χ.�)

θ

·α>�

Σχ.4

,

Ρίzες Για κάθε μn αρνητικό αριθμό α ορizεται στο IR.το σύμβολο -\[α να παριστάνει τη μη αρνητική λύ­ ν ση της εξίσωσης � = α, όπου ν = 1; 3, .

2:

.

.

1. Ας δούμε μερικές ισότητες, ανισότητες αλλά και ισοδυναμίες που συνυπάρχουν οι απόλυτες τ•-

μές και οι ρizες:

2 κ Γ2κ.

_ , α� IR., κ εΝ' α = J-νΓ4 α = ·: · = -γα lal = :..'JΓ2 Με τη βοήθεια αυτής της ισότηταs μπορούμε να κάνουμε την απόδειξη της ιδιότηταςΙα·61 = la\·161 ως εξής: '

·'

'

·

··

Ια·61 = Μ = ψ162 = νaw = la\·161 Μ,ε ανάλ.ογ�·τρόπο κάνουμε την απpδειξή της ιδιqτητας

��� = �-

Για όλους τους πραγματικούς �ριθ�ούς α, β έχουμε ακόμη:

v-p� μ· ρ

v-p� I

_v�

μ \j α = 'JI��f. = 'Jial , μ .ρ άρτιος _-νvraαΡ = ( �) Ρ, ρ άρτιος .•··

d\fθ. = -\fcfθ,

όταν α: αρνητικό,ς και θ: θετικός

Και τώρα διαπιστώστε κ�ποια σοβαρά λάθη στα παρακάτω παραδείγματα: 2 i) -5\{7 = -ν7(�5)� !i) ν(-3) = -3 iii)

ν)

. 2 � = ( tj=2) {}(χ- 7)2 =νχ- 7 4

.

iy)

� = 4-{1( 2 )4 = ..;:2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κβ. τ. 1/13 ,.

-


----- Α86λvuς

npές και ρύες -----

v ' ' JCD να· ο,B _-ν� β ειvαι φαvερο 2 Αv α, Β ειvαι , αρvητικοι' αριθμοι,' τοτε , α· Β >Ο, βα >Ο και οι παρασrασεις ότι ορίzοvται σrο IR. Στην περίmωση αυτή όμως οι ισότητες: v � � = 'fB _ -νβ και = 'fβ \Γα ψ;β · ,

παρουσιάzουν πρόβλημα. Γιατί; Η απάντηση φυσικά είναι εύκολη και το λάθος εvτοπίzεται σrο ° 2 μέλος των ισοτήτων. Ας Βρούμε ως παράδειγμα, για ποιες τιμές του χ ορίzεται και είναι σωσrή σrο IR. η ισότητα:

�(χ + 5)(χ - 5) = �χ + �

° Για να έχει νόημα σrο IR.το 1 μέί\ος της ισότητας πρέπει (χ +

5Ηχ- 5)�ο <=> χ2 -52�ο<=> χ2�52 <=> ι χι�5 <=> χ� -5 ή χ 5 ;;J!:

° Για να έχει νόημα σrο IR.το 2 μέλος της ισότητας πρέπει και χ Άρα χ χ + Ο και χ - Ο χ Π Παρατηρήσrε, πως τα μέί\η της ροφανούς (;) ισότητας δεν ορίzοvται σrο IR.για τις ίδιες τιμές του χ. Φυσικά η ισότητα γίνεται σωσrή μόνο όταν (γιατί;)

5�

5� <=> �-5 �5. χ�5.

�5

ρv 3. Άξια ιδιαίrερης προσοχής είναι και η ισότητα W = α / , όπου α > Ο, ν = 1, 2, 3, . . . και ρ ακέ­ ραιος. Στα παραδείγματα που ακολουθούν θα δούμε ιδιότητες των ριzών και των δυνάμεων να «συνεργάzοvται» αρμονικά χωρίς aντινομίες. χ>Ο χ2!3 � χι = "' �Π (ι.) Με χ .φ Ο '-ν χ =-νι 2/3 χ< Ο (-χ) 6 5 1 1 1 (ii) 32- /5= = -6= 6 ν 32 2

Ω l ..,ι2 l ..,ι2!3 α.

=

{

�Μ

}

Ασκιίσεις

Ασκaσa 1 Τα εμβαδά δvο τετραyώyων oov το ένα·έχει ολεvρά χ και το άλλο ψ διαφέροvν κατά α με α ;;J!: Ο και το άθροισμα των οεριμέτρων τοvς είναι 80. 1.1. Να βρείτε ταν uμό τaς Ιχ - φΙ. 1.2. Αν το yινόμενο χ· ψ οαραμένει σταθερό, τότε yια οοιά τιμά τοv α το άθροι­ σμα των εμβαδών των τετραyώνων yίνεται ελάχιστο; Λvσa 1.1. Τα εμβαδά των δύο τετραγώνων είναι και και η διαφορά τους σε κάθε περίmωση εκφράzεται απο την χ - 2ι1 γιατι:, , = I χ2 2ιI· Επισης αν χ ψ τοτε χ ;;J!: και χ

χ2 ψ2 , 12 ψ � , 2 ψ2 2 - ψ2 - ψ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/14


------

Ααόλwεςuμές aαι ρ ύες ------

χ< ψ χ2 < ψ2 ψ2 - χ2 = ψ2 - χ1 χ2 - Ψ1. (1) Ι χ2 - ψ1 = α� Ι (χ+ ψ)(χ- ψ)l = α� Ι χ + ΨΙ ·Ι χ -ΨΙ = α Οι περίμεφοι των τετραγώνων είναι 4χ και 4ψ οπότε θα έχουμε: 4χ + 4ψ = 80� χ+ ψ= 20 Άρα Ι χ+ ΨΙ = 20 και από την (1) προκύmει Ι χ- ΨΙ = α 20 2 2 1.2 . Για το άθροισμα χ + ψ των εμβαδών των τετραγώνων ισχύε!: , χ2 + ψ2 = (χ- ψ)2 + 2χψ, γvωστη, ταυτοτητα �χ2 + Ψ2 =Ι χ- ΨΙ 2 + 2χψ 2 Άρα χ2 + Ψ2 = (; ) + 2χψ (2) ο 2 Από τη (2) και επειδή χψ σταθερό προκύmει πως το χ2 + ψ2 γίνεται ελάχιστο όταν (; ) = Ο, ο δηλαδή όταν α = Ο. Σ' αυτή την περίmωση τα δύο τετράγωνα έχουν ίσα εμβαδά. I και I τότε αν Επειδή τα εμβαδά τους διαφέρουν κατά α, θα ισχύει: =

.

ΑσιιΩσΩ 2 Στον ά�ονα των οραypατικών αριθμών μια μεταβλΩτιί χ κινείται, έτσι ώστε κά­ βε φορά Ω αο6στασιί τΩς αο6 τον αριβμ6 4 να είναι μικρ6τερΩ το" 5. 2.1. Να βρείτε το διάστΩμα Δ αο6 το οοοίο μοορεί να οαίρνει uμές Ω μετα· βλΩτιί χ. 2.2. rια κάβε χ Δ, αοοδείμε 6u yια τΩν οαράστασΩ Α(χ) 21 - 2·12χ- 191 ισχ\Jει-41 Α(χ) 9.

= Ιχ +

<

Λ\JσΩ

2.1. Επειδή η απόσταση της χ από το 4 είναι μικρότερη του 5, θα έχουμε: Ι χ- 41 < 5� -5 <χ-4 < 5� -1 < χ< 9�χ ε (-1, 9) = Δ 2.2. Στην Α(χ) η Ι χ+ 21 μηδενίzεται για χ= -2 και η l 2x- 191 για χ= 1i. -2

χ 2 -1 χ 9 Ισχύει χ ε Δ άρα χ> -1 >-2, οπότε χ+ 2 >Ο και Ι χ + 21 =χ+ 2. Επίσης χ < 9 < ι:. άρα χ - ι: < Ο δηλαδή 2χ- 19 < Ο και 1 2χ- 191 = 19 - 2χ. Έτσι προκύmει: Α(χ) =χ+ 2- 2(19-2χ) = χ+ 2- 38 + 4χ = 5χ- 36. Έχουμε τώρα τις ισοδυναμίες: χε Δ�-1 < χ< 9�-5< 5χ< 45�-41 < 5χ- 36< 9� -41 < Α(χ) < 9 ΑσκΩσΩ 3 Αν Α(χ)

= .Vx2- 2χ

19

= �(χ2 - 1}4, να λ\Jσετε τΩν ε�ίσωσΩ ...jA(X) + Β(χ) = (1)

+ 1 και Β(χ)

Ο

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ Β' aθ. Ί . 1/15


-------

Ααόλwες upές και ρύες -------

Λvσa

Επειδή χ2 - 2χ + 1 = (χ - 1 )2 προκύmει Α(χ)2 = ν(χ - 1 )2 = I χ - 11 και φυσικά Β(χ) = I χ2 - 11. Τώρα γι α κάθε χ ι σχ ύει: χ1 �Ο, χ 11 �Ο και οι παραστάσεις Α(χ), Β(χ) καθώς και η Ι 1 Ι εξίσωση ( 1) ορίzοvται για κάθε χ Έτσι έχουμε: ".}Α(χ) + Β(χ) = ο� Α(χ) + Β(χ) = ο<=::> Ι χ- 11 + Ι χ� - 11 = ο<=::> Ι χ- 11 = Ο και Ι χ2 - 11 = Ο� χ= 1 και (χ= 1 ή χ= -1) Επομένως η λύση της εξίσωσης ( 1) είvαι ο αριθμός 1. Ε

IR

Ε

IR.

'Άσκaσa 4

Av Α(:κ.) = --J:κ.2 + IOx + 25 τότε:

6<2 -5 ισ:ιι:tJει: :ιι:Α(:ιι:+ 5) - :κ.+ Α(:ιι:) 4.2. Να βρείτε τις τιμές τotJ :ιι: yια τις οοοiες: :ιι:2 + Α(:ιι:) = Ι:ιι:2 + :ιι: + 51. Λvσa 4.1. Είvαι χ2 + 10χ + 25χ+5 = (χ+ 5)2, dρα Α(χ) =Ι χ+ sι και για κάθε χ'* -5 έχουμε: χ+ 5 � I χ+ sι� Ι χ+ 51 � 1 (1) Επίσης: -(χ+ 6) < -(χ+ 5) � Ι χ+ sι. Άρα ��::) < 1 (2) Από τις (1 ) και (2) προκύmει ��xf-��xf < 2. 4.2. χ2 + Α(χ) = Ι χ2 + χ + 51 Ι χ1 + Ι χ+ 51 = Ι χ2 + (χ+ 5)1 η τελευταία ισότητα γίvεται αληθής μόvο όταv οι2 χ2 και (χ+ 5) είvαι ομόσημοι 2ή ένας από αυ­ τούς εί v αι Ο ( γ ι α τί ; ). Δηλαδή μόvο όταv χ (χ + 5) � Ο και επει δ ή χ � Ο, πρέπει χ+ 5�ο�· χ�-5. 'Άσιιaσa 5 Av :κ.= 34';1.; 12, τότε αοοδεiμε ότι yια κάθε ισ:ιι:vει -5 < :κ.< -3.

4

ι Να αοοδει'S:�ετε οτι yια ιια'8ε :ιι: '*

,

,

<=::>

11'-

φ

Ε IR

Λvσa

Πρέπει3 + ΨΙ και έτσι η παράσταση ΙΨΙ '* Ο. Όμως γι α κάθε εί v αιiΨΙ �Ο, οπότε 3 + > Ο Ι χ ορίzεται για κάθε Θα εξετάσουμε αριθμοί α και θ > Ο ώστε η σχέση -5 < χ < -3 vα γράφεται ι­ σοδύvαμα στη μορφήαv υπάρχουv Ι χ+ α1 < θ. · Ισχύει: -5< χ<- 3�-5+ α< χ+ α< -3+ α (1) Και απαπείι:αι: (-5 + α) + (-3 + α) = Ο (γιατί;) <=::> 2α - 8 = Ο� α = 4 Συvεπώς η -5 < χ< -3 ισοδύvαμα πλέοv λόγω της (1), γράφεται: -1 < χ+ 4 < 1� Ι χ + 41 < 1. Έχουμε τώρα: χ = -341+ΨΙ1ΨΙ- 12�χ + 4 = - 41ΨΙ -3 12+ 1ΨΙ+ 4(3 + ΙΨΙ)� χ + 4 = 3 + 1 ΨΙ ψΕ

ψΕ

IR.

IR

,

Ε IR

f

Ψ

Ψ

Ψ

ΕΎΚι\ΕΙΔΗ:Ε Β' κ8. τ. 1/16


----

Αοόλwες uιιές και ρizες -----

Άρα Ι χ+ 4l = 1311ΨΙΙ = 3 �ΨΙ < 1' Οπότε για κάθε IR, Ι χ + 41 < 1 <=> -1 < χ+ 4 < 1 -5 < χ < -3. ψε

Ασκnσn

<=>

6

Αν α, β θετικοί αριθμοί και οι αριθμοί &οδείξετε ότι:

�' � είναι μεyαλύκροι το\J -{3 να α­

Λvσn

aνίσωση που θέλουμε να αποδείξουμε ισοδύναμα γίνεται: 2..[ciβ > 3Va + 3� <=> ..[ci6 + ..[ci6 - 3Va-3� > ο <=> -ΓcrJB+ -ΓcrJB- 3Va-3� >ο<=> Va(�-3) + �(Va-3) > ·0 (1) μέλη των ανισώσεων � > -.J3 και � -.J3 είναι θετικό, οπότε τετραγωνizοvτας ισοδύναμα παίΤρανουμε: Η

>

{Επομένως �=� }={ �=�=�} η (1) είναι αληθής, γιατί πράγματι το άθροισμα θετικών γινομένων είναι θετικός αριθ­

μός. Οπότε αληθής θα είναι και η ισοδύναμή της αρχική Ασκnσn 7

rιa. τις διαστάσεις Α και Β ενός ορθοyωvίο\J &αραλλnλοyράμμο\J είναι Α 5 2� και Β 5 2�. Να βρείτε το εμβαδόν και τον Dί:ρίμετρό το\J κα­ θώς και τn διαφορά των διαστάσεών τοu.

= .V

-

= .V +

Λvσn

Το εμβαδόν του είναι: Α· Β= .V5-2-νε, .V5 + 2-νε, = .V52 -22(-νε,)2 = 1. περίμετρός του είναι: 2 · (Α+ Β) . Όμως (Α+ Β)2 = Α2 + Β2 + 2ΑΒ = 1 5 - 2νΘι + 1 5 + 2νΘι 2·1 = 12. Άρα Α + Β = 1'ϊ2. = 2-.J3 και συνεπώς 2(Α + Β) = 4-,J3. Για τη διαφορά Β-Α των διαστάσεών του: (Β- Α)2 = Β2 + Α2 -2ΑΒ = · · · = 8 Επομένως (Β- Α)2 = 8 <=> IB- ΑΙ = νs = 2\12 και επειδή Β> Α προκύmει Β-Α= 2-fi. Εδώ θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα Α+ Β, Β-Α και με άλλο τρόπο. Επειδή: 2-νε, = (-fi)2 + (-,J3)2 - 2-fi-.J3 = (-fi- -,J3)2 και5 + 2-νε, = (-fi + -,J3)2 προκύmει ότι: Α = -ν(-fi - -,J3)2 = 1-fi - -.J31 = -.J3 - -fi και Β = -fi + -.J3 Η

+

5-

ΕΥΚΛεΙΔΙΙΣ Β' κθ. τ. 1117


-----

Αα6λι:Σες upές

ιιαι

pίzες

Έτσι βρίσκουμε πόλι Α + Β= 2..J3 και Β -Α = 2-ν2.

-----

Αοιιnοn 8

Να Α\Jοετε ως nρος χ: 8.1. uς ε�ιοώοεις (i)

v-�-νχv Γ7 v-�χ v = α, 2όnο" χ, α θεuιιοί ιιαι = 3, 4, 5, ...

1χ1 - 3lx - 31 = Ι'� x l 8.2. ΊΙς αvιοώοεις (i) Ιχ3 - 11 � χ2 + χ + 1 (ii) Ιχ2 + χΙ 12χ + 21 Λvon 8.1. (i) Είναι: v- v2 v-� χ χ4-4v = v-\Jχv2-4v-+4 = v-� χ(v-2)2 = v-�(χv-2)v-2 = Iχv-2ιι=χv-2 W και η ε σωση γι,νεται: χv-2 = α <=> χ = v-� α, επειδη, χ, α θετικοι:, 8.1. (ii) Έχουμε: 2χ IJ4 - 3Ι χ -� = 1 6 -; ι <=> IJ4 - 3Ι χ -3Ι = ι - � (χ- 3) 1 <=> IJ4 - 3Ι χ - 3Ι = � Ι χ -31 <=> 11 Ι χ -31 <=> 31J4 = lllx -31 <=> 1 3xl = l llx-331 <=> IJ4 = (3 + 32) Ι χ- 31 <=> IJ4 = 3 3χ llx- 33 ή 3χ = -llx + 33 <=> χ = 338 ή χ= 3314 8.2. (i) Έχουμε: Ι χ3 - 11 � χ2 + χ + 1 <=> Ι (χ- 1)(χ2 +χ+ 1)1 � χ2 + χ+ 1 <=> Ι χ- 1l l x2 +χ+ 11 � χ2 +χ+ 1 (1) Εί2ναι: 1 2 χ + χ+ 1 = 2 (2χ + 2χ + 2) = 21 [χ2 + 1 + (χ2 + 2χ 1)] = 21 [(χ2 + 1) + (χ+ 1)2] > Ο, ως άθροισμα του θετικού (χ2 + 1) με τον μη αρνητικό (χ+ 1)2. Επειδή χ2 +χ+ 1 > Ο, θα ισχύει χ2 + χ+ 1 = Ι χ2 + χ+ 11 και η (1) γίνεται: Ι χ- 11 � 1 <=> -1 � χ- 1 � 1 <=> ο � χ� 2 [Σε2 μια από τις επόμενες παραγράφους του σχολικού σας βιβλίου, θα δείτε πως η απόδειξη της χ + χ+ 1 > Ο, μπορεί να γίνει και διαφορετικά με πιο απλό και σύντομο τρόπο.] 8.2. (ii) Είναι: Ι χ2 + χΙ > l2x + 21 <=> Ι χ(χ + 1)1 > l 2(x + 1)1 <=> IJ4 Ι χ+ 11 > 2Ι χ + 11 <=> Ι χ+ 11 (2 - Ι χΙ < ο Αν χ -:1:-1 τότε Ι χ+ 11 > Ο και η τελευταία aνίσωση θα είναι αληθής μόνο όταν: 2 - Ι χι< ο <=> 1χι > 2 <=> χ< -2 ή χ> 2 Αν χ= -1 η aνίσωση είναι αδύνατη. (ii)

4-4

v

•α•

>

ξί

r: ν

=

+

J

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιθ. τ. 1/18


------ Αaόλ�ες upές aαι ρύες -------

1\σκaσa 9

Αν ισχvει φ2 : (1), να αοοδείξετε ότι a οαράστασa '\]χ4 + 6φ2 + φ4 + 6χ.2 είναι ανεξάρτaτa των χ και φ. Λvoa

χ2 + =

'\)

'\)χ4 + 6ψ2 + '\)φ4 + 6χ2 = ,Υχ4 6 (�- χ2) + ,Υψ4 + 6 (�- ψ2) = '\)χ4- 6χ2 + 9 + '\)φ4- 6ψ2 + 9 = '\}(χ2 - 3)2 + '\}(ψ2 - 3)2 = Ι χ2 - 31 + lφ2 - 31 = 13 - χ1 + 13 -ψ1 = �� + (� - χ2)1 + �� + (� - Ψ2)1 = I �+ ψ2 Ι + I �2 + χ2 Ι = �2 + ψ2 + �2 + χ2 = 3 + (χ2 + ψ2) = 3 + �2 = 2.2 2 +

Βιβλιοyραφία • • •

Ο.Ε.Δ.Β.: Άλγεβρα Ν Λυκείου, Σ. Αvδρεαδάκης, κ.λ.π., 1994 Ε.Μ.Ε.: Περιοδικό «Ευκλείδης Β'» Προσωπικές σημειώσεις (ανέκδοτες)

Θ. Ν. Καzαντzός ΟΛοκΛηρώματα

Θ. Ν. Καzαντzός

Π. Βασιλειάδης

ΠΙθανότητες

r. Μαvρίδης

(τεύχοςα)

ΑλγεΒρΙκά Θέματα

Θ. Ν. Καzαντzός

1000 ασκιiσεΙς

Ο?ιοκΛnρωμάτωv

Νέα έκδοσn

Θ. Ν. Καzαντzός

Θ. Ν. ΚαzαvΣzός

Σεφά:»εξετάσεΙς»

Ελένη Μότσιοv

Ελένη Μότσιοv

r. Μαvρίδης

• Διαγωνίσματα

Σεφά:»εξετάσεΙς»

• ΠροΒλήματα

Περιοδικό

• εξετάσεΙς 95 Θέματα - επαvάί\nψn

Δ. rεωρyακίλας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

Μαθnμαπκά

ΠΑΙΔΕΙΑ

επαvά?ιnψn

lo τεύχος

4nςδέσμnς

Δ. fεωρyακίλας

Δ. fεωρyακίλας

Αλγε6ρα Β' Λυκείου

τ. θεοδωρακόιιΟΟλος

lnςκω 4nςδέσμnς

Αvα?ιυπκιi Γεωμετρία

γΙα υποψιiφ10υς

κυκΛοφορεί τον

ΆΛγεΒρα κω

σε ένα τεύχος ό?ιn n ύ?ιn

ΝοέμΒρΙΟ

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ Β' aβ. τ. 1/19


rεωμετρία Ν Λvκείοv Θαvάσaς Κvιίιακόοο\Jλος Η Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπως αυτή παρου­ οες πλεορ�ς και το αντίστροφο. σιάzεται μέσα από το αξεήέραστης επιστημονι­ Για την ισότητα ορθοyωνίωv τριγώνων (εκτός κής αξίας, διαχρονικό έργο τού Ευκλείδ� της οpθ�ς· Ύωνίας φυσικά) μας χρεiάzονται k <<Στοιχεία», αποτελεί το ιδανικότερο ίσως λογι ό δύο αvtίστοιχα στοιχεία εκ �ων οποίων το έ­ καl::ασκεύασμα, αφού έθεσε τις βόσεις της aπονα τουλόχιστον να είναι πλευρό . δεικτικής διαδικασίας, πρωταρχικού εργαλείου, Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. το όθροι(ηια των για την ανamυξη και εξέλιξη των Μαθηματικών, οξειώv. γώνιών του είναι 90°. Δήλ. εόν ΑΒΓ χρησιμοποιώντας για πρώτη φοpό το αξιωμα­ (Α = 9ooj, Β + Γ = 90Q. <=> Β = 900 - Γ και uιιό cnSστapa, ώστε η αλήθεια των προτόσ�­ Γ = 900 - Β. ών, να προκύmει από τri λbγική επεξεργασία Η εσωτ�ρική διχοτόμος γω:vίας φιγ<δνου εί­ αρχικών δεδομένων και υποθέσεων. ναι κdθση στην αντίστοιχη eξωτeρiκή διχο­ Γίνεται λοιπόν φανερή, η ανεκτίμητη διδα­ τόμο; kαθ'όσον οι διχοτόμοι δύο ε<Ρεξής και κτική αξία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (η σχο­ πaραήΛηρωματικών γωνιώv, όήώς ξέρουμε λική Γεωμετρία αποτελεί στοιχειώδη αναφορό tέμνοVται κόθετα. στη Γεωμετρία του Ευκλείδη), καθ'όσον, καλ­ Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ι­ λιεργεί, οργανώνει, μεθοδεύει και οξύνει τη σοσΚελές (με.βάση τη ΒΓ), αpκέί να δείξουμε σκέψη και μέσα από την ποικιλία των μεθόδων ένα από τα παρακάτω: της και τις πολλαπλές επιλογές που παρέχει για α) ΑΒ = ΑΓ, την επίλυση ενός θέματος, συμβόλλει στη νοη­ Β) Β = r. τική δημιουργικότητα των μαθητών. γ) το ΑΔ ύψος Ι;tαι διάμεσος,. Οι ασκήσεις που ακολουθούν, αναφέρονται δ) Τό ΑΔ μψος και διχοτόμος� στα κεφόλαια της ισότητας τριγώνων, ί:Ίαραλλη­ ε) Το ΑΔ διάμεσος και .διχοτ6μος. λίας και καθετότητας, σχέσεων γωνιών στα τρί­ Ορθογώνιο τρίγωνο με μια γωνία είναι γωνα, ιδιότητες ορθογωνίων τριγώνων και ανι­ ισοσκελές. σοτικές σχέσεις. Ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία 600, είναι �­ Για τη σωστή αντιμετώπιση των ασκήσεων, σόπλεορο. πέρα από την καλή γνώση· της θεωρίας και την Δύο τρίγωνα, ήου έχουν δύο γωνίες ίσες μίά εμπειρία στην τεχνική του τρόπου εργασίας, που προς· μία, θα έχουν και τις·τρfι:ες τους γωνίες αποκτόται με τη συστηματική εξόσκηση, ανα­ ίσες (Ιοογώνια). γκαίο είναι ένα καλό και προσεγμένο σχήμα, Παραπληρωματικές γωνίες . ίσων γωνιών . εί� που Βοηθό στην «αποκρυmογρόφηση» των δε­ ναι ίσες (ψια παpάδειγμα, οι εξωτερικές γω­ δομένων που «κρύβονται». νίες, των παρά τη Βάση γωνιών ισοσκελούς Χρήσιμο είναι να έχουμε υπ'όψη τα εξής: τρiγώνοο, είναι ίσες). Δύο τμήμaτα είναι ίσα και στην περίmωση Εάν δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν όλα τα που εκφράzονται σαν αθροίσματα ή διαφο­ αντίστοιχα στοιχεία τους, ένα προς ένα, ίσα ρές ίσων τμημάτων. (πλευρές, γωνίες, ύψη, διχοτόμους, κλπ.). Η διc)μεσος στην υποτείνουσά c:;φθογωvίου Δηλ. η ισότητα τριγώνων μας Βοηθά να απο­ τριγώνου, χωρίzει το τρίγωνο όε δύο ισοσκε­ δεικνύουμε ισότητες τμημάτων, γωνιών, λή τρίγωνά. κλπ. Η απόδειξη μιας ισότητας τριγώνων πολλές φορές δεν εππυγχόνεται με μία μόνο Παρατιίpnσa: σύγκριση αλλά συνήθως <<περνάει» από εν­ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΡ(Α = 900). Εδιόμεσες συγκρίσεις τριγώνων απ όπου παίρνουμε τα απαραiι:ητα στοιχεία για την άν Μ σημείο της ΒΓ ώστε MAr = f (ή 'ΜΑΒ = Β ), τότε ΑΜ διάμεσος στη ΒΓ. τελική σύγκριση. (Απόδέιξη: Άσκηση) Οι ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι αnό τις ί•

·

:

ν.

......

,'

'.

......

,•.

•'

,.

.

.

...,.

45°,

...,Δ. ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' ιι8. τ. 1/20

......


------

\

-'

Ι'εωpετρία � ι\νκείον

-------

..:..

Από το ισοσκελές τρίγωνο ΓΑΔ (ΓΑ = ΓΔ) είναι Α....=.. � και επειδή Δι = �. ως κατα κορυφή ...... ΑσιιDΟD ι Α = Δι. ..:.. ...... Δίvει:αι ορθ. ι:ρίyωvο ΑΒΓ (Α = 90°) Η Γι σαν εξωτερική γωνία του ΓΑΔ είναι: ιιαl .. δι•όι:οpος ΑΔ αvι:οιS. Φέροvpε ....... ..-... ....... ..-.. ..-... Γι = Α + Δ2 � Γι = 2Δι aa6 '10 4 �άθει:D O'ID ΒΓ DOV ι:έpvει 'IDV ' ..:.. Να δείξ�ι:ε ή λόγω του τριγώνου ΕΓΒ: 4\f" cno :ι Jιq��·i•� Af! σι;p r.�· on ΔΖ =, ΔΒ ιιοι ΔΡ ::::: ΔΓ. 1800 - Β - Ει = 2Δι ΛιSσa. ή αφού fι = Β (διότι ΓΕ = ΓΒ): Ασιuίσεις

·

,

·

\·•

.. .

1'

ι

'*'

,

· _,

,.

ι

.......

.......

.......

......

1800 - 2Ει = 2Δι ή Δι = 90° - Ει ή Δι + fι = 90°.

Ασιιaσa 3 Δίvει:αι ι:ρίyωvο ΑΒΓ, σι:ο οοοίο •· Γ σχιSει ίi - r = 90°. 'Εσι:ω ΑΔ D διχοι:οpος ι:aς yωvίας Α. Να δείξει:ε on ΜΒ = 45°. Φέρουμε ΔΣ l. ΑΒ και ΔΛ l. ΑΓ. Συγκρί­ ΛιSσa νουμε τα ορθ. τρίγωνα PU και Mr. ' Εχουν: Α ...... 1) = Γ , διότι είναι οξείες γωνίες και έχουν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία. 2) ΔΣ = ΔΛ, διότι το Δ ανήκει στη διχοτόμο. Άρα PU = Mr και ε;πομένως ΔΡ = ΔΓ. 'Ομοια από τα ορθ. τρίγωνα ΒΣΔ κi:ιι ΔίΛ πρqκύmει ΔΖ = ΔΒ. "'

.

Ρ

""'

AcntDOD 2 Γ ...... ...... ....... ΔίvεJ�Ι ε1)8. ι:pιipα ΑΒ ιιαι οapείο Γ Επειδή Β Γ = 900 ή Β = 90° Γ έπεται + εσωι:εριlιο. αvι:�ιS. ιiάvω σ� aμιεvθεία ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο στο Β. ότι το r., aόv Φέρvοvμε αaό 'lo r, ..αίρvοvμε ' Εστω ΜΒ = Δι . :ιpιiμαι:ά. ΓΆ = Γ'Α •ιJ* ·rε =, ΓΒ. Να .�εί­ ...... .... . .. .... . .. .... . .. .... . .. .... . .. Α (1) ξει:ε οι:ί ΒΕ _!_ ΑΔ. Είναι Δι = Γ + Α2 ή Δι = Γ + 2 Avσa Όμως Δι = 1800 - Β - Αι (από το ΑΒΔ) ή ...... χ ...... .... .. Α (2) Ε Δ1 = 1800 - Β - 2 �\ Από (1) και (2) έχουμε: ... )ι " ... 2Δι = 180° + (r - Β) ή ι ... ... \' ...... ...... ...... Δ \ 2Δι = 1800 - (Β - Γ ) ή \ \ \ 2Δι = 1800 - 900 ή Δι = 45°. .Λ Β Α Ασιιaσa 4 ...... ...... Αρκεί Δι + �ι = 900 . Σε ορθοyώvιο ι:ρίyωvο Air .......

-

;

.!

.......

"

,. .i"

ΕΥΚΛΕΙΔΗJ; Β' κ8. τ. 1/21

......

.......

·�


------ rεωpει:pία Ν Λvιιείοv

------

ΑΔδείξουμε ΒΜδηλ.= ΝΑΜ ορθογώνι ο, οπό­ (Α = 90°), φέροvμε τnν εvθεία ΒΖ, nov τε γιΕίναι α να ΒΝ, αρκεί να δείξουμε τέμνει τnν στο Ζ, ώστε ΖΒΑ = :. Εάν � = Ν (γιατί;). αqf,) το .. φέροvμε τn ru τέ­ 'Εχουμε: Αι = Ν, ως εντός εναλλάξ, μνει τn ΒΖ στο Η, να δεί�ετε ότι Αι = �. διότι εξ. διχοτόμος BJ" = Ζ2Η. ΆραΝ=Αz. .l Μ ,

Μ

.l ΑΖ

DOV

ΑΝ

......

. ·

Λvσn

......

6

Ασκnσn

Η

Δίνεται τρίyωνο Air με Β και r Σταν οροέιπασn τnς ΒΑ ορος το Α, οαίρνοvμε τμιίμα ΑΔ 2ΑΒ. Να βρείτε το μέτρο τnς y�νίας Mr.

= 15°.

=

= 45°

Λvσn

Θεωρούμε τη διάμεσο ΓΜ του ορθ. τριγώνου rHZ. Επειδή ΓΜ = z� αρκεί να δείξουμε ότι ΓΒ= ΓΜ. (γιατΤαί;).τρίγωνα Mrn και ΜΖΓ είναι ισοσκελή Επειδή τα τρίγωνα zAB' και zrΉ, έχουν δύο γ�vίες ίσες (τις ορθές και Ζι = Ζ2, ως κατά κορυφή), και....τι... ς τρfι:.......ες τους γωνίες ίσες, . ....Η... θα....έχουν . .. .... . .. δηλ. = Βι ή Η = ΖΒΑ ή Η = 3·Β Όμως ....Η.. = Γι,....... οπότε Γι..-... = 3·Β 28· Είναι: Μι....... = Γι...... + ....Η... ή Μι....... = 2Γι....... ή Μι...... = g Όμως Ζ....ΒΓ... = 32..-.Β,.. δηλ. Μι....... = ΖΒΓ και το τρίγωνο rMB ισοσκελές, άρα ΓΒ = ΓΜ. Ασκnσn 5 ......

......

......

......

......

......

Δίνεται τρίyωνο Air με ΑΒ < Μ. Ε­ άν n οαράλλnί\n αοό το Β ορος τnν Μ, τέμνει τnν εσωτερικά και ε�ωτερικιί δι­ χοτόμο τnς yωvίας στα Μ και Ν α­ ντίστοιχα, να δείfετε όu ΒΜ

Α,

Λvσn

= ΒΝ.

Β Γ Επειδή Β = 45° και Γ = 15°, είναι Α = 120°, δηλ. το ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο στο Α. Έστω το ύψος του ΑΔΓ. ορθ. τρίγωνο ΑΡΔ είναι Αι = 600, οπότε ....Δι.. Στο , ΑΔ· = 300, αραΑΡ= τ Από υπόθεση ΑΒ = �· άρα ΑΡ = ΑΒ και το ΑΒΡ ισοσκελές και επειδή Α = 1200 θα είναι ΑΒΡ = ΑΡΒ = 1 800 - Α = 1 800 - 1200 = 300 2 2 οπότε ΡΒΓ = Β -ΑΒΡ = 45° - 300 = 15°. Δηλ. ΡΒΓ = Γ = 15° και το τρίγωνο ΡΒΓ, είναι επίσης ισοσκελές, δηλ. ΡΒ = ΡΓ (1). Είναι � = ΔΒΡ = 300 και άρα το τρ. ΡΒΔ ισοσκελές, δηλ. ΡΔ = ΡΒ (2). rΔ ορθογωνι ιι ).!2) Ρ 'ο Δ = ΡΓ και το τρ. p"""'" Απο==> και ισοσκελές. Άρα Δ2 = 45°. Έχουμε = Δι + Δ2 = 300 + 45° = 75°. ......

......

"""'

ΔΡ

......

......

......

......

......

""""

'

......

......

ΑΔΓ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/22

......

......

......


------- Ι'εω.ει:ρίσ Ν Λvκείοv -------

1\σκοσο 7

ορβοyώvιο τρίyωνο Air (Α και n διάμεσος ΑΜ Αιιό τ"χαίο σnμείο Ρ τος ΑΜ φέρο"με κάθετο στον ΑΜ οο" τέμνει uς ΑΒ και Ar στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Εάν Ν το μέσο τος ΕΖ, να δεί�ετε ότι ΑΝ .l Br. ......

Δίνεται =

90°)

.

Λvσn

Α

ΑΓ.Θεωρούμε τη διχοτόμο ΑΔ και το μέσο Ε της 'Εχουμε: ΑΕ= ΕΓ = � = (υπόθεση) . όμως τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα διόΤότε τι έχουν: 1)2) ΑΒ ΑΔ == ΑΕ ΑΔ όπως κοινή αποδείξαμε και Αι = � (λόγω διχοτόμου). Άρα θα είναι και Ει = Β. Όμως Β < 900 άρα Ε;_ < 90°, οπότε Ε2 < 900 (αφού Ε1 + Ε2 = 1800). α τρίγωνα ΑΕΔ και ΕΔr έχουν: 1) ΔΕ= ΔΕ κοινή 2) ΑΕ = ΕΓ Ει < Ε2 Άρα σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα: ΑΔ τρίγωνο Mr είναι ....Γ .. <Α<...... η, οπότε ...-.Γ . < 2Αστο . 2 ΑΒ

3)

......

......

......

......

τ

Έστω Κ το σημείο τομής της με τη ΒΓ. Αρκεί να δείξουμε κΑr + Γ = 90°. Στο ορθογώνι ο τρίνγουσα ωνο και άραη διαιρείείναιτο διάμεσος στην υποτεί τρίγωνο σε δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα ΑΝΖ και ΑΝΕ. Είναι λοιπόν ΝΑΖ = Ζ1 ή ΚΑΓ = Ζ1 (1) Ακόμη = Γ (2) για τον ίδιο λόγο. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΡΖ: ΡΑΖ + Ζ1 900 ή ...... + Ζι 900 λόγω των (1), δίνει: Γ + ΚΑΓ=900 ΑΝ

...,.

ΑΕΖ,

......

......

ΜΑΓ

......

Η (3)

......

......

=

......

ΜΑΓ

......

(3)

=

8

ABr με Β < 90° ...,.

......

= 2·ΑΒ. Να δεί�ετε όu r < �Α

......

ΔΓ

.

......

......

(2)

Δίνεται τρίyωνο Ar

......

......

......

'Άσιιnσο

......

ΑΝ

3)

και

Μαθηματικά 4nς Δέσμnς •Άλγεβρα •Ανάλυση • Λυμένα Θέματα Γενικής Επανάληψης και Δ

ΤΑΚΗΣ ΠΟΛΥΔΩΡΟΣ - ΠΑΝΝΗΣ ΣlΑΧΟΣ

• Νέα Β ιβλία • Πρωτότυπες Ασκήσεις

Λvσο

Απαραίτητα για τη ΣΩΣΤΗ προετοιμασία των υποψηφίων A.E.l - T.E.l

Γιιιοl.οk.ίψωμtνη ιροr.1οιμασiα ιωvυ�ο9ηφίων A.EJ.

Διάθεση - Πληροφορίες :

Γιώργος Κυριάκογλου Πάρνηθας 61, 152 35 Βριλήσσια, Αττική. Τηλ. (OJ) 80 45 790 - (01) 80 41 216

Γ

Αποστέλλονται και ταχυδρομικά με αντικαταβολή.

ΕΥΚΛΕJΔΗ); Β' κ8. τ. 1/23


rεωμετρία Β' Λ"κείο" Μετ ρικές Σχέσεις

rρayόρaς Δ. Φωτιάδaς

υποτείνουσας. της ό σ μι το αι ν εί 300 γωνία πόΆραΑ Ζ =ΑΔ= α. = ΔΖ2 = ΑΖ2 + ΑΔ2 -2ΑΖ·ΑΔσυν1200 <=> ΔΖ2 = 2α2 + 2α2·!2 = 3α2 <=> ΔΖ = crJ3 ii) Αν : = � (ν2 + V'), να "οολοyι­ στο.Sν οι yωνίες το" τριyώνο". ΖΚ2 = ΑΖ2 + ΑΚ2 - 2ΑΖ·ΑΚσυν120° <=> ΛtSσa ΖΚ2 = α2 + (� α)2 -2α·� α{- !) = 1�α2 <=> i) Από το νόμο των συνημπόνων έχουμε: �. α22 = 82 2+ y2 -22ΒyσυνΑ <=> Κ Ζ = 3 α = 28 - 28 συνΑ <=> Α α2 = 282(1 -συνΑ) <=> β = 2ηll'ϊ. 3. Οι ολε"ρές α, β, v τριyώνο" Air, ικανοοοιο.Sν τα σχέσa: 2α2 = β2 + v2 . ii) α2 = 282 (1 - συνΑ) <=> (Έ) = 2(1 -συνΑ) <=> Αν Η είναι το ορθόκεvτρό το", να δεί�ετε ότι: 2 2 = ΒΗ2 + rH2 • 4 = 2(1 - συνΑ) <=> Λ.Sσιa 8 + 12-{ϊ212 Α 4 + 2:-J3 = 1 - συνΑ <=> συνΑ = 1 - 424--2;-13 (2-ν3)2. <=> �13 συνΑ= 1 - 2 -2..J3 <=> συνΑ=�<=> 2 Α = 300 και Β = Γ = 75°. """' ΑΒΓ είναι οξυγώνιο επειδή 2. Σε τρίyωνο ABr, είναι Α = 120°, ο ρό το" Κ το βαρ.S = 2α, ΑΒ = α2 2α2 = Β2 +ν2. δtSo UqJD το". Να "οολο­ aαι yιστο.Sν, σ"ναρτιί.σει το" α, τα τpιί.· Από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα pατα ΖΔ, ΖΚ. χουμε: ΛtSσa α2 = 82 + / - 28-ΑΕ α2 = 8. 2 +ν2 - 2. ν·ΑΖ 8- ΑΕ + ν·ΑΖ) <=> 2α2 = 2(82 y2) -2( . 2α2 4α2 -2(8- ΑΕ +γ- ΑΖ) <=> 2 = Β- ΑΕ+ ν· ΑΖ (1) α Β το ίδιο θεώρημα στα τρίγωνα Εφαρμόzουμε ΗΑ Σε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά απέναντι α- ΗΑΒ και Γ.

1. Δίνεται ισοσκελές τρίyωνο ABr (ΑΒ Ar). Ι) Να δεί�ετε ότι : = 2· a�

ι

Ό

ΑΗ

·�

ι;

r

.......

Ar ΑΔ, rz

κεvτ

τ

<

.

. ,

·'

. ·,:

μ

+

.

=

·

ΕΥΚΑΕΙΔΙΙΣ Β' d. τ. 1/24

έ-


------ Μει:ρικές �χέσεις

ΒΗ2 = γ2 + ΑΗ2 - 2γΑΖ ΓΗ2 = 62 + ΑΗ2 - 26ΑΕ ΒΗ2+ΓΗ2 = 62+γ2+2ΑΗ2-2(6ΑΕ+γΑΖ) <=> από τη σχέση (1) ΒΗ2 + ΓΗ2 = 2α2 + 2ΑΗ2 - 2α2 <=> 2ΑΗ2 = ΒΗ2 + ΓΗ2.

-----Λvoa Α

Από..... το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε: ΑΒ2+Br-2 = 2ΒΜ2 + � <=> (ΑΒ=ΑΓ=2ΜΓ) (2ΜΓ)2 + Βι-2 = 2ΒΜ2 + 2Μι-2 <=> Βι-2 = 2(ΒΜ2 - Μι-2).

4. Δvο κινaτά κινοvvται οpαλώς pε τα­ 1° χVτaτες " και 2v, σος ιιkvρές ισόολεvροv τριyώνοv ABr ιιkvράς α 20m και αναχωροw ταvτόχρονα αοό uς κορvφές Β aaι r, pε κατεvθvνσa τaν κορvφιί Α. Av " 2 �, sec να βρεθεί pετά οόσο χρόνο θα αοέ­ χοvν pετα�v τοvς αοόστασa 14m. 6. Δίνεται τρίyωνο Air και Κ το βαρv­ Λvoa ιιεvτρό τοv. Αν ΚΑ 1, ΚΒ 2, Kr '\[3, να Vοολοyιστοvν ΟΙ ολεV• ρές τοv τριyώνοv. Λvoa

.....

=

=

Α

=

=

=

Α

α Έστω μετά χρόνο θα βρίσκονται στι ς θέσει ς t · Δ και Ε, τότε θα είναι: ΒΔ ....=. υ-t = 2 t και Β 4-t. Στο τρίγωνο από το νόμο = 2υ-t = ..... των σuνημπόνων, έχουμε: Από το θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ΚΒΓ , κΑΓ, κΑΒ έχουμε: ΔΕ2 = ΑΔ2 + ΑΕ2 - 2ΑΔ·ΑΕ· σuνΑ <=> 142 = (20-2t)2+(20-4t)2-2(20-2t)(20-4t)·� <=> ΚΒ2 + J<ι-2 = 2ΚΔ2 + �22 <=> 3t2 - 30t 51 Ο και 22 + �2 = 2· (�)2 + � <=> α = νΙ3 tι = 5 - 2�sec, t2 = 5 + 2�sec. ΚΑ2 + J<ι-2 = 2ΚΕ2 + !!..22 <=> Έχουμε δύο λύσει ς , αν υποθέσουμε ότι θα συνεχίσουν ευθείες ΒΑ καινα ΓκιΑ.νούνται και μετά το Α στις ημι­ 12 + �2 = 2· 12 + !L22 <=> 6 = 2 ..... ΚΑ2 + ΚΒ2 = 2ΚΖ2 + y_2 <=> 5. 'Εcπω ισοσιιεΑές τρίyωνο ABr 2 (ΑΒ = . και το pέσο Μ τaς ολεv­ ράς Να δειχθεί όu: 12 + 22 = 2{�J + � <=> γ= *fl. ΒΓ = 2(ΜΒ2 - ΜΓ). Γ

ΓΕ

ΑΔΕ,

+

=

Ar) Ar.

ΕΥΚι\ΕΙΔΙΙ� Β' κθ. τ. 1/25


------ Με τρικές Σχέσεις

7. θεωροvpε τρίyωνο Air και τα σa­ pεία Δ, Ε τaς Br ώστε ΒΔ ΔΕ Er.

= =

Να vοολοyιστοvν τα τpιί.pατα ΑΔ, αοό τις ολεvρές τοv τριyώνοv. Λvσa

------

ΑΕ

Α

Α

Γ

Στο τρίγωνο ΑΒΕΑΕη ΑΔ είναι διάμεσος, ενώ στο τρίγωνο ΑΔr η είναι διάμεσος. Άρα: y2 + ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + ΒΕ2 2 <=> y2 + ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + � (� α) <=> ΑΕ2 = 2ΑΔ2 + _g_9 α2 - y2 (1) Δr <=> (απο, (1)) β2 + ΑΔ2 = 2ΑΕ2 + τ β2+ΑΔ2 = 2(2ΑΔ2 + �2 - v2) + � (� α)2 <=> β2 + ΑΔ2 = 4ΑΔ2 + �9 α2 -2y2 + _g_9 α2 <=> β2 + 2y2 _&9 α2 = 3ΑΔ2 <=> ΑΔ2 = l (3β2 + 6y2 - 2α2) <=> 9 ΑΔ =!ν3β2 + 6ν2 - 2α2. Από τη σχέση ( 1), είναι: ΑΕ2 = l9 (6β2 + 3y2 - 2α2) <=> ΑΕ = !ν6β2 + 3ν2 -2α2.

......

=

Από το ορθογώνιο τρίγωνο κΒr έχουμε:

......

ολεvρές τριyώvοv ABr ιιιαvο, , 2 2 οοιοvν τα σχεσa: α 82 v2 . i) Να δείξετε ότι τα τρίyί.»να Air ιιαι αvτό oov έχει ολεvρές τις διαpέσοvς Ρα, Pe, Pv τοv Air είναι όμοια. Να βρεθεί ο λόyος οpοιότaτας. ii) Αν α = v·-12 ιιαι p8 3·-.Ji, να vοο­ λοyιστοvν οι ολεvρές τοv τριyώνοv. Λvσa

9. Οι

8. �ε τρίyωνο ABr οι διάμεσοι ΒΔ και rE τέμνονται κάθετα. Αν είναι α 4, i) -{15, να vοολοyιστοvν οι ολεv­ Pe ρές β, y τοv τριyώνοv Air. Λvσa

=

Από το θεώρημα διαμέσων έχουμε: α2 + γ2 = 2μ62 + 2β2 <=> 16 + γ2 = 30 + 2β2 <=> v2 = �2 + 14 α2 + β2 = 2μv2 + "}2 <=> 16 + β2 = 42 + � (�2 + 14) <=> β= 2-{ϊί και ν = 6.

= +

=

Από τους τύπους των διαμέσων προκύmει: μα2 = 41 (2β2 + 2y2 - α2) <=> μα2 = l4 (4α2 _ α2) = �4 α2 <=> _Q_μα = 2·Υ3 3 μ62 = 41 (2α2 + 2y2 - β2) <=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/26


------ Μετρικές Σχέσεις ------

..::ι_ = _Β_ <=> ..::ι_ = .§..±_y <=> ΕΔ = Β + ν ΕΔ � ΕΔ α Β+ ν = .!Lt..Y <=> ΕΓ = L Β + γ" ΕΓ α ii) Από το θεώρημα διχοτόμων = ..ΞJ.._ Βα+ ν καί ΔΒ = ΔΕ. Αν Β γ, το Ε Βρίσκεται ιστην σχύειπροέκταση της ΓΑ. Ανάλογη απόδεiξη. ..Ξ1_

μΥ2 = 41 (2α2 + 2Β2 - ν2) <=> μΥ2 = 41 (Β2 + ν2 + 2Β2 -ν2) <=> μΥ2 =�4 Β2 <=> ..!!_μΥ = 2·..J3 3 α τρίγωνα εί ν αι όμοια επειδή έχουν πλευ­ ρές ανάλογες: ..!!. - - 2..J3 μα μy μβ - 3 ι" ) ν= 2·..J3 · μe <=> ν= α = ν·-ν2 <=> α = 6\12. Β2= 2α2 -ν2 <=> Β2= 2· (6\12)2 - <=> Β= &� τ

S!_

-

.J_

6

3

ΔΒ

<

ιι.

'Εστω τρίyωνο Air. i) Να νοολοyιστεί a ορο8ολιί ΗΔ τος δαοτόμον ΑΔ στον ολενρά Bt, σνναρτιίσει των ολενρών α, 8, y. -.. ii) Αν Α 90° και ΗΔ 8 - y, δείρε ι =ι +ι (8 , οτι y) . α 8 y > Λ"σa

=

Α

36

ι ο. Δίνεται ορβοyώvιο τρίyωvο Air (Α 90°) με 8 ::1: y και a δαοτόμος ΑΔ. Η κάθετα στα Br στο σaμείο Δ τέμνει ταν Ar στο σaμείο Ε. i) Να νοολοyιστο"ν τα τpιίματα Er, ΕΔ αοό uς ολενρές τον τριyώvον. ii) Να αοοδεαβεί ότι ΔΒ ΔΕ. Λ"σa Γ -..

i)

=

=

Γ

= Β+ ν (θεώρημα δαοτόμων) Β2 = α2 + / - 2α· ΒΗ <=> = (γενικευμένο πυθαγόρει ο θεώρημα) 2 2 2 Β ΒΗ = α + 2αγ 2 + 2- Β2 α i) ΗΔ = ΒΔ- ΒΗ �Β +ν 2αΥ = (Β- γ)(α+ Β+Β y)(B + γ - α) 2α( +γ) ii) ΗΔ = Β - ν <=> y)(B + γ -α) <=> Β _ ν = (Β- γ)(α+2α(β+Β +ν) (Β+ γ)2 - α2 = 2αΒ + 2αγ <=> Έστω αΒΒ γ. Από το θεώρημα διχοτόμων Β2 + / + 2Βν-αl2 =l2αΒl.+ 2αν <=> ΔΓ = Β + ν α τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕr είναι ό- Βν =αΒ + αν <=> α = Β + ν r). ι2. Δίνεται ισοσκελές τρίyωνο ABr μοια (ορθογώνι α με κοι ν ή τη γωνί α και σaμείο Δ τος (ΑΒ = ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ τοιο · ώστε = = Br. Αν ΔΕ ΔΓ εr rΔ. Βι:�. = 3Α δείρε όu Βι = Άρα >

.

ΔΒ

..Ξ1_

τ

Ar)

-..

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/27

-..

ΔΑ

ΔΒ ...2

Ar, τε.

Ar·


------. το θεώρpμα Θdλή, έχουμε: ΕΓ = ΜΓ = (2) Αhοης (1) και- (2), iχουμέ �=� <=> ΔΒfΞi\=Μ·ΕΓ. , _ ' ' Ε Βp(dkετφ σrην ηροέΑ · Το; σημείο κταση της ΑΓ πρός Γ. απόδειξη είναΙ ανάλογη. ·..W:. ::::.. ): 14. Σε op8oyώ�o. ι;ρί'"yωνb ·� �I" = ιίq.ίpνqvJΙε: τb. vψος

------ Μετρικές Σχέσεις

Λvσn

Α

Ano ΕΑ

ΜΖ

·.:-

.......

'

+

......

' '

·

.

'

gοοι

_

..

: ,_._.

ι.:

'

r

'

..

-�

i:o

. ;.

.......

·· ·

(

,< 9b0 : .·

<=> 1800....-.. Β = 3Α <=> ....ΒΒ:.. ξ.==....Γ3Α.. = 1800 - 3Α . ....Α... + ....Β ... Γ = 1800 <=> . ....Α.. + 3600 - 6Α...... = 1800 ....Α.. = 36° και ....Β.. = ....Γ .. = 72°.<=> ....Δ.. = 36° και ΒΔ. Επειδή ΔΑ εί ν αι = ΑΒ διχοτόμος. 2 (θεώρημα διχοτόμων) __!L__ ΔΑ= � = α+ν α+ B ΔΑ= 2 = ΒΓ = α (υπόθεση) Β Β = α (1) Άρα -α+ ΔΓ = __Q!_ α+ν = __Q!_ α + Β (2) (θ. διχοτόμων) Από τις σχέσεις (1) και (2), είναι: ΑΓ· ΓΔ = 6-__Q!._ α + Β = α2 = Bf α + Β = α·L 13. Δίνεται τρίyωνο Air με Α 90° κμι ο διάμεσος ΑΜ. δσοτόpος

ΜΑ ΜΒ

-

_ _)

Η

_ ·;. , _

ι

·

.:.r;

(#

Ή

��

��

i'

-.·

1

'

l

.

.. · ;

1)11,

το δι�οι;όμο ΑΔ κCιι τ� διάμεσο ΑΜ. Ncl ααοδειχ8εί: Ι) ιι ΑΔ είναι διχοτόpος C:no τρίyω· νb ΑΜΗ. .

r

ii) y

ΔΒ,

> β <=>

Δ.Jι.ΔΜ

- ΔΙ"·ΔΗ >

Λvσn

Ο.

ΔΒ

Η

:ι:

ΜΔ

τος yωVίας ΑΜΒ -Ιέμνει τον αροέ­ ιπασn τος Μ στο σnμείο Ε. Να α­ αοδεσ8εί ο σχέόi:ι: ΑΕ· ΒΔ Ι"Ε. Λvσn

= ΑΔ·

,...Α... > 900: ΔΑ = (1) (θ. διχοτόμων) ΒΜ Αν ΑΖ ΜΕ τότε ΜΑ= ΜΖ. ........ ..... ....... ........ - - ΔΒ

ΑΜ

.... ....

i

.

=

ΔΓ·ΔΗ > Ο <=> :> ΔΓ·ΔΗ <=> ΔΒ >-. ΔΗ <=> ΔΓ ΔΜ ...,. ...;.. (από θ. διχοτόμων σrα ΑΒΓ; ΔΔΓΒ �Β. και-=-) Β > -μUaa <=> (-=.ιι. � α > Β = και μ υ γ= α <=> ( a ) · 2 Β α α 2 α22 >> 22Β2<=><=> Β>2 . ν2 > 2Β2 <=> ν Β ν Β ΔΒ ΔΜ

ΔΒΔΜ -

•'

ΗΑΜ)

ΔΗ

Υ

ΔΜ

Ό

ΑΗ ΑΜ

··

+

� � Μ Ζ

Β

ii)

Β

- = 45° - Β } <=> Α....ι.. = Α.;...2... Α.&1 = Μ8 ΓΜ Α;. 4 - Αι, = 5° - Β .

y

I/

Ε

i)

..

� .... ....

Γ

15. Δίνεται τρίyωνο Air και ο διχοτό­ jιος τοv ΑΔ δ0• Μια εv8εία (ε) τέ­ μνει τις εv8είες ΑΒ, 81", J"A στα σnμεία Ε, Ζ, Η αντίστοιχα και είναι

ΕΥΚι\ΕΙΔΙΙΣ Β' κ8. τ. 1/28

=


---- Μετριάς Σχέσεις

οσράλΑnλn ορος τnν ΑΔ. Να αοο­ δει:ιr.θεί n σ:ιr.έσn: !.ΕΖ + ι ΖΗ ι δ β y ·· ' β Υ α Λvσn

= (ι+ )

·

Από JO θεώpημα Θαλή και τα όμοια τρίγωνα " ΑΒΔ, ΕΒΖ έχουpέ: ΕΖ. =-· Bz· �ΒΔ ΕΖδ- -,-=α B +· -� v (θ. δJΧοτόμω._ ΒΔ= ....ΕΥ_ Βα+ ν ) . Β + ΒΖ � ΕΖ= δα·� """ 1J:.Z = δ ,β+ (1) α Β ' α6ν ΖΗ = � _(ΑΔΓ l ΖΗ = δ�...Ε._ αΒν .Υ. ΖΓ (2) .l!!L � ν = δ)�..±. Β* ν ηροσθέτω �ατό μέλη τις σχέσεις (1) και (2) !L±...Y. 8 tz+ V Ztf = δα· αΒν (ΒΖ + ΖΓ) � .!. ΕΖ + lzH = δα· � α� , αΒν lΒ EZ+ l ZH= (lΒ + .!) δα. ν. . . ....... ι,.. θεωρονμε τρίyωνο ABI' με Β = 21' ιι�ι το Jψος τον δ'εί�ετε ότι: : � .,) . ι»J = ':' όοον Μ είνα� �ο μέσον '

ΑΔ

ν

ΑΔ

ΖΓ

·

_

.

Υ ΒΖ

:ι.

"""

ΔΓ

==

ΗΖΓ)

. •. ι

'

ι

ΖΗ

r

ι

1

β

v

·

·

ν . ·

ΑΔ. Ν�

τnς Ql'. "'

..-...

.

+ =Ο

.Δ.

ABI'

111) αν s και p το άθροισμα και το yινόμενο των ριzών τnς (ι) τότε:

=

4p(ι

+

p).

Λvσn

.

.

ΒΖ ....ΕΥ_

,dγ .

+

n ε�ίσωσn αχ2 2βχ y (ι) έχει άνισες ρίzες, όοον σ, β, y τα μέτρα των ολενρών τον τριyώνον 11)

2 s

----

......

....... ' ..-... 2

Γ

Αν ΒΕ δίχοτόμος τότε ΕΒΓ = Β = Γ και ΒΕΓ ικάθετη σοσκελέςστημεΒΓΒΕκαι =ισχΕΓ.ύει: Η διάμεσος είναι Α i) ΔΜ = Ε � (θεώρημα ΜΓ Ef ·. Θαλή) m = � � (θεώρημα δΙΧοτόμου � = �) ΔΜ = .Υ.α · 2 �ΔΜ = ΑΒ2 · (2) ii) Β2 -ν2 ·= 2α· ΔΜ � (2° θεώρημα διαμέσων) Β2 - ν2 = α· ν � (από τη σχέqη (2)) .Β2 - αν= ν2 Η διακρίνουσα. της ' ' εξίσωσης (1) είναι: Δ= 4�2 - 4αν = 4(Β2 - αν) = 4ν2 η. (1)-έχει2Β άνισες ρίzες. .ι .ι) άρα ' s = --- και p = .Υ.α Ειναι s2 = 4p(l + p) � 4α�2 = 1:να (ι + .Υ.α) � 4�2 = 4ν(α +ν) � Β2 = αν+ ν2 αληθής. :,_

..ι:::...

ΕΜ

ΕΜ II ΑΔ.

·.

·

.Q

·

β)

>

a

ο,

·

ι7. Δvο κvκλοι (Κ, ρ) ιισι (Λ, R) εφά­ οτοvται ε�ωτερικά στο σnμείο Α. Αοό τνχσίο σnμείο Μ τeν ορώτον κvκλον, φ�ρ�ονpε εφσοτομένn ΜΒ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/29


---- Μετρικές Σκέσεις ----

α2 = β2 + Υ2 <=> α2 = β2 + 169 62 = 2516 62 :: = R· α= 45 β. Λvσn Από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε: �4 β & ΔΑ - _b_ α+ν - Ξ Β + � Β = �8 Β 4 4 Ξ4 Β2 � ΔΓ= α+y = Ξ Β � Β =Ξ8 Β + 4 Έστω ΜΑΓ τέμνουσα και ΜΒ εφαmομένη του κύκλου τότε ΜΒ2 = ΜΑ·ΜΓ <=> ΔΒ2 --ΔΑ2 + ΑΒ2 <=> ΔΒ2 = _2_64 62 + _2_16 62 <=> ΜΓ = ΜΑ'+ ΑΓ = 1 + ΑΓ (1) ΜΒ22 = ΜΑ 45 62 <=> ΔΒ = 3·-JS Β 2 ΔΒ = ΜΑ ΜΑ ΜΑ 8 ΔΕ= ΔΑ· ΔΓ <=> (τέμνουσες κύκλου) Τα τρίγωνα και είναι όμοια yιατι είνα� ισοσκελή με Αι = Az (κατακορυφήν). Θα 3-J5 &ΔΕ= � &Ξ Β <=> ΔΕ= � Β. είναι 8 8 8 8 3 ΑΓ -JS B ΔΒ ΜΑ = ρ (2) υνεπως ΔΕ = �8 = 3. Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: Β 8 ΜΒ = ΜΑ 19. Δίνεται τρίyωνο Air, = δα n ε­ -νQ � · ρ. σωτερικό διχοτόμος aαι = δ'α n 18. Σε ορβοyώvιο τρίyωνο Air διχοτόμος τnς yωvίας Α. Α = 90°) n διχοτόμος ΒΔ τέμνει i)εξωτερικό (τον Να αοοδείξετε: δ: = &y οεριyεyραμμένο κv.«ιο το" τριδ' : = zszr - &y = να και yφνο", cno σnμειο Α •i) Να "ooAoyιcnovν οι δα, δ' α αοό cno δεVιερο κvκλο. Να δείξετε ότι:

<=>

4

(Λ, R),

...,.

ΚΑΜ

...,.

ΛΑΓ

ΔΒ

'

R

Σ

64

,

ΑΔ

ΑΖ

_.....

ΔΒ-Δr

,

,

β�εβε. ο Αόyος =·

Ε

v

8 Υ

4

3,

τις ιιΑε"ρές το" τριyώνο". Λvon

Λvσn

Ε Είναι � = � <=> ν= i Β. το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε:

Από

i)

ΑΒΔ- ΑΕΓ (Al = Az. Β = Ε βαίνουν στο ίδιο τόξο).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. τ. 1/SO


-------�- Μετρικές Σ:χέσεις -------

δ'� + 6-y = ΖΒΖΓ <=> δ'� = ΖΒΖΓ - 6-y ii) δ� = 6-y-ΔΒΔΓ <=> (aπό θ. εσωτ. διχοτόμου) _....!!!L δ2α = 6- ν - __.!!Y._ β+γβ+γ <=> δ� = (β+βγγ)2 [(β + y)2 - 02] = βγ 2 (β + ν + a)(β + ν- a) = (β+ γ) βγ 2 2τ·2(τ - α) (β+ y) 2 ..Jβyr(τ - α) δα = β +ν δ' � = ΖΒΖΓ - 6-y <=> (aπό θ.εξωτ.διχοτόμου) _ ....!!!L - βν <=> ΖΕ = ΖΒ ΖΓ (τέμνουσες κύκλου) δ'2 = __.!!Y._ β- γ β-γ δ' α·(δ' α + ΑΕ) = ΖΒΖΓ <=> βγ 2 [a2 - (β-y)2] = δ'� = (β-γ) δ' � + δ' α· ΑΕ= ΖΒΖΓ (1) βγ 2 (α- β+ γ)(α+ β-γ) = ΑΒΖ - ΑΕΓ (β-γ) ιΒ:ξ = 'Ε στο εννενρaμμένο τετράπλευρο βγ 2 2(τ - β)·2(τ - γ) Αι = Α3 = Α2). (β- γ) ΑΖ ΑΕ = <=> 6-y = δ' a·ΑΕ (2) δ'α = I β : νΙ ..Jβy(τ - β)(τ -γ). Από τις σχέσεις (1) και (2):

ΑΕ = <=> 6-y = δα· (δα + ΔΕ) <=> 6-y = δ� + δα· ΔΕ<=> 6-y = δ� + <=> (τέμνουσες κύκλου = ΔΑ·ΔΕ) δ� = β·ν-

ΑΒ

ΑΔ ΑΓ

ΔΒΔΓ

ΔΒ ΔΓ

ΔΒ ΔΓ

z

Ε

-

ΖΑ·

α

ΑΒΓΕ, ΑΒ

......

......

......

ΑΓ

ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ ΣΥrΧΡΟΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΟΝ ΜΑθΗΜΑΤΙΚΟΝ

Δnpότρnς Ι'εωρyακίλας Τάσος θεοδωρακόοοWιος

Άι1yε8ρα κα1 Avanυnκrί Γεωμεrρfα Λυμένα και άλυτα θέματα με υποδεί­ ξεις και απαvτήσ.εις •

Θέματα συνδιασμένα με την Ανάλυση

Κ"κλοφορεί σ.Svτοpα

Μαθηματιάδης κή Βιβλιοθήκη 4 Βαφει

Εκδόσεις: Χ.

Δέλιου

Τηλ.:

• 546 21 Θεσσαλονίκη (031) 263 163 Fax: (031) 240 595

ΜΠΑΜΠΗ ΤΟΥΜΑΣΗ

Δρ. Μαθηματικής Εκπαίδεuσης

• 8 8 8 8 8 8

Μαθηματικά, Κοινωνία και Μαθηματική Εκπαίδευση

Πως μαθαίνοuν τα παιδιά Μαθημαuκά Μοντέλα διδασκαλίας Οργάνωση διδασκαλίας Αξιολ6γnση τοu μαθητή, κατασκεuή τεστ Ειδική διδακτική Άλγεβρας, Γεωμετρίας, Ανάλuσης Ερωτήσεις - Ασκήσεις - Δραστηριόmτες • Ένα χρήσιμο βοήθημα για όλοuς εκείνοuς τοuς δασκάλοuς των μαθημαuκών ποu σuμμερίzοvται m βασική παιδαγωγική αρχή, όu η μάθηση των μαθημαuκών εξαρτάται περισσότερο α­ πό το πώς θα διδαχθούν αuτά και λιγότερο από το u θα διδαχθεί κάθε φορά. • Ένα βιβλίο ποu θα ξεκοuράσει το δάσκαλο των μαθημαu­ κών από m λαίλαπα mς σκληρής ασκησιολογίας ποu μαστίzει m σημερινή διδακuκή πράξη και θα τον βοηθήσει να δει m Μαθη­ μαuκή Παιδεία και το ρόλο τοu σ' αuτή, μέσα από μια διαφορe­ uκή οπτική γωνία. ΕΚΔΟΣ:ΕΙΣ: GυrENBERG: Σόλωνος 103, Τ.Κ. 106 78 Τηλ.: 36 00 798 Fax: 36 00 127

ΕΥΚΑΕΙΔΗΣ: Β' κβ. τ. 1/3 1


Υπάρχει . . . r. Τσαααιιίδn ΠΡΟΒΛΗΜΑ

I ρ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο:

Ανχ οι συναρτήσει ς f, g είναι παραγωγίσιμες στο [0, 1] με f(x)g(x) Ο για κάθε (0, 1) και f(O) = g(1) = Ο, να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (0, 1) τέrοιο, ώστε fE)_ + g_ω _- ο. f(ξ) g(ξ) Αν η συνάρτησηα f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α, και ισχύει f(α) + f(B) 2 f ( ; 6) να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, τέrοιο, ώστ� (ξ) = �. Ε

Ε

Β]

Ε

=

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο:

'

ο

':..;'·

Β],

Ε

Ε

Β)

Β

Ε Ε

1)

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [0, 1] με f(x) � Ο και g(x) � Ο για κάθε χ [0, ξ1] να δειχτεί ότι υπάρχει ξ [0, 1] τέrοιο, ώστε ξ

ι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7ο:

f'

1

ι]

( )=

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο:

Β)

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, και 1996J f(x) dx = 1 να δειχτεί ότι υπάρχει ξ [0, 1] τέrοιο, ώστε f(ξ) = ξ�995• Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (α, τέrοιο, ώστε f ξ α � ξ + � ξ' Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ψ - χ3, χ (0, 1). Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ (0, τέrοιο, ώστε f(x) � f(ξ) για κάθε χ (0, 1). Ε

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο:

::ι.

Ε

f(t) dt =

1

Ε

g(t) dt.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, και χ1 , χ2, ότι υπάρχει ξ [α, τέrοιο, ώστε = f(χι ) + f(x2)ν+ Ε

f(ξ)

Β]

Β]

• • •

[α, να δειχτεί

Χν Ε Β] + f(Χν) .

· · ·

Αν η f είναι συνεχής �ο [α, με f(α) > Ο και ι6f(χ) < Ο, �α δειχτεί ότι υ­ πάρχει ξ (α, τέrοι:ο, ώστε f(ξ) = Ο. Όπως φαίντηςεταιΑνάλυσης και από είταναιπροηγούμενα προβλήματα, τουπάρχει συμπέρασμα πολλών θεωρητι κώνο προβλημάτων της μορφής: «να δειχτεί ότι ξ ( α , ή ξ [ α , τέrοι ώστε Πώς θα μπορούσαμε να αντιμετωπίσουμε τέrοια θέματα στο πλαίσιο των Γενικών Εξετά­ σεων; Β]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8ο:

Ε

dx

Β)

Ε

. . . ».

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιβ. τ. 1/32

Β)

Ε

Β]


------

Υοόρχει ... ------

πρέπει πρώτα α Θα .θεωρήματα αυτά είαπ'ναι:όλα να γvωρfzουμε καλά όλα τα θεωρήματα με ανάλογα συμπεράσματα. Ανθα υπάρχει η συνάρτηση f,εί6ν)αιτέrοισυνεχής στοf(ξ)[α,= 6] με f(α)f(6) < Ο, τότε θεώρaμα τοv ξ ( α ο , ώστε θεώρaμ� ενδιαμέσων Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] με f(α) f(6) και ο hf(ξ)είναι μεταξύ των f(α), f(6) τότε υπάρχει ξ (α; . τέrοιο, ώστε τιμών = h. f εί ν αι συνεχής στο [α, 6], παραγωγί�μη στο θεώρaμα τοv Αν(α, η6)συνάρτηση και f(α) = f(6) τότε θα υπάρχει ξ (α, 6) τέrοιο Φqτε f(ξ) Ο θ4: θ�ώρapα μέσaς uμιίς Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6] και παραγωγίσιμη στο (α,f(6)6) τότε θα υπάρχει ξ .(α, 6) τέrοιο, ώστε -f(α) f (ξ) 6-α . θ5: θεώρapα μέσaς Όpάς Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, 6], τότε υπάρχει 6 ολοκlιtιρωΌ&ΟV [α, 6) τέrοιο, ώστε ι f(χ) dx = (6- α) f(ξ). λοyισp0v, Εκτός τω':' �αραπάνω θ�ρημάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τις προφανείς προτά­ σεις: συνάρτηση f με πεδίο ορι σ μοJ) το Α και σύνολο τιμών το f( A ). Αν h f(A) τότε υπάρχει ξ τέτοΊο ώστε f(ξ) = h. (Η πρ<$ταση aυτή είναι γενικότερη του θεωρήματος των Ενδιαμέσων Τιμώ v.) Ανf(ξ) η συνάρmση f(x) για κάθεf έχει χ μέγι Α. στη τιμή στο πεδίο ορισμού της Α, τότε θα υπάρχει ξ Α τέrοιο, ώστε Αν π �νάρmση f έχει ελάχιστη τιμή στο πεδίο ορισμού της Α, τότε θα υπάρχει ξ Α τέrοιο, Φστε f(ξ) f(x) για κάθε χ Α. Ειδικότ�ρα. αν το zητούμεvο είναι: f(ξ) εφαρμογής του του Θ. f(ξ)==Ο,0 τότε ή f'(ξ)είν=αιΟένδει είναιξηένδει ξn εφαρμογής Οι σκέψειαςλύΟης που θααναλόγων οδηγήσουν στη λύση των προτεινομένων προβλημάτων θα δώσουν και τη μεθοδολογί προβλημάτων.

τ

Bolzaao

Ε

0.·

e

t)a:

...

.

.. · .

Bolle

.

Ε

=

""

·'

<

6)

*

.

.

.

'

,

'"

Ε

=

τοv

·,.

. ,.-

�Ε

...

Ε

Έστω

Ε Ά

·

·

'

[

Ε

Ε

Ε

Ε

·

0. Bolzaηo. �olle.

·

Σκέψεt,ς

, την προσοχη, μας στο zητουμενο: , υπαρχει , ξ (0, 1) τετοιο, ωστε σrιαzουμε , Κill � -- ο . f(ξ) g(ξ) και η ύπαρξηυπάρχει παραγώγου είναι ένδειξη χρήσης του Θ. Αλλά το Θ.Το «υπάρχει» έχει συμπέρασμα: ξ (α,στο6zη�ούμενο ) τέrοιο, ώστε f (ξ) πράγμα που σημαίνει ότι το πρώτο με'λ�ς �ης �((�)) + �((�)) = θα έπρεπε να είναι Ώ παράγωγος μιaς qυvdρτησης �ο ξ. Ποιάς ό­ μως;Μια pαρ6σrαση που περιέχει παρονομαστές απλουστεύεται με απαλοιφή, έ"!:σι η αποδεικτέα γράφετ ι ι οδύναμα f ( ξ) (ξ) + f(ξ)g'(ξ) = ο <=> h'(ξ) = ο με h(x) = f(x)g(�). " g α ο ' για την h(x) = f(x)g(x) στο [0, 1]. ·Επομένως θα πρέπει να εφαpμόσουμε το Ε

Ε

Ε

Rolle

=

Ο

'

Θ. Rolle

+

,

.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. τ. 1/33

Ο,

Rolle.


-------

Υοάρχει ...

-------

Λ.Sσο

που είναι παραf(x)ygω'(x).yίσιμη στο [0, 1] ως γινόμενο παρα­ τη συνάρτηση = μεf(x)g(x) h(x) yωyΘεωρούμε = ιΕίναι σίμωνh(O)συναρτήσεων στο 1], h'(x) f(x)g( x ) [0, = και h(1) = f(1)g(1) = f(1)·0 = έτσι h(O) = h(1), επομένως ι­ νια την= Q.g(O) σχύει το Θ. = f(O)g(O) h στο [0, 1], άρα θα υπάρχει ξ (0,Ο, 1) τέτοιο, ώστε h'(ξ) = Ο <=> (ξ)g(ξ) + f(ξ)g' (ξ) = Ο <=> �((f)):((f)) + 1ιW)�((f). ) Ο (γιατί f(ξ)g(ξ) '#Ο, αφού f(x)g(x) '# Ο νια χ (0, 1)) <=> κ.ω. f(ξ) + g_m g(ξ) _- ο. +

Ο

Rolle

Ε

Ε

f

Πρόβλnpα 2ο

Σκέψεις

νια την Βστο [α, Β]. ΑΊ\Λά τι θα έπρε­ Το zητούμενο μας οδηγεί στο να εφαρμόσουμε το Θ. y ' πε ναΗ ισχναύειείνγιααι παρα την fyώστε ναμη εφαρμόzεται το Θ. που ισχι αύει,υτήνγιαστοτί η[α,f είναι]; δυο φορές παραyωyίσι­ y Β ω ] (πράγμα ί σ ι στο [α, f μη στο [α, Β]) και f (α) = f (Β), όμως η σχέΟη αυτή δεν απορρέει από τα δεδομένα του προβλήματος. Έτσι είναι αναγκαία η αλλαγή πορείας και αναΖητήσεων. Αναzητούμε σύνδεση δεδομένων - zητουμένων. Υπάρχει θεώρημα με υπόθεση ανάλοyη της f(α) + f(B) = 2 f (α ; 6) ; 'Οχι, αλλά η f(α) + f( B) = 2 f (α ; 6) νράφεται f( B) - f (α ; 6) = f (α ; 6) - f(α) που κάθε μέλος της εμφανίzεται στο Θ.Μ.Τ. Εφαρμόzουμε το Θ.Μ.Τ νια την f στα [α, α ; 6] και [α ; 6, ΒJ. οπότε θα υπάρχουν ξι (α, α ; 6) α +2-Β, Β) τετοια, , ωστε , και (.\.f (α ; 6)- f(α) f (α ; 6)- f(α) f (ξι) - α+ Β - α 2 -_'"-6:-'----:: -α--2άρα f(ξι) = f(�), έτσι εφαρμόzουμε το Θ. νια την f στο [ξι, �]. Λ.Sσο yωyίσιμη στο [α, Β], θα είναι παραyωyίσιμη σε καθένα από τα Επει δ ή η είναι δυο φορές παρα f [α, α ; 6] και [α ; 6, ΒJ άρα θα ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την f στα προηγούμενα διαστήματα, επομένως θα υπάρχουν ξι (α, α ; 6) και � (α ; Β) τέτοια, ώστε t(α ; Β)-f(α) _ t (α ;6)- f(α) f(B) -f (α ; 6) και f(�) = 2 Β - α ' (ξι) - α + Β - α - 2 6 -α -2έτσι f (ξι) = f (�) yy Β ναι !Jαραyωyίσιμη στο [α, Β], άρα φορέςλόγωπαρα καιΕπειδή στο [ξι,η�]f είναι[α,δυοΒ] και της ω ίσιθαμιησχστούει το[α, Θ.], η f θαγιαείτην [ξι, �], έτσι θα υπάρχει ξ (ξι, �) (α, Β) τέτοιο, ώστε f' (ξ) = Ο. Rolle

Rolle

f

Ε

s:_ �

Ε

_

Rolle

Ε

Ε

Β,

_

f

"""� �

(1).

Ε

c

(1)

Rolle,

c

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ:ε Β' a8. τ. 1/34

f (J(O

,


------

Υαάρ:ιι.ει ...

------

Πρόβλapα 3ο Σκέψεις

Επει δ ή ση ς υποθέσει ς του προβλήματος δί ν εται σχέση με ολοκλήρωμα και το συμπέρασμα εί­ ναι: υπάρχει ξ [0,. τέτοιο, ώστε ... έχουμε ενδείξεις εφαρμογής τqυ. Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού 1995 για τη του συνάρτηση g(x) = f(x) -: χ κο�. λογισμού στο πρόβλημά μας ενδεχόμενα α Qδηγεί λογιΗσμού εφαρμογή Θ. Μ . Τ · . του ολοκληρωτι ν κtψης σεπ.χλύση ( ε δώ οδηγεί) ή να μην οδηγεί σε λύοο. Στη δεύτερη πέρίmωσΠ αλλάzουμε πορεf((p . δοκιμάzουμε αν εφαρμόzεται το Θ. Bolzaηo (αφού στο συμπέρασμα δεν υπάρχει παράγωγος); Λ.Sσa 1995 που είναι συνεχής στο [0, 1], άρα υπάρχει ξ [0, 1] = f(x) χ Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) τέτοιο ώστε 1g(x). = Ο) g(ξ) 1 [f(x) -χ1995 = f(ξ) - ξ1995 J J Jο1f(x) [χ1996] ο1 = f(ξ) - ξ1995 = f(ξ) - ξ1995 f(ξ) = ξ1995 Ε

1]

Ε

0

dx

(1 -

dx -

1 996

<::::>

] dx

0

<::::>

<::::>

1 1 1 996 1 996

<::::>

·

Πρόβλapα 4ο Σκέψεις

Το zητούμενο είναι: υπάρχει ξ (α, Β) τέτοιο, ώστε f(ξ) = � ξ + Β � ξ" Συγκρίνοντας το zητού­ μενο με τον παρακάτω πίνακα Ε

Zaτo.Spεvo

0

Μέθοδος απιpετώοισaς

δεν υπάρχει παράγωΘ. Bolzτιaηoμών γος στο zητούμενο Σύνολο υπάρχει παράγωγος ξε ή(α, Β) υπάρχει Θ. Rolle ή Θ.Μ.Τ. στο zητούμενο B] υπάρχει ολοκλήρωμα ξ [a, στο zητούμενο ή στην τέτοιο, ώστε ... υπόθεση Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού λογισμού υπdρχει Ακρότατα zητούμενοaνίσωση στο καταλαβαίνουμε ότι θα πρ�πει να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo, αλλά για ποιά συνάρτηση; Θα έλεγε κανείς, και όχι αβάσιμα, για. τη συνάρτηση g(x) = f(x) - α -1-χ - -1 χ, όμως η συνάρτηση αυτή δεν είναι ορισμένη στο [α, Β], γι'αυτό θα πρέπει να αναzητήσουμε άλλη συνάρτηση. Παρατηρούμε ότι η zητούμενη σχέση εί ν αι κλασματι κ ή, γί ν εται απλούστερη με απαλοι φ ή παρο­ Β Β νομαστών. δίνει ((αΒ -χ)ξ) f((x) -+ ξ)2χ-f(ξ)α-= αΒ +στο [α- ,2ξ,Β]. επομένως θα εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo γιαΗτηναπαλοιφή g(x) = (α-χ) -

Ε

-

ΕΥΚΛΕΙΔΗ Σ Β' κθ. τ. 1/35

6

-


-------

Υ&άρχει ...

-------

Λvσn

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = (α- 2χ) (β- χ) f(x) + 2χ- α - β που είναι συνεχής στο [α, β], με g(α) β) (β - α) = -(α - β) < επομένως, σύμφωνα με το Θ. Bolzaηo, θα υπάρχει (α -ώστε ξ (αg(β), β) =τέτοιο g(ξ) = (α- (β- ξ) f(ξ) + 2ξ- α- β= (α- ξ) (β- ξ) f(ξ) = (α- ξ) + (β- ξ) f(ξ) = β � ξ + α � ξ (είναι (α- ξ) (β- ξ) αφού ξ (α, β)). Ο,

Ε

ξ)

Q <=>

Ο

<=>

<=>

Ε

Ο,

'*

Πpόβλnpα 5ο Σκέψεις

Η

4 μας οδηγεί στην αναzήτηση των σύγκρι σ η του zητουμένου με τον πί ν ακα του προβλήματος ακροτάτων της f όtο (0, 1). Λvσn Για κάθε χ 1) είναι f(x). = (χ113 - χ3) ' = } χ-213 - 3χ2 = 3χ2• 3� (χ) = Ο 9χ2 �1 = 1 93χ6χ2 = 1 (υψώσαμε στον κύβο) 1 =-36 <=> χ= . �Q -ν 36 1 χ 1 Ε

f

l

(0,

_ _ _

<=>

<=>

8

<=> Χ

.

B.f36

ο

f ' (x)

+

f(x)

/

-

~

μ �-

έτσι η f παρουσιάzει μέγιστο για ξ= -1- άρα f(x) � f(ξ) για κάθε χ w

Ε

(0, 1)'

και ο ξ είναι μοναδικός.

Πρόβλnpα 6ο Σκέψεις

ια πρώτη ματι ά στο συμπέρασμα θα μας οδηγούσε στη χρήση του Θ. του ολοκληρωτι κ ού . Τ Μ . Μ λογισμού, αλλά το θεώρημα αυτό έχει σrο · συμπέρασμα: υπάρχει ξ [α, β] τέτοιο, ώστε ι f(x) = (6, - α) f(ξ), πράγμα που δεν ταιριάzει με το zητούμενο του προβλήματος, επομένως �α πρέπει να αλλάξqυμε προσανατολισμούς. β

.

.

dx

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ:Ε Β' ιιβ. τ. 1/36

-

Ε

.


------

Υοάρχει ...

------

Πώς προέκυψε το zηtούμενο; Προφανώς aπό τη συνάρτηση h(x) = ιχf(t) dt Ιχg(t) dt, αν είναι h{ξ) = Ο.. Έτσι το σύμhέρασμα του προβλήματος ανάγεται bπάρχει ξ [0, 1] τέτοιο, ώστε h(ξ)Είναιο. τώρα φανερό dtι πρέπει να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo. -

J ;

mo

=

Ε

'

Λ1Soa

Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = ιxf(t) dt - Ιχg(t) dt που είνάι συνεχή� στο [0, 11 ω� διαφορά συνε�φ� συναpτήσεων στο [d� 1] iιε h(O) h(1} -J g(�) dt · f. \(t) &t = J 1g(t) dt J' \ω dt � Ο (\ιιατί ι1��t) dt � ο και ι1f(t) dt Ο, aφού f(x) � ο κ�ι g(x) � ο για κάθε χ [0, 1]). Αν ti(1) ;::: Ο,Ο, τότε �ότε h(O) σύμφωνα μεh(1)το= ΟBolάραzaηo, υπάρχει ξ Ο ή(0,ξ=1) 1.τέτοιο ώστε h(ξ) Ο. h(ξ) =Ο με ξ= Αν,Έτσιhh(O)�O)σε h(1). = Ο ή οποιαδήποτε περίπτωση υπάρχει ξ [0, 1] τέτοιο, ώστε .

:::;:

'

h(ξ); = ο � i' ξf(t) dt = J ξg(t) dt. ο

ο

ο

Ε

Θ.

<

·

ο

-

.

0 1

Ε

=

Ε

1

Πpόβλιιpα 7ο

Σκέψέις

Η' μη ύπαρξη παραγώγου στο zητούμενο οδηyεί στην εφαρμογή του Θ. ΒοΙΖaηο yia την g(x) f(x) - f(x1) + f(x2)ν + f(χv) στο [α, β]. ΑΝιά βασική προϋπόθεση της εφαρμογής του Θ. Bolzaηo είναι η γνώση του προσήμου του γιvομένου g(a) g(β) = (f(a) f(x1) + f(x2)ν+ f(χv) ) (f(β) f( ) + f(x2)v+ f(Χν) J Επειδή του γιάλλο νομένου g(a)g(β)Ανδεντο συμπέpασμα προκcimει απόδενταπερι δεδομένα l:ου προβλήματος, θαμοποιούμε πρέπει τονατο πρόσημο εφαρμόσουμε θεώρημα. έ χεΙ παράγωγο θα χρriσι ­ Θ. Bolza:ηo αφού (εδώ τοτο αποκλέίσαμε) ή μονοτοvία ότανσωση) στο συμπέράσμα υπάρχει καιπεδίa­ο νίσωση (εδώ αποκλείεται συμπέρασμα δεν περι έ χει ανl ή τηv πρόταση: Αν το ορι σ μού της εί ν αι το Α και το σύνολο τι μ ών της το Α τέτοιο A ) και f(A), τότε θα υriάρχει ξ f h f( ώστεΜένει f(ξ ναh.εξετάσουμε την εφαρμογή της τρίτης πρότασης. Ποιό είναι όμως το σύνολο τιμών της f; Τόί:ηο μόνο που μπορούμε να πούμε γι α το σύνολο τι μ ών της εί � αι ότι εί ν αι το [ μ , Μ] όπου μ η ελάχι ­ f τιμή της f και Μ η μέγιστη τιμή της (που )υπάρχουν αφού+ η f) είναι συνεχής στο [α, β]). + + ) x f(x f( Τώρα δε μένει παρά να δείξουμε ότι 1 2 ν f(Xv [μ, Μ]. Λ\Jσa Επει δ ή η είναι συνεχής στο [ α , β] θα έχει ελάχι στ η και μέγι στ η τι μ ή, έστω τι ς μ, Μ αvl:ί στ οιχα, f επομένως μ� f(x) � Μ για κάθε χ [α, β], άρα .

+ ···

=

_

'.·

;:

·

.

· · ·+

·

x1

_

Ε

)=

·

-

···

Ε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κθ. τ. 1/37

Ε

···

+

Ε


------

Υnάρ:ιι:ε : ι ...

------

μ � f(χι ) � Μ (1) μ � f(x2) � Μ (2) μ � f(χv) � Μ (ν) μέλη των (1), (2), . ., (ν) παίρνουμε . Με πρόσθεση ,� f(χι) f(xκατά 2) + · · · + f(Xv) � νΜ <=> μ� f(χι) + f(x2)ν+ · + f(v ) � Μ, δηλαδή f(χι ) f(x2) + . . . + f(χv) [μ, Μ] = f([α, Β]), ν , θα υπαρχει , ξ [α, Β] με f(ξ) f(χι) + f(x2) + · · · + f(χv) . ετσι ν .

+

.

ν "

+

ε

_

ε

Πρόβί\nμα

_

8ο Σκέψεις

Η

'ενός και η ύπαρξη ανισοτικών σχέσεων στην υπόθεση μας ο­ μορφή του συμπεράσματος αφ δήγούν στοάκρονα του εφαρμόσουμε τοθαΘ. είBolzaηo στηαφούσυνάρτηση f. Αl\Λά οε ποιό f(α) διάστημα; Σίγμπορού­ ουρα το δεν αρι στ ερό δι α στnματος ν αι το α, έχουμε την πληροφορία Ο, > με να πάρουμε το Β ως δεύτερο άκρο του κλειστού διΒαστήματος στο οποίο θα εφαρμόσουμε το Θ. Bolzaηo για την f γιατί δεν έχουμε πληροφορία για το . 6 Αναγκαστικά το δεξιό άκρο του διαστήματος θα προκύψει από την πληροφορία ι f(x) < Ο, αλλά πώς; Τι αναzητούμε; Έναν αριθμό6 ρ με α < ρ� Β τέτοιο ώστε f(ρ) < Ο. Από πού θα προκύψει το προηγούμενο; Από το γεγονός ότι ι f(χ) < ο. Ποι ό θεώρημα συνδέει ολοκλήρωμα με τιμή της f; Το Θ. Μ . Τ . του ολοκληρωτι κ ού λογι σ μού. Έ­ τσι έχουμε τη λύση Λ\Jσn Επειδή η f είναι συνεχής στο [α, 6], θα υπάρχει ρ [α, Β] τέτοιο ώστε: 6 6 ι f(χ) = (Β - α) f(ρ), αλλό ι f(χ) < Ο, επομένως (β- α) f(ρ) < Ο <=> f(ρ) < Ο (1). Β τέτοιο,ναώστεείναιf(ρ)ρ<=Ο.α γιατί τότε f(ρ) = f(α) > Ο άτοπο λόγω (1), έτσι θα υπάρχει ρ με α<Δεν ρΗ f�είμπορεί [α, β]f(ξκαι) = f(α) , ρ] ώστε υπάρχει νξαι συνεχής (α, ρ) (α,στοΒ)[ατέτοιο Ο. f(ρ) < Ο, επομένως σύμφωνα με το Θ. Bolzaηo θα dx

dx

ε

dx

ε

dx

c

c

Σχόί\ια •

εργασία αυτή έγινε, όχι μόνο γιαπεριτηέχουν μεθοδολογι κή«υπάρχει αντιμετώπι» σαλλά η τωνγενιπροβλημάτων τηςδείξει ανά­ λυσης που στο συμπέρασμά τους τη λέξη κ ότερα, γι α να , Βασική συνιστώσα ότιείναιταηΜαθηματι κ ά εί ν αι τρόπος σκέψης μι α μέθοδος σκέψης, της οποίας η , «δοκιμανή -οδηγεί πλάνη»,σε δηλαδή έρχεταιαν όχι μια την ιδέααπορρίmουμε για τη λύση ενός προβλήματος,άλλη την ε­ι­ : μαςκαλώς, φαρμόzουμε, λύση έχει και εφαρμόzουμε δέα ( άλ λο θεώρημα που να έχει σχέση με το znτούμενο ή τα δεδομένα) κ. ο . κ έως ότου φθά­ σουμε στη λύση. Η μέθοδος δοκιμής-πλάνης, που είναι και η κύρια εnιστημονική μέθοδος, είναι μια κοπιαστική εργασία, υπομονή και επι μ ονή, έρευνα και ελεύθερο νου. Η λύση των προ­ Β. λημάτωνπουδενπροϋποθέτει έρχεται με πάτημα ενός πλήκτρου, όπως γίνεται με τις ηλεκτρικές και ηλεκτροvιΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' aθ. τ. 1/38


-------

Υαάρ:ιι:ει ...

-------

κές συσκευές . Άλλ ώστε, υτό που κύρια μας ενδιαφέρει δεν είναι η ί\ύση των συγκεκριμένων 8 προβλημότων, αλλά ηείπεμέθοδος αντιbηiμετώπι σης προβλημάτων και πώς γεννιαπόούνται οιδειtδκανεί έες των μεθόδων, γιατί όπως και ο Lei tz : «Τίποτε δεν εί ν αι σπουδαι ό τερο το να ς καθαρά την προ­ έλέυση μιας ιδέας, ούτε η ίδια η ιδέα». a

Βιβλιοyραφία 1 . Μ. COHEN κ.α 2. 3.

ΜΜ

ΜΜ

4. ΝCΓΜ 5. G. POLYA 6. G. POLYA 7. G. POLYA 8. S. RACI-Π.JN 9. Α. Η. SCJ-IOENFELD 10. G. AUGNAC 1 1 . Τ. APOSrOI.. 12. F. AGRES 13. ΒΕRΚΕΥ - Bl.ANO-IARD 14. G. Ν. BERMAN 15. R. EUJS - D. GUUCK 16. Η. FLANDERS 17. I. Α. MARON 18. Μ. SPIEGEL 19. Μ. SPIVΑΚ 20. G. τΗΟΜΑS - R. FINNEY

SWDENΊ' RESEARCH PROJECΓS ΙΝ CALCULUS Εκδοση: τhe Mathematical Assocίatioη of Ameήca - 1991 : CALCULUS FOR Α NEW CENΊ'URY - Α PUMP, ΝΟτ Α FILτER Εκδοση: τhe Mathematical Assocίatίoη of Ameήca-1987 : τOWARD Α LEAN AND LIVELΥ CALCULUS Εκδοση: τhe Mathematίcal Assocίatίoη of Ameήca-1968 : PROFESSIONAL SτANDARDS FOR τEACHING ΜΑτΗΕΜΑτΙCS Εκδοση: Natioηal Couηcίl of τeachers Mathematics - 1991 : ΠΩΣ ΝΑ τΟ ΛΥΣΩ Εκδοση: Σηnλιώτη : PAΠERNS OF PLAUSIBLE INFERENCE Εi<δοση: Ρήηcetοη uηίvercίty press - 1954 : MAτHEMAτiCAL DISCOVERY Εκδοση: J.Wίlex & Soηs - 1962 : PROBLEM SOLVING ΙΝ τΗΕ ΜΑτΗΕΜΑτΙCS CLASSROOM Εκδοση: Mathematίcs Couηcίl of the Alberts τeachers' Assocίatίoη - 1982 : PROBLEM SOLVING ΙΝ ΜΑτΗΕΜΑτΙCS CURRICULUM Εκδpση: τhe Mathematical Assotίatioη of Ameήca - 1983 : τΗΕΜΕS MAτHEMAτHIQEUS Εκδοση: ΑΙΘΡΑ 1995 : CALCULUS Εκδοση: Μπεχ?ιιβαvίδης - 1962 : ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Εκδοση: Mc Graw-Hίll - 1964 : CALCULUS Εκδοση: Sauηders College Publίshίηg - 1962 : Α PROBLEM ΙΝ ΜΑτΗΕΜΑτΙCΑL ANALYSIS Εκδοση: MIR Publίshers-Moscow - 1977 : CALCULUS Εκδοση: HBJ - 1989 : CALCULUS Εκδοση: W. Η. Freemaη aηd Compaηy - 1985 : PROBLEMS ΙΝ CALCULUS OF ΟΝΕ VARIABLE Εκδοση: MIR Publίshers-Moscow - 1975 : ΑΝΩτΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Εκδοση: Mc Graw-Hίll - 1963 : CALCULUS Παvεηιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης - 1991 : CALCULUS Παvεηιστnμιακές Εκδόσεις Κρήτης - 1993 :

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κ8. τ. 1/39


Οι yεωμε"Ιρικοί "Ιόοοι 'IO" εοιοέδο" με διαv"οpα"Ιικές ιδιό"Ιn"Ιες Κωvσι:αvτίvος Αyριόyaδος 1.

Στην περι'mωση που λ = μκ τοτε' (1) -� μΜΑ + κΜ Β = (μ+ κ)ΜΔ.

Εισαyωylί

, Επειδή γενικά εύρεση ενός y.τ: παρουσιά­ zεικάνωδυσκολίες, προσρ,άθησα σrο όρθρο αυτό να μια ομαδοποίησn τωνκέςγ.τιδ. ιτου επιπέδου ποuΟιικανοποι ο ύν· δι a νuσματι ό τητες. απλές Βασικές προτάσεις που θα χρησι­ μοποιήσωσχqλισrηκόσυνέχει Βιβλίο, αείνκαιαι: που είναι γvωσrές από α) Αν Δκαι� το μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος τυχαίο σημείο, τότε ΜΑ+ΜΒ=2ΜΔ.

-

ή

2. (I)

l:o

ΑΒ

Μ

(la)

Οpαδοοοίnσn τωv y.τ.

Όταν θέλουμε να Βρούμεπουτονεπαληθεύουν γ.τ. των ση­ μείων του επιπέδου Μ μεrαξύ των μέφων διανυσμά­ μιτων,α σχέση τότε προσπαθούμε να φθάσουμε σrις μορφές Β σι:αθερά I ΜΑι = I Μfιι , όοοv σομεία Στην είναι ηπερίmωση μεσοκάθεrο�αυτήτου ΑΒ.zητούμενος γ.τ. ΙΑΜι = ρ, ODOV �ιίθέρό σiιμείο και ρ cn:αθερός θετικός αpιθμός Στην κύκλος (Α,aυτή ρ). ο zητούμενος γ.τ. είναι οπερίmωστι Α,

ο

Β Β) Αν _G �ίναι το κένtρο Βάρους ενός τριγώνου ΑΒΓ και Μ τυ):{Qίο σημείο, τότε ΜΑ+ ΜΒ+ ΜΓ=3ΜG. ..ι::ϊΙ. r

_ ,

-

-

.

.

.

.......

-

(le)

Α

.

.

Εφαρμοyιί 1 Δίνεται τρίyωvο Air. Na βρεθεί ο y.τ. 1:ωv σομείωv Μ τοv εοιοέδοv yια τα οοοία ισχ\1ει i3ΜΑ + Μiιι Σε οοια οερίοτωσο το Α βρίσκεται σι:οv οαραοάvω y.τ.; Λ\Jσο

= Ι � + slii1 .

γ) A(Α,v Β, Δ)σημtί ο - l:ηςλ ευθείας{0,ΑΒ-1}τέτοιο ώσrε λ = και τυ­ Μ χαίο σημείο, τότε ΜΔ= �:�8 (1). Δ

J.Ι:έ

ε

IR. -

Γ

Μ

Θεωρώ το σrαθερό σημείο Κ της ΑΒ τέrοιο, ώσrε (Α, Β, Κ) = �ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κ8. τ. 1/40


------- Οι yεωpετρικοί τόοοι το11 εοιοέδο11 pε δια""σpαuκές ιδιότaτες

τότε 3ΜΑ + MJ:j 4ΜΚ �pι 4ΑΒ. τέι:οιοΘεωρώ ώστε_.....επίσης (Α, Γ,--+Λτο) =σταθερό 3_... --+σημείο3--+Λ της Τότε ΜΑ+ 3ΜΓ = και Μ = 4Af. Η δο(!είσα σχέση τώρα γράφεrαι Ι 3ΜΑ + ΜΒι = ΙΜΑ + 3Mfl 1 4� = 1 4� <=:>Ι � = Ι ΜΛι Άρqούτοευθυγράμμου σmν μεσοκάθεrο του Μ Βρίσκεrαιτμήματος σταθερ. Α βρίσκεrαι στον παραπάνω γ.τ. ότανΤοκαισnμ�ί μόνοο όταν 1t1<1 = Ι ΜI �� = 1� �� = 3Ι Αf1 . -

-

=

ιΑΚ =

ΑΓ

4ΜΛ

<=:>

�.

Εφαρpοv.ί 2 Δίvειαl τρίyωvο Air. Να βρεθεί ο y.τ. τ�ν σnpείωv Μ τοιJ εοιοέδοιJ yια τα ΟD�ία JQVει 4Ιiiιι ιιiiι + Iir - 2� .

Ι JliA -

=

ΛVσιι

Α Γ

-------

3ΜΑ - 4ΜΒ -Mk και AR = - �iffi <=:> . �AR=4AB Η δοθείψ:ι σχέση τώρα γράφεrαι Ι 3ΜΑ -4. ΜΒι = lMB + Mt - 2ΜΑ! <=:> --+ <=:>I ΚMI --+ = 21ΑΔΙ --ιιι1 -Μ--+ΚΙ = Ι·2Μ--+Δ + 2ΑΜΙ Άρα ο γ.τ. των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο το σταθερό σημείο και ακτίνα 21 ΑΔΙ · (11) Όταν θέλουμε να βρούμε τον γ.τ. των ση­ μείων τού επι π έδου που επαληθεύουν Μ μιπροσπαθούμε cϊ γρaμμική ναδιαφθάσουμε νυσματικήστησχέση, μορφήτότε ΙΑi! = Αι;, όοοιJ Α σταθερό σnpεί­ ο, α σταθερό διάVΙJσpα και Α Στην περίmωση αυτή ο από zητούμενος γ.εί­τ. eίναιναιπαράλλ ευθεία που περνάει το Α και ηλη προς το φορέα του διανύσματος =

.

.

.\

.

Κ

-

Ε

IR

α.

Εφαρpοyιί 3 Δίνεται οαραΑΑnΑόyραppο ΑΒrΔ. Πάνω στις ΑΒ, Ar οαίρνοιJpε-σnpεία Ε, Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΕ ΑΑΒ και IU :;-;t.

= ΑΜ, Α Ε IR

-

=

Δείξτε ότι δεν ιJDάρχει Α Ε IR* τέ­ τοιο ώστε τα σnpεία _ Δ, Ε, Ζ να ·είναι σιJνειJθl:ιακά. ii) Να βρεθεί ο y.-ι;. τοιJ κέvτροιJ βά­ ροyς � τοιJ τριyώνοιJ Δiz. Λvσn i)

·

Θεωρώ το σταθερό σημείο Κ της ΑΒ τέι:οιο, Θεωρώ τα διανύσματα ΑΒ = α και = β. ώστε (Α, �· Κ) - �· Τότε είναι ΑΓ= α + β. Α--ΞΜΒ i) Έστω ότι υπάρχει τέι:οιο ώστε τα τότε ισχύει Mk Μ . � <=:> σημεί α Ε, Ζ να είναι συνευθειακά. Τότε υ­ Δ, πά,Ιiχει κ τέι:οιο ώστε να ισχύει 3 --

=

-

= ;;

4..-:+

ι - --

-

-

-

_.....

---+-

*

i\ Ε IR

Ε IR

ΕΎΚΛΕΙΔΗ:Ι; Β' κβ. τ. 1/41

_..,

ΑΔ

--+


------- Οι yεωpετpικοί τό•οι τοιι εαι&έδοιι pε διαvιισpαuκές ιδιόuιuς

-------

Ο και εί ν αι κάθετη στο φορέα του δι α vύσματος -β + λ( α + β) = κ(-β + λα).-.. <=> Αν. λ Ο και Η είναι η-προβολή του Μ στο φορέα του διανύσματος α, έχουμε ότι (λ- κλ)α + (κ+ λ - l)β = Ο (1) α·ΟΜ = λ<=>α·προβ0 ΟΜ =λ<=> Επει δ ή όμως τα α, β δεν εί ν αι συyyραμμι κ ά λόγω της ( 1) έχουμε = ±λ <=> { λ- κλ = Ο } <=> { λ(l - κ) = Ο } <=> C:.ι δΗ!δΗ==λ± Α.<=>ΙΟ1·ι6Ηι κ+λ- 1 = 0 κ+λ- 1 = 0 αl = σταθ. l Τότε το Ηευθεία είναι που σταθερό σημείο, οπότε το Μ { κ= 1 } ά οπο. κι ν είται σε εί ν αι κάθετη στο φορέα λ= 0 τ -α και περνάει από το σταθερό του δι α νύσματος Άρα δεν υπάρχει λ τέτοι ο ώστε τα σησημείο Η. μείαii)Δ,ΑνΕ,GΖείναναιείναι συνευθει α κά. το κέντρο βάρους του τριγώνου Παρατιίροοο ΔΕz, έχουμε Φανεράστηντο πρόσημο ±ΟΑκαθορίzει τηαvτιθέση του AG Η πάνω ημι ε υθεία ή την κ εί μ εvή 3 ΑΔ + ΑΕ+ Α2 <=> της Οχ. 3AG = β + λα + λ( α + β) <=> Εφαρpοyιί 4 3AG β· = λ(2 α + β) <=> � ιλ ....:. ­ Δίνεται τρίyωνο Air. Να βρεθεί ο Αu - 3 β = 3(2 α + β) y.τ. των οοpείων Μ τοv εοιοέδοv yια τα λ- + - = 3λ(2-α + -β) <=> = 3ΑΗ οοοία ιοχvει ΑG - 2Μiι + Iit) = 6 Άρα το G κινείται σε-ευθείαι -που περνάει από (2ΜΑ - Μiι)· (ΜΑΛvoa το σταθερό σημείο Ι (ΑΙ = 3ΑΒ) και είναι παράλληλη προς το φορέα του. σταθερού διαvύσματος = 2α + β. (111) Όταν θέλουμε να βρούμε τον γ.τ. των ση­ μείων του επικήπέδου πουμε εσωτερι επαληθεύουν μινόμενο, α διαΜνυσματι σχέση κ ό γι ­ τότε προσπαθούμε να φθάσουμε στις μορφές -..

__...

.

-..

--

0: .

--+

....... .-..

ε

__...

IR

=

--+

-..

__...

__...

--+

-..

---+

-..

-

<=>

Iu

ΙΑ

-.

ΑΗ

-..

-.

1110) Δίνεται σταθερό οοpείο Ο και το σταθερό διάνvοpα C: 'Φ Ο. Να βρε· θεί ο y.τ. των οοpείων Μ yια τα ο­ οοία ιοχvει -;: ΟΜ Α, Α ε IR

Αν είναι το μέσο της τότε = Μλ-2Μ8 + ΜΓ = 2ΜΔ-2Μ8 = 2(ΜΔ ΒΜ) = 2ΒΔ = 2α. Μ Αν Ε σημείο της ευθείας τέτοιο ώστε Α χ (Α, Β, Ε) = ..,. �· τότε ΑΕ= -ΑΒ και -α Η Μλ-JΜ 8 2 ΜΕ = 1 - 1 <=> 2Μλ- Μ8 = ΜΕ ε 2 Αν λ = Ο, τότε α·Ο = Ο <=>α Ο , οπότε Μ Μ το Μ κινείται σε ευθεία που περνάει από το Η δοθείσα σχέση γράφεται τώρα Δ

---...

ΑΓ,

+

----+

ο

--+ --+

__...

j_

---+

ΕΥΚΑΕΙΔΗ:Ε Β' κθ. 1:. 1/42

__...

--+

ΑΒ


------ Οι vεω•εΊριιιοί Ίόαοι Ίοv εαιαέδοv •ε διαvιισ.αuιιές ιδιόΊDuς -.

-..

-+-

---+

---+

(2ΜΑ - ΜΒ)· (ΜΑ - 2ΜΒ + ΜΓ) = 6 � -. -. � --- 6 = � = -3 � = -3 (1) ΕΜ = -3 �

Λvσn

2Mt:: α ΕΜ· α α·προβ0 α · ΕΗ Επειδή το εσωτερικό-γι-νόμενο των γραμμικών διαvυομάτων - -α, ΕΗ είναι αρνητικός αριθμός έχουμε ΕΗ t ! α και από την σχέση ( 1) --'+ 3 ---+

_,.

------

Λ

...... ---+

συν-

IEHI = �· Μ

το βρίσκεrαι (ε) κάθεrη στηνΆραευθεία που απέχεισε απόευθεία το σταθερό σημείο Ε, σταθερή απόσταση I ΕΗι = ..l. Ι αl και ΕΖ,

Παρατόρnσn

είχαμε (2ΜΑ-ΜΒ)· (ΜΑ-2ΜΒ+ΜΓ) = θα φθάναμε στην ισόmτα -α· ΕΗ- = 3, που θα σήμαινε ΕΗ t t ΕΖ. ---+

Αν

---+

---+

__,..

---+

-6 ,

1111) Δίvοvται τα σταθερά σnpεία Α, Β. Να βρείτε το y.τ. τωv σnpείωv Μ yια τα οαοία ισχvει ΜΑ· ΜΒ = Α, A e iR

είναι το μέσον του τότε

Αν Ο ΑΒ, - ΜΑ·ΜΒ = λ <=> (Mb + OAJ· <Mb + όΒJ = λ � (ΜΟ + ΟΑ)· (ΜΟ - ΟΑ) = λ � -2 Ι ΔΊ:ι.Ι ' -2 ιΜq - ιο� 2 = λ �ιοΜJ 2 = λ + τ � ---+

---+

---+

Μ

στον κύκλο που έχει κέντρο το μέσον Ο του και ακτίνα �·

ΑΒ

Εφαρpοyιί 5

Δίνεται ιι"ρτό τετράαλε"ρο ΑΒrΔ. Να βρεθεί ο y.τ. τωv σnpείωv Μ το" ε­ αιαέδο" yια τα οαοία ισχvει (2ΜΑ + 3ΜΒ)· (2Mr - 3ιiΔ) = Α, Α Ε IR. Εφαρpοyιί 6

ΑΒ

3 (Α, Β, Κ) = 2 · 2ΜΑ + 3ΜΒ =5MR

Τότε και ΑΚ = � ΑΒ. Θεωρώ επίσης σημείο Λ της ΓΔ τέτοιο ώστε 3. (Γ, Δ, Λ) = - 2 Τότε 2Mr - 3ΜΔ =-Μλ και fΛ = 3fΔ. Αν τώρα Ο το μέσο του σταθερού ευθυγράμ­ μου τμήματος η δοθείσα σχέση γράφεrαι ΚΛ

---+

- --νGAPf λ + 4' δηλαδή το κινεfι:αι

I OMJ =

Θεωρώ σημείο Κ της τέτοιο ώστε

(2ΜΑ + 3MBJ· (2Mt - 3ΜΔJ = λ � - λ (SMK)· (-ΜΛ) = λ �ΜΚ· ΜΛ = - 5 � - - - (ΜΟ + ΟΚ)·(ΜΟ + ΟΛ) = - sλ � . . . � -2 Δ 2 � ι όΜJ = - (1J 5 -2 Ο, (1) �

4 Εφ'όσον είναι � - � > η � I OMJ - -ν4 - 5,. δηλ. το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο το μέσο Ο του και ακιίvα �· - -

ΚΛ

'Εστω ορθοyώvιο τρίyωvο OAs (0 = 90°). Av I είvαι το pέσο το" :ιιαίο σnpείο το" εαιαέδο" το" τριyώvο", τότε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. Ί. 1/43

ΑΒ ιιαι Μ w­


------ Οι yεωιιnpι�οί τ6αοι τον εαιαέδοιι ιιε διαvνσιιαuκές ι�ι6τaτες ------

i) ΜΑ2 + D2 - 2ΜΟ2 4MO· Oi + 02 � ii) Να βρεθεί ο v�•· των σaμείωv . Μ totJ εοιοέδοtJ όταν =

MAz + ιifι2 - 2ιioz Αfι2 2 ,,

..

� •

t,

=

'

Λvσa

2 2 2 i) f!.ΊΑ + l\ffi - 2Mb = 2 2 2 (ΜΟ + δΑJ + (ΜΟ + 68) - 2Mb Mb�+OA2+2ΜΟΟΑ+ΜΟ2+ΟΒ2+2ΜΟόΒ-2Μb2 = . ' . 2 682 ΟΑ 2 Μο· (ΟΑ + όΒ) + + 2 2 2ΜΟ (2δi) + 6Α + (δΑ + ΑΒ) 2 2 2 4Μδ. δ1 + 6Α + 6Α + ί\8 + 2ΟΑ· ΑΒ = 2 4Mb. δ1 + ΑΒ + 2 ΟΑ· (ΟΑ + ΑΒ) = 2 2 4Μδ. δ1 + ΑΒ + 2 6Α. 68 = 4Μδ. δ1 + ί\8 =

.

-

.>.

'

=

=

-

Β

"-ν---' ο

-

αφού ΟΑ .L ΟΒ. ίί) Η δοθείσα σχέση λόγω του πρώτου ερωτήματος γράφεται 2 2 2 2 f!.ΊΑ2 + l\ffi2 - 2Mb2 Α8 � 4Μδ. δ1 + ί\82 = Α8 � 4Μδ. δ1 = - Α8 � 6Μ. δ1 .Δ] � 8 . 2 2 .2 - Α82 - �. Α82 Ο ΟΙ· προβσιΟΜ = --g � OI ·On = --g > ( 1 ). 2 �. - :ffi 4Ιδiι ΜΑθΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΟ I Q I Άρα On t t ΟΙ και ( 1 ) � O · Oπι = . 8 � Υ Π Ο Α Ο Γ Ι Σ Τ Η 1 ! Ο:ffi πι 2 ιοq , δηλ. το Μ βρίσκεται σι:η μεσο' : :/.-'_·... ·.. το μοναδι κό κάθετο της διαμέσου ΟΙ. ;tAΘH�;Jr,�ME l'l't.ΦIΚO'ffiOΛO:'!lΊII βι �Λίο στ;ήν =

=

"""::::� :

=

-

. .. .· .

ΕΛΛηνι κή

Εοισιίμαvσa

Οι γ.τ. της μορφής (111) βρίσκονται πιο εύ­ κολα με Αναλυτική Γεωμετρία.

ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ BffiΛIO ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαραίτητο σε όλους ΚΛθΗΓΗΤΕΣ και ΜΛθΗΤΕΣ Κ. ΓΙΑΛΟΥΡΗ�

·

Διδάιcτωρ Πληροφορικής· Μαθημιιτιιcός

''"'" 1"'

Κ.ΣτΑΘΟ'rιΟΥΑΟΣ �Sc Com.Puter Science • Μαθημάτιιcός

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ··. ΕΠΙΣΠΙΜΗ .�:

Πληροφορική Παιδε{q Εκδοση Α • 1995

βιβί\ιοyραφία yιa . καθηyη-ι;eς και μαθη-ι;eς nou χρησιμο nοιουν yραφι κό υnοΛοyrσ,;ή. Αnο ­ Λύ-ι;ως ana p aί,;ηw yιa -ι;ις eξe-ι;�σerς GCE, IB, SAT.

·--

·•

Κεντρική διάθεση από τους συγρσ.φεiς, τηλ: 6205605, 094-507252, 94/35/6 ή στα βιβ?.Jοπωλείι;ι : ΕΚΔΟΠΚΟΣ ΟΜΙΛ ΟΣ ΣΥΓΓΡΛ ΦΕΩΝ ΚΛ θΗΓΗΤΩΝ Σόλωνος /00 ΕΛΕΥθΕΡΟΥΔΛΚΗΣ Νίκης 4 ΚΩΣΤΛΡΛ ΚΗ Ιπποκράτους 2 ΠΑΠΑΣΩΤΗΡΙΟΥ Στουρνά.ρι;ι 35 ΣΛΒΒΑΛΛ Ζ. Πηγής / 8 κσ.ι Σόλωνος

/

KENTPIKH ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΚΔΟΣΕΙΣ Π . ΣΟΚ.ΟΛΗ

ΣΠΥΡΙΔΩΝΟΣ Τ Ρ Ι ΚΟΥΠ Η 3-5 Τ.Κ. 1 06 83 ΤΗΛ . : 38 05 520-38 22 732

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� Β' κ8. τ. 1/44


ΚυκλοφΟρΟύν

ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΑΒΒΑΛΑ

) ιβλία fυ�νασιου )

)

,

Γ . Μοραyού�ας Γ. Σακελλαριαδης -

• Μαθηματικά σα • Η ελληνική γλώσ

Ε. κατσιναβάκης Γ . Σελλούντος

Α. & Σ. Σαββάλας χ. Χρονόπουλος Σ. Μπασδέκης Γ. Μαραγούσιας Α. τραγανίτης

• Φυσική

Ά. & Σ. Σαββάλας Χ. Χρονόπουλος π. Παπαθεοφάνους Σ. Μπασδέκης Γ. Μαραγούσιας Α. τραγανίτης Ε. ΓιαννουλάΚΙΙ r:.. & κ. Ντόμπρου

• Φυσική . • ΧημείΟ: ες υς • Χημεία yια �αλο μαθητ α ατικ Μαθημ • θητες • Μαθηματικά yια καλους μα • Βιολογία • Έκθεση - Έκφραση •

·

'�"ζ1�p· λ'ια ··

·

.

Α' Λυκείου

.

Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας . Μ. Γιαλλούση αρας κ. τζψώνης - θ. τζουβ Γ. Κόλλιας

• ΜΙ"\Χανικι'ι • Φυσικι'ι PSSC (2 τείJΧfΙ) • Χημεία • Άλyεβρα . • Γεωμετρια

Β ' Λυκείου

.;

Ά. & Σ. Σαββάλας . Σ. Ζήσψος - Ν. τσουσης κ. !αλτερής . Σ. Ζήσψος - Ν. τσουσης . Σ. Μιχέλης ρας κ. τζψώνης - θ. τζουβα Γ. Κόλλιας άρας κ. τζψώνης - θ. τζουβ

• Ηλεκφισμός .α • Ανόργανη Χημε� • Ανόργανη Χημεια • Οργανική Χημείανη - Οργανικη) • Χημεία (Ανόργα • Άλγεβρα • Γεωμετρία Δέσμης 8 Μαθηματικά •

.

Σαββάλας

Εκδόσεις - Βιβλι9πωλείο Ζ.

Πηγής 1 8

1 Ο 68 1

Αθήνα Τηλ. 330 1 25 1

Fax. 38 1 0907

--

)j�βλία Γ' Λυκείο� i Μαθηματικά ' " • Αναλυτική Γεωμετρία (2 τεύχrι) . • Άλγεβρα - Αν. Γεωμετρία (2 τεύχτj) • Πίνακες - Συστήμάτα Pi δέσμης . • Πιθανότητες - Μιγαδικοί Αριθμοί • Ανάλυση Pi δέσμης Άνάλυση Pi δ�bμης Παράγφγοι Pi δέσμης 8 Ολοκλi]ρώμdtα Α' δέσμης • Μαθηματικά fS. δέσμης (4 τόμοι) •

Χημεία • Ανόργανη • Ανόργανη • Ανόργανη

• Οργανική • Οργανική • Οργανική • Οργανική (2 τεύχrι) • θέματα Οργανικής Χημείας • • •

Η Χήμεία στις εξετάσεις Οδηγός Πειραμάτων Χημείας Πειράματα και εργαστηριακές ασκήσεις Χημείας • ΟνόμάΊα Χημικών Στοιχείων

Α. τραγανίτης Β. Κάμπος Γ. αραγQιJσιάς Γ. αραγούσιας νης - θ. τζουβάρας

�-�� !:�${�� - Π. Παπανικολάου ·

� ξJ1ήλιώτης Σ··Μ �ίvης - Ά. Παπαδήμας

Κ. Σαλτερής Σ. Μιχέλης Δ. & Π. Θεοδωρόπουλος Κ. Κομνηνός Κ. �αλτερής Μ. lαννίκος Δ. Μπαμπίλης Σ. Μιχέλης Δ. & Π. Θεοδωρόπουλος Κ. Παπαζήσης Δ. Μπαμπίλης Σ. Μητσιάδης τ. Ρ'αγκούσης - Δ. Κατσίνης Β. Αγγελόπουλος �Κ Παπαζήσης

• Ενέργεια-Ορμή-Πεδία-Βολές • Κυκλώματα-Επαγωγή-Εναλλασσόμενα • θερμοδυναμική-Ταλαντώσεις-Κύματα • Ερωτήσεις Κρίσεως

Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας Ά. & Σ. Σαββάλας -

Βιολογία • Βιολογία - Ανθρωπολογία • Βίολογία • Προβλήματα & Πειράματα Βιολογίας

Β. Ηλιάδης π. Βότσης π. Βότσης

Εκθέσεις - Φιλολογικά • Η Έκθεση του υποψηφίου • Εκθέσεις - Δοκίμια • Έκθεση Ιδεών • Λεξικό Εννοιών Γενικής Παιδείας • Συντακτικό Αρχαίας Ελληνικής • θέσεις - Αvnθέσεις • Κοινωνιολογική Σκέψη • Πολύπτυχο Ιδεών • Γλώσσα και Παιδεία • Κοινωνικά προβλήματα • Πρακτική Φιλοσοφία

Χ. Χρονόπουλος

Δρακόπουλος - Χ. Ρώμας Γ. Σελλούντος Φ. Ζήκα Σ. Γκίκας Ομάδα Φιλολόγων Δ.

I. Ευαγγέλου Σ. Γκίκας Ι. Ευαγγέλου I. Ευαγγέλου Σ. Γκίκας Σ. Γκίκας


Το 8όμα

τοt>

Εvκλείδn

Η Στιίitn αvιιί είναι ανοιχτό σε 6Αο"ς το"ς σ"ναδέitφο"ς Κ(Ιι μαθnτές yια να εκφρόσο"v εitεuθεpa τις αnόψεις το"ς yιά τα μαθnματικό. Ο Αόyος στον κο r. Τσόμα

Η yραμμικιί Άλyεβρα, και

n

n

ΑvαλUΣικιί rεωμετρία

Προβολικιί r�ωμετρία

μέσα αnο τα· βιβitία το" Λ"κείο" και nίσω αnό ταν nitότn των διδασκόντων και των διδασκομένων r.Π.Τσόpnς

Πρόβitnμiι

}

.

Να yίνει D μεitέτn το" (yραpμικοu μονοnαραμετρικοu) σ"στιίματος. (m + 2)χ + (m - l)y 2m (1) (I) (3m + 2 )χ - (m - l)y 2(m - 2) (2) =

=

Α) Με τa Ι'ραμμικιί Άλyεβρα

(Θέμα της Άλγεβρας Ν Λυκείου)

}

(1) (m + 2)χ + (m - 1)y = 2m Γία !ο σύστημα (3m 2)χ - (m - 1)y = 2(iη - 2) (2) + έχουμε: -1 +2 Α = 3 + 2 - - 1) ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων και m+2 m- 1 2m ο επαυξημένος πίνακας. Β = 3m + 2 -(m 1) 2(m 2) 1) Αν ο βαθΑ = 2 που σημαίνει ισοδύναμα ότι: m 1 2 Ο <=> (m - 1)(m + 1) :;ι!: Ο <=> :;ι!: 3 2 m :;ι!: 1

(: (

I

)

_

:: -� \) _ -

)

_

{

I

τότε και ο βαθΒ = 2 αφού ο πίνακας Β περιέχει την ορίzουσα

-

}

I 3mm ++22

m- 1 -(m - 1)

(I)

00 του πίνακα Α και δεv έχει ορίzουσα τρimς τάξης που πιθανά να ήταν :;ι!: Ο (και τότε θα ήταν ο Β βαθμού 3 ). Αφού είναι βαθΑ = 2 = βαθΒ το γραμμικό σύστημα (I) έχει Auσn, και επειδή ακόμη: (πλήθος αγνώστων 2) - (κοινός βαθμός 2) = Ο το γραμμικό σύστημα (I) θα έχει μηδενική απειρία λύσεων και το σύστημα (I) είναι σύστημα Grammer και επομένως δέχεται μία και μόνα Auσn για κάθε τιμή της κοινής παραμέτρου m για την οποία m ε IR. - {-1, 1}, την χ=

Dx =

D --

I

I 2(m2m- 2)

m- 1 -(m - 1) m+2 m- 1 3m + 2 -(m - 1)

I

I 1· χ - 2· y = -2 } · ·

I :;ι!: 0

2) α) Για m = -1 το σύστημα (I) είναι το

Λ

I

m+2 2m Dy = 3m + 2 2(m - 2) Υ= m+2 m- 1 D= 3m + 2 -(m - 1)

-1 χ + 2 y = -6

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιθ. "Σ. 1/46

I

I :;ι!:

Ο


----

Η

yρσppιιuί Αλyεβρσ, a Αvσλuτιιuί Ι'εωpετρίσ και a Προβολιιuί Ι'εωpετρίσ

----

οπότε έχουμε: Α = ( -ιι -22 ) και Β "'-- ( _ιι -22 -2 -6 ) και είναι βaeA (αφού I !ι �: I = Ο ενώ μία τουλάχιστον από τις υποορίzουσες πρώτης τό­ ξης του Α όπως η ι ιι = ι �ίναι 0), ενώ είνaι βάθΒ = 2 (αφού μία τουλάχιστον από τις υποορίzουσες 2ας τόξης του Β, οι I !ι =� I , I �2 =� I είνάι -# 0). Αφού είναι βαθΑ = 2 = βαθΒ το tfιάμμικό σvστaμα (10) είναι αδvvατο. 3·χ +().Q.y = 2 } 2) β) Για m = ι το σύστημα γίνεται: + 2 οπότε έχουμε: Α = ( � � ) και Β �( � Υ !2 ) και είναι. ΒαθΑ = ι (αφού- ι 3 0ο ι = Ο και τουλόχιστον υποορίzουσα πρώmς τόξης του Α όπως η 131 = 3 0), ενώ είναι βαθΒ = 2 (αφού η ορίzουσα του πίνακα Β I � � I = Ο ενώ η I � :2 I 0). Πόλι, αφού βαθΑ = 2 = βαθΒ το yραpμικό σvστaμα (18) είναι αδvvατο. Β)Με τav Αvαλvοιuί rεωμετρία Εοιοέδοv και Χώροv 2)χ + (m - ι)y = 2m (ι) } ο γραμμικό σύσmμα (3m+(m +2)χ(mι)y = 2(m2) (2) + m(x + y- 2) = Ο (ι') } γρόφεται ισοδύναμα: (2χ(2+χ-y) y + 4) + m(3x-y- 2) = Ο (2') ==

ι

:ι:

ι<

(I)

(IB)

5

μία

5

*

*

ι<

τ

(I)

81) rιa τav Αvαλvοaιί rεωμετρία τοv εοιοέδοv Oxy

(Υ )

Οι ε§ισώσεις (ι') και (2') oρίzovv στο εοίοεδο δvο εοίοεδες δέσμες κοιvιίς οαραμέτροv •· Η εξίσωσιι (ι')

ορίzει την επίπεδο δέσμη (Απ) = (Σι) από τις ευθείες: { (ει ): Ηι (Χ. y) = 2χ- y = Ο και (ε2): Η2(χ, y) =χ+ y- 2 = 0}

κcu μεκΜροτο Σ = = � Υαι = 1 � = � �� . 1� και a ε�ίσωσa (2') ορίzει την επίπεδο δέσμη (Dm) = (Σ2) από τις ευθείες: { (θι): Θι(χ, y) = 2χ + y + 4 = Ο και (θ2): Θ2(χ, y) = 3χ- y-2 = 0} κcu μεκΜροτο χαι= -� πότε το dvαι: -�. Υαι =

{ Ii �I ( Ί Ι iι1Ι

�l Ί J iI i }

ιr >

(2χ-y) + m(x + y - 2) = Ο (ι' ) με Σι = (�· �) Λ (2x+y+4) + m(3x-y-2) = 0 (2' ) με Σ2 = (- Έ· - �6) m {-1, 1} να ορίzεται μονοσήμαντα ένα zεύγος ευθειών των δεσμών και (Dm) του συστήματος καιορίzεται το οποίοαπόzεύγος ορίzει μονοσήμαντα ένα σημείο Μ μιας κωνικής (C) και της ο­ ποίας η εξίσωση το σύστημα των εξι σ ώσεων (1') και (2') με απαλλειφή της κοινής γραμμικής παραμέτρου m, οπότε παίρνουμε την εξίσωση: ι) 'V

ε

IR(I' )

'

(I' )

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' κβ. τ. 1/47

}

(I' ) κm<ηιβαΜt

(Απ)


----

Η

ypappιiuί 'ί\λyεβρα, a Avaλvnιui rεωpετρiα και � Πρόβολικά rεωpετρiα

----

Για m = -1 το αντίστοιχο zεύγος ευθειών: . . το ε· ribυ είναι ένα διακεκριμμένο zεύγος παραλλήλων ακτινών των δεσμών και ·(Dm). ορίΖει οάοειροv σημείο Μιοχι της κωνικής (C) με διεύθυνση λι = � το διάνύσιiατος uΊ � ) � ( 3χ- = 0 ; ·} 2) β) Για m = 1 το αντίστοιχο zέυγος ευθειών: { 5χ+2 =σ ένα δ ψμέvο π�ν ακnvών των δεσμών κ (Dm) nού το Μ2:.οmς κωνικής (C) διεύθυνση� = = � του ��αrος -;2 � }ου άξοVα (y'y). ( , , 1 1 1 3) Η κωνικn (C) με εξισωση την: χ2 -2xy- χ+ 2 =Ο<=> Υ = χ- + 2 2 � είναι στο αναλυτικό επίπεδο μια υπερβολή με ασύμmωτες τις παράλληλες αντίστοιχα πpος τΟ. -;ι ( � ) και -υ 2 ( ο1 ) από το κέντρο. τής υπερβολής. 82 ) rια 'liιv Αvαλvτικιί Γεωμετρία τον :ιιώρον Ο:ιιyz (2χ-y) + m(x + y - 2) = Ο (1' ) } , Το γραμμικο, συστημα: (2χ +Υ+ 4) + m(3x-Υ- 2) = Ο (2') ορίzει άί:ον αναλυτικό χώρο Oxyz δύο αξονικές δέσμες με άξονες τους: (ξι) = (Χοι = �· Υοι = �) και = ( = - �· Υο2 =- ι:} πουΓιείανκάθε αι nαράλληλοι πpος τον άξονα (ΟΖ) του συστήματος αναφοράς. zεύγοςτέμνονται εnιπέδωνκ�άΈωνμιααξονι,κ δεσμών (ξι) τικαιμή της (�) παραμέτρου που αν m m ορίzεrαι {-1, από 1} τατοεπίσύστημα πεδοα του ένα zεύγους ευθέίαών (μ) που είναιπαραμέτρου ευθείά παράλληλη προς τον(1')άξονα (ΟΖ) του συστήματος αναφοράς. Με απαλλειφή της κοι ν ής των εξι σ ώσεων και ( 2') ορίzεrαι η επιφάνεια που είναι ένας υπερβο­ λικός κύλινδρος (Υ) με εξίσωση 12 21 χ1 χ2 - 2xy-x+2=0<=>y=-x--+χ - 2xy-y+2= 0 και έχει οδηγό γραμμή την υπερβολή και που είναι στο επίπεδο (Oxy). z=O (I�)

2) α)

(Δ.n)

(16)

είναι επίσης

zεύγος

ιακεκρ

με

ιιάιιειρο1r οημείο .; · �

(Δ.,) αι

.

ορfι.ει

δεύtερο ε-

οο

·.

(I' )

··.

(�)

ε

Χο2

(I' )

IR. -

rtι

{

r) Με τnv ΠροβοΑικιί rεωpετρία

2

}

2)x+ (m - l)y=2m (1) } Επειδή το σύστημα: (3m+(m+2)χ(m- 1)y = 2(m- 2) (2) είδέσμες ναι γραμμικκαιό ως( προς χ και y της αυτής γραμμι κ ής παραμέτρου m, γι α υτό οι αντίστοιχες επίπεδες Dm) του συστήματος (I)

(Δ.n)

(1' ) :

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' κβ. τ. 1/48


Ε Υ ΚΛ Ε Ι Δ Η Σ Β ' 7/ 1 995 ΒΛΑΧΟΣ Β.

ΜΑΘΗ ΜΑΤΙΚΟΣ ΣVΓΧΡΟΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕVτΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑτΑ ΓΙΑ το ΓVΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ το ΛVKEIO ΧΡΗΣτΟΥ ΣΙΩΖΟΠΟΥΛΟΥ •

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ σελ. 500, δρχ. 3300

ΑΛΓΕΒΡΑ 4ης ΔΕΣΜ ΗΣ

σελ. 344, δρχ. 3000

ΓΕΩΜ ΕΤΡΙΑ Α· Β ΛΥΚΕΙ ΟΥ

(4 TEVXH)

.ι' Όλο το θεωρήματα και το πορίσματα σε ε­ ρώτηση - απάντηση. Συμπληρωματικές ερω­ τήσεις θεωρίας και ερωτήσεις κρίσε� ς . \,

ΑΛrΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ (2 τεύχη)

- Τ.1 σελ. 250, δρχ. 2800

ΦΥΣΙ ΚΟΣ

.ι' Πολλές λυμένες ασκήσεις που πορουσιάζο-

ΝΙΚΟΑΑΟΥ ΑΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ •

-Τ.2 σελ. 320, δρχ. 3000

• -

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ (2 τεύχη)

Τ.1 σελ. 416, δρχ. 3500 - τ.2 σελ. 384, δρχ. 3500

'

.

νται απλά, μεθοδικά, με μοναδική πληρότητα. Οι άλυτες ασκήσεις με υποδείξεις . - aπαντή­ σεις. Συνολικά πάνω από 2000 ασκήσεις

.ι' Βιβλίο που γράφονται κάθε 20 χρόνιο. Ακόμη: •

μαθηματικά vια· ό�ο το Γυμνάσιο και άλγεβρα Α' Λυκείου. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΒΛΑΧΟΣ Β. ΠΑΠΑΦΛΕΣΣΑ 3 . 134 51 ΖΕΦΥΡΙ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: 2684834 - 3818296 ΚΙΝΗΤΟ: 094 - ��4516

I

�� ών

6 ΜC1θημcηικ , , οΝο1\ληpωμενη σειΡ. , οc, των

ρει , θG �ρεlτε εκτ Ι<.u\\λο(\)ο ν οnοι� ou η αnό P,acca\ aureat, ε στ l [\uκ nI ψCl τ · ' , μ C1 εξετe1οεων ο θε cη . , . dοΙΙ όχΊ οrd, JMo, aλλων 850\ \\ m: o + c mbrΙdge L011 μενG οο μ ρ G ()η\νers\t� ο' a , οο nρ ρκη λ n t.ξετ aοεων . Κολλέ'ψC1 NέC1C, '{ � δ c, ενικών ο ε n G το rιι.•• • nνέuμG κ ι ε• ••• •• •••• I

ι---...;,;,ι-·

��� r

I

·

.

• • • • •

.

,

·.

Συνqρτήσεις - όρφ - συνέχεια Παράγωγος (Β έκδοση) Ολοκλήρωμα (Β έκδοση) Πίνακες συστήματα - διcινύόματα - ευθεία Κωνικές τομές - πιθανότητες - μιγαδικοί . .

'

Μαθηματικά 4ης Δέσμης (Β έΚδοση) (λλγεβρα - Ανάλυση)

�----��------------------

(023

1264

&

(0236) 2222 1

{

I


}

(2χ-y) + m(x + y- 2) = Ο (1') με Σι = (�· �) Λ (2x+y+4) + m(3x-y-2) = 0 (2') με Σ2 = (- Έ· - �6) ορίzουν στο επίπεδο μια οροβοΑιιιότaτα και τα σημεία τομής Μ των αντίστοιχων ακτινών των (Σι) και (Σ2) για κάθε τιμή της παραμέι:ρου m ορίzουν (σuνθέι:ουν) μια κωνική α) Στην κωνική (C) που ορίzεται από το σύστημα των δύοΣιπρο­ βολικών επίπεδων δεσμών (Σι) και (Σ2) ανήκουν τα κέντρα και Σ2 αυτών των δεσμών: (I' )

(C).

(I' )

a1) Καθορισμός το\J :ε2 ως σaμείοu τaς κωvικιίς (C)

Θεωρούμε την ευθεία Σι Σ2 = ΣιΣ2 ως ακτίνα της δέσμης (Απ) = (Σι) και ορίzουμε από την εξίσωση (1') την τιμή mι της παρα, η ακτι,να Σ Σ2 να περιε,χει το Σ2 (- S'2 - 516 , m με την απαπηση μετρου και έχουμε: υ

1

5 - 285 mι = Ο <=> I mι = �7 I mν mι =� δέσίm (Dm) = (l.:2) απόmν εξίσωση <Ι\Πής mν εξίσωση: (2χ + y + 4) + � (3χ-y -2) = 0 <=>23χ + 4y + 22 = 0 που ορίzει την ευθεία (ε2) και που είναι η ακτίνα της (σ2) που αντιστοιχίzεται στην ακτίνα ΣιΣ2 της (Σι) Η (ε ) είναι διάφορος της ΣιΣ και το σημείο τομής Σ = (ΣιΣ ) (ε ) είναι σημείο της κωνι­ κής .(C) με2 εφαπτομένη στο σημείο Σ2 2 την ευθεία (ε2) (λόγω2γεπονιάς).2 2 12

και ouvέxE1Cl για

τιμή αιπι1

(2')

ορfιοuμε σm

Γ\

a2) Καθορισμός το\J :ε1 ως σaμείοu τaς ιιωvιιιιίς (C)

Θεωρούμε πάλι την Σ2 Σι = Σ2Σι ως ακτίνα όμως της δέσμης (Dm) = (Σ2) και από την εξίσωση (2') της δέσμης (Dm) = (Σ2) ορίzουμε την τιμή m2 της παραμέι:ρου m με την aoaίτaσa η Σ2Σι να περιέχειτο Σι (�· �) οπότε: (2 � + � + 4) + m2 (3 � - �- 2) = Ο <=> I m2 = 5 I και στη συνέχεια για την τιμή αυτή m2 = 5 ορίzουμε στη δέσμη (Απ) = (Σι) από την εξίσωση αυτής (1' ) την εξίσωση: (2χ- y) + 5(χ + y- 2) =Ο<=> 7χ + 4y- 1 0 = Ο που ορίzει την ευθεία (ει) που είναι η ακτίνα της δέσμης (Σι) που αντιστοιχίzεται στην ακτίνα (Σ Σι) της (Σ2). Η (ει) είναι διάφορος της Σ2Σι και το σημείο τομής Σι = (Σ2Σι) (ει) είναι σημείο μι2 ας κωνικής (C) και η (ει) εφάπτεται της κωνικής στό Σι (λόγω γεπονιάς). υ

(C)

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β' ιιθ. τ. 1/50

n


ΑΡΜΕΝΟΠΟΥΛΟΥ 27, (πίσω από τη Ροτόντα) Τηλ.: (03 1 ) 203.720, Fax: 2 1 1 .305 - θΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 546 35

Πλήρεις σειρές Μαθηματικώ ν του

ΘΑ ΝΑΣΗ ΞΕΝΟ Υ

-

ΜΑθΗΜΑΤ/ΚΑ ΓΙΑ Α'; Β' & Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΝ/ΚΑ θΕΜΑΤΑ ΜΑθΗΜΑ τJΚΩΝ ' . Της & 4ης ΔΕΣΜΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ' · Β ' Λ ΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ . Α ' & Β' Λ ΥΚΕΙΟΥ c ΑΝΑΛ ΥΣΗ

ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ •�••a&+kt·•••-••

Ιη.ς Δέσμης τομ. . 1; �,3 .ΑΛΓΕΒΡΑ

• .ΑΝΑΛΥJ/ΚΗ . ΓΕΠΜΠΡΙΑ · .•

τομ. 1;2 ΑΛΓΕΒΡΑ

mnι

4ης Δέσμης

�\Et\\\

·. ΑΝΑΛΥΣΗ ,

·

NI-AAYΣff -A.,άλuet ms 1HS

4ης Δ�σμης τομ. 1,.2

�i.,HS

εt\t ΣΥΑ θΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΦΕΥΙΝΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕC Τα pτnιά llψetra �pιpiJouιι 71fll ewάjr< κια 6Uκιω<fψiιιο 671/mδο 8oH!JHμlfιrtull .I ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΑ 1 ης Δέσμης

Άσκηση 1 7 σελ. 220 (Γ' τόμος) Μέθοδος σελ. 59 (Γ' τόμος) Άσκηση 32 σελ.όό (Β' τόμος) Άσκηση 19 σελ.2 1 7 (Β' τόμος)

.,t ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ 4ης Δέσμης

Στη σειρά των βιβλίων της 4ης δέσμης για το κάθε ζήτημα των εξετάσεων περιέχονται τουλάχιστον τρία (3) αντίστοιχα λυμένα ή άλυτα θέματα. 8ΑΝ&ΣΗ Π• .!Ι:ΝΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ

Συναρτήσεις Όριο Σuν�χειa Aκonouerες

κο•

ΑΝΑΛΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1

......

··, .

1

---

_.-,.:.

..

θΑΝΑΙ.Η Π. ΞΕΝΟΥ

1

θλΝΑ1ΗΠΝΟΥ

.......-

θΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ

tEΣffiH

flΝΗΛΥΣΗ

η� kaθηγητές, έκπτωση 35°/ο :Q �'1& . ---

• το βιβλιοπωλείο μclς διαθέτει και πολλά άλλ.α βιβλία yιά τη Μέση Εκπαίδευση, καθώς και ιιλήβος εmιπημονικών βιβλίων νια w ΑΕΙ, YEI και IEK

ΙΙ(�ό

.

. . ··. . .

.

.

με ια θέ�α και ίις λύσC!ς ''9-ν Γενικών· Ζητηατε να σας στείλουμε το Εξειασεων 1995; καιτοπεριοδικο τqu βιβλιοnωλειου μας, πουπεριεχει αναλυτικά τις εκδόσεις μας με τα περιεχόμενα τόυς. ·

.

· · · -.-..-----

�-

... ..111!•..... ,...;. . . ....

. ..

. .

fτΛιιr ιιnΑnνιιτr.t νίvr.τιιι iιιιπωιπ ι .

·

·· · ··· ·

·

• • •

Γεωμετρία Α' Λυκείου Άλγεβρα Α' Λυκείου Άλγεβρα Β' Λυκείου

I<PI

--- ·

Μαθηματικά Α', Β', r· Γυμvασί�


J'Ιοθnpο"Ιικές Ολ"μοι άδες 12• Β .Μ.Ο. Εοιμέλεια: Π. Μορέyιαvvaς,

Σ. Ράοοος, r. Τάκος Αvσεις: Σ. Ράοοος

Βαλκανική Μαίου αθηματι κή Ολυμπιάδα διεξήχθη στην πόλη Φιί\ιππούπολη της Βουλγαρίας 1995, με συμμετοχή των χωρών της Ελλάδας, Βουλγαρίας, Σερβίας, στο διάστημα 7-13 Μ Κύπρου, Σκοπί ω ν και Αλβανί α ς. Η φιλοξενία των Βουλγάρων ήταν άψογη και το πρόγραμμα πλούσιο (εαπό πισκέψει ς σε μαθηματικά σχολεία, μουσεία κ.ί\.π.). Η εξαμελής ελληνική αποστολή απο­ τελούνταν τουςΘεοδωρίδη, άππο, Σ. Ρ Ν.Π.Καραναστάση, Σ. ΡΓ.ουvτzούνη, πρέγι α vvη, Τάκο μας κατάφερε να Μ και συνοδεύονταν από τους Θ. Μπόλη, Δ. Κοντογιάvvη και Π. Βλάμο. Η ομάδα αποσπάσει 4 χάλκινα μετάλλια, με τους Π. Θεοδωρίδη, Π. Μπρέγιαvvη, Σ. Poυvτzoύvn, Γ.Τάκο και 1 αρyνρό με τονnς Σ. Ράππο. Τα θέματα της 12 ΒΜΟ με σύντομες λύσεις ήταν τα εξής: Η 12

n

η

θέμα ορώτο (FYROM)

Να βρείτε ταν τιμιί τaς έκφρασaς: ( ... (((2 * 3) *

χ*y=

:++ xyΥ ,

yιιι

,

4)

* 5) * . . . ) * 1995, όοοv

ιιάβε θετικό χ, y. .

Avσa

2

Παρατηρούμε_ η(ηότι 1)η- 2πράξη είναι προσεταιριστική και με επαγωγή δείχνουμε ότι: 3 ... η η(.η+ 1) + 2, για η πε. ρmο.

*

*

+

*

-

θέμ'-' δεwρ� (ΕΜΑΔΑ Δ. Kovτo�άvvaς) θεωροvpε τοvς κvιιλοvς C1(0,1, r1 ) και �(02, r2) oov τέμνονται στα Α, Β όοοv r1 < r2 και 01ΑΟ2 90°. Η εvβεία 0102 τέμνει τον C1 στα C, D ενώ τον Cz στα Ε, F. Το Ε �ίναι μεταl\1 �ων C, D •α• io D μετcι�\1 των Ε, F. Η ΒΕ τέμνει τον C1 στο Κ . και �ν ΑC' «η:ο. Μ, ενώ a BD τέμνει τον C2 στο L και ταν ΑF στο Ν. Να δεί�ετε όn

=

r2 rι

.

=g

.

,

LN

-�

.

"

.

· ·!

·

_,

'

-

· -

·

·

·

"

IUI . ι.ρ· >

Avσa

Επει Q ή οι κύκλοι τέμνονται κάθετα, εύκολα δείχνουμε ότι C, Α, συνευθειακά και F, Α, Κ συ­ . νευθειακά Από το. θεώρημα Μενελάου στα τρίγωνα MCE και NDF, που τέμνονται από τις ευθείες FΑΚ, l.N AF . 2rι 2 2 AC r . 1- . (1) CAL αντίστοιχα, έχουμε ότι: ΚΜ · Κξ;• ΑΜ CF CF Στο εγγράψι μ ο Α ΒΝ, εύκqλα δείχνουμε ότι FE, οπότε από την (1) προκύπτει Μ r2 L

-.

=

ΜΝ //

= ΚΕ · LN · ' rι ΚΜ w

Παρίιuίρ.σa.

Οπως μας είπε ο κ. Κοντογι ά vvης, που κατασκεύασε την άσκηση, αυτή ιχύει και °

οταν Οι A 1Q'� -:�- 90 . """' i· - �! :

.'

,

-;;

LD ΑΝ

._,

·

ι

.

ΕΥΚι\ΕJΔΗJ; Β' κβ. τ. 1/52


-------

Μαθa•αuιιές Ολ"•••άδες -------

θέιtό 'Ιρί'Ιο (ΑΑΒΑΝΙΑJ Έcnω a, b θεuιιοί aιιέρaιοι με a > b ιιaι a + b άρuο. Να δεί�ε'Ιε όu ΟΙ ρίzες ιί '1�ς ε�ίοωσ ς χ2 - (a2 � a + l)(x - b2 - 1) - _(b2 1)2 είναι θε'Ιικοί aίιέρaιοι v o ιl κανένας aοό 'lo ς o oί vs δεν είνaι 'Ιέλειο 'Ιε'Ιράyωνο.

=. + =Ο

2 + 1 , χ2 = a2 - b2 - a και επειδη' a � b + 1 , εχουμε , , , , b ι ριzες της ε σωσης ει ν αι χ = οτι 1 a2 -b2,- a � a- i > 1 2� Ο, δhί\. χ1, χ2 θετικοί ακέραιοι. Το χ1 ουδέποτε είναι τέλειο τετράγωνο, αφού b2 < χ1 < (b + 1) : Για το χ� θέτουμε m = (a ; b), η = (a2 b) και υποθέτουμε ότι c2 = χ2 = 4mη- η- m για κΟποιο c ακέραιο. Τότε (4m- 1)(4ri- 1) = 4(4mη- m - η) + 1 (1). Αν όιiως ένας αρι θ μός της μορφής = ρ)4κ=+ 1,1 οπότε θα έχειαπόπρώτο διαιρέτη της μορφής ρ 2=2λ-Ι4ί\ - 1.2 2λ-ΙΈστω φυσικοί χ,είναιώστε ( χ , ρ) = θ. Feπnat προκύmει ότι: 2 + 2 δε διαιρεί το ρ 2 2 δε διαι-ρεί το (2). + )χ= 2c,- 2 =O(mod ρ ==> χ (χ )Θέτουμε ) 1, οπότε οι (1), (2) καταλήγουν σε αντίφαση. Λvσn

ξί'

ο

b-

q

(y

q

y

(y,

=>Χ + y

y

Ξ

y

q

θέμα, 'Ιέ'Ιaρ'Ιο (�EPBIA)

'Εσι:ω Ιι θεnιιός ακέραιος ιιaι S 'IO σvνοΑο όΑων 'Ιων σnμείων (χ, y) όοοv χ, ν θε'Ιικοί. ακέραιοι με χ � n, y � n. Υοοθέ'Ιοvμε όu Τ είναι '10 σvνοΑο όΑων 'Ιων -ιε· 'Ιρayώvων με ιιορvφές cno S. �vμβοΑίzοvμε με a. (κ � 0), 'ΙΟν aριθμό 'lωv zεvyών 'Ιων σapείων 'IOV S, DOV είναι κορvφές ακριβώς κ 'Ιε'Ιρayώνων 'IOV τ. Να δεί�ε'Ιε όu Ωο Ωz 2as.

= + Λvσn Προφανώς υπάρχουν(μόνο2 )τα α1, ά2, α3. Ο πί\ηθάριθμος του S είναι η = η2(η- 1)(η + 1) = αο + α1 + α2 + α3 2 2 _ ο πί\ήθος των τετραγώνων του πί\ευράς κ που έχουν πί\ευρές παράλληλες στους άξονες είναι 2 (η-πί\ηθάρι κ) . Στιςθμοςπί\ευρές του των είναιτεtραγώνων ί\οmόν: αυτών περιέχονται οι κορυφές ακριβώς κ τετραγώνων του Τ. 1 11 =Σ κ(η - κ)2 =Σ κ2(η- κ)= ηΣ κ2 - Σ κ3 = η2(η- i�(η 1). Αν το πί\ήθος των τετραγώνων του Τ οριστεί με βάση τα σημεία του S, έχουμε: 2 lll = (α1 + 2α2 + 3αg) η (η- 1)(n 1) 6 12 Από (1) και (2) προκύmει ότι = α2 + 2α3: τέλος να μας ευχαριαυτές. στήσουμε την Ε.Μ.Ε. και τον κ. Δ. Κοντογιάvvη για την πολύτιμη βο­ ήθειάΘατουθέλαμε στις εππυχίες ao.

τ

ο

( 1-)

τ

τ

n-1

n- 1

n- 1

n-1

κ= l

κ=l

κ= l

κ= l

+

ao

ΕΎΚΛΕΙΔΙΙΣ Β' κθ. τ. 1/53

+

(2 )


'Evo ορόβλnμα, π ολλές λvσεις Εοιpέλεια: Νίκος Σ"Ιάβa Παοαδόοο.,λος

συνάδελφος rιώρyος με τοντα ακόλουθα: τirλο: «rεωpε"Ιρία a εοιστάpa χθες μας έσ.:ειλεΜενδωvίδaς και δημοσιεύουμε διάβασα κάπου, ο Καρλ Μαρ�, ο οποίος γνώρΙΖε Ελί\ηνικά, πριν από κάθε σοβαρή επιστΌπως ημονι κ ή εργασία του έλυνε ασκήσει ς Γεωμετρί α ς. , 'αυτόν τονκήςτρόπο πιστκτεύουμε πως οδηγούσε τη σκέψη του στην κατεύθυνση της παραγωγικής καιΜΗδημι ο υργι αποδει ι κ ής δι α δι κ ασί α ς. το οποίο μας μαθαίνει να κατασκευάzουμε, να υπολογίzουμε και Γεωμετρία εί ν αι το μάθημα, ναευτυχώς αποδεικνύουμε. Γι'πολλές αυτό έχειφορές, για πολέμι ό της,κτον «aρπακτι κό καππαλι σοιμό»οποίοι και τους ελάχι στους αμέρι μ νους, επι στ ημονι ούς συνοδοmόρους του, στο όνομα τουή «εκσυγχρονι σμ ού των αθηματι κ ών», ρίχνουν νερό στο μύλο της ελαχι στ οποίησης της κρπικής Μτων μαθητών, με όλες τις γνωστές συνέπειες... αντιΗκειΓεωμετρία μενικής σκέψης ένδοξο παρελθόν, πλούσιτοομορφCa? παρόν,τικελπι δοφόρο πιχόμενο. μότητα ή αμέλειόμως α δε έχει θα μπορέσει να της αλλάξει ό αλλά και τομέλλον ουσιαστικαικόκαμι τηςάπερισκο­ε­ πίσω από έναν «γεωμετρικά σκεmόμενο» άνθρωπο, κρύβεται πάντοτε ένας καλός Γε­ Λένε πως ωμέrρης. Η μέση εκπαίδευση έχει σήμερα πολλές χιλιάδες τέrοιους Μαθηματικούς, που διδάσκουν «Αποδειτωνκτικμαθητών ή Γεωμετρία» , με έμπνευση και μεράκι και δίνουν φτερά στην κρπική και αποδεικτική σκέψη τους. Εδώ «'Ενα ορό­ πιστεύω πως πρέπει να επαι ν έσουμε τη στήλη του περι ο δι κ ού «Ευκλείδης Β», βλapα οολλές λvσεις», του συναδέλφου Νίκο" Σ"Ιάβa Παοαδόοο.,λο.,, γιατί λύνοντας εκεί πολλά γεωμετρι κά προβλήματα μεκήςπολλούς τρόπους, δίνει ιστο μαθητή τη δυνατότητα να νέων αντι­ ληφθεί την πολυμορφία της μαθηματι σκέψης, τον κάνουν κ ανό στη συνεχή αναzήτηση λύσεων και του δίνουν τη δυνατότητα της επιλογής της καλύτερης, κατά τη γνώμη τους, δυνατής λύσης. Έτσι ο μαθητής μαθαί ν ει από μι κ ρός να αναzητάει και για τα προβλήματα της καθημερι ν ότητας, πολλές εναλλακτιπως κές λύσει ς καικαλόπι γίνεταιστιοςκανός να επιλέγειδεντηνμπορεί καλύτερη απόσαυτές. Πιστεύοντας κανένας άνθρωπος, να αμφι βητήσει, ώστε , τοντοκυρίαρχο ρόλο της Γεωμετρίας στη zωή μας, ας βοηθήσουν δι δ άσκοντες και δι δ ασκόμενοι μάθημα αυτό ναγεωμετρεί». πάρει τη σωστή του θέση στο εκπαιδευτικό στερέωμα και ας μην ξεχνούμε ότι «αεί ο θεός ο μέγας Η συνάδελφος Παναyιώ"Ια Δap. Βάβa (Χαλκίδα), μας έστειλε και δημοσιεύουμε τα ακόλου­ θα: Ο

'IO"

και 'IO" αvριο»,

θεώρnpα

τωv

Το θεώρημα

Steiner - Lehιιιas

«Εάν δvο εσωuρικές διχο"Ιόpοι "Ιριyώνο" είναι ίσες, "Ιό'ΙΕ 'IO "Ιρίyωνο είναι ισοσκελές», Lehmus. Ο C.Lehιaus, καβaya"Ιάς Παvεοιστapίο" στο Βερολίνο, zά"Ιaσε 'IO 1840 αοό "Ιον οερίφapο Ελβε"Ιό yεωpέ'Ιρa Jacob Stelaer, vα αοοδεί�ει 'IDV ορό"Ιασa αwά. Το 1850, βράκε και ο Lehιaus δικά 'IO" αοόδει�a. Αοό "Ιό'ΙΕ οολλές αοοδεί�εις 'IO" βεωράpα"Ιος έχο"ν δapοσιε.,βεί.

είναι γνωστό ως Θεώρημα των Steiηer-

Στο τεύχος Ιανουάρι ος - Φεβρουάρι οerς 1995, σελιοες 56 - 60, δημοσιεύτηκαν εννέα ενδιαφέ­ ρουσες αποδείξει ς του θεωρήματος Stei η Lehmus και σύντομες ιστορικές σημειώσεις . Για αναγνώστες του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β' δίνουμε τις ακόλουθες πληροφορίες και μερικές ακόμη αποδείξειτουςς εκείνου του θεωρήματος: ΕΥΚι\ΕΙΔΗ� Β' ιι:8. τ. 1/54

·


------ Ένα aρ68λapa, άολλές λύσεις ------

τις εισαγωγικές εξετάσεις για το Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών ετέθη στους Συποψηφί ους το 1952 το θέμα: «Να αποδειχθεί ( ό χι με απαγωγή εις άτοπον), ότι εάν τρίγωνο δεν είναι ισοσκελες, τότε δύο δι­ , χοτόμοι του είναι άνι σ ες». Ι (βλ. ΕΓΗ ΙΟΝ ΔΕΛτΙ Ο Ν 1952 Α σελιSteiηer'δα 28). Lehmus. Σ ΣΤΕΙΔΟΥμε το θεώρημα Ρ Η πρόταση αυτή είναι, βεβαίως, ισοδύναμη 2 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ τεύχος Ιανουάριος-Φεβρουάριος 1976, σελ.39: Εκεί αποδεικνύεται η πρόταση: «β < Ίόtt δι > δy>>. 3. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεuχος Μάιος 1978, σελ.12: Αποδεικνύεται διαφορετικά η ίδια πρόταση. 4. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', τεύχος Ιανουάριος- Φεβρουάριος 1979, σελ.136 - 137: Έχει δημοσι ένα ενδιαφέρον άρθρο του Μαθηματικού Νίκου Κισκuρα σχετικά με το θεώ­ ρημα Stei ηer-ευτείLehmus . 5. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' , τεύχος Μάιος 1979, σελ.237: Ο Γ. Γ. Ωραιόπουλος ασχολεiι:αι με το θεώρημα Steiner- Lehmus και παραθέτει δύο αποδείξεις του . 6. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', τεύχος Νοέμβριος-Δεκέμβριος 1979, σελ.95: Δημοσιεύεται μια πολύ ενδιαφέρουσα επιστολή του Μαθηματικού Νίκου Κισκύρα σχετικά με το θεώρημα Steiηer- Lehmus. 7. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ τεύχος άρτι ο ς 1980, σελ.160161: Μ μια από τις γνωστές αποδείξεις του θεωρήματος «β < δι > δy>> και δίνεται μια Σχολιάξzεται απόδει ή του. 8. Ο Ιωάννης Πανάκης στο βιβλίο του ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ 'fΡΙΓΩΝΟ, που εκδόθηκε πριν από το 1960, δημοσιεύει δώδεκα διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος Steiηer - Lehmus. Παραθέτω αμέσως την 1 και 12n από εκείνες τις αποδείξεις: ι.

ΠΑΛΜ,

Β' ,

y

Β' ,

y

<=>

ση

ιο• Αοόδειξa

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο οι εσωτερικές διχοτόμοι του, ΒΕ και ΓΔ, είναι ίσες. Θ'αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (Σ:ιr.ά.pα Α Θεωρούμε το μέσον Ζ της ΒΓ και την ημι ε υθεία πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ΖΗ = Το τετράπλευρο ΔΒΗΓ είναι παραλληλόγραμμο και επομένως ΒΗ = ΓΔ...... = ΒΕ· άρα το τρίγωνο ΒΕΗ είναι ισοσκελές και τ + λ = σ. (1) Υποθέτω ότι Β < Γ, δηλαδή ω < φ. Άρα τα τρίγωνα ΒΕΓκαι ΒΔΓ έχουν ΓΕ < ΔΒ = ΓΗ άρα ΓΕ< και�< μ. (2) Από τις (1) και (2) προκύmει τ+ λ+ ν< μ+ σ, ΒΗΓ < ΒΕΓ, ΒΔΓ < ΒΕΓ, 1800 - ....Β.. - 2Γ < 1800 - ....Γ .. - 2Β καιτέλος, ....Β.. > ....Γ... Αυτό είναι άτοπο, γιατί υπέθεσα Β < Γ. .:ιr.apa ι είναι Β < Γ' όμοια αποδεικvύει:αι όΌ δεν είναι Β > Γ ·άρα Β= Γ καιβ=γ. ι).

ΔΖ,

ΖΔ.

.Δ.

......

......

.......

J""''r,.

......

..:::..

......

ΓΗ

......

......

......

......

......

......

...... Άρα ...... δεν

.......

......

......

Β

Γ

......

......

......

ΕΎΚΛΕΙΔJΙJ; Β' κ8. τ. 1/55

τ-.

,

Η


-----..,..---

Έva αρ6βλa•α, αολλές λ.Jσεις ------

Έσrω τρίγωνο ΑΒΓ, οι εσωτερικές διχοτόμοι ΒΕ και ΓΔ του οποίου, είναι ίσες. Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (Σ:ιιόpα 2). Α Πράγματι, εάν υποθέσουμε Β < f, τότε θα είναι και ΑΓ < ΑΒ. Από τα σημεία και Ε φέρνουιiε τα ευθύγραμμα Δ ψ.ήματα ΒΓ iaι.EH ΒΓ. Είναι ν = σ·· άρά ΗΕ= ΗΒ. Είναι � = φ άρα ΔΖ = ΖΓ. Επειδή Β < Γ, δriλαδή σ < φ, τα ισοσκελή τρίγωνα ΒΗΕ και ΔΖΓ έχουν, από υπόθεση, ΒΕ ΓΔ και τη γωνία σ < φοι= ΒΕω'' άρα είναιείνάνιαι διχοτόμοι σα και συνεήώς ΗΕδι<αδοχι ΔΖ. κ(1)ά: ν =Εnειδή και Γ , έχουμε Δ ΓΕ = ΑΒ ΒΓ < ΒΓ = ΔΒ (2) επειδη, ΑΓ < ΑΒ. Β , ΑΕ Σ:ιιnpα 2 Άρα ΓΕ < ΔΒ ΓΕ + 1 < ΔΒ + 1 ΓΕ + ΑΕ < ΔΒ + ΑΔ ΑΓ < ΑΒ ΒΓ < ΒΓ ΑΕ ΑΕ ΕΗ ΔΖ ΑΒ (διότι ΑΗΕ< ΕΗ. Γ(3) W). Άρα Οι«Εάνσχέσει και κ(3)ές είδινχαιοτόμοι ασυμβίβαστες. Καταλήγουμε πόν, σrοοιεξής: δύοςεσωτερι τριγώνου είναι ίσες, είναιλοιαδύνατο αvτίσrοιχες γωνίες να είναι άνισες· άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές». 9. Παραθέτω, τώρα, μια τριγωνομετρική απόδειξη του θεωρήματος Steiηer- Lehmus: (Σ:ιιόpα 3) Α Τρίγωνο ΑΒΓ: lημ+2ω = ηχμ2+φ Τρίγωνο ΒΓΔ: ΓΔ=-.ημωl- ·ημ2φ (2) Τρίγωνο ΒΓΕ: ΒΕ = -·ημ2ω (3) ημφχ χη ω μ2 Από τις (2).και (3) προκύmει: lημ2φ ημω ημφ (4) Τρίγώνα ΑΓΔ κάι ΑΒΕ: = ΓΔ = ΒΕ =....L"άρa....!!!.... = ....L (5) ημω ημΑ ημΑ ημφ ημω ημφ αθισrούμεήσειτας,lπαίρνουμε: και m από τις (4) και (5) σrην (1) και, Σ:ιιόpα 3 μετάΑvτιτιςκaπλοποι χ· �+ ημφ συνω = χ+ (6) Εάν φ =.cii; τότε η (6) είναι αληθής. Εάν φ τότε εύκολα αποδεικνύεται (επειδή Ο< φ, ω< �) ότι η (6) δεν ισχύει. Άρα φ = ω κaι επομένως = γ. Η απόδειξη αυτή έχει δημοσιευtεί σrο περιοδικό 'Πιe Matheιnatlcal Gazette, Φεβρο"ά· .Δ.

ΔΖ //

.......

......

......

......

//

.......

......

......

.

/"<ιrι,.

......

..ι::::::rι..

=

......

ΑΓ

ΑΕ

ΑΔ' ΑΕ �

ΔΖ

Γ

ΑΔ'

ΑΔ

'

ΑΔ

'

ΑΔ'

(1)

Υ

in

(1 )

.Δ.

.Δ.

.Δ.

""""

....!!!....

y· συvφ

y.

:;t ω,

.

Β

'

ριος 1969, σελίδα 59.

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙ� Β' a8. τ. 1/56


-------

Ένα aρόβλa••· aολλές λ.Sσεις

------

το περιέχειοδιδημοσι κό Mathematlcs magazlae, uv:κος Μάρuος 1970, σελίδες 101 Σ102, ο συγγραφέας ισχυρfzεται ότι δεν την έχει δει ε υτεί η παρακάτω απόδει ξ η· πουθενά δημοσιευμένη και επομένως ότι είναι πρωτότυπη: (βλ. Σ:κιίpα 4) Έστωκέςτρίγωνο ΑΒΓ με ίσεςκαιτις εσωτερι διχοτόμους ΒΔκαι ΓΑ τι ς ημιευθείες ΒΑ Σ τμήματα = = παίρνουμε ΒΓ και φέρνουμε ΜΜ1 κα1 ΝΝ1 Η διχοτόμος ΑΙ του τρικαιγώνου ΑΒΓ τέμνει στο Ρ εί ν αι μεσοκάθετος (α�όδε:ιξ� ε·JκοΛ�). = KOiiM = Είναι ΒΕΓ = ΕΑΝ και ΒΔΓ=ΑΔΜ. Άρα = ΓΕΝ= ΑΒΓ. Άρα ΒΔΜ ΜΜ1 = ΝΝι. Άρα �"Ν1ί = και EIN =ΔIM. Άρα ΕΙΑ = {2} Σ:κιίpα 4 οι Γ. Άρα.ΑΒ=ΑΓ.είναι εξωτερικές των τριγώνων ΑΙΓ και ΑΙΒ αντιστοίχως, προκύmει ότι φ=ΟΕπειδή ω και Β= ραφ ϊ σχv ρizεϊαι, ακόμη, ότϊ απόδει ξ η αυτή εί ν αί. «άμεσο», δηλαδή δε χρησιμοποιεί τη μέθοδο άι:οπον. του ίδιου περιοδικού, ασκήθηκε αυστηρή κρπική σ'αυτήν το τεύχος Σ την απόδωξn και παραπάνω απόδει ξ η δεν εί ν αι άμεση, δι ό τι στηρίzεται σε προ­ τάσεις, οι οποίες δεν έχουν απόδειξη. 11. Παραθέτουμε μια πολύ σύντομη απόδειξη του θεωρήματος Steiηer-Lehmus' αυτή δημο­ σιευτεί στο περιοδικό MONYHLY τaς Αpερικαvικιίς Μαθapαuιuiς Εταιρίας, τεάος Ιαvο"άριος 1963, σελίδες 79 - 80: (βλ. Σ:κιίpα 5) 10.

....:...

ΓΕ.

ΑΜ

_ι ΓΕ.

....:...

m ΜΝ mς ΜΝ

.......

.......

Άρα ί?iΝ ί?ΙΜ ..... ....:... ......

ΑΝ

..L ΒΔ

:iN.(l)

..,.

.....

..,.

......

.......

.....

ΜΜ11

.......

.......

.....

.

......

ΔϊΑ.

.....

γωνίες σος (1)

συvγ

έaς

mς απαγωγής εις Μάρτιος 1974, σελι'δα 88, έ'{ίVΕ φανερό όu. n

.....

n

άμεση

έχει

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ίσες διχοτόμους ΒΜ και υποθέτω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ισοΒ σκελές' χωρίς λάβη της γενικότητας υποθέτω ότι Β< Γ. (Σ:ιιιίpα 5) Α Θεωρουμε ' σημειο ' Λ της ΒΜ τετοιο, ' ωστε ΓΝ = 2·Β κ6. Επειδή = τα σημεία Λ, Β, Γ είναι ομοκυκλιΕίvaι Β = � + � < � + � < Α +�+ Γ 90° . ΆραΒ και <εί90°. (1) ναι χορδές κύκλου ΛΝΒΓ και Λ ΒΛ < (2) Από τις (1) και (2) προκύmει ΛfΒ < rBN. (3) Αυτ6 είναι. άτοπο, διότιισχύε! Άρα Β = και τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Γ Σ:ιιιίpα 5 ......

ΓΝ'

'

.......

ΛΒΝ .......

.......

Οι

.......

ΛΓΝ,

......

......

.......

Λί

Ν,

......

.......

......

.......

.......

ΓΒΝ < ΛΓΒ

ΓΝ

ΓΝ'

.......

......

.......

Γ

το

του

.ο..

n

(1).

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:Ε Β' κ8. τ. 1/57

.....


..:....--- Έvα apόβλa••· aολλές λwεις

------

Πολλές αποδείξει ς του θεωρήματος Stei η er Lehmus, που έχουν προταθεί κατά καιρούς, έ­ χουν χαρακτηρισθεί απ6 τους συγyραφείς τους ως An6 έγκυρα σχ6?ι ι α και ί\ ε mομερείς παρατηρήσει ς που έχουν γίνει επάνω στι ς αποδεί ξ ει ς του , θεωρήματος Lehmus, παίρνουμε την πί\ηροφορία, 6τι καμία απ6 αυτές τις αποδείξεις δεν είδειναιξη. Steiμεηerτην έννοι α 6τι τα θεωρήματα, στα οποία αυτή στηρίzεται, έχουν 6ί\α άμεση απ6Δεν έχει ευρεθεί απ6δειξη του θεωρήματος με τη σημασία του 6ρου, που δ6θηκε πα­ ραπάνω. 12.

-

ΑΜΕΣΗ,

ΑΜΕΣΕΣ.

-

ΑΜΕΣΗ,

ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡόΓΡΑΜΜΑ Φτιάξτε το ωρολόγιο πρόγραμμα του σχολείου σας (Γυμνάσιο

Λύκειο) με απλό

και γρήγορο τρόπο.

Το Π ρόγραμμα ERMHS για P.C. , λύνει

το αιώνιο πρόβλημα.

Κατανομή

ωρών,

ελαχιστοποίηση κενών, προτιμήσεις, όλοι οι έλεγχοι, πρόσθεσ11-αφαίρεση καθηγητή στο τελικό πρόγραμμα κ.λπ. Απεριόριστοι καθηγητές-τμήματα. Αναγνώστου Βασίλης - Μ αθη ματικός Τηλ.:

(01 ) 43. 1 4.702

ΤΑ Β ι ΒΛιΑ

ΠΕΡι ΕΧΟΥΝ

* Ασκήσεις: του συγγραφέα - Αποθnσdύρισμa τnι;: 18χρονnι;: εμnειρlο<; του anό mν nροεταμοοla των υnοψnφlων στα φροντlσmριο, στο nvώ­ μa των τελεuτσlων εξετόσεων nου οuνδvόζουν γνώσεις από nολλό κεφόλαιa σuγχόνως.

ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΟΥ Π ΡΟΣΕΓΓΙΣΑΝ

;; Σ τΥΛ " κ α ι τ ο " Π Ν Ε Υ Μ Α' Τ Ω Ν

Φ Ε1Ι Ν Ω Ν 8 Λυμένα τα πιο ουσιώδη θtματa από τις: nανελλlινιες Εξετόσεις mς nεροσμένnς εvτεκσετlaς 1983-1994.

• Λυμένο θέματα anό εξετόσεις διαφόρων ξένων nσνεnιστnμlων BACALAUREAT - LONDON Ρα.YτECHNIC - NEW ΥαιΚ UNIVERSirY LIVERPOOL UNIVERSirY - G.C.E. Αγγλικό - MOSCOW UNIVERSirY

Υ Λυμένες μια σειρό ασκήσεων nου εnιλέχmκον anό διόφορες εκδό­ σεις ελληνικών και ξένων περιοδικών όπως ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ τnι;: ΕΜΕ -

ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣτΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ - ΘΕΑΙτΗΤΟΣ - ΜΑτΗΕΜΑτιc NEWS CASSEτΑ ΜΑτΕΜΑTICA - τΗΕ γQΚΟΗΑΜΑ ΜΑτΗΕΜΑTICAL JOURNAL

JOURNAL MARτiCULAτιΟΝ BOARD - LOOK JAPAN

Ο Λυμένες μια σειρό επιλεγμένων ασκήσεων οπό μια πλούσια ελλnνικlι και ξένn Βιθλιογροφlα.

Ο Λυμένο θέματα μαθητικών διαγωνισμών όπως τnς Ελλnνικlις Maθn· μσnκlις Ετσιρεlσς (ΕΜΕ), Μσθnμanκών Ολυμnιόδων, του William Lowell

στις HnA, nου έχουν σχέσn ως nρaς τον περιεχόμενο με τις na­ νελλlινιες Εξετόσεις τnι;: 1nς Δέσμnι;:.

V' Τετρόδες Θεμότων anό το θέματα του θιθλlσu στο στυλ και το εnl­ nεδο των nσνελλπνlων Εξετόσεων και με ερωτήσεις θεωρlσς που κσ­ Μπτουν το πιο πιθανό θέματα aπό όλn mν iιλn γιο διοκιμaοnκό Τest πριν τις εξετόσεις:.

Τοσρχεlο θεμότων μaθnμοτικών 1nς Δέομnι;: οπό nσνελλΙινιες Εξετό­ σεις: 1983

-

1994

τσ SOS θέματα mς θεωρlσς

ΕΥΚΑΕΙΔΗ� 8' aθ. τ. 1/58

το

Θ Ε Μ ΑΤ Ω Ν

ΣτΙ Σ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕfΑΣΕΙΣ 1 nς και

4nς ΔΕΣΜΗΣ ΟΣΟ ΚΑΝΕΝΑ ΑΛΛΟ.

ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΠΟΥ ΤΑΥ11ΣfΗΚΑΝ Μ Ε

ΤΟ ΝΕΟ ΠΝΕΥΜΑ ΤΩΝ ΕΞΕτΑΣΕΩΝ

Θ ΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣlΊΚΑ ΠΟΜΩΝ Ε ΡΩΤΗ ΜΑΤΩ Ν ΠΟΥ Μ Ο Ν Ο ΤΟ " ΝΕΟ Π Ν ΕΥΜΑ ΤΩΝ ΕΞΕτΑΣΕΩΝ "

θ τ φροντιστή

του Μα

ημα ικού Λι n ορδέzn Π Ε ΡΙ ΕΧΟΥΝ

Σάκη

Συνάδελφοι προτείνετε και διδάξετε στους υποψπφιους το μοναδικό εξωσχολικό Βοfιθπμσ που θσ τους φέρει τόσο κοντά στα θέματα των εξετάσεων. ΓΙΑ ΠΑΡΑΓ Γ ΕΛΙΕΣ ΤΗΛΕΦΩΝΗΣfΕ

053 1 /2 1 206 -

FAX 053 1 /2 1 9 1 6 ή zητήστε τα στα καλά μεγάλα βιβλιοπωλεια.


rιάννn Δ. Στρατή ΠΡΑrΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I

σελίδες: 392 τιμή 3.800δρχ. Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοnωλεία

Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

Περιέχει: •

Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και ανηπαραδείγματα. •

Όλη τη θεωρία , σύμφωνα με το Αναλυηκό

Πίνακες-Ορίζο υσες-Συστήματα Μ ιγαδικοί-Πιθανότητες

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ

Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια • Διαφορικός Λογισμός • Ολοκληρωτικός Λογισμός Διαφορικές Εξισώσεις

Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλογή ασκήσεων προοδευηκής δυσκολίας με αποτέ­ i\εσματα στο τέλος του βιβλίου και υποδείξεις για ης πιο δύσκολες.

Για την εμπέδωση των μεθόδων παρατίθεται

ι& 1η ΔΕΣΜΗ

ένα πλήθος από υποδειγμαηκά λυμένα θέματα.

Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

Για την αποστολή (με αvηκαταβολή του βιβλίου

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ

� 4η ΔΕΣΜΗ

( Πίνακες-Συστήματα-Πιθανότητες )

τα�χυδρομείστε το παρακάτω δελτίο παραγγελίας

Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια

• Διαφορικός-Ολοκληρωτικός

στη διεύθυνση:

Λογισμός

"Γιάvvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάτm 1 1 1 46"

� Α ' Λ ΥΚΕΙΟΥ

Αλyεβρα ( Τά.-Τβ' . )

ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑrrΕΛΙΑΣ

� Β ' Λ ΥΚΕΙΟΥ Αλyεβρα ( Τ.ά.-Τ.β'.)

Όνομα:

� Εκmωση : 25% Στούς συν6δελφους Διόθεση : Αφοι Παπαδημητρόπουλοι

Επώνυμο: Διεύθυνση:

------

Πόλη:

----

Σόλωνος 1 0 1 "Β' 3812412-38 1 8332

Τηλέφωνο: Σχολείο: Φρονηστήριο:

------

Στους συναδέλφους μαθημαηκούς γίνεται έκ­

πτωση 40% και προσφέρεται έvα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων.

ΝΙΚΟΥ ΦΑΠΠΑ

�yεβρα

Α'

(2 τεύχη)

Λuκειοu

Το βιβλiο περιέχει πλήρη θεωρlα, επιλεγμένα παραδεlyματα και πολλές πρωτ6τυπες ασκήσεις. •

Η

λΠλΡλΙΤΗΤλ ΒΟΗθΗΜλΤλ Γlλ ΚλθΗΓΗΤΕΣ & Μλ8ΗΤΕΣ λ ' Δ ΕΣΜΗΣ

ΔΗΜΗΤΡΗ L ΜΠΟΥΝΑΚΗ t ΓΡΑΜΜΙΚΉ λΛΓΕΒΡλ

t ΓΕΝΙΚλ θΕΜλΤλ Κλl ΠΡΟΒΛΗΜλΤλ λΝλΛΥΣΗΣ - ΤΟΜΟΣ Ι , 11 tΠΡΟΒΛΗΜλΤλ ΠlθλΝΟΤΗΤΩΝ & ΣΥΝΔ/ΚΗΣ

(σε nερυσινtς τιμά:)

απ6δειξη στα Μαθηματικ6

ΠΑΡΑ rΙΈΛΙΕΣ

Για καθηγητές και φοιτητές

Στα κεντρικά βιβλιοπωλεrσ Κεντρική Διόθεση: Γ. Κορφιάτης Ιπποκράτους β, τηλ. 36.28.492

& ΜΙΓΑΔ . λΡΙθΜΟΙ

*

τηλ . (Ο 8 1) 2 5 2 1 4 Ο

Και φfτο, στα θfματα των Γενικών εξετόσεων υπι'\ρχαν 4 συναφι'ι Βfματα από τα βιβλια αuτό.

ΥΠΟ ΕΚΑΟΣΗ : ΕΠλΝλΛΗhτΙΚλ θΕΜλΤλ ΜλθΗΜλ τΙΚΩΝ λ ' Δ.ΕΣΜΗΣ


Στο τεύχος αυτό δημοσιεύοvται λύσεις ασκήσεων του τεύχους 15. Προτεινόμενες ασκήσεις θα υπάρχουν στο επόμενο τεύχος. Η μεγάλη συμμετοχή των αναγνωστών του Ευκλείδη Β' έχει αιφνιδιάσει ευχάριστα την Σ. Ε. Εχοομε παιΜς?ώΕΙς και πάρα� εnιcχάν.ς με καΜ'"fόγn και εuπρΟΟ5εκrες υποδείξaς και rιcιρcιρmιή:ιε1.

Θα θέλαμε να παρακαλέσουμε τους αναγνώστες μας να στέλνουν λύσεις χρησιμοποιώvτας την διδακτέα ύλη της τάξης που αναφέρεται ή προηγούμενης. Τη φορά αυτή θα κάνουμε μια «Παράβαση» δυμοσιεύοvτας λύσεις που ξεφεύγουν από αυτόν τον κανόνα. Οσοι θέλουν να δώσουν λύσεις χρησιμοποιώvτας ύλη που αναφέρεται σε μεγαλύτερης τά­ ξης, ή γειτονική ή στήλη «Ενα πρόβλημα πολλές Λύσεις» είναι ανοιχτή ! ΛtSσεις Αιιό&ειea

ι•

ι •s

άσκaσaς Ι"ΕΟΜΕτΡΙΑ ΜΕ �ΧΗΜΑΤΑ τεtS:ιι:οvς 3/95

Για να εφαρμόσουμε το αvτίστροφο θεώρημα Ceνa (Σελ. 104 Γεωμ. Ν Λυκείου ΟΕΔΒ/94), υ­ πολοyίzουμε τα τμήματα ΒΓ' , Γ' Α και το λόγο

��.

π.χ. με το γενικευμένο θεώρημα του Πυθαγόρα. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου υπολογίzουμε τον λόγο ΓΒ'

�Ζ και εφαρμόzουμε το αvτί-

, 4 · 15 Ι1 = 1 στροφο θεωρημα Ceνa στο τρίγωνο ΑΒΓ, δηλαδη,ΑΓ' ΒΝ =5 12 ΒΓ' ΓΝ ΑΒ' Λύση με το παραπάνω πνεύμα έχει στείλει ο Νίκος Κvριαzιίς. ·.

Αιιόδειea

·

·

Κ. Γρόψας

2•

Στην προηγούμενη λύση έχουμε υπολογίσει τους λόγους ΑΓ' 4 ΑΒ' 12 οπότε ΑΓ' = ΑΒ' , Γ' = 5 και ΓΒ' = ΓΒ' , δηλαδη Β Γ' // ΒΓ. 15 Β Γ' Β Αν ονομάσουμε Ν' το σημείο τομής της Β' Γ' με τη διάμεσο Μ θα έχουμε ,

και με εφαρμογή του αvτίστροφου θεωρήματος δέσμης (σελ. 160 Γεωμ. Ν Λυκείου ΟΕΔΒ/94) , Κ. Γρόψας οι ακτίνες Μ 1 ΒΒ' ΓΓ' διέρχοvται από το ίδιο σημείο. 1

ΛtSσεις

2•s

άσκaσaς Ι"ΕΟΜΕΤΡΙΑ ΜΕ �ΧΗΜΑΤΑ τεtSχοvς 3/95

ιD

(με γεωμετρία Ν Λυκείου) Κατασκευόzουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΔ. Τότε1 αν φέρουμε και τις ΟΔ1 ΓΔ έχουμε:

Αιιόδειea

ΕΥΚΛΕΙΔΗ:ε Β' κ8. τ. 1/60


-------

Σuς ασιuiσεις λέμε ΝΑΙ!

-------

Α

......

ΔΒΟ = 60° - 30° = 300, οπότε ΒΟ μεσοκάθετος του Μ. Έτσι ΟΜ = ΟΜ = 50° . Οι γωνίες του ΑΓΔ είναι 200, 800, 800 οπότε ΒΔΓ = 80° - 600 = 200 και ΟΔΒ = 60° - 50° = 10° . Στο τετράπλευρο ΟΑΔΓ είναι ΟΑΓ = ΟΔΓ = 30°, οπότε αυτό είναι εγγράψιμο. Άρα ΟΓΑ = ΟΔΑ = 50° . Επειδή ΒΑΓ + ΟΓΑ = 40° + 50° = 90°, είναι ΓΟ ..L ΑΒ.

......

......

......

.......

.......

.......

"

......

......

Στερyίο" Μοάμοaς (Χαλκίδα) 2•

(με ομοιότητα και θεώρημα διχοτόμου) Φέρουμε το ύψος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ, στο οποίο είναι ΑΒ = ΑΓ, Α = 40°, άρα θα είναι και ΒΑΜ = ΜΑΓ = 20°, Β = Γ = 70°. Ακόμη, αν Αχ n ΒΓ = Ν, By n ΑΓ = Β' , Μ' n ΒΒ' = Κ, ΒΒ' n ΑΜ = Ο και επειδή ΑΒΒ' = 30°, ΓΑΝ = 300, θα είναι: ΓΒΒ' = 40°, ΒΑΝ = 100 και ΟΓΒ = ΟΒΓ = 40°. Εξάλλου, αν το (J είναι το συμμετρι­ κό του Ο ως προς την ΑΒ, τότε επειδή ΟΜ = 20° και ΟΒΔ = 300, θα είναι Ο' �� � α Μ = 20°, α ΒΔ = 30°, �ο I AOCY = 70° = ACYO, I I BOCY = BCYO = 60°, I I οπότε είναι: 00' = ΟΒ = or (1) I Είναι φανερό ότι τα τρίγωνα AOCY I I και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε: I I ΑΟ = ΑΒ (2) oa ΒΓ Από τις (1) και (2) προκύmει:

Αοόδει�a

.......

......

......

.

.......

......

.......

......

......

......

.......

.......

.......

/

.......

......

/

/

/

/

/

/

/

/

/

.......

......

......

/

/

/

/

/

......

.......

� �

Δ

Επειδή η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΟ θα είναι:

�� �·

Α'

Μ

Γ= 700

� = � (4)

'Ετσι από τις (3) και (4) προκύπτει ότι και: = οπότε και η ΓΚ θα είναι διχοτόμος της o DrB. Άρα Κ1"Β = 4 = 20° και επειδή Β = 70° , θα είναι: Γ'ίΒ + Β = 20° + 70° = 90° , ή

g

ΓΓ' ..L ΑΒ ή το ΓΚ ΓΓ' είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ ή το Κ ανήκει στο ύψος ΓΓ'. ·Νίκος Κυριαzής Αοόδει�Ω s• (με τριγωνομετρία και θ. Ceνa) Για να εφαρμόσουμε το αντίστροφο Θεώρημα Ceνa στο τρίγωνο ΑΒΓ ονομ6zουμε Τ10, Τ 30, . . . , τα ευθύγραμμα τμήματα στα οποία χωρίzεται κάθε πλευρά του τριγώνου, όπου ο δείκτης παριστάνει την γωνία από την οποία φαίνονται από την αηέναντι κορυφή. Από το Θεώρημα ημπόνων στα ΑΒΝ και ΑΓΝ λαμβάνουμε Ξ

......

......

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' ιιβ. τ. 1/61


Στέφανος Μπασδέκης

MΆ�rt·αθ·κ��IJ.·οMA � ΚA υς μh�ηIτες

Μ ! θ 0ΜΑΤΙΚΑ

11Ψιa κ��·ουςμaJητες

ΧΤΊΗ Μ Ε Ι_Α ια κω.ους μαuηrες I

Γ' Γ Υ :Ν1 � ΑΣ Ι Ο Υ

Profile for demi de

Ευκλειδης Β 17  

Ευκλειδης Β 17  

Profile for demiridis
Advertisement