Page 1


[jί]�[p0@&0�@ ιίΌ& 'ίi'@

&W��O@

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ

.

Το Δυοδεκαδικά Σύστημα, Νι�, ένα καινούργιο αριθμητικά σύστημα ..........

. .

Ημερομηνία του Πάσχα ...................................

..

. . .

..... .. .............

3 8

. . . ;rg1 . .. . .... . . . . . .. . . . . . .. .. . . . .. . 24 Ασκήσεις άλγεΒρας . .. . . . . ....... . . ... . . . . . . . . . . . . 25 Λογαριθμική συνάρτηση . . . 29 Ασκήσεις στα κανονικά πολύγωνα . . . . . .. . 36 Ασκήσεις στις παραγώγους ... ... .. ....... .... . . . .... ..... ...... . . . .. .. . . mΣJ1 Οι ανισότητες στις πιθανότητες .......... ......................................................................... 3:1 Περι Γεωμετρίας και άλλων Δαιμονίων .. ..... ........ . ..... ....... . . . . ... ..... .... .. . 46 "Αρχιμήδης" Ο διαγωνισμός . .. .. .. ........... ....... .. .... . . . ..... .... .. .. .... 48 Ένα πρόΒλημα, πολλές λύσεις . . ....... .. .. . . ........ . ........ .... ....... .. .. .. . . 52 Σης ασκήσεις λέμε "ΝΑΙ" ! ....... . ..... ........ ..... . . .. . .. ......... 61 Η έννοια του ολοκληρώματος Η γέννηση των άστρων

.. .

.. ..... . ........................................ .............

................ ............................ .......... ................................

. .

. . . . .. ...

....................

.......... ....... ..... . ... .

.. .. ...... . .

.... . .

..

... . . ...

...... ............

. .............. ....... .. . . .. . . .. . . .

............................................. ................... ........................ ...... ....... ....... ....... ............... ...... ......

..

.

..

...

. .

Αλληλογραφία

............

.

.

....... ...................

. . . ..

.

. .... .........

.

.

...... .

.... .. ............ ..

.

.

.

..

..

. .

.

......

....... .

.

...

...... .... . .

.... ..... ..... ... .

.

. .

.

.

. ................... . . .

.

..

.... ........ ........

...

.

.

....

. ......

... . .

.

62

.................................................................................................................

Έκδοση τηc; Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Υπε ύθυνοι Σύνταξης:

Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης.

Συντακτική Επιτροπή:

Βακαλόπουλος Κώστας, Βλαχάκης Γιάννης Γεωργακόπουλος Κώστας, Γράψας Κώστας, Δαμιανός Πέτρος, Δούναβης Αντώνης, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης, Κατσούλης tιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοντογιόννης Δημήτρης Κοτσιφόκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήστος ΣαϊΊ:η Εύα, Σκούρας Θανάσης, Τούρλας Λεωνιδας, Τσικαλουδόκης Γιώργος.

IJ

Ενα νέο αριθμητικό

σύσιnμα yεννιέται

α

Υπάρχει τρόπος να μάθοuμε την

ημερομηνία τοu Πάσχα τοu

1996

Επιμέλεια Έκδοσης:

Μαραγκόκης Σ.

χωρίς να ψάξο.uμε ένα

nμερολόyιο; Ναι απαντά ο κ.

Σχήματα:

Μαραγκόκης Σ.

Δρuλιεράκnς. Και όχι μόνο

Φιλολοyική Επιμέλεια:

χρονιάς πριν ή μετά το

τοu

Γεωργούδη Μ.

1996

αλλά και όποιας

1996

Συνεργάστηκαν:

Τουμόσης Μπάμπης, Γκουντουβάς Σωτήρης, Μόκρας Στράτος, Μπόλής Θεόδωρος, Βλά­ μος Παναγιώτης, Ντzιαχρήστος Βαγγέλης, Ωραιόπουλος Γιώργος, Μπαραλής Γιώργος, Φωτιόδης Γρηγόρης, Καλογερόκης Γιάννης.

ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ:

ΕλλΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

34-Αθήνα 106 79 36 16 532-36 17 784-FAX: 36 41 025 ISSN 1105-8005

Πανεπιστημίου Τηλ.

350 δρχ. 1.600 δρχ. 3.000 δρχ. 40$ Φωτοστοιχειοθεσία Σελιδοποίηση: Γο δίου 1, Τ.Κ.

17 121

"ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ"

Αθήνα- Τηλ.

93 34 930

Εκτύπωση:

ΙΝfΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερό οδός 81-83

Υπεύθ. Τυπο

α είου: Ν. Αδόκτυλο

-τηλ.

34 74 654


ΤΟ ΔΥΟΔΕΚΑΔΙΚΟ ΕΝΑ J;ΥΣΤΗΜΑ, ΚΑΙΝΟΥΡrΙΟ

Nf0,

ΑΡΙθΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

r. Πράσινος

Η επινόηση των φυσικών αριθμών, δηλαδή των

αριθμών του συνόλου Ν• = {1, 2, 3,

. . . }, αποτελεί ένα πελώριο βήμα των μακρυνών μας προγόνων, για την ανθρώπινη διανόηση· εξάλλ ου η ανακάί\υψη του μηδενός αποτελεί ριzοσπαστική στιγμή για την περαι­ τέρω ανόπτυξη της θεωρίας των αριθμών η οποία , υποδηλώνει μαzί και ένα ύψιστο σημείο νοη.ματικής 'αψαίρεσης. Έτσι το σύνολο των φυσικών αριθμών . μαzί με το μηδέν, δηί\αδή το Ν = {Ο, 1, 2, 3, . . . } , αΠοτελεί την πρωταρχική μήτρα από την οποία εκπορεύε­ ται κόθε είδος και λειτουργική διαδικασία αριθμών. Ως αριθμητικό σύστημα χαρακτηρfzεται οποιοσδή­ ποτε τρόπος γραφής των φυσικών αριθμών με κατάί\­ ληί\α σύμβολα. Επινοήθηκαν πολλές συμβολικές πα­ ραστόσεις για τους αριθμούς αυτούς, τα πιο βεί\τιωμέvα όμως συστήματα παραστόσεων είναι δύο: τα αρο­ σβετικά σνστιiματα και τα σνστιiματα θέσεως. Ένα ποί\ύ γνωστό προσθετικό σύστημα είναι το ρω­ μαϊκό σύστημα γραφής, κατό το οποίο χρησιμοποιού­ νται. 4 βασικό σύμβολα, Ι, Χ, C, Μ, αντίστοαα των αριθ­ μών 1, 10, 100, 1.000 και 3 βοηθητικό σύμβολα, ν, ι, D, αντίστοαα των 5, 50, 500. Κατό τη ρωμαϊκή γραφή αριθμών τηρείται ο παρακότω κανόνας: Τοποθετούνται επ' ευθείας βασικό και βοηθητικό σύμβολα· εκ δύο συμβόλων τα οποία δηί\ώνουν διαφόρους μεταξύ των αριθμούς, γρόφεται αριστερό εκείνο το οποίο δηί\ώνει το μεγαί\ύτερο (εκτός για Μγους οικονομίας και μόνο για τα βασικό σύμβολα). Για να βρούμε τον αριθμό που δηί\ώνει μια τέι:οια παρόσταση, προσθέι:ομε τους αριθ­ μούς, τους οποίους δηί\ώνουν τα σύμβολα της παρα­ στόσεως (εξ ου και η ονομασία προσθετικό σύστημα) . Παρόδειγμα: MDCCCCV 195 (1.000 + 560 + 100 + 100 + 100 + 1000 + 5) ο ίδιος αριθμός γρόφεται συντομότερα: MCMV (1000 +900 + 5) · εδώ για Μ­ νους οικονομίας το 900 αποδόθηκε με τα 2 βασικό σύμβολα Μ = 1000 και C = 100 όπου η αριστερότερη θέση του C στο CM δηί\ώνει αφαίρεση από το Μ, δη­ λαδή CM = 1000 - 100 = 900). Το ρωμαϊκό σύστημα, όπως και κόθε προσθετικό σύστημα, μειονεκτεί στους μεγάi\ους αριθμούς, καθόσον αυτοί αποδίδονται με μακρές παραστόσεις, που αφ' εvός δυσχεραίνεται με αυτές η διεξαγωγή των πρόξεων και αφ' ετέρου χόνεται =

και η εποπτεία των αριθμών. Εντελώς διόφορη είναι η παρόσταση των φυσικών αριθμών στα λεγόμενα συστήματα θέσεως σ' αυτό εισόγεται μια βάσα, δηί\. ένας αριθμός ο οποίος καθορίzει την ονομασία του συστήματος και συγχρόνως το πλήθος των χρησιμο­ ποιουμένων συμβόλων - ψηφίων- η αξία του κόθε ψη­ φίου λαμβόνεται από τη θέση του μέσα στην όλη παρό­ σταση φυ αριθμού (οπότε και η ονομασία σύστημα θέ­ σεως). Γνωστότατα συστήματα θέσεως είναι το δεκαδι­ κό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιείται σε όλες τις ανε­ πτυγμένες χώρες, καθώς και το δυαδικό, το οποίο χρη­ σιμοποιείται στους ηί\εκτρονικούς .υπολογιστές. Βόση του δεκαδικού είναι ο αριθμός 10 όλα τα σύμβολα­ ψηφία του είναι επίσης 10, τα γνωστό μας Ο, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 'Ετσι ο αριθμός 5 8 3 = 5 · 1ο2 + 8 · 10 1 + 3· δηί\αδή το πρώτο δεξιό ψηφίο έχει αξία μονόδων, το δεύτερο αξία δεκόδων, το τρίτο αξία εκατοντόδων (κ.ο.κ., εφόσον αντιμετωπfzουμε αριθμό οσωνδήποτε ψηφίων). Βόση του δυαδικού εξάλλου είναι ο αριθμός 2· όλα τα σύμβολα - ψηφία του επίσης 2, τα Ο, 1. Έτσι στο δυαδικό σύστημα ο αριθμός 111 = 1· 22 + 1 · 2 + 1· δηί\αδή το πρώτο δεξιό ψηφίο έχει αξία μονόδων, το δεύτερο δυόδων, το τρίτο τετρόδων (κ.ο.κ. εφόσον εί­ χαμε οποιονδήποτε πολυψήφιο). Φαίνεται εύκολα εξ αρχής ότι ο συμβο?ιισμός ενός φυσικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι ποί\ύ μακροσκελής- έτσι ο προηγούμενος αριθμός 1 1 1 στο δυαδικό (συμβ . 111<2>) παριστόνει τον αριθμό 7 του δεκαδικού δηί\. 1 1 1<2> = 7· ομοίως έχουμε και τα παραδείγματα: 10101<2> 124 + ο . 23 + 1 . 22 +ο . 2 1 + 1 21, και 10000000000<2> 1 · 2 10 + Ο · 29 + Ο · 28 + Ο · 27 + ο . 26 + ο . 25 + ο . 24 + ο . 23 + ο . 22 + ο . 2 1 +ο= 1024. Το δυοδεκαδικό σύστημα αρίθμησης επινοήθηκε στις αρχές της περασμένης δεκαετίας στην προσηόθειό μας να αντιμετωπίσομε προβλήματα της θεωρίας των αριθμών. Το δvοδεκαδικ6 σ.Sσταμα αvτιαρο­ =

=

=

σωαε.Sει 6λn ταν ααλ6τnτα τοv δvαδικο.S σvστιiματος, καταρyεί τα σvμβολικιi τοv δvσχέρεια με ταν ανεCαρτnρία τnς 8έσnς των ψnφίων, εκμεταλλε.Sεται μοναδικές ιδι6τnτες τοv 2 (ο 2 είναι ο μικρότερος πρώτος, ο μοναδικός όρ-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/3


Το Δuοhκσδιιιό �cmιpa

τιος πρώτος, ως διαιρέτης μιας ατελούς διαίρεσης αφή­ νει υπ6λοιπο μ6νο το 1· τέλος μ6νο για το φυσικ6 αριθ­ μ6 2 ισχύει 2κ + 2κ = 2κ+l, κ Ε Ν*) και ακόμα εν· σωματώνει (6πως θα δούμε αργ6τερα) όλο το δε­

Ν�0, ο οποίος εκφωνείται με τα ον6ματα των ψηφίων αυτών ως αριθμών του Ν, απ6 αριστερά προς τα δε­ ξιά· δηλαδή ο αριθμ6ς 874 του Ν�0, εκφωνείται: οκτώ, εmά, τέσσερα, και είναι ο αριθμ6ς 28 + 27 + 24 καδικό σ.Sστaμα και το οαρο\Ισιάzει οερισ­ = 256 + 128 + 16 = 448, του Ν. (συμβολικά θα σότερο ενισχ\Ιμένο στaν ε.Sκολa διεξαyωyιi γράφομε: (874)�0 = 448)· επίσης ο αριθμ6ς 35970 του αρι8μaτικών οράξεων. Δηλαδή το δυοδεκαδικ6 Ν�0 εκφωνεfrαι: τριάντα πέντε, εννέα, εmά μηδf» και εί­ σύστημα, 6πως μαρτυρεί και η ονομασία του είναι μια ναι (35 • 970)2 235 + 29 + 27 + 2° = 34359738368 σύνθεση δυαδικού και δεκαδικού συστήματος, σ' ένα + 512 + 12810 + 1 = 34359739009. Η στιγμή άνω νέο αριθμητικ6 σύστημα, το οποίο 6μως παρ6λη τη δεξιά στο 35 τέθηκε για να διαχωρισθεί ως ψηφίο του συγγf»εια που έχει με τα δύο συστήματα, που κατά κά­ Ν�0 απ6 τον διψήφιο αριθμ6 35 του Ν�0, ο οποίος ποιο τρ6πο το συνθέτουν, παραμένει εντούτοις με τη δι­ γράφεται και 53, στο Ν�0 (αφού συμφωνήσαμε να =

κή του αυτοτέλεια και ιδιομορφία.

Στο περιορισμένο αυτ6 άρθρο παρουσιάzεται μια σύντομη εισαγωγή στην κατασκευή του και ορίzονται οι 4 αριθμητικές πράξεις, πρ6σθεση, αφαίρεση, πολ­ λαπλασιασμ6ς και διαίρεση με σχετικά παραδείγματα. 1. Η ιδέα τσς εισαyωyάς το" δσοδεaαδι· κοι1 σ"στάpατος

Η ιδέα της εισαγωγής του δυοδεκαδικού συστήμα­ τος, το οποίο στα επ6μενα θα αποδίδεται σύντομα με το σύμβολο Ν�0, είναι πολύ απλή. Καθώς παρατηρού­ με, ο μικρ6τερος αριθμ6ς μετά τη μονάδα, του οποίου το άθροισμα των δυνάμεων δημιουργεί 6λους τους φυσικούς αριθμούς, είναι ο 2. Έχομε λοιπ6ν την πα­ ρακάτω ακολουθία ισοτήτων: 1 = 2°, 2 = 21 3 = 21 + 2° ' 4 = 22 ' 5 = 22 + 2° ' 6 = 22 + 2 1 ' 7 = 22 + 21 + 2° ' 8 = 23 ' 9 = 2 3 + 2° ' 10 = 23 + 21 ' 11 = 23 +

21 + 2°, 12 23 + 22, 13 = 23 + 22 + 2°, 14 = 23 + 22 + 21, 15 = 23 + 22 + 21 + 2°, 16 = 24, . . . Τώ­ =

ρα, λαμβάνοντας σε κάθε ισ6τητα μ6νο τους εκθέτες αυτών των δυνάμεων τον ένα δίπλα στον άλλο, και εφ6σον συμφωνούμε να παριστάνουν τους ίδιους φυσικούς αριθμούς, που εκφράzονται στα πρώτα μέ­ λη των ισοτήτων με σύμβολα του δεκαδικού συστήμα­ τος Ν, τ6τε ακριβώς έχομε αντιστοίχως την ακολουθία των φυσικών αριθμών με σύμβολα του δυοδεκαδικού συστήματος Ν�0 : Ο, 1, 10, 2, 20, 21, 210, 3, 30, 31, 310, 32, 320, 321, 3210, 4, . . . ' An6 τα προηγούμενα γίνονται αμέσως αντιληmές τρεις σημαντικές ιδι6τητες του Ν�ο : 1) Αν ορίσουμε ως ψηφίο του Ν�0, κάθε α Ε Ν, που στο Ν�0 αντιπρο­ σωήεύει 2α μονάδες, τ6τε το Ν�0 είναι ένα αοειρο­ φΩφιο σύστημα 2) Η θέση των ψηφίων είναι αδι'ά· φορa για τη συμβολική παράσταση, εν6ς φυσικού αριθμού στο Ν�0 3) κάθε αριθμ6ς στο Ν�0 περιέχει πάντοτε διαφορετικά ψηφία. Σύντομα και περιεκτι­ κ6τερα θα λέγαμε 6τι το Nf0 είναι ένα αοειρο­

φΩφιο οροσ8ετικό σ.Sστaμα, το\! οοοίο\1 τα φaφία εκφράzονται στο δεκαδικό σ.Sστaμα. Στα επ6μενα θα χρησιμοποιούμε το φθίνον μέγε­ θος στη σειρά γραφής των ψηφίων, εν6ς αριθμού του

γράφομε κατά φθίνον μέγεθος τα ψηφία στο δυοδε­ καδικ6 σύστημα)· Φυσικά κάθε ψηφίο του Ν�0, το οποίο συμβολίzεται με μη μονοψήφιους αριθμούς του Ν παρουσιάzεται εστιγμένο άνω δεξιά. Τέλος, για καλύτερη καταν6ηση του περιοδικώς επαναλαμβανομένου συμβολισμού των φυσικών αριθμών στο Ν�0• παρουσιάzομε κατακ6ρυφα τους αρχικούς 64 φυσικούς αριθμούς: ο 50 40 540 1 41 541 51 10 410 510 5410 2 42 542 52 20 420 520 5420 21 421 521 542 1 5210 210 4210 542 10 543 53 43 3 30 430 530 5430 31 5431 431 531 310 4310 5310 54310 32 532 432 5432 320 4320 54320 5320 32 1 4321 54321 5321 3210 43210 5432 10 53210 4 5 54 6 - Μεταξύ 2 διαδοχικών ψηφίων α και (α + 1) του Ν210 παρεμβάλονται μαzί με το α, 2α φυσικοί αριθμοί, που έχουν αρχικ6 ψηφίο το α. - Όλοι οι φυσικοί αριθμοί μεταξύ των ψηφίων α και (α + 1) επαναλαμβάνουν στο συμβολισμ6 τους, 6λα τα σύμβολα των πρ6 του α, 2α το πλήθος, φυσι­ κών αριθμών, στα οποία γίνεται η προσθήκη του α. -Το μηδέν του Ν στο Ν�0 θα συμβολίzεται με "0" και θα εκφωνείται με τη λέξη "κεν6".

2. Οι 4 αράCεις στο δ"οδεκαδικό σι1· στσpα

Η τεχνική των πράξεων στο Ν�0 είναι εξαιρετικά απλή ακ6μα και σε τεράστιους αριθμούς. Βέβαια μ6νο η διαίρεση διψήφιου και πάνω διαιρέτη παρουσιά­ zει κάποια δυσχέρεια, πάντως 6χι μεγαλύτερη απ6

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/4


Το Διιοδeιισδιιι6 �ύcnιιpa

την αντίστοιχη διαίρεση στο Ν . Πριν προβούμε στην ΠοΑΑααΑασιασp6ς εξαγωγή των πράξεων, εισά�ομε προς διάκριση για Ι"ια να οολλαολασιάσομε 2, 3, ... ν αριθ· την πρόσθεση το σύμβολο " + ", για την αφαίρεση το μοuς, οροσθέτομε με τον έννοια ορ6σθεσnς "� " για τον πολλαπλασια ό το σύμβολο " ;.. και για κατά Ν, αντίστοιχα ανά 2, 3, ... ν τα ψnφία f τη διαίρεση το σύμβολο ": '. των δοθέντων, οαίρνοντας κάθε φορά ανά ένα ψnφίο αο6 κάθε οαράyοντα καθ6λο\Jς Η αρ6σθεσa το\Jς δ\Jνατοuς τρ6οο\Jς• τα αθροίσματα DO\J Για να προσθέσαμε δύο ή περισσότερους αριθ­ βρίσκομε, τα οροσθέτομε τέλος κατά Ν210 , μούς του Ν�0, σχηματίzομε έναν αριθμό, ο οποίος πε­ οο6τε οροκuοτει και το τελικ6 αοοτέλεσμα. ριλαμβάνει όλα τα ψηφία των προσθετέων. Παραδείypατα • • • Παt\αδείypατα 1) 95• χ 87 =• (8 + 9) + (8 + 5) + (7 +9) + (7 +5) • 1) 653 + 982 = 986532 = 16° + 12° = 17° 16° 13° 12° (πα17° + 13° + • . 2) 17 850 + 4320 •17°8543200 =• 17° 854321 ραλείποντας τη λεπτομεριακή απόδοση του πρώτου • 3) 5852° + 654° 301ο + 105° 48° 36° + 39° 37° 54321 παραδείγματος, προχωρούμε συντομότερα στα επό= 5852° 654° 301 ο 105° 48° 39" 37° 36° 54321 μενα) 2) 12° 95 χ 18° 12° = 30° 27° 23° 24° 21° 17" Παρατaρόσεις = 30° 27° 24° 23° 21° 17°• • 1. Συμβολισμός με δύο διαδοχικά ψηφία ίσα 3) 3οοοο 2οοοο 1000° χ 300° 200° 1οοο χ 10° συνεπάγεται αντικατάσταση με ένα ψηφίο, το οποίο = 3310° 3210° 31 10° 2310° 2210ο 2110ο 1310° ισούται με ένα από τα ίσα παλαιά αυξημένο κατά 1 (με 1210° 1110° την πρόσθεση βέβαια κατά Ν) . Δηλαδή γενικά έχομε κκ = (κ + 1), συνέπεια φυσικά της ξεχωριστής ιδιότη­ Παρατόρnσn τας του 2: 2κ + 2κ = 2κ+ l . Όταν σε μια παράσταση Μια συστηματικότερη αξιοποίηση του αρχικού κα­ αριθμού του Ν�0 παρουσιάzονται δύο ή περισσότερα νόνα της πράξης, του πολλαπλασιασμού, η οποία όμοια ψηφία, θα λέμε ότι ο αριθμός είναι μη ανηγμέ­ οδηγεί σε ανετότερη και ασφαλέστερη από πλευράς νος, σε αντιδιαστολή με ένα συνηθισμένο, ο οποίος σφάλματος διεξαγωγή της πράξης, είναι η τεχνική των παριστάνεται με διαφορετικά ψηφία και θα λέγεται σnμαvτικών διαφορών, την οποία διευκρινίzομε προς διάκριση ανηγμένος. Έτσι στο 2ο παράδειγμα αμέσως τώρα. προηγουμένως ο αριθμός 17 ο 854200 είναι μη ανηγ­ Ορισμ6ς. Έστω ο η ψήφιος αριθμός α, α2 . .. σ, μένος ενώ ο 17ο 85421 είναι ανηγμένος. Αντίστροφα του Ν�0 · ονομάzομε ln, 2n, 3n, ... (ν 1) n σο· έναν ανηγμένο, συνέπεια της προηγούμενης ιδιότη­ μαντικό διαφορά των ψηφίων του α α2 ... αν την 1 τας, μπορούμε με πολλούς τρόπους να τον εμφανίσα­ κατά Ν διαφορά του 2ου, 3ου, 4ου, . .. νου αντίστοιχα με μη ανηγμένο· έτσι έχομε π.χ. 7 = 66 = 655 = ψηφίου του αριθμού από το πρώτο του ψηφίο. (Η σει­ 6544 = 65433 = 654322 = 6543211 = 6543210. ρά πρώτο δεύτερο, τρίτο, ... νιοστό ψηφίο είναι αντί­ 2. Στο 3ο παράδειγμα οι αριθμοί είναι τεράστιοι. στοιχα η κατά φθίνον μέγεθος αναγραφόμενη σειρά Πρακτικά θα ήταν αδύνατο από πλευρά χώρου να εί­ στα σύμβολα των αριθμών του Ν � 0 ). Το δε σύνολο ναι εφικτή αυτή η πρόθεση με τους γνωστούς συμβο­ όλων των ν - 1 διαφορών: Σ6 = { (α - α2), (α - α ), g ι 1 λισμούς των φυσικών αριθμών. . .. (α 1 - σ,)} θα ονομάzεται το σύνολο των σημαντι­ κών διαφορών του αριθμού α1, α2, ... ανΗ aφαίρεσα Παράδειγμα· έστω ο αριθμός 18° 8630 τότε ΙΊα να αφαιρέσομε 2 αριθμοuς, μορφώ· Σ 6 = {2, 4, 7, 10}. Μετά από τον προηγούμενο ορι­ νομε κατάλλnλα (εφ6σον αw6 δεν οαρατn· ρείται ε� αρχός) το μεyαλuτερο, ώστε να σμό διατυπώνουμε τον παρακάτω κανόνα της τεχνι­ σχnματίσει ένα καταολnιιτικ6 ό ενδιάμεσο ό κής των σημαντικών διαφορών: Για να πολλαπλασιάσαμε ν αριθμούς προσθέταμε αρχικ6 τμόμα, το οοοίο να ισοUται με το μι· κρ6τερο αριθμ6, οο6τε, διαyράφοντας το πρώτα τα αρχικά ψηφία των αριθμών, οπότε βρίσκαμε το μέγιστο ψηφίο του μη κατ' ανάγκη ανηγμένου εξα­ τμόμα αw6, οροκuοτει το znτοuμενο. γομένου· στη συνέχεια μειώναμε διαδοχικά το μέγι­ Παραδείyματα στο ψηφίο κατά τη 1η, 2η, 3η, (κ -1) η σημαντική δια­ 1) 6543� 43 = 65 φορά του πρώτου αριθμού. Σχηματίzεται έτσι ένα κ 2) 76° � 75° = 75° 75° � 75° = 75° ψηφίο τμήμα. Ύστερα μειώναμε κατά Ν κάθε ψηφίο 3) 85� 42310 = 8432100 � 43210 = 80 του τμήματος αυτού κατά την 1η, 2η, 3η, (λ - 1) η ση­ • 4) 95° 94ο 10° 54- 95° 93° 876 = μαντική διαφορά του δευτέρου αριθμού, οπότε σχη­ • = 95° 93ο 93° 9876654 - 95° 93ο 876 = 93ο 9654 ματίzεται ένα κλ ψήφιο τμήμα. Μειώναμε πάλι κάθε =

8

-

-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/5


Το Διιοδεκαδικό Σ\iστσpα

ψηφίο του μέχρις στιγμής κλ - ψηφίου τμήματος κατά λαδή από το μεγαλύτερό τους ψηφίο μέχρι και το Ο, την 1n, 2n, 3n, ... (μ - 1)" διαφορά του τρίτου αριθ­ ονομάzοvται πλήρεις (άλλοι πλήρεις είναι οι μού, οπότε σχηματίzεται ένα κλμ - ψήφιο τμήμα. 9876543210, 16" 15" 14" 13" 12· 11· 1ο· Συνεχίzομε τη γvωστή διαδικασία μέχρις ότου φθά­ 9876543210, οι οποίοι συντομογραφικά αποδίδονται: σομε και στον τελευταίο από τους ν παράγοντες, που 9. Ο και 16° . Ο αvτίστοαα· έτm γίνεται μεγάλη οικο­ νομία στην γραφή τους εκμεταλλευόμενοι αυτό το μας έχουν πρωτοδοθεί. συμβολισμό αποδίδομε συντομότερα και τους αριθ­ μούς 219° 188° 10· 9876543210, 100° 99" 98" 97° ΠαραδείyΡ.ατα • • 1) 65" 40" χ 50" 2ο· χ 15" 10° = 130° 105° %"%·�·�·Ε·�·�·�·�·�·�·�· ιοοο 75° 125° 100° 95" 70° = 130" 125" 105· 37° 36" 35° 34° 33" 32" 31° 30" 95 ως 219" 188" 10 Ο και 100ο . 93 • 45 30 95 αντίστοιχα, δηλαδή 101° 95" 75° 70" • • η στιγμή μεταξύ δύο ψηφίων του Ν�0 συμβολίzει την 2) 222· 1 1 1· χ 5οο· 4οο· χ 2ο· 1ο· = 742" 631" 520" 642" 531° 420" 732° 521° 510° 632" παρουσία όλων των ενδιαμέσων ψηφίων). 111) Ο διαιρέτnς είναι διψιiφιος και οάνω 521° 410° = 742° 732" 642" 632" 631" 621° 531" σ' α"τιi τnν οερίοτωσn n διαίρεσn yίνεται 521 ο 520° 510" 420" 410" σχεδόν ανάλοyα με τnν διαίρεσn 2 ακεραίων οολ"ωwμων, αν το"ς 6ρο"ς των 8εωριiσο· Διαίρεσα με να αvτιστοι:ιιοmαι αο6 τα ψnφία διαιρε· Στην πράξη της διαίρεσης διακρίνομε χωριστά 3 τέο" και διαιρέτn· οι δε οράCεις yίνοvται κα· περιmώσεις: I) Ο διαιρέτnς είναι μονοψιίφιος ιιαι το τά Nt0. Τα παρακάτω 3 παραδείγματα αποσαφινί­ οολv ίσος με το μιιιρ6τερο ψnφίο" το" διαι· zουν αυτόν τον κανόνα. ρετέο". Για να ειιτελέσομε μια τέτοια διαί· 1) 643 ρεσn, αφαιροvμε με τnν έvvοια τnς αφαίρε· σnς ιιατά Ν, το διαιρέτn, αο6 ιιά8ε ψnφίο υπόλοmο 3 το" διαιρετέο"· ο αρι8μ6ς οο" σχnματizεται α) Διαιρούμε το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου• με το είναι το znτοvμενο οnλίιιο. πρώτο ψηφίο του διαιρέτου· το αποτέλεσμα 6 : 5 = 1 γράφομε στη θέση του πηλίκου και το οποίο αποτελεί Παραδείyματα: • • • 1) 8 : 2 =6•2) 7 : 6 = 1 3) 100 : 81 = 19" 4) 35" το πρώτο ψηφίο του. β) Πολλαπλασιάzομε 1 Χ 53 = 64, το οποίο αφαι­ 27" 2ο· 15"• : 15" = 2ο· 12° 50 5) 2550" 1852° ρούμε από το 643 και βρίσκομε 3 αυτό είναι το πρώ­ 1554. 862" : 250" = 2300" 1602" 1304ο 612" το μερικό υπόλοιπο, αλλά και συγχρόνως το τελικό. 11) Ο διαιρέτnς είναι μονοψιίφιος, αλλά ο

.

ο

.

���

8

δεν είναι μιιιρ6τερος ιί το οολv ίσος με το 63 2) 1ο· 763 μιιιρ6τερο ψnφίο το" διαιρετέο". ! 10° 7 40 Για να εκτελέσουμε τη διαίρεση, που είναι πάvτοτε 65 ατελής, αφαιροvpε ιιατά Ν, το διαιρέτn αο6 το 63 ιιά8ε ψnφίο το" διαιρετέο" οο" yίνεται aφai· 0 ρεσn, οο6τε το εCαy6μεvο οο" οροκvιιuι εί· α) Διαιρούμε το πρώτο ψηφίο 10" του διαιρετέου ναι το οnλiκο, ενώ το "ο6λοιοο είναι ο αρι8· πρώτο ψηφίο 6 του διαιρέτη και το αποτέλεσμα • μ6ς οο" yίνααι αο6 τα ψnφία το" διαιραέο", με το 10 : 6 = 4 αποτελείτο πρώτο ψηφίο του πηλίκου. τα οοοία είναι μικρότερα το" διαιρέτn. β) Πολλαπλαmάzουμε Ο Χ 63 = 63 και το αποτέλε­ σμα αυτό, το αφαιρούμε από το πρώτο μερικό υπόλοιπο· Παραδείtfατα και βρίσκομε το τελικό υπόλοιπο, που είναι 0 δηλαδή 1) 27° 14" 95 : 12" ·15" 2 πηλίκο και 95 υπόλοιπο το μηδέv του Ν�0)) (προφανώς Ο Ε Ν = 0 Ε Ν�0). 2) 40" 35" 29" 23" 19" : 40 Ο πηλίκο και 35ο 29" << 23° 19" υπόλοιπο. Παρατιίρnσn: Όπως έγινε αvτιfιηmό η προη­ 3) 841" 753 Ο � 804 = 37" πηλίκο και 753 ο . Ο γούμενη διαίρεση είναι τελεία υπόλοιπο 981 3) 15° 12° 95 • Παρατιίρnσa 5 14° 13" 6 Ο αριθμός 753 . Ο, είναι η συvτομία του 753 13° 12° 8765 752" 751" ... 210, ο οποίος είναι έvας αριθμός με 754 ! 13" 12° 5 ψηφία. Οι αριθμοί αυτοί που έχουν όλα τα ψηφία, δη876 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/6


Το Δ\Ιοδεκαδικό Σ:\iσταpα

Παρατόρnσn: Σ' αυτό το παράδειγμα παρόλο που 15 : 9 = 6, εν τούτοι βάλαμε 5 ως πρώτο ψηφίο του πηλίκου γιατί με το 6 υο γινόμενο 6 Χ 981 = 15 14 7 είναι μεγαλύ­ τερος του διαιρετέου· γι' αυτό και έχομε αναφέρει στην αρχή αυτής της περίmωσης με διαιρέτη, διψήφιο και πάνω, ότι εκτελείται, σχεδόν ανάλογα με την ιδαί­ ρεση ακεραίων πολυωνύμων. ο

ο

Τελικό Παρατόρnσn Η δικαιολογία της τεχνικής των 4 πράξεων σ' όλες τις περιπτώσεις εκτός της διαfρεσης με μη μονοψήφιο διαιρέτη, είναι απί\6 αποτέλσμα αντιστοίχων πράξεων σε θετικές δυνάμεις του 2. Η δε διαίρεση με μη μονο­ ψήφιο διαιρέτη ακολουθεί πιστά τη διαίρεση δυναμο-

πολυωνύμων (πολυωνύμων που η μεταβλητή υπα­ κούει στην πρόσθετη συνθήκη χκ + χκ χκ 1), η οποία όμως πράξη εκφεύγει από τον σκοπό και την συντομία του παρόντος άρθρου. Άξιο προσοχής τέλος είναι το γεγονός, ότι το Ν δεv σβ.Svει μέσα στιs 4 ορά�ειs το\! Nf0, 6χι οια ωs σ\Ιpβολισp6s αλλά και ωs οεριεχ6μεvο ορά�εωv• έτσι η πρόσθεση και η αφαfρεση του Ν, εμφανίσθησαν στον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση του Ν�0. Έπεται ακόμα η συνέχεια, η συμβολή του πολλαπλασιασμού του Ν σε δυνάμεις του Ν�0 και η διαίρεση του Ν στην εξαγωγή ριzών στο Ν�0. Στο επόμενο τεύχος πιστεύουμε να εκθέσουμε τον τρόπο διεξαγωγής των δύο αυτών πράξεων. =

+

Γιάννο Δ. 2;τρατιi

ΛΝΛΛΥΣΗ

ΣΙ-1 Β' ΕΚΛΟ • ΤοDιD λίο αυτ6 απευθύνεται στους υποψ1]φιους της Α δέσμης, αλλά και στους μαθητές της Η λυκείου π ου θα ακο­ λουθήσουν την Α' δέσμη και περιέχει

Θεωρία δοσμένη με τρ6πο απλ6, σαφή και κατανοητ6 •

• Α υμένες

ασκήσεις σε δύο ομά­ δες κλιμακούμενης δυσκολίας, που συνοδεύονται απο βοηθι τικά σχ6λια και καθιστούν ικαν6 τον υπο­ ψήφιο να αναπτύξει γενικ6τερες μεθ6δους σκέψης Ασκήσεις για λύσn σε δύο ομάδες, με απαντήσεις και υποδεί­ ξεις για τη λύση τους •

ΤΟΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟ ΚΥΚΛΟΦΟΡΕΙ ΤΟ Β' ΤΕΥΧΟΣ: ΛΝΑΛΥΣΗ • ΛΙΛΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κεντρική διάθεση : Νίκος Ροτζιώκος, τηλ. 86 42 501 Χρίστος Φραντζ1jς, τηλ. 60 1124 1

ΠΡΑΓΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥJ;Η Ι σελίδες: 392 τιμιi 3.800δρχ. Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοοωλεία Περιέχει: • Όλη τη θεωρία, σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. • Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλογή ασκήσεων προοδευτικής δυσκολίας με αποτέ­ λεσματα στο τέλος του βιβλίου και υποδείξεις για τις πιο δύσκολες. • Για την εμπέδωση των μεθόδων παρατίθεται· ένα πλήθος από υποδειγματικά λυμένα θέματα. Για την αποστολή (με αντικαταβολή του βιβλίου ταχυδρομείστε το παρακάτω δελτίο παραγγελίας στη διεύθυνση:

"Γιάvvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάτσι 11146"

ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑJ; Όνομα: Επώνυμο: Διεύθυνση:

-----------

Πόλη:

-------

Τηλέφωνο: Σχολείο: Φροντιστήριο: -----Στους συναδέλφους μαθηματικούς γίνεται έκ­ mωση 40% και προσφέρεται ένα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Β, κn. τ.

3/7


Στην Α' Οικουμενική Σύνοδο που έγινε στη Νί­ καια της Βυθυνίaς το 325 μ.χ. ορίστηκε 6τι: "Το Πάσχα θα πρέπει vα εορrάzεrαι rnv πρώrn Κυριακή μεrά rnv Παvσθ.nvο rnς εαριvής ισnμερfας και αv η Παvσθ.nvος σuμ8εf Κυριακή r6rε vα εορrά­

zεrαι rnv επ6μεvn (yια vα μn συμπέσει με rov εορrα­ σμ6 rου ΕΒραϊκού Πάσχα)"

Ο υπολογισμ6ς επομένως της ημερομηνίας του Πάσχα είναι ένα aστρονομικ6 πρ6βλημa, aφού για τον κaθορισμ6 της πρέπει να ληφθούν υπ' 6ψη: • Η κίνηση της Γης γύρω αή6 τον ήλιο. (Αφού το Πάσχα ακολουθεί αμέσως μετά την εα­ ρινή ισημερία) • Η κίνηση της Σελήνης γύρω απ6 τη Γη: (Αφού το Πάσχα συνδέεται με την Πανσέληνο) • Η επταήμερη εβδομάδα. (Αφού το Πάσχα είναι πάντοτε Κυριακή) . - Η Ελληνική Ορθ6δοξη Εκκλησία, παρ' 6λο που aπ6 το 1924(1 ) έχει αποδεχrεί το νέο Γρηγορια­ ν6 ημερολ6γιο για τις ακίνητες γιορτές, εξακολουθεί ακ6μη και σήμερα να χρησιμοποιεί το παλαι6 Ιουλια­ ν6 ημερολ6γιο και τον κύκλο του Μέτωνα (2) για τον υπολογισμ6 της ημερομηνίας του Πάσχα. Στο Ιουλια­ ν6 ημερολ6γιο 6μως η διάρκεια του έτους ήταν 1 1 λεπτά και 1 4 δευτερ6λεπτα μεγαλύτερη απ6 το τροπι-

κ6 έτος με αποτέλεσμα κάθε 128 χρ6νια να προστί­ θεται ένα σφάλμα μιας μέρας. Το 325 μ.χ., που συνήλθε η Α' Οικουμενική Σύ­ νοδος και υιοθέτησε επίσημα το Ιουλιαν6 ημερολ6γιο και 6ρισε τον εορτασμ6 του Πάσχα, πήρε σα δε­ δομένο 6τι η εαρινή ισημερία θα συνέβαινε πάντοτε στις 21 Μαρτίου, που ήταν τ6τε. Με το ενσωματωμέ­ νο 6μως λάθος του Ιουλιανού ημερολογίου η πραy­ ματική εαρινή ισημερία μεταφερ6ταν σιγά - σι\•u προς τα πίσω με αποτέλεσμα να υπάρχει σήμερα ένα σφάλμα 13 ημερών. Ένα παρ6μοιο λάθος συσσωρευ6ταν επίσης και στον υπολογισμ6 των εαρινών Πανσελήνων. Ο κύ­ κλος του Μέτωνα ορfzει κάθε 19 χρ6νια τη στιγμή της Πανσελήνου 2 ώρες, 4 λεπτά και 24,8736 δευτερ6λεπτα αργ6τερα απ6 την πραγματική στιγμή, δηλαδή κάθε 19 χρ6νια καθυστερεί κατά 2 ώρες, 4 λεπτά και 24,8736 δευτερ6λεπτα, με αποτέλεσμα το λάθος αυτ6, συσσωρευμένο απ6 το 325 μ.χ. μέχρι σήμερα, δίνει ένα σφάλμα 5 περίπου ημερών. - Η Δυτική Εκκλησία χρησιμοποιεί έναν άλλο ασφαλέστερο τρ6πο υπολοyισμού της Πανσελήνου, που δίνει μικρ6τερο σφάλμα (1 μέρα κάθε 20.000 χρ6νια) . Αυτ6ς είναι ένας απ6 τους λ6γους που το. Πάσχα των Ορθοδ6ξων δε συμπίπτει πάντοτε με αυτ6 των Καθολικών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/8


Hpερopnvίo τοu Πάcπια

Ο υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα εί­ ναι αρκετά πολύπλοκος για να εξηγηθεί. Δίνεται όμως παρακάτω ένας αί\γόριθμος (καθώς και το αντί­ στοιχο πρόγραμμα σε γλώσσα BASIC), που στηρίzε­ ται σ' ένα τύπο που βρήκα σ' ένα βιβλίο των φοιτηη­ κών μου χρόνων, το: "Πρακτική Αστρονομία" των Γρ. Αvτωνακό­ πουλου - Παιί\. Λασκαρίδη

Ο Αλyόριθμος τοv Πάσχα

Για να βρούμε την ημερομηνία του Πάσχα της χρονιάς χ 1 . Υπολογίzουμε τα υπόλοιπα ul της διαίρεσης χ : 4 U2 της διαίρεσης χ : 7 u3 της διαίρεσης χ : 19 2. Υπολογίzουμε επίσης τα υπόλοιπα: u4 της διαίρεσης (19 . u3 + 16) : 30 U5 της διαίρεσης (2 U1 + 4 U2 + 6 U4) : 7 3. Βρίσκουμε το: Ν = U4 + Us + 3 4. Το Πάσχα είναι Ν μέρες μετά την 1 n Απριλίου ·

·

·

Συγκεκριμένα: αν Ν :5 30 το Πάσχα θά' ναι στις Ν του ΑπρΩ\η ίί. αν Ν > 30 το Πάσχα θά' ναι στις Ν - 30 του Μάη

i.

Διερεύνηση Επειδή Ο :5 U4 :s 29 και Ο :s U5 :s 6 το Ν μπορεί να πάρει ημές : 3 < Ν :5 38 Άρα το Πάσχα μπορεί να είναι στο διάστημα από 4 Απριί\ίου μέχρι και 8 Μαϊου.

1.

2. 3. 4.

Παράδειγμα Ζητάμε το Πάσχα του 1995. u1 = 3 U2 = Ο u3 = ο u4 = 16 U5 = 4 Ν = 23 Άρα το Πάσχα του 1995 θάναι την 23 Απριλίου.

Σnpειώσεις 1 . Η Ελληνική Εκκί\ησία δέχτηκε το Γρηγοριανό ημερολόγιο όταν η 10n Μαρτίου 1 924 ονομάστηκε σαν 23 Μαρτίου. Η Ελληνική Πολιτεία είχε προηγη­ θεί ονομάzοvτας την 1 6 Φεβρουαρίου 1 923 σαν 1 Μαρτίου. 2. Μέτωνας : Έλληνας aστρονόμος και μηχανι­ κός του Ε' π.χ. αιώνα. Για να συμβιβάσει το ηλιακό με το σεληνιακό ημερολόγιο επινοήσε το λεγόμενο "Κύκί\ο του Μέτωνα". Σύμφωνα με αυτόν οι φάσεις

της σελήνης επαναλμβάνοvται κάθε 19 χρόνια στις ίδιες ημερομηνίες. Έτσι προσδιορίzεται η ημερομη­ νία της Πανσελήνου, που ακολουθεί μετά την ανοι­ ξιάηκη ισημερία. Ο προηγούμενος αί\γόριθμος σε γλώσσα BASIC για Η/Υ είναι: REM **** HMEPOMHNIA ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ **** 10 20 CLS 30 INPUT."Δώσε χρονιά : ", Χ 40 Υ1 = XMOD4 Υ2 = XMOD 7 50 60 Υ3 = Χ MOD 19 70 Κ = 19 * Υ3 + 16 80 Υ4 = KMOD30 90 L = 2 * Υ1 + 4 * Υ2 + 6 * Υ4 100 YS = LMOD7 1 10 Ν = Υ4 + YS + 3 120 CLS 130 PRINr "Πάσχα" ; Χ 140 PRINr : PRINr 150 IF Ν > 30 GOTO 170 160 PRINrN; 'ΆπρΩ\η"; END 1 70 PRINrΝ-30; "Μάη" Στον παρακάτω πίνακα έχουν υπολογιστεί οι ημερομηνίες του Πάσχα μέχρι το 2010. Χρόνος 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Ημερομηνία Πάσχα 1 Μάη 23 ΑπρΩ\η 14 Απρίλη 27 ΑπρΩ\η 19 ΑπρΩ\η 1 1 Απρίλη 30 Απρίλη 15 Απρίλη 5 Μάη 27 Απρίλη 1 1 Απρίλη 1 Μάη 23 Απρίλη 8 Απρίλη 27 ΑπρΩ\η 19 ΑπρΩ\η 4 ΑπρΩ\η

Βιβλιογραφία 1 . Αvτωνακόπουλου Γ. - Λασκαρίδη Π. : Πρακη­ κή Αστρονομία 2. Κωτσάκη Δ. : Ο ήλιος και οι πλανήται 3. Σιμόπουλου Δ : Σειρά άρθρων στην Κυριακά­ ηκη Εί\ευθεροτυπία 4. Τσιμπουράκη Δ. : Η Γεωμετρία στην Αρχαία Ελλάδα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη . τ. 3/9


Η .�Έννο ια τ οv Ολοκλη ρώματ ο ς Στράτος Ελ. Μάκρος

1. Εισαyωyιί

Η έννοια του ολοκληρώματος έχει τηv πηγή της στη μέτρηση του εμβαδού τωv επιπέδωv γεωμετρικώv σχημάτωv. Τι σημαίvει όμως βρίσκω το εμβαδόv εvός επίπεδου γεωμετρικού σχήματος; Σημαίvει όη, αφού επιλέξω μια μοvάδα, βρίσκω μια διαδικασία που μου επιτρέπει vα αvηστοιχίσω στο σχήμα μου έvα θετικό αριθμό, που θα μου λέει πόσες φορές πρέπει vα χρησιμοποιήσω τη μοvάδα μου για vα καλύψω το σχήμα του οποίου μετράω το εμβαδόv. Όλα αυτά δεv ακούγοvται βέβαια και πολύ "αυστηρά" από μαθημαηκή άποψη, περιγράφουv όμως αυτό που θέλουμε vα κάvουμε. Av θέλαμε vα μιλήσουμε πιο "ξερά" η απάvτηση στο παραπάvω ερώτημα θα ήταv κάπως έrσι: Σημαίvει όη βρίσκω μια διαδικασία που μου επιτρέπει, μόλις επιλέξω μια μοvάδα εμβαδού, vα αvτιστοιχίσω σε κάθε χωρίο του επιπέδου, που έχει μια συγκεκριμέvη μορφή (αυτή που εξετάzω), έvα θεηκό πραyμαηκό αριθμό που λέ­ γεται εμβαδόν του χωρίου. Av βέβαια θελήσουμε vα μιλήσουμε με ακόμη μεγαλύτερη σαφήvεια θα πρέπει vα πούμε η εννοούμε με τη λέξη "χωρίο" του επιπέδου. Εδώ αρχίzουv οι πρώτες δυσκολίες! Το επίπεδο θεωρείται έvα σύvολο που τα στοι­ χεία του είvαι σημεία. Το πιο φιλόδοξο σχέδιο θα ήταv η κατασκευή μιας θεωρίας που vα μπορεί vα αποδίδει έvα εμβαδόν σε οποιοδήποτε υποσύvολο του επιπέδου, π.χ. σε καθέvα από τα παρακάτω σχήματα.

Μια βασική ιδιότητα που πρέπει vα έχουv αυτά τα εμβαδά για vα αvταποκρίvοvται στηv εποπτική έννοια του εμβαδού, είvαι vα "προστίθεvται". Πράγμα που σημαίvει όη, αv έvα χωρίο Χ αποτελείται από δύο χωρία Χι και Χ2 που δεv αλληλοκαλύmοvται, τότε το εμβαδόv του Χ είvαι ίσο με το άθροισμα τωv εμβαδώv τωv Χι και Χ2 . Επίσης θα πρέπει, δυο χωρία, που μπορούv, τουλάχιστοv ιδεατά, vα συμπέσουv, vα έχουv και ίσα εμβαδά. Av λοιπόv καταφέρvαμε vα φθάσουμέ στηv κατασκευή μιας θεωρίας που vα μπορεί vα αποδίδει έvα εμ­ βαδόv σε οποιοδήποτε υποσύvολο του επιπέδου, αυτό θα σήμαιvε όη μπορέσαμε και ορίσαμε μια απεικόvιση μ, από το σύvολο Ρ(Ε) όλωv τωv υποσυvόλωv του επιπέδου Ε, μέσα στο σύvολο τωv θετικώv πραγμαηκώv αριθμώv, η οποία θα έχει δύο βασικές ιδιότητες: α) Av Α και Β είvαι δύο ξέvα υποσύvολα του Ε (δηλ. ΑΠΒ = 0), τότε vα ισχύει μ ( AUB) = μ (Α) + μ (Β). (αυτή τηv ιδιότητα τηv λέμε οροσθετικότnτα και μπορεί vα διατυπωθεί κάι ως εξής: Πρέπει μ(0) = Ο και μ(ΑUΒ) =μ(Α) + μ(Β)-μ(ΑΠΒ). Έτσι ξεκαθαρίzει και η έννοια της "μη αλληλοκάλυψης" , που σημαίvει όη η τομή τους έχει μηδεvικό εμβαδόv).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/10


Έννοια τοιι Ολοκλnρώpατος

β) Αν μετακινήσουμε το σχήμα μας στο επίπεδο το εμβαδόν του δεν πρέπει να μεταβάλεται. Η · σε πιο μα­ θηματική γλώσσα: Αν τ είναι μια ισομετρία του επιπέδου {π.χ. στροφή, συμμετρία, μεταφορά ή γενικά οποι­ αδήποτε 1-1 απεικόνιση του Ε πάνω στο Ε που διατηρεί τις αποστάσεις), τότε μ(τ{Α)}=μ{Α) για οποιοδήποτε υποσύνολο Α του Ε. Προκύmουν τώρα προβλήματα όπως: Υπάρχουν τέτοιες απεικονίσεις; Αν ναι πόσες; ti απάντηση στα παραπάνω ερωτήματα είναι κάθε άλλο παρά προφανής. Στην περίmωση του επιπέδου αποδεικνύεται ότι υπάρχει τέτοια απεικόνιση χωρίς όμως να είναι εξασφαί\ισμέ­ vη η μοναδικότητά της. Στην περίmωση του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, δεν υπάρχει τέτοια απεικόνιση. 1 Η μη ύπαρξη αλλά και η μη μοναδικότnτα μας οδηγούν στον περιορισμό των αρχικών μας βλέψεων. Θέ­ τουμε λοιπόν πάλι το πρόβλημα, προσπαθώντας να ορίσουμε την απεικόνιση όχι σε ολόκληρο το σύνολο όλων των υποσυνόλων του επιπέδου Ε αλλά σε κάποιο υποσύνολό του. Δηλαδή, μια και δεν μπορούμε να αποδώσουμε κατά ικανοποιητικό τρόπο εμβαδόν, σε οποιοδήποτε υποσύνολο του επιπέδου, προσπαθούμε να βρούμε ένα σύνολο ciπό σχήματα στα οποία μπορούμε να αποδώσουμε εμβαδόν. Βέβαια, όσο πιο πλού­ σιο είναι το σύνολο αυτό τόσο το καλύτερο και αν το σύνολο αυτό περιέχει και πολλά ή και όλα τα "ενδιαφέ­ ροντα" σχήματα τότε θα είναι ακόμα καλύτερα!2 Ας επιστρέψουμε όμως στον εποπτικό καθορισμό του εμβαδού των ευθυγράμμων σχημάτων και ας πά­ ρουμε για μονάδα ένα τετράγωνο πλευράς 1. Σ' ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς λ φαίνεται φυσικό να aντι­ στοιχίσω τον αριθμό λ2 . Στο ορθογώνιο με πλευρές που έχουν μήκη λ και μ φαίνεται επίσης φυσικό να aντι­ στοιχίσω τον αριθμό λμ. Στο τρίγωνο τέλος θα aντιστοιχίσω τον αριθμό 1/2 λ υ, όπου λ είναι το μήκος μιας πλευράς και υ το μήκος του ύψους που αντιστοιχεί στην πλευρά αυτή {βλ. σχήμα 1). ·

λ

ΣΧΗΜΑ 1

Τι γίνεται όμως με τα πιο πολύπλοκα σχήματα, όπως μερικά από αυτά που είδαμε πιο πάνω; Πώς θα τα κα­ ταφέρουμε να αποδώσουμε και σ' αυτά ένα εμβαδόν χωρίς να "προδώσουμε" την εποmεία μας; Για τα ευθύ­ γραμμα επίπεδα σχήματα τα πράγματα είναι εύκολα. Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν τους χωρίzο­ ντάς τα σε οείιερασpέvο πλήθος τριγώνων ή ορθογωνίων, που δεν αλληλοκαλύπτονται και αθροίzοντας τα εμβαδά που θα βρούμε. Τα πράγματα γίνονται πιο δύσκολα, αν θελήσουμε να ξεφύγουμε από τα ευθύγραμ­ μα σχήματα. Ποια διαδικασία πρέπει να ακολουθήσουμε για να αποδώσουμε στα σχήματα αυτά ένα εμβα­ δόν, χωρίς να ξεφύγουμε από το "φυσικό" τρόπο απόδοσης εμβαδού, που ακολουθήσαμε στις προηγούμε­ νες περιmώσεις; Μπορούμε τώρα να χωρίσουμε το σχήμα σε τρίγωνα ή ορθογώνια που δεν αλληλοκαλύmο­ νται; Θα τα καταφέρουμε με πεπερασμένο πλήθος ή θα πρέπει να αθροίσουμε τα εμβαδά άπειρου πλήθους τριγώνων ή ορθογωνίων; Τι σημαίνει άθροισμα με άπειρους προσθετέους; Ο τρόπος χωρίσματος παίzει ρόλο; Αυτά είναι μερικά από τα πιο σημαντικά ερωτήματα, που απασχόλησαν για αιώνες τους μαθηματικούς και κα­ τάληξαν σε θεωρίες ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες και γόνιμες. Ήδη οι Έλληνες μαθηματικοί της αρχαιότητας είχαν λύσει το πρόβλημα για ορισμένα μη ευθύγραμμα σχήματα, όπως π.χ. για τους μηνίσκους του Ιπποκράτη. Όμως ο πρώτος που έλυσε πραγματικά δύσκολα προ­ βλήματα αυτού του είδους ήταν ο Αρχιμήδης. Ο τρόπος που ακολούθησε για να βρει το εμβαδόν ενός παρα­ βολικού τμήματος περιέχει τη βασική ιδέα, που ακολουθήθηκε πολλούς αιώνες μετά για τη θεμελίωση της σύγχρονης "θεωρίας μέτρου" .3 Αξίzει λοιπόν τον κόπο να παρακολουθήσουμε τη διαδικασία που ακολούθησε ο Αρχιμήδης για να "τε­ τραγωνίσει" την παραβολή, δηλαδή να βρει το εμβαδόν της. Δε θα ακολουθήσουμε τον τρόπο του Αρχιμήδη αλλά τη βασική ιδέα του, που ήταν να πλησιάσει το εμβαδόν της παραβολής από "πάνω" και από "κάτω" και να το "αιχμαλωτίσει" ανάμεσα σε δύο αριθμούς, που πλησιάzουν τόσο πολύ, που δεν έχουν ανάμεσά τους άλλον αριθμό εκτός από το zητούμενο εμβαδόν!

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/1 1


Έννοια τοu Ολοιιλορώpατος

Α

Υ

=

,/-

Β ο

ΣΧΗΜΑ2

Ι/5

2/5 3/5

4/5

ι

Θα χωρίσουμε το ΟΒ σε πέvτε ίσα μέρη και θα υπολογίσουμε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογω­ νίων, που είναι κάτω από την παραβολή (σχήμα 2). Αυτά είναι τέσσερα και το καθένα έχει βάση ίση με 1/5 και ύψος ίσο με: (1/5) 2 το πρώτο, ( 2/5 ) 2 το δεύτερο κ.ο.κ. Ας συμβολίσουμε με ε(5) το άθροισμα των εμβαδών τους. Θα έχουμε: ε(5) = (1/5) [(1/5) 2 + (2/5) 2 + (3/5) 2 + (4/5)2 ] = (1/5) (12 + 22 + 32 + 42 )/52 = (4.5.9)/(6.53 ) άρα ε(5) = 36/150 = 0.24 Θα υπολογίσουμε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, που είναι πάνω από την παραβολή (σχήμα 2). Αυτά είναι πέvτε και το καθένα έχει βάση ίση με 1/5 και ύψος ίσο με: (1/5) 2 το πρώτο, (2/5) 2 το δεύτερο κ. ο. κ. Ας συμβολίσουμε με Ε(5) το άθροισμα των εμβαδών τους. Θα έχουμε: Ε(5) = (1/5) [(1/5) 2 + (2/5)2 + (3/5)2 + (4/5)2 + (5/5) 2 ] = (1/5) (12 + 22 + 32 + 42 + 52 )/5 2 = (5.6.11)/(6.53 ) άρα Ε(5) = 66/150 = 0.44 Αν λοιπόν στο παραβολικό τμήμα ΟΑΒ αποδοθεί κάποιο εμβαδόν, αυτό θα πρέπει να είναι ένας αριθμός μεταξύ του ε(5) = 36/150 = 0.24 και του Ε(5) = 66/150=0.44. Ας σημειώσουμε όη η διαφορά των δύο αυτών αριθμών είναι Ε(5) - ε(5) = 30/150 = 1/5 = 0.20. Ας χωρίσουμε τώρα το ΟΒ σε χίλια ίσα μέρη, ας υπολογίσουμε, όπως και πριν, τα αθροίσματα ε(lΟΟΟ) και Ε(1000). Στην πρώτη περίπτωση θα έχουμε 999 ορθογώνια με βάση 1/1000 και ύψος (1/1000) 2 , (2/1000)2 κ.ο.κ. άρα: ε(1000) = (1/1000) [(1/1000) 2 + (2/1000) 2 + (3/1000) 2 + . . . + (999/1000) 2 ] = = (1/1000) (12 + 22 + 32 + ... + 9992 )/10002 = (999.1000.1999)/(6.10003 ) = = 999.1999/6 . 10002 ... 0,3328 Στη δεύτερη περίπτωση θα έχουμε 1000 ορθογώνια με βάση 1/1000 και ύψος (1/1000) 2 , (2/1000)2 κ.ο.κ. άρα Ε(1000) = (1/1000) [(1/1000) 2 + (2/1000)2 + (3/1000) 2 + . . + (1000/1000)2 ] = = (1/1000) (12 + 22 + 32 + ... + 10002 )/10002 = (1000.1001.2001)/(6.100ο3 ) = 2 = 1001.2001/6.1000 0.3338. .

=

Αν λοιπόν στο παραβολικό τμήμα ΟΑΒ αποδοθεί κάποιο εμβαδόν, αυτό θα πρέπει να έιναι ένας αριθμός μεταξύ του ε(1000) 0.3328 και του Ε(1000) 0.3338. Η διαφορά των δύο αριθμών είναι τώρα: Ε(1000) - ε(1000) = 1/1000. Μπορούμε εδώ να παρατηρήσουμε όη αν διαλέξουμε έναν από τους αριθμούς 0,3328 ή 0.3338 και πού­ με όη αυτό είναι το εμβαδόν που zητάμε, τότε το σφάλμα που κάνουμε είναι το πολύ 0,001 της μονάδας που έχουμε διαλέξει. Αυτή η προσέγγιση είναι, για ης περισσότερες εφαρμογές ιδιαίτερα ικανοποιηηκή, όμως θα προχωρήσουμε για να βρούμε έναν αριθμό "υπεράνω πάσης υποψίας" . =

=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β '

κη. τ .

3/12


Έvvοιο τοu Ολοκλnρώpοτος

Ας χωρίσουμε τώρα το ΟΒ σε ν ίσα μέρη, ας υπολογίσουμε, όπως και πριν, τα αθροίσματα ε(ν) και Ε(ν), όπου ν είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Στην πρώτη περίmωση θα έχουμε ν-1 ορθογώνια με βάση 1/ν και ύψος (1/v}2, (2/v}2 κ.ο.κ. άρα. 2 ε(ν) = (1/ν) [ (�)2 + (�)2 + (�)2 + ... + (ν:1 ) ] = (1/ν) [12 + 22 + 32 + ... + (ν-1)2]/if = = (ν-1)ν [2(ν-1) + 1]/(6.J3) = (ν-1) (2ν-1)/(6if) Στη δεύτερη περίmωση θα έχουμε ν ορθογώνια με βάση 1/ν και ύψος (1/v}2, (2!v)2 κ.ο.κ. άρα. 2 Ε(ν) = (1/ν) [(�)2+ (�)2+ (�)2+ ... + (�) ] = (1/ν) (12 + 22 + 32 + ... + .J2);v2 = = ν(ν+ 1) (2ν+ 1)/6J3 = (ν+ 1) (2ν+ 1)/6v2

Η διαφορά των δύο αριθμών είναι τώρα: Ε(ν)-ε(ν)=1/ν.

Αν λοιπόν θέλουμε να διαλέξουμε έναν από τους αριθμούς ε(ν) ή Ε(ν) για εμβαδόν, το σφάλμα μας δε θα υπερβαίνει το 1/ν. Αν για παράδειγμα απαιτήσουμε σφάλμα μικρότερο από 0.000001, αρκεί να βρούμε το ε(ν) για ν = 1000000. Ας προχωρήσουμε όμως κι άλλο. Έχουμε: ε (ν) = και

(ν-1) (2v - 1) 1 (ν - 1) (2v-1) 1 ν-1 2v-1 1 1 = = = {1_ ){2 -1) 6 6vZ v2 6 ν ν 6 ν ν

Αν λοιπόν στο παραβολικό τμήμα ΟΑΒ αποδοθεί κάποιο εμβαδόν, αυτό θα πρέπει να είναι ένας αριθμός μεταξύ του ε(ν) και του Ε(ν). Όμως όταν το ν- +οο τότε και οι δύο αυτοί αριθμοί πλησιάzουν στο 1/3, ενώ η διαφορά τους Ε(ν) - ε(ν) μικραίνει συνεχώς, καθώς το ν μεγαί\ώνει ενώ η διαφορά Ε (ν) - ε (ν) πλησιάzει προς το Ο. Άρα το εμβαδόν του ΟΑΒ δεν μπορεί να είναι άλλο από το 1/3. Αυτή είναι σε αδρές γραμμές η μέθοδος του Αρχιμήδη, που αργότερα ονομάστηκε "μέθοδος της εξάντλη­ σης". Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου εξαρτάται από το αν θα μπορέσουμε να εκφράσουμε τα ε(ν) και Ε(ν) με εύχρηστους τύπους, πράγμα που γενικά δεν είναι καθόλου εύκολο! Ο Αρ:ιι:ιμιίδnς για παράδειγμα έλυσε το πρόβλημα στην περίmωση της παραβολής και της "σπείρας του Αρχιμήδη" αλλά χρειάσθηκε να περάσουν αιώνες για να βρεθούν "μαθητές" του Αρχιμήδη, που να λύσουν παρόμοια προβλήματα. Μόλις τον ένατο και δέκατο αιώνα οι Άραβες μαθηματικοί Τ:ιι:αμοίτ lμov Κο"ρά (836-901 μ.Χ.) και lμov Αλ-Χαίnι:άμ (965-1039) έλυσαν το πρόβλημα για τις f (χ) =..;χ και f (χ) =Κ! Χρειάσθηκε να φθάσουμε στο τέλος του 17ου αιώνα, για να φανεί επιτέλους, μέσα από τις εργασίες τομ Newton και του Leibnitz, η σχέση ανάμεσα στο ορόβλnμα το" τετραyωvισμο\1 και στο ορόβλnμα τnς εφαοτομέvnς, σχέση που συνήθως ονομάzουμε "θεμελιώδες θεώρημα το" ολοκλnρωτικο\1 ··

λοyισμο\1".

Πιο συγκεκριμένα: Το ολοκλήρωμα ή η αρχική συνάρτηση μιας συνάρτησης (π.χ. συνεχούς) έχει παρά­ γωγο που είναι ίση με την υπό ολοκλήρωση συνάρτηση. Το "πρόβλημα της εφαπτομένης", δηλαδή το πρόβλημα της παραγώγισης, οδήγησε, με τις εργασίες των πρωτοπόρων Newtoη και Leibηitz, αλλά και των διαδόχων τους, στη συστηματική ανάmυξη ενός λογισμού, που με τη σειρά του επέτρεψε την αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων τετραγωνισμού. Ένα πραγματικά μεγάλο βήμα, λοιπΌν, ήταν η ανακάλυψη της σχέσης ανάμεσα στο ολοκλήρωμα και την αρχική συνάρτηση. Αυτή η ανακάλυψη επέτρεψε την ενιαία επίλυση πολλών προβλημάτων τετραγωνισμού, που παί\ιότερα τα αvτιμετώπιzαν με διάφορα τεχνάσματα. Ταυτόχρονα αναmύχθηκαν και οι μέθοδοι υπολογι­ σμού των αρχικών συναρτήσεων, όχι βέβαια χωρίς δυσκολία, γιατί η αρχική συνάρτηση, είναι γενικά, λιγότε­ ρο στοιχειώδης από τη δοθείσα. Το πώς χρησιμοποιούμε τις αρχικές συναρτήσεις, για να βρίσκουμε εμβαδά είναι σήμερα ένα θέμα που το μαθαίνουμε στο σχολείο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/13


Έvvοια τοο Ολοκλορώματος

Γιατί όμως τα δύο αυτά προβλήματα, ο υπολογισμός του εμβαδού κάτω από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f και ο υπολογισμός μιας αρχικής συνάρτησης της f, συνδέονται τόσο στενά; Γιατί αναzητώντας 5 μια αρχική συνάρτηση φθάνουμε στην έννοια του εμβαδού; Αυτό θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε στη συνέχεια. Το πρόβλημα σε όλη του τη γενικότητα είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Ο περιορισμός των βλέψεών μας στις συναρτήσεις, που είναι συνεχείς σ' ένα κλειστό διάστημα του R, αnλοποιεί αισθητά το θέμα. Το πρόβλη­ μα μπορεί βέβαια να απλοποιείται αλλά δε γίνεται καθόλου τετριμμένο και η διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση του είναι ιδιαίτερα διδακτική, αφού μας οπλίzει με τα "εποmικά" όπλα, που είναι απαραίτητα για την αντιμετώπιση του γενικότερου προβλήματος. Διατυπώνουμε λοιπόν το πρόβλημα:

Έστω f μια σvνάρτnσn σvνεχός σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Υοάρχει σvνάρτnσn G ορισμένο εοίσnς στο [α, β] και τέτοια, ώστε να ιmιuει G'(x) f(x) yια κάθε χΕ[α, β]; =

Ας υποθέσουμε προς στιγμή όη η απάντηση είναι θετική. Τότε και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής G(x)+c θα είναι ί\ύση του προβλήματός μας, αφού (G(x)+c) · = G · (χ). Το γεγονός αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να επιλέξουμε αυθαίρετα την τιμή της συνάρτησης, που zητάμε, στο σημείο α. (Γιατί δίνοντας στο c όλες ης πραγματικές τιμές, το γράφημα της G "σαρώνει" την ταινία, που ορίzεται από ης ευθείες χ = α και χ = β).

Υ

I

Α ο

χ

ΣΧΗΜΑ3

το πρόβλημα τώρα είναι το εξής:

Έχοντας εοιλέ�ει το G(α) μοοροuμε να vοολοyίσοvμε τον τιμά τnς G σ' ένα άλλο σnμείο, ας οοuμε το . β; Υποθέτοντας πάντα όη η G υπάρχει και όη G · =f έχουμε, από το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορι­ κού λογισμού, εξασφαλισμένη την ύπαρξη ενός ξ στο διάστημα (α, β), για το οποίο ισχύει G (β) - G(α) = G · (ξ) (β - α) = f(ξ) (β - α) Αν βέβαια γvωρίzαμε το ξ τότε θα υπολογίzαμε και το G(β), αφού η f είναι γνωστή. Όμως δε γvωρίzουμε το ξ και θα μπορούσαμε σαν "λύση απελπισίας" να το διαί\έξουμε στην τύχη. Κάτι τέτοιο θα μας έδινε μια πο­ λύ χονδροειδή προσέyγιση της πραγμαηκής ημής της G στο β, εκτός αν η "αιώρηση" της f στο διάστημα [α, β] είναι ποί\ύ μικρή. Με τον όρο "αιώρηση της f στο [α, β]" θα εννοούμε εδώ τη διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της στο διάστημα αυτό. Για να αντιμετωπίσουμε αυτή τη δυσκολία μπορούμε να χωρίσουμε το [α, β] σε μικρότερα διαστήματα, ελ­ πίzοντας να περιορίσουμε την αιώρησή της f σ' αυτά. Για καί\ή μας τύχη, η αιώρηση μιας συνεχούς στο [α, β] συνάρτησης f, είναι ελεγχόμενη με την εξής έννοια: Αν ε είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, μπορούμε να χωρίσουμε το [α, β] σε υποδιαστήματα, που σε καθένα από αυτά η αιώρηση της f να είναι μικρότερη από ε. Έχει δηλαδή η f την παρακάτω ιδιότητα:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/14


Έννοια τοu Ολοιιλnρώματος

Μοοροι!με να έχο"με "οοδιοστόμοΊο ΊΟ" [ο, β] με όσο μικρό οιώρnσn θέλο"με, αρκεί ΊΟ "οοδιοστόμΟΊο οο" θα διολέξο"με να είναι ορκnά λεΟΊά. Ή σε οιο μοθnμΟΊικό yλώσσο: Γιο κάθε ε>Ο "οάρχει δ>Ο ΊέΊοιο, ώστε yιο οοοιοδόοοΊε σnμείο χ1 , χ2 ΊΟ" [ο, β] ι(Π[ι!ει: Αν lx1-x21 < δ ΊόΊε lf(x1)-f(x2) 1 < ε Η πρόταση αυτή ισχύει για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις σ' ένα κλειστό διάστημα του πεδίου ορισμού τους.

2. Προσέyyισn τοv nροβλιίματος βιίμα nρος βιίμα. Σvvδεσn αρχικός σvvάρτnσnς ·

και εμβαδοv. Διατυπώνουμε και πάλι το πρόβλημά μας:

Ι'νωρίzο"με ΊD σ"νεχό σωνάρΊnσn f και θέλο"με να βροι!με μια ορχικό σωνάρΊnσn G Ίnς f. Ας επιλέξουμε τυχαία την τιμή G (α) και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή της G σ' ένα σημείο β: Από το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού έχουμε: G(β) - G(α) = G · (ξ) (β - α) = f(ξ) (β - α)

(1)

Αν γvώριzαμε το ξ, θα βρίσκαμε το G(β): G(β) = f(ξ) (β - α) + G(α). ·

Αν επιλέξουμε το ξ τυχαία, τι σφάλμα κάνουμε; Μπορούμε να το εκτιμήσουμε; Θ

Α

m

Β

-������� -���� r

κ

β

v

α

Ν

ΣΧΗΜΑ4

m

Αν m είναι η ελάχιστη τιμή της f στο [α, β] και Μ η μέγιστη τιμή της στο ίδιο διάστημα, τότε θα είναι: f(ξ) � Μ άρα m(β - α) � f(ξ) (β - α) � Μ( β - α) (2)

Η "κάτω" προσέγγιση είναι: s1 = m(β - α) και αν η συνάρτηση f παίρνει θετικές τιμές στο [α, β], εκφράzεται από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΔΓΝΚ. 6 Η "άνω" προσέγγιση είναι: 51 =Μ(β-α) και εκφράzεται από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΝΚ. Το σφάλμα θα είναι σ1 = (M-m) (β - α) το πολύ και εκφράzεται από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Να λοιπόν, που αναzητώvτας μια αρχική συνάρτηση της f, εμφανίzοvται τα εμβαδά ορθογωνίων "πάνω" και "κάτω" από την καμπύλη που παριστάνει την f. Αυτό μας δίνει ήδη την ιδέα ότι η αναzήτηση μιας αρχικής συνάρτησης της f συνδέεται με το εμβαδόν του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Βλέπουμε ότι το σφάλμα εξαρτάται από τη διαφορά M-m, που θα την πούμε αιώρηση της f στο [α, β]. Θα προσπαθήσουμε να βελτιώσουμε την προσέγγιση θεωρώντας ένα ενδιάμεσο σημείο γ. Η ιδέα είναι, ότι η αιώρηση της f στα διαστήματα [α, γ] και [γ, β] δεν μπορεί να υπερβαίνει την αρχική αιώ­ ρηση M-m, αφού το Μ είναι ολικό μέγιστο και το m ολικό ελάχιστο της f. Με τρόπο όμοιο μ' αυτόν που μας οδήγησε στη σχέση (1), οδηγούμαστε σης παρακάτω σχέσεις, εφαρμό­ zοvτας το θεώρημα της μέσης τιμής στα [α, γ] και [γ, β]: G(γ) =f(ξ1) (γ - α) + G(α) G(β) =f(ξ2) (β - γ) +G(γ)

το ξ1 ανήκει στο [α, γ] το ξ2 ανήκει στο [γ, β]

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/15


Έννοια τοο Ολοκλnρώpατος

και προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε: G(β) = f(ξ1 ) (γ - α) + f(ξ2) (β-γ) + G(α). Στο [α, γ] έχουμε: άρα m 1 (γ - α) :s f(ξ1) (γ-α) :s Μ (γ-α) m1 :s f(ξ1 ) :s Μ Στο [γ, β] έχουμε: άρα m :s f(ξ2) ::;; Μ 2 m (β-γ) ::;; f(ξ2) (β-γ ) ::;; Μz(β - γ). Επομένως: m 1 (y-α) + m(β-γ) ::;; f(ξ1 ) (γ-α) + f(ξ2) (β - γ) ::;; Μ(γ - α) + Μ2(β - γ). Βελτιώθηκε άραγε το σφάλμα; . Ας δούμε την "κάτω" προσέyγιση: Στο πρώτο βήμα ήταν: s1 =m(β-a) και στο δεύτερο βήμα: s2 = m 1 (γ-α) + m(β-γ) ;?: m(y-α) + m(β-γ) = m(β-α) =s1 (αφού m1 ;?: m) Αυξήθηκε λοιπόν (άρα βελτιώθηκε) κατά το εμβαδόν του ΔΕΖΗ. Ας δούμε και την "άνω" προσέyγιση: Στο πρώτο βήμα ήταν: 51=Μ(β-α) και στο δεύτερο βήμα: 52 = M(y - α) + Μ2(β - γ) :s M(y - α) + Μ(β - γ) = Μ(β - α) � 51 (αφού Μ ;?: Μ2) Μειώθηκε λοιπόν (άρα βελτιώθηκε) κατά το εμβαδόν του ΘΒΙΛ. Το νέο σφάλμα θα είναι: σ2 = Μ(γ-α) + Μ 2(β-γ) - m1 (γ-α) -m(β-γ) = (Μ2-m) (β - γ) + (Μ-m1) (γ-α) :s (M-m) (β-γ) + (M - m) (γ - α) = (M - m) (β - α) = σ1 . Το σφάλμα λοιπόν βελτιώθηκε και εκφράzεται τώρα από το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων ΑΘΖΕ και ΛΙΓΗ. Τελικά λοιπόν ισχύουν οι ανισότητες: m(β - α) :s m1 (γ-α) + m(β-γ) :s f (ξ1 ) (γ - α) + f(ξ2) (β - γ) ::;; M(y - α) + Μ 2(β-γ) ::;; Μ(β - α)

Αν συνεχίσουμε θεωρώντας ένα ακόμη ενδιάμεσο σημείο, η προσέyγιση θα βελτιωθεί ακόμα περισσότερο. Αυτό μας δίνει την ιδέα να ξεκινήσουμε τη διαδικασία που ακολουθεί: Πραγματοποιούμε μια διαpέρισn του διαστήματος [α, β] , χωρίzοντας το [α, β] με τα "ενδιάμεσα σημεία" χ 1 < χ2 < ... <χ..,_1 σε ν κλειστά υποδιαστήματα: [Χο, χ1 ], [χ1 , χ2], ... , [χ..,_1 , χ..,] , όπου χσ=α και χ..,=β . Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα η f έχει ελάχιστη τιμή μί και μέγιστη Μί. Είναι φανερό ότι m :s μi και ί Μ ::;; Μ για κάθε i=l, 2, ... , ν. Σε κάθε διάστημα [�_1 , χί] υπάρχει αριθμός zi, τον οποίο όμως δε γvωρίzουμε, που είναι τέτοιο ώστε:

ν

Αν γvωρίzι:ιμε τα zt, θα αθροίzι:ιμε τις ισότητες αυτές και θα βρίσκαμε: G(β)-G(α) = Σ f(zJ (Xj - Xj_ 1 ) ί= 1 Θα βρίσκαμε δηλαδή το G(β) Φαίνεται λοιπόν ότι πρέπει να μελετήσουμε το άθροισμα, που εμφανίzεται στο δεύτερο μέλος. Τονίzουμε πάλι ότι στην περίmωση που η f παίρνει θετικές τιμές, το δεύτερο μέλος είναι ένα άθροισμα από εμβαδά ορ­ θογωνίων με βάση το διάστημα [χί_1 , �] και ύψος f(z). Βάzουμε δί=χΓχί-l και για τ"χόv ξί του διαστήματος [χί, χί_1 ] έχουμε: ν

i= l, 2, ... , ν ν

ν

Αθροίrοvτας αυτέςτις αvισότrnες βρίσκοuμε: m (β-α) s Σ lJi � S Σ f( ξJ � s Σ Μί � s Μ (β - α) (3) ί 1 ί 1 i= 1 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κπ. τ.

=

3/16


Έvvοια τοu Ολοκλnρώpατος

α

ΣΧΗΜΑ5

v

το άθροισμα s = Σ

i= 1 v

lli

χι χ2 χ3

& λέyει:αι κάιω άθροισμα mς διαμέρισης

το άθροισμα S = Σ Mi & λέyει:αι άνω άθροισμα mς διαμέρισης

v

i= 1

το άθροισμα Σ f(ξ) & λέyεrαι άθροισμα Riem aan mς διαμέρισης

i= 1 Ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς δί λέγεται εύρος της διαμέρισης Ο μεγαλύτερος από τους αί= Μ Γμί λέγεται αιώρηση της διαμέρισης. Η σχέση (3) γράφεται λοιπόν: v m (B - α) s ss Σ f(ξ) & s S s M (B - α) (4) i= 1 Η σχέση (4) οδηγεί mη μελέτη των αθροισμάτων, όπως αυτά που εμφανίzονται μεταξύ των m(Β-α) και Μ(!Ηι). Παρατηρούμε πάλι ότι αν τα f(ξi) είναι θετικοί αριθμοί, τότε καθένας από τους όρους (Xj-Xi_1 )f(ξi) είναι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με Βάση, που έχει μήκος χΓχί_1 , και ύψος , που έχει μήκος f(ξi). Η παρατήρηση αυτή μας δίνει μια αρκετά πειmική εξήγηση για την αναμενόμενη σχέση του προβλήματος της εύρεσης της G και του προβλήματος του εμβαδού του χωρίου "κάτω" από τη γραμμή y=f(x). Μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση που ακολουθεί:

Οποιαδιίποτε ακολο"8ία (Dv) διαμερίσεων και αν 8εωριίσο"με, αν ο ακολο"θία των ε"ρών (δv) έχει όριο το μοδέν, τότε ο αντίστοιχο ακολο"θία αθροισμάτων έ:ιι:ει το ίδιο πά­ ντοτε όριο. Πιο συγκεκριμένα , αποδεικνύεται η εξής πρόταση:

Πρότασο (D) Αν (Dv) είναι μια οποιαδιίποτε ακολο"8ία διαμερίσεων το" [α,β], (δv) ο αντίστοιχο ακο­ λο"8ία ε"ρών και (sv), (Sv) οι αντίστοιχες ακολο"8ίες των κάτω και άνω ά8ροισpάτων τότε: από limδv Ο έ:ιι:ο"με: limsv limSv Α. =

=

=

Με άλλα λόγια: Αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε ακολουθία διαμερίσεων του [α, Β] με τη μοναδική απαίτηση v η αντίmοιχη ακολουθία των ευρών να τείνει mo μηδέν, το όριο του Σ f(ξJ & θα είναι πάντοτε το ίδιο παρ' i 1 όλο που τα ξί επιλέγονται αυθαίρετα! Ο αριθμός Α, που προκύπτει από οποιαδήποτε ακολουθία διαμερίσεων (Dv) με τη μοναδική προϋπόθεση limδv Ο, λέγεται ορισμένο ολοκλιίρωμα τος f στο [α,β] και συμβολίzεται με: =

=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/17


Έvvοια τοu Ολοκλaρώpατος

και αν n f είναι θετικιί στο [α,β], ανι:όν ακριβώς 'ΙΟν αρίθμό θα ονοpάσοvμε εμβαδόν 'IOV χω­ ρίοv, nov nερικλείεται αοό 'ΙΩ yραφικιί nαράστασn 'ΙΩς f και 'ΙΙς εvθείες χ α, 8 και y Ο. =

v

:ιι: =

=

Η σημαντική αυτή πρόταση μας δίνει μεγάλη ελευθερία στην επιί\ογή των Σ f(ξ) � i= 1

Κάθε φορά που θα βρίσκουμε μια βολική ακολουθία διαμερίσεων, θα καταφέρνουμε να βρίσκουμε το αντίστοιχο ορισμένο ολοκλήρωμα και συνεπώς το zητούμενο εμβαδόν. Ο Αρχιμήδης για παράδειγμα έλυσε όπως είδαμε το πρόβλημα στην περίmωση της παραβολής και της "σπείρας του Αρχιμήδη" και οι Αραβες μα­ θηματικοί Τχαμπίτ lμπν Κουρά και Ιμπν λλ-Χαϊτχάμ έλυσαν το πρόβλημα για ης f (χ) = γχ και f (χ) = χ4. Πόσες όμως συναρτήσεις μένουν ακόμα; Με την πρόταση (D) κάναμε λοιπόν ένα σημαντικό βήμα αλλά δε λύσαμε ακόμα και πολλά προβλήματα. Χρειάzεται να προχωρήσει κι άλλο η θεωρία! Συμφωνα5μενα βά1οομε 'Ετm το σύμΒολο

J:

J:

f (ο) .ι..

=

Ο

...

J:

f(o) .ι..

=

-ι:

f (o) .ι..

ι (χ) dx έχεΙ νόημα για οποιουσΜnοτε αριθμούς α, 6, που ανήκουν σ' ένα διάστημα,

όπου η f είναι συνεχής. Ας θυμηθούμε τώρα τη σχέση

m(β - α) :s; s :s; S :s; Μ(β - α),

ms

J:

ι(χ) dx

β-α

s M.

Όμως η f είναι συνεχής και σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιαμέσων ημών θα παίρνει όλες ης τιμές στο διάστημα [m,M]. Θα υπάρχει λοιπόν ένας αριθμός ξΕ[α,β] τέτοιος, ώστε να ισχύει:

f

. β

f(ξ) =

ι(χ) dx

0

β-α

ή και

/.6

f (χ) dx = f (ξ) (β- α)

(5)

Αν κάποιος μας φανέρωνε αυτό το ξ, τότε θα βρίσκαμε και την τιμή του ολοκληρώματος! Δυστυχώς όμως η πρόταση, που μόλις αποδείξαμε, μας βεβαιώνει μεν για την ύπαρξη ενός τουλάχιστον τέτοιου ξ αλλά δε μας λέει τίποτα για το πώς θα το βρούμε. Είναι πάντως μια ποί\ύ σημαντική πρόταση γνωστή με το όνομα: "Θεώρnpα 'lnς Μέσος Τιpιίς 'IOV Ολοκλnρω"Ιικοv Λοyισμοv". Από το θεώρnμα αΙΠό €nετm όrι : 1W

ι (χ) > Ο αο [α, 6], τάε ια>ώει :

J:

ι (χ) dx> Ο (6)

Στην περίmωση αυτή το θεώρημα λέει ότι το εμβαδόν του χωρίου, που ορίzεται από τον χ · χ, τη γραφική παράσταση της f και ης ευθείες με εξισώσεις χ=α και χ= β, είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, που έχει διαστάσεις με μήκη β-α και f(ξ). Στο παρακάτω σχήμα λοιπόν, το εμβαδόν του διαγραμμισμένου χωρίου είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο διάστικτων χωρίων.

ΣΧΗΜΑ 6 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/18


Έννοια τοιι Ολοιιλaρώpατος

Το θεώρημα της μέσης τιμής δεν μας λέει ότι το ξ, του οποίου βεβαιώνει την ύπαρξη, είναι μοναδικό. Λέει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ξ. Θα αποδείξουμε τώρα ότι αν α<β<γ και η f είναι συνεχής στο [α,γ], τότε:

Πράγματι · για να ορίσουμε το πρώτο μέλος, ας πάρουμε μια ακολουθία διαμερίσεων στις οποίες το β να είναι πάντοτε άκρο κάποιου υποδιαστήματος. Το dθροισμα Σδif(ξ) το σχετικό με το [α, γ], θα απαρτίzεται από δύο άλλα αθροίσματα, από τα οποία το πρώ­ το θα περιέχει όλους τους όρους με ξ Ε [α, β] και το δεύτερο μέλος όλους τους όρους με ξ Ε [β, γ] . Οι δύο αυτοί όροι τείνουν αντίστοιχα προς τα ολοκληρώματα του β · μέλους της (7), εvώ ολόκληρο το άθροισμα τείνει προς το ολοκλήρωμα του α · μέλους. Έτσι η (7) ισχύει και μπορεί μάλιστα να γραφτεί με τη μορφή του Chasles:

Η μορφή (8) είναι χρήσιμη, γιατί μας λέει ότι η σχέση αυτή, και κατά συνέπεια η σχέση (7), ισχύει ανεξάρ­ τητα από τη διάταξη των α, β, γ. Ας δούμε τώρα τη λύση του προβλήματος, που βάλαμε στην αρχή, το οποίο και υπενθυμίzουμε:

Έο1:ω f μια σνvάρτnσn σνvε:ιιιiς σ' ένα κλειστό διάστnμα [α,β). Υnάρχει σνvάρτnσn G ορισμέvn εnίσnς στο [α,β) και τέτοια, ώστε vα ισχvει G (:ιι) f(x) yια κάθε :ιι Ε [α,β); '

=

Έστω λοιπόν μια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β]. Για κάθε χ Ε [α, β] θέτουμε:

Έστω τώρα h τέτοιο, ώστε χ + h Ε [α, β]. (Δηλαδή Ο ::5 h

G

(χ + h) - G (χ) = h

::5

fx + h dt- fx f(t)

α

"

h

f (t)

f (t) dt -

+

f(t) dt

α

xf dt Jx + h Jx dt f (t)

β - α). Έχουμε:

h

"

+ h �tJ. ιω dt χ

Όπως είδαμε πιο πάνω (σχέση (5)), θα υπάρχει ξ Ε [χ, χ + h] τέτοιο, ώστε να ισχύει: f (ξ) =

� fx +h f (t) dt χ

Το ξ όμως μπορεί να γραφτεί: ξ = χ + θh με Ο ::5 θ :::;; 1 άρα, G (χ + h) - G (χ) = f (χ + θ h) και im G (χ + h) - G (χ) = im f (χ + θ h) = f (χ) γιαrί η f είvαι σuvεχής. h --+ 0 h --+ 0 h h Άρα G · (χ) = f(x). Φθάνουμε έτσι στο θεμελιώδες 8εώρnμα τοιι ολοκλnρωτικοv λοyισμοv: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/19


Έννοια τοιι Ολοκλορώpατος

J:

Av ο σuvάρτοσο f είναι σuvεχιίς στο διάστομα [α,β], τότε ο σuvάρτοσο oou ορίzεται στο διάαταμα [α, Β[ και Πει Wκο GW ·

yια κάβε χ τοu [α,β] ισχuει: G '(x)

=

=

f Ctl .ιι είvαι μια αρ•ικό """άρτασn τaς f (δαλαδιi

f(x))

J:

Είναι τώρα φανερό όη και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής G(x) + c με c Ε IR θα είναι επίσης μια αρχι­ κή συvάρ<ηση mς Ι και θα έκοuμε: G (x) + c �

Ι (� dt νια χ�α βρίσκουμε G(α) +c�O. Άρα c�-G (α).

Καταλαβαίνετε όη η πρόοδος, που έγινε για το πρόβλημα του υπολογισμού των εμβαδών, είναι τεράστια, αφού ανάγει το πρόβλημα στην αναzήτηση μιας αρχικής συνάρτησης! Για παράδειγμα το πρόβλημα του εμβα­ δού της παραβολής, που συzητήσαμε στην αρχή, ανημετωπίzεται τώρα ως εξής: Μια αρΧΙκή συνάρτηση της χ2 είναι η G(x) =x3/3, άρα το εμβαδό που zητούσαμε είναι G(1)-G (0) = 1/3. Με την πρόοδο της θεωρίας μπορείτε σήμερα, χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, να λύσετε τα προβλήματα που χρειάσθηκαν 1200 χρόνια μετά από τον Αρχιμήδη για να λυθούν από τους πιο σημαντικούς μαθημαηκούς εκείνης της εποχής, τους Άραβες μαθημαηκούς Τχαμοίτ lpov Κοuρά και lpov Αλ-Χαίτχάμ! Τι είναι λοιπόν η ολοκλήρωση; Σης πιο απλές μορφές της, που είναι άλλωστε και οι μόνες που μας απασχόλησαν εδώ, είναι μια διαδικα­ σία άβροισος, η οποία επιτρέπει να δοθεί κάποιο νόημα σε αθροίσματα, των οποίων το πλήθος των προ­ σθετέων αυξάνει απεριόριστα, ενώ το μέγεθος καθενός από τους όρους τείνει προς το μηδέν. Η γεωμετρική ερμηνεία αυτών των εκφράσεων, μας επιτρέπει σε ορισμένες περιπτώσεις να ης θεωρή­ σουμε μέτρα εμβαδών ή όγκων. Φθάνουμε έτσι σε μια όψη της θεωρίας της ολοκλήρωσης, όπου το ολοκλή­ ρωμα εμφανίzεται σαν μια συνάρτηση, που αντιστοιχίzει αριθμούς (τα εμβαδά π.χ. ή τους όγκους) σε ορισμέ­ να σύνολα σημείων. Για παράδειγμα, όταν f είναι μια συνεχής συνάρτηση θετική στο [α,β] , το εμβαδόν του χωρίου Δ � { (χ, y): α ,; χ ,;

6, Ο ,; y ,; Ι(χ) } δfvε<αι από το

f.'

Ι (� d

Μια άλλη όψη της θεωρίας αυτής μας επιτρέπει να θεωρήσουμε όη το ολοκλήρωμα αντιστοιχίzει σε κά­ ποια συνάρτηση f (που έχει ορισμένες ιδιότητες) άλλες συναρτήσεις, που έχουν παράγωγο την f. Αν για παράδειγμα η I εfναι συνεχής, έχουμε Γ � g = I �

J:

g ω dt + c

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1 . Το πρόβλημα της ύπαρξης ενός "καθολικού μέτρου" για τους χώρους IRn έθεσε το 1 9 14 ο Felix Hausdorff (ένας από τους θεμελιωτές της Γενικής Τοπολογίας). Ο ίδιος απέδειξε με απαγωγή σε άτοπο τη μη ύπαρξη καθολικού μέτρου για η � 3. Η κατασκευή καθολικών μέτρων για ης περιmώσεις η = 1 και η = 2 οφείλεται στον Πολωνό μαθημαηκό Stefaη Baηach. Εμφαvίzεται έτσι μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επιπέδου (η = 2) και του τρισδιάσταrου χώρου (η = 3), η οποία είναι εποmικά ανεξήγητη! Μελετώντας το πρόβλημα της μη ύπαρξης καθολικού μέτρου για η � 3, ο Banach έφθασε (σε μια κοινή εργασία του με την Alfred Tarski, ηου δημοσιεύθηκε το1923) στο παρακάτω "παράξενο" θεώρημα, που αναφέρεται από τότε με το όνομα "Παράδοξο των Baηach-Tarski": Αν Α και Β εί­ ναι δύο περατωμένα υποσύνολα του IR.n, η � 3 με ένα τουλάχιστον εσωτερικό σημείο το καθένα (π.χ. δύο σφαίρες με διαφορετική ακτίνα), τότε μπορούμε να διασπάσουμε το καθένα σε ίσο οεοερασμέvο πλήθος υποσυνόλων, Α1, . . . , � και Β1, . . . , Bm έτσι, ώστε τα υποσύνολα του ενός να προκύmουν από τα αντίστοιχα υποσύνολα του άλλου με μεταφορά. Τα Α και Β λέγονται τότε ισοδύναμα κατά πεπερασμένη διάσπαση. Η θε-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/20


Έvvοια το" Ολοιιλnρώpατος

μελιώδης διαφορά του επιπέδου και του χώρου μεταφράzεται λοιπόν με προτάσεις όπως η εξής: Δύο επίπεδα πολύγωνα, που το ένα περιέχεται στο άλλο, δεν είναι πότε ισοδύναμα κατά οεοερασμένn διάσπαση, ενώ αντίθετα δύο πολύεδρα είναι πάντοτε ισοδύναμα κατά πεπερασμένη διάσπαση! Το "ηθικό δίδαγμα" του θεω­ ρήματος αυτού είναι ότι χρειάzεται εξαιρετική προσοχή στον ορισμό και το χειρισμό εννοιών, όπως το εμβα­ δόν, ο όγκος κ.τ.λ. 2. Σε ποια υποσύνολα Θ του Ρ(Ε) είναι λογικό να zητήσουμε τον ορισμό μιας προσθετικής απεικόνισης; Μια πρώτη απαίτηση είναι βέβαια η εξής: Αν τα Α και Β είναι στοιχεία του Θ, τότε και η ένωσή τους να είναι στοιχείο του Θ. Επειδή εξ' άλλου το AUB είναι ένωση των συνόλων Α και Β-Α, που είναι ξένα μεταξύ τους, φαίνεται λογικό να απαιτήσουμε το Β-Α να είναι και αυτό στοιχείο του Θ. Αυτές οι δύο συνθήκες αποδείχθηκε ότι είναι η κατάλληλη δομή για το Θ και όχι μόνο στην περίmωση, που το Ε είναι το επίπεδο αλλά και ένα οποιοδήποτε σύνολο. Το Θ, που ικανοποιεί τις δύο αυτές συνθήκες, λέγεται δαιιτvλιος ΊΟ\! Μοοvλ. 3. Η μέτρηση είναι μια δραστηριότητα, που αναπτύχθηκε από όλους τους aρχαίους πολιτισμούς, όμως τα μαθηματικά άρχισαν πολύ αργά, μόλις στις αρχές του αιώνα μας, να οικοδομούν μια σαφή θεωρία για την μέ­ τρηση. Η εμφάνιση μιας καλής θεωρίας μέτρου καθυστέρησε, γιατί η κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τον Εύδοξο δεν έγινε κατανοητή παρά στο τέλος του περασμένου αιώνα. Την εποχή αυτή, η σχεδόν ταυτόχρονη εμφάνιση τnς θεωρίας των συνόλων και μιας καλής θεωρίας για τους πραγματικούς αριθμούς δη­ μιούργησε τις κατάλληλες συνθήκες για την ανάmυξη mς σύγχρονης θεωρίας μέτρου. 4. Σας θυμίzουμε τον τύπο 1 2 + 22 + . . . + if = ν (ν

+

1 ) (2ν + 1 )/6

5. Συνήθως ακολουθείται η αντίστροφη πορεία: Ξεκινώντας από μια "διαισθητική" έννοια του εμβαδού κα­ ταλήγουμε στη σχέση που συνδέει το εμβαδόν με την αρχική συνάρτηση. Η πορεία αυτή, επίσης, είναι ιδιαίτερα "αποΚ:αλυmική" και ιστορικά οδήγησε στην ανακάλυψη του "θεμελιώδους θεωρήματος" του ολοκληρωτικού λογισμού. Συνήθως όμως δεν εκτίθεται κατά ικανοποιητικό τρόπο. Ο μεγάλος Άγyλος μαθηματικός G.H.Hardy ( 1877-194 7) στο περίφημο βιβλίο του ''Α Course of PURE ΜΑ1ΉΕΜΑτiCS" εκθέτει το θέμα με τη συνηθισμένη γι' αυτόν προσοχή, σαφήνεια και απλότητα. Το μεταφέρουμε σε κατά λέξη μετάφραση. § 148. Εμβαδά εοιοέ­ δων καμοvλων Μια από τις πιο σημαντικές εφαρμογές mς διαδικασίας ολοκλήρωσης που εκθέσαμε προη­ γουμένως (μιλάει για το αόριστο ολοκλήρωμα) είναι ο υπολογισμός των εμβαδών εοιοέδων καμοvλων. Ας υποθέσουμε ότι, το Ρ0ΡΡ ' (βλ. σχήμα) είναι το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης y = φ(χ), η οποία βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα των χ, το Ρ είναι το σημείο (χ, y) και Ρ ' το σημείο (x+h, y+k), όπου το h είναι θετικό ή αρνητικό (θετικό στο σχήμα). Το πρόβλημα είναι ο υπολογισμός του εμβαδού του ΟΝΡΡ0. Η έννοια του "εμβαδού" είναι από αυτές που απαιτούν μια ιδιαίτερα προσεκτική μαθηματική ανάλυση και θα επιστρέψουμε σ' αυτήν αργότερα. Για την ώρα θα τη θεωρήσουμε γνωστή. Θα υποθέσουμε ότι σε κάθε χωρίο όπως το ΟΝΡΡ0 μπορούμε να aντιστοιΧίσουμε ένα θετικό αριθμό ( ΟΝΡΡ0), που θα τον λέμε εμβαδόν του, και ότι αυτά τα εμβαδά έχουν ορισμένες προφανείς ιδιότητες, που υπαγορεύονται από την κοινή λογική, π.χ. ότι (PRP ' ) + (ΝΝ ' RP) = (ΝΝ · Ρ · Ρ), (Ν1ΝΡΡ1 ) < (ΟΝΡΡ0) , κ.λ.π . Θεωρώντας όλα αυτά γνωστά, είναι φανερό ότι το εμβαδόν του ΟΝΡΡ0 είναι συνάρiηση του χ, mν οποία ας συμβολίσουμε με Φ(χ). Η Φ(χ) είναι συνεχής συνάρτηση. Πράγματι έχουμε: Φ(x+h)-Φ(x) ,;, (NN ' P ' P) = (NN ' RP) + (PRP ' ) = hφ(x) + (PRP ' ). Όπως είναι φτιαγμένο το σχήμα το εμβαδόν του PRP ' είναι μικρότερο από hk. Αυτό δεν είναι απαραίτητα σωστό στη γενική περίmωση, γιατί το τόξο ΡΡ ' δεν πηγαίνει απαραίτητα μονότονα από το Ρ στο Ρ ' (βλ. το μικρό σχήμα) . Πάντως το εμβαδόν του PRP ' είναι οπωσδήποτε μικρότερο από lh lλ(h), όπου λ(h) είναι η μέγιστη απόσταση οποιουδήποτε σημείου του τόξου ΡΡ ' από την PR. Επειδή η φ(χ) είναι συνεχής συνάρτηση, θα έχουμε λ(h) --+0, όταν h--+0. Έτσι Φ(χ+ h)-Φ(χ) =h{φ(χ) +μ(h) } , όπου lμ(h) l :5λ(h) και λ(h)--+0, όταν h--+0. Από αυτά έπεται η συνέχεια της Φ(χ) . Έχουμε τώρα: φ , (χ) = irn

h-0

Φ(χ + h) - Φ(χ) h

= irn

h-0

{ φ (χ) + μ (h) } = φ (χ)

Δnλαδιί n ΊεΊμnμένn Ίnς καμοvλnς είναι n οαράyωyος ΊΟ\! εμβαδοv και ΊΟ εμβαδόν εί­ ναι ΊΟ ολοκλήρωμα ΊDς ΊεΊμnμένnς. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/21


Έννοια τοο Ολοκλaρώpατος

Ρ

ο

Νι

R

Ν'

Ν

Είμαστε τώρα έτοιμοι να διατυπώσουμε έναν κανόνα για τον υπολογισμό του εμβαδού του ΟΝΡΡ0 . Υπο­ λογίzουμε το ολοκλήρωμα Φ(χ) της φ(χ). Εμφανίzεται μια αυθαίρετη σταθερά, που την επιλέγουμε έτσι, ώστε Φ(Ο) =Ο. Το zητούμεvο εμβαδόν είναι τότε το Φ(χ) . Αν zητάμε το εμβαδόν του Ν1ΝΡΡ1, επιλέγουμε την σταθερά έτσι, ώστε Φ(χ1) = 0, όπου χ1 η τετμημένη του Ρ1. Αν η καμπύλη είναι κάτω από τον άξονα των χ, τότε το Φ(χ) είναι αρνητικό και το εμβαδό θα είναι η από­ λυτη τιμή του Φ(χ). 6. Αν η f δεν παίρνει θετικές τιμές στο [α,β], τα πράγματα διορθώνονται εύκολα, "κατεβάzοντας" τον χ · χ κάτω από το ελάχιστο της f. Θέτοντας δηίΊαδή f1 (χ) =f(x)-m.

Η EΠ ffiEΔH ΧΩΡΑ

Μια μαθηματική φαντασία στι� δύο διαστάσει� Edwin Α. Abbott

Η ΕΠΙΠ ΕΔΗ ΧΩΡΑ είναι μια χώρα σαν όλες τις άλλες χώρες του κόσμου. Έχει έναν ύψιστο άρχοντα, ανώτερους . . . λειτουργούς, την αριστοκρατία της, τους σοφούς της, το Η περίφημο Πανεπιστήμιό της, τους επαγγελματίες της, την Ε/7./ΠΕΔ.Η εργατική της τάξη, τα σπίτια της και τους νόμους της. Είναι ΧΩΡΑ όμως χωρίς ανάγλυφο, ένα απέραντο επίπεδο που κα'):οικείται Μια μαθημα'tιχfι φάντασtα στις δ'ύο διασtάσε�ζ από κάνονικά γεωμετρικά σχήματα. ι ι Οι εργάτες είναι ισοσκελή τρίγωνα, οι έμποροι ισόπλευρα, οι δ ικηγόροι-όπως και ο ήρωας του βιβλίου ο οποίος είναι ι [3 π ι παράλληλα και εξαίρετος μαθηματικός-τετράγωνα, οι γιατροί πεντάγωνα, η αρ ιστοκρατ ία κανονικά πολύγωνα και ο ι ι ι ι γυναίκες ευθείες γραμμές. Όλα κυλούν ήρεμα στην EΠill EΔH ΧΩΡΑ και στη ζωή του Ν!ΚΚΑΝ Τετράγωνου, ώσπου την παραμονή της τρίτης χιλιετηρίδας δέχεται την απρόσμενη επίσκεψη ενός παράξενου όντος: μιας Σφαίρας. Τα πράγματα παίρνουν τότε μια άπροσδόκητη τροπή ...

,

EDWIN Α. ΑΒΒΟΠ

,. .

Ένα διαχρονικό κλασικό έργο αιώνιας γοητείας

•••

Kirkus Reviews Σε όλα τα καλά βιβλιοπωλεία

Εκδόσεις ΝΙΚΚΑΝ, Τηλ: 60006 15

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/22


Ε ΚΔΟΣΕΙΣ

ΠΑΤΑΚΗ

Μ ΑΘ Η Μ ΑΤ Ι Κ Α Γ Ι Α ΤΟ ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

ΗΛΙΑΣ ΝΤΖΙΩΡΑΣ Α 1

f1

I" I A Τ I Σ Α C Σ Μ Ε Σ Α. 8

... ο ,

Σ Δ

Μαθηματικά-Ανάλυση

Μαθηματικά Α' Λυκείου

Γ' Λυκείου · Δέσμες Α', Β', Δ'

Μαθηματικά Γ' Λυκείου

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΥΡΙΠΙΩΤΗΣ Σ

Μαθηματικά Β' Λυκείου

• Όριο

;:; •, ι ο � Γ ξ V Ρ ! 1 Ι Ω ,. Η Σ

Α Μ Λ ΟΣ !

συνάρτησης,

! 'f Ο� Λ Φ!), Ν ! Δ h!

., ϊ Π:'-1 :'\Χ'S:'Ί: , "' ι ' t"'�·\ �ιl�ll :;;: -\

• Συνέχεια συνάρτησης, • Ακολουθίες

ιCι> Λ M ES O Δ O I, ι\0� '-' 1cl ;. � <ι. Σ CIΣ. A, .\Y T ft AIKiiΣ ( I Σ

• Πίνακες

'----�-----'

Θέματα

• Ορίζουσες

Ανάλυσης

• Γραμμικά συστήματα

Γ' Λυκείου

.__ _ _ _ _ _ _ __,

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

Π

ΓΙΑ !ΗΝ Α ΔΕΣΜΗ ι._ωpίο-Μt.δοδu/Ισf-<ι U.O λψcv(ς οο��tι<;: ΖSΟ αλu!:::ς ΟΟ><:Μ.:nς

Ακολουθίες για την Α' Δέσμη

Κεντρική Διάθεση : Σ. Πατάκης

Ολοκληρώματα

Ρ , ιϊ'* Ω Γ Ο Ι

Παράγωγοι

ΑΕ. Εμμ. Μπενάκη 1 6, 1 06 78 Αθήνα. Τηλ.: 38. 3 1 .078, Fax: 36.28.950


Η Γέννn σ n Ίων ΑΟΊ ρ ωv Βασίλης Δ. Καρακατσάvnς

Γνωρίzουμε ότι η ηλικία του Γαλαξία μας είναι 10 10 έτη, όμως υπάρχουν ακόμη aστέρες τύπου ο που ο χρόνος zωής τους είναι μικρότερος του 3 106 έτη . Οι aστέρες ΟΒ περιβάλλονται aπό πυκνά νέφη αερίου και σκόνης, διότι οι νέοι aυτοί κυανόλευκοι aστέρες δεν έχουν ακόμη aπομακρυνθεί aπό το λί­ κνο της γέννησής τους. Με υπέρυθρες παρατηρήσεις έχουμε ενδείξεις ότι aστέρες γεννιούνται σε γιγάντια συμπλέγματα μορια­ κών νεφών. Η μελέτη των aστέρων Τ. Tauή μας έδω­ σε τα εξής συμπεράσματα: 1) Οι aστέρες Τ. Tauri είναι ανάμεσα σε τοπικά συμπυκνώμaa αερίου και σκόνης. Ta σκοτεινά νέφη στα οποία βρίσκονται aστέρες aυτοί περιέχουν ιδιό­ μορφα φωτεινά νεφελώματα τα οποία δεν είναι πρω­ ταστέρες αλλά νέφη αερίου και σκόνης που έγιναν φωτεινά aπό την πρ6σmωσn aκηνοβολίaς. 2) Στα φάσματα των aστέρων Τ. Tauri επικρατούν οι έντονες γραμμές εκπομπής, που είναι ένδειξη ισχυρής χρωμοσφaιρικής δραστηριότητας η οποία συναντάται στα νεαρά άστρα. 3) Οι λαμπρότητες των aστέρων Τ. Tauri aλλά­ zουν μέσα σε λίγη ώρα. 4) Οι aστέρες Τ. Tauri έχουν πάρα πολύ μεγάλες ποσότητες λιθίου στις aτμόσφaιρές τους, που είναι καθαρή ένδειξη επιφανειακής δραστηριότητας και μικρής ηλικίας. 5) Οι φασματοσκοπικές ενδείξεις των aστέρων Τ. Tauri πaρουσιάzουν ισχυρούς aστρικούς ανέμους, άρα ισχυρή χρωμοσφaιρική δραστηριότητα. Ακολουθώντας τώρα τα πρώτα στάδια zωής ενός aστέρα περιγράφουμε όσο aπλούστερα μπορούμε. Σης πυκνές κεντρικές περιοχές του συμπυκνώματος η δυναμική κατάρρευση προχωρεί με μεγάλες ταχύ­ τητες. Οι πυκνές aστρικές περιοχές τείνουν να καταρ­ ρεύσουν ανεξάρτητα aπό ης σχεδόν υδροστατικές aστρικές περιοχές, σχημaτίzοντaς συγχρόνως αδια­ φανή πυρήνα. Η αδιαφάνεια του πυρήνα aυξάνει έτσι, ώστε η θερμότητα συμπίεσης δεν μπορεί να δια­ φύγει ως ακτινοβολία με το ρυθμό που δημιουργείται κατά την κατάρρευση, στη συνέχεια η πρόσmωσn του πυρήνα σraμaτά με ένα ισχυρό κρουστικό κύμα. Με­ τά aπό μερικά μεταβατικά φαινόμενα aπομένει ένα υδροστατικό aντικείμενο στο κέντρο του συμπυκνώ­ ματος, που είναι ο πρωτaστέρaς με aρχική μάza μό·

νο ι ο-3 Μ.Ο. (μάza ηλίου) , που συχνά όμως εμπλουτίzετaι aπό αέριο και σκόνη και η προσαύξη­ ση aυτή διαρκεί 105 έτη. Περιγράφουμε τα κεντρικά χαρακτηριστικά aπό μέσΟ προς τα έξω: 1 ) Ο πρωταστέρaς, δηλαδή ένας υδροστατικός πυρήνας. 2 ) Ένα κρουστικό κύμα που ακτινοβολεί στην επιφάνεια του πυρήνα και το οποίο επιβραδύνει το υλικό που εισρέει. 3) Ακολουθεί μία zώvn χωρίς σκόνη όπου τα φω­ τόνια aπό το κρουστικό κύμα θερμαίνουν το αέριο και εξaφaνίzουν τη σκόνη. 4) Ένα κέλυφος αδιαφανές aπό σκόνη, που με­ τατρέπει τα οmικά φωτόνια σε υπέρυθρα φωτόνια. 5) τ έλος η ψευδοφωτόσφaιρa σκόνης στην οποία τα υπέρυθρα φωτόνια διαφεύγουν aπό το προ­ σπίπον νέφος που τα περιβάλλει. Από ένα σπιτικό aστρονόμο η θέα του κεντρικού πρωταστέρa επισκοτίzεται aπό τη σκόνη αλλά ένας aστρονόμος υπέρυθρων βλέπει την ακτινοβολία aπό τη ψευδοφωτόσφaιρa σκόνης και ένας ρaδιοaστρο­ νόμος την aπηλλαγμένη σκόνης περιοχή έξω aπό το κρουστικό κύμα προσαύξησης. Είναι τρομερά συναρπαστικές οι παρατηρήσεις των πρώτων στα­ δίων του σχηματισμού ενός άστpου. Το νέφος aποσυνδέεται aπό το μαγνητικό πε�' J όταν έχει μεταφερθεί aρκετή στροφορμή ώm. va μπορέσει το καταρρέον νέφος να σχηματίσει είτε ένα διπλό σύστημα άστρων, ή ένα άστρο με το περιβάλ­ λον πλανητικό του σύστημα. Άρα η γέννηση, η zωή και ο θάνατος των άστρων είναι aπαραίτητα για να διατηρείται το υλικό μεταξύ των άστρων σε διαρκή δραστηριότητα. Όμως το πρωτοaστρικό μέσο, δέ­ Ομιο βaρυηκά στο Γαλαξία, παγιδεύει όλα τα βαριά στοιχεία που aποβάλλουν τα άστρα στο θάνατό τους. Ο σχηματισμός μιας νέας γενιάς άστρων και πλα­ νητών γίνεται, όταν περιοχές αερίου και σκόνης aρ­ κετά πυκνές και ψυχρές aποκτήσουν μεγάλη ιδιοβa­ ρύτnτα. Άρα πάντα η aρμονική συνεργασία μεταξύ της βαρύτητας και του δεύτερου νόμου της θερμο­ δυναμικής εμφυσά τη zωή στο υλικό μεταξύ των άστρων και δημιουργείται η γέννηση των νέων άστρων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

_

κη. τ.

3/24


Ασκήσεις Άλyε β ρα ς rιώρyος Κο'Ισιφάκης Ασκnσn ln:

Λvσn

Να λυθεί η εξίσωση: Jt - (1 + 2ν'2) χ+ 3 (ν'2-2) = ο

Λvσn

'Εχουμε: Δ = (1 + 2 Γ2 ) 2 -12 ( Γ2 -2) =

= 1 + 4 Γ2 + 8 - 12 Γ2 + 24 = 33 -8 Γ2 = = 32 - 2 . 4 Γ2 + 1 = (4 Γ2 ) 2 - 2 . 4 Γ2 . 1 + 12 = (4 Γ2 -1 ) 2 . Επομένως: �' 2 =

-β ± ΓΔ = 1 + 2 Y2 ± vf(4 Y2 - 1f = 2α 2·1

= 1 + 2Γ2 ± I4Y2-11 = 2

1 + 2Γ2 ± (4 Γ2-1) 2

= χι = 6VZ = 3 Γ2. � = 2-2VZ = 1 _ Γ2 2 2

Ο αριθμός 2 - Γs πρέπει να επαληθεύει την εξί­ σωση, δηλαδή (2-VS ) 2 + α(2- Γs ) + β = Ο � 4 4VS + 5 + 2α - αΓs + β = Ο � (9 + 2a + β) ­ (4 + α) Γs = Ο � (4 + α) Γs = 9 + 2a + β (1) Αν 4 + α ;ο! Ο, από (1) έχω: Γs =

ΕΙVαι '

αιοπο. '

Επομένως 4 + α = Ο ή α = -4. Γιο α =-4 όμως η (1) γίνεται 9 + 2(-4)+β = Ο ή 9-8 + β = ο ή β = -1. Άρα έχω α = - 4 και β = - 1. Θέτω στην εξίσωση α = - 4 και β = -1, οπότε γράφεται χ2 -4χ-1 = Ο. Η εξίσωση αυτή έχει Δ = 20 > Ο και ρίzες χι = 4 + i20 = 4 + 2Γs = 2 + Γs 2 2

2 � = 4 - Γs = 2-Γs 2

Ασκnσn 2n:

9 + 2α+ β ' που = ρmος 4+ α

Να λύσετε την εξίσωση: (α2 + β2 + γΖ) χ2 + 2(α + β + γ)χ + 3 = Ο.

Ασκοσn 4n: .J

Αν α, β, γ είναι το μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να δειχθεί ότι η εξίσωση

Λvσn

Αν α = β = γ = Ο, τότε η εξίσωση γίνεται οχ2 + 2 Ο χ + 3 = Ο ή 3 = Ο, που είναι αδύνατη. if β2 --- = νΖ Αν ένας τουλάχιστον από τους α, β, γ δεν είναι μη­ χ+ 1 χ δέν, τότε έχουμε Δ = 4(α + β + γ)2 -12 (α2 + β2 + γΖ) = 4 (α2 + β2 + y2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ) -12a2 - δεν έχει πραγματικές ρίzες. 12β2 -12y2 = ... = -4 [(α-β) 2 + (α-γ) 2 + (β-γ)2] :5 Ο. Οπότε ον α = β = γ ;ο! Ο, έχω διπλή ρίzα, την Λώσn Πρέπει χ ;ο! -1 και χ ;οι Ο. Σ'αυτή την περίmωση η 2 (α + β + γ) 2 (3 · α) 1 χι = � ==-= εξίσωση γίνεται: α 2 (if + β2 + y2) 2 · 3if β2 αλλιώς η εξίσωση δεν έχει ρίzες. χ (χ + 1) _i__ - x(x + 1) = 1' χ(χ + 1) � χ+ 1 χ � α2χ -β2χ -β2 = y2x2 + y2x � Ασκοσn 3n: y2x2 + (y2 - α2 + β2)χ + β2 = Ο. Έ χουμε Δ = (γΖ -α2 + β2) 2 -4y2β2 = Να βρείτε τους ρητούς αριθμούς α και β ώστε η = (γΖ - α2 + β2 + 2βγ)(y2-a2 + β2 - 2βγ) = εξίσωση χ 2 + αχ + β = Ο να έχει ρίzο τον αριθμό = [(β + γ) 2 _ α2] [(β _ γ) 2 _ α2] = 2 - Γs . Ποια είναι η άλλη ρίzα της εξίσωσης; = (β + γ + α) (β + γ-α) (β-γ + α) (β-γ -α). ·

·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. τ.

3/25


/

Ασκιίσεις .1\λyεβρας

Επειδή α, β, γ μήκη tων πλευρών τριγώνου, έχω. β + α + ν > Ο, β + ν > α ή β + ν - α > Ο, β + α > ν ή β + α- ν > Ο, β < α + ν ή β-α - ν < Ο. Συνεπώς Δ < Ο και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίzες.

Λvσn

Έστω Χ ι, χ 2 οι ρίzες της πρώτης εξίσωσης και χι · ,χ2 ' οι ρίzες της δεύτερης εξίσωσης. Τότε θα έχω: χι = 2χι ' και χ2 = 2χ2 ' από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύmει το σύστημα

ιΧι + = 2�� + �� \χι · = 2χι · 2� Xz

Ασκnσn 5ο: Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί κ και λ (κλ ;ιι! Ο) τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί κ2 + 2λ, λ2 + 2κ να είναι τετράγωνα φυσικών αριθ­ μών.

/-� � +::) /2λ � \ \ =

.Υ = 4�' α α

Αν χι, χ2 είναι οι ρίzες της εξίσωσης χ2 + 10χ + 20 = Ο, να βρείτε το πρόσημο του αριθ­ ι μού χι + χ2 995

Λvσn

'Εχω S = χι + Xz =-� = - 10 = - 10 < Ο και

α

Ρ = χιXz = .Υ = 20 = > Ο.

1

α 1 Οπότε οι αριθμοί χι,χ2 είναι αρνητικοί. Έτσι έχω ι ι χ2 995 < Ο (αφού 1995 περmός) και χι + χ2 995 < Ο.

Ασκnσn 7n: Για ποιες τιμές των λ,μ η εξίσωση χ2 -(2λ + 1)χ + 2μ = Ο έχει ρίzες διπλάσιες από τις ρίzες τις εξίσω­ σης 2χ2 -(μ + 2)χ + λ + 1 = ο.

=

{2λ-

μ=1 � + 1=μ + 2 � 2μ = 2 (λ + 1) λ+ μ=1 1 -1 2 -1 1 1 -1 1 =3 = 2_ = 2 και μ = λ= 2 -1 1 1 -1 1

1 I

( )

Ασκnσn 6n:

+ 1 2μ 2

λ 1 2μ = 4· ___2_ 2

{2λ

Λvσn

Έστω ότι: κ2 + 2λ = χ2 (1) και λ2 + 2κ = ψ2 (2). Από την (1) έχω 2λ = χ 2 -κ2 ή λ = ,;. _ ι{l2 Οπότε η (2) γίνεται: ,;._ κ2 2 -- + 2κ = ψ2 η, χ4-�ι{2 + κ4 + 2κ = ψ2 η, 2 4 χ4-2χ2κ2 +κ4 + 8κ = 4ψ2 ή (χ2) 2 - 2κ2χ2 + κ4 + 8κ = (2ψ) 2 (3) Αφού όμως ψ Ε Ν, τότε 2ψ Ε Ν, οriότε πρέπει το πρώτο μέλος της (3) να είναι τετράγωνο ενός φυσι­ κού αριθμού (δηλ. tου 2ψ). Θέτουμε z = χ2 , έτσι το 1° μέλος της (3) γίνεται z2 - 2κ2z + κ4 + 8κ, που εί­ ναι ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως πρός z, που για να είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού, θα πρέπει Δ = Ο (αφού α = 1 = 12 ). Έχουμε Δ = Ο ή (-2κ 2 ) 2 - 4(κ2 + 8κ) = Ο ή 4κ4 - 4κ2 - 32κ = Ο ή -32κ = Ο ή κ= Ο, που είναι άτοπο γιατί κ ;ιι! Ο.

Xz

1 1

1

1

Ασκnσn 8n:

(

Να λυθεί το σύστημα 2ψ.;-ψ2 + 2χψ + 8ψ =Ο ψ = .; - 3χ + 2

Λvσn

Έχουμε

f2ψχ2 - ψ2 + 2χψ + 8ψ = ο � \Ψ = ,;. - 3χ + 2 /Ψ (� - ψ + 2χ + 8) = 0 \Ψ = ,;.-3χ+ 2

( ( { { {

ι

ψ=Ο η- � - ψ + 2χ + 8 = 0 ψ = .; - 3χ+ 2 ψ = .; - 3χ + 2

ι ( ( {

ψ =0 + 2χ+ 8 = 0 ή �-(.;-3χ+ 2) .; 3χ + 2 = 0 ψ = .;- 3χ + 2 , .;. + Sx + 6 = Ο ψ =Ο η χ= 1 ή χ = 2 ψ = .; - 3χ + 2

χ = 1 ή χ = 2 ή χ= - 2 ή χ= - 3 ψ=Ο ψ = ,;.-3χ + 2

χ= 1 ή χ = 2 χ=-2 ή χ =-3 ή ψ=Ο ψ = 12 ή ψ = 20

Επομένως οι λύσεις είναι (1,0) , (2,0) , (-2,12), ( 2,20), (-3,20), (-3,12).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/26


Ασκόσεις Αλyεβpας

.J

Όμοια για να τέμνει η ευθεία ψ = 2 τη γραφική παρόσταση της g(x), θα πρέπει το σύστημα

Ασκnοn 9n:

Av οι ρίzες της εξίσωσης αχ2 + βχ + ν = Ο (αν 0) f ψ = χ2 + 2χ+ 2λ-1 ή fχ2 + 2χ+ 2λ-3 = 0 είναι ανάλογες με τους φυσικούς αριθμούς μ και ν \ψ = 2 \ψ = 2 (μν 0), να αποδείξετε όη: να έχει λύση. μ + ν- + 2 = ­ β2 Συνεπώς πρέπει η εξίσωση χ2 + 2χ + 2λ- 3 =0 ν μ σy να έχει ρίzες, δηλ. πρέπει Δ 2:: Ο ή 4- 4 (2λ-3) 2:: Ο ή 4-8λ + 12 2:: ο ή --8λ 2:: - 16 ή λ :5 2 (2) Λvσn Από (1) και (2) έχω -9/4 :5 λ :5 2. Αν χι ,χ2 είναι οι ρίzες της εξίσωση(; τότε: χι � χι + � =-� (1), χι · � = _y (2) και = (3) Ασκnσn l ln: α μ ν α Από (1) και (3) έχω το σύστημα Δείξrε όη αν το τριώννμο f(x) = � + βχ + γ, α Ο, β v δε έχει ρίzες, τότε f(χι ) · f(x2) > Ο για κάθε χι,χ2 Ε R. χι + � = α <=> αχι + CIX2 =-β <=> . . . <=> Λvσn vχι - lJX2 = Ο χι = � Αφού το f(x) δεν έχει ρίzες, έχουμε Δ < Ο και μ ν συνεπώς α f(x) > Ο για κάθε χ Ε R. Επομένως για χι,χ 2 ER έχω α f(χι) > Ο και α f(x2 ) > Ο, δηλ. χι = αf(χι ) αf(χ2) > Ο ή α2[f(χι ) f(x2)] > Ο ή f(χι ) f(x2) > Ο α ( ν) (αφού α2 > Ο γιατί α 0). - βν �= α (ιi + ν) Ανη καθιστώ ης ημές χι , χ2 στην (2) , οπότε Ασκnσn 12n: έχουμε: β2μv = Υ ή βν βμ Δίνεται η εξίσωση αχ2 + βχ + y =0, α Ο, β Ο -ν ή και αν + βγ + y2 < Ο (1). Να δειχθεί όη έχει πραγ­ α (μ + ν) α (μ + ν) � cf (μ + ν)2 α ματικές ρίzες. (μ + ν)2 = β2α ή ή β2αμv = ψ (μ + ν)2 ή μv Λιlοn ψ Από m σχέση (1) αν + βγ + y2 < ο έχουμε μ2 + 2μv + v2 = β2 ή � + 2 + � = β2 y(α + β + y) < Ο. Παρατηρώ όη f(O) = ν και f(1) = μ γο γο ν μv α + β + y, οπότε f(O) f(1) = y (α + β + y) < Ο επομένως f (0) f(1) < Ο. Δηλ. το τριώνυμο παίρνει ετερόσημες τιμές στα σημεία Ο και 1, οπότε έχει Άσκnσn lOn: πραγματικές ρίzες, γιατί αν δεν είχε πραyμαηκές ρί­ zες τότε θα ήταν πάντοτε ομόσημο το α δηλ. � Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = χ2 + χ λ και α f(O) > Ο και αf(1) > Ο ή α2f(Ο) f(1) > Ο ή f(O) g(x) = χ2 .f. 2χ + 2λ - 1. Βρείτε ης ημές του λ, ώστε f(1) > Ο (α2 > Ο, γιατί α 0) . η ευθεία ψ = 2 να τέμνει nς γραφικές παραστάσεις και των δυο συναρτήσεων. Ασκnσn 13n: Λvσn � Η ευθεία ψ = 2 τέμνει τη γραφική παράσταση της Να βρεθεί σημείο Μ του τμήματος ΑΒ μήκους f(x) όταν το σύστημα: 10cm τέτοιο, ώστε το άθροισμα 2 (ΑΜ )2 + 3(ΜΒ) 2 να γίνεται ελάχιστο. f ψ = χ2 + χ-λ ή f χ2 + χ-λ-2 = 0 \ψ = 2 \ψ = 2 Λvσn έχει λύση. lo Θα πρέπει επομένως η εξίσωση χ2 + χ - λ -2 = Ο Α �====��====� Β Μ να έχει ρίzες δηλ. θα πρέπει.Δ 2:: Ο ή 12 + 4(λ + 2) 2:: ο ή 1 + 4λ + 8 2:: ο ή λ 2:: -9/4 (1) ;ο!

;ο!

-- {

\I

;ο!

( --­

·

��

[

][

·

·

·

;ο!

]

;ο!

;ο!

·

-

·

·

·

;ο!

__ κ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/27

·


Ασκόσεις Αλyεβρας

Έστω Μ το zητούμενο σημείο και χ η aπόστασή 'Άσκnσn 15n: του aπό το άκρο Α του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. j Να λυθεί η aνίσωση Τότε ΑΜ = χ και ΜΒ = 10 - χ. Οπότε 2(ΑΜ) 2 + 3(ΜΒ)2 = 2χ2 + 3(10 - χ)2 = . . . = 5χ2 - 60χ + 300. (χ + 2)1993 . (χ- 3)1995 < ο (1) Η ελάχιστη τιμή του τριωνύμου βρίσκεται, αν θέσω (5χ-2)1997 όπου χ = - � = 60 = 6 2a 10 Avσn Επομένως το άθροισμα 2(ΑΜ)2 + 3(ΜΒ)2 γίνεται Έχουμε: ελάχιστο, όταν ΑΜ = χ = 6 και ΜΒ = 10 - 6 = 4. (χ + 2)1993 . (χ- 3)1995 <ο (5χ-2)1997 �σκnσn 14n: (χ + 2)1992 . (χ + 2) (χ- 3)1994 (χ-3) < 0 <::> (5χ-2)1996 (5χ-2) Να βρείτε το σημείο Ρ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = γχ- 1 , που aπέχει την ελάχι­ (χ + 2)1992 . (χ- 3)1994 . (χ + 2) (χ-3) < ο (2) στη aπόσταση aπό το σημέιο Α(5,0). 5χ- 2 (5χ- 2)1996 1992 . (χ-3)1994 , Avσn Επειδη, (χ + 2) <!: Ο (yιarι;) 1996 (5χ- 2) Έστω Ρ(χ,ψ) το zητούμενο σημείο της γραφικής παράστασης της f, τότε είναι ψ = f(x) = γχ- 1 . Έχω: το πρόσημο της (2) εξαρτάται aπό το πρόσημο του (AJ>)2 = (χ - 5)2 + (ψ - 0)2 = (5 - χ)2 + ψ2 = κ?άq..ιαrος: (χ + 2) (χ-3) . ;, (5 - χ)2 + ( γχ - 1 � = 25 - 10χ + χ2 + χ - 1 = 5χ2 = χ2 - 9χ + 24. (χ + 2) (χ- 3) < <::> , Η παράσταση aυτή είναι τριώνυμο και επομένως οπσrε (2) <::> ο γίνεται ελάχιστη όταν 5χ-2 (χ + 2)(χ + 3)(5χ -2) < ο χ < - 3 ή - 2 < χ < 5. χ = - = . Για χ = , = ψ= 2 · 2 έχω 'Άσκnσn 16n: Άρα το zητούμενο σημείο είναι το <::;>

__:__ _ .:..__

c__ ____; ..:__

{Fl {f

Αν ένας παραγωγός ροδaκίνων μazέψει και πουλήσει σήμερα τα ροδάκινά του, τότε κάθε δέντρο aποδίδει κατά μέσο όρο 40 κιλά ροδάκινα και η τιμή πώλησης είναι 160 δρχ. το κιλό. Αν όμως τα μazέψει aργότερα, τότε για κάθε βδομάδα που περνάει κάθε δένδρο aποδίδει 5 κιλά περισσότερο αλλά η τιμή πώ­ λησης πέφτει κατά 10 δρχ. το κιλό. Μετά aπό πόσες εβδομάδες πρέπει να μazέψει τα ροδάκινα για να έχει το μέγιστο κέρδος;

ψ

'

χ

ο

ψ

'

<::;>

χ

Avσn Αν χ είναι οι εβδομάδες που zητάμε τότε το κέρ­ δος θα είναι ίσο με (40 +5χ)(160 - 10χ) = 6400 - 400χ + 800 χ - 50χ2 = - 50χ2 + 400χ + 6400 = -χ2 + 8χ + 128. Επειδή α = -1 < Ο, η f έχει μέγιστο για 8- = 4. χ= -� = -2a 2 (- 1) Άρα θα έχει μέγιστο κέρδος σε 4 εβδομάδες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/28


Λοyαριθμική Σvνάρτnσn Εξισώσεις - Ανισώσεις - Σvστήματα Εvα Σαί'τn

Dαρατιίρnσιι: Για τη λύση πολλών προβλημά­ των με λογάριθμους χρησιμοποιούμε τον τύπο αλλα­ Πριν προχωρήσουμε σrη λύση ασκήσεων με λο­ γής βάσης και την ιδιότητα γάριθμους, ας βεβαιωθούμε ότι έχουμε κατανοήσει τα �β = 1_, Ο < β 1, Ο < α ;ι! 1. εξής: bffi α ί. 109αθ = χ � αχ = θ όπου θ > Ο και Ο < α ;ι! 1. Εξισώσεις - Αvισώσεις

_

ίί. Αν Ο < α ;ι! 1 και θ > Ο, 1ο9aα = 1, 1o9a 1 = Ο, log θ 109a αχ =χ, α α = θ.

;ι'

Ασιmσn 1 Να υπολογισrεί η τιμή της παράσrασης

ίίί. Ισχύουν οι εξής βασικές ιδιότητες: 1οg0(θ 1 · θ2 ) = 1ο9aθ 1 + 1ο9aθ , Ο < α ;ι! 1, θ 1 ,θ > Ο 2 2 �

(�) = � θι - % �. 0 < α ;ι! 1, θι. � > Ο

�κθ" = � �θ, Ο < α ;ι! 1, θ > Ο, κ ;ι! Ο, λ Ε R κ θ � bfbθ = · -, Ο < α ;ι! 1, 0 < β ;ι! 1, θ > 0 �α (τύπος aNayής βάσης) 1� =�α

0 < β ;ι! 1, 0 < α ;ι! 1

Λιίσn bgβ6 - b9ι 576 =

b9I444

bQ;ι 4

= 1094,36 1094,144 - 1094,576 1094,9 = (1094,4 + 1094,9) · 1094,144 - (1094,4 + 1094,144) · 1094,9 = 1ο94,144 + 1ο94,9 · 1ο94,144 - 1ο94,9 - 1ο94,144 · 1ο94,9 = 1094,144 - 1094,9 = 1094,144/9 = 1094,16 = 1094, 42 = 2 ο

ο

Ασιmσn 2 Να συγκριθούν οι αριθμοί logv(ν+ 1) και logv + 1 (ν+2), νΕΝ*, ν > 1

Λιίσn ίν. Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = 1og0x, ο < α ;ι! 1 Έσrω Α = logv(ν+ l ) + Ιοgv+lν και • Β = logv + l(ν+2) + logv+lν ορίzεται για χ > Ο και σύνολο τιμών έχει το R • είναι αvτίσrροφη της αχ 1 Τόι:εΑ = bg_, (ν + 1) + >2 • είναι γνησίως αύξουσα όταν α > 1 bg_, (ν + 1) (οπότε αν Ο < κ < λ τότε 109ακ < 1ο9aλ) Β = 109v+ l (ν+2) + logv + lν = 109v+ l(ν+2) ν και γνησίως φθίνουσα όταν Ο < α < 1 = logv+l(vZ + 2ν) < logv + l(ν+ 1)2 = (οπότέ αν κ < λ τότε 1οg0κ > 1οg0λ) = 21ogv+ l (ν+ 1)= 2. Συμπέρασμα: 1og0x < Ο όταν Ο < χ < 1 και Άρα Α > Β δηλ . logv(ν+ 1) + logv+lν > 1og0x > Ο όταν χ > 1. • Είναι 1 - 1 (δηλ. αν κ,λ > Ο τότε 1ο9aκ = 1οg0λ logv +l(ν+2) + logv+ lν οπότε 1ogv(ν+ 1) > 109v + l(ν+2). � κ = λ) . ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κ η . τ .

3/29


Λοyαpιθμnικιi Σvvάpτnσn

Ασκοσο 3

Ασκοσο 5

Αν log1227 = α να υπολογιστεί ο lo9()16

Να γραφεί σε πιο απλή μορφή η παράσταση

(β� bgιcro α bgιcro. β)3 . bg� - α�

Λvσο bgs16 = bgs il = 4bgs2 = 4 bω2 2 = bm2 6 4 bω2 2 = = 4 bω2 2 (1) bffi212. 1 - bω2 2 2

Επίσης α = b9ι2 27 = b9ι2 j3 = 3bω2 3 = 3 bω2 12 4 = = 3 {1 - bω2 4) = 3 {1 -2 bω2 2) 3 - 6 bω2 2

Άρα bffiz2 = 3 - α

(2α + 3β)

Λvσο Πρέπει Ο < α 1 , Ο < β 1 και αβ 1 . Υπενθυμίzουμε ότι αν Ο < α 1, θ > Ο και κ �κ θ = l � θ και αbsaθ = θ κ bsιcro α bsιcro Β 1 . bg α 1 . bg Β bg · β α α bg B = β 3 bg α . α 3 bg B = ;ι!

;ι!

;ι!

;ι!

;ι!

Ο τότε

= βlβ αlβ = (αβ)lβ Επομένω� η πgpάσταση γίνεται: 1 (βα) /3 3Iog06 ( α + 3Β) = (βα)Ιοg06(2α + 3Β) = 2α + 3β. ο

6

4.3-α 6 = 4 (3 - α) Επομέvωςη (1) yίvεrαι: 3-α 3 + α 1-6

Ασκοσο 4 Να γραφεί σε πιο απλή μορφή η παράσταση:

·

Ασκοσο 6

[(

)]

Να γραφεί σε πιο απλή μορφή η παράσταση: 1,2 b!tβ + 1 1,2 b!tβ + 1 Ν= 1 + + 1 - 12�β 2%β 2%β

) (

-------­

� (β1,2 Dsβ a2) . bgα . � 100 (bg α . 2Dsz bg a) lQ . bg- 12 c}

Λvσο Πρέπει Ο < α 1 , log0β Ο δηλ β 1, β > Ο και lo9a β � Ο (για να ορίzεται ο log0112β) δηλ. (Ο < α < 1 και Λvσο Ο < β < 1 ) ή (α > 1 και β > 1 ) Πρέπει α > 1 (για να ορίzεται ο log2log0) και Η παράσταση γίνεται: ο<β 1 ( β-1f . I (bιaιβ + 1f Υπενθυμίzουμε την ιδιότητα: βlοgβα = α Ν = . I baι + Ο αριθμητής του κλάσματος γίνεται: 'I 2%β 'I 2%β %(βbffi α) · bg α · J2 � 10 - 12� Ν=

;ι!

;ι!

;ι!

)

(

;ι!

= lbaι

= � α · bgα · · ΓΙ_ = V2 bgα

Ύ�

Ο παρονομαστής γίνεται

(bgα . 2� bg α) lQ . = (bg α · bg α) lQ ·

ι

= lbaι β - � + (baι β + 1)

1

β = % όταν 1 < α s β ή ο < β s α < 1 \ 2 όταν 1 < β s α ή 0 < αs β < 1 /

-Jbg cl-

1 = bg α . 1 bg V2 α V2 bg α

=

ff

Άρα Ν = v'2bgQ = 2

ff

β - � + (baι β + 1) -J 2 baιβ = β -J2 baι

Ασκοσο 7 Να δειχθεί ότι log37 > log727

Λvσο qy27 = 3 qy3 = _3_ (�7 > ο). �7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/30


Λοyαpιθpnιιιό Σvvάpτnσn

Ζητάμε ισοδύναμα να δείξουμε ότι �7 > -3- δηλ ότι �7 > 3

.ι\.Jon Πρέπει Ο < 3χ .,. ι δηλ. χ > Ο και χ .,. 1

�7 ή ότι �7 > fi ή ότι 7 > 3.:3

Η εξίσωση γίνεται: log3x3 - log3xx

Παραmρούμε: fi < ι,75 = Ζ άρα 3.:3 < 3714 4 Συγκρίνουμε τώρα τους αριθμούς 3 714 και 7 ή ισο­ δύναμα τους αριθμούς 37 και 74. 74 = 24Οι και 37 = 2ι87. Επομένως 74 > 37 δηλ. 7 > 3714

δήλ 7 > 3.:3. Συνεπώς �7 > b!J727.

Με αλλαγή βάσης: �χ �χ = ι ι _ +

3

+ lo� χ = ι

_ _

�3χ �3χ δηλ ι - �χ + �χ = ι �3χ

Κάνοντας τις πράξεις προκύmει: log3x (lo�x + log3x - 2) = Ο δηλ. log3x(log3x + 2) (log3x- ι) = Ο από όπου έχουμε �χ = Ο άρα χ = ι ή �χ = -2 άρα χ = 1

ΠαραΊnριiσεις Για την λύση των λογαριθμικών εξισώσεων έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: i. Η εξίσωση lo9ax =β με Ο < α ι και χ > Ο έχει λύση την χ = α6 ή ίί. Η logαf(x) =β με Ο < α ι είναι ισοδύναμη με bιbx � l 6ρα χ � την έξίσωση f(x) = α6 όπου οι τιμές του χ ικανοποιούν την f(χ) > Ο. iii. Αν η εξίσωση είναι της μορφής f(logαx) = Ο μπορούμε να κάνουμε την αντικατάσταση y = lo9ax Ασκnσn 10 και κατόπιν να λύσουμε τις l09ax = yi όπου yi είναι οι Να λυθεί η εξίσωση λύσεις της f(y) = Ο. ίν. Η εξίσωση l09a(x)f(x) = logα(x)g(x) είναι ισοδύ­ �χ � �χ + � = ι 'γ1α χ > 1. ναμη με την εξίσωση f(x) = g(x) όπου Ο < α(χ) .,. ι, f(x) > Ο, g(x) > Ο Λ.Jon ν. Αν η εξίσωση που έχουμε να λύσουμε περιέ­ χει λογαρίθμους με διαφορετικές βάσεις τότε είναι �χ �χ + � = ι χρήσιμο να μετατρέψουμε όλους τους λογαρίθμους στην ίδια βάση. (�x2 - �xx) qp + � = ι Με αλλαγή βάσης προκύmει: Ασκnσn 8 ι - �χ · χ + � �= ι χ ι + � Να λυθεί η εξίσωση 3 log log lo�x + log�x - io!fzx + lo�x - log2x - ι =0 3 α + 3χ α = 2 (α > Ο, α ι) (logzx - ι) · (log�x + 2iog:lx + ι� + 2logzx + ι) = ο Ο δεύτερος παράγοντας είναι διαφορετικός του Λ.Jon μηδενός (γιατί;) Πρέπει χ > Ο. Γνωρίzουμε την ιδιότητα log γ log α Άρα log2x - ι = Ο οπότε χ =2. α 6 = γ 6 (0 < α, β, γ .,. ι) Διαδοχικά έχουμε . log α 3 log+ 3 3logα = 2 Ασκnσn 1 1 4 . 3 αx = 2 3logαx = ι/2 · Να λυθεί η εξίσωση �χ = � α b&..Zv'X + � α · bgι_2χ = Ο �χ α α logαx = - lc;>g32 άρα χ = α-log32

I \

..

..

:

()

(�)

χ

;ι<

χ

χ

·

(�)

Ασκnσn 9 Να λυθεί η εξίσωση

Λ.Jon Πρέπει Ο < J!Vx .,. ι, Ο < αχ.,. ι, Ο < 1 .,. ι δηλ α Ο < α ι, χ > Ο, x.,.l, χ .,. 1, χ .,. 1 2 α α4 ;ι<

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/31


Αοyαριθpοικά �vvάρτοσο

Μετατρέπουμε τους λογάριθμους σε βάση α και διαδοχικά έχουμε: �2χ �2χ + =0 � ά'-Γχ �αχ . �1 α �2χ �2χ =Ο � ά'-Γχ � αχ �2χ �2χ - -� ά'-Γχ � αχ

{

χ Ε (α6, + ) νια α > 1 xE (O, a6) νια Ο < α < 1 Η ιοgαχ < β, Ο < α ;ι! 1 έχει λύσεις: χΕ (ο, a6) νια α > 1 χΕ (a6, + ) νια 0 < α < 1

{

οο

οο

ΤΟ σύνολο των λύσεων των ιο9αχ � β και ι09αχ S β είναι η ένωση των συνόλων των λύσεων των γνησίων ανισοτήτων και των λύσεων της εξίσωσης ιο9αχ = β.

ιogaf(x) > β είναι ισοδύναμη με το σύστημα των ανισοτήτων f(x) > Ο, f(x) > α6 για α > 1 f(x) < Ο, f(x) < α6 για Ο < α < 1 ii. Η

Επειδή Χ ;ι! 1 έχουμε �2χ;ι! Ο 2

Άρα � ά'-Γχ = �αχ δηλ ά'-Γχ = αχ οπόrε χ = cl-

Η ιo9af(x)

Άσκοσο 12

Να λυθεί η εξίσωση 20b9:.x Vx + 7 �2χχ3 = 3 bgx_ x_2 (0 < Q ;ι! 1) Γα

Avσn

Πρέπει χ > Ο και χ;ι! 1, χ;ι! l, Χ;ι! Γα α ά'Η εξίσωση γίνεται: 10 b9:.xx + 21 1ο�ΑΧ = 6 bgx_x

< β είναι ισοδύναμη με το σύστημα f(x) > Ο, f(x) < a6 για α > 1 f(x) > Ο, f(x) > α6 για Ο < α < 1

iii. Η aνίσωση της μορφής Ρ(ιοgαχ) > Ο (ή οι ανι­ σότητες Ρ > Ο, Ρ s Ο, Ρ � 0) με Ρ πολυώνυμο, λύνε­ ται με αντικατάσταση ι09αχ = y και έτσι προκύmει aνί­ σωση που λύνεται αλγεβρικά.

ίν. Ανίσωση της μορφής ι09g(x)f(x) < γ είναι ισο­ δύναμη με τα συστήματα Γα f(x) > ο f(x) > ο Παρατηρούμε πως μια λύση της εξίσωσης είναι η g(x) > 1 και ο < g (x) < 1 χ = 1. t(x) < [g(x)]v f(x) > [g(x)]Y Με αλλαγή βάσης έχουμε: _lQ__ + __2L_ = _ 6_ �αχ �ά'-χ �� Άσκοσο 13 Γα

10 + 21 = -__,6,___ 1 + �α 2�α + 1 1 - 1 bga 2 Θέτουμε ιοgχα = y και διαδοχικά έχουμε: _jQ_ + ___2L = _12_, 13ψ - 3y- 10 = Ο, 1 + y 2y + 1 2 - y 10 y = 1 η, y = -1. �

- 10 ο , mς εξί= 1 η, ιogax = - ι λυσεις 13 σωσης είναι χ = α, χ = α-13110, χ = 1 Άρα ιogax

Παρατοριί.σεις

Για την λύση των λογαριθμικών ανισώσεων έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: i. Η ιοgαχ > β, Ο < α ;ι! 1 έχει λύσεις:

{

/ \

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) =

ν2 - b& � (2x _ 1:)

ι ) b& (bsι 2χ _ 15 ) 2, b& bgι (2χ - 15 ) 16 16 2 2 4 bgι (2x _ 15 ) bgι (2x _ 15) bgι_ (1) 16 2 16 2 2 Avσn

Πρέπει: 2 - b& bgι 2χ _ 15 � Ο, 16 2

s b&4,

s

s 4,

s

2

2χ _ 15 � _.1_, 2χ � 1 άρα χ� Ο 16 16 Επίσης πρέπει: 2χ _ 15 > Ο, 2χ > 15 16 16 δηλ χ > b& 15 . ANil χ � Ο άρα χΕ (0, ) 16

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

οο

3/32


Λ.οyαριθμnικιί J:ιιvάροισn

ΑιJσο

Ασκοσο 14

Πρέπει Ο < χ 1 Η aνίσωση γίνεται 2log2x - 6log 2-4 :5 Ο, x 2 1:JS2 x- _Q__ - 4 s 0 �χ ;ι!

Να λυβεί η aνίσωση 1 - k:Jg{ + bg (χ + 3) � 2 1 - k:Jg{ ΛιJσο

Θέτουμε y = log2x, y Ο κι έχουμε Πρέπει χ > Ο, χ > -3, 1 - logx Ο δηλ. χ 10 2y-.6.-4s Ο, Η aνίσωση γίνεται Υ 1 - k:J9( + bg (χ + 3) 2 � Ο, y(y-3)(y+ 1) :s; Ο δηλ. y:5-1 ή Ο < y :s; 3 1 - k:Jg{ 1 - k:Jg{ + bg (χ + 3) 2 + 2 k:Jg{ Αν log2x :5 -1, log2x :5 log22-1 , χ :5 1/2 --����----------- � ο Αν Ο < log2x :s; 3, log2 1 < log2x s 16g223, 1 - k:Jg{ Α(χ) (1-logx + log(x + 3) - 2 +2logx)·(logx- 1) :5 Ο 1 < χ :5 8 Οι λύσεις της ανίσωσης είναι δηλ. [log(x2 +3χ) -1]·(logx -1) :s; Ο. . χΕ(Ο, 12 ]U(1,8] 2 Η εξίσωση log(x + 3χ) -1 = Ο έχει λύσεις χ = 2, χ = -5 και η logx - 1 = Ο έχει λύση την χ = 10. ;ι!

-

;ι!

;ι!

'

=

χ logx-1 log(x2 + 3χ) - 1

-5

-00

+ <

Α(χ)

-

(

2

ο +

10 + οο - +

-( + +< -

Συνεπώς, εφΈ όσον χ > Ο και χ ανίσωσης είναι: 2. :5 χ < 10.

;ι!

Ασκοσο 17

Να λυθεί η aνίσωση log2 (2x -1)·log0,5 (2x+ 1 - 2) > -2

+

ΛιJσο

+

Πρέπει 2χ - 1 > Ο και 2χ + 1 - 2 > Ο δηλ. χ > Ο Η aνίσωση γίνεται: 10 οι λύσεις της log2 (2x -1) · log _1 2(2κ -1) +2 > Ο 2 δηλ. -log2 (2x-1)·[1+log2 (2x -1)] + 2 > Ο

Ασκοσο 15

Θέτουμε log2 (2x -1) = y και διαδοχικά έχουμε: -y (1 +y) +2 > Ο, y2 +y-2 <0 άρα -2<y< 1 Να λυθεί η aνίσωση 2 2, logx_19 + log 2 9 + log 3 27 + log 481 2: 5. οπότε log22- < log2(2κ -1) < log2 (χ-1) (χ-1) (χ-1 ) 1 < � - 1 < 2, 5. < 2χ < 3, � 5. < �2χ < �3 4 4 4 ΛιJσο από όπου τελικά έχουμε log 5-2 < χ <log23 2 Πρέπει Ο < χ-1 1 δηλ. χ > 1, χ 2 Η aνίσωση γίνεται logx_1 32 + log 2 32 + log 3 33 +log 4 34 2: 5, Ασκοσο 18 (χ-1 ) (χ-1 ) (χ-1) ;ι!

;ι!

2 � - ι3 + 2. � - 13 + 3. � ι3 + � � - 13 � 5 3 2 4 1 5 � - ι3 � 5, � - 13 � 1, �1 �(χ- 1)

Να λυθεί η aνίσωση χ- 1 (3-χ) 2 >0 � lx - �

-

( )

Επειδή χ 2, log3(x-1) Ο. Αν log3 (x-1) > Ο δηλ. αν χ > 2 έχουμε log3 (χ-1) :s; log33 δηλ. χ :s; 4 οπότε χ Ε (2,4] ΛιJσο Αν log3 (χ-1) < Ο δηλ. αν χ < 2 έχουμε Γνωρίzουμε ότι lo9ax < Ο όταν Ο < χ < 1 και log3 (χ-1) 2: log33 δηλ. χ ;::: 4 που απορίmεται log0x > Ο όταν χ > 1. Άρα οι λύσε!ς της aνίσωσης είναι 2 < χ :5 4. Διακρίνουμε λοιπόν δυο περιmώσεις. ο < lx- � < 1 (οπόrε � lx - � < ο) Ασκοσο 16 ί) 1 χ- (3- χ) < ο Να λυθεί η aνίσωση 2log2x - 3logx4 :5 4 ;ι!

;ι!

{

X;a!

( �)

ΕΥΚΛΕΙΔ.fΙΣ Β' κη. τ.

3/33


Λοyαριθpnικιi Σuvάρτnσn

/

οπόrε Ο < χ<2 - 1 < χ- 1 < 1 χ < ή χ> 3 δnλ Χ;ιι! 1 άρα Ο < χ < Χ;ιι! 1 χ<

/\ }

\

{ }} (

}

}

.. lx- 11 > 1 (οπόrε � lx- � > ο) και n) χ- {3 - χ) > 0

/χ- 1 > 1 χ- 1 < - 1 δnλ /χ < Ο ή χ > 2 \και --1 < χ < 3 \και } < χ < 3 ή

2 οπόrε 2 < χ < 3 Άρα οι λύσεις είναι Ο < χ < 1/2, 2 < χ < 3

οπόrε

Λ.:iσn

το πεδίο ορισμού είναι το IR.

-

12χ - 11 2 -212x+l _ 21 :5 5 Θέτουμε 12χ - 11 = y � Ο κι έχουμε if 4y - 5 s Ο λύσεις της οποίος είνοι -1 sy s 5 Α"λλ.ά y � Ο άρα y Ε [0,5] Οπότε Ο :5 12χ -1 1 :5 5, -5 :5 2χ - 1 :5 5 -4 :5 2χ :5 6 Όμως 2χ > Ο άρα δεχόμαστε ότι Ο < 2χ :s; 6 οπό όπου τελικά έχουμε χ :5 log26 Η aνίσωση γράφεται

.

ί\σκnσn 2 1

Να λυθεί η aνίσωση

ί\σκnσn 19 Λ.:iσn

Να λυθεί η aνίσωση

l

bg5 χ + 3 < -1 (1) ή bg5 χ + 3 > 1 (2) χ- 4 χ- 4 (1): bg; x + 3 < bg; 5-ι, χ + 3 < 1, χ- 4 χ- 4 5 4χ + 19 < Ο, 5(4χ + 19) (χ- 4) < Ο άρα 5(χ-4) χε 1 , 4

Πρέπει lοg2χ + 1 ;ιι! Ο δηλ. χ ;ιι! 1/2 και Ο < χ 1. 1 + 3� 2 :oe: 5. Η εξί(Χι)ση yίvεrαι 1 + bg x 4 2 1 +3--S. :oe: o' 1 + bg x bg x 4 2 2 κι έκο 1 Θέrουμεy = � χ υμε + 3._ 5. :oe: Ο, 1 +y Υ 4 (5tj2 - lly- 12) (y + 1) · 4ys Ο η οποίa έχειrοσεις -1 < Υι s - � oπόrε� z-1 s � xs �2- 4.6 5 άρα 1 < χ < -12 V16 ή Ο < y2 s 3 οπότε log2 1 < log2x s log2 23 άρα 1 < χ :5 8. Άρα χε 1, _1_ υ (1, 8] 2 fu

(2): � χ + 3 > bg; 5, χ + 3 _ 5 > 0, --4χ + 23 > 0, χ- 4 χ- 4 χ-4 (-4χ + 23) (χ-4) > Ο, άραχε 4,

ί\σκnσn 22

bg 5

;ιι!

>1

Λ.:iσn Πρέπει

--

χ + 3 > Οδnλ χ < --3 ή χ > 4 χ-4

Η aνίσωση γίνεται

(% )

( �)

Οι λύσειςmς ορχικής οvί(Χι)σης είναι χε - 1 , 4 υ 4,

( % ) ( �)

ί\σκnσn 20

)

(

Τέλος, ας δούμε και την επίλυση δυο συστημάτων με λογαρίθμους:

{

Να λυθεί το σύστημα boo's (y-x) + �l = -2 (1) Υ χ2 + yz = 25 (2)

A.:iσn

Πρέπει y > χ και y > Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 3/34


Λοyαρι8μaικό Σνvάρτaσa

Η εξίαυση (1) γίvεrω �� (y- χ) - � y = -2

-� (y-x) - �y = -2 � (y-x) + �y = 2 � (y- x) ·y = � - 22 � '- )Gj = 4

{

Το σύστημα τώρα είναι JP - )Gj = 4 x2 + JP = 25 και λύνοντας το βρίσκουμε τα zεύγη λύσεων χι = _z.ii, Υι = fi και Xz = 3, Υ.2 = 4. 2 2

ΑΝΑΛ ΥΣΗ (Α ' Δέσμης) ώ Γι ργο υ Κόλλια Σχήμα 1 7 χ 24 Σελίδες 528

ί\σκaσa 23

(

Να λυθεί το σύστημα bg; x + 3bJ3y = 7 (1) Χ:/ = 5ι2 (2)

ΜΑ ΘΗΜΑ Τ/ΚΑ Ι (Α ' Δέσμης)

Βασίλη Κάμπα Σχήμα 1 7 χ 24 Σελ/δες 320

Λvσa

Πρέπει χ > Ο, y > Ο. Γνωρίzουμε ότι 31093Υ = y. Επομένως η (1) γίνεται log5 x + y = 7. Από την (2) έχουμε logsxY = logs 5 ι2 ' ylogsx = 12lbg55, log5x = 12/y. το σύστημα λοιπόν γίνεται: Jbffi x + y = 7 bffi x =

\

το οποίο έχει λύσεις χι = 125, Υι = 4 και χ2 = 625 Υ2 = 3.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΜΙΓΑΔΙΚΟf'·

·,

Γιάννη Μαpαγο ύσια Σχήμα 1 7 χ 24 Σελίδες 272

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ Ε Ω Μ ΕΤΡ ΙΑΣ (ΙΗΣΟΥ ΪΤΩΝ) • •

Λύσεις 2.000 zητη μάτων Όλοι οι Γεωμ ετρικοί Μέθοδοι Οι μαθηματικο1�Jrπopoυv , .,.., va '1"� -ττpομη θε υτο ύv c� μοc. εκπτωση sif/o , ο ο α-σο τ βtβλι τταιλείο

Υπό F. G. - M (ΊΟΜΟΙ 1 - 4)

ΣABBAJV'

Σαββάλας

Κεντρική Διάθεση: Π. ΧΙΩΤΕΛΛΗΣ Ιπποκράτους 1 7 - 1 06 79 Αθήνα

Εκδόσεις - Βιβλιοπωλείο

Τηλ.: 36 1 1 159

Ζ. Πηγής 18 & Σόλωνος 1 06 81 Αθήνα ΤΗΛ. 330 1 25 1 - 38294 1 0 FAX. 381 0907

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/35


Ασκιίσεις στα Καyονικά Πολvyωνα . ,

Κατσοvλnς Γιώρyος

� Είναι ΑΒΕ = ΑΒΓ - ΕΒΓ

ACJI(aσn ln:

Το πάτωμα ενό> δωματίου στρώνεται με τριών ει­ δών πλακάκια με σχήμα κανονικού πολυγώνου, πλευρών λ, μ, και 'v. Δείξι:ε ότι: 1+1+1=1

λ μ ν 2

36)0

Λ.

Ννν1 ΑΒΓ = 18)0 - -

ν

(2) και

100°

90ο ,

ν "' = ΔΒΓ "' ΕΒΓ - � ΕΒΓ = - = - (yιαrι;) (3) 2 2 ν Από ( 1 ) , (2), (3 ) έχουμε:

90

Auσn

(1)

ΑΒε = 100° - 3ro ν ν

� 135° = 100° - 450 �

ν

ν

ν

Ασκnσn 3n:

Σε κανονικό δεκάγωνο ΑΒΓΔ . . . η προέκταση της πλευράς ΑΒ τέμνει το φορέα της ακτίνας ΟΓ σε σημείο Μ. Δείξι:ε ότι: ΑΜ ΑΔ

Στο σημείο Α του πατώματος θα έχουμε: φ + Θ = 36ο ο �

ω+

( �ο) ( �ο) ( �ο) 18}0 -

+ 18}0 -

+ 100° -

=

= 3ro

Auσn

36)0 36)0 36)0 � -- + -- + -- = 18)0 �

λ

·μ

)

ν

36) 1 + 1 1 + = 100° � 1 + 1 + 1 = 1

μ ν.

λ μ ν 2

Ασκnσn 2n:

Έστω κανονικά�ν -γωνq__ΑΒΓΔ... Αν ΒΕ η διχο­ τόμος της γωνίας ΔβΓ και ΑΒΕ = 1 35 ο να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου Λuσn

--------:Α

......

.......

360

Είν . αι Αι = /Ύ. = - = 18° 2 72° = 36 (2) και Δι = 2 Λ.

(1)

(yιαrί;)

ο

Το ΑΟΓ είναι ισοσκελές με Ο = 72 οπότε Γι = 54 (3 ι Η γωνία Γι είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΜΓ � {ι ) οπότε Γι = Αι + Μ � Μ = Γι - Αι � Μ = 36° (4) ο

ο

Β

Δ

Ε

Γ

{3)

Τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΑΓΔ είναι ίσα (γιατί;) και κατά συνέπεια ΑΜ = ΑΔ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/36


Αοκιiοεις ατα Κανονικά ήοi'ι"vωvα

Ασκnσn 4n:

Να αποδειχθεί χωρίς υπολογισμούς ότι λιο + � as = 2 Δ

Λvσn

Αλλά ΟΑ = R, ΑΒ = 2i\; = 2R .και 082 = ΟΑ2 + ΑΒ2 � 082 R2 + (2R)2 � � 08 = R vS (2) Από (1), (2) είναι Μ = R · 2R = 2� = 2R (vS - 1) = R + RvS , R (Γs + ι) (Γs + ι)(Γs - ι) (Γs ι) = 2R - � Μ = R (Γs - ι) = λιο 4 2

=

Ασκnσn 6n: .Δ

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο Α8Γ εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, ·R), Δ μέσο της 8Γ και Ε μέσο του τόξου ΑΓ. Αν η ΕΔ τέμνει τον κύκλο στο Η, να βρεθεί το . Έστω ΑΒ = λ5 , ΟΗ = a5 Τότε Γ μέσο του τόξου τμήμα ΔΗ. ΑΒ, ΑΓ = λ10 και ΟΓ = R = i\,. Σmν προέκταση της ΟΓ παίρνουμε ΓΔ = ΑΓ = λ10. Τότε i\; + λ10 = ΟΓ + Λvσn ΓΔ = ΟΔ (1) Επειδή ΑΓΟ = 72 ° (γιατί;) και ΑΓΟ έξωτερική στο ΑΓΔ, είναι Δ = 36ο = Ο. Α Επομένως το τρίγωνο ΟΑΔ είναι ισοσκελές άρα ΑΗ ύψος και διάμεσος, οπότε (1 ) ΟΔ � λιο+ �-"'ΟΗ = as = --==2 2

-

.-.

Δ.

Ασκnσn Sn:

Δίνεται κύκλος (0, R) . Σε σημείο του Α φέρ­ νουμε εφαπτόμενη και παίρνουμε σ' α�ή τμήμα ΑΒ = 2i\,. Αν ΟΔ διχοτόμος mς γωνίας ΑΟ8, δείξτε ότι ΑΔ = λ10 (i\,, λ10 οι πίΊευρές των κανονικών ν-vω­ Είναι τόξα 8Γ = 120°, ΓΕ = 60� οπότε νων, που είναι εγγεγραμμένα στον κύκλο (0, R)). 8Γ = λ3 =R i3 ΓΕ = i\; = R και ΕΓΒ = 90° Στο ΔfΈ:: ΕΔ2 = ΕΓ2 + ΓΔ2 = Λvσn = � + R f3 2 = � + 3� = � � EΔ = Rf7 (1) 4 2 2 4 Από θεώρημα τεμνόμενων χορδών είναι 8Δ · ΔΓ = ΕΔ · ΔΗ : RU . RU = Rfi . ΔH � ΔH = 3R fi 2 14 2 2

,

( )

"""' . . � Α08 (ΟΔ διχαιόμος) � Μ = ΟΑ ΔΒ 08 � Μ = ΟΑ � Μ = ΟΑ � ΑΔ + ΔΒ ΟΑ + 08 ΑΒ ΟΑ + 08

_

� Μ=

ΟΑ · ΑΒ

ΟΑ + 08

(l)

Ασκnσn 7n:

Από i:ην ακτίνα R και το aπόστημα 0v κανονικού πολυγώνου να βρεθεί η ακτίvα R 1 και το aπόστημα α�- άλλου κανονικού πολυγώνόυ, το οποίο έχει δι­ πλάσιο αριθμό πλευρών και την ίδια περίμετρο. Δη?οδ�: 1) � = l(R + av) 2) R1 = -JR· � 2

ΕΥΚΛΕIΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/3 7


Ασκιiσεις στα Κανονικά Πολιίyωvα

Λ.Jσο

το

εμβαδό του τετραγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο (0, R) είναι

Γ

Έσrω α η πλευρά του τετραγώνου του εγγεγραμ­ μένου σε ημικύκλιο, διαμέτρου ΑΒ = 2R. Είναι ΔΕ = α, ΟΔ = α Γ2 άρα από οΔε: ΟΕ2 = ΟΔ2 + ΔΕ2 � �� =

1) Έσrω ΑΒ =

� η πλευρά του πρώτου πολυγώ­ νου, ΟΗ = 0v το απόσrημά του και ΟΑ = R η ακτίνα του. Η ΟΗ τέμνει τον κύκλο (0, R) σrο Γ. Έσrω Δ, Ε τα μέσα των ΑΓ και ΓΒ. Tόrε ΔE = lAB = l i\v (1) και ΔΟΕ = lΑΟΒ (2)

(�)

2

+ cf � 4� = scf � if =

�� �

(1}

� if = 2.(2�) � (ΓΔΕΖ) = 2. Ε4 5 5

1\σκοσο 9ο:

2 2 2 Κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ είναι εγγεγραμμένο Η περίμετρος του πολυγώνου με πλευρά ΔΕ είναι: σε κύκλο (0, R). Αν Μ μέσο ΑΒ και η ΓΜ τέμνει τΘν (1} κύκλο σrο Η, δείξτε ότι ΔΕ · 2v = li\v · 2v = ν · i\v. 2 (ΗΑΒ) = _l_ (ΑΒΓΔΕΖ) Δηλαδή έχει την ίδια περίμετρο με το πρώτο πολύγωνο. 42 Επομένως ΟΔ = R1 , ΟΚ = αν 1 η ακτίνα και το Η απόσrημα του δευτέρου κανονικού πολυγώνου. Αλλά ΟΚ = ΟΗ + ΗΚ = 0v + ΗΚ και ΟΚ = ΟΓ - ΓΚ = R - ΓΚ, οπότε 20Κ = 0v + R (ΗΚ = ΓΚ γιατί;) � z .Δ

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΟ έχουμε: ΟΔ2 = ΟΓ · ΟΚ � (R1 )2 = R · � � � R1= .JR · �

1\σκοσο 8ο:

Δείξτε ότι το εμβαδόν τετραγώνου εγγεγραμμέ­ νου σε ημικύκλιο είναι τα 2/5 του εγγεγραμμένου τε­ τραγώνου σrον κύκλο. Λ.Jσο

Είναι (ΑΒΓΔΕΖ) = 6 (ΟΑΒ) ( 1 ) Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΗΑΒ έχουν κοινή βάση ΑΒ. Άρα (ΗΑΒ) = ΗΚ = ΗΜ (2) (yιαrί;) (ΟΑΒ) ΟΜ ΜΓ Έχουμε ΜΓ2 = ΟΜ2 + ΟΓ2 � ΜΓ2 = α� + R2

( PJ + � � ΜΓ2 = � �

Mf2 = � + � = R

Β

� ΜΓ = Rfi 2

(3)

και

ΑΒ, ΓΗ χορδές που τέμνονται σrο Μ, οπότε

ΜΓ · ΜΗ = ΜΑ · ΜΒ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 3/38


Ασκάσεις στο Κοvοvικά ΠολUνωvο n

γ) i) Είvαι ΑΗ = ΗΓ = 60° όρα ΑΗ = ΗΓ = � = R. : R f7 · MH = R · R � MH = Bii_ (4) Στο ΒΔΕ είvαι: Δ = 90ο, Β = 30ο 14 2 2 2 ΔΕ = ΒΕ � ΒΕ = 2ΔΕ. Από (2), (3 ) και (4) είvαι 2 Rf7 Άρα ΒΕ2 = ΒΔ2 + ΔΕ2 � ΒΕ2 = ΒΔ2 + ΒΕ2/4 (ΗΑΒ) = 14 = _2_ = 1 � � 4ΒΕ2 = 4ΒΔ2 + ΒΕ2 � 3ΒΕ2 = 4ΒΔ2 � (ΟΑΒ) R.f7 14 7 &l 1{3 &l 2 � BE = 2f3 · Rf2 = R f6 � BE = 2 = 2 f3 3 3 2 3 (1 ) � (ΗΑΒ) = 1 (ΟΑΒ) � (ΗΑΒ) = _l_ (ΑΒΓΔΕΖ) Είvαι ΒΖ = ΒΑ (γιατί) � 7 42 � ΒΕ + ΕΖ = Rf2 � ΕΖ = Rf2- Rf6 και 3 � = �� � + m = N� � + M = N� Ασκnσn ίΟn: ΗΖ = ΒΓ - ΒΑ � Τρίγωvο ΑΒΓ είvαι εγγεγραμμέvο σε κύκλο (R γ'2 + Rf6) Rf2 (0, R) και έχει ΑΒ = λ4 και ΑΓ = λ3 Να υπολογι­ � ΗΖ = 2 στούv α) Οι γωvίες του φιγώvου ΑΒΓ β) Το ύψος του ΑΔ και η πλευρό του ΒΓ γ) Av Η το μέσο του τόξου ii) (ΑΒΓΗ) = (ΑΒΓ) + (ΑΗΓ) = ΑΓ και η ΒΗ τέμvει τα ΑΔ, ΑΓ στα Ε, Ζ αvτίστοιχα vα βρέθουv: = 1 ΒΓ · Μ + 1 ΑΓ · ΗΚ = i) Τα τμήματα ΒΕ, ΕΖ, ΖΗ 2 2 ii) Το εμβαδό του ΑΒΓΗ = 1 (R f2 + Rf6) . Rf6 + 1 R f3 R Α 2 2 2 2 2 Λvσa AΓ = f!3 = Rf3, HK = R 2. .

.

(

)

ΜΕΒΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓQΓΩΝ

Η Μεθοδολογiα Παραγώγων του Κ. Παπουτσή είναι ένα βιβλίο χαρισματικό γιατί καταφέρνει το πιο στρυφνό και πολύπλοκο κεφάλαιο της Ανάλυσης να το παρουσιάζει με απλότητα, συνοχή και σαφήνεια, ώστε να ικανοποιεί τις απαιτήσεις κάθε υποψήφιου και να ανταποκρίνεται άριστα στο πνεύμα των εξετάσεων.

n

Η αφηγηματική παρουσίαση της θεωρίας και η οργανωμένη ασκησιολογία, το κάνουν να μοιάζει με ένα γλαφυρό και ευχάριστο μυθιστόρημα.

α) ΑΒ = λ4 � ΑΒ = 90° �� Γ = 45° n ΑΓ =�λ3 � ΑΓ = 120° � Β = 60° Άρα Α = 75° � β) Στο ΑΒΔ: Β = 60° , Δ = 90° , Α = 30° οπότε &l = ΑΒ = ί\ι � &l = Rf2 και Μ2 = ΑΒ2 _ &l2 � 2 2 2 � Μ2 = (Rf2f - R � Μ2 = 2� _ 2 � �

Λύσεις ασκήσεων δωρεάν στους μαθηματικούς. Εκδόσεις «ΚΟΡΦΗ», τηλ. 3300202, 3300239, fax.361 1 387 Από τον ίδιο συγγραφέα θα κυκλοφορήσει σύντομα:

cΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ r· ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - άλγεβρα» Τηλ. 8032488

Δ

( �y

� M = Rf6 2 Είvαι ΒΓ = ΒΔ + ΔΓ � ΒΓ = ΒΔ + ΑΔ (γιατί;) � � BΓ = Rf2 + Rf6 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

'

κη. τ.

3/39


Ασκήσε ις άι:ι ς Π αραyώyοv ς rεωρyακόnοvλος Κων/νος

Άσκοσο lo

y-x 1_ _ _ 1_ = Έχουμε f(x)-f(y) = χ + α y + α (χ + α) (y + α) = (y-x) . _1_ . 1_ (y-x)f(x) . f(y). χ+ α y+ α Δηλαδή η συνάρτηση f ικανοποιεί την (1), οπότε f (v) (x) = -1- (ν) = (- l)v ν ! -1- v + 1 χ+α χ+ α

ili)

Η σννάρτοσο f έίναι σννεχός στο Α = R - {α} και yια κάβε x,· y Ε Α ισ:ιι:vει f (χ) - f (y) = (y - χ) f (χ) . f (y). (1). i) Δείξτε 6τι ο σννάρτοσο f είναι nαραyωyί­ σιpο στο Α. ii) Δείξτε ότι νnάρχει ο νιοστό nαράyωyος τος f και ισ:ιι:vει fM (χ) = (- l ) • ν! rι+ 1 (χ). iii) Υnολοyίστε το νιοστό nαράyωyο τος σνvάpτοσος . Άσκοσο 2ο 1f (:ιι:) = χ+α Δείξτε ότι yια κάβε χ Ε [1, e] έχονpε _

=

( )

v

( )

ι

Λvσο i)

Έστω χ, Χο Ε Α με χ :XQ: Η (1) γίνεται: f(x) - f(Xo) = -(χ- >Ό) f(χ) . f(>Ό) f (χ) - f(>Ό) = - f (χ) . f(>Ό) χ- χσ Οπότε Im f (χ) - f (xo) = 1m [- f (χ) f(>Ό)] = χ -+ χο χ -+ χο χ- χσ = - f(>Ό) Im f (χ) = - f2 (>Ό)

�< ι

;ι!

+

____3_:__

2 Γχ

<=>

<=>

·

χ -+ χσ

Λvσο

Οι συναρτήσεις f (χ) = χ11χ και g(x) = 1 + __3_ 2 ν'Χ είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο διάστημα [1, e]. , = χlχ l με f (χ) = χχ = (elh< Ιnχ) ' = χlχ χ χ2

( l)

{lhx)

a(- �)

hx

· _ _ -

γιατί η f συνεχής στο Α Συνεπώς για κάθε Χο Ε Α έχουμε και g' (χ) = ι + __3_ ' = 2 = _ 3. _1_ < ο. f' (Χο) = -f 2 (Χο) Χ 4 Χν'Χ 2 ν'Χ 2 2 Συνεπώς η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα ίί) Αφού f' (χ) = -f (χ) υπάρχει η δεύτερη παράστο διάστημα [1, e] οπότε για κάθε χ Ε [1, e] έχουμε γωγος της f. 1 ( Θα δείξουμε ότι f V)(x) = (-l)v, ν! rι + (χ): g(x) � g(e) 1 + __3_ 2: 1 + __3__ (1) 2 ν'Χ 2 -Γe Πράγμ�τι για ν = 1 έχουμε f' (χ) = -f 2 (χ) Έστω ότι ισχύει για ν = κ, δηλαδή Για κάθε χ Ε [ 1 , e], έχουμε Ιη χ � Ιη e Ιη χ � 1 f(K) (X) = (-l)K Κ! fΚ+ 1 (χ). 1 - Ιη:Χ. � Ο, οπότε έχουμε f' (χ) > Ο, συνεπώς η Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν = κ + 1. 1 συνάρτηση f είναι αύξουσα στο διάστημα [1, e], οπότε ) = ( ( = (x)] · )κ κ! fK+ [ (κ κ+lJ(x) (χ)] ' = [f l Είναι f κάθε χ Ε [1, e] είναι f (χ) � f (e) ή χ1/χ � e11e (2). για (-l)v κ! (κ + 1) f κ (χ) f' (χ) = 2 = (-l)κ (κ + 1)! fΚ (χ) (-f (χ)) = Για να ισχύει f (χ) � g (χ), αρκεί το maxf � mίη g. = (-l)κ+l (κ + 1)! fκ+2 (χ). Συνεπώς για κάθε ν Ε Ν* έχουμε ή e 1k s l + __3_ 2 -Γe f(V) (X) = (-l)V ν! fV+l (Χ) .

(

)

<=>

<=>

<=>

·

·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ.

3/40


------ Ασκάσεις στις Παραyώyο\1ς ------

f(x) -f(O) ή 1m f(x) - 1 = 1. fa(O) = Im χ χ -+ 0 χ -+ 0 χ Για κάθε Χο Ε R και h Ο έχουμε: f(χσ + h) -f(χσ) h + xσf(h) + f(xσ)f{h) + χσh- χσ -h-f(χσ) hf( xσ) = Ασκnσn 3n h f(χσ) + χσ - 1 + Χο f(h) - 1 + f(χσ) f(h) - 1 Η σuνάρτnσn f : [0, ι] R, έχει νιοστό h h nαράyωyο και οι αριθμοί ( Im f χσ + h) -f(xσ) , οπαιε f(O ), f · f · ···• f (ι ) h -+ 0 h f(h) - 1 + f(χσ) Im f(h) - 1 σχnματίzοuν αριθμητικό nρόοδο με = f(χσ) + χσ - 1 + JΌ hIm -+ 0 h -+ 0 h h ν � 2 ν Ε Ν* Δεί�τε ότι unάρχει Χο Ε (0, ι) τέτοιος, ώστε = f(χσ) + χσ - 1 + Χο + f(χσ) = 2f(χσ) + 2f(χσ) - 1 fM (:Jιο) Ο. που σημαίνει ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ση­ μείο Χο Ε R κο f ' (Χο) = 2 f (χσ) + 2χσ - 1. 'Εχουμε e lk = γ; < -Γe < "{3 < 1 + U s 2 3 3_ < 1 + __3_ οπόrε .}!χ < 1 + _ 1+_ Vx 2 2 -Γe 2 Γ3

;ι!

__

=

-+

(�) (�) =

Λvσn

Θέrουμε χ ι = Ο, χ 2 = 1, χ 3 = 2., ... , x v + 1 = � = 1. ν ν ν και f (xi) = Υϊ με ί = 1, 2, ... , ν + 1. Προφανώς οι αριθμοί χ ι . χ2 , . . . Κv+ι σχηματί:-­ zουν αριθμητική πρόοδο, οπότε Κv + Ι - Κv = Κv - Κv-ι = ... = χ2 - χι = 1/v. Επίσης = Υ2 - Υι = C Yv + ι - Yv = Yv - Yv-1 = Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης ημής υπάρχει ξί Ε (xi, χϊ+ι) με ί = 1, 2, . . . ν τέτοιος ώστε \ f( x . ι ) -f(xi) Υ · + ι - Υ · f (ξ j} = = = C " ν. Χί + ι - Χί 1 ν Η συνάρτηση f ' ικανοποιεί το θεώρημα του Rolle στα διαστήματα (ξί, �+1) με ί = 1 , 2, ... ν-1, οπότε υπάρχουν τ i με ί = 1, 2, ... ν-1 τέτοιοι, ώστε f ("Σj) Ο. Συνεχizοvτας rnv ίδια διαδικασία κατα­ ί\ήγουμε ότι υπάρχει Χο Ε (0, 1 ) τέτοιος, ώστε f(v} (Χο) = Ο. · · ·

+

Ασκnσn 5n Οι σuναρτόσεις f, g είναι nαραyωyίσιμες στο α Ε R και yια κάθε χ Ε R ισχίiει: (i) f (χ) + χ :S g (χ) + α ii) f (α) g (α). Δεί�τε ότι ,. (α) + ι g'(α): =

=

Λίiσn

Θεωρούμε τη συνάρτηση h (χ) = f (χ) - g (χ) +.χ - α. Έχουμε h (α) = f (α) - g (α) = Ο από την (ii) και h (χ) :::; Ο από την (i): Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο α, αφού οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες. ' Εχουμε: Im h (x) - h (α) = Im h (x) <!: Ο χ -+ α- (χ- α) χ -+ αχ- α ενώ Im + h (x) - h (α) = Ima h (x) s O χ -+ α χ -+ +(x- a) χ- α Ασκnσn 4n Συνεπώς h · (α) = Ο και μετά Έχουμε h . (α) = ϊ (α) - g ' (α) + 1 = Ο οπότε Αν n σuνάρτnσn f είναι nαραyωyίσιμn r (α) + 1 = g ' (α). I

' ·

I

I

=

στο Ο με f '(O) ι και f (χ) Ο yια κάθε χ Ε R και yια κάθε χ, y Ε R ισχίiει: Ί (χ + y) Ασκnσn 6n yf (χ) + χ f (y) + f (χ) f (y) + xy - χ - y να αnοδεί�ετε ότι n f είναι nαραyωyίσιμn σε Αν α, 8, y, δ διαδοχικοί ακέραιοι θετι­ κtiθε σnμείο Χο Ε R. κοί, να λίiσετε τον ε�ίσωσn αχ + δχ sx + r (ι) με χ Ε R. Λίiσn Λίiσn Για χ = y = Ο έχουμε f (Ο) = f 2 (Ο) ή f (0) = 1, =

;ι!

=

=

=

Αφου α, β, γ, δ διαδοχικοί ακέραιοι θετικοί αριθ­ αφού i (Ο) Ο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο Ο ισχύει: μοί, έχουμε β = α + 1, ν = α + 2, δ = α + 3 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/4ι ;ι!


-------

Ασκάσεις στις Παραyώyοος -------''-

Η συνάρτηση f (t) = f' (2) (t > 0) χ Ε R είναι ηα­ ραγωγίσιμη με f' (t) = χ f'-ι . Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρ­ χουν ξ Ε (α, α + 1) και ξ2 Ε (α + 2, α + 3) τέτοιοι, ώστε f'ι (ξι ) = f (α + 1) - f (α) και f' (ξ2 ) = f (α + 3) ­ f (α + 2). ΑΝ\ά λόγω της (2) έχουμε f (α + 1) - f (α) = (α + 1)χ - αχ και f (α + 3) - f (α + 2) = (α + 3)χ - (α + 2)χ και λόγω της (1) έχουμε f (α + 1) - f (α) = f (α + 3) - f (α + 2) ή f' (ξι ) = f' (ξ2) οπότε χ ξι χ-ι = χ ξ2 χ-ι � χ (ξιχ-ι - ξ2χ-ι ) = ο � χ = ο ή ξι χ-ι = ξ2 χ-ι ή ξ χ - ι = 1 � χ- 1 = 0 � χ = 1

(�)

Συνεπώς οι ρίzες της εξίσωσης είναι οι χι = Ο, χ2 = 1.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει 1) τέτοιος, ώστε h · (Χο ) = Ο ή f. (XQ) gv (XQ) - ν f (XQ) gv-ι (XQ) g . (XQ) = Ο � � gv-ι (XQ) [f' (XQ) g (XQ) - ν f (XQ) g (XQ)] = Ο � � f. ( Χο) g (Χο ) - ν f (Χο) g . (Χο) = ο � f(χσ) f' (Χο) - ν -9( Χο) g ' (Χο) Χο Ε (0,

-- -

Ασκnσn 8n Η σvνάρτnσn f είναι ορισμένα και nαρα­ yωyίσιμn στο διάστnμα [0, 1] με σvνεχό nα­ ράyωyο στο [0, 1] και ισχ\iοvν οι σχέσεις i) f (1) f (Ο) + 1/2 ii) f ' (O) > Ο. Δείξτε ότι vnάρ:ιι:ει χ0 Ε (0, 1 ) τέτοιος ώστε =

Λ\iσn

Ασιιnσn 7n

Η

συνάρrηαη g (χ) = f (χ) - Χ2

είναι

ορισμένη και

2 Οι σvναρτόσεις f, g είναι σvνε:ιι:είς στο διάστnμα [0, 1] nαραyωyίσιμες στο (0, 1) και παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 1] με yια κάθε :ιι: Ε [0, 1] είναι g (χ) ;ι! Ο και g' (χ) Ο. g ' (χ) = f' (χ) - χ. Αν f (0) f (1) Ο δείξτε ότι vn�ρ:ιι:ει Χο Επίσης g (0) = f (Ο) και g (1) = f (1) 1 , οπότε 2 Ε (0, 1) τέτοιος, ώστε λόγω της (1) έχουμε g (Ο) = g(1). f , (Χο) f(Xo) (i) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ν Ε Ν* -� - ν g. (Χο) χ Ε (0, 1) τέτοιος, ώστε g · (α) = Ο ή f' (α) - α = Ο (1). 9 (Χο) ;ι!

=

Λ\iσn

=

,

,

h (χ) = _!J1_ με ν Ε Ν* είναι συνεχής q v (x) στο [0, 1] παραγωγίσιμη στο (0, 1) με . h . (χ) = f (χ) = f' (χ) gv(x) -ν f (χ) gv - ι (χ) g' (χ) gv(x) g2v(x) 'Εχουμε h (0) = f (Ο) = Ο hι = __!Ql_ = Ο gv(O) gv(1) Η συνάρmση

[ ]

Θεωρούμε τη συνάρτηση h (χ) = f · (χ) - 2χ. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [0, α] με h (Ο) = f' (Ο) > Ο και h (α) = f ' (α) - 2α = f' (α) - α - α = = - α < Ο (γιατί;). Συνεπώς h (Ο) · h (α) < Ο. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει Χο Ε (0, α) τέτοιος, ώστε h (Χο) = Ο ή f (XQ) - 2χσ = Ο ή f. ( Χο) = 2χσ. Συνεπώς υπάρχει Χο Ε (0, 1) τέτοιος, ώστε f. (Χο) = 2χσ .

...

·

Κυκλοφορεί από τις Φυσικομαθηματικές εκδόσεις ''Αίθρα" σε Ελληνική μετάφραση το βιβλίο του γνωστού γάλλου μαθηματικού Gaston Aligniac:

,

THEMES MATHEMATIQUES (nouvelle collection)

ΘΕΜΑΤ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (νέα συλλσyή) Περιέχει 207 πρωτότυπα, σύνθετα, Auutνa θέματα πάνω στη Μαθηματική Ανάλυση, στον Διανυσματικό Λογισμό, στην Αναλυτική Γεωμετρία, στους Πίνακες, στις Ορίζουσες, στα Γραμμικά Συστήματα, στους Μιγαδικούς Αριθμούς και στις Πιθανότητες. Όλα τα θέματα είναι μεικτά (συνδυασμοί κεφαλαίων) . Το βιβλίο αυτό είναι απαραίτητο για τη σωστή προετοιμασία των αποφοίτων και των μαθητών της 1 ης και 4ης Δέσμης. Κρίνεται όμως ακόμα πιο απαραίτητο για τους μαθηματικούς που διδάσκουν δέσμες, διότι θα ανανεώσουν τη συλλογή των ασκήσεών τους. Η τιμή του βιβλίου εfναι δρχ. 4500 (δε γίνεται έκπτωση). Κεντρική διάθεση «Afθpa» * Ανδρέα Μεταξά 26 * 1 06 81 Αθήνα * τηλ. 3301 269 - 3301252

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/42


Οι Ανι σότητες στις π ιθ ανότητες Κώστας Βακαλόοοvλος

Μετά τη διάταξη της ύλης του σχολικού βιβλίου της σχ. χρονιάς 1993 - 1994 -στην έκδοση 1994 1 995 έγιναν μερικές βελτιώσεις- θεωρώ ότι είναι ανάγκη να συμπληρωθούν οι ιδιότητες και τα θεωρή­ ματα των βασικών εννοιών στο κεφ. των Πιθανοτή­ των με τα παρακάτω: lον: Από τον ορισμό της πιθανότητας ενός εν­ Α ιι Β Α' ιι Β Α ιι Β' δεχομένου Α (ενός δειγματικού χώρου Ω σ' ένα πείραμα τύχης) έχουμε προφανώς ότι: Ρ(Α) ii!: Ο. Ρ[(Α n Β ' ) υ (Α Π Β)] = Ρ(ΑΠΒ ' ) + Ρ (Α n Β) (α). Σε πολλές όμως ασκήσεις χρησιμοποιούμε τη σχέση: Όμως (ΑΠΒ " ) υ (Α n Β) = Α Ρ(Α) :S 1 (1) που δεν είναι και τόσο προφανής ... Άρα η (α) γίνεται: Ρ(Α) = Ρ (ΑΠΒ ' ) + Ρ (Α n Β) <=> Ρ(ΑΠΒ') = Ρ(Α) Ρ(Α n Β). Ομοίως αποδεικνύουμε ότι: Παραθέτουμε την απόδειξη: α ' τρόπος: Βασική ιδιότητα για τα συμπληρωμαΡ(Α'ΠΒ) = Ρ(Β) - Ρ(ΑΠΒ) Επειδή: ΑΠΒ ' και Α ' nB είναι ασυμβίβαστα τικά ενδεχόμενα είναι: Ρ(Α ' ) = 1 Ρ(Α). ισχύει: Άρα : Ρ(Α) = 1 - Ρ(Α ' ). Όμως Ρ(Α ' ) � Ο. Άρα: Ρ(Α) :5 1. Ρ[(ΑΠΒ') υ (Α'ΠΒ)] =Ρ (Α n Β') + Ρ(Α'ΠΒ) β' τρόπος: Θα γίνει παρακάτω. (5) = Ρ(Α) +Ρ(Β) - 2Ρ(ΑΠΒ) •

-

2ον: Σε πολλές ασκήσεις αλλά και σε πολλές σχέσεις χρησιμοποιούμε την παρακάτω ιδιότητα: Αν Α � Β (Α, Β � Ο), τότε Ρ(Α) :S Ρ(Β) (2)

Σvμολορωματικές αποδείξεις των σχέσεων (1) και (2)

(1) Απόδειξη (β ' τρόπος): Ισχύει: Α � Ω άρα Ρ(Α) :5 Ρ(Ω). Όμως Ρ(Ω) = 1 . α ' τρόπος: Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της Άρα: Ρ(Α) :5 1 . πιθανότητας έχουμε: Ρ (Α) = Ν (Α) κm Ρ (Β) = Ν (Β) , Ν (Ω) Ν (Ω) όπου Ν(Α), Ν(Β), Ν(Ω) το πλήθος των στοιχείων των Α, �,Ω. Έχουμε λοιπόν: Αν Α � Β τότε: Ν(Α) :5 Ν(Β) άρα:. Ν (Α) s Ν (Β) δnλ Ρ (Α) s Ρ (Β). Ω Ν (Ω) Ν (Ω) AnB=A β ' τρόπος: Θα γίνει παρακάτω . (2) Απόδειξη (β ' τρόπος): Αφού Α � Β τότε Α n Β = Α Άρα η σχέση (4) 3ον: Βασικοί τύποι στο λογισμό των πιθανοτή­ των είναι: γράφεται: Ρ(Α . ΠΒ) = Ρ(Β) - Ρ(ΑΠΒ) = Ρ(Β) - Ρ(Α). Όμως: Ρ(Α . ΠΒ) � Ο. Άρα: Ρ(ΑΠΒ') = Ρ(Α) Ρ(ΑΠΒ) (3), Ρ(Β) - Ρ(Α) � Ο <=> Ρ(Α) :5 Ρ(Β). Ρ(Α' n Β) = Ρ(Β) Ρ(Α n Β) (4)

Αοόδειξο:

Αοόδειξο:

4ον: Αvισοτικές σχέσεις yια τnv οι8ανότn­

Τα ενδεχόμενα Α n Β ' και Α n Β προφανώς εί­ τα τnς τομιiς και τnς έvωσiις δvο ενδεχομένων • Έχουμε: Α � Α U Β άρα Ρ(Α) :5 Ρ(Α υ Β) ναι ασυμβίβαστα αφού (ΑΠΒ ' ) n (Α n Β) = 0. Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα ισχύει: δηλ. Ρ(ΑυΒ) � Ρ(Α). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ.

3/43


Οι Ανισότατες στις Πιθανότατες

Επίσης: Β k Α υ Β άρα Ρ(Β) � Ρ(ΑυΒ) δηλ. Ρ(ΑυΒ) � Ρ(Β). Άρα: Ρ(Α ύ Β) i!: aιax {Ρ(Α), Ρ(Β)} (6) Έ χουμε: Α n Β ς: Α άρα Ρ(Α n Β) � Ρ(Α). Επίση�: Α n Β ς: Β άρα P(AnB) � Ρ(Β) Άρα: Ρ(Α n Β) :si aιin {Ρ(Α), Ρ(β)} (7) Από τον προσθετικό νόμο των πι.θανοτήτων έχουμε: Ρ(ΑυΒ) Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(AnB) <» <» P(AnB) = Ρ(Α) +Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β). Ως y vωσrόν: Ρ(ΑυΒ) � 1 . <» -Ρ(ΑυΒ) � -1 <» Ρ(Α) +Ρ(Β) - P(A U Β) � Ρ(Α) + Ρ(Β) -1 δηλ. Ρ(Α n Β) � Ρ(Α) + Ρ(Β) -1. Όμως: P(AnB) � Ο. Άρα: Ρ(Α n p) i!: aιax {0, Ρ(Α) + Ρ(Β) -1} (8) •

=

Δηλ. aιax{O, Ρ(Α) + Ρ(Β) - 1 } :s P(AnB) :s aιin {P(AJ, Ρ(Β)} (9)

Παράδειypα 2: ότι Ρ(Α) Δεδοpένοv . δειχθεί ότι: 1

:i , Ρ(Β) 8

1 να 2

=

Ρ(ΑυΒ) :S 1 .

8

Λvσn:

Εφαρμόzοvτας πάλι τη σχέση (9) έχουμε: ... O�P(AnB) � 3_ (α) 8 Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε: Ρ(ΑυΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) P(AnB) <» P(AnB) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑυΒ). Άρα η (α) γίνεται: (α) <» Ο � Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑυΒ) s 3_ <» <» Ο

:s

S

2

=

_

l

8

8

- (83_ + 2 ) � -Ρ. (Α υ Β) � 3_ - (3_ + 1) <» 1

� -Ρ(ΑυΒ) � 1 <» _

2

8

1

s

2

8

Ρ(ΑυΒ)

2

l.

8

Εφαρpοyές Με τη βοήθεια της σχέσης (9) αποδεικνύονται οι διπλές ανισοτικές σχέσεις της μορφής: α�Ρ (AnB �Β), α , β Ε [0,1] (Παράδειγμα 1) Για τις ανισοτικές σχέσεις τηc; μορφής: ν � Ρ(ΑυΒ) � δ, γ, δΕ [0, 1] μπορόύμε να ακολουθήσουμε και κατασκευαστι­ κή πορεία , ξεκινώντας από την α � Ρ(Α n Β)· � β κaι με τη βοήθεια του προσθετικού νόμου των πιθανοτήτων να καταλήξουμε σrην ν � Ρ(Α υ Β) � δ (Παράδειγμα 2).

1 . Σε πολλές ασκήσεις zητείται να αποδειχθεί μια ανισοτική σχέση για την πιθανότητα της ένωσης ή της τομής δυο ενδεχομένων, που απορρέει από τις σΧέ­ σεις: "Αν ΑkΑυΒ τότε Ρ(ΑυΒ) � Ρ(Α)" ή "Αν ΒkΑυΒ τότε Ρ(ΑυΒ) � Ρ(Β). Προφανώς σrις αόκή­ σεις αυτές χρηαιμοποιούμε κάθε μια από τις σχέσεις αυτές, αν και η σχέση (6) περιέχει και τις δυο προη­ γούμενες ανισότητες (Παράδειγμα 3).

Παράδειypα

Παράδειypα 3:

1:

Δεδοpένοv ότι Ρ(Α) να δει:ιiθiί ότι: α) Ρ(ΑυΒ) i!: :i , 8) 1 :s '

Λvσa

.

8

4

=

:i και Ρ(Β)

4

P(AnB)

.

s

=

:i 8

:i . 8

8

4

β) Σύμφωνα με τη σχέση (9), που αναφέραμε και αποδείξαμε, έχουμε: max {0, Ρ(Α) +Ρ(Β) -1 } � P(AnB) � miη {Ρ(Α), Ρ(Β)} � - 1 � Ρ (AnB) � miη <» rriax <»

{ο, � + }

1 � 8

P(AnB) � 3_ .

Αν Ρ(Α) ότι Ρ(ΑυΒ)

=

i!:

0, 1 0, 1

και Ρ(Β)

=

0,3, να δειχθεί

Λvσn:

α) Σύμφωνα με τη σχέση (6), που αναφέραμε και αποδείξαμε, έχουμε: P(AVB) �max . . {Ρ(Α), Ρ(Β)} = max ( 3_ , 3_ } = 3_ . 4

Παρατnρόσεις

{�' �}

Ισχύει: �υΒ άρα: Ρ(ΑυΒ) � Ρ(Α) <» <» Ρ(ΑυΒ) � Ο, 1 (Όμως εφαρμόzοvτας τη σχέση (6) έχουμε: Ρ(ΑυΒ) � max{0,1, 0, 3 } 0, 3 . Άρα: Ρ(ΑυΒ) �0, 3 �0,1) ==

2. Για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις μεταξύ των πιθανοτήτων διαφόρων · ενδεχομένων, μετατρέ­ πουμε την ανισότητα σε ισοδύναμη της ί.ιε μορφή: Ρ(Ε) � Ο ή Ρ(Ε) � 1 που ·ισχύουν αν ΕkΩ (Πα­ ράδειγμα 4).

8

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. τ.

3/44


Οι Αvισότοτες στις Πιθαvότοτες

Παράδειyjια 4: Να αοοδειχθεί ότι: P(AnB) � Ρ(Α) - Ρ(Β')

(α)

Λtioa:

(α} Ρ(Α} - [1 - Ρ(Β}] :5 P(AnB} Ρ(Α} + Ρ(Β} - P(AnB} :5 1 P(AUB} �

� 1!

Ασιιόσεις yια λtioa 1. Δεδομένου ότι Ρ(Α}

=

1/3, Ρ(Β}

=

1/4 να βρε-

θεί η μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή, που μπορεί να πάρει η πιθανότητα: α} P(AnB}, β} P(AUB}.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ Β ' & Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

·�·

ΓΕΝlΚΑ ΘΕΜΑrΑ ΜΑΘΗΜΑrΙΚΩΝ

�'4

1πς -ΔΕΣΜΗΣ & 4nςΔΕΣΜΗΣ ΓΕΩΜΕτΡΙΑ Β ' Λ ΥΚΕΙΟΥ

�-

ΑΛΓΕΒΡΑ

Α ' Λ ΥΚΕΙΟΥ & Β ' Λ ΥΚΕΙΟΥ

2. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερα­

σμένο πλήθος στοιχείων και Α,Β ς: Ω. Έστω Ρ(Α ' } :5 Ο, 28 και Ρ(Β ' } :5 Ο, 7 1. Να αποδείξετε ότι: α} P(AnB} � 1, 01 - P(AnB} και β} το ενδεχόμενο AnB δεν είναι το 0.

ΑΝΑΛ ΥΣΗ

Ιnς Δέσμπς τομ. l, 2,3

ΑΛΓΕΒΡΑ & ΑΝΑΛ Υ7ΊΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τομ. 1,2

3. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώ­ ρου Ω με Ρ(Α} = 2/3 και Ρ(Β) = 1/2

α} Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα. β} Να αποδείξετε ότι: Ρ(Α ' nB} :5 1/3.

4. Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και Ρ.(Α} ::;:: 1/2 και P(AUB) 3/4 να αποδειχθεί ότι: 1/4:5Ρ(Β):53/4: =

ΑΛΓΕΒΡΑ

4πς Δέσμnς ΑΝΑΛ ΥΣΗ

4πς Δέσμπς τομ. 1,2

,

;.. .f'

Α

{;

Λ

Γ

Ε Κ� ΟΣ L ΙΣ

Ε

ΓΙΑΝΝΗΣ Η.\ ! () Π Ο Υ ΛΟΣ

Β

Ρ

Α

ΑΝΑΛΥΥΙΚΗ ΓΕΩ EYPIA

και

ΑΝΑΛΥΣΗ lης Δέσμης ( Α ', Β ' τόμος)

• • • • • • •

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου Μαθηματικά

Β' Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου Γεωμετρία Α' Λυκείου Άλγεβρα Α' Λυκείου Άλγεβρα Β 'Λυκείου

Θέματα Ι ης και 4ης Δέσμης

• • • • •

2

τόμο; )

ΔEΣffiH

ΑΝΑΛΥΣΗ

Άλγεβρα 4ης Δέσμης Ανάλυση 4ης Δέσμης ( Α' Τόμος) Ανάλυση 4ης Δέσμης

( Β' Τόμος)

ΑtΑΦΟΡΙΚΟΣ IW

ΟλΟΚλΗΡΩΥΙΚΟΣ

700 ��

Ανάλυση Ι ης Δέσμης ( Α' Τόμος) Ανάλυση lης Δέσμης

Υπό έκδοση •

Β'

2

θΑΝΑΙΗ Π. :::ΕΝΟΥ

"στο βιβλίο αυτό περιέι.ονται τα πάντα για τις παραγώγους . Α υτή η σειρά της lης δέσμης αποτελεί κάτι διαq ορετικό"

(αποσπ. από ,τρόλογο ΑΝΑΛ ΥΣΗ lης ,

1

(Β' Τόμος)

!'-*'\..._

-.!!τ�

Ανάλυση Ι ης Δέσμης ( Γ' Τόμος)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. ι.

3/45

ΛοrιΙΜΟΣ -�

1 .ι(Ι(Ι � μο οο;

:?',_;��


Π ε ρ ί rε ωμετρ ία ς και άλλων Δοιμοvίωv. Δ. Γ. Κοντοyιάνvn

1. Πρέπει να διδάσκο"με Ι"εωμετρία;

τό βιβλίο,

που επηρέασε μεταπολεμικά περισσό­ τερο από κάθε άλλο τη διδασκαλία της στοιχειώδους Γεωμετρίας, όχι μόνο στην Αμερική και τις αγγλόφω­ νες χώρες αλλά γενικά και σε όλο τον κόσμο, είναι αναμφισβήτητα η "Βασική Γεωμετρία", που έγραψαν ο μεγάλος αμερικανός μαθηματικός George D. Birkfoff (ε?ιυσε το πρόβλημα 3 σωμάτων} και ο παιδα­ γωγός R. Beatley. Το βιβλίο αυτό εκδόθηκε το 1940 και προοριzό­ ταν για τους μαθητές των καλών κολεγίων, οι οποίοι σκόπευαν να φοιτήσουν σε μεγάλα πανεπιστήμια, όπως το πανεπιστήμιο του Harvard, -όπου άλλωστε οι συγγραφείς του ήταν καθηγητές- και γράφτηκε με βάση ένα αξιωματικό σύστημα, που ο Birkfoff είχε επινοήσει και δημοσιεύσει στο περιοδικό Aηηals of Mathematics (νοl . XXXIII, 1932}. Ο τίτλος του δημοσιεύματος αυτού ήταν "Ένα σύνολο αιτημάτων για την επίπεδη Γεωμετρία, βασι­ σμένο στον κανόνα και το διαβήτη" και είναι χαρα­ κτηριστικός για το περιεχόμενο του άρθρου. Στην 1η παράγραφο λοιπόν της "Βασικής Γεω­ μετρίας" των G . D. Birkfoff - R. Beatly αντί των συνη­ θισμένων εισαγωγικών υπάρχει ο τίτλος: "Συμπερα­ σμοί. Η φύση της απόδειξης" και διαβάzουμε δύο μι­ κρές ιστορίες 4 σελίδων. Η πρώτη αναφέρεται σε έναν αγώνα μπέηzμπωλ αναμέσα στα "Γεράκια" και τους 'Άγριόγατους" ενώ η δεύτερη αναφέρεται στην προσπάθεια μιας κοπέλας να πείσει την αδελφή της μένει σπίτι να κάνει δουλειές, γιατί αυτή έπρεπε να πάει με το φίλο της στον κινηματογράφο. Με τις ιστο­ ρίες αυτές οι συγγραφείς θέλουν να επισημάνουν τις εφαρμογές της αποδεικτικής διαδικασίας, όχι μόνο στα Μαθηματικά αλλά και στην καθημερινή zωή. Πριν λίγα χρόνια, σε ένα συνέδριο διδακτικής, άκουσα το σοβιετικό ακαδημαϊκό Α Δ. Αλεξαντρώφ να λέει στην ομιλία του, ότι εκτός από τους μηχανι­ κούς, τους αρχιτέκτονες, τους πολεοδόμους, πρέπει να διδάσκονται Γεωμετρία (σε πανεπιστημιακό επίπε­ δο} και οι γιατροί και οι δικαστικοί. Ο Πλάτωνας πάλι έγραφε στην είσοδο της Ακα­ δημίας η "Μηδεiς άγεωμέτρητος ασήτω", δηλ. απο­ γόρευε την είσοδο σε όλους δεν γvώριzαν Γεωμε-

τρία. Ποιος είναι ο λόγος που επώνυμοι μαθηματικοί θεωρούν απαραίτητη τη διδασκαλία της Γεωμετρίας; Εδώ ένας καλό δάσκαλος θα μποpούσε να απα­ ριθμήσει μια σειρά από λόγους, που κάνουν τη διδα­ σκαλία της Γεωμετρίας απαραίτητη τουλάχιστον στην πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια εκπαίδευση, αφού τα τελευταία 100 χρόνια δόθηκαν αρκετές απαντή­ σεις στο προηγούμενο ερώτημα. Από αυτές ξεχωρί­ zουμε 3 , που η aντικειμενικότητά τους είνα γενικότε­ ρα αποδεκτή. • Ο πρώτος λόγος είναι ότι η διδασκαλία της Γεω­ μετρίας υποβοηθά και αναmύσει τη νοητική δη­ μιουργικότητα των μαθητών. • Ο δεύτερος λόγος είναι ότι η διδασκαλία της Γε­ ωμετρίας μας δίνει πολύτιμες πληροφορίες σχετι­ κά με το χώρο που zούμε. Η έννοια του χώρου δεν είναι έμφυτη στον άν­ θρωπο και συνεχώς μεταβάλλεται. Είναι χαρακτηρι­ στικό ότι σε πολλούς aρχαίους ποιητές η έννοια του "χώρου" δεν υπάρχει, στα έπη του Ομήρου, για πα­ ράδειγμα. Αντίθετα μετά το 1854, οπότε ο Γερμανός μαθηματικός Bertraηd Riemaηη γενίκευσε την έν­ νοια του χώρου, οι άνθρωποι άρχισαν να κατανοούν όχι μόνο την ύπαρξη χώρων με διάσταση ν > 3 , αλλά και την ύπαρξη μη-ευκλείδειων Γεωμετριών. Η επιβε­ βαίωση της ύπαρξης μη-ευκλείδειων χώρων έγινε από τον Α Eiηsteieη στις αρχές του αιώνα μας, ενώ λίγα χρόνια αργότερα ένα μεγάλος zωγράφος (S. Dali} παρουσίασε πρώτος εκπληκτικούς πίνακες, που παριστάνουν αντικείμενα (π.χ. υπερκύβους} του τε­ τραδιάστατου χώρου. • Ο τρίτος λόγος είνα ότι η γνώση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας υποβοηθά το άτομο να επιλύει πρα­ κτικά προβλήματα της καθημερινής zωης, που έχουν σχέση με εκτίμηση και υπολογίσJ.iό απο­ στάσεων, μέτρηση επιφανειών και όγκων, σχε­ διασμό ευθειών και γραμμών και γενικά να κατα­ σκευάzει γεωμετρικά μοντέλα προβλημάτων. Η αξιωμαηκή θεωρία, που ονομάzουμε Ευκλείδεια - Γεωμετρία, μαzί με τις αποδεικτικές μεθόδους που χρησιμοποιεί είναι πολύ κοντά σης σύγχρονες Γεωμετρικές θεωρίες, πιο κοντά π.χ. από όσο η Άλγεβρα, η Ανάλυση, η Θεωρία Πιθανοτήτων, η Φυσική και η Χημεία, που διδάσκονται στη

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ . 3/46


Πεpi Ι'εωpειpiας και άλλων Δaιpoviωv

δευτεροβάθμια εκπαίδευση με τη σημερινή κατά­ ταση των επισrημών αurών. Πράγματι πολλά σrοιχεία της σrοιχειώδους Γεω­ μετρίας, παραμένουν ίδια και σrις "ανώτερες" Γεω­ μετρίες, π.χ. το "απλό" πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει και για ν-διάσrατους ευκλείδειους χώρους, αλλά και παραπέμπει σrην σύγχρονη Αλγεβρική Γεωμετρία, καθώς το θεώρημα αυτό θεωρείται σήμερα το πρώτο θεώρημα της Αλγεβρικής Γεωμετρίας κ.λ.π. Αν συμφωνήσουμε ότι είναι απαραίτητη η διδα­ σκαλία του μαθήματος της Γεωμετρίας, θα πρέπει ακόμα να συμφωνήσουμε και τι ακριβώς θα διδά­ σκουμε. Τι είδοvς rεωpετρία ορέοει σκοvμε;

va διδά­

Από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι το 1827 υπήρχε μια Γεωμετρία, η ευκλείδεια. Επομένως όλοι οι άνθρωποι διδάσκονταν την ίδια Γεωμετρία και μά­ ί\ισrα από το ίδιο βιβλίο, τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη. Βέβαια την περίοδο αυτή έγιναν τεράσrιες προ­ σπάθειες για την "τελειοποίηση" της Ευκλείδειας Γε­ ωμετρίας, κυρίως για την απόδειξη του 5ου αιτήματος των παραλλήλων, από την αρχαιόmτα ακόμα, με τον Αρισrοτέί\η, Πρόκλο κ.ά. Αλλά και κατά τους νεότερους χρόνους, αρχικά οι μαθηματικοί (Wallis, Saccheή, Lambert, Legeηdre) δεν σκέφθηκαν να αμφισβητήσουν το οικοδόμημα του Ευκλείδη, απλά φιλοδοξούσαν, όπως ο Saccheri, να το δικαιώσουν. Οι αμφισβητήσεις άρχισαν από τους Gauss, Bolyai, Lobatseνski οπότε δημιουργήθη­ κε μη ευκλείδεια Γεωμετρία. Μετά ης εργασίες του Riemaηη (1868) έγινε φανερό, ότι οι Γεωμετρίες χα­ ρακτηρίzονται από την ομάδα μετασχηματισμών τους. Δηλαδή μια Γεωμετρία καθορίzει μια ομάδα και μια pμάδα χαρακτηρίzει μια Γεωμετρία, αν και υπάρ­ χουν Γεωμετρίες που δεν έχουν τη δομή ομάδας. Όμως, η γοητεία της ευκλείδειας Γεωμετρίας ήταν τόσο μεγάλη, που αρκετοί μαθηματικοί προσπά­ θησαν να αποκατασrήσουν την ευκλείδεια Γεωμετρία σύμφωνα με τις νέες πιο αυστηρές συνθήκες, που mo μεταξύ είχαν δημιουργηθεί. Στο σκοπό αυτό απέβλεπαν οι εργασίες των Μ. Pasch, Pieri, D. Hilbert και Ο. Vebleη . Όμως το "αναπαλαιωμένο" ευκλείδειο οικοδό­ μημα, αν και αποτελούσε σε μιαν αξιόπισrη μαθημα­ τική θεωρία, δε θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί με τη μορφή σχολικού εγχειριδίου, κυρίως γιατί τα νέα αξιώματα με τα οποία είχε εμπλουτισθεί ήταν έξω από το πνεύμα και τα ενδιαφέροντα της μέσης εκπαί­ δευση. Έτσι τα εγχειρίδια Γεωμετρίας μέχρι τον β ' Πα-

γκόσμιο Πόλεμο εξακολουθούσαν να είναι γραμμέ­ να με το πνεύμα τον Legeηdre, χωρίς να λαμβάνουν υπόψη τα νέα δεδομένα. Αυτά μέχρι το 1940, οπότε εκδόθηκε η Βασική Γεωμετρία" των Birkhoff-Beatley. Όπως αναφέραμε ο Birkhoff επεξεργάσθηκε τό αξιωματικό σύστημα του Hilbert κατά ευφυέσrατο τρόπο, αντικαθισrώντας όλα τα "δύσκολα" αξιώματα με δύο νέα: το αξίωμα τον κανόνα και το αξίωμα του διαβήτη. Μεταπολεμικά το σύστημα του Birkhoff αποτέλε­ σε ένα πρότυπο για τη δημιουργία αξιωματικών συστημάτων, κατάλληλων για τα εγχειρίδια της δευτε­ ροβάθμιας εκπαίδευσης. Σης αρχές της δεκαετίας του 1950 αρκετοί μαθη­ ματικοί, κυρίως από χώρες στις οποίες δεν ήταν γνω­ στή η "Βασική Γεωμετρία", άρχισαν να προβληματί­ zονται για το αν πρέπει και πώς πρέπει να διδάσκεται η Γεωμετρία. Τα ερωτήματα ήταν εύλογα αν σκεφθούμε ότι σήμερα εκτός από τη Γεωμετρία του Ευκλειδή υπάρ­ χουν και αναmύσσονται: η Υπερβολική, η Ελλειmι­ κή, η Απόλυτη, η Αφινική, η Συνδυαστική, η Αναλυτι­ κή, η Διαφορική, η Αλγεβρική, η Γεωμετρία Miηkow­ ski, η Διανυσματική, η Γραμμική, η Τοπολογική, η Σχετικιστική, η Γεωμετρία των απειροδιάστατων χώ­ ρων, των κυρτών χώρων, των μετρικών χώρων, των ν-διάσrατων χώρων κλπ. Μπορούμε λοιπόν αβίαστα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι σήμερα (όπως και το 1950), η έν­ νοια "Γεωμετρία" είναι διαφορετική από την ιδέα που οι άνθρωποι είχαν για την έννοια αυτή το 1850 . Άρα λοιπόν και η Γεωμετρία που πρέπει να διδά­ σκεται σrις μέρες μας θα έπρεπε να είναι διαφορετι­ κή, από αυτήν που διδάσκονταν το 1850 και προη­ γούμενα. Γιατί ουσιασrικά (και όχι μόνο σrην Ελλά­ δα) η Γεωμετρία που διδάσκονταν .στη δευτεροβάθ­ μια εκπαίδευση δεν ήταν παρά μια εκδοχή του εγχει­ ριδείου του Legeηdre . τί έπρεπε να γίνει όμως; (Συνεχίzεται στο 4ο τεύχος). Αχιλλέα Β. Κυριάκου

ΚυκλοψοQεί: 3 3 0 Λυμένα Γενικά θέματα 4ης Δέσμης επιπέδου Γενικών εξετάσεων εψ όλης της ύλης Κ ι•%λοιr οριn•ν ι:τίιηι; στη

νω

ι•λη:

Άλγεβρα Α ' Λυκείου (2 τεύχη) • Άλγεβρα ! ης Δέσμης 4ης Δέσμης • Ανάλυση 4ης Δέσμης (2 τεύχη)

Άλγεβρα

Εκδοτ. Όμιλ. Συγγρ. Καθηγητών. Σόλωνος 100 Αθήνα τηλ. 3646 1 25 . Αχιλλέας Β. Κυριάκου - Ασκληπιού 2 8 Λάρισα τηλ. (04 1 ) 259530 & (0495) 3 1 125 Στους Μαθηματικούς γίνεται έκπτωση 30% και δίνονται δωρεάν οι λ'ύσεις των ασκήσεων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β '

κη. τ.

3/47


θέματα και Λvσεις Διαyωνισμοv "Αρχιμήδης" Επιτροπή Διαyωvισμοv

θέματα r·r.,μvασίο" θέμα lo

ο

Θεωρούμε τους αριθμούς Α = (20 + 821 : 1615 + 6 . 2 710 : 8 1 7 )63 , Β = (2� : 252 + 1)54. Ποιός είναι μεγαλύτερος;

ο

ο

Στα τετράγωνα ενός 3Χ3 πίνακα είναι γραμμένα τα ψηφία Ο. (Σχ. 1). Λαμβάνουμε ένα 2Χ2 τετράγωνο του πίνακα και στους αριθμούς που υπάρχουν προσθέι:ουμε το 1. Να εξετάσετε, αν μετά από μερικές φορές ο πίνακας μπορεί να γίνει όπως στο Σχ. 2 .

ο

ο

ο

ο

ο

4 ..

9

5

1 0 1 8 12 7

13 6 Σχ.2

θέ•α 4ο

Να εξετάσετε αν υπάρχουν ακέραιοι χ, ικανοποιούν την εξίσωση χ2 + 4y 1995.

y

που

=

θέ•α 3ο

ο

ο

ο

Σχ. 1

θέμα 2ο

Θεωρούμε 6 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Έστω α το άθροισμα των τριών πρώτων και Β το άθροισμα των τριών άλλων. Είναι δυνατόν να ισχύει αβ = 19951995;

ο

ο

ο ο

ο

ο ο

4 9 5 .. 1 0 1 8 12 7

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και εγγεγραμμένο σ' αυτό τετράπλευρο ΚΛΜΝ με ΚΕ ΑΒ, Λ Ε ΒΓ, Μ Ε ΓΔ, Ν Ε ΔΑ. Αν από τα τετράπλευρα ΚΛΜΝ υπάρχει ένα με ελάχιστη περίμετρο, να αποδείξετε ότι (ΑΒ) (ΓΔ) + (ΒΓ) (ΑΔ) (ΑΓ) (ΒΔ). =

θέμα 2ο

1 ) (1 - 1 ) ... ( 1 - l) > 1994 (1 - 1995 19963 19953

Αν ν � 1994, να αποδείξετε ότι:

13 6 Σχ.2

Σχ. 1

θέμα lo

if

θέμα 4ο

τρεις σφαίρες από χρυσάφι έχουν ακτίνες χ, 2χ, 3χ. Αν η μεγάλη σφαίρα αξίzει 5.400. 000 δρχ., να Βρεθεί πόσο αξίzουν συνολικά οι δύο μικρές.

Θέιια 3ο

Να προσδιορίσετε τους πρώτους αριθμούς χ, τους οποίους ο αριθμός χχ+ ι + yY+ ι είναι πρώτος.

y

για

θέpα 4ο θέμα lo

Στο επίπεδο δίνονται 4 ευθείες και είναι yvωmό, ότι κάθε άλλη ευθεία τέμνει είτε 2 είτε και ης 4 από ης ευθείες. Πόσες από ης δοσμένες ευθείες είναι παράλληλες; θέμα 2ο

Αν α, Β, Ε R+ και χ, y Ε R: να αποδείξετεόη:

(a� + BJ+ (a� + Bf� 2(a + 6)2 ·

θέ•α 3ο

Στα τετράγωνα ενός 3Χ3 πίνακα είναι γραμμένα τα ψηφία Ο. (Σχ. 2 ). Λαμβάνουμε ένα 2Χ2 τετράγωνο του πίνακα και στους αριθμούς που υπάρχουν προσθέι:ουμε το 1. Να εξεi:άσετε, αν μετά από μερικές φορές ο πίνακας μπορεί να γίνει όπως στο Σχ. 2 .

Γύρω από ένα mρογγυλό τραπέzι είναι τοποθετημένοι 25 μαθητές. Σε κάθε μαθητή έχουν δοθεί 2 κάjχες. Σε κάθε μια από τις 50 κάρτες είναι γραμμένος ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3, . . . 25 ώστε κάθε αριθμός να είναι γραμμένος σε δύο κάρτες. Μόλις κτυπάει ένα κουδούνι, κάθε μαθητής δίνει στον μαθητή που κάθεται δεξιά του, εκείνη από τις δύο κάρτες του που έχει γραμμένο τον μικρότερο αριθμό, από τους 1, 2, 3, . . . , 25. Αν κάποιος μαθητής έχει δύο κάρτες με τον ίδιο αριθμό η διαδικασία mαματά. Να αποδείξετε ότι αργά ή γρήγορα η διαδικασία θα mαματήσει.

θέ•α lo

Το σχήμα Φ(r) αποτελείται από τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν από τα σημεία τριγώνου ΑΒΓ, απόσταση όχι μεγαλύτερη από τον αριθμό r (r Ε R:) και έχει εμβαδό E(r).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/48


θέματα και λνσεις Διαyωvισpον "Αρ:ιupόδος"

θέμα 2ο

Όχι, αφού ο α ή ο β είναι άρηος. θέμα 3ο

Όχι, αφού θα έπρεπε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στις κορυφές να είναι ίσες με τον αριθμό που βρίσκεται στο κεντρικό τετράγωνο. Όμως: 4 + 5 + 6 + 7 = 22 ;ο! 1 8 .

θέμα 4ο

1.800. 000 Λvσεις θεμάτων ΑΆvκείοv θέμα lo

Να προσδιορίσετε το

Έστω ει , ε2, ε3, ε4 οι δοσμένες ευθείες. Διακρίνουμε ης εξής περιmώσεις: ί. Οι ευθείες ανά δυο τέμνονται. ίί. Δυο ακριβώς ευθείες είναι παράλληλες, π.χ. ει//ε . 2 ίίί. Τρεις ακριβώς ευθείες είναι παράλληλες, π.χ. ει//ε2//ε . 3 ίν. Όλες οι ευθείες είναι παράλληλες ει//�//ε�/ε4. ν. Δύο zεύγη ευθειών είναι παράλληλα π.χ. ει//ε2 και ε�/ε4.

E(r) r --+ CD r2 im

[

Να εξετάσετε αν ο πίνακας

Μ=

,

2ΟΟΟΖΟΟ1 20012002 20CJ22003 20032004 20042oos � . 20062007 20072008 2())32009 J

είναι αvτισφέψιμος θέμα 3ο

Έστω σημειοσύνολα Α, Β. Ονομάzουμε ''σύνθεση" των Α, Β το σύνολο Γ = ΑοΒ που ορίzεται ως εξής: Αν το σημείο (χ, y) ανήκει στο Γ, τότε υπάρχει z Ε R, ώστε το σημείο (χ, z) ανήκει στο Α και το (z, y) ανήκει στο Β. (i) Να προσδιορίσετε το ΑοΒ, αν Α = { (-1, 0 ), (0 , 1), (1, 0) } , Β = { (-1, 0 ), (1, 0 ), (0 , -1)}. (ίί) Να προσδιορίσετε το ΑοΑ, αν το Α περιέχει τα σημεία (χ, y) για τα οποία χ2 + y2 = 1. (ίiί) Να προσδιορίσετε το ΑοΒ, αν το Α περιέχει τα σημεία (χ, y) για τα οποία y = χ - 1 και το Β τα σημεία (χ, y) για τα οποία Υ = ιχι. θέμα 4ο

Σης τρεις πρώτες περιmώσεις μια ευθεία παράλληλη στην Ε4 τέμνει ης άλλες τρεις, οπότε οι περιmώσεις αυτές δεν ισχύουν, ούτε και η (ίν), αφού κάθε ευθεία παράλληλη στην Ε4 δεν τέμνει καμμία από ης άλλες. Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες ανά zεύγη. θέμα 2ο Η

σχέση γράφεται ως εξής:

c} >f + 2aβx + β2 + if ':l- + 2αβy + β2 ;:: χ Υ χ2 ':f2-

2 (cl- + β2 + 2αβ) ή

c1-(>f ) ( ) y2

+ y2 + 2aβ � + � ;:: 2 (cl- + 2αβ) Υ χ χ2

'Ομως: -2- + y2 ':f2-

Ο εγγεγραμμένος κύκλος c ορθογωνίου τριγ. ΑΒΓ (Α = 90• ) εφάmεται στις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ στα Δ, Ε, Ζ. Έστω Ι το έγκεντρο του ΑΒΓ. Η ΒΙ τέμνει την ΔΕ στο Κ και η ΖΚ την ΑΓ στο Μ, όμοια η Π τέμνει την ΔΖ στο Λ και η ΕΛ την ΑΒ στο Ν. Να αποδείξετε όη ΒΝ = ΓΜ.

θέμα 3ο

θέμα lo

θέμα 4ο

Είναι: Α = [1 + (23)2ι : (2ψs + 6 . (3ψο : (3ψ]63 = = (1 + 23 + 6 32)63 = 6363 και Β = (232 : 22s + 1)54 = (27 + 1)54 = 12954 Όμως: Α = 6363 < 6463 = (27 )54 = (128)54 < 12954 = Β 11 (26)63 ·

χ2

;::

2

και

� + � ;:: 2, οπόι:ε ισχύει. χ

Υ

Όχι, αφού θα έπρεπε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στις κορυφές να ισούται με τον αριθμό που βρί­ σκεται στον κεντρικό τετράγωνο. Όμως: 4 + 5 + 6 + 7 = 22 ;ο0 18. Όχι.· Πράγμαη, επειδή ο 1995 είναι περmός και ο 4y άρηος, ο χ2 θα πρέπει να είναι περιπός. Έστω χ = 2κ + 1 (κ Ε Ζ) . Τότε: (2κ + 1)2 + 4y = 1995 = = 4κ2 + 4κ +4y = 1994 = 4(J<2 + k + y) = 1994. Όμως ο 4 δεν διαιρεί τον 1994, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/49


θέματα και λvσεις Διαyωvισpοv "Αρχιpόδος"

Αnόδειξn Λvσεις θεμάτων a·Λvκείοv θέμα lo

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και εγyεγραμμένο σ' αυτό τετράπλευρο ΚΛΜΝ με Κ Ε ΑΒ, Λ Ε ΒΓ, Μ Ε ΓΔ, Ν Ε ΔΑ. Αν από τα τετράπλευρα ΚΛΜΝ υπάρχει ένα με ελά­ χιστη περίμετρο, να αποδείξετε ότι (ΑΒ) (ΓΔ) + (ΒΓ) (Μ) = (ΑΓ) (ΒΔ). Λvσn

Από το θεωρ. Πτολεμαίου προκύmει ότι αρκεί να απο­ δείξουμε ότι ο ΑΒΓΔ είναι εγyράψιμο σε κύκλο.

( ι - ι�53) (ι - ι�3) ( �) > (ι - ι�5) ( �) (ι -�) (ι ι�5) (ι + �) �= �= �: ι997 + ι - ι . ι99ι9965 . ι996 ι994 . ι99+ 5ι > ι99ι994.5 Επομένως:

··· ι-

ι-

···

...

=

=

>

+

···

ι

·

···

...

·

v

v

v

ν

v

v

θέμα 3ο

Αν οι x,y είναι περιποί πj:>ώτοι, ο αριθμός χχ+ ι + yΥ+ ι θα ήταν άρτιος >2, άρα όχι πρώτος. Έστω ότι χ = 2 και y περιπός πρώτος. ι Τότε: χχ+ ι + yΥ+ = 8 + (y2)2, όπου z = y+ 1/2 · Αν ο y δεν διαιρείται με τον 3, τότε ο (y2) 2 είναι της ι μορφής 3κ+ 1 , άρα Ο Χχ+ + yy+ ι = 8 + 3κ + 1 = 3λ, άτοπο. (Όμοια, για 3κ + 2). Άρα y = 3, οπότε: χχ+ ι + yΥ+ι = 8 + 81 = 89 πρώτος. Ώστε: χ = 2, y = 3.

Α

Nl

θέμα 4ο

Έστω ότι το � μπ2ρεί να πάρει την ελάχιστη πε­ ρίμετρο και έστω ΑΚΙ\Ι "' ΒΚΛ. Τότε μπορούμε να βρούμε επι tης ΑΒ σημείο Κι , ώστε (ΝΚι) + (ΚιΛ) < (ΝΚ) + (ΚΛ). Πράγματι αν Ν ι το συμμετρικό του Ν ως προς την ΑΒ και Κι η τομή της ΑΒ με την ΝιΛ, τότε: JΝΚι) -t_ (ΚιΛ) < (ΝΚ) + (ΚΛ). Ακόμα ΑΚιΝ=ΒΚιΝ/(*) Όμοια (για να έχει το ΝΚΛΜ την ελάχιστη περίμετρο θα πρέπει: ΚΛΒ = ΜΛΓ, ΓΜΛ = ΔΜΝ, ΔΝΜ = ΑΝΚ. Qπότε: ω + θ + 8 =:._ 180°, θ + σ + Γ = 1 80°, σ + φ + Δ = 1�0°, � + ω + Α = 180°. Τότε: Α + Γ = 360° - (θ + σ + φ + ω) και Β + Δ = �60° ::_ (ω _± θ ± σ + φ) . Άρα: Α + Γ = Β + Δ = 180°, δηλ. το ΑΒΓΔ είναι εγ­ γράψιμο. �

θέμα 2ο

··· ι -

r· Λvκείοv θέμα lo

Αν α, β,γ είναι οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ, τότε E(r) = (ΑΒΓ) + (α+β+γ) · r + π� �

� Im

Αν ν <:: 1994, να αποδείξετε ότι:

( ι - ι�53) (ι - ι�3) ( �)

Ας υποθέσουμε ότι όταν μοιράσθηκαν οι κάρτες, κάθε μαθητής είχε κάρτες με διαφορετικούς αριθμούς, αλλοιώς η διαδικασία δεν θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί. Οπότε στον 1° γύρο δεν αvταλάσσοvται κάρτες με το 25. Έστω ότι οι μαθητές α, β έχουν τις κάρτες με το 25. Αν οι ίδιοι μαθητές είχαν και τις κάρτες με το 24, τότε το πpλύ μετά από 2 γύρους θα τις είχαν μοιράσει σε άλλους (είτε το παιχνίδι θα είχε σταματήσει). Έτσι, μετά τον 2° γύρο οι κάρτες με το 24 δεν μοιράzοvται κλπ. Όμοια δείχνουμε ότι οι κάρτες 23,22, ... , 14 και μια κάρτα με το 13 παύουν να κυκλοφορούν, οπότε μετά από 24 παιχνίδια κάποιος μαθητής θα έχει 2 κάρτες.με το 13 και το παιχνίδι θα στα­ ματήσει.

>

�= ,

r -+ oo

11

Im

r -+

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β.

σο

κο. τ.

[(ΑΒΓ) + α + β + Υ + ] r2

E(r) r2

3/50

r

π


θέματα και λvσεις Διαyωvισpοv "Αρχιpόδnς"

θέμα 2ο

Για να είναι ο Μ aντιστρέψιμος, πρέπει και αρκεί lM I ;ο0 Ο. Παρατηρούμε ότι το τελευταίο ψηφίο του 2ΟΟ0Ζ001 είναι Ο, του 200 1 2002 είναι 1 , του 20022003 = 20024·500+3 το 8, του 20032004 = 20034·501 το 1, του 20042005 το 4, του 20052006το 5 , του 20062007 το 6, του 20072008 = 20074·502 το 1 και του 20082009 = 20084·502 + 1 το 8. Το ανάmυγμα της IMI είναι: IMI = 2000200 1 . 20042005 . 20082009 + 2003 2004 . 2 00 72008 . 20022003 + 2001 2002 . 20052006 . 20062007 2002 2003 . 20042005 . 20062007 - 200 1 2002 . 20032004 . 20082009 - 20052006 . 20072008 . 2000Ζ001 . Τα τελευταία ψηφία των παραγόντων του αθροίσματος είναι Ο 4 8 + 1 1 8 + 1 5 6 - 8 4 6 - 1 1 8 - 5 1 Ο. ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Άρα το τελευταίο ψηφίο της lM I είναι 8 ;ο0 Ο, άρα IMI ;ο! Ο.

θέμα 3ο ί. Συγκρίνοντας τις τεταγμένες των στοιχείων του Α με

τις τετμημένες των στοιχείων του Β έχουμε ότι: ι = Ο ή ι = 1. Για ι = Ο, προκύmει ότι τα σημεία (1,-1), (-1,-1) ανή­ κουν στο ΑοΒ, ενώ για ι = 1 προκύmει ότι το σημείο ( 0,0 ) Ε ΑοΒ. Άρα: ΑοΒ = Γ = { ( 1 ,-1), (0,0), (-1, -1) }.

ίίί. Το σημείο (x,y) ανήκει στο σύνολο ΑοΒ, αν υπάρχει ι Ε R ώστε (χ, ι) Ε Α και (ι,y) Ε Β. Οπότε θα πρέnει να υπάρχει ι Ε R ώστε ι= χ - 1 και y = ΙιΙ. θέμα 4ο

Ο εγγεγραμμένος κύκλος c ορθογωνίου τριγ. ΑΒΓ (Α = 90°) εφάπτεται στις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ στα Δ, Ε, Ζ. Έστω I το έκκεντρο του ΑΒΓ. Η Bl τέμνει την ΔΕ στο Κ και η ΖΚ την ΑΓ στο Μ, όμοια η ΓΙ τέμνει την ΔΖ στο Λ και η ΕΛ των ΑΒ στο Ν. Να αποδείξετε ότι ΒΝ = ΓΜ. Αοόδειξn

Αν ρ η ακτίνα του εγγέγρ. κύκλου στο ΑΒΓ, θα δεί­ ξουμε όη ΒΝ = ΓΜ = ρ. Φέρνουμε ΙΔ = ΙΕ = ΙΖ = ρ. Επε!§ή τα Δ,Ε �ναι συ...J.Ιμετρι�ά ως προς τη διχοτόμο ΓΙ της Γ θα είναι � = Λf:Ι = ΛΖΙ. Άρα το ΛΙΕΖ είναι εγγράψιμμο οπότε ΕΛΖ = ΕΙΖ = 90°. Άρα ΕΝ II ΒΙ αφού και Bl .l ΔΖ. Αλλά και ΙΕ //Β Ν. Ώστε το BIEN είναι παραλ/μο, άρα ΒΝ = ΙΕ = ρ. Όμοια και ΓΜ = ρ, άρα ΒΝ = ΓΜ. Α

ίί. Το σημείο (x,y) ανήκει στο σύνολο ΑοΑ, αν υπάρ­ χει ιΕR ώστε: χ2 + ι2 = 1 ( 1 ) και z2 + y2 = 1 (2). Από τις (1), (2 ) προκύmει ότι χ2 = y2 και ακόμα είναι lxl :5 1 (3).

Πράγματι, αν θέσουμε ι = � τότε: χ2 + z2 = 1 = z2 + y2, κι άρα το (x,y) ανήκει στο ΑοΑ. • .

Β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΕΣΜΗΣ

ΜΟΛΙΣ ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ

Π ΡΟ ΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ

ΠlθΑΝΟΤΗΤΩΝ

Απο τις εκδόσεις ΠΡΑΞΗ κυκλοφορούν :

ΣΥΝΔΥΑΣτΙ ΚΗΣ

• Δ.Γ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ : ΆΛΓΕΒΡΑ Ι (Πινακες , Ορίζουσες , Συστήματα , Μιγαδικοί ) • Δ.Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ : ΔΙΆΝΥΣΜΑ τΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΑΝΑΛ ΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ι

ΔΗΜΗτΡΗ Ι. ΜΠΟΥΝΑΚΗ + ΣΤΟαΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΣΧΟΛΙΑ

• Δ.Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ : ΔΙΆΝΥΣΜΑτΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΑΝΑΛ ΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 11

• ΕΠΑΝΑΛΗΠτJΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΑ

.ι.

• Π.Μ. ΒΛΑΜΟΥ - Δ.Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 11 : (Συνδυαστική - πιθανότητες )

ΑΛ YfA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

• ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ ΠΟΚΕΡ-ΠΡΟ· ΠΟ-ΛΟΠΟ •

550

Γ

Δ

Γ

Μια συλλογή βιβλίων με πληρότητα και ποιότητα που αποδεικνύεται απο τις αναφορές σε αυτά έγκυρων ! ξενόγλωσσων Μαθηματικών Περιοδικών

i

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

I

Για τοu� μαθnτέι,; mι,; Α', Δ� Δέσμn� , τοuι,; φοιmτ� των Φuσικόμαθnματικών και οικονομικώ ν σχολών

---

L_

και όσοuι; αγαπούν τα Μαθηματικά . . .

Παραγγελίες : ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗ Αδ. Κοραή 31 τ.κ 16232 Βύρωνας Τηλ. (01)7642728 Οι παραγγελίες εκτελούνται αυθημερόν

Υπο έκδοσn : Προβί\ήματα Μιγαδικών αριθμών

,

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΣΗ -Τnλ. (081) ·252140

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β κη. τ. .

3/5 1


�Ένα nρ��λnμα πολλές λvσεις Επιμέλεια: Νίκος Στάθο Παοαδόοοvλος

ΔεUιερος τρόuος: (Σχήμα 1) . . . συνεχίzουμε. Τις ασκήσεις 8 και 9 μας έστειλε ο .Α = 90 <=> β2 + i- = α2 <=> συνάδελφος: Χριίστος Στέλλας, (υ� + ΔΓ2 ) + (υ� + ΒΔ2) = (ΒΔ + ΓΔ)2 <=> λυμένες με τέσσερις και οχrώ διαφορετικούς τρόπους 2 υ2α + ΔΓ2 + ΒΔ2 = ΒΔ2 + ΔΓ2 + 2ΒΔ ΔΓ <=> 2 υα2 = 2ΒΔ ΔΓ <=> υ2α = ΒΔ ΔΓ αντίστοιχα. •

·

·

·

Τρίτος τρόuος: (Σχήμα 1) Την άσκηση 10, λυμένη με 10 διαφορετικούς Ο = συν 90" = συν (Β + Γ) τρόπους ο Ταξίαρχος ε.α. Νίκος Κvριαzιίς, = συνΒ συνΓ - ημΒημΓ ΒΔ. . ΔΓ- υ2 ΒΔ. ΔΓ υ υ ο οποίος μας έστειλε και άλλες 4 διαφορικές λύσεις , α οπσrε: = = · --· της άσκησης 3 . ν ν β β βγ 2 2 Την άσκηση 11, λυμένη με 9 διαφορετικούς τρό­ ΒΔ · ΔΓ - υ = 0 <=> υ = ΒΔ · ΔΓ πους μας έστειλε ο συνάδελφος: Τέταρτος τρόuος: (Σχήμα 2) rιώρyος Τοαοακίδnς. Έστω Ε το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΒΓ. Φέρουμε τα ε�θύγραltμα τμήματα ΒΕ και ΕΓ. ί\οκnοn 8n Προφανώς ΑΒΓ = ΕΒΓ, άρα ΒΕ = ν και ΓΕ = β . α

----

α

α

α

.....

Σε ορθοyώνιο τρίyωνο ABr (Α = 90 ) φέροvμε το Uψος ΑΔ = V0, uov αvι:ιστοιχεί στον vuοτείνοvοα. Αuοδείξτε ότι: v : = ΒΔ • Μ.

Α

Σχήμα 2

Αuόδειξn Πρώτος τρόuος: (Σχήμα

1)

Α

Ε

Σχήμα 1

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΑΓ:

)

, �. Β = � ('yicnί;) αρα f\ljll Α1 = r ('yicnί;) <=> υ2α = ΒΔ · ΔΓ ·

·

_

ΔΑΓ ,.

υα ΒΔ. , οπσrε =ΔΓ υα

Επίσης έχουμε: ΒΑΓ + ΓΕΒ = 90" + 90" = 180" . Άρα το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι εyγράψιμο. Έστω (0, R) ο περιγεγραμμένος κύκλος (: το Ο συμπίmει με το μέσον του ΒΓ και R = α/2). Ακόμη έχουμε: ΑΔ ΔΕ = ΒΔ ΔΓ <=> υ2α = ΒΔ · ΔΓ. ·

·

.....

ί\οκnοn 9n Σε ορθοyώvιο τρίyωνο ABr (Α = 90") φέροvμε το ι5ψος ΑΔ = V0, uov αvnοτοιχεί στον vuοτείνοvοα. Αuοδείξτε ότι: 8 y = α • V0• •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/52


Έvα ορόβλnpα οολλές Α-'σεις

Αnόδειξn: Πρώτος τρόοος: {Σχήμα 3) Δ.

Δ.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΓΒΑ: Λ fJΛ - �Λ , υα Υ Δι = Α = 90ο , nDI..1 ι α-1 οπσrε- = αρα β α a=a . . � β Υ = α υα _,..._

)

_,..._

Α

Σχήμα 3

Έκτος τρόοος: {Σχήμα 3 ) 1 = ημ9ο• = ημ {Β + Γ) = ημΒ συνΓ + ηiιΓ συνΒ = υα ΓΔ υα ΒΔ =-·+-· Υ β β Υ = υα {ΓΔ + ΒΔ) = υα . α � β . Υ = α . υα β·y βy Έβδομος τρόοος: {Σχήμα 4) Δημιουργούμε το ορθογώνιο ΑΔΒΕ και φέρου­ με το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΒΓ είναι ισοδύναμα, γιατί έχουν κοινή βάση, τη ΒΓ, και οι τρίτες κορυφές τους βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη προς τri βάση. ΑΒ Ακόμη aί\r = rBE = 90° οπάrε: 1 = {ΑΒΓ) = · ΑΓ {ΒΕΓ) ΒΓ · ΕΒ = γ- β � β · y = α · υα α · υα Δ.

Δε.Περος τρόοος: {Σχήμα 3 ) (β · y)2 = β2 · y2 = {α · ΓΔ) · {α · ΒΔ) = α2 {ΓΔ ΒΔ) = α2 υ2α = {α υα) 2 οπότε β γ = α · υα . ·

·

·

·

·

--

Ε Α �----...

Τρίτος τρόοος:

Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, ισχύει: β · γ = 2R · υα {1). α , , �....ι::ι.v ν:,νιοτριyωνο ομως R = - {2) , α η υπσrειΣε � 2 νουσα του τριγώνου. Η {1) με βάση τη {2) γράφεται: β . Υ = 2 . -α . υα � β . Υ = α . υα 2

Δ.

,

Σχήμα 4

Β

Δ

Όyδοος τρόοος: {Σχήμα5)

Γ

Α

Τέταρτος τρόοος: {Σχήμα 3)

Αν με {ΑΒΓ) συμβολίσουμε το εμβαδόν του ΑΒΓ, έχουμε: {ΑΒΓ) = 1 β · y 2 οπάrε: {ΑΒΓ) = 1 α · υα 2 1 β · y = 1 α · υα � β · γ = α · υα 2 2

\ ι

,

\ ι

Πέμιιτος τρόοος: {Σχήμα 3)

{ΑΜ) ΒΔ · υα "Δι - Α"- goo αpα -- -{ΑΒΓ) β · y , οπσrε: � = Α = goo άρα {ΑΔΓ) = ΔΓ . υα {ΑΒΓ) β · γ ΒΔ · υα + -ΔΓ · υα � {ΑΜ) + {ΑΔΓ) = -β·Υ {ΑΒΓ) {ΑΒΓ) β · Υ {ΑΒΓ) - α · υα {ΑΜ) + {ΑΔΓ) {ΒΔ + ΔΓ) υα � -β·Υ {ΑΒΓ) {ΑΒΓ) β · Υ α · υα � β Υ = α . υα �1 = . β·y _

_

_

-- --

..:...___;_ ..__ ____ _ _:. ...:... -

_

__

·

_

--

Σχήμα 5 ι:

Έστω Ε το συμμετρικό του Α ως riρος την ευθεία ΒΓ. Φέρουμε τα εgθύνρ<ψμα τμήματα ΒΕ και ΕΓ. Προφανώς ΑΒΓ = ΕΒΓ οπότε: ΒΕ = γ και ΕΓ = β. Το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι εyyράψιμο {γιατί;). Με εφαρμογή του α ' θεωρήματος του Πτολεμαίου έχουμε: ΑΒ ΓΕ + ΑΓ · ΒΕ = ΒΓ · ΑΕ � Υ · β + β Υ = α 2υα � 2βy = 2α · υα � β · γ = α υα. ·

·

·

·

Ασκnσn lOn Τα \ίψn κάθε τριyώvοv οερvο\ίv αοό το ίδιο σnμείο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/53


Έvα ορόβλοιια οολλές λvσεις

δή προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΔΓ, ΒΔΑ, είναι όμοια έχουμε: ΗΔ = ΒΔ ή ΗΔ = ΒΔ · ΔΓ (1) ΔΓ ΔΑ ΑΔ Με ανάλογο τρόπο και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα Η · ΔΒ, ΓΔΑ βρίσκουμε και ότι: Η ' Δ = ΒΔ · ΔΓ (2)

Αα6δει�ο Πρώτος τρόοος (Σχήμα 1) Γ'

Α

Β

Σχήμα 1

ΑΔ

Α'

Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ με τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. Από τις κορυφές του τριγώνου φέρουμε παράλλη­ λες σης απέναντι πλευρές του, οπότε σχηματίzεται ένα νέο τρίγωνο Α ' Β ' Γ' . τα τετράπλευρα ΑΓ' ΒΓ και ΑΒΓΒ · προφανώς εί­ ναι παραλληλόγραμμα και επομένως θα είναι Γ ' Α = ΒΓ = ΑΒ ' , οπότε Γ ' Α = ΑΒ . . Άρα Α μέσον της Β Τ ' . Ακόμη είναι ΒΓ// Β ' Γ' , ΒΓ .l ΑΔ. οπότε ΑΔ .l Β ' Γ ' . Επομένως η ΑΔ είναι μεσοκάθετος της Β ' Γ' . Όμοια βρίσκουμε ότι και οι ΒΕ, ΓΖ είναι μεσοκάθετες σης Α ' Γ ' και Α · Β · αντίστοιχα. Δηλαδή τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ του τριγώνου ΑΒΓ, είναι ταυτόχρονα και μεσοκά­ θετες των πλευρών του τριγώνου Α ' Β ' Γ ' και συνε­ πώς θα περνούν από το ίδιο σημείο.

Από (1), (2) έχουμε ΔΗ = ΔΗ ' . (3) Δηλαδή τα Η και Η ' απέχουν ίσες αποστάσεις από το Δ, ανήκουν στην ΑΔ και επειδή εύκολα αποδεικνύε­ ται ότι πάντοτε βρίσκονται και τα δύο προς το ίδιο μέρος της ΒΓ( l}, τα Η, Η ' ταυτίzονται. τούtο σημαίνει ότι οι ΒΕ και ΓΖ τέμνουν την ΑΔ στο ίδιο σημείο και συνεπώς οι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ περνούν από το ίδιο σημείο. Σομείωσο ( 1). Όrαν οι γωνίες Β και Γ είναι οξεί­ ες, τότε τα Η και Η ' βρίσκοvrαι προς το μέρος της κο­ ρυφής Α, ενώ όταν μία από τις Β ή Γ είναι αμβλεία, τότε τα Η και Η ' βρίσκονται από το άλλο μέρος της ΒΓ. Τέταρτος Τρόοος (Σχήμα 2).

Αν στο δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι τα ύψη του, τότε εύκολα βρίσκουμε ότι τα 7'εύγη των τριγώνων ΑΓΖ - ΑΒΕ, ΒΑΔ - ΒΓΖ, ΓΒΕ - ΓΑΔ, είναι όμοια, οπότε θα έχουμε: Δε.Πέρος τρόοος: (Σχήμα 2). ΑΖ = ΓΖ ΒΔ = ΑΔ ' ΓΕ = ΒΕ (1) ' Αν στο δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ οι ΒΕ και ΓΖ είναι ΑΕ ΒΕ ΒΖ ΓΖ ΓΔ ΑΔ τα δύο ύψη του και Η η τομή των ΒΕ και ΓΖ, Δ η τομή ΠΟΟΟΟπί'αοιάzουμε κατά μέJ'ιη mς (1) κι έχουμε: των ΑΗ και ΒΓ, τότε επειδή τα τετράπλευρα ΑΖΗΕ και ΖΒΓΕ είναι προφανώς εγγράψιμα, θα έχουμε: ΑΖ . ΒΔ . ΓΕ = ΓΖ . ΑΔ . ΒΕ = 1 (2) ΑΕ ΒΖ ΓΔ ΒΕ ΓΖ ΑΔ Α ή ΑΖ . ΒΔ . ΓΕ = 1. (3) ΖΒ ΔΓ FA Αν θεωρήσουμε γνωστό το θεώρημα Ceνa (αντί­ στροφο), η (3) σημαίνει ότι οι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ περνούν από το ίδιο σημείο Η. Οέμοτος τρόοος (Σχήμα 2).

Σχήμα 2

Αν τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι τα ύψη δοσμένου τριγώ­ νου ΑΒΓ, τότε είναι γνωστό ότι λ.χ. το ύψος ΑΔ είναι ο ΑΔΓ = 2 ορθές - ΔΑΓ - ΔfΑ = 2 ορθές - ΗΑΕ - BfE = γ.τ. των σημείων Μ, για τα οποία είναι: (ΜΒ)2 - (ΜΓ) 2 = C. 2 ορθές- ΗΖε- EiA. = 2 ορθές- HiA = 2 ορθές- ΑΖΓ = Συνεπώς θα είναι και 2 ορθές- 1 ορθή = 1 ορθή. Άρα ΑΔ .l ΒΓ. (ΑΒ) 2 - (ΑΓ)2 = (ΔΒ)2 - (ΔΓ) 2 = C. (1). Δηλαδή και η AI-i είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Συνεπώς και τα τρία ύψη του δοσμένου τριγώνου περ­ νούν από το Η. Όμοια βρίσκουμε και ότι: ΓΑ2 - ΓΒ2 = ΖΑ2 - ΖΒ2 = C1 (2) Τρίτος Τρόοος: (Σχήμα 2) ΒΓ2 - ΒΑ2 = ΕΓ2 - ΕΑ2 = C2 (3) Αν σε δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι Από ( 1 ), (2), (3) έχουμε τα ύψη του και ΑΔ n ΓΖ Η, ΑΔ n ΒΕ Η ' ' τότε επειΞ

Ξ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/54


Ένα ορόβλοpα οολλές λuσεις

ΑΒ2 - ΑΓ2 + ΓΑ2 - ΓΒ2 + ΒΓ2 - ΒΑ2 = Εάν θεωρήσουμε γνωστό Νέο Θεώρημα ( 1 ) του 2 2 2 2 2 γράφοντος, τότε, σύμφωνα με το αντ/φο του θεωρή­ = ΔΒ - ΔΓ + ΖΑ - ΖΒ + ΕΓ - ΕΝ = Ο Οπότε: ΑΖ2 + ΒΔ2 + ΓΕ2 = ΖΒ2 + ΔΓ2 + ΕΑ2 (4) ματος αυτού, η (1) σημαίνει ότι οι Μ ' ΑΔ, ΒΒ ' Εάν θεωρήσουμε γνωστό το θεώρημα Carηot( 1), ΒΕ, Π · ΓΖ περνούν από το ίδιο σημείο Η. τότε, σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος Α αυτού, η (4) σημαίνει ότι οι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ περνούν από το ίδιο σημείο Η. Ξ

Ξ

Ξ

Σημείωση (1). Το θεώρημα Carηot έχει ανα­ φερθεί στον Ευκλείδη Β . στο παρελθόν (τόμος κ . τεύχος 2/1986 σελίδα 105 και τόμος ΚΖ 'τεύχος 2/22). Έκτος Τρόοος (Σχήμα 2)

Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, Σχήμα 3 Α ΒΕ, ΓΖ. Εύκολα βρίσκουμε ότι: Σημείωση: (1) Βλέπε παρακάτω στις παρατη­ ρήσεις: ΑΖ2 = AΓ2 - rz2, ZB2 = BΓ2 - rz2, \ Μ_2 = ΑΒ2 -Μ2,ΔΓ2 = AΓz - Mz, \ (1) Ένατος τρόοος (Σχήμα 2) Προφανώς, π.χ. το τετράπλευρο ΒΓΕΖ, είναι εγ/ψι­ 2 2 2 2 2 2 ΓΕ = ΒΓ - ΒΕ , ΕΑ = AB - BE , μο σε κύκλο, οπότε θα είναι: ΑΒ ΑΖ = ΑΓ ΑΕ ή Από ης (1) έχουμε: 2 ΑΖ = ΑΓ (1) ΑΖ + ΒΔ2 + ΓΕ2 - ΖΒ2 - ΔΓ2 - ΕΑ2 = ΕΑ ΑΒ = ΑΓ2 - ΓΖ2 + ΑΒ2 - ΑΔ2 + ΒΓ2 - ΒΕ2 - ΒΓ2 + ΓΖ2 - ΑΓ2 + ΑΔ2 - ΑΒ2 + ΒΕ2 = Ο Όμοια βρίdκουμε και ότι: Δηλαδή ΑΖ2 + ΒΔ2 + ΓΕ2 = ΖΒ2 + ΔΓ2 + ΕΑ2, οπότε συνεχίzουμε όΠως παραπάνω στον 5ο τρόπο. Μ. _ ΑΒ , ΒΓ (2) ΓΕ _ ΖΒ ΒΓ ΔΓ ΓΑ Έβδομος τρόοος: (Σχήμα 2). ΑΓ ΑΒ . ΒΓ = 1, Μ. Αν στο δοσμένο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι από (1), (2) έχουμε: ΑΖ . . ΓΕ = ΕΑ ΖΒ ΔΓ ΑΒ ΒΓ ΓΑ τα ύψη του, τότε προφανώς τα τετράπλευρα ΕΖΒΓ, ΖΔΓΑ και ΕΔΒΑ είναι εγγράψιμα. Από αυτά παίρ­ οπσrε: Μ. · ΓΕ = 1 (3) -·- ΑΖ νουμε ης σχέσεις: ΑΖ ΑΒ = ΑΕ · ΑΓ, Δ ΕΑ ΖΒ Γ ΒΔ · ΒΓ = ΒΖ · ΒΑ, ΓΕ ΓΑ = ΓΔ ΓΒ Αν θεωρήσουμε γνωστό το Θεωρ. Ceνa (αντ/φο), Οπότε ΑΒ · ΑΖ + ΒΓ ΒΔ + ΓΑ ΓΕ = η (3) σημαίνει ότι τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ περνούν από το = ΑΒ · ΒΖ + ΒΓ ΓΔ + ΓΑ · ΑΕ (1). ίδιο σημείο Η. Εάν θεωρήσουμε γνωστό Νέο Θεώρημα ( 1 ) του γράφοντος, τότε σύμφωνα με το αντίστροφο του θεω­ Δέκατος Τρόοος (Σχήμα 2). ρήματος αυτού, η (1) σημαίνει ότι οι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ περ­ Φέρουμε π.χ. τα ύψη ΒΕ l_ ΓΑ, ΓΖ l_ ΑΒ. νούν από το ίδιο σημείο Η. Αν ΒΕ n ΓΖ Η και θεωρήσουμε γνωστό σχετικό θεώρημα με τα ορθοδιαγώνια τετράπλευρα, τότε, Όyδοος Τρόοος: (Σχήμα 3 ) σύμφωνα με αυτό, θα είναι για τα ορθοδιαγώνια μή Αν τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι τα ύψη τριγώνου κυρτά τετράπλευρα ( 1 ) ΑΒΓΗ και ΒΓΑΗ θα είναι: ΑΒΓ, (0, R) ο περιγ/νος κύκλος στο τρίγωνο αυτό και ΑΒ2 + ΗΓ2 = ΒΓ2 + ΗΑ2 (1) n ΒΕ, Α . (Ο, R) n ΑΔ, Β ' (Ο, R) 2 2 2 2 (2) ΑΓ + ΗΒ = ΒΓ + ΗΑ Γ ' = (0, R) n ΓΖ, τότε εύκολα βρίσκουμε ότι: από (1), (2) έχουμε ΑΒ2 + ΗΓ2 = ΑΓ2 + ΗΒ2 (3). Arz = ΑΒΕ, ΒΑΔ = Brz, ΓΑΔ = rnE Οπότε ΜΓ ' = ΑΒΒ ' , ΒΜ ' = Bfr� ΓΜ�= rBB ' Η σχέση (3), σύμφωνα με το αντ/φο του παραπά­ Άρα ΑΓ ' = ΑΒ ' , ΒΑ ' = ΒΓ ' , ΓΑ ' = ΓΒ ' νω θεωρ/τος, σημαίνει ότι και το μή κυρτό τετρά­ Οπότε ΑΓ' = ΑΒ ' , ΒΑ' = ΒΓ' , ΓΑ' = ΓΒ ' , cιπ' όπου πλευρο ΒΑΓΗ είναι ορθοδιαγώνιο. Δηλαδή είναι και ΑΗ 1_ ΒΓ ή ότι η ΑΗ είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου ΑΓ ' · Βι\ ' · rn · ΑΒΓ. Συνεπώς cίπό το Η περνούν και τα τρία ύψη του - = 1 (1) Γ' Β ΑΤ ΒΆ δοσμέvου τριγώνου.

f

·

- - -

·

-

.

·

·

·

·

·

·

Ξ

Ξ

Ξ

-

-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/55


Έvα ορ68λοpα οολλές λvσεις

Σομείωσο (1) . Είναι yvωστό όη το συγκεκριμέ­ τα τρίγωνα ΒΕΓ κο! ΒΓΔ�έχουν ΓΕ = ΒΔ (από υπόθε­ νο θεώρημα αληθεύει και για τα μή κυρτά τετρά­ ση), ΒΓ κοινή και Βι > Γι άρα ΓΔ > ΒΕ. πλευρα. Επίσης όη αληθεύει και το αντ/φό του. Φέρνουμε τμήμα ΕΖ, παράλληλο κ� ίσο J:Ι ε το ΒΔ, οπότε το ΕΖΔΒ είναι παραλ/μο. Έτσι Β2 = Ζι και Παρατορόσεις ΒΕ = ΔΖ, αλλά ΓΔ > ΒΕ � ΓΔ > ΔΖ (1). Επειδή 1 . Τα δύο Νέα θεωρήματα που αναφέρονται ΒΔ = ΓΕ και ΒΔ = ΕΖ θα είναι και ΓΕ.- = ΕΖ,-.οπότε το .σi:ους παραπάνω 7ο και 8ο τρόπους απόδειξης, βρί­ �ΓΖ θ� είναι ι�οσκ�λές, έτσι ΙΖΕ � ΖΓΕ�<=> ZL+ Ζ2�= σκουν πολλές σχετικές εφαρμογές. Π.χ. στη σύγκλι­ Γ2 + Γ3 , άρα Ζ2 < Γ3, αφο� Ζι � Β2 = Β ι > Γι = Γ2 . ση των μεσοκαθέτων, διχοτόμων, ισογωνίων τριγώ­ Στο τρίγωνο ΔΖΓ είναι Ζ2 < Γ3 , άρα ΓΔ < ΔΖ, που νου κ.τ.λ. Τα θεωρήματα αυτά με ης αποδείξεις τους έρχεται σε αντίθεση με την ( 1), επομένως ΑΒ = ΑΓ υrίάρχουν στο Βιβλίο Γεωμετρίας του γράφοντος, των και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. οποίων οι ί\ύσεις θα δοθούν σε προσεχές τεύχος του Ευκλείδη. Σομείωσο 2. Οι 3ος, 6ος, 7ος, 8ος, 9ος και 10ος τρόποι Η προηγούμενη λύση δόθηκε από το Γάλλο μη­ αποδείξης του θεωρήματος, προφανώς είναι και­ χανικό Descube το 1880 και περιέχεται στο βιβλίο: νούργιοι και έγιναν από το γράφοντα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕτΡΙΑΣ ΙΗΣΟΥΪΤΩΝ - Μετάφρα­ ση Δ. Γκιόκα - Εκδόσεις Α. ΚΑΡΑΒΙΑ - ΑΘΗΝΑ 1952. Δ

.-.

ΤΟ θΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ C. LEHMUS

ΔεVτερος τρόπος· (Σχήμα 2)

Ασιιοσο l ln

Ι Μ

Ο C. Lehmus το 1840 σε μια επιστολή του προς τον G. Sturm πρότεινε να δοθεί μια καθαρά γεωμε­ τρική απόδειξη στην πρόταση:

- "" ::: I I

- - - - - -

Α

- -

-----

ccAν δvο διχοτόμοι τριyώνοv είναι ίσες, τότε να δειχτεί ότι το τρίyωνο είναι ισοσκε­ λές)).

Ν

-:. , , - Ι Ι I

I

I

Σχήμα 2 Από το 1840 μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί πολλές αποδείξεις της πρότασης αυτής, που η μια συναγωνί­ zεται την άλλη σε πρωτοτυπία, ομορφιά και κομψό­ Έστω ΒΔ και ΓΕ οι ίσες διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ. τητα. Από τα Δ και Ε φέρνουμε παράλληλες προς ης ΓΕ Στη συνέχεια δίνονται εννέα αποδείξεις, μερικές και ΒΔ αντίστοιχα, που τέμνουν την εξωτερική διχοτό­ από ης οποίες δεν περιέχονται στη yvωστή σε μένα βι­ μο της γωνίας Α στα σημεία Μ, Ν. βλιογραφία. Αν Ι είναι το σημείο τομής των ΒΔ, ΓΕ, τότε Πρώτος τρόπος: (Σχήμα 1) ΕΊΔ = 90° + Δ (1). Α z 2 Επειδή οι απέναντι πλευρές του ΙΔΗΕ είναι πα­ ράλληλες, ε�αι παe_αί\/μο, επομένως οι διαδοχικές του γωνίες ΕΙΔ και ΙΔΗ είναι παραπί\ηρωμαηκές έτσι ΕίΔ + ΙΔΗ = 180 ο <=> ιΔι; = 90° - Δ (Μ\ω της (1)). 2 Είναι ΜΑΒ = Αεξ = Β + Γ = 180ο -Α = goo -Α, Β r 2 2 2 2 Σχήμα 1 επομένως, ΙΔΗ = ΜΑΒ <=> Ι� = 1'1.ΑΒ και έτσι το Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ και οι ίσες του διχοτόμοί ΒΔ και ΓΕ. Αν το ΑΒΓ δεν είναι ισοσκελές, τότε ΑΒ ΑΓ. ΜΑΔΒ είναι εγγράψιμο, άρα ΜΒΑ = Δι. αλλά Υποθέτουμε όη ΑΓ>ΑΒ (ίδια είναι η απόδειξη και Δι = � (αφού ΔΜ 1 1 ΓΕ), έrσι ΜΒΑ = �. �· αυτό αν υποθέσουμε όη ΑΓ <ΑΒ). 2 2 ,.... .,... .. ,... ..,. Γ ΜΒΓ = Β + - (2). Όμοια είvαι ΝΓΒ = Γ + Β. (3). 2 2 Λ

;ι!

Λ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

3/56

Λ


Έvα αpό8Νιpα αολλές λι1σεις

An6 το εγγράψιμο τετράπλευρο ΝΑΕΓ έχουμε Λ

Γ ΑΝΕ = ΑΙΈ = - και ΕΝΓ .,..., = ΕΑΓ = Α, .,...,

Λ

2

,.....

,......

,..... ,..... Γ οοάεΑΝΓ = Α + - (4) Λ

2

:Enpεfωσn

Η προηγούμενη λύση είναι μια παραλλαγή της λύσης που περιέχεται στο βιβλίο: H.S.M. COXETER «Iηtroductioη to GEOMETRY» Τέταρτος τρ6οος:

-

-

-

-

(Σχήμα 4) Α

-

Οπ6τε έχουμε: ΜΒΓ + ΑΝΓ = Β + Α + Γ = 180 " , άρα το ΜΝΓΒ είναι εγγράψιμο. Τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΝΓΕ είναι ίσα γιατί έχουν ΒΔ = ΓΕ και τις προσκείμε­ νες γωνίες ίσες. Επομένως το ΜΝΓΒ είναι ισοσκελές τραπέzιο, έτσι

Δ

(an6 (2) και (3)) «> Β = Γ «> ΑΒΓ ιωαWές. Τρfτος τρ6οος:

Σχήμα 4

Ε

Υοολοyισμ6ς των pnκών των δι•οτ6pων τριyώνοu

(Σχήμα 3)

Ονομ6zουμε Ε το σημείο στο οποίο η προέκταση της διχοτ6μου ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο__:ου κ�κλο. Επειδή Α1 = Α2 και Β 1 = Ε (εγγεγραμμένες στο ΑΓ) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΕΓ είναι 6μοια, έτσι ΑΔ = ΑΒ «> ΑΔ · ΑΕ = ΑΒ · ΑΓ «>

Α

_

_

_

ΑΓ

ΡΕ

«> ΑΔ2 + ΑΔ ΔΕ = ΑΒ ΑΓ «> «> ΑΔ2 = ΑΒ · ΑΓ - ΑΔ · ΔΕ ( 1 ) Επειδή οι χορδές ΑΕ και ΒΓ τέμνονται στο Δ θα είναι ΑΔ ΔΕ = ΒΔ · ΔΓ και έτσι η ( 1) γίνεται ΑΔ2 = ΑΒ · ΑΓ - ΒΔ · ΔΓ (2), αλλά αβ ΒΔ = και ΔΓ = , 6ρα η (2) wάφεrαι: β+γ β+γ 2 � = βγ cl-βγ , 6μοια εWαι και � = ay - β σy , ( β + γ)2 (α + γ)2 ·

Σχήμα 3

Έστω 6τι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει τις διχοτ6μους του ΒΔ και ΓΕ ίσες και δεν είναι ισοσκελές, τ6τε θα είναι ΑΒ < ΑΓ ή ΑΒ > ΑΓ.

,..... ,...

" Γ

,.....

Γ

h;. εWαι ΑΒ < ΑΓ, τ6ι:ε Β > Γ «> Β. > - «> ΑΒΔ > - . 2 2 2

Άρα θα υπάρχει εσωτερική ημιευθεία ΒΖ της ΑΒΔ τέ­ τοια ώστε: Λ

Γ ΔΒΖ = ΑΙΈ = . "'

Λ

2

Δ

"'

"'

"'

Γ "' Γ Γ 2

2

Λ

2

'Ετσι σrο τρ{\(Ι)νο zBr έχουμε ΖΓ > ΖΒ «> ΒΖ < 1 Γl

και an6 mν (1) παίρνουμε ΒΔ < 1 «> ΒΔ < rΘ, ΓΘ αλΜ ΓΘ

t'l\ι _ _ -τ

�=

αβ

«> ay

Είναι ΖΒΓ = ΖΒΔ + ΔΒΓ = - + Β. > - + - = ΖΓΒ. 2

·

--

Υ.αβ (α + β)2

Είναι � = δy «> � = �

Αν Θ είναι το σημείο τομής των ΒΖ, ΓΕ τ6τε ΒΖΔ - ΓΖΘ, οπ6τε ΒΔ ΒΖ = - (1) Γl ΓΘ Δ

·

< ΓΕ, έι:σι ΒΔ < ΙΈ άι:οπο, αφού ΒΔ = ΙΈ. Επομένως το ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

-

β2σy = αβ Υ.αβ (α + y)2 (α + β)2

β2y = β - Υ.β (α + γ)2 (α + β)2 2 «> ν 1 = β 1(α γ)2 (α β)2 2 ( )2 «> /α + γ)2 - β = β α + β -Υ. (α + β)2 (α + γ)2 «> γ

( : ) ( :)

«> γ (α + β + γ) (α + γ.:.. β) = β (α + β + ν) (α+ β - γ) (α + y)2 (α + β)2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 3/57


Έva αρόβλαpα αολλές λ.Sσεις

<=> ν (α + ν - β) (α + β)2 =β (α + β - γ) (α + γ) 2 <=> ν (α + γ) (α + β)2 - γβ (α + β)2 = = β( α + β) (α+γ)2 - βγ (α + y)2 <=> (α + γ) (α + β) [γ (α + β) - β (α + γ)] + + βγ [(α + γ) 2 - (α + β)2 ] = Ο <=> (α + γ) (α + β) (γα + γβ - βα - βγ) + + βγ (α + ν - α - β) (α + ν + α + β) = Ο <=> α(α + γ) (α + β) (γ-β) + βγ (γ- β) (2α + β + γ) = Ο <=> (γ - β) [α (α + γ) (α + β) + βγ (2α + β + γ)] = Ο <=> <=> ν = β <=> ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο. (Σχήμα 5) Έστω ΒΔ και ΓΕ οι ίσες διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ, που υποθέτουμε ότι δεν είναι ισοσκελές, οπότε

προηγουμένων κύκλων, Η το σημείο τομής της ΜΕ με τον κύκλο (Α, Β, Δ) και Θ το σημείο τομής της ΜΔ με τον κύκλο (Α, Γ, Ε).

Πέpατος τρ6οος:

8 .. f.

...... ....... ....... Γ Β < Γ, τ6ι:εΒ. < -, οπ6ι:ε θα υπ6ρχει. σημείο 2 2 Ζ του ΒΔ τέτοιο, ώστε Έσι:ω

έτσι το τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι εyγράψιμο.

Γ

Β

Ι I I (]

Οι κύκλοι (Α, Β, Δ) και (Α, Γ, Ε) είναι ίσοι, γιατί στις ίσες χορδές τους αντιστοιχεί η ίδια εyγεγραμμέvη γωνία Α � � Είναι ΑΜΕ = ΑΓΕ (ε_yyεγραμμ!_νες στοy (Α, Γ, Ε), που αντιστοιχούν στο ΑΕ) και ΑΜΔ = ΑΒΔ (εγyε­ γραμμ!_νες στο_y (Α, Β,Ρ,), πο�αντιστοιχούν στο ΑΔ), άρα ΑΜΕ + ΑΜΔ = ΑΓΕ + ΑΒΔ <=> ΗΜΘ =

Β + Γ (1) 2

Από τg_εyγεγραμμένο τΕ]pάπλευρο ΗΑι1Μ έχουμε + ΔΜΗ = 1soo <=> ΗΑΔ = 1soo - ΔΜΗ '"' Β+Γ <=> φ + Α = 180° - -- (2) (Απότηv (1)). 2 Όμοια από το εyγεγραμμένο τετράπλευρο ΘΑΕΜ τελικά έχουμε �

ΗΑΔ

. ΕΒΓ --- = ---Β = 8 Γ -+Είναι -+8 -<8 2 2 2 2 "' Β "' Γ -, 6ρα (= ΒΓΖ) < - + - + Α 2 2 2

Β Γ ω + Α = 180° - + (3) 2 JΥ�ό τ.!S (2), (3) παίρνου�ε � φ + Α +�Α + ω = 360° -JB +�Γ) � <=> φ + Α + ω = 360 - (Α + Β + Γ) <=> <=> φ + Α .f ω :;: 180° <=> Η, Α, Θ συνευθειακά. Είναι Η = Θ (εyγεγραμμένες σε ίσους κύκλους και αντιστοιχούν στην ίδια_Μ>ρδή ΑΜ) <=> ΜΗΘ ι�σκελές <=>�Η =_ΜΘ <=>_ΗΑΜ :::_ ΘΑΜ � ΗΑ + ΑΜ <=>= ΘΑ- + ΑΜ-<=> ΗΑ =- ΘΑ <=>- ΑΜΗ = ΑΜΘ <=> ΑΜΕ = ΑΜΔ <=> ΕΓΑ = ΔΒΑ (γιατίΑΜΕ = ΕΓΑ ως εyγεγραΗ,μένες ΟJ._ον (Α, Γ, Δ), που αντιστοιχούν στο ΑΕ και ΑΜΔ = ΔΒΑ ως εyγεγραJ:!μένες στον (Α, Β, Ε), που αντιστοιχούν στο ΑΔ) <=> ο

Δ

� � ΕΒΓ < ΒΓΖ < 90 επομένως ΕΖΓ < ΖΕΒ <=> ΓΕ < ΒΖ, αλλά ΒΖ < ΒΔ οπότε ΓΕ < ΒΔ, άτοπο, αφού ΒΔ = ΓΕ· έτσι το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ο,

Σημείωση: Η προήγούμενη λύση περιέχεται στο βιβλίο «GEOMETRY REVISiτED» των Η . COXETER και S.

"'

Γ =Η ...... <=> Γ = Β <=> το ΑΒΓ είναι ιοοσκελές. 2 2 Λ

......

GREiτZER. Έβδομος τρ6οος:

(Σχήμα 6) Κατασκευάzουμε τους κύκλους (Α, Β, Δ), (Α, Γ, Ε) και ονομάzουμε: Μ το δεύτερο σημείο τομής των Έιπος τρ6οος:

(Σχήμα 7)

Βοαβατικa ορ6τασα:.f.v τ_!. τρfyωvα και

A'B'r'

τ6τε εfvαι fσα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 3/58

ABr

έ:ιι:ονν α = α' , Α = Α' και δ0 = δ0',

(Σχήμα 7α)


Έvα opόβilopa ooililές iΙΘσεις

νο, δηλ...fΙδή �ν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α ' Β ' Γ ' έχοuν α = α ' , Α = Α ' και δα = δα ' , τότε είναι ίσα

Λvσa τοv οροβλιίpατος Α

z

Σχήμ α Ία

Αο6δειCn

Σχήμα 7

Έστω Ι το σημείο τομής των ίσων διχοτόμων ΒΔ Θα δείξουμε ότι με δεδομένα τα α, Α, δα κατα!iαι ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΙ είναι διχοτόμg_ς της σκευάzεται μοναδικό τρίγωνο. _ _ Έστω ΑΒΓ το τρίγωνο με ΒΓ =α, ΒΑΓ = Α και δι­ Α και τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ έχουν ΒΔ = ΓΕ, Α κοι­ νή και τη διχοτόμο ΑΙ της Α κοινή, άρα είναι ίσα· έτσι χοτόμο ΑΔ = δα. ...... Γ Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώ­ ΑΒΔ = ΑΓΕ <=> .6. = <=> Β = Γ <=> ΑΒΓ ισοσκFΝς. νου και φέρνουμε τη διάμετρό του ΕΖ, που είναι κά­ 2 2 θετη στη ΒΓ και ονομάzουμε Μ το σημείο τομής των ΕΖ και ΒΓ. Όyδοος τρ6οος: (Σχήμα 8) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΕΜΔ έχουμε: 2 ΖΔ ΊΑ = ΖΜ · ΖΕ <=> ΖΔ ΊΑ = ΖΓ (γιατί το τρίγωνο Α ΖΓΕ είναι ορθογώνιο στο Γ και μια κάθετη πί\ευρά του είναι μέση ανάί\ογη της υποτείνουσας και της προβο­ λής της στην υποτείνουσα) <=> χ(χ + δα) = ΖΓ2 (θέσα­ με ΖΔ = χ) <=> χ2 + δαχ - ΖΓ2 = Ο (το τμήμα ΖΓ είναι γνωστό, γιατί ο κύκλος (Α, Β, Γ) είναι γνωστός, αφού έχει γνωστή χορδή ΒΓ=α, στηy οπο!:fι αντιστοιχεί γνωστή εγγεγραμμένη γωνία�ΑΓ = Α Έτσι το ΖΓ Σχ ήμα 8 συνδέει το γνωστό μέσον του ΒΓ με το Γ) Έστω ΒΔ, ΓΕ οι ίσες διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ, που τέμνονται στο ι X = Λ / fxil + zr'2 - 00 <=> 'ZΔ = Λ / fxi2 + zr'2 - 00 Αν το_.!ρίγ�νο δεν είναι ισοσκεί\ές, θα είναι Β r ν 4 2 ν 4 2 και έστω Β > Γ <=> 2ω > 2φ <=> ω > φ, οπότε στο τρί­ Επομένως το τμήμα ΖΔ είναι γνωστό. γωνο ΒΙΓ θα είναι ΙΓ > IB. Για την κατασκευή του ΑΒΓ, κατασκευάzουμε κύ­ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: κλο χορδής ΒΓ, στην οποία αντιστοιχεί εγγεγραμμένη i) ΙΕ � ΙΔ, τότε ΙΓ + ΙΕ > ΙΔ + ΙΒ <=> ΓΕ > ΒΔ άτο­ γωνfα Α Με κέντρο το μέσο Ζ του ΒΓ γράφουμε κύ­ πο, επομένως το ΑΒΓ είναι ισοσκεί\ές . κλο ακτίνας ii) ΙΕ < ΙΔ, τότε θα υπάρχει σημείο Η του ΙΔ τέ­ I fxi2 + zr'2 00 τοιο, ώστε ΙΗ = IE. Επειδή ΙΓ > IB, θα υπάρχει σημείο Θ του ΙΓ τέτοιο, ώστε ΙΘ =_ΙΒ, οπότε τα τρίγωνα ΕΙΒ 2 ν 4 που τέμνει τη ΒΓ στο Δ. Αν Α εfναι το σημείο τομής της και ΗΙΘ θα εfναι ίσα, άρα ΙΘΗ = ω . Από το Θ φέρνουμε παρ�ηλη στην ΑΓ, που τέ­ ΖΔ και του κύκλου, τότε το ΑΒΓ είναι το zητούμενο τρί­ μνε�η ΙΔ �ο Λ, τότε θα είναι ΙΘΛ = φ, αλλά ω > φ γωνο . <=> ΙΘΗ > ΙΘΛ και έτm το Λ θα βρίσκεται μεταξύ των I, Για να υπάρχει το Δ πρέπει ΖΜ s χ < ΖΓ Η οπότε ΛΔ > ΗΔ Αν χ = ΖΜ το πρόβλημα �χει μια ί\ύση Από το Θ φέρνουμε παράλ/ί\η στη ΒΔ, που τέμνει Αν ΖΜ < χ < ΖΓ, τότε ο κύκλος την ΑΓ στο Κ, έτσι δημιουργεί το παραί\/μο ΛΘΚΔ, οπότε ΔΔ = ΘΚ, αλλά ΛΔ > ΗΔ <=> Θ� > Η4 (1) Η.f\ι είν_2ι εξωτερική στο ΒΔΑ, άρα Δι_> ΑΒΔ = ω, τέμνει τη ΒΓ σε δύο σημεία συμμετρικά ως προς το Μ, αλλά Δι = Κι (αφού ΒΔ // ΘΚ) και έτσι Κι > ω > φ, επομένως ορ!zg_νται δύο τρfγωνα fσα. Επομένως με οπότε στο τρίγωνο ΘΚΓ έχουμε ΘΓ > ΘΚ, αλλά δεδομένα τα α, Α, δα κατασκευάzεται μοναδικό τρfγω- ΘΚ > ΗΔ (εfναι η (1)), άρα ΘΓ > ΗΔ. ·Λ

.......

Λ

-

·

·

;ο!

Λ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. τ.

3/59


Έvα ορόβλαpα οολλές λ.Sσεις

Έχουμε ΙΘ = ΒΙ και ΕΙ = ΙΗ και ΘΓ > ΗΔ, άρα ΘΙ + ΕΙ + ΘΓ > ΒΙ + ΙΗ + ΗΔ ΕΓ > ΒΔ άτοπο, άρα το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. <=>

(Σχήμα 9α) Έστω ΒΔ και ΓΕ οι ίσες διχοτόμοι του τριγώνου ΑΒΓ. Αν το ΑΒΓ δεν είναι ισοσκfλές�-..τότε θα είναι ΑΒ pιi! ΑΓ, έστω ΑΒ < ΑΓ, τότε Β > Γ. Από το Δ φέρνουμε την παράλληλη στην ΑΒ, που τέμνει τη ΒΓ στο Η και από το Ε φέρνουμε την παράλ­ ληλη στην ΑΓ, που τέμνει τη ΒΓ στο Ζ.

Αοόδει�a (Σχήμα 9β) Α

Ένατος τρόοος

Α

Β Ξ Β'

Δ

LΧήμα 9β

Τοποθετούμε τα ισοσκελή τρίγωνα, όπως φαίνε­ ται στο σχήμα..ι... οπότf Α · f2 l. ΒΓ.� Επειδή ΔΒΑ = Β > Β · = ΔΒΑ · θα είναι ΔΑ > ΔΑ ' άρα ΒΑ > ΒΑ ' = Α ' Β Ό Σaμείωσa: Η λύση αυτή δόθηκε από τη Maria Goeppert Mayer το 1932.

ΣΧΟΛΙΑ

Από το πρώτους, που απέδειξε το θεώρημα του Lehmus, ήταν ο μεγάλος Ελβετός γεωμέτρης J. Steiaer, γι' αυτό το θεώρημα αναφέρεται στη βι­ βλιογραφία ως θεώρημα Lehmus - Steiaer. Ο Mc Bride στο περιοδικό ccEdiηburgh Mathe­ matical Notes», τεύχος 33 (1943), ισχυρίzεται ότι έχουν δοθεί τουλάχιστο εξήντα αποδείξεις στο θεώρημα. Στις αποδείξεις του θεωρήματος, που αναφέρο­ Σχήμα 9α νται εδώ, περιέχονται έξι αποδείξεις της πρότασης: Τα τρίγωνα ΗΔΒ και ΖΓΕ είναι ισοσκελή με ίσες ccAν σε τρίγωνο είναι β > γ, τότε να δειχτεί ότι δ6 < δv» βάσεις και Οι προηγούμενες αποδείξεις είναι καθαρά γεω­ ,..... ,..... Γ = ΖΓΕ = ΖΕΓ μετρικές (σύμφωνα με την επιθυμία του Lehmus). Θα ΗΔΒ = ΗΒΔ = 6. > 2 2 ήταν ενδιαφέρον οι αναγνώστες του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β να και όπως θα δείξουμε σε βοηθητική πρόταση, θα είναι δώσουν αποδείξεις με την βοήθεια της τριγωνομε­ τρίας, διανυσματικής γεωμετρίας, αναλυτικής γεωμε­ ΔΗ > ΕΖ (11 � τρίας, μιγαδικών αριθμών ή κάποιου άλλου κλάδου Επειδή Β > Γ = Ζ1 στο τρίγωνο ΕΒΖ έχουμε των Μαθηματικών. ΕΖ > ΕΒ (2). Είναι ΓΗ = ΒΓ - ΒΗ = ΒΓ - ΗΔ (ΒΗ = ΗΔ από ΒΙΒΑΙΟΙ'ΡΑΦΙΑ το ισοσκελές τρίγωνο ΗΒΔ) και ΒΖ = ΒΓ - ΓΖ = ΒΓ - ΕΖ (ΓΖ = ΕΖ από το ισοσκε­ 1. Τ. Apostol κ.α. : SELECTED PAPERS ΟΝ PRE­ CALCULUS λές τρίγωνο ΖΕΓ) Έκδοση: The Mathematical Associatioη of Arneή­ αλλά ΗΔ > ΕΖ (είναι η (1)), άρα ΓΗ < ΒΖ (3). ca - 1977 Έχουμε ΕΒΖ - ΑΒΓ (γιατί ΕΖ // ΑΓ) και ΑΒΓ - ΔΗΓ (γιατίΔΗ//ΑΒ), άρα ΕΒΖ - ΔΗΓ επομέvως 2. Η. Coxeter : INTRODUCτiON ΤΟ GEOMETRY Έκδοση: Johη Wiley & soηs - New York - 1969. ΔΗ ΓΗ -=<1 3. Η Coxeter - S. Greitzer: GEOMETRY REVISiτED ΕΒ ΒΖ Έκδοση: The Mathematical Associatioη of America - 196 7 (από την (3)), έτσι ΔΗ < ΕΒ, αλλά ΕΒ < ΕΖ (από την (2)), άρα ΔΗ < ΕΖ άτοπο λ6γω της (1), επομένως το 4. F. Μ. G.: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ (ΙΗΣΟΥΪΤΩΝ) ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Έκδοση: Α Καραβία - Αθήνα - 1952 5. Α Stehηey κ.α.: SELECTED PAPERS ΟΝ GEO­ METRY Βοaβaτικό ορότασa: Av τ!!_ τρ!vω!._α .AII' Έκδοση: The Mathematical Associatioη of και Α·a·r· έxow Br = a·r· και Β = r > r· = ΒΌ Arnerica - 1979 τότε ΑΒ = Μ > A·r· = Α'ΒΌ ,.._

Δ

Δ

Λ

Λ

,.....

Δ

Δ

Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/60


Οι ασκήσεις των Μαθηματικών έχουν ταυτιστεί με κάθε λογής εξετάσεις. Είναι πολύ εκείνοι όμως που αγαπούν τα Μαθηματικά και διασκεδάzουν προσπα­ θώντας να λύσουν ασκήσεις, ειδικά "δυσκολότερες" από τις "φυσιολογικές". Η νέα μας στήλη απευθύνεται σε αυτούς που βλέ­ πουν τα Μαθηματικά και ως πνευματικό άθλημα. Φι­ λοδοξία μας είναι να προσφέρουμε στους αναγνώ­ στες του Ευκλείδη Β ' ένα βήμα από το οποίο μπο­ ρούν να εκφράzουν τις ανησυχίες τους, τις εμπνεύ­ σεις τους, τη δημιουργική τους διάθεση. Από το τεύχος αυτό θα δημοσιεύονται άλυτες πρωτότυπες ασκήσεις για όλες τις τάξεις του Λυκεί­ ου. Οι λύσεις καθώς και τα ονόματα των λυτών θα δημοσιεύονται σε επόμενα τεύχη. Όσοι θέλουν να προτείνουν κάποια πρωτότυπη άσκηση μπορούν να τη στείλουν ταχυδρομκά μαzί με τη λύση τους. Η Επιλογή θα γίνεται από την Σ.Ε. του Ευκλείδη Β ' . Με κίνητρο την μοναδική ψυχική ευφορία που νοιώθει όποιος κατασκευάzει ή λύνει μια άσκηση μαθηματικών, είμαστε σίγουροι ότι θα αγκαλιάσετε τη νέα μας στήλη. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ' ΛΥΚΕΙΟΥ 1) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ = ΑΓ) με Α=100°. Στην προέκταση της ΑΒ παίρνουμ_z σημείο Δ ώστε ΑΔ = ΒΓ. Να υπολογιστεί η γωνία ΒΓΔ. 2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: Α = 90 • , ΑΒ = ΑΓ, ΒΔ,

διάμεσο και Ε σημείο της ΒΓ ώστε ΓΕ = 1/3 ΒΓ. Δείξτε ότι ΑΕ .l ΒΔ. f\ z:..o � c �""� Β ι\

Α

Β

2) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με Α = 40° η εσωτερική ημιευθεία Αχ που σχηματίzει γωνία 30° με μία από τις ίσες πλευρές, την ΑΓ, και η εσωτερική �

ημιευθεία Βψ που σχηματίzει γωνία 30° με την άλλη των ίσων πλευρών, την ΑΒ, τέμνονται επάνω στο ύψος από την τρίτη κορυφή Γ. Α: 40"

(rράψας Κωv/vος)

)

ΆΛΓΕΒΡΑ Β ' ΛΥΚΕΙΟΥ 1) Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι για κάθε χ Ε R ισχύει: ex > χ. Μπορείrε να ) το αποδείξετε χωρίς m χρήση mς παραγώγου; (ΙΊώρyος ΤσιιιαΑοWάκιις)

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

(rιώρyσς .Κcιτσο.SΑaς) f σl.ιμ Α \ι! .ι Br �· e '-t'v � . I\�Γ ='> Β Λ -= � �ό -"-? Λ6 // Α Γ ..) /\ Ε,i. Ρr ί

Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, c ισχύει ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕ ΣΧΗΜΑΤΑ :14:}.. �l �e"" Ο sα s β s c: " 1) Σε τρίγωνο με πλευρές α = 13, β = 1 2 , ν = 15 Δείξrε ότι το ύψος υν προς την μεγαλύτερη πλευρά, η διάμεσος eB - e:ι < ec - 1 (β + α) + 1 μ6 προς την μικρότερη και η διχοτόμος δ0 προς την β-α, 2c τρίτη πλευρά διέρχονται από το ίδιο σημείο. i

/

- (Κώστας rεωρyακόοοι�Αος)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ.

3/61


Από τον συνάδελφο κ. Στράτο Μάκρα λάβαμε την παρακάτω επιστολή: Προς την Συντακτική Επιτροπή του "ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' " Αγαπητοί συνάδελφοι. Σχετικά με το άρθρο του εκλεκτού συνάδελφου Δ.Γ.Κοντογιάvvπ ''Είναι ακρότατο ή φράγμα" στο τεύ­ χος 14 (1994) του ''Ευκλείδη Β ' " έχω να κάνω μερικές παρατηρήσεις που αφορούν στην ορθότητα ορισμένων απόψεων που αναφέρονται εκεί. Θεωρώ ότι το θέμα εί­ ναι αρκετά σημαντικό γιατί το περιοδικό απευθύνεται σε μαθητές στους οποίους θα μπορούσε να δημιουργηθεί σύγχιση ως προς ορισμένα βασικά πράγματα που συνα­ ντούν στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην ανάλυση. Σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου, ο οποίος άλ­ λωστε αναφέρεται και στο άρθρο, "Όταν υπάρχει ση­ μείο Χο του πεδίου ορισμού Α μιας συνάρτησης f, τέ­ τοιο ώστε για κάθε χΕΑ να ισχύει: f(Xo) ίi!: f(x) τότε η f παρουσιάzει στο Χο μέγιστη τιμή f(XQ)". Είναι νομfzω φανερό ότι για την απόδειξη της ιJnαρ�nς μέγιστης τιμής της f η απόδειξη της ιJnαρ�nς ενός τέτοιου Χο αρκεί και δεv είναι απαραίτητη η εύρεσή του. Αν λοι­ πόν το σύνολο τιμών f(A) της f έχει μεγιστο στοιχείο, ας πούμε το ω, αυτό βέβαια θα είναι η μέγιστη τιμή της f για τα στοιχεία του Α, και αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη ενός, τουλάχιστον, χ0 Ε Α με f(χσ)=ω αφού το ω εfναι στοιχεfο του f(A), ακόμα και αv δεv pnoρoιJpε vα βροιJpε ένα τέτοιο Χο· Αν για παρά­ δειγμα f(A) = [α, β] τότε το β δεν είναι απλώς άνω φράγμα της f, αλλά και μέγιστο της f ενώ το α εfναι το ελάχιστο. Είναι νομfzω φανερό οτί δεν είναι καθόλου απαραfτητη η επίλυση των εξισώσεων f(x) =a και f(x) =β για να αποδεχθεί ότι τα α και β εfναι τα ολικά ακρότατα της f. Ας δούμε τώρα το θέμα σχετικά με την συνάρτηση g(a) = -4a 1 + 32 ct

= fi . ο αριθμός fi. Το ότι η εξίσωση 4 1 + 32 ct 4 έχει λύση, είναι προφανές και δεν χρειάzεται βέβαια να την υπολογίσει ο μαθητής γιατί δεν του zητείται. Παρόμοιες παρατηρήσεις, προφανείς άλλωστε, μπορούν να διατυπωθούν και για την άσκηση του σχολικού βιβλίου που αναφέρεται στο άρθρο. Με συναδελφικούς χαιρετισμούς Στράτος Ελ. Μάκρος Η απάντηση του συναδέλφου κ.Δ.Κοντογιάvvη εί­ ναι η εξής: Κον Σ.Μάκρα. Αγαπητέ συνάδελφε. Η σύγχυση που επικραtεί στα εγχειρίδια της Γ ' Λυκείου, έχει επι­ σημανθεί από πολλούς μαχόμενους συναδέλφους και δεν έχω σκοπό να εμπλακώ στη λογική του ποιό από τα βιβλία φταίει περισσότερο. Θέλω απλά να τονίσω την έλλειψη συντονισμού (θα πήγαινε πολύ να πούμε συνεργαr1ίας;) των συyγραφικών ομάδων, με τα γνωστά αποτελέσματα.

Από το συνάδελφο κ.Δημήτρη Μπουνάκη λάβαμε την παρακάτω επιστολή. Σχετικά με το σχόλιο του κ . Κοντογιάvvη με τίτλο "Είναι ακρότατο ή φράγμα" στην σελίδα 58 του τεύ­ χους 2 του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' , θέλω να κάνω μερικές παρατηρήσεις, επειδή το θέμα δεν αποσαφηνίzεται, παρ' όλη την έκταση του σχολίου. 1. Αναφέρει: "Από προσωπική μας εμπειρία γvω­ ρfzουμε ότι μερικοf μαθητές διαπράπουν ένα πολύ συνηθισμένο σφάλμα: Βρίσκουν το σύνολο f(A). Έστω π.χ . ότι f(Α) = [α,β] . Τότε αποφαfνονται ότι το β είναι η μέγιστη τιμή και το α η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x), χωρίς να αποδείξουν την ύπαρξη τι­ μών χ1,χ2ΕΑ τέτοιων ώστε f(x1)=a και f(χ2 ) =β. Δηλαδή στην περfmωση αυτή οι μαθητές προσδιο­ ρfzουν φράγματα της συνάρτησης και όχι ακρότατα". Η συνάρτηση g μπορεί να πάρει κάθε πραγματική Το να αποφανθείς ότι το β είναι η μέγιστη τιμή της τιμή t για την οποfα η (ως προς α) εξfσωση συνάρτησης δεν εfναι λάθος, είναι σωστό. Απλά 4α υπάρχει παράλειψη στο να μην αναφέρεις ότι βΕf(Α) =t (ή ότι υπάρχει χ2ΕΑ με β=f(χ2 ) . 1 + 32 ct Η παράλειψη αυτή δεν είναι τόσο σημαντική, έχει λύση στο R. Δηλαδή όλες τις τιμές του t για τις αφού μπορεf να θεωρηθεί διαισθητικά φανερό-προ­ οποίες η διακρfνουσα 16 - 4·32t2 της παραπάνω εξί­ φανές (αρκεί βέβαια το διάστημα να'ναι κλειστό) . σωσης είναι �0. Από την aνίσωση 16 - 4·32t2 � Ο Όμοια και για το ελάχιστο α . Αντίθετα το συνηθισμέ­ νο λάθος των μαθητών είναι: έπεται η I tl :s; fi άρα η μένιστη τιμή της g εivαι Αν α s f(x) s β για κάθε χΕΑ, τότε το β είναι η 4 _ _

---

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

3/62


Αλ1ιαlιοyραφία

μέγισrη τιμή και το α η ελόχισrη τιμή της συνόρτησης. Αvτιπαρόδειγμα: για την συνόρτηση 1 -, xE A = R f (x) = 1 + 1 + χ2 ισχύει 1 :s; f(x) :s; 3 για κόθε χΕΑ, όλλα οι εξισώσεις f(x) = 1 , f(x) =3 δεν έχουν λύση σrο Α (όπως εύκολα διαπισrώνουμε) όρο δεν υπόρχουν χ1 , χ2 Ε Α με f(x1) = 1, f(x2 ) =3, επομένως το 1 και 3 δεν είναι ελόχι­ σrη, αvτίσrοιχα μέγισrη τιμή της συνόρτησης. 2. Σχετικό με το θέμα των περυσινών Γ.Ε. Το θέμα zητόει την μέγισrη τιμή της εφθ και επο­ μένως δεν υπονοείται να βρεθεί (απλό να εξασφαλι­ σrεQ και η τιμή του α για την οποία η συνόρτηση έχει την μέγισrη τιμή της. Αυτό θόταν απαραίτητο αν το θέμα zητούσε να βρεθούν τα ακρότατα της εφθ.

Η εξασφόλιση τώρα του α ώσrε g (a) = _L δεν

Γs

ήταν ανόγκη να εξετασrεί ιδιαίτερα ( σrην λύση που αναφέρεται σrο σχόλιο ότι έδωσε ένας μαθητής) αν η λύση του μαθητή διατυπωνόταν έrσι: "g (a) =t ή 32ta2 -4a+t=O ( 1 ) Η ( 1 ) έχει λύση σrο A = R (ως προς α) αν και μόνο αν Δ�Ο ή . . . O<t:s; 1 _ _

Γs

(οπότε και για την τιμή t = _L

Γs

�πόρχει a2EA με

g(a2 ) = _L , όρο το _L δεν είναι μόνο φρόγμα, αλ-

Γs

Γs

λ6 μέγισrη τιμή)

Δηλαδή: το ουσιασrικό λόθος (ή παρόλειψη) του μαθητή, (που αν και σοβαρή κρίνεται επιεικώς, αφού δεν είναι όμοιρα ευθυνών και τα σχολικό βιβλία: βλ. για παρόδειγμα την όσκηση που αναφέρεται σrο σχόλιο καθώς και τις ασκήσεις για την εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνόρτησης στο βιβλίο της Α · Δέσμης, όπου δεν ξεκαθαρίzεται ότι πρέπει f(A)g και τς;;f(Α) για να είναι το Τ το σύνολο τιμών της συνόρτησης f) είναι που παίρνει την συνθήκη Δ� Ο απλό αναγκαία γΙΟ να υπόρχει α Ε R κ.λπ (και όχι και ικανή) οπότε βέβαια βρίσκει ότι ο αριθμός είναι (μόνο) ένα όνω φρόγμα της συνόρτησης. Υ 8 Ευχαρισrώ Δημ. Μπουνόκης

.�

Η απόvτηση του συναδέλφου κ.Δ.Κοvτογιόννη εί­ ναι η εξής: Κον Δ.Μπουνόκην. Αγαπητέ συνόδελφε. Με βρί­ σκουν σύμφωνο οι απόψεις σας για τις ασόφειες των εγχειριδίων της Γ · Λυκείου. Δεν θα ήθελα όμως να εμπλακώ σε στείρες συzη­ τήσεις, για το ποιό από τα εγχειρίδια είναι σωστό γραμμένο και ποιό λιγότερο σωσrό. Από το συνόδελφο Δ.Μυταρέλλη λόβαμε λύσεις των θεμότων της 35ης Ι.Μ.Ο. Τον ευχαρισrούμε πολύ Από το μαθητή Κων/νο Σκαρλότο (Λύκειο Γύρας) λόβαμε λύσεις των θεμότων της Διεθνής Μαθηματι­ κής Ολυμπιόδας. Από τη μαθήτρια Λαδογιόννη Ελένη (Στροφυλιό Ευβοίας) λόβαμε λύσεις ασκήσεων γεωμετρίας της Α · Λυκείου του προηγούμενου τεύχους.

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ

· __,.. -=:.==':..' =� .... .�φ-...-. --......,.....,_...,.;.. .,...,.u.- .....,-.

Ε ΝΑ ΚΑΤΑΜΗΛΟ ΒΟΗθΗΜΑ ΓΙΑ ΜΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΠΑΝΜΗΨΗ ΠΡΙΝ JIΣ ΠΑΝΕΜΗΝΙΕΣ ΕΠΑΣΕΙΣ Β ΓΜ Μ Ε Ν Ο

ΑΠό

ΤΗΝ

Ε Μ Π Ε I Ρ ΙΑ

}0.000

ΩΡΟΝ

ΔΙΔΑΣΚΜIΑΣ Η Ο ΦΡΟΝΤΗΗIΡΙΟ -'} Αφ.., tιοι-ι .-,ι-""""'"" ' """ � '"(tι..ι.n-tι.;-. μοιιιιbςlι-.ιο<ιυ.ιt;, Μιι�nt-ι-0�. ,.,.,�ο�.·.ιι­ ισwd οιοι;ΗΠΑ. ,_,hοιι> .,.ΙDnοιο;-ι... οιφοαlιμnσικ"ς ........_..... ς Ι{ιι ......, ΙΛ<;1ιοο:; �

Jtfο�θψό-CΙΑ6<ΙΙ ιtιοιιο-W.U... <Ια>σι�λ-ιοο.-.. 6σ ιω•n-ι� R,nioo<" •-μ< ....ri>OU(�_,oo. . ........, __

_.Νιιαιο-Ι>Μοnνω.nνια�""'.ι •·uι:•y;"""-;

Με MIA ΕΠΙι\ΟΓΙi θΕΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΚΜΥΠΤΟΥ Ν ΚΑΙ ΤΑ ΠΙΟ

1\ΕΠΤΑ

Σ Η ΜΕIΑ

ΤΗΣ

θΕΩΡIΑΣ

ΚΑΙ

τιΣ

ΠΑΓIΔΕΣ.

ΛΥ ΜέΝΑ ΜΕθΟΔΙκΑ, ΜΕ ΑΠΛόΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΑΦΗΝΕΙΑ, όΠΩΣ ΠΡέΠΕΙ ΝΑ ΓΡΑΦΟΥΝ ΗΙΣ ΠΑΝΕΜΗΝΙΕΣ ΕΞετΑΣΕΙΣ. ΤΙΜΗ ΚΑθ Ε Β Ι Β Λ I ΟΥ 152 Σ ΕΛ . Ε Ι ΝΑ Ι Π�Ο+l�ΟΦ.n.Α. =}900 ΣJΟΥΣ ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΥΣ ΕΚnΤΩΣΗ }0% ΣΕ ΟΣΟΥΣ nΑΡΑΓΓΕΙλΟΥΝ ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ ΒΙΒλΙΑ Η

ΕkΠΥΩΣΗ EINAI 40%, ΤΑ

έΞΟΔΑ

ΑΠΟΗΟι\tΙΣ

Διt\ι\ΔΗ

4.�00+Φ.n.Α180ΔΡχ.

ΠΕΡfΠΟΥ

400 ΔΡΧ.

EΠIBAP'i'NOYN

ΑΓΟΡΑΗΗ.

Ι<ΕΝΥΡΙΚΗ ΔΙΑθΕΣΗ

ΔόΡΑ ΑΛΜΜΝ(ΔΟΥ - λιποΡΔέΖΗ ΜιΑΟΥΛΗ η

-

691 00 ΚοΜΟΤΗΝΗ

ΓιΑ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚέΣ ΠΑΡΑΓΓΕΛfΕΣ Ο�η/21206

FAX: 0�}1/21416

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. κη. τ. 2/63

Η 24049

ΤΟΝ


}\- ιr 1αθηματικά • • • • •

ΓΥΜΝΆΣΙΟ Υ

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου Μ αθηματικά Β' Γυμνασίου Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Α ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ Άλγεβρα Γεωμετρία

Β ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ • 't>.λ1� �\)11 •

• • •

Γεωμετρία

Γ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ

Αν. Γεωμετρία Ρ.: δέσμης (2 τεuχη) Άλγεβρα - Αν. Γεωμετρία (2 τεuχη) Πίνακες-Συστήματα Α' δέσμης

Πιθανότητε)·Μιyαδικοί Α' δέσμης

'• Ανάλυση Α' δέσμης • Ανάλυση Ρ\ δέσμης • Παpάγωγοι Α' δέσμης • •

Γ. Μαραγοuσιας Γ. Μαραγοuσιας Γ. Μαραγοuσιας

Ολοκληρώματα Ρ.: δέσμης Μαθηματικά Δ' δέσμης (4 τόμοι)

·

Κ. Τζιρώνης-Θ. Τζουβάρας Γ . Κόλλιας •

�. ϊζ\�11�1)�-� Γ. Κόλλιας

ο

ϊζ�\}�\l�\1�

• 8 •

• •

Α. Τραγανίτης Β. Κάμπας Γ. Μαραγοuσιας

Οργανική Οργανική

G\)�ΙlνΙ-ι-ή

Οργανική (2 τεύχ Θέματα ο11�<ι�Ι rι) ν.ής Χημείας Η Χημεια σ τις εξετάσεις

6

Σ. Μητσιάδ ης

Γ. Μαραyούσιας

Κ. Τζιρώνης-Θ. Τζουβdρας Γ. Κόλλιας Σ. Μαρίνης-Π. Παπανικολάου Γ . Σπηλιώτης Σ. Μαρίνης-Α. Παπαδήμας

Κ . Σaλτερής Σ. Μιχέλης ΚΔ. Κ& Π. θεοδ ωρ πουλος­ Κ . ομνηνdς . Σaλτερ ής Μ. 2αννίκος Δ. Μπαμπίλης ί. Μιχtλης ΚΔ. & Π. θεοδω ρ6πουλος­ . Παπαζήσης Δ. Μπαμπίλης

J·· ΑΡγαγκy λο6ύσης-Δ. Karσfvης. ε πουλος

)7) ιολογία •

Βιολογία - Ανθρωπολογία

• •

Β. Ηλιάδης

1\. 1\όΊCΠ\<; 1\ιολσ'j\<ι Β' ΜΟ\lψ; Προβλήματα & Πειράματα Βιολογίας Π. Βότσης

)7 ) ιβλία για τον εκπαιδευτικό

• • • • • •

Περιβάλλον-Οικολογία-Εκπαίδευση Οδηγός Οικολογίας Ποιος ήταν ο Αδάμ Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ψηφίδες ιδεών Εγκέφαλος Η κραυγή των Ελλήνων Λεξικό Εννοιών Γενικής Παιδεfας

Πολιτική Οικονομία

Δογwμικό

Α. Αθανασάκης-θ. Κουσουρής n. Βότσης n. Βότσης Σ. Γκίκας Ι. Ευαγγέλου Ι. Ευαγγέλου Κ. Μπαρούτας Σ. Γκίκας

Ευκλειδης Β 15  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you