Μαθηματικά για την Γ Λυκείου , \ {Jση :
α)Είναι: Ω= { Ι ,2,3,4,5,6 } , άρα κ>Ο. Επίσης κ 2:: Ι => 2κ 2:: 2 => 3κ 2:: κ+2 => 3κ>κ+ Ι . Άρα οι παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά εί ναι : -3κ,-2κ,κ+ Ι ,3κ,6κ+4. Έχουμε: � 3κ - 3κ + 6κ + 4 - 2κ + κ + Ι 5κ + 5 = =κ+ Ι = 5 5 Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό άρα η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση δηλα δή η τρίτη, με τιμή δ=κ+ Ι . - 2 1 5 2 s = - Σ ( χί - χ ) = 5 i=l = _!._ [(-4κ- Ι ) 2 + (-3κ- Ι ) 2 +0+(2κ- Ι ) 2 +(5κ+3) 2 ]= 5 54κ 2 + 40κ + Ι 2 5 β) χ � 5 <::::> κ+ Ι � 5 <=> κ � 4.Άρα Α= { Ι ,2,3,4} με Ν(Α) i 3_ . = = Ν(Α)=4 ' οπότε Ρ(Α)= Ν(Ω) 6 3 Η διάμεσος είναι άρτιος αριθμός μόνον όταν κ= Ι ή Ν(Β) = .!.. . κ=3 η' κ=5 .Άρα Β= { Ι ' 3 ' 5 } και Ρ(Β)= Ν(Ω) 2 Γ = Α n Β= { Ι ,3 } .Άρα Ρ(Γ)= _!._ 3 2 + 40κ + Ι 2 54κ , , =f(κ), οπου Βρηκαμε s 2 = 5 54χ 2 + 40χ + Ι 2 fiΊ l!J) � 111> � a με �) = και f: a 5 κ Ε Ω= { Ι ,2,3,4,5,6 } . Επειδή minf(x)= f - � = r - _!Q μπορεί κά27 2 · 54 ποιος να συμπεράνει (κακώς) ότι δεν υπάρχει ελά1Ο , ' χιστη τιμη του s 2 , αφου' -- <Ο , ενω' κ>Ο . Ειναι 27 όμω ς προφανές, ότι από τις τιμές f( l ), f(2), f(3), 1 06 f(4),f(5),f(6) ελάχιστη είναι η f( l )= .Οπότε 5
(
·
) ( )
Δ= { Ι } .Άρα Ρ(Δ)= _!_ .Θα μπορούσαμε βέβαια να 6 βρούμε την ελάχιστη τιμή του s 2 χω ρίς δοκιμές ω ς εξής: ' γνησι' ω ς αυ' ξουσα στο - 1 0 , +οο Α φου' η f ειναι 27 προφανώς η f( l ) είναι η ελάχιστη τιμή από τις f(κ), κ Ε Ω.
[
Π ιφα τιi ρη ση
)
Εάν ζητούσαμε την ελάχιστη τιμή του s 2 -80κ, τό-
54κ 2 - 360κ + Ι 2 , τε θ α ειχαμε : s 2 -80κ = = και η 5 54χ 2 - 360χ + Ι 2 , , αντιστοιχη συναρτηση f(x) = -----5 έχει ελάχιστη τιμή μόνο στη θέση 360 1 0 10 , ' χ= = . Α φου 3 < < 4 η ελαχιστη τι μη. θ α 3 54 . 2 3 582 είναι μία από τις f(3),f(4):Εχουμε : f(3) = 5 564 και f(4) = .Άρα minf(k)=f(3). 5 -
;�;.. ;;}· κ η c;η i 3
Σε ένα συρτάρι υπάρχουν 4κ μαύρα στυλό και
κ 2 +2κ+4 κόκκινα στυλό, όπου κ Ε Ν * . Επιλέ γουμε στη τύχη ένα στυλό.Να βρεθεί το πλήθος των μαύρων και το πλήθος των κόκκινων στυλό ώστε η πιθανότητα το στυλό που επιλέξαμε να είναι μαύρο να είναι μέγιστη. Ποια είναι η πιθα νότητα αυτή ; Λί;ση
Έστω Α= {το στυλό που επιλέγουμε είναι μαύρο} . 4κ Ν(Α) Τότε Ρ(Α)= = 2 . Ν(Ω) κ + 6κ + 4 4χ , , Θ "' εω ρουμε τη συναρτηση fiΊ\ x)-- 2 , με χ + 6χ + 4 χ 2:: Ι .Η f είναι παραγωγίσιμη ω ς ρητή. Έχουμε : -4χ 2 + Ι 6 4(χ 2 + 6χ + 4) - 4χ(2χ + 6) = f' (x)= (χ 2 + 6χ + 4) 2 (χ 2 + 6χ + 4) 2 Κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας της f :
Η f παίρνει τη
μέγιστη τιμή της για χ=2.Άρα η 4κ πιθανότητα Ρ(Α)= γίνεται μέγιστη κ 2 + 6κ + 4 μόνο για κ=2.0πότε το συρτάρι πρέπει και αρκεί να περιέχει 4 · 2=8 μαύρα και 4+4+4= Ι 2 κόκκινα 8 , ' ' ' ιση ' με πιθ ανοτητα ειναι στυλο. Η ζητουμενη 20 λσκηση 1 4 .
α)Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγμα τικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι αν Β � Α, τότε Α ' � Β '. β) Έστω Α, Β, Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 49 τ.3/60